MATERI LENGKAP MAT IPS XI-2 rev

LIMIT FUNGSI ALJABAR

PRAKATA

Adik – adik pelajar dimanapun kalian berada.
Terima kasih telah memilih buku ini.
Percayalah pilihan kalian sudah tepat.

Buku ini dibuat untuk membantu kalian memahami materi limit,
turunan, dan integral fungsi aljabar dengan mudah dan lengkap.

Jawaban dalam buku ini sengaja dipisahkan dari soal, dengan
harapan, kalian akan mencobanya terlebih dahulu. Jawaban
hendaknya kalian lihat setelah kalian menemui kesulitan, sehingga
dengan demikian, pemahaman kalian akan benar-benar utuh.

Selamat belajar. Ketekunan adalah kunci kesuksesan.

Salam ,
Penulis

Yulianto A.H.

‘LEARNING IS FUN’ 1

DAFTAR ISI LIMIT FUNGSI ALJABAR

PRAKATA 1
LIMIT FUNGSI ALJABAR 3
TURUNAN FUNGSI ALJABAR 17
INTEGRAL FUNGSI ALJABAR 31

‘LEARNING IS FUN’ 2

LIMIT FUNGSI ALJABAR

PENGERTIAN LIMIT:

1. Limit suatu fungsi, ( ), untuk x mendekati a, ( lim ( )), adalah harga yang paling dekat

→

dari ( ) pada saat x mendekati nilai a. Sehingga jika terdapat lim ( ) = maka ini berarti

→

bahwa L adalah nilai pendekatan untuk x di sekitar a.

2. Suatu fungsi, ( ), akan mempunyai nilai limit L untuk x mendekati a, jika dan hanya jika,

lim ( ) = lim ( ) = .
→ − → +

TEOREMA LIMIT:

1. Jika ( ) = maka lim ( ) = .
→

2. Jika ( ) = maka lim ( ) = .
→

3. lim [ ( ) ± ( )] = lim ( ) ± lim ( ).
→ → →

4. lim . ( ) = . lim ( )
→ →

5. lim [ ( ). ( )] = lim ( ) . lim ( ).
→ → →

( ) lim ( )
6. lim ( ) = → ( ).

→ lim
→

7. lim { ( )} = { lim ( )} .
→ →

8. lim √ ( ) = √ l i→m ( ).

→

LANGKAH UMUM MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR ( ):

→

1. Substitusikan nilai x = a ke ( ).

2. Jika hasilnya adalah bentuk tertentu maka itulah nilai limitnya.

3. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu {0 , ∞ , ∞ − ∞} maka ( ) harus diolah.
∞
0

LANGKAH UMUM MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR ( ):

→∞

1. Substitusikan nilai x = ∞ ke ( ).

2. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu {0 , ∞} maka ( ) harus diolah dengan cara membagi

0 ∞

pembilang dan penyebut dengan x yang memiliki pangkat tertinggi, dimana SECARA CEPAT

bisa dirumuskan sebagai berikut:

∞, >

Misal: ( ) = 1 + 2 −1+⋯ maka lim ( ) = { 11 , =
1 + 2 −1+⋯
→∞ 0, <

3. Jika hasilnya bentuk tak tentu ∞ − ∞ maka ( ) harus diolah dengan cara mengalikan

dengan sekawannya, atau SECARA CEPAT bisa dirumuskan sebagai berikut:
∞, >

a. Misal: ( ) = √ + − √ + maka lim ( ) = { 0, =
→∞ −∞, <

∞, >

b. Misal: ( ) = √ 2 + + − √ 2 + + maka lim ( ) = { 2 −√ , =

→∞ −∞, <

‘LEARNING IS FUN’ 3

LIMIT FUNGSI ALJABAR

SOAL – SOAL

1. Diketahui fungsi ( ) = 2 + 1.

a. Tentukan lim ( ).

→1−

b. Tentukan lim ( ).

→1+

c. Apakah lim ( ) ada? Jika ada, tentukan nilainya.

→1
− 3, ≤ 4
2. Diketahui fungsi ( ) = {3 4. Tentukan apakah lim ( ) ada? Jika ada, tentukan
− 1 , >
2 →4

nilainya.

3. Diketahui fungsi ( ) = | |. Tentukan apakah lim ( ) ada? Jika ada, tentukan nilainya.

{ −+35, , ≤>44. →0

4. Diketahui fungsi ( ) = Tentukan nilai a agar lim ( ) ada.

→4

Tentukan nilai limitnya masing-masing.

5. lim 2−2 +3 = ⋯

→2 − +1
6. lim 2−2 −3 = ⋯

→−1 − +1
7. lim 2−2 +3 = ⋯

→3 − +3
lim 2−2 −8 = ⋯
8.
→4 − +4
lim 2 2−32 = ⋯
9.
→4 −4
2 2+ −1
10. lim 2−1 = ⋯

→−1

11. lim −2√ = ⋯

→4 −5√ +6

12. lim ( −3)(√ +√3) = ⋯

→3 √ −√3

13. lim √ −2√ −2√2+ √2 = ⋯
→2 √ −√2

14. lim 3 2+6 −3 −6 = ⋯
2+2 − −2
→
lim 2+(3− ) −3 = ⋯
15. → −

16. lim 3−8 = ⋯
2−4
→2
17. lim 3√ −3√ = ⋯

→ −

18. lim √1+ −1 = ⋯
3√1+ −1
→0

19. lim √ 3√ 2 −2 3√ +1 = ⋯

→1 2−2 +1

20. lim ( 2−6 −2 − 2) = ⋯

→2 −2

21. lim (2 2−8 + 2−2 ) = ⋯
→2 −2 2 −4

22. ( ) = 2 − + , (1) = 0, lim ( +2)+ ( ) = 1, = ⋯

→1 +1

‘LEARNING IS FUN’ 4

LIMIT FUNGSI ALJABAR

23. lim (| |−1)2−(| |−1)2 = maka lim (| |−1)4−(| |−1)4 = ⋯
2− 2 −
→ →

24. lim ( ) = 5 , lim ( ) = 16 , lim{3 2( ) + 4√ ( )} = ⋯
→ → →

25. Diketahui ( ) = 2 + dan (2 ) − ( ) = 3. Jika lim ( ) = 2 maka a + b = ...
−1
→1
( (1 ))2}
26. lim { ( ) + (1 )} = 4 , lim { ( ) − (1 )} = −3 maka lim {( ( ))2 + = ⋯

→ → →

27. lim 1 +31 = − 1 maka 2a + b = ...
3+27 35
→−3

28. lim + −√ = 3 maka a + b = ...
→4 −4 4

29. lim 2+ + = −4 maka a.b = ...
2+3 +2
→−1

30. lim √ +6−3 = ⋯
2+3 −18
→3

31. lim √ −√2 = ⋯

→2 √ +2−2

32. lim √2 −3−√ −1 = ⋯
√ 2+1−√ +3
→2

33. lim √5+√ −√5−√ = ⋯
→0 √

34. lim 2−1 = ⋯
√ 3−√2 3− 2
→1
lim √11+ −13 = ⋯
35.
→8 −8

36. lim (2 −3√ +1)(√ −1) = ⋯
( −1)2
→1

37. lim (√5− −2)(√2− +5) = ⋯
→1 1−

11
( + 2)2− 2
38. lim = ⋯
3
→0
2

39. lim (2 + 2) (√ + 16 − 4) = ⋯

→0 √

40. lim √ + −√ − = , lim √ + −√ − = ⋯
→0 →0

41. lim √ + −√ − = 1 maka a + b = ...
√ −2−√4− 2
→3
5 4+2 3−4 2+1
42. lim 4 4−2 3+ 2−5 = ⋯

→∞

43. lim 5+27−3 2+6 = ⋯
4 4+3 3− 2−5
→∞
7 4+5 3−3 2+2 −4
44. lim 4 5− 3+7 2−5 = ⋯

→∞ (2 +1)3( −5)2
( 2+3)2(10 +3)
45. lim = ⋯

→∞

46. lim ( +3 − 2 +5) = ⋯

→∞ 2 −1 −7

47. lim √4 2−5 +3−4√ 2 = ⋯
→∞ 2 +125

48. lim 5 +1+2 −3 = ⋯
5 +2−2 +1+4
→∞
1

49. lim (5 + 53 ) = ⋯
→∞

‘LEARNING IS FUN’ 5

LIMIT FUNGSI ALJABAR

50. lim √2 + 3 − √4 + 1 = ⋯

→∞

51. lim √9 2 − 14 + 5 − √9 2 − 4 + 7 = ⋯

→∞

52. lim √3 + 2 − √3 2 − 4 + 7 = ⋯

→∞

53. lim √4 2 − 5 + 5 − 2 + 1 = ⋯

→∞

54. lim 5 (√25 + 10 − 5) = ⋯
→∞

55. lim 1 (√5 2 − 1 − √4 2 + ) = ⋯
→∞ 4

56. lim √2 − 4√ + 5 − √2 − 2√ + 7 = ⋯

→∞

57. lim √ 4 + 2 3 + 4 2 − √ 4 + 2 3 − 2 = ⋯

→∞

58. lim (4(√√ 22 −22− −−√√ 2 2 +22+ )) = ⋯

→∞

59. lim √64 2 + + 5 − 8 + = 25. Jika p dan q adalah bilangan bulat positif maka nilai

→∞

maksimum dari p + q adalah ...

60. lim (√9 2 + − √ 2 − √4 2 + 3 ) = ⋯

→∞

61. lim (3√8 3 + 12 2 − 5 − √ 2 + 6 − + 3) = ⋯

→∞

62. lim √(5 + 1) + 2√4 2 − 23 − 6 = ⋯

→∞

‘LEARNING IS FUN’ 6

LIMIT FUNGSI ALJABAR

JAWABAN

1. ( ) = 2 + 1

a. lim ( ) = lim 2 + 1 = 2.1 + 1 = 3.
→1− →1−

b. lim ( ) = lim 2 + 1 = 2.1 + 1 = 3.
→1+ →1+

c. Karena lim ( ) = lim ( ) maka lim ( ) ada, lim 2 + 1 = 3
→1− →1+ →1 →1

− 3, ≤ 4
2. ( ) = {3 − 1 , > 4

2
lim ( ) = lim − 3 = 4 − 3 = 1 , lim ( ) = lim 3 − 1 = 3 − 1 . 4 = 1
→4− →4− →4+ →4− 2 2

Karena lim ( ) = lim ( ) maka lim ( ) ada, lim ( ) = 1.
→4− →4+ →4 →4

3. ( ) =
| |
lim ( ) = lim = −1 , lim ( ) = lim = 1.
→0− →0− − →0+ →0+

Karena lim ( ) ≠ lim ( ) maka lim ( ) tidak ada
→0− →0+ →0

4. ( ) = { −+35,, ≤>44

Supaya lim ( ) ada, maka lim ( ) = lim ( )

→4 →4− →4+

sehingga 4 − 3 = 4 + 5 → 1 = 4 + 5 → = −1

5. lim 2−2 +3 = 22 − 2.2 + 3 = 3 = −3
→2 − +1 −2+1 −1

6. lim 2−2 −3 = (−1)2−2.(−1)−3 = 0=0
−(−1)+3
→−1 − +1 4

7. lim 2−2 +3 = 32−2.3+3 = 6 = ∞
→3 − +3 −3+3 0

8. lim 2−2 −8 = 42−2.4−8 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
→4 − +4 −4+4 0

memfaktorkan pembilang.

lim 2−2 −8 = lim ( −4)( +2) = lim ( −4)( +2) = 4+2 = −6
→4 − +4 →4 (4− ) →4 −( −4) −1

9. lim 2 2−32 = 2.42−32 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
→4 −4 4−4 0

memfaktorkan pembilang.

lim 2 2−32 = lim 2( 2−16) = lim 2( 2− 42) = lim 2( −4)( +4) = 2(4+4) = 16
( −4)
→4 −4 →4 −4 →4 −4 →4 1

‘LEARNING IS FUN’ 7

LIMIT FUNGSI ALJABAR

10. lim 2 2+ −1 = 2.(−1)2−1−1 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
2−1 (−1)2−1 0
→−1

memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim 2 2+ −1 = lim (2 −1)( +1) = 2.(−1)−1 = −3 = 3
2−1 ( −1)( +1) 2
→−1 →−1 −1−1 −2

11. lim −2√ = 4−2√4 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara

→4 −5√ +6 4−5√4+6 0

memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim −2√ = lim (√ )2−2√ = lim √ (√ −2) = √4 = 2= −2
(√ )2−5√ +6
→4 −5√ +6 →4 →4 (√ −3)(√ −2) √4−3 −1

12. lim ( −3)(√ +√3) = lim (3−3)(√3+√3) = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan
→3 √ −√3 →3 √3−√3 0

cara memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim ( −3)(√ +√3) = lim ((√ )2− (√3)2)(√ + √3) = lim (√ −√3)(√ +√3)(√ + √3) = (√3+√3)2 = 12
→3 √ −√3 →3 √ − √3 →3 (√ − √3) 1

13. lim √ −2√ −2√2+ √2 = 2√2−2√2−2√2+2√2 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah
→2 √ −√2 √2−√2 0

dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim √ −2√ −2√2+ √2 = lim √ ( −2)+√2( −2) = lim ( −2)(√ +√2) = lim (√ 2−√22)(√ +√2) =
→2 √ −√2 →2 √ −√2 →2 √ −√2 →2 √ −√2

lim (√ −√2)(√ +√2)(√ +√2) = (√2+√2)2 = 8
→2 (√ −√2) 1

14. lim 3 2+6 −3 −6 = 3 2+ 6 −3 2−6 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan
2+2 − −2 2+(3− ) −3 0
→

cara memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim 3 2+6 −3 −6 = lim (3 +6)( − ) = 3 +6 = 3( +2) = 3
2+2 − −2 ( +2)( − ) +2 +2
→ →

15. lim 2+(3− ) −3 = 2+ (3− ) −3 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
→ − 0
−

memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim 2+(3− ) −3 = lim ( +3)( − ) = +3 = + 3
→ − → ( − ) 1

16. lim 3−8 = 23−8 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara memfaktorkan
2−4 22−4 0
→2

pembilang dan penyebut.

lim 3−8 = lim 3−23 = lim ( −2)( 2+2 +22) = 22+2.2+ 22 = 12 = 3
2−4 2−22
→2 →2 →2 ( −2)( +2) 2+2 4

‘LEARNING IS FUN’ 8

LIMIT FUNGSI ALJABAR

17. lim 3√ −3√ = 3√ −3√ = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara mengalikan
0
→ − −

pembilang dengan sekawannya.

