PRILOGNA_MATEMATIKA_TRIFONOV

1  Реален лихвен процент  1  Номинален лихвен процент
1 Ниво на инфлацията

или, съответно

Реален лихвен процент  Номинален лихвен процент  Ниво на инфлацията (2.8)
1 Ниво на инфлацията

От гледна точка на планирането и вземането на решения реалният
лихвен процент дава големи преимущества. Нека да се върнем към
примера по-горе, при който на 20 годишна възраст се инвестират 100
евро за да се изтегли натрупаната сума при достигане на 65 години. Да
предположим, че през 45 годишния период инфлацията е била 5%
годишно. Всъщност това, което Вие бихте искали да знаете е с колко
пари (като се отчита реалната им покупателна стойност) ще
разполагате. За тази цел пресмятаме реалната натрупана стойност на
капитала Sр като използваме реалния лихвен процент при сложна
лихва.

Реален лихвен процент  Номинален лихвен процент  Ниво на инфлацията 
1 Ниво на инфлацията

 0,08  0,05  0,02857
1 0,05

 Sр  K 1 pр n 1001 0,0285745  355евро

Или, изводът който може да се направи е, че при оценката на
алтернативни варианти за инвестиране трябва да се използват
реалните лихвени проценти, за да бъде взетото решение коректно.

Основни термини
Номинални цени -nominal prices
Реални цени -real prices
Номиналните лихвени проценти -nominal interest rate
Реалните лихвени проценти -real rate of return
Индекс на потребителските цени -CPI- consumer price index

6.Дългосрочни финансови операции

При дългосрочните финансови операции кредитирането или
дебитирането стават в продължение на един относително по-дълъг
период от време. Внасянето или изтеглянето на паричните суми може
да стане наведнъж или на части. Поради редици причини обикновено
това става на части.

Ясно е, че при тези операции ще участват две страни: кредитор и
дебитор. Освен това, много често в схемите за спестяване, в
инвестиционните проекти или в схемите за погасяване, бъдещите
парични постъпления или плащания остават неизменни от година на
година. Такъв тип схеми се наричат анюитети или ренти. Този термин
е дошъл от застраховането.

Общият принцип на дългосрочните финансови операции е, че
сборът от олихвените към един произволно избран момент дебитни
суми е равен на сбора от олихвените до същия момент кредитни суми.

На базата на този принцип нека да разгледаме как става
амортизацията на заем чрез използването на амортизационна таблица
(погасителен план).

Длъжникът най-често се договаря да погаси задължението си чрез
n погасителни вноски (погашения), правени през равни периоди от
време. След всяка вноска задължението намалява. При това, ясно е, че
част от вноската отива за намаляване на главницата, а друга част за
намаляване на натрупаната лихва. Останалата след поредната вноска
част от дълга се нарича неамортизиран дълг. Нека да приемем
следните означения:

p  лихвен процент за един период (напр. месец)
K  зает капитал
Dk  неамортизиран дълг след к-тото погашение,
очевидно D0  K
ak  k-та погасителна вноска (погашение)
M k  амортизация на дълга след к-тата вноска
Dk  Dk1  M k

i  p ,q 1 p
100 100

Както беше подчертано по-горе, вноската трябва да включва лихвата
на неамортизирания след предишната вноска дълг и амортизацията на
дълга поради тази вноска, тоест

ak  Dk1i  M k

M k  ak  Dk1i

След съответната погасителна вноска дългът се изменя както следва:
В началния момент

D0  K

След първата вноска

D1  D0q  a1

След втората вноска

D2  D1q  a2  D0q2  a1q  a2

След к-тата вноска

Dk  Dk1q  ak  D0qk  a1qk1  a2qk2  ...  ak1q  ak

Тъй като след последната вноска дългът трябва да бъде погасен, то

Dn  0или

D0qn  a1qn1  a2qn2  ...  an1q  an

В най-простия случай вноските са равни, тоест

ak  a

Тогава, като се използва теоремата за сумата на геометричната
прогресия

D0qn  a qn 1
q 1

От тук за величината на отделната вноска се получава

a  D0qn q 1  Ki   1 (2.9)
qn 1 1 
 qn 1 

Като се знае неамортизираният дълг след поредната вноска и
величината й, могат да се пресметнат амортизацията и
неамортизирания дълг. Резултатите се нанасят за нагледност в
таблица, която понякога се нарича погасителен план.

Таблица 1

Номер Dk  Dk1  Mk Mk  ak  Dk1i Dk 1i Dk1 Вноска
на ak

погаше
нието

1 D1  D0  M1 M1  a1  D0i D0i D0  K a1

2 D2  D1  M2 M2  a2  D1i D1i D1 a2

3

Както се вижда, таблицата се попълва отдясно наляво.
Пример: Заем от 80 000 лева се погасява чрез 6 равни вноски.
Лихвеният процент за един период е 12%. Да се състави погасителен
план (амортизационна таблица) за обслужване на дълга.

Решение: Лесно може да се намери, че i  0,12 и q  1,12.

Величината на всяка вноска ще бъде:

a  Ki 1 1  80 000.0,12 1  1   19 458, 06лв
  1,126  1 
qn 1 

(закръгляваме до стотинки).

Съответната попълнена таблица изглежда така:

Номер на Dk  Dk1  Mk M k  ak  Dk1i Dk1i Dk 1 Вноска
пога-
70 141,94 9 858,06 9 600 80 000 ak
шението 59 100,91 11 041,03 8 417,03 70 141,94
46 734,99 12 365,95 7 092,11 59 100,91 19 458,06
1 32 885,19 13 849,86 5 608,20 46 734,99 19 458,06
17 373,35 15 511,84 3 946,22 32 885,19 19 458,06
2 17 373,26 2 084,80 17 373,35 19 458,06
0,09 19 458,06
3 19 458,06

4

5

6

Забележка: Разликата от 9 стотинки се дължи на закръгляванията при
изчисленията.
На Фиг.3 се вижда как с всяка следваща вноска намаляват
плащанията за лихвата и се увеличават плащанията за амортизация на
главницата, като сумата им винаги е равна на погасителната вноска (4
и 3 колона от таблицата).

18000
16000
14000
12000
10000

8000
6000
4000
2000

0
123 4 5 6

Част от лихвата Част от главницата

Фиг.1

Основни термини
Анюитет –annuity(от френското annuite-ежегодно постъпване на
приход. Коренът на думата е латински- annus-година)
Амортизация -amortization
Амортизационна таблица – amortization schedule

Задачи за самостоятелно решаване:

Зад.1. Заем от 100 000 € се погасява чрез 10 вноски. Съставете
амортизационна таблица, при условие че годишният лихвен процент е
10%.

Зад.2. Заем от 1000 € се погасява чрез 5 вноски. Съставете
амортизационна таблица, при условие че годишният лихвен процент е
7%.

ГЛАВА ТРЕТА:

ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ. МЕТОД НА ГАУС.

