7 anyflip Item Akademi 2021 F4

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q6

Rajah 8 menunjukkan rantau R dibatasi oleh suatu lengkung y = x2 , garis lurus
x = c dan y = x .
Diagram 8 shows the region R is bounded by the curve y = x2 , and the straight line
x = c and y = x .

y
x=c

y=x

y = x2

R x

•

O

Rajah 8 / Diagram 8

(a) (i) Jika luas rantau R ialah A unit2 , tunjukkan bahawa A = 1 c2 − 1 c3
23

If the area of region R is A unit2 , show that A = 1 c2 − 1 c3
23

(ii) Seterusnya, tunjukkan bahawa A mempunyai satu nilai maksimum apabila c = 1.
Hence, show that A has a maximum value when c = 1.

(b) Cari isipadu putaran apabila rantau R diputarkan melalui 3600 pada paksi-x.
Find the volume of revolution when the region R is revolved through 3600 about the x-axis.

51

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 4 : F5 PILIH ATUR & GABUNGAN

Q1

(a) Hitung bilangan cara untuk menyusun semua huruf dalam perkataan COMMITTEE jika
Calculate the number of ways to arrange all the letters from the word COMMITTEE if
(i) tiada syarat dikenakan
there are no conditions
(ii) huruf-huruf vokal mesti bersebelahan
the vowels must be site by site.

(b) Cik Wong mengatur sekumpulan 8 orang kanak-kanak dalam satu bulatan untuk bermain
“The Big Wind Blows”. Hitung bilangan cara susunan jika Ali dan Tan sentiasa bersebelahan.
Miss Wong arranges a group of 8 children in a circle to play “The Big Wind Blows”
Calculate the number of ways if Ali and Tan always site by site.

Q2

Rajah 9 menunjukkan 4 orang murid lelaki dan 3 orang murid perempuan berdiri dalam satu baris.
Diagram 9 shows 4 boys and 3 girls are standing in a row.

Rajah 9 / Diagram 9
Hitung bilangan susunan yang mungkin jika
Calculate the possible number of arrangements if
(a) murid lelaki dan murid perempuan mesti berdiri secara berselang-seli

the boys and girls have to standing alternately,
(b) semua 4 orang murid lelaki mesti berdiri bersama,

all the 4 boys have to standing together.

52

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics
Q3

Hitung bilangan cara memilih 4 orang wakil murid daripada 3 orang murid lelaki dan 7 orang murid
perempuan jika
Calculate the number of ways to select 4 student representatives from 3 boys and 7 girls if

(a) bilangan murid lelaki mesti sama dengan bilangan murid perempuan
the number of boys must be equal to the number of girls

(b) sekurang-kurangnya seorang murid lelaki mesti dipilih.
at least one boy must be selected.

Q4

Satu kumpulan lawatan sambal belajar yang terdiri daripada 12 orang akan dipilih daripada
4 orang guru lelaki, 5 orang guru perempuan, 6 orang murid lelaki dan 7 orang murid perempuan.
Cari bilangan cara berlainan untuk membentuk kumpulan itu jika ia terdiri daripada
A study tour group that consists of 12 people is to be selected from 4 male teachers,
5 female teachers, 6 boys and 7 girls. Find the number of different ways to form the group
if it consists of

(a) 4 orang guru dan 8 orang murid,
4 teachers and 8 students,

(b) bilangan guru lelaki, guru perempuan, murid lelaki dan murid perempuan yang sama.
the same number of male teachers, female teachers, boys and girls.

53

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 5 : F5 TABURAN KEBARANGKALIAN

Q1

(a) Kebarangkalian Roslin akan menang pertandingan ping pong ialah 2 . Jika dia mengambil
3

bahagian dalam n pertandingan, kebarangkalian dia tidak menang semua pertandingan
ialah 1 . Cari

729
The probability that Roslin will win in the ping pong competition is 2 . If he takes part in n

3
competition, the probability that he does not win all the competitions is 1 . Find

729

(i) nilai n . / the value of n.
(ii) kebarangkalian dia akan lebih menang lebih daripada 4 kali dalam n pertandingan

ini.
the probability he will win more than four times in n competitions.

(b) Rajah 10 menunjukkan graf taburan normal piawai dengan  dan sisihan piawai  .
Diagram 10 show a standard normal distribution graph with mean  and standard
deviation  .

f (z)

0 z
Rajah 10 / Diagram 10

(i) Nyatakan nilai min dan sisihan piawai
State the value of mean and the standard deviation

(ii) Cari luas rantau berlorek.
Find the area of the shaded region.