11 2 11 2

lim 3√ −3√ = lim 3− 3 ( 3+ 3 3+ 3) = lim ( − ) 2 = 2 1 2= 1 = 3√
3
→ − → − 2 11 2 → 2 11 3) 11 2

( 3+ 3 3+ 3) ( − )( 3+ 3 3+ 3+ 3. 3+ 3 3 3

18. lim √1+ −1 = √1+0−1 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
3√1+ −1 3√1+0−1 0
→0

mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya.

lim √1+ −1 (√1+ +1) ( 3√(1+ )2 + 3√(1+ ). 3√1+ 3√12 ) =
3√1+ −1 (√1+ +1) ( 3√(1+ )2 + 3√(1+ ). 3√1+ 3√12 )
→0

lim (1+ −1).(3√(1+ )2+3√(1+ ). 3√1+ 3√12) = 3√(1+0)2 + 3√(1+0). 3√1+ 3√12 = 1+1+1 = 3
(1+ −1)(√1+ +1) √1+0+1 1+1 2
→0

19. lim √ 3√ 2 −2 3√ +1 = √ 3√12−2 3√1+1 = √0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah untuk
2−2 +1
→1 12−2.1+1 0

menyederhanakan bentuk kemudian mengalikan pembilang dengan sekawannya.

lim √ 3√ 2 −2 3√ +1 = √lim 3√ 2 −2 3√ +1 = √lim (3√ −1)(3√ −1) = √lim ((3√ −1))2 =
2−2 +1
→1 2−2 +1 →1 →1 ( −1)( −1) →1 ( −1)

lim 3√ −1 ( 3√ 2 + 3√ . 3√1+ 3√12) = lim ( −1) = 1 = 1
−1 ( 3√ 2 + 3√ . 3√1+ 3√12) ( −1)( 3√ 2 + 3√ . 3√1+ 3√12) 3√12+ 3√1. 3√1+ 3√12 3
→1 →1

20. lim ( 2−6 −2 − 2) = 6 − 2 = 6−2 = ∞−∞ → bentuk tak tentu sehingga harus
22−2−2 2−2
→2 −2 00

diolah dengan cara menyamakan penyebut kemudian memfaktorkan pembilang dan

penyebut.

lim ( 2−6 −2 − 2) = lim (( −2)6( +1) − 2) = lim (( 6 −−22() ( + +11))) = lim (( 6−−22) ( − +21)) =

→2 −2 →2 −2 →2 →2

lim (( −42−)(2 +1)) = lim (( −2(22)−( +) 1)) = lim (( −−22() (− +2)1)) = −2 = − 2

→2 →2 →2 2+1 3

21. lim (2 2−8 + 2−2 ) = 2.22−8 + 22−2.2 = 0 + 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah
→2 −2 2 −4
2−2 2.2−4 0 0

dengan cara menyamakan penyebut kemudian memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim (2 2−8 + 2−2 ) = lim (2 2−8 + 2−2 ) = lim (2(2 2−8)+ 2−2 ) =
→2 −2 2 −4 →2 −2 2( −2) →2 2( −2)

lim (4 2−16+ 2−2 ) = lim (5 2−2 −16) = lim ((5 +8)( −2)) = 5.2+8 = 9
→2 2( −2) →2 2( −2) →2 2( −2) 2

22. ( ) = 2 − + , (1) = 12 − + = 0 → 1 = − … ( )
lim ( +2)+ ( ) = 1 → (1+2)+ (1) = 1 → (3)+ (1) = 1 → (3) + 0 = 2 → (3) = 2

→1 +1 1+1 2

(3) = 32 − 2 + = 2 → 7 = 2 − … ( )

Dari (I) dan (II) dengan cara eliminasi didapat p = 6 sehingga q = 5

‘LEARNING IS FUN’ 9

LIMIT FUNGSI ALJABAR

23. lim (| |−1)2−(| |−1)2 =
2− 2
→

lim (| |−1)4−(| |−1)4 ( + ) = lim ((| |−1)2−(| |−1)2)((| |−1)2+(| |−1)2)( + ) =
→ − ( + ) 2− 2
→
((| | − 1)2 + (| | − 1)2)( + ) = . 2(| | − 1)2. 2 = 4 (| | − 1)2

24. lim ( ) = 5 , lim ( ) = 16
→ →
2
lim{3 2( ) + 4√ ( )} = 3 {lim + 4√ l i→m ( ) = 3. 52 + 4√16 = 77
( )}
→ →

25. ( ) = 2 + , (2 ) − ( ) = 3 → . (2 )2 + − ( . 2 + ) = 4 2 − 2 =

3 2 = 3 → 2 = 1 ... (I)

lim ( ) = 2 → lim .( )2+ = 2 → lim 2 2+ = 2
→1 −1 →1 −1 →1 −1

→ lim ( −1)( 2 − ) = (1.1 − ) = 2 → 1 − = 2 → = −1
→1 −1

atau dengan cara lain :

2 2 + = ( − 1)( 2 − ) → 2 2 + = 2 2 − − 2 + → − −

2 = 0 → −( + 2) = 0 → + 2 = 0 → + 1 = 0 → = −1

Dari (I) → . 12 = 1 → = 1 → + = 1 + 1 = 2

26. lim { ( ) + (1 )} = 4 , lim { ( ) − (1 )} = −3

→ →

lim { ( ) + (1 )} = lim ( ) + lim 1 = 4… ( )
( )
→ → →

lim { ( ) − (1 )} = lim ( ) − lim 1 = −3 … ( )
( )
→ → →

Eliminasi (I) dan (II) akan diperoleh:

lim ( ) = 1 , lim 1 = 7
→ 2 ( ) 2
→

lim {( ( ))2 + ( (1 ))2} = {lim 2 + {lim (1 )}2 = (1)2 + (7)2 = 50 = 25

→ → ( )} → 22 42

27. lim 1 +31 = −13 +13 supaya akhirnya limit ini mempunyai nilai −1 maka pertama-tama limit
3+27 −27 +27 35
→−3
ini harus memiliki bentuk tak tentu 00, sehingga bisa dilakukan pengolahan yang akhirnya
menghasilkan nilai −351.

lim 1 +13 = lim 3+ = lim 3+ →
3+27 3 ( 3+27)
→−3 →−3 3 →−3

3+27

3 + = 3 + . (−3) = 0 → 3 − 3 = 0 → = 1

3 + 27 = . (−3)3 + 27 = 0 → −27 + 27 = 0 → = 1

2 + = 2.1 + 1 = 3

‘LEARNING IS FUN’ 10

LIMIT FUNGSI ALJABAR

28. lim + −√ = 4 + −√4 = 4 + −2 supaya limit ini mempunyai nilai 3 maka pertama-tama limit
−4 4−4 0 4
→4
0
ini harus memiliki bentuk tak tentu 0 sehingga pembilang harus bernilai 0 → 4 + − 2 =

0 → 4 + = 2 … ( )

lim + −√ = lim (√ )2−√ + = lim (√ −2)( √ − 2 ) = √4− 2 = 2 − 2 = 3 →
−4 (√ )2−22 (√ −2)(√ +2) √4+2 4 4
→4 →4 →4

2 − = 3 → 4 − = 6 … ( )

2

Eliminasi (I) dan (II) akan diperoleh : a = 1, b = -2, a + b = 1 – 2 = -1

29. lim 2+ + = (−1)2+ .(−1)+ = 1− + supaya limit ini mempunyai nilai -4 maka pertama-
2+3 +2 (−1)2+3.(−1)+2 0
→−1
tama limit ini harus memiliki bentuk tak tentu 0 sehingga pembilang harus bernilai 0
0

→ 1 − + = 0 → 1 = − … ( )

lim 2+ + = lim ( +1)( + ) = −1+ = −4 → − 1 = −4 → = −3
2+3 +2 ( +1)( +2) −1+2
→−1 →−1

Dari (I) → 1 = − → = 1 − 3 = −2

a.b = -2.-3 = 6

30. lim √ +6−3 = √3+6−3 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
2+3 −18 32+3.3−18 0
→3

mengalikan pembilang dengan sekawannya.

lim √ +6−3 = lim √ +6−3 √ +6+3 = lim ( −3) = 1= 1
2+3 −18 ( +6)( −3) √ +6+3 ( +6)( −3) 9
→3 →3 →3 3+6

31. lim √ −√2 = √2−√2 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara mengalikan

→2 √ +2−2 √2+2−2 0

pembilang dan penyebut dengan sekawannya.

lim √ −√2 √ +√2 √ +2+2 = lim ( −2)(√ +2+2) = √2+2+2 = 4 = 2 = 1 √2
√ +2−2 √ +√2 √ +2+2 ( −2)(√ +√2) 2√2 √2 2
→2 →2 √2+√2

32. lim √2 −3−√ −1 = √2.2−3−√2−1 = 0→ bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
√ 2+1−√ +3 √22+1−√2+3
→2 0

mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya.

lim √2 −3−√ −1 √2 −3+√ −1 √ 2+1+√ +3 = lim ( −2)(√ 2+1+√ +3) =
√ 2+1−√ +3 √2 −3+√ −1 √ 2+1+√ +3 ( 2− −2)(√2 −3+√ −1)
→2 →2

lim ( −2)(√ 2+1+√ +3) = (√22+1+√2+3) = √5+√5 = 2√5 = √5
( −2)( +1)(√2 −3+√ −1) (2+1)(√2.2−3+√2−1) 3(√1+√1)
→2 63

33. lim √5+√ −√5−√ = √5+√0−√5−√0 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
→0 √ 0
√0

mengalikan pembilang dengan sekawannya.

lim √5+√ −√5−√ √5+√ +√5−√ = lim 2√ = 2 = 2 = 2 =
→0 √ √5+√ +√5−√ →0 √ (√5+√ +√5−√ ) √5+√0+√5−√0 √5+√5 2√5

1 √5
5

‘LEARNING IS FUN’ 11

LIMIT FUNGSI ALJABAR

34. lim 2−1 = 12−1 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
√ 3−√2 3− 2 √13−√2.13−12 0
→1

memfaktorkan pembilang dan mengalikan penyebut dengan sekawannya.

lim 2−1 = lim ( −1)( +1) √ 3+√2 3− 2 = lim ( −1)( +1)(√ 3+√2 3− 2) =
√ 3−√2 3− 2 √ 3−√2 3− 2 √ 3+√2 3− 2 − 3+ 2
→1 →1 →1

lim ( −1)( +1)(√ 3+√2 3− 2) = (1+1)(√13+√2.13−12) = 2(√1+√1) = −4
− 2( −1) −12 −1
→1

35. lim √11+ −13 = =√11+8−13 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
→8 −8 8−8 0

menyederhanakan bentuk kemudian mengalikan pembilang dengan sekawannya.

lim √11+ −13 = lim 3−√1+ = lim 3−√1+ 3+√1+ = lim −( −8) =
3√1+

→8 −8 →8 −8 →8 ( −8)(3√1+ ) 3+√1+ →8 ( −8)(3√1+ )(3+√1+ )

−1 = −1 = − 1
(3√1+8)(3+√1+8) 9.6 54

36. lim (2 −3√ +1)(√ −1) = (2.1−3√1+1)(√1−1) = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah
( −1)2 (1−1)2 0
→1

dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut.

lim (2 −3√ +1)(√ −1) = lim (2(√ )2−3√ +1)(√ −1) = lim (2√ −1)(√ −1)(√ −1) =
( −1)2 ((√ )2−1)2
→1 →1 →1 2

((√ −1)(√ +1))

lim (2√ −1)(√ −1)2 = 2√1−1 = 1
(√ −1)2(√ +1)2 (√1+1)2 4
→1

37. lim (√5− −2)(√2− +5) = (√5−1−2)(√2−1+5) = 0.6 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah
→1 1− 1−1 0 0

dengan cara mengalikan pembilang dengan sekawannya. Pembilang yang dikalikan dengan

sekawannya adalah pembilang yang membuat 0.

lim (√5− −2)(√2− +5) (√5− +2) = lim (1− )(√2− +5) = √2−1+5 = 1+5 = 6 = 3
1− (√5− +2) (1− )(√5− +2) √5−1+2 2+2 4 2
→1 →1

11 11
( + 2)2− 2
38. lim = (0+ .0)2−02 = 0 → bentuk tak tentu sehingga harus diolah dengan cara
3 0
→0 3
2
.02

mengalikan pembilang dengan sekawannya.

