PRILOGNA_MATEMATIKA_TRIFONOV

Тихомир Трифонов

Приложна математика

СЪДЪРЖАНИЕ

СЪДЪРЖАНИЕ
ПРЕДГОВОР

ГЛАВА ПЪРВА: ЛИХВЕНИ ИЗЧИСЛЕНИЯ

1. Основни понятия при кредитните взаимоотношения
2. Аритметична прогресия и проста лихва
3. Геометрична прогресия и сложна лихва
4. Пропорционален, ефективен и еквивалентен лихвен

процент
5. Непрекъснато олихвяване при сложна лихва

ГЛАВА ВТОРА:ДИСКОНТЕН АНАЛИЗ НА ПАРИЧНИ ПОТОЦИ

1. Същност и сновни понятия при сконтирането
2. Математическо сконто
3. Банково сконто
4. Сконтиране на полици и съкровищни бонове
5. Инфлация и анализ на базата на сконтиране на паричните

потоци
6. Дългосрочни финансови операции

ГЛАВА ТРЕТА:ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ. МЕТОД НА ГАУС.

1. Системи линейни уравнения
2. Метод на Гаус за решаване на системи линейни уравнения

ГЛАВА ЧЕТВЪРТА:ТЕОРИЯ НА МАТРИЦИТЕ. ДЕТЕРМИНАНТИ.

1. Елементи от теорията на матриците
2. Детерминанти
3. Намиране на обратната матрица
4. Метод за решаване на системи линейни уравнения чрез

обратна матрица
5. Метод на Крамер за решаване на система линейни

уравнения

6. Входно-изходен анализ

ГЛАВА ПЕТА:ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ. СВОЙСТВА НА
ВЕРОЯТНОСТИТЕ.

1. Значение на вероятността.
2. Опит и изходи. Елементарно събитие. Случайно събитие.
3. Вероятност. Класическо определение.
4. Пермутации, вариации и комбинации.
5. Статистическо определение на вероятността.
6. Аксиоматично определение на вероятността.
7. Свойства на вероятността.

ГЛАВА ШЕСТА:УСЛОВНА ВЕРОЯТНОСТ. ТЕОРЕМА НА БЕЙС.
СХЕМА НА БЕРНУЛИ

1. Условна вероятност.
2. Независимост.
3. Теорема за пълната вероятност.
4. Теорема за хипотезите (теорема на Бейс).
5. Последователни независими изпитвания. Схема на

Бернули.

ПРИЛОЖЕНИЕ
КОНСПЕКТ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ИЗПИТ
ПРЕПОРЪЧИТЕЛНА ЛИТЕРАТУРА
ЗА АВТОРА

Предговор

В учебното помагало са застъпени три основни направления от
математиката:

 Финансова математика- приложение на математиката във
финансите. Основно внимание е обърнато на лихвените
изчисления и дисконтния анализ на паричните потоци;

 Линейна алгебра- даваща основите за изучаване на
оптимирането, базовите методи на математическото
моделиране и др. Разглеждат се най-важните методи за
решаване на системи линейни уравнения, матричното
смятане, основните свойства на детерминантите. За
илюстрация на тези методи специално е разгледан входно-
изходният анализ на Леонтиев.

 Теория на вероятностите- разглеждат се основните понятия,
необходими при решаването на приложни задачи и при
последващото изучаване на статистически дисциплини.
Дадени са класическото, статистическото и аксиоматичното
определение на вероятността. Доказват се теоремите за
пълната вероятност и теоремата на Бейс. Обсъдена е схемата
на Бернули.

Важно е да се подчертае, че това не е само учебник, но и кратко
ръководство за решаване на задачи. Освен решените задачи, дадени са
и такива за самостоятелна работа. При това се набляга върху
основните понятия на курса, техния смисъл и приложение в
практиката.

За най-употребяваните понятия са дадени техните английски
термини. Това е направено с цел улеснение на обучаемите, когато
търсят материали в съответните направления в Интернет.

Предполага се, че студентите с добра математическа подготовка
от средния курс няма да срещнат непреодолими трудности при
овладяването на материала. Все пак в приложението са дадени във вид
на примери някои сведения от училищната математика, начинът на
работа с реален и виртуален електронен калкулатор, както и
основните означения, използвани в ръководството.

Трябва да се отбележи, че поради ограничения обем е посочена
само най-важната използвана литература. При по-сериозна подготовка
се препоръчва на студентите тя да бъде също изучена.

ГЛАВА ПЪРВА:

ЛИХВЕНИ ИЗЧИСЛЕНИЯ

1. Основни понятия
2. Аритметична прогресия и проста лихва
3. Геометрична прогресия и сложна лихва
4. Пропорционален, ефективен и еквивалентен лихвен

процент
5. Непрекъснато олихвяване при сложна лихва

1. Основни понятия

«Времето е пари», а «парите пестят време». Тези и други
максими са известни от древността. Още от тогава се знае, че при
вземането на финансови решения трябва да се отчитат разнесените по
време разходи и приходи. Хората, приемащи такива решения във
фирмите или вкъщи, трябва да мислят оправдано ли е влагането на
някакви средства сега, за да се получат дадени приходи в бъдеще. За
това е необходимо правилното разбиране на концепцията за
стойността на парите във времето и методите за дисконтиране на
паричните потоци. Тази концепция може да се обобщи накратко така:
парите днес струват повече, отколкото същата сума, която се очаква
да се получи в бъдеще. Това е така най-малко по три причини:

 Тези пари могат да се инвестират, да се получи лихвата, и в
края на краищата те да се увеличат;

 Покупателната им стойност във времето може да се намали
поради инфлацията;

 Не сме сигурни дали в бъдеще ще получим съответната сума
или не.

Съществуването в даден момент на свободни парични средства
у някои лица (физически или юридически) и недостига им у други,
поражда съответните финансови взаимоотношения. Някои ги влагат
на влог в определени финансови институции и получават лихва за
това. Други ги вземат в заем и заплащат за това.

 Лихвата е паричната сума, заплащана за ползването на
чужд капитал (чужди парични средства).

 При кредитните взаимоотношения, в резултат на които
възниква лихвата, участват две страни. Страната, която
получава и използва за определено време свободни парични
средства, се нарича длъжник или дебитор. Страната,
предоставяща паричните средства, се нарича кредитор и тя
получава от дебитора лихва в съответен размер. При заемите
лихвата се плаща от ползващата заема страна, т.е. от дебитора.
При влоговете дебитор се явява съответната влогонабирателна
финансова институция (напр. банка). Всъщност,
предоставянето на тези средства може да се счита за
извършване на услуга и затова лихвата може да се счита като
цена на услугата, която кредиторът прави на дебитора.

 Лихвата зависи от размера на ползваната сума, договорения
лихвен процент и времето, за което се ползва тази сума.

 Лихвеният процент е сумата, плащана за ползване на 100
парични единици за един период от време на олихвяване.
Когато лихвеният период е една година, то имаме годишен
лихвен процент, когато е 6 месеца- шестмесечен лихвен
процент, при лихвен период от 1 месец- месечен и т.н. Когато
периодът не е посочен изрично, счита се, че лихвеният процент
е годишен. Лихвеният процент понякога се използва и като
коефициент- например, лихвен процент 25% може да се
представи с коефициента 0,25. Това означава, че за единица
време 1лв носи лихва 0,25 лв.

 Времето, през което даден капитал носи лихва, се нарича
лихвен срок, време на олихвяване или лихвоносно време.

 Срокът, за който се начислява и плаща лихва, се нарича
лихвен период или период на капитализиране на лихвата.

 Според начина на изчисляване и плащане има два вида лихва:
проста и сложна.