1. Системи линейни уравнения
2. Метод на Гаус за решаване на системи линейни

уравнения

1. Системи линейни уравнения

Системата от m линейни уравнения с n неизвестни се записва
във вида:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + ... + a1n xn = b1 .
a21x1+a22 x2+ a23x3 +...+a2n xn = b2
am1x1 + am2 x2 + am3x3 + ... + amn xn = bm

Тук x1, x2, , xn са неизвестните променливи, aij (i = 1,2, , m;
j =1, 2, , n) – числа, наречени коефициенти на системата (първият
индекс показва номера на уравнението, вторият— номера на

променливата), b1, b2, , bm –числа, наречени свободни членове.
Решение на системата се нарича съвкупността от числата

x1, x2, , xn, обръщаща всяко уравнение на системата в тъждество.
Да се реши системата означава да се намерят всички нейни

решения или да се докаже, че не съществува решение.
Система, която има решение, се нарича съвместима.
Ако системата има само едно решение, то тя се нарича

определена. Система, която има повече от едно решение се нарича
съвместима и неопределена.

Ако системата няма решения, то тя се нарича несъвместима.
Системата, при която всички свободни членове са равни на нула

(b1 = b2 == bn = 0), се нарича еднородна. Еднородната система

винаги е съвместима, тъй като съвкупността от n нули удовлетворява
всяко уравнение от тази система.

Ако броят на уравненията е равен на броя на неизвестните
(m=n), то системата се нарича квадратна.

Две системи, чиито решения съвпадат, се наричат
еквивалентни или равносилни (съвпадението на множествата на
решенията означава, че всяко решение на първата система е решение
на втората, и всяко решение на втората система е решение на
първата).

Две несъвместими системи също се считат за еквивалентни.
Преобразуването, което превръща системата в нова такава,
еквивалентна на изходната, се нарича еквивалентно или равносилно
преобразуване (трансформация). Например, еквивалентни
преобразувания са: размяна на местата на две уравнения на системата,
размяна на местата на две неизвестни заедно с коефициентите при
всички уравнения, умножаване на двете страни на някое от
уравненията с число, различно от нула.

2. Метод на Гаус за решаване на системи линейни
уравнения

Разглежда се квадратната система

 x1  x2  3x3  2x4  11

 4x1  6x2  x3  x4  1 (3.1)
 3x1  2x2  2x3 .

3

5x1  x2  2x3 x4  2

При нея коефициентът a11 е различен от нула. Ако това условие не се
изпълнява, то уравненията биха могли да се разместят по такъв начин,
че първо да е уравнение, на което коефициентът пред x1 да не е равен
на нула.

Системата се преобразува по следния начин:

1) тъй като a110, първото уравнение остава без изменения;

2) вместо второто уравнение записваме уравнението, което се
получава, като от второто изваждаме първото, умноженно с 4;

3) вместо третото уравнение записваме разликата на третото и
първото, умножена с 3;

4) вместо четвъртото уравнение записваме разликата на
четвъртото и първото, умножена с 5.

Получената нова система е еквивалентна на изходната и има за
всички уравнения, освен първото, нулеви коефициенти пред x1
(именно това е и целта на преобразуванията 1 – 4):

x1  x2  3x32x4  11

 10x2  13x38x4  45 . (3.2)
 5x2  7x3 7x4  30

 4x2 13x3 9x4  53

Може да се докаже, че смяната на всяко уравнение на

системата с друго, получено чрез прибавяне към даденото
уравнение на всяко друго уравнение на системата, умножено с
произволно число, се явява еквивалентно преобразуване на
системата.

За улеснение, изходната система може да се представи във вид
на таблица:

 1 1 3 2 111 . (3.3)
 4 6 1 0 23
2 1
 3 2 1
 5 1 2

Правоъгълната таблица, състояща се от p реда и q стълба, се
нарича матрица с размерност pq:

 a11 a12 a13  a1q 
 a21 a22 a23  a2q 
    apq  .
  
a p1 a p2 a p3

Числата aij се наричат елементи на матрицата. Первият индекс
определя номера на реда, а вторият – номера на стълба, в които се
намира даденият елемент. Ако p = q, т.е. броят на редовете е равен на
броя на стълбовете, то матрицата се нарича квадратна. Елементите aii
образуют главния диагонал на матрицата.

Матрицата (3.3) се нарича разширена матрица на изходната
система уравнения. Ако от разширената матрица се премахне стълбът
на свободните членове, то се получава матрица на коефициентите

на системата, която понякога се нарича кратко матрица на

системата.
Ясно е, че матрицата на коефициентите на квадратна система е

квадратна.

Всяка система от m линейни уравнения с n неизвестни може да
се представи във вид на разширена матрица, съдържаща m реда и n+1
стълба. На системата (3.2) отговаря разширената матрица

 1 1 3 2 11
0 10 13 8  45
 5 7 7  3503 .
 0 4 13 9 
0

Преобразуваме я по следния начин:
1) не изменяме първите два реда, тъй като елементът a22 не е
равен на нула;
2) вместо третия ред записваме разликата между втория и
удвоения трети;
3) четвъртият ред заменяме с разликата между удвоения втори и
умножения с 5 четвърти.
Като резултат се получава матрица, съответстваща на системата,
при която неизвестната променлива x1 е изключена от всички

уравнения, освен от първото, а неизвестната x2 — от всички
уравнения, освен от първото и второто:

 1 1 3 2 11
0 10  13 8  45
 0 1 6 17155 .
 0 0
0 39 29

Сега изключваме неизвестната x3 от четвъртото уравнение.
Преобразуванията последователно са:

1) първите три реда не се изменят, тъй като a33  0;
2) четвъртият ред се заменя с разликата между третия, умножен
с 39, и четвъртия:

 1  1 3 2 11
0 10  13 8  45
 0 1 6 41105 .
 0 0 0
0 205

Получената матрица съответства на системата

x1  x2  3x32x4  11

 10x2  13x3  8x4  45 . (3.4)
 x3  6x4  15

 205x4  410

От последното уравнение на тази система се получава x4 = 2.
Замествайки това значение в третото уравнение, получаваме x3 = 3. От
второто уравнение следва, че x2 = 1, а от първото — x1 = –1. Очевидно
е, че полученото решение е единствено (тъй като по единствен начин

се определя значението x4, след това x3 и т. н.).
Следните преобразувания на матрица се наричат елементарни:
1) размяна на местата на два реда;
2) умножение на ред с число, различно от нула;
3) замяна на ред на матрицата със сбора на този ред с всеки друг

ред, умножен с произволно число.

Ако матрицата A е разширена матрица на някаква система, и
чрез елементарни преобразувания матрицата A се превръща в
матрицата B, която е разширена матрица на някаква друга система, то
тези системи са еквивалентни.

Квадратна матрица, елементите на главния диагонал на която са
различни от нула, а под главния диагонал имаме нули, се нарича
триъгълна матрица. Матрицата на коефициентите на системата (3.4)
е триъгълна матрица.

Ако чрез елементарни преобразувания матрицата на
коефициентите на квадратна система може да се приведе към
триъгълна матрица, то системата е съвместима и определена.