11 11
( + 2)2 ( + 2)2+ 2 2 2
lim − 2 = lim = lim =
3 11
→0 →0 31 11 →0 31 1
2 ( + 2)2+ 2 2( 2(1+ )2+ 2 2. 2((1+ )2+1)
)

lim 2 = 1 = 1 = 1
1+1 2
→0 1 1

2((1+ )2+1) (1+ .0)2+1

‘LEARNING IS FUN’ 12

LIMIT FUNGSI ALJABAR

39. lim (2 + 2) (√ + 16 − 4) = (2 + 2) (√0 + 16 − 4) = (∞ + ∞). 0 → bentuk tak tentu

→0 √ 0 √0

sehingga harus diproses penyederhanaan dan mengalikan pembilang dengan sekawannya.

lim (2 + 2) (√ + 16 − 4) = lim ((√2 )2 + 2) (√ + 16 − 4) (√ +16+4) =
(√ +16+4)
→0 √ →0 √

lim (2(√√ +)22) = lim (2(√√ +)22) (√ )2 = 2√0+2 = 2 = 2 = 1
(√ +16+4) (√ +16+4)
→0 →0 √0+16+4 4+4 8 4

40. lim √ + −√ − √ + + √ − = lim 2 = 2 = 2 = → 1 =
→0 √ + +√ − →0 (√ + +√ − ) √ +0 +√ −0 2√ √

lim √ + −√ − = lim √√1 + −√√1 − √√1 + +√√1 − = lim 2 = 2 =
→0 →0 √√1 + +√√1 − →0 (√√1 + +√√1 − ) √√1 +0 +√√1 −0

2= √√ = 1

2√√1 4

41. lim √ + −√ − (√ + + √ − ) (√ −2 + √4− ) = lim (2 + − )(√ −2 + √4− ) agar limit
(2 −6)(√ + + √ − )
→3 √ −2−√4− (√ + + √ − ) (√ −2 + √4− ) →3

mempunyai nilai tertentu maka pembuat nol pada bagian pembilang dan penyebut harus

saling meniadakan sehingga 2 + − = 2 − 6 → − = −6 sehingga

lim (2 + − )(√ −2 + √4− ) = √3−2 + √4−3 = 2= 2 = 2 =1=
(2 −6)(√ + + √ − )
→3 √3+ + √ −3 √3+ + √ −3 √3+ + √ +6−3 2√3+ √3+

1 → √3 + = 2 → 3 + = 4 → = 1, = 7, + =1+7=8
2

1 lim = =5+ 2 − 42+ 14
4
1 →∞ 4− 2 + 12− 54
42. lim 5 4+2 3−4 2+1 4 = 5+∞2 −∞42+∞14 5+0−0+0 = 5
4 4−2 3+ 2−5 4−∞2 +∞12−∞54
→∞ 4−0+0−0 4

Cara cepat: karena m = n = 4 maka nilai limitnya adalah 5
4

43. lim 5+27 3−3 2+6 1 = lim =1+ 27 − 3 + 6 1+ 27 − 3 + 6 = 4+0−0+0 = 4 = ∞
4 4+3 3− 2−5 5 2 3 5 ∞ ∞2 ∞4 0+0−0+0 0
→∞ 1 4 32− 1 5 4 ∞32− 1 5
5 →∞ + 3 + 5 ∞ + ∞3 + ∞5

Cara cepat: karena m (=5) > n (=4) maka nilai limitnya adalah ∞

44. lim 7 4+5 3−3 2+2 −4 1 = lim =7 + 5 − 3 + 2 − 4 =7 + 5 − 3 + 2 − 4 0+0−0+0−0 =
4 5− 3+7 2−5 5 2 3 4 5 ∞2 ∞3 ∞4 ∞5
→∞ 1 ∞ 4−0+0−0
5 →∞ 4 − 1 + 7 − 5 4 − 1 + 7 − 5
2 3 5 ∞2 ∞3 ∞5

0=0
4

Cara cepat: karena m (=4) < n (=5) maka nilai limitnya adalah 0

45. lim (2 +1)3( −5)2 untuk soal-soal seperti ini tidak perlu diuraikan secara lengkap, cukup
( 2+3)2(10 +3)
→∞

diambil yang menghasilkan pangkat tertinggi pada bagian pembilang dan penyebut.

lim (2 +1)3( −5)2 = lim (2 )3( )2+⋯ = lim 8 5+⋯ = 8 (cara cepat).
( 2+3)2(10 +3) ( 2)2(10 )+⋯ 10 5+⋯
→∞ →∞ →∞ 10

‘LEARNING IS FUN’ 13

LIMIT FUNGSI ALJABAR

46. lim ( +3 − 2 +5) = lim (( +3)( ( −2 7 −)−1()2( −+75))(2 −1)) = lim 2−4 −21−(4 2+8 −5) =
2 2−15 +7
→∞ 2 −1 −7 →∞ →∞

lim −3 2−12 −16 = −3 (cara cepat).
2 2−15 +7 2
→∞

47. lim √4 2−5 +3−4√ 2 = lim √4 2−5 +3−4√ 2 = √4−4 = −2 = −1 (cara cepat).
2 +125 √4 2+125 √4 2
→∞ →∞

48. lim 5 +1+2 −3 = lim 5.5 +2 −3 1 = lim 5+(25) −53 = 5+0−0 = 1
5 +2−2 +1+4 52.5 −2.2 +4 5 25−2.(25) +54
→∞ →∞ 1 →∞ 25−0+0 5
5

49. 1 lim (53 (5−2 + 1 = lim 53 (512 + 1 = 125 (51∞ + 1 = 125(0 + 1)0 =

lim (5 + 53 ) = →∞ 1)) →∞ 1) 1)∞

→∞

125

50. lim √2 + 3 − √4 + 1 √2 +3 + √4 +1 = lim −2 +2 = −∞

→∞ √2 +3 + √4 +1 →∞ √2 +3 + √4 +1

(cara cepat karena a (=2) < p (=4)).

51. lim √9 2 − 14 + 5 − √9 2 − 4 + 7 = −14−(−4) = −10 = − 5 (cara cepat).
2√9 6 3
→∞

52. lim √3 + 2 − √3 2 − 4 + 7 = lim √( √3 + 2)2 − √3 2 − 4 + 7 =
→∞ →∞

lim √3 2 + 4√3 + 2 − √3 2 − 4 + 7 = 4√3−(−4) = 4√3+4 = 12+4√3 = 6 + 2√3 (cara cepat)
2√3 2
→∞ 2√3

53. lim √4 2 − 5 + 5 − 2 + 1 = lim √4 2 − 5 + 5 − (2 − 1) = lim √4 2 − 5 + 5 −
→∞ →∞ →∞

√(2 − 1)2 = lim √4 2 − 5 + 5 − √4 2 − 4 + 1 = −5−(−4) = − 1 (cara cepat)
2√4 4
→∞

54. lim 5 (√25 + 10 − 5) = lim (√625 2 + 250 − 25 ) =

→∞ →∞

lim (√625 2 + 250 − √625 2) = 250−0 = 250 = 5 (cara cepat)
50
→∞ 2√625

55. lim 1 (√5 2 − 1 − √4 2 + ) = lim (√5 − 1 − √4 + 1 ) =
4 4
→∞ →∞

√5 − 1 − √4 + 1 = √5 − 0 − √4 + 0 = √5 − 2
4∞ ∞

56. lim √2 − 4√ + 5 − √2 − 2√ + 7 =

→∞

lim √2(√ )2 − 4√ + 5 − √2(√ )2 − 2√ + 7 = −4−(−2) = −1
√2
→∞ 2√2

‘LEARNING IS FUN’ 14

LIMIT FUNGSI ALJABAR

57. lim √ 4 + 2 3 + 4 2 − √ 4 + 2 3 − 2 √ 4+2 3+4 2+√ 4+2 3− 2 =
√ 4+2 3+4 2+√ 4+2 3− 2
→∞

lim ( 4+2 3+4 2)−( 4+2 3− 2) = lim 3 2 = 3= 3
√ 4+2 3+4 2+√ 4+2 3− 2 2(√1+2 −1+4 −2+√1+2 −1− −2) 2
→∞ →∞ √1+0+0+√1+0−0

(4(√√ 22 −22− −−√√ 2 2 +22+ )) lim √ 2−2 −√ 2+2 −2−2 = −4 2√2 = √2
58. lim = →∞ =
2√1 2 −8 2
→∞ lim 4(√2 2− −√2 2+ )
→∞ 4(−1−1)

2√2

59. lim √64 2 + + 5 − 8 + = lim √64 2 + + 5 − (8 − ) =
→∞ →∞

lim √64 2 + + 5 − √(8 − )2 = lim √64 2 + + 5 − √64 2 − 16 + 2 =
→∞ →∞

−(−16 ) = +16 = 5 → 2 + 32 = 80 → + 16 = 40 karena p dan q merupakan
2√64 16 2

bilangan bulat positif maka nilai p dan q yang memenuhi adalah 24 dan 1 atau 8 dan 2,

sehingga nilai maksimum dari p+q = 24+1 = 25

60. lim (√9 2 + − √ 2 − √4 2 + 3 ) = lim (√9 2 + − √ 2 − √4 2 + 3 ) − √9 2 + √ 2 +
→∞ →∞

√4 2 = lim ((√9 2 + − √9 2) − (√ 2 − √ 2) − (√4 2 + 3 − √4 2)) =
→∞
1−0 1
i. lim √9 2 + − √9 2 = 2√9 = 6

→∞
lim √ 2 − √ 2 = 0−0 = 0
ii. →∞ 2√1

iii. lim √4 2 + 3 − √4 2 = 3−0 = 3 → i – ii – iii = 1 − 3 = −7
2√4 4 6 4 12
→∞

61. lim (3√8 3 + 12 2 − 5 − √ 2 + 6 − + 3) = lim (3√8 3 + 12 2 − 5 − √ 2 + 6 − 2 + +
→∞ →∞

3) = lim (3√8 3 + 12 2 − 5 − 2 ) − (√ 2 + 6 − ) + 3) =
→∞

i. lim 3√8 3 + 12 2 − 5 − 2 = lim 3√8 3 + 12 2 − 5 − 3√8 3 =
→∞ →∞
2 3√8 3+12 2−5.3√8 3+(3√8 3)2
lim 3√8 3 + 12 2 − 5 − 3√8 3 ( 3√8 =
3+12 2−5) +
→∞
( 3√8 2 3√8 3+12 2−5.3√8 3+(3√8 3)2

3+12 2−5) +

lim (8 3+12 2−5)−8 3 =
( 3√8 3 +12 2 −5)2 + 3√8 3+12 2−5. 3√8 3 +( 3√8 3 )2
→∞

lim 12 2−5 =

→∞ ( 3√8 3 +12 2 2 3√8 3+12 2−5. 3√8 3+( 3√8 3)2

−5) +

12 2−5 2(12− 52)
lim = lim = →∞
( .3√8 + 12 − 2 + .3√8 + 12 − 5 . 2 + (2 )2 →∞ 2(( 3√8 + 12 − 2 23√8 + 12 − 5 + 4)
3 3
53) 53) +

12−0 = 12 = 1
4+4+4
( 3√8 + 2 +2 3√8+0−0+4

0−0)

ii. lim (√ 2 + 6 − ) = lim (√ 2 + 6 − √ 2) = 6−0 = 3
→∞ →∞ 2√1

iii. lim 3 = 3 → i – ii + iii = 1 – 3 + 3 = 1

→∞

‘LEARNING IS FUN’ 15

LIMIT FUNGSI ALJABAR

62. lim √(5 + 1) + 2√4 2 − 23 − 6 = lim √(5 + 1) + 2√(4 + 1)( − 6) =
→∞ →∞

lim √((4 + 1) + ( − 6)) + 2√(4 + 1)( − 6) = lim √4 + 1 + √ − 6 = ∞
→∞ →∞

(cara cepat)

RUMUS PENDUKUNG

1. 2 − 2 = ( − )( + )
2. 3 − 3 = ( − )( 2 + + 2)

1 1 2 11 2

3. ( 3 − 3) ( 3 + 3 3 + 3) = −

4. √( + ) ± 2√ . = √ + √

5. = √ − = (√ − ) (Ingat perkalian sekawan)
− 2
√ + √ + √ −

‘LEARNING IS FUN’ 16

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

PENGERTIAN DAN NOTASI TURUNAN

Turunan pertama dari suatu fungsi = ( ) dinotasikan oleh ′, ′( ) , , ( ) , dan didefinisikan



sebagai ′ = ′( ) = lim ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

1. = → ′ = . −1

2. = . { ( )} → ′ = . { ( )} −1. ′( ) → aturan rantai

3. = → ′ = 0 , k : konstanta

4. = → ′ = 1

5. = → ′ =

6. = . ( ) → ′ = . ′( )

7. = ( ) ± ( ) → ′ = ′( ) ± ′( )

8. = ( ). ( ) → ′ = ′( ). ( ) + ( ). ′( )

9. = ( ) → ′ = ′( ). ( )− ( ). ′( )
( ) { ( )}2

PENERAPAN TURUNAN
1. MENENTUKAN SELANG NAIK DAN SELANG TURUN FUNGSI.

Naik dan turunnya suatu fungsi ( ) dalam suatu selang, ditentukan oleh nilai gradiennya
( = ′( )). Jika gradien ( ′( )) bernilai positif (> 0) dalam suatu selang maka fungsi
( ) naik dalam selang tersebut. Dan sebaliknya, jika gradien ( ′( )) bernilai negatif (< 0)
dalam suatu selang maka fungsi ( ) turun, dalam selang tersebut. Dan stasioner jika ′( ) =
0.

2. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA.
Jika diketahui sebuah kurva, = ( ), maka persamaan garis singgung yang melalui sebuah
titik, (a, b), pada kurva tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
( − ) = ( − ) dimana = ′( ).

3. MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DARI SUATU PERSOALAN (MISAL: BIAYA,
LUAS, VOLUME).

4. MENYELESAIKAN SOAL LIMIT DENGAN BENTUK ( , ∞).

∞

Dalil L’Hospital, jika lim ( ) = 0 (∞) dan lim ′( ) terdifinisi (ada), maka lim ( ) = lim ′′(( )).
( ) 0 ′( ) ( )
→ ∞ → → →

‘LEARNING IS FUN’ 17

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

SOAL – SOAL

1. ( ) = 2 + 3 , lim ( + )− ( ) = ⋯
→0

2. ( ) = 2 2 , lim ( +ℎ)− ( ) = ⋯
ℎ→0 ℎ

3. ( ) = 4 − 3 3 + 2 2 + 25 − 50 , ′( ) = ⋯

4. ( ) = 7 5 − 11 4 + 25 2 − 101, ′( ) = ⋯

5. ( ) = 1 + 5 − 2 + 1 , ′( ) = ⋯
4 2


6. ( ) = √3 √3 √3 √3 , ′( ) = ⋯

7. (2 − 2) = 2 + 3 − 5, ′( ) = ⋯

8. ( ) = 2( 3 − 4 2 + 3 − 10)7 , ′( ) = ⋯

9. ℎ( ) = −(42 2 − 11 )5 , ℎ′( ) = ⋯

2
1 31 )3
10. = − , = ⋯
( 3

11. ( ) = (5 3 + (2 − 3)5)3 , ′( ) = ⋯

12. ( ) = (((2 2 + 3 )4 − (5 + 3)3)2)5 , ′( ) = ⋯

13. ( ) = √2 + √2 , ′( ) = ⋯

14. ( ) = (2 − 7 2)7. 3√(4 + 3)2, ′( ) = ⋯

15. ( ) = (2 − 1)(2 + 1)(4 2 + 1)(16 4 + 1) , ′( ) = ⋯

16. ( ) = ( −5)3 , ′( ) = ⋯
2 2

17. = √((32 −− 1))34 + 5 , = ⋯


18. = (3− )2.(3 +1)3 , =⋯
3√4 2


19. ( ) = − , (1) = 1 , ′(1) = 2, (2) = ⋯

−
20. ( ) = ( o )( ), (0) = 0, ′(0) = 2 , ′(0) = ⋯

21. (2) = (4) = ′(2) = ′(4) = 2 , (2) = (4) = ′(2) = ′(4) = 4, ℎ( ) =

( ( )) , ℎ′(4) = ⋯

22. (0) = 1, ′(0) = 2, ( ) = 1 , ′(0) = ⋯
(2 ( )−1)3

23. ′(2) = 3 , ′(2) = 4 , ( . )′(2) = 11, ( 2 + 2)′(2) = 20, ( )′ (2) = ⋯



24. ( ). ( ) = 2 − 3 , (1) = 2, (1) = ′(1) , ′(1) = (1) , ′(1) = ⋯

25. ( ) = ( 2 + 2) , ′(1) = 2 , ′(3) = ⋯

26.

6 u(x)

4 v(x)

36
( ) = ( ). ( ) , ′(5) = ⋯

‘LEARNING IS FUN’ 18

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

27. Jika (3 + 2) = √ + 1 , 12 ′( ) = ⋯

28. ( ) ( ) = ( 2 + 2), (1) = −2, ′(1) = 2, ′(1) = −1, (1) = 3, ′(3) = ⋯



29. Diketahui ( ) = 2 + 4 + 1 , ′( ) = √10 − 2, ( )′(0) = ⋯

30. Tentukan selang turun dari fungsi ( ) = 1 3 − 3 2 + 5 − 10.

3

31. Tentukan selang naik dari fungsi ( ) = ( − 2)( 2 − 4 + 1).

32. Tentukan nilai a + b jika fungsi ( ) = 3 3 + 2 − + 27 turun pada selang

− 1 < < 1.
3
1 3 + 1 2 + + 3
33. Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi ( ) = selalu naik untuk
32

semua nilai x bilangan real.

34. Tentukan batas-batas nilai a, agar fungsi ( ) = − 3 + 1 2 − 1 2 − 3 + 8 selalu turun

22

untuk semua nilai x bilangan real.

35. Nilai maksimum fungsi ( ) = 3 − 6 2 + 9 pada selang −1 ≤ ≤ 3 adalah ...

36. Fungsi ( ) = 5 − 15 3 mencapai minimum di titik ...

37. Jika gambar di bawah ini adalah grafik = ( ) maka dapat disimpulkan bahwa fungsi ( )



4

-1 0 1 3

38. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva = 2 2 − − 3 di titik yang berabsis 1.

39. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva = − 2 + 3 + 9 di titik yang berordinat -

1.

40. Garis singgung pada kurva = 3 2 − − 4 sejajar dengan garis K: 4 − 2 + 3 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

41. Garis singgung pada kurva = −5 2 − 3 + 2 tegak lurus dengan garis L: 3 + 6 − 7 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

42. Garis singgung pada kurva = 2 + 5 − 24 membentuk sudut 45o dengan sumbu X.

Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

43. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva = 2 − 2 − 3 yang melalui titik potong

kurva tersebut dengan garis = 2 + 9.

44. Garis singgung mendatar pada kurva = 1 3 − 2 2 − 12 + 5 terjadi pada titik ...

3
5
45. Dari semua garis singgung pada kurva = 2+6 , tentukan persamaan garis singgung dengan

kemiringan terkecil.

46. Garis singgung pada kurva = 3 − 2 ditik yang berabsis 1 tegak lurus dengan garis =

− 1 + 2. Tentukan persamaan garis singgung tersebut.
3

‘LEARNING IS FUN’ 19

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

47. Persamaan garis singgung pada kurva = 2 2 + + yang berabsis 1 adalah = 8 + 2.

Tentukan ab.

48. Garis k melalui titik (2,1) dan menyinggung kurva = − 2 + 6 − 8 di titik (p,q). Tentukan

nilai p + q jika q adalah bilangan bulat positif.

49. Jika garis singgung kurva = 2 − ( + 1) + 6 , ≠ 0 , di titik (p,q) adalah = 2 + 3 ,

maka q = ...

50. Jika nilai maksimum ( ) = + √2 − 3 adalah 5 maka nilai p adalah ...
4
− 1 3 + 3 2 −
51. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi ( ) =
3

5 . Kecepatan tertinggi mobil dicapai pada waktu t = ...

52. Biaya total untuk membuat x satuan barang adalah (1 2 + 35 + 25) ribu rupiah, sedangkan

4

harga jual untuk x satuan barang adalah (50 − 1 ) ribu rupiah. Tentukan keuntungan

2

maksimum.

53. Suatu perusahaan menghasilkan x produksi dengan biaya total 75 + 2 + 0,1 2 rupiah. Jika

semua produksi perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp. 40,00 untuk setiap produknya,

maka tentukan laba maksimum yang didapat.

54. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya

proyek per hari adalah (3 − 900 + 120) ratus ribu rupiah. Tentukan waktu penyelesaian



proyek agar biayanya minimum.

55. Untuk memproduksi x unit barang/hari diperlukan biaya ( 3 − 2.000 2 + 3.000.000 )

rupiah. Jika barang itu harus diproduksikan, maka tentukan banyak produksi/hari agar biaya

produksinya paling rendah.

56. Pabrik sepatu memproduksi x pasang sepatu dengan biaya produksi/pasang adalah

(390 − 20.000 − ) ribu rupiah. Harga jual Rp. 150.000,00/pasang. Tentukan laba maks.


57. Jumlah dua buah bilangan adalah 8. Tentukan selisih bilangan terbesar dan terkecil saat hasil

kali kuadrat kedua bilangan mencapai maksimum.

58. Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75. Tentukan nilai

maksimum hasil kali kedua bilangan tersebut.

59. Jika volume suatu kubus bertambah dengan laju 36 cm.menit-1 maka tentukan laju

bertambahnya rusuk kubus tersebut saat luas luas permukaannya 24 cm2.

60. Tentukan volume kotak terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm2 dan alasnya persegi.

61. Garis g melalui titik (4,3) dan memotong sumbu x positif di A dan sumbu Y positif di B.

Tentukan panjang ruas garis AB agar luas segitiga AOB minimum.

62. lim 2−3 +2 = ⋯

→2 −2

63. lim √ −2 = ⋯

→4 −4

64. lim √ +1−√2 = ⋯

→1 √3+ −2

‘LEARNING IS FUN’ 20

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

JAWABAN

1. lim ( + )− ( ) = lim 2( + )+3−(2 +3) = lim 2 +2 +3−2 −3 = lim 2 = 2
→0 →0 →0 →0

2. lim ( +ℎ)− ( ) = lim 2( + )2−2 2 = lim 2( 2+2 + 2)−2 2 =
ℎ→0 ℎ →0 →0

lim 4 +2 2 = lim (4 +2 ) = 4 + 2.0 = 4
→0 →0

3. ′( ) = 4 4−1 − 3.3 3−1 + 2.2 2−1 + 1.25 1−1 − 0 = 4 3 − 9 2 + 4 + 25

4. ′( ) = 5.7 5−1 − 4.11 4−1 + 2.25 2−1 − 0 = 35 4 − 44 3 + 50

5. g(x)= x-4+ 5x-2- 2x-1+1 ,

g'(x)=-4x-4-1 +(-2).5x-2-1-(-1).2x-1-1+0= -4x-5-10x -3 +2x-2=- 4 - 10 + 2
x5 x3 x2

6. ( ) = 15 15 15 15 . 15 1165−1 = 15 15 . −116

(3 )16 = 316. 16 = 316. 316
16 16

7. Tentukan dahulu fungsi ( ) dengan cara sebagai berikut:

Misal: = (2 − 2) → = +2
2
→ ( ) = ( +2)2 + 3 ( +2) − 5 = 1 2 + 5 − 1 → ( ) = 1 2 + 5 − 1
2 2 43 43

→ ′( ) = 2. 1 2−1 + 5 1−1 − 0 = 1 + 5
43 23

8. ′( ) = 7.2( 3 − 4 2 + 3 − 10)7−1. (3 2 − 2.4 + 3 − 0)
′( ) = 14( 3 − 4 2 + 3 − 10)6. (3 2 − 8 + 3)

9. ℎ′( ) = −5(42 2 − 11 )5−1. (2.42 − 11) = −5(42 2 − 11 )4. (84 − 11)

10. ′ = 2 1 − 13)23−1 . − 1 13−1 = − 2 1 − 31)−31 . −32 = − 2 −23 1 − 1 )−31

( 3 ( 3 9 ( 3 3
3 39

11. ′( ) = 3(5 3 + (2 − 3)5)2. (3.5 2 + 5(2 − 3)4. 2)
′( ) = 3(5 3 + (2 − 3)5)2. (15 2 + 10(2 − 3)4)

12. ′( ) = 5(((2 2 + 3 )4 − (5 + 3)3)2)4. 2((2 2 + 3 )4 − (5 + 3)3).
(4(2 2 + 3 )3. (4 + 3) − 3(5 + 3)2. 5)

1 1 1 )−12 (2 )−21.

13. ( ) = (2 + (2 )2 )2 → ′( ) = 1 (2 + (2 )2 . (2 + 1 2)

22

′( ) = 1 (2 + 1 )−21 . (2 + (2 )−12)

2 (2 )2

‘LEARNING IS FUN’ 21

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

14. ( ) = (2 − 7 2)7. (4 + 2

3)3

( ) = ( ). ( )

( ) = (2 − 7 2)7 → ′( ) = 7(2 − 7 2)6. (2 − 14 )

( ) = 2 → ′( ) = 2 (4 + 3)−13. (4 + 0) = 8 (4 + 3)−13
33
(4 + 3)3

′( ) = 2 (2 − 7 2)7. 8 (4 + 3)−13
3
7(2 − 7 2)6. (2 − 14 ). (4 + 3)3 +

′( ) = (2 − 7 2)6. (4 + 3)−18. (7(2 − 14 )(4 + 3) + 8 (2 − 7 2))
3

15. ( ) = 256 8 − 1 → ′( ) = 8.256 7 − 0 = 2048 7

16. ( ) = ( −5)3 , ( ) = ( − 5)3 → ′( ) = 5( − 5)2 , ( ) = 2 2 → ′( ) = 4
2 2

′( ) = 5( −5)2.2 2−( −5)3.4 = 2 ( −5)2(5 −2( −5)) = 2 ( −5)2(3 +10)
(2 2)2 4 4 4 2

1

17. = (((32 −− 1))34 + 5)2 →

′ = 1 (((32 −− 1))34 + 5)−12 . (4(3 −1)3.3.(2− ( ()23−−( 3) 3 )−21)4.3.(2− )2.−1 + 0)
2

′ = 3(3 −1)3(2− )2(4(2− )+(3 −1)) = 3(3 −1)3(2− )2(7− )
(2− )6 (2− )6

18. = (3− )2.(3 +1)3 →

1
(4 2)3

′ = (2(3− ).−1.(3 +1)3+ (3− )2.3(3 +1)2).(4 2)31−(3− )2.(3 +1)3.13(4 2)−23

12
((4 2)3)