54

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

(a) Dalam satu kajian yang dikendalikan oleh sebuah sekolah, didapati m % murid memiliki
sebuah iPad. Jadual 1 menunjukkan sebahagian taburan Binomial X apabila satu sampel
empat orang murid dipilih secara rawak . X merupakan pemboleh ubah rawak Binomial
yang mewakili murid yang memiliki iPad.
In a survey conducted by a school, it is found that m % of the students own an iPad.
Table 1 shows part of the Binomial distribution of X when a sample of four
students were selected at random. X is a Binomial random variable representing the
students who own an iPad.

X 0 1
P(X = x) 0.1296 0.3456

Jadual 1 / Table 1

Cari / Find

(i) nilai m
the value of m

(ii) P( x  2 )

(b) Kebarangkalian bahawa seorang murid membawa makanan tengah hari ke sekolah ialah p.
The probability that a student bring packed lunch to school is p.

(i) Diberi min dan sisihan piawai bagi murid yang membawa makanan tengah hari ke
sekolah masing-masing ialah 9 dan 3.24 , cari nilai p.
Given the mean and standard deviation of the student bring packed lunch to school
is 9 and 3.24 respectively , find the value of p.

(ii) Jika 12 orang pelajar dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
tepat 6 orang murid membawa makanan tengah hari ke sekolah..
If 12 students are chosen randomly, find the probability that exactly 6 students
bring packed lunch to school.

55

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

(a) Pembolehubah rawak X mempunyai taburan normal dengan min 4.8 dan sisihan
piawai . Diberi X = 6.6 dan Z = 1.2, cari nilai
The random variable X has a normal distribution with a mean of 4.8 and a standard
deviation of . Given X = 6.6 and Z = 1.2, find the value of

(i) 
(ii) k jika P( - k < Z < k ) = 1 

2

(b) Jisim murid-murid di SMK Sentosa bertabur secara normal dengan min 56 kg dan varians
120 kg2 .
The mass of students in SMK Sentosa has a normal distribution with a mean of 56 kg and
a variance of 120 kg2.

Hitung / Calculate

(i) jisim murid yang memberikan skor piawai 0.3,
the mass of a student which gives a standard score of 0.3,

(ii) peratus murid yang mempunyai jisim sekurang-kurangnya 49 kg.
the percentage of the students that have mass at least 49 kg.

56

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Tinggi 2000 pokok di suatu hutan simpan diukur dan dicatat. Apabila graf dilukis, suatu lengkung
seperti berikut didapati. Semua ketinggian adalah antara 3 sisihan piawai daripada min.
The height of 2000 trees in the reserved forest is measured and recorded. When the graph is
drawn, a curve as follows is shown. All the heights are between 3 standard deviations from the
mean.

f (x)

34% 34%
13.5%
13.5%
0.1% 2.4% 2.4% 0.1% xm

13.2 13.9 14.6 15.3 16.0 16.7 17.4

Rajah 11 / Diagram 11

(a) Apakah min tinggi dan sisihan piawai bagi taburan ini?
What is the mean and standard deviation of the distribution?

(b) Berapakah peratus pokok yang tingginya antara 14.6 m dengan 16.7 m ?
What is the percentage of the trees that are between 14.6 m and 16.7 m?

(c) Berapa banyak pokok yang kurang daripada 13.9 m ?
How many trees are less than 13.9 m?

57

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q5

(a) Jisim satu bungkus mi goreng dari sebuah kedai makanan bertaburan normal dengan min
0.46 kg dan sisihan piawai m kg. Diberi bahawa 18% daripada bungkusan mi goreng
mempunyai jisim lebih daripada 0.52 kg.
The mass of packed fried mee from a restaurant is normally distributed with the mean of
0.46 kg and the standard deviation of m kg. Given that 18% of the packed fried mee have
a mass of more than 0.52 kg.

(i) Hitung nilai m.
Calculate the value of m.

(ii) Diberi bahawa 375 bungkus mi goreng dijual pada suatu hari, cari bilangan bungkus
mi goreng yang mempunyai jisim antara 0.4 kg dengan 0.5 kg.
Given that 375 packed fried mee are sold on a certain day, find the number of the packed
fried mee that have the masses between 0.4 kg and 0.5 kg.

