Den lille lysegule - om geometri og trigonometri

1. maj 2020 Version 1.00

Indholdsfortegnelse

Hvad er en geometri? ·············································································· 2

Arealer ································································································· 3
Kvadrater······················································································· 3
Rektangler ····················································································· 4
Trekanter ······················································································· 5
Parallelogram ················································································· 6
Rombe ·························································································· 7
Trapez··························································································· 8
Trekanter ······················································································· 9
Cirkel ···························································································14

Målestoksforhold ···················································································17

Rumfang ······························································································17
Kasse ··························································································17
Cylinder ························································································ 18
Kugle ···························································································21
Prisme ·························································································23
Kegle ···························································································24
Keglestub ·····················································································26
Pyramide ······················································································28
Pyramidestub ················································································30

Massefylde ···························································································32

Pythagoras ···························································································35

Trigonometri ·························································································39

Eksempler fra gamle eksamensopgaver ·····················································50

Optimeret til brug på VUC’s AVU niveau (F, E, D)

Side 1 af Erik Holm

© Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Geometri

Geometri, område i matematikken, som oprindelig omhandler
beskrivelse og måling af figurer; en af de ældste matematiske
discipliner. Navnet tilskrives den græske historiker Herodot, som i
400-t. f.Kr. skrev, at man i Egypten brugte geometri til at finde den
rigtige fordeling af arealerne efter Nilens oversvømmelser.

Som et begrebsapparat for beskrivelse og måling af figurer blev
geometri udviklet i de tidlige kulturer i Egypten og Mesopotamien.

Som en videnskab, der omfatter en samling af udsagn om ideale

figurer samt beviser for disse udsagn, blev geometrien grundlagt

omkring 600 f.Kr. i den græske kultur af Thales, der ifølge overleverin-
gen skal have bevist flere geometriske sætninger. Pythagoras danne-
de en berømt skole i 500-t. f.Kr. og fik sit navn knyttet til en pythago-
ræiske læresætning med kvadraterne på siderne i en retvinklet
trekant. Denne sætning var dog med sikkerhed kendt allere- de i
Babylonien ca. 1800 f.Kr.

Side 2 © Erik Holm

1. maj 2020 Arealer Version 1.00

Kvadrater er kvadrat er en firkant, hvor alle 4 sider er lige lange

og alle vinkler er rette (90°).

Formler: A = s2
O = 4s

A: Areal, O: omkreds og s: sidelængden

s

ss

s

Eksempler kvadrater

A = 52  A = 5 * 5  A = 25 cm2
O = 5 * 4  O = 20 cm

5 cm

Side 3 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Rektangler er rektangel er en firkant, hvor de modstående sider

er lige lange, og alle vinkler er rette (90°).

Formler: A = l * b

O = (l + b) * 2

A: Areal, O: omkreds, b: bredden og l: længden

l

b

Eksempler rektangler

Eksempel 1

A = 4 * 2  A = 8 cm2

O = (4 + 2) *2  O = 16 cm

Side 4 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempel 2: areal af bordplade

En bordplade har målene 80 cm * 50 cm, bestem arealet af bordpladen i m2.
Da målene er opgivet i cm og resultatet skal angives i m2, vil det altid være nemmest
(men ikke et krav) at starte med at omsætte cm målene til meter.

l = 80 cm  l = 0,8 m og b = 50 cm  b = 0,5 m
A = 0,8 * 0,5  A = 0,4 m2

Bestem også omkredsen i m.

O = (0,8 + 0,5) *2  O = 2,6 m

Kendes arealet og fx bredden, løses opgaven som en ligning - eksempel:
A = 9.600 cm2 og b = 80 cm - find længden.

9.600 = l · 80  9.600 / 80 = l  120 = l
Bordets længde er altså 120 cm

Eksempel 3: areal af flag

Et bordflag har målene som på tegning (i cm), bestem arealet af flaget i dm2.
l = 12 + 4 + 21 = 37 cm  l = 3,7 dm og b = 12 + 4 +12 = 28 cm  b = 2,8 dm

A = 3,7 · 2,8  A = 10,36 dm2
Areal af rød del:
(12 · 12) ·2 + (21 · 12) ·2 = 792 cm2
Areal af hvid del:
(12 · 4) ·3 + (21 · 4) + 4 · 4 = 244 cm2

Bestem også omkredsen i m.
O = (3,7 + 2,8) *2  O = 13 dm

Side 5 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Parallelogram

I geometrien er et parallelogram en firkant hvori modstående sider er parallelle og
lige lange. En firkant ABCD er altså et parallelogram hvis AB og CD er parallelle samt
BC og DA er parallelle, hvorfor de modstående vinkler er også lig hinanden.
Diagonalerne halverer hinanden. Arealet fås som højden gange grundlinjen.

Alle mål er i cm

Formel: A = h * g

A: Areal, h: højden og g: grundlinjen

A=3*9
A = 27 cm2

Side 6 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Rombe

En rombe (ses undertiden stavet rhombe) er et parallelogram, hvor alle fire sider har
samme længde. Det gælder, at to modstående sider er parallelle.

