modul kelas X

MODUL 9

PERBANDINGAN SUDUT – SUDUT BERELASI DI BERBAGAI KUADRAN

Kompetensi inti Pengetahuan
3.9 Menentukan nilai sudut berelasi diberbagai kuadran
Kompetensi inti Keterampilan
4.10 Menyajikan penyelesaian masalah nilai sudut berelasi diberbagai kuadran
Indikator
Siswa dapat menentukan nilai sudut berelasi diberbagai kuadran

Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah Untuk mencari nilai

perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 1 1
1 1 0
0 tak terdefinisi
tak terdefinisi 0

C. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar
terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai dengan 90°.

Perlu diketahui bahwa dan r > 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis

(x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

Dengan memutar garis OP maka ∠XOP=α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau
kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α), dan -α°.
Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu
untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α°dengan (180° - α). Contoh:
penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°
Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (90° - α)

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:
a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

sin  y
x

cos  x
r

tan  y
x

sin  x
r

cos  y
r

tan  x
y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α)
dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α)

Titik adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y,
sehingga ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α

maka diperoleh hubungan:

sin(180   )  y  sin
r

cos(180   )   x   cos
r

tan(180   )   y   tan
r

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan dari gambar titik

adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = -x sehingga

Maka dipeoleh hubungan:

sin(180   )   y   sin
r

cos(180   )   x   cos
r

tan(180   )  y  tan
x

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (-α)

Diketahui titik adalah bayangan P (x,y) akibat pencerminan terhadap garis x,
sehingga

Maka dipeoleh hubungan

Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin (360°
− α) = − sin α. Dengan memperhatikan nilai perbandingan sudut yang berelasi, dapat disimpulkan
bahwa nilai perbandingan sudut, nilai positif atau negatifnya terletak pada kuadran di mana sudut
itu berada.

UJI KOMPETENSI

1. Tentukan nilai berikut

a. Sin 150 0 d. Cosec 450 g. tan 3300

b. Cos 3300 e. sin 5/2 π h. cos 5/4 π

c. Cot 1200 f. cos (-450)

2. Hitunglah nilai berikut

a. Sin 1200 + cos 2100 – tan 2250
b. Sin 600.cos 3300 + tan 2250
c. (cos 3000 – sin 2100) x ( cos 3000 + sin 2100)

3. Diketahui cos   12 ,1800    2700 ,tentukan cosec α dan tan α
13,

TUGAS

PUNCAK SUATU GEDUNG TERLIHAT OLEH IHSAN DENGAN SUDUT ELEVASI 600 DAN
BAMBANG DENGAN SUDUT ELEVASI 150 .TINGGI IHSAN DAN BAMBANG SAMA,YAITU 164
CM DANN JARAK KEDUANYA 20 M.HITUNGLAH JARAK IKHSAN KE GEDUNG DAN JARAK
BAMBANG KE TINGGI GEDUNG

MODUL 10

KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Kompetensi Inti Pengetahuan
3.10 Menentukan koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dan sebaliknya
Kompetensi Inti Keterampilan
4.10 Menyajikan penyelesaian masalah perubahan koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dan

sebaliknya
Indikator
Siswa dapat menentukan koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dan sebaliknya

MATERI
Sebelum melakukan konversi dari koordinat kartesius ke koordinat kutub (polar) atau sebaliknya,
terlebih dahulu kita bahas mengenai koordinat kartesius dan koordinat kutub itu sendiri.
Secara singkat koordinat kartesius adalah suatu titik yang digambar pada sumbu x dan sumbu y,
terdiri dari absis (nilai x) dan ordinat (nilai y), ditulis P(x,y). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar
berikut.

Koordinat kutub adalah koordinat yang digambar pada sumbu x dan y, terdiri dari nilai r (r
= ) dan sudut θ., yaitu sudut yang dibentuk oleh garis OP dan OX , ditulis P(r, θ)
Perhatikan gambar di bawah ini:

Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub diperlihatkan oleh gambar berikut ini.

