CONTOH 6 Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n(3 + 2n). Hitung sebutan pertama dan beza sepunya. The sum of the first n term of an arithmetic progression is given by Sn = n(3 + 2n). Calculate the first term and the common difference. Penyelesaian: Sn = n(3 + 2n) a = S1 = 1[3 + 2(1)] = 5 \ a = 5 S2 = 2[3 + 2(2)] = 14 T2 = S2 – S1 = 14 – 5 = 9 d = T2 – T1 = 9 – 5 \ d = 4 (f) Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 2 (15 – 5n). Hitung sebutan pertama dan beza sepunya. The sum of the first n term of an arithmetic progression is given by Sn = n 2 (15 – 5n). Calculate the first term and the common difference. Sn = n 2 (15 – 5n) a = S1 = 1 2 [15 – 5(1)] = 5 \ a = 5 S2 = 2 2 [15 – 5(2)] = 5 T2 = S2 – S1 = 5 – 5 = 0 d = T2 – T1 = 0 – 5 \ d = –5 CONTOH 7 3, 11 2 , 8, … ialah suatu janjang aritmetik. Cari nilai terkecil bagi n supaya sebutan ke-n adalah lebih daripada 40 untuk kali pertama. 3, 11 2 , 8, … is an arithmetic progression. Find the smallest value of n such that the nth term is greater than 40 for the first time. Penyelesaian: a = 3, d = 11 2 – 3 = 5 2 Tn = a + (n – 1)d . 40 3 + (n – 1)( 5 2 ) . 40 3 + 5 2 n – 5 2 . 40 5 2 n . 40 – 3 + 5 2 5 2 n . 79 2 5n . 79 n . 15.8 \ n = 16 (g) 4, 1, –2, … ialah suatu janjang aritmetik. Cari nilai terkecil bagi n supaya sebutan ke-n adalah kurang daripada –60 untuk kali pertama. 4, 1, –2, … is are arithmetic progression. Find the smallest value of n such that the nth term is less than –60 for the first time. a = 4, d = 1 – 4 = –3 Tn = a + (n – 1)d , –60 4 + (n – 1)(–3) , –60 –3n , –60 – 3 – 4 –3n , –67 n . 22.33 \ n = 23 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 90 BAB 5
(h) Sebiji bola jatuh dari ketinggian 20 m. Setiap kali bola itu melantun ketinggiannya berkurangan 0.3 m. Cari ketinggian lantunan selepas lantunan ke-11. A ball is dropped from a height 20 m. The height of each bounce decreases by 0.3 m. Find the height of bounce after the 11th bounce. 20, 19.7, 19.4, 19.1, … a = 20, d = –0.3 T12 = 20 + 11(–0.3) = 16.7 m (i) Seutas tali dengan panjang 45 m dipotong kepada beberapa bahagian supaya panjang setiap bahagian membentuk suatu janjang aritmetik. Panjang bahagian tali yang terpendek dan terpanjang masing-masing ialah 50 cm dan 4 m. Cari bilangan bahagian tali yang telah dipotong. A piece of string with length 45 m is cut into several pieces such that the length of the pieces forms arithmetic progression. The length of the shortest piece and the longest piece of string is 50 cm and 4 m respectively. Find the number of pieces of strings that are cut. a = 50 cm = 0.5 m, l = 4 m Sn = n 2 [a + l] = 45 n 2 [0.5 + 4] = 45 n = 20 5.2 Janjang Geometri Geometric Progressions NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN Janjang Geometri Geometric progressions Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 91 BAB 5
9. Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah janjang geometri atau bukan. TP 1 Determine whether each of the following is a geometric progression. CONTOH 1 6, –18, 54, –162, … Penyelesaian: T2 T1 = –18 6 = –3 T3 T2 = 54 –18 = –3 T4 T3 = –162 54 = –3 r = –3 (pemalar/Constant) Suatu janjang geometri A geometric progression CONTOH 2 40, 60, 80, 100, … Penyelesaian: T2 T1 = 60 40 = 3 2 T3 T2 = 80 60 = 4 3 T4 T3 = 100 80 = 5 4 r bukan satu pemalar/ r is not a constant Bukan suatu janjang geometri Not a geometric progression (a) 15, −30, 60, −120, … T2 T1 = –30 15 = –2 T3 T2 = 60 –30 = –2 T4 T3 = –120 60 = –2 r = –2 (pemalar/Constant) \ Ini ialah janjang geometri. This is a geometric progression. (b) 2 3 , 4 9 , 6 27, 12 81, … T2 T1 = 4 9 ÷ 2 3 = 2 3 T3 T2 = 6 27 ÷ 4 9 = 1 2 T4 T3 = 12 81 ÷ 6 27 = 2 3 r bukan pemalar./r is not a constant \ Ini bukan janjang geometri. This is not a geometric progression. 10. Nyatakan sebutan pertama dan nisbah sepunya bagi setiap janjang geometri yang berikut. TP 2 State the first term and the common ratio for each of the following geometric progression. CONTOH 1 3, −12, 48, −192, … Penyelesaian: a = 3 r = –12 3 = −4 CONTOH 2 1 16, 1 4 , 1.4, … Penyelesaian: a = 1 16 r = 1 4 1 16 = 16 4 = 4 CONTOH 3 32, −16.8, 48, −4, … Penyelesaian: a = 32 r = –4 8 = − 1 2 (a) 6, −12, 24, −48, … a = 6 r = –12 6 = 2 (b) 64, 16, 4, 1, … a = 64 r = 1 4 (c) 2 3 , 10 3 , 50 3 , 250 3 , … a = 2 3 r = 10 3 2 3 = 10 2 = 5 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 92 BAB 5
11. Tentukan nilai sebutan tertentu bagi janjang geometri yang berikut. TP 3 Determine the value of the specific term for the following geometric progression. CONTOH 1 256, −64, 16, … Cari/ Find T8 . Penyelesaian: a = 256 r = 16 –64 = – 1 4 Tn = arn – 1 T8 = 2561– 1 4 2 8 – 1 = 2561– 1 16384 2 = – 1 64 CONTOH 2 9, 18, 36, … Cari/ Find T10. Penyelesaian: a = 9 r = 18 9 = 2 Tn = arn – 1 T10 = 9(2)10 – 1 = 9(512) = 4608 (a) –6, 18, –54, 162, … ; cari sebutan ke-7. find the 7th term. a = –6, r = 18 –6 = −3 T7 = ar6 = (–6)(−3)6 = –4 374 (b) 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , … ; cari sebutan ke-9. find the 9th term. a = 1 4 , r = 1 8 ÷ 1 4 = 1 2 T9 = ar8 = 1 1 4 21 1 2 2 8 = 1 1 024 12. Hitung bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri yang berikut. TP 3 Calculate the number of terms in each of the following geometric progressions. CONTOH 1 1, –2, 4, –8, …, –512 Penyelesaian: a = 1, r = –2 1 = –2 –512 = (1)(–2)n − 1 (–2)9 = (–2)n – 1 n – 1 = 9 n = 10 CONTOH 2 2, 1, 1 2 , 1 4 , …, 1 64 Penyelesaian: a = 2, r = 1 2 1 64 = (2)1 1 2 2 n − 1 1 128 = 1 1 2 2 n − 1 1 1 2 2 7 = 1 1 2 2 n − 1 n − 1 = 7 n = 8 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 93 BAB 5
(a) 7, 21, 63, 189, …, 1 701 a = 7, r = 21 7 = 3 1 701 = (7)(3)n − 1 243 = (3)n − 1 (3)5 = (3)n – 1 n – 1 = 5 n = 6 (b) 3, −9, 27, –81, …., −6 561 a = 3, r = –9 3 = –3 –6 561 = (3)(–3)n − 1 –2 187 = (–3)n − 1 (–3)7 = (–3)n – 1 n – 1 = 7 n = 8 (c) 0.6, –1.8, 5.4, –16.2, …, –11 809.8 a = 0.6, r = –1.8 0.6 = –3 –11 809.8 = (0.6)(–3)n − 1 –19 683 = (–3)n − 1 (–3)9 = (–3)n – 1 n – 1 = 9 n = 10 (d) 1, 2 3 , 4 9 , 8 27 , …, 32 243 a = 1, r = 2 3 32 243 = (1)1 2 3 2 n − 1 1 2 3 2 5 = 1 2 3 2 n − 1 n – 1 = 5 n = 6 13. Tentukan hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang geometri. TP 3 Determine the sum of the first n terms in a geometric progression. CONTOH 1 256, 64, 16, 4, … (5 sebutan yang pertama) (first 5 terms) Penyelesaian: a = 256, r = 64 256 = 1 4 Sn = a(1 – rn ) 1 – r S5 = 25631 – 1 1 4 2 5 4 1 – 1 4 = 341 Tip r , 1 \ Sn = a(1 – r n ) 1 – r CONTOH 2 7, 42, 252, 1 512, … (7 sebutan yang pertama) (first 7 terms) Penyelesaian: a = 7, r = 42 7 = 6 Sn = a(rn – 1) 1 – r S7 = 7[(6)7 – 1] 6 – 1 = 391 909 Tip r . 1 \ Sn = a(rn – 1) r – 1 (a) –3, 6, –12, 24, … (6 sebutan yang pertama) (first 6 terms) a = –3, r = 6 –3 = −2 Sn = a(1 – r n ) 1 – r S6 = (–3)[1 – (–2)6 ] 1 – (–2) = 63 (b) 0.3, 1.2, 4.8, 19.2, ... (5 sebutan yang pertama) (first 5 terms) a = 0.3, r = 1.2 0.3 = 4 Sn = a(r n – 1) r – 1 S6 = 0.3[(4)5 – 1] 4 – 1 = 102.3 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 94 BAB 5
14. Hitung hasil tambah sebutan tertentu yang berturutan bagi suatu janjang geometri. TP 4 Calculate the sum of specific number of consecutive terms in a geometric progression. CONTOH 1 8, 12, 18, 27, …. (sebutan ke-6 hingga sebutan ke-10) (6th term to 10th term) Penyelesaian: a = 8, r = 12 8 = 1.5 Hasil tambah T6 hingga T10 /Sum of T6 to T10 = S10 – S5 = 8[(1.5)10 – 1] 1.5 – 1 − 8[(1.5)5 – 1] 1.5 – 1 = 58 025 64 – 211 2 = 51 273 64 CONTOH 2 51.2, 12.8, 3.2, 0.8, … (sebutan ke-5 hingga sebutan ke-9) (5th term to 9th term) Penyelesaian: a = 51.2, r = 12.8 51.2 = 1 4 Hasil tambah T5 hingga T9 /Sum of T5 to T9 = S9 – S4 = 51.231 – 1 1 4 2 9 4 1 – 1 1 4 2 – 51.231 – 1 1 4 2 4 4 1 – 1 1 4 2 = 68.2664 – 68 = 0.2664 (a) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , … (sebutan ke-7 hingga sebutan ke-12) (7th term to 12th term) a = 1, r = 1 2 1 = 1 2 Hasil tambah T7 hingga T12 = S12 – S6 = 131 – 1 1 2 2 124 1 – 1 1 2 2 − 131 – 1 1 2 2 6 4 1 – 1 1 2 2 = 4 095 2 048 – 63 32 = 63 2 048 (b) 4, 5, 25 4 , 125 16 , … (sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10) (5th term to 10th term) a = 4, r = 5 4 Hasil tambah T5 hingga T10 = S10 – S4 = 431 5 4 2 10 – 14 5 4 – 1 − 431 5 4 2 4 – 14 5 4 – 1 = 133.01 – 23.06 = 109.95 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 95 BAB 5
15. Tentukan bilangan sebutan, n, bagi janjang geometri yang berikut. TP 4 Determine the number of terms, n, of the following geometric progressions. CONTOH 1 Sn = 1 275, a = 5, r = 2 Penyelesaian: 5[(2)n – 1] 2 – 1 = 1 275 2n = 256 2n = 28 n = 8 CONTOH 2 Sn = 189 16 , a = 6, r = 1 2 Penyelesaian: 631 – 1 1 2 2 n 4 1 – 1 2 = 189 16 1 1 2 2 n = 1 64 1 1 2 2 n = 1 1 2 2 6 n = 6 (a) Sn = 1 107 3 4 , a = 84, r = 3 2 843 1 3 2 2 n – 14 3 2 – 1 = 4 431 4 1 3 2 2 n = 243 32 1 3 2 2 n = 1 3 2 2 5 n = 5 (b) Sn = 21 845 64 , a = 1 64, r = 4 1 64[(4)n – 1] 4 – 1 = 21 845 64 4n = 65 536 4n = 48 n = 8 CONTOH 3 Sn . 1 602, a = 1.5, r = 1.5 Penyelesaian: 1.5[(1.5)n – 1] 1.5 – 1 . 1 602 1.5n . 535 n log10 1.5 . log10 535 n . log10 535 log10 1.5 n . 15.49 n = 16 CONTOH 4 Sn , 2 570, a = 8, r = 2 Penyelesaian: 8[(2)n – 1] 2 – 1 , 2 570 2n , 322.25 n log10 2 , log10 322.25 n , log10 322.25 log10 2 n , 8.33 n = 8 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 96 BAB 5
