Hazırlayanlar Danışman Öğretmen Semra YAVUZ Dergi Kapak Tasarımı Eymen ŞAHİN Dergi İç Tasarımı Eymen ŞAHİN Görevli Öğrenciler Alperen GÜLTÜRK Muhammed Arda AYTEKİN Zeynep Sude ALTUNSOY Yusuf Furkan KOÇ Arif Ahmet ALKAN Yağmur ATEŞ Elif Yuşa ÖZDEMİR Hasan DİYAPOĞLU Meryem AYAN Editörler Tuana TEMİZER Fatma Almina ARAS
Sonsuzluk................................................................................................ Cahit Arf.................................................................................................. Altın Oran................................................................................................ Mühendislikte Matematik...................................................................... Üçgende Temel Kavramlar...................................................................... Modern Şifreleme Yöntemlerinde Matematik........................................ Matematik Olimpiyatları......................................................................... Geometrinin Günlük Hayattaki Uygulamaları........................................ Matematik ve Astronomi: Birbirlerine Kenetlenmiş Bilimler................. Pi Sayısının Sanata Etkisi....................................................................... Leonardo Fibonacci................................................................................ Blaise Pascal........................................................................................... Augustus de Morgan.............................................................................. Trigonometri Nedir................................................................................ Matematiksel Oyun Teorisi ve Stratejik Düşünme............................... Mimaride Matematik: Temel ve Uygulama............................................ 0 Sayısının Kronolojisi........................................................................... Depremin Matematiği............................................................................ Carl Friedrich Gauss.............................................................................. Uluğ Bey................................................................................................. Matematiğin Doğuşu............................................................................. Pisagor Teoremi: Matematiğin Temel Taşı............................................ Atatürk ve Matematik............................................................................ Thales..................................................................................................... Farabi.................................................................................................... Matematikte Kullanılan Semboller ve Anlamları .................................. Doğanın Matematiği............................................................................. Piramitler.............................................................................................. El-Harezmi: Matematik ve Bilimin Öncüsü.......................................... Ömer Hayyam......................................................................................... Matematik ve Çalışma Alanları.............................................................. Bulmacalar............................................................................................. Sudoku................................................................................................. Kaynakça............................................................................................... 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 29 30 31 32 34 36 38 39 40 42 44 46 47 48 50 52 54 56 58 60 62 65 İçindekiler
Matematik kelimesinin kökeni Eski Yunan’a dayanır. Matesis, Yunanca’da “ben bilirim” anlamına gelmektedir. Zamanla matematikçiler ise bu sözün kullanılması için katedilmesi gereken çok yolun olduğunun farkına varmışlardır, çünkü matematik kağıt üstünde gösterilenden çok daha fazlasıdır. Tarihiyle, doğasıyla, karanlığıyla ve diliyle... Biz bu dergide bilinenleri hatırlatmak yerine keşfedilmeyi bekleyenleri gün yüzüne çıkardık, hayatımızı sayfalara sığdırdık ve formüllerden öteye giderek görmediğimiz ama her an yaşadığımız matematiği anlayıp anlatmaya çalıştık. Kimi zaman sanattan faydalandık, kimi zaman ise astronomiden ve sonunda PUSULA dergisi sizlerle! Bizim de çok şey ögrendiğimiz bu yolculukta sayıların dilinin sırrını çözmek, farklı konular hakkında “ben bilirim” demek ister misiniz? Doğan Cüceloğlu Fen Lisesi 10/E sınıfı öğrencilerinin dönem ödevi olarak hazırladığı bu derginin siz okuyucularımız ile buluşması için sabırsızlanıyoruz! Önsöz Fatma Almina ARAS
SONSUZLUK Sizlere sonsuzluğun tanımını, tanımı hakkındaki yanılgıları anlaşılabilir örneklerle ve sonsuzluğun kısaca tarihçesini bu yazıda anlatacağız. Sonsuz, matematikte bir nitemdir (sıfat). Adı sonsuz olan bir nesne yoktur fakat sonsuz olan matematiksel nesneler vardır. Sonsuz, sonlunun karşıtı olarak tanımlanmıştır. Yani matematikte sonlu olmayana sonsuz denir. Tarihsel olarak eski Yunanlarlılara dayanır. Eski Yunanlılardan günümüze matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine düşünmüşlerdir. Geçen yüzyılda ise bu kavramı Georg Cantor biçimselleştirmiştir ve günümüzde de onun tanımıyla matematikçiler sonsuzu sıfat olarak düşünüyor. Matematikte adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi adı “sonsuz” olan bir nesne de yoktur. Bunu daha net anlayabilmek için şu örneği verebiliriz: 4 bir nesnedir, 1 de bir nesnedir. Bu iki nesneyle 4-1 işlemini yapabilir ve sonucunda 3 nesnesini elde edebiliriz. Fakat sonsuz bir nesne olmadığı için ∞-1 diye bir nesne olmaz ve ∞-1 yazamayız. Bir nitemden bir nesneyi çıkaramayız. Georg Cantor 6 PUSULA
Bazı zamanlarda matematikçiler: gibi ifadeler yazabilir. Bu ifadelerin anlamını ise: olarak düşünmemiz gerekir. Zeynep Sude ALTUNSOY ∞ - 1 = ∞ ∞ + 1 = ∞ ∞ + ∞ = ∞ ∞ / 2 = ∞ 2 x ∞ = ∞ Durmadan büyüyen bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür, Durmadan büyüyen bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür, İki değişken durmadan büyüyorsa, o değişkenlerin toplamı da durmadan büyür, Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz, Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz. PUSULA 7