 Проста лихва е тази, при изчисляването на която капиталът
(вложената или заетата сума), не се променя през лихвения
срок. Това значи, че начислената лихва за всеки отделен
лихвен период не се прибавя към основата (главницата,
основния капитал), за да носи и тя лихва през следващите
периоди.

 Сложна лихва е тази, при изчисляването на която лихвата за
всеки един лихвен период се прибавя към капитала
(капитализира се). Тоест, само първия лихвен период лихвата
се изчислява върху първоначалната сума. През следващите
периоди се пресмята както върху първоначалната сума, така и
върху начислените през предишните периоди лихви.

 Освен това, според момента на начисляване и плащане,
лихвата бива декурсивна и антиципативна.

 Декурсивна лихва (от лат. Decursus- свършване) е тази лихва,
която се начислява и изплаща в края на лихвения период.

 Антиципативна лихва (от лат. Anticipo- вземам предварително)
е тази, която се спада от заетата сума или се капитализира в
началото на лихвения период.

В съвременните финанси декурсивната лихва е много по-
широко приложима и затова в изложението по-долу ще работим
именно с нея.

2. Аритметична прогресия и проста лихва

Определение: Числовата редица, на която всеки член след

първия се получава от предходния чрез прибавяне на едно и също

число, се нарича аритметична прогресия.
Числото, което се прибавя се нарича разлика на аритметичната

прогресия. За всеки два последователни члена аn и an+1 на
аритметичната прогресия е изпълнено:

an1  an  d (1.1)
an1  an  d

Следователно, при d > 0, аритметичната прогресия е растяща, а при d
< 0 тя е намаляваща.

Пример: Редицата от естествените числа 1,2,3,...n,... е
аритметична прогресия с първи член а1=1 и разлика d=1.

Редицата от нечетните естествени числа 1,3,5,...2n-1,... е
аритметична прогресия с първи член а1=1 и разлика d=2.

Общият член на аритметичната прогресия се намира по израза:

an  a1  n 1d (1.2)

За да докажем това твърдение, разсъждаваме по следния начин:

От определението следва

a2  a1  d

a3  a2  d

a4  a3  d

..................

an  an1  d
Събираме почленно и получаваме

a2  a3  a4  ...  an1  an 

 a1  d  a2  d  ....  an1  d 

 a1  a2  a3  a4  ...  an1   n 1d

или

an  a1  n 1d

Пример: Фирма инсталира машина, чиято цена е 1700 лева.
Машината се износва (амортизира) годишно със 150 лева и
остатъчната й цена (цената, за която тя може да бъде продадена за
вторични суровини), е 200 лева. Колко дълъг ще бъде «животът» на
машината, т.е. колко време ще бъде използвана тя?

Решение: След първата година цената на машината ще бъде
1700-150, след втората 1700-2(150), след третата 1700-3(150) и т.н.
лева. Но това е аритметична прогресия с първи член а1=1550 и
разлика d= - 150. Тогава n-ят член ще бъде

an  a1  n 1d  1550  n 1150 

 1700 150n

Имайки предвид остатъчната цена, съставяме уравнение за n:
1700 150n  200

150n  1700  200  1500

n  10

Тоест, производственият живот на машината е 10 години.

ТЕОРЕМА 1: Редицата {an} е аритметична прогресия
тогава и само тогава, когато за всеки три проследователни члена

ak-1, ak и ak+1 при к > 1 е в сила:

ak  ak 1  ak 1 (1.3)
2
(Основно свойство на аритметичната прогресия)

Доказателство:
Необходимост: Ако редицата е аритметична прогресия, от
определението имаме

ak1  ak  ak  ak1  d

2ak  ak1  ak1

ak  ak 1  ak1
2
Достатъчност:

От равенството 2ak  ak1  ak1 следва, че ak1  ak  ak  ak1 за

всяко к, тоест, че редицата е аритметична прогресия.

ТЕОРЕМА 2:Сборът на първите n-члена на аритметичната

прогресия Sn е равен на Sn  2a1  n -1d n.

2

Нека a1,a2,...,an е аритметична прогресия с разлика d и

Sn  a1  a2  ...  an . Тогава

Sn  a1  an n (1.4)
2
или

(1.5)

Sn  2a1  n  1 d n

2

Доказателство:
Събираме почленно равенствата

Sn  a1  a2  ...  an

Sn  an  an1  ...  a1

2Sn  a1  an   a2  an1  ...  an  a1 

По формула (1.2) за всяко събираемо в скобите имаме:

a1  an  a1  a1  n 1d  2a1  n 1d
a2  an1  a1  d  a1  n  2d  2a1  n 1d

и т.н.

2Sn  a1  an n  2a1  n 1d  n

Следователно:

Sn  a1  an n
2
Пример: От тази теорема получаваме формула за сбора на първите

n естествени числа:

1 2  ...  n  nn 1

2
Забележка: Известна е легендада за гениалния математик К.Гаус,

който като ученик открива тази формула и пресмята за много малко

време сумата от първите 100 естествени числа. Направете го и вие!

Разгледаните в този параграф свойства на аритметичната

прогресия са в основата на изчисляването на простатата лихва. Нека

да въведем следните означения, свързани с основните величини:

 Основна сума К (начална сума, основен капитал, главница)-

това е вложената или заетата сума;

 Увеличена сума S (нараснала сума, нараснал капитал,

натрупан капитал)- тя е сбор от основната сума К и

начислената върху нея лихва L: или S=K+L;

 Лихвен процент р%- това е лихвата на 100 парични единици за

единици лихвен срок (най-често една година). Той може да

бъде зададен или в проценти или като коефициент, наречен

лихвен коефициент.

 Лихвен срок (наричан понякога матуритет)- това е времето,

през което са предоставени за ползване паричните средства.

Най-често се задава в години, месеци или дни.

 Лихвен период- това е срокът, за който се начислява и плаща

лихва. Броят на лихвените периоди обикновено се означава с n.

 Лихва L - това е паричната сума, която дебиторът плаща на

кредитора.

Простата лихва L за срок от една година се получава по схемата:

Ако 100 лв за 1 година донасят р лв лихва,
то К лв за 1 година ще донесат L лв лихва.

От тази пропорция следва (1.6)
L  K.p
100

Тогава лихвата за n години ще бъде n пъти повече

L  K.p.n (1.7)
100

Ако времето е изразено в месеци или дни, изразът (1.7) се променя
както следва

L  K.p.n
1200
(1.8)
L  K.p.n
36000
като се приема, че месеците в годината са 12, а дните във финансовата

година са 360.

От начина на формиране на простата лихва и от свойствата на

аритметичната прогресия се вижда, че натрупаният капитал всъщност

е сумата от началния капитал К и n-тия член an  L  Kpn на
аритметична прогресия с разликата d, равна на Кр (ако процентът е

изразен като коефициент). Например, при годишна проста лихва, в

края на първата година лихвата ще е K.p , в края на втората 2 K.p и
100 100

т.н. в края на n-тата n K.p . Следователно, натрупаният капитал ще
100

бъде

S  K  Knp  K(1 np) (1.9)

Ако р е изразен в проценти, а периодът на олихвяване е съответно
изразен в години, месеци или дни, то изразът (1.9) се преобразува
както следва:

S  K (1  n p ) (1.10)
100

S  K (1  n p )
1200

S  K (1  n p )
36000

Следователно, тук възникват 4 вида задачи:
 Търси се S по известни К, р и n;
 Търси се n по известни К, р и S;
 Търси се p по известни К, S и n;
 Търси се K по известни S, р и n;

Пример: Да предположим, че Вие сте взели заем от $2000 от
банка при годишен лихвен процент 10%.
А) Каква ще е лихвата, платена от Вас за 3 години?
В) За колко години Вие ще платите $100 лихва?
С) Какъв ще бъде натрупаният капитал след 3 години?