Dari gambar di atas diperoleh hubungan jika pada koordinat kartesius titik P (x,y) diketahui maka
koordinat kutub P (r,θ) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
Dengan demikian, apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan menjadi koodinat kutub dapat
dinyatakan dengan:

Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat kartesius titik P (x, y) dapat ditentukan
dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Dengan demikian, apabila koordinat kartesius P (r, θ) dinyatakan menjadi koodinat kutub dapat
dinyatakan dengan:

Contoh
1. Ubahlah koordinat titik – titik berikut menjadi koordinat kutub
a. P(6,8)

P(6,8)  P(r, ).........r  62  82  10
tan  8  1,33    53,130 , jadi, P(10;53,130 )

6
b. R(2 3,2)
R  (2 3,2)  R(r, )  r  (2 3)2  (2)2  4
tan   2   1 3  (dikuadranIII )    1500 , jadi, R(4;1500 )

23 3

2. Ubahlah koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius
a. P(5,2400)

P(5,2400) berarti r=5,  = 2400 .................P(x,y)
X= r cos  =5 cos 240 = 5 (-cos 600) = 5 (-1/2) = - 2,5=-2/5
Y= r sin  = 5 sin 240 = 5 (-sin 60) = 5 (- 1 3   5 3

22
Jadi koordinat cartesiusnya adalah P   5 , 5 3 

2 2 

c. Q(10,1500)

Q(10,150) berarti r =10,  =1500 .....Q(x,y)
X= r cos 1500 = 10 (- 1 3)  5 3

2
Y= r sin  = 10 sin 150 0 = 10 (0,5) = 5
Jadi koordinat kartesiusnya adalah Q(-  5 3,5)

d. R(20,3000)

X= r cos  = 20 cos 300 = 20 (0,5) = 10

 Y= y sin  = 20 sin 300 = 20.   1 3   10 3  R 10,10 3
2 

LATIHAN

1. Ubah koordinat kartesius menjadi koordinat kutub

a. A(1,1) d.D( 1 , 1 3 )
22

b. B(0,1) e. E(0,0)

c. C(5,-5) f. F(1, 3 )

2. Ubah koordinat kutub menjadi koordinat kartesius

a. P(2,450) d. A( 12,1500) g. G(-18,300)
h. H ( 8, 600)
b. Q(6,900) e. B (20,3000) i. I ( 32, 300)

c. R( 30,1500) f. F( 9,2350)

TUGAS
Carilah permasalah tentang koordinat kartesius dan koordinat kutub masing – masing 3 soal kemudian
presentasikan hasilnya didepan teman – teman kamu!

Modul 11

GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Kompetensi Inti Pengetahuan
3.11 Menerapkan nilai perbandingan trigonometri pada grafik fungsi trigonometri
Kompetensi Inti Keterampilan
4.11 Menyajikan grafik fungsi trigonometri
Indikator
Siswa dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri pada grafik fungsi kuadrat

MATERI
Grafik Fungsi Trigonometri
Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan cosinus

Jadi,

Jadi, -1 ≤ cos α° ≤ 1 untuk tiap α ∈ R
tan α° tidak mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum
Menggambar grafik fungsi trigonometri
Ada 2 cara
Lingkaran
tabel
Grafik fungsi y = sin x° (0 ≤ x ≤ 360)
Dengan tabel :

Dengan lingkaran satuan :

Grafik fungsi y = cos x° (0 ≤ x ≤ 360)
Dengan tabel :

Dengan lingkaran satuan :

Grafik fungsi y = tan x° ( 0 ≤ x ≤ 360 )
Dengan tabel :

Dengan lingkaran satuan :

Misalkan f(x) adalah fungsi - fungsi trigonometri baku f(x) = sin x, f(x) = cos x dan F(x)= tan x
dengan periodenya berturut - turut 2π, 2π, dan π, maka :

f (x) = sin k.x mempunyai periode 1 .2
k

f (x)= cos k.x mempunyai periode 1 .2
k

f (x)= tan k.x mempunyai periode 1 .2
k

Grafik Fungsi Trigonometri f(x) = a sin (kx ± b) ± c, f(x)=a cos (kx ± b) ± c, dan f(x)= a tan (kx ± b)
±c
Langkah - langkah yang diperlukan dalam membuat grafik di atas adalah dengan cara
mentranslasikan secara horisontal ke kanan atau ke kiri, kemudian ditranslasikan ke atas atau ke
bawah.
Contoh buatlah grafik y = 2 sin (2x - π/2) + 1
Gambar grafik y = sin 2x..
Ordinat pada tiap titik gambar 1, dikalikan dengan 2..

Kemudian grafik digeser ke kanan sejauh π/4 satuan..
Supaya tahu besarnya pergeseran, persamaan di atas diubah dulu menjadi : y = 2 sin 2(x - π/4) + 1
Setelah itu grafik digeser satu satuan arah vertikal ke atas..

Contoh buatlah grafik y = 3 cos (2x + π/3) - 1
Gambar grafik y = cos 2x..
Ordinat pada tiap titik gambar 1, dikalikan dengan 3...
Kemudian grafik digeser ke kiri sejauh π/6 satuan...
Supaya tahu besarnya pergeseran, persamaan di atas diubah dulu menjadi : y = 3 cos 2(x + π/6) - 1
Setelah itu grafik digeser satu satuan arah vertikal ke bawah..
Contoh buatlah grafik y = 1½ sin (-2x - π/2 )..
Ubah dulu persamaannya menjadi : y = 1½ sin -2(x + π/4)= -1½ sin 2( x + π/4)
Gambar grafik y = sin 2x...
Ordinat pada titik gambar 1, dikalikan dengan -1½...
Kemudian grafik digeser sejauh π/4 satuan arah ke kiri..
Contoh soal
Gambar di bawah adalah sketsa grafik dari fungsi f(x) = a sinkx dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π
Carilah nilai a dan k, kemudian tulislah persamaan grafik fungsi itu

Gambar di bawah adalah sketsa grafik dari fungsi f(x) = a cos kx dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π

Carilah nilai a dan k, kemudian tulislah persamaan grafik fungsi itu
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -⅜ cos ( x + π/4 ) + 1
Nilai minimum dari fungsi y = 2 + 3 sin2x adalah....

Di bawah ini adalah link untuk membantu membuat grafik :
Sebelum menggambar grafik fungsi trigonometri, pada kalkulator tersebut disetting terlebih dulu, x-
axis nya dibuat dari min 0 sampai max nya 360, sedangkan untuk y-axisnya menyesuaikan sesuai
dengan persamaan yang diberikan..Pada calculator tersebut untuk equationsnya di klik tool deg
(karena sudut dalam degree)
Latihan Soal
Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval 0 ≤ x ≤ 360°
y = 2 sin ( 2x - 60)° + 1
y = tan (x + 45)°
y = -2 cos (2x - 60)°
Grafik y = 2 sin (2x - 60)° + 1 lihat dibawah ini :

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari :

Tentukan pula nilai - nilai x yang menyebabkan fungsi no 2 di atas mencapai nilai maksimum dan nilai
minimum, x dalam interval 0 ≤ x ≤ 360°

Soal Tantangan
Grafik di bawah ini persamaannya adalah..

y = sin x

y = sin 2x
y = sin (-x)
y = sin (-2x)
y = ½ cos 2x
Persamaan grafik fungsi untuk gambar di bawah ini adalah...

y = cos ½x
y = 2 cos ½x
y = cos x
y = 2 cos x
y = 2 cos 2x
soal Latihan

 Gambarlah Grafik fungsi trigonometri pada interval 00,3600

Y = sin 2x
Y = 2 sin x
Gambarlah grafik y = cos x – sin x ,00 ≤ x ≤ 3600 .Kemudian tentukan nilai minimum dan
nilai maksimum dari fungsi tersebut

INVESTIGASI

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok ( 3 – 5 orang ) dan diskusikan hasilnya di depan kelas
1. Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut
a. Y= sin x
b. Y = sin (x + 900)
c. Y= sin (x – 90 0)
d. Y = 2 sin x
e. Y = 1/3 sin x
2. Bandingkan gambar grafik pada poin a,b, dan c .Apa yang dapat kamu simpulkan dari ketiga
gambar grafik tersebut?
3. Bandingkan gambar grafik pada poin a,d, dan e..Apa yang dapat kamu simpulkan dari ketiga
gambar grafik tersebut?
4. Lakukan kegiatan yang sama seperti diatas untuk fungsi cosinus dan fungsi tangen.Buat juga
kesimpulan dari kegiatan kalian dan kumpulkan hasil diskusi kalian kepada guru

MODUL 12

ATURAN SINUS DAN COSINUS
Kompetensi Inti Pengetahuan
Menerapkan aturan sinus dan cosinus
Kompetensi Inti Keterampilan
Menyelesaikan permasalahan kontekstual dengan aturan sinus dan cosinus
Indikator
Siswa dapat menerapkan aturan sinus dan cosinus

MATERI
Dalam setiap Δ ABC dengan panjang sisi-sisi BC.CA, dan AB berturutturut a, b, dan c satuan dan besar
sudut A, B, dan C seperti pada gambar maka dapat ditunjukkan aturan sinus sebagai berikut:

Dalam ΔABD

Dalam ΔCBD

Dari (i) dan (ii) maka:

Dalam Δ CAE

Dalam Δ BAE

Dari (iv) dan (v) maka

Jadi dari (iii) dan (iv) kita dapatkan hubungan:
Hubungan di atas kita kenal dengan aturan sinus.
ATURAN SINUS

A  B C
Sina sin b sin c

Sekarang kita hubungkan aturan (rumus) kosinus berikut:

a 2  b2  c 2  2bc cos A  cos A  b2  c 2  a 2
2bc

b2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B  a 2  c 2  b2
2ac

c 2  a 2  b2  2ab cos C  cos C  a 2  b2  c 2
2ab

Contoh 1
Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!

Pembahasan
Data
AC = 5/3 √6 cm
BC = 5 cm
Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu

Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah
∠C = 180 − (60 + 45) = 75°
Contoh 2
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:

Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3
contoh 3
Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30°
tentukan besar ∠ P !
Pembahasan
Segitiga PQR

Berlaku aturan sinus

Contoh 5
Segitiga ABC dengan panjang a = 3 cm, b = 4 cm dan c = 5 cm.

Besar sudut BAC adalah.... D. 60
A. 0 E. 90
B. 30
C. 45

Pembahasan

Pada segitiga tersebut berlaku persamaan:

a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos A

Jadi,

32 = 42 + 72 - 2 . 4 . 7 cos A

9 = 16 + 49 - 56 cos A

56 cos A = 65 - 9 = 56

Cos A = 56/56 = 1

A = 0 derajat

Jawaban: A

contoh 6

Diketahui panjang sisi a dan b segitiga ABC adalah 7 cm dan 8 cm. Jika besar sudut C = 60 derajat

maka panjang sisi c adalah...

A. √13 D. √57

B. √46 E. √7

C. √52

Pembahasan

Untuk sisi c berlaku rumus:

c2 = a2 + b2 - 2 . a . b. cos c

c2 = 72 + 82 - 2 . 7 . 8 cos 60

c2 = 49 + 64 - 112 . 1/2 = 113 - 56 = 57

c = √57

Jawaban: D

contoh 7

Diketahui panjang sisi a segitiga ABC = 2 kali sisi c. Jika sudut B = 60 derajat dan panjang c = 6 cm

maka panjang sisi b = ....

A. √6 D. 6√6

B. 6 E. 9√6

C. 6√3

Pembahasan
Gunakan persamaan cosinus sisi b:
b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos b
b2 = (2c)2 + c2 - 2 . 2c . c . cos 60
b2 = 5c2 - 4 c2 . 1/2
b2 = 5c2 - 2c2 = 3c2 = 3 . 62
b = 6√3
Jawaban: C

contoh 8

Panjang sisi a , b, c segitiga ABC berturut-turut adalah 3 cm, 5 cm dan 7 cm, maka jumlah sudut A +

C = ....

A. 70 D. 100

B. 80 E. 110

C. 90

Pembahasan

Hitung terlebih dahulu sudut B

b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos B

25 = 9 + 49 - 2 . 3 . 7 cos B

42 cos B = 58 - 25 = 33

cos B = 33 / 42 = 0,786

B = 70

Pada segitiga berlaku persamaan sudut:

A + B + C = 180

A + C = 180 - 70

A + C = 110

Jawaban: C

contoh 9

Pada segitiga ABC berlaku hubungan b2 = a2 + c2 - √2 . a . c. Besar sudut B adalah....

A. 0 D. 60

B. 30 E. 90

C. 45

Pembahasan
Bandingkan rumus cosinus segitiga dengan rumus pada soal:
b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos B
b2 = a2 + c2 - √2 . a . c
Berdasarkan pembandingan ini, diperoleh
2 a . c cos B = √2 . a . c
cos B = 1/2 √2
B = 45
Jawaban: C

LATIHAN SOAL
1. Diketahui segitiga ABC panjang sisi a = 35 cm,sudut B= 450 dan sudut C= 450 carilah

a. Susut A
b. Sisi b
c. Sisi c
2. Diketahui segitiga ABC sudut A = 600 dan sudut B = 900 sisi a = 10 cm tentukan
a. sudut C
b. sisi b
c. sisi c
3. Jika pada suatu segitiga diketahui a= 5,b = 6 dan sudut C= 600 carilah bagian- bagian yang
lainnya
4. Segitiga ABC panjang sisi b= 24 cm,c= 32 cm dabn sudut A= 300 carilah unsur – unsur yang
lainnya

TUGAS KELOMPOK
Buatlah 1 kelas menjadi beberapa kelompok,masing – masing kelompok diberi alat ukur sudut
(busur) dan alat ukur panjang (penggaris)
1. Buat bermacam- macam segitiga minimal 3 buah (siku – siku,sama kaki,sembarang)

dengan ukuran yang berbeda untuk membuktikan aturan sinus,dan cosinus
2. Buat segitiga siku –siku diketahui panjang sisinya.Tentukan besar sudut – sudutnya
3. Buat segitiga sama kaki diketahui dua sisi dan sudut pengapitnya tentukan panjang sisi

yang ketiga
4. Buat segitiga sembarang yang diketahui dua sudut dan dua sisi yang mana sudut tersebut

di depan sisi sudut tersebut

MODUL 13

LUAS SEGITIGA PADA TRIGONOMETRI
Kompetensi Inti Pengetahuan
3.13 Menentukan luas segitiga pada trigonometri
Kompetensi inti Keterampilan
4.13 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan luas segitiga pada trigonometri
Indikator
Siswa dapat menghitung luas segitiga pada trigonometri

MATERI

Rumus Luas Segitiga

Luas = ½ x alas x tinggi
L = ½at
Rumus di atas berlaku untuk semua jenis segitiga, baik segitiga sama kaki, sama sisi, siku-siku
maupun segitiga sembarang. Dari rumus di atas, kita bisa mencari alas suatu segitiga apabila luas dan
tingginya diketahui. Kita juga bisa mencari tinggi suatu segitiga jika luas dan alasnya diketahui.
L = ½at
2L = at
a = 2L/t
t = 2L/a
Contoh soal
Berikut ini contoh soal yang berhubungan dengan luas segitiga beserta pembahasan dan jawabannya.
1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan alas 14 cm dan tinggi 16 cm. Berapakah luas bangun

tersebut?
JAWAB

L = ½ x 14 x 16 = 112 cm²
2. Sebuah segitiga luasnya 42 cm. Jika tingginya 12 cm, berapakah panjang alas segitiga tersebut?
JAWAB

L = ½ x alas x tinggi
42 : ½ = alas x 12
84 = alas x 12
alas = 84/12
alas = 7 cm
3. Luas suatu segitiga adalah 96 cm². Jika panjang alasnya 12 cm, tentukan tinggi segitiga tersebut!
JAWAB
L = 96
L = ½at

96 = ½ x 12 x t
96 : ½ = 12 x t
192 = 12 x t
t = 192/12
t = 16 cm
4. Panjang sisi miring dan alas segitiga siku-siku berturut-turut adalah 20 cm dan 24 cm. Berapakah
luas segitiga tersebut?
JAWAB
20² = t² + 12² → 12 berasal dari ½ panjang alas
t² = 20² – 12²
t² = 400 – 144
t² = 256
t = √256
t = 16 cm
L = ½ x 24 x 16 = 192 cm²
5. Diketahui keliling segitiga sama kaki adalah 16 cm. Jika panjang alasnya 6 cm, berapakah luasnya?
JAWAB
panjang 2 sisi miring = keliling – alas = 16 – 6 = 10 cm
panjang masing-masing sisi miring = 10 : 2 = 5 cm
t² = 5² – 3² → 3 berasal dari ½ x alas
t² = 25 – 9
t² = 16
t = √16
t = 4 cm
L = ½ x 6 x 4 = 12 cm²
6. Berapakah keliling segitiga siku-siku dengan luas 24 cm² dan tinggi 8 cm?
JAWAB
L=½xaxt
24 = ½ x a x 8
24 : ½ = a x 8
48 = a x 8
a = 48/8
a = 6 cm
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = √100
c = 10 cm
Keterangan: c = sisi miring

K = 6 + 8 + 10 = 24 cm
7. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika Luasnya 150 cm² dan panjang AB 20 cm, hitunglah

keliling segitiga tersebut!
JAWAB

Berdasarkan soal tersebut, AC adalah sisi miring segitiga.
L = ½ x AB x BC
150 = ½ x 20 x BC
150 : ½ = 20 x BC
300 = 20 x BC
BC = 300/20
BC = 15 cm
AC² = AB² + BC²
AC² = 20² + 15²
AC² = 400 + 225
AC² = 625
AC = √625
AC = 25 cm
K = AB + BC + AC = 20 + 15 + 25 = 60 cm

LATIHAN
1.Hitung luas daerah segitiga ABC jika diketahui ,sudut C= 600,panjang AC= 8 cm , panjang sisi BC=

6 cm

2. Hitunglah luas segitiga ABC ,jika diketahui b=10 3 cm,c=20 cm dan A  300

3. Hitung luas segitiga ABC siku – siku sama kaki dengan panjang sisi siku – sikunya 12 cm
4. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 6 cm,BC= 14 CM dan sudut B= 1350.tentukan

luas segitiga ABC

D TUGAS
700 8

5 C

A 6B

Hitunglah luas segiempat ABCD

MODUL 14

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
Kompetensi Inti Pengetahuan
3.14 Menganalisis nilai sudut dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut
Kompetensi Inti Keterampilan
4.14 Menyelesaikan nilai – nilai sudut dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut
Indikator
Siswa dapat menganalisis nilai sudut dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut

MATERI
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Untuk memahami rumus cosinus perhatikan gambar di bawah. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0)
dan berjari-jari 1 satuan :

Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
AC = BD maka AC2 + DB2
{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))

cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Contoh soal rumus cosinus
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B

= 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 − 288/325
= − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 + 288/325
= 323/325

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan uraian berikut:
sin (A – B) = sin {A + (–B)}

= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Contoh soal rumus sinus:
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13

= –36/65 + 20/65
= – 16/65
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus tangen jumlah dua sudut:

.
Contoh soal rumus tangen:
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°

= tan 60°+ tan 45°
1 - tan.60 tan45

= 3 1  3 1  3 1x1 3  1 2 3 3  4 2 3
1  3.1 1  3 1  3 1  3 13 2

Soal

1. Diketahui sin A  4 , cos B  5 , A dan B dikuadran 1 hitunglah
5 13

a. Sin (A + B) c. Tan (A + B )

b. Cos (A – B)

2. Tanpa memakai daftar.hitunglah
a. Sin 540cos 360 + cos 54sin 360
b. Cos 1250 cos 650 – sin 1250 sin 650

tan140  tan 360
c. 1  tan140.tan 360

3. Jika tan A  1 , tan B  1
2 3 hitunglah

a. tan 2A b. tan 2B c. tan (2A + 2B)

4. Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih

a. 2 sin 8x c0s 2x b. 2 cos 1100 cos 400

5. Dengan menggunakan rumus sudut pertengahan,hitunglah

a. Tan 15

b. Sin 67,5

TUGAS

KERJAKAN SOAL DIBAWAH INI DENGAN BAIK DAN BENAR

1. Diketahui sin A = 3/5 untuk sudut lancip,dan

Cos B = -12/13 untuk B sudut tumpul

Tentukan nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut

a. Sin (A + B)

b. Cos (B – A )

c. Tan ( A – B )

2. Sepasang roda gigi memiliki kecepatan putar masing – masing e1=110 2 sin(t   )
2

Dan e2 =110 2 sin t .tentukan e1 + e2

DAFTAR PUSTAKA