Cahit ARF Cahit Arf (1910-1997), ülkesinde efsanevi bir üne sahip olan Türk bir matematikçiydi. Uluslararası matematik çevrelerinde adı kendi adını taşıyan belirli kavramlar aracılığıyla biliniyordu. Bunlar arasında muhtemelen en çok bilineni cebirsel topolojinin Arf değişmezidir. Arf değişmezi ayrıca Kervaire-Arf değişmez problemi içinde yer alır. Bu problem tarih boyunca biliniyordu ki eğer manifoldun Kervaire değişmezi bir ise, o zaman manifoldun boyutu 2^k+1-2−2 biçiminde olmalıdır, burada k > 0’dır. Ayrıca böyle manifoldların k = 1,...,5 için var olduğu biliniyordu. Son zamanlarda M. A. Hill, M. J. Hopkins ve D. C. Ravenel, k ≥ 7 için böyle manifoldların var olmadığını kanıtladılar, k=6 durumu hala açıktır. Hasse-Arf Teoremi: Temmuz 1938’de Arf, doktora çalışmalarını Göttingen Üniversitesi’nde Helmut Hasse’nin danışmanlığında tamamladı. Tezi aynı yılın Kasım ayında Crelle dergisine sunuldu ve 1940’ın ilk sayısında yayımlandı. Çift boyutlu bir manifold için, orta koordinat grubu üzerindeki Z/2Z katsayılarıyla yapılan cup çarpımı, dengesiz olmayan bir ikili eşleme tanımlar. Bu eşleme için Arf değişmezi, ya bir ya da sıfır olan, manifoldun Kervaire değişmezidir. Kervaire-Arf değişmez problemi, Kervaire değişmezi bir olan manifoldların var olup olmadığını belirlemektir. 8 PUSULA
Hasse-Arf teoreminin kısa bir tanımı ise: L/K, G(L/K) Galois grubuna sahip bir Galois genişlemesi olsun, burada K, bir diskret değerlendirmeye göre tam olan bir alan ve L, K’nın sonlu ayrılabilir bir genişlemesi olsun. νK değerlendirmesinin uzantısı νL olarak işaret edilsin. L ve K’nın değerlendirme halkaları sırasıyla AL ve AK ile gösterilsin. AL’yi AK-cebiri olarak üreten x ∈ AL elemanını seçin. -1 ≥ i olmak üzere herhangi bir tam sayı için aşağıdakileri tanımlayın: Bu Gi’ler, G’nin normatif alt gruplarının azalan bir filtrelemesini tanımlar; G−1 = G ve yeterince büyük i için Gi = {1}. Gi grubuna G’nin i’inci dallanma grubu denir. Gt’nin Gi olduğu konvansiyonla, t’den büyük veya eşit en küçük tam sayı i olduğunda. Sürekli, parça parça lineer ve artan olan φ haritası, yarım düzlemi [−1,∞) üzerine bir homeomorfizmadır. Üst numaralandırma şimdi yandaki gibi tanımlanır: Bu makalede Arf, Hasse ve Artin’in bir çalışmasını genelleştirdi ve bu genelleme genellikle Hasse-Arf teoremi olarak adlandırılır. Günümüzde Hasse-Arf teoreminin modern versiyonunun başlıca referansı Serre’in Local Fields adlı kitabıdır. Hasse-Arf teoremi üzerinde yapılan çok sayıda çalışma arasında, 1972’de Ikeda tarafından yapılan ilginç bir çalışma bulunmaktadır. Ikeda, Japon kökenli Türk bir matematikçiydi ve o zamanlar Orta Doğu Teknik Üniversitesi’ndeydi ve Arf ile birlikte çalışıyordu. Bu çalışma her iki beyefendi için heyecan verici olmalıydı. Aslında, Hasse-Arf teoreminin kısa ama tam bir açıklaması, Arf’ün 80. doğum gününü kutlamak amacıyla Türk Matematik Derneği tarafından yayımlanan Arf’ün toplu eserlerinin eklerinde bulunan Ikeda’nın kısa makalesinde bulunabilir. Ancak kitap, 1988’de, zamanın iki yıl öncesinde hazırlandı ve yayımlandı. İlginç bir şekilde, Ikeda yine Arf’ün ölümünden sonra sayı teorisi üzerine Arf’ün çalışmalarının detaylı bir incelemesini yazmıştır. Elif Yuşa ÖZDEMİR PUSULA 9
ALTIN ALTIN ORAN ORAN Altın oran kısaca matematikte iki miktardan büyük olanın küçük olana oranı, miktarların toplamının miktarların büyük olanının oranı ile aynı ise altın oran denir. Johannes Kepler’in bu konunun önemini şu şekilde belirtmiştir: ”Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pisagor teoremi, diğeri, bir doğrunun altın orana göre bölünmesidir.” Tarihte ilk defa Öklid’in Elementler adlı tezinde bir doğruyu 1,6180339... oranına göre bölmek olarak ifade edilmiştir. Fibonacci dizisindeki ilişkiside daha sonradan ortaya konulmuştur. Tarihte bu oran tablolarda, mimari yapılarda ve heykellerde kullanılmıştır. Fi sayısı olarak da bilinir. Altın oran pi sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır ve ilk 15 basamağı 1,618033988749894... olarak ifade edilebilir. Bu oranın kısaca gösterimi (1+√5)/2’dir. Bunlardan en önemlisi Leonardo da Vinci’nin Mona Lisa ve Son Yemek tablolarında,Yunan tapınağı olan Partenon’da, Mısırlıların Keops Piramidi’nde ve daha birçok yerde kullanılmıştır. Hasan DİYAPOĞLU 10 PUSULA
Mona Lisa, altın orana göre çizilmiştir. PUSULA 11
MühEndİslİktE MatEmatİk Matematik her alanda çokça kullanıldığı gibi mühendisliğin çoğu dalında da kullanılmaktadır. Hatta bu dallar o kadar çoktur ki matematik mühendislik alanında en çok kullanılan bilim olarak düşünülebilir. Bu dallara bazı örnekler verilecek olursak; Makine mühendisleri, mekanik sistemlerin tasarımı, bu makinelerin donanımı, analizi, çalışma prensibi üzerine çalışma yaparlar. Elektrik mühendisleri elektriğin üretimi, dağıtımı ve iletimi, projelendirilmesi ve kontrol edilmesi gibi alanlarda çalışır. Mekanik sistemlerin modellenmesi, termal analiz, akışkanlar mekaniği gibi konularda matematiksel yöntemler kullanılır. Dayanıklılık analizi, malzeme mühendisliği ve kinematik (hız ve ivmeyi konu alan) problemler de matematikle çözülen konular arasındadır. Devre analizi, sinyal işleme, kontrol sistemleri ve elektromanyetik alanlar gibi konular söz konusu olduğunda matematik kullanılır. Matematik, devrelerin tasarımı, analizi ve optimizasyonunda önemli bir rol oynar. 1- Makine Mühendisliği 2- Elektrik Mühendisliği 12 PUSULA
Yapısal mühendislik, zemin mekaniği, hidrolik mühendislik gibi alanlarda matematik kullanılır. Yapıların dayanıklılığı, malzeme mühendisliği ve yapısal analiz problemleri matematikle çözülür. 3- İnşaat Mühendisliği Mühendislik projelerinde matematik, fiziksel olayları ve sistemleri modelleme amacıyla kullanılır. Diferansiyel denklemler, integral hesap, matrisler ve benzeri matematiksel araçlar, gerçek dünya problemlerini tanımlamak ve analiz etmek için kullanılır. 4- Modelleme ve Analiz Matematik mühendislikte o kadar önemli bir daldır ki matematik ayrı bir mühendislik dalına konu olmuştur. Matematik mühendisleri araştırma ve geliştirme, analiz, istatistik, veri analizi gibi pek çok alanda iş yapar. Bu işlerin hepsini yaparken matematik aktif bir şekilde kullanılır. 5- Matematik Mühendisliği Yağmur ATEŞ PUSULA 13
ÜÇGENDE KAVRAMLAR Kenarlarına göre üçgenler açı ölçümlerine göre üçgenler Bir düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktanın birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Üçgenler trigonometrenin temelini oluşturur. Sinüs, kosinüs ve tanjant gibi trigonometrik fonksiyonlar ise astronomi, navigasyon ve ölçme gibi alanlarda çok önemli bir rol oynar. Yani üçgenler ve temel kavramlarına günlük yaşamımızda ve birçok yerde rastlayabiliriz. Üçgenler kenarlarına göre üçgenler ve açılarına göre üçgenler olmak üzere iki başlığa ayrılır. -Eşkenar Üçgen -İkizkenar Üçgen -Çeşitkenar Üçgen Eşkenar Üçgen: Üç kenarı da eşit uzunluktadır. Dar Üçgen: Her üç açısı 90 dereceden küçüktür. Çeşitkenar Üçgen: Üç kenarı da eşit uzunluktadır. İkizkenar Üçgen: En az iki kenarı eşit uzunluktadır. Geniş Üçgen: Açılardan biri 90 dereceden büyüktür. Dik Üçgen: Bir açısı 90 derecedir. -Dar Üçgen -Geniş Üçgen -Dik Üçgen 14 PUSULA
Dar Açı: Ölçüsü 0 ile 90 arasında olan açılardır. Doğru Açı: Ölçüsü 180 olan açılardır. Geniş Açı: Ölçüsü 90 ile 180 arasında olan açılardır. Dik Açı: Ölçüsü 90 olan açılardır. Tam Açı: Ölçüsü 180 olan açılardır. Açı Toplamı Özelliği: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 dereceye eşittir. Bu önemli özellik matematikçilerin üçgen içindeki açılar arasındaki ilişkileri çıkarabilmelerini sağlar. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Bu teoremin geometri, fizik ve mühendislik alanlarında geniş kapsamlı uygulamaları vardır. Üçgen Eşitsizliği Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Bu teoremin geometri, fizik ve mühendislik alanlarında geniş kapsamlı uygulamaları vardır. Meryem AYAN PUSULA 15