′ = (−2(3− )(3 +1)3+ 3(3− )2(3 +1)2)(4 2)13−13(3− )2(3 +1)3(4 2)−32

12
((4 2)3)

′ = (4 2)−23(3− )(3 +1)2((4 2(3(3− )−2(3 +1)))−13(3− )(3 +1))

2
(4 2)3

19. (1) = − = 1 → − = 1 − → 2 − 1 =

1−

′( ) = = 2 → = 2, = 2.2 − 1 = 3,

1

(2) = 2.2−3 = −1

1−2

20. ′( ) = ′ ( ( ( ))) . ′ ( ). ′( )
′(0) = ′( ( (0))). ′ (0). ′(0) = ′( (0)). ′(0). 2 = ′(0). 2.2 = 2.2.2 = 8

21. ℎ′( ) = ′( ( )). ′( ), ℎ′(4) = ′( (4)). ′(4) = ′(4). 2 = 4.2 = 8

‘LEARNING IS FUN’ 22

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

22. ′( ) = 0.(2 ( )−1)3−1.3(2 ( )−1)2.(2 ′( )−0) ,
(2 ( )−1)3

′(0) = 0−3(2 (0)−1)2.2 ′(0) = −3(2.1−1)2.2.2 = −12
(2 (0)−1)3 (2.1−1)3

23. ( . )′(2) = ′(2) (2) + (2) ′(2) = 11 → 3 (2) + 4 (2) = 11 … ( )

( 2 + 2)′(2) = 2 (2) ′(2) + 2 (2) ′(2) = 2 (2). 3 + 2 (2). 4 = 20

→ 3 (2) + 4 (2) = 10 … ( )

Eliminasi (i) dan (ii) → (2) = 2 , (2) = 1

( )′ (2) = ′(2) (2)− (2) ′(2) = 3.1−2.4 = −5
( (2))2 12


24. ( ). ( ) = 2 − 3 → ′( ) ( ) + ( ) ′( ) = 2 − 3
→ ′(1) (1) + (1) ′(1) = 2.1 − 3 = −1
∴ (1) = ′(1) = ′(1), (1) = 2
→ 2 ′(1) + ′(1) ′(1) = −1 → { ′(1)}2 + 2 ′(1) + 1 = 0
→ { ′(1) + 1}2 = 0 → ′(1) + 1 = 0 → ′(1) = −1

25. ′( ) = ′( 2 + 2). 2 → ′(1) = ′(12 + 2). 2.1 → 2 = ′(3). 2 → ′(3) = 1

26.
6 u(x)

4 v(x)

36

( ) = ( ). ( ) , ′(5) = ⋯

Persamaan garis u(x) → 6 + 6 ( ) = 36 → + ( ) = 6 → ( ) = 6 −
( ) = 4 → ′( ) = 0
( ) = 6 − → ′( ) = −1
′( ) = ′( ) ( ) + ( ) ′( ) → ′(5) = ′(5) (5) + (5) ′(5) = −1.4 + 1.0 = −4

27. ′(3 + 2). 3 = 1. √ + 1 + ; 11 = 3 + 2 → 9 = 3 → = 3
2√ +1

3 ′(11) = √3 + 1 + 3
2√3+1

→ 12 ′(11) = 4 (2 + 3) = 11

4

28. ′( ) ( )− ( ) ′( ) = ′( 2 + 2). 2 → ′(1) (1)− (1) ′(1) = ′(12 + 2). 2.1
( ( ))2 ( (1))2

→ 2.3−(−2).−1 = 2 ′(3) → 2 ′(3) = 4 → ′(3) = 2
(3)2 9
9

‘LEARNING IS FUN’ 23

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

29. ( )′( ) = ′( ( )). ′( ) = √10 − ( 2 + 4 + 1)2. (2 + 4)
( )′(0) = √10 − (02 + 4.0 + 1)2. (2.0 + 4) = √9. 4 = 12

30. ′( ) = 2 − 6 + 5 → ′( ) → 0 = 2 − 6 + 5 →
( − 5)( − 1) = 0 → = 1 , = 5
+++++++++ ----------- ++++++++

15
HP = { |1 < < 5, ∈ }

31. ′( ) = 1. ( 2 − 4 + 1) + ( − 2)(2 − 4) = 3 2 − 12 + 9 = 2 − 4 + 3 = 0
( − 3)( − 1) = 0 → = 1 , = 3
+++++++++ ----------- ++++++++

13
HP = { |1 < ⋁ > 3, ∈ }

32. ′( ) = 9 2 + 2 − 1

′ (− 1) = 9 (− 1)2 + 2 . (− 1) − 1 = − 2 − 1 = 0 → − 2 = 1 … ( )
33 3 3 3

′(1) = 9 (1)2 + 2 . (1) − 1 = 9 + 2 − 1 = 0 → 9 + 2 = 1 … ( )

Eliminasi (i) dan (ii) → = −1, = 1 → + = 1−1 = −2
3
33

33. ′( ) = 2 + 2 + . Agar fungsi ( ) selalu naik untuk sembarang nilai x maka nilai dan a
> 0 dan diskriminan ′( ) < 0 → < 0. Di sini syarat pertama nilai a (=1) > 0 sudah

terpenuhi.
= 2 − 4 = (2 )2 − 4.1. < 0 → 4 2 − 4 < 0 → 4 ( − 1) < 0.

+++++++++ ----------- ++++++++

01
HP = { |0 < < 1, ∈ }

34. ′( ) = −3 2 + − − 3 = −3 2 + ( − 1) − 3. Agar fungsi ( ) selalu turun untuk
sembarang nilai x maka nilai dan a < 0 dan diskriminan ′( ) < 0 → < 0. Di sini syarat

pertama nilai a (= -3) < 0 sudah terpenuhi.
= 2 − 4 = ( − 1)2 − 4. (−3). (−3) = 2 − 2 − 35 < 0 →
( − 7)( + 5) < 0.

+++++++++ ----------- ++++++++

-5 7
HP = { |−5 < < 7, ∈ }

‘LEARNING IS FUN’ 24

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

35. ′( ) = 3 2 − 12 + 9 → ′( ) = 0 → 0 = 2 − 4 + 3 = ( − 3)( − 1) →
= 3, = 1 .

+++++++++ ----------- ++++++++
13

Dari grafik di atas terlihat bahwa pada selang −1 ≤ ≤ 3 titik maksimum tercapai pada x = 1
sehingga nilai maksimumnya adalah (1) = 13 − 6. 12 + 9.1 = 4

36. ′( ) = 5 4 − 45 2 → ′( ) = 0 → 0 = 5 2( 2 − 9) = 5 2( − 3)( + 3) → =
0, = 3, = −3.

+++++++++ ----------- -------------- +++++++++

-3 0 3

Dari grafik di atas terlihat bahwa titik minimum tercapai pada x = 3 sehingga nilai minimumnya

adalah (3) = 33 − 15. 33 = −162

37. Jika gambar di bawah ini adalah grafik = ( ) maka dapat disimpulkan bahwa fungsi ( )


4

-1 0 1 3

Dari grafik terlihat bahwa nilai y’ negatif untuk x < -1, positif untuk -1 < x < 3, dan negatif untuk
x > 3, maka grafik naik-turun gradien adalah sebagai berikut:

--------------- +++++++ ---------------
-1 3

Sehingga bisa disimpulkan bahwa pada x = -1 nilai fungsi mencapai minimum, dan pada x = 3
nilai fungsi mencapai maksimum.

38. = 1 → = 2. 12 − 1 − 3 = −2 → (1, −2)
= ′ = 4 − 1 → (1) = 4.1 − 1 = 3
PGS: − 1 = ( − 1) → − (−2) = 3( − 1) → + 2 = 3 − 3 → = 3 − 5

‘LEARNING IS FUN’ 25

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

39. = −1 → −1 = − 2 + 3 + 9 → 2 − 3 − 10 = 0 → ( − 5)( + 2) = 0
= 5, = −2 → (−2, −1), (5, −1)
= ′ = −2 + 3

PGS1: (−2) = −2. −2 + 3 = 7 → − (−1) = 7( − (−2)) →
+ 1 = 7( + 2) → = 7 + 13

PGS2: (5) = −2.5 + 3 = −7 → − (−1) = −7( − 5) →
+ 1 = −7( − 5) → = −7 + 34

40. Garis singgung sejajar dengan garis K: 4 − 2 + 3 = 0 maka gradien garis singgung = gradien

garis K = 2.

= ′ = 6 − 1 → 2 = 6 − 1 → = 1

2
= 1 → = 3. (1)2 − 1 − 4 = − 15 → (1 , − 15)
2 22 4 24

Pgs : − (− 15) = 2 ( − 1) → + 15 = 2 − 1 → = 2 − 19
4
4 2 4

41. Garis singgung tegak lurus dengan garis L: 3 + 6 − 7 = 0 maka gradien garis singgung =

−1 = −1 = 2.
−1⁄2


= ′ = −10 − 3 → 2 = −10 − 3 → = − 1

2
= − 1 → = −5. (− 1)2 − 3. (− 1) + 2 = 9 → (− 1 , 9)

2 2 2 4 24

PGS: − (9) = 2 ( − (− 1)) → − 9 = 2 + 1 → = 2 + 13
4
4 2 4

42. = tan 450 = 1
′ = 2 + 5 → 1 = 2 + 5 → = −2
= −2 → = (−2)2 + 5. (−2) − 24 = −30 → (−2, −30)

PGS: − (−30) = 1( − (−2)) → + 30 = + 2 → = − 28

43. Menentukan titik potong kurva dan garis
2 − 2 − 3 = 2 + 9
→ 2 − 4 − 12 = 0 → ( − 6)( + 2) = 0 → = 6, = −2
Persamaan gradien kurva: ′ = 2 − 2

= 6 → = 62 − 2.6 − 3 = 21 → (6, 21)
(6) = 2.6 − 2 = 10
PGS1: − 21 = 10( − 6) → = 10 − 39

= −2 → = (−2)2 − 2. (−2) − 3 = 5 → (−2, 5)
(−2) = 2. (−2) − 2 = −6
PGS2: − 5 = −6( − (−2)) → = −6 − 7

‘LEARNING IS FUN’ 26

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

44. ′ = 2 − 4 − 12.

Garis singgung mendatar terjadi jika gradien = 0 →
0 = 2 − 4 − 12 → ( − 6))( + 2) = 0 → = −2 , = 6

= −2 → = 1 . (−2)3 − 2. (−2)2 − 12. (−2) + 5 = 55 → (−2, 55)

3 33

= 6 → = 1 . (6)3 − 2. (6)2 − 12. (6) + 5 = −67 → (6, −67)

3

45. ′ = 0.( 2+6)−5.2 = −10
( 2+6)2 ( 2+6)2

Gradien terkecil adalah 0 pada saat x = 0.

=0 → = 5 = 5 → (0, 5)
02+6 6
6

PGS: − 5 = 0( − 0) → = 5
6 6

46. Garis singgung pada kurva tegak lurus garis = − 1 + 2, berarti gradien garis singgung =
3
1
− −1⁄3 = 3.

= 3 2 − 2 → (1) = 3. 12 − 2 . 1 = 3 − 2 = 3 → = 0

= 1 → = = 3 − 2 = 13 − 0. 12 = 1 → (1, 1)

PGS: − 1 = 3( − 1) → = 3 − 2

47. ′ = 4 + , = 8 + 2 → (1) = 8 → 8 = 4.1 + → = 4
= 1 → = 8.1 + 2 = 10
= 1 → = 2. 12 + . 1 + = 2 + + = 10 → 8 = + = 4 + → = 4

. = 4.4 = 16

48. ( , ) → = − 2 + 6 − 8

( ) = −2 + 6 , ( ) = 2− 1 = −1 → −2 + 6 = −1
2− 1 −2 −2

(−2 + 6)( − 2) = − 1 → −2 2 + 10 − 12 = − 2 + 6 − 8 − 1 →

0 = 2 − 4 + 3 → ( − 3)( − 1) = 0 → = 3, = 1
= 3 → = −32 + 6.3 − 8 = 1, memenuhi.

= 1 → = −12 + 6.1 − 8 = −3 tidak memenuhi karena q harus bilangan bulat +.

+ = 3 + 1 = 4

‘LEARNING IS FUN’ 27

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

49. ( , ) → = 2 − ( + 1) + 6 … ( )

= 2 + 3 → = 2 , = 2 + 3 … ( )

= ′ = 2 − ( + 1) → 2 = 2 − − 1 → = 3+ … ( )

2

Dari (i) dan (ii) → 2 − ( + 1) + 6 = 2 + 3 → 2 − − − 2 + 3 = 0 … ( )

Dari (iii) dan (iv) → (3+ )2 − (3+ ) − (3+ ) − 2 (3+ ) + 3 = 0

2 2 2 2

9+6 + 2 − 3 + 2 − 3+ − 6+2 + 3 = 9+6 + 2−6 −2 2−6−2 −12−4 +12 = 0
4 2 2 2 4
− 2+6 −9 = 0 → 2 − 6 + 9 = 0 → ( − 3)2 = 0 → = 3

2
3+3
Dari (iii) didapat = 2.3 = 1

Dari (ii) didapat = 2.1 + 3 = 5

50. ′( ) = 1 − 3 = 0 →1= 3 → 2√2 − 3 =3 → 4(2 − 3 ) = 9

2√2 −3 2√2 −3

8 − 12 = 9 → = 8 −9

12

5 = 8 −9 + √2 − 3 8 −9 = 8 −9 + √24 −24 +27 = 8 −9 + 3
4 12 12 12 12 12 4

2 = 8 −9 → 24 = 32 − 36 → 60 = 32 → = 60 = 15
4 12 32 8

51. ( ) = ′( ) = − 2 + 6 − 5 = 0 → (− + 5)( − 1) = 0 → = 5, = 1

--------------- +++++++ ---------------
15

Kecepatan mencapai maksimum pada saat t = 5s.

