Bahan Ajar

1. Peta Konsep Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Persamaan dan Fungsi Kuadrat berbasis masalah ini
adalah sebagai berikut:

Grafik Fungsi
Kuadrat

Membuat sketsa Menentukan Nilai Penerapan Fungsi
grafik fungsi Optimum dari Kuadrat dalam
kuadrat Fungsi Kuadrat Masalah Nyata

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan 3.3.1 Membuat sketsa grafik fungsi kuadrat.

menggunakan tabel, persamaan dan 3.3.2 Menentukan nilai optimum dari fungsi
grafik. kuadrat.

4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan 4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang

dengan fungsi kuadrat. berkaitan dengan fungsi kuadrat

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Grafik Fungsi Kuadrat siswa diharapkan dapat :
a. Membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
b. Menentukan nilai optimum dari fungsi kuadrat.
c. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi kuadrat

4. Materi Pokok

Fungsi Kuadrat
a. Grafik Fungsi kuadrat
b. Nilai Optimum Fungsi Kuadrat

51

5. Uraian Materi

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk = 2 + + , dengan ≠ 0, , ∈ .
Dapat juga ditulis sebagai ( ) = 2 + +

Menggambar Grafik Fungsi = 2

Gambar grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana adalah ketika b = c = 0. Untuk

mendapatkan grafik dari fungsi kuadrat, kita dapat membuat gambar untuk beberapa nilai x dan

mensubstitusikannya pada fungsi = 2.

1. = 2

Misalkan x = 2 maka = 2 x = -1 maka = 2

= 22 = (−1)2

y=4 y=1

( 2, 4 ) ( -1, 1 )
x = 1 maka = 2 x = -2 maka = 2

= 12 = (−2)2

y=1 y=4

( 1, 1 ) ( -2, 4 )
x = 0 maka = 2

= 02

y=0

( 0, 0 )

2. = − 2 x = -1 maka = − 2
Misalkan x = 2 maka = − 2 = −(−1)2
= −(2)2 y = -1
y = -4 ( -1, -1 )
( 2, -4 )
x = 1 maka = − 2 x = -2 maka = − 2

52

= −(1)2 = −(−2)2
y = -1 y = -4
( 1, -1 ) ( -2, -4 )
x = 0 maka = − 2
= 02
y=0
( 0, 0 )

y

=
4

1 1 2 x

-2 -1
-1

-4 . = −

Nilai a pada fungsi = 2 akan mempengaruhi bentuk grafiknya.
1. Jika a > 0 maka grafik fungsi = 2 terbuka ke atas
2. Jika a < 0 maka grafik fungsi = 2 terbuka ke bawah
3. Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka grafik fungsi = 2 terbuka ke atas dan

makin gemuk

4. Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka grafik fungsi = 2 terbuka ke bawah dan

makin gemuk 53

Menggambar Grafik Fungsi = 2 +

Kita akan menggambar grafik fungsi kuadrat ketika b = 0 dan c ≠ 0.

1. = 2 + x = -1 maka = 2 + 1
Misalkan x = 2 maka = 2 + 1 = (−1)2 + 1
= 22 + 1

= 4 + 1 = 1 + 1

y=5 y=2

( 2, 5 ) ( -1, 2 )
x = 1 maka = 2 + 1 x = -2 maka = 2 + 1

= 12 + 1 = (−2)2 + 1

= 1 + 1 = 4 + 1

y=2 y=5

( 1, 2 ) ( -2, 5 )

x = 0 maka = 2 + 1
= 02 + 1
= 0 + 1
y=1
( 0, 1 )

y

4
54

1 2 x
-2 -1

-4

Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk = 2 + + , dengan ≠ 0
Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabola sehingga dapat dikatakan sebagai fungsi parabola.

55

Nilai a pada fungsi = 2 + + akan mempengaruhi bentuk grafiknya.
Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas.
Jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah.
Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih kurus.

56

Garis putus-putus merupakan sumbu simetri.Koordinat yang ditandai dengan bulatan
merupakan titik puncak. Koornidat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan
sumbu –y.

Nilai b pada grafik = 2 + + menunjukkan letak koordinat titik puncak dan
sumbu simetri.
Jika a > 0, grafik = 2 + + memiliki titik puncak minimum.
Jika a < 0, grafik = 2 + + memiliki titik puncak maksimum.

