Buku Teori Bilangan

Teori Bilangan

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2021

0

1

ii

KATA PENGANTAR
Syukur alhamdulilah senantiasa kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan modul ini untuk
memenuhi tugas mata kuliah Teori Bilangan.
Kami menyadari bahwa dalam penyusunan modul ini tidak terlepas dari bantuan banyak
pihak serta saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Kami sangat berharap
bahwa modul ini dapat berguna dalam menambah pengetahuan dan wawasan. Kami
menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kata sempurna karena terbatasnya
pengalaman dan pengetahuan yang kami miliki.
Semoga modul ini dapat berguna bagi kami maupun orang lain yang membacanya dan dapat
bermanfaat. Sekiranya ada kesalahan kata yang kurang berkenan kami mohon maaf yang
sebesar-besarnya demi kebaikan bersama kami ucapkan terimakasih.

Metro, Juli 2021
Penyusun

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.........................................................................................................i
PETA KONSEP............................................................................................................... ii
KATA PENGANTAR.................................................................................................... iii
DAFTAR ISI................................................................................................................... iv

MATERI 1 METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA.......................... 1
A...Mengapa Kita Perlu Pembuktian................................................................................1
B...Metode Pembuktian....................................................................................................2

MATERI 2 DEFINISI KETERBAGIAN.................................................................... 11
A...Definisi Keterbagian.................................................................................................11
B...Ciri Habis Dibagi......................................................................................................12
C...Contoh Soal.............................................................................................................. 14

MATERI 3 TEOREMA KETERBAGIAN................................................................. 16
A...Algoritma Pembagian............................................................................................... 16
B...Pembagi dan Faktor Persekutuan Terbesar.............................................................. 16
C...Algoritma Euclides................................................................................................... 19
D...Kelipatan Persekutuan Terkecil................................................................................20
E... Persamaan Diophantine............................................................................................ 22

MATERI 4 ALGORITMA PEMBAGIAN................................................................. 26
A...Algoritma Pembagian............................................................................................... 26
B...Aplikasi Algoritma Pembagian................................................................................ 27

MATERI 5 KEKONGRUENAN..................................................................................29
A...Definisi dan Sifat Kekongruenan............................................................................. 29
B...Aplikasi Kekongruenan............................................................................................ 31
C...Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat..................................................................31
D...Ciri Habis Dibagi......................................................................................................33

MATERI 6 FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR..............................................37
A...Pengertian Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)....................................................... 37
B...Metode Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)............................................................ 37

MATERI 7 KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL........................................44
A...Definisi dari KPK..................................................................................................... 45
B...Macam-macam Teorema KPK................................................................................. 45
C...Sifat-sifat dari KPK.................................................................................................. 47
D...Metode dalam Menentukan KPK............................................................................. 48

iv

MATERI 8 ALGORITMA EUCLID KONGRUENSI LINEAR..............................50
A...Algoritma Euclid...................................................................................................... 50
B...Cara Kongruensi Linier............................................................................................ 52
MATERI 9 BILANGAN PRIMA.................................................................................55
A...Definisi Bilangan Prima & Bilangan Komposit........................................................ 55
B... Teorema-Teorema......................................................................................................55
MATERI 10 TEOREMA FERMAT............................................................................58
A...Definisi Teorema Fermat..........................................................................................58
B...Generalisasi Metoda Faktorisasi Fermat.................................................................. 58
C...Akibat Teorema Fermat............................................................................................59
D...Teorema “Litle” Fermat............................................................................................59
MATERI 11 TEOREMA EULER............................................................................... 61
A...Fungsi Euler..............................................................................................................61
B...Teorema Euler.......................................................................................................... 62
C...Bukti Teorema Euler................................................................................................ 63
D...Contoh Soal.............................................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 68

v

Materi

A. Mengapa Kita Perlu Membuktikan
Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan secara rinci mengenai
bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove,
dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi
mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain
understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something
beautiful, to construct a large mathematical theory.

To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu
membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang
selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini
banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya
kecurigaan terhadap kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri,
termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana. Kita hanya menggunakan fakta tersebut
karena sudah ada dalam buku (it was in the text), atau karena sudah pernah disampaikan
oleh guru kita.

Memang tidak semua fakta matematika yang dipelajari harus dipahami buktinya. Faktor
kepadatan materi dan keterbatasan waktu masih merupakan kendala klasik yang dihadapi
oleh pengampu matematika. Namun beberapa fakta sederhana pun sering diabaikan
pembuktiannya. Suatu ilustrasi ketika kita mengajar tentang himpunan bilangan real kita
pasti menyampaikan bahwa himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R terpecah
menjadi dua himpunan bagian yang saling asing, yaitu himpunan bilangan rasional Q dan
himpunan bilangan irrasional R/Q.

Sangat mudah dipahami untuk definisi bilangan rasional, tetapi tidak begitu jelas pada
definisi bilangan irrasional. Bilangan irrasional hanya didefinisikan sebagai bilangan real
yang bukan rasional. Pertanyaannya, pernahkah kita membuktikan bahwa 2 , dan e
merupakan bilangan irrasional? Bila bilangan irrasional dapat dicirikan oleh tidak
berulangnya angka-angka desimalnya maka bukti ini bersifat temporer. Misalkan seorang
siswa dapat menunjukkan bahwa 100 digit angka pada bentuk desimal bilangan tidak
berulang maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa irrasional. Tapi begitu ada siswa
lain yang dapat menunjukkan terdapatnya pola pengulangan, misalnya mulai dari digit
ke- 150 maka klaim siswa pertama tadi gugur dan harus disimpulkan bahwa ⇒ rasional.
Kesimpulan siswa pertama di atas didasarkan pada intuisi bukan didasarkan pada metoda
pembuktian yang sahih. Banyak pembuktian yang tidak hanya membuktikan suatu fakta

Modul Teori Bilangan 1

tetapi juga memberikan penjelasan tentang fakta tersebut. Disinilah, pembuktian teorema
berfungsi untuk mendapatkan pemahaman (to gain understanding). Seorang pemenang
medali ”field”, Pierre Deligne meyatakan bahwa

”I would be grateful if anyone who has understood this demonstration would explain it to
me.”

Pernyataan ini mengandung makna bahwa bilamana seseorang dapat menjelaskan
kembali apa yang sudah dijabarkan oleh Pierre Deligne maka dapat dipastikan bahwa
orang tersebut telah memahaminya, mungkin saja penjelasan yang telah disajikan oleh
Pierre ada bagian-bagian yang belum jelas. Terkadang, beberapa orang mempunyai
pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan ini mungkin
berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka
tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari
kelompok lain. Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan
kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran
suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang
lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan
sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka
diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak
pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan
struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada
komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan
sesungguhnya dari matematika (the real beauty of mathematics) terletak pada pola
penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis. Ini tercermin pada
pembuktian teorema. Keberhasilan memformulasikan satu konjektur, kemudian dapat
membuktikannya maka satu masalah dalam matematika terselesaikan. Penelitian
matematika pada level yang lebih lanjut menuntut dihasilkannya suatu teorema baru yang
buktinya dapat diuji oleh orang lain. Berbeda dengan motto PERUM
Pegadaian ”mengatasi masalah tanpa masalah”, maka dalam matematika setiap kali
berhasil memecahkan suatu masalah maka akan muncul masalah baru. Masalah-masalah
baru ini biasanya muncul melalui langkah-langkah dalam pembuktian teorema baik
langsung maupun tidak langsung. Mungkin motto pada PERUM Pegadaian bila
diadaptasikan pada matematika berbunyi sebagai berikut: ”memecahkan masalah dengan
menimbulkan masalah baru”. Masalah dalam matematika tidak bermakna negatif, tapi
malah menambah keindahan dan tantangan orang-orang yang menekuni matematika.

B. Metoda Pembuktian
Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika
selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori fungsi kompleks
diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1. Berangkat dari definisi
dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang
perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan

Modul Teori Bilangan 2

sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk
memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika.

1. Bukti Langsung
Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk
implikasi ⇒ . Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui
atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan
berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan
bahwa pernyataan ⇒ benar dimana diketahui p benar.

Contoh 1:
Buktikan, jika x bilangan ganjil maka 2 bilangan ganjil.

Bukti :
Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai = 2 − 1 untuk suatu bilangan bulat
n. Selanjutnya,
2 = 2 – 1 2 = 4 2 + 4 + 1 = 2 2 2 + 2 + 1 = 2 + 1;

Misalkan, = 2 2 + 2
Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan 2 ganjil.

2. Bukti Tak Langsung
Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi ⇒ ekuivalen dengan nilai
kebenaran kontraposisinya ⇁ ⇒⇁ . Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran
pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

Contoh 2:
Buktikan, jika 2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.

Bukti :
Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena
2ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m.

Selanjutnya = 2 + 1 tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak.
Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini
adalah ”Jika x genap maka genap”.

Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi
dapat ditulis = 2 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

2 = 2 2 = 2 2 2 = 2
Misalkan, m=2n2
yang merupakan bilangan genap.

Modul Teori Bilangan 3

3. Bukti Kosong

Bila hipotesis p pada implikasi ⇒ sudah bernilai salah maka implikasi ⇒
selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p
salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran ⇒

Contoh 3:

Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut : Diberikan dua himpunan A
dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis ⊂ jika pernyataan
berikut dipenuhi : ”jika ∈ maka ∈ ”. Suatu himpunan dikatakan himpunan
kosong jika ia tidak mempunyai anggota.

Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.

Bukti :

Misalkan = suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Kita akan

tunjukkan bahwa pernyataan ”jika ∈ maka ∈ ” bernilai benar. Karena A

himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah karena tidak

mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka
terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika ∈ maka ∈ ”, yaitu ⊂ . Karena B

himpunan sebarang maka bukti selesai.

4. Bukti Trivial
Bila pada implikasi ⇒ , dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu

bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa
q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran ⇒

Contoh 4:

Buktikan, jika < < maka <
+

Bukti :

Karena pernyataan q, yaitu < selalu benar untuk setiap x bilangan real
+

termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis kebenaran pernyataan ini

terbukti.

