Bahan Ajar

MODUL MATEMATIKA

KELAS IX
SEMESTER 1
TAHUN PELAJARAN 2021/2022

Disusun oleh

BRIGITA HEPPY HANDAYANI, S.Pd

NIP. 198203162009032006

SMPN 1 GUNUNG TIMANG
DINAS PENDIDIKAN

PEMERINTAH KABUPATEN BARITO UTARA
2021

1

BAB 1
PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

BILANGAN
BERPANGKAT

1. Peta Konsep Perpangkatan dan Bentuk Akar

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Perpangkatan dan Bentuk Akar berbasis masalah

ini adalah sebagai berikut: Pengertian
perpangkatan

Perpangkatan dan Bilangan Menuliskan
Bentuk Akar Berpangkat perpangkatan

Menghitung nilai
perpangkatan

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi 3.1.1 Menentukan pangkat dari suatu perkalian

bilangan berpangkat bilangan rasional 3.1.2 Menentukan hasil perkalian dari suatu

dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. perpangkatan

3.1.3 Menganalisis hasil perpangkatan dari suatu

bilangan

2

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.1.1 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang

dengan sifat- sifat operasi bilangan berkaitan dengan penerapan konsep

berpangkat bulat dan bentuk akar. bilangan berpangkat

3. Tujuan Pembelajaran :

Setelah mempelajari materi Bilangan Berpangkat siswa dapat :
a. Menentukan bilangan pangkat dari suatu perkalian.
b. Menentukan hasil perkalian dari suatu perpangkatan.
c. Menganalisa hasil perpangkatan suatu bilangan.
d. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penerapan konsep
bilangan berpangkat

4. Materi Pokok

Materi yang akan di pelajari dalam modul ini :
Bilangan berpangkat
 Pengertian perpangkatan
 Menuliskan perpangkatan
 Menghitung perpangkatan

5. Uraian Materi

A. BILANGAN BERPANGKAT

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan
dengan faktor yang sama atau perkalian yang berulang. Setiap perkalian berulang itu dapat
dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Bagaimana
kalian dapat menggunakan bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah
bilangan? Untuk lebih jelasnya, amatilah permasalahan dibawah ini.

3

Masalah 1
Rafa melakukan percobaan dengan
menggunakan selembar kertas berwarna. Kertas
tersebut dilipat menjadi 2 bagian sama besar lalu
digunting sesuai dengan sumbu simetri lipatnya
(vertikal dan horizontal). Hasil guntingan lalu
ditumpuk sehingga menutupi satu dengan yang
lainnya. Coba kalian lakukan percobaan yang
sama seperti yang dilakukan Rafa. Dari kegiatan
yang dilakukan berapa banyak kertas yang
kalian dapatkan dari hasil pengguntingan ?

Tuliskan banyak kertas yang kalian dapatkan pada tabel berikut !

Pengguntingan ke - Banyak kertas

12

2

3

4

5

Hasil dari percobaan :
Pengguntingan ke-1 banyak kertas = 2

ke-2 banyak kertas = 4 = 2 x 2
ke-3 banyak kerrtas = …= …x….x…
ke-4 banyak kertas = ….= …x….x….x….
ke-5 banyak kertas = …=…x….x….x….x….
Bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah bilangan dari masalah di
atas :
Pengguntingan ke-1 = 2 = 21
ke-2 = ….= 2…..
ke-3 = …= … .….
ke-4 = …= … .….

4

ke-5 = …= … .….
Untuk lebih jelas lagi, mari amati permasalahan 2 dibawah ini kemudian lengkapi tabel
percobaannya.

Masalah 2 :

Lakukan kembali kegiatan diatas namun kertas dilipat menjadi 4 bagian yang
sama berdasarkan sumbu simetri lipatnya ( vertical dan horizontal ). Kemudian
tulislah jawaban dalam tabel dibawah ini

Pengguntingan ke - Banyak kertas
1 4
2
3

Hasil percobaan masalah 2 :
Pengguntingan ke-1 banyak kertas = 4 = 2 x 2

ke-2 banyak kertas = 16 = … x … x … x …
ke-3 banyak kerrtas = …= …x….x…x… x …x …
Bentuk pangkat untuk menyederhanakan penulisan sebuah bilangan dari masalah di
atas :
Pengguntingan ke-1 = 4 = 22
ke-2 = ….= 2…..
ke-3 = …= … .….
Setelah melakukan percobaan dan berdiskusi dengan teman tentang permasalahan di
atas kalian pasti sudah sedikit memahami tentang bilangan berpangkat serta cara
menuliskan bilangan dalam bentuk pangkat. Untuk lebih memahaminya perhatikan
penjelasan berikut !

Amati Tabel Dibawah ini

Lengkapi tabel dibawah ini !

5

Perpangkatan Bentuk Perkalian Nilai
24 2x2x2x2
33
45
54
107

Setelah melakukan serangkaian kegiatan di atas, apa yang dapat kalian simpulkan
berkaitan dengan perpangkatan ?

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama . Bilangan pokok
dalam suatu perpangkatan disebut…….
Banyak bilangan pokok yang dikalikan secara berulang disebut…..
Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah

= … ,
Sebanyak n

a disebut dengan…., n disebut ….

Contoh :
Perpangkatan 3 seperti di bawah ini:
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35
35 adalah perpangkatan 3.
3 disebut sebagai bilangan pokok (basis) sedangkan 5 sebagai pangkat (eksponen).

B. MENULISKAN PERPANGKATAN

Perhatikan contoh berikut !
Nyatakan perkalian berikut dalam perpangkatan.
1. (–2) × (–2) × (–2)

Karena (–2) dikalikan berulang sebanyak tiga kali maka (–2) × (–2) × (–2)
merupakan perpangkatan dengan basis (–2) dan pangkat 3.
Jadi (–2) × (–2) × (–2) = (–2)3

6

2. y × y × y × y × y × y
Karena y dikalikan berulang sebanyak enam kali maka
y×y×y×y×y×y
merupakan perpangkatan dengan basis y dan pangkat 6.
Jadi y × y × y × y × y × y = 6

C. MENGHITUNG NILAI PERPANGKATAN

Perhatikan contoh berikut ini
1. Nyatakan perpangkatan (–0,3)2 dan (0,3)2 dalam bentuk bilangan biasa.