De modstående vinkler er lige store og diagonalerne er vinkelrettei forhold til hinan-
den.

BC

D1=8

D2=13,86

Alle mål er i cm
AD

Formel: A = ½ · d1 · d2

A: Areal og d1 og d2: diagonaler

A = 8 * 13,86 
A = 110,88 cm2

Side 7 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Trapez

I geometrien er en trapez en firkant hvor ét par sider er parallelle.
Ligesom ved trekanter, er der forskellige former—se herunder.

Formel: A = ½ * (a + b) * h (gælder for alle former)

A: Areal, h: højden og a og b: de parallelle sider

B a=5 C

h = 4,5 ”Alm.” trapez Alle mål er i cm

A = ½ (5 + 9) * 4,5 
A = 31,5 cm2

A b=9 C D
B a = 6,3
A = ½ (6,3+ 9) * 4 
h=4 Retvinklet trapez A = 30,6 cm2

A b=9 D

B a = 3,8 C

Ligebenet trapez A = ½ (3,8 + 9) * 4,2 
A = 26,88 cm2
h = 4,2

A b=9 D

Side 8 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Trekanter En trekant er i geometrisk

forstand en polygon med tre vinkler (hjørner)
og tre sider.

Herunder kan du se de
forskellige typer trekanter
vi arbejder med.

B

c a A
b
Ligesidet

|a|=|b|=|c|

Alle vinkler er 60°

A bC

c

Retvinklet
 C= 90°

Ligebenet C a B

|a|=|b| Spids vinkel (vinklen < 90°)
Alle vinkler er
spidse (<90°)

Vinkelsummen i en Stump vinkel (vinklen > 90°)
trekant er ALTID 380°
© Erik Holm
Side 9

1. maj 2020 Linjer i trekanter Version 1.00
O
Medianer i en trekant

En median forbinder en vinkel-
spids med den modstående si-
des midtpunkt. Medianerne
skærer hinanden i samme
punkt O.

En median deler trekanten i de-
le der er lige store.

Vinkelhalveringslinjer

Vinkelhalveringslinjerne skærer
altid hinanden i det samme
punkt.

Vinkelhalveringslinjerne skæ-
ringspunkt er centrum for tre-
kantens indskrevne cirkel.

Midtnormaler

Midtnormalernes er linjer, der
deler trekantens sider i to lige
store stykker.

Midtnormalernes skærings-
punkt er centrum for trekan-
tens omskrevne cirkel.

Side 10 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Vilkårlige trekanter

Formler: A = ½ * h * g

A: Areal, b: bredden og l: længden

Herons:

hvor s er trekantens halve omkreds, dvs.

(Herons formel bruges når man kender de 3
sidelængder og IKKE højden.)

Eksempler vilkårlige trekanter

Eksempel 1

Alle mål er i cm h1, h2 og h3 er alle højder i trekanten
og kan hver i sær bruges sammen
med deres respektive grundlinje til
at finde arealet af trekanten:

A = ½ · h1 · b 
A = ½ · 3,55 · 3,65 
A = 6,48 cm2

A = ½ · h2 · a 
A = ½ · 3,7 · 3,5 
A = 6,48 cm2

A = ½ · h3 · c 
A = ½ · 2,7· 4,8 
A = 6,48 cm2

Side 11 © Erik Holm

1. maj 2020 Eksempel 2 Version 1.00

B

Alle mål er i cm

c h=5,77
a

A b=3 C

h er højden i trekant ABC, da vinkel C er stump sker der det, at højden ’falder uden for
trekanten’. Man er her nødt til at forlænge |AC| (se tegning) for at kunne tegne den
vinkelrette linje fra vinklen B, men ellers beregnes arealet på samme måde.

A = ½ · h · g  A = ½ · 3 · 5,77  A = 8,655 cm2

Eksempel 3

Areal beregnet med HERON’s formel:

B Alle mål er i cm
a = 8,51
c = 7,28
C
A
c= 14,77

Side 12 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempel retvinklede trekant

Skal arealet findes i en retvinklet trekant, gøres dette på samme måde som
vilkårlige trekanter, blot vil 2 af højderne være sammenfaldende med de 2 af
trekantens sider.

A

b=h3=2,86 c=5,77
h2=2,48

Alle mål er i cm

C a=h1=5,00 B

A1 = ½ · h1 · b  Som det kan ses på illustrationen, kan der ”gemme”
A1 = ½ · 5,00· 2,86  sig retvinklede trekanter i rumlige figurer
A1 ≈ 7,15 cm2

A2= ½ · h2 · a  © Erik Holm
A2 = ½ · 2,86 · 5,00
A2 = 7,15 cm2

A3 = ½ · h2 · c 
A3 = ½ · 2,48 · 5,77 
A3 = 7,15 cm2

Side 13

1. maj 2020 Version 1.00

Cirkel

Lukket kurve bestående af alle de punkter i en given plan, som har den samme af-
stand fra et givet punkt i planen, kaldet cirklens centrum. En cirkel afgrænser en
cirkelskive, for hvilken den omtales som periferien. Et linjestykke, der forbinder cen-
trum i en cirkel med et punkt på cirklen, kaldes en radius i cirklen; radius er også
navnet for den fælles længde af alle radierne. Et stykke af en cirkel begrænset af to
radier kaldes et cirkeludsnit eller en cirkelsektor.