Разглеждаме друг пример:

 x1  2x2  3x3  x4  4x5   2

 2x1  x2  x3  2x4  3x5  1
 3x1  x2  2x3  x4  x5  7 .(3.5)

 x1  2x2  5x3  5x4  10x5  10

 2x1  x2  x3  2x4  3x5  9

Правим следните преобразувания на разширената матрица на
системата:

1) първият ред не се променя;
2) вместо втория ред записваме разликата между него и
удвоения първи ред;
3) вместо третия ред записваме разликата между него и първия,
умножен по три;
4) четвъртият ред заменяме с разликата между четвъртия и
първия;
5) петият ред заменяме с разликата между него и удвоения
първи.
В резултат се получава матрицата:

 1  2 3  1 4  2
0 5  5 0  5 5
 4  11 13 .
 0 5 7

0 0 2  4 6  8
0 5  7 4  11 13

Чрез елементарни преобразувания я изменяме до вида:

 1  2 3 1 4  2
0 5 5 0 5 5
 6  8 .
 0 0 2 4

0 0 2  4 6 8
0 0 2  4 6  8

Чрез метода на последователното изключване на неизвестните
(наречен още метод на Гаус), с помощта на третия ред нулираме
коефициентите пред x3 в четвъртия и петия редове, делим всички
елементи от втория ред на 5 и делим всички елементи на третия ред
на 2. Получаваме матрицата

1  2 3 1 4 2 
0 1 1 0 1 1 
 1  2 3  4 .
 0 0

0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 

Всеки от двата последни реда на тази матрица съответства на
уравнението 0x1+0x2+0x3+0x4+0x5 = 0. То се удовлетворява от всяка
съвкупност на числата x1, x2, , x5, и трябва да бъде отстранено от
системата. По този начин, системата с горната разширена матрица е
еквивалентна на системата с разширена матрица от вида

 1  2 3 1 4  2 (3.6)
0 1 1 0 1 1 .
0 0 1  2 3  4

Последният ред на тази матрица отговаря на уравнението
x3 – 2x4 + 3x5 = –4. Ако неизвестните x4 и x5 получат произволни
значения: x4 = r; x5 = s, то от последното уравнение на системата с
матрица (3.6) ще получим x3 = –4 + 2r – 3s. Като се заместят
изразите за x3, x4, и x5 във второто уравнение, ще получим x2 = –
3 + 2r – 2s. Накрая, от първото уравнение може да се намери x1 = 4 –
r + s. Окончателното решение се представя във вида

x1  4  r  s

 x2  3  2r  2s .
 x3  4  2r  3s

 x4  r

x5  s

В общия случай, нека да разгледаме правоъгълната матрица A,
при която броят на стълбовете m е по-голям от броя на редовете n.
Ако матрицата A може да се раздели с вертикална линия на две
матрици: триъгълна матрица отляво с размерност m и правоъгълна
матрица отдясно, то матрицата A се нарича трапецоидална.
Очевидно е, че матрицата (3.6) е такава.

Ако при прилагане на еквивалентни преобразувания към дадена
система поне едно от уравненията получи вида

0x1 + 0x2 + 0xn = bj (bj  0),
то системата е несъвместима, тъй като нито една съвкупност от числа

x1, x2, , xn не удовлетворява това уравнение.
Ако при преобразуването на разширената матрица на системата

матрицата на коефициентите се получава трапецоидална и при това
системата не е несъвместима,то тя е съвместима и неопределена, тоест
има безкрайно много решения.

Например, в последната система могат да се получат всички
решения, като се дадат конкретни числени значения на параметрите r
и s.

Тези променливи, чиито коефициенти са на главния диагонал на
трапецоидалната матрица (тези коефициенти са различни от нула), се
наричат базисни. В разгледания по-горе пример това са x1, x2, x3.
Останалите неизвестни се наричат свободни. В примера това са x4 и
x5. На свободните неизвестни могат да се присвояват произволни
значения или те могат да се изразяват чрез параметри както по-горе.

Базисните неизвестни се изразяват чрез свободните по
единствено възможен начин.

Ако на свободните неизвестни се присвоят конкретни числени
значения и чрез тях се изразят базисните неизвестни, то полученото
решение се нарича частно решение.

Ако свободните неизвестни се изразят чрез параметри, то се
получава общото решение.

Цялото безкрайно множество от решения на системата може да
се получи, като на свободните неизвестни се присвояват произволни
значения и се намират съответните значения на базисните неизвестни.

Ако на всички свободни неизвестни са присвоени нулеви
значения, то полученото решение се нарича базисно.

Една и съща система понякога може да се приведе към различни
набори от базисни неизвестни. Например, може да се сменят местата
на 3-я и 4-я редове в матрицата (3.6). Тогава базисни ще бъдат
неизвестните x1, x2, x4, а свободни – x3 и x5.

Ако са получен два различни набора базисни неизвестни при
различни начини на намиране на решението на една и съща система,
то те непременно съдържат един и същ брой неизвестни. Този брой се
нарича ранг на системата.

Разглеждаме още една система, имаща безкраен брой решения:

 x1  x2  2x3  4x4  x5  2

 2x1  3x3 7x4  x5  7
 .
2x1  4x2  5x3  9x4  5x5  1

 3x1  x2  5x3 14x4  2x5  8

Преобразуваме разширената матрица по метода на Гаус:

 1 1 2 4 1 2   1 1 2 4 1 2 
0 2 1 1 3 3 0 2 1 1 3 3.
 2 1 1 3 23   0 0 2 1
 0 2 1 5 0 3
0 2

Последната матрица може да се преобразува, като се сменят местата
на третия и четвъртия стълбове:

 1 1 4 2 1 2
0 2 1 1 3 3.
0 0 3 0  2 1

Тази матрица е трапецоидална. Съответстващата и система има две
свободни неизвестни – x3, x5 и три базиси– x1, x2, x4. Решението на
изходната система се представя по следния начин:

 x1  14  3 r  11 s
 32 6
  4  1 r  11 s
x2  32 6
  r .
 x3
1 2s
x4 33
x5  s

Следващият пример е за система, която няма решение:

32xx11  3x2  x3  7 .
 2x2  x3  5

4x1  7x2  3x3  4

Преобразуваме системата по метода на Гаус:

 2  3 1 7  2  3 1 7  2  3 1 7
 3 2 1 5   0 13  5 11   0 13  5 11.
 4 7  3 4  0 13  5 10  0 0 0 1

Последният ред на последната матрица съответства на
уравнението 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, което няма решение. Следователно,
изходната система е несъвместима.

Накратко, същността на метода на Гаус е следната.
Предполагаме, че коефициентът a11 е различен от нула ( ако това не е
така, на първо място трябва да се постави уравнение с различен от
нула коефициент пред x1 и да се преименуват коефициентите).
Преобразуваме системата по следния начин: първото уравнение не

променяме, а от всички останали изключваме x1 чрез еквивалентни
преобразувания.

В получената система

a11x1  a12 x2  a13x3 ... a1n xn  b1

 a2*2 x2  a2*3x3 ...a2*n xn  b2*

 a3*2 x2  a3*3x3 ...a3*n xn  b3* ,


 .......................

 am* 2 x2  am* 3x3  ...am* n xn  bm*


считаме, че a2*2  0 (това винаги може да се получи чрез разместване
на уравненията), оставяме без изменения първите две уравнения на

системата, а от останалите уравнения, използвайки второто,

изключваме неизвестната x2. В новополучената система

a11x1  a12 x2  a13x3 ...a1n xn  b1

 a2*2 x2  a2*3x3 ...a2*n xn  b2*

 a3*3*x3  ...a3*n* xn  b3**


 .................

 am**3x3  ...am**n xn  bm**


при условие, че a3*3*  0 оставяме без изменения първите три
уравнения, а от всички останали с помощта на третото уравнение чрез
елементарни преобразувания изключваме неизвестната x3.