Решение:
А)

L  Kn p  $2000.3. 10  $600
100 100

B) n  L  $100  0,5
p $2000.0,1
т.е. за половин година. K
C) 100

S  K 1  np   $2000 1  3.10   $2600
100  100 

Основни термини
Основна сума К (начална сума, основен капитал, главница)- това е
вложената или заетата сума; (principal, present value)
Увеличена сума S (нараснала сума, нараснал капитал, натрупан
капитал)- тя е сбор от основната сума К и начислената върху нея
лихва L: или S=K+L; (future value)
Лихвен процент р%- това е лихвата на 100 парични единици за
единици лихвен срок (най-често една година). Той може да бъде
зададен или в проценти или като коефициент, наречен лихвен
коефициент (percentage rate, годишен лихвен процент- annual

percentage rate)
Лихвен срок (наричан понякога матуритет)- това е времето, през
който са предоставени за ползване паричните средства. Най-често се
задава в години, месеци или дни.
Лихвен период- това е срокът, за който се начислява и плаща лихва.
Броят на лихвените периоди обикновено се означава с n.
Лихва L - това е паричната сума, която дебиторът плаща на кредитора
(interest, проста лихва- simple interest)

Задачи за самостоятелно решаване:

Зад.1. Нека 12 000 лева да са вложени за 45 дни при 60% проста
годишна лихва. Какъв ще бъде натрупаният капитал S?

Отг. 12900 лв.

Зад.2. Фирма сключва заем от 200 000 лева за срок от 6 месеца при
проста лихва с годишен лихвен процент р=28%. С каква сума ще се
погаси заемът?

Отг. 228 000 лв.

Зад.3. Заем от 3 000 евро е взет при проста лихва с годишен лихвен
процент р=9%. Каква ще бъде заплатената лихва, ако заемът е взет за
срок а) 6 месеца b) 1 година с) 3 години?

Отг. а)135 евро b)270 евро
c)810 евро

Зад.4. Г-н Иванов взема заем $500 за 1 месец от финансова къща. След
един месец той го изплаща чрез чек за $600. Какъв е бил годишният
лихвен процент при проста лихва, обявен от финансовата къща?

Отг. р=240%

Зад.5. Г-н Петров взема заем от 100 лв от г-жа Иванова и го изплаща
след две седмици чрез чек за 110 лв. Какъв е бил годишният лихвен
процент при проста лихва, поискан от г-жа Иванова? (Приемете, че
годината има точно 52 седмици)

Отг. p=260%

3. Геометрична прогресия и сложна лихва

Определение: Числовата редица, на която всеки член след

първия се получава от предходния като се умножи с едно и също

число, се нарича геометрична прогресия.
Това число се нарича частно на геометричната прогресия и се

означава с q. За всеки два последователни члена аn и an+1 на
геометричната прогресия с частно q е изпълнено:

an1  anq

an1  q (an  0) (1.11)
an

Следователно, при q > 1, геометричната прогресия е растяща, а при
0 < q < 1 тя е намаляваща.

Пример: Редицата от последователните степени на числото две:
2, 4, 8,...2n е геометрична прогресия с първи член а1=2 и частно q=2.

Общият член на геометричната прогресия се намира по израза:

an  a1qn1 (1.12)

За да докажем това твърдение, разсъждаваме по следния начин:
От определението следва
a2  a1q

a3  a2q

a4  a3q

..................

an  an1q
Умножаваме почленно равенствата и получаваме

a2.a3.a4...an1  an 

  a1 a2.a3.a4...an1 qn1 

an  a1qn1

Пример: Фирма инсталира машина, чиято цена е $10000.
Машината се износва (амортизира) годишно с 20% от цената й за

съответната година. Остатъчната й цена (цената, за която тя може да
бъде продадена за вторични суровини), е $3000. Колко дълъг ще бъде
«животът» на машината, т.е. колко време ще бъде използвана тя?

Решение:
Тъй като стойността на машината намалява ежегодно с 20% от
стойността й в началото на годината, то в края на всяка година тя ще е

4/5 или 80% от тази в началото на съответната година. В края на
първата година цената ще бъде (4/5).10000, в края на втората (4/5)
[(4/5).10000] или 10000.(4/5)2 и т.н. Тази последователност е
геометрична прогресия с първи член (4/5).10000 и частно 4/5.
Тоест, можем да запишем

an  a1qn1  4 10000 4 n1  10000 4 n
5 5  5 

В съответствие с едно от свойствата на логаритмите, логаритмуваме

двете страни на горното уравнение и получаваме, като предварително

вземем предвид, че трябва да приравним n-ия член на прогресията на

остатъчната стойност:

an  10000 4 n
5 

3000  10000  4 n
 5 

0, 3   4 n
 5 

lg 0,3  n lg  4   n  lg 0,3  5.3955
 5  lg 0,8

Казано с други думи, машината ще се износи между петата и шестата

година. Таблица 1 и графиката на Фиг.1 показват това износване по

години: Таблица1

n 1 23 4 56

an $8 000,00 $6 400,00 $5 120,00 $4 096,00 $3 276,80 $2 621,44

Амортизация на машината

Долари $9 000,00
$8 000,00
$7 000,00
$6 000,00
$5 000,00
$4 000,00
$3 000,00
$2 000,00
$1 000,00

$0,00
123456

Години

Фиг.1

ТЕОРЕМА 3: Редицата {an} е геометрична прогресия тогава
и само тогава, когато за всеки три проследователни члена ak-1, ak
и ak+1 при к > 1, ак0 е в сила:

ak 2  ak1ak1 (1.13)

Тази теорема формулира основното свойство на геометричната

прогресия.

Доказателство:
Ако редицата е геометрична прогресия, то от определението

имаме ak 1  ak , откъдето ak 2  ak1ak1 .
ak ak 1

Обратно, от равенството ak 2  ak1ak1 следва, че ak1  ak за
ak ak1

всяко к, което азначава, че {an} е геометрична прогресия.

ТЕОРЕМА 4: Нека a1,a2,...,an е геометрична прогресия с

частно q0 и Sn  a1  a2  ...  an . Тогава сборът на първите n-члена
на геометричната прогресия е равен на

Sn  a1 qn 1 (1.14)
q 1
ak  a1qk1
Доказателство: Sn  a1  a1q  ...  a1qn1
qSn  a1q  a1q2  ...  a1qn
Тъй като

Изваждаме почленно равенствата

 qSn  Sn  a1qn  a1  a1 qn 1

Оттук

Sn  a1 qn 1
q 1

Пример: Според легендата за изобретяването на шахмата,
владетелят на древна Индия решил да награди неговия създател,

учения Сета, и му предложил сам да си избере каквато желае награда.

Сета поискал наградата му да бъде известно количество пшеница, а

именно: на първото квадратче на шахматната дъска 1 зърно, на

второто 2 зърна, на третото 2 пъти повече и т.н. Владетелят бил много

обиден от това искане, заповядал «ученият да получи своя чувал с

пшеница и повече да не му се мярка пред очите». Всъщност, какво

количество зърно е поискал Сета?

Решение:

S64  1264 1  264 1 18446744073709551616-1=18446744073709551615
2 1

Ако се приеме, че 20 пшенични зърна тежат 1 грам, то се получават
около 900 милиарда тона зърно. Понастоящем в целия свят се
произвежда годишно около 2000 пъти по-малко!

