7 anyflip Item Akademi 2021 F4

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI TERENGGANU

E-AKADEMI SPM
TAHUN 2021

Modul

Additional Mathematics
KSSM

Akram 2021

1

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

PANEL PENYEDIA MODUL e-AKADEMI 2021

Additional Mathematics

BIL NAMA GURU NAMA SEKOLAH
1 MOHD RAHIMI BIN RAMLI SM SAINS SULTAN MAHMUD, K.NERUS
2 YUSRI BIN YAAHMAT SMKA DATO’ HJ ABAS, K.NERUS
3 ASMADI BIN MAMAT SMK TUN TELANAI, MARANG
4 MOHD NORZAIDI BIN GHAZALI SMK BATU RAKIT, K.NERUS
5 SAIFUL BAHARIN BIN HAMZAH SMK MENERONG, HULU TERENGGANU
6 MOHD NOR FADHLI BIN AZIZI SMK SULTAN SULAIMAN, K.TRG
7 KAMAL MIZAN BIN ISMAIL SMK PAKA , DUNGUN
8 RUZI SUZANA BT MOHD ZAHID SMK SULTAN SULAIMAN, K.TRG
9 FUQAIHAH BT ABU BAKAR SMK LELA SEGARA MARANG
10 ASMALIA BT JAAFAR SMKA SHEIKH ABDUL MALEK, K.TRG
11 CHE ZAINON BT CHE AWANG SBPI BATU RAKIT, K.NERUS
12 ZAINOMAL BT NGAH SMKA DATO’ HJ ABAS, K.NERUS
13 NURAFINI ASSILA BT MOHD RAFI SM SAINS DUNGUN, DUNGUN
14 MARTINA BT ABD RAHMAN SMK MENGABANG TELIPUT, K.NERUS
15 SALZANI BT MAT ZANGGI SM SAINS SETIU, SETIU

2

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Rumus-rumus berikut boleh membantu anda menjawab soalan. Simbol-simbol yang diberi adalah
yang biasa digunakan.
.

1. X = − b  b2 − 4ac 15. cosec2 A = 1 + cot2 A
2a kosek2 A = 1 + kot 2 A

2. log a b = log c b 16. sin ( A  B) = sinA cosB  cosA sinB
log c a sin ( A  B) = sinA kosB  kosA sinB

3. Tn = a + (n − 1)d

4. Tn = ar n−1 17. cos (A  B) = cosA cosB  sinA sinB
kos ( A  B) = kosA kosB  sinA sinB

5. Sn = n 2a + (n −1)d tan A  tan B
1  tan A tan B
2 18. tan (A  B) =

6. Sn = a(r n −1) = a(1 − r n ) , r 1
r −1 1− r

7. Z = X −  19. sin 2A = 2 sinA cosA

sin 2A = 2 sinA kosA
8. P ( X = r) = nCr pr qn−r , p + q = 1

9. n Pr = n! 20. cos 2A = cos2 A − sin2 A
(n − r)! = 2 cos2 A − 1

10. nCr = n! kos 2A = 1 − 2 sin2 A
(n − r)! r! = kos2 A − sin2 A

11. I = Q1  100 = 2 kos2 A − 1
Q0 = 1 − 2 sin2 A
21. tan 2A = 2 tan A
12. I = Wi Ii 1 − tan 2 A
Wi
22. a = b = c
13. sin 2 A + cos2 A = 1 sin A sin B sin C

sin 2 A + kos2 A = 1

14. sec2 A = 1 + tan2 A 23. a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
sek2 A = 1 + tan2 A a2 = b2 + c2 − 2bc kosA

24. Area of triangle / Luas segi tiga

= 1 ab sin C

2

3

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

KEBARANGKALIAN HUJUNG ATAS Q(z) BAGI TABURAN KEBARANGKALIAN N(0,1)

z0 1 123456789
23456789
0.0 0.5000 0.4960
0.1 0.4602 0.4562 Minus / Tolak
0.2 0.4207 0.4168
0.3 0.3821 0.3783 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.4 0.3446 0.3409 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 4 8 12 15 19 23 27 31 35
0.5 0.3085 0.3050 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 4 7 11 15 19 22 26 30 34
0.6 0.2743 0.2709 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 4 7 11 15 18 22 25 29 32
0.7 0.2420 0.2389
0.8 0.2119 0.2090 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 3 7 10 14 17 20 24 27 31
0.9 0.1841 0.1814 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 3 7 10 13 16 19 23 26 29
0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 3 6 9 12 15 18 21 24 27
1.0 0.1587 0.1562 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 3 5 8 11 14 16 19 22 25
1.1 0.1357 0.1335 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 3 5 8 10 13 15 18 20 23
1.2 0.1151 0.1131
1.3 0.0968 0.0951 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2 5 7 9 12 14 16 19 21
1.4 0.0808 0.0793 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2 4 6 7 9 11 13 15 17
1.5 0.0668 0.0655 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 2 3 5 6 8 10 11 13 14
1.6 0.0548 0.0537 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1 3 4 6 7 8 10 11 13
1.7 0.0446 0.0436
1.8 0.0359 0.0351 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1 2 4 5 6 7 8 10 11
1.9 0.0287 0.0281 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0..0475 0.0465 0.0455 123456789
0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 123445678
2.0 0.0228 0.0222 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 112344566
2.1 0.0179 0.0174 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 112234455
2.2 0.0139 0.0136
2.3 0.0107 0.0104 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0 1 1 2 2 3 3 4 4

0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0 1 1 2 2 2 3 3 4

0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0 1 1 1 2 2 2 3 3

0.0102 011112222

0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 3 5 8 10 13 15 18 20 23

0.00889 0.00866 0.00842 2 5 7 9 12 14 16 16 21

2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 2 4 6 8 11 13 15 17 19

0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639 2 4 6 7 9 11 13 15 17

2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480 2 3 5 6 8 9 11 12 14
2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357 1 2 3 5 6 7 9 9 10
2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193 1 1 2 3 4 4 5 6 6
2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139 0 1 1 2 2 3 3 4 4

3.0 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100 0 1 1 2 2 2 3 3 4

For negative z use relation: f (z) Example / Contoh:
Bagi z negative guna hubungan: Ok
If X ~ N(0, 1), then
Q(z) = 1 – Q(- z) = P(- z) Jika X ~ N(0, 1), maka

f (z) = 1 exp  − 1 z 2  Q(z) P(X > k) = Q(k)
2  2 
P(X > 2.1) = Q(2.1)

z = 0.0179

4

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 1 : F4 FUNGSI

Q1

Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada graf fungsi f : x → qx + p , dengan keadaan p ialah
pemalar untuk domain − 2  x  3.
Diagram 1 shows part of a graph of a function f : x → qx + p , where p is constant for
the domain − 2  x  3.

Rajah 1 / Diagram 1

(a) Ungkapkan p dalam sebutan q.
Express p in terms of q.