52. Untung = = (50 − 1 ) − (1 2 + 35 + 25) = − 3 2 + 15 − 25
24 4

′ = − 3 + 15 = 0 → 15 = 3 → = 10
22
− 3 . 102 + 15.20 − 25 = 200
=
4

53. Laba = = 40 − (75 + 2 + 0,1 2) = −0,1 2 + 38 − 75
′ = −0,2 + 38 = 0 → 38 = 0,2 → = 190
= −0,1. 1902 + 38.190 − 75 = 3535

54. = (3 − 900 + 120) = 3 2 − 900 + 120



′ = 6 − 900 = 0 → 6 = 900 → = 150

55. / = = ( 3−2.000 2+3.000.000 ) = 2 − 2.000 + 3.000.000


′ = 2 − 2.000 = 0 → = 1000

‘LEARNING IS FUN’ 28

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

56. Biaya = = (390 − 20.000 − ) = 390 − 20.000 − 2


Jual = = 150

Untung = = 150 − (390 − 20.000 − 2) = −240 + 20000 + 2

′ = −240 + 2 = 0 → 240 = 2 → = 120

= −240.120 + 20.000 + 1202 = 5600 = 5.600.000

57. + = 8 → = 8 −
= 2. 2 = (8 − )2. 2 = 64 2 − 16 3 + 4
′ = 128 − 48 2 + 4 3 = 4 (32 − 12 + 2) = 4 (8 − )(4 − ) = 0

→ = 0, = 8, = 4

------------- +++++ --------- +++++++

04 8

Mencapai maksimum pada = 4 → = 8 − 4 = 4 → ℎ = 4 − 4 = 0

58. + 2 = 75 → = 75 − 2
= = (75 − 2) = 75 − 3 → ′ = 75 − 3 2 = 0 → = ±5

------------- ++++++++++ -------------
-5 5

Mencapai maksimum pada = 5 → = 50 → = 50.5 = 250

59. = 36


= 3 → ′ = 3 2 → = 3 2 → . = 3 2 → 36 . = 3 2 → = 1 2
12

= 12
2
= 6 2 → 24 = 6 2 → 2 = 4

= 12 = 3
4

60. = 2.

= 2 2 + 4 → 96 = 2 2 + 4 → 48 = 2 + 2 → = 48− 2

2
= 2. = 2. 48− 2 = 24 − 1 3
2 2
′ = 24 − 3 2 → 0 = 24 − 3 2 3 2 = 24
→ → 2 = 16 → = 4 (sisi tidak boleh -)
2 2 2
= 4 → = 48−42 = 32 = 4 → = 42. 4 = 64 3

2.4 8

‘LEARNING IS FUN’ 29

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

61.
B

OA

Persamaan garis g: + =

(4, 3) → 4 + 3 = → 4 = − 3 → 4 = ( − 3) → = 4

−3
= 1 = 1 = 1 4 . = 2 2
22 2 −3 −3
4 ( −3)−2 2.1 2 2−12
′ = ( −3)2 = ( −3)2 = 0 → 2 2 − 12 = 0

2 ( − 6) = 0 → = 0 , = 6 karena sisi harus > 0 maka nilai B yang memenuhi adalah 6

→ = 4.6 = 8 → ̅̅ ̅ ̅ = √ 2 + 2 = √82 + 62 = 10

6−3

62. lim 2−3 +2 = lim 2 −3 = 2.2−3 = 1 (menggunakan teorema L’Hospital)
→2 −2 →2 1 1

lim √ −2 = 11 1
4
63. →4 −4 lim 2√ = 2√4 = (menggunakan teorema L’Hospital)

→4 1 1

lim √ +1−√2 = 11 2
√2
64. →1 √3+ −2 lim 2√ +1 = 2√2 = = √2 (menggunakan teorema L’Hospital)
1 1
→1
2√3+ 2√4

‘LEARNING IS FUN’ 30

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

PENGERTIAN INTEGRAL
Secara umum, integral adalah invers dari turunan. Integral berfungsi untuk mengembalikan sebuah
fungsi turunan ke fungsi asal.

turunan

( ) ′( )

integral
Integral dinotasikan sebagai berikut: ∫ ( )

DUA JENIS INTEGRAL

1. Integral Tak Tentu : ∫ ( ) = ( ) +

2. Integral Tentu :∫ ( ) = ( )| = ( ) − ( )

Sifat-Sifat Integral Tentu
a. ∫ ( ) = 0
b. ∫ ( ) = ∫ ( )
c. ∫ [ ( ) ± ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( )
d. ∫ ( ) = − ∫ ( )
e. ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )

METODE INTEGRASI

1. Metode Langsung : ∫ = +1 +

+1

Contoh:

∫ 3 4 − 5 2 + = 3 4+1 − 5 2+1 + 1 1+1 + = 3 5 − 5 3 + 1 2 +

4+1 2+1 1+1 532

2. Metode Substitusi

Contoh:

∫ 1 √ 2 + 3 =
5

Misal : = 2 + 3 → ′ = 2 → = 2 → =
2

∫ 1 √ 2 + 3 = 1 ∫ . 1 = 1 ∫ 1 = 1 {12+11 21+1} + = 1 {2 3 =
5 5 2 10 10
2. 2 10 3 2} +

1 √ + = 1 ( 2 + 3)√ 2 + 3 +
15
15

Contoh:

∫ 2 +4 =
2+4 +4
→ = 2 + 4 =
Misal : = 2 + 4 + 4 → ′ = 2 + 4 →
2 +4

∫ 2 +4 = ∫ (2 +4) = ∫ = | | + = | 2 + 4 + 4| +
2+4 +4 (2 +4)

‘LEARNING IS FUN’ 31

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

3. Metode Parsial : ∫ = − ∫

Contoh:

∫ √ + 1 =

Misal :

= → ′ = 1 → =

= √ + 1 → = 1 → = 1 ( + 1)12+1 = 2 ( + 3
1+12
( + 1)2 3 1)2

∫ √ + 1 =

. 2 ( + 3 − ∫ 2 ( + 3 = 2 ( + 3 − 2 . 1 ( + 1)23+1 + =
3 3 3 3 1+32
1)2 1)2 1)2

2 ( + 3 − 4 5 +

1)2 ( + 1)2
3 15

Cara Cepat:

Turunan Integral Tanda

x 1

( + 1)2

1 2 ( + 3 +

3 1)2

0 4 ( + 5 -

15 1)2

∫ √ + 1 = . 2 ( + 3 − 1. 4 ( + 5 + = 2 ( 3 − 4 ( 5 +

1)2 1)2 + 1)2 + 1)2
3 15 3 15

Contoh:

∫ 2√ + 1 =

Cara Cepat:

Turunan Integral Tanda

2 1

( + 1)2

2x 2 ( + 3 +

3 1)2

2 4 ( + 5 -

15 1)2

0 8 7 +

105 ( + 1)2

∫ 2√ + 1 = 2 2( 3 − 8 4 ( 5 + 16 ( 7 +

3 + 1)2 15 15 + 1)2 105 + 1)2

4. Metode Penyerdehanaan Bentuk Rasional

Contoh:

∫ 3 −1 =
2 2− −1

3 −1 = 3 −1 = + = ( −1)+ (2 +1) = ( +2 ) −( − ) →
2 2− −1 (2 +1)( −1) 2 +1 −1 (2 +1)( −1) (2 +1)( −1)

3 = + 2 , 1 = − → = 5 , = 2

33

∫ 3 −1 = ∫ 5⁄3 + 2⁄3 = 5 |2 + 1| + 2 | − 1| +
2 2− −1 2 +1 −1
63

‘LEARNING IS FUN’ 32

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

PENERAPAN INTEGRAL
1. Menentukan Persamaan Kurva

Contoh:
Sebuah kurva mempunyai fungsi turunan ′( ) = 2 − 4. Jika kurva tersebut melalui titik (2,
0) maka tentukan persamaan kurva tersebut.
( ) = ∫ ′( ) = ∫ 2 − 4 = 2 − 4 +
(2, 0) → 0 = 22 − 4.2 + = −4 + → = 4
Persamaan kurva : ( ) = 2 − 4 + 4

2. Menentukan Luas Bidang

Luas sebuah bidang selalu tetap.

a. Terhadap sumbu X
= ∫ { ( ) − ℎ( )}
Atau

b. Terhadap sumbu Y

= ∫ { ( ) − ℎ( )}
Cara Cepat :

= √ ; = 2 − 4
6 2

Contoh:
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh garis + = 4 , = 3 , sumbu X dan sumbu Y.

→ terhadap sumbu X

Batas-batas integrasi : dari x = 0 hingga x = 3

= ∫ { ( ) − ℎ( )} = ∫03(4 − ) − 0 =
3
= 4 − 1 2| 0 = (4.3 − 1 . 32) − (4.0 − 1 . 02) = 15 sat luas
2
2 22

→ terhadap sumbu Y

Ada 2 batas-batas integrasi yaitu : dari y = 0 hingga y = 1 dan y = 1 hingga y = 4

= ∫ { ( ) − ℎ( )} + ∫ { ( ) − ℎ( )} =
= ∫01 3 − 0 + ∫14 (4 − ) − 0 = ∫01 3 + ∫14 (4 − ) =
3 |10 + 4
= 4 − 1 2| 1 = {3.1 − 3.0} + {(4.4 − 1 . 42) − (4.1 − 1 . 12)} =
2
22

= 3 + 4 1 = 15 sat luas
2
2

*Luas bidang selalu tetap, baik dihitung terhadap sumbu X ataupun sumbu Y → = .

‘LEARNING IS FUN’ 33

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

Contoh:
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva = − 2 − + 6 dan garis = − 2.

Menentukan batas-batas integrasi yaitu absis perpotongan kurva dengan garis :

− 2 = − 2 − + 6 → 2 + 2 − 8 = 0 →

( + 4)( − 2) = 0 → = −4, = 2

= ∫ { ( ) − ℎ( )} = ∫−24 − 2 − + 6 − ( − 2) =
∫−24 − 2 − 2 + 8 =
2
− 1 3 − 2 + 8 | −4 = − 1 . 23 − 22 + 8.2 − (− 1 . (−4)3 − (−4)2 + 8. −4) = 36 sat luas
3 3
3

Cara cepat:

= √ = 22−4.1.(−8)√22−4.1.(−8) = 36√36 = 36.6 =36 sat luas
6 2 6.12
66

3. Menentukan Volume Benda Putar

Berbeda dengan luas bidang, volume benda putar dipengaruhi oleh sumbu putarnya.

I. Diputar terhadap sumbu X
= ∫ { 2 ( ) − 2 ℎ( )}

II. Diputar terhadap sumbu Y
= ∫ { 2 ( ) − 2 ℎ( )}

Contoh :
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis : = 3 , =
, dan sumbu Y, diputar 360o mengelilingi sumbu X.

Menentukan batas-batas integrasi : x = 0 hingga x = 3.

= ∫ { 2 ( ) − 2 ℎ( )} = ∫03 32 − 2 = {9 − 1 3| 30} =
3

{(9.3 − 1 . 33) − (9.0 − 1 . 03)} = 18 sat volume
3 3

‘LEARNING IS FUN’ 34

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

Contoh :
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis = − 1 dan
= 4 diputar 360o (i) mengelilingi sumbu X dan (ii) mengelilingi sumbu Y.

i. Mengelilingi sumbu X ; batas-batas integrasinya x = 1 hingga x = 4

= ∫ { 2 ( ) − 2 ℎ( )} = ∫14( − 1)2 − 0 =
14}
∫14 2 − 2 + 1 = {1 3 − 2 + | =

3

{(1 . 43 − 42 + 4) − (1 . 13 − 12 + 1)} = 9 sat volume

3 3

ii. Mengelilingi sumbu Y ; batas-batas integrasinya y = 0 hingga y = 3

= ∫ { 2 ( ) − 2 ℎ( )} = ∫03 42 − ( + 1)2 = 03}

∫03 16 − 2 − 2 − 1 = ∫03 15 − 2 − 2 = {15 − 1 3 − 2| =
3

{(15.3 − 1 . 33 − 32) − (15.0 − 1 . 03 − 02)} = 27 sat volume

3 3

‘LEARNING IS FUN’ 35

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

SOAL-SOAL

1. ∫(2 − 3)2 = ⋯

2. ∫ 2 5 − 3 4 + 2 + 2 = ⋯

3. ∫ 1 3 + 2 2 − 7 = ⋯
3
5
3 2
4. ∫ 2 − + 11 = ⋯

5. ∫ √ 5 3√1 = ⋯

√

6. ∫(3 + 7)6 = ⋯

2

7. ∫(5 − 1)7 = ⋯
8. ∫(3 − 7 )−2 = ⋯
9. ∫ 2 3(3 4 + 5)3 = ⋯

10. ∫ 3 4 4√2 5 − 1 = ⋯

11. ∫ √2 − 1 = ⋯

12. ∫ 2+4 −1 = ⋯
2−1
3
13. ∫ 3√ 2+1 = ⋯

14. ∫ (√ +3)3 = ⋯
√

15. ∫ (4 + 1)−2 ( 12) = ⋯



16. ∫ √4 + 1 = ⋯

17. ∫ 3√3 − 2 = ⋯

18. ∫ 4 +1 = ⋯
3 2+2 −1

19. Jika a – b = 1 maka ∫ √ + +√ + = ⋯

20. Diketahui ∫ ( ) = 1 2 + + , ≠0; ( ) = +2 ; ( ) = 6 ; ( ) = ⋯
2
4
21. Diketahui ∫ ( ) = 2 + + , ≠ 0 ; ( ) = 6 dan , ( ), 2 membentuk barisan

aritmatika maka a.b = ...