Cirkelperiferiren

Formler: A = π * r2
O = 2 * π * r eller O = π * d

A: Areal, O = omkreds, r: radius og d: diameter

Side 14 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler cirkler

Eksempel 1 skilt

Alle mål er i cm

Diameteren opgives til 50 cm, radius er derfor 50/2 = 25 cm
A = π · 252  A = π · 625  A = 1.963,50 cm2
O = π · 50  O = 157,08 cm

Side 15 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Areal af sammensatte figurer

Side 16 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Side 17 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler cirkler

Eksempel 2 Rundetårn (platform)

Platformens areal
opgives til 104,5m2
Vi ønsker at finde
radius og omkreds.

A = π · r2 
104,5 = π · r2 
104,5 / π = r2 
33,26 = r2 
Kvadratrod(33,26) = r 

Radius = 5,77m

O=2·π·r
O = 2 · π · 5,77 
Omkreds = 36,25 m

Platformen se ovenfra.

Side 18 © Erik Holm

Målestoksforhold1. maj 2020 Version 1.00

Størrelsesforhold, også kaldet målestoksforhold og skala, angiver
forholdet mellem en afbildet ting, distance, område etc. og virke-
ligheden.

Størrelsesforhold bruger i stort omfang indenfor modelbygning,

arkitektur og kortlægning (samt mikroskopering).

Når man arbejder med
målestoksforhold SKAL
alle mål regnes om til cm.

De 3 formler vedr. målestoksforhold ses herunder:

Side 19 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler målestoksforhold

Eksempel 1 afstand i virkeligheden

1 : 150.000

Afstanden på et kort måles til 6 cm og målestoksforholdet opgives til 1 : 150.000
a. Hvor lang er afstanden i virkeligheden?

Vi skal bruge formlen:

6 · 150.000 = 900.000 cm
900.000 cm = 9 km

Der er altså 9 km mellem de 2 byer i virkeligheden

Side 20 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler målestoksforhold

Eksempel 2 afstand på kort/tegning

7m

5m

På skitsen herover ses en dagligstue, i virkeligheden er stuen 7 meter lang og
5 meter bred. Vi vil gerne lave en målfast (en tegning hvor man er sikker på at målene er korrekte)
tegning i målestoksforholdet 1 : 50

a. Hvor lang og bred skal stuen være på den målfaste tegning?
Vi skal bruge formlen:

De 7 m skal først laves om til cm: 7 · 100 = 700 cm
700 / 50 = 14 cm
5 m laves om til cm: 5 · 100 = 500 cm
500 / 50 = 10 cm

Stuen skal altså tegnes med en længde på 14 cm og 10 cm bred

Side 21 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler målestoksforhold

Eksempel 3 Målestoksforhold

Afstanden fra Faxe til Faxe Ladeplads måles til 16 cm og den virkelige afstand angives
til 5 km (i fugleflugtslinje)
a. Hvor lang er afstanden i virkeligheden?

Vi skal bruge formlen:

De 5 km skal først laves om til cm: 5 · 1000 = 5.000 m og 5000 * 100 = 500.000 cm
500.000 / 16 = 31250 cm

Målestoksforholdet er altså 1 : 31.250

Det er et lidt mærkeligt målestoksforhold, men det det er fordi det er taget fra Google Maps.

Side 22 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler målestoksforhold

Eksempel 4 forstørrelse

Målestoksforhold kan også bruges til at forstørre ting, tænk blot på en kikkert.

Forstørrelse
Hvis der står 8x42 betyder det første tal
hvor mange gange kikkerten forstørrer
et objekt. Ser du fx på en fugl der er 100
meter væk, vil du opfatte fuglen som
12,5 meter væk (formel: 100/8=12,5).

Ovenfor er en skitse af en møtrik set fra oven!
Tegn møtrikken i målestoksforholdet 3 : 1 (brug lineal, vinkelmåler og passer - eller fx GeoGebra)
For at finde de mål der skal bruges på tegning, anvendes formlen:

Cirklens radius: 1 · 3 = 3 cm og afstand til yderhjørne: 2 · 3 = 6 cm

Her se
møtrikken

tegnet i
GeoGebra.

Side 23 © Erik Holm

1. maj 2020 Rumfang Version 1.00

Kasse er en tredimensional, lukket, geometrisk figur (et polyeder) med otte

hjørner og tolv kanter placeret retvinklet tre og tre. Der er seks sideflader.

