Matematik T5

CONTOH

P1 Panduan Penggunaan Buku 1 Praktis Intensif 1.1 Ubahan Langsung Direct Variation Buku Teks m/s 1 – 16 1 Nyatakan perubahan perkara bagi setiap situasi berikut. SP: 1.1.1 TP1 State the change of subject for each of the following situations. Mudah (a) Jumlah gaji Amin berubah secara langsung dengan bilangan jam bekerja. Nyatakan perubahan pada The total salary of Amin varies directly as the number of his working hours. State the change on (i) jumlah gaji Amin jika bilangan bekerja adalah tiga kali ganda, Amin’s total salary if his number of working hours is tripled, (ii) jumlah gaji Amin jika bilangan jam bekerjanya bertambah sebanyak 30%, Amin’s total salary if his working hours increases by 30%, (iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Amin adalah separuh daripada gaji asal. the number of working hours if Amin’s salary is halved. (i) Jumlah gaji Amin adalah tiga kali ganda. Amin’s total salary is tripled. (ii) Jumlah gaji Amin bertambah sebanyak 30%. Amin’s total salary increases by 30%. (iii) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada bilangan jam bekerja asal. The number of working hours is halved. (b) Fatimah ingin memasak bubur kacang merah. Amaun gula yang ditambah berubah secara langsung dengan amaun air yang digunakan. Nyatakan perubahan pada Fatimah would like to cook red bean porridge. The amount of sugar added varies directly as the amount of water used. State the change on (i) amaun gula jika amaun air adalah separuh daripada amaun asalnya, the amount of sugar if the amount of water is halved, (ii) amaun air jika amaun gula adalah separuh daripada amaun asalnya, the amount of water if the amount of sugar is halved, (iii) amaun gula jika amaun air berkurang sebanyak 40%. the amount of sugar if the amount of water decreases by 40%. (i) Amaun gula adalah separuh daripada amaun asalnya. The amount of sugar is halved. (ii) Amaun air adalah separuh daripada amaun asalnya. The amount of water is halved. (iii) Amaun gula berkurang sebanyak 40%. The amount of sugar decreases by 40%. (c) Nilai rintangan bagi seutas dawai berubah secara langsung dengan nilai suhunya. Nyatakan perubahan pada The value of resistance of a wire varies directly as its temperature. State the change on (i) nilai rintangan jika nilai suhunya bertambah sebanyak 20%, the value of resistance if the temperature increases by 20%, (ii) nilai rintangan jika nilai suhunya berkurang sebanyak 10%, the value of resistance if the temperature decreases by 10%, (iii) suhu jika nilai rintangan bertambah dua kali ganda. the temperature if the value of resistance is doubled. (i) Nilai rintangan bertambah sebanyak 20%. The value of resistance increases by 20%. (ii) Nilai rintangan berkurang sebanyak 10%. The value of resistance decreases by 10%. (iii) Suhu bertambah dua kali ganda. The temperature is doubled. Contoh Jumlah gaji Malik berubah secara langsung dengan bilangan jam bekerja. Nyatakan perubahan pada The total salary of Malik varies directly as the number of his working hours. State the change on (i) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerja adalah dua kali ganda, Malik’s total salary if his number of working hours is doubled, (ii) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerjanya bertambah sebanyak 40%, Malik’s total salary if his number of working hours increases by 40%, (iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Malik adalah separuh daripada gaji asal. the number of working hours if Malik’s salary is halved. (i) Jumlah gaji Malik adalah dua kali ganda. Malik’s total salary is doubled. (ii) Jumlah gaji Malik bertambah sebanyak 40%. Malik’s total salary increases by 40%. (iii) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada bilangan jam bekerja asal. The number of working hours is halved. Ubahan 1 Variation Bab e-RPH Info Digital 1.1 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 4 4 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan: SP: 1.1.2 TP2 Based on the following tables, determine whether y varies directly as: Mudah (a) x3 x 1 2 3 4 y 100 200 300 400 x3 1 8 27 64 y x3 100 25 100 9 25 4 Tidak kerana y x3 bukan pemalar. No because y x3 is not a constant. (b) √x 3 x 1 8 27 64 √y 1 2 3 4 √x 3 1 2 3 4 y 1 4 9 16 y √x 3 1 2 3 4 Tidak kerana y √x 3 bukan pemalar. No because y √x 3 is not a constant. Contoh Ya kerana y √x adalah pemalar. Yes because y √x is a constant. x 1 4 9 16 y 0.1 0.2 0.3 0.4 √x 1 2 3 4 y √x 1 10 1 10 1 10 1 10 √x 5 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan. Seterusnya, ungkapkan ubahan yang diberi dalam bentuk persamaan. SP: 1.1.2 TP2 Sederhana In each of the following, determine the constant of variation. Hence, express the variation given in the form of equation. (a) y ∝ x dan y = 4 apabila x = 6. y ∝ x and y = 4 when x = 6. y = kx 4 = k(6) k = 4 6 = 2 3 ∴ y = 2 3 x (b) y ∝ x2 dan y = 14 apabila x = 2. y ∝ x2 and y = 14 when x = 2. y = kx2 14 = k(2)2 k = 14 4 = 7 2 ∴ y = 7 2 x2 (c) y ∝ x3 dan y = 1 apabila x = 0.1. y ∝ x3 and y = 1 when x = 0.1. y = kx3 1 = k(0.1)3 k = 1 (0.1)3 = 1 000 ∴ y = 1 000x3 (d) y ∝ √x dan y = 10 apabila x = 25. y ∝ √x and y = 10 when x = 25. y = k√x 10 = k√25 k = 10 √25 = 2 ∴ y = 2√x (e) y ∝ √x 3 dan y = 6 apabila x = 27. y ∝ √x 3 and y = 6 when x = 27. y = k √x 3 6 = k √27 3 k = 6 √27 3 = 2 ∴ y = 2√x 3 Contoh y ∝ x dan y = 5 apabila x = 5. y ∝ x and y = 5 when x = 5. y ∝ x → y = kx 5 = k(5) k = 1 ∴ y = x Kesalahan Umum Meninggalkan jawapan dalam bentuk ini Leaving the answer in this form 6 Hitung nilai p bagi setiap ubahan berikut. SP: 1.1.2 TP4 Sederhana Calculate the value of p for each of the following variations. (a) y ∝ x2 x 1 2 y 4 p y1 x n 1 = y2 x n 2 4 12 = p 22 p = 4 1 × 4 = 16 Contoh y ∝ x x 16 p y 4 6 y1 x n 1 = y2 x n 2 4 16 = 6 p p = 6 × 16 4 = 24 Penggunaan Kalkulator Penggunaan Kalkulator Kaedah Alternatif y ∝ x y = kx 4 = k(16) k = 1 4 y = 1 4 x 6 = 1 4 (p) p = 24 Tip Bestari y ∝ xn ditulis sebagai y = kxn dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 atau y1 x n 1 = y2 x n 2 . y ∝ xn is written as y = kxn such that n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 atau y1 x n 1 = y2 x n 2 . Cadangan Rancangan Pengajaran Harian disediakan di setiap bab dan dapat diakses dengan mengimbas kod QR. 1 Latihan gabungan pemahaman dan standard prestasi mengikut subtopik buku teks. 2 Latihan disediakan mengikut subtopik buku teks. 3 Petunjuk rujukan muka surat buku teks bagi memudahkan guru dan murid membuat rujukan. 4 Laman sesawang yang dapat diakses untuk memahami dan mendalami sesuatu subtopik. 5 Petunjuk standard prestasi yang memudahkan guru membuat rujukan. 6 Petunjuk tahap penguasaan yang perlu dikuasai oleh murid dalam latihan. 8 Tahap kesukaran soalan yang disediakan dalam latihan. 7 8 1 2 3 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 14 3 Bagi setiap ubahan bergabung berikut, tentukan pemalar dan seterusnya, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. For each of the following combined variations, determine the constant of variation and hence, express y in terms of x and z. SP: 1.3.1 TP3 Sederhana (a) y ∝ z2 x dan y = 5 apabila x = 2 dan z = 10. y ∝ z2 x and y = 5 when x = 2 and z = 10. yx z2 = k 5 × 2 102 = k k = 1 10 ∴ y = z2 10x (b) y ∝ √z x3 dan y = 100 apabila x = 5 dan z = 25. y ∝ √z x3 and y = 100 when x = 5 and z = 25. yx3 √z = k 100 × 53 √25 = k k = 2 500 ∴ y = 2 500√z x3 Contoh y ∝ x z dan y = 6 apabila x = 7 dan z = 14. y ∝ x z and y = 6 when x = 7 and z = 14. yz x = k 6 × 14 7 = k k = 12 ∴ y = 12x z 4 Hitung nilai p bagi setiap yang berikut. SP: 1.3.1 TP4 Calculate the value of p for each of the following. Sederhana (a) a ∝ b2 c3 a = kb2 c3 2 = k(2)2 13 4k = 2 k = 1 2 (b) a ∝ b √c a = kb √c 6 = k(36) √9 36k = 18 k = 1 2 a 2 4 b 2 8 c 1 p a 2 6 b 8 36 c p 9 a ∝ b c a 2 6 b 3 p c 3 9 a = kb c 2 = k(3) 3 k = 2 a = 2b c 6 = 2p 9 2p = 54 p = 27 a = b2 2c3 4 = (8)2 2p3 2p3 = 16 p = √8 3 = 2 a = b 2√c 2 = 8 2√p √p = 2 p = 22 = 4 Contoh 5 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.3.2 TP5 TP6 Answer each of the following question with detailed working. Sukar (a) Untuk isi padu kuboid tetap, lebarnya, w, berubah secara songsang dengan panjang, l, dan tinggi, h. For a fixed volume of a cuboid, its width, w, varies inversely as its length, l, and height, h. (i) Ungkapkan hubungan antara ketiga-tiga kuantiti tersebut menggunakan simbol ∝. Express the relationship between the three quantities using the symbol ∝. (ii) Lakarkan graf w melawan 1 lh . Sketch the graph of w against 1 lh. (i) w ∝ 1 lh (ii) 1 lh w O (b) Isi padu sebuah bekas tertutup, V, berubah secara langsung dengan suhu, T, dan berubah secara songsang dengan tekanan yang dikenakan, P. The volume of a closed container, V, varies directly as the temperature, T, and varies inversely as the applied pressure, P. (i) Tuliskan hubungan antara ketiga-tiga kuantiti menggunakan simbol ∝. Write the relation between the three quantities using the symbol ∝. (ii) Diberi V = 50 m3 apabila P = 100 kPa dan T = 290 K. Hitung isi padu, dalam m3 , bekas tersebut apabila P = 60 kPa dan T = 348 K. Given that V = 50 m3 when P = 100 kPa and T = 290 K. Calculate the volume, in m3 , of the container when P = 60 kPa and T = 348 K. (i) V ∝ T P (ii) V = kT P 50 = k × 290 100 k = 500 29 K B A T V = 500T 29P = 500(348) 29(60) = 100 ∴ V = 100 m3 10 9 6 4 Contoh soalan yang dilengkapi dengan langkah kerja dan jawapan sebagai panduan kepada murid. 9 Memberikan idea, panduan atau informasi ekstra bagi penyelesaian soalan. 10 5 7 Soalan yang berunsur Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT) untuk merangsang dan mempertingkat daya pemikiran murid. 11 11 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Panduan Penggunaan Buku P2 Praktis Kendiri membekalkan latihan pengukuhan pada akhir setiap bab. 12 Model soalan Bahagian C, Kertas 2 SPM disediakan untuk murid memperkukuh kemahiran. 13 Kertas penilaian ini disediakan berdasarkan format peperiksaan SPM Kertas 1 dan Kertas 2 yang lengkap. 14 15 k = 4 9 ∴ x = 3w Kertas 1 Jawab semua soalan./ Answer all questions. 1 Jadual berikut menunjukkan hubungan antara x dengan y. The following table shows the relation between x and y. x 1 2 3 4 y 2 8 18 32 Antara berikut, yang manakah mewakili hubungan tersebut? Which of the following represents the relation? A y ∝ x B y ∝ 1 x2 C y ∝ x2 D y ∝ x3 2 Diberi a ∝ 1 b . Antara berikut yang manakah benar? Given that a ∝ 1 b . Which of the following is correct? I Apabila a meningkat, b meningkat. When a increases, b increases. II Hasil darab a dan b adalah satu pemalar. The product of a and b is a constant. III Graf a melawan b adalah satu garis lurus melalui asalan. The graph of a against b is a straight line passing through the origin. A I sahaja/ only B II sahaja/ only C I dan/ and II sahaja/ only D I, II dan/ and III 3 Diberi x berubah secara langsung dengan y. Antara berikut, yang manakah adalah pemalar? Given that x varies directly as y. Which of the following is a constant? A xy B x + y C x − y D x y 4 Hukum kegravitian semesta Newton menyatakan bahawa daya tarikan, F, antara dua objek berubah secara langsung dengan jisimnya, m1 dan m2 , dan berubah secara songsang dengan kuasa dua jaraknya, d. Antara hubungan berikut, yang manakah tidak betul? The Newton’s law of universal gravitation states that the force of attraction, F, between two objects varies directly as their masses, m1 and m2 , and inversely as the square of the distance apart, d. Which of the following relations is not correct? A F ∝ 1 d B F ∝ m1 C F ∝ m2 D F ∝ m1 m2 d2 Praktis Kendiri 12 127 Tulis jawapan anda pada ruang jawapan yang disediakan. Anda boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogramkan. 1 Arifi merupakan seorang atlet berbasikal yang akan menyertai acara berbasikal peringkat negeri. Oleh itu, dia sering berbasikal setiap hari di kawasan persekitaran rumahnya sebagai langkah persediaan. Arifi is a cycling athlete that will participate in a cycling event at state level. Therefore, he always cycles every day in his housing area as a preparation. (a) Diberi bahawa laluan latihan itu merupakan cantuman dua sektor bulatan yang berpusat O seperti dalam Rajah 1. Bagi setiap pusingan, Arifi akan bermula di titik A, kemudian melalui B, C, D dan kembali semula ke titik A dengan melalui titik O. AOD ialah garis lurus. Given that the training route is a combination of two circular sectors with centre O as shown in Diagram 1. For each round, Arifi will start at point A, than passes through points B, C , D and returns to point A by passing through point O. AOD is a straight line. A B C D O 120 ° 7 km 4 km Rajah 1/ Diagram 1 (i) Hitung jarak, dalam km, setiap laluan berbasikal yang dilalui oleh Arifi. Beri jawapan kepada dua tempat perpuluhan. Calculate the distance, in km, of each complete route of cycling travelled by Arifi. Give the answer to two decimal places. [Guna/ Use π = 22 7 ] [3 markah/ marks] (ii) Target Arifi ialah berbasikal dengan jarak minimum 65 km sehari. Hitung bilangan pusingan lengkap yang perlu dilalui oleh Arifi untuk mencapai targetnya. Arifi’s target is to cycle a minimum distance of 65 km per day. Calculate the number of complete routes that Arifi needs to travel to achieve his target. [2 markah/ marks] (b) Arifi berbasikal dengan laju seragam 8 m s–1 dalam 42 saat yang pertama. Kemudian, dia meningkatkan kelajuan sehingga mencapai 14 m s–1 pada saat ke-70 dan seterusnya menyahpecut sehingga berhenti pada minit ke-2. Arifi cycles at a uniform speed of 8 m s–1 in the first 42 seconds. Then, he increases the speed to 14 m s–1 at 70th second and hence decelerates constantly until stop at the 2nd minute. (i) Lakarkan graf laju-masa di ruang jawapan berdasarkan maklumat yang diberikan. Sketch the speed-time graph in the answer space based on the information given. [2 markah/ marks] (ii) Daripada graf di (b)(i), hitung nyahpecutan, dalam m s–2, basikal itu dalam tempoh 50 saat terakhir. From the graph in (b)(i), calculate the deceleration, in m s–2, of the bicycle in the last 50 seconds. [2 markah/ marks] (iii) Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui dalam tempoh 2 minit itu. Calculate the total distance, in m, travelled in the period of 2 minutes. [3 markah/ marks] (c) Keesokan harinya, Arifi terlibat dalam kemalangan ketika menjalani latihan. Oleh itu, dia menggunakan polisi insurans perubatan utama dengan peruntukan deduktibel sebanyak RM400 dan fasal penyertaan peratusan ko-insurans 80/20 dalam polisinya. Diberi kos perubatan yang dilindungi polisinya berjumlah RM15 300. On the next day, Arifi was involved in an accident while training. Hence, he used his major medical insurance policy with a deductible provision of RM400 and 80/20 co-insurance percentage clause in his policy. Given the medical cost covered by his policy is RM15 300. (i) Hitung kos perubatan selepas deduktibel. Calculate the medical cost after deductible. [1 markah/ mark] (ii) Hitung bayaran kos yang perlu ditanggung oleh Arifi sendiri. Calculate the cost to be borne by Arifi himself. [2 markah/ marks] Soalan SPM Kertas 2 Bahagian C 13 Kertas soalan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan. Setiap soalan diikuti dengan empat pilihan jawapan, A, B, C dan D. Bagi setiap soalan, pilih satu jawapan sahaja. Rajah yang diberikan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan. Anda boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogramkan. This question paper consists of 40 questions. Answer all questions. Each question is followed by four choices of answers A, B, C and D. For each question, choose one answer only. The diagrams in the questions provided are not drawn to scale unless stated. You may use a non-programmable scientific calculator. 1 Nyatakan 84 500 321 dalam bentuk piawai. State 84 500 321 in standard form. A 84.5 × 106 B 8.45 × 107 C 8.50 × 107 D 9.00 × 107 2 Bundarkan 1 300.094562 betul kepada lima angka bererti. Round off 1 300.094562 correct to five significant figures. A 0.094562 C 1 300.0 B 13.946 D 1 300.1 3 Senaraikan semua integer bagi nilai x yang memuaskan ketaksamaan 12 – 2x < x + 24 N 42 – 5x. List all the integers for the value of x which satisfy the inequality 12 – 2x < x + 24 N 42 – 5x. A ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3 B ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 1, 2, 3 C ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3 D ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2 6 Rajah 2 menunjukkan dua buah segi tiga, PQR dan PRS. QRS ialah satu garis lurus. Diagram 2 shows two triangles, PQR and PRS. QRS is a straight line. 12 cm 13 cm 21 cm Q R S P Rajah 2/ Diagram 2 Cari luas, dalam cm2 , bagi segi tiga PRS. Find the area, in cm2 , of triangle PRS. A 126 B 104 C 96 D 88 7TentukannisbahbilanganpepenjurusebuahnonagonKertas Model SPM CONTOH 14