22. Diketahui ( ) = ∫ 2 . Jika (2) = − 19 maka tentukan titik potong kurva tersebut

3

dengan sumbu X.

23. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) = 2x – 5. Jika kurva melalui titik (4, 7) maka

tentukan titik potong kurva dengan sumbu Y.
24. Gradien garis singgung kurva = ( ) di titik (x, y) adalah 3 2 + 4 + 6. Jika kurva melalui

titik (1, 14) maka tentukan titik potongnya dengan sumbu Y.

25. Grafik fungsi f melalui titik (1, 0) dan (2, -1). Jika gradien garis singgungnya di setiap titik (x, y)

dapat dituliskan dalam bentuk ax + 1 dimana a adalah konstanta, maka tentukan titik potong

grafik fungsi f dengan sumbu Y.

26. Jika ( ) = 3 + −3 ; (1) = − 11 ; ( ) = ⋯

20

‘LEARNING IS FUN’ 36

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

27. Hasil substitusi = + 1 pada ∫01 2√ + 1 adalah ... (nyatakan dalam u).

28. Jika pada integral ∫01/2 √ disubstitusikan √ = sin maka akan menghasilkan integral
√1−

baru ....

29. ∫12 1 2 − 1 = ⋯
2 2

30. ∫11⁄⁄83 3 √1 + 1 = ⋯
2

31. Jika ∫01 = maka ∫01 1 =⋯
1+ 1+

32. Jika ∫12 1 = maka ∫12 4√ + = 4− 3 jika k = ...
√ +1 √ +1

33. ∫−22| 2 − 4| = ⋯
34. ∫03 ( 2 + 6 + 1) = 8 3 + 28 2 + 4 + 2. Tentukan banyak bilangan real a yang

memenuhi.

35. Jika ( ) = + ; ∫01 ( ) = 1 ; ∫12 ( ) = 5 ; tentukan ( ).
36. Jika ∫14 ( ) = 6 maka ∫14 (5 − ) = ⋯
37. Jika ∫ 3 ( ) = maka ∫ 2 (5 − 2 ) = ⋯
38. Jika f’(x) adalah turunan pertama fungsi f, dan (2 − 4) = , maka nilai dari ∫02{ (2 ) +

2 ′( )} = ⋯

39. Diketahui ( ) = + dan F(x) adalah anti turunan f(x). Jika F(1) – F(0) = 3 maka nilai dari

2a + b adalah ...

40. Luas daerah antara kurva = ( + 1)3, garis y = 1, garis x = -1 dan x = 2 dapat dinyatakan

sebagai .... (nyatakan dalam bentuk integralnya).

41. Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh = 4 − 2, y = 3x dan y = 0 (sumbu Y), dapat

dinyatakan sebagai ... (nyatakan dalam bentuk integralnya).

42. Nyatakan bentuk integral luas dari daerah yang diarsir.

43. Nyatakan bentuk integral luas dari daerah yang diarsir.

‘LEARNING IS FUN’ 37

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

44. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis + = 2, − = −1, + 2 = 2.

45. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola = 6 − 2dan = 2 − 2 .

46. Daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva = 4 − 2 serta garis yang melalui (4, 0)

dan puncak kurva. Tentukan luas D.

47. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola = 2 dan garis singgung yang melalui titik

(-1, 1) dan (2, 4).

48. Diketahui ( ) = + , ( ) < 0 untuk 0 ≤ < 2 dan ( ) ≥ 0 untuk ≥ 2.

∫04 ( ) = 0 dan luas daerah yang dibatasi oleh = ( ), = 0, = 4, dan sumbu X
adalah 8. Tentukan ( ).

49. Jika ( ) = 2 maka luas daerah yang dibatasi kurva = 4 − ( ), = 4 − ( − 4), dan

garis y = 4 adalah ...

50. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva = 2 dan garis = (2 − 1) adalah 9 maka m =
2

51. Daerah yang dibatasi oleh garis = 3 dan kurva = √ pada 0 ≤ ≤ , > 0 terdiri atas

dua bagian. Agar kedua bagian sama luasnya maka tentukan nilai m.

52. Agar luas bagian A sama dengan luas bagian B maka tentukan c.

53. Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva = 4 , = 1 , = , > 0 adalah 9 satuan luas,
2 4

maka jumlah semua bilangan c yang mungkin adalah ...

54. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva = √ , = 2, = 4 ,
= 3 diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360o adalah ...

55. Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva = 2 dan garis = 2 dimana ≠ 0 diputar

mengelilingi sumbu X volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu Y,

maka nilai a yang memenuhi adalah ...

‘LEARNING IS FUN’ 38

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

JAWABAN

1. ∫(2 − 3)2 = ∫ 4 2 − 6 +9 = 4 2+1 − 6 1+1 + 9 + =

4 3 − 3 2 + 9 + 2+1 1+1

3

2. ∫ 2 5 − 3 4 + 2 +2 = 2 5+1 − 3 4+1 + 1 2+1 + 2 + =

1 6 − 3 5 + 1 3 + 2 + 1+5 1+4 1+2

353

3. ∫ 1 3 + 2 2 − 7 = 1 3+1 + 2 2+1 − 7 1+1 + =
3 3(1+3) 5(1+2) 1+1
5

1 4 + 2 3 − 7 2 +

12 5 2

4. ∫ 3 − 2 + 11 = ∫ 2 −2 − 2 + 11 = 2 −2+1 − 2 ln| | + 11 + =
2 1+(−2)


−2 −1 − 2 ln| | + 11 +

5 1 1 ∫ −310 −310+1

5. ∫ √ √ 3√1 = ∫ (1)3.5.2 = ∫( −1)30 = = 1 + =
1+(−310)


30 29 +

29 30

6. ∫(3 + 7)6 =

Misal : = 3 + 7 → ′ = 3 → = 3 → =
3


∫(3 + 7)6 = ∫ 6 = 1 6+1 + = 1 7 + = 1 (3 + 7)7 +
3 3(6+1) 21
21

Cara cepat:

∫(3 + 7)6 = 1 (3 + 7)6+1 + = 1 (3 + 7)7 +

3(1+6) 21

7. 2 = 1 (5 − 1)72+1 + = 7 (5 9 + (cara cepat).
5(1+27)
∫(5 − 1)7 45 − 1)7

8. ∫(3 − 7 )−2 = 1 (3 − 7 )−2+1 + = 1 (3 − 7 )−1 + (cara cepat).
−7(1+(−2)) 7

9. ∫ 2 3(3 4 + 5)3 =

Misal : = 3 4 + 5 → ′ = 12 3 → = 12 3 → =
12 3

3
∫ 2 3(3 4 + 5)3 = ∫ 2 3 3 = ∫ 6 = 1 4 + = 1 (3 4 + 5)4 +
12 3
24 24

Cara cepat :

∫ 2 3(3 4 + 5)3 = 2 (3 4 + 5)3+1 + = 1 (3 4 + 5)4 +

3.4.(1+3) 24

‘LEARNING IS FUN’ 39

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

10. ∫ 3 4 4√2 5 − 1 = 1 = 3 (2 5 − 1)41+1 + =
2.5.(1+14)
∫ 4(2 5 − 1)4

6 (2 5 − 5 + (cara cepat).
25
1)4

11. ∫ 3 = ∫ 3 ( 2 + 1)−31 = 3 ( 2 + 1)−31+1 + = 9 ( 2 + 2 +
3√ 2+1 1.2.(1+(−31))
4 1)3

(cara cepat).

12. ∫ (√ +3)3 =
√

Misal : = √ + 3 → ′ = 1 → = 1 → = 2√
2√
2√

∫ (√ +3)3 = ∫ 3 2√ = ∫ 3 = 1 4 + = 1 (√ + 3)4 +
√ √ 4
4

13. ∫ (4 + 1)−2 ( 12) =



Misal : = 4 + 1 → ′ = − 1 → = − 1 → = − 2
2 2
1)−2 (4 + 1)−1 +

∫ (4 + ( 12) = ∫ −2 1 . − 2 = − ∫ −2 = −1 + =
2

14. ∫ √2 − 1 =

Misal : = √2 − 1 → 2 = 2 − 1 → 1 ( 2 + 1) = → 1 . 2 = → =

2 2
1 1 1 1 5 + 1 3 +
∫ √2 − 1 = ∫ 2 ( 2 + 1). . = ∫ 2 4 + 2 2 = =
10 6
5 3
1 (2 − + 1 (2 − +
1)2 1)2
10 6

*Selain menggunakan cara substitusi, soal ini juga bisa diselesaikan menggunakan cara

integral parsial seperti soal no. 16

15. ∫ 2+4 −1 = ∫ 2−1+4 = ∫ 2−1 + ∫ 4 = ∫ 1 + ∫ 4 =
2−1 2−1 2−1 2−1 2−1

∫ 1 = +

∫ 4 = ∫ 4 ( 2 − 1)−1 = 4 ln( 2 − 1) + = 2 ln( 2 − 1) +
2−1
2+4 −1 1.2
2−1
∫ = + 2 ln( 2 − 1) +

‘LEARNING IS FUN’ 40

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

16. ∫ √4 + 1 =

Turunan Integral Tanda
x
1 1 +
-
0 (4 + 1)2

1 . 2 (4 + 3 = 1 (4 + 3

1)2 1)2
43 6
5 5
1 . 1 . 2 (4 + = 1 (4 +
1)2 1)2
645 60

∫ √4 + 1 = . 1 (4 + 3 − 1. 1 (4 5 + = 1 (4 + 3 − 1 (4 5 +

1)2 + 1)2 1)2 + 1)2
6 60 6 60

17. ∫ 3√3 − 2 =

Turunan Integral Tanda
3
1 +
3 2 -
(3 − 2 )2 +
6x -
− 1 . 2 (3 − 3 = − 1 (3 − 3
6 2 3 3
2 )2 2 )2
0
− 1 . − 1 . 2 (3 − 5 = 1 (3 − 5

3 25 2 )2 15 2 )2

1 . − 1 . 2 (3 − 7 = − 1 7

15 2 7 2 )2 105 (3 − 2 )2

− 1 . − 1 . 2 (3 − 9 = 1 9

105 2 9 2 )2 945 (3 − 2 )2

∫ 3√3 − 2 =

3. − 1 (4 + 3 − 3 2. 1 (3 − 5 − 6 . 1 7 1 9

1)2 2 )2 (3 − 2 )2 − 6. (3 − 2 )2 + =
3 15 105 945
3 5 7 9
− 1 3(4 + − 1 2(3 − − 2 (3 − 2
1)2 2 )2 − 2 )2 (3 − 2 )2 +
3 5 35 315

18. ∫ 4 +1 = ∫ 4 +1 =
3 2+2 −1 (3 −1)( +1)

4 +1 = + = ( +1)+ (3 −1) = ( +3 ) +( − ) →
(3 −1)( +1) 3 −1 +1 (3 −1)( +1) (3 −1)( +1)

+ 3 = 4 ; − = 1 , eliminasi kedua persamaan ini didapatkan = 7 , = 3

44
7⁄4 3⁄4
∫ 4 +1 = ∫ 3 −1 + −1 = 7 . 1 . ln|3 − 1| + 3 . 1 . ln|3 − 1| + =
3 2+2 −1
7 ln|3 − 1| + 1 ln|3 − 1| + 43 43

12 4

19. ∫ = ∫ . √ + −√ + = ∫ √ + −√ + = ∫ √ + −√ + =
√ + +√ + √ + +√ + √ + −√ + ( + )−( + ) −

∫ √ + −√ + = 1 ( + )21+1 − 1 ( + )21+1 + = 2 ( + 3 − 2 ( + 3 +
1 1+21 1+21
)2 )2
33

‘LEARNING IS FUN’ 41

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

20. ( ) = 1 + → ( ) = 1 2 + = +2 → 2 + 2 = + 2 → 2 = → = 1

2 22

( ) = 6 → 1 . 1. + = 6 → 3 = 6 → = 4

22

( ) = 1 + 4

2

21. ( ) = 2 + → ( ) = 2 + = 6 → = 6−

2
( ) = 2 2 + = 2 (6− )2 +
2

, ( ), 2 → barisan aritmatika, maka ( ) = +2 → 2 ( ) = + 2 →
2
2. {2 (6− )2 + } = 6− + 2 → 4 (6− )2 + 2 = 6− + 2 → 4 (6− )2 = 6− →
2 2 2 2 2 2

4 (6− )2 − 6− = 0 → 6− (4 6− − 1) = 0
2 2 2 2

6− = 0 → = 6 → = 0 tidak memenuhi
2

4 6− − 1 = 0 → 4 6− = 1 → 24 − 4 = 2 → 24 = 6 → = 4 → = 6−4 = 1
2 2 2.4 4
. = 1 . 4 = 1
4

22. ( ) = ∫ 2 = 1 3 + → (2) = 1 . 23 + = − 19 → 8 + = − 19 → = − 9

3 3 3 3 3
1 3 − 9 → 0 = 1 3 − 9 → 9 = 1 3
( ) = → titik potong dengan sumbu X → = 0 →
3 33

= 3, koordinat titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0).

