KB3 PGSD Matematika

MODUL SUPLEMEN PPG PGSD

KEGIATAN BELAJAR 3
MATEMATIKA

KB 3 PGSD Matematika 164

MODUL
SUPLEMEN PPG PGSD

KEGIATAN BELAJAR 3
MATEMATIKA

Penulis:
Dr. Farida Nurhasanah, M.Pd.
Dra. Maratun Nafiah, M.Pd
Ardhi Prabowo, M.Pd.
Penelaah:
Dr. Iva Sarifah, M.P.d
Dyah Worowirastri Ekowati, M.Pd.
Diyah Ayuning Tyas, M.Pd.
Cicik Novita, S.Pd.

Copyright © 2020
Direktorat Pendidikan Profesi dan Pembinaan Guru dan Tenaga Kependidikan
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin
tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan.

KB 3 PGSD Matematika 165

DAFTAR ISI

A. Pendahuluan .........................................................................................................167
1. Deskripsi Singkat...............................................................................................167
2. Manual Prosedur Penggunaan Modul..............................................................168

B. Kompetensi Inti .....................................................................................................168
1. Capaian Pemelajaran........................................................................................168
2. Petunjuk Belajar (Aktivitas Pengalaman Belajar) .............................................169

C. Advanced Material untuk Matematika .................................................................170
1. Sistem Bilangan ................................................................................................171
a. Himpunan Bilangan Asli dan Bilangan Bulat................................................171
b. Himpunan Bilangan Rasional .......................................................................174
c. Himpunan Bilangan Irasional.......................................................................175
d. Himpunan Bilangan Komplek ......................................................................178
e. Number Sense dan Pola Bilangan ................................................................179
2. Sistem Koordinat ..............................................................................................181
a. Sistem Koordinat Kartesius..........................................................................183
b. Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi........................................................186
c. Sistem Koordinat Paralel .............................................................................189
d. Sistem Koordinat Paralel Dimensi Dua ........................................................190
e. Dualitas garis dengan Gradien 1..................................................................196
3. Rasio dan Proporsi............................................................................................199
a. Rasio.............................................................................................................200
b. Proporsi........................................................................................................202
c. Unitisasi dan Penalaran Spasial ...................................................................204
4. Statistik .............................................................................................................207
a. Interpretasi Grafik........................................................................................208
b. Pengambilan Putusan Berdasarkan Interpretasi Grafik ..............................217

D. Telaah Kasus..........................................................................................................219
1. Kasus 1..............................................................................................................219
2. Kasus 2..............................................................................................................219
3. Kasus 3..............................................................................................................220

E. Penutup .................................................................................................................220
1. Rangkuman.......................................................................................................220
2. Tes Formatif......................................................................................................221
3. Refleksi .............................................................................................................229
4. Sumber Rujukan ...............................................................................................229

KB 3 PGSD Matematika 166

A. Pendahuluan
1. Deskripsi Singkat
KB 3 disusun dengan tujuan untuk memberikan wawasan yang lebih luas atas
materi pada modul matematika yang sudah Saudara pelajari. KB 3 ini terdiri
dari 5 topik. Masing-masing topik akan dibagi menjadi beberapa sub Kegiatan
Belajar. KB matematika ini disusun agar Saudara dapat memiliki kemampuan
matematis yang lebih luas dari materi yang disampaikan untuk siswa Sekolah
Dasar (SD). Pemahaman yang komprehensif atas materi matematika,
khususnya pada konsep-konsep dasar akan membantu Saudara untuk
merancang proses pembelajaran yang lebih kreatif dan menghindarkan
Saudara bersifat dogmatik dalam mengajarkan konsep-konsep matematika
untuk siswa Sekolah Dasar.

Berdasarkan pengalaman di kelas-kelas, sering kali guru mengajarkan
matematika hanya sebagai sekumpulan rumus yang harus dihafal oleh siswa,
padahal rumus merupakan bentuk paling akhir sebagai hasil berpikir
matematis. Matematika seharusnya diajarkan melalui proses abstraksi dan
menalar yang tentunya melibatkan proses representasi, koneksi, dan
komunikasi, hingga akhirnya siswa dapat melakukan pembuktian dan
penyelesaian masalah-masalah menggunakan konsep-konsep matematika
yang sudah dikonstruksi oleh mereka.

Berikut adalah daftar sub KB dalam Advanced Material untuk matematika:
Sistem Bilangan:
a. Sistem Himpunan Bilangan
b. Pola Bilangan dan Number Sense
Rasio dan Perbandingan
a. Kasus penjumlahan
b. Kasus perkalian
c. Representasi dalam Rasio dan Perbandingan

KB 3 PGSD Matematika 167

Geometri Analitik dan Koordinat Paralel
a. Koordinat Kartesius
b. Geometri Transformasi
c. Koordinat Paralel
Statistik
a. Interpretasi grafik
b. Pengambilan Putusan berdasarkan intrepretasi Grafik

2. Manual Prosedur Penggunaan Modul
Kompetensi yang ingin dicapai dari KB 3 ini antara lain:
a. Peseta dapat membuat hubungan antar himpunan sistem bilangan.
b. Peserta dapat melakukan penalaran proposional dalam mempelajari
konsep rasio dan perbandingan.
c. Peserta menguasai konsep koordinat parallel.
d. Peserta memahami perbedaan makna grafik dan diagram serta mampu
mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah.
e. Peserta mampu menginterpretasikan grafik.

B. Kompetensi Inti
1. Capaian Pembelajaran
Setelah mempelajari modul ini Saudara diharapkan dapat memenuhi capaian
pembelajaran sebagai beriku:
a. Menguasai konsep teoretis matematika yang lebih tinggi dari materi
matematika yang diajarkan di Sekolah Dasar.
b. Memanfaatkan konsep-konsep matematika lanjutan untuk merancang
pembelajaran matematika sekolah di tingkat Sekolah Dasar.
c. Menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural serta keterkaitan
keduanya pada topik Bilangan, Geometri Analitik, Statistika, dan Rasio
dan Perbandingan.

KB 3 PGSD Matematika 168

d. Mampu menggunakan konsep-konsep matematika tingkat lanjut untuk
memecahkan masalah matematika dan untuk menciptakan
masalah-masalah matematika dalam proses pembelajaran di kelas.

e. Menerapkan konsep berpikir proporsional dalam mengajarkan konsep
rasio dan perbandingan, meliputi kasus penjumlahan, kasus perkalian,
dan representasi dalam rasio dan perbandingan.

f. Menginterpretasi beragam data yang disajikan dalam bentuk grafik.
g. Membuat grafik baru menggunakan data yang berasal dari grafik yang

sudah ada.
h. Menganalisis data yang diperoleh dari suatu grafik.

2. Petunjuk Belajar (Aktivitas Pengalaman Belajar)
Modul ini dirancang untuk memicu proses belajar aktif melalui aktivitas 5M
yaitu Mengamati, Menanya, Mencoba, Menalar, dan Mengkomunikasikan.
Salah satu penentu keberhasilan Saudara dalam memahami modul ini adalah
ketekunan Saudara dalam melakukan kelima aktivitas tersebut yang akan
tercantum dalam setiap sub KB nanti. Pada KB 3 ini, kelima aktivitas tersebut
tidak selalu muncul berurutan, kemunculannya sesuai dengan konteks materi
pada tiap-tiap sub Kegiatan Belajar. Aktivitas 5M dalam modul ini ditulis
dalam huruf tebal. Pada bagian akhir modul terdapat analisis kasus dan tes
formatif sebagai sarana refleksi bagi Saudara untuk mengetahui sejauh mana
keberhasilan Saudara dalam memahami isi dari modul ini.

Selanjutnya sub capaian pembelajaran dan indikator esensial sebagai
berikut:
a. Menganalisis hubungan antara himpunan bilangan asli, bulat, cacah,

rasional, irasional, real, dan kompleks.
b. Mencari hasil dari translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi suatu objek.
c. Menggunakan konsep Koordinat Kartesius untuk membangun konsep

Koordinat Paralel.

KB 3 PGSD Matematika 169

d. Mengindentifikasi karakterisktik representasi objek pada dimensi yang
berbeda.

e. Menentukan dualitas suatu titik pada Koordinat Paralel.
f. Menentukan dualitas suatu garis pada Koordinat Paralel.
g. Menerapkan prinsip rasio dan perbandingan pada kasus penjumlahan.
h. Menerapkan prinsip rasio dan perbandingan pada kasus perkalian.
i. Menginterpretasikan grafik.
j. Mengambil keputusan berdasarkan hasil interpretasi Grafik.
k. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi rasio.
l. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi

perbandingan.
m. Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan materi statistik.

C. Advanced Material untuk Matematika
Saat ini sedang riuh ramai berita tentang wabah virus Corona yang berasal dari
Wuhan. Terkait dengan isu tersebut, beberapa peneliti sempat meragukan kondisi
di Indonesia seperti diberitakan pada link berita berikut:
https://www.youtube.com /watch?v=5aZu14zpjro.

