MODUL MTK

KATA PENGANTAR
Assalammualikum Warahmatullahi Wabarokatuh

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang masih memberikan kita
kesehatan dan senantiasa melimpahkan segala rahmat, taifik dan hidayah-Nya sehingga penulis
dapat menyelesaikan buku ajar ini.

Buku ajar ini disusun untuk memaksimalkan ketercapaian kompetensi dasar yang
diharapkan pemerintah. Dengan adanya buku ajar ini memudahkan pendidik dan peserta didik
dalam mengetahui Kd dan materi yang sedang dipelajari dikelas. Buku ajar ini juga
memudahkan pendidik dan peserta didik dalam melakukan penilaian setiap KD, maka buku ini
jug adilengkapi dengan apersepsi, peta konsep, latihan setiap KD,dan contoh soal beserta
penyelesaiannya sebagai alternatif untuk pengamatan peserta didik.

Selain itu buku ini ditulis untuk memenuhi kebutuhan penulis dalam mengikuti program
PPD Daljab dalam rangka sertifikasiguru profesional di bidang guru matematika.

Dalam pembuatan buku ajar ini masih banyak terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat
membuka saran dan kritik yang sifatnya membangun mudah-mudahan buku ajar ini memberikan
manfaat dapat menjadi tema dan sekaligus bahan bacaan yang menyenangkan bagi kita untuk
mempelajari dan menerapkannya dakam kehidupan sehari-hari.

Dalu – Dalu , April 2021

Penulis

ii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................................. ii
Daftar isi .......................................................................................................................... iii
Daftar Gambar ................................................................................................................. iv
Bab 1 Induksi Matematika ............................................................................................... 1
3
a. Notasi sigma ....................................................................................................... 7
b. Induksi Matematika ........................................................................................... 10
Bab 2 Program Linear ...................................................................................................... 12
a. Model Matematika ............................................................................................. 13
b. Program Linear .................................................................................................. 16
c. Menentukan Nilai Optimum dengan Metode Garis Selidik ............................... 19
Bab 3 Matriks .................................................................................................................. 22
a. Matriks ................................................................................................................ 24
b. Operasi Hitung Pada Matriks ............................................................................. 29
c. Determinan dan Invers Matriks .......................................................................... 38
Bab 4 Transformasi Geometri ......................................................................................... 40
a. Jenis Transformasi .............................................................................................. 45
b. Komposisi Transformasi ..................................................................................... 47
Rangkuman ...................................................................................................................... 48
Tes Formatif .................................................................................................................... 51
Daftar Pustaka .................................................................................................................. 52
Jawaban Tes Formatif ...................................................................................................... 53
Kriteria Penilaian Tes Formatif ........................................................................................

iii

DAFTAR GAMBAR 7
Gambar 1 Efek Domino .................................................................................................... 22
Gambar 2. Posisi siswa berbaris dilapangan ............................................................. 40
Gambar 3. Anak-anak bermain perosotan ................................................................... 41
Gambar 4. Seseorang sedang bercermin ..................................................................... 4
Gambar 5. Anak-anak bermain gasing...........................................................................

iv

BAB 1 INDUKSI MATEMATIKA

Kompetensi Dasar

3.1 menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi
matematika

4.1 menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan
matematis berupa barisan, ketidaksamaan
dan keterbagian.

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajarai materi dalam bab ini, peserta didik
diharapkan mampu :

1. Menjelaskan konsep notasi sigma dengan tepat
2. Menentukan nilai penjumlahan dalam notasi sigma

dengan benar
3. Menjelaskan metode pembuktian pernyataan

matematis berupa barisan, ketidaksamaan,
keterbagian dengan induksi matematika secara tepat
4. Menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan matematis
berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian secara
teliti

1

PETA KONSEP

Induksi Matematika

Notasi Sigma Induksi Matematika

Pengertian Notasi Sigma Pengertian Induksi Matematika
Prinsip Induksi Matematika
Nilai Penjumlahan Dalam Notasi
Sigma Penalaran Induksi dan Deduksi

Sifat-Sifat Notasi Sigma Metode Pembuktian Induksi
Matematika

2

Induksi matematika merupakan salah satu materi yang menjadikan perluasan dari
materi logika. Materi induksi matematika bisa didefenisikan sebagai sebuah metode
pembuktian deduktif yang biasa digunakan untuk menyatakan apakah suatu perrnyataan
benar atau tidak. Dalam kehidupan sehari-hari materi ini biasa digunakan untuk membantu
seseorang menentukan kpilihan dan keputusan sulit. Secara umum, materi ini dilakukan
dalam dua tahapan, yaitu tahap dasar dan tahap induktif. Tahap dasar dilakukan untuk
membuktikan sebuah perbyataan terkait dengan bilangan asli pertama dan tahap induktif
untuk membuktikan bahwa pernyataan yang diberikan untuk setiap satu bilangan asli
menyiratkan pernyataan yang diberikan untuk bilangan asli berikutnya.

a. Notasi sigma
1. Pengertian Notasi Sigma

Untuk mengawali bahasan mengenai notasi sigma, perhatikan jumlah 5
bilangan ganjil pertama berikut ini: 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Pada bentuk tersebut 1 disebut suku ke-1, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut suku
ke-3,7 disebut suku ke-4 dan 9 disebut suku ke-5. Ternyata suku-suku tersebut
mengikuti suatu pola sebagai berikut:

Suku ke-1 = 1 = 2 (1) –1
Suku ke-2 = 3 = 2 (2) –1
Suku ke-3 = 5 = 2 (3) – 1
Suku ke-4 = 7 = 2 (4) –1
Suku ke-5 = 9 = 2 (5) –1
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola dari suku-suku penjumlahan
itu adalah 2k – 1 dengan k ∈{1,2,3,4,5}. Untuk menyingkat penulisan penjumlahan
seperti di atas digunakan huruf kapital Yunani ∑ , dibaca notasi sigma yang
diperkenalkan pertama kali tahun 1755 oleh Leonhard Euler. Selanjutnya bentuk
penjumlahan di atas dapat ditulis dalam notasi sigma sebagai:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ∑5 =1(2 − 1)

Keterangan :
Penulisan ∑5 =1(2 − 1) dibaca jumlah (2 − 1) untuk nilai k = 1 sampai k = 5
nilai k = 1 dibawah tanda Ʃ disebut batas bawah penjumlahan
nilai k = 5 di atas tanda Ʃ disebut batas atas penjumlahan
himpunan { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah penjumlahan

Dengan rumus umumnya

3

1 + 2 + 1+… + + ⋯ + = ∑ =1

dengan :
i = 1 dibawah tanda notasi sigma disebut batas bawah penjumlahan , n diatas

tanda sigma disebut batas atas penjumlahan.
Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang

panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain,
notasi isgma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis perhitungan
penjumlahan yang panjang. Agar lebih mudah memahaminya perhatikan beberapa
contoh berikut :

1. Ubah lah penjumlahan penjumlahan berikut dalam bentuk notasi sigma

a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30

b. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33 + 37 + 41

c. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

jawab :

a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30

= 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3 (4)+ 3(5) + 3(6) + 3(7) + 3(8) + 3(9) + 3(10)
= ∑ 1 =01(3 )

b. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33 + 37 + 41
= 1 + 5 + 9 + . . .+ 41
= [ 4 (1) - 3) ] + [ 4 (2) - 3) ] + [ 4 (3) - 3) ] + ... + [ 4 (i) - 3) ] + ...+ [ 4 (11) - 3)
]
= ∑1 =11 4 − 3

c. =21 21++21.231.3++31.341.4++41..5. +. +51 .6 ( + 1+161).7++⋯71.8++9.8111.09 + 1
9.10

= ∑9 =1 1
( +1)

1. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma
Setelah kamu bisa menyatakan penjumlahan dengan notasi sigma, sekarang

kamu akan mempelajari nilai penjumlahan dengan notasi sigma. Perhatikan contoh
– contoh berikut agar kamu lebih memahaminya.