(b) Jika q =2, nyatakan julat f (x) yang sepadan dengan domain yang diberikan.
If q = 2, state the range of f (x) corresponding to the given domain.
.

5

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Diberi fungsi f : x → 4 − x dan fungsi h : x → ax2 + bx , dengan keadaan a dan b

ialah pemalar. Fungsi gubahan hf −1 ( x) diberi oleh

Given the function f : x → 4 − x and function h : x → ax2 + bx , such that a and b are

constants. The composite function hf −1 ( x) is given by

hf −1 ( x) → x2 − 6x + 8

(a) Cari nilai a dan nilai b.
Find the value of a and b.

(b) Lakar graf y = hf −1 ( x) untuk domain 0  x  7 dan nyatakan julat yang sepadan dengannya.
Sketch the graph of y = hf −1 ( x) for the domain 0  x  7 and state the corresponding range.

Q3

Sekolah Gemilang mula beroperasi pada tahun 2019 dan pendaftaran pelajarnya untuk 8 tahun
pertama diberi oleh f(t) = 250 + 25t, dengan keadaan t ialah bilangan tahun selepas 2019.
Sekolah Gemilang started operating in 2019 and the enrolment for the first 8 years is
given by f(t) = 270 + 30t, such that t is the number of years after 2019.

(a) Cari bilangan pelajar yang mendaftar selepas 8 tahun.
Find the enrolment after 8 years.

(b) Pada tahun bilakah pendaftaran pelajarnya seramai 525 orang.
In what year will the enrolment be 525.

6

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Dalam Rajah 2, fungsi f memetakan set A kepada set B dan fungsi g memetakan set B
kepada set C.
Diagram 2, the function f maps set A to set B and the function g maps set B to set C.

Af g
BC

5 st

Rajah 2/ Diagram 2
Diberi bahawa −1( ) = 2 − 1 dan g(x) = 4x − 21.
Given that −1( ) = 2 − 1 and g(x) = 4x − 21.

Cari / Find

(a) nilai s dan nilai t,
the value of s and of t,

(b) fg(x),

(c) Seterusnya, kira nilai x dengan keadaan fg(x) = g(x).
Hence, calculate the value of x such that fg(x) = g(x).

7

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 2 : F4 FUNGSI KUADRATIK

Q1
(a) Cari punca dalam sebutan m dan n bagi 9x2 − 9(m + n)x + 2m2 + 5mn + 2n2 = 0 .

Find the roots in term of m and n for 9x2 − 9(m + n)x + 2m2 + 5mn + 2n2 = 0 .

(b) Cari julat nilai x bagi 3  (x + 2)(2x −1)  18 .
Find the range of values of x for 3  (x + 2)(2x −1)  18

(c) Suatu graf fungsi kuadratik f (x) = 2[(x − m)2 + n], dengan keadaan m dan n adalah
pemalar, mempunyai titik minimum P(6t,3t −1) . Ungkapkan m dalam sebutan n.
The graph of a quadratic function f (x) = 2[(x − m)2 + n], where m and n are constants, has
a minimum point at P(6t,3t −1) . Express m in terms of n.

8

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

(a) Persamaan kuadratik x2 + mx + n = 0 mempunyai punca-punca  dan  . Diberi m dan n
adalah pemalar.
The quadratic equations x2 + mx + n = 0 has roots  and  . Given m and n are constants.

Ungkapkan / Express

(i)  2 +  2 dalam sebutan m dan n.
 2 +  2 in terms of m and n.

(ii) m dalam sebutan  dan n, jika x2 + x − 72 = 0 mempunyai punca-punca
12 dan 12 .
m in terms of  dan n, if x2 + x − 72 = 0 have the roots of 12 dan 12 .

(b) Diberi lengkung 3x2 − xy = −3 tidak menyilang garis lurus y = k untuk
a  k  b. Cari nilai a nilai b.

Given that 3x2 − xy = −3 does not intercept the straight line y = k for a  k  b.
Find the range of value of a and b.

(c) Sebuah beca roda tiga bergerak sejauh 15 km daripada Rusila ke Muzium dan kembali semula.

Seluruh perjalanan itu mengambil masa 190 minit. Jika beca itu bergerak dengan laju
(t + 2 ) kmj-1 semasa ke muzium dan laju ( t + 3 ) kmj-1 semasa pulang. Hitung nilai t ?

A trishaw travels 15 km from Rusila to Museum and then back again. The total time taken for
the journey is 190 minutes. If the trishaw travels at a speed of (t + 2 ) kmh-1 when going to the
museum and on the journey back with the speed of ( t + 3 ) kmh-1, find the value of t?

9

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

(a) Fungsi g(s) = −5s2 +14s + 3 mewakili tinggi lambungan bola tenis daripada sebuah
mesin pelontar bola dalam meter selepas s saat sebelum menyentuh lantai. Hitung masa
dalam saat ketika bola menyentuh lantai dan seterusnya lakar graf g melawan s sebelum
bola menyentuh lantai.
The function represents the height of a tennis ball toss from a ball -throwing machine in meters
after s seconds before touching the floor. Calculate the time in seconds when the ball touches
the floor and then draw a graph of g against s before the ball touches the floor.

(b) Hasil tambah luas dua segi empat sama ialah 468 m2. Cari beza perimeternya jika panjang
sisi segi empat sama pertama ialah 6 cm kurang daripada sisi yang lain.
The sum of area of two squares is 468 m2. Find the difference of their perimeter if the length of
first square side is 6 cm less than the other.

(c) Rajah 3 menunjukkan sebatang tiang P yang perlu didirikan pada lilitan sebuah
bulatan berdiameter 14 m. Diberi beza jarak P daripada dua buah pintu A dan B yang
bertentangan secara diametrik ialah 12 m dan PA tidak boleh melebihi 10 m.
Diagram 3 shows a P pole that has to be erected at a point on the circumferent of a circle with
diameter 14 m. Given that the differences of its distances from two diametrically opposite fixes
gates A and B on the boundary is 12 m and PA must not exceed 10 m.

P

AO B

O

Rajah 3 / Diagram 3

Adakah mungkin untuk berbuat demikian?
Is it possible to do so?

10

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

(a) Diberi bahawa  dan  ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x(x – 4) = 2p – 7, dengan
keadaan p ialah pemalar. Cari julat nilai p jika    .
Given  and  are the roots of the quadratic equation x(x – 4) = 2p – 7, where p is a constant.
Find the range of values of p if    .

(b) Rajah 2 menunjukkan lengkung bagi fungsi kuadratik f (x) = − x2 + qx + 7, dengan keadaan q
ialah pemalar.
Diagram 2 shows the curve of a quadratic function f (x) = − x2 + qx + 7, where p is a constant.

y
B(-1,k)

A

Ox

Rajah 2 / Diagram 2
Lengkung itu mempunyai titik maksimum pada B(−1,k) dan menyilang paksi-f (x) pada titik A.
The curve has a maximum point at B(−1,k) and intersects the f (x)-axis at point A.