Разгледаните в този параграф свойства на геометричната
прогресия са в основата на изчисляването на сложната лихва. Ще
отбележим, че при схемата на простото олихвяване основната сума е
една и съща за всеки от лихвените периоди, които се съдържат в
лихвоносното време. При сложното олихвяване основната сума за
всеки лихвен период от лихвоносното време е равна на увеличената с
лихвата основна сума от предходния период. Лихвата, която се
получава в края на лихвеното време по схемата на сложното

олихвяване, се нарича сложна лихва. Следователно, при сложното
олихвяване се начислява лихва и върху получените до текущия
период лихви. Получава се натрупване на лихвата, което нараства с
увеличаване на броя на лихвените периоди и се нарича
капитализиране на лихвата.

Чрез основната формула на сложната лихва се определя бъдещата
стойност на основния капитал след n периода лихвоносно време при
сложна лихва p% за един период.

Ако означим основния капитал в началото на първия период с К0,
то съответната лихва за периода ще бъде

L0  K0 p
100

Бъдещата стойност К1 в края на първия период (основният
капитал плюс лихвата) е:

K1  K0  K0 p  K0 1  p 
100 100 

Увеличената сума К1 ще се олихвява през втория период и в края
му получаваме бъдещата й стойност К2:

K2  K1 1  p 
100 

По аналогичен начин за третия, четвъртия и т.н. периоди
получаваме нарастналите суми и ги записваме последователно:

K1  K0 1  p 
100 

K2  K1 1  p 
100 

K3  K2 1  p 
100 

...............................

Kn  K n1 1  p 
100 

Умножаваме ги почленно и след някои преобразувания

получаваме:

S  Kn  K0 1  p n (1.15)
100 

Величината q=1+p/100 се нарича лихвен множител или лихвен
фактор. Тя показва нарастналата стойност на единицата валута в края
на един лихвен период.
Реципрочната му стойност, както ще видим по-долу, се нарича

дисконтов фактор.
Величината qn се нарича първи сложнолихвен фактор и често за
улеснение за него се съставят таблици.

Ако се знае нарастналата стойност на капитала S и началния
капитал, който както по-горе означаваме с К, т.е. К0=K, то за лихвата
може да се запише:

 L  S  K  Kqn  K  K qn 1 (1.16)

Всъщност, ако използваме израза (1.12), и приемем за първи член
на геометричната прогресия нарастналата стойност в края на първия

период, т.е. a1  K 1  p  и за частно q=1+p/100, то тогава за общия
100 

член на геометричната прогресия

an  S  K 1  p  1  p n1  K 1  p n
100  100  100 

получаваме същия израз, както (1.15).

В израза (1.15) участват четири величини, което означава, че са
възможни 4 типа задачи:

 Търси се S по известни К, р и n;
 Търси се n по известни К, р и S;
 Търси се p по известни К, S и n;
 Търси се K по известни S, р и n;

Пример: Капитал от 2000000 лв е вложен при 2,8% месечна лихва
и има нарастнала стойност 2360417 лв. Да се определи за какво
лихвоносно време (за какъв срок) е бил вложен този капитал.

Решение: От израза (1.15) получаваме

S  1  p n
K 100 

lg S  lg K  nlg 1  p 
100 

n  lg S  lg K  0,0719587  6
1 p  0, 0119931
lg  100 

Тоест, срокът е бил 6 месеца.

Пример: Капитал К от $1000 е вложен (депозиран) при 10%
годишна сложна лихва. Да се определи натрупаният капитал S след 5
години.

Решение: От израза (1.15) получаваме

S  K 1  p n  1000 1  10 5  1610,51
100  100 

Т.е. в края на петата година натрупаният капитал ще бъде

$1610,51.

За да разберете по-добре начисляването на сложната лихва,

разгледайте внимателно Таблица 2, която показва увеличаването на

началния капитал по години при проста и сложна лихва. Ако

построим графика по таблицата- Фиг.2, то ще видим, че нарастването

на влога става отчасти заради процентите на простата лихва и отчасти

заради процентите на сложната. Разбира се, при сложната лихва

нарастването е по-голямо заради капитализирането на лихвата.

Таблица 2

Нараснала стойност на капитала при проста и сложна лихва

Годи Влог в Влог в Прости % Сложни % Начален Натрупан Натрупан
ни началот начало капитал капитал S капитал S
то на
о на година К ( $) ($) при ($) при
годината проста сложна

(Прос та (Слож лихва лихва

та на лихва)

лихва)

1 1000 1000 100 100 1000 1100 1100

2 1100 1100 110 110 1000 1200 1210

3 1200 1210 120 121 1000 1300 1331

4 1300 1331 130 133,1 1000 1400 1464,10

5 1400 1464 140 146,41 1000 1500 1610,51

600 610,51

$1 800,00 Начален капитал
$1 600,00
$1 400,00 Нарастване на капитала
$1 200,00 при проста лихва
$1 000,00 Нарастване на капитала
при сложна лихва
$800,00
$600,00
$400,00
$200,00

$0,00
12345

Фиг.2

Пример: Капитал К от $450000 е вложен (депозиран) при сложна
лихва. След 18 месеца натрупаната стойност S е $701846. Да се
определи месечния лихвен процент р.

Решение: От израза (1.15) получаваме

S  1  p n
K 100 

n S 1 p
K 100

p  n S 1
100 K
Като заместим със съответните стойности, получаваме

p  18 701846 1  181,559658 1  0,025
100 450000
Следователно, р=2,5%

Пример: Фирма трябва да извърши плащане от 24000 лв след 6
месеца. Каква сума трябва да вложи на срочен влог при сложно
олихвяване и 3% месечна лихва, за да може след 6 месеца да извърши
плащането?

Решение: Всъщност, търси се началния капитал (начална сума,
основен капитал). От израза (1.15) получаваме

K  S  24000  20099, 62 лв
1, 036
1  p n
100 

Основни термини
Олихвяване със сложна лихва -compounding
Сложна лихва -compound interest
Годишен лихвен процент –annual percentage rate

Задачи за самостоятелно решаване:

Зад.1. Нека 45 000 лева да са вложени за 10 години при 20% сложна
годишна лихва по едногодишен срочен влог. Какъв ще бъде
натрупаният капитал S? (след първата година договорът се подновява
служебно за същия срок и при същите условия).

Отг. 278628,14 лв.

Зад.2. При какъв годишен лихвен процент сумата от 1500 лв, внесена
за 4 години на срочен годишен влог ще нарасне на 11118 лв?

Отг. p=65%.

Зад.3. Сем. Иванови си купуват къща за $18000 през 2000 година.
През следващите 3 години средното ниво на инфлацията в страната е
3,5% за година. Ако те решат да продадат къщата през 2003 година
(т.е. след 3 години), каква трябва да бъде минималната цена на
продажбата, така, че да не са на загуба?

Отг. $19956,92

Зад.4. Фирма сключва заем от 50 000 лева за срок от 5 години при
сложна лихва с годишен лихвен процент р=20%. С каква сума ще се
погаси заемът?

Отг. 124416 лв.

Зад.5. Нека са известни лихвата L=$61000 при сложно олихвяване,
началният капитал К=$64000 и лихвоносното време n=3. Намерете
лихвения процент p%=?

Отг. p=25%.

4.Пропорционален, ефективен и еквивалентен лихвен
процент

Както беше показано по-горе, при простото олихвяване смяната
на периодите не води до промяна на лихвата за времето на
олихвяване. При сложното олихвяване получената лихва за определен
срок при един и същ годишен процент е различна и зависи от броя на
периодите, т.е. от броя на олихвяванията.

В практиката най-често се посочва годишния лихвен процент.
Ако за начисляването на лихвата се използва друг лихвен период, се
използва нов лихвен процент, наречен пропорционален (релативен
или съотносителен) на годишния. По принцип нужда от пресмятането
на пропорционалния лихвен процент възниква тогава, когато са
използвани различни периоди и е зададен лихвеният процент на
единия от тях.