Gambar 1. Tampilan Real Count Kasus virus Corona
Sumber: https://systems.jhu.edu/research/public-health/ncov/

KB 3 PGSD Matematika 170

Perhatikan bahwa pada gambar tersebut, terlihat bagaimana banyak jumlah
penderita yang terjangkit virus Corona pada suatu hari dibulan Februari tahun
2020. Angka-angka yang tertera pada laman Real Count tersebut memberikan
informasi yang amat berharga tentang penyebaran penderita yang terjangkit virus
Corona diwaktu “sekarang”. Topik ini dapat dibawa untuk mengajak siswa
mengenal konsep waktu yang terus berjalan mengikuti pola bilangan Asli,
bertambah satu setiap satuan waktu. Selain itu bisa juga digunakan untuk
menjelaskan konsep waktu masa lampau, masa kini, dan masa lalu yang
dihubungkan dengan konsep himpunan bilangan Real.

1. Sistem Bilangan (Aktivitas Belajar Mengamati: Melakukan Pengamatan
dengan Membaca Materi Berikut)

Pada modul PPG sebelumnya Saudara telah mempelajari materi tentang
macam-macam bilangan. Pada modul sebelumnya belum dibahas bagaimana
hubungan-hubungan antara macam-macam himpunan bilangan tersebut.
Berikut akan dibahas topik himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat,
himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan
irasional, himpunan bilangan real, dan himpunan bilangan komplek.

a. Himpunan Bilangan Asli dan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan asli biasanya yang pertama kali dikenalkan pada

peserta didik tingkat sekolah dasar untuk membilang, mengurutkan, dan
menghitung berbagai objek yang konkrit seperti benda-benda yang dapat
dilihat dan dimanipulasi. Bilangan asli bermula dari kebutuhan manusia
untuk membilang objek-objek yang berada di sekitarnya, kemudian
berkembang menjadi konsep himpunan bilangan asli yang dapat
digunakan untuk membilang objek. Membilang objek secara matematis
adalah proses membuat korespondensi satu-satu antara objek yang
dihitung dengan anggota himpunan bilangan asli.

KB 3 PGSD Matematika 171

Bayangkanlah bagaimana situasi ketika mata uang belum
ditemukan, bagaimana transaksi dapat dilakukan dalam kegiatan sosial
seperti berjualan? Keberadaan konsep bilangan asli memungkinkan
manusia memanfaatkan mata uang sehingga dapat digunakan sebagai
alat tukar yang memiliki nilai setara. Nilai uang yang besar pun dapat
diwakili hanya dengan selembar kertas saja dan masih dapat dijumlah,
dibagi, dikali atau dikurangkan.

Konsep bilangan asli kemudian dikembangkan secara formal dalam
bentuk ide matematis berupa himpunan bilangan asli. himpunan
bilangan asli dinotasikan dengan huruf kapital N, yang berasal dari kata
“Natural” dan anggota seluruh himpunan bilangan asli ditulis dengan
notasi sebagai berikut:

N = 1,2,3,...

Selain definisi tersebut ada pula yang mendefinisikan himpunan bilangan
asli sebagai himpunan bilangan bulat positif yang anggotanya di mulai
dari 1 dan seterusnya.
Terdapat dua karakteristik utama dari himpunan bilangan asli yaitu:
1)“1” adalah bilangan pertama dari bilangan asli dan bilangan-bilangan

lain pada himpunan bilangan asli diperoleh dengan menambahkan “1”
dari bilangan sebelumnya.
2)Ketika dua atau lebih bilangan asli dioperasikan dengan operasi
pengurangan atau pembagian, hasilnya tidak selalu anggota dari
himpunan bilangan asli. Berdasarkan hal tersebut, himpunan bilangan
asli tidak tertutup terhadap operasi pengurangan dan pembagian
namun memiliki sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian.

Rupanya himpunan bilangan asli saja tidak cukup untuk
menyatakan berbagai situasi dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya,
situasi ketika seseorang tidak memiliki uang sama sekali tidak dapat
direpresentasikan dengan sebuah bilangan asli. Perhatikan pula pada
sistem bilangan Romawi, operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian

KB 3 PGSD Matematika 172

dan pembagian sulit dilakukan karena tidak terdapat “Bilangan nol (0)”.
Situasi tersebut rupanya dapat diselesaikan oleh bangsa Arab-Hindu
melalui sebuah bilangan, yaitu “nol”.

Secara formal, ketika nol ditambahkan ke dalam himpunan bilangan
asli maka himpunan tersebut menjadi himpunan bilangan cacah, dalam
Bahasa Inggris dikenal dengan istilah “Whole Numbers”. Seluruh anggota
himpunan bilangan cacah disimbolkan dengan huruf kapital W dan
biasanya ditulis dengan notasi sebagai berikut:

W = 0,1,2,3,...

Perhatikan bahwa ketika ternyata himpunan bilangan cacah saja
masih belum cukup untuk merepresentasikan situasi nyata, seperti
kedalaman air laut, lalu keadaan suhu pada daerah dengan empat musim,
khususnya di musim salju, saat suhu jatuh hingga dibawah nol derajat,
sehingga muncullah konsep bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan
cacah yang ditambahkan dengan konsep bilangan negatif akan
membentuk himpunan bilangan bulat, dalam Bahasa Inggris dikenal
dengan istilah “Integers Numbers”. Himpunan bilangan bulat disimbolkan
dengan huruf kapital “Z” yang berasal dari kata Zahlen bahasa Jerman
yang memiliki arti “menghitung” biasanya direpresentasikan dengan
simbol berikut:

 = ...,−3,−2,−1,0,1,2,3...

Himpunan bilangan bulat memiliki sifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan, pengurangan dan perkalian, namun tidak tertutup
terhadap operasi pembagian. Pembagian dua bilangan bulat tidak selalu
merupakan anggota himpunan bilangan bulat.

Himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan bulat seringkali
direpresentasikan dalam bentuk diagram garis, sedangkan
bilangan-bilangan asli ataupun bilangan bulat seringkali
direpresentasikan dalam bentuk gambar untuk siswa-siswa SD khususnya
kelas awal sebelum dikenalkan dalam bentuk simbol matematis berupa
angka.

KB 3 PGSD Matematika 173

Setelah mempelajari materi himpunan bilangan bulat dan himpunan
bilangan asli di atas, dapatkah Saudara menjelaskan perbedaan
pengertian antara himpunan bilangan dan Bilangan? Lalu apa
perbedaan antara himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan asli?
(Aktivitas Menanya)

b. Himpunan Bilangan Rasional

Sebelum mulai mempelajari topik himpunan bilangan rasional,
jawablah pertayaan berikut: Adakah himpunan bilangan pecahan?
(Aktivitas Menanya)

Perhatikanlah, bagaimana kasusnya jika seorang anak ingin membagi 5
buah apel untuk 7 orang? Keberadaan himpunan bilangan bulat ternyata
tidak cukup untuk merepresentasikan konsep pembagian dua bilangan
bulat, hasil bagi dua bilangan bulat, tidak selalu merupakan anggota dari
himpunan bilangan bulat, sebagai contohnya adalah 2 dibagi 3, atau 7
dibagi 5, dan lainnya, sehingga muncul konsep himpunan bilangan
rasional.

Himpunan bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk a , dengan a dan b adalah anggota himpunan

b
bilangan bulat, dan b  0 .
Perhatikan bahwa dengan definisi tersebut, maka tentu saja semua
bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan
rasional.
Dapatkah Saudara menjelaskan pernyataan tersebut? Mengapa dalam
denifinisi tersebut nilai b tidak boleh sama dengan nol? Tuliskan

KB 3 PGSD Matematika 174

jawaban Saudara dalam bentuk paragraf lalu diskusikan dengan sesama
rekan guru (Aktivitas Menalar)

Sebagai sumber rujukan tentang pembagian dengan nol, Saudara dapat

membaca artikel pada tautan berikut:

https://hasanahworld.wordpress.com/2008/05/27/

pembagian-dengan-nol/

Jika Saudara kesulitan dalam menjawab pertanyaan tersebut, cobalah
Saudara mencari seluruh kemungkinan menyatakan himpunan bilangan
bulat dengan menggunakan definisi tersebut. Contohnya adalah 5
anggota himpunan bilangan bulat, 5 dapat dinyatakan dalam bentuk
10 , dengan 10 dan 2 adalah anggota himpunan bilangan bulat.
2
Silahkan mencoba untuk kemungkinan-kemungkinan lain seperti
bilangan bulat negatif dan 0! ( Aktivitas Mencoba)

Bilangan rasional tidak memiliki bentuk representasi tunggal. Perhatikan
bahwa 1 = 2 = 3 = 4 dan seterusnya. Selain itu, ketika sebuah bilangan

2468
rasional yang dinotasikan dengan bentuk a direpresentasikan pada

b
garis bilangan maka asumsinya secara tidak tertulis harus disepakati
bahwa b  0 dan faktor persekutuan terbesar dari a dan b haruslah 1,
dapat ditulis sebagai FPB (a,b) =1. Hal ini berakibat hanya akan ada satu
representasi atas bilangan 1 pada garis bilangan.