(i) Nyatakan koordinat titik A,
State the coordinates of point A,

(ii) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, cari nilai q dan nilai k.
By using the method of completing the square, find the values of q and k.

(iii) Tentukan julat nilai x, jika f (x)  4.
Determine the range of values of x, if f (x)  4.

11

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 3 : F4 SISTEM PERSAMAAN

Q1
Rajah 4 menunjukkan tiga jenis buah-buahan iaitu tembikai, nenas dan mangga di atas alat
penimbang.
Diagram 4 shows three type of fruits such as water melon, pineapple and mango on scales.

3 kg 3 kg 0.5 kg

1 1

k k
g g

1

k
Rajah 4 / Diagram 4 g

Anggarkan berat, dalam kg, setiap buah tersebut.
Estimate the weight, in kg, of each fruit.

Q2

Suatu garis lurus yang melalui titik (6, 0) dan (3, 2) menyilang lengkung-lengkung 6 − 4 = 1 pada
xy

dua titik. Cari koordinat titik persilangan antara garis lurus dan lengkung-lengkung tersebut.
Berikan jawapan anda dalam 2 tempat perpuluhan.
A straight line passing through point (6, 0) dan (3, 2) intersect curves 6 − 4 = 1at two points. Find

xy
the coordinates of intersection points between the straight line and the curves. Give your answer
correct to 2 decimal places.

12

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Rajah 5 menunjukkan sebuah pentagon JKLMN dengan KJN = KLM dan JNM = LMN .
Diagram 5 shows a pentagon JLKMN with KJN = KLM and JNM = LMN .

K
JL

NM

Rajah 5 / Diagram 5

Jika sudut pedalaman terbesar pentagon itu 30 kurang dari hasil tambah dua sudut yang berlainan
saiz dan dua kali ganda sudut terkecil, hitung nilai setiap sudut pedalaman pentagon itu.
If the biggest interior angle of the pentagon is 30 less than sum of two other angles with different
size and two times the smallest angle, calculate the value of each angle in the pentagon.

Q4

Seorang penternak kuda mempunyai dua buah kandang. Sebuah kandang berbentuk segi empat
sama mempunyai panjang sisi 2a. Sebuah lagi kandang berbentuk segi tiga tegak yang panjang dan
lebarnya ialah masing-masing 8b dan 6b.
Dia menggunakan dawai sepanjang 88 m untuk memagar kedua-dua kandang tersebut dan jumlah
luas kedua-dua kandang tersebut ialah 196 m2. Cari luas yang mungkin bagi kandang berbentuk
segitiga.
A horse breeder has 2 stables. One of the stables is in square shape with it side is 2a. Another
stables is in right-angled triangle shape with its length and width are 8b and 6b respectively.
He used 88 m wire to fence the stables and the total area of stables are 196 m2. Find the possible
area of triangle shaped stables.

13

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 4 : F4 INDEKS, SURD & LOGARITMA

Q1

Diberi log3 x = r dan log9 y = s , ungkapkan xy2 dan x2 dalam bentuk teringkas.
y

Seterusnya, cari nilai r dan s jika xy2 = 81 dan x2 = 1
y3

Given log3 x = r and log9 y = s , express xy2 and x2 in simplest form. Hence, find the value
y

of r and of s if xy2 = 81 and. x2 = 1
y3

Q2

(a) Selesaikan 8e−x − ex = 2
Solve 8e−x − ex = 2

(b) Diberi bahawa y = axb , y =2 apabila x = 3 dan y = 2 apabila x = 9. Cari nilai a dan nilai b.
9

It is given y = axb , y =2 when x = 3 and y = 2 when x = 9. Find the value of a and of b.
9

Q3

(a) Diberi logb x3 y = p dan logb y = q. Ungkapkan logb xy dalam sebutan p dan q.
x2

Given logb x3 y = p and logb x3 y = p . Express logb xy in terms of p and q.

(b) Selesaikan / Solve

(i) lg x = 10lg3
(ii) 6 − 2 x −1 = 1

x −1

14

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

(a) Selesaikan persamaan 4 8 2 = 42x dengan jawapan dalam bentuk pecahan.
Solve the equation 4 8 2 = 42x with answer in fraction.

( )( )(b) Diberi k x + k−x = 27 , tunjukkan k x + 5 k x − 5 = −k−2x
( )( )Given k x + k−x = 27 , shows that k x + 5 k x − 5 = −k−2x

Q5

1 ln x

(a) Permudahkan ungkapan e2

1 ln x

Simplify the expression of e2

(b) Tempoh pembiakan bakteria ditakrifkan sebagai masa yang diambil oleh sebilangan
bakteria dalam satu populasi untuk membiak secara belahan dedua. Tempoh pembiakan, G,
diperoleh daripada eksperimen mengikut rumus

The bacteria breeding period is defined as the time taken of some bacteria in a
population to reproduce by binary fission. The breeding period, G, obtained from an
experiment according to the formula

G= t
3.3logb f

dengan keadaan t ialah tempoh, b dan f masing-masing ialah bilangan bakteria pada awal
dan pada akhir eksperimen. Tempoh pembiakan bagi bakteria terpilih ialah 12 saat.
Cari masa yang diambil, dalam minit, oleh 8 bakteria itu untuk membiak sehingga menjadi
4096 bakteria.
such that t is the time taken, b and f is the number of bacteria during the initial and
final experiment respectively. The breeding period of selected bacteria is 12 seconds.
Find the time taken, in minutes, of 8 bacteria to breed until it reaches 4096.

15

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 5 : F4 JANJANG

Q1

(a) Hasil tambah bagi sebutan yang pertama bagi suatu janjang geometri diberi oleh . Find
. Cari

The sum of the first terms of a geometric progressions is given by

(i) hasil tambah bagi 5 sebutan yang pertama,
the sum of the first 5 terms

(ii) sebutan ke-5,
the 5th term

(iii) hasil tambah apabila menghampiri
the sum when approaching

(b) Diberi sebutan ke-4, ke-8 dan ke- bagi suatu janjang aritmetik ialah -7, -23 dan -79, cari
Given the 4th term, 8th term and term of an arithmetic progression are -7, -23 dan -79, find

(i) sebutan pertama dan beza sepunya,
first term and common difference

(ii) nilai bagi
the value of

Q2

(a) Sebuah kedai menjual pasang kasut dalam minggu pertama dan jualan itu meningkat secara
seragam sebanyak pasang kasut pada setiap minggu. Kedaimitu menjual 50 pasang kasut
pada minggu ketujuh dan jumlah jualan bagi Sembilan minggu yang pertama ialah 360 pasang
kasut. Cari nilai dan .
A retail shop sells pairs of shoes in the first week and its sales increases constantly by
pairs of shoes every subsequent week. The shop sells 50 pairs of shoes in the seventh week and
the total sales for the first nine weeks is 360 pairs of shoes. Find the values of and .