Пропорционалният на даден лихвен процент е този, който се
отнася към дадения в същото отношение, в каквото се отнасят
съответните периоди на приложение, измерени с една и съща
единица за време.

Аналитичният израз е

p1  t1 (1.17)
p0 t0

където p0- лихвен процент за период от време t0,
p1- релативния лихвен процент за период от време t1.
Ясно е, че всеки от двата процента е релативен на другия.

Пример: Капитал К от 20000 лв е вложен (депозиран) при
сложна лихва. Каква ще бъде натрупаната стойност S след 3,5 години,
ако се олихвява на всеки три месеца и банката начислява 48%
годишна лихва на този вид влогове.

Решение: Използваме израза (1.15), като лихвоносното време
измерим в съответния брой тримесечия: 3,5 години са равни на 42

месеца или 14 тримесечия. Пропорционалнят лихвен процент в този
случай ще бъде

p1  p0 t1  0,48 1  0,12
t0 4

Тогава

S  200001 0,1214  97742,25лв

Пример: Капитал К от 20000 лв е вложен (депозиран) при
сложна лихва. Каква ще бъде натрупаната стойност S след 38 месеца,
ако се олихвява на всеки три месеца и банката начислява 48%
годишна лихва на този вид влогове.

Решение: Използваме израза (1.15), като лихвоносното време
измерим в съответния брой тримесечия: 38 месеца са равни на 12 и 2/3
тримесечия. Вижда се, че лихвоносното време не се измерва в цяло
число периоди. В този случай може да се подходи по два различни
начина. Както и по-горе, пропорционалнят лихвен процент ще бъде

p1  p0 t1  0,48 1  0,12
t0 4

Тогава, по първия начин

38

S  200001 0,12 3  84034,63лв

По втория начин

S  20000 1  0,1212 1  2 0,12   84153, 08 лв
3 

В първия случай е използвана директно формулата за сложната лихва,

а във втория по нея е олихвено само за времето, което съответства на

цяло число периоди, т.е. 12, а за олихвяване на непълния период е

използвана проста лихва. Вторият начин се нарича смесено сложно

олихвяване. Във финансовата практика се използва именно смесеното

сложно олихвяване.

Може да се покаже, че при смесеното сложно олихвяване

получената в края на лихвоносното време сума е по-голяма от

получената при пълното сложно олихвяване. Ако изследваме

показателната функция f (x)  1 px и линейната функция

g(x) 1 px , ще видим, че при p>0 и двете са растящи функции.

Освен това, тъй като втората производна на показателната функция е

положителна, т.е. f "(x)  1 px ln2(1 p)  0 следва, че

показателната функция е изпъкнала навсякъде в дефиниционната си
област. Именно на свойствата на изпъкналите функции се дължи
посоченото различие.

В практиката често възникват въпроси като: кое вложение е по-
добро- това, което се олихвява с 10% лихва на всеки три месеца или
това, при което имаме 9,8% сложна лихва месечно? Един от начините
да се отговори на такъв тип въпроси е да се определи простата
годишна лихва която е еквивалентна на всяко от вложенията. Така
достигаме до понятието ефективен лихвен процент.

Ефективният лихвен процент е този, който за един базов
период (най-често година) осигурява същото нарастване на
основната сума (същата лихва), каквото се получава при сложно
олихвяване с период, различен от базовия.

Тъй като лихвата за един период е винаги проста, става ясно, че
ефективният лихвен процент се свързва с простата лихва. Чрез него
резултатите от сложното олихвяване стават съизмерими с тези от
простото олихвяване.

Разглеждаме сложна лихва с лихвен процент р за период, който се
съдържа m пъти в годината. Означаваме с реф ефективния му годишен
лихвен процент. Тогава можем да запишем

1 pеф  1  p m
100 100 
(1.18)
 100 1 m 
pеф p   1
100


Пример: Да предположим, че банката «Х» предлага номинален
месечен лихвен процент по депозитите 2,90%. Тъй като броят на
месечните олихвявания за годината е m=12, то за ефективния годишен
лихвен процент получаваме:

 pеф 100 1,02912 1  40,92%

В същото време пропорционалният (релативният) лихвен процент
по същите влогове е:

p1  p0.12  0,0290.12  0,348  34,8%

Ако годишните лихви от сложното олихвяване на определена
сума с различни периоди на олихвяване са равни, съответните
лихвени проценти, за които се получават равните лихви се

наричат еквивалентни или равностойни.
Нека в единият случай периодът на олихвяване да е t1 при лихвен

процент р1, а в другия t2 при лихвен процент р2. Нека лихвоносното
време да е едно и също Т (например, една година). В първия случай
олихвяването ще бъде T/t1=n пъти, а във втория T/t2=m пъти. По
условие лихвите за време Т са равни, следователно

K 1  p1 n   K 1  p2 m 
100   1 100   1

 

Като решим спрямо р1 и р2 , получаваме

m

p1  1  p2  n 1
100 100 
(1.19)
n

p2  1  p1 m 1
100 100 

Като заместим със значенията на m и n можем да получим:

t1

p1  1  p2  t2 1
100 100 
(1.20)
t2

p2  1  p1  t1 1
100 100 

Пример: Да се пресметне еквивалентния месечен лихвен процент
р1, при годишен лихвен процент р2=36%.

Решение: Използваме израза (1.20), като заместим t1=1 и t2=12
при лихвен процент р2=36%:

t1 1

p1  1  p2  t2 1  1 0,3612 1 0, 02595
100 100 

или р1=2,595%

Пример: Да се пресметне годишната доходност на срочен

месечен влог в банка, ако номиналният годишен лихвен процент по

месечните депозити в нея е 66%.

Решение: Първо определяме релативния (пропорционалния)

месечен лихвен процент p1.

p1  p0 t1  0,66 1  0, 055
t0 12

Тогава ефективният годишен лихвен процент ще бъде

pеф  100 1 p m  100 1 0, 055 12 1  90,12%
100   1



5.Непрекъснато олихвяване при сложна лихва

Пример: Да предположим, че инвестирате $2000 при сложна
лихва с годишен лихвен процент 6%. Намерете нарастналата стойност
на капитала след една година, като приемете, че олихвяването става:

A) годишно; B) на шест месеца; C) на всеки три месеца; D) месечно.
Решение: Във всеки един от случаите използваме формулата за

сложна лихва. Първо определяме релативния (пропорционалния)
лихвен процент p1 за съответния период.

A) В този случай релативния (пропорционалния) лихвен процент
p1=0,06 и n=1. Тогава

S  20001 0,6  $2120,00

В) В този случай релативния лихвен процент p1=0,06/2=0,03 и
n=2. Тогава

S  20001 0,32  $2121,80

C) При тримесечно олихвяване релативния лихвен процент
p1=0,06/4=0,015 и n=4. Тогава

S  20001 0,0154  $2122,73

C) При месечно олихвяване релативния лихвен процент
p1=0,06/12=0,005 и n=12. Тогава

S  20001 0,00512  $2123,36

Този пример, както и други примери по-горе, илюстрира важен
принцип при сложното олихвяване: за даден годишен лихвен процент
натрупаният капитал нараства с увеличаване на честотата на
олихвяването. Следователно, финансова институция, която олихвява
по-често е по-атрактивна за вложителя от друга, която при същия
лихвен процент олихвява по-рядко депозитите.

Какво би станало обаче, ако лихвеният период е много малък

(теоретично приемаме, че клони към нула)?