4

Contoh :
1. Tentukan nilai dari penjumlahan – penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma

berikut ini!

a. ∑5 =1(2 − 4)

b. ∑4 =1( 2 − 3 )

c. ∑ 5 =1(2 +2 3)

jawab :

a. ∑ 5 =1(2 − 4) = ( 2 ( 1 ) – 4 ) + ( 2 ( 2 ) – 4 ) + ( 2 ( 3 ) – 4 ) +( 2 ( 4 ) – 4 ) + ( 2 ( 5 ) – 4)
= ( 2 – 4 ) + ( 4 – 4 ) + ( 6 – 4 ) + ( 8 – 4 ) + ( 10 – 4 )
= -2 + 0 + 2 + 4 + 6
= 10

b. ∑4 =1( 2 − 3 ) = ( 12 – 3 (1) ) + ( 22 – 3 (2) ) + ( 32 – 3 (3) ) + ( 42 – 3 (4) )
= ( 1 – 3 ) + ( 4 – 6 ) + ( 9 – 9 ) + ( 16 – 12 )
= ( -2 ) + ( -2 ) + ( 0 ) + ( 4 )
=0

. ∑5 =1(2 +2 3) = 12 + 22 + 32
2.1+3 2.2+3 2.3+3
1 4 9
= 5 + 7 + 7

= 7+20+35
35
62
= 35

2. Sifat – Sifat Notasi Sigma
Bentuk penjumlahan yang ditulis dalam bentuk notasi sigma memiliki sifat –

sifat tertentu. sifat – sifat tersebut adalah sebagai berikut :

Sifat 1
Untuk k suatu konstanta, maka ∑ =1 = .

Sifat 2 konstanta
untuk k suatu dan adalah suku ke-i, maka
∑ =1 ∑ =1

Sifat 3

5

U∑n =tu1k( +da n) = masing – masing adalah suku ke-i dari U ke D, maka
∑ =1 + ∑ =1

Sifat 4
Untuk p anggota bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan q adalah bilangan bulat
yang lebih besar dari p, maka
1. ∑ =1 = ∑ =1 ( − )

2. ∑ = = ∑ =− − ( + )

Sifat 5
Jika 0< < < < dan a, b, c, d anggota himpunan bilangan asli, maka
1. ∑ =− 1 + ∑ =− 1 + ∑ = = ∑ =
2. ∑ = + ∑ = +1 + ∑ = +1 = ∑ =

FORUM DISKUSI
1. Nyatakan notasi-notasi sigma berikut dalam jumlah lengkap dan tentukan pula

hasil penjumlahannya!
a. ∑5 =1(2 + 3)
b. ∑ 6 =1( 2 − 5)
c. ∑ 5 =1(2 − 3 )2
d. ∑1 =11(3 − 2)
e. ∑ 4 =1 (2 − 6)
2. Ubahlah notasi sigma berikut agar batas bawah adalah 1
a. ∑ 1 =03(4 + 6)
b. ∑ 2 =07(3 − 10)
c. ∑ 1 =03( 2 + 6 + 8)
d. ∑1 =14( 2 − 9)
e. ∑ 2 =010( 2 + 13 − 36)

b. Induksi Matematika

6

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika.
Secara umum, Induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu
sifat yang didefenisikan pada bilangan asli n adalah bernilai benar untuk semua nilai n
yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu. Melalui induksi
matematika , kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk
menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah
langkah terbatas yag cukup mudah.

Tahap dasar dilakukan untuk membuktikan sebuah pernyataan terkait dengan
bilangan asli pertama dan tahap induktif dilakukan untuk membuktikan bahwa
pernyataan yang diberikan untuk setiap satu bilangan asli menyiratkan pernyataan yang
diberikan untuk bilangan asli berikutnya. Perlu ditekankan bahwa dengan induksi
matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika
yag berhubungan dengan bilagan asli, tetapi bukan untk menemukan suatu formula atau
rumus.

Prinsip induksi matematika

Misalkan P(n) adalah sifat yang didefenisikan untuk suatu
bilangan asli n, dan misalkan pula a merupakan suatu bilangan
asli tertentu. Andaikan dua pernyataan berikut bernilai benar :

1. P(a) bernilai benar
2. Untuk sebarang bilangan asli k ≥ , jika bernilai benar,

maka P ( k+1) juga bernilai benar.

Maka pernyataan untuk sebarang bilagan asli n ≥ , P(n)
bernilai benar.

Untuk memberikan gambaran ide
tentang induksi matematika,
bayangkan sebarisan kartu-kartu
domino seperti pada gambar.

Gambar 1. Efek domino

7

Kita gunakan dua asumsi :
1. Kartu domino oertama dijatuhkan
2. Jika suatu kartu domino dijatuhkan, maka kartu domino berikutnya juga akan jatuh.

Jika dua asumsi tersebut benar, maka seluruh kartu domino juga akan jatuh.

Untuk melihat hubungan hal tersebut dengan prinsip induksi matematika, kita
misalkan P(n) adalah kalimat “domino ke-n akan jatuh”. In dapat dinyatakan bahwa jika P(1)
benar (domino pertama jatuh), maka untuk sebarang k ≥ 1, jika P(k) bernilai benar (domino
ke-k akan jatuh), maka P (k+1) juga bernilai benar (domino ke-(k+1) juga jatuh). Menurut
prinsip induksi matematika, maka P(n), yaitu domino ke-n jatuh, juga bernilai benar untuk
sebarang bilangan asli n ≥ 1.

Metode pembuktian dengan induksi matematika

Pandag suatu pernyataan “Untuk sebarang bilangan asli n≥
adalah bilangan asli tertentu, sifat P(n) bernilai benar”. Untuk
membuktikan pernyataan tersebut, kita akan menjalankan
dua langkah berikut :
1. Langkah dasar (basis step)

Akan ditunjukkan bahwa P(a) bernila benar.
2. Langkah induktif (inductive step)

Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli k ≥ ,
dengan a adalah bilangan asli tertentu, jika P(k) bernilai
benar makaa P (k+1) juga bernilai benar.

Contoh 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama sama
dengan n2.

Jawab

Kita ketahui pola bilangan ganjil positif adalah (2n-1) untuk n bilagan asli. Akan kita
tunjukkan bahwa 1 + 3 + 5+7+ … + (2n-1) = n2

Misalkan P(n) adalah persamaan

P(n) = 1 + 3 + 5+7+ … + (2n-1) = n2

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan p(n), kita harus menyelidiki apakah P(n)
memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah dasar dan langkah induksi.

8

1. Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa P(1) bernilai benar.
Untuk n = , maka P(1) = 1 = 12= 1
Jadi P(1) bernila benar.