Процесът продължава, докато не се реализира един от трите
възможни случая:

1) ако в получената система едно от уравненията има
нулеви коефициенти пред всички неизвестни и различен от
нула свободен член, то изходната система е несъвместима;

2) ако в получената система матрицата на
коефициентите е триъгълна, то системата е съвместима и
определена;

3) ако се получи система с трапецеидална матрица на
коефициентите (и при това не се изпълняват условията на
точка 1), то системата е съвместима и неопределена.

Пример: Накрая ще разгледаме подробно решението на една
система от три уравнения с три неизвестни по метода на Гаус.

2 x1  x2  2 x3  1
2 x1  3x2  2 x3 9

x1  x2  x3  3,5

Разширената матрица на системата (заедно със стълба на
свободните членове), е:

 2 1 2 1
 
 2 3 2 9 
1 1 1 3,5

Както беше показано по-горе, според метода на Гаус имаме прав
ход и обратен ход при решението.

Прав ход:

Първи стадий: работим с първия стълб.

Стъпка 1: Разделяме първия ред на a11 (в случая на 2)

 1 1/ 2 1 1/ 2 
 
 2 3 2 9 
1 1 1 3,5

Стъпка 2: Елиминираме х1 от уравнения 2 и 3, като изваждаме
уравнение 1, умножено със съответния коефициент.

Ред2 – 2 Ред1 и Ред3 – (-1) Ред1

 1 1/ 2 1 1/ 2 
 
 0 4 4 10 
0 1,5 2 4

Втори стадий: работим с втория стълб.

Стъпка 1: Разделяме втория ред на a22 (в случая на -4)

 1 1/ 2 1 1/ 2 
 2, 45 
 0 1 1
0 1,5 2

Стъпка 2: Елиминираме х2 от третото уравнение, като изваждаме от
него второто, умножено със съответния коефициент.

Ред3 – (-1,5) Ред2

 1 1/ 2 1 1/ 2
 0,22, 55 
 0 1 1
0 0 0,5

Трети стадий: работим с третия стълб.

Стъпка 1: Разделяме третия ред на a33 (в случая на –0,5)

 1 1/ 2 1 1/ 2 
 
 0 1 1 2,5 
0 0 1 1/ 2

Обратен ход:

От третия ред (т.е. от уравнения 3), намираме:

x3  1
2

От втория ред:

x2  2,5  x3  2,5  1
2

x2  2

От първия ред:

x1  0, 5(2)  0, 5   1
2

x1  1

Проверка:

Заместваме намерените стойности на неизвестните в първоначално
зададената система:

2.1 2  2. 1  1  1  1
2

2.1 3(2)  2. 1  9  99
2

(1)  (2)  1   3  33
25 55

Системата е решена вярно.

Основни термини
Система линейни уравнения – system of linear equations

Метод на Гаус – Gaussian elimination

ГЛАВА ЧЕТВЪРТА:

ТЕОРИЯ НА МАТРИЦИТЕ. ДЕТЕРМИНАНТИ.

1. Елементи от теорията на матриците
2. Детерминанти
3. Намиране на обратната матрица
4. Метод за решаване на системи линейни уравнения

чрез обратна матрица
5. Метод на Крамер за решаване на система линейни

уравнения
6. Входно-изходен анализ

1. Елементи от теорията на матриците

По-горе беше дадена дефиниция на матрица A с размерност p 

q като правоъгълна таблица:

A  a11 a12 a13 ... a1q  .
 a21 a22 a23 ... a2q 
... a p.q..
 ... ... ... ...

a p1 a p2 a p3

Съкратеният запис има вида:
A = (aij); i = 1, 2, 3, , p; j = 1, 2, 3, , q.

Две матрици с еднаква размерност p  q се наричат равни, ако
елементите им са равни (на мястото на пресичане на i-я ред и j-я
стълб и при едната и при другата матрица имаме едно и също число;

i=1, 2, ..., p; j=1, 2, ..., q).
Нека A = (aij) е дадена матрица и  – произволно число, тогава

A = (aij), тоест при умножаване на матрицата A с числото 
всички числа, составящи матрицата A се умножават на числото

.

Нека A и B са матрици с еднаква размерност A = (aij), B = (bij),
тогава тяхната сума A + B е матрицата C = (cij) която е със същата
размерност, определена по формулата cij = aij + bij, тоест при събиране
на две матрици се сумират два по два техните елементи.

Матрицата A може да се умножи с матрицата B, тоест да се
намери матрицата C = AB, ако броят на стълбовете n на
матрицата A е равен на броя на редовете на матрицата B, при
това матрицата C има толкова реда, колкото са редовете на
матрицата A и толкова стълба, колкото са стълбовете на
матрицата B. Всеки елемент на C се определя по израза

n

cij  aikbkj .
k 1

Или, елементът cij на матрицата C е равен сумата от
произведенията на елементите на i-я ред на първата матрица със
съответните елементи на j-я стълб на втората матрица.

От казаното следва, че ако съществува произведението AB, то
произведението BA, в общия случай не е определено.

Примери за умножаване на матрици:

1)  1 2 3  431 3  45 =
 2 1 1 1 21
2 6
 4 3  3

= 1223 2 1  33 6  4   3 3 15  2  4  3 2  4  1  1 =
11 6   3  25 1  4  1 2   3
1 

 4  5   2  4  3 2 1 1 4  5   2  4  3 2 1 1 

 11  1

= 10 371 ;
 25

 4 1
 
2) 3 2 1   3 2 = (8, 4).
 3
 2

Ако AB и BA едновременно са определени, то, по принцип, тези
произведения не са равни. Това означава, че умножението на
матрици не е комутативно.

Например:

1 2  5 6  19 22 ; 5 6  1 2   23 34
 3 4 7 8  43 50  7 8 3 4  31 46 .

За алгебрични действия с матрици са в сила следните закони:

1) A + B = B + A;
2)  (A + B) = A + B;
3) (A + B) + C = A + (B + C);
4) (AB)C = A(BC);
5) A(B + C) = AB + AC.

Матрица, която се състои от един ред се нарича вектор (вектор-
ред). Матрица, состояща се от един стълб също се нарича вектор
(вектор-стълб).

Нека е дадена матрицата A = (aij) с размерност m  n, n-мерния
вектор-стълб X и m-мерния вектор-стълб B:

 x1  ;  b1  .
X x2  B b2 
x.n.. b.m..
 

Тогава матричното равенство (4.1)
AX = B,

ако се разпише по елементи, ще има вида:

a11x1  a12x2  ...  a1n xn  b1
a21x1
  a22 x2  ...  a2n xn  b2 .
...

am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm

Следователно, формула (4.1) се явява запис на системата от m
линейни уравнения с n неизвестни в матрична форма. Освен краткост ,
този начин на запис дава и други предимства, показани по-долу.