R1 1 Bab Ubahan Variation (m/s: 1 – 17) Tahukah anda? Ubahan dalam Matematik dibahagikan kepada empat jenis, iaitu ubahan langsung, ubahan songsang, ubahan tercantum dan ubahan bergabung. Jadual di bawah menghuraikan empat jenis ubahan tersebut. Variation in Mathematics are divided into four types, that are direct variation, inverse variation, joint variation and combined variation. The table below describes the four types of variation. Jenis ubahan Type of variation Bilangan pemboleh ubah terlibat Number of variables involved Hubungan antara pemboleh ubah Relationship between variables Persamaan (k sebagai pemalar) Equation (k as the constant) Bentuk graf Shape of graph Langsung Direct Dua Two y meningkat secara malar dengan x y increases constantly as x y ∝ x y = kx Satu garis lurus A straight line Songsang Inverse y berkurang secara malar seperti x meningkat y decreases constantly as x increases y ∝ 1 x y = k x Satu lengkung A curve Tercantum Joint Tiga atau lebih Three or more y berubah secara langsung dengan hasil darab x dan z y varies directly with the product of x and z y ∝ xz y = kxz — Bergabung Combined y berubah secara langsung dengan suatu pemboleh ubah dan secara songsang dengan satu pemboleh ubah yang lain y varies directly with one variable and varies inversely with another variable y ∝ x z y = kx z — Tip Perhitungan Nilai-nilai pemboleh ubah yang berkaitan dalam satu ubahan adalah dikaitkan oleh satu nilai tetap, iaitu pemalar k. Maka, nilai pemboleh ubah yang sepadan boleh dihitungkan daripada hubungan ubahan yang diberi tanpa mendapatkan nilai pemalar, k. The values of the related variables in a variation are connected by a fixed value, constant k. Hence, by rearranging the equation of the variation, the value of the corresponding variable can be calculated from the given relationship of the variation without obtaining the value of the constant, k. y1 = kx1 y2 = kx2 ① = ②: y1 x1 = y2 x2 k = y1 x1 ……① k = y2 x2 ……② Contoh/ Example: Harga jual semua barangan dalam suatu promosi akan diberi satu diskaun. Jika sebiji cawan yang berharga RM6.00 dijual pada harga RM5.40 dalam promosi itu, hitung harga selepas diskaun bagi sebuah mangkuk yang asalnya dijual pada harga RM11.00. The selling prices of all the items in a promotion will be given a discount. If a cup which is priced RM6.00 is sold at the price of RM5.40 during the promotion, calculate the price after discount of a bowl which originally sells at the price of RM11.00. Resos Guru CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R2 Katakan y ialah harga selepas diskaun, x ialah harga jual asal dan k ialah peratus harga jual selepas diskaun. Let y be the price after discount, x be the original selling price and k be the percentage of selling price after discount. Cara I/ Method I: y ∝ x ⇒ y = kx RM6.00 = k% × RM5.40 k% = 5.4 6 × 100 = 90% y = 90% × RM11.00 = RM9.90 Cara II/ Method II: y RM11.00 = RM5.40 RM6.00 y = 5.4 6 × 11 = RM9.90 Walaupun kedua-dua cara boleh menghitung harga jual selepas diskaun, cara II membenarkan kita memperoleh jawapan tanpa menghitung nilai pemalar. Kita juga boleh gunakan cara II untuk menyemak jawapan. Although both methods can calculate the selling price after discount, method II allows us to obtain the answer without finding the value of the constant. We can also use method II to check the answer. Kuiz Modul: Bab 1, m/s 9 Diberi lilitan bulatan, s, berubah secara langsung dengan diameter bulatan, D. Jika formula bagi lilitan bulatan ialah s = πD, huraikan ubahan ini dalam konteks perhitungan lilitan bulatan. Given the circumference of a circle, s varies directly as the diameter of the circle, D. If the formula for the circumference of circle is s = πD, describe this variation in the context of calculating the circumference of circle. Jawapan/ Answer: Lilitan bulatan ialah hasil darab π dan diameter dengan keadaan π ialah satu pemalar yang merupakan nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan. The circumference of circle is the product of π and diameter where π is a constant which is the ratio of the circumference of circle to the diameter of circle. Kuiz Modul: Bab 1, m/s 14 Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara bilangan pekerja dan masa yang diambil untuk menyelesaikan suatu projek. The table below shows the relationship between the number of workers and the time taken to complete a project. Bilangan pekerja Number of workers 2 4 6 8 10 Masa (hari) Time (day) 60 30 20 15 12 Tentukan jenis ubahan yang ditunjukkan oleh hubungan ini. Seterusnya, ramalkan bilangan minimum pekerja yang diperlukan supaya projek itu boleh diselesaikan dalam empat hari. Determine the type of variation shown by this relationship. Hence, predict the minimum number of workers needed so that the project can be completed in four days. Jawapan/ Answer: Ubahan songsang, 30 orang pekerja Inverse variation, 30 workers 2 Bab Matriks Matrices (m/s: 18 – 29) Info Ekstra Kajian matriks ialah sebahagian besar algebra linear, maka sebahagian besar sifat-sifat dan operasi algebra linear boleh diungkapkan dengan menggunakan matriks. Matriks merupakan satu perwakilan pemetaan linear yang membenarkan perhitungan algebra linear yang eksplisit. Walaupun kebanyakan matriks boleh mewakili algebra linear, matriks kehadiran, matriks bersebelahan, matriks lepasan, matriks Tutte dan matriks darjah merupakan matriks yang digunakan dalam teori graf. The study of matrix is a large part of linear algebra, therefore se most of the properties and operations of linear algebra can be expressed using matrices. Matrix is a representation of linear map that allows explicit calculations of linear algebra. Although most of the matrices can represent linear algebra, incidence matrix, adjacency matrix, admittance matrix, Tutte matrix and degree matrix are matrices used in graph theory. CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R3 Tahukah anda? Antara pelbagai jenis matriks, terdapat beberapa matriks wujud sebagai suatu pemalar. Berikut menunjukkan contoh matriks malar. Among all sorts of matrices, there are a few matrices exist as a constant. The following shows the examples of constant matrices. Nama Name Huraian Description Contoh Examples Matriks identiti Identity matrix Matriks segi empat sama dengan unsur 1 disusun sepanjang pepenjuru utama dan semua unsur lain ialah 0. Square matrix with element 1 arranged along the main diagonal and all the other elements are 0. 1 0 0 1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriks pertukaran Exchange matrix Matriks segi empat sama dengan unsur 1 disusun sepanjang pepenjuru sekunder dan semua unsur lain ialah 0. Square matrix with element 1 arranged along the secondary diagonal and all the other elements are 0. 0 1 1 0 , 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Matriks anjakan Shift matrix Matriks perduaan dengan unsur 1 disusun di atas atau bawah sepanjang pepenjuru utama. Binary matrix with element 1 arranged on the superdiagonal or subdiagonal. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Matriks sifar Zero matrix Juga dikenali sebagai matriks nol dengan semua unsur dalam matriks ialah 0. Also known as null matrix as all the elements in the matrix is 0. [0] , 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 Matriks satu Matrix of ones Sifat seperti matriks sifar kecuali semua unsur ialah 1. Same properties as zero matrix except all its elements are 1. [1 1] , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 Penggunaan Kalkulator Dengan memasukkan unsur-unsur matriks ke dalam kalkulator saintifik, kita boleh menyelesaikan pelbagai operasi matriks dengan cepat dan mudah. By entering the elements of the matrix into the scientific calculator, we can solve various operations of matrices fast and easily. • CASIO CLASSWIZ: https://youtu.be/7V0dAsolv4I https://youtu.be/YocdAT_P3_4 • CASIO fx-570/991MS: https://youtu.be/FbVq4fpFd0k https://youtu.be/F7SyGL4mJ-4 Kuiz Modul: Bab 2, m/s 22 Diberi persamaan matriks/ Given the matrix equation: 2 4 6 p 4 3 q 4 5 2 3 6 = 48 r 52 40 Cari nilai-nilai p, q dan r. Find the values of p, q and r. Jawapan/ Answer: p = 5, q = 1, r = 36 Kuiz Modul: Bab 2, m/s 25 Sofia, Puan Wong dan Puan Priya pergi ke pasar raya yang sama untuk membeli barangan dapur mereka. Sofia membeli 2 kg tembikai dan 1.5 kg kubis dengan RM23 manakala Puan Wong membeli 5 kg ayam dan 2 kg kubis dengan RM110. Puan Priya membayar RM66 untuk 3 kg tembikai dan 3 kg ayam. Hitung harga sekilogram bagi setiap barangan tersebut. Sofia, Mrs Wong and Mrs Priya went to the same supermarket to buy their groceries. Sofia bought 2 kg of watermelon and 1.5 kg of cabbage with RM23 while Mrs Wong bought 5 kg of chicken and 2 kg of cabbage with RM110. Mrs Priya paid RM66 for 3 kg of watermelon and 3 kg of chicken. Calculate the price per kilogram for each item. Jawapan/ Answer: Tembikai/ Watermelon = RM4.00/kg; Ayam/ Chicken = RM18.00/kg; Kubis/ Cabbage = RM10.00/kg CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R4 Info Ekstra Kira-kira 1750 SM, inti pati insurans telah bermula di Babylonia kuno di mana Kod Hammurabi yang ditulis membekalkan botomri, iaitu suatu pinjaman kelautan dengan insurans. Pedagang boleh meminjam dana untuk pengiriman dan pada masa yang sama pedagang membayar suatu tambahan sebagai tukaran jaminan penghutang untuk membatalkan pinjaman sekiranya kapal mereka menghadapi musibah ketika dalam perjalanan. Pedagangpedagang Cina kuno pula akan mengagihkan barangan mereka kepada beberapa buah kapal untuk mengelakkan kerugian barangan yang bernilai dalam sebuah kapal sekiranya kapal itu tenggelam ketika menyeberangi sungai yang berbahaya. Insurans kesihatan dan hayat diwujudkan kira-kira 1600 SM apabila orang Rom dan orang Yunani menubuhkan persatuan yang dikenali sebagai “benevolent societies” yang membekalkan insurans dalam bentuk kontrak kewangan bagi membiayai perbelanjaan pengebumian dan menjaga ahli keluarga si mati. Pada abad ke-14, polisi insurans yang menjadi suatu entiti berasingan daripada pinjaman dan kontrak-kontrak lain telah terbentuk di Genoa di mana kontrak insurans yang pertama ditulis pada tahun 1347. Around 1750 BC, the gist of insurance had started in Ancient Babylon which had written the Code of Hammurabi that provided bottomry, a maritime loan with insurance. The merchant could borrow funds for his shipment and at the same time paid an extra sum in exchange for the debtor’s guarantee to void the loan in the case that his ship met with disaster during its journey. Meanwhile, Ancient Chinese merchants would spread their goods among few vessels to avoid the loss of one vessel’s worth of goods if it sank while travelling across treacherous rivers. Health and life insurance came to be around 1600 BC when Romans and Greeks created guilds known as “benevolent societies” that provided insurance in the form of financial contracts to fund the funeral expenses and taking care of the family members of the deceased. In the 14th century, insurance policies that became a separate entity from loans and other contracts were developed in Genoa where the first insurance contract was written in year 1347. Tahukah anda? Kadang-kadang kita dapati bahawa suatu polisi insurans susah difahami kerana penggunaan istilah dalam kontrak insurans. Jadual di bawah menunjukkan beberapa istilah dan maknanya yang biasa dijumpai dalam kontrak insurans. Sometimes we found that an insurance policy is hard to understand because the use of in terms the insurance contract. The table below shows some terms and their meaning that are commonly found in insurance contracts. Istilah Term Makna Meaning Nilai tunai sebenar Actual cash value Nilai harta ketika harta itu hilang atau rosak yang ditentukan dengan menolak susut nilai harta tersebut daripada kos gantiannya. The value of the property when the property is stolen or damaged by deducting the depreciating value of the property from its replacement cost. Waris/ Benefisiari Beneficiary Seorang yang berhak untuk menerima bayaran wang polisi di bawah polisi insurans selain daripada pembeli polisi itu sendiri. A person who is entitled to receive the policy payment under the insurance policy other than the policy purchaser him/herself. Pembatalan Cancellation Penamatan kontrak insurans atas permintaan pihak yang diinsuranskan sebelum tamat tarikh kontrak. The termination of the insurance contract upon the request of the insurer before the expiry date of the contract. Tuntutan Claim Sebarang permintaan bayaran pampasan dalam batas polisi insurans. Any request of payment of compensation within the bounds of insurance policy. Pihak menuntut Claimant Pihak yang menuntut pampasan daripada polisi insurans. The party who claims compensation from the insurance policy. Tempoh perlindungan Coverage term Jangka masa berkuat kuasa perlindungan kontrak polisi. The duration when the coverage of policy contract is enforced. Faedah kematian Death benefit Amaun yang akan dibayar kepada waris kadim pemilik polisi selepas dia meninggal dunia. Amount of money that will be paid to the policyholder’s next of kin after he/ she passed away. Susut nilai Depreciation Penyusutan atau penurunan nilai selepas suatu tempoh masa tertentu. The shrinkage or decrease in value after a certain period of time. 3 Bab Matematik Pengguna: Insurans Consumer Mathematics: Insurance (m/s: 30 – 40) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R5 Endorsemen Endorsement Satu pindaan yang dilampirkan kepada suatu polisi dasar untuk menyelaraskan perlindungan. An amendment that is attached to the base policy to adjust the coverage. Insurer Insurer Pihak dalam kontrak polisi yang bertanggungjawab membayar tuntutan, faedah atau memberi perkhidmatan berdasarkan syarat kontrak insurans. The party in the policy contract who is responsible to pay claims, benefits or provides services based on the terms of the insurance contract. Tempoh tangguh/ tenggang Grace period Tempoh yang ditetapkan dalam polisi insurans, biasanya 30 atau 31 hari selepas tempoh premium patut dibayar. Dalam tempoh ini, perlindungan insurans masih berkuat kuasa walaupun premium belum berbayar dan tiada penalti dikenakan. A fixed duration in the insurance policy, normally 30 or 31 days after the period when the premium should be paid. Within this period, the coverage of the insurance is still enforced although the premium is yet to be paid and no penalty is being imposed. Had Limits Amaun maksimum yang insurer akan bayar sama ada keseluruhan atau di bawah suatu perlindungan tertentu ke atas kerugian yang berlaku dalam tempoh kontrak. The maximum amount that the insurer will pay either overall or under a particular coverage towards the loss incurred during the contract period. Kematangan Maturity Tarikh bagi perlindungan pelan insurans menjadi matang atau tamat. The date for when the coverage of the insurance plan matures or comes to an end. Kos penggantian Replacement cost Kos gantian harta yang rosak tanpa menolak susut nilai. The cost of replacing the damaged property without deducting the depreciation. Pengembalian semula Reinstatement Menguatkuasakan polisi yang telah lupus. Reinstate a lapsed policy. Rider Riders Pelan tambahan berpilihan yang dapat membantu meluaskan perlindungan bagi pelan insurans asas dengan kos dan premium tambahan. Optional add-on plans that help expand the coverage of basic insurance plan at an additional cost and premium. Surcaj/ Bayaran tambahan Surcharge Bayaran tambahan yang dikenakan oleh insurer sama ada akibat bayaran lewat, peluputan perlindungan atau kemalangan atas kesalahan diri. Additional charges applied by the insurer whether due to late payment, coverage lapses or at-fault accidents. Serahan Surrender Penyerahan kontrak polisi insurans hayat kepada insurer oleh pemilik polisi dan menerima nilai serahan, iaitu nilai tunai menolak sebarang bayaran serahan. The surrender of the life insurance policy contract to the insurer by the policyholder and receives a surrender value, which is the cash value deducting any surrender fees. Penepian Waiver Peruntukan dalam polisi insurans hayat yang meneruskan tempoh perlindungan tanpa membayar premium seterusnya sekiranya pihak yang diinsuranskan hilang upaya. Provision in life insurance policy that continues the coverage term without paying the consecutive premium if the insured party suffers total or permanent disability. Kuiz Modul: Bab 3, m/s 30 Berikut menunjukkan empat orang individu yang hendak membeli insurans hayat daripada sebuah syarikat insurans. The following shows four persons who want to buy life insurance from an insurance company. Encik A Mr A Seorang pembunuh berumur 40 tahun yang dijatuhkan hukuman mati A 40 year-old murderer who is sentenced to death Pak Cik B Uncle B Seorang nelayan berumur 50 tahun yang pernah terkandas di laut sehari A 50 year-old fisherman who was once stranded in the sea for a day Nenek C Grandmother C Seorang pesakit berumur 65 tahun yang mengalami kanser peparu tahap IV A 65 year-old patient who is suffering stage IV lung cancer Mak Cik D Aunt D Seorang tukang masak berumur 44 tahun yang bekerja selama 18 jam sehari A 44 year-old cook who works 18 hours a day Antara empat orang itu, siapakah tidak layak membeli insurans hayat? Among the four persons, who is not eligible to buy life insurance? Jawapan/ Answer: Encik A dan Nenek C/ Mr A and Grandmother C CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R6 Kuiz Modul: Bab 3, m/s 35 Premium asas bagi kereta Encik Siva yang berumur 4 tahun ialah RM2 240. Pada tahun kedua, kereta Encik Siva mengalami kemalangan ringan yang dia sendiri menanggung kos baiki. Jadual di bawah menunjukkan NCD yang diberi sepanjang perlindungan polisi. The basic premium of Mr Siva’s 4 year-old car is RM2240. On the second year, Mr Siva’s car got into a minor accident which he personally bore the repair cost. The table below shows the NCD given throughout the policy’s coverage. Tahun Year Pertama First Kedua Second Ketiga Third Keempat Fourth NCD 25% 30% 38.33% 45% Hitung premium kasar yang perlu dibayar oleh Encik Siva. Calculate the gross premium payable by Mr Siva. Jawapan/ Answer: RM1 232 Info Ekstra Keluaran Dalam Negara Kasar (KDNK) ialah jumlah nilai akhir semua barangan dan perkhidmatan yang dihasilkan dalam sesebuah negara dan digunakan untuk mengukur taraf dan pertumbuhan ekonomi negara. Nisbah cukaikepada-KDNK ialah suatu ukuran hasil cukai sesebuah negara berbanding dengan saiz ekonominya. Nisbah ini adalah penting kerana ia menunjukkan potensi cukai berbanding dengan ekonomi yang turut memberi gambaran keseluruhan arah polisi cukai negara dan perbandingan antarabangsa dalam hasil cukai antara negara. Nisbah cukai-kepada-KDNK yang baik, iaitu 15% dan ke atas boleh memastikan pertumbuhan ekonomi yang baik serta mengurangkan kemiskinan dalam jangka panjang. Gross Domestic Product (GDP) is the total monetary value of all products and services produced within a country and is used to measure a country’s economy status and growth. The tax-to-GDP ratio is a measure of a nation’s tax revenue relative to the size of its economy. This ratio is important as it reveals the potential taxation relative to the economy and provides a view of the overall direction of a nation’s tax policy and an international comparison in tax revenue between countries. A good tax-to-GDP ratio, which is 15% and above can ensure good economic growth and poverty reduction in the long-term. Tahukah anda? Setiap individu (sama ada statusnya adalah bermastautin atau bukan) yang bekerja atau memperoleh pendapatan di Malaysia akan dikenakan cukai pendapatan dan dikehendaki membayar cukai itu kepada LHDN (Lembaga Hasil Dalam Negeri) pada setiap tahun dalam tempoh yang ditetapkan. Tempoh melapor cukai pendapatan yang diberi kepada individu bekerja ialah sebelum atau pada 30 April secara pelaporan manual dan sebelum atau pada 15 Mei secara pelaporan dalam talian manakala bagi perniagaan ialah sebelum atau pada 30 Jun secara pelaporan manual dan sebelum atau pada 15 Julai secara pelaporan dalam talian. Cukai pendapatan yang dikenakan ke atas individu bermastautin mengikut kadar cukai berskala layak menuntut rebat dan pelepasan cukai. Untuk merangsang pertumbuhan ekonomi yang berkait rapat dengan kos sara hidup, kadar cukai pendapatan dan pelepasan cukai yang diberi akan dikemaskini pada setiap tahun sama ada kekal sama, ditingkatkan atau dikurangkan. Kadar cukai dan pelepasan cukai yang terbaru boleh dirujuk pada kod QR di bawah. Every individual (whether its status is resident or non-residents) who works or earns income in Malaysia will be imposed income tax and is required to pay the tax to IRB (Inland Revenue Board) on each year within the fixed period. The given period to file income tax for employed individuals is on or before 30 April by manual filing and on or before 15 May by online filing whereas for businesses is on or before 30 June by manual filing and on or before 15 July by online filing. The income tax imposed on resident individuals is according to the scaled tax rate and the individuals are eligible to claim rebate and tax reliefs. In order to stimulate economic growth which is closely related to cost of living, the rate of income tax and the given tax reliefs will be updated annually whether remains the same, increased or decreased. The latest tax rate and tax reliefs can be referred to the QR code below. • Kadar cukai: https://www.hasil.gov.my/individu/kitaran-cukai-individu/lapor-pendapatan/kadar-cukai/ Tax rate: https://www.hasil.gov.my/en/individual/individual-life-cycle/how-to-declare-income/tax-rate/ • Pelepasan cukai: https://www.hasil.gov.my/individu/kitaran-cukai-individu/lapor-pendapatan/pelepasan-cukai/ Tax reliefs: https://www.hasil.gov.my/en/individual/individual-life-cycle/how-to-declare-income/tax-reliefs/ 4 Bab Matematik Pengguna: Percukaian Consumer Mathematics: Taxation (m/s: 41 – 55) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R7 Kuiz Modul: Bab 4, m/s 41 Antara cukai-cukai berikut, yang manakah telah dimansuhkan di Malaysia? Which of the following taxes were abolished in Malaysia? Cukai untung harta tanah Real property gain tax Cukai harta pusaka Inheritance tax Cukai barangan dan perkhidmatan Goods and services tax Cukai korporat Corporate tax Jawapan/ Answer: Cukai harta pusaka, Cukai barangan dan perkhidmatan Inheritance tax, Goods and services tax Tahukah anda? Di Malaysia, cukai jalan perlu dibaharui pada setiap tahun dan tidak boleh dibaharui sekiranya pemilik kenderaan bermotor tidak mempunyai insurans kenderaan yang sah. Cukai jalan boleh dibaharui selepas membaharui insurans kenderaan bermotor dalam 60 hari sebelum tarikh luputnya. Cukai jalan yang dikenakan bergantung kepada jenis kenderaan, spesifikasi kenderaan, lokasi kenderaan dan jenis pemilikan. Pengetahuan cukai jalan dan insurans kenderaan bermotor adalah penting kepada setiap pembeli kenderaan bermotor kerana pembayaran itu akan menyumbang kepada kos sara hidup. In Malaysia, road tax need to be renewed every year and cannot be renewed if the motor vehicle’s owner does not have a valid vehicle insurance. Road tax can be renewed after renewing the motor vehicle insurance in 60 days before its expiry date. The road tax imposed depends on the type of vehicle, the specifications of the vehicle, the location of the vehicle and the types of ownership. The knowledge of road tax and motor vehicle insurance are important to every motor vehicle buyer as the disbursement will contribute to the cost of living. Kuiz Modul: Bab 4, m/s 41 Encik Krishnan telah membeli sebuah trak pikap 1 900 cc di Sarawak pada tahun 2021. Pada tahun 2023, Encik Krishnan membawa traknya bersama ke Perak kerana dia dikehendaki bekerja di sana selama empat tahun. Jadual di bawah menunjukkan sebahagian kadar cukai jalan di Malaysia. Mr Krishnan bought a 1900 cc pickup truck in Sarawak in the year 2021. In the year 2023, Mr Krishnan brought along his truck to Perak because he was required to work in Perak for four years. The table below shows a part of the road tax rates in Malaysia. Kadar cukai jalan bagi kereta salun di Semenanjung Malaysia: Road tax rates for saloon car in Peninsular Malaysia: Kapasiti enjin (cc) Engine capacity (cc) Kadar asas (RM) Basic rate (RM) Kadar progresif (RM) Progressive rate (RM) 1 601 – 1 800 200.00 0.40 (bagi setiap cc melebihi 1 600 cc) 0.40 (for every cc exceeding 1 600 cc) 1 801 – 2 000 280.00 0.50 (bagi setiap cc melebihi 1 800 cc) 0.50 (for every cc exceeding 1 800 cc) Kadar cukai jalan bagi kereta bukan salun di Semenanjung Malaysia: Road tax rates for non-saloon car in Peninsular Malaysia: Kapasiti enjin (cc) Engine capacity (cc) Kadar asas (RM) Basic rate (RM) Kadar progresif (RM) Progressive rate (RM) 1 601 – 1 800 300.00 0.30 (bagi setiap cc melebihi 1 600 cc) 0.30 (for every cc exceeding 1 600 cc) 1 801 – 2 000 360.00 0.40 (bagi setiap cc melebihi 1 800 cc) 0.40 (for every cc exceeding 1 800 cc) Kadar cukai jalan bagi kereta salun di Sabah dan Sarawak: Road tax rates for saloon car in Sabah and Sarawak: Kapasiti enjin (cc) Engine capacity (cc) Kadar asas (RM) Basic rate (RM) Kadar progresif (RM) Progressive rate (RM) 1 601 – 1 800 160.00 0.32 (bagi setiap cc melebihi 1 600 cc) 0.32 (for every cc exceeding 1 600 cc) 1 801 – 2 000 224.00 0.25 (bagi setiap cc melebihi 1 800 cc) 0.25 (for every cc exceeding 1 800 cc) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R8 Kadar cukai jalan bagi kereta bukan salun di Sabah dan Sarawak: Road tax rates for non-saloon car in Sabah and Sarawak: Kapasiti enjin (cc) Engine capacity (cc) Kadar asas (RM) Basic rate (RM) Kadar progresif (RM) Progressive rate (RM) 1 601 – 1 800 165.00 0.17 (bagi setiap cc melebihi 1 600 cc) 0.17 (for every cc exceeding 1 600 cc) 1 801 – 2 000 199.00 0.22 (bagi setiap cc melebihi 1 800 cc) 0.22 (for every cc exceeding 1 800 cc) Bandingkan cukai jalan yang dibayar oleh Encik Krishnan pada tahun 2022 dan tahun 2024. Compare the road taxes paid by Mr Krishnan in the year 2022 and in the year 2024. Jawapan/ Answer: Cukai jalan yang dibayar pada tahun 2022 ialah RM221 dan pada tahun 2024 ialah RM400. The road tax paid in the year 2022 is RM221 and in the year 2024 is RM400. Info Ekstra Kajian kekongruenan adalah penting dalam membina kefahaman kita terhadap struktur-struktur yang ada di persekitaran. Ia membenarkan kita meningkatkan kesedaran tentang hubungan geometri dan juga untuk meningkatkan kecerdasan ruang. Menpelajari kekongruenan boleh mengukuhkan asas dan kefahaman kita terhadap konsep luas dan isi padu. The study of congruence is important in building our understanding towards structures in our surroundings. This will allow us to enhance our senses about geometrical relationship and to develop spatial intelligence. Studying congruence can strengthen our foundations and understanding on the concept of areas and volumes. Kuiz Modul: Bab 5, m/s 56 Rajah di bawah menunjukkan empat buah segi empat sama, ABCD, JKLM, PQRS dan WXYZ dengan panjang sisi 2 cm. Segi empat sama ABCD melingkungi sebuah bulatan, segi empat sama JKLM dilingkungi oleh sebuah bulatan dan segi empat sama WXYZ melingkungi sebuah bulatan dan dilingkungi oleh sebuah bulatan. The diagram below shows four squares, ABCD, JKLM, PQRS and WXYZ with side lengths of 2 cm. Square ABCD circumscribes a circle, square JKLM is inscribed in a circle and square WXYZ circumscribes a circle and is inscribed in a circle. W X Z Y P Q S R J K M L A B C D Antara empat buah segi empat sama itu, yang manakah adalah kongruen? Jelaskan jawapan anda. Between the four squares, which are congruent? Explain your answer. Jawapan/ Answer: Keempat-empat buah segi empat sama adalah kongruen kerana semua panjang sisi yang sepadan bagi segi empat itu adalah sama. All four squares are congruent because all the corresponding side length of the squares are the same. Aktiviti PAK-21 Modul: Bab 5, m/s 56 Aktiviti Interaktif/ Interactive activity: 1 Jalankan aktiviti ini di dalam kelas. Conduct this activity in the class. 2 Guru dikehendaki menyediakan lima atau enam set alat tulis yang sama seperti yang ditunjukkan dalam senarai yang berikut dan setiap satu alat tulis dibahagi secara rawak kepada setiap murid. The teacher is required to prepare five or six sets of the same stationery as shown in the following list and distributes each of the stationery items randomly to every student. 5 Bab Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi Congruency, Enlargement and Combined Transformations (m/s: 56 – 78) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R9 • 4 batang pen biru yang sama 4 of the same blue pens • 4 batang pen hitam yang sama 4 of the same black pens • 4 batang pembaris yang sama 4 of the same rulers • 4 pemadam yang sama 4 of the same erasers • 4 batang pensel yang sama 4 of the same pencils • 4 klip kertas yang sama 4 of the same paper clips 3 Murid-murid dikehendaki berkumpul bersama mengikut alat tulis yang sama yang diberi. The students are required to gather together according to the same stationery given. 4 Guru boleh mengemukakan soalan seperti yang berikut kepada setiap kumpulan murid. The teacher can open up questions such as follows to each group of students. • Mengapakah murid-murid berkumpul dalam kumpulan ini? Why do you gather in this group? • Huraikan ciri-ciri alat tulis yang diperoleh. Describe the characteristics of the stationery item obtained. • Adakah alat tulis yang diperoleh kongruen? Are the stationery items obtained congruent? • Apakah yang dimaksudkan dengan kongruen? What is meant by congruent? 5 Berdasarkan konsep kekongruenan, murid-murid dikehendaki mengambil sekurang-kurangnya dua foto objek yang kongruen yang terdapat di sekeliling sekolah. Based on the concept of congruence, students are required to take at least two photos of congruent objects found around the school. 6 Bentangkan foto yang diambil kepada seluruh kelas dan jelaskan mengapa objek dalam foto itu adalah kongruen. Seterusnya, murid perlu memberi satu contoh sumbangan konsep kekongruenan kepada hidupan harian kita. Present the photos taken to the whole class and explain why the objects in the photos are congruent. Hence, the student needs to give an example of the contribution of the concept of congruency towards our daily lives. 7 Guru boleh mengemukakan soalan seperti yang berikut kepada kelas selepas pembentangan. The teacher can open up question such as following to the class after the presentation. • Adakah objek di dalam foto masih kongruen sekiranya foto-foto yang diambil dibesarkan? Are the objects in the photo still congruent if the photos taken are enlarged? • Apakah perbezaan antara objek dalam foto asal dan objek dalam foto yang dibesarkan? What is the difference between the object in the original photo and the object in the enlarged photo? 8 Murid-murid perlu membuat satu kesimpulan tentang hubungan antara kekongruenan dan pembesaran berdasarkan dapatan aktiviti ini. Students need to draw a conclusion on the relationship between congruency and enlargement based on the findings in this activity. Kuiz Modul: Bab 5, m/s 60 Rajah di bawah menunjukkan empat keping kertas berbentuk segi tiga, P, A, B dan C. The diagram below shows four pieces of triangular paper, P, A, B and C. P 65 cm 63 cm A 65 cm 56 cm B 36 cm 77 cm C 16 cm 65 cm Sekeping kertas berbentuk segi empat tepat dipotong mengikut pepenjurunya dan kertas P ialah bahagian kertas yang tinggal. Antara kertas A, B dan C, yang manakah bahagian yang dipotong keluar daripada kertas berbentuk segi empat tepat itu? A rectangular paper is cut along its diagonal and paper P is part of the leftover paper. Between papers A, B and C, which one is the part that was cut out from the rectangular paper? Jawapan/ Answer: Kertas/ Paper C CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R10 Kuiz Modul: Bab 5, m/s 73 Rajah di bawah menunjukkan kedudukan asal dan semasa sebuah kolam air pancut yang berbentuk heksagon sekata di sebuah pusat membeli-belah. Panjang sisi kolam air pancut semasa adalah dua kali lebih panjang daripada panjang asal kolam itu. The diagram below shows the original and current position of a regular hexagonal fountain pond in a shopping mall. The side length of the current fountain pond is twice longer than the original side length of the pond. 5 m 40 m Nyatakan transformasi yang terlibat dalam perubahan kolam air pancut dalam pusat membeli-belah itu. Seterusnya, hitung luas permukaan kolam air pancut semasa itu. State the transformation involved in the change of the fountain pond in the shopping mall. Hence, calculate the surface area of the current fountain pond. Jawapan/ Answer: Kolam air pancut digerakkan di bawah translasi ( 40 m 0 ) dan dibesarkan mengikut pembesaran pada bucu paling kiri dengan faktor skala 2. Luas permukaan bagi kolam air pancut semasa itu ialah 259.81 m2 . The fountain pond is moved under a translation ( 40 m 0 ) and enlarge according to an enlargement at the leftmost vertex with a scale factor of 2. The surface area of the current fountain pond is 259.81 m2 . Info Ekstra Trigonometri merupakan satu cabang matematik yang melibatkan kajian tentang hubungan antara panjang sisi dan sudut-sudut segi tiga. Kajian trigonometri adalah penting dalam hidupan harian kita kerana ia menyumbang kepada banyak aplikasi dalam bidang fizik, kejuruteraan, muzik, pelayaran, penerbangan, biologi marin, pembinaan dan kriminologi. Aplikasi trigonometri dibahagikan kepada aplikasi geometri serta penggunaan yang lebih maju dan progresif, iaitu penggunaan analisis trigonometri. Aplikasi geometri melibatkan penghitungan berkenaan panjang sisi dan sudut-sudut sebuah segi tiga serta memperoleh ukuran tepat dengan menggunakan trigonometri. Penggunaan analisis pula melibatkan analisis dan memudahkan persamaan berkenaan fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus dan tangen. Trigonometry is a branch of mathematics that involves the study of the relationship between side lengths and angles of triangles. The study of trigonometry is important to our daily lives as it contributes to many applications in the fields of physics, engineering, music, navigation, aviation, marine biology, constructions and criminology. The applications of trigonometry are divided into geometrical applications and a more advance and progressive use, that is the analytical uses of trigonometry. Geometrical applications involve the calculation about the side lengths and angles of a triangle and obtaining exact measurements using trigonometry. Meanwhile, the analytical uses involve analysing and simplifying equations about trigonometric functions like sine, cosine and tangent. Tahukah anda? Bulatan unit ialah sebuah bulatan dengan jejari 1 unit yang dibahagikan kepada empat sukuan oleh paksi-x dan paksi-y. Konsep segi tiga berdasarkan bulatan unit membenarkan kita mengeksplorasi sinus, kosinus dan tangen melalui frekuensi di luar segi tiga tradisional. Graf fungsi trigonometri boleh diperoleh daripada bulatan unit dengan menjejak lilitan bulatan (perubahan sudut) kepada paksi tertentu seperti dalam gambar rajah animasi di kod QR di bawah. Unit circle is a circle with a radius of 1 unit which is divided into four quadrants by the x-axis and y-axis. The triangulation concept based on the unit circle allows us to explore sine, cosine and tangent beyond the frequency of the traditional triangle. Graphs of trigonometric functions can be derived from unit circle by tracing the circumference of the circle (change of angle) to the specific axis like in the animated diagram in the QR code below. • Bulatan unit dan fungsi trigonometri/ Unit circle and trigonometric functions: https://www.geogebra.org/m/tpfebt9w 6 Bab Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri Ratios and Graphs of Trigonometric Functions (m/s: 79 – 90) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R11 Kuiz Modul: Bab 6, m/s 82 Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, θ + α = 90°. Dengan menggunakan pilihan yang diberi, nyatakan nilai bagi sin θ. Seterusnya, nyatakan nilai bagi kos (180° – α) dan tan (180° + α) dalam bentuk pecahan sekiranya sin θ = 3 5 . In a right-angled triangle, θ + α = 90°. By using the choices given, state the value of sin θ. Hence, state the values of cos (180° – α) and tan (180° + α) in the form of fraction if sin θ = 3 5 . kos/ cos θ kos/ cos α sin α tan 90° tan (90° – α) Jawapan/ Answer: sin θ = kos/ cos α; kos/ cos (180° – α) = – 3 5 ; tan (180° + α) = 4 3 Kuiz Modul: Bab 6, m/s 87 Rajah di bawah menunjukkan bayang-bayang sebatang tiang bendera yang terbentuk dari pukul 8 pagi hingga pukul 4 petang. The diagram below shows the shadow of a flagpole formed from 8 a.m. to 4 p.m. 8 a.m 4 p.m 12 p.m Khairy telah memplot sebuah graf panjang bayang-bayang melawan masa. Andaikan panjang bayang-bayang yang terbentuk di sebelah kanan tiang adalah bernilai positif, tulis satu persamaan untuk mewakili bentuk graf yang diperoleh Khairy. Khairy plotted a graph of the length of shadow against time. Assuming the length of the shadow formed on the right side of the pole is positive, write an equation to represent the shape of the graph obtained by Khairy. Jawapan/ Answer: y = –kos x, dengan y mewakili panjang bayang-bayang dan x mewakili masa dalam jam. y = –cos x, where y represents the length of the shadow and x represents time in hour. Tip perhitungan Nisbah trigonometri bagi sudut biasa seperti 30°, 45° dan 60° mudah diingati dengan 1, 2 dan 3. Bagi sinus ialah punca kuasa dua 1, 2, 3 bahagi dengan 2 manakala bagi kosinus ialah punca kuasa dua 3, 2, 1 bahagi dengan 2. The ratio of trigonometry for common angles such as 30°, 45° and 60° can be easily memorised with 1, 2 and 3. For sine is the square roots of 1, 2, 3 divided by 2 whereas for cosine is the square roots of 3, 2, 1 divided by 2. Sudut Angle sin kos cos tan 30° 1 2 = 1 2 3 2 1 2 ÷ 3 2 = 1 2 × 2 3 = 1 3 45° 2 2 = 1 2 2 2 = 1 2 2 2 ÷ 2 2 = 2 2 × 2 2 = 1 60° 3 2 1 2 = 1 2 3 2 ÷ 1 2 = 3 2 × 2 1 = 3 y x (1, 0) (0, 1) 90° 60° 45° 30° 0° (kos, sin) (cos, sin) ( 3 2 , 1 2 ) ( 2 2 , 2 2 ) ( 1 2 , 3 2 ) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R12 Info Ekstra Serakan dalam statistik adalah tentang taburan data atau betapa data berserak di dalam suatu sampel dan juga untuk menunjukkan kebolehubahan data. Taburan data boleh diperihalkan dengan menggunakan varians, sisihan piawai dan julat antara kuartil yang juga boleh dipaparkan pada perwakilan grafik seperti plot titik, plot kotak dan plot batang-dan-daun. Kebolehubahan data yang ditunjukkan melalui sukatan serakan bersama dengan sukatan pusat kecenderungan adalah penting dalam bidang sains, terutamanya dalam penyelidikan, untuk menentukan betapa baik kita boleh membuat suatu keputusan daripada sampel kepada populasi dan meneliti sebarang ralat. Dispersion in statistics is about the spread of data or how scattering are the data within the sample and also to show the variability of data. The spread of data can be described using variance, standard deviation and interquartile range while displayed on graphical representations like dot plot, box plot and stem-and-leaf plot. The variability of data shown through the measures of dispersion along with the measures of central tendency are important in the field of science, especially in research, to show how well we can draw a conclusion from the sample to the population and to scrutinise any errors. Tahukah anda? Histogram dan poligon kekerapan ialah dua perwakilan grafik serupa dalam taburan data bagi suatu sampel. Namun begitu, perbandingan taburan data antara dua set data dalam satu graf dengan menggunakan histogram tidak digalakkan. Ini kerana pertindihan palang-palang dua histogram bukan sahaja menyusahkan pembacaan graf, malah mengelirukan. Oleh itu, poligon kekerapan mempunyai kelebihan untuk membuat perbandingan taburan antara dua atau lebih set data dan mudah digambarkan dan ditafsirkan. Poligon kekerapan juga kurang dipengaruhi oleh nilai terpencil. Histogram and frequency polygon are two similar graphical representations in the dispersion of data for one sample. Despite so, comparison of the dispersion of data between two sets of data in one graph using histogram is not recommended. This is because the overlapping of the bars of two histograms does not only interfere the reading of the graph, but also making it more confusing. Thus, frequency polygon has the advantages of making comparison of the dispersion between two or more sets of data and easier to visualise and interpret. Frequency polygon is also less affected by outliers. Kuiz Modul: Bab 7, m/s 94 Rajah di bawah menunjukkan keputusan suatu penyiasatan daripada tiga kawasan pada suatu tahun tertentu. The diagram below shows the results of an investigation from three areas in a certain year. Kawasan P Area P Pendapatan (RM) Income (RM) Bilangan penduduk Number of residents Kawasan Q Area Q Pendapatan (RM) Income (RM) Bilangan penduduk Number of residents Kawasan R Area R Pendapatan (RM) Income (RM) Bilangan penduduk Number of residents Antara tiga kawasan itu, yang manakah menunjukkan ketaksamaan pendapatan? Seterusnya, tentukan kawasankawasan tersebut ialah bandar, kampung yang belum membangun atau kawasan pertanian dan terangkan jawapan anda. Among the three areas, which shows income inequality? Hence, determine the areas is a city, undeveloped countryside or an agricultural region and explain your answer. Jawapan/ Answer: Kawasan R menunjukkan ketaksamaan pendapatan. Kawasan P ialah suatu kawasan pertanian kerana semua penduduk mempunyai kerja yang lebih kurang sama, maka pendapatan mereka juga lebih kurang sama. Kawasan Q ialah satu kampung yang belum membangun, oleh itu kebanyakan penduduknya adalah miskin. Kawasan R ialah suatu bandar kerana penduduk yang berjaya adalah lebih kaya manakala penduduk yang kurang berjaya mungkin hidup dengan susah payah dengan melakukan beberapa kerja sampingan. Area R shows income inequality. Area P is an agricultural region because all of its residents have more or less the same jobs, thus their income are also more or less the same. Area Q is an undeveloped countryside, therefore most of its residents are poor. Area R is a city because successful residents are richer while unsuccessful residents are probably struggling with a few side jobs. [Menerima sebarang jawapan yang munasabah/ Accept any reasonable answers] 7 Bab Sukatan Serakan Data Terkumpul Measures of Dispersion for Grouped Data (m/s: 91 – 114) CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R13 Tahukah anda? Sisihan piawai ialah sukatan betapa tabur data di dalam suatu sampel dan merupakan punca kuasa dua varians manakala varians ialah sukatan taburan data dan ditakrifkan oleh purata kuasa dua beza daripada min. Langkahlangkah berikut menunjukkan cara memperoleh formula varians dan sisihan piawai: Standard deviation is the measure of how spread are the data in a sample and is the square root of variance whereas variance is the measure of the spread of the data and is defined by the average of the squared differences from the mean. The following steps shows the method to derive the formula of varians and standard deviation: 1 Cari min, x̅̅ daripada set data. Find the mean, x̅ from the set of data. 2 Data tak terkumpul/ Ungrouped data: Bagi setiap titik data, kuasa duakan jarak kepada min. Ini memastikan nilai itu adalah sentiasa positif, kerana jarak tidak mungkin bernilai negatif. Seterusnya, tambahkan semua nilai kuasa dua. For each data point, square the distance to the mean. This is to ensure the value is always positive because distance cannot possibly be negative value. Then, add all the squared values. Data terkumpul/ Grouped data: Bagi setiap selang kelas, kuasa duakan jarak titik tengah kepada min dan kemudian darabkan dengan kekerapan. Seterusnya, tambahkan semua hasil darab kuasa dua. For each class interval, square the distance of midpoint to the mean and then multiply with frequency. Then, add all the squared products. 3 Bahagikan hasil tambah di Langkah 2 dengan bilangan data (data tak terkumpul) atau hasil tambah kekerapan (data terkumpul). Hasil bahagi ialah varians. Divide the sum in Step 2 by the number of data (ungrouped data) or the sum of frequency (grouped data). The quotient is variance. 4 Punca kuasa dua hasil bahagi di Langkah 3 untuk memperoleh sisihan piawai. Square root the quotient in Step 3 to obtain the standard deviation. Bagi data tak terkumpul: For ungrouped data: x̅ = x1 + x2 + x3 + … + xN N ∑(x – x̅)2 = (x1 – x̅)2 + (x2 – x̅)2 + (x3 – x̅)2 + … + (xN – x̅)2 ⇒ σ2 = ∑(x ‒ x̅ )2 N ⇒ σ = ∑(x ‒ x̅ )2 N x̅ = min/ mean x = data/ data N = bilangan data/ number of data ∑(x – x̅)2 = hasil tambah kuasa dua jarak data kepada min/ the sum of squares of the distance of data to the mean σ2 = varians/ variance σ = sisihan piawai/ standard deviation Bagi data terkumpul: For grouped data: x̅ = f 1 x1 + f 2 x2 + f 3 x3 + … + f n xn f 1 + f 2 + f 3 + … + f n ∑ f = f 1 + f 2 + f 3 + … + f n ∑ f(x – x̅)2 = f 1 (x1 – x̅)2 + f 2 (x2 – x̅)2 + f 3 (x3 – x̅)2 + … + f n (xN – x̅)2 ⇒ σ2 = ∑ f(x ‒ x̅ )2 ∑ f ⇒ σ = ∑ f(x ‒ x̅ )2 ∑ f x̅ = min/ mean f = kekerapan/ frequency x = titik tengah selang kelas/ midpoint of class interval ∑ f = jumlah kekerapan/ sum of frequency ∑ f(x – x̅)2 = hasil tambah bagi hasil darab kekerapan dan kuasa dua jarak titik tengah kepada min/ the sum of the products of frequency and the squares of the distance of midpoint to the mean σ2 = varians/ variance CONTOH σ = sisihan piawai/ standard deviation