(c) Sn . 96, a = 4 5 , r = 3 4 5 (3n – 1) 3 – 1 . 96 3n . 241 n log10 3 . log10 241 n . log10 241 log10 3 n . 4.99 n = 5 (d) Sn , 30, a = 23, r = 0.3 23(1 – 0.3n ) 1 – 0.3 , 30 0.3n . 0.087 n log10 0.3 . log10 0.087 n , log10 0.087 log10 0.3 n , 2.028 n = 2 16. Tentukan hasil tambah hingga ketakterhinggaan sesuatu janjang geometri. TP 3 Determine the sum to infinity of a geometric progression. CONTOH 1 100, 50, 25, … Penyelesaian: a = 100, r = 50 100 = 1 2 S∞ = 100 1 – 1 2 = 200 CONTOH 2 150, 60, 24, 9 3 5 , … Penyelesaian: a = 150, r = 60 150 = 0.4 S∞ = 150 1 – 0.4 = 250 (a) 72, 36, 18, 9, … a = 72, r = 36 72 = 1 2 S∞ = 72 1 – 1 2 = 144 (b) 0.51, 0.0051, 0.000051, … a = 0.51, r = 0.0051 0.51 = 0.01 S∞ = 0.51 1 – 0.01 = 17 33 (c) 8, 2, 1 2 , 1 8 , … a = 8, r = 2 8 = 1 4 S∞ = 8 1 – 1 4 = 32 3 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 97 BAB 5
17. Ungkapkan nombor perpuluhan jadi semula berikut dalam pecahan termudah. TP 4 Express the following recurring decimals as a fraction in its simplest form. CONTOH 1 0.5555… Penyelesaian: 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + … a = 0.5, r = 0.05 0.5 = 1 10 S∞ = 0.5 1 – 1 10 = 5 9 CONTOH 2 0.313131…. Penyelesaian: 0.31 + 0.0031 + 0.000031 + … a = 0.5, r = 0.0031 0.31 = 1 100 S∞ = 0.31 1 – 1 100 = 31 99 (a) 0.8888… 0.8 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + … a = 0.8, r = 0.08 0.8 = 1 10 S∞ = 0.8 1 – 1 10 = 8 9 (b) 0.454545… 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + … a = 0.45, r = 0.0045 0.45 = 1 100 S∞ = 0.45 1 – 1 100 = 5 11 (c) 0.132132… 0.132 + 0.000132 + … a = 0.132, r = 0.000132 0.132 = 1 1 000 S∞ = 0.132 1 – 1 1 000 = 44 333 18. Selesaikan masalah berikut yang melibatkan janjang geometri. TP 5 Solve the problems involving geometric progressions. CONTOH 1 Diberi 4p + 7, p + 4 dan –p + 8 adalah tiga sebutan yang berturut-turut bagi janjang geometri, cari nilai-nilai yang mungkin bagi p. Given 4p + 7, p + 4 and –p + 8 are three consecutive terms in a geometric progression, find the possible values of p. Penyelesaian: p + 4 4p + 7 = –p + 8 p + 4 (p + 4)2 = (4p + 7)(–p + 8) p2 + 8p + 16 = –4p2 + 32p – 7p + 56 5p2 – 17p – 40 = 0 (5p + 8)(p – 5) = 0 p = – 8 5 atau p = 5 CONTOH 2 Dalam suatu janjang geometri, Tn = 3n + 1, cari sebutan pertama dan nisbah sepunya. In a geometric progression, Tn = 3n + 1. Find the first term and the common ratio. Penyelesaian: a = T1 = 31 + 1 = 32 = 9 T2 = 32 + 1 = 33 = 27 r = 27 9 = 3 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 98 BAB 5
(a) Diberi m – 4, m dan 5m – 12 adalah tiga sebutan pertama yang positif, bagi janjang geometri, cari nisbah sepunya dan sebutan kelima. Given m – 4, m and 5m – 12 are the first three positive terms in a geometric progression, find the common ratio and the fifth term. m m – 4 = 5m – 12 m m2 = (5m – 12)(m – 4) m2 = 5m2 – 20m – 12m + 48 4m2 – 32m + 48 = 0 m2 – 8m + 12 = 0 (m – 6)(m – 2) = 0 m = 6 atau m = 2 (tidak diterima) or (not accepted) Bila/When m = 6: 2, 6, 18, … r = 6 2 = 3 T5 = 2(3)4 = 162 (b) Dalam suatu janjang geometri, Tn = 2n + 3, cari sebutan pertama dan nisbah sepunya. In a geometric progression, Tn = 2n + 3, find the first term and the common ratio. Tn = 2n + 3 a = T1 = 21 + 3 = 24 = 16 T2 = 22 + 3 = 25 = 32 r = 32 16 = 2 CONTOH 3 Dalam suatu janjang geometri, sebutan kedua ialah –1 dan sebutan kelima ialah 1 27 , cari sebutan pertama dan nisbah sepunya. In a geometric progression, the second term is –1 and the fifth term is 1 27, find the first term and the common ratio. Penyelesaian: T2 = ar = –1 …… (i) T5 = ar 4 = 1 27 …… (ii) (ii) ÷ (i): r3 = – 1 27 r3 = 1– 1 3 2 3 \ r = – 1 3 Gantikan nilai r dalam (i): a1– 1 3 2 = –1 Replace r into (i) \ a = 3 CONTOH 4 Diberi suatu janjang geometri 7, 14, 28, 56, …. Cari nilai terkecil bagi n apabila hasil tambah n sebutan yang pertama adalah lebih daripada 350. Given a geometric progression 7, 14, 28, 56, …. Find the smallest value of n when the sum of the first n terms is greater than 350. Penyelesaian: a = 7, r = 14 7 = 2, 7[(2)n – 1] 2 – 1 . 350 2n . 51 n log10 2 . log10 51 n . log10 51 log10 2 n . 5.672 \ n = 6 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 99 BAB 5
(c) Dalam suatu janjang geometri, sebutan ke-3 ialah 12 dan sebutan ke-7 ialah 192. cari sebutan pertama dan nisbah sepunya. In a geometric progression, the 3rd term is 12 and the 7th term is 192, find the first term and the common ratio. T3 = ar2 = 12 …… (i) T7 = ar6 = 192 …… (ii) (ii) ÷ (i): r 4 = 16 r 4 = (2)4 \ r = 2 Gantikan nilai r dalam (i): a(2)2 = 12 Replace r into (i) \ a = 3 (d) Diberi suatu janjang geometri 16, 24, 36, …. Cari nilai terkecil bagi n di mana hasil tambah n sebutan yang pertama adalah lebih daripada 2 000. Given a geometric progression 16, 24, 36, …. Find the smallest value of n such that the sum of the first n terms is greater than 2 000. a = 16, r = 24 16 = 1.5 16[(1.5)n – 1)] 1.5 – 1 . 2 000 1.5n . 63.5 n log10 1.5 . log10 63.5 n . 10.24 \ n = 11 CONTOH 5 Keuntungan sebuah kedai bertambah 5% setiap tahun. Jika keuntungan kedai itu ialah RM30 000 pada tahun 2011, cari The profit of a shop increases 5% every year. If the profit of the shop is RM30 000 in the year 2011, find (a) keuntungan kedai itu pada tahun 2015, the profit of the shop in the year 2015, (b) jumlah keuntungan kedai itu dari tahun 2011 hingga tahun 2018. the total profit of the shop from the year 2011 to the year 2018. Penyelesaian: a = 30 000, r = 105% = 1.05 Tn = arn (a) T5 = 30 000(1.05)4 = RM36 465.19 (b) Sn = a(r n – 1) r – 1 = (1.05n – 1) 1.05 – 1 S8 = 30 000(1.058 – 1) 1.05 – 1 = RM286 473.27 (e) Jadual menunjukkan keuntungan yang disimpan oleh Encik Zarul pada tiga tahun yang pertama, mulai tahun 2009. Dia tidak membuat sebarang pengeluaran dalam tempoh 10 tahun. Table shows the profit kept by Encik Zarul for the first three years, starting in the year 2009. He will not make any withdrawals in the next 10 years. Pada akhir tahun At the end of year Keuntungan (RM) Profit (RM) 2009 4 000 2010 4 200 2011 4 410 Keuntungan Encik Zarul bertambah bagi tahuntahun berikutnya dan nilai keuntungan pada akhir setiap tahun membentuk suatu janjang geometri. Encik Zarul’s profits increase for the subsequent years and the amount of money at the end of each year forms a geometric progression. (i) Nyatakan nisbah sepunya keuntungannya. State the common ratio for his profit. (ii) Hitung nilai keuntungan pada hujung tahun ke-10. Calculate the amount of his profit at the end of 10 years. (i) r = 4 200 4 000 = 1.05 (ii) T10 = 4 000(1.05)9 = RM6 205.31 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 100 BAB 5
Kertas 1 1. Hasil tambah m sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sm = k + 2 2 (a + 13), dengan keadaan k ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 13 ialah sebutan terakhir. The sum of the first m terms of an arithmetic progression is Sm = k + 2 2 (a + 13), such that k is a constant, a is the first term and 13 is the last term. (b) Ungkapkan k dalam sebutan m. Express k in terms of m. (b) Nyatakan julat nilai k. State the range of values of k. (a) Sn = n 2 (a + l) Sm = k + 2 2 (a + 13) \ m = k + 2 k = m – 2 (b) n > 0 k + 2 > 0 k > –2 2. Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sn = n 2 (18 – 8n). Cari sebutan ke-n. Given that the sum of the first n terms of an arithmetic progression is Sn = n 2 (18 – 8n). Find the nth term. a = T1 = S1 = 1 2 [18 – 8(1)] a = 5 S2 = 2 2 [18 – 8(2)] = 2 T2 = S2 – S1 = 2 – 5 = –3 d = T2 – T1 = –3 – 5 = –8 Tn = 5 + (n – 1)(–8) = 5 + 8 – 8n Tn = 13 – 8n 2019 2017 3. Diberi bahawa sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri melebihi sebutan kedua sebanyak 30a. Cari nilai-nilai nisbah sepunya, r, dengan keadaan a ialah sebutan pertama bagi janjang itu. Given that the third term of a geometric progression exceeds the second term by 30a. Find the values of common ratio, r, where a is the first term of the progression. T2 = ar , T3 = ar2 T3 − T2 = ar2 − ar = 30a r2 − r = 30 r2 − r − 30 = 0 (r − 6)(r + 5) = 0 \ r = 6 , −5 4. Diberi bahawa 2m, 4 dan 6n ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri. Ungkapkan dalam sebutan n, It is given that 2m, 4 and 6n are the first three terms of a geometric progression. Express in terms of n, (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu, the first term and the common ratio of the progression, (b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan janjang itu. the sum to infinity of the progression. (a) 4 2m = 6n 4 2m = 16 6n → a = 8 3n m = 4 3n r = 4 2m = 4 21 4 3n2 = 3n 2 (b) S∞ = a 1 – r = 8 3n 1 – 1 3n 2 2 = 8 3n × 2 2 – 3n = 16 6n – 9n2 2018 PRAKTIS PRAKTIS SPM SPM 5 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 101 BAB 5