(b) Dalam perlawanan bola tampar antara sekolah, kebarangkalian sekolah Y menang ialah 40%.
Pasukan sekolah Y menyertai dalam n perlawanan. Kebarangkalian untuk menang sekali
adalah 8 kali kebarangkalian kalah dalam semua perlawanan.
In an inter-school volleyball tournament, the probability that school Y wins is 40%.
The team of school Y participated in n tournaments. The probability of winning once is 8 times
the probability of losing all the games.

(i) Cari nilai n
Find the value of n

(ii) Hitung sisihan piawai bagi bilangan kemenangan.
Calculate the standard deviation for the number of wins.

58

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q6
(a) Dalam sebuah sekolah, 250 pelajar menduduki suatu peperiksaan. Markah yang diperoleh

adalah bertaburan secara normal dengan min  dan sisihan piawai 5.
In a school, 250 students sat for an examination. The marks obtained is normally distributed
with a mean,  and a standard deviation of 5.

Cari / Find
(i) nilai  jika kebarangkalian seorang pelajar yang dipilih secara rawak mendapat markah

kurang daripada 58 ialah 0.3085
the value of  if the probability of a student chosen at random get marks less than 58
is 0.3085

(ii) bilangan pelajar yang mencapai markah lebih daripada 65
the number of students who achieved marks more than 65

(b) Kebarangkalian bahawa seorang pengguna membeli-belah atas talian ialah p.
Suatu sampel 4 orang pengguna dipilih secara rawak daripada suatu kawasan.
The probability of a consumer shops online is p. A sample of 4 consumers are chosen at
random from a particular area.

Hitung / Calculate
(i) nilai p jika kebarangkalian tiada pengguna membeli-belah atas talian ialah 1 .

625
the value of p if the probability that none of the consumers shop online is 1

625
(ii) kebarangkalian bahawa terdapat kurang daripada 2 pengguna membeli-belah atas talian.

the probability that less than 2 consumers shop online

59

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q7

(a) Satu kertas ujian terdiri daripada 10 soalan mengandungi 4 pilihan jawapan dengan hanya satu
jawapan betul. Setiap pelajar daripada kelas 5 Mawar memilih secara rawak hanya satu
jawapan untuk setiap soalan.
A test consists of 10 questions have 4 possible answers for which only one is correct. Each
student in class 5 Mawar select at random one answer for each question.

(i) Cari kebarangkalian bahawa kurang daripada 2 soalan adalah salah jawapannya.
Find the probability that less than 2 questions are wrongly answered.

(ii) Hitung nilai min dan sisihan piawai bagi skor yang diperolehi
Calculate the mean and standard deviation of their scores.

(b) Purata Nilai Gred (PNG) bagi mata pelajaran Matematik Tambahan bagi suatu kelas adalah
mengikut taburan normal dengan min 3.56 dan sisihan piawai 0.25.
The Grade Point Average (GPA) of Additional Mathematics subject of a class follows a normal
distribution with a mean of 3.56 and a standard deviation of 0.25.

(i) Jika seorang murid dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa PNG murid itu
lebih daripada 3.60.
If one student is randomly selected, find the probability that the GPA of the student is
more than 3.60.

(ii) Guru mata pelajaran akan memberi hadiah penghargaan kepada murid yang mendapat
PNG lebih dari k. Jika 70% daripada murid berjaya mendapat hadiah tersebut, cari nilai k.
The subject teacher will give token of appreciation to student who obtained GPA more
than k. If 70% of students manage to get the token, find the value of k.

60

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q8

(a) Sebuah koak mengandungi 2 jenis gula-gula, A dan B, dalam nisbah 1 : 2 . Lima biji gula-gula
dipilih secara rawak satu demi satu dengan pengembalian.
A box contains 2 types of sweets , A and B , in the ratio 1 : 2 . Five sweets are taken out one at
a time at random, with replacement.

Cari kebarangkalian bahawa
Find the probability that

(i) tepat 4 biji gula-gula B dipilih.
exactly 4 sweets are of type B are taken out.

(ii) lebih daripada 2 biji gula-gula jenis A dipilih.
more than 2 sweets of type A are taken out.