16

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

(b) Hasil tambah bagi sebutan yang pertama, , bagi suatu janjang diberi oleh
The sum of the first terms, , of a progression is given by

(i) Buktikan bahawa hasil tambah bagi sebutan yang pertama, , diberi oleh

Prove that the sum of the first terms, , is given by

(ii) Seterusnya, buktikan bahawa janjang itu ialah satu janjang geometri, dan nyatakan nilai
bagi nisbah sepunya janjang itu.
Hence, prove that the progression is a geometric progression, and state the value of the
common ration of the progression.

Q3 dan seterusnya.
and so on.
Sebuah bandul mengayun dengan bebas pada sudut
A pendulum swings freely through the angles of

(a) Tentukan bahawa ayunan bandul tersebut adalah suatu jujukan janjang aritmetik atau janjang
geometri. Berikan justifikasi anda.
Determine whether the pendulum swings are arithmetic progression or geometric progression.
Give the justification.

(b) Kirakan jumlah sudut yang dilalui dalam 8 ayunan
Calculate the total angle it covers in 8 swings.

17

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 6 menunjukkan keratan rentas bagi beberapa potongan piza yang berbentuk sektor bulatan.
Diagram 6 shows the cross section for several slices of circle-shaped pizza.

Rajah 6 / Diagram 6

(a) Tentukan sama ada luas sektor-sektor di atas membentuk janjang aritmetik atau janjang
geometri.
Determine whether the areas of the above sectors form an arithmetic or a geometric
progression.

(b) Jika cm dan jumlah luas keempat-empat sektor ialah hitung nilai .
, calculate the value of .
If , and the sum of area of all the four sectors is

(c) Hitung luas, dalam , bagi 9 sektor piza yang kelapan.
Calculate the area, in , of the eight sector of the pizza.

18

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 6 : F4 HUKUM LINEAR

Q1

Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 4y = ( p − 2)x + 8 dengan keadaan p
x

ialah pemalar. Rajah 7 menunjukkan garis lurus QR yang diperoleh dengan memplot xy
melawan x2 .
The variables x and y are related by the equation 4y = ( p − 2)x + 8 , where p is a constant.

x
Diagram 7 shows the straight line QR obtained by plotting xy against x2 .

xy

R

Q(0, 4t)

x2
O

Rajah 7 / Diagram 7

(a) Ungkapkan dalam 4y = ( p − 2)x + 8 dalam bentuk linear, yang digunakan untuk memperoleh
x

graf garis lurus seperti ditunjukkan dalam rajah.
Express the equation 4y = ( p − 2)x + 8 , in the linear form, which is used to obtain the straight

x
line graph shown in the diagram.

(b) Diberi kecerunan QR ialah 3 , cari nilai p dan nilai t.
2

Given that the gradient of QR is 3 , find the value of p and of t.
2

19

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Pemboleh ubah x and y dihubungkan oleh persamaan y = 3m − 2n , dengan keadaan m dan n ialah
x−2

pemalar.
Variable x and y is related by the equation y = 3m − 2n , where m and n are the constants.

x−2

(a) Cadangkan satu persamaan linear yang boleh dibentuk
Suggest a way to reduce into a linear form.

(b) Jika graf garis lurus 1 melawan x diplotkan, kecerunannya ialah p manakala
y

pintasan- 1 pula ialah q. Ungkapkan
y

If a graph of a straight line 1 against x is plotted, the gradient is p and q is the
y

1 - intercept. Express
y

(i) m dalam sebutan p dan n,
m in terms of p and n ,

(ii) n dalam sebutan m dan q
n in terms of m and q

20

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Use graph paper to answer this question.

x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
y 33.33 13.48 14.82 9.88 6.92 4.39

Jadual 1 / Table 1

Jadual 1 menunjukkan nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh melalui suatu ujikaji.

Diberi bahawa x dan y dihubungkan oleh persamaan y = p +1 , dengan keadaan p dan k adalah
k2x

pemalar.

Table 1 shows the values of two variables, x and y, that are obtained from an experiment. It is given

that the values of x and y are related by the equation y= p +1 , where p and k are constants.
k2x

(a) Plot log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit kepada
paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit kepada paksi- log10 y . Seterusnya, lukis satu garis lurus
penyuaian terbaik.
Plot log10 y against x by using a scale of 2 cm to 0.5 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit
on the log10 y - axis. Hence, draw the line of best fit.

(b) Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai
Use your graph from (a) to find the value of

(i) p dan k,
p and k,

(ii) y apabila x = 2.25
y when x = 2.25

21

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Use graph paper to answer this question.

Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai x dan y yang didapati daripada satu ujikaji.
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan px = qy + xy di mana a dan b adalah
pemalar.
Table 2 shows the value of two variables, x and y, obtained from an experiment.
The variables x and y related by the equations px = qy + xy where a and b are constants.

x 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y 2.018 0.768 0.464 0.386 0.353 0.340

Jadual 2 / Table 2

(a) Plot 1 melawan 1 , dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit kepada paksi 1 ,
yx x

dan 2 cm kepada 0.5 unit kepada paksi 1 . Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.

y

Plot 1 against 1 , using a scale of 2 cm to 0.1 unit on the 1 -axis and 2 cm to 0.5 unit on the
yx x

1 - axis. Hence, draw the line of best fit.

y

(b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai:
Use the graph in (a) to find the value of:

(i) p,

(ii) q.

22

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q5

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada

satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = h + 1 , dengan
kx kx2

keadaan h dan k ialah pemalar.

The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. Variables
x and y are related by the equation y = h + 1 , where h and k are constants.

kx kx2

x1 2 3 4 5 6
y 3.40 0.70 0.25 0.103 0.042 0.014

Jadual 3 / Table 3

(a) Berdasarkan jadual, bina satu jadual bagi nilai-nilai x2 y .
Based on the table, construct a table for the values of x2 y .

(b) Plot x2 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan
2 cm kepada 0.5 unit pada paksi- x2 y . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
Plot x2 y against x, using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.5 unit on
the x2 y -axis. Hence, draw the line of best fit.

(c) Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
Use the graph in (b) to find the value of
(i) y apabila x = 2.5 ,
y when x = 2.5 ,

(ii) k,
(iii) h.

23

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 7 : F4 GEOMETRI KOORDINAT

Q1

Rajah 8 menunjukkan persimpangan lorong yang berserenjang antara satu sama lain dalam sebuah
nurseri. Empat penyembur air, O, A, B dan C dipasang pada kedudukan seperti yang ditunjukkan
merujuk kepada jarak terdekat masing-masing daripada kedua-dua lorong
Diagram 8 shows the intersection of two paths which are perpendicular to each other in a nursery.
Four water sprinklers, O, A, B and C are installed at the positions shown with respect to their
shortest distances from both paths.

