modul mtk

MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

MATEMATIKA

KELOMPOK TEKNOLOGI,KESEHATAN,DAN PERTANIAN

KELAS XI

DISUSUN OLEH
PUJI WAHYUNI,S.Pd

LEMBAGA PENDIDIKAN MA`ARIF NU
CABANG KABUPATEN BANYUMAS

SMK MA`ARIF NU 1 AJIBARANG

Alamat : Jl. Raya Ajibarang Tegal Km. 1
Kabupaten Banyumas Kode Pos 53163

Telp. (0281) 571284

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat
dan hidayahnya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul dan LKS matematika SMK
untuk tingkat XI pada kelompok tekhnologi,kesehatan dan pertanian.

Tujuan dalam penyusunan modul dan LKS ini adalah untuk membantu proses belajar
mengajar sehingga diharapkan menjadi sarana belajar siswa agar lebih mudah untuk
memahami materi yang dipelajari.Dan juga LKS ini dapat dijadikan sebagai alat untuk
mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar.

Modul dan LKS ini memiliki keunggulan karena memuat isi yang mencakup
• Materi tingkat
• Contoh soal – soal ( materi)
• Pembahasan soal – soal
Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan modul dan LKS ini masih jauh dari
sempurna.Untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik
lagi.Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak baik yang langsung
maupun tidak langsung yang telah membantu penyusun sehingga terselesaikannya modul
dan LKS ini.

Ajibarang,.......Juli 2017
Penyusun

Puji Wahyuni,S.Pd

MODUL 1

INDUKSI MATEMATIKA

Kompetensi Inti Pengetahuan
3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan,ketidaksamaan,

keterbagian dengan induksi matematika
Kompetensi Inti Keterampilan
4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan

matematis berupa barisan,ketidaksamaan,keterbagian
Indikator
Siswa dapat menjelasakan metode pembuktian pernyataan matematis berupa
barisan,ketidaksamaan,
keterbagian dengan induksi matematika
==========================================================

====
MATERI

Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering
digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk
bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan
membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip
terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan
asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi
dari bilangan asli berikut.

Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil.Secara lebih formal,
prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong yang merupakan
himpunan bagian dari N, maka ada v0 anggota V sedemikian sehingga v0 ≤ v untuk
setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang
dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

Prinsip Induksi Matematika
Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:
(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan
(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.
Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba
memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak
antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita
mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor
(k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses
ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah
kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa
dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota
himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya,
jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan
melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa
semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua
bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N. Bagaimana dengan bukti formal
dari prinsip induksi matematika?

Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga
berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1
anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan
bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan madalah anggota terkecil
dari N – S, maka m – 1 anggota S.
Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S,
maka k + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi
bahwa m bukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N =
S.
Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai
berikut.
Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:
P(1) benar.
Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.
Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.
Hubungan Prinsip Induksi Matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan
S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi
Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip
Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan
kesimpulan P(n) benar untuk setiap n anggota N.
Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis
2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah
validitas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n):
“n = n + 5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua
sisi P(k) untuk mendapatkan P(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah
salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n +
5 untuk setiap n anggota N.
Pada beberapa kasus, kadang P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan asli tertentu tetapi
bernilai benar untuk n ≥ n0. Prinsip Induksi Matematika dapat dimodifikasi untuk mengatasi
kasus seperti itu.
Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)
Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥
n0. Apabila:
(1) Pernyataan P(n0) benar;
(2) Untuk setiap k ≥ n0, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.
Berikut ini adalah beberapa contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat
digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli.
Contoh 1: Pengubinan dengan Tromino

Diberikan suatu papan catur 2n × 2n (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok
dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino.
(Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3
persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar)
Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 21 × 21 yang
salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino.
Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran
2k + 1 × 2k + 1 yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut
menjadi 4 papan catur 2k × 2k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki
bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah
papan catur 2k + 1 × 2k + 1 sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di
bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan
D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2k + 1 × 2k + 1 tepat
sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

Contoh 2: Jumlah n Bilangan Asli Pertama
Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika
yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota Nsedemikian
sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada
Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka 1 = 1/2 ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1

anggota S, dan (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan
menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan
bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsi
Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut
berlaku untuk semua bilangan asli.