(b) Panjang dawai yang telah dipotong bertaburan secara normal dengan min  dan
sisihan piawai  . 12% daripada dawai itu lebih panjang daripada 16.8 cm manakala 30%
daripada dawai itu kurang daripada 12.5 cm.
The lengths of cut wires are normally distributed with mean  and standard deviation  .
12% of the wires are longer than 16.8 cm while 30% of them are less than 12.5 cm.

Hitung / Calculate

(i) nilai 
the value of 

(ii) nilai 
the value of 

61

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 6 : F5 FUNGSI TRIGONOMETRI

Q1

(a) Rajah 12 menunjukkan sebuah segitiga OPQ yang dilukis di atas satah Cartes.
Diagram 12 shows a triangle OPQ is drawn on Cartesian plane.

y P ( x1, y1 )

h
θ

O Qx

Rajah 12 / Diagram 12

Dengan menggunakan teorem Pythagoras, terbitkan 1+ kot2θ = cosek2 θ .
Use the Pythagoras theorem, derive the 1+ cot2 θ = cosec2 θ .

(b) Ungkapkan persamaan 5tan θ + sek θ + 5 dalam sebutan k jika k = tan θ
2

dan kos θ = 1 − tan 2  θ  .
1 − tan 2  
 2 
 θ 

2

Express equation 5tan θ + secθ + 5 = 0 in term of k if k = tan θ and cos θ = 1− tan 2  θ  .
2 1− tan 2  
 2 
 θ 

2

62

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

( ) ( )(a) Selesaikan persamaan kos Asin 900 − A − sin A kos 900 − A = 0 untuk 00  A  3600 .
( ) ( )Solve the equation kos Asin 900 − A − sin A kos 900 − A = 0 for 00  A  3600 .

(b) (i) Lakar graf bagi y = 2 kos 2x +1untuk 0  x  3  .
2

Sketch the graph y = 2 kos 2x +1 for 0  x  3  .
2

(ii) Cari persamaan garis lurus yang sesuai bagi menyelesaikan persamaan kos 2x = x− .
2

Seterusnya , dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan persamaan garis lurus dan

tulis bilangan penyelesaian bagi persamaan kos2x = x − untuk 0  x  3  .
2 2

Find the equation of a suitable straight line for solving the equation cos 2x = x −
2

Hence , using the same axes , sketch the straight line and state the number of solutions to

the equation cos 2x = x − for 0  x  3  .
2 2

63

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

(a) Buktikan bahawa tan x sin 2x = tan 2x .
sin 2x − tan x

Prove that tan x sin 2x = tan 2x .
sin 2x − tan x

(b) Diberi kos (x − y) = 3 dan kos x kos y = 1 dengan keadaan x dan y adalah sudut tirus.
p4

Cari nilai tan x dalam sebutan p.
kot y

Given cos (x − y) = 3 and cos x cos y = 1 where x and y are acute angles.
p4

Find the value of tan x in term of p.
cot y

(c) (i) Lakarkan graf y = | tan 2x | for 0  x   .

Sketch the graph of y = | tan 2x | for 0  x   .

(ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakarkan garis lurus yang sesuai untuk

tan x sin 2x − 2x = 6 untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 

sin 2x − tan x

00  x   . Nyatakan bilangan penyelesaiannya.
Hence, by using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of

solutions for the equation 2 tan x sin 2x − 2x = 6 for 00 ≤ x ≤ π .
sin 2x − tan x 

State the number of solutions.

64

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

(a) Diberi kos 25° = , cari dalam sebutan p,
Given that cos 25° = , find in terms of p,
(i) sin 65° ,
(ii) kos (-25° ) + 1
cos (-25° ) + 1
(iii) sin 55°

(b) Buktikan / Prove that
2 = ko s ek2x .

1− ko s 2x

(c) (i) Lakar graf bagi y = 1 – cos 2x for 0  x  .
Sketch the graph y = 1 – cos 2x for 0  x  .

(ii) Seterusnya , pada paksi yang sama , lakarkan graf dan tuliskan bilangan penyelesaiannya
bagi persamaan y = − sin x untuk 0  x   .
Hence , using the same axes , sketch the graf and state the number of solutions to the
equation y = − sin x for 0  x   .