(–0,3)2 = (–0,3) × (–0,3)
= 0,09

(0,3)2 = (0,3) × (0,3)
= 0,09

2. Nyatakan perpangkatan (–0,3)3 dan (0,3)3 dalam bentuk bilangan biasa.
(–0,3)3 = (–0,3) × (–0,3) × (–0,3)
= –0,027
(0,3)3 = (0,3) × (0,3) × (0,3)
= 0,027

3. Nyatakan perpangkatan (–2)3 dan (–2)4 dalam bentuk bilangan biasa.
(–2)3 = (–2) × (–2) × (–2)
= –8
(–2)4 = (–2) × (–2) × (–2) × (–2)
= 16

D. OPERASI YANG MELIBATKAN PERPANGKATAN

Perhatikan contoh berikut ini

1. 3 + 2 52

7

3 + 2 52 = 3 + 2 25
= 3 + 50
= 53

2. 43: 8 + 32
43: 8 + 32 = 64 ∶ 8+ 9
=8+9
= 17

Contoh dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan
bilangan berpangkat :

Tim peneliti dari Dinas Kesehatan suatu daerah di Indonesia Timur meneliti suatu
wabah yang sedang berkembang di Desa X. Tim peneliti tersebut menemukan fakta
bahwa wabah yang berkembang disebabkan oleh virus yang tengah berkembang di
Afrika. Dari hasil penelitian didapatkan bahwa virus tersebut dapat berkembang
dengan cara membelah diri menjadi 3 virus setiap 90 menit dan menyerang sistem
kekebalan tubuh. Berapa jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 1 hari ?
Penyelesaian :
Diketahui : virus membelah diri menjadi 3 setiap 90 menit
Ditanykan : banyak virus dalam tubuh setelah 1 hari…?
Jawab :

1 jam = 60 menit
1,5 jam = 1,5 x 60 menit

= 90 menit
1 hari = 24 jam

= 24 x 60 menit
= 1.440 menit
n =1.440 menit : 90 menit
= 16
Banyak virus dalam tubuh = 3

8

= 316
=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3
= 43. 046. 721

LATIHAN

1. Tentukan bentuk perpangkatan dan hasilnya dari bilangan berikut ini :
a. 7 7 7 7
b. (−9 ) (−9 ) (−9 ) (−9 ) (−9 )

2. Tentukan hasil dari :
a. 123
b. 65

3. Tentukan hasil dari :
a. 84 − 53
b. 65 + 43

4. Dalam sebuah penelitian, diketahui seekor amoeba A berkembang biak dengan membelah
diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit. Berapa jumlah amoeba A selama 1 hari jika dalam suatu
pengamatan terdapat 4 ekor amoeba A ?

Jawab :
1. a. 7 7 7 7 = ……

= …..
b. (−9 ) (−9 ) (−9 ) (−9 ) (−9 ) = (… )…

=…
2. a. 123 = ⋯ … …

= ….
b. 65 = … x … x … x … x …

=…

3. a. 84 − 53 = (… … … … ) − (… … … )

9

=…-…
=…

b. 65 + 43 = (… x … x … x …x ...) + (… x … x …)
=…+…
=…

4. Diketahui : amoeba A membelah diri sebanyak 2 kali dalam 15 menit
Ditanyakan : jumlah amoeba A selama 1 hari jika terdapat 4 ekor amoeba…?

Penyelesaian : 1 hari = 24 jam

1 jam = 60 menit

Misalkan n = banyaknya membelah diri

n = 24 x 60
15

= 24 x 4

= 96
Jika mula-mula jumlah amoeba S adalah 4 maka perkembanganbiakan amoeba A = 4 x 2n.
Jadi jumlah amoeba A selama 1 hari = 4 296

10

PERKALIAN PADA
PERPANGKATAN

1. Peta Konsep Perpangkatan dan Bentuk Akar

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Perpangkatan dan Bentuk Akar berbasis masalah
ini adalah sebagai berikut:

PERPANGKATAN DAN BENTUK
AKAR

PREKALIAN PADA
PERPANGKATAN

Perkalian pemangkatan Perpangkatan
dari dari dari suatu
perkalian
perpangkatan perpangkatan bilangan
dengan basis dengan basis
yang sama yang sama

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi 3.1.3 Menentukan hasil perkalian dari

bilangan berpangkat bilangan rasional perpangkatan dengan basis yang sama

dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. 3.1.4 Menentukan hasil pemangkatan dari
perpangkatan dengan basis yang sama

3.1.5 Menentukan hasil perpangkatan dari suatu
perkalian bilangan

11

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.1.3 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang

dengan sifat- sifat operasi bilangan berkaitan dengan penerapan konsep

berpangkat bulat dan bentuk akar. perkalian pada berpangkatan

.

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Perkalian pada perpangkatan siswa dapat :
a. Menentukan hasil perkalian dari perpangkatan dengan basis yang sama.
b. Menentukan hasil pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama.
c. Menentukan hasil perpangkatan dari suatu perkalian bilangan
d. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penerapan konsep perkalian

pada berpangkatan

4. Materi Pokok

Perkalian dan Pembagian Pada Perpangkatan :
a. Perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama
b. Pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama
c. Perpangkatan dari suatu perkalian bilangan

5. Uraian Materi

Perkalian pada Perpangkatan

Perkalian dari perpangkatan dengan Basis
yang Sama

Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari bilangan berpangkat. Masih ingatkan
apa itu bilangan berpangkat?Bilangan berpangkat adalah suatu bilangan yang sama dikalikan
secara berulang-ulang, sebanyak n faktor. Pada pertemuan kali ini kita akan mempelajari tentang
perkalian pada perpangkatan. Untuk mengawali pelajaran, mari amati tabel di bawah ini :

12

Operasi Perkalian pada Operasi Perkalian Perpangkatan
Perpangkatan (3  3)  3  3  3) 35

32  33

(–3)2  (–3)3 (–3)  (–3)  (–3)  (–3)  (–3) (–3)5

y5  y2 (y  y  y  y  y)  (y  y) y7

Setelah kalian mengamati tabel di atas lengkapilah tabel dibawah ini :

Operasi Perkalian pada Operasi Perkalian Perpangkatan
Perpangkatan

63  62

(-4)2  (-4)3

74  72

Setelah melengkapi tabel di atas, informasi apakah yang kalian dapatkan mengenai operasi
perkalian pada perpangkatan ?