MODERN ŞİFRELEME YÖNTEMLERİNDE matematik Kriptografi, bilgi güvenliğini ve gizliliğini sağlamak için kullanılan matematiksel yöntem ve algoritmaların sanatını ve bilimini temsil eder. Günümüzde bilgisayar ve iletişim teknolojisinin hızla gelişmesiyle birlikte şifreleme alanında da büyük ilerlemeler kaydedilmiştir. Modern şifreleme algoritmaları güçlü matematiksel ilkelere dayanır ve bilgisayarlar arasındaki iletişimi korumak için kullanılır. Şifreleme algoritmaları temel olarak matematiksel işlemlere dayanmaktadır. Bu algoritmalar sayı teorisi, cebir ve matris teorisi gibi matematiğin dallarından yararlanır. Özellikle büyük sayıları işleyebilen ve modüler aritmetik konusunda uzmanlaşan algoritmalar kullanılır. Örneğin RSA (Rivest-Shamir-Adleman) algoritması asal sayı üretimi, modüler işlemler ve Euler fonksiyonları gibi matematiksel kavramlara dayanmaktadır. RSA algoritmasına ismini veren Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman (soldan sağa) 16 PUSULA
RSA algoritması, sayı teorisi temelinde çalışan bir açık anahtarlı şifreleme algoritmasıdır. RSA’da her kullanıcıya bir çift anahtar verilir: açık anahtar ve özel anahtar. RSA’nın güvenliği, büyük asal sayıların çarpanlarını bulma zorluğuna dayanır. Şifrenin kırılması için büyük sayıları etkin bir şekilde faktörleme yapabilen bir kuantum bilgisayarının var olması gerekmektedir. RSA algoritması, matematiksel olarak güvenilir ve geniş bir kullanım alanına sahiptir. Ancak, doğru anahtar uzunlukları ve güvenlik protokollerinin dikkatlice uygulanması önemlidir. 1- İki adet asal sayı seçilir. Bu sayıların büyük olması güvenlik açısından önemlidir. Sayılara p ve q diyelim. 2- Anahtarlar için temel bir değer hesaplanır. Bu değere n dersek n=p*q şeklinde hesaplanır. 3- Ardından n sayısından küçük ve kendisiyle aralarında asal olan sayma sayılarının adedi (totient fonksiyonu) hesaplanır. Bu değere a diyelim. 4- Açık anahtar değerine e dersek e’yi bulmak için 1<e<a aralığından bir asal sayı seçilir. 5- Açık anahtar değerine e dersek e’yi bulmak için 1<e<a aralığından bir asal sayı seçilir. RSA Algoritması nasıl çalışır? Eymen ŞAHİN PUSULA 17
MATEMATİK olimpiyatları Uluslararası Matematik Olimpiyatı logosu ULUSLARARASI MATEMATİK OLİMPİYATLARI Uluslararası Matematik Olimpiyatı (IMO), lise öğrencilerinin yarıştığı matematik olimpiyatıdır. Uluslararası Bilim Olimpiyatları’nın en eski dalıdır. İlk olarak 1959’da Romanya’da düzenlenen olimpiyat, o günden beri Sovyetler Birliği’nin Afganistan’a müdahalesi nedeniyle sadece 1980 yılında yapılmamıştır. Dünya nüfusunun %90’ından fazlasını oluşturan 100’den fazla ülkenin katıldığı olimpiyatlarda, ülkeler altı öğrenci, bir takım lideri, bir yardımcı lider ve gözlemcilerden oluşan bir takım gönderir. Takım üyelerinin aldığı puanlara göre en yüksek puana ulaşıp en başarılı ülke olmayı başaran 10 ülke vardır. 20 kez en başarılı ülke olan Çin, 16 kez en başarılı ülke olan Rusya (öncesinde SSCB) ve 8 kez en başarılı ülke olan ABD olimpiyatlardaki en başarılı üç ülkedir. Olimpiyatlarda hile yaparken yakalanan tek ülke olan Kuzey Kore, 1991’den 2010’a kadar olimpiyatlardan diskalifiye edilmiştir. 18 PUSULA
Ülkemizdeki matematik olimpiyatları TÜBİTAK tarafından düzenlenmektedir. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI Ülkemizde TÜBİTAK, ortaokul ve lise öğrencilerine yönelik olarak farklı dallarda bilim olimpiyatları düzenlemektedir. Matematik alanında olimpiyatlara katılan yarışmacılar önce 1. Aşama sınavına girerler, bu aşamada başarılı bulunan öğrenciler yaz kampına davet edilir. Öğrenciler yaz kampında 2. Aşama sınavına hazırlanır. 2. Aşama sınavı sonucunda ulusal düzeyde madalya kazanan öğrenciler, takım seçme sınavlarına hazırlanmak amacıyla kış kampına çağırılır. Kış kampına davet edilen öğrenciler, uluslararası olimpiyatlara katılmak için takım seçme sınavlarına alınır. Oluşturulan takımlar ile uluslararası olimpiyatlara katılınır. Arif Ahmet ALKAN PUSULA 19
GE günlük hayattaki kullanımları OMeTRİNİN Geometri, matematiğin bir dalı olarak şekillerin, uzayın, boyutların ve ilişkilerin incelenmesiyle ilgilenir. Günümüzde, geometrinin pratik uygulamaları sadece matematik sınıflarında değil, aynı zamanda günlük hayatta da yaygın olarak görülmektedir. Evlerimizden iş yerlerimize, ulaşım araçlarından mimariye kadar birçok alanda geometriye dayalı prensipler bulunmaktadır. Mimarlık, geometrinin en belirgin kullanım alanlarından biridir. Bir binanın planı, geometrik şekillerin kombinasyonuyla oluşturulur. Günlük hayatta kullandığımız ulaşım araçlarında da geometri önemli bir role sahiptir. Duvarların, pencerelerin ve kapıların yerleşimi, geometrik oranlar ve simetriler dikkate alınarak tasarlanır. Mimari projelerin çizimlerinde, üç boyutlu geometri prensipleri kullanılarak yapıların detaylı modelleri oluşturulur. Bir aracın aerodinamik tasarımı, hava direncini azaltmak ve yakıt verimliliğini artırmak için geometrik prensiplere dayanır. Trafik işaretleri ve yolların düzenlemesi, güvenli ve düzenli bir trafik akışı sağlamak için geometrik kurallara uygun olarak yerleştirilir. 1- Mimaride Geometri 2- Ulaşım Araçlarında Geometri 20 PUSULA
Finansal analizlerde, geometri sayısal verilerin görsel olarak temsil edilmesi için kullanılır. Geometri, günlük hayatımızın birçok yönünde karşımıza çıkar ve yaşamımızı şekillendirir. Mimari tasarımdan inşaat mühendisliğine, trafik planlamasından mobilya tasarımına kadar birçok alanda geometrik prensipler önemli bir rol oynar. Geometri, dünyayı anlamamıza ve çeşitli problemleri çözmemize yardımcı olan güçlü bir matematiksel araçtır. Grafikler, tablolar ve çizelgeler, finansal trendleri analiz etmek ve karar vermek için yaygın olarak kullanılan geometrik araçlardır. Hisse senedi fiyatları, piyasa hacmi ve ekonomik göstergeler gibi veriler, geometrik görselleştirmelerle daha anlaşılır hale getirilebilir. 3- Finansal Analizlerde Geometri Sonuç Alperen GÜLTÜRK PUSULA 21
MATEMATİK VE ASTRONOMİ birbirine kenetlenmiş bilimler Matematik ve astronomi, yüzyıllardır iç içe geçmiş ve birbirini besleyen iki bilim dalıdır. Gök cisimlerinin hareketlerini ve evrenin işleyişini anlamak için matematiksel modeller ve araçlar kullanmak, astronomi çalışmasının temelini oluşturur. Aynı şekilde, astronomiden elde edilen veriler de yeni matematiksel teorilerin geliştirilmesine ve mevcut teorilerin test edilmesine katkıda bulunur. Gökbilimciler, gök cisimlerinin konumlarını, hareketlerini ve özelliklerini ölçmek için çeşitli matematiksel araçlar kullanırlar. Bu araçlar arasında trigonometri, geometri, kalkülüs ve istatistik yer alır. Örneğin, gökbilimciler trigonometriyi kullanarak gök cisimlerinin uzaklıklarını hesaplayabilir, geometriyi kullanarak gök cisimlerinin yörüngelerini modelleyebilir, kalkülüsü kullanarak gök cisimlerinin hareketlerini tahmin edebilir ve istatistiği kullanarak astronomik verilerdeki örüntüleri belirleyebilirler. Gökbilimin temelinde matematik 22 PUSULA