5. Bukti Dengan Kontradiksi

Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima oleh orang awam.
Dalam membuktikan kebenaran implikasi < kita berangkat dari diketahui dan
< . Berangkat dari dua asumsi ini kita akan sampai pada suatu kontradiksi. Suatu
kontradiksi terjadi bilamana ada satu atau lebih pernyataan yang bertentangan.

Modul Teori Bilangan 4

Contoh pernyataan kontradiksi :
= , − < < dan < < , ”m dan n dua bilangan bulat yang relatif

prime ”dan” m dan n keduanya bilangan genap”.

Contoh 5:
Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah terbuka = [ , ] .

Buktikan maksimum A tidak ada.

Bukti :

Pernyataan ini dapat dinayatakan dalam bentuk implikasi berikut

”jika A := [0,1] maka maksimum A tidak ada.” 1
1 2
= 2 +

< 1 + 1
2 2

= 1 ( + 1) < 1
2

Diperoleh dua pernyataan berikut :

 p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A.

 ada ∈ (yaitu = 1 ( + 1)) yang lebih besar dari p.
2

Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai maksimum adalah

salah, jadi haruslah tidak ada maksimum.

Contoh 6:

Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi persamaan Diophantine
2 − 2 = 1.

Bukti :
Misalkan ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi 2 − 2 = 1 . Maka

pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh
( − )( + ) = 1

Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi bilamana − = 1
dan + = 1 atau − = − 1 dan + = − 1 . Pada kasus pertama akan
dihasilkan = − 1 dan = 0, sedangkan pada kasus kedua dihasilkan = 1 dan
= 0. Hasil pada kedua kasus ini bertentangan dengan hipotesis bahwa x dan y bulat
positif.

Modul Teori Bilangan 5

Bila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti dengan kontraposisi.

Untuk menjelaskan perbedaan kedua metoda ini kita perhatikan struktur pada

keduanya sebagai berikut :
 Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ⇁ , kemudian

membuktikan adanya kontradiksi.
 Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan ⇁ , lalu membuktikan⇁ .

Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan akhirnya sudah
jelas yaitu membuktikan kebenaran :p, sedangkan pada metoda kontradiksi tujuan
akhirnya tidak pasti pokoknya sampai bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita
sampai pada pernyataan :p maka kontradiksi sudah ditemukan. Jadi metoda
kontraposisi merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi.

6. Bukti Eksistensial
Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda
konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda
takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

Contoh 7:
(Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real dengan < maka terdapat
bilangan rasional r dengan < <

Bukti :

Diperhatikan bahwa suatu bilangan real positif. Menurut sifat Archimedes
−

terdapat bilangan asli n sehingga > − . Untuk n ini berlaku

− > 1 (*)

Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari na, dan

berlaku

− 1 ≤ < (**)

Dari (*) dan (**) diperoleh

< ≤ + 1 <
Bentuk terakhir ini dapat ditulis < < , dan dengan membagi semua ruas

dengan n, didapat

< <


dan dengan mengambil = maka bukti Teorema selesai.


Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan langkah-langkah
konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud dapat dinyatakan secara
eksplisit. Ini bukti eksistensial dengan konstruktif. Melalui langkah-langkah

Modul Teori Bilangan 6

pembuktian ini kita dapat membangun algortima untuk melakukan komputasi numerik.

7. Bukti Ketunggalan
Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek,
katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan
bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu
 Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan = , atau
 Misalkan y objek sebarang lainnya dengan ≠ , ditunjukkan adanya suatu
kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti yang
sudah dibahas sebelumnya.

8. Bukti dengan counter example
Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang
cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak
memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.

Contoh 8:
Misalkan ada konjektur berikut :
”Untuk setiap n bilangan asli maka 22 + 1 merupakan bilangan prima”

Bukti :
Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila ditemukan satu
bilangan asli, katakan n0 dan 22 0 + 1 tidak prima (komposit) maka konjektur ini
tidak benar.
Diperhatikan beberapa kasus berikut, untuk = 1 diperoleh bilangan 5, = 2
menghasilkan 17, = 3 menghasilkan 257 dan = 4 menghasilkan 65537.
Keempat bilangan ini prima. Coba perhatikan untuk = 5, diperoleh

225 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417).
Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan (counter example).
Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah.

Contoh menarik lainnya berasal dari kalkulus atau pengantar analisis real. Kita
mengenal dengan baik teorema yang mengatakan bahwa setiap fungsi yang
terdiferensial selalu kontinu. Sebaliknya, apakah setiap fungsi kontinu selalu
terdiferensial ? Kita biasa mengambil fungsi = dan titik 0 = 0 . Jelas f
kontinu di 0 , tetapi tidak terdiferensial di 0 . Jadi kebalikan teorema ini tidak
berlaku.

9. Bukti Dengan Induksi Matematika
Secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatan deduktif.
Tidak dapat dibayangkan bagaimana orang dapat membuktikan kebenaran pernyataan
yang memuat kalimat ”untuk setiap > 0 . . . ”, ”untuk setiap bilangan asli
n . . .”, ”untuk setiap fungsi kontinu f . . .”, dan lain-lain. Tidak mungkin dapat

Modul Teori Bilangan 7

ditunjukkan satu per satu untuk menunjukkan kebenaran pernyataan tersebut. Tapi ada
salah satu pola penalaran pada matematika yang menggunakan prinsip induksi,
biasanya disebut induksi matematika. Prinsip induksi matematika ini adalah untuk
inferensi terhadap pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bilangan
bulat, biasanya himpunan bilangan asli N atau pada himpunan bagian bilangan
asli, 1 ⊂ . Biasanya pernyataan tentang bilangan asli n dinyatakan dengan P(n).

Contoh 9:

Untuk setiap ∈ , berlaku 1 + 2 + 3 + …. . +
1
( + 1)

Diperoleh 2
1
1 :1 = 2 1 1+1

3 :1+ 2+ 3 = 1 3 3+1
2
1
6 :1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 = 2 6 (6 + 1)

Teorema 1.

Misalkan S himpunan bagian dari N yang mempunyai sifat-sifat berikut
(i) 1 ∈
(ii) ∈ ⟹ + 1 ∈ .

= .

Bukti :
Lihat (Bartle dan Sherbet, 1994).
Bila P(n) suatu pernyataan tentang n bilangan asli maka P(n) dapat bernilai benar pada
beberapa kasus atau salah pada kasus lainnya. Diperhatikan P(n) : bahwa n2  2n hanya
benar untuk P(2); P(3); P(4) tetapi salah untuk kasus lainnya. Prinsip induksi
matematika dapat diformulasikan sebagai berikut :
Misalkan untuk tiap n 2 N menyatakan pernyataan tentang n. Jika
(i) P(1) benar,

(ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, maka P(n) benar untuk setiap n N

Kembali kita dituntut membuktikan kebenaran implikasi p  q pada (ii). Di sini kita
perlu membuktikan kebenaran pernyataan P(k+1) dengan diketahui kebenaran P(k).

Contoh 9:
(Ketidaksamaan Bernoulli). Jika x > -1 maka untuk setiap n N berlaku

(1 + x)n  1 + nx: (KB)
Bukti :
Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 kedua ruas pada (KB) menjadi
kesamaan. Diasumsikan berlaku untuk n = k, yaitu berlaku (1+x)k  1+kx.

Modul Teori Bilangan 8

Untuk n = k + 1, diperoleh
(1 + x)k  1 + kx [ diketahui ] (1

+ x)k+1 = (1 + x)k(1 + x)  (1 + kx)(1 + x)
= 1 + (k + 1)x + kx2
 1 + (k + 1)x:

Jadi berlaku untuk n = k + 1. Perhatikan pada baris kedua, kedua ruas dikalikan
dengan (1+ x) suatu bilangan positif karena x > -1. Jadi tanda ketidaksamaan tidak
berubah.
Satu lagi varian metoda induksi adalah dikenal dengan prinsip induksi kuat yang
dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan untuk tiap n  N menyatakan pernyataan tentang n. Jika
(i) P(1) benar,
(ii) jika P(1), P(2),..., P(k) benar maka P(k + 1) benar,
maka P(n) benar untuk setiap n N.

10. Bukti Dua Arah
Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p  q. Ada dua kemungkinan bi-
implikasi bernilai benar p  q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah.
Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p  q dan q  p. Membuktikan
kebenaran bi-implikasi p  q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p  q
dan q  p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau
mungkin dengan kontradiksi.

Contoh 10 :
Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika jumlah angka-angka
pembangunnya habis dibagi sembilan.

Bukti :
Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari pernyataan ini dengan
contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351, 513, 315, 153, maka semuanya habis
dibagi 9. Coba periksa satu per satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat
disajikan dalam bentuk

p = xnxn-1xn-2........2x1 x0
dimana xn  0; xn-1,...,x0 bilangan bulat taknegatif.
Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut :

p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n

Jumlah angka-angka pembangunnya adalah
s = x0 + x1 + x2 +.......+ xn.

Modul Teori Bilangan 9

Pertama dibuktikan (), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s habis dibagi 9.
Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk suatu bilangan bulat k.
Diperhatikan selisih p - s,

p - s = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n – (x0 + x1 + x2 +....... + xn)
= (10 - 1)x1 + (102 - 1)x2 +.......+ (10n - 1)xn

Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan, misalnya ditulis
9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh

9k - s = 9m  s = 9(k - m)
yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan (), yaitu diketahui s habis dibagi 9,
dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan

p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n
= x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 +....... + xn.
= [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)]
s

Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis dibagi 9 maka
terbukti p habis dibagi 9.