Jika a bilangan bulat serta m dan n bilangan bulat positif berlaku:
= … , dengan m faktor dan n faktor
= +

× = +

Contoh :a. 32  33 = (3  3)  (3  3 3)
= 32 + 3
= 35
= 243

b. 53  54 = (5  5  5)  (5  5  5  5)
= 53+4
= 57
= 78. 125

13

Pemangkatan dari perpangkatan dengan
Basis yang Sama

Setelah kita mempelajari perkalian dari perpangkatan dengan basis yang sama, kita akan
mempelajari tentang pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama.Coba amati tabel di bawah
ini :

Pemangkatan Suatu Bentuk Perkalian Berulang Perpangkatan
Perpangkatan

(4 x 4 ) x ( 4 x 4 ) x ( 4 x 4 )

(42)3 46
= 4x4x4x4x4x4

(3x3x3)x(3x3x3) 36

(33)2 =3x3x3x3x3x3

(sxsxsxs)x(sxsxsxs)

(s4)2 =sxsxsxsxsxsxsxs s8

Setelah kalian mengamati tabel di atas lengkapilah tabel dibawah ini :

Pemangkatan Suatu Bentuk Perkalian Perpangkatan
Perpangkatan Berulang

(74)3

(53)4

(h4)3

14

Setelah melengkapi tabel di atas, informasi apakah yang kalian dapatkan mengenai operasi
pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama?

Jika a bilangan bulat serta m dan n bilangan bulat positif berlaku:
( ) = × × × … × , dengan m faktor dan n faktor

= ×
( ) = ×

Contoh : a. (23)2 = (23)  (23)
= (2  2  2)  (2  2  2)
= 232
= 26

b. (54)2 = 54 54
= (5  5  5  5)  (5  5  5  5)
= 542
= 58

Pemangkatan dari suatu Perkalian Bilangan

Sekarang kita akan mempelajari tentang pemangkatan dari suatu perkalain bilangan
bulatAmati tabel di bawah ini

Pemangkatan Pada Bentuk Perkalian Berulang Perpangkatan
Perkalian Bilangan 15

(2 × 3)3 (2x3)x(2x3)x(2x3) 23 33
(2 × 5)4 = (2x2x2)x(3x3x3) 24 54
(4  6)2 =2x2x2x3x3x3 42 62

(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x5)
=(2x2x2x2)x(5x5x5x5)
= 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x5

(4x6)x(4x6)
=(4x4)x(6x6)

Setelah kalian mengamati tabel di atas lengkapilah tabel dibawah ini :

Pemangkatan Pada Bentuk Perkalian Perpangkatan
Perkalian Bilangan Berulang

(7  9)3

(13  7)5

(6  3)3

(2  7)4

Jika a dan b bilangan bulat serta m bilangan bulat positif, berlaku
( × ) = ( × ) × ( × ) × ( × ) × … × ( × )
= ( × × × … × ) × ( × × × … × )
= ×

( × ) = ×

Contoh : (3  2)3 = (3  2)  (3  2)  (3  2)
= (3  3  3)  (2  2  2)
16

= 33  23

Untuk memperkuat pemahaman kalian tentang perkalian pada perpangkatan, lakukan
kegiatan berikut ini :
1. Siapkan 1 lembar kertas karton, penggaris, pensil serta uang koin.
2. Buatlah tabel seperti gambar dibawah ini.
3. Tumpuklah koin pada tiap-tiap kotak dengan ketentuan berikut :

Banyak koin pada kotak dengan baris x dan kolom y adalah 2 2
Contoh : pada baris ke-1 dan kolom ke-2 tabel di atas, banyak koin 21 22 = 23

= 8 koin

Berdasarkan percobaan di atas, jawablah pertanyaan dibawah ini
a. Berapa jumlah koin pada baris ke-3 dan kolom ke-2?
b. Pada baris dan kolom berapa terdapat koin sejumlah 32 ?
c. Pada baris dan kolom berapa terdapat koin paling banyak dan berapa bnayaknya?

Untuk mempermudah kita dalam mendata hasil percobaan, kita bisa membuat tabel
percobaan:

Baris Kolom Hasil Percobaan
1 1 4

17

Dari hasil percobaan diketahui bahwa :
a. Jumlah koin pada baris ke-3 dan kolom ke-2 adalah 32
b. Koin berjumlah 32 pada baris ke-2 kolom ke-3 dan baris ke-3 kolom ke-2
c. Koin paling banyak pada baris ke-3 dan kolom ke-3 dengan jumlah koin 64

Perkalian pada perpangkatan dalam Kehidupan
sehari-hari

Perkalian pada perpangkatan banyak seklai kita temui dalam kehidupan sehari –hari

terutama dalam ilmu Fisika. Berikut ini diberikan contoh masalah Fisika yang

berkaitan dengan perkalian pada perpangkatan.

Contoh :
Massa planet Jupiter adalah 1,9 1022 . Sedangkan massa planet Bumi adalah 30%

dari Jupiter. Berapakah massa planet Bumi ?

Penyelesaian :

Diketahui : Massa planet Jupiter = 1,9 1022

Ditanyakan : Massa planet Bumi…?