Contoh 1

Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ........+n= n(n 1) untuk setiap bilangan asli n

2

Bukti

n(n 1)

1 + 2 + 3 + ........+n=

2

1(1  1)
(i) Untuk n=1 ruas kiri=1= 2 =ruas kanan berarti Sn dipenuhi oleh n=1

k(k 1)

(ii) Misalkan S(n) berlaku untuk n=k berarti berlaku 1 + 2 + 3 + ........+k=

2

(iii) Akan dibuktikan S(n) berlaku untuk n=K+1 sebagai berikut

1 + 2 + 3+........+(k+1)=1 + 2 + ......+ k+ (k+1)

Dengan 1 +2 + 3+.....+k= k(k+1)/2 + (k+1)

Dari (k  1)( k 1)  (k  1)( k  2)  (k 1)(k 1) 1
2 2
2

Berarti Sn dipenuhi oleh n=k + 1 dengan (i),(ii),(iii) terbukti bahwa 1 + 2 + 3 +

n(n 1)
........+n= 2 berlaku untuk setiap bilangan asli n

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
2 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = n2 + 2n

Jawab
Sn=3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = n2 + 2n
Langkah 1: benar untuk n= 1
3= 12 + 2. 1
= 1 + 2....................3=3 (benar)
Jadi Sn adalah benar untuk n =1 atau S(1) benar
Langkah 2
Jika Sn benar untuk n = k diperoleh:
Sk=3 + 5 + 7 + ...+(2k + 1 ) = k2 + 2k
Untuk n = k + 1
Sk+1= 3 + 5 + 7 +....+ (2k + 1)+ (2(k+1) +1)=(k+1)2 + 2 (k+1)
3 + 5 + 7 +....+ (2k + 1) + (2(k + 1) + 1)=(k+1)2 + 2(k+1)
...................................
k2 + 2k
k2 + 2k + (2(k+1) +1)= (k+1)2 + 2(k+1)
k2 + 2k + 2k +2 + 1 = (k+1)2 + 2(k+1)
k2 + 2k + 1 + 2k + 2 = (k+1)2 + 2(k+1)
(k+1)2 + 2(k+1) = (k+1)2 + 2 (k+1) (benar)
Jadi jika Sn benar untuk n=k,maka Sn=benar untuk n=k +1

A KSAH EMAMPUAN

Dengan induksi matematika,buktikan bahwa setiap rumus berikut berlaku untuk setiap n
bilangan asli
1. 6 + 10 + 14 + 18 +....+ (4n + 2 ) = 2n2 + 4n
2. 1 + 9 + 25 + 49 + .....+ (2n -1)2 = 1/3n (2n – 1)(2n + 1)
3. 1 + 4 + 9 +16+....+ n2 = 1/6 n (n +1 ) (2n + 1)
4. n(n+ 1) habis dibagi 2
5. n(2n -1)(2n + 1) habis dibagi 3

MODUL 2

PROGRAM LINEAR

Kompetensi Inti Pengetahuan
3.2 Menjelaskan program liniear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan
menggunakan masalah kontekstual
Kompetensi Inti Keterampilan
4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel
Indikator
Siswa dapat menjelaskan program liniear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan
menggunakan masalah kontekstual
=========================================================

MATERI

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel
( SPtLDV)
Contoh
Lukislah DHP dari SPtLDV berikut
2y – x ≤ 2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0
Jawab:
• Melukis garis pembatas

Y (x = 0)

4

2y – x = 2

-2 0 3 X(y=0)

4x + 3y = 12

• Menentukan DHP

(i) 2 y – x ≤ 2 → y positif (+ ) dan x negatif (-) maka (+) (-)= - (dibawah garis 2 y – x = 2)

(ii) 4x + 3y ≤ 12→tanda penjumlahan (+) ,simbul kurang dari maka (-)→(+)(-)=(-
)........dibawah garis 4x + 3y = 12

(iii) x ≥ 0 ↔(+)(+)= + ( di kanan sumbu y)
(iv) y ≥ 0↔ (+)(+)= + (di atas sumbu x)
• Lukisan DHP

Y (x = 0)

4

2y – x = 2

-2 0 3 X(y=0)

4x + 3y = 12

•DHP berbentuk segi empat
Rangkuman
@ lihat koefisien y: jika > 0 maka tanda + dan jika < 0 maka tanda –
@ lihat tanda pertidaksamaaan: jika > atau ≥ maka tanda (+),dan jika < atau ≤ maka tanda
(-)
@ jika pertidaksamaan bertanda > atau < ,maka garis di gambar putus - putus

LATIHAN

Lukislah DHP dari SPtLDV berikut

1. 2x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 4, x≥ 0 ,dan y ≥ 0
2. 5x + 3y ≥15, 3x + 5y ≥ 15,x ≥0,dan y≥0
3. 3x – 2y ≤ -6, 5x + 7y ≥ 35, y≤ 6, x≥0
4. 3x + y ≤ 6, 4x + 7y ≤ 28, x≥0, dan y ≥ 0

