Den lille lysegule - om geometri og trigonometri

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempel 4 (praktisk eksempel - op ad bakke)

En cyklist er på vej op ad en bakke. Bakken er indtegnet som en retvinklet trekant ABC og angives
her til at have en stigning på 12%.
Man kan angive en bakkes stigning på to måder:

1. Som et antal grader, antal grader er størrelsen af A.

2. Som et antal procent. Antal procent er den lodrette stigning som procent af den kørte
strækning. Altså a som procent af c.

Når stigningen er 12 % betyder det: når man har cyklet 100 m (c),
er man kommet 12 højere op (a).

a: Find stigningen på tegningen målt i grader.

Vi kender c = 100m og a = 12m, vi skal bruge: 
= sin-1(12/100)  ≈ 6,9°

En anden cyklist kører op ad en bakke, der er opgivet til at have en vinkel på 12°.
b: Find stigningen som %.

Vi sætter tallene ind i en retvinklet trekant:    og c = 100m.
Vi skal bruge: mod = hyp • Sin V  mod = 100 • Sin(12)  mod ≈20,8
Nå a ≈20,8 og c = 100m er det ensbetydende med at stigningen er 20,8%

Med andre ord, kender man vinklen, tages sinus til tallet og ganges med 100:
sin(12) = 0,2079 · 100 ≈ 20,8%

Side 51 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Eksempler fra gamle eksamensopgaver

Fra Matematik trin 2,
Almen voksenuddannelse,
Onsdag den 20. maj 2009

Side 52 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

5.1 Tegning lavet i GeoGebra

5.2 Der lægges en retvinklet trekant ind i figuren, og her-
efter løses opgaven med Pythagoras

Højden er 20 mm og grundlinjen 10 mm

a2 + b2 = c2 
202 + 102 = c2 
500 = c2 
22,36 = c

5.3 Formlen for rumfanget opgives som:

Målene på sukkertoppen laves om til cm da vi jo ved at 1 cm3 = 1 ml

V = 1/21 ·  · 7 · (5 · 1,32 + 7 · 12 + 5 · 1,3 · 1) 

V ≈ 22,99 ml

5.4 Massefylden findes ved at bruge formlen:
(vægten opgives til 30 g)

Massefylden = 30/22,99  Massefylden ≈ 1,3g/cm3

Side 53 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Side 54 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

3.1 Tegning
lavet i
GeoGebra

3.2 Tegning betragtes som to trekanter, på begge anvendes Herons formel.

∆ABD: s = (122 + 127,8 + 124) / 2  s = 186,9

∆BCD A ≈ 6715 m2 
s = (45,8 + 104 + 127,8) / 2  s = 138,8 

A ≈ 2223 m2

Areal i alt: 6715 + 2223 = 8938 m2

3.4 Arealet af den runde gård opgives til 1615 m2 - 1 mm regn svarer til 1 liter vand
på et areal af 1 m2.

Der falder: 13000/1615 = 8mm regn den pågældende dag

Side 55 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Side 56 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

3.1 Den vejer: 4 · pi · 2,13 · 1,136 ≈ 44,1 g
3

3.2 Det vises: (1722 −1692 ) (afledt Pythagoras formel) ≈ 31,98 m

3.3 Se svarark

(Beregningerne i de hvide
felter er omregninger fra
virkelighed til kort - se
afsnittet om målestoksforhold.)

3.4 Stangens diameter: O=·d  d= 4 , 7 cm ≈ 1,5cm
 ≈ 4,75cm

Afstand fra hulkant til stang: (11cm −1, 5 cm )
2

Da golfboldens diameter opgives til 4,2 cm kan konkluderes at der er plads nok.

Side 57 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Opgaven er fra før regneark blev en obligatorisk del af prøven, men jeg har ’oversat’
de steder hvor der står svarark til regneark.

Side 58 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

3.1 Dåsens rumfang: V =  * r2 * h  V =  * (7,5/2)2 *15  V = 662,68cm3

3.2

3.3

2.4 Tedåse diameteren.
Aflæse på grafen 10,5 cm (den nemme måde)

Løst som ligning: 1300 =  · r2 · h 
1300 /  / 15 = r2 
27,6 = r2 

5,25 = r 

5,25 · 2 = d
10,5 cm = d

Side 59 © Erik Holm

1. maj 2020 Version 1.00

Opgaven er fra før regneark
blev en obligatorisk del af
prøven, men jeg har ’oversat’
de steder hvor der står
svarark til regneark.

Side 60 © Erik Holm

1. maj 2020 9m – 2,4m Version 1.00

2.1 Skrå del af flagstang: = 6,6 m

2.2 Flagstangen rammer ved: ≈ 7,71 m

2.3

2.4

2.4 Den nemme, og upræcise måde, er at aflæse på grafen: ≈ 1,7 m

Løst ved beregning: 7 = 3 − 2x + 9  ( )7 2 = -2x+9 
3

49 = -2x+9  5,44 - 9 = -2x 
9

-3,56 = -2x  2X = 3,56 

X = 1,78 m

Side 61 © Erik Holm