Matematik Tingkatan 5 Resos Guru R14 Kuiz Modul: Bab 7, m/s 108 Jadual di bawah menunjukkan rekod bagi masa yang diambil oleh sebilangan peserta untuk menyelesaikan suatu teka-teki. Rekod bagi selang masa 10 – 13 minit hilang akibat kecuaian seorang staf penganjur. The table below shows the record of the time taken for a number of participants to complete a puzzle. The record for the time interval of 10 – 13 minutes is lost due to the negligence of a staff of the organiser. Masa (minit) Time (minutes) 2 – 5 6 – 9 10 – 13 14 – 17 18 – 21 Bilangan peserta Number of participants 3 19 12 6 Berdasarkan laporan analisis, didapati sisihan piawai ialah 4.2264. Pulihkan data yang hilang dan tentukan min bagi data tersebut. Based on the analytical report, it was found that the standard deviation is 4.2264. Recover the lost data and determine the mean for the data. Jawapan/ Answer: Bilangan peserta bagi selang masa 10 – 13 minit ialah 20 orang dan min data ialah 343 30 . The number of participants for the time interval 10 – 13 minutes is 20 person and the mean of the data is 343 30 . Info Ekstra Matematik boleh digunakan untuk meniru atau “memodelkan” sesuatu situasi sebenar dan digunakan dalam penyelesaian masalah yang terdapat dalam situasi tersebut. Maka, pemodelan matematik telah diaplikasikan. Kita menggunakan matematik untuk menggambarkan satu versi mudah masalah dunia sebenar dan memperbaik model tersebut sambil cuba menyelesaikan masalah itu. Oleh sebab model tersebut merupakan suatu ringkasan masalah dunia sebenar, ia tidak boleh menyertakan semua aspek masalah sebenar, tetapi ia masih boleh membantu kita memperbaik kefahaman kita tentang dunia sebenar dengan pemboleh ubah tertentu yang boleh dilaraskan. Walaupun bukan semua model adalah berkesan dalam setiap situasi, model tersebut masih boleh digunakan untuk membuat ramalan dan membekalkan kawalan terhadap situasi-situasi tertentu. Mathematics can be used to simulate or “model” a real situation and used into resolving the problem presented in the situation. Hence, mathematical modelling was applied. We use mathematics to draw up a simplified version of the real world problem and improve the model while trying to resolve the problem. Since the model is a simplification of the real world problem, it could not include every aspect of the actual problem, however it could still help us improve our understanding of the real world with certain adjustable variables. Although not all models could work in every situation, they certainly still can be used to make predictions and provide control on certain situations. Kuiz Modul: Bab 8, m/s 117 Minah mengambil masa 14 minit untuk memandu sejauh 14 km ke pejabat dari rumahnya pada waktu pagi. Hitung laju purata pemanduan Minah dari rumahnya ke pejabat. Seterusnya, tentukan masa yang diambil olehnya dalam perjalanan pulang. Sekiranya Minah habis kerja pada pukul 5 petang dan sampai rumahnya pada pukul 5.40 petang, terangkan perbezaan antara masa pulang rumah yang dihitungkan dan masa sebenar yang diambil. Mengapakah terdapat perbezaan tersebut? Minah took 14 minutes to drive 14 km to her office from her house in the morning. Calculate the average speed of Minah’s driving from her house to the office. Hence, determine the time taken by Minah on her return journey. If Minah is off work at 5 p.m. and reaches home at 5.40 p.m., explain the difference between the time of returning home calculated and the actual time taken. Why is there a difference? Jawapan/ Answer: Laju purata ialah 60 km/j. Masa yang diambil dalam perjalanan pulang ialah 14 minit. Beza masa mungkin disebabkan oleh jarak perjalanan pulang ke rumah Minah dari pejabatnya adalah tidak sama dengan jarak perjalanan pergi, laju purata pemanduan Minah antara pergi dan balik adalah berbeza dan perjalanan pada waktu balik adalah sesak. Pemodelan matematik ini tidak dapat menggambarkan situasi sebenar dengan tepat. The average speed is 60 km/h. The time taken on the return journey is 14 minutes. The difference in time is probably due to the distance on the return journey from Minah’s office to her house is not the same as the distance of her leaving journey, the average speed of Minah’s driving between to and from is different and the journey during the going-home time is jammed. This mathematical model cannot accurately reflect on the actual situation. 8 Bab Pemodelan Matematik Mathematical Modelling (m/s: 115 – 126) CONTOH