Menuliskan SPtLDV dari Lukisan DHP
Contoh
Tulislah SPtLDV dari DHP sebagai daerah yang diarsir berikut:

Y
6

4

DHP

48 X

lk

Jawab:

Sistem persamaan garis pembatas

(i) Sumbu X →y = 0
(ii) Sumbu Y → x = 0
(iii) Garis l: 6x + 4y = 6.4 = 24 atau 3x + 2y = 12
(iv) Garis k : 4x + 8y = 4.8 = 32 atau x + 2y = 8

Lukisan DHP

Gunakan rumus persamaan garis melalui titik (a,0) dan (0,b) yaitu ax + by = a. B

(i) y ≥ 0 (di kanan sumbu Y )
(ii) x ≥ 0 ( di atas sumbu X )
(iii) garis k nilai a= 4,dan b=8 maka ax + by = a.b→4x + 8y = 4.8→4x + 8y = 32

arsiran dibawah garis maka 4x + 8y ≤ 32,disederhanakan x + 2y ≤ 8
(iv) garis l nilai a= 6 dan b= 4 maka ax + by = a.b→6x + 4y = 6.4→ 6x + 4y = 24

arsiran dibawah garis maka 6x + 4y ≤ 24,disederhanakan 3x + 2y ≤ 12

jadi,SPtLDV dari gambar adalah x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12,x≥0,y≥0

MENENTUKAN TITIK – TITIK EKSTRIM
Contoh

Selesaikanlah sistem pertidaksamaan linear berikut secara grafik dan carilah titik – titik
ekstrimnya
2x + y ≤ 22,x + y ≤ 13,2x + 5y ≤50, x ≥ 0, y ≥ 0

pe

penyelesaian

pertidaksamaan x ≥0, y ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah penyelesaiannya berada dikuadran

pertama.

Titik potong masing – masing pertidaksamaan

2x + y = 20

x + y = 13

2x + 5y = 50

2x + y = 22 x + y = 13 2x + 5y = 50

X 0 11 X0 13 X 0 25

Y 22 0 Y 13 0 y 10 0

titik (0,22) (11,0) titik (0,13) (13,0) titik (0,10) (25,0)

@ penentuan daerah himpunan penyelesaian
(i) x ≥ 0, sebelah kanan sumbu Y
(ii) y ≥ 0, sebelah atas sumbu X
(iii) 2x + y ≤ 22, sebelah bawah garis 2x + y = 22
(iv) x + y ≤ 13, sebelah bawah garis x + y = 13
(v) 2x + 5y ≤ 50,sebelah bawah garis 2y + 5x = 50
@ penentuan titik – titik ekstrim

(i) A(0,10),perpotongan garis 2x + 5y = 50 dengan sumbu Y
(ii) B(5,8),perpotongan garis 2x + 5y = 50, dengan garis x + y = 13
(iii) C(9,4),perpotongan garis x + y = 13 dengan garis 2x + y = 22
(iv) D(11,0),perpotongan garis 2x + y = 22 dengan sumbu X
(v) E(0,0),perpotongan sumbu X dan sumbu Y
@ lukislah daerah penyelesaian dan titik – titik ekstrimnya

2x + y = 22 Y

22

x + y = 13

13 A( 0,10)

2x + 5y = 50 10 B(5,8)

C ( 9,4)

E(0,0) 11 13 D(11,0)
25

Jadi titik ekstimnya adalah A(0,10),B(5,8),C(9,4),D(11,0) dan E (0,0)

Soal

tulislah semua titik pojok (titik ekstrim) yang mungkin terjadi dari daerah penyelesaian

setiap sistem pertidaksamaan berikut

1. –x + 3y ≥ 1, 5x- y ≥ 9, x + y ≤ 9, dan x ≥ 5

2. 16x + 13y ≤ 119, 12x + 16y ≥101,-4x + 3y ≤ 11

3. 2x + 3y ≤12,x≥0,y≥0

4. 2x + y ≤10,x + 2y ≤8, x≥0,y≥0

5. 2x + y ≤0, 2x – y ≤4, 0≤x≤8

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

Contoh

Tentukan nilai maksimum dan minimum dengan metode uji titik pojok dari masalah

program linear berikut

Fungsi objektif: f(x,y)= 5x + 3y

Kendala : 2x + y ≥ 3

x+y ≥2

x≥0,y≥0

jawab:

•Penentuan titik potong masing – masing garis pembatas dengan sumbu

koordinat,seperti terlihat pada tabel di bawah ini

2x + y=3 x+y=2

X0 3 X0 2
2

Y3 0 Y2 0

titik (0,3) 3 titik (0,2) (2,0)