Modul Teori Bilangan 10

Materi

Definisi Keterbagian

A. Definisi Keterbagian
Misalkan dan adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat ≠ 0, bilangan bulat
membagi habis bilangan bulat , (ditulis ), jika dan hanya jika ada bilangan bulat k
sehingga = . Jika tidak habis dibagi maka ditulis ∤ .
Contoh :
1. 3 6 karena terdapat bilangan bulat sedemikian hingga 3 = 6, yakni = 2
2. 5 20 karena terdapat bilangan bulat sedemikian hingga 5 = 20, yakni = 4
3. 2 ∤ 9 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 2 = 9
4. 3 ∤ 23 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 3 = 23

Istilah-istilah lain dari habis dibagi adalah
1. membagi habis
2. terbagi habis
3. faktor dari
4. pembagi
5. kelipatan

Jika diketahui bilangan bulat a dan b, ada bilangan bulat k sehingga untuk bilangan bulat
b berlaku = , maka tunggal. Andaikan ada bilangan-bilangan bulat k dan dengan
≠ sedemikian hingga:

= =
1. Karena = dan = maka = .
2. Karena ≠ 0 maka = .
3. Terdapat = yang bertentangan dengan pengandaian bahwa ≠ , maka

pengandaian itu harus diingkar, berarti = atau tunggal.

Jadi, untuk bilangan-bilangan bulat k, sehingga = , dengan bilangan bulat maka
tunggal.
1. Jika = 0 ≠ 0, maka tidak ada bilangan bulat k, sehingga = .
2. Jika = 0 dan = 0, maka tidak tunggal agar berlaku = .
3. Jika ≠ 0 = 0, = 0.

Modul Teori Bilangan 11

Apabila a, b dan k bilangan-bilangan bulat dengan ≠ 0 dan = , maka k disebut
hasil bagi (kosien) oleh . juga disebut faktor dari yang menjadi komplemen atau
dengan singkat dikatakan “ ialah faktor b komplemen ”
Contoh :
a. 4 12 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 12 = 4.3
b. 7 35 karena ada bilangan bulat 5 sehingga 35 = 7.5
c. 6 −36 karena ada bilangan bulat −6 sehingga −36 = 6 −6
d. −3 15 karena ada bilangan bulat −5 sehingga 15 = −3 −5
e. 7 36 karena tidak ada bilangan bulat sehingga 36 = 7

Apabila , ada bilangan bulat k sehingga = . Jika diketahui pula bahwa berarti
ada bilangan bulat m sehingga = , maka mensubstitusikan ( ) pada dalam =
diperoleh = ( ) karena perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat tertutup,
maka (km) adalah sebuah bilangan bulat yang tunggal sehingga .

B. Ciri Habis Dibagi

Berikut ciri bilangan yang dapat dibagi bilangan tertentu :
1. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 2 jika dan hanya jika angka terakhirnya

genap.
Contoh:
a. 312 habis dibagi 2 karena digit terakhirnya genap.
b. 213 tidakhabis dibagi 2 karena digit terakhirnya ganjil.

2. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 2 jika n digit terakhir bilangan tersebut
habis dibagi oleh 2 .
Contoh :
a. 64 habis dibagi 2 karena 4 habis dibagi 2.
b. 124 habis dibagi 4 karena 24 habis dibagi 22 = 4.
c. 2488 habis dibagi 8 karena 488 habis dibagi 23 = 8.

3. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah dari semua
digitnya habis dibagi 3.
Contoh :
a. 624 habis dibagi 3 karenajumlah dari semua digitnya habis dibagi 3.
6 + 2 + 4 = 12 dan 12 habis dibagi 3
b. 425 tidak habis dibagi 3 karenajumlah dari semua digitnya tidak habis dibagi 3.
4 + 2 + 5 = 11 dan 11 tidak habis dibagi 3

4. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua angka habis
dibagi 4.
Contoh :
a. 3132 habis dibagi 4 karena dua digit terakhirnya yakni 32 habis dibagi 4.
b. 2246 tidak habis dibagi 4 karena dua digit terakhirnya yakni 46 tidak habis dibagi 4.

Modul Teori Bilangan 12

5. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya 0
atau 5.
Contoh :
a. 675 dan 780 habis dibagi 5 karena digit terakhirnya 5 dan 0.
b. 576 tidak habis dibagi 5 karena digit terakhirnya bukan 0 atau 5.

6. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 6 jika dan hanya jika jumlah semua
digitnya habis dibagi 3 dan bilangan tersebut harus merupakan bilangan genap.
Contoh :
a. 348 habis dibagi 6 karena jumlah semua digitnya habis dibagi 3 dan bilangan
tersebut harus merupakan bilangan genap.
3 + 4 + 8 = 15 dan 15 habis dibagi 3

7. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 7 jika dan hanya jika bagian satuan dari
bilangan tersebut dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa,
sehingga hasil pengurangan habis dibagi 7.
Contoh:
a. 511 habis dibagi 7 karena bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan
menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa, sehingga hasil pengurangan habis
dibagi 7.
51 − 1 × 2 = 49 dan 49 habis dibagi 7

8. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah dari semua
digitnya habis dibagi 9.
Contoh :
a. 378 habis dibagi 9 karena jumlah dari semua digitnya habis dibagi 9.
3 + 7 + 8 = 18 dan 18 habis dibagi 9
b. 745 tidak habis dibagi 9 karena jumlah dari semua digitnya tidak habis dibagi 9.
7 + 4 + 5 = 16 dan 16 tidak habis dibagi 9.

9. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih digit posisi
ganjil dan posisi genap habis dibagi 11.
Contoh :
a. 6457 habis dibagi 11 karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap habis dibagi
11.
6 + 5 − 4 + 7 = 0 dan 0 habis dibagi 11
b. 4527 tidak habis dibagi 11 karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap tidak
habis dibagi 11.
4 + 2 − 5 + 7 =− 6 dan −6 tidak habis dibagi 11

10. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 12 jika dan hanya jika bilangan tersebut
habis dibagi 3 dan 4.
Contoh :
a. 408 habis dibagi 12 karena bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 4.

Modul Teori Bilangan 13

 4 + 0 + 8 = 12 dan 12 habis dibagi 3
 408 memiliki dua digit terakhir yaitu 08 yang habis dibagi 4

11. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 13 jika dan hanya jika bilangan asal
dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 9 dan hasilnya digunakan untuk
pengurangan dengan bilangan yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 13.
Contoh :
a. 871 habis dibagi 13 karena 87 − 1 × 9 = 78 dan 78 habis dibagi 13.

12. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 15 jika dan hanya jika bilangan tersebut
habis dibagi 3 dan 5.
Contoh :
a. 615 habis dibagi 15 karena bilanga tersebut habis dibagi 3 dan 5.
 6 + 1 + 5 = 12 dan 12 habis dibagi 3
 615 digit terakhirnya 5 maka habis dibagi 5.

13. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 17 jika dan hanya jika bilangan asal
dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 5 dan hasilnya digunakan untuk
pengurangan dengan bilangan yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 17.
Contoh :
a. 697 habis dibagi 17 karena 69 − 7 × 5 = 34 dan 34 habis dibagi 17.

14. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 19 jika dan hanya jika bilangan asal
dipisahkan digit terakhir, kemudian dikalikan 2 dan ditambahkan dengan bilangan
yang dipisahkan tadi dan hasilnya habis dibagi 19.
Contoh :
a. 817 habis dibagi 19 karena 81 + 7 × 2 = 95 dan 95 habis dibagi 19.

15. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 25 jika dan hanya jika dua digit terakhir
habis dibagi 25.
Contoh :
a. 8650 habis dibagi 25 karena dua digit terakhirnya yaitu 50 habis dibagi 25.

16. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 50 jika dan hanya jika dua digit terakhir
habis dibagi 50.
Contoh :
a. 50100 habis dibagi 50 karena dua digit terakhirnya yaitu 100 habis dibagi 50.

17. Suatu bilangan bulat positif N habis dibagi 100 jika dan hanya jika dua digit
terakhirnya 0.
Contoh :
a. 20700 habis dibagi 100 karena duadigit terakhirnya 0.

Modul Teori Bilangan 14

C. Contoh Soal
1. Apakah 693 habis dibagi 7 ?
Penyelesaian :
69 − 3 × 2 = 63 dan 63 habis dibagi 7
Jadi, 693 habis dibagi 7 karena bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan
menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa, sehingga hasil pengurangan habis
dibagi 7.
2. Apakah 27342 habis dibagi 9 ?
Penyelesaian :
2 + 7 + 3 + 4 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9
Jadi, 27342 habis dibagi 9 karena bagian dari bilangan tersebut jika dijumlahkan
hasilnya 18, dan 18 habis dibagi 9.
3. Apakah 542 habis dibagi 2 ?
Penyelesaian :
Perhatikan digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 2. Karena 2 2 maka dapat
disimpulkan bahwa 542 habis dibagi 2.
4. Apakah 11.250 habis dibagi 25 ?
Penyelesaian :
Perhatikan digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 50 dan 50 habis dibagi 25.
5. Apakah 2893 habis dibagi 11 ?
Penyelesaian :
2+9 − 8+3 =0
Karena selisih digit posisi ganjil dan posisi genap habis dibagi 11 maka 2893 habis
dibagi 11.

Modul Teori Bilangan 15

Materi

Teorema Keterbagian

Teorema keterbagian
Adalah cara singkat untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat yang diberikan habis
dibagi oleh pembagi tertentu tanpa melakukan perhitungan pembagian, misalnya bilangan
bulat b akan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a bukan sama dengan dari 0, jika dan
hanya jika ada suatu bilangan bulat x sehingga b tidak sama dengan ax.

A. Algoritma Pembagian
Algoritma ini merupakan batu pijakan pertama dalam mempelajari teori bilangan. Ia
disajikan dalam bentuk teorema berikut.
Jika diberikan bilangan bulat a dan b, dengan b > 0 maka selalu terdapat dengan tunggal
bilangan bulat q dan r yang memenuhi
= + , 0 ≤ < .
Contoh
 Bila = 9 dan = 4 maka diperoleh 9 = 2 × 4 + 1, jadi diperoleh = 2 dan
= 1.
Bila = − 9 dan = 4 maka −9 = − 3 × 4 + 3, jadi diperoleh = − 3 dan
= 3.
 Diberikan a = 12 dan b = 5.
Kita mempunyai beberapa representasi sebagai berikut
12 = 5 × 2 + 2
=5×1+7
= 5 × 3 + ( − 3)

B. Pembagi atau Faktor Persekutuan Terbesar
Suatu keadan khusus pada algoritma pembagian a = qb + r, ketika sisa r = 0. Dalam kasus
ini kita katakan a habis membagi b.