Matematik ve astronomi, birbirini tamamlayan ve ilerleten iki bilim dalıdır. Matematik, astronomiye evreni anlamamıza yardımcı olan güçlü bir araç seti sağlar. Astronomiden elde edilen veriler de yeni matematiksel teorilerin geliştirilmesine ve mevcut teorilerin test edilmesine katkıda bulunur. Bu iki bilim dalının arasındaki etkileşim, evren hakkındaki bilgimizi geliştirmeye ve evrenin gizemlerini çözmeye devam etmemizi sağlar. Matematik, astronomiye birçok önemli katkıda bulunmuştur. Bu katkılardan bazıları şunlardır: Gök cisimlerinin hareketlerinin tahmini: Matematiksel modeller, gök cisimlerinin gelecekteki konumlarını ve hareketlerini tahmin etmek için kullanılabilir. Bu bilgiler, güneş tutulmaları ve ay tutulmaları gibi gök olaylarını önceden tahmin etmemizi sağlar. Evrenin büyüklüğünün ve yaşının ölçümü: Matematiksel araçlar kullanarak, gökbilimciler evrenin büyüklüğünü ve yaşını ölçmeyi başardılar. Bu bilgiler, evrenin nasıl oluştuğu ve nasıl işlediği hakkında bilgi edinmemize yardımcı oluyor. Yeni gök cisimlerinin keşfi: Matematiksel modeller, gökbilimcilerin yeni gök cisimlerini keşfetmesine yardımcı olabilir. Örneğin, gökbilimciler, Neptün gezegenini, matematiksel hesaplamaların Güneş Sistemimizde keşfedilmemiş bir gezegenin varlığını önermesinin ardından Sonuç Matematiğin astronomiye katkıları Yusuf Furkan KOÇ PUSULA 23
pi sayısının sanata etkisi Pi sayısının sanatı etkilediğini biliyor muydunuz? Bu yazıda Pi sayısının sanatı ve edebiyatı nasıl etkilediğini birkaç örnekle inceleyeceğiz. Başlamadan önce kısaca tanımlarsak Pi sayısı, matematiksel hesaplamalarda kullanılan bir sabittir. Genellikle 3,14 ya da 22/7 olarak kısaltılmış hali kullanılan bu sabit, bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak bilinmektedir. Pi sayısının ondalık basamakları sonsuza dek uzadığı için sayılar kendilerini hiç bir şekilde düzenli tekrarlamazlar. Bundan dolayı bir dairenin alanını ya da gerçek çevresini bulmak mümkün olmamaktadır. Pi sayısının sanata etkisini ise bu sayıdan ilham alınarak yapılan eserleri incelediğimizde gözlemleyebiliriz. Sol altta görüyor olduğunuz Martin Krzywinski’ye ait olan eserle başlayalım. Her ne kadar ilk bakışta Pi sayısıyla herhangi bir bağlantısı yokmuş gibi gözüküyor olsa da, aslında kullanılan her rengin bir sayıya denk olduğunu (Turuncu = 3, Kırmızı = 1, Sarı = 4 gibi) fark ettiğimizde, Pi sayısının esere nasıl yansıtıldığını anlayabiliyoruz. 24 PUSULA
Şimdi ise Pi sayısının edebiyata olan etkisine bakalım. İngilizcede “pilish” olarak anılan, Pi sayısı ile kısıtlamalı bir teknikle şiir veya yazı tekniği vardır. Şiirde ya da yazıda art arda gelen her kelimedeki harf sayısının Pi sayısındaki rakamların sıralanışına denk gelişi olarak açıklanabilecek “pilish” tekniği, 1900’lü yılların başından beri görülmektedir. Edgar Allen Poe’nun “The Raven” şiirini bu teknikle yeniden yazan Michael (Mike) Keith’in “Near A Raven” şiirinin başlığındaki harf sayısı 3,1415 olarak görülür. Bu şiir birbirini izleyen her kelimedeki harf sayısının Pi rakamlarını “hecelediği” Pi kısıtlaması kullanılarak yazılmış en uzun metinlerden biriydi. Pi’nin ilk on bin rakamıyla yazılan “Not a Wake” kitabı, en uzun pilish metin olarak 2010 yılında Michael Keith tarafından yayınlanmıştır. Yine Martin Krzywinski’ye ait olan bu eserde ise tıpkı önceki eserdeki gibi renklerin sayılarla ilişkilendirildiğini, önceki eserden farklı olarak ise sayıların merkezden dışa doğru bir şekilde spirale yerleştirildiğini görebiliriz. Bu eserde Pi sayısının ilk 13689 basamağı kullanılmıştır. Cristian Vasile isimli bir sanatçı ise Pi’nin dairesel gösterimleri üzerinde çalışmıştır. 0 ile 10 arasındaki rakamları bir dairenin etrafına dizmiştir. Sonrasında 3’ten 1’e bir çizgi çekmiştir. Ardından 1’den 4’e ve devamında da Pi sayısının diğer basamaklarına göre çizgiler çekmeye devam ederek yandaki eseri elde etmiştir. Zeynep Sude ALTUNSOY PUSULA 25
Leonardo Fibonacci Avrupa Orta Çağlarının önemli ve en ünlü matematikçisi Leonardo Fibonacci’nin kısa bir tarihine başlayalım. O, şu an İtalya olarak bilinen Pisa’da 1170 civarında Bonacci ailesine doğdu. 1250 civarında öldü. Bazı insanlar ona Pisa’lı Leonardo da dedi. Fibonacci, yirmili yaşlarında, Hindu-Arapça sayı sistemi ve hesaplama tekniği ile tanıştığı Müslüman bir öğretmen tarafından Bougie’de erken eğitim aldı. Yunanistan, Fransa gibi Avrupa ülkeleri ve Afrika’nın kuzey kısımlarına (Mısır) seyahat etti. Yolculuğunda çeşitli aritmetik sistemlerini öğrendi. Fibonacci, Pisa’ya döndüğünde, Hindu-Arapça sayılarının Roma sayı sistemi üzerinde üstünlüğüne ikna oldu. Yaklaşık 1202’de, Pisa’lı Leonard olarak da bilinen Fibonacci, aritmetik (ticarette matematiksel yöntem hakkındaki söyleşi) ve elementer cebir üzerine ilk kitabı olan Liber Abaci’yi yayınladı. Avrupa’ya Hindu-Arapça sayı sistemi ve aritmetik algoritmasını tanıttı, bu da genel olarak hatırlanmasını sağlayan iki katkıdan biri oldu. 1225’te, Fibonacci başka iki kitap daha yayınladı, Flos (çiçekler) ve Liber Quadratorum (kare sayılar kitabı).İki kitap da sayıların teorisiyle ilgilendi. Fibonacci’nin parlaklığı ve orijinalliği nedeniyle, çağdaşlarının yeteneklerini geride bıraktı. Diğer katkılar, ilk kitabında (Liber Abaci) yayınlanan zorlayıcı zeka soruları olarak görülen, görece olarak önemsiz olarak bilinir. Altın Oran, Eski Yunanlar tarafından Altın Kesim olarak da bilinen irrasyonel bir sayıdır. Modern bilimlerde özellikle teorik fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Leonardo Fibonacci (1170-1250) 26 PUSULA
Altın oranın birçok özelliği vardır. Kendi tersinin 1 ile toplanmasıyla eşit olan bir sayıdır. Benzer şekilde, ardışık Fibonacci sayılarının herhangi iki oranı, yaklaşık olarak 1.618 veya tersi olan 0.618 verir. Bu, Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu Altın Oran, Mısırlılar tarafından büyük piramitlerinin inşasında kullanılmıştır. Yunan alfabesinin ilk harfi olan Phi (Φ, büyük harf veya φ, küçük harf) ile simgelenir, ancak bu bağlamda kullanılmayacak. Phi harfine, Amerikalı matematikçi Mark Barr tarafından, Yunan heykeltıraş Phidias’ın adındaki Yunan alfabesinin ilk harfi olduğu için verilmiştir, Phidias tüm heykellerinde altın kesim prensiplerini geniş bir şekilde kullanmıştır. Altın oranın benzersiz matematiksel özellikleri vardır. Bu özelliklerden biri, bir çizginin iki segmente bölünmesi kavramıdır. Bir çizgiyi, bütün uzunluğun uzun segment uzunluğuna oranının, uzun segmentin uzunluğunun kısa segmentin uzunluğuna oranına eşit olduğu şekilde bölebilirsek, bu oranın altın oran olduğunu söyleyebiliriz. Elif Yuşa ÖZDEMİR PUSULA 27