Massa planet Bumi = 30% x 1,9 1022

= 30 1,9 1022
100

= 3 1,9 1022
10

18

= 3 10−1 1,9 1022
= 3 1,9 10−1+22
= 5,7 1021kg

Latihan soal :
1. Hitunglah nilai dari perpangkatan berikut ini :
a. 46 43
b. (62)3
c. (3 4)3
2. Diketahui jarak antara Bumi dan Matahari 1,5 108 dan kecepatan cahaya merambat
adalah 300.000 km/detik. Jika seberkas cahaya ditembakkan dari bumi dan faktor lain
yang mempengaruhi diabaikan, tentukan waktu yang diperlukan cahaya tersebut sampai
ke matahari!

Penyelesaian :
1. a. 46 43 = ( 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 ) x ( 4 x 4 x 4 )
=4x4x4x4x4x4x4x4x4
= 262.144
b. (62)3 = ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6)
=6x6x6x6x6x6
= 46.656
a. (3 4)3 = ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 3 4)
=(3x3x3)x(4x4x4)
=3x3x3x4x4x4
= 1.728
= 144
2. Diketahui : jarak antara bumi dan matahari ( s ) = 1,5 108
Kecepatan cahaya merambat (v ) = 300.000 km/detik
= 3 105 km/detik
Ditanyakan : waktu yang diperlukan cahaya sampai ke matahari…?

19

Penyelesaian : =


= 1,5 108
3 105

= 0,5 108−5

= 0,5 103 km/detik

PEMBAGIAN PADA
PERPANGKATAN

20

1. Peta Konsep Perpangkatan dan Bentuk Akar

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Perpangkatan dan Bentuk Akar berbasis masalah
ini adalah sebagai berikut:

PERPANGKATAN DAN BENTUK
AKAR

PEMBAGIAN PADA
PERPANGKATAN

Pembagian pada Perpangkatan Menyelesaikan
perpangkatan pada Pecahan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan
dengan basis yang penerapan konsep
sama
pembagian pada
perpangkatan

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi 3.1.6 Menentukan hasil pembagian dari

bilangan berpangkat bilangan rasional perpangkatan dengan basis yang sama

dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya. 3.1.7 Menentukan hasil pemangkatan pada
pecahan

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.1.6 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang

dengan sifat- sifat operasi bilangan berkaitan dengan penerapan konsep

berpangkat bulat dan bentuk akar. pembagian pada berpangkatan

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Pembagian pada Perpangkatan siswa dapat :
a. Menentukan hasil pembagian dari perpangkatan dengan basis yang sama

21

b. Menentukan hasil perpangkatan pada pecahan
c. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penerapan konsep pembagian

pada berpangkatan

4. Materi Pokok

Pembagian Pada Perpangkatan :
d. Pembagian pada perpangkatan dengan basis yang sama
e. Pemangkatan pada pecahan

5. Uraian Materi

Pembagian pada Perpangkatan

Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari tentang perkalian pada
perpangkatan. Masih ingatkah kalian materi perkalian pada perpangakatan. Sifat – sifat apa
saja yang berlaku pada pembagian perpangkatan ?

A. Pembagian Pada Perpangkatan
dengan Basis yang sama

Sekarang kita akan belajar tentang pembagian pada perpangkatan. Untuk
memahami tentang materi pembagian pada perpangkatan mari kita amati tabel bilangan
berpangkat.
Amati tabel dibawah ini.

Pembagian Bentuk Perkalian Berulang Perpangkatan
pada
Perpangkatan

22

39 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35
34 3 3 3 3 (−2)3

(−2)6 (−2) (−2) (−2) (−2) (−2) (−2) 64
(−2)3 (−2) (−2) (−2)
68
64 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6

Jika a bilangan bulat serta m dan n bilangan bulat positif berlaku:

= … , dengan m faktor dan n faktor
…

= ……−...


Contoh : 86 = 8 8 8 8 8 8
8 8 8
a. 83

=8x8x8

= 86−3

= 83

= 512

b. (−5)5 =(−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 )
(−5)3 (−5 ) (−5 ) (−5 )

= (-5 ) x (- 5 ) x (- 5 )

= (−5)5−3
= 52

= 25

Membandingkan Volume

23

Perhatikan gambar kubus di bawah ini :
24

Tentukan volume tiap-tiap kubus dan bandingkan volume kubus besar
terhadap volume kubus kecil dengan panjang panjang rusuk s. Catat hasil
yang kalian peroleh dalam tabel.

Volume Kubus Volume Kubus Volume Kubus Besar

Besar Kecil Volume Kubus Kecil

a. 43 = (22)3 = 26 23 26 = 26−3 = 23
23

b.

c.

d.

B. Perpangkatan pada
Pecahan

25

Setelah kita mempelajari tentang membandingkan volume kubus, sekarang kita
mempelajari tentang perpangkaatn pada pecahan.

Perpangkatan Bentuk Perkalian Bentuk
pada Berulang Pembagian pada
Pecahan Perpangkatan
… … …
23 ……
(3) ……… ……

34 … … … … ……
(5 ) ……
……… …
15 ……
(3 ) … … … … .. ……

……… … …

Jika a dan b bilangan bulat serta m bilangan bulat positif berlaku:

( = …
…
)

= … , dengan m faktor
…

= ……
……

Contoh : a. (3)3 = 3 3 3
4 4
4 4
3 3 3
= 4 4 4

= 33
43
27
= 64

26

b.(56)4 = 5 5 5 5
6 6 6 6
5 5 5 5
= 6 6 6 6
54
= 64
625
= 1.296

Penerapan Pembagian pada Perpangkatan
dalam Kehidupan sehari-hari

Masalah 1 :
Berdasarkan data BPS tahun 2020,
Jumlah penduduk pulau Jawa
mencapai 260 juta jiwa ( melalui
data pembulatan). Sedangkan luas
pulau Jawa 1,3 105 2 .
Berapakah kepadatan penduduk
pulau Jawa pada tahun 2020 ?

Diketahui : jumlah penduduk Jawa = 260 jiwa

= ……

= 2,6 10… jiwa

Luas pulau Jawa = 2,6 10… 2

Ditanyakan : Kepadatan penduduk pulau Jawa tahun 2020…?

= ℎ

… ……
… ……
=

= … ……
… ……

= … …… − ⋯

= … ……

= ….