Приемаме, че лихвеният срок се съдържа m пъти в годината и
тогава пропорционалният лихвен процент се представя чрез годишния

като p1=р/m. Лихвоносното време, измерено чрез новия лихвен срок
ще бъде равно на m.n. Когато m клони към безкрайност, т.е. m  ,
достигаме до следното гранично равенство:

S  lim K 1  p mn
m 
m

След намирането на тази известна граница получаваме

S  K.enp (1.21)

където: e-основа на натуралния логаритъм, e2,718
n-лихвоносното време в години.

Последното равенство се нарича основна формула при
непрекъснато олихвяване.

Пример: Да предположим, че при условията на горния пример
олихвяването става непрекъснато. Тогава след една година
натрупаният капитал ще бъде

S  K.enp  2000e1.0,06  $2123,673

Нанасяме резултатите от примера в Таблица 3. На фигурата под
нея се вижда ясно, че най-голяма натрупана стойност имаме при
непрекъснато олихвяване.

Таблица 3

Честота Годишно На шест На три Месечно Непрекъснато
на $2120,00 месеца месеца

олихвяване $2121,80 $2122,73 $2123,36 $2123,67

Натрупан
капитал

2124 Натрупан капитал при различни периоди на олихвяване

2123

2122

2121

2120

2119

2118

Фиг.3

Пример: Да се намери натрупаната стойност на капитал от
$12000 при сложна лихва с годишен лихвен процент 26% при
непрекъснато олихвяване за 3 години.

Решение: Като използваме основната формула за непрекъснато
олихвяване, намираме:

S 12000e3.0,26  $26177,67

Пример: За колко време начален капитал от $8000 при сложна
лихва с годишен лихвен процент 36% при непрекъснато олихвяване
ще нарасне на $10000?

Решение: Като използваме основната формула за непрекъснато
олихвяване, намираме:

S  Kenp
S  enp
K
Логаритмуваме двете страни на последното равенство:

ln S  np
K

n  1 ln S  1 ln1,25  0,62год  223дни
p K 0,36

Основни термини
Непрекъснато олихвяване със сложна лихва –continuous compounding
of interest
Ефективен лихвен процент –effective interest rate

Задачи за самостоятелно решаване:

Зад.1. Нека 1000 лева да са вложени при 8% сложна годишна лихва,
като тя се начислява по тримесечия и 995 лева да са вложени при 8%
сложна годишна лихва, като тя се начислява непрекъснато. Коя от
инвестициите ще даде по-голям натрупан капитал след 2 години?

Отг. 1171,66 лв. и 1167,64 лв.
(Първата инвестиция е по-добра).

Зад.2. Да предположим, че $10000 са депозирани при сложна годишна
лихва от 6%. С колко натрупаният капитал при непрекъснато
олихвяване ще бъде по-голям от този, при който олихвяването е на
шест месеца?

Отг.$6097,56

ГЛАВА ВТОРА:

ДИСКОНТЕН АНАЛИЗ НА ПАРИЧНИ ПОТОЦИ

1. Същност и основни понятия при сконтирането
2. Математическо сконто
3. Банково сконто
4. Сконтиране на полици и съкровищни бонове
5. Инфлация и анализ на базата на сконтиране на

паричните потоци
6. Дългосрочни финансови операции

1. Същност и основни понятия при сконтирането

При финансовите взаимоотношения възникват ситуации, при
които дебиторите, взели в заем дадена парична сума за определен
период, могат да я изплатят преди срока на падежа (например, поради
подобрено финансово състояние). В този случай, тъй като заемателят
престава да ползва заетата сума по-рано от договореното, той има
право да иска от кредитора намаляване на лихвите за времето от
момента на изплащането на заетата сума до момента на уговорената в
договора дата на връщане, т.е. до падежа. В този случай заемодателят
прави отстъпка (отбив) от дължимата на падежа сума в полза на
длъжника. Този отбив се нарича сконто (от итал. Sconto) или дисконт
(от англ. Discount). Този процес на превръщане на едно по-късно
платимо задължение в платимо на определен по-ранен момент се
нарича сконтиране (дисконтиране).

При вземането на финансови решения трябва да се направят
съпоставими разнесените по време парични потоци. В този смисъл
сконтирането лежи в основата на всички финансово-инвестиционни
изчисления, тъй като чрез него може да бъде оценена настоящата
(действителната) стойност на инвестицията. Използват се следните
основни понятия:

 Номиналната стойност (сума) на задължението S. Това е
дължимата на падежа сума, която се сконтира поради
предсрочното му изплащане.

 Лихвеният процент р, определен на годишна база.
 Сконтов (дисконтов) процент r. Това е отстъпката за

предсрочно изплатени 100 валутни единици (лева) или 1
валутна единица (един лев) в зависимост от това дали е изразен
в проценти или като коефициент.
 Сконто (дисконт) D. Това е размерът на отстъпката (отбива),
който се приспада от дължимата на падежа сума в съответните
парични единици.
 Сконтов срок (дисконтов срок).Това е времето t на
предсрочното изплащане на задължението. Може да се
изразява в дни d, месеци m или години n.
 Настояща (ефективна, действителна) стойност на
задължението Е. Това е стойността на задължението в момента
на изплащането му, т.е. това е действителната сума, чрез която
се изплаща задължението, което би трябвало да се плати след
определен период. Ясно е, че тази сума винаги е по-малка от
номиналната.
При изчисляването на дисконта се използват два подхода и в
зависимост от това има и два вида сконто: математическо и банково
(практическо, търговско).

2. Математическо сконто

Когато сконтовият срок е малък- няколко дни до няколко десетки
дни, най-често се прилага формулата за простата лихва, т.е. пресмята
се просто лихвено сконто. Ефективната стойност Е трябва да бъде
такава, че ако се вложи веднага при същия лихвен процент р за
времето t до падежа да даде същата номинална стойност S. Ако
времето е изразено в дни, d, то

E  E dp  S
36000

E S (2.1)
1 dp

36000

Откъдето за математическото сконто D получаваме

DSE (2.2)

Всъщност, изразът (2.1) може да бъде получен директно от формулата
за простата лихва, ако се приеме,че E=K, а натрупаната стойност на
капитала S съответства на номиналната стойност на задължението.

Пример: Фирма дължи на банка сумата от 50000 лв, като заемът е
взет при при 8% годишна проста лихва. Фирмата изплаща
задължението си 70 дни преди падежа. Каква е действителната сума, с
която се погасява дългът?

Решение: От израза (2.1) получаваме

E S  50000  49234,14лв
1 dp  70.8
1
36000 36000

D  S  E  50000  49234,14  765,86лв

По-долу ще разгледаме и сконтирането при сложна лихва. Нека

да си зададем въпроса: Колко пари ще имам след 10 години, ако днес

депозирам 1000 лв в банка, която плаща 8% годишна сложна лихва?

Тоест, търсим бъдещата (натрупаната) стойност на капитала.

(Отговорът е 2159 лв- убедете се сами!)

Можем да се интересуваме от друг проблем: Колко трябва да

инвестираме днес, така, че да достигнем до предварително планирана

сума в точно определен бъдещ момент? Да предположим, че искаме

да имаме 1000 лв след една година и лихвеният процент при сложна

лихва е 10%. Можем да запишем, че

Настоящата стойност x 1,1=1000лв.
От тук

Настоящата стойност =1000/1,1

Ако тези 1000 лв ни трябват след 2 години, днес трябва да внесем при
същата лихва

Настоящата стойност =1000/1,12
и т.н.
Вижда се, че дисконтирането е процес, обратен на начисляването на
сложната лихва. Тогава основната формула при дисконтиране при
сложна лихва е:

E  S 1 1 n (2.3)
p

Изразът 1 се нарича сконтов фактор. Той показва настоящата

1 pn

стойност на една парична единица (1 лев) в момент n периода преди
падежа. При това трябва да се има предвид, че когато периодът на
олихвяване не е една година, вместо годишния лихвен процент при
сложна лихва в знаменателя трябва да стои съответния еквивалентен
лихвен процент за съответния период (месец, тримесечие и т.н.).