e-RPH Kandungan Format Instrumen SPM Matematik (1449)............................................i Rekod Pentaksiran Murid.........................ii 1.1 Ubahan Langsung........................................... 1 Direct Variation 1.2 Ubahan Songsang........................................... 7 Inverse Variation 1.3 Ubahan Bergabung.......................................13 Combined Variation Praktis Kendiri...........................................................15 1 Bab Ubahan Variation 2.1 Matriks ..............................................................18 Matrices 2.2 Operasi Asas Matriks ..................................19 Basic Operation on Matrices Praktis Kendiri...........................................................27 2 Bab Matriks Matrices 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans.........30 Risk and Insurance Coverage Praktis Kendiri...........................................................37 3 Bab Matematik Pengguna: Insurans Consumer Mathematics: Insurance 4.1 Percukaian.......................................................41 Taxation Praktis Kendiri...........................................................53 4 Bab Matematik Pengguna: Percukaian Consumer Mathematics: Taxation 5.1 Kekongruenan................................................56 Congruency 5.2 Pembesaran.....................................................61 Enlargement 5 Bab Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi Congruency, Enlargement and Combined Transformations 5.3 Gabungan Transformasi .............................68 Combined Transformation 5.4 Teselasi..............................................................75 Tessellation Praktis Kendiri...........................................................76 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° N θ N 360° ..................................79 The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° N θ N 360° 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen...............................................................83 The Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions Praktis Kendiri...........................................................88 6 Bab Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri Ratios and Graphs of Trigonometric Functions 7.1 Serakan.............................................................91 Dispersion 7.2 Sukatan Serakan........................................ 103 Measures of Dispersion Praktis Kendiri.........................................................111 7 Bab Sukatan Serakan Data Terkumpul Measures of Dispersion for Grouped Data 8.1 Pemodelan Matematik ..............................115 Mathematical Modelling Praktis Kendiri.........................................................120 8 Bab Pemodelan Matematik Mathematical Modelling Soalan SPM Kertas 2 Bahagian C.... 127 Kertas Model SPM.................................... 139 Nota Semua laman sesawang dalam buku ini boleh dicapai pada Januari 2023 QR CONTOH

i Bil. Perkara Kertas 1 (1449/1) Kertas 2 (1449/2) 1 Jenis Instrumen Ujian Bertulis 2 Jenis Item Objektif Aneka Pilihan • Subjektif Respons Terhad • Subjektif Berstruktur 3 Bilangan Soalan 40 soalan (40 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian A: 10 soalan (40 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B: 5 soalan (45 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian C 2 soalan (15 markah) (Jawab satu soalan) 4 Jumlah Markah 40 markah 100 markah 5 Konstruk • Mengingat dan Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Mengingat dan Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta 6 Tempoh Ujian 1 jam 30 minit 2 jam 30 minit 7 Cakupan Konstruk Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM (Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5) 8 Aras Kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi 5 : 3 : 2 9 Kaedah Penskoran Dikotomus Analitik 10 Alat Tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram • Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram • Alatan geometri Format Instrumen SPM Matematik (1449) CONTOH

ii Bab TP Tafsiran Menguasai ()/ Belum Menguasai () Tandatangan Guru & Tarikh 1 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 2 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks. 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 3 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans. 2 Mempamerkan kefahaman tentang insurans. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insurans dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 4 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang percukaian. 2 Mempamerkan kefahaman tentang percukaian. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang percukaian untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang percukaian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 5 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi. 2 Mempamerkan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi. Rekod Pentaksiran Murid Matematik Tingkatan 5 CONTOH

iii 5 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 6 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. 2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 7 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul. 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. 8 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemodelan matematik. 2 Mempamerkan kefahaman tentang pemodelan matematik. 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pemodelan matematik untuk melaksanakan tugasan mudah. 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi linear. 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen. 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang pemodelan matematik dalam konteks penyelesaian masalah kehidupan sebenar yang melibatkan fungsi kuadratik dan eksponen secara kreatif. CONTOH