2. Langkah induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli n = k ≥ 1, jika P(k) bernilai
benar maka P(k+1) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa P(k) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli n = k
≥,

P(k) = 1 + 3 + 5+7+ … + (2k-1) = k2

Selanjutnya ditunjukkan bahwa n = k + 1 maka P ( k + 1) juga bernilai benar, maka
dari ruas kiri P(k+1) diperoleh :

1 + 3 + 5+7+ … + (2k-1) + (2 (k+1)-1) = 1 + 3 + 5+7+ … + (2k-1) + (2 (k+1)-1)

= k2 + (2k +2-1)

= k2 + 2k +1

= ( k + 1)2

Kedua ruas dari P (k+1) sama, maka P(k+1) bernila benar.

FORUM DISKUSI

1. Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = ( +1)
2

2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku 3k ≥ 2k+1

9

BAB 2 PROGRAM LINEAR

KOMPETENSI DASAR

3.2 Menjelaskan program linear dua variabel dan
metode penyelesaiannya dengan
menggunakan masalah kontekstual

4.2 menyelesaikan masalah kontekstual yang
berkaitan dengan program linear dua variabel

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi dalam bab ini, peserta
didik diharapkan mampu :
1. Menjelaskan konsep program linear dengan

tepat
2. Membuat model matematika dari suatu

permasalahan program linear dengan tepat
3. Menyelesaikan permasalahan yang

berhubungan dengan program linear dengan
teliti

10

PETA KONSEP

Program Linear

Model Program Menentukan Metode Garis
Matematika Linear Nilai Selidik

Menentukan Daerah
Penyelesaian Sistem
Persamaan linear Dua

Menentukan Sistem
Pertidaksamaan

11

Setiap manusia dalam mencapai tujuannya akan menemui kendala, seorang pengusaha
roti yang ingin memperoleh keuntungan semaksimal mungkin, kendalanya mungkin dari
bahan pokok, kendala pemasarannya, dan lain-lain. Masalah-masalah nyata yang sering
dihadapi ini akan menjadi kajian di dalam program linear, yaitu dengan cara menyelesaikan
permasalahan nyata yang dihubungkan dengan program linear dalam bentuk sistem
persamaan linear dua variabel atau sistem persamaan linear tiga variabel , dengan kondisi
awal kita harus mengetahui cara menerjemahkan bahsa sehari-hari tersebut ke dalam
bahasa matematika atau dengan istilah model matematika dan selanjutnya akan kita
tentukan nilai optimum bentuk objektif.

Program linear adalah salah satu metode penentuan nilai optimum dari suatu
persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dihasilkan dari nilai pada suatu
himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Pada persoalan linear terdapat sebuah fungsi
linear yang dapat disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan maupun kendala
pada persoalan linear merupakan suatu sistem pertidaksamaan linear.

a. Model Matematika
Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu

masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan,
pertidaksamaan, atau fungsi.
Langkah –langkah dalam merancang suatu model matematika sebagai berikut :
1. Tuliskan ketentutan-ketentuan yang ada dalam sebuah tabel
2. Tetapkan besaran masalah di dalam soal sebagai variabel-variabel (dinyatakan dalam

huruf-huruf), yang dibuat permisalan adalah yang tidak punya persediaan
3. Buatlah sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui yang

mempunyai data persediaan/jumlah total.
4. Tentukan fungsi tujuan (fungsi objektif), yaitu fungsi yang akan dimaksimumkan atau

diminimumkan (kalau ada0, biasanya tidak terdapat data persediaan misalkan berupa
data keuntungan.

Contoh

Seorang pengusaha kue ingin membuat dua jenis kue, kue bakar dan kue kukus. Untuk
membuat kue bakar diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan untuk
kue kukus diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia 4 kg
dan mentega yang ada hanya 1,2 kg. buatlah model matematika dari permasalahan
tersebut !

12

Jawab

Misal : kue bakar = x

Kue kukus = y

Kue bakar (x) memerlukan 200 gr tepung dan 25 gr mentega

Kue kukus (y) memerlukan 100 gr tepung dan 50 gr mentega

Persediaan tepung 4 kg = 4.000 gr

Persediaan mentega 1,2 kg = 1.200 gr

Permasalahan tersebut dapat dibuat dalam tabel berikut :

Kue bakar (x) Kue kukus (y) Persediaan
4000 gr
Tepung 200 gr 100 gr 1200 gr

Mentega 25 gr 50 gr

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah :
 200 + 100 ≤ 4.000

2 + ≤ 40
 25 + 50 ≤ 1.200

+ 2 ≤ 48
 ≥ 0
 ≥ 0

FORUM DISKUSI
1. Sebuah perusahaan bola lampu menggunakan 2 jenis mesin. Untuk membuat bola

lampu jenis A memerlukan waktu 3 menit pada mesin I dan 5 menit pada mesin II.
Bola lampu B memerlukan waktu 2 menit pada mesin I dan 7 menit pada mesin II.
Mesin I bekerja 1.820 menit dan mesin II bekerja 4.060 menit. Buatlah model
matematika dari permasalahan tersebut.
2. Bu siti akan membuat paling bayak 60 buah roti yang terdiri dari roti kering dan roti
basah. Persediaan uang Bu Siti hanya Rp. 100.000,00. Anggaran untuk roti basah Rp.
25.000,00 dan roti kering Rp. 20.000,00. Apabila persediaan kua basah x dan kue
kering y maka model matematika dari permasalah tersebut adalah …

b. Program Linear dengan Metode Grafik
1. Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidakasamaan linear dua variabel terbentuk dari dua atau lebih
pertidaksamaan linear dua variabel dengan variabel yang sama. Daerah atau grafik dari
sistem pertiidaksamaan linear dengan dua variabel merupakan irisan dari masing-
masing daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang membentuknya.

13

Contoh

1. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan :
2 + ≤ 4; 2 − 3 ≤ 6; ≥ 0; ≥ 0
Jawab :
2 + ≤ 4
x04

y2 0

(x,y) (0,2) (4,0)

2 − 3 ≤ 6 3
x0

y -2 0

(x,y) (0,2) (-2,0)

y
4

x

23

-2
Jadi, daerah yang di arsir merupakan daerah penyelesaian

2. Menentukan sistem pertidaksamaan
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari suatu daerah himpunan

penyelesaian maka gunakan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Menentukan persamaan garis
2. Menentukan pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah penyelesaian
3. Mengganti tanda pertidaksamaannya
Ketentuan yang bisa digunakan adalah sebagai berikut :

14

a. Pastikan bahwa variabel x bertanda positif. Jika x bernilai negatif maka kalikan
dengan (-1)

b. Jika daerah penyelesaian disebelah kiri maka tanda pertidaksamaan adalah ≤
c. Jika daerah penyelesaian disebelah kanan maka tanda pertidaksamaan adalah

≥
Untuk mencari daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dapat
digunakan langkah-langkah berikut :
a. Daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel dapat dicari

menggunakan metode uji titik.
Misalkan diberikan : ax + by ≤
1. Gambarlah grafik garis ax + by =

Jika tanda ketaksamaan berupa ≤ atau ≥ maka garis pembatas digambar penuh.
Jika tanda ketaksamaan berupa < atau > maka garis pembatas putus –putus.
2. Uji titik
Ambil satu titik sembarang, misal (x1, y1) yang tidak terletak pada garis ax + by = .
Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by ≤ . Ada dua
kemungkinan sebagai berikut :
a. Apabila pertidaksamaan ax1 + by1 ≤ bernilai benar, maka daerah himpunan

penyelesaian adalah daerah yang memuat titik (x1, y1) dengan batas garis ax +
by =
b. Apabila pertidaksamaan ax1 + by1 ≤ bernilai salah, maka daerah himpunan
penyelesaian adalah daerah yang tidak memuat titik (x1, y1) dengan batas garis
ax + by =

FORUM DISKUSI

1. Pada gambar berikut, yang merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2 + 2 ≤ 24, + 2 ≥ 12, − ≥ −2 adalah ….

2. Tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi dari daerah yang di arsir pada gambar
berikut.

15

c. Menentukan Nilai Optimum dengan garis selidik
Nilai suatu fungsi sasaran ada dua kemungkinan, yaitu bernilai maksimum atau

minimum. Istilah nilai maksimum atau nilai minimum, disebut juga nilai optimum atau
nilai ekstrim. Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum suatu program linear
sebagai berikut :

1. Membuat model matematika
2. Menggambar daerah penyelesaian dari model matematika
3. Menentukan nilai optimum
4. Membuat kesimpulan berdasarkan permasalahan yang diberikan

Contoh :

1. Seorang pedagang menjual buah jeruk dan salak dengan menggunakan gerobak.
Pedagang tersebut membeli jeruk dengan harga Rp. 8.000,00/kg dansalak Rp.
6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya mampu
memuat jeruk dan apel sebanyak 180 kg. jika harga jual jeruk Rp 9.200,00/kg dan salak
Rp 7000,00/kg maka tentukan laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawab : Salak(y) Persediaan
Misal buah jeruk = x

Buah salak = y
Model matematika

Jeruk (x)

Muatan x y 180

Harga 8000 6000 1.200.000

 x + y ≤180
 8000 + 6000 ≤ 1.200.000

16

4 + 3 ≤ 600
 ≥ 0, ≥ 0
Menetukan daerah himpuna penyelesaian

+ ≤ 180
x 0 180
y 180 0
(x,y) (0, 180) (180, 0)

4 + 3 ≤ 600 200
x0 0
y 150
(x,y) (0, 150) (200, 0)

Menetukan titik potong

Eliminasi pers 1 dan 2

x + y =180 4

4 + 3 = 600 1-

4x + 4y = 720

4x + 3y = 600 -

y = 120

x + y =180
x + 120 = 180

17

x = 180 – 120
x = 60
titik potong (x,y) = (60,120)

Menentukan nilai laba maksimum

Titik 1.200x + 1.000y

(0,180) 180.000
(180,0) 180.000
(60,120) 192.000 ( maksimum)

Jadi, laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp 192.000,00.

FORUM DISKUSI
1. Sebuah rumah sakit untuk merawat pasiennya, setiap hari membutuhkan paling sedikit

150.00 unit kalori dan 130.000 unit protein. Setiap kg daging sapi mengandung 500 nit
kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap kg ikan segar mengandung 300 unit kalori
dan 400 unit protein. Harga per kg daging dan ikan segar masing-masing Rp. 100.000 dan
Rp. 30.000,00. Tentukan berapa kg daging sapi dan uikan segar yang harus disediakan
rumah sakit supaya mengeluarkan biaya sekecil mungkin.
2. Seorang penjahit memiliki persediaan bahan polos dan bermotif berturut-turut 15 m dan 20
m yang akan dijahit menjadi kemeja dan rok. Satu kemeja membutuhkan 1 m bahan polos
dan 1 m bahan bermotif, sedangkan satu rok memerlukan 1 m bahan polos dan 2 m bahan
bermotif. Jika harga sebuah kemeja dan rok masing-masing Rp 30.000 dan Rp 25.000,
maka penjualan maksimum yang diperoleh adalah …

18

BAB 3 MATRIKS

KOMPETENSI DASAR

3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan

masalah kontkestual dan melakukan operasi pada matriks yang
meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian
serta transpose.
3.4 menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks ordo 2x2 dan
3x3
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan Matriks
dan Operasinya.
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
determinan dan invers matriks berordo 2x2 dan 3x3

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah materi dalam bab ini, peserta didik diharapkan mampu:
1. Menerapkan prosedur untuk melakukan operasi pada matriks.
2. Menerapkan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan matriks dan operasinya
3. Menentukan operasi perkalian matriks pada masalah kontekstual
4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan perkalian

matriks.
5. Menerapkan konsep determinan dan invers matriks untuk

menyelesaikan masalah kontekstual SPLTV

6. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berhubungan dengan

determinan dan invers matriks

19

Tahukah kamu siapa penemu rumus matriks? Dia
adalah seorang anak ber usia 17 tahun bernama Arthur
Cayley. Arthur Cayley adalah anak dari pedagang yang
bernama Henry Cayley dengan seorang wanita yang
bernama Maria Antoina Doughty. Arthur Cayley adalah
ahli matematika berkebangsaan Ingris ini lahir pada
tanggal 16 Agustus 1821. Dan wafat pada tanggal 26
Januari tahun 1895. Kemampuannya dalam berhitung
telah terlihat ketika dia sekolah di King College di tahun
1835.

Pendidikan tinggi Cayley dimulai pada tahun 1838
dengan kuliah di Tinity College. 3 Tahun berselang
Cayley lulus. Ahli matematika yang hobi membaca novel
Jane Austin, Byron, Thackeray dan Shakespeare ini
mengarang dua karya di Cambridge Mathematical
Journal.

Karirnya dimulai dengan mengajar di Cambridge
disela melanjutkan pendidikannya. Dalam rentang waktu
tersebut karyanya mencapai 28 makalah untuk
Cambridge Mathematical Journal.
Selepas kontrak di Cambridge, Cayley menjadi tutor di Fellow of Trinity. Di samping itu
dia juga melanjutkan beberapa penelitian tentang matematika. Bisa dibilang, matematika yang
dipelajarinya hanya dengan modal bakat ilmiah. Dalam pendidikannya, Cayley sebenarnya adalah
mahasiswa jurusan hukum. Bahkan dia juga pernah menjadi pengacara.
Profesi pengacara sendiri dijalani hanya sebatas rutinitas. Sementara ketekunannya tetap
pada matematika. Ini dibuktikan dimana pada usia 17 tahun Cayley telah berhasil menemukan
matriks. Cayley dinobatkan sebagai penemu matriks dalam matematika. Selain itu, Cayley juga
dikenal dengan Teorema Cayley.
Ditahun 1862 Cayley diterima untuk menjadi pengajar matematika murni di Cambridge.
Meskipun gaji pengajar jauh dibawah gaji sebelumnya yaitu menjadi pengacara, namun Cayley
memilih jalan hidup menjadi seorang pengajar matematika. Tercatat lebih dari 900 makalah telah
dibuat Cayley, membahas semua bidang mateematika, dari aljabar hingga trigonometri. Hingga
akhirnya Dia wafat pada tahun 1985.
Pembelajaran yang dapat kita petik dari kehidupan Arthur Cayley, bahwa ketekunan kita
dalam melakukan sesuatu yang kita cintai dan minati pasti akan membuahkan hasil yang
bermanfaat bagi diri sendiri dan juga bagi orang-orang di sekitar kita. Serta Cayley juga
menunjukkan kepada kita bahwa materi dalam bentuk uang bukanlah segala-galanya, karena
dengan ilmu pengetahuan kita bahwa materi dalam bentuk uang bukanlah segala-galanya, karena
dengan ilmu pengetahuan kita pun dapat menjadi seorang yang berguna bagi orang lain.