Нека са дадени две квадратни матрици с еднаква размерност:

A 1 2 21;D  2 1 7  .
1 3  3 5 9 

 2 3 1  1 4 6

Трябва да се намери матрицата X, удовлетворяваща матричното

уравнение

AX = D.
От правилото за умножение следва, че матрицата X трябва да
бъде квадратна матрица със същата размерност както на матриците A
и D:

X x11 x12 x13  .
x21 x22 x23 
 x31 x32 x33 

От същото правило и от определението за равенство на матрици

следва, че последното матрично уравнение се разпада на три системи

линейни уравнения:

 x11  2x21  x31  2 ;
 x11  3x21  2x31  3

 2x11  3x21  x31  1

 x12  2x22  x32 1
 x12  3x22  2x32  5 ;(4.2)

 2x12  3x22  x32  4

 x13  2x23  x33  7
 x13  3x23  2x33  9.

 2x13  3x23  x33  6

И трите системи (4.2) имат еднакви матрици на коефициентите, което

дава возможност да се решат едновременно, като се използва
матрицата

  1 2 1 2 1 79 .
 1 3 2 3 5

 2 3 1 1 4 6

Тук първите четири стълба образуват разширената матрица на първата

система, първите три стълба с петия образуват разширената матрица

на втората система, а первите три стълба заедно с шестия –

разширената матрица на третата.

За решението може да се използва методът на Гаус-Жордан,

който е модификация на метода на Гаус.

Първата стъпка по този метод съвпада с тази при метода на

Гаус. Оставяме първия ред без изменения, а във втория и третия

правим «нули» в първия стълб:

 1 2 1 2 1 7
 
0 5 3 5 4 168 .
 0 1 1 5 2

След това, по метода на Гаус-Жордан, оставяме без изменения само

втория ред (тъй като a22  0) и получаваме с помощта на втория ред
в първия и третия ред нули във втория стълб. За това на мястото на
първия ред записваме сумата на първия ред, умножен с 5, и втория
ред, умножен с –2. Вместо третия ред записваме сумата на третия ред,
умножен с 5 и втория ред, умножен с –1. След разделянето на
получения трети ред с 2 получаваме матрицата

 5 0  1 0 13 3
 
0 5 3 5 4 16 .

0 0 1 10  3 12

За да получим нули в първия и втория редове на третия стълб, правим

следните трансформации. Оставяме третия ред без изменения,

заменяме втория с разликата между него и утроения трети, а първия-

със сумата на първия и третия. След разделяне на първия и втория ред

на преобразуваната матрица с 5 се получава матрицата

 1 0 0 2 2 3
 
 00 1 0 5 1  24 . (4.3)
0 1 10 3

При преобразуването на системата по метода на Гаус-Жордан
матрицата на коефициентите се преобразува, ако е възможно, към
такъв вид, че в главния диагонал има само единици, а над и под него
само нули. Ако се вземат първите четири стълба на матрицата (4.3), то
се получава матрицата, в която се е преобразувала расширената
матрица на първата от системите уравнения (4.2). От нея се получава:
x11=2; x21=–5; x31=10. Матрица, образувана от първите три стълба
заедно с петия, дава решение на втората система уравнения от (4.2):
x12=2; x22=1; x32=–3. И, накрая, матрицата, образувана от първите три
стълба заедно с шестия стълб на (4.3), дава решение на третата
система уравнения (4.2): x13=3; x23=–4; x33=12.

От казаното може да се направи изводът, че последните три
стълба на матрицата (4.3) образуват търсената матрица X.

X    2 2  43.
 5 1

 10  3 12

Въвеждаме следните определения.
Нулева матрица се нарича тази матрица, при която всички
елементи са нули. Очевидно е равенството A + (–1)A = 0. Тук в

дясната страна с 0 е означена нулева матрица със същата размерност
както на матрицата A.

Квадратната матрица с размерност n се нарица единична, ако
всичките й елементи в главния диагонал са единици, а останалите –
нули. Единичната матрица може да се дефинира чрез изразите:

aij = 1 при i = j;
aij = 0 при i  j.
Очевидно, че първите три стълба на матрицата (4.3) образуват
единична матрица.
Единичната матрица обикновено се означава с E:

 1 0 0 0 
 0 1 0 0 

E 0 0 1 0  .

    
 0 0 0  1

Лесно може да се провери верността на равенствата: EA = AE =
A. Тук A – квадратна матрица, и размерностите на A и E са еднакви.

Нека A е квадратна матрица. Обратна матрица на A се нарича
такава матрица A–1, за която са изпълнени равенствата:

AA–1 = A–1A = E.
Очевидно, че A–1 е квадратна матрица със същия размер както
на A. Трябва веднага да се подчертае, че не всяка квадратна
матрица има обратна.
Пример: да се намери обратната матрица на матрицата

A 1 2 43 .
1 1

 2 1 3

Записваме

 1 2 43 x11 x12 x13   1 0 00 ,
 1 1 x21 x22 x23  0 1

 2 1 3 x31 x32 x33   0 0 1

където

 x11 x12 x13   A 1 ,
 x21 x22 x23 
 x31 x32 x33 

този запис дава три системи уравнения, които се решават едновременно, като се
използва методът на Гаус-Жордан. Матрицата, която дава разширението на
матриците на трите системи, има вида

 1 2 3 1 0 00 .
 1 1 4 0 1

 2  1 3 0 0 1

Последователните преобразувания по този метод са дадени по-долу

 1 0 5  1 2 0
 01 
 0 1 1 1 1
0 0 8 3 5

8 0 0 7 9 5   1 0 0 7 9 5
 00 8 0 5 3 11  0 1 0 8  81 (4.4)
0 8 3   0 0 1 8
5  5 3 8
 8  81
 8 5
3
8
8

Както и в предишния пример, може да се каже, че трите последни
стълба образуват търсената матрица, тоест

 7  9 5 
8 8 8 
 5 3 1 
A1  8 8 8 
    .

  3 5  1 
 8 8 8 

Правилото, по което се намира матрица, обратна на квадратната
матрица А с размерност n може да се сформулира по следния начин.

Записва се матрица с размерност n  2n, първите n стълба на
която са образувани от матрицата А, а последните n стълба образуват
единична матрица Е. Построената по този начин матрица се
преобразува по метода на Гаус-Жордан, така, че на мястото на
матрицата А да се получи единична матрица, ако това е възможно.

Ако матрицата А не може да се преобразува в единична
по метода на Гаус-Жордан, то А–1 не съществува.
Тогава на мястото на матрицата Е се получава матрицата А–1.

Например, матрицата  1 2 3
няма обратна. 
2 1 1
4 5 7

2. Детерминанти

Разглеждаме система от две линейни уравнения с две
неизвестни, записана в общ вид:

aa2111xx11  a12 x2  b1 .
 a22 x2  b2

Намираме x1 по следния начин: за да изключим x2, умножаваме
първото уравнение с a22 и от полученото уравнение изваждаме
второто, умножено с a12:

a11a22  a12a21x1  b1a22  b2a12 . (4.5)

Въвеждаме означенията  = a11a22 – a12a21, 1 = b1a22 – b2a12.
За да намерим x2 умножаваме второто уравнение с a11 и от

полученото изваждаме първото, умножено с a21:
(a11a22 – a12a21)x2 = a11b2 – a21b1. (4.6)

Въвеждаме означението 2 = a11b2 – a21b1.
От (4.5) и (4.6) се вижда, че ако   0, то системата има

единствено решение, което се определя от израза

xi  i , i  1, 2 . (4.7)

Ако трябва да бъдем точни, то от (4.5) и (4.6) следва, че ако

решението съществува, то по единствен начин се изразява чрез

коефициентите на системата и свободните членове. За да се докаже

съществуване, трябва да се заместят двете формули (4.7) в системата и

да се убедим във факта, че двете уравнения се превръщат в равенства.