65

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 7 : F5 PENGATURCARAAN LINEAR

Q1

Seorang pemilik kedai dobi layan diri ingin membeli unit mesin basuh dan unit mesin
pengering. Setiap unit mesin basuh dan mesin pengering masing-masing menggunakan tenaga
elektrik sebanyak 1 000 watt dan 3 000 watt.
A self-service laundry shop owner would like to buy unit of washing machine and unit dryer
machine. Each unit of washingmachine and dryer machine consumes 1 000 watts and 3 000 watts
of electrical energy respectively.
Pembelian mesin basuh dan mesin pengering adalah mengikut kekangan yangb berikut:
The purchasing of the washing machine and the dryer machine is based on the following
constraints:

(i) Jumlah mesin basuh dan mesin pengering yang ingin dibeli adalah tidak melebihi 12 unit.
The total number of washing machine and dryer machine that would be bought is not more
than 12 units.

(ii) Nisbah bilangan mesin pengering kepada mesin basuh adalah melebihi 2 : 3
The ratio of the number of dryer machine to the washing machine is more than 2 : 3

(iii) Jumlah maksimum penggunaan tenaga elektrik bagi mesin basuh dan mesin pengering pada
satu-satu masa ialah 25 000 watt.
Maximum electrical energy usage for washing machine and dryer machine at one
particular time is 25 000 watts.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain dan , yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than and , which satisfy all the above constraints.

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit mesin pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau
R yang memenuhi semua kekangan di atas.
Using a scale of 2 cm to 1 unit in both axes, construct and shade the region which satisfies
all the above constraints.

(c) Menggunakan graf yang dibina di (b), cari
Using the graph constructed in b), find
(i) Julat bilanganh mesin pengering yang akan dibeli jika pemilik kedai itu membeli 6

unit mesin basuh.

The range of the number of dryer machine bought if the owner bought 6 units of
washing machines.
(ii) Kos penyelenggaraan maksimum yang perlu dibayar jika kos penyelenggaraan setiap

unit mesin basuh dan mesin penegring masing-masing ialah RM150 dan RM350.

Maximum maintenance cost to be paid if the maintenance cost of each unit of
washing machine and dryer machine is RM150 and RM350 respectively.

66

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics
Q2

Sebuah syarikat mempunyai peruntukkan sebanyak RM 42 000 untuk membeli unit kerusi dan
unit meja untuk membuka restoran baharu. Harga bagi seunit kerusi dan harga meja masing-masing
ialah RM80 dan RM100. Jumlah unit kerusi dan meja yang dibeli adalah tidak kurang daripada 100
unit. Selain itu, bilangan unit kerusi yang dibeli adalah selebih-lebihnya dua kali ganda bilangan
unit meja.
A company has an allocation of RM 42 000 to buy units of chairs and units of table to open a
new restaurant. The price of a unit of chair and a unit of table is RM80 and RM100 respectively.
Total unit of chairs and tables to be purchased are not less than 100 units. Besides, the number of
units of chair bought is at most two times of the number of units of table.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain dan , yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than and , which satisfy all the above constraints.

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang
memenuhi semua kekangan di atas.
Using a scale of 2 cm to 5 units on both axes, construct and shade the region that satisfies
all the above constraints.

(c) Menggunakan graf yang dibina di (b), cari julat bagi sewa yang akan dikutip jika syarikat
tersebut menyewa kerusi dan meja yang dibeli dengan keadaan setiap unit kerusi dan setiap unit
meja masing-masing ialah RM5 dan RM8.
Using the graph constructed in b), find the range of rent collected if the company rents the
purchased chairs and tables such that the rent of each unit of chair and table is RM5 and
RM8 respectively.

67

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Sebuah kilang menghasilkan dua jenama meja, A dan B, dengan menggunakan mesin P dan Q.
Jadual menunjukkan masa yang diambil untuk menghasilkan meja jenis A dan B masing-masing.
A factory produces two brands of table, A and B, by using machines P dan Q. Table shows the time
taken to produce table type A and B respectively.

Masa yang diambil (minit)

Jenama Time taken (minutes)
Brand
Mesin P Mesin Q
A
B Machine P Machine Q

100 30

50 60

Dalam mana-mana satu minggu, kilang tersebut menghasilkan unit meja A dan unit meja B.
Penghasilan meja-meja tersebut dalam seminggu adalah berdasarkan kekangan yang berikut:
In any given week, the factory produces units table type A and units of table type B. the
production of the table per week is based on the following constraints:

i) Mesin P beroperasi tidak melebihi 5000 minit
Machine P operates not more than 5000 minutes

ii) Mesin Q beroperasi sekurang-kurangnya 1800 minit
Machine Q operates at least 1800 minutes

iii) Bilangan meja jenis B yang dihasilkan tidak melebihi tiga kali bilangan meja jenis A yang
dihasilkan.
The number of table type B produces is not more than three times the number of table type A
produced

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain dan , yang memenuhi semua kekangan di atas.