B

30 m A C

B 40 m 60 m 20 m

O BB B

Rajah 8 / Diagram 8

Diberi OABC adalah sebuah segi empat selari.
Given that OABC is a parallelogram.
(a) Jika kedudukan penyembur air O diwakili oleh (0, 0), nyatakan kedudukan bagi penyembur

air A dan C .
If the position of water sprinkler O is represented by (0, 0), state the position of
water sprinkler A and C.
(b) Cari jarak terdekat di antara penyembur air O dan penyembur air B.
Find the shortest distance between water sprinkler O and water sprinkler B.
(c) Satu lagi penyembur air D dipasang diaantara A dan C dengan keadaan jaraknya dari A adalah
dua kali jaraknya dari C. Cari kedudukan penyembur air D.
Another water sprinkler D is installed between A and C such that its distance from A is
2 times its distance from C. Find the position of water sprinkler D.

24

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima
Solutions by scale drawing is not accepted.

.
Rajah 9 menunjukkan garis lurus RQ yang berserenjang dengan garis lurus KL pada titik Q.
Diagram 9 shows the straight line RQ which is perpendicular to the straight line KL at point Q.

y

R (1,3)

O 2x + y −5 = 0 L
K
Q x + hy −10 = 0

x

Rajah 9 / Diagram 9

(a) Cari
Find

(i) nilai bagi h,
the value of h,

(ii) koordinat Q.
the coordinates of Q.

(b) Garis lurus RQ dipanjangkan ke S dengan keadaan RQ : RS =1: 5.Cari luas, dalam unit2,
segitiga ROS.
The straight line RQ is extended to S such that RQ : RS =1: 5.
Find the area, in unit2, triangle ROS.

(c) Titik T bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik R sentiasa 5 unit. Cari persamaan lokus T.
A point T moves such that its distance from point R always 5 units.
Find the equation of the locus of T.

25

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Solution by scale drawing is not accepted.

Rajah 10 menunjukkan lokasi bagi sebuah kapal karam R di lautan dengan menggunakan sistem
koordinat dengan merujuk kepada menara kawalan O.
Diagram 10 shows the location of a wrecked ship R at the ocean using coordinate system with
respect to a control tower O.

y (km)

Kapal karam R
Wrecked ship R

(16, 2) Menara kawalan P

Control towel P

x (km)

Menara kawalan O Rajah 10 / Diagram 10
Control towel O

Diberi bahawa persamaan garis lurus OR ialah 3y = 2x dan berserenjang dengan garis lurus PR.
Given that the equation of straight line OR is 3y = 2x and is perpendicular to straight line PR.
Cari /Find

(a) persamaan garis lurus PR.
the equation of the straight line PR.

(b) koordinat bagi kapal karam R.
the coordinates of the wrecked ship R.

(c) luas, dalam unit2, segitiga dibatasi oleh menara kawalan O, kapal karam R dan menara
kawalan P
the area in unit2, of the triangle bounded by the control tower O, the wrecked ship R and the
control tower P.

(d) Sebagai langkah keselamatan, sekatan terapung diletakkan pada 150 unit di sekeliling kapal
karam R. Cari persamaan bagi sekatan terapung.
As a safety precaution, floating barriers are set 150 units around the wrecked ship R.
Find the equation of the floating barriers.

26

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 8 menunjukkan segitiga PQR. Garis lurus PQ berseranjang dengan garis lurus RE.
Garis lurus PF dan RE bersilang di titik G.
Diagram 8 shows a triangle PQR. The straight line PQ is perpendicular to the straight
line RE. The straight lines PF and RE intersect at point G.

Rajah 8 / Diagram 8
Diberi bahawa PG : GF = 2 : 1, cari
Given that PG : GF = 2 : 1, find
(a) koordinat bagi G,

the coordinates of G,
(b) persamaan PQ,

the equation of PQ,
(c) koordinat bagi Q,

the coordinates of Q,
(d) persamaan lokus bagi satu titik bergerak W supaya jaraknya dari titik P dan titik R

adalah dalam nisbah 3 : 2.
the equation of the locus of a moving point W such that its distances from points P
and R are in the ratio 3 : 2.

27

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 8 : F4 VKETOR

Q1

(a) Vektor-vektor a  1  adalah selari. Diberi bahawa a mempunyai
  dan    
 b   −2   b 

magnitud 45 dan a  0 , cari nilai a dan b.

a  1  are parallel. a of 45 and a 0,
The vectors   and   Given that   has a magnitude
 b   −2   b 

find the value of a and b.

→

(b) Diberi koordinat A ialah (3, 4) dan AB = 2i + 8 j . Cari AOB .

→

Given the coordinates of A are (3, 4) and AB = 2i + 8 j . Find AOB .

Q2

Diberi u = 3i + 5 j dan v = 2i + 7 j dengan keadaan u − v = 4i + 3 j . Cari
Given u = 3i + 5 j and v = 2i + 7 j such that u − v = 4i + 3 j . Find
(a) nilai α dan λ

the value of α and of λ

(b) vektor unit dalan arah u − v
the unit vector in the direction of u − v .

:

28

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Rajah 11 menunjukkan sisi empat PQRS. Pepenjuru PR dan SQ bersilang di titik A. Diberi bahawa
PQ = 10x, PS = 6 y dan AQ = 5SA.
Diagram 11 shows a quadrilateral PQRS. The diagonals PR and SQ intersect at point A. It is given
that PQ = 10x, PS = 6 y and AQ = 5SA.

R

S Q
A

P
Diagram 11 / Rajah 11

(a) Ungkapkan vektor berikut dalam sebutan x dan y ,

Express the following vectors in terms of x and y ,

(i) SQ (ii) PA

(b) Diberi SR = 5x + ky dan PA = hPR , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.
Cari nilai h dan nilai k.
Given SR = 5x + ky and PA = hPR , where h and k are constants.
Find the value of h and of k.

29

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 12 menunjukkan sisi empat OABC dengan keadaan garis OB bersilang dengan garis AD di E.
Diagram 12 shows a quadrilateral OABC such that OB intersect AD at E.

Rajah 12 / Diagram 12
Diberi OA: CB =1: 2,OC : OD = 3:1, AE = hAD dan OE = kOB.
Given OA: CB =1: 2,OC : OD = 3:1, AE = hAD and OE = kOB.

(a) Tunjukkan OE = hd + (1− h) a
Show that OE = hd + (1− h) a

(b) Cari / Find
(i) nilai h dan k,
the value of h and k,
(ii) nisbah bagi DE : EA .
the ratio of DE : EA .

30

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q5

Rajah 13 menunjukkan segi tiga OAB dan segi tiga OAP dengan keadaan AB dan OP bersilang
di titik R.
Diagram 13 shows triangle OAB and triangle OAP such that AB and OP intersects at point R.

B

P

R

O A
Rajah 13 / Diagram 13

Diberi bahawa OA = 8x,OB = 10 y dan AP = 2x + 3 y .
2

It is given that OA = 8x,OB = 10 y and AP = 2x + 3 y .
2

(a) Ungkapkan yang berikut dalam sebutan x dan y .