Величината  се нарича детерминанта на матрица от втори
ред

 a11 a12  .
a21 a22

По принцип детерминанта на произволна матрица от втори ред

1211 12  се нарича числото, което се означава  11 12 и е равно
 22  21  22

на произведението на двете числа, намиращи се на главния диагонал

минус произведението на двете числа, намиращи се на другия

диагонал: 1122 – 1221.  4  15  8  23.
Например,  5
3

2

От казаното следва, че величините 1 и 2 в (4.7) също са
детерминанти:

1  b1 a12 ;  2  a11 b1 .
b2 a22 a21 b2

Разглеждаме система от три линейни уравнения с три
неизвестни:

 a11x1  a12 x2  a13x3  b1 (4.8)
a21x1  a22 x2  a23x3  b2 .
a31x1  a32 x2  a33x3  b3

По определение детерминанта на произволна квадратна матрица от

трети ред  c11 c12 c13  се нарича сумата от шест събираеми, всяко
 c21 c22 c23 
 c31 c32 c33 

от което представлява произведение от три елемента на матрицата,

избрани по следните правила: трите произведения на елементите,

намиращи се на главния диагонал и на върховете на двата

триъгълника: , се вземат със знак "", а трите произведения на

елементите, стоящи на втория диагонал и на върховете на другите два

триъгълника: , се вземат със знак "". Детерминантата от трети

ред се означава по следния начин:

c11 c12 c13
c21 c22 c23 .
c31 c32 c33

Например,

2 35
1  2 3 

2 49

 2   2 9  3 3 2  1 4  5  2   2 5  1 3 9  4  3 2 

 36 18  20  20  27  24  15

Решавайки системата (4.8), по метода на Гаус например, може
да се получи равенството

x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3, (4.9)

където

a11 a12 a13 b1 a12 a13

  a21 a22 a23 ;1  b2 a22 a23 ;

a31 a32 a33 b3 a32 a33

a11 b1 a13 a11 a12 b1

2  a21 b2 a23 ;3  a21 a22 b2 .

a31 b3 a33 a31 a32 b3

От формулата (4.9) се вижда, че ако   0, то решението на
системата се определя по единствен начин:

xi  i ,i  1,2,3.


Решавайки системи линейни уравнения от 4-ти, 5-ти или или
по-висок ред, могат да се получат формули, аналогични на формулите
(4.5), (4.7) или (4.9).

По-долу ще дадем определение на детерминантата

a11 a12  a1n
a21 a22  a2n
  

an1 an2  ann

на квадратна матрица от n-ти ред или просто на детерминанта от
n-ти ред.

За целта се използва понятието n! (чете се ен факториел): ако n
е естествено (цяло положително) число, то n! – това е
произведението на всички естествени числа от 1 до n. (по-долу това
понятие ще бъде определено по-точно).

n! = 123(n – 1) n.

Например,

5! = 12345 = 120.

Трябва да се има предвид, че в някои учебници вместо термина
"детерминанта" се използва термина "определител" и детерминантата
на матрицата A се означава с detA.

Детерминанта от n-ти ред се нарича сумата от n! събираеми.
Всяко събираемо представлява произведение от n элемента, взети
по един от всеки ред и всеки стълб. Произведенията се различават
едно от друго по набора на елементите и са точно n!. Пред всяко

произведение се поставя знак "" или "".
Знакът се определя по следния начин.
Тъй като във всяко произведение има един елемент от 1-я ред,

един елемент от 2-я и т.н., то произведението в общ вид може да се
запише така:

a1ia2ja3kans.

Тук i, j, k, , s са номера на стълбовете, в които има елементи,
взети от 1-я, 2-я, 3-я, ... n-я редове съответно. От казаното по-горе е
ясно, че всяко от числата i, j, k, , s е равно на някое от числата 1, 2,
..., n, и че всички числа i, j, k, , s са различни.

Когато са разположени в определен ред

i, j, k, , s,

тези числа образуват "пермутация" от числата 1, 2, ..., n

(пермутация се нарича зададен ред в крайно множество).

Взаимното разположение на две числа, когато по-голямото стои

пред по-малкото се нарича инверсия. Например, в пермутацията

имаме три инверсии; в пермутацията – шест

инверсии.
Пермутацията се нарича четна, ако в нея имаме четен брой

инверсии и нечетна, ако броят на инверсиите е нечетно число.

Сега формулираме правилото: произведението a1ia2ja3kans
се взема със знак "", ако вторите индекси образуват четна

пермутация, и със знак "", ако образуват нечетна.
От определението на детерминантата могат да се изведат

следните й свойства:

1. Ако се сменят местата на два реда или два стълба на
детерминантата то се получава нова такава, равна на
изходната, умножена с 1.

2. Детерминанта, която има два равни реда или два
равни стълба е равна на нула.

3. Ако един от редовете на детерминантата се умножи с
произволно число, то се получава детерминанта, равна на
изходната, умножена с това число.

4. Детерминантата на транспонираната матрица е равен
на детерминантата на изходната матрица.

Забележка: i-ят ред на изходната матрица A, която има m реда, се явява i-я
стълб на транспонираната матрица AT (i  1,2m) . Например,

A   5 2 AT   5 3 .
 3 4 ,  2 
  4 

Транспонирането на матрица всъщност е «завъртането» й на 180

около главния диагонал.

5. Ако в детерминантата вместо произволен ред се
запише сумата му с произволен друг ред, умножен с някакво
число, то новополучената детерминаната ще бъде равна на
изходната.

За да се изчисли детерминанта от по-висок ред се използва
формулата на Лаплас за разлагане на детерминантата по ред или по
стълб:

detA = ai1(–1)i+1M i1 + ai2(–1)i+2M i2 ++ ain(–1)i+nM in =

= a1j (–1) 1+jM 1j + a2j(–1)2+jM 2j ++ anj(–1) n+jM nj

Тук i и j се изменят от 1 до n. Mij се нарича минор и е равен на
детерминантата от ред n – 1, която се получава от detA, ако се
задраскат i-ят ред и j-ят стълб. Произведението (–1)i+jMij се означава
Aij и се нарича алгебрично допълнение на елемента aij или
адюнгирано количество.

Например, нека  – детерминанта от четвърти ред:
1 2 13

2 1 1 0
  3 1 2 5.

6 7 89
Разлагаме я по втория ред:

2 13 1 13 12 3

  2 121 1  2 5   1 122  3  2 5  1 123  3 1 5  0 ,

7 89 6 89 679

и по втория стълб:

2 1 0 12 3

  1 113  3 1 5  1 123  3 1 5 

6 79 679

1 23 1 23

  2 133 2  1 0  8 143 2  1 0 .

6 79 3 1 5

Аналогично може да се изчисли , като я разлагаме по първия,
третия или четвъртия ред или по първия, третия и четвъртия стълб.

Изчисляването на детерминанта от четвърти ред се свежда в
най-лошия случай (ако няма нули между елементите) до
изчисляването на четири детерминанти от трети ред.

По аналогичен начин се изчислява детерминанта от 5-ти ред,
чрез изчисляването на 5 детерминанти от 4-ти ред и т.н.