20

PETA KONSEP

Aplikasi MATRIKS

Definisi Istilah Jenis - jenis Relasi Operasi Transpose Determinan inversMatriks
Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks Matriks

Baris Matriks Kesamaan Penjumlahan
Baris Matriks

Kolom Matriks Pengurangan
Kolom

Elemen Matriks Skalar dengan
Persegi Matriks

Ordo Matriks Nol Perkalian Matriks
denganmatriks
Matriks berordosama
Segitiga
Perkalian Matriks
Matriks denganmatriks
Diagonal berordoberbeda

Matriks
Identitas

21

A. Konsep Matriks
1. Pengertian Matriks
Coba kamu perhatikan susunan benda-benda di sekitar kamu! Sebagai contoh, susunan
buku di meja, susunan buku di lemari, posisi siswa yang berbaris dilapangan, susunan
keramik lantai, dll.

Gambar 2. Posisi siswa berbaris dilapangan
Tentu kamu dapat melihat susunan tersebut dapat berupa baris dan kolom, bukan ?
bentuk susunan berupa baris dan kolom akan melahirkan konsep matriks yang akan kita
pelajari. Sebagai contoh lainnya adalah susunan keramik lantai. Ini sudah merupakan
gambaran dari sebuah matriks.
Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi panjag yang diatur
dalam baris dan kolom yang diletakkan diantara dua tanda kurung (kurung biasa atau kurung
siku-siku). Matriks secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n
kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks
biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan
matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan
seterusnya.

22

2. Jenis-jenis matriks

a. Matriks baris adalah matriks yag terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo 1

x n dengan n ∈ bilangan asli dan n > 1

Contoh : = [2 −6 0]

b. Matriks kolom adalah matrik yang terdiri dari satu kolom atau yang berordo m x 1

dengan m ∈ bilangan asli dan m > 1

3
Contoh : = [4]

8

c. Mayriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya

kolom. Matriks persegi disebut juga matriks kuadrat.

Contoh : = [−19 60], = 2 3 1
[−4 6 7]
9 0
3

d. Matriks nol adalah matriks yang setiap elemennya adalah nol

000
Contoh : = [0 0 0]

000

e. Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dengan setiap elemen yang tidak

terletak pada diagonal utama adalah nol

20 0
Contoh : = [0 6 0 ]

0 0 −1

f. Matrik identitas adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya satu,

dilambangkan dengan I.

Contoh : = [10 01], = 1 0 0
[0 1 0]
0 0 1

g. Matriks segitiga

1. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal utama dan

elemen diatasnya tidak semua nol, sedangkan elemen-elemen lainnya nol.

2 3 −7
Contoh : = [0 6 2 ]

0 0 −1

2. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal utama

dan elemen di bawahnya tidak semuanya nol, sedangkan elemen-elemen lainnya nol.

40 0
Contoh : = [3 8 0 ]

6 10 −1

23

h. Transpose matriks adalah matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen baris

menjadi elemen kolom dan sebaliknya. Jika A suatu matriks, transpose matriks A

ditulis AT.

Contoh :

Diketahui matriks A = [−38 8 110], maka tranpose matriks A adalah AT = 3 −8
3 [8 3]
1 10

B. Operasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B
adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam
kedua matriks tersebut.
Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila keduanya memiliki ordo yang sama.
Hasil operasi penjumlahannya adalah matriks baru yang memiliki ordo sama dengan
matriks semula, dengan elemen-elemennya terdiri dari hasil penjumlahan elemen-
elemen pada matriks.

Contoh :
Diketahui Matriks A = [22 43]

B = [14 −41]

A + B = [22 43] + [14 −41]

= [22 + 4 4 +3 +(−41)]
+ 1

= [63 37]

24

2. Pengurangan Matriks
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B

adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada
matriks B dari entri-entri pada matriks A.

Seperti halnya pada penjumlahan dua buah matriks, pengurangan dua buah
matriks pun terdefinisi apabila ordo kedua matriks tersebut sama.

contoh soal
Diketahui Matriks A = [22 43]

B = [41 −41]

A – B = [22 43] − [14 −41]

= [22 − 4 4 −3 −(−41)]
− 1

= [−12 −51]

3. Perkalian matriks

a. Operasi Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks
Matriks A adalah suatu matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan

k adalah suatu bilangan real. Jika matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k
terhadap matriks A, ditulis C = kA, maka matriks C berordo m x n dengan elemen-
elemen matriks C ditentukan oleh.

cij = kaij (untuk semua i dan j)

25

Contoh :
Jika A = [−22 36], maka 3A = 3 [−22 36] = [−66 192]

Sifat-sifat perkalian bilangan real dengan matriks
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka
berlakusifat-sifat sebagai berikut :
1. aD + aH = a(D + H)
2. aD + bD = (a + b)D
3. a(bD) = (ab)D

b. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Berordo Sama
Pernahkah anda bermain kartu domino? Bagaimana memasangkan kartu

tersebut dalam permainan? Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan
dengan kartu domino yang lain, jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus
sama dengan jumlah mata dadu bagian kiri kartu pasangan?

Prinsip pemasangan kartu domino ini dapat kita gunakan untuk memahami
syarat-syarat perkalian dua matriks.

Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A
sama dengan jumlah baris matriks B. Sementara hasil perkalian matriks A dengan
matriks B ditentukan dengan cara mengalikan baris-baris matriks dengan kolom-
kolom matriks B kemudian menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom
tersebut. sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut :
1. Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriks-matriks khusus : AB ≠ BA
2. Asosiatif (AB) C = A (BC)
3. Distributif A (B + C) = AB + AC atau (B + C)A = BA + CA

26

4. Dalam matriks persegi berordo sama terdapat suatu matriks identitas I
sehingga berlaku IA = AI = A

5. Jika AB = O ( O = matriks nol) belum tentu A = O atau B = O
6. Jika AB = AC belum tentu B = C
7. Jika p,q bilangan real dan A,B matriks, maka berlaku (pA) (qB) = (pq) (AB)
8. Jika At dan Bt adalah transpose dari matriks A dan B, maka berlaku (AB)t = Bt

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks
kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Untuk perkalian matriks berordo sama, hanya bisa dilakukan apabila matriks
tersebut adalah matriks persegi

Misalnya matriks berordo 2 x 2, maka

Contoh 1 :

Diketahui matriks A = [42 33] , = [−22 31]. Tentukan AB.
Jawab :

[42 33] [−22 13] = [42..22 + 3. (−2) 4.1 + 33..33]
+ 3. (−2) 2.1 +

= [48 − 6 4 + 99]
− 6 2 +

= [−22 1131]

Contoh 2 : 2 3 −1 −2 3 −1

Diketahui matriks P = [4 3 1 ] , = [ 4 0 2 ]. Tentukan 2P x Q
0 −2 4 0 −2 4

27

Jawab :

2 3 −1 −2 3 −1 4 6 −2 −2 3 −1
2 [4 3 1 ] [ 4 0 2 ].= [8 6 2 ] [ 4 0 2 ]
0 −2 4 0 −2 4 0 −4 8 0 −2 4

4. (−2) + 6 . 4 + (−2). 0 4.3 + 6.0 + (−2). (−2) 4. (−1) + 6.2 + (−2). 4

= [ 8. (−2) + 6.4 + 2.0 8.3 + 6.0 + 2 (−2) 8. (−1) + 6.2 + 2.4 ]

0(−2) + (−4). 4 + 8.0 0.3 + (−4). 0 + 8. (−2) 0. (−1) + (−4). 2 + 8.4

(−8) + 24 + 0 12 + 0 + 4 (−4) + 12 − 8
= [(−16) + 24 + 0 24 + 0 − 4 (−8) + 12 + 8]

0 − 16 + 0 0 − 0 − 16 0 − 8 + 32
16 16 0
=[ 8 20 12].
−16 −16 24

c. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Berordo Berbeda
Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanya jika banyaknya

baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A.