5. Sebutan keempat bagi suatu janjang aritmetik ialah 18 dan sebutan kelima ialah 26. The fourth term of an arithmetic progression is 18 and the fifth term is 26. (a) Nyatakan beza sepunya bagi janjang itu. State the common difference of the progression. (b) Hitung hasil tambah 28 sebutan pertama janjang itu. Calculate the sum of the first 28 terms of the progression. (a) d = T5 – T4 = 26−18 = 8 (b) T4 = 18 a + 3d = 18 a + 3(8) = 18 a = 18 – 24 = –6 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] S28 = 28 2 [2(–6) + (28 – 1)(8)] = 14(–12 + 216) = 2856 6. Seutas dawai dengan panjang 6.66 m dipotong kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi tiga sama sisi. Rajah 5.1 menunjukkan tiga buah segi tiga sama sisi yang pertama yang telah dibentuk. A wire with the length of 6.66 m is cut into several pieces. Each piece is to form an equilateral triangle. Diagram 5.1 shows the first three triangles formed. 2 cm 2 cm 5 cm 5 cm 8 cm 8 cm 2 cm 5 cm 8 cm Rajah 5.1 / Diagram 5.1 Berapa buah segi tiga sama sisi yang boleh dibentuk? How many equilateral triangles can be formed? 2019 2015 6, 15, 24, … a = 6 d = 15 – 6 = 9 Sn = n 2 [2(6) + (n – 1)(9)] = 666 n[12 – 9 + 9n] = 1 332 9n2 + 3n – 1 332 = 0 3n2 + n – 444 = 0 (3n + 37)(n – 12) = 0 n = – 37 3 (tidak diterima) atau n = 12 (not accepted) or \ n = 12 12 segi tiga sama sisi boleh dibentuk. 12 equilateral triangles can be formed. 7. Ahmad mempunyai RM60. Dia mula menyimpan RM5 setiap hari. Kumar mempunyai RM48 dan dia mula menyimpan RM7 setiap hari. Selepas berapa harikah jumlah simpanan mereka adalah sama? Ahmad has RM60. He starts to save RM5 each day. Kumar has RM48 and he starts to save RM7 every day. After how many days their savings are the same? Ahmad: a = 60, d = 5 Tn = 60 + (n – 1)5 = 5n + 55 …… 1 Kumar: a = 48, d = 7 Tn= 48 + (n – 1)7 = 7n + 41 …… 2 1 = 2: 5n + 55 = 7n + 41 14 = 2n n = 7 \ Jumlah simpanan mereka sama selepas 7 hari. Their total savings are the same after 7 days. 8. Bryan mengambil masa 1 minit untuk berbasikal sejauh 900 m yang pertama. Dia tidak dapat mengekalkan staminanya, maka bagi setiap 900 m yang berikutnya, dia mengambil 1 10 lebih masa berbanding dengan masa yang diambil untuk 900 m yang sebelumnya. Dia merancang untuk berbasikal sejauh 18 km dalam 30 minit. Adakah dia mampu melakukannya? Tunjukkan pengiraan untuk menyokong jawapan anda. Bryan took 1 minute to cycle the first 900 m. He could not sustain his stamina thus for each subsequent 900 m, he took 1 10 more time as compared to the time he took for the previous 900 m. He planned to cycle a distance of 18 km in 30 minutes. Could he achieve it? Show your calculation to support your answer. 2016 2016 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 102 BAB 5
n = 18 km 900 m = 18 000 m 900 m = 20 Masa yang diambil, dalam s, The time taken, in s, 60, 60 + 1 10(60), 60 + 1 10(60) + 1 10[60 + 1 10(60)], … 60, 66, 72.6, … a = 60, r = 1.1, n = 20 S20 = 60(1.120 – 1) 1.1 – 1 = 3 436.5 saat/ seconds = 57.27 minit/minutes = 57 minit/minutes 16.5 saat/ seconds Bryan tidak mampu melakukannya sebab dia mengambil masa lebih daripada 30 minit untuk berbasikal sejauh 18 km. Bryan could not achieve because he took more than 30 minutes to cycle 18 km. 9. Tiga sebutan berturutan suatu janjang geometri ialah 64, p dan q. Hasil tambah ketiga-tiga sebutan itu ialah 52. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p dan bagi q. Three consecutive terms of a geometric progression are 64, p and q. The sum of these three terms is 52. Find the possible values of p and q. 64, p, q, … p 64 = q p p2 = 64q …… 1 64 + p + q = 52 q = –p – 12 …… 2 2→1: p2 = 64(–p – 12) p2 = –64p – 768 p2 + 64p + 768 = 0 (p + 48)(p + 16) = 0 p = –48 p = –16 q = –(–48) – 12 q = –(–16) – 12 = 36 = 4 \ 64, −48, 36, … atau / or 64, −16, 4, … 2019 10. 18° 22° 26° k° O Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dibahagi kepada 10 sektor. Sudut sektor-sektor itu membentuk suatu janjang dengan sebutan pertama 18°. Nyatakan The diagram above shows a circle with centre O which is divided into 10 sectors. The angles of the sectors form a progression with the first term of 18°. State (a) sama ada janjang itu ialah suatu janjang aritmetik atau janjang geometri, whether the progression is an arithmetic progression or a geometric progression, (b) nilai k, the value of k, (c) hasil tambah semua sebutan dalam janjang itu. the sum of all terms in the progression. (a) 18, 22, 26, k, … Janjang itu ialah janjang aritmetik dengan The progression is an arithmetic progression with a = 18, d = 22 – 18 = 4 (b) T4 = a + 3d k = 18 + 3(4) ∴ k = 30 (c) S10 = 10 2 [2(18) + 9(4)] = 360 atau S10 = 360 (Sudut bagi putaran lengkap suatu bulatan ialah 360°.) (The angle of the complete cycle of a circle is 360°) 11. Esther baru sahaja menamatkan pengajian sarjana muda dan mendapat tawaran kerja daripada 2 buah syarikat. Syarikat A menawarkan gaji permulaan RM40 000 setahun dengan kenaikan tahunan sebanyak 6% daripada gaji pokok. Syarikat B menawarkan gaji permulaan RM36 000 setahun dengan kenaikan tahunan 10% daripada gaji pokok. Esther bercadang untuk memilih syarikat yang menawarkan jumlah pendapatan yang paling tinggi dan menabung sebanyak 25% daripada gajinya untuk melanjutkan pelajaran selepas bekerja selama 7 tahun. 2014 2014 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 103 BAB 5
Praktis SPM Ekstra Syarikat manakah yang patut Esther pilih? Berapakah jumlah tabungan untuk melanjutkan pelajarannya? [Bundarkan jawapan anda kepada RM terhampir] Esther has just completed her studies in bachelor degree and is offered a job in 2 companies. Company A offered her an initial salary of RM40 000 per annum with 6% yearly increment from the basic salary. Company B offered an initial salary of RM36 000 per annum with 10% yearly increment from the basic salary. Esther decided to choose the company which offered higher income and save 25% of her salary for further studies after working for 7 years. Which company should Esther choose? How much total savings she kept for her studies? [Round off your answer to the nearest RM] Syarikat A: a = 40 000, r = 1.06 S7 = 40 000(1.067 – 1) 1.06 – 1 ≈ RM335 754 Syarikat B: a = 36 000, r = 1.1 S7 = 36 000(1.17 – 1) 1.1 – 1 ≈ RM341 538 \ Syarikat B dipilih/Company B is chosen. Jumlah tabungan = RM341 538 × 25% Total savings ≈ RM85 385 12. Diameter batang sepohon pokok bertambah 4% setiap tahun. Diberi bahawa diameter batang pokok itu pada awalnya ialah t cm. Selepas n tahun, diameter batang pokok itu melebihi dua kali ganda daripada diameter awalnya. Cari nilai minimum bagi n. The diameter of the stem of a tree increases 4% every year. Given that the initial diameter of the stem is t cm. After n years, the diameter of the stem is more than two times of its initial diameter. Find the minimum value of n. a = t, r = 104% = 1.04 Tn . 2a, t(1.04)n – 1 . 2t (1.04)n – 1 . 2 log10 (1.04)n – 1 . log10 2 (n – 1) log10 1.04 . log10 2 n . 18.67 \ Nilai minimum/ Minimum value, n = 19 KBAT BUKAN RUTIN Kertas 2 1. Rajah di bawah menunjukkan susunan kuboidkuboid yang mempunyai luas tapak yang sama, 16 cm2 . Diberi tinggi kuboid yang pertama ialah 40 cm dan tinggi setiap kuboid yang berikutnya berkurangan sebanyak 2 cm. [Isi padu kuboid = luas tapak × tinggi] The diagram below shows the arrangement of cuboids with same area of base, 16 cm2. Given that the height of the first cuboid is 40 cm and the height of each subsequent cuboid decreases by 2 cm. [Volume of cuboid = area of base × height] 40 cm 38 cm 36 cm 34 cm 16 cm2 (a) Hitung isi padu, dalam cm3 , kuboid yang ke-9. Calculate the volume, in cm3, of the 9th cuboid. (b) Diberi bahawa jumlah isi padu bagi n kuboid yang pertama ialah 5 280 cm3 . Cari nilai n. It is given that the total volume of the first n cuboids is 5 280 cm3. Find the value of n. Tinggi kuboid membentuk janjang aritmetik: The height of cuboid forms an arithmetic progression: 40, 38, 36, 34, …, dengan a = 40, d = −2 (a) Tinggi kuboid ke-9, T9 = 40 + 8(−2) Height of 9th cuboid = 24 cm Isi padu kuboid ke-9 = 16 × 24 Volume of the 9th cuboid = 384 cm3 (b) Jumlah isi padu bagi n kuboid yang pertama Total volume of the first n cuboids = (16 × 40)+ (16 × 38)+ (16 × 36)+ … + (16 × Tn ) = 16 (40 + 38 + 36 + … + Tn ) = 16 (Sn ) = 163 n 2 (2(40) + (n – 1)(–2))4 = 16(41n – n2 ) Diberi jumlah isi padu bagi n kuboid yang pertama Given the total volume of the first n cuboids = 5 280 cm3 16(41n – n2 ) = 5 280 41n – n2 = 330 n2 – 41n + 330 = 0 (n – 11)(n – 30) = 0 n = 11, 30 \ Ketinggian tidak boleh dalam negatif, maka The height cannot be negative, so n ≠ 30 kerana T30 , 0. Jadi, n = 11. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 104 BAB 5
1. Dinesh menyimpan RMP dalam akaun simpanan tetap pada awal setiap tahun. Faedah sebanyak x% setahun dibayar pada akhir tahun. Faedah yang diperoleh disimpan di dalam akaunnya. Dinesh saves RMP in a fixed deposit account at the beginning of each year. An interest of x% per annum is paid at the end of the year. The interest earned is saved in the account. (a) Tunjukkan bahawa jumlah simpanan, dalam RM, pada akhir tahun ke-n (termasuk faedah pada tahun ke-n) ialah Show that the total savings, in RM, at the end of the nth year (including interest at the nth year) is P11 + 100 x 2311 + x 100 2 n – 14 (b) Diberi P = 50 000 dan x = 6, hitung jumlah simpanan pada akhir tahun ke-8. Given that P = 50 000 and x = 6, calculate the total savings at the end of the 8th year. (a) T1 = P + P1 x 100 2 = P11 + x 100 2 T2 = P11 + x 100 2 × 11 + x 100 2 = P11 + x 100 2 2 T3 = P11 + x 100 2 3 (b) Jumlah simpanan/ Total savings, S8 = 50 000 11 + 100 6 2311 + 6 100 2 8 – 14 = RM524 565.80 2. Sebuah syarikat elektrik menjual 24 buah mesin basuh pada minggu pertama Januari tahun 2018. Penjualan mesin basuh bertambah sebanyak 2 buah setiap minggu. An electric company sells 24 washing machines in the first week of January in 2018. The weekly sales increase by 2 machines per week. (a) Cari bilangan mesin basuh yang dijual pada akhir minggu Disember 2018, Find the number of washing machines sold in the last week of December 2018, (b) Cari jumlah mesin basuh yang dijual pada tahun 2018. Find the total number of washing machine sold in 2018. (c) Bilakah mesin basuh yang ke-150 dijual? When was 150th washing machine sold? (a) 24, 26, 28, … a = 24, d = 2 n = 48 T48 = 24 + 47(2) = 118 (b) S48 = 48 2 (24 + 118) = 3 408 Sn = a(rn – 1) r – 1 = P11 + x 100 2311 + x 100 2 n – 14 1 + x 100 – 1 = P 1 1 + x 100 x 100 2311 + x 100 2 n – 14 = P11 + 100 x 2311 + x 100 2 n – 14 (c) Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] = 150 n[2(24) + (n – 1)2] = 300 n(48 + 2n – 2) = 300 2n2 + 46n – 300 = 0 n2 + 23n – 150 = 0 a = 1, b = 23, c = –150 n = –23 ± √232 – 4(1)(–150) 2(1) Sudut Sudut KBAT KBAT KBAT Ekstra Kuiz 5 n = 5.3 atau –28.3 (tidak diterima /not accepted) Maka, mesin basuh yang ke-150 dijual selepas 5.3 minggu iaitu pertengahan bulan Februari 2018. Thus, the 150th washing machine sold after 5.3 weeks, that is in the middle of February 2018 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 5 Janjang 105 BAB 5
NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN BAB 6 Hukum Linear Linear Law 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear Linear and Non-linear Relations NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN Hubungan linear dan tak linear Linear and non-linear relations 106
BAB 6 1. Berdasarkan jadual nilai yang berikut, lukiskan graf bagi Y melawan X. Seterusnya, tentukan graf yang menunjukkan hubungan linear. Nyatakan sebab anda. TP 3 Based on the following tables of values, draw the graph of Y against X. Hence, determine the graph which shows a graph of linear relation. State your reason. CONTOH 1 X –3 –2 –1 0 1 2 3 Y 17 7 1 –1 1 7 17 Penyelesaian: 1–1 2 3 4 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 –2 –4 –3 –2 0 y x Satu hubungan tak linear kerana graf itu ialah suatu lengkung. A non-linear relation because the graph is a curve. CONTOH 2 X 0 2 4 6 8 Y –1 1 3 5 7 Penyelesaian: 1–1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 0 y x Satu hubungan linear kerana graf itu ialah garis lurus. A linear relation because the graph is a straight line Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 107
BAB 6 (a) X –2 –1 0 1 2 3 Y 11 5 3 5 11 21 Penyelesaian: (b) X 0 2 4 6 8 Y 3 7 11 15 19 Penyelesaian: 1–1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –3 –2 0 y x 1–1 2 3 4 5 76 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 y x Satu hubungan tak linear kerana graf itu satu lengkung. A non-linear relation because the graph is a curve. Satu hubungan linear kerana graf itu satu garis lurus. A linear relation because the graph is a straight line. 2. Tentukan sama ada graf berikut merupakan garis lurus penyuaian terbaik atau bukan. Jika bukan, terangkan. Determine whether the following graphs are lines of best fit. If it is not, explain. TP 3 CONTOH 1 0 y x Ya / Yes CONTOH 2 0 y x Bukan / No Dua titik di atas garis. Two points above the line. CONTOH 3 0 y x Ya / Yes Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 108
BAB 6 (a) x y 0 Ya / Yes (b) x y 0 Ya / Yes (c) x y 0 Bukan / No Dua titik di atas garis. Two points above the line. 3. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following. TP 6 CONTOH Jadual di bawah menunjukkan data bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam suatu eksperimen. The table below shows the data of two variables, x and y, obtained from an experiment. x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y 1.00 1.34 1.79 2.25 2.60 (i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-y, plot y melawan x dan lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 0.2 unit on the x-axis and 2 cm to 0.5 unit on the y-axis, plot y against x and draw the straight line of best fit. (ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik. Hence, determine the equation of the straight line of best fit. (iii) Daripada graf di (i), cari nilai y apabila x = 0.5. From the graph in (i), find the value of y when x = 0.5. Penyelesaian: (i) x y 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.2 0.4 0.6 0.8 (ii) m = 2.60 – 1.00 0.8 – 0 = 2 c = 1 \ y = 2x + 1 (iii) Berdasarkan graf, apabila x = 0.5, y = 2 Based on the graph, when x = 0.5, y = 2 • Garis lurus mesti menyilang paksi-y. The straight line has to intersect the y-axis. • Pilih dua titik yang terletak pada garis lurus untuk mengira kecerunan. Choose any two points on the straight line to find its gradient. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 109
BAB 6 (a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam satu eksperimen. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. x 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y 0.98 0.81 0.60 0.39 0.21 0 (i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-y, plot y melawan x dan lukis garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 0.1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the y-axis, plot y against x and draw the straight line of best fit. (ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik. Hence, determine the equation of the straight line of best fit. (iii) Daripada graf di (i), cari nilai y apabila x = 0.24. From graph in (i), find the value of y when x = 0.24. (a) (i) x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.92 1.0 1.2 0.1 0.2 0.24 0.3 0.4 1.4 0.5 0.6 0.7 (ii) m = 1.2 – 0 0.1 – 0.7 = –2 c = 1.4 y = –2x + 1.4 (iii) Daripada graf, apabila x = 0.24. Maka, y = 0.92 From the graph, when x = 0.24. Thus, y = 0.92 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 110
BAB 6 (b) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam suatu eksperimen. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. x 1 2 2.5 3 4 5 y –0.03 0.12 0.19 0.28 0.42 0.57 (i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-y, plot y melawan x dan lukis garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.1 unit on the y-axis, plot y against x and draw the straight line line of best fit. (ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik. Hence, determine the equation of the straight line of best fit. (iii) Daripada graf di (i), cari nilai x apabila y = 0.36. From graph in (i), find the value of x when y = 0.36. (b) (i) x y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.36 0.5 0.6 1 2 3.6 3 4 –0.1 –0.2 5 (ii) m = 0.57 – (–0.03) 5 – 1 = 0.15 c = –0.18 y = 0.15x – 0.18 (iii)Daripada graf, apabila y = 0.36. From the graph, when y = 0.36. Maka/ Thus, x = 3.6 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 111
BAB 6 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear Linear Law and Non-Linear Relations NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 1. Bandingkan kedua-dua graf di bawah. Compare the two graphs below. (a) y = x2 + 1 (b) y = x2 + 1 → Y = X + 1 x −1 0 1 X : x2 −1 0 1 y 2 1 2 Y : y 0 1 2 x y –1 0 1 1 2 x2 y 0 –1 1 1 2 2. Sebuah hubungan bukan linear, y = x2 + 1, boleh ditukarkan kepada bentuk linear Y = mX + c dengan menggantikan y dengan Y dan x2 dengan X. Any non-linear relation, y = x2 + 1, can be converted to the linear form Y = mX + c by substituting y with Y and x2 with X. 3. Dengan ini, satu graf garis lurus boleh diperoleh apabila memplot Y melawan X, dengan Y ialah paksi-y dan X ialah paksi-x. Therefore, a straight line graph can be obtained when plotting Y against X, with Y as y-axis and X as x-axis. Persamaan tak linear ialah persamaan yang mengandungi pemboleh ubah x yang kuasanya bukan 1. Non-linear equation is an equation where the variable x has power not equal to 1. • Y, paksi-y boleh diungkapkan dalam sebutan x dan y, tetapi tanpa pemalar. Y, y-axis can be expressed in terms of x and y but without constants. • X, paksi-x tidak mempunyai sebutan y tetapi mungkin ada pemalar. X, x-axis does not have y term but may have constants. • c ialah pemalar (tanpa sebutan x dan y). c is a constant (without x and y terms). 4. Tukar setiap persamaan berikut kepada bentuk linear Y = mY + c. Seterusnya, nyatakan Y, X, m dan c. TP 4 Convert each of the following equations into linear form Y = mY + c. Hence, state Y, X, m and c. CONTOH 1 y = px – q x Penyelesaian: Kaedah 1/ Method 1 × x : xy = px2 – q Y = mX + c \ Y = xy, X = x2 , m = p , c = –q Kaedah 2/ Method 2 ÷ x2 : y x2 = p – q x2 y x = –q1 1 x2 2 + p Y = mX + c \ Y = y x , X = 1 x2 m = –q, c = p Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 112
BAB 6 CONTOH 2 y = ax b Penyelesaian: log10 y = log10 ax b log10 y = x log10 a + log10 b Y = mX + c \ Y = log10 y, X = x, m = log10 a, c = log10 b CONTOH 3 ax2 + by2 = x by2 = –ax2 + x y2 = – a b x2 + x b ÷ x, y2 x = – a b x + 1 b Y = mX + c \ Y = y2 x , X = x, m = – a b , c = 1 b CONTOH 4 y = x ax + b Penyelesaian: 1 y = ax + b x 1 y = ax x + b x 1 y = b1 1 x 2 + a Y = mX + c \ Y = 1 y , X = 1 x , m = b, c = a CONTOH 5 y = pqx + 2 Penyelesaian: log10 y = log10 pqx + 2 log10 y = (x + 2) log10 q + log10 p Y = mX + c \ Y = log10 y, X = x + 2 m = log10 q, c = log10 p (a) y = ax3 − bx y = ax3 − bx y x = ax2 – b Y = mX + c \ m = a , c = −b (b) y = – a x2 – bx y = – a x2 – bx x2 y = −bx3 – a Y = mX + c \ m = −b , c = –a (c) y = px2 + q x y = px2 + q x xy = px2 + q Y = mX + c \ m = p , c = q (d) y = p x – q x y = p x – q x y x = px – q Y = mX + c \ m = p , c = −q (e) y = p qx y = p qx log10 y = log10 p qx log10 y = (–log10 q)x + log10 p Y = mX + c \ m = −log10 q , c = log10 p (f) xy + ya = −bx xy + ya = −bx y = –bx x + a 1 y = – a bx – 1 b Y = mX + c \ m = – a b , c = – 1 b y – x x2 O x2 y x3 O xy x2 O y xfiff x O x O log10 y O 1 – y 1 – x Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 113