3. Намиране на обратната матрица

Както беше определено по-горе, обратна матрица по
отношение на дадена матрица се нарича матрица, която умножена
както отдясно, така и отляво на дадената матрица, дава единичната
матрица.

A.A1  A1.A  E
където Е- единична матрица.

Обратната матрица се намира по израза:

 A1 cij  A* (4.10)
det A

където detA = A  0.

A* се нарича присъединена матрица.

 A11 A21 ... An1 
 
A*   A12 A22 ... An 2 
 . . ...
.
 A1n A2n ... Ann 

Чрез Aij са означени алгебричните допълнения (адюнгираните
количества, минори със съответните знаци) на съответните елементи

aij (i,j=1,2,…,n).
Важно е да се отбележи, че алгебричните допълнения на

елементите на редовете се записват в съответните стълбове, т.е.

извършена е операцията транспониране.

Намирането на обратната матрица може да се опише и по

следния начин.

нула. Нека A с=ъ(щaеij)стевуквваадорбартантанматаатрмиацтарисцдаетAе–р1м, икноаянтотас, еранзалмиичрнаа от
Тогава по

израза

 A1  cij   Aji  . (4.11)
det A

Последната формула означава, че в i-я ред и j-я стълб на
обратната матрица се намира алгебричното допълнение на елемента,
стоящ в j-я ред и в i-я стълб на изходната матрица, разделено на

детерминантата на изходната матрица.
Както беше отбелязано по-горе, Apq = (–1)p+qMpq, където Mpq се

нарича минор и представлява детерминанта, получена от
детерминантата detA чрез задраскване на p-я ред и q-я стълб.

Например:

A   1 2 01 detA = 20 + 6 – 24 = 2;
 3 5

3 0 4

A11  20, A12  9, A13  15,  10  4 1
A21  8, A22  4, A23  6,  
A31  2, A32  1, A33  1; A1  9 1 
   2 2  2  .

  15 3  1 
 2 2 

Важно е да се подчертае, че обратна матрица съществува
само за квадратна матрица с детерминанта, различна от
нула.

4. Метод за решаване на системи линейни уравнения чрез
обратна матрица

Нека да е дадена система от n линейни уравнения с n

неизвестни:

a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21x1  a22 x2
. . . . . . . . . . . . . . . .    a2n xn  b2 .

an1x1  an2 x2    ann xn  bn

Означаваме чрез A матрицата на коефициентите на системата,
на свободните членове чрез B и матрицата на неизвестните (търсения
вектор-стълб) чрез X. Тогава системата може да се запише съкратено:

AX = B,

където

 A aiji,j  1,2,,n; X   x1    b1  .
 x2 ;B  b2 
    
   
xn bn

Векторът Х, както беше посочено по-горе, се нарича решение на
тази система, а самите числа хi- корени на системата. Ако матрицата А
не е особена (сингулярна), т.е. съществува detA различна от нула, то

системата и еквивалентното й матрично уравнение AX=B има
единствено решение. Умножавайки двете страни на това уравнение
отляво на обратната матрица А-1, получаваме

A-1A X=A-1 B или X= A-1 B (4.12)

Пример:

2 x1  x2  2 x3  1
2 x1  3x2  2 x3 9

x1  x2  x3  3,5

 2 1 2  1 
 21  
A   2 3 B   9 
1 1 3.5

Търсим вектор-стълба Х или корените на системата.

X= A-1 B

За целта намираме първо обратната матрица

A1  A*
det A

 A11 A21 ... An1 
 
A*   A12 A22 ... An 2 
 . . ...
.
 A1n A2n ... Ann 

3 2 1 2 1 2
A11  1 1 A21   1  1 A31  3  4
1 1 2

22 2 2 2 2
A12   1 1  0 A22  1  4 A32   2  8
1 2

2 3 21 21
A13  1  1 A23   1  3 A33  2  8
1 1 3

2 1 2
det A  A  2 3 2  6  2  4  2  4  6  4  0

1 1 1

 1 1 4 
 
A*   0 4 8 

 1 3 8

1 1 1

 4 4 
A1   0 1 2 

  1 3 
 2 
4 4 

Умножаваме обратната матрица по вектора на свободните
членове:

1 1 1   1  9  3, 5 
 4  4  4 7 
 4 1   1   0 9   1 
     2 
0 3 2  9 5      0,5 
3, 
  1  1  27 7 
 2  
4 4  4 4 

Следователно, корените са х1=1; х2= -2; х3=0,5.
За да направим проверка, заместваме в системата:

 1  2 1  3,5  1  1  1
44

0972  22

1  6 3  7  0,5  0,5  0,5
44

Както следва да се очаква, получаваме същия резултат, както и
чрез метода на Гаус.

Основни термини
Детерминанта - determinant

Обратна матрица –inverse matrix

5. Метод на Крамер за решаване на система линейни
уравнения

Нека да е дадена квадратната система линейни уравнения:

a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
.a.2.1. .x.1.
 a22 x2    a2n xn  b2 .
.........

an1x1  an2 x2    ann xn  bn

Тя може да се запише в матрична форма:

AX = B,

където

 A aiji,j  1,2,,n; X   x1    b1  .
 x2 ;B  b2 
    
   
xn bn

Ако детерминантата на матрицата A не е равна на нула, то
системата има единствено решение, което се определя по
формулите:

x1  1 (4.13)
  
x2 2


 

n
xn  

Тук i – детерминанта от n-ти ред, получена от определителя 
на матрицата A от коефициентите на системата чрез замяна на i-я
стълб чрез стълба на свободните членове.

Например:

32xx11  2x2  x3  2
 x2  2x3  3;

4x1  x2  3x3  5

3 2 1 2 2 1
  2  1 2  17; 1  3  1 2  16;

4 13 513

3 2 1 3 22
2  2 3 2  3; 3  2  1 3  8;

45 3 4 15

x1  16 ; x2   3; x3  8 .
17 17 17

Нека да решим по метода на Крамер същия пример, който беше решен
по метода на Гаус и чрез използване на обратна матрица.

2 x1  x2  2 x3  1
2 x1  3x2  2 x3 9

x1  x2  x3  3,5

Замествайки последователно първия, втория и третия стълбове на
матрицата на коефициентите чрез вектор-стълба на свободните
членове, и намирайки съответните детерминанти, получаваме:

2 1 2 1
  2 3 2 9
3,5
1 1 1

2 1 2
  2 3 2  6  2  4  2  4  6  4

1 1 1
1 1 2
1  9 3 2  3  7 18  9  2  21  4
3,5 1 1

2 1 2
2  2 9 2  18  2 14  2 14 18  8

1 3,5 1

2 1 1
3  2 3 9  21 9  2  7 18  3  2

1 1 3,5

Тогава за корените на системата получаваме:

x1  1  4 1 x2  2  8  2 x3  3  2  1
 4  4  4 2

Както можеше да се очаква, резултатите, получени по метода на Гаус,
чрез намиране на обратна матрица и по метода на Крамер са едни и
същи.

Накрая ще отбележим, че ако детерминантата на

матрицата А от коефициентите на линейната система е равна
на нула, то е възможен един от двата случая: или системата е
несъвместима, или тя е съвместима и неопределена.