23. = ∫ 2 − 5 = 2 − 5 + .
(4, 7) → 7 = 42 − 5.4 + → 7 = −4 + → = 11 ; = 2 − 5 + 11
Titik potong dengan sumbu Y → = 0 → = 02 − 5.0 + 11 = 11 → (0, 11)

24. = ∫ 3 2 + 4 + 6 = 3 + 2 2 + 6 +
(1, 14) → 14 = 13 + 2. 12 + 4.1 + 6 + = 13 + → = 1
= 3 + 2 2 + 6 + 1 → titik potong dengan sumbu Y → = 0 → = 1 → (0, 1)

25. = ∫ + 1 = 1 2 + +

2
(1, 0) → 0 = 1 + 1 + → = − 1 − 1

22
(2, −1) → −1 = 2 + 2 + → −1 = 2 + 2 − 1 − 1 → −2 = 3 → = − 4

2 23
= − 1 . − 4 − 1 = − 1 → = − 2 2 + − 1
23 3 33

titik potong dengan sumbu Y → = 0 → = − 1 → (0, − 1)

33

‘LEARNING IS FUN’ 42

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

26. ( ) = ∫ 3 + −3 = 1 4 − 1 −2 +

42
(1) = 1 14 − 1 1−2 + = − 11 → − 1 + = − 11 → = − 6 = − 3
42 20 4 20 20 10
( ) = 1 4 − 1 −2 − 3
42 10

27. ∫01 2√ + 1 = = 1 → = 1 → = ;

Misal : = + 1 → ′ = − 1

= 0 → = 0 + 1 = 1 ; = 1 → = 2

∫01 2√ + 1 = ∫12( − 1)2√

28. ∫01/2 √ =
√1−
→1
Misal : √ = sin = cos → = 2√ cos ; = 2
2√

= 0 → √0 = sin → = 0 ; = 1 → √1 = sin → =
2 4
2

∫01/2 √ = sin = sin = sin =
√1− √1− 2 √ 2 cos
∫04 ∫04 ∫04 ∫04 tan

29. ∫12 1 2 − 1 = ∫12 1 2 − −2 = 1 . 1 2+1 − 1 −2+1| 2 = 1 3 + −1| 2 =
2 2 2 2 1+2 1+(−2) 1 6 1

(1 . 23 + 2−1) − (1 . 13 + 1−1) = (8 + 1) − (1 + 1) = 11 − 7 = 4 = 2
66 62 61 6 663

30. ∫11⁄⁄83 3 √1 + 1 =
2

Misal : = 1 + 1 → ′ = − 1 → = − 1 → = − 2
2 2

∫11⁄⁄83 3 √1 + 1 = ∫11⁄⁄83 3 √ . − 2 = − ∫11⁄⁄83 1 = 3 1⁄3 = −2 (1 +
2 2 1⁄8
3 2 −2 2|

3 1⁄3 = 33 33 −16 + 54 = 38
1⁄8
1)2| −2 (1 + 11⁄3)2 −. −2 (1 + 11⁄8)2 = −2(22)2 + 2(32)2 =



31. ∫01 = ∫01 1 − 1 = ∫01 1 − ∫01 1 = |10 − = ∫01 1 →
1+ +1 +1 +1

1 − = ∫01 1 → ∫01 1 = 1 −
+1
+1

32. ∫12 4√ + = ∫12 4√ +4 + ∫12 −4 = ∫12 4 √ +1 + ( − 4) ∫12 1 = 4 − 3
√ +1 √ +1 √ +1 √ +1
√ +1

∫12 4 + ( − 4) = 4 − 3 → 4 |21 + ( − 4) = 4 − 3 → 4 + ( − 4) = 4 − 3 →
( − 4) = −3 → − 4 = −3 → = 1

‘LEARNING IS FUN’ 43

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

33. ∫−22| 2 − 4| = ∫−22 −( 2 − 4) = ∫−22 4 − 2 = 4 − 1 3| 2 =
3 −2

(4.2 − 1 . 23) − (4. −2 − 1 . (−2)3) = 32

3 33

34. ∫03 ( 2 + 6 + 1) = 1 3 + 3 2 + | 3 = 9 3 + 27 2 + 3
0
3

9 3 + 27 2 + 3 = 8 3 + 28 2 + 4 + 2 → 3 − 2 − − 2 = 0

Salah satu nilai a yang memenuhi persamaan tersebut adalah 2.

Nilai a yang lain dicari dengan menggunakan metode Horner

2 1 -1 -1 2

222+
1110

2 + + 1 → definit positif tidak ada nilai a lain yang membuat nol, sehingga cuma ada satu
nilai a real yang memenuhi yaitu 2.

35. ( ) = +

∫01 ( ) = ∫01( + ) = 1 2 + | 1 = 1 + = 1 … ( )
2 0
2

∫12( + ) = 1 2 + | 2 = (2 + 2 ) − (1 + ) = 3 + = 5 … ( )
2 1
22

Eliminasi (i) dan (ii) menghasilkan a = 4 dan b = -1 → ( ) = 4 − 1

36. ∫14 ( ) = (4) − (1) = 6
∫14 (5 − ) =
Misal : = 5 − → ′ = −1 → = − ; = 1 → = 4 ; = 4 → = 1
∫14 (5 − ) = − ∫41 ( ) = ∫14 ( ) = (4) − (1) = 6

37. Jika ∫ 3 ( ) = (3 ) − ( ) =
∫ 2 (5 − 2 ) =
Misal : = 5 − 2 → ′ = −2 → = − 1 ; = → = 3 ; = 2 → =
2
∫ 2 (5 − 2 ) ∫3 ∫ 3 ( )
= ( ). − 1 = 1 = 1 { (3 ) − ( )} = 1
2 2
22

38. (2 − 4) = → misal 2 − 4 = → = +4 → ( ) = +4 → ( ) = +4
2
′( ) = 1 2 2

2 2 + 2 |20 = 8

∫02{ (2 ) + 2 ′( )} = ∫02 {2 +4 + 2 } = ∫02 2( + 1) =

2 2

39. ∫01( + ) = + 1 2| 1 = + 1 = 3 → 2 + = 6
2 0
2

‘LEARNING IS FUN’ 44

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
40.

Dari grafik terlihat bahwa pada selang −1 ≤ ≤ 0 garis = 1 berada di atas kurva =
( + 1)3 sehingga luas area pada selang ini adalah : 1 = ∫−01{1 − ( + 1)3} ,
sedangkan pada selang 0 ≤ ≤ 2 garis = 1 berada di bawah kurva = ( + 1)3 sehingga
luas area pada selang ini adalah : 2 = ∫02{( + 1)3 − 1} .
= 1 + 2 = ∫−01{1 − ( + 1)3} ∫02{( + 1)3 − 1}
41.

Dari grafik terlihat bahwa luas area dibagi oleh dua selang yaitu 0 ≤ ≤ 1 dimana luas area
pada selang ini adalah : 1 = ∫01 3 ,
dan selang 1 ≤ ≤ 2 dimana luas area pada selang ini adalah : 2 = ∫12(4 − 2) .
= 1 + 2 = ∫01 3 + ∫12(4 − 2)

‘LEARNING IS FUN’ 45

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
42.

Dari grafik terlihat bahwa pada selang 0 ≤ ≤ 4 garis = − + 6 berada di atas kurva =
√ sehingga luas area pada selang ini adalah : 1 = ∫04{(− + 6) − √ } ,
sedangkan pada selang 4 ≤ ≤ 6 garis = − + 6 berada di bawah kurva = √ sehingga
luas area pada selang ini adalah : 2 = ∫46{√ − (− + 6)} .
= 1 + 2 = ∫04{(− + 6) − √ } + ∫46{√ − (− + 6)} =
∫04{− + 6 − √ } + ∫46{√ + − 6}
43.

Dari grafik terlihat bahwa pada selang 0 ≤ ≤ 3 garis = + 1 berada di atas garis =
sehingga luas area pada selang ini adalah : 1 = ∫03( + 1) − = ∫03 ,
sedangkan pada selang 3 ≤ ≤ 4 garis = berada di bawah garis = 4 sehingga luas area
pada selang ini adalah : 2 = ∫34 4 − .
= 1 + 2 = ∫03(( + 1) − ) + ∫34(4 − ) = ∫03 + ∫34(4 − )

‘LEARNING IS FUN’ 46

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
44.

a. Menentukan absis titik potong garis = + 1 dan garis = 2 − menggunakan cara

substitusi atau eliminasi sehingga diperoleh : x = ½.

b. Menentukan absis titik potong garis = + 1 dan garis = −2 menggunakan cara

2

eliminasi atau substitusi sehingga diperoleh : x = -4.

c. Menentukan absis titik potong = −2 dan garis = 2 − menggunakan cara eliminasi
2

atau substitusi sehingga diperoleh : x = 2.

d. 1 = ∫−14⁄2 {( + 1) − ( −2)} = ∫−14⁄2 1 + 2 = 1 2 + 2 | 1 =
2 2
2 4 −4

(1 . (1)2 + 2. 1) − (1 . (−4)2 + 2. −4) = 51 satuan luas
42 24
16

2 = ∫12⁄2 {(2 − ) − ( −2)} = ∫12⁄2 3 − 3 = 3 − 3 2| 2 =
2
2 1
42
3 . (1)2) =
(3.2 − 3 . (2)2) − (3. 1 − 1 11 satuan luas
42
42 16

= 5 1 + 1 11 = 6 12 = 6 3 sat luas
16 16 16 4

45.

a. Menentukan absis titik potong kedua kurva → 6 − 2 = 2 − 2 → 0 = 2 2 − 8 →

0 = 2 ( − 4) → = 0 , = 4

b. = ∫04(6 − 2) − ( 2 − 2 ) = ∫04 8 − 2 2 = 4 2 − 2 3| 4 = (4. 42 −
3 0

2 . 43) = 64 sat luas
3
3

‘LEARNING IS FUN’ 47

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR
46.

a. Menentukan persamaan garis → − 1 = 2− 1 → −0 = 4−0 → = −2 + 8

− 1 2− 1 −4 2−4

b. Absis perpotongan antara garis dengan kurva adalah x = 2 , x = 4.

c. = ∫24(4 − 2) − (−2 + 8) = ∫24 − 2 + 6 − 8 = − 1 3 + 3 2 − 8 | 4 =
3 2

(− 1 . 43 + 3. 42 − 8.4) − (− 1 . 23 + 3. 22 − 8.2) = 4 sat luas

3 33

47.

a. Menentukan persamaan garis ( = ′ = 2 ) :

(−1, 1) → = 2. −1 = −2 → = −2 − 1

(2, 4) → = 2.2 = 4 → = 4 − 4

b. Menentukan absis titik potong kedua garis : → −2 − 1 = 4 − 4 → 3 = 6 → = 1

2

c. Menentukan absis titik potong garis dengan sumbu X.

= −2 − 1 → = − 1 ; = 4 − 4 → x = 1
2
1
∫−11⁄⁄22 ∫−11⁄⁄22
d. 1 = 2 − (−2 − 1) = 2 + 2 + 1 = 1 3 + 2 + | 2
3
−1
2
= (1 . (1)3 + (1)2 + 1) − (1 . (− 1)3 + (− 1)2 − 1) =
32 2 2 32 22 13 sat luas
12

2 = ∫11⁄2 2 − (4 − 4) = ∫11⁄2 2 − 4 + 4 = 1 3 − 2 2 + 4 | 1
3
1
= (1 . 13 − 2. 12 + 4.1) − (1 . (1)3 − 2 (1)2 + 4. 1) = 2

3 32 22 19 sat luas
24

= 13 + 19 = 45 = 15 sat luas

12 24 24 8

‘LEARNING IS FUN’ 48

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

48. ∫04 + = 2 + | 4 = 8 + 4 =0 → = −2
2 0

= − ∫02 + + ∫24 + = 8
2 42}
− 2 − | 0 + { 2 + | = 8 → −2 − 2 + {(8 + 4 ) − (2 + 2 )} = 8 →
2
2

4 = 8 → = 2 ; = −2.2 = −4 → ( ) = 2 − 4

49. = 4 − ( ) = 4 − 2 ; = 4 − ( − 4) = 4 − ( − 4)2 = −12 + 8 − 2; = 4

= ∫02 4 − (4 − 2) + ∫24 4 − (−12 + 8 − 2) = 4
2 2
∫02 2 + ∫24 16 − 8 + 2 = 1 3| 0 + 16 − 4 2 + 1 3 | =
3 3

23 + {(16.4 − 4. 42 + 1 . 43) − (16.2 − 4. 22 + 1 . 23)} = 16 sat luas
3 3 3 3

50. Menentukan absis titik potong antara kurva dan garis → 2 = (2 − 1) → 2 −

(2 − 1) = 0 → ( − (2 − 1)) = 0 → = 0 , = 2 − 1. Di sini (2m – 1) punya dua

kemungkinan nilai, positif atau negatif.

a. Jika (2 − 1) bernilai positif.

= ∫02 −1(2 − 1) − 2 = 2 −1 2 − 1 3| 2 − 1 = 9
2 3 0 2

2 −1 . (2 − 1)2 − 1 (2 − 1)3 = 1 (2 − 1)3 = 9 → (2 − 1)3 = 27 →

2 362
(2 − 1)3 = 33 → 2 − 1 = 3 → = 2

b. Jika (2 − 1) bernilai negatif maka 2 − 1 = −3 → = −1

‘LEARNING IS FUN’ 49