Contoh :

1. Diketahui A = [−21 30] dan B = [40 3 −11]. Tentukan hasil perkalian A x B.
−2

Jawab :

A x B = [−21 03] [40 3 −11]
−2

= [((−(21.4).+4 3.0) (2.3 + 3. (−2)) (2.1 +3 (0−. (1−)1) ))]
+ 0.0) ((−1). 3 + 0. (−2)) ((−1). 1+

= [−84 0 −−11]
−3

28

C. Determinan dan Invers Matriks
1. Determinan Matriks
Cermati permasalahan berikut!

Indah dan teman-temannya makan di salah satu
cafe. Mereka memesan 3 ayam bakar dan 2 gelas
jus pokat. Tak lama kemudian, Andre dan teman-
temannya datang memesan 5 porsi ayam bakar
dan 3 gelas jus pokat. Indah menantang Andre
menentukan harga satu porsi ayam bakar dan
harga jus pokat pergelas, jika indah harus
membayar Rp 70.000,00 untuk semua pesanannya
dan Andre harus membayar Rp 115.000,00 untuk
semua pesanannya.

Penyelesaian :
Misalkan x = harga ayam bakar per porsi

y = harga jus pokat per gelas
sistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 70.000

5x + 3y = 115.000
Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :
[53 23] [ ] = [17105.0.00000]
Mengingat kembali bentuk umum persamaan linear.
1 + 1 = 1
2 + 2 = 2
[ 12 12] [ ] = [ 12]

29

Dalam konsep matriks, nilai ( 1. 2 − 1. 2) disebut determinan matriks [ 12 12],
dinotasikan

A = [ 12 1 ] Atau A = [ac bd]
2

det A = ( 1. 2 − 1. 2) det A = | | = |ac db| = (ad − bc)

Oleh karena itu, untuk menentukan nilai x dan y pada persamaan di atas.

= [ 12 1 ] dan = [ 21 12]
[ 12 2 [ 21 21]
21]

= [17105.0.00000 23] = 210.000 − 230.000 = −20.000 = 20.000
[53 32] 9 − 10 −1

= [35 7700..000000] = 345.000 − 350.000 = −5.000 = 5.000
[35 32] 9 − 10 −1

Jadi, harga ayam bakar satu porsi adalah Rp 20.000,00 dan harga jus pokat satu
gelas adalah Rp 5.000,00.

Sedangkan untuk determinan matriks berordeo 3x3 yaitu :


= [ ]

ℎ


det A = | | |

ℎ ℎ

= ( a.e.i + b.f.g + c.d.h)-(c.e.g + a.f.h + b.d.i)

Contoh : I+

435
1. Diketahui matriks A = [3 4 7], tentukan determinan matriks A !

554
Jawab :

30

4 3 54 3
| | = (3 4 7|3 4)

5 5 45 5
| | = ( 4.4.4 + 3.7.5 + 5.3.5) – (5.4.5 + 4.7.5 + 3.3.4 )
| | = 244 − 276
| | = −32
Jadi, determinan matriks A adalah -32.

2. Invers matriks
a. Invers matriks 2x2
Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika
suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur
sangkar A-1 maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian
matriks). Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar A
dan –A akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan
matriks).
Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo 2 dan berlaku
hubungan
AB = BA = I
maka A adalah invers B atau B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks
yang saling invers.
Untuk dapat mengetahui dua matriks yang saling invers, perhatikan contoh
berikut ini.
1. Diketahui matriks = [79 54] = [−47 −95]
Tentukan A.B dan B.A
Jawab :
A.B = [97 45] . [−47 −95]

= [((79..44 + 5(−7)) (9. (−5) + 54..99))]
+ 7(−5)) (7. (−5) +

= [01 01]

31

B.A = [−47 −95] . [97 54]

= [(((4−.97)+. 9(−+59)..77)) (4.5 + (−5). 4) ]
((−7). 5 + 9.4)

= [10 10]

Misalkan A adalah matriks persegi berordo 2 yang terbentuk P = [ ] dengan
det P = | | = . − .

maka [− − ]

P-1 = 1
| |

Setiap matriks yang determinannya sama dengan nol, yaitu matriks singular,
tidak mempunyai invers. Sementara setiap matriks yang determinannya tidak sama
dengan nol, yaitu matriks nonsingular, pasti mempunyai invers.

Adapun langkah-langkah dalam mencari invers dari suatu matriks persegi
berordo 2 adalah :

1. Mempertukarkan elemen-elemen pada diagonal utama
2. Mengubah tanda elemen-elemen pada diagonal yang lain
3. Membagi matriks yang didapat dengan determinan matriks tersebut.

Sifat-sifat invers matriks:
1) = −1 ↔ = −1
2) ( −1 )−1 =
3) ( )−1 = −1 −1
4) = → = −1
5) = → = −1
6) Jika det A = 0, maka matriks A tidak tidak mempunyai invers, sehingga matriks A

disebut matriks dengan singular.

32

7) Jika det A ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers, sehingga matriks A disebut

dengan matriks nonsingular.

Contoh 1

Diketahui P = [26 34]. Tentukan P-1
Jawab :

P-1 = 1
det

= (6.4 1 (3.2) [−42 −63]
)−

= 1 [−42 −63]
18

2 − 1

= [−919 1 6]

3

Contoh 2

Diketahui matriks A = [−26 −41], tentukan A-1

Jawab :

A-1 = 1
det

= 1 [−−12 −−46]
((−6). (−1) ) − (4.2)

= 1 [−−21 −−46]
−2

1 2]

= [2
13

b. Invers matriks 3x3
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3x3 maka harus

memahami terlebih dahulu tentang matriks minor, kofaktor dan adjoin.

33

1. Matriks minor
11 12 13

Misalkan P = [ 21 22 23]. Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks P
31 32 33

dihilangkan, maka akan diperoleh matriks baru yang berordo 2x2, determinan
dari matriksnya disebut dengan minor (M11).

| 11| = [ 3222 3233] | 21| = [ 1322 1333] | 31| = [ 1222 13 ]
23

| 12| = [ 3211 3233] | 22| = [ 1311 1333] | 32| = [ 1211 13 ]
23

| 13| = [ 2311 3222] | 23| = [ 1311 1322] | 33| = [ 1211 12 ]
22

2. Kofaktor
Kofaktor adalah hasil perkalian minor Mij dengan (-1)i+j, dirumuskan sebagai
berikut :
Kij = (-1)i+j . | |

3. Adjoin
Adjoin adalah transpose dari kofaktor-kofaktor suatu matriks dan
dilambangkan dengan Adj = ( ) .
11 12 13
Adj P = [ 21 22 23]
31 32 33

4. Invers matriks
Invers suatu matriks dengan ordo 3x3 dapat ditentukan menggunakan rumus
sebagai berikut :
Invers matriks P

P-1 = 1 .
−1

34

 Cara untuk menentukan nilai x

=


 Cara untuk menentukan nilai y

=


 Cara untuk menentukan nilai z

=


Contoh :

1. Ani, evi dan indah membeli alat tulis dengan jenis yang sama disebuah toko. Ani

membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 4 pena dengan harga Rp. 30.000. Evi membeli 2

buku tulis,1 pensil dan 3 pena dengan harga Rp. 19.000. sedangkan Indah membeli 5

buku tulis, 3 pensil dan 1 pena denga harga Rp. 37.000. Berapakah harga 1 buku tulis,

1 pensil, dan 1 pena ?