BAB 6 (g) yq = xp 1 000 yq = xp 1 000 log10 yq = log10 xp 1 000 q log10 y = log10 xp – log10 103 log10 y = p q log10 x – 3 q Y = mX + c \ m = p q , c = – 3 q O log10 y log10 x (h) y2 = abx y2 = abx log10 y2 = log10 abx 2 log10 y = log10 a + x log10 b log10 y = log10 b 2 x + log10 a 2 Y = mX + c \ m = log10 b 2 , c = log10 a 2 O log10 y x (i) ya = bx2 ya = bx2 log10 ya = log10 bx2 a log10 y = log10 b + 2 log10 x log10 y = 2 a log10 x + log10 b a Y = mX + c \ m = 2 a , c = log10 b a O log10 y log10 x 5. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi graf bentuk tak linear. TP 4 Express y in terms of x for the non-linear form graphs. CONTOH 1 xy x2 0 (3, 5) 2 Penyelesaian: m = 5 – 2 3 – 0 = 3 3 = 1 c = 2 Y = mX + c xy = 1(x2 ) + 2 y = x + 2 x m = 5 – 2 3 – 0 = 1 c = 2 y = mx + c \ y = x + 2 • Tidak menggantikan kuantiti pada paksi ke dalam persamaan garis lurus. Does not replace the quantity on the axis into the equation of the straight line. CONTOH 2 0 (1, 3) (3, 7) log10y log10x Penyelesaian: m = 7 – 3 3 – 1 = 4 2 = 2 y = mx + c melalui/passes through (1,3) 3 = 2(1) + c c = 1 Y = mX + c log10 y = 2 log10 x + 1 log10 y x2 = 1 y x2 = 101 y = 10x2 Tip Jika c tidak boleh diperoleh secara terus daripada graf, maka gantikan satu titik ke dalam persamaan bentuk linear untuk mencari c. If c cannot be obtained directly from the graph, then substitute a point into linear form to find c. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 114
BAB 6 (a) y xfiff 0 4 –5 x m = 4 – 0 0 – (–5) = 4 5 c = 4 Y = mX + c y x = 4 5 x + 4 \ y = 4 5 x + 4 x (b) y – x2 0 x (–2, 3) (4, 6) m = 6 – 3 4 – (–2) = 3 6 = 1 2 y = mx + c melalui (4, 6) 6 = 1 2 (4) + c c = 4 Y = mX + c y x2 = 1 2 x + 4 \ y = 1 2 x3 + 4x2 (c) 0 (0, 2) (–2, 6) log10y log10x m = 6 – 2 –2 – 0 = –2 c = 2 Y = mX + c log10 y = –2 log10 x + 2 = log10 x –2 + log10 102 log10 y = log10 100 x2 \ y = 100 x2 (d) 0 –2 (–4, 2) x2 y – x m = 2 – (–2) –4 – 0 = 4 –4 = –1 c = −2 Y = mX + c y x = −1(x2 ) − 2 \ y = −x3 − 2x (e) log4 x log4 y 0 (1, 2) (3, 4) m = 4 – 2 3 – 1 = 1 y = mx + c melalui (3, 4) 4 = 1(3) + c c = 1 Y = mX + c log4 y = (1) log4 x + 1 log4 y = log4 4x \ y = 4x (f) x2 log10y 0 (0, 1) (3, 4) m = 4 – 1 3 – 0 = 1 c = 1 Y = mX + c log10 y = 1(x2 ) + 1 \ y = 10x2 + 1 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 115
BAB 6 6. Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 Solve the following problems. CONTOH 1 0 (5, 3) (2, 8) y – x2 1 – x Rajah menunjukkan graf garis lurus y x2 melawan 1 x . Diberi y = px2 + qx, cari nilai p dan q. The diagram shows a straight line graph y x against 1 x . Given that y = px2 + qx, find the value of p and of q. Penyelesaian: y = px2 + qx (÷ x2 ) : y x2 = q x + p Y = qX + c m = q \ q = 8 – 3 2 – 5 = – 5 3 c = p y = mx + c melalui/passes through (2, 8), 8 = – 5 3 (2) + p \ p = 11 1 3 CONTOH 2 0 (2, q) (p, 4) 1 – y 1 – x Rajah menunjukkan graf garis lurus 1 y melawan 1 x . Diberi y = x 3x + 2 , cari nilai p dan q. The diagram shows a straight line graph 1 y against 1 x . Given y = x 3x + 2 , find the value of p and of q. Penyelesaian: y = x 3x + 2 ⇒ 1 y = 2 x + 3 dengan/with m = 2, c = 3 Y = mX + c melalui/passes through (2, q) Y = 2X + 3 q = 2(2) + 3 \ q = 7 Y = mX + c melalui/passes through (p, 4), Y = 2X + 3 4 = 2p + 3 \ p= 1 2 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 116
BAB 6 (a) 0 (–3, 4) (–1, 2) xy x2 Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus xy melawan x2 . Diberi y = p x – q, cari nilai p dan q. The diagram above shows a straight line graph xy against x2. Given that y = p x – q, find the value of p and of q. y = p x – q ⇒ xy = –qx + p m = –q = 4 – 2 –3 – (–1) –q = –1 \ q = 1 c = p Y = mX + c melalui (–3, 4), 4 = –1(–3) + p \ p = 1 (b) 0 5 4 x2 y – x Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus y x melawan x2 . Diberi y = px – qx3 , cari nilai p dan q. The diagram above shows a straight line graph y x against x2. Given that y = px – qx3, find the value of p and of q. y = px – qx3 ⇒ y x = −qx2 + p m = –q = – 5 4 \ q = 5 4 c = p \ p = 5 (c) p 0 1 – y 1 – x (4, q) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 2x x + 4 , cari nilai p dan q. Variables x and y are related by the equation y = 2x x + 4 , find the value of p and of q. y = 2x x + 4 ⇒ 1 y = 2 x + 1 2 Gantikan (p, 0) : 0 = 2p + 1 2 \ p = – 1 4 Gantikan (4, q) : q = 2(4) + 1 2 \ q = 8 1 2 (d) 0 (2, 5) (–2, 3) log10x log10y Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = axb , cari nilai a dan b. Variables x and y are related by the equation y = axb, find the value of a and of b. y = axb ⇒ log10 y = b log10 x + log10 a m = b = 5 – 3 2 – (–2) \ b = 1 2 Y = mX + c melalui (2, 5) 5 = 1 2 (2) + c c = log10 a = 4 \ a = 104d Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 117
BAB 6 6.3 Aplikasi Hukum Linear Application of Linear Law 7. Selesaikan masalah yang berikut. TP 6 Solve the following problems. CONTOH Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = px2 + qx, dengan p dan q adalah pemalar. The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by the equation y = px2 + qx, where p and q are constants. x 3 4 5 6 7 8 y 5.8 8.6 12.3 16.5 20.7 25.6 (a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai y x2 dan 1 x . Based on the table above, construct a table for the values of y x2 and 1 x . (b) Plot y x2 melawan 1 x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.05 unit pada paksi- 1 x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi- y x2 . Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. Plot y x2 against 1 x by using a scale of 2 cm to 0.05 unit on the 1 x -axis and 2 cm to 0.1 unit on the y x2 -axis. Hence, draw the straight line of best fit. (c) Gunakan graf dalam (b), cari nilai bagi p dan q. Using the graph in (b), find the value of p and of q. Penyelesaian: (a) 1 Bina jadual./ Construct a table. 1 x y x2 0.333 0.644 0.250 0.538 0.200 0.492 0.167 0.458 0.143 0.422 0.125 0.400 (c) y = px2 + qx y x2 = q x + p Y = mX + c m = q = 0.61 – 0.25 0.30 – 0 \ q = 1.20 c = p \ p = 0.25 (b) 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y – x2 1 – x 3 Mencari nilai-nilai pemalar dengan menggunakan konsep Y = mX + c dengan m = kecerunan dan c = pintasan-Y. Find the values of the constants by using the concept of Y = mX + c with m = gradient and c = Y-intercept 2 Plot titik-titik dan lukis graf penyuaian terbaik. Plot the points and draw the straight line of best fit. NOTA Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 118
BAB 6 (a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = q x – px, dengan p dan q adalah pemalar. The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by the equation y = q x − px, where p and q are constants. x 1 1.5 2 2.5 3 y 11.2 6.3 3.5 1.4 0 (i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai xy dan x2 . Based on the table above, construct a table for the values of xy and x2. (ii) Plot xy melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. Plot xy against x2 by using a scale of 2 cm to 2 units on both axes. Hence, draw the straight line of best fit. (iii) Gunakan graf dalam (ii), cari nilai bagi p dan q. Using the graph in (ii), find the value of p and of q. (a) (i) x2 xy 1.00 11.20 2.25 9.45 4.00 7.00 6.25 3.50 9.00 0 (iii) y = q x – px xy = –px2 + q Y = mX + c m = –p = 11.2 – 0 1 – 9 \ p = 1.4 c = q \ q = 12.6 (ii) 0 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 xy x2 –2 14 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 119
BAB 6 (b) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = pq (x + 2), dengan p dan q adalah pemalar. The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by the equation y = pq (x + 2), where p and q are constants. x 0 1 2 3 4 5 y 3.99 5.27 6.95 9.18 12.11 15.99 (i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y dan (x + 2). Based on the table above, construct a table for the values of log10 y and (x + 2). (ii) Plot log10 y melawan (x + 2) dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x + 2) dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. Plot log10 y against (x + 2) by using a scale of 2 cm to 1 unit on (x + 2)-axis and 2 cm to 0.2 unit on log10 y-axis. Hence, draw the straight line of best fit. (iii) Gunakan graf dalam (ii), cari nilai bagi p dan q. Using the graph in (ii), find the value of p and of q. (b) (i) (x + 2) log10 y 2 0.601 3 0.722 4 0.842 5 0.963 6 1.083 7 1.204 (ii) 0 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 log10 y x + 2 1.4 7 8 (iii) y = pq(x + 2) log10 y = (x + 2) log10 q + log10 p Y = mX + c m = log10 q = 1.204 – 0.601 7 – 2 log10 q = 0.1206 q = 100.1206 \ q = 1.32 c = log10 p = 0.36 p = 100.36 \ p = 2.29 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 120