57

BAB 3
TRANSFORMASI

1. Peta Konsep Transformasi

Ruang lingkup pada pembelajaran modul Transformasi berbasis masalah ini adalah sebagai
berikut:

Transformasi

Refleksi Translasi Rotasi Dilatasi
( Pencerminan ) ( Pergeseran ) ( Perputaran )

2. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5 Menjelaskan transformasi geometri 3.5.1 Menentukan koordinat bayangan benda

(refleksi, translasi, rotasi dan dilatasi ) hasil transformasi ( refleksi, translasi,
yang dihubungkan dengan masalah rotasi dan dilatasi) pada bidang kartesius.
kontekstual. 3.5.2 Menentukan koordinat bayangan hasil
transformasi berulang.

4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang 4.4.1 Menyelesaikan masalah sehari-hari

berkaitan dengan transformasi geometri berdasarkan hasil pengamatan yang

(refleksi, translasi, rotasi dan dilatasi). berkaitan dengan penerapan konsep

transformasi.

3. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi Transformasi siswa diharapkan dapat :
a. Menentukan koordinat bayangan benda hasil transformasi ( refleksi, translasi, rotasi dan

dilatasi) pada bidang kartesius.

58

b. Menentukan koordinat bayangan hasil transformasi berulang.
c. Menyelesaikan masalah sehari-hari berdasarkan hasil pengamatan yang berkaitan

dengan penerapan konsep transformasi.

4. Materi Pokok

Transformasi
a. Refleksi
b. Translasi
c. Rotasi
d. Dilatasi

5. Uraian Materi

REFLEKSI
( PENCERMINAN )

Pencerminan suatu Benda

Kata pencerminan tentunya tidak asing lagi bagi kita. Karena hampir setiap hari kita
melakukannya, yaitu ketika berkaca pada sebuah cermin untuk berdandan atau bergaya.

59

Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu jenis transformasi geometri yang
memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-
titik yang dipindahkan. Sifat bayangan cermin yaitu jarak antara benda asli dengan cermin akan
sama dengan jarak titik bayangan ke cermin, serta ukuran dan bentuknya sama.

Menggambar Bayangan Hasil
Pencerminan

Untuk memudahkan dalam menggambar bayangan dari hasil pencerminan, gunakan kertas
berpetak. Berikut contoh gambar-gambar yang dapat digambarkan hasil pencerminannya.

Hasil pencerminannya :

Pencerminan pada Bidang
Kartesius

Untuk sebarang titik koordinat (x, y) jika dicerminkan terhadap sumbu-x maka koordinat x
tetap sedangkan koordinat y berlawanan.
Hasil refleksi sembarang titik(x, y) terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan dengan
koordinat (x, -y) atau dapat ditulis (x, y) ⟶ (x, -y)

60

1. Refleksi terhadap sumbu-x maka titik koordinat bayangan ( x, -y )
2. Refleksi terhadap sumbu-y maka titik koordinat bayangan ( -x, y )
3. Refleksi terhadap titik asal O ( 0, 0 ) maka titik koordinat bayangan ( -x, -y )
4. Refleksi terhadap garis y = x maka titik koordinat bayangan ( y, x )
5. Refleksi terhadap garis y = -x maka titik koordinat bayangan ( -y, -x )

Contoh : Titik Koordinat Pencerminan Titik Koordinat
terhadap
No. A ( 1, 2 ) Sumbu-x Bayangan
B ( 3, 2 ) Sumbu-y A’(1, -2 )
1. C ( 2, 5 ) Titik Asal B’(-3, 2 )
2. D ( 3, 1 ) C’ (-2, -5 )
3. E ( 4, 2 ) Garis y = x D’( 1, 3 )
4. Garis y = -x E’ ( -2, -4 )
5.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Gambar dibawah ini menunjukkan
contoh refleksi atau pencerminan bangun datar ABCDE pada garis m. Perhatikan bahwa ruas garis
yang menghubungkan titik dan bayangannya tegak lurus terhadap garis m. Garis m disebut garis
refleksi untuk ABCDE dan bayangannya A’B’C’D’E’.