1 Praktis Intensif 1.1 Ubahan Langsung Direct Variation Buku Teks m/s 1 – 16 1 Nyatakan perubahan perkara bagi setiap situasi berikut. SP: 1.1.1 TP1 State the change of subject for each of the following situations. Mudah (a) Jumlah gaji Amin berubah secara langsung dengan bilangan jam bekerja. Nyatakan perubahan pada The total salary of Amin varies directly as the number of his working hours. State the change on (i) jumlah gaji Amin jika bilangan bekerja adalah tiga kali ganda, Amin’s total salary if his number of working hours is tripled, (ii) jumlah gaji Amin jika bilangan jam bekerjanya bertambah sebanyak 30%, Amin’s total salary if his working hours increases by 30%, (iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Amin adalah separuh daripada gaji asal. the number of working hours if Amin’s salary is halved. (i) Jumlah gaji Amin adalah tiga kali ganda. Amin’s total salary is tripled. (ii) Jumlah gaji Amin bertambah sebanyak 30%. Amin’s total salary increases by 30%. (iii) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada bilangan jam bekerja asal. The number of working hours is halved. (b) Fatimah ingin memasak bubur kacang merah. Amaun gula yang ditambah berubah secara langsung dengan amaun air yang digunakan. Nyatakan perubahan pada Fatimah would like to cook red bean porridge. The amount of sugar added varies directly as the amount of water used. State the change on (i) amaun gula jika amaun air adalah separuh daripada amaun asalnya, the amount of sugar if the amount of water is halved, (ii) amaun air jika amaun gula adalah separuh daripada amaun asalnya, the amount of water if the amount of sugar is halved, (iii) amaun gula jika amaun air berkurang sebanyak 40%. the amount of sugar if the amount of water decreases by 40%. (i) Amaun gula adalah separuh daripada amaun asalnya. The amount of sugar is halved. (ii) Amaun air adalah separuh daripada amaun asalnya. The amount of water is halved. (iii) Amaun gula berkurang sebanyak 40%. The amount of sugar decreases by 40%. (c) Nilai rintangan bagi seutas dawai berubah secara langsung dengan nilai suhunya. Nyatakan perubahan pada The value of resistance of a wire varies directly as its temperature. State the change on (i) nilai rintangan jika nilai suhunya bertambah sebanyak 20%, the value of resistance if the temperature increases by 20%, (ii) nilai rintangan jika nilai suhunya berkurang sebanyak 10%, the value of resistance if the temperature decreases by 10%, (iii) suhu jika nilai rintangan bertambah dua kali ganda. the temperature if the value of resistance is doubled. (i) Nilai rintangan bertambah sebanyak 20%. The value of resistance increases by 20%. (ii) Nilai rintangan berkurang sebanyak 10%. The value of resistance decreases by 10%. (iii) Suhu bertambah dua kali ganda. The temperature is doubled. Contoh Jumlah gaji Malik berubah secara langsung dengan bilangan jam bekerja. Nyatakan perubahan pada The total salary of Malik varies directly as the number of his working hours. State the change on (i) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerja adalah dua kali ganda, Malik’s total salary if his number of working hours is doubled, (ii) jumlah gaji Malik jika bilangan jam bekerjanya bertambah sebanyak 40%, Malik’s total salary if his number of working hours increases by 40%, (iii) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang diterima oleh Malik adalah separuh daripada gaji asal. the number of working hours if Malik’s salary is halved. (i) Jumlah gaji Malik adalah dua kali ganda. Malik’s total salary is doubled. (ii) Jumlah gaji Malik bertambah sebanyak 40%. Malik’s total salary increases by 40%. (iii) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada bilangan jam bekerja asal. The number of working hours is halved. Ubahan 1 Variation Bab Info Digital 1.1 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 2 (d) Masa yang diambil untuk menghasilkan jem strawberi oleh Puan Tharani adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah. The time taken to produce strawberry jam by Puan Tharani is shown in the table below. Masa (minit) Time (minutes) 10 20 30 40 Bilangan botol jem strawberi Number of bottles of strawberry jam 2 4 6 8 Nyatakan perubahan pada bilangan botol jem yang dihasilkan apabila State the change in the number of bottles of jam produced when (i) masa yang diambil bertambah sebanyak 40%, the time taken increases by 40%, (ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya, the time taken is halved, (iii) masa yang diambil bertambah dua kali ganda. the time taken is doubled. (i) Bilangan botol jem bertambah sebanyak 40%. The number of bottles of jam increases by 40%. (ii) Bilangan botol jem adalah separuh daripada bilangan asalnya. The number of bottles of jam is halved. (iii) Bilangan botol jem bertambah dua kali ganda. The number of bottles of jam is doubled. 2 (a) Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. SP: 1.1.2 TP2 By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x. Mudah x 1 2 3 4 y 10 20 30 40 x y 1 10 20 30 40 2 3 4 O Maka, y berubah secara langsung dengan x. Hence, y varies directly as x. CONTOH

3 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 (b) Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x. x 5 10 15 20 y 0.1 0.2 0.3 0.4 x y 5 0.1 0.2 0.3 0.4 10 15 20 O Maka, y berubah secara langsung dengan x. / Hence, y varies directly as x. 3 Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. Kemudian, tuliskan hubungan tersebut dalam bentuk ubahan. Determine whether y varies directly as x. Then, write the relation in the form of variation. SP: 1.1.2 TP2 Mudah (a) x 3 6 9 12 y 1 2 3 6 y x 1 3 1 3 1 3 1 2 Tidak kerana y x bukan pemalar. No because y x is not a constant. (b) √x 0.1 0.2 0.3 0.4 y 0.3 1.2 2.7 4.8 x 0.01 0.04 0.09 0.16 y x 30 30 30 30 Ya kerana y x adalah pemalar. Yes because y x is a constant. ∴ y ∝ x (c) x3 1 8 27 64 y 1 8 27 64 x 1 2 3 4 y x 1 4 9 16 Tidak kerana y x bukan pemalar. No because y x is not a constant. (d) √x √2 2 √6 √8 y3 1 8 27 64 x 2 4 6 8 y 1 2 3 4 y x 1 2 1 2 1 2 1 2 Ya kerana y x adalah pemalar. Yes because y x is a constant. ∴ y ∝ x Contoh x 3 6 9 12 y 2 4 6 8 y x 2 3 2 3 2 3 2 3 Ya kerana y x adalah pemalar. Yes because y x is a constant. ∴ y ∝ x Tip Bestari Jika y berubah secara langsung dengan x, maka y x = k, dengan keadaan k ialah pemalar. If y varies directly as x, then y x = k, where k is a constant. Penggunaan Kalkulator CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 4 4 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan: SP: 1.1.2 TP2 Based on the following tables, determine whether y varies directly as: Mudah (a) x3 x 1 2 3 4 y 100 200 300 400 x3 1 8 27 64 y x3 100 25 100 9 25 4 Tidak kerana y x3 bukan pemalar. No because y x3 is not a constant. (b) √x 3 x 1 8 27 64 √y 1 2 3 4 √x 3 1 2 3 4 y 1 4 9 16 y √x 3 1 2 3 4 Tidak kerana y √x 3 bukan pemalar. No because y √x 3 is not a constant. Contoh Ya kerana y √x adalah pemalar. Yes because y √x is a constant. x 1 4 9 16 y 0.1 0.2 0.3 0.4 √x 1 2 3 4 y √x 1 10 1 10 1 10 1 10 √x 5 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan. Seterusnya, ungkapkan ubahan yang diberi dalam bentuk persamaan. SP: 1.1.2 TP2 Sederhana In each of the following, determine the constant of variation. Hence, express the variation given in the form of equation. (a) y ∝ x dan y = 4 apabila x = 6. y ∝ x and y = 4 when x = 6. y = kx 4 = k(6) k = 4 6 = 2 3 ∴ y = 2 3 x (b) y ∝ x2 dan y = 14 apabila x = 2. y ∝ x2 and y = 14 when x = 2. y = kx2 14 = k(2)2 k = 14 4 = 7 2 ∴ y = 7 2 x2 (c) y ∝ x3 dan y = 1 apabila x = 0.1. y ∝ x3 and y = 1 when x = 0.1. y = kx3 1 = k(0.1)3 k = 1 (0.1)3 = 1 000 ∴ y = 1 000x3 (d) y ∝ √x dan y = 10 apabila x = 25. y ∝ √x and y = 10 when x = 25. y = k√x 10 = k√25 k = 10 √25 = 2 ∴ y = 2√x (e) y ∝ √x 3 dan y = 6 apabila x = 27. y ∝ √x 3 and y = 6 when x = 27. y = k √x 3 6 = k √27 3 k = 6 √27 3 = 2 ∴ y = 2√x 3 Contoh y ∝ x dan y = 5 apabila x = 5. y ∝ x and y = 5 when x = 5. y ∝ x → y = kx 5 = k(5) k = 1 ∴ y = x Kesalahan Umum Meninggalkan jawapan dalam bentuk ini Leaving the answer in this form 6 Hitung nilai p bagi setiap ubahan berikut. SP: 1.1.2 TP4 Sederhana Calculate the value of p for each of the following variations. (a) y ∝ x2 x 1 2 y 4 p y1 xn 1 = y2 xn 2 4 12 = p 22 p = 4 1 × 4 = 16 Contoh y ∝ x x 16 p y 4 6 y1 xn 1 = y2 xn 2 4 16 = 6 p p = 6 × 16 4 = 24 Penggunaan Kalkulator Penggunaan Kalkulator Kaedah Alternatif y ∝ x y = kx 4 = k(16) k = 1 4 y = 1 4 x 6 = 1 4 (p) p = 24 Tip Bestari y ∝ xn ditulis sebagai y = kxn dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 atau y1 x n 1 = y2 x n 2 . y ∝ xn is written as y = kxn such that n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 atau y1 x n 1 = y2 x n 2 . CONTOH

5 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 (b) y ∝ x3 x p 3 y 16 54 y1 xn 1 = y2 xn 2 16 p3 = 54 33 p3 = 16 × 27 54 = 8 p = √8 3 = 2 (c) y ∝ √x x 16 p y 28 35 y ∝ √x → y ∝ x 1 2 28 161 2 = 35 p 1 2 p 1 2 = 35 × 4 28 = 5 p = (5)2 = 25 (d) y ∝ √x 3 x 27 p y 4 6 y ∝ √x 3 → y ∝ x 1 3 4 271 3 = 6 p 1 3 p 1 3 = 6 × 3 4 = 9 2 p = ( 9 2) 3 = 729 8 7 Bagi setiap ubahan tercantum berikut, ungkapkan a dalam sebutan b dan c. SP: 1.1.3 TP3 Sederhana In each of the following joint variations, express a in terms of b and c. (a) a ∝ bc2 dan a = 63 apabila b = 7 dan c = 3. a ∝ bc2 and a = 63 when b = 7 and c = 3. a= kbc2 63= k × 7 × 32 k= 63 63 = 1 ∴a= bc2 (b) a ∝ √bc2 dan a = 100 apabila b = 100 dan c = 5. a ∝ √bc2 and a = 100 when b = 100 and c = 5. a = k√bc2 100 = k × √100 × 52 k = 100 250 = 2 5 ∴ a = 2 5 √bc2 Contoh a ∝ bc dan a = 20 apabila b = 5 dan c = 1. a ∝ bc and a = 20 when b = 5 and c = 1. a = kbc 20 = k × 5 × 1 k = 20 5 = 4 ∴ a = 4bc 8 Hitung nilai q bagi setiap ubahan berikut. SP: 1.1.3 TP4 Sukar Calculate the value of q for each of the following variations. (a) y ∝ x2 z2 x 2 4 y 8 3 q z 2 3 y ∝ x2 z2 → y = kx2 z2 8 3 = k(22 )(22 ) k = 1 6 y = 1 6 x2 z2 q = 1 6 (42 )(32 ) = 24 (b) y ∝ x3 z x 2 4 y 2 32 z 0.5 q y ∝ x3 z → y = kx3 z 2 = k(23 )(0.5) k = 1 2 y = 1 2 x3 z 32 = 1 2 (43 )(q) q = 32 32 = 1 Contoh y ∝ xz x 1 2 y 3 q z 1 2 y ∝ xz → y = kxz 3 = k(1)(1) k = 3 y = 3xz q = 3(2)(2) = 12 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 6 9 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.1.4 TP5 TP6 Sederhana Sukar Answer each of the following question with detailed working. (a) Luas sebuah bulatan, A, berubah secara langsung dengan kuasa dua panjang jejarinya, r. The area of a circle, A, varies directly as the square of the length of its radius, r. (i) Tulis hubungan antara A dan r dengan menggunakan simbol ∝. Write the relation between A and r by using the symbol ∝. (ii) Lakarkan graf A melawan r2 . Sketch the graph of A against r2 . (i) A ∝ r2 (ii) A O r2 (b) Jadual berikut menunjukkan kadar pertukaran Dolar Amerika Syarikat (USD) ke Ringgit Malaysia (RM). The following table shows the exchange rates of United States Dollar (USD) to Ringgit Malaysia (RM). USD 1 2 3 4 RM 4.1 8.2 12.3 16.4 (i) Tentukan sama ada RM berubah secara langsung dengan USD. Determine whether RM varies directly to USD. (ii) Berapakah Ringgit Malaysia boleh ditukar dengan menggunakan 5.5 USD? How much Ringgit Malaysia can be exchanged using 5.5 USD? (i) RM USD 4.1 4.1 4.1 4.1 Ya kerana RM USD adalah pemalar. Yes because RM USD is a constant. (ii) RM USD = 4.1 = y 5.5 y = 4.1 × 5.5 = 22.55 Ia boleh ditukar ke RM22.55. It can be exchanged for RM22.55. (c) Tenaga kinetik, E, suatu objek berubah secara langsung dengan jisim objek, m, dan kuasa dua halaju objek, v. Kinetic energy, E, of an object varies directly as the mass of the object, m, and the square of velocity of the object, v. (i) Ungkapkan pernyataan tersebut dengan menggunakan simbol ∝. Express the statement using the symbol ∝. (ii) Diberi E = 125 J apabila m = 10 kg dan v = 5 m s−1. Ungkapkan E dalam sebutan m dan v. Given that E = 125 J when m = 10 kg and v = 5 m s−1 . Express E in terms of m and v. (i) E ∝ mv2 (ii) E = kmv2 125 = k × 10 × 52 k = 125 10(25) = 125 250 = 1 2 ∴ E = 1 2 mv2 (d) Diberi r berubah secara langsung dengan s dan punca kuasa dua t. Given r varies directly as s and square root of t. (i) Sekiranya r = 80 apabila s = 5 dan t = 16, ungkapkan t dalam sebutan r dan s. If r = 80 when s = 5 and t = 16, express t in terms of r and s. (ii) Kemudian, hitung nilai t apabila s = 2 dan r = 10. Hence, calculate the value of t when s = 2 and r = 10. (i) r ∝ s√t → r = ks√t 80 = k × 5 × √16 k = 80 5(4) = 4 r = 4s√t √t = r 4s t = r2 16s2 (ii) s = 2 dan/ and r = 10, t = 102 16(2)2 = 100 64 = 25 16 / 1 9 16 CONTOH