Blaise PASCAL Blasie Pascal 19 Haziran 1623’te Fransa’nın Clermont-Ferrand şehrinde doğdu. Pascal küçük yaşlardan itibaren matematiğe karşı olağanüstü bir ilgi ve yetenek sergiledi. Babası Etienne Pascal oğlunun 15 yaşından önce matematik çalışmaması gerektiğine karar vererek evdeki matematik dökümanlarını kaldırır. Fakat bu hareketle Blasie Pascal’ın matematiğe olan merakı daha da artar ve matematik çalışmalarına yoğunluk verir. 1654 yılında Pierre de Fermat ile birlikte bir çalışma yapmış ve bu çalışmanın sonucunda “Olasılık Kuramı”nı ortaya çıkarmıştır. Fermatla yaptığı çalışmalarda Pascal ünlü “Pascal Üçgeni”ni geliştirmiştir. Bu üçgen, kombinatorik, olasılık ve cebir gibi birçok alanda kullanılan önemli bir araçtır. Pascal ve Fermat’ın yaptığı olasılıklar hesaplaması çalışmaları, daha sonra Leibniz’in Kalkülüs formülasyonuna önemli bir temel oluşturmuştur. 18 yaşından itibaren sağlığı bozulmaya başlayan Pascal 1662 yılının haziran ayında 39 yaşında kanserden vefat etti. Gerisinde matematik,geometri, fizik ve felsefe gibi alanlarda getirilmiş yenilik ve buluşlar bıraktı. 16 yaşındayken, konikler üzerine bir eser yazar, bu çalışması ünlü Descartes’i hayretlere düşürür. Bu çalışma günümüzde hala “Pascal Teoremi” olarak bilinir. Bu eserinden sonra 1639 yılında da “Pascal’ın Esrarengiz Altıgeni”yle geometriye katkıda bulunmuştur. On sekiz yaşına gelince, 1642 yılında babasının bitmeyen yorucu vergi hesaplamaları için mekanik bir hesap makinesi geliştirdi. Bu hesap makinesi günümüzde Paris Sanayi Müzesi’nde sergilenmekte. Meryem AYAN 28 PUSULA
AUGUSTUS de MORGAN Augustus De Morgan İngiliz matematikçi ve mantıkçıdır. 1806’da dünyaya gelmiştir. Cebir, matematiksel mantık ve sembolik mantığın gelişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bugün hala kullanılan pek çok sembolü tanıtmıştır. De Morgan, Londra Üniversitesi’nde eğitim almış ve matematik alanında uzmanlaşmıştır. Daha sonrasında pek çok öğrenciye matematik eğitimi vermiştir. De Morgan, matematiği daha geniş bir kitleye yaymak yazmış ve amacıyla çeşitli popüler makaleler yazmış Önemli çalışmalarından bazıları: -De Morgan yasalarını ortaya koymuştur. -Matematiksel tümevarım kavramını ortaya atmıştır. -1866’da Londra Matematik Vakfı’nı yeniden kurmuştur. -Cebire getirdiği yeni yaklaşımlarla cebirin doğasını anlamayı başarmıştır. -Diferansiyel ve İntegral Hesap adlı eserini yayınlamıştır. -Modern sembolik mantığın gelişmesinde büyük rol oynamıştır. ve matematiksel terimlerin anlaşılmasını kolaylaştırmıştır. 1836’da “Elements of Algebra” adlı bir kitap yayınlamış ve bu eser cebirsel sembollerin kullanımını açıklamak için popüler olmuştur. Aynı zamanda matematik dışında ilgilendiği alanlar da vardır. Filozofi ve tarihi konularda önemli çalışmaları bulunmaktadır. Matematik topluluğunda etkili bir figür olan De Morgan, birçok genç matematikçiye ilham vermiştir. 1871’de hayatını kaybedene kadar matematik eğitimine ve araştırmalarına devam etmiştir. Eymen ŞAHİN PUSULA 29
Trİgonometrİ nedir? Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalıdır. Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine kurulmuştur ve günümüzde fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır. Trigonometri birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir. Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik işlevler farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur. Abbasiler döneminde ölçülmüştür. Batıda Nasîrüddin Tûsî’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da Leonhad Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı. Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde bilinmekle beraber, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler. İlk kez Akdeniz’in çevresi trigonometre ile Trigonometrinin Tarihçesi Arif Ahmet ALKAN 30 PUSULA
Alperen GÜLTÜRK MATEMATİKSEL OYUN TEORİSİ ve stratejik düşünme Günümüzde, matematik sadece sayılarla ilgili değildir. Aynı zamanda stratejik düşünme, problem çözme ve karar verme gibi birçok alanda da kullanılmaktadır. Matematiksel oyun teorisi de bu alanlardan biridir. Oyun teorisi, çeşitli oyuncuların stratejik kararlar alırken nasıl etkileşime girdiğini ve bu etkileşimlerin sonuçlarını inceleyen bir disiplindir. Matematiksel oyun teorisi, bu etkileşimleri matematiksel modeller ve analizlerle açıklamayı amaçlar. Oyun teorisi, 20. yüzyılın başlarında John von Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. Temelinde, bir oyunun oyuncuları, stratejileri ve kazançlarıyla ilgili matematiksel bir model bulunur. Bu modeller, çeşitli durumları ve olası hamleleri hesaba katarak oyuncuların en iyi stratejilerini belirlemeye çalışır. Matematiksel oyun teorisi, genellikle matematiksel modellerle çalışır. Bunlar, oyuncuların seçimlerini, karar ağaçlarını ve olası sonuçları gösterir. Örneğin, basit bir “Sıfır Toplam Oyunu” düşünelim. Bu oyun, oyuncuların toplam kazancının sıfır olduğu bir durumu ifade eder. Bir oyuncunun kazancı, diğerinin kaybıyla doğrudan ilişkilidir. Bu tür bir oyun, matematiksel olarak matrislerle temsil edilebilir ve çözümü için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Matematiksel oyun teorisi, sadece oyunlarla sınırlı kalmaz, aynı zamanda gerçek dünya problemlerinde de kullanılır. Stratejik düşünme ve karar verme süreçlerinde, rakiplerin eylemlerini tahmin etmek ve en iyi stratejiyi belirlemek için oyun teorisi modelleri kullanılabilir. Bu, ekonomiden politikaya, işletme yönetiminden savaş stratejisine kadar birçok alanda uygulanabilir. Matematiksel oyun teorisi, stratejik düşünme ve karar verme süreçlerini anlamak için güçlü bir araçtır. Oyun teorisi modelleri, karmaşık problemleri basitleştirmeye ve analiz etmeye yardımcı olur. Sadece matematikçilerin değil, aynı zamanda ekonomistlerin, politikacıların ve stratejistlerin de vazgeçilmez bir aracıdır. Oyunların matematiksel modelleri Stratejik düşünme ve karar verme Sonuç PUSULA 31
MİMARİDE MATEMATİK temel ve uygulama Mimarlık ve matematik, yüzyıllardır iç içe geçmiş ve birbirini besleyen iki disiplindir. Binaların tasarımı ve inşası, sağlamlık, estetik ve işlevsellik gibi temel prensiplere dayanır. Bu prensiplerin en önemlileri matematiksel kavramlarla yakından ilişkilidir. Mimarlar, binalar tasarlarken ve inşa ederken çeşitli matematiksel kavramları kullanırlar. Bu kavramlardan bazıları şunlardır: Geometri: Mimarlar, binaların şeklini ve formunu tanımlamak için geometriyi kullanırlar. Noktalar, çizgiler, açılar, üçgenler, kareler ve diğer geometrik şekiller, binaların estetiğini ve işlevselliğini belirlemede önemli rol oynar. Orantı ve Ölçek: Mimarlar, binaların farklı bölümleri arasında orantı ve ölçek oluşturmak için matematiksel hesaplamalar kullanırlar. Bu, binalara uyumlu ve dengeli bir görünüm kazandırır. Hesaplama: Mimarlar, binaların güvenli ve sağlam olmasını sağlamak için mühendislik hesaplamaları yaparlar. Bu hesaplamalar, binaların ağırlığını, yükünü ve gerilmelerini hesaplamak için kullanılır. Matematiksel kavramların mimaride kullanımı 32 PUSULA