Express the following in terms of x and y .

(i) OP (ii) BA

(b) Diberi OR = hOP dan BR = k BA, ungkapkan OR dalam sebutan,
Given OR = hOP and BR = k BA, express OR in terms of,

(i) h, x dan y .
h, x and y .

(ii) k, x dan y .
k, x and y .

Seterusnya, cari nilai h dan k.
Hence, find the value of h and k.

31

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 9 : F4 PENYELESAIAN SEGITIGA

Q1

Rajah 14 menunjukkan sebidang tanah ABC yang diwarisi oleh tiga orang adik-beradik. Mereka
bercadang untuk membahagikan tanah itu kepada tiga bahagian yang sama besar, iaitu segitiga
ADE, segi tiga CFG dan pentagon BEDFG.
Diagram 14 shows a piece of land ABC inherited by three brothers. They intend to divide the land
into three equal parts, triangle ADE, Triangle CGF and pentagon BEDFG.

B

62.4 m G
E

A C
DF

67.3 m 58.5 m

Diagram 14 / Rajah 14

Diberi bahawa sin A = 3
5

It is given that sin A = 3
5

(a) Cari panjang
Find the length of

(i) BC (ii) AE

(b) Cari ACB
Find ACB

(c) Diberi segitiga CFG ialah segitiga bersudut tegak. Cari panjang
Given the triangle CFG is a right-angled triangle. Find the length of

(i) CF (ii) FG

32

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Rajah 15(a) menunjukkan sisi empat ABCD. Diberi bahawa  BCD = 86 dan  BDC = 54.
Diagram 15(a) shows a quadrilateral ABCD. Given that  BCD = 86 and  BDC = 54.

Rajah 12(a) / Diagram 12(a) Rajah 12(b) / Diagram 12(b)

(a) Cari / Find

(i) panjang, dalam cm, bagi BD,
the length, in cm, of BD,

(ii)  ADB

(b) Lakar sebuah segi tiga, A`B`D` yang mempunyai bentuk berbeza dari segi tiga ABD
dengan keadaan A`B` = AB , A`D` = AD and  A`D`B` =  ADB .
Sketch a triangle, A`B`D` which has a different shape from triangle ABD such that
A`B` = AB , A`D` = AD and  A`D`B` =  ADB .

(c) Segi tiga ABD dalam Rajah 15(a) adalah tapak bagi piramid seperti ditunjukkan dalam
Rajah 15(b). Diberi ABE dan ADE adalah dua satah mencancang. Bucu E adalah 12 cm
tegak di atas A. Cari luas permukaan condong segi tiga BDE.
Triangle ABD in Diagram 15(a) is the base of a pyramid as shown in Diagram 15(b).
Given that ABE and ADE are two vertical planes. The vertex E is 12 cm vertically above
A. Find the area of the slanting triangular face BDE.

33

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3
Rajah 16 menunjukkan sisi empat ABCD pada suatu satah mengufuk.
Diagram 16 shows a quadrilateral ABCD on a horizontal plane.

Rajah 16 / Diagram 16
VACD ialah sebuah piramid dengan keadaan AD =15cm dan V adalah 8 cm tegak di atas A.
VACD is a pyramid such that AD =15cm and V is 8 cm vertically above A.
Cari / Find
(a) BAC ,
(b) panjang, dalam cm, bagi AC.

the length, in cm, of AC,
(c) luas, dalam , bagi satah condong VCD.

the area, in cm2, of the inclined plane VCD.

34

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 10 : F4 NOMBOR INDEKS

Q1

Jadual 4 menunjukkan indeks kos pengeluaran bagi tiga jenis rumah yang dibina oleh sebuah
syarikat.
Table 4 shows index for the cost of the production for three types of houses constructed
by a company.

Banglo 2018 2020 2020
Bungalow (2015= 100) (2018 = 100) (2015 =100)
Berkembar
Semi-detached 118 150 x

Teres 125 y 150
Terrace
z 110 121

Jadual 4 / Table 4

Jadual 5 menunjukkan harga kos bagi tiga bahan utama untuk membina sebuah rumah banglo.
Table 5 shows the cost price of three main materials to build a bungalow.

.

Komponen Harga / Price Peratus
Component Percentage
(RM/unit)
30
2015 2018
50
Simen RM15.00 RM15.75
Cements 20

Batu Bata RM0.28 p
Bricks

Jubin Bumbung RM1.75 RM2.10
Roof Tiles

Jadual 5 / Table 5
(a) Cari nilai x, y dan z.

Find the values of x, y and z.
(b) Hitung nilai p.

Calculate the value of p.
(c) Hitung harga sepadan rumah jenis berkembar pada tahun 2020 jika harganya pada tahun 2018

ialah RM300,000.
Calculate the corresponding price of semi-detached house in 2020 if the price in 2018 is
RM300,000.

35

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Jadual 6 menunjukkan indeks harga dan peratusan kegunaan bagi empat jenis bahan yang
digunakan untuk membuat sejenis kuih.
Table 6 shows the price indices and the percentages of usage for four ingredients used to make a
kind of dessert.

Bahan 2017 Peratusan(%)
Ingredient (2015 =100) Percentage (%)

C 160 30
D 150 10
E 20
F x 40
135
Jadual 6 / Table 6

(a) Hitungkan
Calculate
(i) kos bagi bahan C pada tahun 2015 jika kosnya pada tahun 2017 ialah RM2.00.
the cost of ingredient C in the year 2015 if the cost in the year 2017 was RM2.00.
(ii) indeks harga bagi bahan D pada tahun 2017 berasaskan tahun 2016 jika indeks
harganya pada tahun 2016 berasaskan tahun 2015 ialah 140.
the price index of ingredient D in the year 2017 based on year 2016 if its price index in t
he year 2016 based on the year 2015 was 140.

(b) Indeks gubahan kos pembuatan kuih itu pada tahun 2017 berasaskan tahun 2015 ialah 140.
Hitungkan nilai bagi x.
The composite index for the cost of making the dessert in the year 2017 based on the
year 2015 is 140. Calculate the value of x.

(c) Kos pembuatan kuih itu pada tahun 2015 ialah RM45.00. Hitungkan kos pembuatan kuih
tersebut pada tahun 2020 jika kadar kenaikan kos pembuatan dari tahun 2017 ke tahun 2020
ialah dua kali ganda kadar kenaikan kos pembuatan dari tahun 2015 ke tahun 2017.
Cost of making the dessert in year 2015 is RM 45.00. Calculate the cost of making the dessert
in 2020 if the increasing rate of cost from 2017 to 2020 is twice the increasing rate of cost from
2015 to 2017.

36

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Jadual 7 menunjukkan indeks harga dan peratusan penggunaan bagi lima ramuan berlainan, A, B, C,
D dan E, untuk membuat sebiji kek. Indeks gubahan bagi kos membuat kek itu pada tahun 2011
berasaskan tahun 2010 ialah 131.9.
Table 7 shows the price indices and the percentages of usage of five different ingredients A, B, C,
D and E, needed to make a cake. The composite index for the cost of making the cake in the year
2011 based on the year 2011 is 131.9.