Write three inequalities, other than and , which satisfy all the above constraints.

(b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau yang
memenuhi semua kekangan di atas.
Using a scale of 2 cm to 1 unit in both axes, construct and shade the region which satisfies
all the above constraints.

(c) Menggunakan graf yang dibina di b), cari
Using the graph constructed in b), find
(i) Bilangan minimum meja jenis B yang boleh dihasilkan, jika kilang tersebut
bercadang untuk menghasilkan 30 unit meja jenis A sahaja.
The minimum number of table type B that could be produced, if the factory plans to
produce only 30 units of table type A.
(ii) Jumlah keuntungan maksimum seminggu jika keuntungan yang diperoleh daripada
satu unit meja jenis A dan satu unit meja jenis B masing-masing ialah RM300 dan
RM250.
The maximum total profit per week if the profit from a unit table type A and a unit
table type B are RM300 and RM250 respectively.

68

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Bab 8 : F5 KINEMATIK GERAKAN LINEAR

Q1

Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju v ms−1 ,
diberi oleh v = t2 − 7t + p , dengan keadaan t ialah masa dalam saat, selepas melalui O. Rajah 13
menunjukkan graf halaju melawan masa bagi pergerakan zarah itu.
A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v ms−1 , is
given by v = t2 − 7t + p , where t is the time, in seconds, after passing through O. Diagram 13
shows the velocity-time graph of the motion of the particle.

Rajah 13 / Diagram 13
It is given that the curve v = t2 − 7t + p has a minimum value of the q.
Diberi bahawa lengkung v = t2 − 7t + p mempunyai lengkung nilai minimum q.

(a) Find the initial velocitiy
Cari halaju awal

(b) Find the value of q. Explain the meaning of the value of q.
Cari nilai q. Terangkan maksud nilai q.

(c) Find the difference in acceleration, in ms−2 , of the particle at t = 3 and t = 2
Cari perbezaan bagi pecutan dalam bagi zarah itu pada t = 3 dan t = 2

(d) Calculate the total distance, in m, travelled by the particle in the first 5 seconds.
Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam masa 5 saat yang
pertama.

69

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q2

Rajah 14 menunjukkan, zarah P dan zarah Q bergerak di sepanjang satu garis lurus yang mengufuk,
bermula dari titik A dan titik B masing-masing. Sesaran zarah Q, SQ meter dari titik tetap O pada
masa t saat diberi oleh SQ = t3 + t2 + 2t − 6. Sesaran zarah P, SP meter dari titik tetap O pada masa t
saat diberi oleh SP = t3 − 2t2 − t + 12. Cari
(Anggapkan arah B ke A sebagai arah positif)

Diagram 14 shows, particle P and particle Q moves along a horizontal straight line, starting from
point A and from point B respectively. The displacement of particle Q, SQ meter from fixed point O
at t second is given by SQ = t3 + t2 + 2t − 6. The displacement of particle P, SP meter from fixed
point O at t second is given by SP = t3 − 2t2 − t + 12. Find
(Assume motion B to A is positive)

Q P
• •
A
•
BO

Rajah 14 / Diagram 14

(a) masa dalam saat, apabila kedua-dua zarah itu berlanggar.
the time in seconds, when both particles are collide.

(b) halaju zarah Q semasa perlanggaran.
the velocity of particle Q during the collision

(c) halaju minimum bagi zarah P.
the minimum velocity of particle P.

70

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q3

Suatu zarah mula bergerak di sepanjang satu garis lurus dengan halaju awal 4 ms-1 dan melalui titik
tetap O. Pecutannya,a ms-2, diberi oleh a = 7 – 4t, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas
meninggalkan O.
A particle moves along a straight line with an initial velocity 4 ms-1 and passes through a fixed
point O. The acceleration of the particle, a ms-2, is given by a = 7 – 4t, where t is the time, in
seconds, after passing through the fixed point O.

Cari / Find

(a) masa, dalam saat, apabila halajunya adalah maksimum.
time, in second, when its velocity is maximum.