27

Jadi, kepadatan penduduk pulau Jawa pada tahun 2020 adalah ……jiwa / 2

Masalah 2

BPS Indonesia sedang melakukan pendataan kepadatan penduduk di 2 pulau di Indonesia yaitu
pulau Kalimantan dan pulau Sulawesi. Dari hasil pendataan diketahui perbandingan kepadatan
penduduk pulau Kalimantan dan pulau Sulawesi adalah 2 : 1.
Jika jumlah penduduk pulau Kalimantan 250 juta jiwa dengan luas pulau 2,5 106 2 ,
tentukan kepadatan penduduk pulau Sulawesi yang memiliki luas 1,8 105 2!

Diketahui : perbandingan kepadatan penduduk antara pulau Kalimantan dan pulau Sulawesi = 2 : 1
Jumlah penduduk pulau Kalimantan = … juta jiwa.

= … . …8 juta jiwa

luas pulau Kalimantan = … …… 2

luas pulau Sulawesi = … . …… 2

Ditanyakan : kepadatan penduduk pulau Sulawesi…?

ℎ
=

2 : 1 =


2 =
1

… ……
=… …. ……
…
… ……

2 ( 105) = … ……
… ……
1,8

… = … ……
… …… … ……

… = … ….…
… …… ……
…

28

… = ⋯ ……−⋯
… ……

… … = ……
……

= …… … ……

… = ⋯ ……+⋯

… = ⋯ ……

= ……

…
= ⋯ ……

Jumlah penduduk pulau Sulawesi = … …… juta jiwa = … ….. juta jiwa

= ℎ



= … ……
… ……

= … ……−⋯

= … ……

=… x…

=…

Jadi, kepadatan penduduk pulau Sulawesi adalah … juta jiwa / 2

Latihan :

1. 45 = ⋯
42
(5)3 = ⋯
2.
6

Bentuk Akar

29

1. Peta Konsep Perpangkatan dan Bentuk Akar

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Perpangkatan dan Bentuk Akar berbasis masalah
ini adalah sebagai berikut:

PERPANGKATAN DAN BENTUK
AKAR

BENTUK AKAR

Menyederhanakan Melakukan Menyelesaikan
bentuk akar operasi masalah kontekstual
yang berkaitan dengan
bilangan real penerapan konsep
yang
bentuk akar
melibatkan
bentuk akar

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.1 Menjelaskan dan melakukan operasi 3.1.6 Menyederhanakan bentuk akar.

bilangan berpangkat bilangan rasional 3.1.7 Melakukan operasi bilangan real yang
melibatkan bentuk akar

dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya.

4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.1.7 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang

dengan sifat- sifat operasi bilangan berkaitan dengan penerapan konsep bentuk

berpangkat bulat dan bentuk akar. akar

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Bentuk akar siswa dapat :
a. Menyederhanakan bentuk akar .
b. Melakukan operasi bilangan real yang melibatkan bentuk akar.

30

c. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penerapan konsep bentuk akar

4. Materi Pokok

Bentuk Akar :
a. Menyederhanakan bentuk akar
b. Operasi bilangan real yang melibatkan bentuk akar

5. Uraian Materi

Di dalam matematika dikenal berbagai jenis bilangan, antara lain bilangan rasional

dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

, , ∈ ≠ 0.



Contoh : 4, −2, 1 3
2 4

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
, , ∈ ≠ 0.



Contoh : √2, √3, √5 √7, bilangan-bilangan ini juga disebut dengan bentuk akar.

Menyederhanakan Bentuk Akar

Penggunaan bentuk akar dapat dijumpai pada perhitungan yang melibatkan bangun
datar dan bangun ruang dalam kehidupan sehari-hari. Pada bangun datar persegi, kita
dapat menghitung panjang diagonal yang diketahui panjang sisinya. Perhatikan contoh
berikut ini.
Pak Surya memiliki sebuah kebun yang berbentuk persegi, dimana panjang sisi persegi
adalah 10 m, tentukan panjang diagonal dari kebun pak Surya !
Penyelesaian :
Diketahui : Kebun pak Surya berbentuk persegi.

Panjang sisi persegi kebun (s) = 10 m
Ditanyakan : Panjang diagonal dari kebun pak Surya…?

31

Jawab :
D 10 m C

10 m

AB
Ingat kembali materi di kelas VIII tentang Teorema Pythagoras. Perhatikan dengan
seksama langkah-langkah aturan dalam teorema Pythagoras berikut ini.

bc

a

Amati proses mendapatkan panjang sisi miring pada segitiga siku-siku dengan
menerapkan aturan dari teorema Pythagoras di atas.
Panjang AB = BC = CD = DA = 10 m
Panjang BC = panjang diagonal kebun

= panjang sisi miring pada segitiga siku-siku
Berdasarkan teorema Pythagoras didapat :

2 = 2 + 2
= √ 2 + 2
= √102 + 102
= √100 + 100
= √200
= √100 2
= √100 √2
= 10 √2
= 10√2

Jadi, panjang diagonal dari kebun pak Surya adalah 10√2 m.

32

Untuk lebih jelas lagi dalam memahami bagaimana cara menyederhanakan bentuk
akar , mari perhatikan contoh dibawah ini.
Pak Hadi membeli sebidang tanah yang berbentuk persegi. Tanah tersebut akan ditanami
sayur. Pak Hadi berencana membuat pagar keliling di tanah tersebut. Luas tanah tersebut
adalah 8.100 2. Berapakah panjang pagar keliling yang akan dibuat oleh pak Hadi?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perlu di ingat kembali teorema Pythagoras.
Penyelesaian :
Diketahui : Luas tanah ( L ) = 8.100 2
Ditanyakan : Panjang pagar keliling tanah ( K )…?
Jawab :

DC

L = 8.100 2

A B
L = AB x BC

8.100 = AB x BC
8.100 = s x s
8.100 = 2

2 = 8.100
= √8.100
= √81 100
= √81 √100
s = 9 x 10
s = 90

Jadi panjang sisi tanah pak Hadi adalah 90 m.
Setelah diketahui panjang sisi tanah, maka dapat dihitung panjang pagar keliling yang
akan dibuat pak Hadi.
K=4xs

= 4 x 90

33

= 360
Jadi panjang pagar keliling dari tanah pak Hadi adalah 360 m.