Ramuan Indeks harga pada tahun 2011 Peratusan Penggunaan
Ingredient berasaskan tahun 2010 Percentage of usage

Price index in the year 2011
based on the year 2010

A 165 20

B 140 30

C 104 10

Dx 15

E 120 25

Jadual 7 / Table 7

(a) (i) Hitung harga bagi B pada tahun 2010 jika harganya pada tahun 2011 ialah RM8.75.
Calculate the price of B in the year 2010 if its price in the year 2011 is RM8.75.

(ii) Cari nilai x.
Find the value of x.

(b) Cari indeks harga bagi C pada tahun 2010 berasaskan tahun 2008 jika indeks harganya pada
tahun 2011 berasaskan tahun 2008 ialah 121.
Find the price index of C in the 2010 base on the year 2008 if its price index in the year 2011
based on the year 2008 is 121.

(c) Kos membuat kek itu meningkat 10% dari tahun 2011 ke tahun 2012.
Cari harga kek itu pada tahun 2010 jika harganya pada tahun 2012 ialah RM52.
The cost of making the cake increases 10% from the year 2011 to the year 2012.
Find the price of the cake in the year 2010 if its price in the year 2012 is RM52.

37

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 1 : F5 SUKATAN MEMBULAT

Q1

Rajah 1 menunjukkan sekeping kertas berbentuk bulatan dengan jejari 10 cm digunting kepada dua
buah sektor bulatan. Sektor major digunakan untuk membentuk sebuah kon dengan tinggi 9 cm.
Diagram 1 shows a piece of circle paper with radius 10 cm is cut into two sectors. The major sector
is used to make a cone with height 9 cm.

Rajah 1 / Diagram 1

Cari sudut pusat yang dicangkum, dalam radian, sektor major itu.
Find central angle subtended, in radians, the major sector.

38

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Rajah 2 menunjukkan dua sektor, ROU dan SOT dengan pusat sepunya O. Jejari sektor ROU ialah
r cm.
Diagram 2 shows two sectors, ROU and SOT with a common centre O. The radius of the sector
ROU is r cm.

T

U
α rad
S RO

Rajah 2 / Diagram 2

Diberi bahawa panjang lengkok RU dan lengkok ST masing-masing ialah 12 cm dan 28 cm.
Jika RS = 9 cm, cari
Given that the length of arc RU and arc ST are 12 cm and 28 cm respectively.
If RS = 9 cm, find
(a) nilai r dan nilai α,

the value of r and of α,

(b) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.
the area, in cm2, of the shaded region.

39

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics
Q3

Rajah 3 menunjukkan sebuah segi tiga sama sisi ABC dan satu lengkok APQB bagi bulatan
dengan pusat O.

Diagram 3 shows an equilateral triangle ABC and an arc APQB of a circle with centre O.
B
Q

C O.

P
A

Rajah 3 / Diagram 3

Diberi bahawa PQ selari dengan AB, OP selari dengan AC dan OQ selari dengan BC.
Jika AC = 8 cm, hitung
Given that PQ is parallel to AB, OP is parallel to AC and OQ is parallel to BC.
If AC = 8 cm, calculate

(a) panjang, dalam cm, lengkok AP,
the length, in cm, of arc AP,

(b) panjang, dalam cm, lengkok PQ,
the length, in cm, of arc PQ,

(c) luas, dalam cm2, kawasan berlorek.
area, in cm2, of the shaded region.

40

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 4(a) menunjukkan serpihan barangan seramik yang berusia lebih 200 tahun ditemui di suatu
tapak arkeologi. Rajah 4(b) menunjukkan satu tembereng bulatan yang mewakili serpihan barangan
seramik yang ditemui itu.
Diagram 4(a) shows fragments of ceramics over 200 years old were discovered at an archeological
site. Diagram 4(b) shows a segment of circle representing the fragment of the ceramics discovered.

h cm
k cm

Rajah 4(a) / Diagram 4(a) Rajah 4(b) / Diagram 4(b)

(a) Menggunakan maklumat yang diberi, tunjukkan bahawa rumus untuk menentukan jejari, r,
bulatan itu ialah r = 4h2 + k2 .
8h
Using the information given, show that the formula used to determine the radius, r, of the circle
is r = 4h2 + k 2 .
8h

(b) Diberi bahawa h dan k masing-masing ialah 4 cm dan 15 cm, tentukan sudut pusat yang
dicangkum oleh tembereng tersebut, dalam radian.
Given that h dan k are 4 cm and 15 cm respectively, determine the central angle subtended by
the segment, in radians.

41

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 2 : F5 PEMBEZAAN

Q1

(a) Cari nilai bagi had x + 3 .
x→−3 2x +15 − 3

Find the value of lim x+3 .

x→−3 2x +15 − 3

(b) Luas permukaan sebuah sfera diberi oleh persamaan A = 3 x2 + 48 dengan keadaan x ialah
x

jejari sfera itu. Jika luas permukaannya berubah pada kadar 20 cm2s-1 ,

cari kadar perubahan dalam jejari apabila jejarinya ialah 3 cm.
The surface area of a sphere is given by the equation A = 3 x2 + 48 , where x is

x
the radius of the sphere. If the surface area changes at a rate of 20 cm2s-1 , find

the rate of change in the radius when its radius is 3 cm.

Q2

(a) Diberi d  2x −3  = k
dx  x+5  (x + 5)2 , cari nilai k.

Given that d  2x −3  = (x k , find the value of k.
dx  x+5  + 5)2

(b) Seterusnya, cari nilai terbitan kedua apabila x = 3.
Hence, find the value of the second derivative when x = 3.

42

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics
Q3

Diberi titik B ialah pintasan-y bagi lengkung y = 3x2 − 4x + 2 . Cari
Given a point B is the y-intercept of a curve y = 3x2 − 4x + 2 . Find

(a) kecerunan tangen kepada lengkung itu di titik B,
the gradient of the tangent to the curve at point B,

(b) persamaan normal kepada lengkung itu di titik B.
the equation of the normal to the curve at point B.

Q4

(a) Cari nilai bagi k jika had x2 − 2x = 1 .
x3 − kx 2
x→0

Find the value of k if lim x2 − 2x = 1 .
x3 − kx 2
x→0

(b) Amir memiliki sebidang tanah kebun berbentuk segi empat tepat untuk menanam
sayur-sayuran. Dia mempunyai 120 m dawai untuk memagari tanahnya. Hitung nilai panjang
tanah tersebut supaya luas tanah adalah maksimum.
Amir owns a rectangular piece of land to grow vegetables. He has 120 m of fencing wire to
fence his land. Calculate the value of length so that the area of the land is maximum.

43

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q5

(a) Diberi luas sebuah bulatan ialah 400π cm2, cari jejari bagi bulatan itu.
Given the area of a circle is 400π cm2, find the radius of the circle.