Definisi
Sebuah bilangan bulat b dikatakan terbagi atau habis dibagi oleh bilangan bulat a 6 = 0
jika terdapat bilangan bulat c sehingga = , ditulis | . Notasi | digunakan untuk
menyatakan b tidak habis terbagi oleh a. Jadi 12 terbagi oleh 4 sebab 12 = 4 · 3, tetapi
10 tidak terbagi oleh 3 sebab tidak ada bilangan bulat c sehingga 10 ≠ 3 , atau setiap
bilangan bulat c berlaku 10 ≠ 3 . Dalam kasus ini ditulis 4|12 dan 3|10

Modul Teori Bilangan 16

Untuk setiap , , ∈ berlaku pernyataan berikut :
1. |1 bila hanya bila = ± 1
2. Jika | dan | maka |
3. Jika | dan | maka |
4. | dan | bila hanya bila = ±
5. Bila | dan b 6 = 0 maka | | < | |
6. Bila | dan | maka |( + ) untuk sebarang bilangan bulat x dan y.

Bukti.
1. = ± 1 → |1 jelas, sesuai penjelasan sebelumnya. Sebaliknya, diketahui |1

berarti ada ∈ sehinga 1 = . Persamaan ini hanya dipenuhi oleh dua
kemungkinan berikut: = 1, = 1 atau = − 1, = − 1. Jadi berlaku |1 →
= ± 1. Jadi |1 ↔ = ± 1 terbukti.
2. Diketahui | dan | yaitu ada 1, 2 ∈ sehingga = 1 dan = 2 .
Kedua persamaan ini dikalikan diperoleh = ( 1 2) , yaitu | .
3. Diketahui | dan | yaitu ada 1, 2 ∈ sehingga = 1 dan = 2 .
Substitusi, diperoleh = 2 = 2( 1 ) = ( 1 2 ).
4. Diketahui = 1 dan = 2 . Kedua persamaan dikalikan, diperoleh =
( 1 2)( ). Diperoleh 1, 2 = 1, yakni 1 = 2 = 1 atau 1 = 2 = − 1.
Terbukti = ± .
5. Kita mempunyai = untuk suatu ∈ . Diambil nilai mutlaknya = =

. Karena b 6 = 0 maka ≥ 1, sebab bila tidak seperti ini maka = 0 yang
mengakibatkan = 0 (kontradiksi). Karena itu diperoleh = ≥ .
6. Kita mempunyai relasi = 1 dan = 2 . Untuk sebarang , ∈ berlaku
+ = 1 + 2 = ( 1 + 2 ) yang berarti |( + ).

Pernyataan terakhir teorema ini berlaku juga untuk berhingga banyak bilangan yang

dibagi oleh a, yaitu jika :
| , = 1, · · · , maka |( 1 1 + 2 2 + · · · + )

untuk setiap bilangan bulat 1, 2, · · · , . Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) atau

Greatest Common Divisor (gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi
1. | dan |
2. Jika | dan | maka ≤

Pada definisi ini, kondisi 1 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dan kondisi 2

menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terkecil di antara semua faktor

persekutuan yang ada. Selanjutnya jika d faktor persekutuan terbesar dari a dan b akan

ditulis

= ( , )

Contoh

Modul Teori Bilangan 17

Faktor positif dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12, sedangkan faktor dari 30 adalah 1, 2, 3,5, 6,

10, 15, 30. Jadi faktor persekutuaannya adalah 1, 2, 3, 6. Karena itu disimpulkan
(12, 30) = 6

Berdasarkan definisi FPB sesungguhnya kita cukup mengasumsikan bahwa a dan b

positif, sebab berlaku
( , ) = ( , − ) = ( − , ) = ( − , − )

Penjelasannya, faktor atau pembagi suatu bilangan selalu terjadi secara berpasangan,

satunya positif dan lainnya negatif. Jadi faktor persekutuan dua bilangan selalu sama

tanpa melihat tanda positif atau negatif kedua bilangan tersebut. Akibatnya, faktor

persekutuan terbesarnya juga sama.

Jika a dan b dua bilangan bulat yang keduanya tak nol maka terdapat bilangan bulat x dan

y sehingga

( , ) = +

Dua bilangan a dan b (keduanya tidak nol) dikatakan prima relatif jika ( , ) = 1 .
Pasangan bilangan (3, 5), (5, − 9) dan ( − 27, − 35) adalah beberapa contoh pasangan
bilangan prima relatif. Bilangan a dan b prima relatif bila hanya bila terdapat bulat ,
sehingga + = 1.

Bukti.
Karena a dan b prima relatif maka ( , ) = 1 . Identitas Bezout menjamin adanya
bulat , sehingga 1 = + . Sebaliknya misalkan ada bulat + = 1 .
Dibuktikan ( , ) = = 1 . Karena | dan | maka |( + = 1) , jadi
|1. Karena itu disimpulkan = 1.

Bila = ( , ) maka ( , ) = 1

Berdasarkan identitas Bezout selalu ada x dan y sehingga + = . Dengan

membagi kedua ruas persamaan ini dengan d diperoleh ( + ) = 1 Menurut

teorema sebelumnya disimpulkan / dan / prima relatif. Diketahui ( , ) = 1.

Maka berlaku pernyataan berikut.
1. Jika | dan | maka | .
2. Jika | maka | .

Bukti.
Untuk pernyataan 1, terdapat bilangan bulat r dan s sehingga = = . Karena
diketahui ( , ) = 1 maka dapat ditulis 1 = + untuk suatu bilangan bulat
, . Diperoleh
= •1

= +

Modul Teori Bilangan 18

= +
= +
= +
yaitu | .
Untuk pernyataan 2, dapat ditulis

= · 1 = ( + ) = + .
Karena faktanya | dan diketahui | maka |( + ), yaitu terbukti | .

Contoh.
Untuk sebarang bilangan bulat a, buktikan salah satu dari , + 2, + 4 habis dibagi
oleh 3.

Bukti.
Cara pertama dengan menggunakan algoritma pembagian. Ambil a dan 3, maka ada q dan
r sehingga = 3 + , = 0, 1, 2.
Bila = 0 maka = 3 yaitu |3.
Bila = 1 maka = 3 + 1 ↔ + 2 = 3 + 1 + 2 = 3( + 1), yaitu 3|( +
2).
Bila = 2 maka = 3 + 2 ↔ + 4 = 3 + 2 + 4 = 3( + 2) , yaitu
3|( + 4)

C. Algoritma Euclides
Algoritma Euclides merupakan metoda yang dapat digunakan untuk menentukan FPB
dua bilangan besar dengan cara mereduksinya menjadi bilangan-bilangan lebih kecil.
Algoritma ini bertumpu pada teorema berikut.

Teorema
Jika = + maka ( , ) = ( , ).

Bukti
Berdasarkan Teorema (1.3)(6), setiap faktor persekutuan b dan r juga merupakan faktor
persekutuan + = . Karena = − maka faktor persekutuan a dan b juga
merupakan faktor persekutuan r. Jadi pasangan bilangan a, b dan b, r mempunyai faktor
persekutuan yang sama sehingga mereka mempunyai FPB yang sama.

Algoritma Euclides dapat disajikan sebagai berikut: Misalkan a dan b dua bilangan yang
akan ditentukan FPB nya. Cukup diasumsikan ≥ > 0 , karena tanda positif atau
negatif bilangan a dan b tidak mempengaruhi nilai FPB nya. Dengan algoritma
pembagian, diperoleh q1 dan r1 sehingga

= 1 + 1, 0 ≤ 1 < .

Modul Teori Bilangan 19

Bila 1 = 0 maka ( , ) = , pekerjaan selesai. Bila r1 6 = 0, bagilah b dengan
r1 untuk memperoleh q2 dan r2 yang memenuhi

= 2 1 + 2, 0 ≤ 2 < 1.

Bila 2 = 0 maka ( , ) = 1, pekerjaan selesai. Bila r2 6 = 0, bagilah r1 dengan
r2 untuk memperoleh q3 dan r3 yang memenuhi

1 = 3 2 + 3, 0 ≤ 3 < 2.

Proses ini diteruskan sampai dicapai sisa nol. Bila dirangkum maka akan diperoleh
bentuk berikut

= 1 + 1, 0 < 1 < = 2 1 + 2, 0 < 2 < 1
1 = 3 2 + 3, 0 < 3 < 2 . . .

− 2 = − 1 + , 0 < < − 1 − 1 = + 1 + 0.

Berdasarkan Teorema sebelumnya maka diperoleh tahapan berikut
( , ) = ( , 1) = ( 1, 2) = · · · = ( − 1, ) =
( , 0) = .

Contoh.
Hitunglah FPB dari 1492 dan 1066.

Bukti.
Terapkan algoritma Euclides seperti dijelaskan sebelumnya dengan mengambil
= 1492 dan = 1066, yaitu

1492 = 1 · 1066 + 426
1066 = 2 · 426 + 214
426 = 1 · 214 + 212

214 = 1 · 212 + 2
212 = 106 · 2 + 0
Sisa tak nol yang terakhir adalah 2 sehingga = (1492, 1066) = 2.

D. Kelipatan Persekutuan Terkecil
Misalkan a dan b dua bilangan bulat tidak nol. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) atau
least common divisor (lcm) dari a dan b adalah bilangan bulat positif m yang memenuhi
1. | dan |
2. Bila ada > 0 dengan | dan | maka ≤

Kondisi 1 menyatakan bahwa m adalah kelipatan bersama atau persekutuan dari a dan b.
Kondisi 2 menyatakan bahwa m adalah kelipatan persekutan terkecil diantara semua
kelipatan persekutuan yang ada. Selanjutnya, m adalah KPK dari a dan b akan ditulis
= ( , ).

Modul Teori Bilangan 20

Sebagai contoh kelipatan persekutuan dari −12 dan 30 adalah 60, 120, 180, . . .
sehingga (12, 30) = 60.