Alle mål er i cm

L = 15

h = 7,5

b=9

Formler: V = l · b · h
O=2·l·h+2·l·b+2·b·h

V: Rumfang, O = overflade (areal), l: længde, h: højde og b: bredde

V = 15 · 9 · 7,5  V = 1012,5 cm3
O = 2 · 15 · 7,5 + 2 · 15 · 9 + 2 · 9 · 7,5  O = 630 cm2

Side 24 © Erik Holm

1. maj 2020 Cylinder Version 1.00

En cylinder tredimensional form eller figur med to lige store, cirkelrunde ende flader
forbundet af en lige sideflade som står i en ret vinkel på ende fladerne.

Alle mål er i cm

h = 7,5

r= 3,2

Formler: V = π · r2 · h

O=2·π·r

V: Rumfang, O = overfladeareal (krumme overflade)
r: radius, h: højde

V = π · 3,22 · 7,5  V = 241,27 cm3
O = 2 · π · 3,2  O = 20,11 cm2

Side 25 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler cylinder

Eksempel 1 glas

Som de kan ses i annoncen herover har et bestemt cylinderglas diameteren 6,5 cm og
højden 16 cm.
Opgave: Hvor meget kan glasset indeholde?
V = π · r2 · h  V = π · (6,5/2)2 · 16  V ≈ 530,93 cm3 
V = 530,93 ml  V ≈ 53 cl  V ≈ 5,3 dl  V ≈ 0,53 l

Opgave: Hvor højt står vandet, hvis der fyldes 170 cm3 i?
V = π · r2 · h  170(cm3) = π · (6,5/2)2 · X  170(ml) = π · 10,5625 · X 
170 = π · 10,5625 · X  170 = π · 10,5625 · X  17 = 33,18X  X = 5,12cm
Vandet står altså ca. 5,12 cm højt i glasset.

Side 26 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler cylinder

Eksempel 2 motor

Slagvolumen (motor)

Slagvolumen er det rumfang, en motors cylindre tilsammen gen-
nemløber i løbet af en cyklus.

Slagvolumen angives ofte i kubikcentimeter eller liter, og hvis man
for eksempel har 4 cylindre med hver 500 kubikcentimeters slagvolumen, har man
en 2,0-liters motor.

Slagvolumen beregnes basalt set ved at tage cylinderens areal (boring) (π · r2) og
gange dette tal med den længde, stemplet bevæger sig fra laveste til højeste punkt
(slaglængde) (h).

En motor har en boringen (se ovenfor) på 12 cm2 og en slaglængde på 25 cm ,
motoren har 3 cylindre.

Opgave: Hvor stor er motoren?
V = π · r2 · h  V = 12 · 25  V ≈ 300 cm3
Motorens størrelse er på 300 · 3 = 900 cm3, hvilket svare til 0,9l

Side 27 © Erik Holm

1. maj 2020 Kugle Version 1.00

En kugle er en rumgeometrisk figur. Der er mange eksempler på omtrent kugleformede
elementer; billardkugle, planeten Jorden (er dog lidt fladtrykt pga. rotationen), Solen,
kuglerne i et kugleleje.

Kugleoverfladen eller kugleperiferien har uendelig mange sammenhængende punkter,
som ligger i samme afstand fra et bestemt punkt kaldet centrum. Eksempler på om-
trentlige kugleskaller; bordtennisbold, sæbeboble, fodbold, basketballbold, håndbold.

En kugles størrelse angives af dens radius r, som netop er afstanden
mellem centrum og dens overflade. Afstanden fra et punkt på over-
fladen gennem centrum til et andet punkt på overfladen kaldes
diameteren og har længden to gange radius.

Alle mål er i cm

r= 3,2 Formler: V = π · r3

O = 4 · π · r2

V: Rumfang
O = overfladeareal
r: radius

V = 4/3 · π · 3,23  V = 137,26 cm3
O = 4 · π · 3,22  O = 128,67 cm2

Side 28 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler kugle

Eksempel 1 Bowling og skål

25 cm Ø

Diameter = 25 cm radius = 25/2 = 12,5 cm

V = 4/3 · π · 12,53  V ≈ 8.181,23cm3

Hvis kuglen var hul ville den kunne rumme 8,18 liter

(For de fleste er det nemmere at forstå et litermål frem for cm3)

O = 4 · π · 12,52  O ≈ 1963,50cm2

Diameter = 15 cm radius = 15/2 = 7,5 cm

V = 4/3 · π · 7,53 / 2  V ≈ 844 cm3  V ≈ 0,8 liter

(der divideres med 2, da en skål kun er en halv kugle)

Side 29 © Erik Holm

1. maj 2020 Prisme Version 1.00

prisme, geometrisk figur, der har to parallelle, kongruente polygoner som ende flader
og et antal parallelogrammer som sideflader (lige så mange, som der er kanter i ende
fladen). Prismet er et polyeder og fremkommer mellem to plane, parallelle snit i et
prismatisk rør. Det kaldes n-sidet, hvis ende fladerne
(grundfladerne) er n-kanter. Prismet er ret, når sidefladerne
er vinkelrette på grundfladerne, og regulært, når yderligere
grundfladen er en regulær polygon.