(b) Seterusnya, hitung perubahan hampir dalam jejari bulatan itu, dalam sebutan q, jika
luas bulatan tersebut bertambah kepada (4 + q) cm2.
Hence, calculate the approximate change in the radius of the circle, in terms of q,
when the area of the circle increases to (4 + q) cm2.

Q6

(a) Diberi y= 1 + x , tunjukkan bahawa x2 d 2 y + 3x dy + y = 4x .
x dx2 dx

Given y = 1 + x , show that x2 d2y + 3x dy + y = 4x .
x dx2 dx

(b) Jumlah luas permukaan sebuah silinder ialah 96 cm3 dengan diameter dan tinggi
masing-masing 2x cm dan tinggi a cm. Hitung isi padu maksimum silinder itu.
The total surface area of the cylinder is 96 cm3 with diameter and height 2x cm and
a cm respectively. Calculate the maximum volume of the cylinder.

44

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q7

Sebuah pepejal logam dibentuk dengan menggabungkan sebuah kon dan sebuah silinder dengan

jejari sepunya, j cm. Jumlah luas permukaan pepejal itu, L cm2, diberi oleh L = 2  18 + j2 
 j 3 .
 

A metal solid is formed by combining a cone and a cylinder with common radius, j cm. The total

surface area of the solid, L cm2, is given by L = 2  18 + j2 
 j 3 .
 

(a) Pepejal itu mengembang apabila dipanaskan. Diberi bahawa luas permukaan pepejal itu
berubah dengan kadar 1.4 cm2 s-1.
Cari kadar perubahan jejari, dalam cm s-1, pada ketika jejarinya ialah 6 cm.
The solid expands when heated. It is given that the surface area of the solid changes at the rate
of 1.4 cm2 s-1.
Find the rate of change of its radius, in cm s-1, when its radius is 6 cm.

(b) Cari perubahan hampir bagi luas permukaan pepejal itu, dalam sebutan π, apabila jejarinya
berkurang daripada 6 cm kepada 5.98 cm.
Find the approximate change in the surface area of the solid, in terms of π, when its radius
decreases from 6 cm to 5.98 cm.

45

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q8

Rajah 5 menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon yang mempunyai tinggi 10 cm dan berjejari
6 cm.
Diagram 5 shows a conical container which has the height of 10 cm and the radius of 6 cm.

6 cm 10 cm
r cm
h cm

Rajah 5 / Diagram 5

Pada peringkat awal, kon itu diisi dengan air pada ketinggian h cm dan jejari r cm.
Initially, the cone filled with water has the height h cm and the radius r cm.

(a) Tunjukkan bahawa isipadu ruang udara dalam bekas itu ialahV = 3  (1000 − h3) .
25

Show that the volume of space without water in the container is V = 3  (1000 − h3) .
25

(b) Disebabkan kebocoran, air menitis keluar dan isipadu ruang udara meningkat dengan
10 cm3s−1 . Cari kadar perubahan tinggi air apabila h = 2 cm.
Due to leakage, the water flow out and the volume of space without water increases by
10 cm3s−1 . Find the rate of change of height of the water when h = 2 cm.

46

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q9
Lengkung y = x3 + x2 − 5x +10 melalui titik A(2,12) dan mempunyai dua titik pusingan, P(1, 7)
dan Q. Cari
The curve y = x3 + x2 − 5x +10 passes through the point A(2,12) and has two turning points,
P(1, 7) and Q. Find

(a) kecerunan lengkung itu pada titik A,
the gradient of the curve at A,

(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada A,
the equation of the normal to the curve at A,

(c) koordinat bagi Q dan tentukan samada Q ialah titik maksimum atau titik minimum.
the coordinates of Q and determine whether Q is a maximum or a minimum point.

47

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 3 : F5 PENGAMIRAN

Q1

m dy = 2 f (x) +1dx =10 .
− 3x)3 dx
Diberi = 1
y (4 dan f (x) , cari nilai bagi m jika

m dy 2 f (x) +1dx =10 .
− 3x)3 dx
Given that = = 1
y (4 and f (x) , find the value of m if

Q2

(a) Diberi y = 2x dan dy =3 f (x) . Cari nilai 3 f (x)) dx .
x2 − 4 dx
(x−

1

Given that y = 2x and dy =3 f (x) . Find the value of 3
x2 − 4 dx
 ( x − f (x)) dx .

1

(b) Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan 2x − x2 dan melalui titik  2, − 2  .
 3 

Find the equation of the curve which has gradient function 2x − x2 and passes through

point  2, − 2  .
 3 

Q3

(a) Diberi 4  ax5 + 8x2  dx = 2a − 6 , dengan keadaan a ialah pemalar. Cari nilai a.
 x4 


2

Given that 4  ax5 + 8x2  dx = 2a − 6 , where a is a constant. Find the value of a.
 x4 


2

25 5
(b) Diberi  f (x) dx = 5 dan  f (x) dx =8 , cari nilai  2x − f (x) dx .

12 1

25 5
Given that  f (x) dx = 5 and  f (x) dx =8 , find the value of  2x − f (x) dx .

12 1

48

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 6 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2a , melalui titik P dengan keadaan
x−2

a ialah satu pemalar.
Diagram 6 shows part of the curve y = 2a , passing through point P where a is a constant.

y x−2

y = 2a
x−2

P●

0 x=a x=5 x

Rajah 6 / Diagram 6

Kecerunan lengkung y = 2a dititik P ialah −6 .

x−2

The gradient of the curve y = 2a at the point P is −6 .

x−2

(a) Cari koordinat bagi titik P.
Find the coordinates of point P.

5 2a
(b) Seterusnya, tanpa melakukan pengamiran, tunjukkan bahawa 3 x − 2 dx  12 .
4

5 2a
Hence, without carrying out any intergration, show that 3 x − 2 dx 12 .
4

(c) Rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis x = a dan garis x = 5 , diputarkan
selengkapnya pada paksi-x. Hitung, dalam sebutan  , isipadu kisaran.
The region which is bounded by the curve, x-axis, straight line x = a and straight line x = 5 ,
is revolved completely about the x-axis. Calculate, in terms of  , the volume of revolution.

49

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q5

Rajah 7 menunjukkan rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = 8 , paksi-x,
x

paksi-y, x = 4 dan y = 4.
Diagram 7 shows the shaded region bounded by the curve y = 8 , the x-axis, the y-axis,

x
x = 4 and y = 4.

Diagram 7 / Rajah 7

Diberi bahawa luas rantau berlorek ialah 13.55 unit2.
It is given that the area of the shaded region is 13.55 unit2.

Cari / Find

(a) 4 8 dx
2x

a+2 4 8 dy = 13.55 unit2

4 dy +
 (b) nilai a apabila
a 2y

a+2 4 8 dy = 13.55unit2

4 dy +
 the value of a when
a 2y

50