7 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 1.2 Ubahan Songsang Inverse Variation Buku Teks m/s 17 – 25 1 Nyatakan perubahan perkara bagi setiap situasi berikut. SP: 1.2.1 TP1 State the change of subject for each of the following situations. Mudah (a) Fabian mengambil bahagian dalam maraton 21 km. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara masa yang diambil oleh Fabian dengan purata kelajuannya. Fabian takes part in a 21 km marathon. The table below shows the relation between the time taken by Fabian and his average speed. Masa, t (jam) Time, t (hours) 1 1.5 2 2.5 3 Laju purata, v (km j−1) Average speed, v (km h−1) 21 14 10.5 8.4 7 Nyatakan perubahan pada laju purata apabila State the change on average speed when (i) masa yang diambil adalah dua kali ganda, the time taken is doubled, (ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya. the time taken is halved. (i) t v 1 21 2 10.5 ×2 ÷2 Laju purata menjadi separuh daripada laju purata asalnya. The average speed is halved. (ii) t v 3 7 1.5 14 ÷2 ×2 Laju purata menjadi dua kali ganda daripada laju asalnya. The average speed is doubled. (b) Cik Pollen ingin membelikan hadiah kepada murid-muridnya yang mendapat A dalam ujian Matematik. Beliau telah mengehadkan jumlah wang untuk membeli hadiah. Jika harga sebuah hadiah ialah RM20, maka beliau boleh membeli 20 buah hadiah. Nyatakan bilangan hadiah yang dapat dibeli oleh Cik Pollen jika Miss Pollen wants to buy some gifts for her students who scores A in a Mathematics test. She fixed the money to buy the gifts. If the price of a gift is RM20, then Miss Pollen can buy 20 gifts. State the number of gifts that can be bought by Miss Pollen if (i) harga sebuah hadiah berkurang sebanyak 0.5 kali ganda, the price of a gift decreases by 0.5 times, (ii) harga sebuah hadiah bertambah sebanyak dua kali ganda. the price of a gifts increases by two times. (i) Bilangan hadiah akan bertambah sebanyak 0.5 kali ganda. The number of gifts will increase by 0.5 times. (ii) Bilangan hadiah akan berkurang sebanyak dua kali ganda. The number of gifts will decrease by two times. Contoh Adam mengambil bahagian dalam maraton 42 km. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara masa yang diambil oleh Adam dengan purata kelajuannya. Adam takes part in a 42 km marathon. The table below shows the relation between the time taken by Adam and his average speed. Masa, t (jam) Time, t (hours) 4 5 6 7 8 Laju purata, v (km j−1) Average speed, v (km h−1) 10.50 8.40 7.00 6.00 5.25 Nyatakan perubahan pada laju purata apabila State the change on average speed when (i) masa yang diambil adalah dua kali ganda, the time taken is doubled, (ii) masa yang diambil adalah separuh daripada masa asalnya. the time taken is halved. (i) t v 4 10.50 8 5.25 ×2 ÷2 Laju purata menjadi separuh daripada laju purata asalnya. The average speed is halved. (ii) t v 8 5.25 4 10.50 ÷2 ×2 Laju purata menjadi dua kali ganda daripada laju asalnya. The average speed is doubled. Info Digital 1.2 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 8 2 Diberi bilangan pekerja, x yang diperlukan berubah secara songsang dengan bilangan hari, d yang diperlukan untuk memasang jubin di dalam sebuah rumah. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara x dengan d. It is given that the number of workers, x needed varies inversely as the number of days, d needed to install tiles in a house. The table below shows the relation between x and d. Bilangan pekerja, x Number of workers, x 1 2 4 5 8 Bilangan hari yang diperlukan untuk memasang jubin, d Number of days needed to install tiles, d 20 10 5 4 2.5 Dengan menggunakan graf, tentukan sama ada d berubah secara songsang dengan x atau x2 . Seterusnya, tulis hubungan menggunakan simbol ∝. SP: 1.2.2 TP4 Sederhana By using graph, determine whether d varies inversely as x or x2 . Hence, write the relation by using the symbol ∝. x 1 2 4 5 8 d 20 10 5 4 2.5 1 x 1 0.5 0.25 0.2 0.125 x2 1 4 16 25 64 x2 d d O O 30 40 50 60 10 10 5 5 15 15 20 20 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 20 2 1 1 x Graf d melawan 1 x adalah satu garis lurus yang bermula dari asalan. The graph d against 1 x is a straight line starts from the origin. ∴ d ∝ 1 x Graf d melawan x2 ialah hiperbola. Graph d against x2 is a hyperbola. ∴ d ∝ 1 x2 CONTOH

9 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 3 Dua kuantiti, x dan y berubah mengikut jadual di bawah. Dengan menggunakan skala yang sesuai, lukis graf y melawan 1 x dan tunjukkan bahawa y berubah secara songsang dengan x. SP: 1.2.2 TP4 Two quantities, x and y vary based on the table below. By using a suitable scale, draw the graph of y against 1 x and show that y varies inversely as x. Sederhana x 1.25 2 2.5 4 5 8 10 y 8 5 4 2.5 2 1.25 1 x 1.25 2 2.5 4 5 8 10 y 8 5 4 2.5 2 1.25 1 1 x 0.8 0.5 0.4 0.25 0.2 0.125 0.1 y 0.1 1 5 3 7 2 6 4 8 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1 x O Graf y melawan 1 x menunjukkan satu garis lurus yang bermula dari asalan. Maka, y berubah secara songsang dengan x. The graph of y against 1 x shows a straight line that starts from the origin. Hence, y varies inversely as x. CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 10 4 Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x. SP: 1.2.2 TP2 Determine whether y varies inversely as x. Mudah Tip Bestari Jika y berubah secara songsang dengan x, maka xy = k, dengan keadaan k ialah pemalar. If y varies inversely as x, then xy = k, where k is a constant. (a) x 3 6 12 24 y 8 4 2 1 xy 24 24 24 24 Ya kerana xy adalah satu pemalar. Yes because xy is a constant. (b) x 2 5 10 50 y 50 10 5 2 xy 100 50 50 100 Tidak kerana xy bukan satu pemalar. No because xy is not a constant. (c) √x 1 2 4 8 y 64 32 16 8 x 1 4 16 64 xy 64 128 256 512 Tidak kerana xy bukan satu pemalar. No because xy is not a constant. (d) x 24 30 40 60 y3 125 64 27 8 y 5 4 3 2 xy 120 120 120 120 Ya kerana xy adalah satu pemalar. Yes because xy is a constant. (e) √x 2 3 4 5 y3 8 27 64 125 x 4 9 16 25 y 2 3 4 5 xy 8 27 64 125 Tidak kerana xy bukan satu pemalar. No because xy is not a constant. Contoh x 3 6 9 12 y 3 3 2 1 3 4 xy 9 9 9 9 Ya kerana xy adalah satu pemalar. Yes because xy is a constant. 5 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan: SP: 1.2.2 TP2 Mudah Based on the following tables, determine whether y varies inversely as: (a) x3 x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 x3 1 8 27 64 x3y 4 24 54 64 Tidak kerana x3 y bukan satu pemalar. No because x3 y is not a constant. (b) √x x 1 64 4 096 √y 3 8 4 2 √x 1 8 64 y 512 64 8 √xy 512 512 512 Ya kerana √xy adalah satu pemalar. Yes because √xy is a constant. Contoh Ya kerana x2 y adalah satu pemalar. Yes because x2 y is a constant. x 1 2 3 4 y 144 36 16 9 x2 1 4 9 16 x2y 144 144 144 144 x2 CONTOH

11 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 6 Dalam setiap yang berikut, tentukan pemalar ubahan dan seterusnya, ungkapkan ubahan yang diberi dalam bentuk persamaan. SP: 1.2.2 TP3 Sederhana In each of the following, determine the constant of variation and hence, express the given variation in the form of equation. (a) y ∝ 1 x dan y = 9 apabila x = 2. y ∝ 1 x and y = 9 when x = 2. xy = k 2 × 9 = k k = 18 ∴ y = 18 x (b) y ∝ 1 x3 dan y = 3 apabila x = 2. y ∝ 1 x3 and y = 3 when x = 2. x3 y = k (2)3 (3) = k k = 24 ∴ y = 24 x3 (c) y ∝ 1 √x dan y = 1 apabila x = 0.01. y ∝ 1 √x and y = 1 when x = 0.01. √xy = k √0.01 × 1 = k k = 0.1 ∴ y = 1 10√x (d) y ∝ 1 x2 dan y = 8 apabila x = 1 2 . y ∝ 1 x2 and y = 8 when x = 1 2 . x2 y = k ( 1 2 ) 2 × 8 = k k = 2 ∴ y = 2 x2 (e) y ∝ 1 √x 3 dan y = 6 apabila x = 0.001. y ∝ 1 √x 3 and y = 6 when x = 0.001. √xy 3 = k √0.001 3 × 6 = k k = 3 5 ∴ y = 3 5√x 3 Contoh y ∝ 1 x dan y = 0.1 apabila x = 10. y ∝ 1 x and y = 0.1 when x = 10. xy = k 10 × 0.1 = k k = 1 ∴ y = 1 x Tip Bestari y ∝ 1 xn ditulis sebagai y = k xn dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 2 atau xn y1 1 = xn y2 2 . y ∝ 1 xn is written as y = k xn such that n = 1, 2, 3, 1 2 or xn y 1 1 = xn y 2 2 . 7 Hitung nilai p bagi setiap yang berikut. SP: 1.2.2 TP4 Sederhana Calculate the value of p for each of the following. (a) y ∝ 1 x x 0.1 p y 36 18 xn y 1 1 = xn y 2 2 (0.1)(36) = (p)(18) p = 0.2 (b) y ∝ 1 √x x 1 p y 4 9 y ∝ 1 √x → y ∝ 1 x 1 2 (11 2)(4) = (p 1 2)(9) p 1 2 = 4 9 p = (4 9) 2 = 16 81 (c) y ∝ 1 x2 x 3 6 y p 54 (32 )(p) = (62 )(54) p = 216 (d) y ∝ 1 x3 x 1 p y 32 4 (13 )(32) = (p3 )(4) p3 = 8 p = √8 3 = 2 (e) y ∝ 1 √x 3 x 27 125 y 4 p √27 3 × 4 = √125 3 (p) 12 = 5p p = 12 5 Contoh y ∝ 1 x x 4 16 y 8 p xn y 1 1 = xn y 2 2 (4)(8) = (16)(p) p = 2 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 12 8 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.2.3 TP5 TP6 Sukar Answer each of the following questions with detailed working. (a) Frekuensi gelombang, f, berubah secara songsang dengan panjang gelombang, λ. The frequency of a wave, f, varies inversely as the wavelength of the wave, λ. (i) Tuliskan hubungan antara f dan λ dengan menggunakan simbol ∝. Write the relation between f and λ by using the symbol ∝. (ii) Lakarkan graf f melawan 1 λ . Sketch the graph of f against 1 λ . (i) f ∝ 1 λ (ii) 1 λ f O (b) Arus elektrik, I, berubah secara songsang dengan rintangan, R. Jika I = 5 A apabila R = 20 Ω, hitung nilai I apabila R = 25 Ω. The electric current, I, varies inversely as the resistance, R. If I = 5 A when R = 20 Ω, calculate the value of I when R = 25 Ω. I ∝ 1 R IR = k (5)(20) = k k = 100 Þ I = 100 R Apabila R = 25 Ω, / When R = 25 Ω, I = 100 25 = 4 A (c) Masa yang diperlukan, t, untuk Ah Suun berjalan ke sekolahnya berubah secara songsang dengan punca kuasa dua kelajuannya, s. Dengan purata kelajuan 4 km j−1, dia mengambil masa selama setengah jam untuk sampai ke sekolahnya. Berapa lamakah masa, dalam minit, yang diambilnya jika dia berjalan dengan purata kelajuan 16 km j−1? The time taken, t, for Ah Suun to walk to his school varies inversely as the square root of his walking speed, s. With an average speed of 4 km h−1, he takes half hour to reach his school. How much time, in minutes, does he need if he walks with an average speed of 16 km h−1? t ∝ 1 √s t(√s ) = k ( 30 60 )(√4) = k k = 1 Þ t = 1 √s Apabila s = 16 km j−1 / When s = 16 km h−1, t = 1 √16 = 1 4 jam/ hour = 15 minit/ minutes (d) Jadual berikut menunjukkan hubungan antara pemboleh ubah p dan pemboleh ubah q. The following table shows the relation between a variable p and a variable q. p 12 16 x 48 q 64 27 8 1 Diberi p berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga q. Given that p varies inversely as the cube root of q. (i) Ungkapkan p dalam sebutan q. Express p in terms of q. (ii) Cari nilai x. Find the value of x. (i) p ∝ 1 √q 3 → p = k √q 3 12 = k √64 3 k = 48 Þ p = 48 √q 3 (ii) x = 48 √8 3 = 24 CONTOH

13 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 1.3 Ubahan Bergabung Combined Variation Buku Teks m/s 26 – 29 1 Ungkapkan pernyataan berikut dengan menggunakan simbol ∝. SP: 1.3.1 TP1 Express the following statements by using the symbol ∝. Mudah (a) v berubah secara langsung dengan h dan secara songsang dengan kuasa dua k. v varies directly as h and inversely as square of k. v ∝ h k2 (b) a = 3bc √d a ∝ bc √d Contoh a berubah secara langsung dengan kuasa dua b dan berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga c. a varies directly as the square of b and inversely as cube root of c. a ∝ b2 √c 3 2 Berdasarkan jadual berikut, tentukan sama ada setiap yang berikut ialah suatu ubahan bergabung atau bukan. Based on the following tables, determine whether each of the following is a combined variation or not. SP: 1.3.1 TP2 Mudah (a) y ∝ x2 z x 1 2 4 8 y 3 6 9 12 z 1 2 16 3 16 x2 1 4 16 64 yz x2 3 3 3 3 Ya kerana yz x2 adalah satu pemalar. Yes because yz x2 is a constant. (b) y ∝ z x3 x 2 3 4 y 846 128 27 z 72 32 18 x3 8 27 64 yx3 z 94 108 96 Tidak kerana yx3 z bukan satu pemalar. No because yx3 z is not a constant. (c) y ∝ z√x w w 10 15 30 40 x 1 4 9 16 y 3 6 9 12 z 10 15 30 40 √x 1 2 3 4 yw z√x 3 3 3 3 Ya kerana yw z√x adalah satu pemalar. Yes because yw z√x is a constant. Contoh y ∝ z w w 2 3 4 5 y 5 10 15 20 z 20 60 120 200 yw z 1 2 1 2 1 2 1 2 Ya kerana yw z adalah satu pemalar. Yes because yw z is a constant. Info Digital 1.3 CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 14 3 Bagi setiap ubahan bergabung berikut, tentukan pemalar dan seterusnya, ungkapkan y dalam sebutan x dan z. For each of the following combined variations, determine the constant of variation and hence, express y in terms of x and z. SP: 1.3.1 TP3 Sederhana (a) y ∝ z2 x dan y = 5 apabila x = 2 dan z = 10. y ∝ z2 x and y = 5 when x = 2 and z = 10. yx z2 = k 5 × 2 102 = k k = 1 10 ∴ y = z2 10x (b) y ∝ √z x3 dan y = 100 apabila x = 5 dan z = 25. y ∝ √z x3 and y = 100 when x = 5 and z = 25. yx3 √z = k 100 × 53 √25 = k k = 2 500 ∴ y = 2 500√z x3 Contoh y ∝ x z dan y = 6 apabila x = 7 dan z = 14. y ∝ x z and y = 6 when x = 7 and z = 14. yz x = k 6 × 14 7 = k k = 12 ∴ y = 12x z 4 Hitung nilai p bagi setiap yang berikut. SP: 1.3.1 TP4 Calculate the value of p for each of the following. Sederhana (a) a ∝ b2 c3 a = kb2 c3 2 = k(2)2 13 4k = 2 k = 1 2 (b) a ∝ b √c a = kb √c 6 = k(36) √9 36k = 18 k = 1 2 a 2 4 b 2 8 c 1 p a 2 6 b 8 36 c p 9 a ∝ b c a 2 6 b 3 p c 3 9 a = kb c 2 = k(3) 3 k = 2 a = 2b c 6 = 2p 9 2p = 54 p = 27 a = b2 2c3 4 = (8)2 2p3 2p3 = 16 p = √8 3 = 2 a = b 2√c 2 = 8 2√p √p = 2 p = 22 = 4 Contoh 5 Jawab setiap soalan berikut dengan langkah terperinci. SP: 1.3.2 TP5 TP6 Answer each of the following question with detailed working. Sukar (a) Untuk isi padu kuboid tetap, lebarnya, w, berubah secara songsang dengan panjang, l, dan tinggi, h. For a fixed volume of a cuboid, its width, w, varies inversely as its length, l, and height, h. (i) Ungkapkan hubungan antara ketiga-tiga kuantiti tersebut menggunakan simbol ∝. Express the relationship between the three quantities using the symbol ∝. (ii) Lakarkan graf w melawan 1 lh . Sketch the graph of w against 1 lh. (i) w ∝ 1 lh (ii) 1 lh w O (b) Isi padu sebuah bekas tertutup, V, berubah secara langsung dengan suhu, T, dan berubah secara songsang dengan tekanan yang dikenakan, P. The volume of a closed container, V, varies directly as the temperature, T, and varies inversely as the applied pressure, P. (i) Tuliskan hubungan antara ketiga-tiga kuantiti menggunakan simbol ∝. Write the relation between the three quantities using the symbol ∝. (ii) Diberi V = 50 m3 apabila P = 100 kPa dan T = 290 K. Hitung isi padu, dalam m3 , bekas tersebut apabila P = 60 kPa dan T = 348 K. Given that V = 50 m3 when P = 100 kPa and T = 290 K. Calculate the volume, in m3 , of the container when P = 60 kPa and T = 348 K. (i) V ∝ T P (ii) V = kT P 50 = k × 290 100 k = 500 29 K B A T V = 500T 29P = 500(348) 29(60) = 100 ∴ V = 100 m3 CONTOH