2

c. Himpunan Bilangan Irasional

Sebelum mempelajari himpunan bilangan irasional, perhatikan kasus
berikut:

KB 3 PGSD Matematika 175

ABC adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi AB dan BC 1 satuan
panjang. Berapakah panjang sisi AC?

A

BC

Gambar 2. Segitiga ABC
Tentu saja tidak sulit bagi Saudara untuk menentukan panjang AC,

panjangnya adalah 2 satuan panjang. Dapatkah Saudara
menyajikan 2 dalam bentuk a dengan b  0 dan a dan b anggota

b
himpunan bilangan bulat, dapat ditulis sebagai FPB (a,b) =1?
Diskusikanlah permasalahan tersebut dengan rekan-rekan Saudara!
(Aktivitas: Interaksi)

Setelah memperoleh hasil diskusi sebelumnya, perhatikan garis bilangan
pada gambar berikut:

0
Gambar 3. Garis Bilangan

Perhatikan, apakah seluruh bilangan pada garis bilangan tersebut sudah
masuk semua sebagai anggota himpunan bilangan rasional? atau masih
adakah kemungkinan bilangan-bilangan pada garis bilangan yang belum
menjadi anggota dari himpunan bilangan rasional? Perhatikan,
seandainya diambil sebuah bilangan dari diagram garis tersebut, misal
0.10110111011110,..... dapatkah Saudara menuliskan bilangan tersebut

KB 3 PGSD Matematika 176

dalam bentuk a dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat
b

dan b  0 ? (Aktivitas Menalar)
Ternyata tidak semua bilangan pada garis bilangan tersebut merupakan
anggota himpunan bilangan rasional! Rupanya ada banyak bilangan yang
ternyata tidak dapat direpresentasikan sesuai dengan definisi bilangan
rasional.
Bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan

b
a dan b anggota himpunan bilangan bulat dan b  0 disebut dengan
bilangan irasional. Gabungan antara himpunan bilangan rasional dan
bilangan irasional membentuk himpunan bilangan riil (real). Setiap
bilangan riil direpresentasikan secara tunggal pada garis bilangan dan
berlaku pula sebaliknya setiap titik pada garis bilangan
merepresentasikan sebuah bilangan riil.

Pertanyaan menarik adalah, jika semua bilangan rill memiliki
representasi tunggal pada garis bilangan, bagaimana caranya

menentukan titik yang mewakili bilangan irasional seperti 2 dan 3 ?

tuliskan jawaban Saudara dan tukarkan dengan teman Saudara!
(Aktivitas: Mencoba, Menalar,dan Mengkomunikasikan)

Himpunan bilangan riil merupakan salah satu konsep yang amat
mendasar dan penting dalam matematika sehingga ada mata kuliah
“Analisis Real” yang berisi konsep-konsep matematika yang sangat
abstrak namun sesungguhnya banyak sekali aplikasinya dalam kehidupan
sehari-hari seperti yang dituliskan pada salah satu artikel pada tautan
berikut:
https://hasanahworld.wordpress.com/2008/07/01/real-analysis-in-the-r
eal-world/

KB 3 PGSD Matematika 177

d. Himpunan Bilangan Komplek
Coba Saudara pikirkan, Adakah bilangan lain yang belum termuat
dalam himpunan bilangan riil? (Aktifitas Menanya)

Perhatikan bagaimana menentukan penyelesaian nilai x dari persamaan
matematis berikut:

x2 = −4
Tentu saja penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x yang bukan
anggota himpunan bilangan real. Bilangan tersebut merupakan anggota
dari himpunan bilangan kompleks, yaitu himpunan dari bilangan yang
dapat dinyatakan dalam bentuk a + ib dengan a dan b adalah anggota

himpunan bilangan riil, dan i = −1 , sehingga persamaan tersebut akan

memiliki penyelesaian x = 2i . Silahkan diskusikan mengapa hasilnya
sama dengan 2i (Aktivitas : Menalar dan Diskusi)

Setelah Saudara membaca dan memahami materi tersebut, coba
Saudara buat contoh-contoh lain anggota dari himpunan bilangan
kompleks! (Aktifitas: Menalar)

Selesai memahami himpunan-himpunan bilangan, hubungan antar
himpunan tersebut dapat direpresentasikan dalam ilustrasi Gambar 4
berikut:

KB 3 PGSD Matematika 178

Gambar 4. Hubungan antar Himpunan Bilangan

Sumber:
https://www.ck12.org/trigonometry/complex-numbers/lesson/Defining-

Complex-Numbers-ALG-II/
Jelaskan hasil interpretasi dari gambar tersebut, kemudian tuliskan
dalam kalimat Saudara sendiri! (Aktivitas: menalar dan
mengkomunikasikan)

e. Number Sense dan Pola Bilangan
Pada ranah pendidikan matematika, istilah “Number Sense” sebenarnya
sulit untuk didefinisikan secara ketat, namun sering kali dimaknai sebagai
suatu intuisi dalam memahami bilangan-bilangan terkait dengan besaran,
hubungan, dan bagaimana keduanya dipengaruhi oleh operasi untuk
menyelesaikan masalah yang tidak dibatasi oleh prosedur tradisional
(Gersten & Chard, 1999).
Salah satu langkah awal dalam mengembangkan kemampuan Number
Sense dapat dimulai dengan teknik subitasi. Subitasi adalah kemampun
secara tepat, akurat, dan percaya diri dalam membilang objek (Clement,
1999). Perhatikan ilustrasi berikut!

Tanpa membilang satu persatu objek pada gambar berikut, dapatkah
Saudara menghitung banyaknya persegi dalam Gambar (1), (2), dan (3)

KB 3 PGSD Matematika 179

di bawah ini? Representasi mana yang paling mudah digunakan?
(Aktivitas: Melakukan)

(1) (2) (3)

Gambar 5. Representasi Bilangan Menggunakan Gambar Berpola

Tentu dengan mudah Saudara dapat mengetahui banyaknya persegi
dalam gambar tersebut dengan mudah tanpa menghitung satu per satu.
Itu adalah contoh dari teknik subitasi dalam merepresentasikan
bilangan 7 dengan memanfaatkan hubungan 7 = 6+1 dan 7 = 5+2
menggunakan gambar berpola yang mudah dikenal.

Berikut ini adalah link untuk memperoleh Dot Card yang dapat
digunakan untuk membangun Number Sense siswa:
http://youngmathematicians.edc.org/wp-content
/uploads/2016/05/Subitizing-challenges-more-cards_2_2_18.pdf dan
http://young
mathematicians.edc.org/wp-content/uploads/2016/05/DotCards_Doub
le-size_2_2_18.pdf

Unduhlah kartu tersebut lalu rancanglah suatu kegiatan pembelajaran
menggunakan kartu-kartu yang sudah Saudara unduh untuk
membangun “Number Sense” siswa kemudian diskusikan dengan
rekan Saudara! (Aktivitas: Mencoba)

Pada dasarnya Subitasi hanya salah satu teknik saja untuk membangun
kemampuan “Number Sense” Siswa masih terdapat berbagai cara lain

KB 3 PGSD Matematika 180

yang dapat dilakukan antara lain mengindetifikasi hubungan antar
bilangan, seperti 5 dan 10 atau 10 dan 20, melakukan estimasi dan
pengukuran dan lainnya (Van de Walle, 2012).

Selain operasi hitung dasar, sumber permainan yang juga sangat
menyenangkan adalah Pola Bilangan. Siswa yang terbiasa berpikir
matematis seharusnya peka akan pola-pola, selain itu mencari pola
sangat bermanfaat untuk proses generalisasi yang juga merupakan
salah satu strategi pemecahan masalah dalam matematika.

Pola bilangan dapat diperoleh dengan melakukan eksperimentasi
seperti pada kegiatan berikut:

Lakukanlah praktek dengan menggunakan selembar kertas. Adapun
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: (Aktivitas: Mencoba)
1. Lipat kertas sekali, kemudian buka kembali dan catat banyak

daerah yang terjadi.
2. Lipat kembali kertas tersebut untuk mendapatkan banyak daerah

maksimum yang mungkin terjadi.
3. Ingat untuk membuka lipatan sebelum membuat lipatan yang

baru dan selalu lipat untuk mendapatkan banyak daerah
maksimum yang mungkin terbentuk, dokumentasikanlah hasilnya.
4. Bagimanakah rumus umum untuk menentukan banyak daerah
maksimum yang terbentuk untuk n lipatan?

Tuliskan hasil eksperimentasi Saudara, kemudian berbagilah dan
diskusikan dengan rekan Saudara! (Aktivitas: Interaksi dan
komunikasi)
2. Sistem Koordinat

KB 3 PGSD Matematika 181

Sebelum Saudara mempelajari materi Sistem Koordinat, silahkan saksikan
tanyangan yang terdapat pada link berikut ini:
https://www.spacex.com/about

Gambar 6. Falcon 9 Mendarat kembali pada Landasan
Sumber gambar: Okezone

https://techno.okezone.com/read/2016/05/24/56/1396820/roket-spacex-ke
mbali-jalani-uji-coba-pendaratan

Link video dan gambar tersebut berisi informasi tentang sebuah perusahaan
yang bergerak pada bidang pesawat antariksa. Perusahaan Space X sedang
mengembangkan bisnis yang paling inovatif pada abad ini, yaitu wisata ke
luar angkasa. Untuk mewujudkan hal tersebut mereka mengembangkan
teknologi berupa roket yang dapat digunakan kembali, Falcon 9. Dapatkah
Saudara bayangkan bagaimana besarnya peranan konsep “koordinat” sebagai
salah satu konsep penting dalam proses pengembangan roket tersebut?
karena roket tersebut harus dapat mendarat kembali pada landasan yang
telah ditentukan koordinatnya di bumi seetelah berkeliling di angkasa luar
yang tidak terbatas. Menurut Saudara apakah cara menentukan koordinat di
bumi sama dengan cara menentukan koordinat di luar angkasa? Selain
“koordinat”, konsep-konsep dalam Geometri Transformasi seperti translasi,

KB 3 PGSD Matematika 182

refleki, rotasi dan dilatasi tentunya juga dibutuhkan dalam proses
pengembangan teknologi seperti yang dilakukan oleh Space-X.

a. Sistem Koordinat Kartesius

Selama ini, Saudara pasti sudah sangat familier dengan sistem koordinat
yang biasa digunakan yaitu sistem koordinat Kartesius. Sistem koordinat
Kartesius dapat merepresentasikan hubungan antar variabel untuk
dimensi satu hingga tiga. Pada dimensi satu sebuah bilangan tunggal
merepresentasikan titik pada sebuah garis, sedangkan pada dimensi dua,
sebuah pasangan bilangan merepresentasikan sebuah titik, selanjutnya
tripel bilangan merepresentasikan sebuah titik pada dimensi tiga. “Pada
sistem koordinat Kartesius setiap pasangan berurutan dari bilangan Real
dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan
setiap titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu
pasangan berurutan dari bilangan real”

Setelah membaca kalimat dalam tanda petik tersebut, apa yang dapat
Saudara pahami? Tuliskan interpretasi dari kalimat tersebut, kemudian
diskusikan dengan rekan Saudara! (Aktivitas: Menalar)

Sebuah garis bilangan dengan satuan panjang tertentu, dan sebuah titik
merupakan komponen pada dimensi satu. Sistem koordinat Kartesius
pada dimensi dua memiliki dua sumbu, yaitu sumbu vertikal dinotasikan
dengan huruf Y dan sumbu horizontal dinotasikan dengan huruf X,
keduanya berpotongan tegak lurus di titik Asal O.

KB 3 PGSD Matematika 183

Kuadran II Y
Q(- x,y)
Kuadran I

P(x,y)

O x

R(-x,-y) S(x,-y)
Kuadran IV
Kuadran III

Gambar 7. Representasi Titik pada Koordinat Kartesius Dimensi Dua

Sebuah titik P dalam koordinat Kartesius yang berjarak x dari sumbu Y
dan y dari sumbu X biasanya dinotasikan dengan P(x,y), x dan y anggota
bilangan Real. Titik O(0,0) berada tepat di perpotongan sumbu X dan
sumbu Y, membagi sumbu-sumbu tersebut menjadi dua bagian, yaitu
bagian yang bernilai positif dan bagian yang bernilai negatif sehingga
sistem koordinat Kartesius memiliki empat daerah yang berbeda yang
disebut sebagai kuadran. Kuadran I terletak pada daerah ketika nilai x > 0
dan y > 0, kuadran II terletak pada daerah ketika x < 0 dan y > 0, kuadran
III terletak pada daerah ketika x < 0 dan y < 0, dan kuadran IV terletak
pada daerah ketika x > 0 dan y < 0.

Sistem koordinat Kartesius dimensi tiga memiliki tiga sumbu yang
berpotongan saling tegak lurus di titik O. Sebuah titik P yang berjarak y
dari bidang XOZ, berjarak x dari bidang YOZ, dan berjarak z dari bidang
XOY dinotasikan dengan P(x, y, z) seperti pada Gambar 8 berikut:

KB 3 PGSD Matematika 184

Z

P(x,y, z)

OY

X
Gambar 8. Representasi Titik pada Koordinat Kartesius Dimensi Tiga
Sistem koordinat Kartesius yang ditemukan oleh Rene Descartes, seorang
berkebangsaan Perancis yang hidup dari tahun 1596 hingga 1650,
merupakan suatu terobosan yang sangat bermanfaat dalam mempelajari
Geometri melalui sudut pandang Aljabar. Sayangnya, sistem koordinat
Kartesius hanya dapat memvisualisasikan hubungan antar variabel
hingga dimensi tiga saja sehingga Geometri multidimensi hanya dapat
dipelajari melalui persamaan-persamaan dan interpretasi geometrisnya
saja tanpa visualisasi yang memadai.

Dapatkah Saudara membayangkan bagaimana merepresentasikan
objek pada Dimensi empat, lima, atau dimensi n? (Aktivitas: Menanya)

Alfred Inselberg, seorang matematikawan yang menyukai geometri,
merasa perlu mengembangkan suatu sistem koordinat yang dapat
memvisualisasikan hubungan antar variabel pada dimensi yang lebih
tinggi. Terinspirasi dari monograf yang tulis D’Ocagne (1885) yang
membahas tentang Koordinat Paralel pada dimensi dua, Inselberg (1977)
mengembangkan konsep tersebut menjadi sebuah sistem koordinat yang
dapat digunakan untuk memvisualisasikan geometri multidimensi. Sistem
koordinat tersebut dinamakan “Sistem Koordinat Paralel”.

KB 3 PGSD Matematika 185

b. Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi
Sebelum mempelajari konsep Koordinat Paralel, Saudara perlu
mengingat kembali konsep translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi objek
pada bidang Kartesius, topik ini merupakan bagian dari transformasi
geometri. Translasi adalah pergeseran suatu objek dari suatu posisi ke
posisi yang lain dengan jarak tertentu. Penentuan hasil translasi suatu
objek cukup sederhana yaitu, menambahkan absis dan ordinat sesuai
dengan jarak yang telah ditentukan. Berikut ini adalah contoh pergeseran
sebuah segitiga dengan titik koordinat A(1,1), B (3,2) dan C(1,5) yang
ditranslasikan sejauh 7 satuan ke arah kanan dan 1 satuan ke atas
sehingga menghasilkan A’(8,2), B’(10,3) dan C’(8,6)!

8

6 B C'

C 5 B'
A'
4
10
2

A

Gambar 9. Hasil Translasi Segitiga
Berdasarkan contoh di atas, cobalah Saudara mencari hasil translasi
dari segitiga ABC dengan aturan 5 satuan ke kiri dan 4 satuan ke bawah,
kemudian carilah informasi bagaimana cara menuliskan kalimat
matematis proses transformasi geometri dan carilah rumus umumnya !
(Aktivitas: mencoba)

KB 3 PGSD Matematika 186

Refleksi atau pencerminan adalah proses menentukan bayangan suatu
objek terhadap sumbu yang ditentukan. Hasil refleksi suatu objek pada
bidang Kartesius bergantung pada sumbu yang menjadi cerminnya.
Berikut adalah contoh pencerminan segitiga ABC terhadap sumbu Y.

C' C

4

B' B

2

A' A 5

Gambar 10. Hasil Refleksi Sebuah Segitiga

Segitiga A’B’C’ merupakan hasil pencerminan dari segitiga ABC dengan
sumbu pencerminan adalah sumbu Y.

Silahkan Saudara coba tentukan koordinat asal segitiga ABC dan
koordinat hasil pencerminan segitiga ABC terhadap sumbu Y tersebut,
kemudian cobalah tentukan koordinat hasil percerminan segitiga ABC
terhadap sumbu X juga, lalu amatilah perbedaan antara objek awal
dengan hasil pencerminan, ciri-ciri apa yang Saudara peroleh?
(Aktivitas: Mencoba dan Mengamati)

Konsep refleksi banyak muncul dalam konteks kehidupan sehari-hari
seperti pada contoh soal PISA berikut:
Andi membuat desain gambar yang akan dicetak pada permukaan kaos
oblong. Dia mencetak gambar tersebut pada kertas khusus, lalu gambar
pada kertas tersebut disetrika di atas kaos.

KB 3 PGSD Matematika 187

Gambar yang tercetak di kaos adalah hasil pencerminan gambar yang
tercetak di komputer seperti pada ilustrasi berikut:

Gambar pada komputer Gambar yang tercetak di Gambar yang tercetak di
kertas kaos

Gambar 11. Proses Desain Kaos
Berikut adalah desain gambar baru milik Andi yang tercetak pada kertas:

Bagaimanakah desain yang akan muncul pada kaos?

Selain translasi dan refleksi, perubahan dan pergeseran suatu objek
geometris juga dapat dilakukan dengan melakukan Rotasi. Perubahan
kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu,
disebut dengan Rotasi. Ukuran besaran rotasi dalam transformasi
geometri bergantung pada besarnya sudut yang terbentuk antara posisi
awal objek dengan objek hasil rotasi. Jika arah perputaran rotasi suatu
benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah −
dan sebaliknya, jika arah perputarannya berlawanan dengan jarum jam,

KB 3 PGSD Matematika 188

maka sudut yang dibentuk adalah  . Hasil rotasi suatu objek

tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi.

Selain pergeseran, objek juga dapat mengalami perubahan ukuran, dapat
membesar ataupun mengecil meskipun bentuknya tidak berubah.
Transformasi tersebut dikenal dengan istilah Dilatasi. Perubahan yang
terjadi akan sangat bergantung pada skala yang menjadi faktor
pengalinya dan titik pusat dilatasinya. Jadi, menurut Saudara apa yang
dimaksud dengan dilatasi? (Aktivitas: Menanya)

Untuk mencoba kasus rotasi dan dilatasi, silahkan Saudara
mengunjungi situs https://toytheater.com/geoboard/ untuk mencoba
menggunakan aplikasi alat peraga maya berupa “papan geometri” atau
yang lebih dikenal dengan istilah “geoboard”. Buatlah sebuah bangun
datar pada geoboard tersebut, kemudian dengan menggunakan
tombol-tombol yang terdapat pada menu rotasikan dan dilatasikan
bangun datar tersebut kemudian catatlah apa yang terjadi dan
tentukan bagaimana memperoleh koordinat baru hasil rotasi dan
dilatasi dari objek yang Saudara buat tersebut! (Aktivitas: Mencoba)

c. Sistem Koordinat Paralel
Sistem Koordinat Paralel dikonstruksi dengan memanfaatkan
komponen-komponen dasar pada koordinat Cartesius yaitu sumbu X dan
sumbu Y. Konstruksi dimulai dengan membuat replikasi sumbu-Y

sebanyak n, dan n menyatakan dimensi dari koordinat. Garis

sumbu - garis sumbu tersebut biasanya diberi label , , ..., ,

dan Jarak antara dan dan hingga dan

sama. Semua garis sumbu tersebut tegak lurus terhadap sumbu X (pada

koordinat Cartesius). Semua garis sumbu tersebut memiliki orientasi nilai

positif dan negatif yang sama seperti pada sistem koordinat Kartesius.

KB 3 PGSD Matematika 189

++ ++ +

_0 _ _ _ X

__ __ __ __ __

Gambar 12. Koordinat Paralel pada Dimensi 4
Gambar 12 adalah sebuah contoh sistem Koordinat Paralel pada dimensi
4 dengan garis sumbu-garis sumbu vertikal. hingga adalah garis
sumbu-garis sumbu pada sistem Koordinat Paralel dimensi 4, sedangkan
garis putus-putus pada gambar tersebut merupakan sumbu X yang
berguna untuk membuat acuan titik 0 pada masing-masing sumbu. Garis
sumbu-garis sumbu dalam Koordinat Paralel dapat pula dibuat secara
horizontal ataupun memiliki kemiringan tertentu, sedangkan jarak antar
sumbu dibuat tetap dan konsisten untuk membuat perhitungan lebih
sederhana. Untuk dapat memahami sistem Koordinat Paralel pada
dimensi-dimensi yang lebih tinggi, pembahasan dapat dimulai dari sistem
Koordinat Paralel dimensi 2.

Setelah mempelajari representasi Koordinat Paralel, silahkah Saudara
menggambarkan reprentasi sistem Koordinat Paralel pada Dimensi n?
(Aktivitas: Mencoba)

d. Sistem Koordinat Paralel Dimensi Dua
Sebelum memasuki materi berikutnya, Silahkan Saudara bayangkan
apakah suatu objek dapat memiliki representasi yang berbeda pada
Sistem Koordinat yang berbeda? (Aktivitas: Menanya)

KB 3 PGSD Matematika 190

Pada dimensi 2, titik A(x1,x2) pada koordinat Kartesius berkorespondensi

dengan sebuah garis (x1,x2) yang menghubungkan x1 dan x2. Titik x1

terletak pada sumbu di dan titik x2 terletak pada sumbu di
Koordinat Paralel.

A(x1,x2)

x2
x1

(0,0)

(a) (b)

Gambar 13. Representasi Titik pada Koordinat Cartesius dan Koordinat
Paralel

Notasi pada Gambar 9 (b) mempunyai makna bahwa adalah
representasi titik A pada Koordinat Paralel.

Contoh 1
Berikut adalah representasi titik A(2,5), B(4, -1), dan C(-2, -1) pada
Koordinat Paralel:

6 5

4

A

2

B

C -1

-2

Gambar 14. Representasi Titik A(2,5), B(4, -1), dan C(-2, -1) pada
Koordinat Paralel

KB 3 PGSD Matematika 191

Apabila konsep pada dimensi 2 tersebut digeneralisasi, bahwa sebuah

titik A pada dimensi n direpresentasikan sebagai sebuah

polygonal lines (garis-garis segi banyak) dengan n verteks yang terletak

pada sumbu . Berikut adalah contoh garis-garis poligonal pada
dimensi 4:

_

_ X
_

Gambar 15. Garis Poligonal Error! Reference source not found.
Merepresentasikan Titik Error! Reference source not found.) pada

Koordinat Paralel Dimensi 4

Jika sebuah titik direpresentasikan sebagai sebuah garis pada Koordinat
Paralel, lalu bagaimanakah representasi sebuah garis pada Koordinat
Paralel? Berikut adalah sebuah contoh yang dapat mengantarkan pada
jawaban pertanyaan tersebut:

Contoh 2
Misalkan garis Error! Reference source not found. akan
direpresentasikan pada Koordinat Paralel dimensi 2. Untuk
merepresentasikan sebuah garis, setidaknya dibutuhkan minimal 2 titik
yang terletak pada garis tersebut. Berikut adalah langkah-langkahnya:
1. Ambil titik A(0,1) dan B(-1,-1) yang terletak pada garis Error!

Reference source not found. dalam koordinat Kartesius.

KB 3 PGSD Matematika 192

2. Representasikan titik A dan B pada Koordinat Paralel sehingga
diperoleh garis Error! Reference source not found. dan Error!
Reference source not found..

3. Buatlah perpanjangan garis Error! Reference source not found. dan
Error! Reference source not found. sehingga diperoleh titik potong
kedua garis tersebut.

4. Namai titik potong tersebut dengan Error! Reference source not
found..

4
4

2 2 1

1 A X
B
X -1
-2
-2

-4

-4Y
X2

Gambar 16. Representasi garis Error! Reference source not found. pada
Koordinat Cartesius dan Error! Reference source not found. pada Koordinat Paralel

Notasi adalah representasi dari garis pada Koordinat Paralel. Dari
Gambar 16 terlihat bahwa adalah sebuah titik di Koordinat Paralel.
Apabila semua titik yang termuat pada direpresentasikan pada
Koordinat Paralel, maka akan terbentuk suatu berkas garis yang
berpotongan di titik . Misalkan diambil titik- titik A(-2, -3), B(-1, -1),
C(-1/2, 0), D(0,1), E(1,3), dan F(2,5) yang terletak pada , maka
representasi yang bersesuaian pada Koordinat Paralelnya adalah

KB 3 PGSD Matematika 193

dan yang semuanya berpotongan di titik . Ilustrasi
tersebut memperlihatkan bahwa sebuah garis pada koordinat Kartesius
direpresentasikan sebagai titik pada Koordinat Paralel dan mengantarkan
kita pada pengertian dualitas dalam Koordinat Paralel.

Koordinat Paralel menstimulasi munculnya dualitas antara garis
dan titik yang dapat dinyatakan dengan simbol garis ↔ titik. Setiap garis
  y = mx + b dengan m ≠ 1 pada koordinat Kartesius merupakan

dualitas dari yang merupakan titik pada Koordinat Paralel. Demikian
pula sebaliknya, sebuah titik pada koordinat Kartesius direpresentasikan
sebagai sebuah garis pada Koordinat Paralel.

Perhatikan Gambar 17 berikut:

Y 6
E
F
4
4
D
E X
2
2
1C
D
B
-5 C 5
-2 B
X
A
-2

A

-4

-4

Gambar 17. Representasi Titik-Titik A, B, C, D, E, dan F pada Error!
Reference source not found. dan Error! Reference source not found.dan Error!

Reference source not found. padaError! Reference source not found.

KB 3 PGSD Matematika 194

Pada Gambar 17 terlihat bahwa garis
direpresentasikan sebagai titik (-3, -1) pada Koordinat Paralel.
Koordinat titik dapat dicari dengan memanfaatkan konsep-konsep
perpotongan dua atau lebih garis pada koordinat Kartesius apabila jarak
jarak antar sumbu dan diketahui.

Misalkan jarak antar sumbu pada Koordinat Paralel adalah d, maka

dualitas garis , dengan m ≠ 1 adalah sebuah titik

. Berikut adalah bukti dari pernyataan tersebut:

Ambil sebarang garis y = mx + b dengan m ≠ 1; akan memiliki

titik potong dengan sumbu X di titik A dan memiliki titik potong

dengan sumbu Y di titik B(0, b). Pada Koordinat Paralel, titik A dan

B(0, b) direpresentasikan sebagai garis dan pada Gambar 18
berikut:

00

Gambar 18. Titik Error! Reference source not found. Merupakan Perpotongan
Error! Reference source not found. dan Error! Reference source not found.

Misalkan Error! Reference source not found. danError! Reference source not
found. h dalam koordinat Kartesius.

KB 3 PGSD Matematika 195

Persamaan garis Error! Reference source not found. yang melalui titik

(d,0) dan (0, Error! Reference source not found.) adalah

Error! Reference source not found.

(1)

dan persamaan garis h adalah

Error! Reference source not found. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh titik potong garis Error! Reference

source not found. dan h, yaitu titik Error! Reference source not found.

yang merupakan dualitas dari garis Error! Reference source not found. y

= mx + b pada Koordinat Paralel.

Setelah mencermati beberapa contoh silahkan Saudara mencoba
beberapa tantangan berikut ini (Aktivitas Mencoba)
1. Gambarlah titik A(3,2), B(-4, 3), dan C(-1, -3) pada Koordinat Paralel

dengan d = 4

2. Tentukan representasi dari garis-garis berikut pada Koordinat Paralel:

a. Error! Reference source not found., dengan d = 4

b. Error! Reference source not found., dengan d = 3

Konsep Koordinat Paralel adalah konsep matematika yang baru bagi
Saudara. Mempelajari konsep matematika yang baru, melalui suatu
proses yang diawali dari konsep Koordinat Kartesius yang sudah Saudara
miliki sebagai dasarnya, kemudian dikembangkan melalui proses koneksi,
representasi, translasi, rotasi, dan lainnya menjadi konsep Koordinat
Paralel. Proses pembentukan konsep matematika yang baru tersebut
dengan memanfaatkan pengetahuan awal yang sudah dimiliki dikenal
dengan istilah absraksi matematis. Ketika Saudara membangun konsep
Koordinat Paralel, maka Saudara telah mengalami proses abstraksi
matematis.

KB 3 PGSD Matematika 196

e. Dualitas garis dengan Gradien 1

Untuk kasus m = 1 pada y = mx + b, ketentuan bahwa dualitasnya adalah

titik Error! Reference source not found.tidak berlaku. Perhatikan

bahwa nilai dari Error! Reference source not found. dan Error!

Reference source not found. akan mendekati tak hingga apabila m

mendekati 1. Agar konsep dualitas titik dan garis pada Koordinat Paralel

dapat digeneralisasi, diperlukan suatu konsep yang mengakomodir

kondisi ketika nilai m = 1. Konsep yang sesuai dengan kondisi adalah

konsep “titik ideal” pada geometri proyektif. Geometri proyektif

merupakan gagasan dari seorang arsitek Italia, Brunelleschi, pada tahun

1425. Gagasan tersebut selanjutnya diformalkan oleh Alberti beberapa

tahun kemudian.

Dalam Geometri proyektif, titik ideal (point at infinity) terjadi ketika dua

atau lebih garis diasumsikan berpotongan di “tak hingga”. Selanjutnya

titik ideal disimbolkan dengan P  Error! Reference source not found..
m

Dengan memanfaatkan konsep ini, maka dapat dikatakan bahwa dualitas

dari garis y = mx + b dengan m =1 adalah titik ideal Error! Reference

source not found.. Berikut adalah beberapa contoh kasus tersebut:

Contoh 3
Berikut adalah sketsa garis y = x pada Koordinat Paralel

4

2

5

-2

X1 X2
Gambar 19. Representasi garis y = x pada Koordinat Paralel

KB 3 PGSD Matematika 197

Perhatikan bahwa representasi dari garis y = x bukan merupakan sebuah

titik, melainkan garis-garis yang sejajar pada Koordinat Paralel.

Garis-garis sejajar tersebut diasumsikan berpotogan di tak hingga

sehingga akan diperoleh sebuah titik ideal. Titik ideal  ini merupakan

Pm

dualitas dari garis y = x. Hal serupa berlaku pada kasus berikut:

Berikut adalah representasi garis y = x + 3 pada Koordinat Paralel.

4
2

5
-2

-4 X2

X1

Gambar 19. Representasi garis y = x + 3 pada Koordinat Paralel

KB 3 PGSD Matematika 198

Setelah Saudara dapat merepresentasikan garis lurus dengan gradien 1
pada Sistem Koordinat Paralel, cobalah tentukan bagaimana
representasi garis y = mx + b dengan m  1. (Aktivitas: Mencoba)

KB 3 PGSD Matematika 199

3. Rasio Dan Proporsi

Gambar 21. Promosi Diskon Akhir Tahun
Sumber gambar:

https://www.indozone.id/news/Q8svLO/banjir-pesta-diskon-saat-
akhir-tahun-awas-banyak-jebakan-batman

Perhatikan berita pada link berikut ini, banyak konsumen tertarik
menghabiskan uang karena iming-iming diskon yang diberikan oleh berbagai
gerai atau toko. Kejelian dalam menghitung dengan cepat berapa perubahan
harga dan total harga yang harus dibayar akan membantu konsumen untuk
menghidarkan diri dari “jebakan batman”, seperti yang dikemukakan dalam
berita tersebut. Kemampuan tersebut berhubungan dengan konsep rasio dan
proporsi.

Konsep rasio dan proporsi seringkali disampaikan dalam bentuk
rumus-rumus yang melibatkan bentuk pecahan sehingga siswa hanya
memiliki pengetahuan prosedural tanpa menguasai pengetahuan konseptual.
Pada dasarnya konsep rasio dan proporsi yang terdapat dalam masalah
sehari-hari hanya dapat diselesaikan dengan memahami konteks terlebih
dahulu.

KB 3 PGSD Matematika 200

a. Rasio
Rasio dapat didefinisikan sebagai sebuah hubungan antar dua kuantitas
atau ukuran yang terdapat dalam suatu situasi. Hubungan antar dua
kuantitas tersebut merupakan hubungan perbandingan multiplikatif
bukan perbandingan aditif. Untuk memahami konsep perbandingan
multiplikatif dan perbandingan aditif tersebut perhatikanlah ilustrasi
berikut:

“Dua minggu yang lalu, dua pohon bunga mawar diukur tingginya,
pohon mawar merah tingginya 30cm sedangkan pohon mawar putih
tingginya 50cm. Hari ini ketika diukur kembali diperoleh data pohon
mawar merah 60 cm dan pohon mawar putih 80 cm. Pohon manakah
yang memiliki pertumbuhan lebih cepat?”

Diskusikanlah permasalahan di atas dengan rekan Saudara, pohon
manakah yang memiliki pertumbuhan lebih cepat, jelaskan
argumentasi Saudara! (Aktifitas Menanya, Menalar)

Jika jawaban Saudara adalah kedua pohon tersebut memiliki kecepatan
tumbuh yang sama, maka Saudara memiliki kecenderungan melakukan
perbandingan aditif atau menggunakan cara berpikir aditif. Seseorang
yang menggunakan perbandingan multiplikatif, akan menjawab pohon
mawar merahlah yang tumbuh lebih cepat karena pohon tersebut telah
tumbuh dua kali lipat dari tinggi semula diwaktu yang sama. Pohon
mawar putih perlu mencapai ketinggian 100 cm untuk menyamai
kecepatan tumbuh pohon mawar merah. Inilah contoh berpikir
multiplikatif, yaitu proses berpikir yang melibatkan perkalian dalam
melakukan perbandingan.

KB 3 PGSD Matematika 201

Rasio dapat ditemukan dalam beragam konteks, jenisnya pun beragam
antar lain:
1) Rasio bagian-per-bagian. Rasio jenis ini terjadi ketika Saudara

membandingkan dua hal yang masing-masing dianggap satu bagian
yang utuh. Misalnya pada suatu panti asuhan terdapat 20 anak
laki-laki dan 23 anak perempuan, maka rasio anak laki-laki dan anak
perempuan penghuni panti adalah 20 . Konsep perbandingan tidak

23
selalu menggunakan bilangan bulat, dapat pula melibatkan anggota

bilangan irasional seperti 2 . Perhatikanlah perbandingan antara

panjang sisi sebuah persegi dengan luas 1 satuan persegi dengan
panjang sisi diagonalnya.
2) Rasio bagian-dari-keseluruhan. Rasio jenis ini memiliki makna yang
sama dengan bentuk pecahan, contohnya rasio banyaknya anak
perempuan terhadap seluruh jumlah siswa yang berada di panti
adalah 23 . Prosentase adalah contoh rasio bagian-dari-keseluruhan

43
sedangkan probabilitas adalah rasio dari sebagian anggota ruang
sampel terhadap seluruh ruang sampel.
3) Rasio sebagai hasil bagi. Rasio dapat diajarkan sebagai hasil
pembagian. Contohnya ketika pada suatu toko memberikan promosi
Rp. 10.000,00 dapat 4 barang. Sehingga, harga satu barang tersebut
dapat diperoleh dengan 10.000 : 4, diperoleh harga satuan Rp. 2500,
00.
4) Rasio sebagai “perubahan besaran”. Perubahan besaran melibatkan
hubungan antara dua kuantitas, misalnya liter per galon, meter per
jam, galon per meter persegi dan lainnya.

Setelah mengetahui berbagai jenis rasio buatlah contoh kasus untuk
masing-masing jenis rasio tersebut! (aktivitas: melakukan)

KB 3 PGSD Matematika 202

b. Proporsi
Pada modul ini istilah proporsi digunakan untuk mengartikan kata
“proportional” yang sering dialihbahasakan menjadi istilah
“perbandingan” dalam beberapa buku matematika. Proporsi atau
perbandingan adalah hubungan yang sama antar dua rasio. Ada pula
yang menjelaskan bahwa proporsi adalah sebuah persamaan yang
menyatakan bahwa dua rasio bernilai sama. Berikut adalah contoh
masalah yang melibatkan konsep proporsi: sebuah barang dijual dengan
harga Rp. 35.000,00. per buah. Pembeli dapat membayar Rp.100.000,00
jika membeli tiga buah barang.

Pada beberapa situasi, proporsi dapat dipandang sebagai proporsi dalam
suatu konteks/situasi atau proporsi antar konteks/situasi. Ilustrasinya
dapat dilihat pada Gambar 22 berikut:

Situasi/konteks Situasi/konteks
A a
dalam dalam
B b

antara

dalam : A = a antara: =A B
B b
ab

Gambar 22. Ilustrasi masalah proporsi

Berikut adalah ilustrasi masalah proporsi pada beberapa situasi:
1) Jika sejumlah uang dapat digunakan membeli 3 buku tulis dengan

harga satuan Rp.4.000,-, maka uang tersebut dapat digunakan untuk
membeli 4 buku tulis dengan harga Rp.3.000,-

KB 3 PGSD Matematika 203

2) Jika jarak dari kota A ke kota B dapat ditempuh mobil dengan
kecepatan 40 km/jam dalam waktu 50 menit, maka jarak tersebut
dapat ditempuh dengan kecepatan 50 km/jam dalam waktu 40
menit.

3) Sebuah butik terkenal sedang mengadakan pesta diskon dengan
memberikan diskon 20% untuk setiap item, namun pembeli harus
membayar pajak sebesar 15%. Menurut Saudara cara manakah yang
lebih menguntungkan bagi pembeli? menghitung pajaknya dahulu
atau diskonnya dahulu? (Aktivitas: Mencoba)

Setelah Saudara mempelajari konsep rasio dan proporsi, coba cermati
masalah berikut, kemudian selesaikan menggunakan pengetahuan yang
telah Saudara miliki:

Tabel 1. Persentase AKG berdasarkan kebutuhan energi 2200 kkal

Kandungan Nutrisi Jumlah/Sajian AKG

Sajian per 1/2 kemasan (120ml) Total lemak 0g 0%

Jumlah saji per kemasan 2,5 Lemak jenuh 0g 0%

Kalori 90 Kolesterol 0mg 0%

Lemak kalori 0 Sodium 710mg 30%

Vitamin A 12%

Vitamin C 12%

Kalsium 0%

Total karbohidrat 20g 7%

Fiber 1g 4%

Gula 15g

Protein 2g

*Persen AKG berdasarkan kebutuhan energi 2000 kkal

Jawablah pertanyaan berikut ini berdasarkan Tabel tersebut:

a. Jika dibutuhkan air 120ml untuk menyajikan 1/2 kemasan, berapa

mililiter air yang dibutuhakan untuk menyajikan 3 1 kemasan?
2

b. Berdasarkan jumlah kalori per sajian; berapa banyak kalori yang

didapatkan jika mengkonsumsi 4 1 kemasan?
2

KB 3 PGSD Matematika 204

c. Jika 1 g fiber setara dengan 4% Angka Kecukupan Gizi, berapa gram
fiber dibutuhkan untuk memperoleh 25% AKG?

(Aktivitas: Mencoba)
Konsep ratio menjadi dasar untuk siswa mempelajari konsep proporsi
atau perbandingan melalui penalaran proporsional. Istilah penalaran
proporsional tidak mudah didefinisikan, namun seseorang yang memiliki
kemampuan tersebut dapat teridentifikasi melalui, salah satunya
kemampuan berpikir multiplikatif. Penalaran proporsional seharusnya
sudah dibangun mulai tingkat sekolah dasar melalui beberapa
pendekatan, diantaranya dengan mengenalkan teknik unitisasi dan
penalaran spasial.

c. Unitisasi dan Penalaran Spasial
Unitisasi merupakan proses membuat beberapa kuantitas menjadi
unit-unit satuan. Misalnya, sebuah persegi panjang dianggap sebagai satu
unit. Satu unit persegipanjang tersebut dapat terdiri dari 4 buah persegi
satuan, sehingga pada Gambar 23 terdapat 5 unit persegi panjang, yang
masing-masing terdiri dari 4 persegi satuan.

.

Gambar 23. Unit Persegi Panjang
Contoh lain proses unitisasi dapat terlihat jelas pada ilustrasi berikut:
Pada acara arisan, ibu menata kue dalam piring-piring seperti pada
gambar 24. Piring dalam kasus ini dapat dinyatakan sebagai sebuah unit

KB 3 PGSD Matematika 205

yang berisi kue dengan jumlah yang sama, misalnya tiap-tiap piring berisi
6 buah kue, sehingga di sana ada 4 unit dari 24 kue.

Gambar 24. Unit Piring Berisi Kue

Memberikan pemahaman yang komprehensif tentang konsep “unit”
amat penting sebagai dasar untuk bernalar proporsional, karena unitisasi
merupakan dasar untuk memahami konsep perkalian dan nilai bilangan.
Membangun kemampuan unitisasi siswa dapat dilakukan dengan
menggunakan ilustrasi atau gambar melibatkan kemampuan penalaran
spasial siswa. Perhatikan ilustrasi berikut:

48

Gambar 25. Menempatkan angka pada garis yang telah ditentukan

Pada gambar tersebut, posisi angka 4 dan 8 sudah ditentukan, jika
kemudian Saudara diminta untuk memasukkan angka 15 pada garis
tersebut, dimanakah posisi angka 15 harus diletakkan? (Aktivitas:
Mencoba)
Untuk dapat meletakkan angka 15 pada Gambar 25., siswa harus
memperkirakan bahwa jarak dari 4 ke 8 adalah 4 satuan, maka jika ingin
meletakkan angka 15 siswa harus membuat dulu posisi angka 12 baru
membuat posisi angka 15 yang proporsional sesuai skala yang sudah
diberikan.
Ilustrasi lain yang amat jelas membutuhkan penalaran spasial terdapat
pada geometri dan pengukuran. Misalnya ketika siswa diminta untuk

KB 3 PGSD Matematika 206

menggambar sebuah segiempat yang serupa namun dengan ukuran yang
berbeda.

B'

B C'
C
B''
C'

E D E' D' E'' D''

Gambar 26. Segiempat yang sama dengan ukuran berbeda

Visualisasi dari situasi yang melibatkan konsep rasio dan proporsi, baik
dalam bentuk gambar ataupun tabel dapat menghindarkan siswa dari
terjebak pada prosedur rutin menggunakan rumus dalam bentuk
pecahan untuk menyelesaikan masalah. Adapun rujukan aktivitas belajar
rasio menggunakan visualisasi berupa gambar dapat Saudara coba pada
laman berikut:https://www.mathplayground.com/tb_ratios/index.html.
Perhatikan ilustrasi berikut ini:
Data perbandingan antara luas tanah dengan banyaknya pohon pinus
yang dapat ditaman disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 2. Luas Tanah dan Banyaknya Pohon Pinus

Luas Tanah 5 10 15 20 25
........
(Hektar)

Banyaknya 75 150 225 .....

pohon pinus

Bagaimanakah cara menentukan banyaknya pohon pinus yang dapat
ditanam pada daerah dengan luas tanah 20 dan 25 hektar?