(b) halaju maksimum, dalam ms-1, bagi zarah itu.
the maximum velocity, in ms-1, of the particle,

(c) masa, dalam saat, apabila zarah itu menukar arahnya,
the time, in seconds, when the particle changes its direction,

(d) jumlah jarak yang dilalui, dalam m, oleh zarah itu pada 6 saat yang pertama.
the total distance travelled, in m, by the particle in the first 6 seconds.

71

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

Q4

Rajah 15 menunjukkan dua titik tetap, O dan A, di atas satu garis lurus mengufuk dengan jarak 8 m.
Dua zarah X dan Y bergerak disepanjang garis lurus itu dan masing-masing melalui titik O dan titik
A pada ketika yang sama.
Diagram 15 shows two fixed points O and A, on a horizontal straight line with 8 m apart. Two
particles, P and Q, move along the straight line and pass through point O and point A respectively
at the same instant.

XY

O 11 m M

Rajah 15 / Diagram 15

Halaju zarah X, ialah VX = 2t – 6, manakala halaju zarah Y ialah VY = 5 – t, dengan keadaan t
ialah masa, dalam saat, selepas zarah X dan zarah Y masing-masing melalui titik O dan titik A.
The velocity of particle X is VX = 2t – 6, while the velocity of particle Y is VY = 5 – t, where t
is the time, in seconds, after particles X and Y pass the point O and A respectively.

(a) Cari jarak, dalam m, diantara zarah X dan zarah Y apabila zarah X berhenti seketika.
Find the distance, in m, between the particles X and Y when particle X stops instantenously.

(b) Cari masa, dalam saat, apabila jarak di antara zarah X dan zarah Y adalah maksimum.
Find the time, in seconds, when the distance between particle X and particle Y is maximum.

(c) Cari masa, dalam saat, apabila zarah X dan zarah Y bertemu. Seterusnya, cari jarak, dalam m,
dari titik O apabila pertemuan itu berlaku.
Find the time, in seconds, when the particles X and Y meet. Hence, find the distance, in m,
from point O when this occur..

72

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

JAWAPAN

BAB 1 – T4 BAB 3 – T4
o FUNGSI o SISTEM PERSAMAAN

Q1- (a) p = – 2q Q1- Tembikai = 0.6 kg,
Nanas = 0.5kg ,
(b) 0  f (x)  8 Mangga = 0.2kg

Q2- (a) a = 1, b=–2 Q2- 160,110 dan 80
Q3 - (2.29, 2.47) dan (15.71, dan -6.47)
(b) 0  y  15 Q4 - 138.24 m2 dan 96 m2

Q3- (a) 11 BAB 4 – T4
o INDEKS, SURD & LOGARITMA
(b) 450
Q4- (a) s = t + 21 Q1- xy2 = 3r+4s ; x2 = 32r−2x
y
4
(b) fg(x) = 2x −10 r = 2,s = 9
5 10
(c) x = 11
2 Q2 – (a) 0.6931
(b) a = 18,b = −2
BAB 2 – T4
o FUNGSI KUADRATIK Q3 – (a) 3p + 2q
5
Q1- (a) x = 2m + n , x = m + 2n
33 (b) (i) 1000 (ii) x = 13 , x = 5
4
(b) Julat x : 1  x  5
2 Q4- (a) x = 15
32
(c) 9t − 3
Q5- (a) x
Q2- (a) (i) −mn (ii) m = − − n (b) 2.64 minit
(b) – 6 < k < 6 

(c) 7.525

Q3- (a) s = 3

(b) 24

(c) Yes, AP and PB less then 14 cm

73

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

BAB 5 – T4 BAB 9 – T4
o JANJANG o PENYELESAIAN SEGITIGA

Q1- (a) (i) (ii) (iii) 100 Q1- (a) (i) 84.614 (ii) 38.88
(ii) 22 (b) 26.26
(b) (i) (c) (i) 56.411 (ii) 27.831
Q2- (a)
Q2- (a) (i) 13.56 (ii) 57.07
(b) (ii) (c) 139.90

Q3- (b) Q3- (a) 60.37
Q4- (b) (b) 13.53
(c) 71.199
(c)

BAB 6 – T4
o HUKUM LINEAR

Q1- (a) xy = ( p − 2) x2 + 2 BAB 10 – T4
o NOMBOR INDEKS
4
Q1- (a) x = 177, y = 120, z = 110
(b) t = 1 , p = 8 (b) p = RM0.35
2 (c) RM360,000