Karena E terletak pada garis refleksi, titik awal dan bayangannya berada di titik yang sama.
Jarak antara A terhadap garis m sama dengan jarak A’ terhadap garis m, dan untuk titik sudut
lainnya dan bayangannya yang memiliki jarak yang sama terhadap garis refleksi m.
Contoh pencerminan terhadap sumbu-x :

61

Segitiga ABC berkoordinat di A ( -1, 1 ), B ( -1, 3 ) dan C ( 6, 3 ). Gambar segitiga ABC dan
bayangannya yang direfleksikan terhadap sumbu-x. Bandingkan koordinat titik-titik ABC dengan
koordinat bayangannya.
Penyelesaian :

Titik A berada 1 satuan di atas sumbu-x, maka bayangannya adalah A’ yaang terletak 1 satuan di
bawah sumbu-x. Titik B dan C berada pada 3 satuan di atas sumbu-x. Maka koordinat masing-
masing titik dan bayangannya adalah :
A ( -1, 1 ) ⟶ A’ ( -1, -1 )
B ( -1, 3 ) ⟶ B’ ( -1, -3 )
C ( 6, 3 ) ⟶ C’ ( 6, -3 )
Hubungkan ketiga titik sehingga membentuk segitiga A’B’C’.
Contoh pencerminan terhadap garis y = x :
Diketahui segiempat ABCD yang memiliki koordinat di A ( -1, -1 ), B ( 1, 0 ), C ( -1, 2 ) dan D (
-2, 1 ) direfleksikan terhadap garis y = x. Gambar ABCD dan bayangannya yang direfleksikan
terhadap garis y = x. Bandingkan koordinat titik-titik ABCD dengan koordinat bayangannya.
Penyelesaian :

62

Untuk menentukan bayangan titik-titik segiempat ABCD, perhatikan jarak titik B ke garis y = x.
Dari titik B dibuat garis yang tegak lurus ke garis y = x yang disebut garis BB’. Dapatkan titik B’
yang memiliki jarak yang sama besar dengan jarak titik B ke garis y = x. Titik B’ merupakan
bayangan titik B hasil refleksi terhadap garis y = x. Maka diperoleh koordinat B’ ( 0, 1 ). Gunakan
cara yang sama sehingga diperoleh koordinat bayangan untuk titik-titik yang lain yaitu :
A ( -1, -1 ) ⟶ A’ ( -1, -1 )
B ( 1, 0 ) ⟶ B’ ( 0, 1 )
C ( -1, 2 ) ⟶ C’ ( 2, -1 )
D ( -2, 1 ) ⟶ D’ ( 1, -2 )
Hubungkan keempat titik sehingga membentuk segiempat A’B’C’D’.

TRANSLASI
( PERGESERAN )

Pergeseran pada suatu Benda

Translasi banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya pertunjukan drum
band yang sering kita lihat ketika acara tujuhbelasan, pawai atau kirab, baik di jalan maupun di
lapangan merupakan pemandangan yang menakjubkan. Anggota drum band mempersembahkan
waktu dan tenaga untuk mempelajari musik yang dimainkan. Begitu juga pergerakan mereka dan
menghapal perpindahan merupakan atraksi yang mengagumkan. Pergerakan setiap anggota drum
band selama pertunjukan atau aksi mereka merupakan contoh translasi.

63

Perhatikan gambar bangun datar a pada gambar di atas. a’ merupakan bayangan dari a.
Bangun datar a’ dapat diperoleh dengan cara menggeser bangun datar a.

Jika suatu translasi atau pergeseran pada suatu benda dilakukan sepanjang garis horizontal,
maka translasi tersebut akan bernilai positif jika benda ditranslasikan ke arah kanan dan
bernilai negatif jika benda ditranslasikan ke arah kiri.

Jika suatu translasi atau pergeseran pada suatu benda dilakukan sepanjang garis vertikal,
maka translasi tersebut akan bernilai positif jika benda ditranslasikan ke arah atas dan
bernilai negatif jika benda ditranslasikan ke arah bawah.

Pergeseran pada Bidang
Kartesius

Diketahui segiempat ABCD memiliki titik sudut di A ( 1, 2 ), B ( 3, 1 ), C ( 4, -1 ) dan D ( 2, 0 ).
Gambarlah segiempat tersebut kemudian gambar hasil bayangannya jika ditranslasikan sejauh 4
satuan kekiri dan 2 satuan ke bawah. Tuliskan koordinat bayangan hasil translasi segiempat
ABCD.
A ( 1, 2 ) ( x – 4 , y – 2 ) : A’ ( -3, 0 )
B ( 3, 1 ) ( x – 4 , y – 2 ) : B’ ( -1, -1 )
C ( 4, -1 ) ( x – 4 , y – 2 ) : C’ ( 0, -3 )
D ( 2, 0 ) ( x – 4 , y – 2 ) : D’ ( -2, -2 )

64

Translasi merupakan salah satu jenis transformasi yang bertujuan untuk memindahkan
semua titik suatu bangun dengan jarak dan arah yang sama.