Penyelesaian :

Misalkan :

Buku tulis = x

Pensil = y

Pena = z

Ubah permasalahan diatas kedalam bentuk SPLTV

3x + 2y + 4z = 30.000

2x + y + 3z = 19.000

5x + 3y + z = 37.000

Ubah SPLTV ke dalam bentuk matriks ordo 3x3
3 2 4 30.000
[2 1 3] [ ] = [19.000]
5 3 1 37.000
Tentukan determinan matriks tersebut

35

3 2 43 2
D = (2 1 3|2 1)

5 3 15 3
D = (3.1.1 + 2.3.5 + 4.2.3) − (4.1.5 + 3.3.3 + 2.2.1)
D = 57-51
D=6
Tentukan nilai determinan x

30000 2 4 30000 2
Dx = (19000 1 3|19000 1)

37000 3 1 27000 3
Dx = (30000.1.1 + 2.3.5 + 4.2.3 ) – (4.1.37000 + 3.3.3 + 2.2.1 )
Dx = 480.000 – 456.000
Dx = 24.000
Tentukan determinan y

3 30000 4 3 30000
Dy = (2 19000 3|2 19000)

5 37000 1 5 37000
Dy = (3. 19000. 1 + 30000.3.5 + 4.2.27000) – (4.19000.5 + 3.3.37000 + 30000.2.1)
Dy = (57.000 + 450.000 + 296000) – (380.000 + 333000 + 60000)
Dy = 803.000 – 773.000
Dy = 30.000
Tentukan determinan z

3 2 30000 3 2
Dz = (2 1 19000|2 1)

5 3 37000 5 3
Dz = (3.1.37000 + 2.19000.5 + 30000.2.3) – (30000.1.5 + 3.19000.3 + 2.2 37000)
Dz = (111.000 + 190000 + 180.000) – (150.000 +171.000 + 148.000)
Dz = 481.000 – 469.000
Dz = 12.000

Tentukan nilai x,y, dan z

= = 24.000 = 4. 000
6

= = 30.000 = 5. 000
6

36

= = 12.000 = 2. 000
6

Jadi, harga 1 buku tulis = 4000, harga 1 pensil = 5000, dan harga 1 pena = 2.000 .

FORUM DISKUSI
1. Suatu perusahaan ban yang menjual dua jenis ban, ban sepeda motor dan sepeda, kepada

tiga distributornya. Distributor yang ada di Jakarta selama bulan Januari, Februari, dan
Maret berhasil menjual ban mobil sebanyak 250, 440, dan 560 serta ban truk sebanyak
320, 280, dan 160. Sementara itu, distributor yang ada di Tangerang berhasil menjual ban
sepeda motor l sebanyak 460, 500, dan 490 serta ban sepeda sebanyak 180, 322, dan 220
pada 3 bulan yang sama. Sedangkan distributor yang ada di Bekasi berhasil menjual ban
sepeda motor sebanyak 864, 980, dan 1.236 serta ban sepeda sebanyak 535, 642, dan 432
pada periode yang sama.
2. Ani dan Andi membeli pena dan pensil di Koperasi Sekolah. Ani membeli 3 buah pena dan
2 buah pensil dengan membayar Rp. 11.500. Sedangkan Andi membeli 1 buah pena dan 2
buah pensil dengan membayar Rp. 6.500. Ayo tebak berapakah harga 1 buah pena dan 1
buah pensil di Koperasi tersebut?
3. Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba, yaitu
menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, dan makan di
Singgalang Restaurant. Paket perjalanan yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam
menginap, 3 tempat wisata, dan 5 kali makan dengan biaya Rp. 2.030.000,00. Paket II
dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata, dan 7 kali makan dengan biaya Rp.
1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata, dan 4 kali makan
dengan biaya Rp. 2.500.000,00. Berapa biaya sewa hotel tiap malam, transportasi, dan
makan?

37

BAB 4 TRANSFORMASI GEOMETRI

Kompentensi Dasar

3.5 Menganalisi dan membandingkan transformasi
geometri dan komposisi transformasi dengan
menggunakan matriks

4. 5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
matriks transformasi geometri (translasi, refleksi,
dilatasi, dan rotasi)

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi dalam bab ini, peserta didik
diharapkan mampu :

1. Menjelaskan konsep transformasi geometri dengan
tepat

2. Menyebutkan jenis-jenis transformasi geometri
dengan benar

3. Menganalisis dan membandingkan tranformasi dan
komposisi transformasi dengan menggunakan matriks

4. Menyelesaikan maslaah yang berkaitan dengan
transformasi geometri dengan cermat

38

PETA KONSEP

Transpormasi Geometri

Jenis transpormasi Matriks yang Bersesuaian Komposisi Transpormasi
dengan Transpormasi
Transpormasi Geometri Geometri Transpormasi Geometri

asi Geometri asi Geometri

Translasi

Transpormasi Geometri

asi Geometri

Refleksi

Transpormasi Geometri

asi RGoeotamsietri

Transpormasi Geometri

asi Geometri

Dilatasi

Transpormasi Geometri

asi Geometri

39

Pernahkah anda bermain perosotan ? jika anda pernah bermain perosotan, ini adalah
salah satu contoh tranformasi geometri. Transformasi geometri merupakan perubahan
posisi dan ukuran suatu objek (titik, garis, kurva, bidang) dan dapat dinyatakan dalam
gambar dan matrik.

Gambar 3. Anak-anak bermain perosotan
Sumber. https://www.gambaranimasi.org/cat-bermain-1352.htm

Pada saat anda bermain perosotan, kamu akan mengalami translasi (pergeseran).
Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus
dengan arah dan jarak. Artinya, di perosotan ini hanya mengubah titi awal (puncak
perosotan) menuju titik akhir (ujung perosotan).