Akar Kuadrat
Jika a tidak negatif, √ adalah bilangan tidak negatif dimana (√ )2 =
√ dibaca “ akar kuadrat dari a “

Contoh :
√49 = 7
√49 ≠ −7 meskipun ( -7 ) x ( -7 ) = 49

Akar Pangkat n
1. Jika a tidak negatif, maka √ = jika dan hanya jika = dan b tidak

negatif.
2. Jika a negatif dan n ganjil, maka √ = jika dan hanya jika =

√ dibaca “ akar pangkat n dari a “

Contoh :
1. 5√−32 = −2

(−2)5 = ( -2 ) x ( -2 ) x ( -2 ) x ( -2 ) x ( -2 )
= -32

2. 4√81 = 3
3 x 3 x 3 x 3 = 81

Operasi Bilangan Real yang
Melibatkan Bentuk Akar

34

Kita telah mempelajari bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar. Sekarang
kita akan belajar tentang operasi bilangan real yang melibatkan bentuk akar. Untuk
memahaminya mari kita amati bilangan real berikut ini.

Operasi Penjumlahan dalam Bentuk Akar

1. √162 + √72 = √81 2 + √36 2
= √81 √2 + √36 √2
= 9 √2 + 6 √2
= 9√2 + 6√2
= (9 + 6)√2
= 15√2

2. √75 + √48 = √25 3 + √16 3
= √25 √3 + √16 √3
= 5 √3 + 4 √3
= 5√3 + 4√3
= (5 + 4)√3
= 9√3
Jika a dan b bilangan positif, maka berlaku :
√ + √ = ( + )√

Operasi Pengurangan dalam Bentuk Akar

1. √108 − √27 = √36 3 − √9 3

35

= √36 √3 − √9 √3
= 6 √3 − 3 √3
= 6√3 − 3√3
= (6 − 3)√3
= 3√3

2. √98 − √50 = √49 2 − √25 2

= √49 √2 − √25 √2
= 7 √2 − 5 √2
= 7√2 − 5√2
= (7 − 5)√2
= 2√2

Jika a dan b bilangan positif, maka berlaku :
√ − √ = ( − )√

Operasi Perkalian dalam Bentuk Akar

1. √147 = √49 3
= √49 √3
= 7 √3
= 7√3

2. √192 = √64 3
= √64 √3
= 8 √3
= 8√3

36

Jika a dan b bilangan positif, maka berlaku :
√ = √ = √ √

Penerapan Bentuk Akar Dalam
Kehidupan Sehari-hari

Bentuk akar dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali digunakan. Misalnya dalam
mengitung volume air di dalam bak mandi, menghitung luas sebidang tanah. Berikut ini
contoh dari penerapan bentuk akar dalam kehidupan sehari-hari.

Pak Asep memiliki sebuah kolam renang berbentuk silinder di belakang rumahnya.

Diameter kolam tersebut adalah 14√3 dengan kedalaman 15 . Apabila pak Asep ingin

mengisi kolam tersebut sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan oleh pak Asep?

Penyelesaian :

Diketahui : Kolam berbentuk silinder

Diameter kolam ( d ) = 14√3
Kedalaman kolam ( t ) = 15

Ditanyakan : Berapa liter isi kolam jika penuh ( V )…?

Volume silinder = volume tabung

= 2

r = = 14√3 = 7√3
2
2

V = 2

= 22 7√3 7√3 15
7

= 22 49 3 15

7

= 22 7 3 15

= 6.930 3

= 6.930.000

37

Latihan :
. Sederhanakan bentuk akar berikut ini :

a. √50 = …
b. √300 = …
2. Tentukan hasil dari :
a. √72 = …
b.√125 + √45 = …
c. √90 − √10 = …
d. √27 √50 = …

BAB 2.
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

38

PERSAMAAN KUADRAT

1. Peta Konsep Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat berbasis masalah ini
adalah sebagai berikut:

Persamaan Kuadrat

Menentukan Akar Menentukan Akar Penerapan

Persamaan Kuadrat Persamaan Persamaan Kuadrat

dengan Kuadrat dengan dalam Masalah

Memfaktorkan Melengkapkan Nyata

Kuadrat

Sempurna

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan 3.2.1 Menentukan akar persamaan kuadrat

karakteristiknya berdasarkan akar- dengan memfaktorkan.

akarnya serta cara pnyelesaiannya. 3.2.2 Menentukan akar persamaan kuadrat

dengan melengkapkan kuadrat sempurna

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.2.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang

dengan persamaan kuadrat. berkaitan dengan persamaan kuadrat

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Persamaan Kuadrat siswa diharapkan dapat :
a. Menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
b. Menentukan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
c. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

39

5 Materi Pokok

Persamaan Kuadrat
a. Akar persamaan kuadrat

6 Uraian Materi

Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat menjumpai masalah yang berkaitan dengan

persamaan kuadrat. Perhatikan contoh berikut ini.

Mutya dan Rayvan bekerja bersama-sama mencabut rumput di halaman depan rumah dalam waktu

36 menit. Jika Mutya bekerja sendirian maka pekerjaan tersebut memerlukan waktu 18 menit lebih

lama daripada waktu yang diperlukan Rayvan. Berapakah waktu yang diperlukan Mutya dan

Rayvan masing-masing untuk mencabut rumput ?