Alle mål er i cm

Prisme 1 Prisme 2
h= 3,9 h= 5,4

G= 3,2 cm2 G= 8,72 cm2

Formel: V = G · h

V: Rumfang og G = grund fladens areal

Prisme 1

V = 3,2 · 3,9  V ≈ 12,48 cm3

Prisme 2

V = 8,72 · 5,4  V ≈ 47,088 cm3

Side 30 © Erik Holm

1. maj 2020 Kegle Version 1.00

kegle, figur i rummet karakteriseret af en plan kurve, ledekurven, og et toppunkt uden
for ledekurvens plan. Keglen består af grundfladen, der har ledekurven som rand, og
alle linjestykker (kaldet frembringere) fra punkter på kurven til toppunktet.
Hvis ledekurven er en cirkel, kaldes keglen cirkulær; er linjestykket fra toppunktet til
cirklens centrum desuden vinkelret på cirklens plan, har man en ret, cirkulær kegle eller
en omdrejningskegle (da den kan fås ved at dreje en retvinklet trekant 360° om en
katete).
Keglens højde er den vinkelrette afstand fra toppunktet til grundfladens plan.
Rumfanget af en kegle er en tredjedel af produktet af grundfladens areal og højden.

Bortskæres spidsen af en kegle med en plan parallel med
grundfladen, fremkommer en keglestub. Se også kegleflade.

Alle mål er i cm Formel: R = 1 · h· G
3

V: Rumfang, h: højde og

G = grund fladens areal

s = sidelængde (kan beregnes vha.
Pythagoras - se senere)

h = 6,39 V = 1/3 · 6,35 · (π · r2) 
V = 2,13 · 36,32 ≈ 77,35 cm3
s

r = 3,4

Side 31 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler kegle

Eksempel 1 Isvaffel

d=5 Diameter = 5 cm  radius = 5/2 = 2,5 cm
h = 12 Højde = 12 cm

V = 1/3 · 12 · π · 2,52 
V ≈ 78,54 cm3  V = 78,54 ml

Eksempel 2 keglelys

Radius = 7 cm
Højde = 22 cm

V = 1/3 · 22 · π · 72 
V ≈ 1129 cm3 
V = 1129 ml 
V ≈1,13 liter stearin

Side 32 © Erik Holm

1. maj 2020 Keglestub Version 1.00

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af. Alle mål er i cm
r = 2,8
Formel: V = 1 · h ·  · (R2 + r2 + R·r)
3 R = 6,2

V: Rumfang, h: højde,

R: store grundflades radius h = 8,3

r: lille grundflades radius

V = 1/3 · 8,3 · π · (6,22 + 2,82 + 6,5 · 2,8)  V ≈ 553,14 cm3

Eksempler keglestub

Eksempel 1 Spand

R = 20 cm

V = 1/3 · 42 · π · (202 + 122 + 20 · 12)  h = 42 cm
V ≈ 34.482 cm3  V ≈ 34 liter

r = 12 cm

Side 33 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Billeder af keglestubformede ting (nogle tilnærmelsesvis).

Døbefont

Denne del af
flasken

Side 34 © Erik Holm

1. maj 2020 Pyramide Version 1.00

pyramide, i rumgeometri en figur (polyeder), der fremkommer, når man fra et punkt T
uden for en polygons plan tegner rette linjestykker til polygonens vinkelspidser. Linje-
stykkerne kaldes pyramidens sidekanter, polygonen dens grundflade, og T dens top-
punkt. En sideflade er en trekant med toppunkt i T og bestående af en side i grundfla-
den og to sidekanter. Pyramidens højde er linjestykket TT′, hvor T′ er projektionen af T
på grundfladens plan.
Pyramiden kaldes regulær, når grundfladen er en regulær
polygon, og T′ falder i grundfladens centrum. Pyramiden
kaldes n-sidet, når grundfladen er en n-kant. Et tetraeder
er en regulær tresidet pyramide, begrænset af fire lige
store ligesidede trekanter.

Alle mål er i cm

Formel: V = 1 · h · G
3

V: Rumfang, h: højde og h = 9,85
h = 7,5
G = grund fladens areal

G=18 cm2

G=13 cm2

Pyramide 1  V = 59,1 cm3
V = 1/3 · 9,85 · 18

Pyramide 2  V ≈ 32,72 cm3
V = 1/3 · 7,55 · 13

Side 35 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler Pyramide

Eksempel 1 Keopspyramiden

Keopspyramiden er 138 meter høj og 230 meter i både bredde og længde.