Самият дисконт се намира по израза (2.2).
Пример: Фирма дължи на банка сумата от 80000 евро, като
заемът е взет при при 48% годишна сложна лихва и период на
олихвяване 1 месец. Фирмата изплаща задължението си 3 месеца
преди падежа. Каква е действителната (ефективната) сума, с която се
погасява дългът?

Решение: Използваме израза (2.3), като предварително намерим

еквивалентния лихвен процент р1 по израза (1.20).

t1 1

p1  1  p  t  1  1  48 12 1  0,033209
100 100  100 

Задължението се изплаща три периода предварително, т.е. n=3. Тогава

E  S 1  80 000 1, 1 
0332093
1 p1n

 72531,30евро

Пример: Да се намери сложният математически дисконт и
действителната стойност на задължението при номинална стойност
S=50000 евро, като задължението се изплаща 2 години преди падежа и
годишният лихвен процент при сложна лихва е p=10%.

Решение: Използваме израза (2.3) и след това (2.2).

E  S 1  50 000 1  1 

1 pn 0,12

 50000  41322,31евро
1, 21

D  S  E  50000  41322,31  8677,69евро

Основни термини
Дисконт -discount
Сконтов (дисконтов) процент–discount rate
Сконтов фактор – discount factor

3. Банково сконто

Въпреки, че математическото сконто е точно, във финансовата
практика по-често се използва банковото (търговско, практическо)
сконто. Това е така по няколко причини: по-изгодно е за банките,
пресмятането му технически е по-лесно. Освен това при малък
сконтов срок няма голяма разлика между него и математическото
сконто.

Обикновено, както беше подчертано по-горе, повечето от банките
приемат, че финансовата година е от 360 дни. Всяка банка въвежда
свой единен сконтов процент r (годишен). Той показва с колко
намалява единица задължение, при условие, че моментът на
изплащане се отдалечава с единица период преди падежа. При
банковото сконто при проста лихва първо се пресмята самото сконто
(дисконт) D, а ефективната стойност Е се получава като разлика
между номиналната (дължимата) сума S и сконтото D. Ако
сконтовият срок е изразен в дни, а лихвата е проста

D  S rd (2.4)
36 000

ESD

Множителят dr показва лихвата, която носи единица валута,
36 000

изплатена d дни преди падежа. Ако сконтовият срок е изразен в
месеци или години коефициентът в знаменателя е 1200 и 100
съответно.

Пример: Да се намери банковият дисконт и действителната
стойност на задължението при номинална стойност S=50000 евро,
като задължението се изплаща 70 преди падежа и годишният сконтов
процент на банката при проста лихва е r=6%.

Решение: Използваме израза (2.4):

D  S rd  50000 6.70  583,33евро
36 000 36 000

E  S  D  50000  583,33  49416,67евро

При сложна лихва, при банковото сконто, ако сконтирането се
прави един период преди падежа, ефективната сума Е ще бъде
E  S  Sr  S(1 r) , ако сконтирането се извършва два периода преди

падежа E  S(1 r)(1 r)  S(1 r)2 и т.н. Когато сконтирането се

прави n периода преди падежа

E  S(1 r)n (2.5)

където (1-r)n се нарича сконтиращ множител. Освен това, ако

периодите са изразени в други времеви единици (не години), вместо r

във формулата участва еквивалентния сконтов процент. Например,

месечният еквивалентен сконтов процент ще бъде равен (при зададен

годишен):

r1  1  12 1  r
100

Пример: Да се намери банковият дисконт и действителната
стойност на задължението при номинална стойност S=50000 евро,
като задължението се изплаща 2 години преди падежа и годишният
сконтов процент на банката при сложна лихва е r=10%.

Решение: Използваме израза (2.5):
E  S(1 r)n  50000(1 0,1)2  40500евро

D  S  E  50000  40500  9500евро

Нека при същите други условия задължението да се изплаща 2
месеца преди падежа, а периодът на олихвяване е един месец.

В този случай първо трябва да намерим еквивалентния сконтов
процент:

r1  1  12 1  r  1 12 1 10  0, 00874161
100 100

След това аналогично на по-горе
E  S(1 r1)n  50000(1 0,00874161)2  49129,66евро
D  S  E  50000  49129,66  870,34евро

В някои случаи връзката между сконтовия и лихвения процент е
важна.

Лихвеният и сконтовият процент се наричат еквивалентни, ако
два равни капитала, сконтирани с един и същи срок, единия с
лихвения, а другия със сконтовия процент дават равни ефективни
стойности.

В зависимост от това, дали лихвата е проста или сложна, изразите
се различават. Нека лихвата да е проста и сконтовият срок е n години.
Тогава ефективните стойности на математическото и банковото
сконто за една и съща номинална стойност ще бъдат

ES 1
1 np

E  S(1 nr)

Според определението за еквивалентност обаче, ефективните
стойности трябва да са равни. Приравняваме, съкращаваме на S и се
освобождаваме от знаменателя. Получаваме:

S 1  S(1 nr) (2.6)
1  np

r p
1  np

Ако срокът се измерва в месеци или дни, навсякъде трябва да се
въведат коефициентите 1200 или 36000 както по-горе.

Пример: Да се намери годишният сконтов процент r при проста
лихва, който е еквивалентен на годишен лихвен процент p=10%.

Решение: Използваме израза (2.6):

r  p  0,1  0,0909
1 np 1 0,1

или 9,09%.
От (2.6), а и от резултата се вижда, че винаги сконтовият процент е по-
малък от еквивалентния му лихвен процент.

Аналогично за сложна лихва получаваме:

r 1 1 (2.7)
1 p

Пример: Да се намери годишният сконтов процент r при сложна

лихва, който е еквивалентен на годишен лихвен процент p=20%.

Решение: Използваме израза (2.7):

r 1 1  1 1  0,166
1 p 1 0,2

или 16,6%.

4.Сконтиране на полици и съкровищни бонове

При банковите операции широко се използват кредитни
документи: записи на заповед, менителници и др. Срещу отпуснатия
кредит потребителят подписва писмен документ, наречен полица.
Чрез него той се задължава да плати на кредитора определена сума,
описана в полицата, включваща размера на заема и лихвата върху него
до датата на падежа.

Полицата (англ. bill) е ценна книга (документ), чрез който
едно лице се задължава да плати на друго известна парична сума
в определено време и на определено място.

Най-често срещаните полици са менителниците и записите на
заповед.

Менителницата (англ. bill of exchange, bill of sight) е полица,
чрез която едно лице нарежда на друго лице да изплати на трето
лице сумата, която е записана в менителницата.

Изплащането на тази сума трябва да се извърши на определено
място и в определено време. Както се вижда от определението, в
процеса участват три страни:

 Издател или трасант (англ. drawer)- лицето, което издава
полицата и така дава нареждане за изплащане на сумата. Освен
това чрез подписа си поема отговорност за изплащането й;

 Поемател или бенефициент (англ. payee)- лицето, на което
трябва да се изплати сумата, в чиято полза е нареждането за
изплащане.

 Платец или трасат- лицето, което трябва да изплати сумата,
записана в менителницата.