Penyelesaian :

Misalkan : waktu yang diperlukan Rayvan untuk mencabut rumput = t menit

Waktu yang diperlukan Mutya untuk mencabut rumput = t + 18 menit

Waktu mengerjakan bersama-sama = 36 menit

Laju Rayvan mencabut rumput = 1


Laju Mutya mencabut rumput = 1
+18

Laju mencabut rumput bersama-sama = 1
36

Persamaannya : 1+ 1 = 1

+18 36

(1 + 1 ) (36 )( + 18) = 1 (36 )( + 18)
+18 36

1 (36 )( + 18) + 1 (36 )( + 18) = ( + 18)

+18

36( + 18) + 36t = ( + 18)

36t + 648 + 36t = 2 + 18
72t + 648 = 2 + 18

2 − 72 + 18 − 648 = 0

2 − 54 − 648 = 0

Secara umum persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat

tertingginya dua dan biasanya ditulis:

40

2 + + = 0

dengan ≠ 0 dan a, b, c ∈ . Bilangan a, b, c pada persamaan kuadrat disebut koefisien. Akar-
akar atau penyelesaian dari persamaan 2 + + = 0 adalah nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut.

A. Menentukan Akar Persamaan
Kuadrat dengan Memfaktorkan

1. ( − 3) = 2 − 3
atau

2 − 3 = ( − 3)
2. ( + 2)(2 − 3) = 2 2 − 3 + 4 − 6

= 2 2 + − 6
atau
2 2 + − 6 = ( + 2)(2 − 3)
Dengan memfaktorkan persamaan kuadrat maka dapat ditentukan akar-akarnya . Contoh :
2 + 4 + 4 = 0
( + 2)( + 2) = 0
x + 2 = 0 atau x + 2 = 0
x = -2 atau x = - 2
Jadi akar-akarnya adalah -2 ( akar kembar )

Memfaktorkan persamaan kuadrat 2 + + = 0 menjadi ( + )( + ):
2 + + = ( + )( + )

2 + + = 2 + ( + ) + ( )
Jadi untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian sehingga b = p + q dan c = p x q

Contoh :

41

1. Persamaan kuadrat : 2 + 5 + 6 = 0
Diketahui : b = 5, c = 6 sehingga p + q = 5 dan pq = 6
Syarat : pq = 6 sehingga nilai p dan q yang mungkin adalah
p = 1 dan q = 6 maka pq = 6 dan p + q = 7…..baris 1
p = 2 dan q = 3 maka pq = 6 dan p + q = 5…..baris 2
p = 3 dan q = 2 maka pq = 6 dan p + q = 5…..baris 3
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat harus memenuhi p + q = 5
Berdasarkan hasil dari baris 2 di dapat p = 2 dan q = 3 dan baris 3 di dapat p = 3 dan q = 2,
merupakan hasil yang sama.
Sehingga di dapat pemfaktorannya adalah 2 + 5 + 6 = ( + 2)( + 3)

( + 2)( + 3) = 0

x + 2 = 0 atau x + 3 = 0

x = -2 atau x = -3

Dengan demikian akar-akarnya adalah x = -2 dan x = - 3
2. Persamaan kuadrat : 2 2 − 2 − 12 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas maka persamaan kuadrat itu harus dibagi 2
terlebih dahulu.
2 2 − 2 − 12 = 0 : 2

2 − − 6 = 0

Diketahui : b = -1, c = -6 sehingga p + q = -1 dan pq = -6

Syarat : pq = -6 sehingga nilai p dan q yang mungkin adalah
p = -1 dan q = 6 maka pq = -6 dan p + q = 5…..baris 1
p = -2 dan q = 3 maka pq = -6 dan p + q = 1…..baris 2
p = -3 dan q = 2 maka pq = -6 dan p + q = -1…..baris 3
Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat harus memenuhi p + q = -1
Berdasarkan hasil dari baris 3 di dapat p = -3 dan q = 2

42

Sehingga di dapat pemfaktorannya adalah 2 − − 6 = ( + 2)( − 3)
( + 2)( − 3) = 0
x + 2 = 0 atau x - 3 = 0

x = -2 atau x = 3
Dengan demikian akar-akarnya adalah x = -2 dan x = 3

Jumlahan dan Hasil Kali Akar-akar dari Persamaan Kuadrat

Pada langkah penyelesaian persamaan kuadrat 2 + + = 0 dapat ditulis

2 + + = 0 menggunakan pemfaktoran harus ditentukan p dan q sedemikian hingga



memenuhi 2 + + = ( + )( + )



2 + + = 2 + ( + ) + ( )



Di dapat penyelesaiannya adalah 1 = − dan 2 = − sehingga


1 + 2 = − − = −( + ) = −


1. 2 = (− )(− ) = =

Contoh :

Persamaan kuadrat : 2 2 − 2 − 12 = 0

Diketahui : a = 2, b = -2, c = -12 sehingga p + q = = −2 = −1 dan pq = = −12 = −6
2
2

Syarat : pq = -6 sehingga nilai p dan q yang mungkin adalah

p = -1 dan q = 6 maka pq = -6 dan p + q = 5…..baris 1
p = -2 dan q = 3 maka pq = -6 dan p + q = 1…..baris 2
p = -3 dan q = 2 maka pq = -6 dan p + q = -1…..baris 3

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat harus memenuhi p + q = -1

Berdasarkan hasil dari baris 3 di dapat p = -3 dan q = 2
Sehingga di dapat pemfaktorannya adalah 2 − − 6 = ( + 2)( − 3)

( + 2)( − 3) = 0

x + 2 = 0 atau x - 3 = 0

x = -2 atau x = 3

43

Dengan demikian akar-akarnya adalah x = -2 dan x = 3

B. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
dengan Melengkapkan Kuadrat
sempurna

Persamaan kuadarat : 2 = 16
Persamaan kuadarat 2 = 16 mempunyai akar-akar = √16 = −√16
Jika disederhanakan menjadi = 4 = −4

Jika 2 = dengan k suatu bilangan tak negatif maka x = √ atau x = −√

Persamaan kuadrat : ( + 3)2 = 25

Sesuai sifat akar kuadrat maka diperoleh + 3 = ± 5

Sehingga akar-akarnya adalah : + 3 = 5 + 3 = −5

x=5–3 x = -5 – 3

x=2 x = -8

Jika ( + )2 = , dengan k suatu bilangan tak negatif dan a bilangan real, maka

x = -a + √ atau x = -a - √

Memfaktorkan persamaan kuadrat 2 + + = 0 menjadi bentuk kuadrat sempurna

( + )2 + = 0, jika diuraikan menjadi 2 + 2 + 2 + = 0

Untuk bentuk kuadrat sempurna, koefisien dari 2 adalah 1 maka persamaan kuadrat yang

akan diselesaikan ( 2 + + = 0) harus dibagi a supaya koefisien 2 juga 1.