Keopspyramidens rumfang

V = 1/3 · 138 · 2302  V = 2.433.400 m3

Side 36 © Erik Holm

1. maj 2020 Pyramidestub Version 1.00

pyramidestub, rumgeometrisk figur, der fremkommer ved Alle mål er i cm
at skære toppen af en pyramide med en plan parallel med
pyramidens grundflade.

b1 = 4

h = 7,65

a1=8

Formel:

V: Rumfang, h: højde, g: lille grundflades areal og
G: store grundflades areal

Pyramidestubbens rumfang:

 V ≈ 168,02 cm3

Side 37 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler Pyramidestub

Eksempel 1 Smørbøtte

Alle mål er i cm

h = 4,5

Smørbøttens rumfang:

 V ≈ 320 cm3

Andre eksempler

Side 38 © Erik Holm

1. maj 2020 Massefylde Version 1.00

Massefylde er forholdet mellem et stofs masse og dets rumfang. Massefylden
er tætheden af massen per rumfang, en liter vand har større tæthed end en
liter luft og derved større massefylde. Massefylde omtales også som densitet
eller massetæthed. Vægtfylde er en ældre betegnelse, som dog stadig er i al-
mindelig brug uden for fagkredse, og rumvægt anvendes udelukkende som
kornmål.

Massefylden er temperaturafhængig, da de fleste stoffer i nogen udstrækning
udvider sig ved opvarmning og trækker sig sammen ved afkøling, uden at massen ændres. For gas-
sers vedkommende er massefylden også trykafhængig, idet (ideale) gassers volumen er proportio-
nalt med produktet af tryk og temperatur. Når man angiver massefylden, bør man derfor også altid
angive ved hvilken temperatur, og for gassers vedkommende tillige ved hvilket tryk, massefylden er
målt. Tidligere benyttede man et aræometer til at måle massefylden.

Rumfanget er volumen og angives i liter, kubikmeter eller andre enheder til måling af rumfang.

Massen angives som gram, kilogram eller andre enheder til at måle vægt.
g/cm3 - kg/dm3 - ton/m3

er alle eksempler på angivelse af massefylde - eksempel:

Vands massefylde er 1 (ved 3,8 grader) altså

1 g/cm3 - 1 kg/dm3 - 1 ton/m3

Vi ser altså, at ligegyldig hvilken enheder vi vælger, så er massefylden, selvfølgelig, ens.

Tabel over nogle stoffers massefylde:

Stof Form Massefylde

Stof Form Massefylde Kviksølv flydende 13,6

Guld fast 19,3 Vand (ved stuetemp.) flydende 0,998

Uran fast 18,7 Tungt vand flydende 1,103

Bly fast 11,34 Is fast 0,917

Sølv fast 10,5 Vand flydende (ved 3,8 grader) 1,0

Kobber fast 8,933 Saltvand fra flydende med 1,26
7,88 Det Døde Hav 31,5% havsalt
Jern (rent) fast

Tin fast 7,30 Olie flydende 0,8

Zink fast 7,13 Etanol (sprit) flydende 0,789

Titan fast 4,49 Benzin flydende 0,71-0,77

Aluminium fast 2,7 Kuldioxid (CO2) Gas 0,00198

Svovldioxid Gas 0,00293 Atmosfærisk luft Gas 0,00129

Side 39 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Hvorfor er is lettere end vand?

Når vårmt vånd er lettere end koldt vånd, hvorfor flyder is så ovenpå?
Få svåret HER.

Formler til beregning åf måssefylde, vægt eller rumfång:

Eksempler Massefylde

Eksempel 1 træklodser

Nogle forskellige træsorters massefylde: Avnbøg: 0,640 g/cm3, Bøg: 0,58 g/cm3, Ask: 0,57 g/
cm3, Eg: 0,57 g/cm3, Birk: 0,54 g/cm3, El: 0,44 g/cm3, Skovfyr: 0,43 g/cm3, Gran: 0,37 g/cm3

Find massefylden af en træklods, som har Der må altså
massen m = 216 g og rumfanget V = 400 cm3 være tale om

en træklods
lavet af Birk

Find vægten af en træklods der er lavet af
Skovfyr og har rumfanget V = 400 cm3

Find rumfanget af en træklods der er lavet af
Avnbøg og har som vejer 256 g

Side 40 © Erik Holm

1. maj 2020 Eksempler Massefylde Version 1.00

Eksempel 2 Armbånd

Vægten af et armbånd.
Armbåndet er cirkulært. Det har en indre diameter på 6,5 cm og en
ydre diameter på 6,7 cm.
Bredden af armbåndet er 1,2 cm.

Hvor meget vejer armbåndet hvis det er lavet af sølv med en massefylde på 10,5 eller guld med en
massefylde på 19,35

Armbåndets ydre rumfang: V(y) = π · r2 · h  V(y) = π · (6,7/2)2 · 1,2  V(y) ≈ 42,30 cm3
Armbåndets indre rumfang: V(i) = π · r2 · h  V(i) = π · (6,5/2)2 · 1,2  V(i) ≈ 39,82 cm3
Armbåndets rumfang: 42,30 - 39,82 = 2,48 cm3

Sølvarmbåndets vægt: 2,48 · 10,5 = 26,04 g

Guldarmbåndets vægt: 2,48 · 19,35 ≈ 47,99 g

Eksempler Massefylde

Eksempel 3 Alkohol

En flaske snaps rummer 750 ml. Heraf er 340 ml alkohol. Resten er stort set vand.