Berikut diberikan hubungan antara FPB dan KPK.

Untuk dua bilangan positif a dan b berlaku ( , ) =
gcd(a,b)

Bukti.
Ambil = ( , ) maka dapat ditulis = dan = untuk suatu bilangan

bulat r dan s. Perhatikan pernyataan

yakni m kelipatan persekutuan dari a dan b. Selanjutnya ditunjukkan m ini adalah

kelipatan persekutuan yang paling kecil. Misalkan c kelipatan persekutuan lainnya dari a
dan b. Dapat ditulis = dan = untuk suatu bilangan bulat u dan v. Dengan

identitas Bezout terdapat bulat x dan y yang memenuhi d = ax + by.

Substitusi = diperoleh


yang berarti | . Jadi haruslah ≤ . Jadi m adalah KPK dari a dan b yang memenuhi

Akibat berikut ini memberikan keadaan dimana KPK dua bilangan tidak lain adalah hasil
kali keduanya. Buktinya sederhana, langsung dari teorema sebelumnya.

Contoh.
Tentukan KPK dari 3054 dan 12378 Penyelesaian.
Dihitung dulu FPB dari kedua bilangan ini dengan menggunakan algoritma Euclides

12378 = 4·3054 + 162
3054 = 18 · 162 + 138

162 = 1 · 138 + 24
138 = 5 · 24 + 18

24 = 1 · 18 + 6
18 = 3 · 6 + 0

sehingga diperoleh (3054, 12378) = 6 . berdasarkan teorema di atas maka
diperoleh

Modul Teori Bilangan 21

Setelah melihat pengertian dan sifat-sifat FPB dari dua bilangan maka kita dapat dengan
mudah memperluasnya kepada FPB untuk beberapa bilangan. Prinsipnya sama, yaitu d
dikatakan FPB dari a, b dan c, ditulis = ( , , ) jika d|a, | dan | ; kemudian
jika ada faktor persekutuan lain c maka ≤ .

Sebagai ilustrasi diperhatikan contoh berikut ini.
Dapat diperiksa bahwa (39, 42, 54) = 3 dan (49, 210, 350) = 7.

E. Persamaan Diophatine
Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang
menghabiskan hidupnya di Alexandria, Mesir sekitar tahun 250 Masehi. Persamaan
Diophantine adalah persamaan linier yang memuat beberapa variabel, namun harus
diselesaikan dalam bilangan bulat. Tidak seperti sistem persamaan linier biasa,
persamaan Diophantine variabelnya lebuh banyak daripada persmamaannya. Bentuk
paling sederhananya diberikan oleh
+ =
dimana a, b dan c konstanta bulat yang diberikan.
Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang
memenuhi persamaan ini.

Contoh
Untuk persamaan 3 + 6 = 18 kita dapat menulis dalam beberapa bentuk berikut

3 · 4 + 6 · 1 = 18
3 · ( − 6) + 6 · 6 = 18
3 · 10 + 6 · ( − 2) = 18
Sehingga (4, 1), ( − 6, 6), (10, − 2) merupakan penyelesaiannya. Masih banyak
penyelesaian lainnya, coba temukan! Diperhatikan persamaan 2 + 10 = 17. Adakah
bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini ?. Jawabnya, tidak ada. Dalam kasus
ini kita katakan persamaan 2 + 10 = 17 tidak mempunyai penyelesaian.
Berdasarkan contoh ini persamaan Diophantine dapat mempunyai atau tidak mempunyai
penyelesaian. Dalam kasus ia mempunyai penyelesaian maka penyelesaiannya banyak.
Teorema berikut memberikan syarat perlu dan cukup persamaan Diophantine mempunyai
penyelesaian.

Misalkan a, b dan c bilangan bulat dimana a dan b tidak keduanya nol dan = ( , ).
Maka persamaan Diophantine + = mempunyai penyelesaian jika hanya jika
| ; dalam kasus ini terdapat tak berhingga banyak penyelesaian. Penyelesaian-
penyelesaian ini diberikan oleh

dimana ( 0, 0) merupakan penyelesaian khusus.

Modul Teori Bilangan 22

Bukti.
Perhatikan kembali akibat (1.1), setiap anggota himpunan = { + | , ∈ }
merupakan kelipatan dari = ( , ). Sebaliknya setiap anggota = { | ∈ }
yaitu himpunan kelipatan d merupakan anggota T. Dengan kata lain dapat ditulis = .
Karena diketahui | maka berlaku = ∈ sehingga ∈ . Ini berarti ada , ∈
sehingga + = . Misalkan ( 0, 0) penyelesaian tertentu atau khusus, maka
musti berlaku

0 + 0 =

yakni ( , ) juga penyelesaian untuk setiap ∈ . Selanjutnya ditunjukkan bahwa
hanya ( , ) pada (1.6) yang menjadi penyelesaian persamaan Diophantine. Diperhatikan,
karena + = = 0 + 0 maka diperoleh
( − 0) = − ( − 0) / ( − 0) = − / ( − 0)

Keadaan khusus dimana a dan b prima relatif maka persamaan Diophantine selalu
mempunyai penyelesaian yang diberikan oleh

= 0 + , = 0 − , ∈
dimana ( 0, 0) penyelesaian khususnya.
Berikut diberikan algoritma untuk menentukan penyelesaian persamaan
Diophantine.
1. Hitung = ( , ); dengan cara langsung atau menggunakan algoritma Euclides
2. Bila − maka persamaan Diophantine tidak mempunyai penyelesaian, stop Bila

| , tulis = .
3. Temukan bilangan bulat v dan w sehingga + = . Kedua ruas dikalikan k

diperoleh
+ = ( ) + ( ) = .
Diambil 0 = dan 0 = sebagai penyelesaian khususnya.
4. Gunakan formula (1.6) untuk membangun himpunan semua penyelesaian.

Contoh
Diberikan persamaan Diphantie 172x + 20y = 1000.
1. Selidikilah apakah persamaan ini mempunyai penyelesaian.

Modul Teori Bilangan 23

2. Bila ia mempunyai, tentukan semua penyelesaian tersebut.
3. Tentukan penyelesaian yang bernilai positif.

Penyelesaian.
Pertama selidiki dulu (172, 20), yaitu dengan algoritma Euclides berikut

172 = 8 · 20 + 12
20 = 1 · 12 + 8
12 = 1 · 8 + 4
8 = 2·4 + 0

Sehingga diperoleh (172, 20) = 4. Karena 4|1000 maka persamaan Diphantine ini
dipastkan mempunyai penyelesaian. Tulis 1000 = 250 · 4 . Untuk menentukan
penyelesaian ini digunakan algoritma yang telah diberikan sebelumnya. Dengan cara
berjalan mundur pada algoritma Euclides di atas untuk membentuk identitas Bezout
berikut.
4 = 12 – 8

= 12 − (20 − 1 · 12)
= 2 · 12 − 20
= 2(172 − 8 · 20) − 20
= 2 · 172 + −17 · 20.

Jadi dengan mengalikan kedua ruas dengan 250 diperoleh 500 · 172 + ( −
4250) · 20 = 1000.

Dari sini diambil 0 = 500 dan 0 = − 4250 sebagai penyelesaian khususnya.
Selanjutnya bentuk umum penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan menerapkan
formula maka diperoleh

dimana t bilangan bulat sebarang. Terakhir untuk memilih diantara penyelesaian ini

yang bernilai positif, kita perlu memberikan syarat berikut

500 + 5 > 0
−4250 − 43 > 0
100
Berdasarkan syarat ini diperoleh > − 500 = − 5 untuk syarat pertama dan <

− 4250 =− 98 36 untuk syarat kedua. Jadi t yang memenuhi kedua syarat ini adalah
43 43
= − 99 dan penyelesaian positif yang dimaksud adalah

= 500 + 5( − 99) = 5
= − 4250 − 43( − 99) = 7

Modul Teori Bilangan 24

Modul Teori Bilangan 25

Materi

Algoritma Pembagian

A. Algoritma Pembagian
Algoritma pembagian pada bilangan bulat (Division Algorithm for Integer) merupakan
suatu algoritma (langkah-langkah sistematis) dasar yang dapat digunakan untuk
menentukan sisa pembagian dari dua bilangan bulat positif. Sisa pembagian ini dikenal
juga dengan istilah modulo.

Algoritma Pembagian, mempunyai peranan penting dalam Teori Bilangan.

Teorema.
Diberikan dan dua bilangan asli. Terdapat pasangan bilangan bulat non-
negatif ( , ) secara tunggal sehingga = + dan < . Kita katakan
bahwa adalah hasil bagi dan adalah sisa bagi ketika dibagi oleh .

Untuk membuktikan teorema diatas, kita harus membuktikan dua hal, yaitu eksitensi dari
pasangan ( , ) serta ketunggalannya.

Bukti.

Untuk membuktikan eksistensi, kita pandang tiga kasus

 Kasus pertama, misalkan > , kita bisa ambil = 0 dan = < ; sehingga
, = (0, )

 Kedua, andaikan = , kita bisa ambil = 1 dan = 0 < , sehingga , = (1,0)
 Terakhir, asumsikan < . Terdapat tak hingga kelipatan-kelipatan yang lebih

besar dari , misalkan saja adalah kelipatan yang terkecil yang lebih besar dari ,
yaitu > .

Menurut pengertian dari , maka kelipatan sebelumnya, akan lebih kecil dari .
Atau dengan kata lain − 1 ≤ .
Misalkan = − − 1 . Dengan kata lain = − 1 + dan juga 0 ≤ <
.
Kita dapat memilih pasangan , = ( − 1, ).

Modul Teori Bilangan 26

Dari ketiga kasus tersebut, kita sudah membuktikan eksistensi dari pasangan ( , ) .
Sekarang, akan kita buktikan ketunggalannya.

Misalkan terdapat dua pasangan hasil bagi dan sisa bagi ( 1, 1) dan ( 2, 2). Untuk
membuktikan ketunggalan, harus dibuktikan bahwa ( 1, 1) sama dengan ( 2, 2) ,
sehingga pasangan ( , ) yang memenuhi hanyalah satu (tunggal).

Kembali ke atas, apabila kita punya dua pasangan, artinya kita punya bahwa =
1 + 1 = 2 + 2 dimana 0 ≤ 1, 2 < . Persamaan tersebut kita bisa tulis ulang
menjadi

1 − 2 = 2 − 1

Mengingat kembali definisi keterbagian, persamaan di atas berarti ( 2 − 1) , yaitu
( 2 − 1) merupakan kelipatan . Namun perlu diingat kembali bahwa kita
mempunyai 0 ≤ 1, 2 < sehingga – − 1 ≤ 2 − 1 ≤ ( − 1) . Hanya terdapat
1 kelipatan yang berada diantara –( − 1) dan ( − 1), yaitu 0.
Karena 2 − 1 merupakan kelipatan , maka haruslah 2 − 1 = 0, sehingga 2 = 1.
Dari hasil tersebut kita dapat pula menyimpulkan bahwa 1 = 2 . Artinya adalah
1, 1 = ( 2, 2) , sehingga kita sudah membuktikan ketunggalan dari pasangan
( , ) tersebut.

B. Aplikasi Algoritma Pembagian
Kita ingin mengalihkan fokus kita ke aplikasi dari Algoritma Pembagian ini, bukan ke
bagaimana algoritma ini bekerja. Sebagai ilustrasi pertama, kita ambil contoh ketika =
2, maka kemungkinan sisa bagi adalah = 0 dan = 1. Ketika = 0, maka bilangan
bulat berbentuk = 2 dan kita sebut sebagai bilangan genap; sedangkan saat = 1,
bilangan bulat berbentuk = 2 + 1 dan kita sebut sebagai bilangan ganjil.
Sekarang kita pandang bilangan yang merupakan kuadrat dari , yaitu 2 . Menurut
teorema diatas, 2 mungkin berbentuk (2 )2 = 4 2 = 4 dimana = 2 atau (2 +
1)2 = 4 2 + + 1 = 4 + 1 dimana = 2 + . Hal yang perlu diperhatikan disini
adalah kuadrat dari suatu bilangan asli akan memberikan sisa bagi 0 atau 1 apabila
dibagi oleh 4.

Contoh 1.
Buktikan bahwa kuadrat dari bilangan ganjil selalu berbentuk 8 + 1.

Modul Teori Bilangan 27

Solusi.

Menurut Algoritma Pembagian, setiap bilangan bulat dapat dituliskan dalam salah satu
dari 4 , 4 + 1,4 + 2,4 + 3. Dalam kelompok tersebut, hanya 4 + 1 dan 4 + 3 yang

merupakan bilangan ganjil.
 (4 + 1)2 = 16 2 + 8 + 1 = 8 2 2 + + 1 = 8 + 1,

dimana = 2 2 +
 (4 + 3)2 = 16 2 + 24 + 9 = 8 2 2 + 3 + 1 + 1 = 8 + 1,

dimana = 2 2 + 3 + 1

Contoh 2.

Buktikan bahwa ekspresi ( 2+3) selalu merupakan bilangan bulat untuk semua bilangan
3
asli .

Solusi.
Menurut Algoritma Pembagian, setiap bilangan bulat dapat dituliskan dalam salah satu
dari 3 , 3 + 1,3 + 2.

 Jika = 3 , maka ( 2+3) = 9 2 +2 yang merupakan bilangan bulat
3
( 2+3)
 Jika = 3 + 1 , maka 3 = 3 + 1 3 2 + 2 + 1 yang juga merupakan

bilangan bulat

 Jika = 3 + 2, maka ( 2+3) = 3 + 2 (3 2 + 4 + 2) yang sekali lagi merupakan
3

bilangan bulat

Pada ketiga kasus, kita telah membuktikan bahwa ekspresi ( 2+3) merupakan bilangan
3

bulat, sesuai dengan apa yang diminta.

Modul Teori Bilangan 28

Kekongruenan

A. Definisi dan Sifat Kekongruenan

Definisi 1
Jika m suatu bilangan bulat positif, maka :
a kongruen dengan b modulo m[ditulis ≡ ( )], bila m membagi ( − ).
Jika m tidak membagi ( − ) maka :
dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m [ditulis a b (mod m)].

Contoh.
1. 25 ≡ 1 mod 4 sebab ( − ) terbagi oleh m, (25 − 1) = 24 terbagi oleh 4.
2. 30 ≡ 2 mod 7 sebab ( − ) terbagi oleh m, (30 − 2) = 28 terbagi oleh 7.

Teorema 1.
≡ ( ) bila ada bilangan bulat k sehingga = + .
Bukti.
≡ ( ) bahwa = + .
Dari defenisi : ≡ ( ), bila |( − ). Karena |( − ), maka ada bilangan
bulat k, sehingga ( − ) =

Contoh.
Jika 25 ≡ 4 ( 7) maka :
ada bilangan bulat = 3. yaitu 25 − 4 = 21, 7 = 7. 3

≡ ( ), − = , untuk setiap bilangan bulat k. Karena − = sama
artinya dengan = + .

Contoh.
1. 25 ≡ 4 ( 7), sama artinya dengan 25 = 7. 3 + 4, dimana = 3
2. 20 ≡ 2 ( 9) , sama artinya dengan 20 = 9. 2 + 2 , dimana = 2

Defenisi 2
Jika ≡ ( ) dengan 0 ≤ < , maka r disebut residu terkecil dari a modulo m.
Untuk kekongruenan residu terkecil ini, {0,1,2,3, . . . , ( − 1)}.

Modul Teori Bilangan 29

Contoh.
1. Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1, sebab sisa dari 71 : 2 adalah 1.
2. Residu terkecil dari 71 modulo 3 adalah 2, sebab sisa dari 71 : 3 adalah 2.
3. Residu terkecil dari 34 modulo 5 adalah 4, sebab sisa dari 34 : 5 adalah 4.
4. Himpunan residu terkecil dari modulo 5 adalah {0.1,2,3,4}.
5. Himpunan residu terkecil dari modulo 9 adalah {0.1,2,3,...,9}.
6. Himpunan residu terkecil dari modulo 24 adalah {0.1,2,3,...,23}.

Teorema 2.
Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1,2,3,...,(m - 1).
Bukti.
= + , dengan 0 ≤ < . berarti bahwa − = , yaitu ≡ ( ).

Contoh.
27 ≡ ( 6), tentukan r, jika 0 ≤ < 6 ?
Jawab.
Karena 0 ≤ < 6, maka pilihan untuk r tepat satu diantara 0,1,2,3,4,5,6, yaitu 3.

Kita dapat melihat relasi kekongruenan itu dengan cara yang lain, seperti teorema berikut
ini:

Teorema 3.
Jika ≡ ( ), maka : a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.
Karena ≡ ( ) , maka : ≡ ( ) dan ≡ ( ) , dengan r adalah
residu terkecil modulo m atau 0 ≤ < .
Selanjutnya,
≡ ( ), berarti = + , dan ≡ ( ), berarti = + , untuk
suatu bilangan bulat q dan t, dapat disimpulkan bahwa a dan b memiliki sisa yang sama
jika dibagi m. (Terbukti).

Jika a dan b memiliki sisa yang sama, maka akan ditunjukkan ≡ ( ) .
Misalkan :
a memiliki sisa r jika dibagi m, berarti ≡ + , dan b memiliki sisa r jika dibagi m,
berarti ≡ + , untuk suatu bilangan bulat q dan t, dari kedua persamaan ini
diperoleh:
( − ) = ( – ) + ( − )
( − ) = ( – ).
Karena q dan t adalah suatu bilangan bulat, maka ( − ) adalah suatu bilangan bulat,
berarti bahwa :
|( − ) ≡ ( ). (Terbukti)

Modul Teori Bilangan 30

Himpunan bilangan bulat { 1, 2, 3, . . . , } disebut sistim residu lengkap modulo m,
bila setiap elemennya kongruen modulo m, hanya satu dari 0,1,2, . . , ( − 1)
Contoh.
1. Himpunan 45,9,12,23,24 adalah sistim residu lengkap dari modulo 5, dapat

diperiksa bahwa: 45 ≡ 0 5 , 9 ≡ 1 5 , 12 ≡ 2 5 , 23 ≡
3 5 , 24 ≡ 4( 5)
2. Himpunan {4,3,2,1,0} merupakan suatu sistim residu lengkap modulo 5.
3. Himpunan {5,11,6,1,8,15} bukan merupakan sistim tersidu lengkap modulo 6, sebab
5 ≡ 11 ( 6) yang dua-duanya berada dalam himpunan tersebut.

B. Aplikasi Kekongruenan
Kekongruenan modulo 9 dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran terhadap operasi
aritmetika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan
bulat.
Misalnya, diketahui bahwa :
10.000 − 1 = 9.999 = 9 4 sehingga 10.000 = 1( 9)
1.000 − 1 = 999 = 9 3 sehingga 1.000 = 1( 9)
100 − 1 = 99 = 9 2 sehingga 100 = 1( 9)
10 − 1 = 9 = 9 1 sehingga 10 = 1( 9)

Contoh.
12345 ≡ {10000 + 2000 + 300 + 40 + 5} ( 9)

≡ {1(10000) + 2(1000) + 3(100) + 4(10) + 5} ( 9)
≡ {1(1) + 2(1) + 3(1) + 4(1) + 5} ( 9)
≡ 15 ( 9)
selanjutnya dengan cara yang sama
15 ≡ {10 + 5} ( 9)
≡ {1 + 5} ( 9)
≡ 6 ( 9) , Jadi 12345 ≡ 6 ( 9)

C. Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat
1. Penjumlahan
Teorema.
a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli.
Jika ≡ ( ) dan ≡ ( ), maka + ≡ + ( )
Bukti :
≡ ( ) berarti │( − ) ≡ ( ) berarti │( − ).
Selanjutnya, │( − ) dapat dinyatakan ( − ) = , │ − dapat dinyatakan
− = sehingga ( + )–( + ) = ( + ) atau + ≡ + ( )

Contoh.
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872

Modul Teori Bilangan 31

Penyelesaian.
12345 ≡ 1+2+3+4+5 (mod 9) ≡ 15 (mod 9) ≡ 6 (mod 9)
67890 ≡ 6+7+8+9+0 (mod 9) ≡ 30 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9)
24680 ≡ 2+4+6+8+0 (mod 9) ≡ 20 (mod 9) ≡ 11 (mod 9) ≡ 2 (mod 9)
13579 ≡ 1+3+5+7+9 (mod 9) ≡ 25 (mod 9) ≡ 16 (mod 9) ≡ 7 (mod 9)
12378 ≡ 1+2+3+7+8 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9)

Jadi,12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 ≡ 6+3+2+7+3 (mod 9)≡ 21 (mod 9)≡
12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9) …….. (i)

Sedangkan
130872 ≡ 1+3+0+8+7+2 (mod 9) ≡ 21 (mod 9)≡ 12 (mod 9)

≡ 3 (mod 9)...........(ii)
Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka:
12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872.

2. Perkalian
Teorema.
a, b, c, d, dan m bilangan asli. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ac ≡ bd
(mod m).

Bukti.
a ≡ b (mod m) berarti m│(a-b) c ≡ d (mod m) berarti m│(c-d)
selanjutnya,
m│(a-b) dapat dinyatakan (a - b) = tm (a-b)c = (tm)c => (ac-bc)

= (tc)m ……(i)
m│(c-d) dapat dinyatakan (c-d) = tm (c-d)b = (tm)b => cb-db

= (t b)m ………..................(ii)
Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:
(ac –bc) = (tc)m
(cb-db) = (tb) m+(ac –bd) = (tc+tb) m atau ac ≡ bd (mod m)

Contoh.
12345 x 67890 = 83810250

Penyelesaian.
12345 ≡ 1+2+3+4+5 (mod 9) ≡ 15 (mod 9) ≡ 6 (mod 9)
67890 ≡ 6+7+8+9+0 (mod 9) ≡ 30 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9)

≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345x67890 ≡ 6x3 (mod 9) ≡ 18 (mod 9) ≡ 9 (mod 9)
≡ 0 (mod 9) …….....(i)

Modul Teori Bilangan 32

sedangkan 83810250 ≡ 8+3+8+1+0+2+5+0 (mod 9) ≡ 27 (mod 9)
≡ 18 (mod 9) ≡ 9 (mod 9) ≡ 3 (mod 9) ..........(ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka 12345 x 67890 = 83810250

D. Ciri Habis Dibagi
1. Definisi ciri habis dibagi
Definisi dari ciri habis dibagi adalah jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan
bulat, maka a membagi b. Bilangan bulat c sehingga b = ac. Suatu bilangan
bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu
bilangan bulat p sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x
dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi)
x, atau x adalah kelipatan y.

2. Dalil-dalil ciri habis dibagi
a. Dalil 1
Jika adan b masing-masing habis dibagi p, maka a + b dan a - b habis dibagi p
Diketahui :
a habis dibagi p, b habis dibagi p.
Buktikan!
a + b habis dibagi p
a- b habis dibagi p

Bukti.
a habis dibagi p berarti a= k x p
b habis dibagi p berarti b= m x p,
maka :
a+b = k x p + m x p = (k+m) x p. Jadi a + b habis dibagi p,
a-b= k x p – m x p= (k-m) x p. Jadi a-b habis dibagi p.

b. Dalil 2
Jika a habis dibagi p tetapi b tidak habis dibagi p, Maka a+b dan a–b tidak habis
dibagi p.
Diketahui :
a habis dibagi p,b tidak habis dibagi p
Buktikan!
a+ btidak habis dibagi p
a–b tidak habis dibagi p

Bukti.
a + b tidak habis dibagi p.
Apabila a habis dibagi b, dan b habis dibagi c, maka a habis dibagi c.

Modul Teori Bilangan 33

c. Dalil 3
Buktikan!
a habis dibagi b
b habis dibagi c

Bukti.
a habis dibagi b berarti a = k x b
b habis dibagi c berarti b = m x c
Jadi a= k x (m x c) = (k x m) x c

3. Ciri Habis Dibagi
Bilangan habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian bilangan
tersebut sama dengan 0 tetapi hasil dari pembagiannya adalah bilangan bulat.
Misalnya 10 : 2 = 5 maka 10 habis dibagi 2 karena hasil dari pembagian tersebut
adalah bilangan bulat yaitu 5.
Berikut ini merupakan ciri-ciri bilangan yang habis dibagi.
a. Ciri habis dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi dua apabila nilai angka terakhir dari lambangnya habis
dibagi dua. Bilangan yang habis dibagi 2 adalah bilangan genap yang digit
terakhirnya 0, 2, 4, 6, 8.

Contoh.
Apakah 4796 habis dibagi 2?

Jawaban.
4796790 + 6 = 479 x 10 + 6.
Suku pertama ruas kanan, yaitu 479 x 10, habis dibagi 10. Karena 10 habis dibagi 2,
maka 479 x 10 habis dibagi 2 (dalil III).
Suku kedua, yaitu 6, juga habis dibagi 2. Maka menurut dalil I, 4790 + 6 habis
dibagi 2.
Jadi, 4796 habis dibagi 2.

b. Ciri Habis dibagi 3
Suatu bilangan yang habis dibagi 3 adalah bilangan yang apabila jumlah angka-
angka bilangan tersebut habis dibagi 3.
Contoh.
Apakah 32564892 habis dibagi 3?

Jawaban.
Karena 3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 8 + 9 + 2 = 39, lalu 39 : 3=13.
Jadi, 32564892 habis dibagi 3.

Modul Teori Bilangan 34

c. Ciri Habis dibagi 4
Suatu bilangan habis dibagi 4 apabila 2 bilangan /digit terakhir bilangan tersebut
habis dibagi 4.
Contoh.
Apakah 25879416 habis dibagi 4?

Jawaban.
Karena 2 angka /digit terakhir bilangan tersebut adalah 16, dan 16 habis dibagi 4.
Jadi, 25879416 habis dibagi 4.

d. Ciri Habis dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila angka terakhir lambingnya habis dibagi 5.
Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila lambingnya berakhir dengan angka 0 atau
angka 5.
Contoh.
Apakah 225654580 habis dibagi 5?

Jawaban.
Karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 0, maka 225654580 habis dibagi 5.
Jadi, 225654580 habis dibagi 5.

e. Ciri habis dibagi 6
Suatu bilangan yang habis dibagi 6 adalah apabila jumlah digit-digit bilangan
tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3.
Contoh.
Apakah 1286652 habis dibagi 6?

Jawaban.
Karena 1 + 2 + 8 + 6 + 6 + 5 + 2 = 30, dan 30 habis dibagi 2 (30:2=15)
dan habis dibagi 3 (30:3=10) maka:
1286652 habis dibagi 6.

f. Ciri habis dibagi 7
Suatu bilangan yang habis dibagi 7 adalah bilangan yang apabila satuan bilangan
tersebut dikali 2 lalu menjadi pengurangan bagi bilangan didepannya / sisanya.
Contoh.
Apakah 553 habis dibagi 7?

Jawaban.
Karena satuannya (3) dipisah dan dikali 2 lalu 55– (3 x 2) = 55– 6 = 49,

Modul Teori Bilangan 35

49 habis dibagi 7, maka 553 habis dibagi 7.
Jadi, 553 habis dibagi 7.
g. Ciri habis dibagi 8
Bilangan habis dibagi 8 adalah apabila 3 digit terakhir bilangan tersebut habis
dibagi 8.
Contoh.
Apakah 12360 habis dibagi 8?
Jawaban.
Karena 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8 (360 : 8 = 45),
maka 12360 habis dibagi 8.
Jadi, 12360 habis dibagi 8.
h. Ciri Habis Dibagi 9
Setiap bilangan sama dengan kelipatan sembilan ditambah dengan jumlah nilai
angka-angkanya. Dari dalil tersebut, mengingat dalil I, dapat diturunkan ciri habis
dibagi sembilan yaitu: Suatu bilangan yang habis dibagi sembilan adalah jumlah
semua digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 9.
Contoh.
Apakah 12684591 habis dibagi 9?
Jawaban.
Karena 1 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 9 + 1 = 36, dan 36 habis dibagi 9,
maka 12684591 habis dibagi 9.
Jadi, 12684591 habis dibagi.

Modul Teori Bilangan 36

Faktor Persekutuan Terbesar

A. Pengertian Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor Persekutuan Terbesar atau yang familiar disebut sebagai FPB dari dua bilangan
merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan
tersebut.
Untuk bisa memahami FPB dengan lebih baik, mari kita terlebih dahulu mengenal apa itu
faktor. Dengan memahami konsep faktor, maka kamu dapat dengan mudah mengerjakan
berbagai macam soal-soal Faktor Persekutuan Terbesar.

Apa Itu Faktor ?
Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis sebuah bilangan. Contohnya,
kita ambil sebuah bilangan yaitu 10. Angka 10 ini akan habis dibagi oleh angka apa saja?
Angka 10 bisa habis dibagi oleh 1, 2, 5, dan 10. Sehingga, 1, 2, 5, dan 10 adalah faktor
dari angka 10. Lalu ada lagi yang namanya faktor persekutuan. Faktor persekutuan adalah
faktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Untuk bisa memahaminya, mari
kita perhatikan contoh berikut. Mari kita ambil 2 buah angka, yaitu 12 dan 18. Faktor dari
12 adalah 1,2,3,4,6, dan 12. Sedangkan faktor dari 18 adalah 1,2,3,6,9,dan 18. Kedua
bilangan 12 dan 18 memiliki beberapa faktor yang sama, yaitu 1,2,3, dan 6. Faktor yang
sama inilah yang akan disebut dengan faktor persekutuan.Maka faktor persekutuan
terbesar adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktor
persekutuan lainnya. Untuk menentukan FPB ada beberapa cara yang bisa kamu gunakan.

B. Metode Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Terdapat beberapa metode untuk mencari FPB, yaitu :
1. Menggunakan Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan
FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau
lebih itu.
Contoh.
carilah FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian.
Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Modul Teori Bilangan 37

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPB nya adalah 4
2. Menggunakan Pohon Faktor
Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil
dari 2 atau lebih bilangan.
Contoh.
a. Carilah FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :
Buatlah pohon faktornya,

Sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan yang terkecil adalah 2² =
4
Maka, FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4.
b. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30
Penyelesaian :
Buatlah pohon Faktornya,

Sehingga 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima
kedua pohon faktor.
Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
Maka FPB = 2 X 5 = 10

Modul Teori Bilangan 38

c. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60
Penyelesaian :
Buatlah pohon Faktor,

Sehingga 2 dan 3 merupakan bilangan prima yang sama terdapat faktorisasi prima
dari kedua pohon faktor, dimana pangkat terendah dari 2 adalah 2 dan pangkat
terendah dari 3 adalah 1 sehingga FPB dari kedua bilangan tersebut yaitu 2².3=12

3. Menggunakan Tabel

Cara tabel ini yaitu dengan membagi bilangan yang dicari menggunakan bilangan

prima.

Contoh.

a. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

21 35

37 5

57 1

71 1

FPB = 3

b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54
36 54

Modul Teori Bilangan 39

2 18 27
29 27
33 9
31 3
31 1

FPB = 2 X 3 X 3= 2 X 32 = 18

Untuk contoh a karena hanya bilangan 3 saja yang bisa membagi habis 21 dan 35
maka FPB = 3
Untuk contoh b hanya yang diberi huruf tebal yang bisa bagi habis bilangan di
atasnya saja

c. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120
75 105 120

2 75 105 60
2 75 105 30
2 75 105 15
3 25 35 5
55 7 1
51 7 1
71 1 1
FPB = 3 X 5 = 15

4. Menentukan FPB dengan Menggunakan Algoritma Euclides
Algoritma Euklides adalah penerapan Algoritma berkali-kali sampai menghasilkan
sisa yang sama dengan nol. Algoritma Euklides dapat dinyatakan sebagai berikut:

Teorema.
Diberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0. Jika kita terapkan Algoritma
pembagian berkali-kali maka diperoleh persamaan-persamaan ini.
b = cq1 + r1 0 r1 < c
c = r1q2 + r2 0 r2 < r1
r1 = r2q3 + r3 0 r3 < r2
.
rj-2 = rj-1 + rj 0 rj<rj-1
rj -1 = rjqj+1

FPB b dan c, yaitu (b,c) adalah rj yang merupakan sisa tak nol pada langkah ke – j
dalam proses pembagian diatas.

Modul Teori Bilangan 40

Tentunya, penggunaan metode ini dalam menentukan FPB perlu terlebih dahulu
memahami algoritma di atas. Kesulitan yang sering muncul di SD dan SMP dengan
menggunakan metode faktorisasi prima adalah ketika bilangan itu bilangan yang besar.
Berikut ini akan ditunjukkkan perbandingan penggunaan kedua metode ini dalam
contoh berikut:

Contoh.
Tentukan FPB dari 66 dan 50 dengan Menggunakan Metode Faktorisasi Prima
Menggunakan Metode Algoritma Euklides FPBdari 66 dan 50 adalah 2
Di berikan b = 66 dan c = 50

Berdasarkan Algoritma diatas kita dapat nyatakan:
66 = (50) (1) + 16
50 = (16) (3) + 2
16 = (8) (2) à sisa nol
Sehingga FPB dari 66 dan 50 adalah 2

Penggunaan Algoritma Euklides ini bisa menjadi salah satu alternatif metode dalam
menemukan FPB suatu bilangan, metode ini sangatlah mudah dan tidak terlalu rumit.
Metode ini bisa diperkenalkan di tingkat sekolah dasar dan menengah, namun perlu
diketahui kelemahan metode ini bahwa hanya dapat diberlakukan untuk dua bilangan
saja.

Algoritma ini tidak dapat menentukan KPK tetapi dengan bantuan Algoritma ini FPB
yang sudah ditemukan dapat digunakan untuk membantu kita dalam menentukan KPK
dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema.
Untuk dua bilangan bulat positif sebarang a dan b, berlaku hubungan [a,b](a,b) = a.b
atau dengan kata lain hasil perkalian antara KPK dan FPB sama dengan hasil perkalian
kedua bilangan itu.

Terjemahan teorema ini dapat dipahami apabila FPB suatu bilangan sudah kita ketahui,
sehingga penentuan FPB lebih awal sangatlah penting. Teorema ini dapat dinyatakan
ke dalam bentuk yang berbeda atau dengan kata lain, KPK adalah hasil bagi antara
perkalian dua bilangan a dan b dengan FPB nya.

Dari contoh di atas, kita dapat menentukan KPK dengan menggunakan teorema di atas
yaitu:
KPK dari 66 dan 50
Misalkan a = 66 dan b = 50
a.b = (66) (50) = 3300

Modul Teori Bilangan 41

(a,b) = 2 à diperoleh dari contoh sebelumnya
Catatan : [a,b] artinya KPK dari a dan b dan (a,b) artinya FPB dari a dan b

5. Menentukan KPK dan FPB dengan Menggunakan Metode Faktorisasi Prima
Metode irisan himpunan tampaknya memerlukan waktu yang cukup lama untuk
menyelesaikan masalah FPB jika bilangan-bilangannya mempunyai banyak faktor.
Metode lain, yang mungkin lebih efisien adalah metode faktorisasi prima. Prosedur
untuk menentukan FPB dari dua atau lebih bilangan dengan menggunakan metode
faktorisasi prima ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Untuk menentukan FPB dari
dua buah bilangan, pertama kita tentukan faktorisasi prima dari dua buah bilangan itu,
kemudian ambil faktor-faktor sekutu primanya; FPB adalah hasil kali faktor-faktor
sekutu itu, di mana yang dipilih adalah bilangan dengan pangkat terrendah antara hasil
faktorisasi prima pada bilangan pertama dan pada bilangan kedua. Sebagai ilustrasi
penggunaan metode ini, perhatikan bagaimana mencari FPB (180, 168), pertama-tama
kita tulis :

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
= 22 x 32 x 5

dan
168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7

= 23 x 3 x 7

Kita lihat bahwa 180 dan 168 mempunyai dua faktor sekutu prima, yaitu 2 dan 3.

Faktor-faktor sekutu prima tersebut membagi 180 dan 168. Pembagi-pembagi sekutu
yang masih mungkin adalah 1, 2, 22 , 3, 2 x 3, dan 22 x 3. Dengan demikian, faktor
persekutuan terbesar dari 180 dan 168 adalah 22 x 3.

Bagaimana Jika kita menggunakan metode faktorisasi prima tetapi kedua bilangan
yang akan dicari FPB-nya itu tidak mempunyai faktor-faktor sekutu prima? Sebagai
contoh, kita akan menentukan FPB (4, 9). Kita tahu bahwa 4 dan 9 tidak mempunyai
faktor-faktor sekutu prima. Akibatnya 1 adalah pembagi sekutu yang tunggal, dengan
demikian FPB (4, 9) =1. Bilangan-bilangan seperti 4 dan 9 dengan FPBnya 1 disebut
saling prima (relative prime).

6. Menentukan FPB dengan Metode Irisan Himpunan
Di dalam metode irisan himpunan, kita mendaftar semua bilangan dari himpunan
pembagi positif dari dua bilangan, kemudian kita menentukan himpunan semua
pembagi sekutu, dan akhirnya kita memilih unsur terbesar di dalam himpunan itu.

Contoh 1.
Tentukan FPB dari 20 dan 32.

Modul Teori Bilangan 42

Jawab.
Misalkan kita lambangkan pembagi-pembagi positif 20 dan 32 masing-masing
dengan F20 dan F32.

F20 ={ 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
F32 = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Himpunan pembagi sekutu atau faktor sekutu dari 20 dan 32 di atas adalah
F20 ∩ F32 = {1, 2, 4 }
Karena bilangan terbesar dalam himpunan pembagi sekutu tersebut adalah 4
FPB dari 20 dan 32 adalah 4, ditulis FPB (20 , 32) = 4.
Contoh 2.
Tentukan FPB dari 50, 45, dan 40.
Jawab.
Misalkan kita lambangkan pembagi-pembagi positif dari 50, 45, dan 40 masing-
masing dengan F50, F45, dan F40.
F50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50 }
F45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45 }
F40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
Himpunan pembagi sekutu atau faktor sekutu dari 50, 45, dan 40 di atas adalah
F50 ∩ F45 ∩ F40 = {1, 2, 5 }
Karena bilangan terbesar dalam himpunan pembagi sekutu tersebut adalah 5,
FPB dari 50, 45, dan 40 adalah 5, ditulis FPB (50 , 45 , 40) = 5.

Modul Teori Bilangan 43

Materi

Kelipatan Persekutuan Terkecil

A. Definisi KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah bilangan kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut
yang paling kecil

Definisi 1.
Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. m adalah kelipatan persekutuan dari a
dan b jika dan hanya jika a | m dan b | m.

a|m, def
b|m, def

Nol (0) adalah suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. ab dan –ab masing-masing juga
merupakan suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. Jadi himpunan semua kelipatan
persekutuan bulat positif dari a dan b tidak pernah sama dengan himpunan kosong.

Himpunan semua kelipatan bulat positif dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, …}.

Himpunan semua kelipatan bulat positif dari -9 adalah {9, 18, 27, 36, …}.

Jadi himpunan semua kelipatan persekutuan dari 6 dan -9 adalah {18, 36, 54, 72, …}.
Sehingga kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan -9 adalah 18.

Ingat bahwa dalam himpunan bagian dari himpunan bilangan-bilangan bulat positif selalu
mempunyai anggota terkecil. Sehingga KPK dari setiap dua bilangan bulat selalu ada.

Definisi 2.
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan adalah suatu
bilangan bulat positif m ditulis [a, b] = m, apabila memenuhi:
 a | m dan b | m

a|m, def
b|m, def

 Jika a | c dan b | c maka m ≤ c.

a|c, def

Modul Teori Bilangan 44