Бенефициентът може да изисква менителницата да бъде
предварително потвърдена (акцептирана) от трасата. Акцептът е
писмено съгласие на платеца да изплати сумата, записана в
менителницата, на падежа. В повечето случаи трасантът изпраща
менителницата на трасата за потвърждение. Обикновено времето от
издаването до изплащането на една менителница е кратко- до няколко
месеца. Бенефициентът не е задължен да изчака изплащането й
непременно на падежа- той може да прехвърля собствеността върху
полицата на други лица за уреждане на някакви свои задължения. Т.е.
менителницата може да смени няколко собственика до падежа. На
самия падеж последният й собственик я предявява за изплащане на
платеца (трасата). Най-вероятно той я изплаща, а ако това не стане
тръгва процес на протестирането й по обратния ред чрез т.н. регресен
иск.

Записът на заповед (англ. promissory notes) е полица, чрез
която издателят задължава сам себе си да изплати на друго лице
записаната в нея сума на предварително определено място на
датата на падежа. Тоест, в този случай издателят и платецът са едно
и също лице.

От гледна точка на правната доктрина менителницата и записът
на заповед са едностранни абстрактни и строго формални сделки.
Терминът «едностранни» означава, че съдържат волеизявлението само

на едно лице- издателя, за когото възниква само задължението да
плати, срещу което задължение поемателят има само право да иска и
да получи плащането на определената сума. Абстрактни са, защото
каузата не е задължителен елемент от фактическия състав на сделката
(т.е. няма значение каква е причината, за да се плати). Формални са,
защото писмената форма е задължителна и полицата трябва да
съдържа всички посочени от закона реквизити (елементи).

Както беше подчертано по-горе, собственикът на полицата може
да не изчака изплащането на записаната сума на падежа, а има право
да потърси получаването й по-рано, разбира се, сконтирана със
съответния отбив. Това се осъществява чрез предоставянето й в
обслужващата го банка. Ако банката приеме полицата за изплащане,
именно тя извършва сконтирането.

Прехвърлянето на вземането на обслужващата банка от кредитора
се нарича «джиросване». По този начин кредитът се трансформира в
банков, а банката встъпва в ролята на кредитор. Тъй като банката
изплаща част от сумата преди падежа, тя има право да получи част от
лихвата под формата на сконто (дисконт). Освен това тя получава
номиналната стойност на задължението от заемателя при плащането
му на падежа.

Полагащата се отстъпка се изчислява по приведените по-горе
формули на базата на номиналната сума на задължението, записано в
полицата, което включва главницата по заема и начислената лихва до
падежа.

Пример: Едноличният търговец «Астра-Петров» трябва да закупи
стока, за което са му необходими 24000 лева. Той няма в момента
необходимата сума, но притежава полица от едноличния търговец
«Барс- Иван Русков» на стойност от 26000 лв с падеж след 42 дни.
Тази полица г-н Петров предлага на своята банка за сконтиране. След
съответното проучване за платежоспособността на г-н Русков, банката
я приема. Сконтовият процент на банката е 24%. Каква ефективна
сума ще получи г-н Петров от банката?

Решение: Тъй като сконтовият срок е малък, използваме
сконтиране при проста лихва.

D  S rd  26000 24.42  728,00лв
36 000 36000

E  S  D  26000  728,00  25272 лв

По този начин г-н Русков става длъжник на банката, а г-н
Петров има възможност да продължи своята дейност.

Съкровищните бонове (държавни ценни книжа-ДЦК), се
причисляват към дълговите финансови инструменти. Те се
обеспечават от държавното съкровище на страната. Емитират се
(издават се) в серии и служат като инструмент за финансиране на
бюджетния дефицит. Срокът от издаването им до падежа обикновено
е 3, 6, 9 месеца или една година.

Поради гарантираната платежоспособност на държавата и
краткосрочния характер на операцията, закупуването им се счита за
една от най-безрисковите инвестиции на финансовите пазари.
Първичната им продажба се извършва на аукциони, в които участват
различни финансови инвестиции- търговски банки, застрахователни
дружества, пенсионни фондове. От своя страна институциите после
ги препродават на граждани, фирми и др. В момента на продажбата
сконтовите ДЦК се предлагат по цена, която е ефективната стойност
на номинала, сконтиран при проста лихва за срока, който остава до
падежа.

Съкровищните бонове биват освен сконтови ДЦК, още лихвени
ценни книжа и сконтови-лихвени ценни книжа. Без да навлизаме в
подробности, ще разгледаме един пример, касаещ сконтови ДЦК.

Пример: ДЦК с номинал 100 лв и падеж след 6 месеца е закупена
при сконтов процент 24% в момента на емитирането. На каква цена е
бил закупен този бон?

Решение: Тъй като сконтовият срок е малък, използваме
сконтиране при проста лихва.

D  S r.m  100 24.6  12,00лв
1200 1200

E  S  D  100 12,00  88,00 лв
На падежа притежателят му ще получи за този бон номинала от
100 лв.
Както се вижда, доходът, който се получава от инвестицията в
съкровищни бонове е разликата между изкупната цена на падежа и
покупната им цена.
За вземане на оптимални инвестиционни решения за този тип
ДЦК се изчисляват редица показатели, като доход до падежа, годишна
доходност, ефективна годишна доходност и др.
В последните години бяха пуснати две емисии ДЦК само за
физически лица, които са 3 и 5 годишни. За разлика от останалите, те
не се продават на специални аукциони. Наричат се още спестовни и не
се търгуват на вторичния пазар. Притежателят им обаче може да ги
продаде обратно на Министерството на финансите чрез институцията,
от която ги е закупил при определени условия. Те са доста търсени
поради това, че са безрисково капиталовложение, имат висока
ликвидност и доходността им е висока заради изплащаните
стъпаловидно растящи лихвени купони.

Основни термини
Полица-bill
Менителница– bill of exchange, bill of sight
Запис на заповед – promissory notes
Издател -drawer
Поемател -payee

5.Инфлация и анализ на базата на сконтиране на
паричните потоци

При вземането на управленски решения в областта на финансите
в съвременните условия е изключително важно да се отчита
влиянието на инфлацията. Както е известно, икономическият феномен

«инфлация» се дефинира принципно като повишаване на общото
равнище на цените на стоките и услугите.

От своя страна «цената» е количествен израз на съответната
валута, чрез която може да се закупи или продаде определено
количество стоки или услуги.

За достоверно сравняване на икономическите показатели в
различни периоди на времето е необходимо цените на стоките,
услугите и активите да се коригират, като се отчита нивото на
инфлацията. Поради това се дефинират номинални цени (nominal
prices), т.е. цени във вида, както са указани в ценоразписите на
стоките, и реални цени (real prices), отразяващи покупателната
способност на парите.

Аналогично се въвеждат и реални и номинални лихвени
проценти. Номиналните лихвени проценти (nominal interest rate) не
отчитат покупателната стойност на парите, а реалните лихвени
проценти (real rate of return) я вземат предвид (тоест, прави се
корекция, като се отчита инфлацията). За да се определят последните,
се използва т.н. кошница на потребителските стоки и услуги и по нея
се изчислява индексът на потребителските цени (CPI- consumer price

index).

Пример: Да предположим, че на 20 годишна възраст Вие
инвестирате 100 евро при сложна лихва и годишен лихвен процент
8%. Добрата новина е, че когато станете на 65 години, парите Ви ще
нарастнат на 3192 евро. Лошата обаче е, че стоките, които купувате
днес, по това време ще струват доста повече. Например, ако цените се
вдигат с 8% годишно през следващите 45 години, с Вашите 3192 евро
ще можете да напазарувате не повече, отколкото със 100 евро днес.
По този начин не печелите нищо. Затова, за да могат да се вземат
действително разумни управленски решения за дългосрочните
инвестиции, трябва да се отчитат както лихвеният процент, така и
нивото на инфлацията.

Общата формула (наречена в някои издания ефект на Фишер, по
името на известния американски икономист Ъруин Фишер),
свързваща реалния лихвен процент с номиналния и нивото на
инфлацията, изглежда по следния начин: