modul kelas X

MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

MATEMATIKA

KELOMPOK TEKNOLOGI,KESEHATAN,DAN PERTANIAN

KELAS X

DISUSUN OLEH
PUJI WAHYUNI,S.Pd
LEMBAGA PENDIDIKAN MA`ARIF NU
CABANG KABUPATEN BANYUMAS

SMK MA`ARIF NU 1 AJIBARANG

Alamat : Jl. Raya Ajibarang Tegal Km. 1
Kabupaten Banyumas Kode Pos 53163

Telp. (0281) 571284

HALAMAN PENGESAHAN

Modul Pembelajaran matematika Kelas XII yang disusun oleh guru Mata Pelajaran
Matematika di SMK Ma’arif NU 1 Ajibarang telah memenuhi syarat dan dapat digunakan sebagai
salah satu buku acuan dalam pembelajaran Matematika Kelas XII Jurusan Tekhnik Audio Video
(TAV),Tekhnik Kendaraan Ringan (TKR),Tekhnik Sepeda Motor (TSM) dan Tekhnik Komputer dan
Jaringan (TKJ )khususnya di lingkungan SMK Ma’arif NU 1 Ajibarang.

Ajibarang, 20 Juli 2017
Kepala Sekolah SMK Ma’arif NU 1 Ajibarang

Zaenudin,S.Pd, M.Si

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayahnya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul dan LKS matematika SMK untuk
tingkat X pada kelompok tekhnologi,kesehatan dan pertanian.

Tujuan dalam penyusunan modul dan LKS ini adalah untuk membantu proses belajar
mengajar sehingga diharapkan menjadi sarana belajar siswa agar lebih mudah untuk memahami
materi yang dipelajari.Dan juga LKS ini dapat dijadikan sebagai alat untuk mengukur tingkat
keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar.

Modul dan LKS ini memiliki keunggulan karena memuat isi yang mencakup
• Materi tingkat
• Contoh soal – soal ( materi)
• Pembahasan soal – soal
Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan modul dan LKS ini masih jauh dari
sempurna.Untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik
lagi.Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak baik yang langsung maupun
tidak langsung yang telah membantu penyusun sehingga terselesaikannya modul dan LKS ini.

Ajibarang,.......Juli 2017
Penyusun

Puji Wahyuni,S.Pd

MODUL 1

BILANGAN BERPANGKAT,AKAR,DAN LOGARITMA

Kompetensi Dasar (Pengetahuan )
3.1 Menerapkan konsep bilangan berpangkat,bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan

masalah
Kompetensi Dasar ( Keterampilan )
4.1 Menyajikan penyelesaian masalah bilangan berpangkat,bentuk akar dan logaritma
Indikator

1. Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
2. Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.
3. Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
4. Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma.
5. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional.
6. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma.
7. Merasionalkan bentuk akar.
8. Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat,akar dan logaritma.
9. Menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai modelmatematika bentuk pangkat, akar

dan logaritma.
10.Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabelbentuk pangkat, akar dan

logaritma.
11.Merumuskan bentuk pangkat, akar dan logaritma yangmerupakan model matematika dari

masalah.
12.Menentukan penyelesaian dari model matematika.13.Memeberikan tafsiran terhadap solusi

dari masalah

MATERI

1. BENTUK PANGKAT
Tahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara matahari dan

bumi adalah 150.000.000 km. Penulisan jarak antara matahari dan bumi dapat ditulis dengan bilangan
pangkat. Bagaimana caranya? Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau
negatif.
Pangkat Bulat Positif
Pengertian Pangkat Bulat Positif Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an
(dibaca "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi,
pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk an = a x a x ax a .....................a dan
a≠ 0, dengan: a = bilangan pokok (basis); n = pangkat atau eksponen; an = bilangan berpangkat.

Contoh
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-3) 5 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = -234

Dengan menggunakan konsep bilangan pangkat penulisan jarak antara matahari dan bumi,

yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih ringkas, yang dikenal sebagai notasi

ilmiah, yaitu 1,5 × 108 km.

Sifat – sifat bilangan pangkat
1. a0 = 1

Contoh
20 = 1
70 = 1
940 = 1

2. a-n= 1
an

contoh

32  1  1
32 9

42  1  1
43 64

61  1
6

3. am x an = am+n

contoh
34 x 32 = 34+2 = 36= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3=729
53 x 5-5 = 5 3+ (-5)= 53-5 = 5-2 = 1/52 = 1/25
7-2 x 76 = 7-2 +6 = 74 = 2401
4. am : an = a m-n

contoh
24: 2= 24-1= 23= 8
45: 45 = 4 5-5 =40 =1
62 : 6-2 = 62-(-2) = 6 2+2 = 64 1296
5. (am)n = amn

contoh

(32 )3  32 X 3  36  729

(82 )2  82x2  84  1  1
84 4096

(43 ) 1  43x1  43  64

6. (ab)n= anbn

contoh
(xy)6 = x6y6
(2p)4 = 24 p4 = 16 p4
(3m2)3 = 33 m2x3 = 27m6

7.  a n  an
b bn

Contoh

 2 2  22  4
5 52 25

 a 3  a3  a3  1 a3
3 33 27 27

m

8. A n  n Am

Contoh

1

3 2  2 31  3

4

2 5  5 24  5 16

1

64  4 6

Contoh soal b. 10 : 106 c.  1 3
1. Selesaikanlah 4

a. 5-1

Penyelesaian

a.51  1
5

b.10 :106  1016  1010  1  0,000001
100.000

c. 1 3  (4)1x3  43  64
4

2a3.b5 .c 2
2. Sederhanakanlah dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif dari 6a9 .b2 .c 1

2a 3.b 5 .c 2  a 39 .b 52 .c 2(1)  a 6 .b 7 .c3  c3
6a 9 .b 2 .c 1 3 3 3a 6 .b7

SOAL – SOAL UN

a. (34.2352 ) 1  34x12 3x1.52x1  34.23.52  34(6).238.526  32.25.58
(33.24.53 ) 2 3 3 x 2.2 4 x 2.5 3 x 2 36.28.56

 b.
x3.y 2 .z 4 2  x3x2 .y 2x2 .z 4x2  x 6 .y 4 .z 8  x 6(3) .y 412 .z 8(6)  x 3 y 8 z 2
x 1.y 4 .z 2 3 x 1x3 .y 4x3 .z 2x3 x 3 .y12 z 6

 2 1 .4 3 2 .  2 1 x2 3 x 2.3 2 x 2 
2  3 2 2
2..32 .4
21.43.34
c.   1 ( 3)   2 6.4 9.3 1  21( 6 ).4 39.3 4 ( 1)  27.46.35
3
 2 2.4 3.3 1 22 x3.4 .33( 3)
3

d. a 5 .b 4 .c3  2  a 5x2b 4x2c3x2  a 10b8c 6  a 10(8) .b810 .c 64  a 2 .b 2 .c 2
a 4 .b5 .c 2 a 4x2 .b5x2 .c 2x2 a 8 .b10 .c 4

3 33

p45 q3  p 4 .q 5  3 1 3 1  1 2
e.
p.q p.q p 4 .q 5 p 4q 5

1.Sederhanakanlah LATIHAN
a. 73.75.7-2
b. p7.p-1 e. 65.(62 : 63)
c. 2 10 : 28 f. (24)5 .23
d.10 : 100 -2 g. (a4.b-3 )7
h. (42.2-4).(52.3-3)2
2. sederhanakan

2

a.216 3

3

b.814

2 22

c.5 3.25 3.8 3

11

d.500 3 .2 3.(125x3)0

e.5 323 .3 1252

3. Sederhanakan

a. 2 4.9 2.5 3
8.35.1251

 b.
3m5 3m1 2 : 3m 3
3m4 : 3m3

23

x3.y 2
4. Jika x= 27,y=36 dan z= 5 tentukan nilai z 2

5. Hitunglah nilai dari a3.b 2 .c 6 untuk a=5,b=2 dan c=1

abc

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. BENTUK AKAR

n a  b..................bn  a

contoh

a. 9  3berarti  32  9

b.3 64  4berarti  43  64

a  b  ab
a a a
a b  c d  ac bd
a c  b c  abc
contoh
2 3 6
6  3  18  3 2
3 9  3 6  3 54  33 2
7 7 7
3 7  2 5  6 35
2 6  5 6  (2x5)x6  60

a a
bb
contoh

6 6
77

a c  b c  (a  b) c

 a c  b c  a  b) c

contoh

5  2 5  (1  2) 5  3 5

3 7  6 7  (3  6) 7  9 7

8 3  2 3  (8  2) 3  6 3

5 6  6  (5 1) 6  4 6

8  6 2  2 2  6 2  (2  6) 2  8 2  8  4  2  2 2

a  a x ba b
b b bb

a  a x b  1 ab
b b bb

a  a x a  b  a(a  b)
a  b a  b a  b a2 b

a  a x a  b  a(a  b)
a  b a  b a  b a2 b

a  a( a  b)
a b ab

a  a( a  b)
a b ab

 a  b a 2

b

a b ab

 2

a  b  a  b)
a  b ab

Contoh

3 3 53 5
5 55

5  5 x 35 3
12 2 3 3 6

2 6
33

6  6 x 5  30
5 55 5

2  2 x 4  3  2(4  3)  2(4  3)
4  3 4  3 4  3 16  3 13

5  3  5  3 x 5  3  ( 5  3)2  ( 5  3)2
5 3 5 3 5 3 53 2

( 5  3)2  ( 5  3)( 5  3)  5. 5  5. 3  3. 5  3. 3

5  2 15  3  8  2 15

LATIHAN

Kerjakan soal dibawah ini dengan benar!
1.Sederhanakan perkalian bentuk akar di bawah ini

a.4 7x3 28
b.5(3 5  50)

2. Rasionalkan bentuk akar dibawah ini

a. 8
2

b. 10
25

c. 3  2
3 2

d. 2
12  8

e. 6 3
33

3. Sederhanakanlah

a.12 6  7 6  3 6
b.6 5  5  20 5
c.4 3  3 12  27

3.LOGARITMA

a log y  x  y  a x  y  a x a log y  x

a disebut bilangan pokok,a> 1 dan a≠1
y disebut numerus dan y > 0
contoh
2 log 8  3  8  2 3
5 log 25  2  25  5 2

BILANGAN POKOK 10 PADA LOGARITMA TIDAK BIASA DITULISKAN

10 log 2  log 2
10 log 5  log 5
a log a  1
a log1  0

Sifat – sifat logaritma
alogbc=alogb + alogc
2log 6 + 2log 10= 2log 6 x 10=2log 60
2log 60=2log (4x15)=2log4+2log15=2 + 2log15
log 2 + log 5 = log 10 = 1

alog b =alog b – alog c
c

a.2 log 8 2 log 8 2 log 9
9

b.4 log 484 log 34 log 48 4 log16  2
3

alog bn= nalogb

a.2 log82 log 23 32 log 2  3.1  3
b.5 log 1255 log 52  2.5 log 5  2.1  2

alog b x alogc=a log c
a.5log2 x 2log 25 =5 log 25 = 2
b. 3 log 4 x 4log 6 x 6log27=3log27=3

a log b  c log a
c log b

a log b  1
b log a

a.3 log 5  2 log 5  7 log 5 , dll
2 log 3 7 log 3

b.4 log 7  1
7 log 4

c.5 log 3  a,3 log 4  b

maka4 log15  ..........

4 log15  5 log 3x5  3 log 33 log 5 1 1  a 1  a 1
 a a

5 log 4 3 log 4 b b ab

an log b m  m a log b
n

a.8 log 3623 log 62  2 2 log 6
3

b.16 log 8124 log34  4 2 log 32 log 3
4

c.64 log 1 43 log 32   2 4 log 3
93

d.3 log 7  a,49 log 27  ........
jawab:49 log 2772 log 33  3 7 log 3  3 x 1  3 x 1  3

2 2 3 log 7 2 a 2a

a a log b  b

a.4 4 log5  5

b.9 3 log 4 3  323log 4 3 log 42  42  16

Contoh soal dan penyelesaian
1.2log 24 +2 log 3 – 2log9=2log (24 x 3) : 9= 2log 8 = 2log 23=3

2.log 5 + log 4 – log 2 + log 10 = log (5 x 4 x 10 ) : 2=log 100 = 2

2 2 log 1 3 2 log 23 1
   3.2.2 log82 log 2 3
2  3.2 log 1 2 log 82  2 log 2
 2 log 2  2 log 22

4 4

1

2 26.2 2 2 6 1 ( 6) 2 1  12 1 .2 log 2  12 1
26 2 12 22
 log  log 2
log 2 2

4. Dengan menggunakan sifat logaritma,tentukan nilai dari 3log27
Jawab
3log 27 =3 log 33 =3.3 log 3 = 3

5. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771,maka tentukan log 12
Jawab
log 12 = log (2.2.3)=log 2+ log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,3010 + 0,4771 = 1,0791

6. Tentukan nilai dari 5log7.7log 625

Jawab
5log 7.7 log 625 = 5log625=5log54=4
7. Jika 5log4 = a dan 4log3 = b,tentukanlah nilai dari 3log 20

Jawab

5 log 4  log 4  a  log 5  log 4
log 5 a

4 log 3  log 3  b  log 3  b.log 4
log 4

3 log 20  log 20  log 4.5  log 4  log 5
log 3 log 3 log 3

log 4  log 4 1 1 a 1
a a
  
b log 4 bb

LATIHAN

Hitung nilai dari
1. 7log 8.2 log 9.3log 1/7

3 log83log 4
2. 3 log8 3 log 2

3. 2log4 + 2log12 - 2log6
4. 2log14 + 2log80 - 2log 35
5. 4log81.3log32
6. 2log48 + 5 log 50 – 2log3 – 5log2

3 log 1  3 log 1 3 log 1
7. 3 9 81

8. Jika log 2 = a,log 3 = b,tentukan nilai log 72
9. Jika 3log 2 = a,hitung 9log 32
10. jika log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699,hitung log 45

STUDI KASUS

Apakah kalian sering mendengar istilah nuklir?tentu istilah nuklir begitu familiar di telinga kita.saat

terjadi peristiwa pemboman Hirosima dan Nagasaki di Jepang,energi nuklir pertama kalinya dikenal

sebagai bom atom yang merupakan senjata pemusnah massal yang mengerikan.pada masa

sekarang,reaksi nuklir telah banyak digunakan untuk tujuan positif(tidak hanya untuk perang) baik

sebagai sumber radiasi maupun sebagai sumber tanaga dan pemanfaatannya dalam bidang

kesehatan.dalam prosesnya,reaksi nuklir ada yang terjadi secara spontan ataupun buatan.Reaksi

nuklir spontan terjadi pada inti-inti atom yang tidak stabil.Zat yang mengandung inti tidak stabil ini

disebut zat radioaktif.Ketika sebuah inti atom yang tidak stabil memancarka partikel subatomik

(partikel radiasi),proses ini disebut peluruhan zat radioaktif.dalam matematika,peluruhan zat radioaktif

dapat dirumuskan sebagai berikut.

1

N  N 0 x 1 T
 2

Dimana: N= jumlah zat setelah meluruh
N0=jumlah zat mula – mula
t=waktu meluruh suatu zat
T= waktu paruh yaitu waktu yang diperlukan untuk meluruh menjadi separuhnya

Berdasarkan uraian di atas,carilah solusi untuk kasus di bawah ini
a.Jika jumlah zat mula – mula adalah 128 gram dengan waktu paruh 2 tahun,tentukan jumlah

zat setelah meluruh selama 10 tahun
b. Jika berat logam X yang ditimbang 75 tahun lalu adalah 1 kg dan berat logam tersebut

sekarang hanya 125 gram,tentukan waktu paruh logam X tersebut.

MODUL 2

NILAI MUTLAK

Kompetensi inti pengetahuan
3.2 Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak bentyk linear satu variabel
Kompetensi inti keterampilan
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak

bentuk linear satu variabel
Indikator
Siswa dapat mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan
pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah
Siswa dapat menerapkan konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan linear dalam
pemecahan masalah nyata

MATERI

Nilai mutlak atau harga mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan nilai suatu
bilangan selalu positif.simbol │x│ adalah nilai positif dari nilai x dan –x.Secara matematis,nilai mutlak
didefinisikan sebagai berikut

 x,untukx0

x
 x,untukx0

Nilai mutlak suatu bilangan selalu positif atau nol.
CONTOH 1
Tentukan nilai dari:
│-5│ b.│2 - 6│
Jawab

a.│-5│= 5
b. │2 - 6│=│-4│= 4
CONTOH 2
Tentukan nilai dari │2x-1│jika x > 0
Jawab
Jika x >0,maka nilai 2x – 1 >0,sehingga │2x - 1│=2x – 1
CONTOH 3
Tentukan nilai dari │x – 1 │ dan │x - 4│ jika x<0
Jawab
Jika x <1,maka nilai x – 1 <0 dan x – 4 < 0

Sehingga │x-1│=-(x-1)=1 – x dan │x - 4│=- ( x – 4 ) =4 - x
CONTOH 4
Jika x < 3,sederhanakan bentuk │2x - 6│+│4 - x│+│x - 5│
Jawab
2x – 6 < 0 maka │2x – 6 │= 6 – 2x
4 – x >0 maka │4 - x│=4 – x
X – 5 < 0 maka │x - 5│=5 – x
Jadi│2x - 6│+│4 - x│+│x - 5│= 6 – 2x + 4 – x + 5 – x = 15 – 4x
CONTOH 5
Seekor semut berjalan ke kiri dalam arah sumbu X sepanjang 5 cm kemudian berbalik arah sejauh 10
cm,kemudian perjalanan semut dilanjutkan ke kanan sepanjang 15 cm dan berbalik arah sepanjang
12 cm.tentukan jarak yang ditempuh semut
Jawab
Jarak yang ditempuh semut=(│-5│+│10│+│15│+│-12│)=(5+10+15+12)cm=42cm
Sifat – sifat nilai mutlak

x.y  x . y

x  x
,y  0
yy

xy  x  y

xy  x  y

x  x2
x 2  x2

│x│<│y│,jika dan hanya jika x2 < y2
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
•│x│≤ p artinya –p ≤ x ≤ p
• │x│≥ -p artinya x ≤ -p atau x ≥ p

Contoh
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x - 4│=3

Penyelesaian
Untuk 2x – 4 > 0 maka │2x - 4│=2x – 4
│2x - 4│=3 maka 2x – 4=3 dan 2x = 7 .............x=7/2
Untuk 2x – 4 < 0 maka │2x - 4│=4 – 2x
│2x - 4│=3 maka 4 – 2x = 3 dan 2x = 1 ............x=1/2

Jadi HP = 7 , 1 
 2 2 


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x + 5│≤ 6
penyelesaian

│2x + 5│≤ 6

 6  2x  5  6

 6  5  2x  6  5

11  2x  1

 11  x  1
22

HP   11  x  1
 2 
2 

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari │1 – 3x │>2
Penyelesaian
│1 – 3x │>2
1 – 3x < -2 atau 1 – 3x > 2
-3x <-2 -1 atau -3x > 2 – 1
-3x < -3 atau -3x > 1
x > 1 atau x < 1/3

jadi HP xIx1ataux 1
 3

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari │x - 2│<2│x - 2│-3
Penyelesaian
│x - 2│< 2│x - 2│-3
│x - 2│ - 2│x - 2│< -3
-│x - 2│< -3
x – 2 <-3 atau x – 2 >3
x < -1 atau x > 5
jadi HP(x l x, x < -1 atau x > 5)

Latihan

1.Tentukan nilai dari :
a.│3-4-5+6│
b.│-1 + 4 – 5 + 2│

2. Tentukan nilai dari :
a.│x - 3│ jika x > 3
b. │2x - 5│jika x <0

3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut
│2x - 3│=6
│3x - 1│=2
│x - 6│+│3 + 2x│=20

4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak berikut
│x - 3│< 2
│5x - 1│>3
│4 – 3x - 3│<2
│6 – 3x│> 2x – 3

SOAL UNTUK DIKERJAKAN BERKELOMPOK

Seorang yang terkena demam berdarah (DB) ,jumlah hemoglobin per milimeter darah
berkurang drastis karena dihancurkan oleh virus.Oleh karena itu,penderita demam
berdarah harus dirawat di rumah sakit untuk menaikkan dan mempertahankan jumlah
trombosit antara 150.000 mm3 sampai dengan 400.000 mm3.Dimisalkan rumah sakit
memutuskan untuk penderita yang sudah positif DB jumlah trombositnya harus dinaikkan
dan dipertahankan sebesar 175.000 mm3 dalam beberapa hari untuk mengnatisipasi
timbulnya virus yang lebih ganas.jika pengaruh psikologi karena perawatan terjadi
penyimpangan jumlah trombosit sebesar 10.000 mm3,tentukan interval perubahan
jumlah trombosit untuk mempertahankan kondisi normal

MODUL 3

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Kompetensi inti pengetahuan
3.3 Menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam menentukan

masalah kontekstual
Kompetensi inti keterampilan
4.3 Menyajikan penyelesaian masalah sistem persamaan linear dua variabel
Indikator
Siswa dapat menentukan nilai variabel pada sistem persamaan linear dua variabel

MATERI

Bentuk umum:

ax + by = m

cx + dy = n

penyelesaian ada 3 cara,yaitu

1. Cara eliminasi

2. Cara substitusi

3. Cara determinan (cara cramer)

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini

a. 2x3y2
2x y6

b. 4x2 y5
2 x y1

c. 4  9 1
 x  y 2
2 3
x y

penyelesaian
Soal a
Cara eliminasi
2x + 3y = 2 ................................(1)
2x – y = 6 - ..................................(2)

4y = -4
y = -1

y = -1 disubstitusikan ke persamaan (1) atau (2)
→(1)
2x + 3y = 2
2x + 3 (-1) = 2
2x – 3 = 2

2x = 2 + 3......................... 2x = 5.............x=5/2 atau

→ (2)

2x – y = 6

2x – (-1) = 6

2x + 1 = 6

2x = 6-1

2x = 5............................x=5/2

Jadi nilai HP (5/2,1)

Cara substitusi

2x + 3y = 2 ................................(1)

2x – y = 6 ..................................(2)

→ (2)

2x- y = 6

-y = 6 – 2x

Y = 2x – 6 ......................................(3)

Substitusikan (3) ke (1)

2x + 3y = 2

2x + 3(2x – 6)=2

2x + 6x – 18 = 2........8x = 20.................x=20/8..............x=5/2

x=5/2 disubstitusikan lagi ke (1) atau (2) atau (3)

→(1) →(2) →(3)
y = 2x – 6
2x + 3y = 2 2x – y = 6 y = 2(5/2) – 6
y=5–6
2(5/2) + 3y = 2 2(5/2) – y = 6 y = -1

5 + 3y = 2 5–y=6

3y = -3 -y = 1

y = -1 y = -1

HP (5/2,-1)

Cara determinan

ab
ax + by = m → menjadi koefisien c A
d

cx + dy = n

Deter min anA  det, A  A  a b  ad  bc
cd

a b ...................................................x  Dx
D
cd D

m ba m  Dy
Dx  ................................................y  .................. y
nd cn D

D=determinan koefisien x dan y

Dx=determinan koefisien mengganti x dengan nilai konstanta m dan n
Dy=determinan koefisien mengganti y dengan nilai konstanta m dan n
2x + 3y = 2
2x – y = 6

23
D   2(1)  3(2)  2  6  8

2 1

Dx  2 3  2(1)  3.6  2 18  20
6 1

Dy  22  2.6  2.2  12  4  8

26

x  Dx   20  5
D 8 2

y  Dy  8  1............................HP(5 / 2,1)
D 8

Soal b
4x + 2y = 5 x 1 4x + 2y = 5
2x + y = 1 x 2 x + 2y = 2 -

0=3
Berarti tidak ada penyelesaian HP = ᴓ
Soal c

4  8  1
xy
23 2
xy
misal
1  a, 1  b
xy

4a + 9b = -1 dikali 1
2a – 3b = 2 dikali 2

4a + 9b = -1
4a – 6b = 4 -

15b=-5

b = -5/15................b=-1/3

2a – 3b = 2

2a – 3 (-1/3) = 2.............2a + 1 = 2......................2a= 1.........................a= ½

Kembali ke misal

1/x = a dan a=1/2 1/y = b dan b = -1/3

Maka maka

1/x = ½ 1/y = -1/3

x= 2 y= -3

HP (2,-3)

2. Harga 6 CD RW “A” dan 4 CD RW “B” adalah Rp 41.000,00.Diketahui CD RW “B” lebih mahal
Rp 1.500,00 dari CD RW “A”.Tentukan biaya yang harus dibayarkan oleh Joko jika membeli 10
CD RW “A” dan 15 CD RW “B”
Jawab
Misalkan harga CD RW “A” adalah x dan harga CD RW “B” adalah y,maka diperoleh sistem
persamaan:

6 x4 y41.000..............................1
y  x 1.500......................................2

Jika persamaan 2 disubtitusikan ke persamaan 1 diperoleh
6x + 4y = 41.000
6x + 4 (x + 1.500)= 41.000
6x + 4x + 6000 = 41.000
10x = 41.000 – 6000
10x= 35.000.....................................x= 3.500
Substitusikan x= 3500 ke persamaan 2
Y=x +1500 .......y=3500 + 1500 = 5000
Harga 10 CD RW “A” dan 15 CD RW “B”
=(10.Rp3.500,00)+(15.Rp 5.000,00)= Rp 110.000,00
Jadi,Joko harus membayar sebesar Rp 110.000,00

LATIHAN

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dibawah ini dengan

menggunakan eliminasi

a. 2x y14
x3 y 0

b. 3x y5
x3 y5

c. 5x2 y2
3x y2

d. x y3
x2 y1

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dibawah ini dengan
menggunakan eliminasi

a. x3 y5
 x y 13

b. 2x y1
x5 y27

c. x2 y5
x3 y10

d. 3x y11
x y3

ASAH KEMAMPUAN DIRI

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

a. 3ab5
2ab5

 x 1 y7
b. 2
 1 x 1 y 0
2 3

2. Seorang pedagang beras mencampur dua jenis beras yang harganya Rp 6.500,00 dan Rp 7.000,00
tiap liter untuk dijual.Jumlah campuran beras sebanyak 350 liter.Setelah beras habis terjual
diperoleh pendapatan sebesar Rp 2.375.000,00.Berapa literkah masing – masing beras pada
campuran beras tersebut

3. Seorang pekerja bangunan membeli 2 kaleng cat dan 3 kuas seharga Rp 101.500,00 Esok harinya
pekerja itu membeli 1 kaleng cat dan 2 kuas seharga Rp 53.500,00.Harga 1 kaleng cat dan 1 kuas
adalah....

MODUL 4

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DARI PROGRAM LINEAR DUA VARIABEL
Kompetensi inti pengetahuan
3.4 Menentukan nilai maksimum dan minimum permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan
program linear dua variabel
Kompetensi inti keterampilan
4.4 Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel
Indikator
Siswa dapat menentukan nilai maksimum dan minimum dari permasalahn program linear

MATERI

Tentukan nilai maximum dan minimum dari z = 3x + 4y, dengan kondisi :

Untuk menentukan titik titik pada daerah penyelesaian yang kita dapatkan, kita dapat menggunakan
system eliminasi dan subtitusi dari pertidaksamaan yang ada yang diubah menjadi bentuk persamaan.
Titik A (pers. 1 dan 2)



Grafik untuk persamaan diatas adalah :

Bentuk segitiga ABC pada gambar di atas merupakan daerah maksimum yang didapatkan.

Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Titik pojok dari daerah
penyelesaian di atas adalah titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y, titik potong
garis x + y = 48 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240.
Titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y adalah titik (0, 60). Titik potong garis x+ y = 48
dengan sumbu-x adalah titik (48, 0). Sedangkan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y =
240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.

Diperoleh, titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24).
Langkah keempat. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

Langkah kelima. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Dari ketiga hasil tersebut, dapat
diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 60 truk jenis B dan
tidak menyewa truk jenis A.
Iklan

Perhatikan grafik dan daerah penyelesaian dari SPLDV berikut.

Tentukan nilai maksimum Z = 2x + 5y dari daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada gambar di

atas.

Jawaban:

Berdasarkan gambar di atas diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.

3x + 2y ≤ 24 . . . (1)

x + 2y ≤ 12 . . . (2)

x ≥ 0, y ≥ 0

Menentukan koordinat titik B (titik potong kedua grafik).

3x + 2y = 24

x + 2y = 12

----------- -

2x = 12

x =6

Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan (2).

x + 2y = 12 maka 6 + 2y = 12

2y = 6

y =3

Jadi, koordinat titik B(6, 3).

Uji titik pojok

Titik Pojok f(x, y) = 2x + 5y

A(0, 6) 2 · 0 + 5 · 6 = 30

B(6, 3) 2 · 6 + 5 · 3 = 27

C(8, 0) 2 · 8 + 5 · 0 = 16

Jadi, nilai maksimumnya adalah 30.
Contoh
Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif F = 3x + 4y dari daerah yang memenuhi sistem
pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0.

Jawaban:
Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat
digambarkan sepertidi bawah ini.

Selanjutnya, menentukan koordinat titik potong kedua garis pada grafik.
Misalkan titik potong kedua garis adalah titik B.
Dengan cara eliminasi y dari kedua persamaan garis diperoleh pengerjaan berikut.
4x + 3y = 36
3x + 3y = 30 __
--------------

x =6
Substitusikan x = 6 ke persamaan x + y = 10, sehingga 6 + y = 10, diperoleh y = 4.
Jadi, koordinat titik B(6, 4).
Untuk menentukan nillai maksimum dari fungsi objektif, kita gunakan Uji titik pojok terhadap fungsi
objektif f(x, y) = 3x + 4y

Titik Pojok F(x, y) = 3x + 4y

A(10, 0) 3 ·10 + 4 · 0 = 30
B(6, 4) 3 · 6 + 4 · 4 = 34
C(0, 9) 3 · 0 + 4 · 9 = 36 (maksimum)

Jadi, nilai maksimumnya adalah 36.
Menentukan atau Membuat Model Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV) dari Permasalahan Sehari-hari (Kontekstual)

Berikut ini akan kami berikan cara membuat model matematika (dalam bentuk SPLDV) dari
permasalahan sehari-hari. Dalam hal ini yang menjadi kunci dalam pemodelan adalah pemisalan
variabel-variabel dalam bentuk x dan y, kata-kata ketidaksamaan seperti " paling banyak", "tidak
lebih", "sekurang-kurangnya" atau paling sedikit. Kata-kata tersebut dapat disimbolkan dengan tanda
ketidaksamaan.
Contoh
Seorang pengusaha kue akan memproduksi kue donat dengan biaya Rp1.250,00 per buah dan kue
brownies dengan harga Rp1.500,00 per buah. Pengusaha roti tersebut mempunyai modal
Rp1.500.000,00 dan mampu memproduksi 1.150 kue setiap harinya. Jika x menyatakan banyak kue
donat dan y menyatakan banyak kue brownis, tentukan model matematika yang tepat dari
permasalahan di atas.
Jawaban:
Misalkan x = banyak kue dan y = banyak kue brownis
Menentukan model matematika
(i) Dilihat dari modal dan biaya produksi (maksimal Rp1.500.000,-)
1.250x + 1.500y ≤ 1.500.000

5x + 6y ≤ 6.000
(ii) Dilihat dari kemampuan produksi (banyak roti), minimal 1.250 roti maka x + y ≥ 1.150
(iii) x ≥ 0

(iv) y ≥ 0
Jadi, model sistem pertidaksamaannya adalah 5x + 6y ≤ 6.000, x + y ≥ 1.150, x ≥ 0, y ≥ 0.
Contoh
Sebuah rumah sakit memerlukan paling sedikit 15.000 unit kalori dan 12.000 unit protein setiap
harinya. Setiap 1 kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 300 unit protein. Sedangkan setiap
1 kg ikan segar mengandung 500 unit kalori dan 400 unit protein. Jika x menyatakan banyaknya
daging sapi (dalam kg) dan y menyatakan banyaknya ikan segar (dalam kg), Tentukan model
permasalahan di atas.
Jawaban:
Misalkan: x = banyak daging sapi (dalam kg)

y = banyak ikan segar (dalam kg)

Daging sapi (x) Unit Kalori Unit Protein
Ikan segar (y)
500x 300x
300y 400y

15.000 12.000

Model sistem pertidaksamaan linear
(i) Dilihat dari unit kalori yang dibituhkan

500x + 300y ≥ 15.000
5x + 3y ≥ 150

(ii) Dilihat dari unit protein yang dibuthkan
300x + 400y ≥ 12.000
3x + 4y ≥ 120

(iii) x ≥ 0
(iv) y ≥ 0
Jadi, model sistem pertidaksamaannya adalah 5x + 3y ≥ 150, 3x + 4y ≥ 120, x ≥ 0, y ≥ 0.
Menyelesaikan Permasalahan Sehari-hari (Kontekstual) Menggunakan Konsep Program
Linear
Pada Bagian terakhir pada materi program linear kali ini adalah menyelesaikan permasalahan yang
berkaitan dengan program linear. Penyelesaian masalah keseharian ini merupakan gabungan dari
beberapa materi yang sudah dijelaskan dari awal.
Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear (menentukan nilai optimum) yang
berkaitan keseharian.
1. Tentukan model matematika
2. Buat dalam bentuk grafik untuk melihat daerah penyelesaian
3. Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian
4. Tentukan nilai pojok-pojok tersebut
5. Tentukan nilai optimumnya (maksimum / minimum)
Lebih jelasnya perhatikan contoh permasalahan berikut.
Contoh
Pak Dahlan akan menambah dagangan helmnya. Dengan keterbatasan tempat, helm jenis A dan jenis
B tidak melebihi 50 helm. Harga pembelian helm jenis A Rp120.000,00 dan harga helm jenis B
Rp90.000,00. Dari penjualan helm-helm tersebut diperoleh keuntungan Rp30.000,00 untuk setiap
helm jenis A dan Rp25.000,00 untuk setiap helm jenis B. Jika model pedagang tersebut
Rp5.400.000,00, Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
Jawaban:

Misalkan: x = banyak helm jenis A

y = banyak helm jenis B

Model sistem pertidaksamaan

x + y ≤ 50 . . . (1)

120.000x + 90.000y ≤ 5.400.000

4x + 3y ≤ 180 . . . (2)

x≥0

y≥0

Fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 25.000y

Grafik sistem pertidaksamaan

Menentukan titik potong B.

x + y = 50 × 4 4x + 4y = 200

4x + 3y = 180 × 1 4x + 3y = 180

---------------------- -

y = 20

Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (1)

x + 20 = 50 atau x = 50 – 20...........................x=30

Diperoleh titik B(30, 20)

Uji titik pojok

f(x, y) = 30.000x + 25.000y

(0, 50) 30.000 × 0 + 25.000 × 50 = 1.250.000

(30, 20) 30.000 × 30 + 25.000 × 20 = 1.400.000

(45, 0) 30.000 × 45 + 25.000 × 0 = 1.350.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Pak Dahlan sebesar Rp1.400.000,00.

LATIHAN SOAL

1. Nilai maksimum fungsi objektif z=3x+2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x+y≤9,
x+2y≤12, x≥0,dan y≥0 adalah....

2. Nilai minimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 5x - 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x
+ 2y ≥ 8, x - y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah

3. Sebuah kawat yang panjangnya 6060 cm dibuat kerangka bangun datar yang terdiri dari
empat buah persegi panjang yang identik seperti gambar di bawah ini, tentukan ukuran
panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, serta tentukan luas maksimumnya !

SOAL TANTANGAN

Jumlah dua bilangan sama dengan 100. Hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut adalah...
Keliling persegi panjang = 60 cm. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah...

MODUL 5

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Kompetensi inti pengetahuan
3.5 Menganalisis barisan dan deret aritmetika
Kompetensi inti keterampilan
4.5 Menyelesaikan masalahkontekstual yang berkaitan dengan dengan barisan dan deret aritmetika
Indikator
Siswa dapat menganalisa barisan dan deret aritmetika

MATERI
Bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu:
U1,U2,U3, … ,Un-1 atau a, a+b, a+2b, … , a+(n-1)b
Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan
Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama, maka
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku ke-90?
Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku tersebut.
U7 = a + 6b
U26 = a + 25b
U90 = a + 89b
Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan
rumus :
Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli
DERET ARITMATIKA
Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika
secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai
contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?
7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65
Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita
akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual
seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan

kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama
dari contoh diatas.
Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga

Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan

bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5,

dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini,

jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

Sn = (a + Un) × n : 2

Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga rumus di atas menjadi

Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2

SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA

Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang

berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh

Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……

Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……

Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus

berikut :

b1 = b/(k+1)

b1 = beda deret baru

b = beda deret mula-mula

k = banyak bilangan yang disisipkan

contoh

1. Tentukan suku pertama,beda,rumus suku ke n,dan suku ke-10 dari barisan berikut

a.5,10,15,20,... b. 2,-1,-4,-7,...

penyelesaian

a. Suku pertama (U1)=a=5

Beda (b)=U2-U1=U3-U2=5

Rumus suku ke-n (Un)=a+(n-1)b = 5 + (n-1)5 = 5 + 5n – 5 = 5n

b. Suku pertama (U1)=a=2

Beda (b) = U2-U1 = U3 – U2 = -3

Rumus suku ke n (Un)= a + (n-1)b=2 + (n-1)b = 2 + (n-1) (-3)=2 – 3n + 3 = -3n + 5

Suku ke-10 (U10) = -3 (10) + 5 = -25

2. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang.Pada tahun – tahun
berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun.Pada tahunke barapa
perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang
Penyelesaian
Penurunan produksi bernilai tetap,berarti merupakan persoalan barisan aritmetika dengan
beda (b) = -80,a=5000,Un=3000,sehingga
Un= a + (n-1) b
3000 = 5000 + (n-1) b
3000 = 5000 + (n-1) (-80)
3000 = 5000 -80n + 80
80n = 2000 + 80
80n = 2080......................n= 2080/80=26

3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah -2 dan suku ke-6 adalah 10.Suku ke-15
adalah...
Penyelesaian
Suku ke-4 (U4)=17........a+ (4-1)b=17
a + 3b = 17.............................1
suku ke-9 (U9) = 37...... a + (9-1)b = 37
a + 8b = 37............................2
Eliminasi persamaan 1 dan 2 menjadi
a + 3b = 17
a + 8b = 37 -
-5b= -20...........................b=-20/-5=4................b=4
Substitusi b= 4 ke persamaan 1 menjadi :
a + 3(4) = 17............a + 12 = 17........................a= 17-12=5................a=5
Un=a + (n-1) b=5+ (n-1) 4= 5 + 4n -4 = 4n +1
U41 = 4 (41) + 1 = 165
Jadi,suku ke-41 adalah 165

4. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 11 + 16 + 21 + ....
Penyelesaian
a= U1= 11 dan b = 16 – 11 =21 -16 =5, n= 10
Sn= ½n( 2a + (n-1) b)= ½ (10) (2(11)+ (10 – 1 )5) = 5 (22 +45) = 335

5. Diketahui deret aritmetika : 2 + 5 + 8 + 11 + ...
Tentukan

Rumus suku ke-n (Un), Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Jumlah 20 suku pertama (S20)
Penyelesaian

a = U1 = 2
b=5–2=8–5=3

Un=a + (n-1) b = 2 + ( n-1) 3 = 3n – 1
Sn= 1/2n(a + Un)= 1/2n (2 + (3n – 1))= 1/2n (1 + 3n) = n/2 + 3n2/2
S20 = 20/2 + 3(20)2/2 = 10 + 600 = 610

ASAH KEMAMPUAN DIRI

1. Suku kesepuluh dan ketiga suatu barisan aritmetika berturut – turut adalah 2 dan
23.tentukan suku kelima barisan tersebut!

2. Tulislah rumus suku ke n dari barisan berikut,kemudian tentukan suku ke-6 dan ke -15
a.4,8,12,...
b.-5,0,5,10,...
c.15,12,9,...

3. Tentukan banyaknya suku untuk setiap barisan berikut
a. 135,130,125,...,35
b. 3,1,-1,...,-61

4. Tentukan suku ke-5 deret aritmetika yang rumus jumlah n suku pertamanya adalah
Sn = 2n2 – n

5. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp50.000,00.Jika gaji pertama
karyawan tersebut adalah Rp 1.000.000,00,tentukan jumlah gaji selama satu tahun pertama
SOAL – SOAL

1. Keuntungan yang diperoleh Pak Karta semakin bertambah setiap bulannya dengan jumlah
yang sama.Apabila keuntungan sampai bulan ke-3 adalah Rp 480.000,00 dan keuntungan
sampai bulan ke-12 adalah Rp 2.568.000,00,tentukan keuntungan yang diperoleh sampai
tahun ke-3

2. Perhatikan katrol bertingkat seperti pada gambar di samping.Diameter masing – masing katrol
membentuk barisan aritmetika d1,d2,d3,d4 jika diketahui d2 = 185 mm dan d4 = 225 mm,
tentukan nilai d1 dan d3

MODUL 6

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Kompetensi inti pengetahuan
3.6 Menganalisis barisan dan deret geometri
Kompetensi inti keterampilan
4.6 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri
Indikator
Siswa dapat menganalisis barisan dan deret geometri

MATERI

Perhatikan contoh barisan bilangan di bawah ini

2,7,12,17,22,...

2,4,8,16,32,...

Pada bagian a terlihat bahwa suku – suku barisan berubah secara tetap karena operasi

penjumlahan,yaitu ditambahkan dengan 5 untuk tiap suku berikutnya.barisan ini disebut barisan

aritmetika.

Pada bagian b terlihat bahwa tiap suku barisan berubah secara tetap karena operasi perkalian,yaitu

dikalikan dengan 2 untuk tiap suku berikutnya.Barisan ini disebut barisan geometri.jadi barisan

geometri adalah suatu barisan bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu

bilangan yang besarnya tetap (r=rasio) Apabila diketahui barisan bilangan :

U1 , U2, U3, U4,....Un

Nilai r diperoleh dari:

r  U 2  U 3  U 4  ....  U n
U1 U2 U3 U n1

Dimana r adalah bilangan yang selalu konstan

U1  a  ar 0  ar11
U 2  U1r  ar1  ar 21
U 3  U 2r  ar 2  ar 31
 U n  ar n1

Dengan

Un= suku ke – n

a : U1 = suku pertama

r =rasio antara dua suku yang berurutan

n = banyak suku

contoh
1.Diketahui barisan geometrib: 2,4,8,16,....

Tentukan suku pertama,rasio,rumus suku ke n dan suku ke -7.
Penyelesaian
Suku pertama (U1) = a = 2
Rasio (r) = 2
Rumus suku ke n:

U n  ar n1  2.2n1  21n1  2n
suku ke7  U 7  27  128

2. Pada tahun 2017 jumlah penduduk suatu kota adalah 500.000 orang.jika setiap tahun karena faktor
urbanisasi dan kelahiran penduduk bertambah 2%,tentukan jumlah penduduk pada tahun 2020.
Penyelesaian
Suku pertama adalah tahun 2017 = 500.000 orang
Suku kedua adalah tahun 2018 = 500.000(1 + 0,02)1
Suku ketiga adalah tahun 2019 = 500.000( 1 + 0,02)2
Maka tahun 2020 merupakan suku ke empat rumusnya U4 = ar4-1= ar3= 500.000 (1,02)3
= 500.000 (1,02 x 1,02 x 1,02 ) = 500.000 (1,061) = 530.500
Jadi jumlah penduduk pada tahun 2020 adalah 530.500 orang
DERET GEOMETRI

Bentuk Umum
Sn= a + ar + ar2 + ar3 + .....+ arn-1

jika r1, maka S n a(1  r n )
1 r

jika r1, maka Sn  a(1  r n )
r 1

Di mana Sn adalah jumlah n suku pertama

Contoh 1

Tentukan rasio,suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini

a. 3 + 6 + 12 + 24 + ... b. 2 + 1 + ½ + ¼ + ...

Penyelesaian

3 + 6 + 12 + 24 + ...

a  U1  3

r  U 2  U 3  2, r1
U1 U2

U n  ar n1  U10  ar 9  3.29  3.512  1.536

Sn  a(r n 1)  3.(210  1)  3.(1.024 1)  3.069
r 1 2 1

2 + 1 + ½ + ¼ + ...

a  U1  2

r  U 2  U 3  1 , r1
U1 U2 2

Un  ar n1  U10  ar 9  2. 1 9  2. 1  2  1
2 512 512 256

Sn  a(1  r n )  2(1   1 10  2.(1  1 )  4.1023  3996
1 r 2 1024 1024
1
1 1
22

Contoh 2
Suatu deret geometri dinyatakan sebagai berikut: 2 + 22 + 23 + 24 +.....2n = 510.carilah nilai n

Penyelesaian

a=2

r =2

Sn  a(r n 1)
r 1

Sn= 510.maka 510  2(2n 1)  510  2 n1  2  510  2 n1
2 1

29  2n1  9  n  1  n  8, jadi  n  8

Latihan
1.Diketahui deret geometri 4 + 2 + 1 + ½+....Tentukan

a.rasio
b.suku ke-12
c. hitung jumlah 12 suku pertamanya
2. Diketahui barisan geometri U3=3 dan U5=27,tentukan rumus suku ke n barisan tersebut,kemudian
hitung jumlah 5 suku pertamanya.
3. Tentukan banyaknya suku untuk setiap barisan geometri berikut
a. 5, 10, 20,....,1280
b. -128,64,-32,....1/16
4. Diketahui sebuah barisan geometri dengan S2 = 15 dan S4=75.tentukan rumus suku ke-n kemudian
hitung jumlah 10 suku pertamanya

STUDI KASUS
MAGAZINE DESIGNER
Dalam majalah,profesi ini biasanya hanya disebut graphic designer atau
staf arsitik.namun profesi ini sebetulnya mempunyai tingkatan:
layauter,designer,dan art director.di beberapa perusahaan profesi ini
dirangkap oleh satu orang.Dia merancang konsep arsitik halaman demi
halaman.dia juga yang mengeksekusinya,dia juga sebagai layauter,penata
letak,bahkan ilustrator.tentunya profesi ini tidak akan lepas dari sebuah
fotografi dalam menentukan konsep fotografi yang akan digunakan pada
suatu majalah,diadakan diskusi terlebih dahulu.diperlukan conto layout
maupun foto – foto yang akan digunakan.Ada kemungkinan seorang
designer mengubah ukuran foto menjadi lebih kecil.Jika panjang sebuah
foto yang dipakai oleh designer adalah 10 inci dan foto ini dapat diperkecil
hingga 64% dari ukuran aslinya,dapatkah kamu menentukan panjang foto
setelah dilakukan 5 kali reduksi 64% Diskusikan hal ini bersama temanmu!

MODUL 7

PERTUMBUHAN,PELURUHAN,BUNGA DAN ANUITAS

Kompetensi inti pengetahuan
3.7 Menganalisis pertumbuhan,peluruhan,bunga dan anuitas
Kompetensi inti keterampilan
4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan pertumbuhan,peluruhan,bunga dan

anuitas
Indikator
Siswa dapat mendeskripsikan konsep barisan dan deret pada konteks dunia nyata seperti
bunga,pertumbuhan dan peluruhan

Pertumbuhan Dan Peluruhan

Pertumbuhan
Grafik

Y=k.ax

(0,k)

Apabila sesuatu berkembang menurut grafik semacam itu maka sesuatu itu disebut tumbuh secara
eksponensial.berarti ada pertumbuhan secara eksponensial pada sesuatu itu.apabila a=1+p dan p
positif yang berarti f(x)=k(1+p)x maka biasanya p disebut laju pertumbuhan
Peluruhan
Grafik
y=k.ax (k>0;a,a,1)

Apabila sesuatu berkembang menurut grafik semua itu maka sesuatu itu disebut menyusut atau
meluruh secara eksponensial.Berati ada peluruhan secara eksponensial pada sesuatu itu.Apabila p
positif dan a=1-p maka pada penyusutan f(x)=k(-p)x.biasanya p disebut laju penyusutan.contoh
pertumbuhan modal,pertumbuhan penduduk,pertumbuhan radioaktifitas.
Contoh
Kadar radio aktif suatu zat meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 25% setiap
jam.tinggal berapa %kah kadar radioaktif zat tersebut setelah 4 jam?
Jawab
Misal kadar radioaktif zat tersebut mula –mula Po dan andaikata setelah n jam menjadi Pn maka:
Pn=Po(1-0,25)n
Setelah 4 jam diperileh P4 dan
P4=Po(1-0,25)4=Po(0,75)4=Po(0,31640625)=0,31640625Po
Jadi setelah 4 jam kadar radioaktif zat tersebut tinggal 31,64%

BUNGA DAN ANUITAS
Jika seseorang meminjamkan modalnya untuk digunakan berusaha selama jangka waktu tertentu dan
bila jangka waktu tersebut berakhir,maka si peminjam harus mengembalikan modal ditambah biaya
lainnya.Biaya inilah yang biasa kita sebut sebagai bunga atau interes.jadi,bagi si peminjam jumlah
uang yang harus dikembalikan adalah modal + bunga.Bunga yang diperhitungkan dari suatu modal

yang tetap jumlahnya ini disebut bunga tunggal atau straight.Rumus b= b x100%
Mo

Keterangan
b =besar suku bunga
p =bunga
Mo=modal
Contoh
Seseorang meminjam uang di bank sebesar Rp 2.000.000,- dan dalam jangka waktu 1 bulan harus
dikembalikan sebesar Rp 2.040.000,- berarti orang itu harus membayar jasa pada bank sebesar Rp

40.000,-.Besarnya persentase bunga terhadap besarnya modal adalah 40.000 x100%  2% .jika
2.000.000

besarnya suku bunga p% maka besar pengembalian adalah: M= Mo  p Mo  1  p  Mo
100 100 

Keterangan
M =besarnya pengembalian
Mo=besarnya modal/pinjaman
P%=besarnya suku bunga
Contoh
Pak Yamin meminjam uang di bank sebesar Rp 500.000,- dengan suku bunga 2,5% dan harus
dikembalikan dalam jangka waktu 1 bulan.berapa besarnya bunga dan uang yang harus dikembalikan

Jawab
Besarnya pinjaman Mo=Rp 500.000,-
Suku bunga p=2,5%

Besarnya bunga b= 2,5 x500.000  12.500,
100

Besarnya pengembalian M=Mo + b
Besarnya pengembalian M=500.000 + 12.500=Rp 512.500,-

Bunga Majemuk
Adalah bunga atau uang yang dibayarkan berdasarkan modal dan akumulasi bunga periode-periode

sebelumnya .rumus bunga majemuk M n  M (1 i)n

Keterangan
M=Modal Permulaan

M n =nilai akhir/besar modal terakhir

i=p%=p/100=persentase bunga

(1+i)n=faktor bunga,besarnya harga,dinotasikan sebagai Sp

Contoh

Suatu modal M dipinjamkan selama 2 tahun dengan bunga majemuk 15% setahun dan

penggabungan bungabya per triwulan tentukan

a. masa bunga

b.frekuensi penggabungan

c.besarnya suku bunga tiap masa bunga

d.banyaknya masa bunga

jawab

a. masa bunga=3 bulan (1 tri wulan 3 bulan)

b.frekuensi penggabungan=12/3=4

c.besarnya suku bunga tiap masa bunga adalah i=0,15/4=3,75%

d.banyaknya masa bunga=2x4=8

KASUS 1 (PERTUMBUHAN)

Seorang siswa sedang meneliti sebuah kecambah yang ia tanam untuk tugas sekolahnya.Setiap hari ia

mencatat perubahan tinggi tanaman dan kemunculan daun pada tanaman tersebut yang dapat dilihat

dari tabel berikut.

Hari Tinggi Tanaman (cm) Banyak Daun

1 2,5 1

24 2
3 5,5 2
47 3
5 8,5 4

Pada hari ke-12 siswa tersebut lupa mencatat perubahan tinggi tanaman tersebut.Dengan melihat

pola pertumbuhan tanaman tersebut,tentukan tinggi tanaman pada hari ke-12.

Jawab

Diketahui bahwa pertambahan tinggi tanaman setiap harinya selalu tetap sebesar b= 4-2,5= 1,5 cm

Oleh karena itu,digunakan konsep barisan aritmetika dalam menyelesaikan kasus ini.

Un= a + (n-1) b

U12= 2,5 + (12 _ 1) (1,5)=2,5 + 11 (1,5) = 2,5 + 16,5 = 19

Jadi tinggi tanaman pada hari ke-12 adalah 19 cm

KASUS 2 (PERTUMBUHAN)

Bakteri membelah menjadi 2 bagian setiap 2 jam sekali.Jika pada pukul 07.00 banyak bakteri 350

ekor.tentukan banyak bakteri pada pukul 17.00 untuk hari yang sama.

Jawab

Karena pada kasus tersebut membelah menjadi 2 bagian maka kasus ini,merupakan kasus barisan

geometri

Berdasarkan soal diatas,diketahui

Suku pertama (U1)=a=350.rasio (r)= 2,dan banyak suku (n) = 07.00 – 17.00 (setiap 2 jam sekali)=6
Un= arn-1 = U6= 350 (2)6-1= 350 25 = 350.32 = 11.200

Jadi,banyak bakteri pada pukul 17.00 untuk hari yang sama adalah 11.200 ekor

KASUS 3 ( PELURUHAN)

Suatu zat radiaktif memiliki waktu paro 5 tahun (waktu paro adalah waktu yang digunakan zat

radioaktif untuk meluruh menjadi setengahnya).Sebanyak 25 gr zat radioaktif disimpan pada suatu

tempat hingga berlangsung peluruhan. Tentukan

Rumus yang menyatakan hubungan sisa zat radioaktif dengan lamanya penyimpan

Sisa zat radioaktif tersebut setelah disimpan selama 50 tahun

Jawab

Misalkan Yo adalah jumlah zat radioaktif mula – mula dan Y1 sisa jumlah zat radioaktif setelah t

tahun meluruh.Dari soal diperoleh:

Sisa zat radioaktif setelah 5 tahun : Y1 =  1  yo   1 t yo 5
 2  2
  1  2 yo
2

 1 Y1  1  1 Yo  1  2 10
 2   2  2  2 
Sisa zat radioaktif setelah 10 tahun : Y2 =   Yo   1  2 yo
2

Demikian seterusnya.

Berdasrakan pola diatas diperoleh rumus untuk sisa zat radioaktif setelah t tahun adalah

t

yt   1  5 y0
2

Sisa zat radioaktif tersebut setelah disimpan selama 50 tahun adalah:

y50 50 y0  1 25 yo
2
  1  5
2

Banyak zat radioaktif mula – mula adalah 25 gr.sisa zat .sisa zat radioaktif tersebut menjadi:

y50   1 10 y0  1 10.25  25  0,024gram
2 2 1024

KASUS 4 (BUNGA)

Tutik meminjam uang sebesar Rp 5.000.000,00 akan dicicil setiap akhir bulan sebesar Rp

500.000,00.Dengan demikian,Tutik akan mencicil selama 10 bulan (Rp 5.000.000,00) dengan besar

masing – masing bunga yang ditanggung tiap bulannya adalah sebagai berikut.

Bulan ke-1:bunga=2% x Rp 5.000.000,00 = Rp 100.000,00

Bulan ke-2: bunga=2% x Rp 4.500.000,00 = Rp 90.000,00

Bulan ke-3: bunga = 2% x Rp 4.000.000,00= Rp 80.000,00; dan seterusnya

Jika dilihat dari pola bunga yang ditanggung oleh Tutik tiap bulannya,besar bunga tersebut

membentuk deret aritmetika dengan beda setiap suku b= -10.000,suku pertama (U1) =a=

100.000,00 dan n=10,jumlah total bunga:

Sn  n (2a  (n 1)b)  10 (2(100.000)  (10 1)(10.000)
2 2

S10  5(200.000  9(100.000)  5(200.000  90.000)  5(110.000)  550.000

Jadi total bunga yang harus dibayarkan Tutik adalah Rp 550.000,00
KASUS 5 (BUNGA TUNGGAL)
Pada awal tahun 2014,Dika meminjam uang sebesar Rp 10.000.000,00 di bank dengan suku bunga
tunggal sebesar 1,25% per bulan.tentukan besar bunga yang harus dibayarkan oleh Dika stelah 1,5
tahun.
Jawab
Dika meminjam uang sebesar Rp 10.000.000,00 dengan suku bunga tunggal sebesar 1,25% per
bulan.Besar bunga yang ditanggung tiap bulannya adalah sebagai berikut
Bulan ke-1:bunga= 1. 1,25% x 10.000.000=Rp 125.000,00
Bulan ke-2:bunga= 2.1,25% x 10.000.000=Rp 250.000,00
Bulan ke-3:bunga= 3.2,12% x 10.000.000=Rp 375.000,00 ;dan seterusnya

Jika dilihat dari pola bunga yang ditanggung oleh Dika tiap bulan,besar bunga tersebut membentuk

barisan aritmetika dengan beda tiap suku b = 125.000 dan suku pertama (U1)=a= 125.000.Besar

bunga yang dibayarkan setelah 1,5 tahun adalah:

Un= a + (n-1)b

U18= 125.000 +(18 -1)(125.000)..........1tahun=12 bulan.maka 1,5 tahun=18 bulan

= 125.000 + 17.(125.000)=125.000 + 2.125.000=2.250.000

Jadi besar bunga yang harus dibayarkan oleh Dika setelah 1,5 tahun adalah Rp 2.250.000,00

KASUS 6 (BUNGA MAJEMUK)

Setiap awal bulan,Wening menabung disebuah bank sebesar Rp 500.000,00.Jika bank tersebut

memberikan bunga 2 % per bulan dengan asumsi tidak ada biaya proses penabunga,tentukan jumlah

tabungan Wening setelah menabung di bank tersebut selama setahun.

Jawab

Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut,terlebih dahulu dicari rumus nilai (modal) akhir dengan

menggunakan suku bunga majemuk,yaitu sebagai berikut.Suatu modal awal M dengan bunga p% per

bulan,mka

Setelah 1 bulan,modal menjadi: M1= M + bunga = M + M.p= M (1 + p)
Setelah 2 bulan, modal menjadi : M2= M + bunga = M(1 + P) + M (1 + p)p=M(1+p)2

Setalh 3 bulan ,modal menjadi: M3= M + bunga)= M (1 + P)2 + M(1 + p)2p= M(1 + p)3

Berdasarkan pola tersebut,pada n bulan modal akan menjadi: Mn=M(1+p)n

Setelah menabung selama 1 tahun ,jumlah tabungan Wening pada:

Bulan ke-1 = 500.000(1 + 0,02) = 500.000(1,02)

Bulan ke-2 = 500.000(1,02)2

Bulan ke-3 = 500.000(1,02)3,dan seterusnya,sehingga menjadi deret geometri

500.000(1,02) + 500.000(1,02)2 + 500.000 (1,02)3..................................+ 500.000 (1,02)12=Sn

Dari deret geometri tersebut,diketahui: suku pertama=a= 500.000(1,02),rasio(r)=1,02 dan banyak

suku (n) = 12

Jumlah semua sukunya adalah

Sn  a(r n 1)  S12  500.000(1,02)(1,02)12  1)  510.000(0,268)  Rp6.834.000,00
r 1 1,02 1 0,02

Jadi,jumlah tabungan Wening setelah menabung di bank tersebut selama setahun adalah
Rp 6.834.000,00

LATIHAN
1. Sebuah tali dipotong menjadi 8 bagian dengan panjang setiap potongan tali membentuk deret

geometri.Jika potongan tali terpendek dan terpanjang berturut-turut adalah 8 cm dan 174,96
m,tentukan panjang tali sebelum dipotong
2. Rudi menabung sebesar Rp 12.250.000,00 pada sebuah koperasi dengan dikenai suku bunga
tunggal.Setelah 6, tahun menabung,uang tabungannya menjadi Rp 17.027.500,00.tentukan
suku bunga pertahun yang dikenakan terhadap Rudi.
3. Suatu zat radioaktif memiliki waktu paro 10 bulan.Sebanyak 320 gram zat radioaktif tersimpan
di suatu tempat hingga berlangsung peluruhan.Tentukan Rumus umum sisa radioaktif
terhadap waktu penyimpanan Sisa zat radioaktif tersebut setelah disimpan selama 5 tahun
4. Bakteri membelah menjadi 2 bagian selama 45 menit sekali,Jika pada pukul 17.15 banyak
bakteri adalah 625 ekor,tentukan banyak bakteri pada pukul 19.30

TUGAS
Tentukan tiga masalah di kehidupan sehari –hari yang berkaitan dengan konsep barisan
dan deret,seperti bunga,pertumbuhan dan peluruhan.Kumpulkan hasilnya kepada
gurumu dan presentasikan di depan kelas.

MODUL 8

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

Kompetensi inti pengetahuan
3.8 Menentukan perbandingan trigonometri pada segitiga siku – siku
Kompetensi inti keterampilan
4.8 Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri pada segitiga

siku - siku
Indikator
Siswa dapat mendeskripsikan konsep perbandingan trigonomerti pada segitiga siku – siku melalui
penyelidikan dan diskusi tentang hubungan perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian dalam beberapa
segitiga siku – siku sebangun

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DALAM SEGITIGA SIKU – SIKU

Gambar di atas adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan
sudut adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah
c. Terhadap sudut α:
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut α
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut α
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut α
sebagai berikut:

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

Contoh

Tentukan nilai – nilai perbandingan trigonometri berikut

B

5 3



A C

Sin  e. cot 
tan  f. cos 

cos  g. sec 

cosec  h. sin 

penyelesaian

a.sin  BC  3 25  9  16  4, jadi  tan  3
AB 5 4

b.tan  BC  AC  52  32 
AC

c.cos  AC  4
AB 5

d.cos ec  1  AB  5
sin BC 3

e.cot  1  AC  4
tan BC 3

f .cos   BC  3
AB 5

g.sec   1  AB  5
cos  BC 3

h.sin   AC  4
AB 5

contoh
Tentukan nilai – nilai perbandingan trigonometri berikut

300 450
2x
x2 x
x3

600 450

Sin 300 c.tan 300 e. Cos 450 x i.tan 600
Cos 300 d. Sin 450 f. tan 450 g. cos 600
h. sin 600

Penyelesaian

a.sin 300  x  1
2x 2

b.cos 300  x 3  3  1 3
2x 2 2

c.tan 300  x  1 3
x3 3

d.sin 450  x  1 2
x2 2 2

e.cos 450  x  1
x2 2

f .tan 450  x  1
x

g.cos 600  x  1
2x 2

h.sin 600  x 3  1 3
2x 2

i.tan 600  x 3  3
x

LATIHAN MANDIRI

1. Tentukan nilai dari sin a,cos a,tan a,cosec a,sec a dan cot a dari sudut yang diketahui pada
gambar segitiga dibawah ini
C

7 cm

a
AB

24 cm
Pada segitiga siku – siku ABC diketahui tan a= 0,75,tentukan :
a.Sin a
b.Cos a
c.Sec a
d.Cot a
e.Cosec a