6.Входно-изходен анализ

Математическите модели, описващи междуотрасловите връзки
на националната икономика, се наричат модели на междуотрасловия
баланс или модели «вход-изход» (input-output models). Те са
относително прости и в същото време отразяват достатъчно добре
реално действащите икономически процеси. За първи път са въведени
през 40-те години на миналия век от лауреата на Нобелова награда за
1973 год. за приноса му в изучаването на американската икономика

В.Леонтиев (Leontief). Математическият им апарат се базира на
методите на линейната алгебра.

Основна особеност на модела на Леонтиев е, че отчита
взаимодействието между различните сектори на икономиката. Целта
му е да даде възможност на икономистите да предвиждат бъдещото
ниво на продукция от всеки сектор на индустрията за да може да се
посрещне бъдещото търсене на различните стоки. Такова
предвиждане е сложно поради връзката между различните отрасли на

производството, поради което промяната в търсенето на дадена стока,
произведена от даден отрасъл ще индуцира промяна в нивото на
производството на други отрасли. Например, увеличаването на
търсенето на компютри ще доведе до увеличаване не само на нивото
на производство на производителите на компютри, но също и на
нивата на различни други отрасли, като производството на електронни
елементи, дисплеи, пластмасови компоненти и др. В оригиналния си
модел Леонтиев разделя американската икономика на 500
взаимодействащи си сектора.

За да опишем модела по възможно най-простия начин, ще
предположим, че икономиката се състои само от два сектора, сектор
P и сектор Q. Нека взаимодействието между тях да е такова, както
показаното в Табл. 1.

Таблица 1

Вход на Вход на Крайно Всичко
сектор сектор Q търсене на

P 64 изхода
60 48
Изходи на сектор P 100 48 76 200
Изходи на сектор Q 40
160 12 160
Първоначално на 200
входа

Всичко на входа

В първата колона на таблицата са дадени входовете на двата
сектора, измерени в подходящи единици (например, милиони долари
за година). От първата колона виждаме, че за годишната си продукция
секторът Р използва 60 единици от собствено производство и 100

единици от производството на сектор Q. Аналогично, сектор Q

използва 64 единици от продукцията на Р и 48 единици от

собствената си продукция. Допълнително се вижда, че Р използва 40

единици първоначално на входа (това могат да бъдат труд, земя,

необработени суровини), докато Q използва 48. Сумирайки колоните,

виждаме, че всичко на входа на сектор Р имаме 200 единици и всичко

на входа на сектор Q имаме 160 единици. В модела е прието, че

всичко, което се произвежда, се консумира, или, с други думи,

изходът на всеки сектор трябва да е равен на сумата от всичко на

входовете (измерено в съответните единици). По този начин на изхода

на Р трябва да имаме 200 единици и на Q- 160 единици.

Нека да обсъдим първите два реда на таблицата, които показват

как се използват изходите на всеки сектор. От 200 единици на Р, 60 се

използват от самия сектор и 64 от сектор Q. Остават свободни 76

единици за крайно потребление, т.е. стоките не се използват вътрешно

в индустриалните сектори. Те са за ползване от домакинствата,

правителството или за експорт. Аналогично, от 160 единици,

произведени от Q, 100 се използват от Р, 48 се използват от самия

сектор Q и 12 единици остават свободни за крайно потребление.

Да предположим, че специалистите по маркетинг предвиждат, че

след 5 години крайното търсене за Р ще намалее от 76 на 70 единици,

докато за Q то ще се увеличи значително от 12 до 60 единици.

Въпросът е как всеки сектор трябва да настрои нивото си на

производство, че да посрещне тези предвиждани крайни търсения.

Ясно е, че двата сектора не работят независимо един от друг-

например, сумарният изход на Р зависи от крайното търсене за

продукцията на Q и обратно. Или, изходът на един сектор е свързан с

изходите на друг сектор или сектори. Да предположим, че с цел

посрещане на крайните търсения след 5 години, Р трябва да произведе

x1 единици, а Q съответно x2 единици.
От Таблица 1 се вижда, че за да произведе 200 единици, секторът

Р използва 60 единици собсвена продукция и 100 единици от

продукцията на Q. Следователно, за да произведе x1 единици,

секторът Р трябва да използва 60 x1 единици собствено производство
200

и 100 единици от продуктите на Q. Аналогично, за да произведе x2
200 x1

единици, секторът Q би трябвало да използва 64 x2 единици от
160

продукцията на Р и 48 x2 единици собствена продукция. Но ние
100

имаме следното уравнение:

Сумарен Единици, Единици, Крайно

изход на = използвани + използвани от + търсене

сектор Р от Р Q

Тоест,

x1  60 x1  64 x2  70
200 160

при новото крайно търсене от 70 единици.

За да се произведат x2 единици на изхода на сектора Q, имаме

x2  100 x1  48 x2  60
200 160

Тези две уравнения могат да бъдат записани в матрична форма:

 60 64 
 
 x1    200 160   x1    70 
 x2   100 48   x2   60 
  200 160    

или, в общ вид

X  AX  D

където

 60 64 
 
X   x1  A   200 160 , D   70 
 x2 ,  60 
   100 48   
200 160

При това Х се нарича матрица на изхода, D- матрица на търсенето
и А- входно-изходна матрица. Самите елементи на А се наричат
входно-изходни коефициенти. Ако представим както обикновено
всеки елемент на А като aij, то той ще дава тази част от входа на
сектора j, която е продукция на сектора i. При това значенията на
елементите на входно-изходната матрица са между 0 и 1 и сумата им
във всяка колона не може да бъде по-голяма от единица. При това
входно-изходната матрица може да бъде получена директно от
таблицата, разделяйки всяко число от вътрешния й правоъгълник на
сумарния изход на сектора, чрез който е озаглавена колоната.
Например, за първата колона, означена с Р, ние делим всяко число на

200, което е сумарния изход на сектора Р. Така получаваме 60 и

200

100 в първата колона на входно-изходната матрица.

200

Матричното уравнение X  AX  D се нарича входно-изходно

уравнение. За да намерим изходната матрица Х, която всъщност
търсим, трябва да го решим спрямо нея. Може да се запише:

X  AX  D

X  AX  D

EX  AX  D

(E  A) X  D

Както се вижда, използвано е свойството на единичната матрица
ЕХ=X. Ако предположим, че обратната матрица (E-A)-1 съществува,
можем да запишем:

(E  A)1(E  A) X  (E  A)1D

X  (E  A)1 D
В нашия пример намираме първо матрицата (Е – А):

E  A   1 0    0,3 0, 4    0, 7 0, 4 
 0 1   0,5 0,3   0,5 
     0, 7 

Използвайки някой от методите, дадени по-горе, намираме обратната

матрица:

(E  A)1  1  70 40 
29  50 
 70 

Окончателно

X  (E  A)1 D

 7300 
 
X  1  70 40   70    29    251, 7 
   60   7700   265,5 
29  50 70     
29

По този начин секторът Р трябва да произведе 251,7 единици и
секторът Q съответно 265,5 единици за да се посрещне крайното
търсене след 5 години.

Пример:

Взаимодействието между двата сектора P и Q (междуотрасловите
връзки), са дадени в Таблица 2.

1. Да се построи входни-изходната матрица А;
2. Да се определи изходната матрица, ако крайното търсене се

промени на 312 единици за сектор Р и на 299 единици за сектор
Q.