Buku Teori Bilangan

b|c, def

m ≤ c. ( c sama dengan kelipatan persekutuan a dan b, tetapi bukan yang terkecil,
sehingga c bisa sama dengan atau lebih besar dari m)

Dalam definisi ini dapat dimengerti bahwa kelipatan dari setiap dua bilangan bulat yang
tidak no; selalu merupakan suatu bilangan bulat positif. Dalam (i) pada definisi itu
mengatakan bahwa masing-masing dari dua bilangan itu membagi kelipatan persekutuan
terkecilnya. Sedangkan (ii) mengatakan bahwa kelipatan persekutuan lainnya tidak lebih
kecil dari KPK dari dua bilangan itu.

Contoh.
[6, 8] = 24, maka 6 | 24 dan 8 | 24.
Kelipatan persekutuan yang lain, misalnya 48, 72, 96, … masing-masing lebih besar dari
24.

B. Teorema KPK

Teorema 1
Jika c adalah suatu kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b, maka
KPK dari a dan b membagi c, yaitu [a, b] | c.

Bukti.
Misalkan [a, b] = m, maka harus ditunjukkan bahwa m | c. Andaikan m | c, maka menurut
logaritma pembagian, ada bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikan hingga:

c = qm + r dengan 0 < r < m

Karena c adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, maka a | c dan b | c.

Karena [a, b] = m maka a | m dan b | m.

a | m maka a | qm dan a | c, maka a | (c – qm ). Ini berarti a | r.

Demikian pula b | m maka b | qm dank arena b | c, maka b | (c – qm). Berarti b | r.

Karena a | r dan b | r maka r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.

Tetapi karena [a, b ] = m dan 0 < r < m, maka hal tersebut tidak mungkin (kontradiksi).

( keterangan: m faktor persekutuan terkecil maka seharusnya r lebih besar atau sama
dengan m)

Modul Teori Bilangan 45

Jadi pengandaian di atas tidak benar, berarti m | c atau [a, b] | c.

Contoh.
Perhatikan bahwa [6, 9] = 18 dan [2.6, 2.9] = [12, 18] = 36.
Tampak bahwa [2.6, 2.9] = 2 [6, 9].

Teorema 2
Jika c > 0, maka [ca, cb] = c[a, b].

Bukti:
Misalkan [a, b] = d, maka a | d dan b | d, sehingga ac | dc dan bc | dc. Hal ini berarti dc
adalah kelipatan persekutuan dari ac dan bc. Dan merupakan teorema 2.12, maka [ac, bc]
| dc.

Karena [ac, bc] adalah suatu kelipatan dari ac, maka [ac, bc] adalah suatu kelipatan dari c.
Misalkan [ac, bc] = mc maka mc | dc, sehingga m | d.

Karena [ac, bc] = mc, maka ac | mc dan bc | mc, sehingga a | m dan b | m, dan menurut
teorema 2.12, maka [a, b] | m, yaitu d | m dank arena m | d, maka d = m.

Sehingga dc = mc, yaitu c[a, b] = [ac, bc].

Contoh.

(1) [105, 45] = [ 15.7, 15.3]

= 15 [7, 3]

= 15. 21

= 315

(2) [18, 30] = [6.3, 6.5]

= 6 [3, 5]

= 6. 15

Modul Teori Bilangan 46

= 90

C. Sifat-Sifat dari KPK
Adapun sifat-sifat dari kelipatan persekutuan terkecil adalah sebagai berikut:
1. Sifat 1
untuk bilangan bulat positif a dan b berlaku:FPB (a,b), KPK (a,b)= ab

Bukti
Misalkan d = FPB(a, b) dan kita tulis a = dr, b = ds untuk bilangan-bilangan bulat r
dan s. Jika m = ab/d maka m = as = rb. Akibatnya adalah
m (positif) adalah suatu kelipatan persekutuan a dan b. Sekarang misalkan c adalah
sebarang bilangan bulat positif yang merupakan kelipatan persekutuan a dan b. c = au
= bv. Sebagaimana kita ketahui, ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi d
= ax + by.

Konsekuensinya, c/m = cd/ab = (c(ax + by))/ab = (c/b)x + (c/a)y = vx + uy
Persamaan ini menyatakan bahwa m c, dan kita dapat menyimpulkan bahwa m c.
Dengan demikian, m = KPK(a, b); Hal ini berarti bahwa
KPK(a, b) = ab/d = ab/FPB(a, b)

2. Sifat 2
Untuk suatu bilangan-bilangan bulat positif a an b, KPK(a, b) = abjika dan hanya jika
FPB(a, b) = 1.

Sifat 2 ini hanya merupakan akibat langsung dari sifat 1.
Sebagai ilustrasi, Karena FPB(3054, 12378) = 6, kita dapat dengan
cepat memperoleh KPK(3054, 12378), yaitu:
KPK(3053, 12378) = 3053.12378 / FPB(3054, 12378)
= 3053.12378 / 6
= 6300402.

Perlu diketahui pula bahwa faktor persekutuan terbesar dapat diperluas untuk lebih
dari dua bilangan bulat. Dalam kasus tiga buah bilangan bulat, a, b, c tak nol, FPB(a, b,
c) didefinisikan sebagai suatu bilangan bulat positif d yang memenuhi:
(i) d adalah faktor dari setiap a, b, c.
(ii) Jika e faktor dari a, b, c, maka e d.

Sebagai ilustrasi, perhatikan bahwa FPB(39, 42, 54) = 3 dan FPB(49, 210, 350) = 1

Modul Teori Bilangan 47

D. Metode untuk Menentukan KPK
Metode untuk menentukan KPK Ada beberapa metode untuk menentukan KPK adalah
sebagai berikut:
1. Metode Irisan Himpunan
Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-
kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian kita tentukan
himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan akhirnya kita pilih
bilangan terkecil dari himpunan itu. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan
q, dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota
himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

Contoh 1
Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab: Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut
adalah K8 dan K12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 Himpunan kelipatan persekutuannya
adalah :K8 = K12 = 240, 480, 720 ….. Karena bilangan terkecil dari K8 C K12 adalah
24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12) = 24.

2. Metode Faktorisasi Prima

Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali terlalu panjang,
khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau lebih bilangan-
bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk menentukan KPK dari
beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi, KPK diperoleh dengan cara
mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih
pangkat yang tertinggi.

Contoh
Tentukan KPK (8 dan 12)
8 = 22 4
12=22 3
Jika m KPK 8m 12 maka m adalah sebuah kelipatan dari 8 dan 4 sebagai faktornya,
juga m adalah kelipatan 12 dan ini harus memuat 22 dan 3 sebagi faktornya. Maka m =
22 x 4x3=48.

3. Alogaritma Euclide

Cara ini sangat berguna untuk mencari KPK dari dua buah bilangan a dan b jika
dengan faktorisasi prima tidak mudah untuk ditemukan

Modul Teori Bilangan 48

Contoh
Tentukan KPK (731, 952),
Jawab:
Dengan menggunakan alogaritma Euclide diperoleh FPB (731, 952)= 17 KPK (731,
952) =(731, 952)= 17 =40936

4. Pembagian dengan bilangan prima

Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat
membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
2 2460
12 30
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua bilangan
prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.
2 24 60
2 12 30
3 6 15
25
KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.

Modul Teori Bilangan 49

Materi

Algoritma Euclide Kongruensi
Linier

A. Algoritma Euclid
 Algoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari FPB dari dua buah bilangan
bulat.
 Euclid, penemu algoritma Euclidean, adalah seorang matematikawan Yunani yang
menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.
 Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m ³n). Algoritma Euclidean
berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.

Teorema 1
Tentukan (a,b) c, maka ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian.

Bukti
Misalkan x dan y adalah bilangan–bilangan bulat yang memenuhi
ax + by = c
d = (a,b)
(d | a dan d | b)
d=|a
d | ax
d|b
d | by
(d | ax dan d | by)
d | (ax + by)
d|c

Jadi,jika d | c, maka bertentangan dengan d = 9a,b) dan d | c, yaitu ax + by = c tidak
mempunyai pemyelesaian.

Contoh 7 persamaan tidak mempunyai penyelesaian
4x + 6y = 7
Jawab:
(4,6) = 2

Teorema 2

Modul Teori Bilangan 50

Ditentukan (a,b) | c, maka persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang tak
hingga banyaknya, yaitu pasangan (x,y) dengan: x = 0 + ( dan y = 0– ( dengan n Є Z
dan (x0,y0) adalah suatu penyelesaian bulat.
Bukti
Misalkan x,y Є Z memenuhi ax + by = c dan d | c
Karena d = ( a,b), maka tentu ada ( 1, 1 Є Z ) sehingga d = 1 + 1
d | c → c = kd ( k Є Z) → c = k ( 1 + 1 ) → c = a ( 1) + b ( 1) →
(c = 1 + 1 atau 1 + 1 = c)

Ternyata dengan mengambil 0 = 1 dan 0 = 1, maka ( 0, 0) memenuhi persamaan,
sehingga ( 0, 0) merupakan satu penyelesaian.
Untuk menunjukkan terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian,
ambil: x = 0 + ( dan y = 0 - ( dengan n Є Z
Jika nilai – nilai x dan y disubstitusikan ke dalam persamaan, maka diperoleh:
ax + by = a { 0 + ( } + b { 0 – ( }

= 0 + a ( + 0 – b (
= 0 + 0 + (a ( – (a ( /n)
ax + by = c

Karena n Є Z, maka terdapat tak hingga banyaknya (x,y) dengan:
x = 0 + ( dan y = 0 – (
dan memenuhi persamaan ax + by = c
Sekarang akan ditunjukkan bahwa setiap penyelesaian dari ax + by = c dalam bentuk:
x = 0 + ( dan y = 0 – (

Misalkan x,y Є Z dan ax + by = c
Karena ax + by + c dan 0 + 0 = c, maka:
a(x – 0) + b(y – 0) = 0
a(x – 0) = b( 0 – y)
( a/d) (x – 0) = ( ( 0 –y)
( a/d) | ( ( 0 – y)
{(a/d)| ( ( 0 – y) dan (a/d , b/d ) = 1}
( a/d)| ( 0 – y)
( a/d)| ( 0 –y)
0 – y = n(a/d)
y = 0 – (n(a/d))
{y = 0 – ( a/d)n dan a(x – 0) = b( 0 – y) }
→ a(x – 0) = b( a/d)n
→ x – 0 = (b/d)n
→ x = 0 + (b/d)n

Modul Teori Bilangan 51

Contoh 1:

4x + 5y = 10

Jawab:

(4,5) = 1 | 10 persamaan mempunyai penyelesaian.

Sesuai dengan dalil Algoritma Euclides, karena (4,5) = 1, maka tentu ada 1 , 1 Є Z
sehingga 4 1 + 5 1 = 1
Karena 5 = 1.4 + 1 atau (4) (-1) + (5)(1) = 1, maka 1 = -1 dan 1 =1

(4)(-1) + (5)(1) = 1

10{(4)(-1) + (5)(1)} = 10.1

4(-10) + 5(10) = 10 (Ingat: 4x + 5y = 10)

jadi, 0 = -10 dan 0 = 10
Penyelesaian persamaan adalah:

x = -10 + 5k dan y = 10 – 4k dengan k Є Z

Contoh 2:
91x + 221y = 1066
Jawab:
221 = 2 . 91 + 39
39 = 221 – 2 . 91
91 = 2 . 39 + 13
13 = 91 – 2 . 39
39 = 3 . 13
(91 . 221) = 13

Karena 1066 = 82 . 13, maka 13 | 1066
13 | 1066 persamaan mempunyai penyelesaian.
Sesuai dengan Dalil: 1 Algoritma Euclides, karena (91,221) = 13, maka tentu ada 1 . 1
Є Z sehingga 91 1 + 22 1 = 13
13 = 91 . 2(39) = 91 . 2(221 – 2 . 91) = 5 . 91 + 22(-2)
13= 5.91 + 221(-2) . 91.5 + 221(-2) = 13
82(91.5 + 221 (-2)) = 82.13
91(410 + 221(-64) = 1066

Jadi 0 = 410 dan 0 = -164
Penyelesaian persamaan adalah x = 410 + 17s dan y = -164 – 7s.s Є Z

B. Cara Kongruensi Linier
Penyelesain persamaan linear dengan menggunakan cara kongruensi melibatkan
penyelesaian kongruensi linear dan system kongruensi linear. Meskipun hasil yang

Modul Teori Bilangan 52

diperoleh mungkin mempunyai bentuk yang berbeda dengan hasil yang diperoleh dengan
menggunakan cara yang lain, sebenarnya hasil itu adalah sama.

Teorema 3.
Persamaan Linear Diophantine

Contoh:
1. 35x + 14y = 91

Jawab:
35x + 14y + 91
14y = 91 – 35x
14y ≡ 91 (mod 35)
14y ≡ 21 ( mod 35)
Karena ( 14,21) = 7 | 35,
maka kongruensi mempunyai penyelesaian:
14y ≡ 21 ( mod 35)
2y ≡ 3 (mod 5)
y ≡ 4 (mod 5)
y = 4 + 5t
35x + 14y = 91
35x = 91 – 14y

= 91 – 14 (4 + 5t)
= 91 – 56 – 70t
= 35 – 70t
x = 1 – 2t
Penyelesaian persamaan adalah:
x = 1 – 2t
y = 4 + 5t

2. 2x + 5y = 11
Jawab:
2x + 5y = 11
5y = 11 - 2x
5y 11 (mod 2)
y 1 (mod 2)
y 1 (mod 2)
y = 1 + 2t
2x +5y = 11
2x = 11 – 5y
2x = 11 – 5 ( 1 + 2t )
2x = 11 -5 -10t
2x = 6 – 10t

Modul Teori Bilangan 53

x = 3 – 5t

Penyelesaian kongruensi adalah

x = 3 – 5t dan y = 1 + 2t

Pengecekan:

Tx y 5y 2x+5y
11
12 3 -4 11
11
2 -7 5 -14

4 -17 9 -34

3. 17x + 13y = 21

Jawab:

17x + 13y = 21

13y = 21 – 17x

13y ≡ 21(mod 17)

13y ≡ 4(mod 17)

Proses penyelesaian:

13y ≡ 4(mod 17) y =17(-1)+4/13 = -1

17z ≡ -4(mod)

4z ≡ -4 (mod 13) z =13 . 0 - 4 / 4= -1

13t ≡ 4(mod 4)

t ≡ 0(mod4) t=0

Proses penyelesaian di atas menunjukkan bahwa:

y ≡ -1(mod 17) ≡ 16(mod 17)

y ≡ 16(mod 17)

y = 16 + 17t

17x = 21 – 13y

17x = 21 – 13(16 + 17t)

= 21 – 208 – 221t

= -187 – 221t

x = -11 – 13t

Penyelesaian persamaan adalah:

x = -11 – 13t

y = 16 + 17t

4. 6x + 15y = 8
Jawab:
6x + 5y = 8
6x = 8 – 15y
6x ≡ 8 (mod 15)
Karena (6,8) = 2 15, maka kongruensi ini tidak mempunyai penyelesaian, berarti
pula persamaan 6x + 15y = 8 mempunyai tidak mempunyai penyelesaian.

Modul Teori Bilangan 54

Materi

Bilangan Prima

A. Definisi
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan tidak
mempunyai factor bulat positif, kecuali 1 dan bilangan bulat itu sendiri, seperti 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, ... .Sedangkan bilangan komposit (tersusun) adalah bilangan bulat positif yang
lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima, seperti 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....
Perhatikan suatu bilangan bulat positif misal 210 maka 210 dapat diuraikan atas factor
faktor prima, yaitu:
210 = 2.3.5.7 atau
210 = 3.7.2.5 atau
210 = 7.3.5.2 atau lainnya.

Perbedaan penguraian dari 210 atas faktor-faktor prima tersebut hanya berbeda pada
urutan faktor-faktor saja. Hal ini merupakan suatu contoh bahwa suatu bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan
prima tertentu. Bentuk perkalian bilangan-bilangan prima itu adalah tunggal. Hal
inisering disebut dengan teorema faktorisasi tunggal.

B. Teorema-Teorema
1. Teorema 1.1
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan
prima.
Bukti :
Ambil sembarang bilangan bulat positif > 1 . Apabila n suatu bilangan prima maka
| , berarti Teorema telah terbukti.

2. Teorema 1.2
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau
bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.
Bukti :
Ambil sembarang bilangan bulat positif > 1. Menurut Teorema 1.1, maka ada suatu
bilangan prima 1 sedemikian hingga 1│ . Sehingga suatu bilangan positif 1 ,
sehingga = 1 1 dengan 1 ≤ 1 ≤

Modul Teori Bilangan 55

Jika 1 = 1, maka = 1 sehingga suatu bilangan prima. Tetapi, jika 1 > 1, maka
ada suatu bilangan prima 2 sedemikian hingga 2 | 1 . Sehingga ada suatu bilangan
positif 2 , sehingga = 2 2 dengan 1 ≤ 2 ≤ 1
Jika 2 = 1, maka 1 = 2 sehingga = 1 2. Berarti teorema terbukti. Maka proses
seperti di atas dapat dilanjutkan sehingga akan berakhir pada = 1 maka diperoleh
= 1 2…. , yaitu bilangan bulat positif > 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian
bilangan-bilangan prima.
Suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan dapat dinyatakan sebagai
perkalian bilangan-bilangan prima mungkin saja diantara faktor-faktor prima tersebut
ada yang sama maka faktor-faktor yang sama dapat ditulis dengan bilangan
berpangkat

Contoh :
5544 = 2.2.2.3.3.7.11 dapat ditulis 5544 = 2³.3².7.11

3. Teorema 1.3
Untuk setiap bilangan komposit , maka terdapat bilangan prima sehingga │ dan
≤ . Jadi jika tidak ada bilangan prima yang dapat membagi dengan ≤
maka adalah bilangan prima.

Contoh :
Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk.
1) 157
2) 221

Jawab:
1) Bilangan-bilangan prima yang ≤ 157 adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada

diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka 157 merupakan
bilangan prima.
2) Bilangan-bilangan prima yang ≤ 221 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13 . Karena 13│221
maka 221 adalah bilangan komposit.

4. Teorema 1.4
Jika p bilangan prima dan │ maka │ atau │ .
Bukti :
Andaikan │ . Karena p prima maka ( , ) = 1 atau ( , ) = . Karena │ maka
( , ) = 1 sehingga │ . Dengan jalan yang sama jika diandaikan │ maka dapat
dibuktikan │ .

Contoh :

Modul Teori Bilangan 56

Tentukan nilai maksimum n sehingga 3 merupakan factor dari 100!
Jawab:
100! = 100 × 99 × 98 × 97 × 96 × … × 3 × 2 × 1
Himpunan bilangan kelipatan 3 ≤ 100 = { 3, 6, 9, … , 99 } ⇒ ada 33
Jelas bahwa 333│100!
Himpunan bilangan kelipatan 32 ≤ 100 = { 9, 18, 27, …, 99} ⇒ ada 10
Himpunan bilangan kelipatan 33 ≤ 100 = { 27, 54, 81} ⇒ada 3
Himpunan bilangan kelipatan 34 ≤ 100 = { 81 } ⇒ada 1
Jumlah 48
Jadi, 348│100, jadi n = 48

Modul Teori Bilangan 57

Teorema Fermat

A. Definisi Teorema Fermat
Teorema Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan
dicetuskan oleh Pierre deFermat pada abad ke – 17. Pierre De Fermat, seorang pengacara
yang juga matematikawan amatir abad ke – 7, sering menulis komentar – komentar
dipinggiran bukunya.Fermat membuat kontribusi penting untuk analisis geometri,
probabilitas, dan optik. Dia terkenal karena Teorema Terakhir Fermat, yang digambarkan
dalam sebuah catatan pinggir salinan Diophantus Arithmetica. Dan yang paling terkenal
sepanjang sejarah adah Teorema Terkahir Fermat (Fermat Last Theorem). Dinamakan
teorema terakhir bukan karena terakhir kali dipublikasikan, namun yang terakhir kali
dibuktikan. Teorema ini tidak berhasil dibuktikan oleh semua matematikawan –
matematikawan dunia selama 357 tahun lebih.

Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor prima yang tidak melebihi

diasumsikan n bulat ganjil. Metoda Fermat didasarkan pada ide penemuan bilangan

bulat x dan y sehingga

= −

= + −

Maka (x + y) dan (x – y) adalah faktor dari n. Sebaliknya bila n = ab, a > b > 1, maka
dapat dituslis :
Karena n ganjil maka a dan b harus ganjil, oleh karena itu dan tak negatif.

B. Generalisasi Metoda Faktorisasi Fermat
Pada metode sebelumnya, bilangan bulat x dan y memenuhi = 2 − 2

Sekarang x dan y lebihumum, yaitucukupmemenuhi
( )

Misalkan = gcd − , = gcd + , |

Apakah d factor sejati, yaitu1 < < ?

Dengan asumsi n = pq, p, q prima dengan p < q maka kemungkinan d adalah

1, p, q atau pq.

2 2 | − ( + )

Lemma euclid p dan q membagi salah satu faktornya. Bila yang terjadi adalah
 − − | − ,

Modul Teori Bilangan 58

 + + |( + ) − ( )
situasi di mana x y (mod n) dikesampingkan. Jadi, d adalah salah satu p atau q.

Contoh :
Kita ingin memfaktorkan n = 2189 dengan memperoleh 5792 182(mod 2189). Hitung gcd
masing-masing?
Penyelesaian :

gcd (579 – 18,2189) = gcd (561,2189)=11
gcd (579 +18,2189) = gcd (597,2189)=199
maka diperoleh 2189=11.199

C. Akibat Teorema Fermat
Bila p prima maka ≡ ( ) untuk sembarang bilangan bulat a.

Bukti :

Ambil sebarang bilangan prima p
 Jika p|a maka jelas terpenuhi ≡ ( ) karena p|a ekuivalen dengan ≡

0 , 0 ≡ 0( )
 Jika ∤ , maka berdasarkan Fermart Little Theorem, diperoleh −1 ≡ 1 .

jika −1 ≡ 1 dikali dengan a pada kedua sisi, maka diperoleh . −1 ≡
. 1 atau ≡

D. Teorema “Litle” Fermat
Misalkan prima dan ∤ . Maka −1 ≡ 1 (mod ).

Bukti:
−1 ≡ 1 ekuivalen dengan |( −1 − 1)

Perhatikan − 1 pertama kelipatan positif dari ; yaitu, bilangan bulat:
, 2 , 3 , …, ( − 1)

Tak satu pun dari angka-angka ini kongruen modulo dengan yang lain, juga tidak

kongruen dengan nol. Jika itu terjadi

≡ 1 ≤ < ≤ − 1
Maka dapat dihapus sehingga diperoleh ≡ (mod ) , yang mana ini tidak mungkin.
Oleh karena itu, himpunan sebelumnya harus bilangan bulat kongruen modulo dengan
1, 2, 3, … , − 1, diambil dalam suatu urutan. Kemudian kalikan semua kongruen ini

bersama-sama, diperoleh
. 2 . 3 …, − 1 ≡ 1.2.3… − 1

Dimana
−1( − 1)! ≡ ( − 1)! ( )

Dengan menghapus ( – 1)! dari kedua sisi (hal ini mungkin dilakukan karena ∤ − 1 !),

maka diperoleh

−1 ≡ 1

Modul Teori Bilangan 59

Teorema fermat memungkinkan pembuktian bahwa bilangan n tertentu adalah komposit

tanpa memfaktorkannya. Teorema kecil fermat dapat diubah dalam pernyataan alternatif,
jika −1 ≢ 1( ) untuk beberapa a dimana ≢ 0( ) maka n adalah komposit.
Teorema kecil fermat mengatakan bahwa jika n adalah bilangan prima maka ≡
. Teorema Euler juga mengatakan bahwa jika p adalah bilangan prima dan a
adalah bilangan bulat, maka ≡ . Selanjutnya, jika pembagi bersama terbesar
dari a dan p adalah 1, maka −1 ≡ 1( ).

Teorema ini tidak menjamin primalitas n bahkan jika n memenuhi kongruensi. Oleh
karena itu, teorema ini tidak berlaku dua arah, namun penguji tersebut mengasumsikan
berlaku. Hal in mengakibatkan munculnya prima-semu (pseudoprime).

Prima-Semu (Pseudoprime)
Sejarah menarik dalam bilangan yang berbentuk 2 − 2 yang diklaim oleh
matematikawan Cina lebih dari 25 abad yang lalu menyatakan bahwa adalah bilangan
prima jika dan hanya jika |2 − 2
Dalam kenyataannya, kriteria ini berlaku untuk semua bilangan bulat ≤ 340;
Sebuah bilangan bulat komposit disebut prima semu jika |2 − 2 Hal ini dapat

menunjukkan bahwa ada tak hingga banyak prima semu, dan empat terkecilnya adalah

341, 561, 645, dan 1105.

Teorema:
Jika adalah prima semu ganjil, maka = 2 − 1 adalah salah satu yang lebih besar.

Bukti:
Karena adalah bilangan komposit, maka dapat ditulis = , dengan 1 < ≤ < .
Diketahui bahwa 2 − 1|2 − 1 atau ekuivalen dengan 2 − 1| , menjadikan
komposit. Berdasarkan hipotesis, 2 ≡ 2( ) atau ekuivalen dengan 2 − 2 =
untuk suatu bilangan bulat .

Selanjutnya 2 −1 = 2 2 −1 −1 = 22 −2 = 2

Menghasilkan:
2 −1 − 1 = 2 − 1
= (2 − 1)(2 −1 + 2 −2 + … + 2 + 1)
= (2 −1 + 2 −2 + … + 2 + 1)
= 0( )

Terlihat bahwa:
2 −1 − 2 ≡ 0 , mengingat adalah prima semu.

Modul Teori Bilangan 60

Teorema Euler

A. Fungsi Euler

Fungsi Euler
Fungsi Euler mendefinisikan (n) untuk ≥ yang menyatakan jumlah bilangan

bulat positif < n yang relatif prima dengan n.

Contoh 1.
Tentukan (20).

Penyelesaian.

Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1 sampai 19. Di antara
bilangan- bilangan tersebut, terdapat (20) = 8 buah yang relatif prima dengan 20,
yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.

Untuk n = 1, 2, …, 10, fungsi Euler adalah

(1) = 0 (6) = 2

(2) = 1 (7) = 6

(3) = 2 (8) = 4

(4) = 2 (9) = 6

(5) = 4 (10) = 4

Jika n prima, maka setiap bilangan bulat yang lebih kecil dari n relatif prima terhadap
n. Dengan kata lain, (n) = n – 1 hanya jika n prima.

Contoh 2.
(3) = 2, (5) = 4, (7) = 6, (11) = 10, (13) = 12, …

Teorema.

Modul Teori Bilangan 61

Jika n = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka
(n) = (p) (q) = (p – 1)(q – 1).

Contoh 3.
Tentukan (21).

Penyelesaian.
Karena 21 = 7  3, (21) = (7) (3) = 6  2 = 12 buah bilangan bulat yang relatif prima
terhadap 21, yaitu 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20.

Teorema.
Jika p bilangan prima dan k > 0, maka  (pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .

Contoh 4.
Tentukan  (16).

Penyelesaian.
Karena (16) = (24) = 24 – 23 = 16 – 8 = 8, maka ada delapan buah bilangan bulat
yang relatif prima terhadap 16, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

B. Teorema Euler
Teorema Euler
Untuk positif integer dan adalah integer dimana gcd , = 1, maka:

Perhatikan bahwa apabila adalah bilangan prima ( ), maka FLT berlaku:

Dalam teori bilangan, Teorema Euler (juga dikenal sebagai Teorema Fermat-Euler
atau Teorema Total Euler) menyatakan bahwa jika m dan a adalah bilangan bulat
positif yang saling koprima, maka a pangkat fungsi phi Euler dari m akan kongruen
dengan satu dalam modulo m. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan sebagai

dengan ( )adalah fungsi phi Euler.
C. Bukti Teorema Euler

Modul Teori Bilangan 62

Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah sistem residu yang tereduksi.

Sistem Residu yang tereduksi (reduced residue system) modulo adalah kumpulan ( )
bilangan integer yang totatif (koprima) dengan dan tidak ada 2 integer yang
mempunyai kelas sisa yang sama.

Contoh 1.

1, 2, 4, 5, 7, 8 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.

Perhatikan bahwa (9) = 6. Jadi, jumlah bilangannya harus 6. .

Perhatikan juga bahwa bilangan-bilangan itu harus koprima dengan 9, dan mempunyai
kelas sisa yang berbeda satu sama lain.

Contoh 2.

-5, 7, 14, 19, 29, 35 adalah sistem residu tereduksi modulo 9. Perhatikan bahwa semua

bilangannya koprima dengan 9.

Tiap bilangan juga memiliki kelas sisa yang berbeda:

-5 4 (mod 9) 7 7 (mod 9) 14 5 (mod 9)

19 1 (mod 9) 29 2 (mod 9) 35 8 (mod 9)

Contoh 3.
1, 5, 7, 11, 13 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena jumlah bilangannya
ada 5, padahal (12) = 4

Contoh 4.
-7, 11, 13, 17 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena -7 dan 17 memiliki
kelas sisa yang sama.

-7 5 (mod 12). 17 5 (mod 12)

Contoh 5.
-7, 11, 13, 51 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena 51 dan 12 bukan
koprima.

Modul Teori Bilangan 63

Teorema.

Jika adalah sistem residu yang tereduksi modulo , dan adalah

integer positif dimana , maka:

juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo .

BUKTI:

(i) Bukti bahwa tiap elemen koprima dengan .

Karena dan , maka .

(ii) Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda.

Asumsikan bahwa ada dua elemen, misalkan dan yang kongruen modulo .

Karena , maka:

Namun, kita tahu bahwa dan inkongruen (karena keduanya berasal dari

sistem residu tereduksi). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
Jadi, dan yang inkongruen modulo n.

Dari poin (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa juga merupakan
sistem residu yang tereduksi modulo . ■

Contoh 6.

1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.

Karena gcd( 3, 8 ) = 1, maka: 3, 9, 15, 21 juga merupakan sistem residu tereduksi
modulo 8.

BUKTI TEOREMA EULER:

Didasarkan pada teorema sebelumnya di atas.

Karena juga merupakan sistem residu tereduksi modulo , maka

Modul Teori Bilangan 64

tentunya sisa residu positif dari adalah dalam

urutan tertentu (acak).

Dengan mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan:

Karena , maka
TERBUKTI. ■

ILUSTRASI BUKTI:
Dari contoh 6, kita tahu bahwa
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
3.1, 3.3 , 3.5 , 3.7 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo
8. Dengan demikian:

3.1 3.3 3.5 3.7 ≡ 3.1.5.7 mod 8

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) ≡ 1 . 3 . 5 . 7 ( 8)
34 (1. 3. 5. 7) ≡ 1 . 3 . 5 . 7 ( 8)
34 = 3 (8) ≡ 1 ( 8)

Modul Teori Bilangan 65

D. Contoh Soal
1. Soal: 1
Tentukan digit terakhir dari .
Jawab:
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga
dibagi 10. Sesuai dengan teorema euler, maka:

Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.

Digit terakhirnya adalah 1. . Jawab:

2. Soal: 2
Berapakah sisa pembagian jika
dibagi
Sesuai teorema Euler,

Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.
Selanjutnya, gunakan cara biasa:

Jadi, sisanya adalah 11.

3. Soal: 3
Tentukan solusi kongruensi dari
. Jawab:
Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo:

Berarti, adalah invers dari modulo .

Modul Teori Bilangan 66

Dengan demikian,

4. Soal: 4
Jika koprima dengan 32760, buktikan bahwa:

Jawab: , maka
Perhatikan bahwa ,

Teorema , maka
Euler menyatakan bahwa:

maka

,

maka

Karena 8, 9, 5, 7, dan 13 semuanya koprima, maka
Terbukti. ■

Modul Teori Bilangan 67

DAFTAR PUSTAKA

Ardinto, Arsadi. 2019. Teorema Euler.

https://mathmagics.wordpress.com/2009/12/19/teorema-euler/. (Diakses pada tanggal

31 Mei 2021 pukul 10:00 WIB).

Linuhung, Nego. 2018. Modul Teori Bilangan.

https://repository.ummetro.ac.id/files/artikel/3e15e1da7e732b76579620d326bca821.

pdf. (Diakses pada tanggal 31 mei 2021 pukul 10:00 WIB).

UNY. 2020. BAB II. http://eprints.uny.ac.id/36907/2/BAB%20II.pdf. (Diakses pada tanggal

31 Mei 2021 pukul 10:00 WIB).

Vionk. 2014. Fungsi Phi Dan Teorema Euler. https://www.slideshare.net/vionk/fungsi-phi-

dan-teorema-euler. (Diakses pada tanggal 31 Mei 2021 pukul 10:00 WIB).

Wikipedia. 2021. Teorema Euler. https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Euler. (Diakses

pada 31 Mei 2021 pukul 10:00 WIB)

Arif Muhammad, dkk. 2009. Pengenalan Teori Bilangan. Makassar: CV. Andira Karya

Mandiri

Ega Gradini, 2017, Mengidentifikasi Bilangan Prima-Semu (Pseudoprime) dalam Pengujian

Primalitas menurut Teorema Kecil Fermat Menggunakan Matematika,

Mengidentifikasi Bilangan Prima, vol 2 no. 2.

Ega Gradini, 2009, Primality Testing, Project Report of MSc in Teaching of Mathematics,

Universitas Sains Malaysia.

Tiro. MA. dkk. 2008 : Pengenalan Teori Bilangan (213-254). Makassar: CV. Andira Karya

Mandiri.