Alkohols massefylde er 0,8 .

a. Hvor mange gram alkohol er der i flasken?
1 ml = 1 cm3 - så alkoholen vejer 340 · 0,8 = 272 g

b. b. Hvor meget vejer snapsen i flasken i alt?
(750 - 340) · 0,998 = 409,18 + 272 = 681,18 g

c. Hvad er snapsens massefylde?
681,18 / 750 = 0,908 g/cm3

Side 41 © Erik Holm

1. maj 2020 Pythagoras Version 1.00

Den pythagoræiske læresætning beskriver forholdet mellem
sidelængderne i en retvinklet trekant. Det er en af de
grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri. Den siger,
at i alle retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrat
lig hypotenusens kvadrat. Sætningen kan også udtrykkes som
ligning, idet kateternes længder benævnes a og b og
hypotenusens benævnes c, ligesom på illustrationen:

a2 + b2 = c2

Det er derfor muligt at beregne en sidelængde i en retvinklet trekant, når de to an-
dre sidelængder er kendte. Fx findes hypotenusen c ved at tage kvadratroden af
summen af a og b’s kvadrater, altså:

Læresætningen er fejlagtigt opkaldt efter Pythagoras da han var den første til at
udbrede den, ikke opdage den.

Pythagoras' omvendte sætning

Den omvendte sætning af den Pythagoræiske læresætning er også
sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder:
a2 + b2 = c2, så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

Ved at anvende ligningsværktøjet, kan vi finde de afledte formler (til at finde a og b). Disse bliver:

og

Side 42 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler Pythagoras

Eksempel 1

A a2 + b2 = c2
62 + 4,22 = c2
b = 4,2 36 + 17,64 = c2
C 53,64 = c2

A =c
7,32 = c
b=?
C a=6 B

A a2 + b2 = c2
52 + b2 = 92
b = 4,8 25 + b2= 91
C b2= 91 - 25
b2= 66

b=

a=5 b= 8,12

B

a=? a2 + b2 = c2
a2 + 4,82 = 7,92
Side 43 a2 + 23,04= 62,41

a2= 62,41 - 23,04
b2= 39,37
b=
b= 8,12

B

© Erik Holm

1. maj 2020 Eksempel 2 Version 1.00

A

b = 4,2

? a=6 B
C

Spørgsmål: Er ovenstående trekant en retvinklet trekant?

a2 + b2 = c2  62 + 4,22 = 82  36 + 17,64 = 64  53,64 = 64
Allerede nu kan vi se at det IKKE er en retvinklet trekant. Godt nok siger
formlen at vi skal tage kvadratroden af både venstre og højre side, men da
tallene IKKE er en vil roduddragningen heller ikke blive det.

Ovenstående kan anvendes i praksis (se nedenstående eksempler):

Eksempel 1 Eksempel 2

Eksempel 3

Skiltet til højre betyder at vejen stiger med 10 %. En stigning på 10 %
betyder, at når man bevæger sig 100 m, kommer man 10 m højere op.
Man kan tegne en skitse som herunder

c 10

a b m
 

Side 44 © Erik Holm

1. maj 2020 Eksempel 4 Version 1.00

Vi vil se på et eksempel på anvendelse af Pythagoras sætning. En pyramide
er fremstillet af fire trekanter. Hver trekant er 10 meter på hver side. Hvor
høj er pyramiden?

Der er ingen retvink-
lede trekanter i teg-
ningen af pyramiden!
Så vi må lave en geo-
metrisk model, hvori
der optræder retvink-
lede trekanter, som vi

kan regne på.

Vi deler en af trekanterne i sidefladen op i to retvinklede trekanter. Den ene er farvet
rød. Så indlægger vi en retvinklet trekant ud fra den røde trekants skrå katete (blå lin-
je) og pyramidens højde. Dette er den grønne trekant. Ved hjælp af Pythagoras an-
vendt på først den grønne trekant og så den røde kan vi udregne pyramidens højde.

10 m

5m 5m

Blå linjes længde: © Erik Holm

Højden:

Pyramiden er altså ca. 7 m høj

Side 45

1. maj 2020 Trigonometri Version 1.00

(i retvinklede trekanter)

Trigonometri (fra græsk trigōnon= tre vinkler og me-
tro = måle) er en gren af matematikken der behandler
relationen mellem sider og vinkleri trekanter. Hertil er
bl.a. knyttet de trigonometriske funktioner sinus
(forkortet sin), cosinus (forkortet cos) og tangens
(forkortet tan) De to funktioner sinus og cosinus er defineret ud fra
enhedscirklen, de øvrige er defineret ud fra sinus og cosinus.

Herunder ser du enhedscirklen - klik på tegningen for at får en videopræsentation

Den Pythagoræiske læresætning (se de foregående sider)
er faktisk også en del af trigonometrien.