Translasi pada bidang kartesius dapat dilukis jika kita mengetahui arah dan seberapa jauh
gambar bergerak secara mendatar dan atau vertikal. Untuk nilai yang sudah ditentukan a dan b
yakni translasi ( ) memindahkan setiap titik P ( x, y ) dari dari sebuah bangun pada bidang datar
ke P’ ( x + a , y + b ) dan dapat disimbolkan dengan ( x, y ) ⟶ ( x + a , y + b ).
Contoh koordinat bayangan hasil translasi :

Gambar di bawah ini menunjukkan segitiga ABC yang ditranslasikan 4 satuan ke kanan
dan 3 satuan ke bawah. Dan dinyatakan sebagai berikut : ( x, y ) ⟶ ( x + 4 , y – 3 ).

Koordinat bayangan hasil translasinya :
A ( -3, 1 ) ⟶ A’ ( -3 + 4, 1 – 3 ) atau A’ ( 1, -2 )
B ( -1, 4 ) ⟶ B’ ( -1 + 4, 4 – 3 ) atau B’ ( 3, 1 )
C ( -2, -1 ) ⟶ C’ ( -2 + 4, -1 – 3 ) atau C’ ( 2, -4 )

ROTASI
( PERPUT65ARAN )

Perputaran pada suatu Benda

Beberapa benda dapat berotasi dengan pusat rotasi berada di dalam benda itu sendiri. Salah
satu contohnya adalah Planet Bumi berotasi pada porosnya. Beberapa benda memiliki simetri
putar. Jika suatu bangun atau gambar dapat dirotasikan kurang dari 3600 terhadap titik pusat rotasi
sedemikian sehingga bayangan dan gambar awalnya sama maka bangun atau gambar memiliki
simetri putar.

Rotasi merupakan salah satu bentuk transformasi yang memutar setiap titik pada gambar
sampai sudut dan arah tertentu terhadap titik yang tetap dan disebut pusat rotasi. Besarnya sudut
dari bayangan benda terhadap posisi awal disebut sudut rotasi.

Suatu rotasi ditentukan oleh arah rotasi. Jika berlawanan arah dengan arah perputaran
jarum jam, maka sudut pusatnya positif. Jika searah perputarn jarum jam maka sudut putarnya
negatif. Pada rotasi bangun awal selalu kongruen dengan bayangannya.
Contoh menggambar bayangan segitiga hasil rotasi :

66

Tentukan bayangan segitiga JKL dengan koordinat J ( 1, 2 ), K ( 4, 2 ) dan L ( 1, -3 ) pada rotasi
900 berlawanan jarum jam dengan pusat rotasi adalah titik L.
Penyelesaian :

Koordinat bayangannya adalah J’ ( -4, -3 ), K’ ( -4, 0 ) dan L’ ( 1, -3 ).
Contoh menggambar bayangan trapesium hasil rotasi :
Tentukan bayangan trapesium WXYZ dengan koordinat W ( -4, 2 ), X ( -3, 4 ), Y ( -1, 4 ) dan Z (
-1, 2 ) pada rotasi 1800 dengan pusat rotasi O ( 0, 0 ).
Penyelesaian :

Koordinat bayangannya adalah W’ ( 4, -2 ), X’ ( 3, -4 ), Y’ ( 1, -4 ) dan Z’ ( 1, -2 ).
67

DILATASI

Dilatasi terhadap titik pusat merupakan perkalian dari koordinat tiap-tiap titik pada suatu
bangun datar dengan faktor skala sebesar k. Faktor skala menentukan apakah suatu dilatasi
merupakan pembesaran atau pengecilan.

Secara umum dilatasi drai suatu koordinat ( x, y ) dengan faktor skala k akan menghasilkan
koordinata ( kx, ky ) dan ditulis ( x, y ) ⟶ ( kx, ky ). Ketika k > 1 maka dilatasi termasuk ke
dalam pembesaran. Jika 0 , k < 1 maka dilatasi termasuk ke dalam pengecilan.

68