15 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 (c) r berubah secara langsung dengan kuasa dua s dan berubah secara songsang dengan t dan punca kuasa dua u. Diberi bahawa r = 1, t = 2 dan s = 3 apabila u = 4. Ungkapkan t dalam sebutan r, s dan u. r varies directly as the square of s and varies inversely as t and the square root of u. Given that r = 1, t = 2 and s = 3 when u = 4. Express t in terms of r, s and u. r ∝ s2 t√u r = 4s2 9t√u r = ks2 t√u \ t = 4s2 9r√u 1 = k(32 ) 2 × √4 k = 4 9 (d) Diberi x berubah secara langsung dengan y dan z dan berubah secara songsang dengan w. Jika nisbah x : y : w : z = 1 : 3 : 6 : 3, ungkapkan x dalam sebutan y, w dan z. Given that x varies directly as y and z and varies inversely as w. If the ratio x : y : w : z = 1 : 3 : 6 : 3, express x in terms of y, w and z. x = kyz w 1 = k(3)(3) 6 k = 2 3 ∴ x = 2yz 3w Kertas 1 Jawab semua soalan./ Answer all questions. 1 Jadual berikut menunjukkan hubungan antara x dengan y. The following table shows the relation between x and y. x 1 2 3 4 y 2 8 18 32 Antara berikut, yang manakah mewakili hubungan tersebut? Which of the following represents the relation? A y ∝ x B y ∝ 1 x2 C y ∝ x2 D y ∝ x3 2 Diberi a ∝ 1 b . Antara berikut yang manakah benar? Given that a ∝ 1 b . Which of the following is correct? I Apabila a meningkat, b meningkat. When a increases, b increases. II Hasil darab a dan b adalah satu pemalar. The product of a and b is a constant. III Graf a melawan b adalah satu garis lurus melalui asalan. The graph of a against b is a straight line passing through the origin. A I sahaja/ only B II sahaja/ only C I dan/ and II sahaja/ only D I, II dan/ and III 3 Diberi x berubah secara langsung dengan y. Antara berikut, yang manakah adalah pemalar? Given that x varies directly as y. Which of the following is a constant? A xy B x + y C x − y D x y 4 Hukum kegravitian semesta Newton menyatakan bahawa daya tarikan, F, antara dua objek berubah secara langsung dengan jisimnya, m1 dan m2 , dan berubah secara songsang dengan kuasa dua jaraknya, d. Antara hubungan berikut, yang manakah tidak betul? The Newton’s law of universal gravitation states that the force of attraction, F, between two objects varies directly as their masses, m1 and m2 , and inversely as the square of the distance apart, d. Which of the following relations is not correct? A F ∝ 1 d B F ∝ m1 C F ∝ m2 D F ∝ m1 m2 d2 Praktis Kendiri CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 1 16 5 Antara berikut, yang manakah menunjukkan y berubah secara langsung dengan x? Which of the following shows that y varies directly as x? A x 1 2 3 4 y 1 2 3 4 B x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 C x 2 4 6 8 y 2 4 8 10 D x 2 4 6 8 y 4 16 36 64 6 Diberi r berubah secara songsang dengan s, dan r = 5 apabila s = 4. Antara berikut, yang manakah bukan satu kemungkinan pasangan nilai r dan s yang sepadan? Given that r varies inversely as s, and r = 5 when s = 4. Which of the following is not a possible pair of corresponding value of r and s? A r = 10, s = 2.5 B r = 2, s = 10 C r = 10, s = 2 D r = 1, s = 20 7 Antara berikut, yang manakah menunjukkan a berubah secara langsung dengan b dan berubah secara songsang dengan punca kuasa dua c? Which of the following shows that a varies directly as b and varies inversely as square root of c? A a 2 8 18 b 1 2 3 c 1 2 3 B a 30 45 50 b 1 3 5 c 1 4 9 C a 30 45 50 b 1 3 5 c 1 2 3 D a 2 8 18 b 1 2 3 c 3 2 1 8 Antara graf berikut, yang manakah mewakili hubungan y ∝ x3 ? Which of the following graphs represents the relation of y ∝ x3 ? A y x O B y x2 O C y x3 O D y x2 O 9 Setiap hari, Zhu Onn memandu keretanya dengan laju yang tetap. Suatu ketika, dia menggunakan 2 jam untuk perjalanan sejauh 50 km. Sekiranya perjalanannya hari ini ialah 75 km, berapa lamakah masa yang diperlukannya? Every day, Zhu Onn drives his car with constant speed. Once, he used 2 hours to travel 50 km. If he travelled 75 km today, how much time does he need for his journey? A 1 jam/ hour C 3 jam/ hours B 2 jam/ hours D 4 jam/ hours 10 Arul menggunakan masa 30 minit untuk membaca buku yang mempunyai 20 halaman. Sekiranya masa yang diambil oleh Arul membaca buku berubah secara langsung dengan punca kuasa dua bilangan halaman di dalam buku itu, berapa lamakah masa yang diperlukan oleh Arul untuk membaca sebuah buku yang mempunyai 80 halaman? Arul used 30 minutes to read a book that has 20 pages. If the time taken for Arul to read a book varies directly as the square root of the number of pages in the book, how much time does Arul need to read a book with 80 pages? A 15 minit/ minutes B 30 minit/ minutes C 1 jam/ hour D 2 jam/ hours CONTOH

17 Matematik Tingkatan 5 Bab 1 Kertas 2 Jawab semua soalan./ Answer all questions. Bahagian A/ Section A 1 Rajah berikut menunjukkan satu graf y melawan x2 . The following diagram shows a graph of y against x2 . y x2 O 5 (a) Adakah y berubah secara langsung dengan x2 ? Wajarkan jawapan anda. Does y vary directly as x2 ? Justify your answer. [2 markah/ marks] (b) Diberi y berubah secara langsung dengan pemboleh ubah z dengan keadaan z = x2 + c dan c merupakan satu pemalar. Apakah nilai c? Given that y varies directly as variable z where z = x2 + c and c is a constant. What is the value of c? [2 markah/ marks] Jawapan/ Answer: (a) Tidak kerana graf tersebut bukan satu garis lurus melalui asalan. No because the graph is not a straight line passing through the origin. (b) Graf y melawan z adalah satu garis lurus melalui asalan ketika c = −5 seperti yang ditunjukkan di bawah. Oleh itu, c = −5. The graph of y against z is a straight line passing through the origin when c = −5 as shown below. Hence, c = −5. Bahagian B/ Section B 2 Diberi a berubah secara langsung dengan kuasa dua b dan punca kuasa tiga c dan secara songsang dengan d. Given that a varies directly as the square of b and cube root of c and varies inversely as d. (a) Tuliskan hubungan antara a, b, c dan d dengan menggunakan simbol ∝. Write the relation between a, b, c and d using the symbol ∝. [2 markah/ marks] (b) Cari nilai pemalar jika b = 2a = 10, c = 27 dan d = 12. Find the value of the constant if b = 2a = 10, c = 27 and d = 12. [2 markah/ marks] (c) Jika b digandakan dengan 2, c dan d digandakan dengan 8, bagaimanakah perubahan a? If b is doubled, c and d are multiplied by 8, how did a change? [4 markah/ marks] Jawapan/ Answer: (a) a ∝ b2√c 3 d (b) 2a = 10 a = 5 a = kb2 √c 3 d 5 = k(10)2 √27 3 12 k = 60 100 × 3 = 1 5 (c) a1 d1 b1 √c1 23 = a2 d2 b2 √c2 23 a1 d1 b1 √c1 23 = a2 (8d1 ) (2b1 )2√8c1 3 = a2 d1 b1 √c1 23 ∴ a1 = a2 Oleh itu, a tidak berubah. Hence, a remains the same. y z O CONTOH

18 Praktis Intensif 2.1 Matriks Matrices Buku Teks m/s 36 – 41 1 Wakilkan maklumat berikut dalam bentuk matriks. SP: 2.1.1 TP1 Represent the following information in the form of matrices. Mudah Contoh Jadual berikut menunjukkan taburan hujan di dua buah bandar. The following table shows the rainfall distribution in two cities. Bandar A/ City A Bandar B/ City B Taburan hujan (mm) Rainfall distribution (mm) 2 300 1 895 2300 1895 atau/ or [2300 1895] (a) Jadual berikut menunjukkan empat permainan yang disertai oleh murid. The following table shows four games played by students. Bola sepak Football Hoki Hockey Futsal Futsal Tingkatan 4/ Form 4 75 83 97 Tingkatan 5/ Form 5 69 79 88 75 83 97 69 79 88 atau/ or 83 79 75 69 97 88 (b) Encik Samad mempunyai 57 ekor kerbau dan 102 ekor kambing, manakala Encik Tan mempunyai 61 ekor kerbau dan 91 ekor kambing. Mr Samad has 57 buffaloes and 102 goats while Mr Tan has 61 buffaloes and 91 goats. 57 61 102 91 atau/ or 57 102 61 91 2 Lengkapkan jadual yang berikut. SP: 2.1.2 TP1 Complete the following table. Mudah Contoh A = 7 –2 3 8 10 –8 Peringkat/ Order : 3 × 2 Bilangan baris/ Number of rows : 3 Bilangan lajur/ Number of columns : 2 Matriks Matrix (a) [6 5] (b) 1 10 8 (c) –2 0 0 –2 (d) 1 4 –5 9 7 –3 (e) m 2 –7 3 4m 6 (f) x 4x 0 3 –7 8x 5 2 5 Bilangan baris Number of rows 1 3 2 2 3 3 Bilangan lajur Number of columns 2 1 2 3 2 3 Peringkat matriks Order of matrix 1 × 2 3 × 1 2 × 2 2 × 3 3 × 2 3 × 3 3 Cari unsur-unsur yang diberi dalam setiap matriks yang berikut. Find the elements in each of the following matrices. SP: 2.1.2 TP2 Mudah Contoh 3 –4 –2 1 a11 = 3 a21 = –4 a12 = –2 a22 = 1 (a) –1 6 2 0 –3 7 a12 = 2 a21 = 6 a13 = –3 a23 = 7 (b) 2 –3 1 –5 0 9 8 7 –6 a13 = 8 a23 = 7 a21 = –3 a32 = 9 (c) –7 3 12 11 5 –1 a12 = 11 a22 = 5 a21 = 3 a32 = –1 Matriks 2 Matrices Bab Info Digital 2.1 Tip Bestari Satu matriks yang mempunyai bilangan m baris dan bilangan n lajur ialah matriks peringkat m × n. Matriks tersebut dibaca sebagai “matriks m dengan n”. A matrix which has m number of rows and n number of columns is a matrix of order m × n. It is read as “m by n matrix”. Tip Bestari Unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j bagi satu matriks diwakili oleh aij . The element at the ith row and jth column of a matrix is represented by aij . CONTOH

19 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 4 Diberi matriks A dan matriks B adalah sama. Nyatakan nilai x dan nilai y. SP: 2.1.3 TP2 Given matrices A and B are equal. State the values of x and y. Mudah Contoh A = –5 x 4 3 , B = –5 –6 y 3 x = –6 y = 4 (a) A = 7 –8 x 12 , B = y –8 5 12 x = 5 y = 7 (b) A = 2x + 1 2y – 3 , B = 15 –9 2x + 1 = 15 2y – 3 = –9 2x = 14 2y = –6 x = 7 y = –3 5 Cari nilai x dan y bagi setiap yang berikut. SP: 2.1.3 TP3 Find the values of x and y for each of the following. Sederhana Contoh [3 x] = [y 10] x = 10, y = 3 (a) x + 5 8 = 10 y – 9 x + 5 = 10 8 = y – 9 x = 5 y = 17 (b) [1 0 2y] = [x – 5 y 0] x – 5 = 1 x = 6 y = 0 (c) 3 4 y 8 = 3 y 2x + 2 8 y = 4 2x + 2 = y 2x + 2 = 4 2x = 2 x = 1 (d) 8 –3 16 – 2y 14 – x = 8 –3 4 + y 2x – 1 14 – x = 2x – 1 2x + x = 14 + 1 3x = 15 x = 5 16 – 2y = 4 + y 2y + y = 16 – 4 3y = 12 y = 4 2.2 Operasi Asas Matriks Basic Operation on Matrices Buku Teks m/s 42 – 66 1 Selesaikan penambahan matriks berikut. SP: 2.2.1 TP3 Solve the addition of the following matrices. Mudah [3 6] + [–3 0] = [3 + (–3) 6 + 0] = [0 6] Contoh (a) [2 6 8] + [–3 5 3] = [2 + (–3) 6 + 5 8 + 3] = [–1 11 11] (b) –7 3 + 1 2 = –7 + 1 3 + 2 = –6 5 (c) 5 –16 –12 4 + 2 10 7 3 = 5 + 2 –16 + 10 –12 + 7 4 + 3 = 7 –6 –5 7 2 Selesaikan penolakan matriks berikut. SP: 2.2.1 TP3 Solve the subtraction of the following matrices. Mudah Contoh 12 3 – –3 7 = 12 – (–3) 3 – 7 = 15 –4 (a) [4 1] – [3 8] = [4 – 3 1 – 8] = [1 –7] (b) –11 8 16 –2 – –3 1 4 –3 = –11 – (–3) 8 – 1 16 – 4 –2 – (–3) = –8 7 12 1 Info Digital 2.2 Bandingkan unsur-unsur sepadan bagi setiap matriks Compare the corresponding elements for each matrix Tip Bestari Dua matriks adalah sama jika kedua-dua matriks mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya adalah sama. Two matrices are equal if both matrices have the same order and each corresponding element is equal. Menambah unsur-unsur yang sepadan Adding the corresponding elements Tip Bestari Menambah atau menolak bagi dua matriks hanya boleh dilakukan jika kedua-dua matriks tersebut adalah berperingkat yang sama. Addition or subtraction of two matrices can only be carried out if they are of the same order. Penggunaan Kalkulator Penggunaan Kalkulator CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 2 20 3 Selesaikan setiap yang berikut. SP: 2.2.1 TP3 Solve each of the following. Mudah Contoh 9 11 – 3 –2 + –1 7 = 9 – 3 + (–1) 11 – (–2) + 7 = 5 20 Penambahan dan penolakan bagi matriks diselesaikan mengikut unsur-unsur sepadan dan dilakukan dari kiri ke kanan. To perform addition or subtraction of matrices, we add or subtract the corresponding elements and is done from left to right. (a) 4 2 8 –13 + –5 6 7 7 – –8 5 10 –7 = 4 + (–5) – (–8) 2 + 6 – 5 8 + 7 – 10 –13 + 7 – (–7) = 7 3 5 1 (b) 6 15 –5 8 – 1 –13 11 6 + 9 7 –3 –4 = 6 – 1 + 9 15 – (–13) + 7 –5 – 11 + (–3) 8 – 6 + (–4) = 14 35 –19 –2 4 Cari nilai x dan nilai y dalam setiap persamaan matriks berikut. SP: 2.2.1 TP3 Find the values of x and y in each of the following matrix equations. Sederhana (a) 3x – y 6 – 4 3 = 8 y 6 – 3 = y y = 3 (b) x –2 2x + 2 6 y = 5 4 –8 (c) –x y – 2 x + y 0 – x –2 1 x = –2 3 3 –1 –x – x = –2 –2x = –2 x = 1 y – 2 – (–2) = 3 y = 3 Contoh 2 + x 3 + 6 y – 9 = 10 8 2 + x + 6 = 10 8 + x = 10 x = 2 3 + (y – 9) = 8 y – 6 = 8 y = 14 5 Cari matriks A dalam setiap persamaan matriks berikut. TP3 Find matrix A in each of the following matrix equations. Sederhana (a) [–7 3 –6] – A = [9 0 –6] A = [–7 3 –6] – [9 0 –6] = [–7 – 9 3 – 0 –6 –(–6)] = [–16 3 0] (b) A + 3 0 6 9 = 7 –2 4 –3 A = 7 –2 4 –3 – 3 0 6 9 = 4 –2 –2 –12 (c) 5 4 0 1 – A = 4 8 9 2 A = 5 4 0 1 – 4 8 9 2 = 1 –4 –9 –1 Contoh A – [3 6] = [4 0] A = [4 0] + [3 6] = [4 + 3 0 + 6] = [7 6] 6 Cari hasil darab bagi matriks yang berikut. SP: 2.2.2 TP3 Find the product of the following matrices. Sederhana 2[3 0] = [6 0] Contoh (a) 1 2 6 5 2 = 3 5 2 1 (b) 4 –2 3 1 2 1 = –8 12 2 4 (c) 0.3 6 1 3 –8 –4 2 = 1.8 0.3 0.9 –2.4 –1.2 0.6 x + 2 = 5 x = 3 2x + y = –8 2(3) + y = –8 y = –14 3x – y – 4 = 8 3x – y = 12 3x – 3 = 12 3x = 15 x = 5 Tip Bestari Untuk mendarab matriks dengan suatu nombor, darabkan setiap unsur dengan nombor tersebut dan ini dikenali sebagai pendaraban skalar. To multiply a matrix by a number, multiply each element in the matrix by that number and this is know as scalar multiplication. CONTOH

21 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 7 Selesaikan setiap operasi berikut. SP: 2.2.2 TP3 Solve each of the following operations. Sederhana (a) 1 2 8 –4 – 1 4 –4 16 = 1 2 (8) – 1 4 (–4) 1 2 (–4) – 1 4 (16) = 5 –6 (b) 0.1 10 0 0 10 + 0.2 0 10 10 0 = 0.1(10) + 0.2(0) 0.1(0) + 0.2(10) 0.1(0) + 0.2(10) 0.1(10) + 0.2(0) = 1 2 2 1 (c) 3 1 3 –2 –1 2 3 – 2 3 –4 3 = 3 1 3 – 2 3(–2) – 3 3(–1) – (–4) 3 2 3 – 3 = –1 –9 1 –1 Contoh 5 –1 2 + 3 0 –3 6 = 5 + 0 –1 + (–9) 2 + 18 = 5 –10 20 8 Cari matriks M. SP: 2.2.2 TP3 Find the matrix M. Sederhana Contoh 4 6 –2 10 – 2 4 4 8 = M M = 4 – 2 6 – 4 –2 – 4 10 – 8 = 2 2 –6 2 (a) 9 –3 4 1 – M = 3 –6 7 –8 M = 9 –3 4 1 – 3 –6 7 –8 = 9 – 3 –3 – (–6) 4 – 7 1 – (–8) = 6 3 –3 9 (b) –6 6 0 9 + 3M = 3 1 4 –5 2 3M = 3 12 –15 6 – –6 6 0 9 = 3 – (–6) 12 – 6 –15 – 0 6 – 9 = 9 6 –15 –3 M = 3 2 –5 –1 9 Cari hasil darab bagi setiap matriks yang berikut. SP: 2.2.3 TP3 Find the product for each of the following matrices. Sederhana (a) [6 2] 1 –1 5 –8 –7 4 = [6(1) + 2(–1) 6(5) + 2(–8) 6(–7) + 2(4)] = [4 14 –34] (b) –2 –1 [3 10] = –2(3) –1(3) –2(10) –1(10) = –6 –3 –20 –10 (c) [4 6] 3 0 1 9 = [4(3) + 6(0) 4(1) + 6(9)] = [12 58] (d) –3 –1 4 6 7 2 = (–3)(7) + 4(2) (–1)(7) + 6(2) = –13 5 (e) 1 6 –1 3 5 1 4 8 = 1(5) + (–1)(1) 6(5) + 3(1) 1(4) + (–1)(8) 6(4) + 3(8) = 4 33 –4 48 Contoh [2 1] 3 –1 = [2(3) + 1(–1)] = [5] CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 2 22 10 Selesaikan setiap yang berikut. SP: 2.2.3 TP3 Solve each of the following. Sukar (a) [6 h] k 0 3 –2 = [–6 10] [6(k) + h(0) 6(3) + h(–2)] = [–6 10] [6k 18 – 2h] = [–6 10] 6k = –6 k = –1 18 – 2h = 10 2h = 8 h = 4 (b) a 3 [–2 b] = –4 –6 10 15 a(–2) 3(–2) ab 3b = –4 –6 10 15 –2a –6 ab 3b = –4 –6 10 15 –2a = –4 a = 2 3b = 15 b = 5 (c) 5 –2 m n m 3 = 16 8 5(m) + m(3) (–2)(m) + n(3) = 16 8 8m –2m + 3n = 16 8 8m = 16 m = 2 –2m + 3n = 8 –2(2) + 3n = 8 3n = 12 n = 4 (d) x 2 0 w –3 –5 = 24 w x(–3) + 0(–5) 2(–3) + w(–5) = 24 w –3x –6 – 5w = 24 w –3x = 24 x = –8 –6 – 5w = w 6w = –6 w = –1 (e) e 2 3 f 4 –1 = 13 10 e(4) + 3(–1) 2(4) + f(–1) = 13 10 4e – 3 8 – f = 13 10 4e – 3 = 13 4e = 16 e = 4 8 – f = 10 f = –2 Contoh [4 –1] x –6 = [10] [4x + (–1)(–6)] = [10] 4x + 6 = 10 4x = 4 x = 1 11 Ungkapkan setiap yang berikut sebagai matriks tunggal. SP: 2.2.4 TP4 Express each of the following as a single matrix. Sederhana Contoh 2 4 5 –1 1 0 0 1 = 2 4 5 –1 1 0 0 1 2 1 –3 14 = 2 1 –3 14 Hasil darab matriks A dengan matriks identiti, I, ialah A sendiri, AI = IA = A. The product of a matrix A and identity matrix, I, is A itself, AI = IA = A. (a) 7 –8 2 –3 1 0 0 1 = 7 –8 2 –3 (b) 1 0 0 1 1 6 –3 5 + 7 –8 2 –3 1 0 0 1 = 1 6 –3 5 + 7 –8 2 –3 = 8 –2 –1 2 Tip Bestari Matriks identiti ialah satu matriks segi empat sama di mana unsur-unsur pepenjuru ialah 1 dan yang lain ialah 0. Identity matrix is a square matrix where all diagonal elements CONTOH are 1 and others are 0.