Side 46 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

De trigonometriske formler.

Når man kender 2 andre sider eller vinkler (ud over den rette vinkel). I tabellen her-
under kan man finde den formel man skal bruge ud fra de kendte oplysninger.

Den første kolonne bruges når det er en vinkel der skal findes og de 2 andre når det
er sidelængder:

 hos = hyp • Cos V 

 mod = hyp • Sin V 

 mod = hos • Tan V 

Alt efter tempera-
ment kan man i
stedet benytte sig
af formelsamlingen
her til højre.

HUSK: den
rette vinkel
benævnes
altid C

Side 47 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

A Eksempler Trigonometri

Eksempel 1 (find sidelængder)

Når vi kender vinkel B kaldes siden Vi skal finde længden af hypotenusen,
nå vi kigger i skemaet ser vi at der er
b for modsatte side og siden a 2 formler der begynder med hyp,
for den hosliggende side. men da det er mod vi også kender
skal vi bruge:
mod = b = 4,2
hyp = 4,2 / Sin(32)  hyp = 7,93

B = 32° B

C Vi skal finde længden af modståen-
A de side, nå vi kigger i skemaet ser vi

mod = b = ? at der er 2 formler der begynder med

mod , men da det er hos vi også ken-

der skal vi bruge: mod = hos • Tan V

hos = a = 5,6 B = 29° mod = 5,6 • Tan(29)  mod = 3,1
B
C
A Når vi kender vinkel A kaldes siden Vi skal finde længden af modståen-
de side, nå vi kigger i skemaet ser vi
A = 40° a for modsatte side og siden b
for den hosliggende side. at der er 2 formler der begynder med

mod , men da det er hyp vi også ken-

der skal vi bruge: mod = hyp • Sin V

mod = 5,6 • Tan(29)  mod = 3,1

mod = a = ? B C
C

Side 48 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

A Eksempler Trigonometri

Eksempel 2 (find vinkler)

Vi skal finde A, da vi kender B
behøves vi ikke andet (C er jo ret
og vinkelsummen i en trekant er
altid 180°).

A = 180 - 90 - 32  A = 58°

B = 32° B

C Når vi skal finde vinkel B kaldes si- Vi skal finde B. I tabellen skal vi
A den b for modsatte side og siden a
for den hosliggende side. så bruge en af formlerne i før-
ste kolonne, da vi kender mod
mod = b = 4,1 og hos skal vi bruge formlen:

36,21°

hos = a = 5,6 B = ?° B

C Når vi kender vinkel A kaldes siden Vi skal finde A. I tabellen skal vi
A a for modsatte side og siden b for
den hosliggende side. så bruge en af formlerne i før-
A = ?° ste kolonne, da vi kender hos
og hyp skal vi bruge formlen:

hos = b = 4,6 68,04°

B
C

Side 49 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler Trigonometri

Eksempel 3 (praktisk eksempel - stiger)

Tegningen viser en stige, der står op ad en mur.

Stiger skal helst stå med en hældning på 75º.

a: En stige er 5 m lang.
Hvor højt kan stigen nå op på muren (a), med en hældning på 75º?
Vi kender =75° og c = 5m, vi skal bruge: mod = hyp • Sin V 

a = 5 • Sin(75)  a = 4,83m. Stigen kan altså nå 4,83m op ad muren.

b: Hvor lang (c) skal en stige være, hvis den skal kunne nå 4 m op og have en

hældning på 75º?

Vi kender =75° og a = 4m, vi skal bruge: 

c = 4 / Sin(75)  c = 4,14m. Stigen skal altså være mindst 4,14m.

c: En stige er 420 cm lang, og den når 4 m op ad muren. Hvad er hældning (A)? B

Vi kender c = 4,2m og a = 4m, vi skal bruge: 

= sin-1(4/4,2)  = 72,25°. Stigens hældning er altså 72,25°.

d: En stige når 3,5 m op ad muren, og bunden af stigen står 95 cm fra muren.

Hvad er hældningen (A)? ca
A bC
Vi kender a = 3,5m og b =0,95m, vi skal bruge: 

= tan-1(3,5/0,95)  = 74,81°. Stigens hældning er altså 74,81°.

En A-stige (en Wiener-stige) har de viste mål.

Benenes længde er 2,25 m og afstanden mellem benene er 140 cm.

Find benenes hældning og stigens højde.

a: Hældningen. Vi kender hyp = 2,25 og hos = 0,7 (halvdelen af 140 cm).

Vi skal bruge:  = cos-1(0,7/2,25)

 = 71,87°. Stigens hældning er altså 71,87°.

b: Stigens højde. Vi kender hyp = 2,25 og hos = 0,7
Vi skal bruge: a2 + b2 = c2 (Pythagoras) 
a2 + 0,72 = 2,252  a2 = 5,0625 - 0,49  a2 = 4,5725 
 a = 2,14

Stigens højde er altså 2,14 m © Erik Holm

Side 50