A. Jenis-jenis transformasi
1. Translasi (pergerseran)
Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Sebagai contoh, kendaraan yang
bergerak di jalan raya, pesawat terbang yag melintas dijalan raya, bahkan diri
kita sendiri yang bergerak keman saja. Kita akan membahas pergerakan objek
tersebut dengan pendekataan koordinat.
Titik A (x,y) ditranslasikan oleh T [ ] menghasilkan bayangan A´(x´,y´)
dirumuskan :

[ ´´]=[ ] + [ ]=[ + ]
+

40

Contoh :

1. Jika titik A (6,-4) ditranslasikan oleh [23] maka bayangan titik A adalah …
Jawab :
A´ = [−64] + [23] = [−64++23] = [−81]

2. Tentukan persamaan bayangan garis 3x + 5y – 7 = 0 oleh T [−21]
Jawab:

Misal A (x,y) memenuhi persamaan 3x + 5y – 7 = 0

a = 2 da b = -1
[ ´´]=[ ] + [−21]
[ ´´]=[ + 12]
−

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

´ = + 2 → = ´ − 2

´ = − 1 → = ´ + 1

Substitusikan = ´ − 2 dan = ´ + 1 ke persamaan garis 3x + 5y – 7 = 0

3 ( ´ − 2) + 5( ´ + 1) – 7 = 0

3 ´- 6 +5 ´+ 5 – 7 = 0

3 ´+5 ´- 8 = 0

Jadi, persamaan bayangan garis adalah 3 ´+5 ´- 8 = 0

2. Refleksi (Pencerminan)
Bercermin merupakan salah satu kegiatan yang menerapka konsep

transformasi geometri. Pada saat bercermin kita akan melihat bayangan kita
sendiri. Hasil bayangan ini mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.
Refleksi merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang
dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titk yang akan
dipindahkan.

Gambar 4. Seseorang sedang bercermin

41

Berdasarkan ilustrasi diatas, bangun yang dicerminkan (refleksi)
dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak
bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan
dengan cermin tersebut.

Sifat-sifat refleksi :
1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke

titik bayangan
2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan

tegak lurus terhadap cermin
3. Garis-garis yang terbentuk antara titik-titik asal dengan titik-

titik bayangan akan saling sejajar

Jenis-jenis refleksi

a. Pencerminan terhadap sumbu x : (x,y) → (x, -y)
b. Pencerminan terhadap sumbu y : (x,y) → (-x, y)
c. Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)
d. Pencerminan terhadap garis y =- x : (x,y) → (-y, -x)
e. Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)
f. Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k – y)
g. Pencerminan terhadap titik pangkal O (0,0) , (x,y) → (-x, -y)

Contoh :

Tentukan bayangan dari titik-titik C(–2, 4) yang direfleksikan terhadap
sumbu–x
Jawab :
Pada titik C(–2, 4) x = –2 dan y = 4 maka
x’ = x = –2 dan y’ = –y = –4.

Jadi, bayangan dari titik C(–2, 4) yang direfleksikan terhadap sumbu-x adalah
A'(–2,-4).

3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara

memutar titik-titikm tersebut sejauh terhadap suatu titik tertentu.

42

Gambar 5 menunjukkan anak-anak bermain gasing. Ketika bermain, gasing
dapat diputar searah jarum jam ataupun berlawanan arah jarum jam dengan
pusat tertentu. Dalam matematika proses memtar gasing termasuk dalam
rotasi. Conto lainnya adalah komedi putar, kipas angin, dan jarum jam.

Gambar 5. Anak-anak bermain gasing

Rotasi pada bidag datar ditentukan oleh :

1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi

3. Arah sudut rotasi

Sudut rotasi merupakan sudut antara garis yang menghubungkan titik

asal dan pusat rotasi yag menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.

Jika arah rotasi diputar searah jarum jam maka besar sudut rotasi negatif (-

). Jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam maka besar sudut rotasi

positif ( ).

a. Rotasi terhadap titik O (0,0) sejauh °

Jika titik P (x,y) dirotasikan terhadap titik (0,0) sejauh ° maka

P´( ´, ´) dirumuskan.

P´( ´, ´) = [ .. − . ]
+ .

b. Rotasi terhadap titik (a,b) sejauh °

Jika titik P (x,y) dirotasikan terhadap titik (a,b) sejauh ° maka

P´( ´, ´) dirumuskan.

P´( ´, ´) = [(( − ). − ( − ). + ]
− ). + ( − ). +

Contoh

Tentukan bayangan titik (8,4) oleh rotasi 60°
[ ´´] [ .. − . ]
= + .

43

[ ´´] = [88.. 60° − 4. 6600°°]
60° + 4.
[ ´´] = [88..2112 √−34+. 124√. 123]
[ ´´]
= [4 − 2√3]
4√3 + 2

Jadi, bayangan titiknya adalah ((4 − 2√3),( 4√3 + 2))

4. Dilatasi (perbesaran/perkkecilan)
Dilatasi adalah transformasi yng mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali

tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi

atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat dilatasi. Sebagai contoh, ketika ingin
mencuci foto kita akan meyebutkan ukuran foto sepert 3x4, 4x6. Balon yang ditiup

akan mengembang, karet gelang yang dapat direnggangkan, dan lain-lain.

Sifat-sifat Dilatasi
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengann skala k dapat
mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
 Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap

pusat dilatasi dengan bangun semula
 Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak
 Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah

terhadap pusat dilatasi dengan mengubah bangun semula
 Jika -1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan

arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula
 Jika k = -1 maka bagun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan

ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan
bangun semula.
 Jika k < -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula

Titik A (x,y) didilatasi dengan pusat P(p,q) dan skala k menghasilkan bayangan
A´(x´,y´) dituliskan dengan

( ´´) = ( ´−− q ) + ( )

44

Contoh :
1. Tentukan bayangan titik A (2,4) setelah didilatasikan terhadap pusat O (0,0)

dan faktor skala 3!
Jawab :
( ´´) = ( 0 0 ) ( )
( ´´) = (30 03) (24)
( ´´) = (162)
Jadi, bayangang titik A setelah didilatasi oleh [0,3] adalah A´(6,12).
B. Komposisi transformasi
Komposisi transformasi adalah transformasi majemuk yang memuat lebih dari
satu transformasi yang dilakukan secara berurutan.
Diketahui 1 merupakan transformasi yang memetakan titik ( , ) ke titik
′( ′, ′) dan 2 merupakan transformasi yang memetakan titik ′( ′, ′) ke titik
′′( ′′, ′′). Transformasi yang memetakan titik ( , ) ke titik ′′( ′′, ′′) dapat
ditulis sebagai berikut

∘

Bentuk 2 ∘ 1 disebut komposisi transformasi dan dibaca “ 2 komposisi 1”
artinya transformasi 1 dilanjutkan oleh transformasi 2 dan dapat dituliskan sebagai
berikut.



C.

Catatan

Komposisi transformasi bisa berupa komposisi translasi, komposisi refleksi,
komposisi rotasi, komposisi dilatasi, komposisi matriks tertentu atau
komposisi dari translasi, refleksi, rotasi, dilatasi dan matriks tertentu.

45

Contoh :
Jika M1 adalah pencerminan terhadapa garis x = 2 dan M2 adalah pencerminan terhadap
garis x = 4, tentukan bayangan titik A (7,-3) oleh transformasi M2 dilanjutkan dengan M1.
Jawab:
M1 ○ M2 = M1[ 2(7, −3)]

= 1[(2(4) − 7, −3)]
= 1[(1, −3)]
= 1[(2(2) − 1, −3)]
= (3, −3)
Jadi, bayangan titik A adalah (3,-3)

FORUM DISKUSI
1. Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C

adalah ...
2. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah ....
3. Tentukan bayangan A jika diketahui terhadap titik A (3,2) yang dirotasikan terhadap

pusat O (0,0) dan sudut 90° berlawanan arah jarum jam.
4. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutnya adalah A(–3,

–3), B(–1, –3), dan C(–2, –1).Tentukan bayangan dari titik-titik sudutnya jikadilatasi
terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi –2.

46