Sehingga di dapat persamaan kuadrat baru yaitu 2 + + = 0



Langkah berikutnya mencari nilai p dan q sehi4n4gga memenuhi

2 + + = ( + )2 +


2 + + = 2 + 2 + 2 +

Contoh :

Persamaan kuadrat : 2 + − 6 = 0

Diketahui : a = 1, b = 1, c = -6, harus dicari bilangan p dan q sedemikian sehingga = 2 dan

= 2 +


p = = 1= 1
2 2
2 1

= − ( 2 = −6 − ( 1 2 −6 − (1)2 = −6 − 1 = −24−1 = −25
1 4
2 ) 2 1 )= 2 4 4

2 + − 6 = 0

( + )2 + = 0

( + 1)2 + (−25) = 0

2 4

( + 1)2 − 25 = 0
4
2

+ 1 = ± 5

22

= − 1 ± 5

22

= − 1 + 5 atau = − 1 − 5
2 2 2 2

= −1+5 atau = −1−5
2 2

= 4 atau = −6
2 2

= 2 atau = −3

45

Penurunan Rumus Kuadratik / Rumus abc

Persamaan kuadrat 2 + + =0 ekuivalen dengan persamaan 2 + + = 0,



dapat diselesaikan dengan membentuk kuadrat sempurna ( + )2 + = 0 dengan p =

2

dan = − ( 2 sehingga di dapat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :

2 )

( + )2 + = 0

( + )2 = −

+ = ±

x = − ±

x = - ± √( 2 −
2
2 )

x = - ± √4 22 −
2

x = - ± √4 22 − 4
2 4 2

x = - ± √ 24− 42
2

x = - ± √ 2−4
2 √4 2

x = - ± √ 2−4
2 2

x = − ±√ 2−4
2

Rumus kuadratik/rumus abc :

1.2 = − ± √ 2 − 4

2

46

Nilai di dalam akar disebut sebagai diskriminan ( D ) yaitu :
= 2 − 4

Dengan mengetahui diskriminan maka akar-akar dari persamaan kuadart dibagi menjadi tiga
kategori yaitu :

1. Akar-akar kembar jika D = 0
2. Akar-akar berbeda jika D > 0
3. Tidak mempunyai akar jika D < 0

Contoh :
1. Persamaan kuadrat : 2 2 − 5 − 3 = 0

Diketahui a = 2, b = -5, c = -3

1.2 = − ± √ 2−4
2

1.2 = −(−5)± √(−5)2−4(2)(−3)
2(2)

1.2 = 5 ± √25+24
4

1.2 = 5 ± √49
4

1.2 = 5±7
4

1 = 5+ 7 atau 2 = 5− 7
4 4

1 = 12 atau 2 = −2
4 4

1 = 3 atau 2 = −21, akar-akarnya berbeda

= 2 − 4 c
= (−5)2 − 4(2)(−3)
D = 25 + 24
D = 49

47

2. Persamaan kuadrat : 2 + 4 + 4 = 0

Diketahui a = 1, b = 4, c = 4

1.2 = 4 ± √42−4.1.4
2.1

1.2 = 4± √16−16
2

1.2 = 4± √0
2

1.2 = 4
2

1 = 4 atau 2 = 4
2 2

1 = 2 atau 2 = 2

1 = 2 atau 2 = 2, akar-akarnya kembar

= 2 − 4 c
= 42 − 4(1)(4)
D = 16 - 16
D=0

3. Persamaan kuadrat : 2 + + 1 = 0

Diketahui a = 1, b = 1, c = 1

1.2 = 1 ± √12−4.1.1
2.1

1.2 = 1± √1−4
2

1.2 = 1± √−3
2

1 = 1+ √−3 atau 1 = 1−√−3, tidak mempunyai akar
2
2

= 2 − 4 c
= 12 − 4(1)(1)
D=1-4
D = -3

48

C. Penerapan Persamaan Kuadrat dalam
Masalah Nyata

Contoh aplikasi persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari.

Pak Karya mempunyai sebidang kebun yang berbentuk persegi panjang dengan luas kebun
tersebut adalah 4.320 2. Panjang kebun tersebut 12 m lebih panjang daripada lebarnya.

Berapakah panjang dan lebar kebun pak Karya ?

Penyelesaian :
Diketahui : Luas kebun ( L ) = 4.320 2

Panjang kebun ( p ) = 12 + l
Ditanyakan : panjang dan lebar kebun pak Karya…?

Jawab :

Luas kebun : L = p x l

4.320 = ( 12 + l ) x l
4.320 = 12 + 2
2 + 12 − 4.320 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang diperoleh dari masalah di atas adalah 2 + 12 − 4.320 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, kita bisa menggunakan rumus abc.

Diperoleh a = 1, b = 12 dan c = - 4.320

1.2 = 12 ± √122−4.1.(−4.320)
2.1

1.2 = 12± √144+17.280
2

1.2 = 12± √17.424
2

1.2 = 12± 132
2

1 = 12+132 atau 2 = 12−132
2 2

1 = 144 atau 2 = −120
2 2

1 = 72 atau 2 = −60

Karena ukuran panjang pada sebidang kebun tidak pernah negatif maka lebar kebun = 72 m dan

panjang kebun = 12 + l = 12 + 72 = 84 m

49

Jadi panjang kebun pak Kaya adalah 84 m dan lebarnya adalah 72 m.
Latihan

1. Tentukan akar persamaan berikut :
. 2 + 7 + 6 = 0
. 3 2 − 12 = 0
. −3 2 − 5 + 2 = 0

2. Tentukan nilai deskriminan dari soal no. 1

FUNGSI KUADRAT

50