BAB 6 (c) Jadual di bawah menunjukkan keputusan uji kaji suatu proses penyejatan. Kuantiti wap air, y, yang dikumpulkan dalam tabung uji itu direkodkan sepanjang tempoh x minit. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = ax + bx2 , dengan a dan b ialah pemalar. The table below shows the results of experiment in an evaporation process. The amount of water vapour, y, collected in a test tube is recorded over a period of x minutes. Variables x and y are related by the equation y = ax + bx2, where a and b are constants. x (min) 1 3 6 10 13 21 y (ml) 0.007 0.050 0.186 0.559 0.936 2.482 (i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai y x dan x. Based on table above, construct a table for the values of y x and x. (ii) Plot y x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 minit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.02 ml / min pada paksi- y x . Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. Plot y x against x, using a scale of 2 cm to 5 minutes on x-axis and 2 cm to 0.02 ml / min on y x -axis. Hence, draw the straight line of best fit. (iii) Menggunakan graf di (ii), cari nilai bagi a dan b. Using the graph in (ii), find the value of a and b. (c) (i) x y x 1 0.007 3 0.017 6 0.031 10 0.056 13 0.072 21 0.118 (iii) y = ax + bx2 y x = bx + a Y = mX + c Pintasan- 1 y = 0 1 y -intercept a = 0 Kecerunan = 0.118 – 0 Gradient 21 – 0 b = 0.0056 (ii) 0 5 10 15 20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 x 25 y – x Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 121
BAB 6 Kertas 1 1. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y x = qx – px2 , dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Rajah 1.1. dan Rajah 1.2 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot hubungan dari persamaan itu. The variables x and y are related by the equation y x = qx – px2, where p and q are constants. Diagram 1.1 and Diagram 1.2 show the straight line graphs obtained by plotting the relations from the equation. 0 y – x3 k – 2 x 0 y 8k x Ungkapkan p dalam sebutan q. Express p in terms of q. y x = qx – px2 × 1 x , y x2 = q – px y x2 = −px + q c = q, c = 8k q = 8k k = q 8 y x = qx – px2 × 1 x2 , y x3 = q x – p y x3 = q1 1 x 2 – p c = –p, c = k – 2 –p = k – 2 p = 2 – k p = 2 – q 8 SPM 2019 2. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 8hx , dengan keadaan h ialah pemalar. Rajah di sebelah menunjukkan garis lurus AB yang diperoleh dengan memplot log2 y melawan x. The variables x and y are related by the equation y = 8hx , where h is a constant. The diagram shows the straight line AB obtained by plotting log2 y against x. (a) Ungkapkan persamaan y = 8hx dalam bentuk linear, yang digunakan untuk memperoleh graf garis lurus seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas. Express the equation y = 8hx in its linear form, which is used to obtain the straight line graph as shown in the diagram above. (b) Cari nilai p dan nilai h. Find the value of p and of h. (a) y = 8hx log2 y = log2 8 + x(log2 h) \ log2 y = (log2 h)x + 3 Y = mX + c (b) p = pintasan-y = 3 p = y-intercept = 3 m = log2 h = 6 – 3 3 – 0 log2 h = 1 \ h = 2 SPM 2013 O A B (3, 6) (0, p) x log2 y PRAKTIS PRAKTIS SPM SPM 6 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 122
BAB 6 Kertas 2 1. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = a b √x , dengan keadaan a dan b ialah pemalar. The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by the equation y = a b√x , where a and b are constants. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y 74.2 30.4 14.7 7.9 4.6 2.9 (a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 x dan log10 y. Based on the table above, construct a table for the values of log10 x and log10 y. (b) Plot log10 y melawan log10 x menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-y. Plot log10 y against log10 x using a scale of 2 cm to 0.1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the y-axis. (c) Menggunakan graf di (b), cari nilai Using the graph in (b), find the value of (i) a, (ii) b. (a) x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y 74.2 30.4 14.7 7.9 4.6 2.9 log10 x –0.40 –0.30 –0.22 –0.10 –0.10 –0.05 log10 y 1.87 1.48 1.17 0.90 0.66 0.46 SPM 2015 (b) –0.1 0.1 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 –0.5 –0.4 –0.3 –0.2 0 log10 x |–0.4| – |–0.035| = 0.365 1.87 – 0.4 = 1.47 log10 y (c) y = a b √x log10 y = log10 a b √x log10 y = log10 a – log10 b √x log10 y = log10 a – log10 x 1 b log10 y = – 1 b log10 x + log10 a Y = mX + c m = – 1 b , c = log10 a (i) c = 0.25 log10 a = 0.25 a = 100.25 = 1.778 (ii) m = 1.87 – 0.4 –0.4 – (–0.035) – 1 b = 1.47 –0.365 b = 0.365 1.47 = 0.2483 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 123
BAB 6 2. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Satu garis lurus akan diperoleh apabila graf y2 x melawan x diplotkan. The table below shows the value of two variables, x and y, obtained from an experiment. A straight line will be obtained when a graph of y2 x against x is plotted. x 2 3 4 5.25 6.5 8 y 4.24 5.05 5.66 6.25 6.62 6.87 (a) Berdasarkan jadual, bina satu jadual bagi nilainilai y2 x . Based on the table, construct a table for the values of y2 x . (b) Plot y2 x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm pada 1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot y2 x against x, using a scale of 2 cm to 1 unit on both axes. Hence, draw the straight line of best fit. (c) Menggunakan graf di (b). Using the graph in (b). (i) cari nilai y apabila x = 3.8, find the value of y when x = 3.8, (ii) ungkapkan y dalam sebutan x. express y in terms of x, (a) x 2 3 4 5.25 6.5 8 y2 x 8.99 8.50 8.00 7.44 6.74 5.90 SPM 2018 (b) 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9 10 5 6 7 8 y 2 – x (c) (i) Apabila x = 3.8, y2 x = 8.1, \ y = 5.55 (ii) m = 10 – 6 0 – 8 = – 1 2 ; c = 10 Y = mX + c → y2 x = – 1 2 x + 10 y2 = 10x – 1 2 x2 y2 = 20x – x2 2 y = 20x – x2 2 When Praktis SPM Ekstra Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 124
BAB 6 Rajah (a) menunjukkan graf lengkung y = 6 – 4x2 . Persamaan lengkung itu diungkapkan dalam bentuk linear Y = 3X + c dan dilukis dalam graf garis lurus seperti yang ditunjukkan pada rajah (b). Diagram (a) shows the graph of the curve y = 6 – 4x2. The equation of the curve is expressed in the linear form Y = 3X + c and drawn in a straight line as shown in diagram (b). x 0 6 y X 0 –2 Y Rajah (a) Diagram (a) Rajah (b) Diagram (b) Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/atau y. Express X and Y in terms of x and/or y. y = 6 – 4x2 y x2 = 6 x2 – 4 y 2x2 = 3 x2 – 2 y 2x2 = 31 1 x2 2 – 2 Y = mX + c \ Y = y 2x2 \ X = 1 x2 Sudut Sudut KBAT KBAT KBAT Ekstra Kuiz 6 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 6 Hukum Linear 125
1. Selesaikan / Solve. TP 3 CONTOH Rajah menunjukkan sebatang kayu penyapu, PQ. Diagram shows a broomstick, PQ. P R Q m n Suatu reben diikat pada titik R yang membahagi kayu penyapu itu dalam nisbah m : n. Diberi bahawa PR = 75 cm dan PQ = 120 cm. A ribbon is tied at point R which divides the broomstick in the ratio m : n. It is given that PR = 75 cm and PQ = 120 cm. (a) Cari panjang, dalam cm, RQ. Find the length, in cm, of RQ. (b) Nyatakan nisbah m : n. State the ratio m : n. (c) Tentukan nisbah yang berikut: Determine the following ratios: (i) PR : PQ (ii) RQ : PQ (iii) RQ : PR Penyelesaian: (a) RQ = 120 cm – 75 cm = 45 cm (b) m : n = 75 : 45 = 75 15 : 45 15 = 5 : 3 (c) (i) PR : PQ = 5 : 8 (ii) RQ : PQ = 3 : 8 (iii) RQ : PR = 3 : 5 BAB 7 Geometri Koordinat Coordinate Geometry 7.1 Pembahagi Tembereng Garis Divisor of a Line Segment 126 BAB 7 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN Titik R(x, y) membahagi dalam tembereng garis PQ dengan keadaan PR : RQ = m : n. Point R(x, y) divides internally a line segment PQ such that PR : RQ = m : n. P(x1, y1) R(x, y) Q(x2, y2) m n P = 1 nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n 2 NOTA
Rajah di bawah menunjukkan satu tembereng garis PR. Q terletak pada garis PR dengan keadaan PQ = 45 cm dan PR = 140 cm. The diagram below shows a line segment PR. Q lies on the line PR such that PQ = 45 cm and PR = 140 cm. P Q R (a) Cari panjang, dalam cm, QR. Find the length, in cm, of QR. (b) Diberikan PQ : QR = m : n, nyatakan nilai bagi m : n. Given PQ : QR = m : n, state the value of m : n. (c) Tentukan nisbah yang berikut: Determine the following ratios: (i) PQ : PR (ii) QR : PR (iii) QR : PQ (a) QR = PR – PQ (b) PQ : QR = 45 : 95 = 45 5 : 95 5 = 9 : 19 = 140 − 45 = 95 cm (c) (i) PQ : PR = 45 : 140 = 9 : 28 (ii) QR : PR = 95 : 140 = 19 : 28 (iii) QR : PQ = 95 : 45 = 19 : 9 2. Titik R membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P dan titik Q dalam nisbah yang diberi. Cari koordinat bagi titik R. TP 2 Point R divides the line segment joining point P and point Q in the given ratios. Find the coordinates of point R. CONTOH p(–5, 4), Q(5, 19) PR : RQ = 2 : 3 Penyelesaian: P(–5, 4) R Q(5, 19) 2 3 R = 1 3(–5) + 2(5) 3 + 2 , 3(4) + 2(19) 3 + 2 2 = 1– 5 5 , 50 5 2 = (–1, 10) (a) P(2, 6), Q(12, 1); PR : RQ = 3 : 2 P(2, 6) R Q(12, 1) 2 3 R = 1 2(2) + 3(12) 3 + 2 , 2(6) + 3(1) 3 + 2 2 = 1 40 5 , 15 5 2 = (8, 3) Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 127 BAB 7
(b) P(8, 2), Q(–7, 8); PR : RQ = 1 : 2 Q(–7, 8) P(8, 2) 2 1 R R = 1 2(8) + 1(–7) 2 + 1 , 2(2) + 1(8) 2 + 1 2 = 1 9 3 , 12 3 2 = (3, 4) (c) P(–5, 7), Q(9, –14); PR : RQ = 3 : 4 Q(9, –14) P(–5, 7) 4 R 3 R = 1 4(–5) + 3(9) 3 + 4 , 4(7) + 3(–14) 3 + 4 2 = 1 7 7 , – 14 7 2 = (1, –2) 3. Cari koordinat titik P yang membahagikan garis lurus AB mengikut nisbah AP : PB. TP 3 Find the coordinates of point P which divides the straight line AB in the ratio AP : PB. CONTOH A(–3, 2), B(7, 17); AP : PB = 2 : 3 Penyelesaian: B(7, 17) A(–3, 2) P 3 2 P = 1 2(7) + 3(–3) 2 + 3 , 2(17) + 3(2) 2 + 3 2 = (1, 8) (a) A(–1, 5), B(9, 9); AP : PB = 3 : 2 B(9, 9) A(–1, 5) P 2 3 P = 1 3(9) + 2(–1) 2 + 3 , 3(9) + 2(5) 2 + 3 2 = 15, 37 5 2 (b) A(5, 1), B(–1, 10); AP : PB = 2 : 1 B(–1, 10) A(5, 1) P 1 2 P = 1 2(–1) + 1(5) 2 + 1 , 2(10) + 1(1) 2 + 1 2 = (1, 7) Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 128 BAB 7
4. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. CONTOH Titik-titik A(2k, k), B(p, t) dan C(2p, 3t) berada pada suatu garis lurus. B membahagi garis lurus AC dalam nisbah 2 : 3. Ungkapkan p dalam sebutan t. Points A(2k, k), B(p, t) and C(2p, 3t) lie on a straight line. B divides the straight line AC in the ratio 2 : 3. Express p in terms of t. Penyelesaian: A(2k, k) B(p, t) C(2p, 3t) 2 3 1 3(2k) + 2(2p) 2 + 3 , 3(k) + 2(3t) 2 + 3 2 = (p, t) 3(k) + 2(3t) 2 + 3 = t 2 Samakan koordinat. Compare the coordinate. 3k + 6t = 5t k = – t 3 Gantikan nilai k = – t 3 ke dalam 6k + 4p 5 = p Replace value of into 61– t 3 2 + 4p = 5p 3 Hapuskan sebutan k. Eliminate k term. p = –2t 1 Lukis rajah dan masukkan nilai ke dalam rumus. Draw diagram and insert values into formula. Titik-titik P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) adalah segaris. Q membahagi garis lurus PR dalam nisbah 3 : 2. Ungkapkan k dalam sebutan p. Points P(h, 2h), Q(k, p) and R(3k, 2p) are collinear. Q divides the straight line PR in the ratio 3 : 2. Express k in terms of p. Q(k, p) R(3k, 2p) P(h, 2h) 2 3 1 3(3k) + 2h 3 + 2 , 3(2p) + 2(2h) 3 + 2 2 = (k, p) 6p + 4h 5 = p h = –p 4 Gantikan nilai h = – p 4 , Replace value of h 9k + 2h 5 = k 9k + 21– p 4 2 5 = k 9k – p 2 = 5k k = p 8 5. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5 Solve each of the following. CONTOH Titik L(3, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik J(–5, 2) dan titik K(5, 7) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. Point L(3, 6) divides a straight line joining point J(–5, 2) and point K(5, 7) in the ratio m : n. Find the ratio m : n. Penyelesaian: (3, 6) = 1 m(5) + n(–5) m + n , m(7) + n(2) m + n 2 (3, 6) = 1 5m – 5n m + n , 7m + 2n m + n 2 5m – 5n m + n = 3 Samakan koordinat-x. Compare the x-coordinate. 5m – 5n = 3(m + n) 5m – 5n = 3m + 3n 5m – 3m = 3n + 5n 2m = 8n m n = 8 2 = 4 1 m : n = 4 : 1 J(–5, 2) K(5, 7) L(3, 6) m n Kaedah Alternatif m : n = 3 – (–5) : 5 – 3 = 8 : 2 = 4 : 1 atau/ or m : n = 6 – 2 : 7 – 6 = 4 : 1 Beza antara koordinat-x bagi titik J dan L kepada beza antara koordinat-x bagi titik L dan K. Different of x-coordinate between J and L to different of x-coordinate between L and K. Beza antara koordinat-y bagi titik J dan L kepada beza antara koordinat-y bagi titik L dan K. Different of y-coordinate between J and L to different of y-coordinate between L and K. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 129 BAB 7
(a) Titik K(1, 5) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik G(–5, 1) dan titik H(10, 11) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. Point K(1, 5) divides a straight line joining point G(–5, 1) and point H(10, 11) in the ratio m : n. Find the ratio m : n. H(10, 11) K(1, 5) G(–5, 1) n m (b) Titik S(k, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik-titik P(–4, –6) dan Q(–9, 9) dalam nisbah m : n, cari Point S(k, 6) divides a straight line joining point P(–4, –6) and point Q(–9, 9) in the ratio m : n, find (i) m : n, (ii) nilai bagi k. value of k. S(k, 6) P(–4, –6) Q(–9, 9) n m 1 m(10) + n(–5) m + n , m(11) + n(1) m + n 2 = (1, 5) 10m – 5n m + n = 1 10m – 5n = m + n 9m = 6n m n = 6 9 = 2 3 m : n = 2 : 3 (i) m : n = PSy : QSy = 6 – (–6) : 9 – 6 = 12 : 3 m : n = 4 : 1 (ii) 4(–9) + 1(–4) 4 + 1 = k –40 5 = k k = –8 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Parallel Lines and Perpendicular Lines NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 1. m1 m2 2. m1 m2 Jika dua garis lurus itu selari, maka kecerunan keduadua garis itu adalah sama, iaitu m1 = m2, dan sebaliknya. If two straight lines are parallel, then their gradients are equal, that is, m1 = m2, and vice versa. Jika dua garis lurus itu berserenjang, maka m1 m2 = –1 dan sebaliknya. If two straight lines are perpendicular, then m1 m2 = –1 and vice versa. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 130 BAB 7
6. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari atau tidak. TP 3 Determine whether each of the following pairs of straight lines are parallel. CONTOH y = 2x + 7, y – 2x = 10 Penyelesaian: m1 = 2 y = 2x + 10 Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. m2 = 2 m1 = m2 , dua garis lurus itu adalah selari. the two straight lines are parallel. 1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both lines. 2 Bandingkan kecerunan/Compare the gradient m1 = m2 → selari/parallel (a) y = 3x + 4 , 3x + y = 2 m1 = 3 y = –3x + 2 m2 = –3 m1 ≠ m2 , dua garis lurus itu tidak selari. the two straight lines are not parallel. (b) y – 5x = 8 , 2y = 10x – 3 y = 5x + 8 y = 5x – 3 2 m1 = 5 m2 = 5 m1 = m2 , dua garis lurus itu adalah selari. the two straight lines are parallel. (c) 3y = x – 8 , y = 1 3 x + 4 y = 1 3 x – 8 3 m2 = 1 3 m1 = 1 3 m1 = m2 , dua garis lurus itu adalah selari. the two straight lines are parallel. 7. Diberi setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari. Cari nilai k. TP 3 Given that each of the following pairs of straight lines are parallel. Find the value of k. CONTOH 2x + ky = 5 , ky = –2x + 5 y = – 2 k x + 5 k m1 = – 2 k Dua garis adalah selari, The two straight lines are parallel, m1 = m2 – 2 k = – 1 3 k = 6 3y + x – 8 = 0 3y = –x + 8 y = – 1 3 x + 8 3 m2 = – 1 3 1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line. 2 Bandingkan kecerunan kedua-dua garisan adalah selari. Maka, m1 = m2 . Compare the gradient. Both line are parallel. Thus, m1 = m2 . Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 131 BAB 7
(a) 3x + ky = 2 , 2y + x = 7 ky = –3x + 2 2y = –x + 7 y = – 3 k x + 2 k y = – 1 2 x + 7 2 m1 = – 3 k m2 = – 1 2 Dua garis adalah selari, The two straight lines are parallel, m1 = m2 – 3 k = – 1 2 k = 6 (b) kx + 4y = 1 , 5y – x = 8 4y = –kx + 1 5y = x + 8 y = – k 4 x + 1 4 y = 1 5 x + 8 5 m1 = – k 4 m2 = 1 5 Dua garis adalah selari, The two straight lines are parallel, m1 = m2 – k 4 = 1 5 k = – 4 5 8. Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P. TP 4 Find the equation of the straight line that is parallel to the given straight line and passes through point P. CONTOH 2x + y = 6; P(–3, 8) Penyelesaian: 2x + y = 6 y = –2x + 6 Kecerunan/Gradient = –2 Persamaan garis lurus ialah/ Equation of straight line is y – 8 = –2[x – (–3)] y – 8 = –2x – 6 y = –2x + 2 Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. (a) 4x – 2y – 9 = 0; P(–2, 7) 4x – 2y – 9 = 0 2y = 4x – 9 y = 2x – 9 2 Kecerunan/Gradient = 2 Persamaan garis lurus ialah Equation of straight line is y – 7 = 2[x – (–2)] y – 7 = 2x + 4 y = 2x + 11 (b) 6x – 4y + 5 = 0; P(6, –3) 4y = 6x + 5 y = 3 2 x + 5 4 Kecerunan/Gradient = 3 2 Persamaan garis lurus ialah Equation of straight line is y – (–3) = 3 2 (x – 6) y + 3 = 3 2 x – 9 y = 3 2 x – 12 9. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah berserenjang atau tidak. TP 3 Determine whether each of the following pairs of straight lines are perpendicular. CONTOH y + 4x – 3= 0 4y – x + 5 = 0 y = –4x + 3 4y = x – 5 m1 = –4 y = 1 4 x – 5 4 m2 = 1 4 Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang. Both straight lines are perpendicular. Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. 1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line. 2 Jika serenjang, maka m1 m2 = –1. If perpendicular, thus m1 m2 m1 m2 = –1. = –41 1 4 2 = –1 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 132 BAB 7
(a) y + 6x – 2 = 0 , 6y – x + 1 = 0 y = –6x + 2 6y = x – 1 m1 = –6 y = 1 6 x – 1 6 m2 = 1 6 m1 m2 = –61 1 6 2 = –1 Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang. Both straight lines are perpendicular. (b) y – 3x = 8 , 3y = x – 9 y = 3x + 8 y = 1 3 x – 3 m1 = 3 m2 = 1 3 m1 m2 = 31 1 3 2 = 1 Kedua-dua garis lurus itu tidak berserenjang. Both straight lines are not perpendicular. 10. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P. TP 4 Find the equation of the straight line that is perpendicular to the given straight line and passes throught point P. CONTOH x + 3y = 10; P(–2, 7) Penyelesaian: x + 3y = 10 3y = –x + 10 y = – 1 3 x + 10 3 1 Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form. m1 = – 1 3 Kedua-dua garis adalah berserenjang, Both lines are perpendicular m1 m2 = –1 – 1 3 m2 = –1 m2 = 3 Persamaan garis lurus ialah Equation of straight line is y – 7 = 3[x – (–2)] y – 7 = 3x + 6 y = 3x + 13 2 Tentukan kecerunan. Determine the gradient. 3 Tentukan kecerunan yang lagi satu Determine the other gradient m1 m2 = –1 4 Selesaikan persamaan garis lurus Solve equation of straight line P(–2, 7); m = 3 (a) x + 2y = 10; P(3, –5) 2y = –x + 10 y = – 1 2 x + 5 m1 = – 1 2 Kedua-dua garis adalah berserenjang, Both straight lines are perpendicular. m1 m2 = –1 – 1 2 m2 = –1 m2 = 2 Persamaan garis lurus ialah The equation of the straight line is y – (–5) = 2(x – 3) y + 5 = 2x – 6 y = 2x – 11 (b) y – 4x = 3; P(2, 12) y = 4x + 3 m1 = 4 Kedua-dua garis adalah berserenjang, Both straight lines are perpendicular. m1 m2 = –1 4m2 = –1 m2 = – 1 4 Persamaan garis lurus ialah The equation of the straight line is y – 12 = – 1 4 (x – 2) y – 12 = – 1 4 x + 1 2 y = – 1 4 x + 25 2 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 133 BAB 7
11. Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik yang diberi. Find the equation of the perpendicular bisector of the following straight lines which join the given points. TP 4 CONTOH A(2, 3), B(5, –6) Penyelesaian: m1 = –6 – 3 5 – 2 = – 9 3 = –3 m1 m2 = –1 –3m2 = –1 m2 = 1 3 Titik tengah AB = 1 2 + 5 2 , 3 + (–6) 2 2 Midpoint AB = 1 7 2 , – 3 2 2 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah Equation of the perpendicular bisector is y – 1– 3 2 2 = 1 3 1x – 7 2 2 y + 3 2 = 1 3 x – 7 6 y = 1 3 x – 8 3 1 Tentukan kecerunan bagi garis lurus serenjang. Determine the gradient of the perpendicular line. 2 Tentukan titik tengah. Determine the midpoint. 3 Dapatkan persamaan garis lurus dengan kecerunan garis serenjang dan titik tengah. Get the equation of the straight line with the gradient of perpendicular line and the midpoint. (a) E(–1, 11), F(–3, 5) m1 = 5 – 11 –3 – (–1) = –6 –2 = 3 m1 m2 = –1 3m2 = –1 m2 = – 1 3 Titik tengah EF = 1 –1 + (–3) 2 , 11 + 5 2 2 Midpoint EF = (–2, 8) Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah Equation of the perpendicular bisector is y – 8 = – 1 3 [x – (–2)] y – 8 = – 1 3 x – 2 3 y = – 1 3 x + 22 3 (b) G(2, –3), H(5, 2) m1 = 2 – (–3) 5 – 2 = 5 3 m1 m2 = –1 5 3 m2 = –1 m2 = – 3 5 Titik tengah GH = 1 2 + 5 2 , –3 + 2 2 2 Midpoint GH = 1 7 2 , – 1 2 2 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah Equation of the perpendicular bisector is y – 1– 1 2 2 = – 3 5 1x – 7 2 2 y + 1 2 = – 3 5 x + 21 10 y = – 3 5 x + 8 5 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 134 BAB 7
7.3 Luas Poligon Areas of Polygons NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 1. x 0 A(x1 , y1 ) C(x3 , y3 ) B(x2 , y2 ) y Luas ∆ABC Area of ∆ABC = 1 2 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 = 1 2 |(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )| 2. Sentiasa menulis koordinat bagi bucu-bucu itu dalam arah lawan jam supaya nilai luas yang diperoleh adalah positif. Always write the coordinates of the vertices in the anticlockwise direction so that the value of area obtained is positive. 3. Apabila luas bagi ABC ialah sifar, ketiga-tiga titik A, B dan C adalah segaris. When the area of ABC is zero, the three points A, B and C are collinear. 4. x 0 S(x4 , y4 ) P(x1 , y1 ) R(x3 , y3 ) Q(x2 , y2 ) y Luas sisi empat PQRS Area of quadrilateral PQRS = 1 2 x1 x2 x3 x4 x1 y1 y2 y3 y4 y1 = 1 2 | x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 )| 12. Cari luas poligon berikut dengan bucu yang diberikan. TP 3 Find the area of the following polygons with the vertices given. CONTOH (i) (3, 1), (7, 6), (4, 8) Penyelesaian: (ii) (2, 3), (9, 8), (–2, 11), (–5, 4) (i) Luas = 1 2 3 7 4 3 Area 1 6 8 1 = 1 2 u(18 + 56 + 4) – (7 + 24 + 24)u = 1 2 u78 – 55u = 11.5 unit2 /units2 (ii) Luas = 1 2 2 9 –2 –5 2 Area 3 8 11 4 3 = 1 2 u(16 + 99 – 8 – 15) – (27 – 16 – 55 + 8)u = 1 2 u92 – (–36)u = 64 unit2 /units2 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 135 BAB 7
(a) (2, 3), (8, 5), (6, 9) Luas = 1 2 2 8 6 2 Area 3 5 9 3 = 1 2 u(10 + 72 + 18) – (24 + 30 + 18)u = 1 2 u100 – 72u = 14 unit2 (b) (–3, –2), (5, 0), (4, 8) Luas = 1 2 –3 5 4 –3 Area –2 0 8 –2 = 1 2 u(0 + 40 – 8) – (–10 + 0 – 24)u = 1 2 u32 + 34u = 33 unit2 (c) (0, 3), (1, 1), (5, 8), (3, 10) Luas = 1 2 0 1 5 3 0 Area 3 1 8 10 3 = 1 2 u(0 + 8 + 50 + 9) – (3 + 5 + 24 + 0)u = 1 2 u67 – 32u = 17.5 unit2 (d) (8, 0), (5, 7), (0, –2), (4, –3) Luas = 1 2 8 5 0 4 8 Area 0 7 –2 –3 0 = 1 2 u(56 – 10 + 0 + 0) – (0 + 0 – 8 – 24)u = 1 2 u46 – (–32)u = 39 unit2 13. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. CONTOH 1 Luas segi tiga yang berbucu A(–1, 4), B(2, 3) dan C(6, k) ialah 9.5 unit2 . Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. The area of a triangle with vertices A(–1, 4), B(2, 3) and C(6, k) is 9.5 units 2. Find the possible values of k. Penyelesaian: Luas ∆ABC = 9.5 Area 1 2 –1 2 6 –1 4 3 k 4 = 9.5 u(–3 + 2k + 24) – (8 + 18 – k)u = 19 u2k + 21 – 26 + ku = 19 u3k – 5u = 19 3k – 5 = 19 atau 3k – 5 = –19 3k = 24 or 3k = –14 k = 8 k = – 14 3 CONTOH 2 Diberi P(–4, –3), Q(2, 1) dan R(11, 7), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Given P(–4, –3), Q(2, 1) and R(11, 7), show that the points P, Q and R are collinear. Penyelesaian: Luas ∆PQR = 1 2 –4 2 11 –4 –3 1 7 –3 Area = 1 2 u(–4 + 14 – 33) – (–6 + 11 – 28)u = 1 2 u–23 – (–23)u = 0 Maka, P, Q dan R adalah segaris. Thus, P, Q and R are collinear. Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 136 BAB 7
(a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k jika luas segi tiga ABC yang berbucu A(–6, 5), B(2, 3) dan C(k, 4) ialah 10 unit2 . Find the possible values of k if the area of triangle ABC with vertices A(–6, 5), B(2, 3) and C(k, 4) is 10 units 2. Luas ∆ABC = 10 1 2 –6 2 k –6 5 3 4 5 = 10 u(–18 + 8 + 5k) – (10 + 3k – 24)u = 20 u5k – 10 – 3k + 14u = 20 |2k + 4u = 20 2k + 4 = 20 atau 2k + 4 = –20 2k = 16 or 2k = –24 k = 8 k = –12 (b) Diberi P(2, 3), Q(5, 9) dan R(7, 13), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Given P(2, 3), Q(5, 9), and R(7, 13), show that the points P, Q and R are collinear. Luas ∆PQR = 1 2 2 5 7 2 Area 3 9 13 3 = 1 2 u(18 + 65 + 21) – (15 + 63 + 26)u = 1 2 u104 – 104u = 0 Maka, P, Q dan R adalah segaris. Thus, P, Q and R are collinear. 7.4 Persamaan Lokus Equations of Loci NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 1. Lokus suatu titik P(x, y) ialah lintasan yang dilalui oleh titik itu mengikut syarat yang diberikan. Locus of a point P(x, y) is the path travelled by the point which moves under a given condition. 2. Persamaan lokus yang melibatan jarak di antara dua titik boleh ditentukan dengan menggunakan rumus jarak. The equation of a locus involving the distance between two points can be determined by using the distance formula. 14. Cari persamaan lokus bagi satu titik P yang bergerak berdasarkan syarat berikut. TP 5 Find the equation of the locus of a moving point P based on the given conditions. CONTOH 1 Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(3, –4) adalah sentiasa 5 unit. Point P moves such that its distance from A(3, –4) is always 5 units. Penyelesaian: Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). PA = 5 Persamaan lokus bagi titik P ialah/Equation of locus of point P is (x – 3)2 + [y – (–4)]2 = 5 Gunakan rumus jarak./Use distance formula. (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25 Kuasa duakan kedua-dua belah./Square both sides. x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0 x2 + y2 – 6x + 8y = 0 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 137 BAB 7
CONTOH 2 Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(4, 2) dan B(–5, 1) adalah dalam nisbah 2 : 1. Point P moves such that its distance from A(4, 2) and B(–5, 1) are in the ratio 2 : 1. Penyelesaian: Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). PA : PB = 2 : 1 PA PB = 2 1 2PB = PA Persamaan lokus bagi titik P ialah/Equation of locus of point P is 2[x – (–5)]2 + (y – 1)2 = (x – 4)2 + (y – 2)2 4[(x + 5)2 + (y – 1)2 ] = (x – 4)2 + (y – 2)2 4(x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1) = x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 4x2 + 4y2 + 40x – 8y + 104 = x2 + y2 – 8x – 4y + 20 3x2 + 3y2 + 48x – 4y + 84 = 0 (a) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(–2, 4) adalah sentiasa 6 unit. Point P moves such that its distance from A(–2, 4) is always 6 units. Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). PA = 6 Persamaan lokus bagi titik P ialah Equation of locus of point P is [x – (–2)]2 + (y – 4)2 = 6 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 36 x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 – 36 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y – 16 = 0 (b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya adalah sama dari titik C(–3, 8) dan D(9, –2). Point P moves such that it is equidistant from point C(–3, 8) and D(9, –2). Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). PC = PD Persamaan lokus bagi titik P ialah Equation of locus of point P is [x – (–3)]2 + (y – 8)2 = (x – 9)2 + [y– (–2)]2 (x + 3)2 + (y – 8)2 = (x – 9)2 + (y + 2)2 x2 + 6x + 9 + y2 – 16y + 64 = x2 – 18x + 81 + y2 + 4y + 4 24x – 20y – 12 = 0 6x – 5y – 3 = 0 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 138 BAB 7
(c) Cari persamaan bagi lokus titik bergerak P yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(4, 5) ialah dua kali jaraknya dari titik B(–6, 5). Find the equation of locus of a moving point P such that its distance from point A(4, 5) is twice the distance from point B(–6, 5). Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). PA = 2PB Persamaan lokus bagi P ialah Equation of locus of point P is √(x – 4)2 + (y – 5)2 = 2√[x – (–6)]2 + (y – 5)2 (x – 4)2 + (y – 5)2 = 4[(x + 6)2 + (y – 5)2 ] x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 12x + 36 + y2 – 10y + 25) x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4x2 + 48x + 144 + 4y2 – 40y + 100 3x2 + 3y2 + 56x – 30y + 203 = 0 (d) Titik P bergerak di sepanjang lengkok bulatan dengan pusat A(2, 3). Lengkok bulatan melalui titik Q(–2, 0). Cari persamaan bagi lokus titik P. Point P moves along an arc of a circle with center A(2, 3). The arc of a circle passes through a point Q(–2, 0). Find the equation of locus of point P. Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y). AP = AQ Persamaan lokus bagi P ialah Equation of locus of point P is √(x – 2)2 + (y – 3)2 = √[2 – (–2)]2 + (3 – 0)2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 + 9 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25 x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 7 Geometri Koordinat 139 BAB 7