KB 3 PGSD Matematika 207

Apakah Saudara menemukan pola pada kedua baris tersebut, ataulah
Saudara mencari perbandingan untuk 1 hektar luas tanah dan
banyaknya pohon pinus yang dapat ditanam? (Aktivitas: menanya)

Situasi tersebut dapat pula disajikan dalam bentuk grafik pada diagram
kartesius sehingga diperoleh fungsi y = 15x yang menyatakan situasi
tersebut. Salah satu contoh penyelesaian masalah rasio dan proporsi
yang melibatkan tabel dan grafik dapat Saudara temui pada link
https://blog.ruangguru.com/perbandingan.

4. Statistik
Materi statistik ini merupakan lanjutan dari modul 3 KB 3 yang terdapat pada
materi matematika yang bisa Saudara pelajari pada jaringan/internet. Pada
uraian kali ini statistik yang akan dibahas tentang menginterpretasi grafik,
membuat grafik baru, dan menganalisis data dari bentuk grafik.
Perhatikan ilustrasi gambar berikut mengenai simulasi kurva untuk kasus
pandemi virus Corona yang diambil dari situs vox.com pada tautan berikut:
https://www.vox.com/2020/3/10/21171481
/coronavirusus-cases-quarantine-cancellation?fbclid=IwAR0oNAgSxTClR7EH9
UKXa88TkzBbxdreyxzSVWSf2-iv7lq5eLG7TcZccxU.
Apa maksud dari kurva tersebut? Bagaimanakah interpretasinya?

KB 3 PGSD Matematika 208

Gambar 27. Grafik Perbandingan Persebaran Pandemi Virus Corona
Sumber:

https://www.vox.com/2020/3/10/21171481/coronavirus-us-cases-
quarantinecancellation?fbclid=IwAR0oNAgSxTClR7EH9UKXa88TkzBbxdreyxzS

VWSf2-iv7lq5eLG7TcZccxU

Sebelum membahas satu per satu tentang bagaimana menginterpretasikan
dan menyajikan data, silahkan Saudara buka link ini. Pada laman tersebut
disajikan informasi mengenai informasi perkembangan kasus pandemi virus
Corona di seluruh dunia. Informasi disajikan dalam beragam bentuk grafik
dan diagram yang berbeda-beda sesuai dengan karakteristik informasi yang
ingin disampaikan.

a. Menginterpretasi Grafik
Perhatikan grafik banyaknya Percakapan Virus Corona di Linimasa Twitter
Indonesia pada rentang 20-27 Januari 2020 berikut ini:

KB 3 PGSD Matematika 209

Gambar 28. Grafik Percakapan Virus Corona di Linimasa Twitter
Indonesia

(Sumber: http://portal.evello.co.id)

Beberapa pertanyaan yang mungkin muncul ketika melihat grafik
tersebut antara lain:
• Apa yang menarik dari grafik pada Gambar di atas?
• Bagaimanakah memaknai grafik tersebut?
• Apakah banyaknya percakapan berarti banyak pula pengidap sakit

karena virus corona?
• Pada tanggal 25 Januari, pukul 20.00, kira-kira berapa orang yang

memperbincangkan virus Corona? (Aktifitas Menanya)

Pertanyaan-pertanyaan tersebut adalah sebagian dari pertanyaan yang
mungkin muncul ketika seseorang berinteraksi dengan grafik di atas.
Semakin dewasa seseorang, maka makna yang muncul dari pemaknaan
sebuah grafik, semakin kompleks. Pertanyaan selanjutnya adalah,
bagaimana cara memaknai sebuah grafik?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pertama kali yang harus terjawab
adalah, mengapa seseorang perlu menampilkan sesuatu dalam bentuk
grafik. John a van de Walle menyatakan bahwa seorang membuat grafik
karena ingin menyampaikan informasi dengan cara yang lebih sederhana
(van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013). Pada sebuah percobaan di

KB 3 PGSD Matematika 210

kelas, siswa di kelas diberi tugas untuk mengumpulkan jenis serangga
yang ditemukan di halaman belakang. Hasil dari praktik tersebut tampak
dalam gambar berikut:

Gambar 29. Grafik sederhana siswa SD (sumber: Van de Walle, 2001)

Pada definisi di atas, walaupun grafik yang disampaikan sangat
sederhana, informasi yang dibangun oleh siswa cukup jelas, yaitu ada
kelompok serangga bersayap dan kelompok serangga tanpa sayap. Lebih
lanjut, ketika berbicara kuantitas, grafik yang dibangun oleh siswa
tersebut menggambarkan banyak yang sama, dari serangga dua jenis
tersebut.

Selanjutnya, bagaimanakah menginterpretasi sebuah grafik atau diagram?
Hal pertama harus dipahami adalah bentuk grafiknya. Setiap jenis grafik
digunakan untuk menggambarkan data tertentu. Misalnya, apakah
Sudara dapat menggambarkan data penjualan buku dengan
menggunakan grafik batang? Apakah kita menerima informasi
pergerakan nilai mata uang dengan grafik garis? Mengapa bukan grafik
batang? Mengapa bukan grafik lingkaran?

Van de Walle mengemukakan ada perbedaan istilah antara graph, chart,
dan diagram (van de Walle et al., 2013). Namun di Indonesia, graph dan
chart tidak dibedakan. Keduanya menjadi satu istilah, yaitu grafik. Secara
sederhana, hanya ada 4 istilah yang dijadikan sebagai media penyampai
data, yaitu: grafik batang, grafik garis, grafik lingkaran, dan diagram.

KB 3 PGSD Matematika 211

Grafik batang digunakan untuk mendeskripsikan kuantitas dari data yang
bersifat independen. Artinya antara bilah yang satu dan bilah yang lain
berdiri secara bebas, tidak saling berpengaruh. Perubahan panjang bilah
yang satu, tidak akan berpengaruh pada panjang bilah lainnya. Panjang
bilah menunjukkan banyaknya data. Contoh: Grafik batang produksi
mobil dari bulan Januari sampai Juni, sebagai berikut:

Gambar 30. Contoh Grafik Batang

Pada Gambar 30. Contoh Grafik Batang, masing-masing bilah
(dalam hal ini, Bulan Produksi) berdiri terpisah. Jika kuantitas pada bulan
Februari naik, tidak berpengaruh pada produksi pada bulan sebelumnya.
Grafik Garis menggambarkan bagaimana data berubah pada setiap
perubahan waktu. Grafik garis sangat berguna untuk menunjukkan tren
atau angka yang saling terhubung. Dalam hal ini nilai pada grafik, antara
satu titik dengan titik berikutnya memiliki makna. Contoh: grafik
pemasukan perusahaan pada bulan Januari sampai Juni, dihitung pada
setiap akhir bulan, adalah sebagai berikut:

KB 3 PGSD Matematika 212

Gambar 31. Contoh Grafik Garis

Pada Gambar 31, jika seseorang ingin mengetahui pemasukan
perusahaan pada 15 Februari, ia bisa memperkirakan nilainya dengan
menarik garis vertikal di tengah ruas antara bulan Februarii dan Maret,
kemudian mencari perpotongan garis vertikal tersebut dengan grafik.
Titik potong garis vertikal dengan grafik akan menunjukkan nilai yang
sesuai di sumbu Y, itulah perkiraan pemasukan perusahaan pada tanggal
15 februari. Aktifitas tesebut disebut dengan intrapolasi. Sebaliknya jika
ia ingin mengetahui perkiraan pemasukan perusahaan pada bulan Juli,
aktifitas tersebut disebut dengan ekstrapolasi. Grafik garis ini dependen,
atau bergantung, artinya jika nilai pada bulan Februari berubah, maka
nilai intrapolasi di antara Januari dan Februari juga ikut berubah.

Grafik Lingkaran (dalam bahasa Inggris, diistilahkan dengan Pie Chart)
dirancang untuk memvisualisasikan bagaimana keseluruhan dibagi
menjadi berbagai bagian. Setiap bagian lingkaran (juring) adalah kategori
tertentu dalam bagian dari data keseluruhan. Dengan cara ini, bagian
lingkaran itu dapat dinyatakan sebagai persentase dari keseluruhan.
Contoh grafik lingkaran tentang jenis kendaraan siswa yang digunakan
untuk berangkat ke sekolah, dapat dilihat pada gambar berikut:

KB 3 PGSD Matematika 213