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196008301986031-

SUFYANI_PRABAWANTO/Bilangan_Prima.pdf diakses pada tanggal 6 Juni 2021

pukul 09.15 WIB

http://dinus.ac.id/repository/docs/ajar/6.TeoriBilangan diakses pada tanggal 6 Juni 2021 pukul

09.20 WIB

Sukirman, 1997. Ilmu Bilangan. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.

http://informatika.stei.itb.ac.id/-rinaldi.munir/Matdis/2007-2008/Makalah/MakalahIF2153-

0708-030.pdf

http://hendrydext.blogspot.com/2008/09/persamaan-diophantine.html

https://ansarmath06unm.wordpress.com/2012/06/07/persamaan-linier-diophantine/

Anggimeyliasrs. 2017. KPK (Teori Bilangan).

https://anggimeyliasrs.wordpress.com/2017/01/12/kpk-teori-bilangan/. Diakses pada

17 Mei 2021. Pukul 19.00 WIB

Auliah. 2017. FPB dan KPK Pada Teori Bilangan.

file:///C:/Users/personal/Downloads/pdfcoffee.com_makalah-teori-bilangan-4-pdf-

free.pdf. Diakses pada 17 Mei 2021. Pukul 19.30 WIB

Asep. 2017. Makalah Keterbagian dan FPB.

https://asepkotabakti.blogspot.com/2017/06/makalah-keterbagian-dan-fpb.html?m=1 di akses

pada 19 mei 2021

Kelas pintar. FPB Pengertian dan berbagai cara untuk menghitungnya.

Modul Teori Bilangan 68

https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/fpb-pengertian-dan-berbagai-cara-untuk-
menghitungnya-5506/amp/ di akses pada 19 mei 2021

Mega. 2014.KPK dan FPB.
http://niningmega1.blogspot.com/2014/10/kelipatanpersekutuan-terkecil-kpk-dan.html?m=1

di akses pada 19 mei 2021
Prabawanto. Faktor Persekutuan Terbesar.
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196008301986031-

SUFYANI_PRABAWANTO/Faktor_Persekutuan_Terbesar.pdf di akses pada 19 mei
2021
Nisa, utamy. 2014. Ciri habis dibagi. (online)
http://nissautamycirihabisdibagi13.blogspot.com/2014/02/ciri-habis-dibagi.html. Diakses 19
maret 2021 pukul 20.11 WIB
Wardhani, krisna 2010. Perkongruenan linear.(online) http://krisna8.wordpress.com/2010/11/
24/perkongruenan-linear. Diakses 19 maret 2021 pukul 20.58 WIB
Yahya, A Halim Fathani. 2009 .Uji Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat
dengan Kekongruenan Modulo 9. (online)
http://masthoni.wordpress.com/2009/07/28/uji kebenaran-operasi-aritmetika-pada-bilangan-
bulat-dengan-kekongruenan-modulo-9/. Diakses 19 maret 2021 pukul 21.44 WIB
Siregar, Henny Mustika.2017. Kongruen. (Online). http://siregartika.blogspot.com/. Diakses
19 maret 2021 pukul 22.54 WIB
https://cavemanmath.wordpress.com/2019/07/19/algoritma-pembagian/. Diakses pada 22
April 2021
Muhsetyo, Gatot. 1997. Teori Bilangan. Jakarta : PGSM. http://scholar.google.co.id ›
citations
Sukirman. 2006. Pengantar Teori Bilangan. Yogyakarta : Adhi Publisher.
https://ketpang.ternatekota.go.id/6D_pengantar-teori-bilangan-
sukirman_jWypElSv.pdf
Yao Tung, Khoe. 2008. Memahami Teori Bilangan dengan Mudah dan Menarik. Jakarta: PT
Gramedia Widiasarana Indonesia
https://opac.perpusnas.go.id/DetailOpac.aspx?id=181006
Aulia, Lutfi Nurul. 2012. Makalah Teori Bilangan Keterbagian. http://lutfi-nurul-
aulia.blogspot.com/2012/05/makalah-teori-bilangan-keterbagian.html?m=1. Diakses pada
tanggal 30 Maret 2021 pukul 20:00 WIB.
Mahmudah, Wilda dan Illah Winiati Triyana. 2018. Teori Bilangan. Jawa Timur : Uwais
Inspirasi Indonesia.
Muslihun. 2020. Siap Juara Matematika Panduan Wajib Juara Matematika SD. Jakarta :
Gramedia
Sukarman, Herry. 2001. TeoriBilangan. Jakarta :Universitas Terbuka.
Parwati, Ni Nyoman. 2014. TeoriBilangan. Yogyakarta : GrahaIlmu
Bartle, Robert G and D.R. Sherbet, 1994. Introduction to real analysis, second edition,
John Willey & sons, New York.

Hernadi , Julan. 2008. Metoda Pembuktian Dalam Matematika.Vol.2.
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://media.neliti.com/
media/publications/120715-ID-metoda-pembuktian-dalam-

Modul Teori Bilangan 69

matematika.pdf&ved=2ahUKEwiXgdmy38XvAhXcVTABHa8rDiIQFjAEegQIFxA
C&sqi=2&usg=AOvVaw0JeI7osbkf28_Wmaw78QNg . Diakses pada tanggal 19
Maret 2021 .
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika FMIPA, UAD,
Yogyakarta.
Rinovia S dan Nana Nawawi G, 2005. Materi kuliah Matematika Diskrit, jurusan
matematika ITB, Bandung.

Modul Teori Bilangan 70