23 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 12 Cari matriks songsang bagi setiap matriks yang berikut. SP: 2.2.5 TP3 Find the inverse matrix for each of the following matrices. Sederhana (a) B = 0 4 –1 9 B–1 = 1 0(9) – 4(–1) 9 –4 1 0 = 1 4 9 –4 1 0 = –1 9 4 0 1 4 (b) C = 2 1 2 4 1 2 C–1 = 1 2 1 2 – 4 1 2 1 2 – 1 2 –4 2 = 1 –1 1 2 – 1 2 –4 2 = – 1 2 1 2 4 –2 (c) D = 1 3 1 4 D–1 = 1 1(4) – 1(3) 4 –3 –1 1 = 1 1 4 –3 –1 1 = 4 –3 –1 1 Contoh A = 5 7 3 –2 A–1 = 1 5(–2) – 3(7) –2 –7 –3 5 = 1 –31 –2 –7 –3 5 = 7 31 2 31 5 31 3 31 – 13 Wakilkan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk matriks. SP: 2.2.6 TP1 Represent the following simultaneous linear equations in the form of matrix. Mudah Contoh 3p – 2q = 1 6p + 7q = 8 3 6 –2 7 p q = 1 8 (a) 4m – 3n = 5 2m – n = 2 4 2 –3 –1 m n = 5 2 (b) 2x – y = 5 –4x + 3y = –11 2 –4 –1 3 x y = 5 –11 Tip Bestari Jika penentu ad – bc = 0, maka matriks songsang tidak wujud. If the determinant ad – bc = 0, then inverse matrix does not exist. Penggunaan Kalkulator CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 2 24 14 Dengan menggunakan kaedah matriks, selesaikan persamaan linear serentak berikut. SP: 2.2.6 TP4 By using matrix method, solve the following simultaneous linear equations. Sederhana (a) 2x – y = –7 –3x + 4y = 13 2 –3 –1 4 x y = –7 13 x y = 1 2(4) – (–1)(–3) 4 3 1 2 –7 13 = 1 5 4(–7) + 1(13) 3(–7) + 2(13) = 1 5 –28 + 13 –21 + 26 = 1 5 –15 5 = –3 1 ∴ x = –3, y = 1 (b) x + 2y = 17 3x – 4y = 1 1 3 2 –4 x y = 17 1 x y = 1 1(–4) – 2(3) –4 –3 –2 1 17 1 = – 1 10 (–4)(17) + (–2)(1) (–3)(17) + 1(1) = – 1 10 –68 – 2 –51 + 1 = – 1 10 –70 –50 = 7 5 ∴ x = 7, y = 5 (c) 3x – 2y = 24 4x + 5y = –14 3 4 –2 5 x y = 24 –14 x y = 1 3(5) – (–2)(4) 5 –4 2 3 24 –14 = 1 23 5(24) + 2(–14) (–4)(24) + 3(–14) = 1 23 120 – 28 –96 – 42 = 1 23 92 –138 = 4 –6 ∴ x = 4, y = –6 4x + 3y = 5 x – 2y = 4 4 1 3 –2 x y = 5 4 x y = 1 4(–2) – 3(1) –2 –1 –3 4 5 4 = 1 –8 – 3 (–2)(5) + (–3)(4) (–1)(5) + 4(4) = – 1 11 –10 – 12 –5 + 16 = – 1 11 –22 11 = 2 –1 ∴ x = 2, y = –1 Contoh CONTOH

25 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 15 Selesaikan masalah yang berikut. SP: 2.2.7 TP5 TP6 KBAT Sukar Solve the following problems. Contoh Ai Ling membeli 3 kg ayam dan 2 kg ikan yang berharga RM31 di pasar. Pollen membeli 5 kg ayam dan 1 kg ikan yang berharga RM33. Hitung harga bagi sekilogram ayam dan sekilogram ikan. Ai Ling buys 3 kg of chicken and 2 kg of fish for RM31 in the market. Pollen buys 5 kg of chicken and 1 kg of fish for RM33. Calculate the price of 1 kg of chicken and 1 kg of fish. Katakan x sebagai harga 1 kg ayam dan y sebagai harga 1 kg ikan. Let x be the price of 1 kg of chicken and y be the price of 1 kg of fish. 3x + 2y = 31 5x + y = 33 3 5 2 1 x y = 31 33 x y = 1 3(1) – 2(5) 1 –5 –2 3 31 33 = 1 –7 1(31) + (–2)(33) (–5)(31) + 3(33) = 1 –7 –35 –56 = 5 8 ∴ Harga bagi 1 kg ayam ialah RM5 dan harga bagi 1 kg ikan ialah RM8. The price of 1 kg of chicken is RM5 and the price of 1 kg of fish is RM8. (a) Werliiyn membeli 10 batang pen dan 5 biji pemadam dengan harga RM26. Beza harga antara sebiji pemadam dan sebatang pen ialah RM0.70. Hitung harga bagi sebatang pen dan sebiji pemadam. Werliiyn buys 10 pens and 5 erasers for RM26. The difference in price between an eraser and a pen is RM0.70. Calculate the price of a pen and the price of an eraser. Katakan x sebagai harga sebatang pen dan y sebagai harga sebiji pemadam. Let x be the price of a pen and y be the price of an eraser. 10x + 5y = 26 y – x = 0.7 10 –1 5 1 x y = 26 0.7 x y = 1 10(1) – 5(–1) 1 1 –5 10 26 0.7 = 1 15 1(26) + (–5)(0.7) 1(26) + 10(0.7) = 1 15 22.5 33 = 1.5 2.2 ∴ Harga bagi sebatang pen ialah RM1.50 dan harga bagi sebiji pemadam ialah RM2.20. The price of a pen is RM1.50 and the price of an eraser is RM2.20. Soalan KBAT ekstra CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 2 26 (b) Rajah di bawah menunjukkan sebuah basikal dan sebuah basikal roda tiga. The diagram below shows a bicycle and a tricycle. Hitung bilangan basikal dan bilangan basikal roda tiga jika terdapat 70 pedal dan 85 tayar. Calculate the number of bicycles and tricycles if there are 70 pedals and 85 tyres. Katakan x sebagai bilangan basikal dan y sebagai bilangan basikal roda tiga. Let x be the number of bicycles and y be the number of tricycles. 2x + 2y = 70 2x + 3y = 85 2 2 2 3 x y = 70 85 x y = 1 2(3) – 2(2) 3 –2 –2 2 70 85 = 1 2 3(70) + (–2)(85) (–2)(70) + 2(85) = 1 2 40 30 = 20 15 ∴ Bilangan basikal ialah 20 buah dan bilangan basikal roda tiga ialah 15 buah. The number of bicycles is 20 and the number of tricycles is 15. (c) Siti membeli 6 buku roti dan 4 potong kek dengan harga RM28. Harga sepotong kek ialah RM3.50 lebih murah daripada harga 2 buku roti. Cari harga bagi sebuku roti dan sepotong kek. Siti buys 6 loaves of bread and 4 slices of cakes for RM28. The price of a slice of cake is RM3.50 cheaper than the price of 2 loaves of bread. Find the price of a loaf of bread and a slice of cake. Katakan p sebagai harga sebuku roti dan q sebagai harga sepotong kek. Let p be the price of a loaf of bread and q be the price of a slice of cake. 6p + 4q = 28 2p – q = 3.5 6 2 4 –1 p q = 28 3.5 p q = 1 6(–1) – 4(2) –1 –2 –4 6 28 3.5 = 1 –14 (–1)(28) + (–4)(3.5) (–2)(28) + 6(3.5) = 1 –14 –42 –35 = 3 2.5 \ Harga bagi sebuku roti ialah RM3 dan harga bagi sepotong kek ialah RM2.50. The price of a loaf of bread is RM3 and the price of a slice of cake is RM2.50. CONTOH

27 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 Kertas 1 Jawab semua soalan./ Answer all questions. 1 Antara yang berikut, yang manakah matriks baris? Which of the following is a row matrix? A [2 3] C 1 0 0 1 B 4 –1 9 D 6 –7 2 Antara yang berikut, yang manakah adalah benar? Which of the following is true? A 3 0 6 1 1 0 0 1 = 1 0 –6 3 B 0 1 + 1 0 = 1 1 C 2 –1 3 5 1 0 0 1 ≠ 2 –1 3 5 D 3 7 4 –8 5 = 21 4 –8 5 3 Antara yang berikut, yang manakah adalah tidak benar? Which of the following is not true? A Penambahan matriks mematuhi Hukum Kalis Tukar Tertib Addition of matrices obeys the Commutative Law B A + O = A C Penambahan dan penolakan matriks mematuhi Hukum Kalis Sekutuan Addition and subtraction of matrices obey the Associative Law D Penambahan dan penolakan matriks mematuhi Hukum Kalis Agihan Addition and subtraction of matrices obey the Distributive Law 4 Selesaikan/Solve 3 4 –1 –7 5 0 2 –6 1 – 2 –4 1 1 –5 4 0 6 3 . A 1 0 –2 –6 10 –4 0 –12 –2 C 1 8 –2 –8 10 –4 2 0 –2 B 1 8 –2 –8 10 4 2 –12 –2 D 1 8 –2 –8 10 –4 2 –12 –2 5 Hitung nilai x – y jika 1 x + 3 = y 2x – y . Calculate the value of x – y if 1 x + 3 = y 2x – y . A –3 B 1 C 3 D 5 6 Diberi matriks 2a –b c = 4 –1 3 , cari nilai 2a – 2b c . Given that matrix 2a –b c = 4 –1 3 , find the value of 2a – 2b c . A 10 3 C 2 3 B 2 D –2 7 Diberi A = a – 1 3 b –1 . Cari A2 . Given that A = a – 1 3 b –1 . Find A2 . A a – 1 3 b –1 2 B (a – 1)2 + 3b 3a ab 3b + 1 C a2 – 2a + 1 + 3b 3a – 6 ab – 2b 3b + 1 D (a – 1)2 + 3b 3a – 6 ab + 2b 3b + 1 8 Apakah nilai x jika matriks 1 x –5 2 tiada matriks songsang? What is the value of x if matrix 1 x –5 2 does not have inverse matrix? A – 5 2 C 2 5 B – 2 5 D 5 2 9 Antara matriks yang berikut, yang manakah tidak mempunyai matriks songsang? Which of the following matrices does not have inverse matrix? A 4 2 2 1 C 1 0.6 2 1 B 3 1 –2 1 D –7 –3 –2 –1 10 Cari matriks songsang bagi 2a c –b cd . Find the inverse matrix for 2a c –b cd . A 1 2acd – bc cd c –b 2a B 1 2acd + bc cd –c b 2a C 1 2acd + bc –cd c b –2a D 1 –2acd – bc cd –c b 2a Praktis Kendiri CONTOH

Matematik Tingkatan 5 Bab 2 28 Kertas 2 Jawab semua soalan./ Answer all questions. Bahagian A/ Section A 1 Charles menjual biskut mentega dan biskut coklat sebelum Hari Natal. Pada hari pertama, Charles mendapat RM138 dengan jualan 3 biskut mentega dan 5 biskut coklat. Pada hari kedua, Charles menjual 4 biskut mentega dan 4 biskut coklat dengan harga RM136. Charles sells butter cookies and chocolate cookies before Christmas. In day 1, Charles earns RM138 for selling 3 butter cookies and 5 chocolate cookies. In day 2, Charles sells 4 butter cookies and 4 chocolate cookies for RM136. (a) Bentukkan dua persamaan linear daripada maklumat di atas. Form two linear equations from the information above. [2 markah/ marks] (b) Hitung bilangan biskut mentega dan bilangan biskut coklat dengan menggunakan kaedah matriks. Calculate the number of butter cookies and chocolate cookies using the matrix method. [3 markah/ marks] Jawapan/ Answer: (a) Katakan x ialah biskut mentega dan y ialah biskut coklat. Let x be the butter cookies and y be the chocolate cookies. 3x + 5y = 138 4x + 4y = 136 (b) 3 4 5 4 x y = 138 136 x y = 1 3(4) – 5(4) 4 –4 –5 3 138 136 = 1 –8 4(138) + (–5)(136) (–4)(138) + 3(136) = 1 –8 –128 –144 = 16 18 \ Harga bagi biskut mentega ialah RM16 dan harga bagi biskut coklat ialah RM18. The price of butter cookies is RM16 and the price of chocolate cookies is RM18. 2 Sanjay dan Farah menduduki kuiz Matematik di sekolah. Sanjay dapat menjawab 8 soalan dengan betul dan 2 soalan dengan salah manakala Farah dapat menjawab 7 soalan dengan betul dan 3 soalan dengan salah. Sanjay mendapat 70 markah manakala Farah mendapat 15 markah kurang daripada Sanjay. Sanjay and Farah sat for a Mathematics quiz in the school. Sanjay answered 8 questions correctly and 2 questions wrongly while Farah answered 7 questions correctly and 3 questions wrongly. Sanjay obtained 70 marks while Farah got 15 marks less than Sanjay. (a) Bentukkan dua persamaan linear daripada maklumat di atas. Form two linear equations from the information above. [2 markah/ marks] (b) Hitung markah bagi jawapan yang betul dan markah yang dipotong bagi jawapan yang salah dengan menggunakan kaedah matriks. Calculate the marks for a correct answer and the marks deducted for a wrong answer by using the matrix method. [3 markah/ marks] Jawapan/ Answer: (a) Katakan x ialah markah bagi jawapan yang betul dan y ialah markah bagi jawapan yang salah. Let x be the mark for a correct answer and y be the mark for a wrong answer. 8x + 2y = 70 7x + 3y = 55 CONTOH

29 Matematik Tingkatan 5 Bab 2 (b) 8 7 2 3 x y = 70 55 x y = 1 8(3) – 2(7) 3 –7 –2 8 70 55 = 1 10 3(70) + (–2)(55) (–7)(70) + 8(55) = 1 10 100 –50 = 10 –5 \ Mereka mendapat 10 markah bagi jawapan yang betul dan kehilangan 5 markah bagi jawapan yang salah. They got 10 marks for a correct answer and lost 5 marks for a wrong answer. Bahagian B/ Section B 3 Diberi matriks G = 2 4 3 5 dan matriks H = k –4 –10 8 . Given that matrix G = 2 4 3 5 and matrix H = k –4 –10 8 . (a) Hitung nilai bagi k dengan keadaan GH = 0 4 4 0 . Calculate the value of k such that GH = 0 4 4 0 . [3 markah/ marks] (b) Nyatakan matriks songsang bagi G. State the inverse matrix of G. [2 markah/ marks] (c) Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan y yang memuaskan persamaan matriks berikut. By using the matrix method, calculate the values of x and y that satisfy the following matrix equation. 2 4 3 5 x y = 4 10 [3 markah/ marks] Jawapan/ Answer: (a) 2 4 3 5 k –4 –10 8 = 0 4 4 0 (b) G = 2 4 3 5 , G–1 = 1 2(5) – 3(4) 5 –4 –3 2 = – 1 2 5 –4 –3 2 = 2 5 2 –1 3 2 – 2k + 3(–4) 4k + 5(–4) 2(–10) + 3(8) 4(–10) + 5(8) = 0 4 4 0 2k – 12 4k – 20 4 0 = 0 4 4 0 2k – 12 = 0 2k = 12 k = 6 (c) 2 4 3 5 x y = 4 10 x y = 2 4 3 5 –1 = 2 5 2 –1 3 2 – 4 10 = – 5 2 (4) + 3 2 (10) 2(4) + (–1)(10) = 5 –2 \ x = 5, y = –2 CONTOH