Mimarlar, binalar tasarlarken ve inşa ederken çeşitli matematiksel kavramları kullanırlar. Bu kavramlardan bazıları şunlardır: Pantheon: Roma’daki Pantheon, mimarisinde matematiksel oranlara ve geometrik şekillere dayanan ikonik bir yapıdır. Kubbesi, 43 metre çapındadır ve o zamanlar inşa edilmiş en büyük kubbe olma özelliğini taşımaktadır. Guggenheim Müzesi: New York’taki Guggenheim Müzesi, Frank Lloyd Wright tarafından tasarlanmış spiral bir yapıdır. Müzenin tasarımı, Fibonacci dizisini temel alan matematiksel bir formdadır. Sydney Opera Binası: Sydney Opera Binası, Jørn Utzon tarafından tasarlanmış ikonik bir yapıdır. Binanın yelpaze şeklindeki kabukları, karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanılarak tasarlanmıştır. Mimarlar, binaların tasarımlarını test etmek ve optimize etmek için matematiksel modelleme ve simülasyon tekniklerini kullanırlar. Bu teknikler, binaların farklı hava koşullarına ve depremlere karşı nasıl tepki vereceğini tahmin etmek için kullanılabilir. Bu sayede binaların daha güvenli ve dayanıklı olması sağlanabilir. Örnekler Matematiksel modelleme ve simülasyon Yusuf Furkan KOÇ PUSULA 33
0 SAYISININ KRONOLOJİSİ Matematik tarihinin en önemli keşiflerinden birisi sıfır rakamıdır. Bu yazıda günümüzdeki çoğu bilim dalının ve bilimsel buluşun gelişimine büyük ölçüde katkı sağlayan bu sayının nasıl ortaya çıktığını anlatacağız. 5. yüzyılda Hintli gök bilimci ve matematikçi Aryabhatta, sıfırı ondalık sayı sistemine dâhil ederek matematiğe kazandırdı ve sıfır rakamını bir nokta kullanarak ifade etti. Sıfır farklı uygarlıklarda birbirinden bağımsız olarak keşfedilmiştir. Sıfırın ilk kez 5.000 yıl önce Mezopotamya’da Sümerler tarafından kullanıldığı biliniyor. Sümerler sıfırı günümüzdeki şekilde kullanmamışlardır. Sadece bir “yer tutucu” olarak kullanmışlardır. Örneğin Sümerler döneminde 115 sayısı üç sütun kullanılarak yazılıyordu. Birler sütununda 5, onlar sütununda 1 ve yüzler sütununda 1 yer alıyordu. Bu ayrım günümüzdeki birler, onlar ve yüzler basamağı olarak düşünülebilir. Ancak 105 sayısı için ikinci sütuna eğimli bir çift kama işareti yapılıyordu. Bu aslında o sütunda rakam olmadığını gösteriyordu. Yani bu dönemlerde sıfır bir rakam olarak düşünülmüyordu. 34 PUSULA
7. yüzyılda Hintli gök bilimci ve matematikçi Brahmagupta, toplama ve çıkarma gibi matematiksel işlemlerde kullanmak için sıfırın kurallarını tanımladı. Daha sonra sıfır 9. yüzyılda Hârezmî tarafından kullanıldı. Hârezmî’nin 1’den 9’a kadar olan rakamların yanı sıra sıfır (0) sayısını da kullanması matematiğe getirdiği en büyük yenilik olarak kabul edilir. Hârezmî, çıkarma işleminde hiçbir şey kalmadığını ifade etmek için küçük bir yuvarlak yaptı. Ayrıca cebirsel işlemlerde sıfırın nasıl kullanıldığını gösteren bir kitap da yazdı. Böylece sıfır günümüzdeki anlamıyla kullanılmaya başladı. Hârezmî matematiğe katkıları nedeniyle cebirin kurucusu olarak bilinir. 13. yüzyılda ise İtalyan matematikçi Fibonacci sıfırı Avrupa’ya tanıttı. Fibonacci ayrıca Hint-Arap rakamlarının matematiksel işlemlerde Roma rakamlarına göre daha kolay olduğunu görüp ve bu sayı sistemini Liber Abaci isimli eseriyle Avrupa’ya tanıttı. Zeynep Sude ALTUNSOY PUSULA 35
Depremin Matematiği Güçlü hareket ölçüm aleti ağları, küçükten bölgesel ve dünya çapındaki veri bankalarını oluşturmayı mümkün kılmıştır. Bu veri, güçlü deprem yer hareketi parametrelerinin tahminine yönelik araştırmalar için büyük öneme sahiptir; bu araştırmalar, veri bankalarına uydurulan deneysel matematiksel modellere başvurularak yapılır. Bu matematiksel modeller yer hareket modelleri veya zayıflama yasaları olarak adlandırılır. Bunlar, yer hareketi parametreleri ile yer hareketi genliklerini etkileyen faktörler arasındaki ilişkileri tanımlar; bunlar arasında salınan enerji, bölgesel özellikler, yerel toprak özellikleri, fay tipi, ışıma deseni vb. yer alır. Yer hareketi modelleri, regresyon analizi yöntemi uygulanarak tanımlanır. Regresyon katsayıları ve standart sapma, regresyon analizinin bir sonucu olarak elde edilir. Standart sapma, verinin hesaplanan ortanca veya ortalama değer etrafındaki dağılımının bir ölçüsüdür; bu dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu tarafından tanımlanır. Zayıf sapma katsayıları ve standart sapma, deprem tehlikesi metodolojisinin kullanımını desteklemektedir; ancak, tehlike eğrilerinin nasıl hesaplandığına dair hala belirsizlikler bulunmaktadır. Yer hareketi matematiksel modelleri, pratikte uygulanan deprem tehlikesi analizlerinden elde edilen sonuçlar üzerinde büyük bir etkiye sahiptir. Bu durum, gerçekleşen güçlü depremlerden elde edilen mevcut veri bankalarına en iyi uyacak matematiksel 36 PUSULA
modellerin geliştirilmesine yönelik dünya genelinde birçok araştırmacının yaptığı çabaları haklı çıkarmaktadır. Sonuç olarak, yer hareketi ile ilgili birçok farklı matematiksel model bulunmaktadır. Matematiksel bir deprem denkleminin çözümü, deprem merkezinden eşit mesafedeki iki konumda elde edilen deprem kayıtlarının analizlerinden geldi. Her iki konum için, deprem merkezine olan mesafe ve odak derinliği eşittir. Fark, konumların fay düzlemi yüzeyine yansıtılmasına göre olan pozisyonlarındadır, yani fay düzleminin yönü ile enstrüman konumuna doğru yönelim arasındaki açıdır. Dolayısıyla, bu iki konumda kaydedilen genlik farkları, konumun fay düzlemi projeksiyonuna ve o konumun bulunduğu yöndeki bölgenin özelliklerine göre kaynaklanır. Örneğin, eşit değere sahip PGA genliklerinin birbirine bağlandığı bir izoseismal ile kaydedilen genlikler bağlantılıysa, iki düşünülen konumun eşit epicentral mesafelerde olmasına rağmen, farklı kaydedilen genliklerden dolayı iki konumun aynı izoseizmal üzerinde olmayacağı açıktır. Deprem derinliği her iki konum için aynı olduğundan, bölgesel özellikler, sismik alanın yüzeydeki şeklini düzeltmek için epicentral mesafeler aracılığıyla düzeltme yapar, bu nedenle yüzeydeki sismik alanın şekli bir daire değildir. Bu nedenle, her bir bireysel deprem için yer hareketi modeli, düzeltilmiş epicentral mesafenin veya tek bir fonksiyona bölünmüş epicentral mesafenin bir fonksiyonudur, bu da p olarak adlandırılan ve eşit PGA genliklerinin izoseizmalarının şekli ve konumun fay düzlemi projeksiyonu üzerindeki yönelim arasındaki açıya bağlı olan bir fonksiyondur. Elif Yuşa ÖZDEMİR PUSULA 37
CARL F. GAUSS Tam adı Johann Carl Friedrich Gauss olan ünlü matematikçi Almanya’da doğmuştur. Matematikçi diye anılsa da aynı zamanda astronom ve istatistikçidir. ”Matematikçilerin prensi” ve “Antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi” gibi çok üst düzey unvanlara sahiptir. Gauss çocukluğundan beri üstün bir hesaplama yeteneğine sahipti. Henüz 3 yaşındayken babasının kağıt üzerinde yaptığı hesapları kafadan kontrol edip düzeltiyordu. 24 yaşında “Gauss normal dağılımı” çalışmasını tamamladı. 30 yaşında Gauss eğriliği çalişmasını tamamladı. Bu şekilde matematik alanında birçok çalışmaları vardır. Sürekli matematikle anılsa da fizik alanında da elektromanyetizma alanında Gauss teoremi ve Gauss yasası adı verilen teoremleri geliştirmiştir. Hasan DİYAPOĞLU Gauss normal dağılımı 38 PUSULA