Q2- (a) 1 =  3m 1 2n  x − 3m 2 2n
y  −  −

(b) (i) m = 1 + 2 n Q2- (a) (i) 1.25 (ii) 107.14
3p 3 (b) 115
(c) 113.40
(ii) n = 3m + 1
2q

Q3- (b) (i) p = 49.12 k = 1.502

(ii) y = 7.943 BAB 1 – T5
Q4- (b) (i) (i) p = 0.26 (ii) q = −1.32 o SUKATAN MEMBULAT

Q5- (c) (i) y = 0.404 (ii) k = 0.25 Q1- 2.739 rad
Q2- (a) r = 6.75 ;  =16
(iii) h = −0.147
9
(b) 80.89
Q3- (a) 2.419
(b) 4.837
(c) 11.17
Q4- (b) 112.29

74

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

BAB 2 – T5 BAB 3 – T5
o PEMBEZAAN o PENGAMIRAN

Q1- (a) 3 Q1- (a) m = − 8
(b) 1.658 Q2- (a) 3 17

Q2- (a) k = 13 45
(b) − 13 (b) y = x2 − x3 − 2
256
3
Q3- (a) − 4 Q3- (a) a = − 2
(b) 4y = x + 8
(b) 11
Q4- (a) k = 4 Q4- (a) P(3,6)

(b) 30 (c) 24
Q5- (a) 5.55
Q5- (a) r = 20
(b) 0
(b) q Q6- (b) 2 
40
15
Q6- (b) 72.21
BAB 4 – T5
Q7- (a) 0.2 o PILIH ATUR & GABUNGAN

(b) 0.14 Q1- (a) (i) 45360 (ii) 2160
(b) 1440
Q8- (b) − 6.944
Q2- (a) 144
Q9- (a) 11 (b) 576

(b) 11y = - x + 134 Q3- (a) 63
(b) 175
(c) Q  − 5 ,16 13 
 3 27  Q4- (a) 162 162
(b) 28000

75

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

BAB 5 – T5 BAB 6 – T5
o TABURAN KEBARANGKALIAN o FUNGSI TRIGONOMETRI

Q1- (a) (i) n = 6 (ii) 0.3512 Q1- (b) 2t2 − 5t − 3
Q2- (a) 450,1350, 2250 ,3150
(b) (i) min = 0 , sisihan piawai = 1

(ii) 0.3413 (b) (ii) y= x , Number of solutions = 2
Q2- (a) (i) m = 40 (ii) 0.5252 π

(b) (i) p = 0.64 Q3- (b) 1
p
(ii) 0.1382
Q3- (a) (i)  = 1.5 (ii) k =1.151 (c) y= x + 3 , Number of solutions = 4
π
(b) (i) 59.29 (ii) 73.86%
Q4- (a)  = 15.3 ,  = 0.7042 Q4- (a) (i) p (ii) p +1

(b) 81.5% p + 3−3p2
(iii)
(c) 46 pokok
2

Q5- (a) (i) m = 0.06550 (ii) 206 (c) y = 2 − x ,Number of solutions = 2
2π
(b) (i) n =12 (ii) 1.7

Q6- (a) (i) 60.5 (ii) 46

(b) (i) 4 (ii) 17
5 625

Q7- (a) (i) (ii) 10 ; 2.739

(b) (i) 0.4364 (ii) 3.429

Q8- (a) (i) 80 (ii) 17
243 81

(b) (i) 2.53

(ii)13.83

76

Modul Akademi SPM 2021 Additional Mathematics

BAB 7 – T5 BAB 8 – T5
o PENGATURCARAAN LINEAR o KINEMATIK GERAKAN LINEAR

Q1- (a) x + y  12 Q1- (a) 10
(b) q = - 2.25 ; halaju minimum
3y > 2x (c) 2
(d) 13 1
1000x + 3000y  25000 6

(c) (i) (ii) RM3050 Q2- (a) 2
(b) 20
Q2- (a) 80x + 100y  42000 (c) − 7
x + y  100 3
2y  x
Q3- (a) 7
(c) 4

Q3- (a) 100x + 50y  5000 (b) 10 1
8
30x + 60y  1800
(c) t > 4
y  3x (d) 52 2

(c) (i) 15 (ii) RM21 000 3
Q4- (a) 27.5

(b) 11
3

(c) t = 8 ; s = 16

77