ULUG BEY Matematik ve astronomiye yaptığı katkılarla tanınan Uluğ Bey, 1394 yılında Semerkant’ta doğmuştur. Timur İmparatorluğu’nun kurucusu Timur’un torunudur. Asıl adı Muhammed Taragay’dır. “Uluğ Bey” unvanı, Timurlular’daki “emîr-i kebîr”’in Türkçe karşılığıdır ve “büyük bey” anlamına gelir. Uluğ Bey, çocukluk ve gençlik yıllarını sarayda geçirdi. Bu dönemde dinî ilimlerin yanı sıra mantık, matematik ve astronomi eğitimi aldı. 1405 yılında Timur’un ölümünden sonra, Uluğ Bey Maveraünnehir’in valisi oldu. Semerkant’ta bir rasathane ve kütüphane kurdu. Bu kurumlarda birçok önemli bilim insanı ve sanatçı görev aldı. Uluğ Bey’in döneminde Semerkant, önemli bir bilim ve kültür merkezi haline geldi. Uluğ Bey, 1449 yılında oğlu tarafından tahttan indirildi ve bir yıl sonra idam edildi. Uluğ Bey’in matematik alanında birçok önemli çalışması bulunmaktadır.. En önemli eseri olan Zij-i Uluğ Bey, astronomi ve trigonometri üzerine bir ansiklopedidir. Bu eser, o dönemdeki en kapsamlı ve doğru astronomi tablolarını içermektedir. Zij-i Uluğ Bey, Avrupa’da da büyük ilgi görmüş ve birçok dile çevrilmiştir. Muhammed Ali GÖKTEKİN Diğer önemli matematik çalışmalarından bazıları: -Tevhid-i Maraghe: Bu eser, paralel çizgiler ve daireler ile ilgili geometrik problemleri ele almaktadır. -Şerh-i Ashabul-Hiyal: Bu eser, Öklid’in Elementler adlı eserinin bir yorumudur. -Risale fi Tahkik-i Muhtasarat-ı Tusi: Bu eser, Nasirüddin Tusi’nin Esasu’l-Hikmah adlı eserindeki matematiksel problemleri çözmektedir. PUSULA 39
MATEMATİĞİN DOĞUŞU Şuan dünyamızda bulunan çoğu teknolojinin, sistemin yapı taşlarını matematik oluşturmaktadır. Peki her şeyin temelinde olan, her yerde olan bu matematik nasıl doğmuştur? Matematiğe dair günümüze gelen en eski belgeler Mısır ve Mezopotamya’dandır. Sayı, büyüklük ve biçim kavramlarıyla ilgili düşünce ve kavrayışlar yani ilk matematiksel düşünce biçimleri Antik Mısır’da MÖ 3000 yıllarında başlamıştır. İnsanoğlu matematiğe doğada ve toplumda düzeni, sürekliliği sağlamak, insanlar arasında adalet ve eşitliği getirmek için ihtiyaç duymuş bu nedenle çeşitli yerlerde matematiksel hesaplamaların başlangıcını yapmıştır. Matematiğe dair günümüze gelen en eski belgeler Mısır ve Mezopotamya’dandır. Sayı, büyüklük ve biçim kavramlarıyla ilgili düşünce ve kavrayışlar yani ilk matematiksel düşünce biçimleri Antik Mısır’da MÖ 3000 yıllarında başlamıştır. İnsanoğlu matematiğe doğada ve toplumda düzeni, sürekliliği sağlamak, insanlar arasında adalet ve eşitliği getirmek için ihtiyaç duymuş bu nedenle çeşitli yerlerde matematiksel hesaplamaların başlangıcını yapmıştır. Antik Mısır matematiği ile ilgili elimize geçen belge sayısı çok azdır. Bunun temel nedenleri: Papirüs bitkisinin saplarından yaptıkları bu kağıtlar Antik Mısır’dan kalma matematik sorularını günümüze ulaştırmış, matematiğin doğuşu ve başlangıcı hakkında bir tarih ve yer belirlememizde yardımcı olmuştur. Üç büyük yangın İskenderiye kütüphanelerinde bulunan eserlerin tamamının yanmasına sebep olmuştur. Antik Mısırlılar yazıyı papirüslere yazmışlardır. 40 PUSULA
Antik Mısır döneminden günümüze ulaşmış iki papirüs vardır. Bunlar Ahmes (Rhind) ve Moskova papirüsüdür. MÖ 1850 yıllarında yazılmıştır. Matematik öğretmek amacıyla yazılan bu papirüs 6 metre uzunluğunda 35 santimetre genişliğindedir. Giriş kısmında kesirli sayılarla işlemlerin yer aldığı birkaç alıştırma ve sonrasında ayrıntılı bir şekilde çözümleri yapılan 87 soru bulunmaktadır. Bu sorular paylaşım ve faiz hesabı gibi günlük yaşamda karşılaşılabilecek türde olan aritmetiksel işlemleri ve bazı geometrik işlemlerde alan bulmayı içeren sorulardır. Moskova Papirüsü MÖ 1600 yıllarında yazılmıştır. Bu papirüste ise 25 soru bulunmaktadır. Bu sorulardan 2 tanesi haricindeki diğer sorular Ahmes papirüsünde yer alan sorularla aynı tarzdadır. Farklı olan 2 sorudan ilki, bir düzlemle kesilen küre parçasının hacminin ve yüzey alanının hesaplanması ile ilgilidir. Diğeri ise yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin hesaplanmasıyla ilgilidir. İki sorunun çözümü de doğru şekilde yapılmıştır. Ayrıca bu sorular Mısır matematiğinin zirveri olarak kabul edilmiştir. Ahmes (Rhind) Papirüsü Moskova Papirüsü Meryem AYAN PUSULA 41
PİSAGOR TEOREMİ matematiğin temel taşı Pisagor teoremi, matematiğin en temel ve önemli teoremlerinden biridir. Bu teorem, dik açılı üçgenlerde hipotenüsün (dik açıya karşı olan kenarın) karesi, diğer iki kenarın (dik açıya bitişik olan kenarların) karelerinin toplamına eşit olduğunu belirtir. Teorem, ismini 6. yüzyılda yaşamış olan Yunan filozof ve matematikçi Pisagor’dan alır. Pisagor teoremi, şu şekilde ifade edilir: a² + b² = c² Bu formülde: a: Dik açıya bitişik ilk kenar b: Dik açıya bitişik ikinci kenar c: Hipotenüs (dik açıya karşı olan kenar) Pisagor teoremi, birçok farklı şekilde gösterilebilir. En yaygın kullanılan gösterim yöntemi, geometrik bir gösterimdir. Bu gösterimde, bir dik açılı üçgenin kenarları ve hipotenüsü karelerle çevrilidir. Her bir karenin alanı, kenarının uzunluğunun karesi kadardır. Pisagor teoremi, matematiğin birçok farklı alanında kullanılır. Teorem, alan hesabı, trigonometri, geometri ve diğer matematik dallarında önemli bir rol oynar. Ayrıca, fizik, mühendislik, mimarlık ve diğer bilim dallarında da kullanılır. Teoremin formülü Teoremin gösterimi Teoremin kullanım alanları 42 PUSULA
Pisagor teoremi, matematiğin temel taşlarından biridir. Teorem, basit bir formüle sahip olmasına rağmen, birçok farklı alanda önemli bir rol oynar. Pisagor teoremi, matematiğin gücünü ve güzelliğini gösteren mükemmel bir örnektir. Pisagor teoreminin bazı örnek kullanımları şunlardır: -Bir merdivenin boyunu hesaplamak -Bir binanın yüksekliğini hesaplamak -Bir üçgenin kenarlarının uzunluklarını bulmak -Bir dairenin yarıçapını hesaplamak -Bir üçgenin türünü belirlemek Sonuç Teoremin örnek kullanımları Yusuf Furkan KOÇ PUSULA 43
ATATÜRK VE MATEMATİK Atatürk zamanının en ileri gelen aydınlarından biridir. Sadece bir cumhurbaşkanı değil, aynı zamanda bir ülkenin kurucusu, mükemmel bir komutan, bir devlet adamı, bir tarihçi, bir dilbilimci, bir öğretmen, aynı zamanda da bir matematik, geometricidir. Bütün bu alanda yaptığı çalışmaları onu çağından çok daha ileride tutar. Kurduğu Türk cumhuriyetinde her zaman akıl ve bilimi ön planda tutarak kısa bir sürede köklü bir devlet kurmayı başarmıştır. Hiç şüphesiz ki bu başarısındaki en büyük etkenlerden birisi bilime ve akla verdiği önemdir. Çalışmalarını belirli bir alanda sınırlı tutmak çok zor da olsa, Atatürk’ün matematik bilimi için yaptığı şeylere bir göz atalım: Atatürk’ün matematik alanında yaptığı en büyük çalışma, yazdığı geometri kitabıdır. Atatürk, çok iyi bildiği Fransızca dilinde matematik ve geometri kitapları okumaya başlamıştır. 1936 yılında Fransız geometri ve matematik kitaplarını okuyan Atatürk, bunları Türk diline çevirmeyi düşünmüştür. Türkçeye pek çok matematiksel kavram katmıştır. Bunlardan bazıları: Gaye Aşar’i Kat’ı Mükafti İhtisar Ehram Menşur Suret Mahrec Hatt-ı Mümas Müselles Maksumunaleyh Taksim Haric-i Kısmet Limit Ondalık Parabol Sadeleştirme Piramit Prizma Pay Payda Teğet Üçgen Bölen Bölme Bölüm Atatürk’ün geometri kitabı ESKİ YENİ ESKİ YENİ 44 PUSULA
Atatürk ölümünde bir buçuk yıl kadar önce, üçüncü Türk Dil Kurultayından (24-31 Ağustos 1936) hemen sonra 1936- 1937 yılı kış aylarında kendi eliyle Geometri adli bir kitap yazmıştır. Atatürk, bunu, birtakım Fransızca geometri kitaplarını okuduktan sonra hazırlamış ve yapıt ilk kez 1937 yılında yayınlanmıştır. Bu 44 sayfalık kitap, uzay, yüzey, düzey, çap, yarıçap, kesek kesit, yay, çember, teğet, açı, açıortay, iç ters açı, dış ters açı , taban, eğik, yatay, düşey, yöndeş, konum, üçgen, dörtgen, beşgen, köşegen, eşkenar, ikizkenar, paralelkenar, yanal, yamuk, artı, eksi, çarp, bölü, eşit, toplam, oran, orantı, türev, alan, varsayı, gerekçe gibi terimler Atatürk tarafından türetilmiştir. “İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.” “Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir.” “Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur.” “Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın.” Atatürk’ün matematik hakkında sözleri Yağmur ATEŞ PUSULA 45
THALES Thales İyonyalı bir antik Yunan matematikçi, astronom ve filozoftu. Tarihteki ilk filozoflardan olduğu için bilimin öncüsü olarak kabul edilir.Günümüze ulaşmış hiçbir yazılı metni yoktur. Hakkındaki bilgilere Heredot, Aristo gibi antik yazarlardan edinilir. Thales felsefenin babası olarak kabul edilse de matematiğe de birçok katkısı bulunur. Hz. İsa’dan önce yaşamış 7 büyük bilim insanından biridir. Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlılara tanıtmıştır ve geometriye kendisi de birçok fayda sağlamıştır. ”Geometrinin Babası” olarak da bilinir. Hasan DİYAPOĞLU Geometriye kazandırdıkları: -Çap çemberi iki eşit parçaya böler. -Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. -Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar birbirine eşittir. -Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı, dik açıdır. -Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen çizilebilir. -Bir yılın uzunluğunu 365 gün 6 saat olarak hesaplamıştır. -Güneşin ve ayın çaplarını hesaplanmıştır. -Ülker takımyıldızının yerini belirlemiştir. -Bir çemberin çapı üzerindeki herhangi bir açı, o çemberin merkez açısıyla aynıdır. Buna Thales teoremi denir. 46 PUSULA
FARABI Ebu Nasr el-Farabi, 870 yılında Türkistan’ın Vasic kentinde doğdu. İlk eğitimini Buhara’da aldı ve daha sonra Bağdat’a giderek çalışmalarını burada sürdürdü. Bağdat’ta mantık, felsefe, astronomi ve matematik gibi çeşitli alanlarda eğitim aldı. Daha sonra Halep, Şam ve Mısır gibi farklı şehirlerde de yaşadı ve çalışmalarını sürdürdü. 950 yılında Şam’da hayatını kaybetti. Farabi,matematik alanında birçok çalışma yapmıştır. Özellikle geometri,sayılar teorisi ve müzik teorisi alanlarında yaptığı çalışmalar ile tanınır. Farabi, Öklid’in Geometri adlı eserini Arapçaya çevirmiş ve yorumlamıştır. Ayrıca, sayılar teorisi ve müzik teorisi ile ilgili özgün eserler de yazmıştır. Sonuç olarak Farabi matematik alanında önemli katkılarda bulunan bir Türk bilim insanıdır. Geometri, sayılar teorisi ve müzik teorisi alanlarında yaptığı çalışmalar ile İslam dünyasında ve Avrupa’da matematik biliminin gelişmesine önemli katkı sağlamıştır. Muhammed Ali GÖKTEKİN Çalışmalarından bazıları: Geometri: Farabi, Öklid’in Geometri adlı eserini Arapçaya çevirmiş ve yorumlamıştır. Bu eser, İslam dünyasında geometri biliminin gelişmesine önemli katkı sağlamıştır. Sayılar Teorisi: Farabi, sayılar teorisi ile ilgili özgün eserler yazmıştır. Bu eserlerde, asal sayılar, mükemmel sayılar ve dost sayılar gibi kavramlar üzerinde incelemeler yapmıştır. Müzik Teorisi: Farabi, müzik teorisi ile ilgili önemli eserler yazmıştır. Bu eserlerde, müzik aletleri, müzik gamları ve müzik aralıkları gibi konularda bilgiler vermiştir. PUSULA 47
MATEMATİKTE KULLANILAN SEMBOLLER VE ANLAMLARI Günümüzde matematiği hayatımızın hemen hemen her alanında ve teknolojisinde kullanıyoruz. Matematikçiler yüzyıllar boyu gelişen matematikte bazı semboller kullanmaya başladılar. Öncesinde sözcüklerle ifade edilen işlemler ve formüller artık sembollerle ifade edilmeye başlandı, bu semboller evrensel olarak kabul edindi. Bu yazıda matematikte kullanılan bu sembolleri ve anlamlarını öğreneceğiz. Herhangi bir işlem tamamlandığında kullanılır. Karşılıklı olarak işlemlerin veya olayların denge durumunu ifade eder. Rakamları toplamak ve arttırmak için kullanılır. Bir sayının pozitif olduğunu ifade eder. Çıkarma işleminde kullanılır. Bir sayının negatif olduğunu ifade eder. Çarpma işleminde kullanılır. Sayıların katları bulunurken kullanılır. Bir değeri eşit parçalara ayırmak için kullanılır. Bir gerçek sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. İkiden büyük dereceli bir kök indis sayının büyütülmesiyle ifade ediliyor. = + - x / | | √ 48 PUSULA
Bir doğru parçasının sabit bir nokta çevresinde dönme miktarını ifade eder. Bir daire veya çemberin alanları,hacimleri ya da çevrelerinin hesaplanmasında kullanılır. Eşit değildir. Ve İse En az bir Doğal sayılar Reel sayılar Tam sayılar Kesişim Birleşim Rasyonel sayılar İrrasyonel sayılar Alt kümesi ve kendisi Kapsar ve eşiti Kapsar ve eşiti Kapsar ve eşiti Kardinali Alt küme sayısı Alt kümesi Kapsar Kapsar Kapsar Boş küme Eşit kümeler Alt kümesi değil Kapsamaz Kapsamaz Kardinali Fark Yalnız bir Ancak ve ancak Veya Her, hepsi > Π ≠ ∧ ⇒ ∃ N R Z ∩ ∪ Q İ ⊆ ⊇ ∆ ∉ #A z ⊂ ⊃ ⊖ × Ø = ⊄ ⊅ ∈ |A| \ ∃! ⇔ ∧ ∀ Meryem AYAN PUSULA 49
DOĞANIN matematiği Klasik Pi Sayısı Formülünün Hidrojen Atomunda Var Olduğu Keşfedildi. Bilim insanları klasik pi sayısı formülünü ilk kez kuantum dünyasında keşfettiler. Bu kuantum fiziği ve matematik arasında daha önce bilinmeyen özel bir ilişkiyi ortaya çıkarıyor. Araştırmacılardan birisi olan Tamar Friedmann, “17. yüzyıla ait tamamen matematiksel bir formülün, 300 yıl sonra keşfedilen bir fiziksel sistemi göstermesini olağan üstü buluyorum.” dedi. Bu keşif, kuantum mekaniği ile ilgili bir derste kuantum mekaniksel bir teknik açıklanırken yapıldı. Sınıfta elde ettikleri değerleri klasik hesaplamalarla karşılaştırırken, oranlarda tuhaf bir trend göze çarptı. Friedmann’den yardım istendi, kısa zamanda Wallis pi formülünün manifestosu olduğunun farkına vardılar. Hagen, “Wallis’in pi formülünü aramıyorduk. Bir anda önümüze çıktı.” dedi. 1655 yılından beri Wallis’in formülü bir çok kez ispatlandı. Aşağıda Wallis’in kitabı Arithmetica Infinitorium’ın iki sayfasını görebilirsiniz. 50 PUSULA