( ,0)
2

• Penentuan titik potong antar garis pembatas

Dicari dengan metode eliminasi

2x + y = 3

x+y=2–
x= 1→1 + y = 2 maka y = 2-1 →y=1 jadi titik B (1,1)

•Grafik
Y

A(0,3)→2x + y = 3

DHP
B ( 1,1)

x

3

C(2,0)→x + y = 2

2

• penentuan nilai minimum dengan metode uji titik pojok

Fungsi tujuan:f(x,y)= 5x + 3y

Titik pojok Nilai f(x,y)

A(0,3) f(0,3)=5.(0) + 3.3 = 0 + 9 = 9

B(1,1) f(1,1)= 5.1 + 3.(1) = 5 + 3 = 8→minimum

C(2,0) f(2,0)= 5.2 + 3.0 = 10 + 0 = 10 →maksimum

Cara 2

f(x,y)= 5x + 3y

Garis Memotong sumbu X Memotong sumbu Y Titik potong dua garis

2x+ y = 3 ( 3 ,0) (0,3) 2x + y = 3
2 x+y=2–

x+y=2 (2,0) (0,2) x=1 →y=2-1=1

(1,1)

f(2,0)= 5.2 + 3.0 = f(0,3)=0 + 9 = 9 f (1,1) = 5 1 + 3. 1

10 = 5 + 3 = 8

Jadi, nilai minimum f(x,y) = 8 pada titik pojok (1,1)

Latihan

1. Carilah nilai maksimum dan minimum : Z= 5x + 3y

Syarat – syarat : 2x + y ≥3

x + y ≥2
x ≥0,y≥0 : x,y € R

2. Carilah nilai maksimum dan minimum : Z= x + 1,5y
Syarat _ syarat : 2x + 3y ≤6
x + 4y ≤4
x ≥0,y≥0 : x,y € R

3. Tentukan nilai maksimum dari 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan
2x + 3y ≤12,2x + y ≤ 8,x≥0,y≥0;x,y € R

MERANCANG MODEL MATEMATIKA

Contoh

Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 m kain sutera,11 m kain woll,15

m kain katun yang akan dibuat dua model pakaian dengan ketentuan sebagai berikut:

Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wol,dan 1 m katun per unit

Model B membutuhkan 1 m sutera, 2 m wol dan 3 m katun per unit

Keuntungan pakaian model A Rp 30.000.000,- per unit dan keuntungan pakaian model

B Rp 50.000,- per unit. Tentukan banyaknya masing – masing pakaian yang harus

dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum

Jawab:

Misalkan x = jumlah pakaian model A

y = jumlah pakaian model B

Bahan Model A (x) Model B (y) Tersedia

Sutera 2 1 16

Wol 1 2 11

Katun 1 3 15

Keuntungan 30.000 50.000

Model matematika yang terbentuk:
Memaksimumkan fungsi tujuan z = 30.000x + 50.000y
Kendala: 2x + y ≤ 16

x + 2y ≤ 11
x + 3y ≤ 15

x ≥ 0,y ≥ 0
Gambar di bawah ini menunjukkan daerah penyelesaian dari kendala masalah program
linear

Y

16

AB X
5 x + 3y =

C

8 D x + 2y = 11
15

2x + y = 6

• Penentuan titik pojok daerah penyelesaian

(i) A(0,5),perpotongan garis x + 3y = 15 dengan sumbu Y

(ii) B (3,4), perpotongan garis x + 3y = 15 dengan garis x + 2y = 11

(iii) C(7,2), perpotongan garis 2x + y = 16 dan garis x + 2y = 11

(iv) D(8,0),perpotongan garis 2x + y = 16 dengan sumbu X

•Penentuan nilai maksimum fungsi tujuan z dengan uji titik potong daerah

penyelesaian kendala

Fungsi Tujuan: z= 30000x + 50000y

Titik pojok Nilai z

A( 0,5) Z= 0+ 250.000 =250.000

B(3,4) Z= 90.000 + 200.000 = 290.000

C(7,2) Z= 210.000 + 100.000 = 310.000

D(8,0) Z= 240.000 + 0 = 240.000

Jadi ,banyaknya pakaian yang harus dibuat adalah 7 unit model pakaian A dan 2 unit
model pakaian B dengan keuntungan Rp 310.000,00

LATIHAN

1. Indah mencoba berwirausaha dengan membeli 25 pasang sandal untuk persediaan.ia

ingin membeli sepasang sandal wanita yang harganya Rp 30.000,- dan sepasang sandal

pria yang harganya Rp 40.000,- uang yang dimiliki Indah Rp 840.00,- keuntungan yang

direncanakan dari penjualan sandal wanita tersebut Rp 10.000,- dan laba untuk sandal

pria Rp 12.000,- tentukan keuntungan maksimum yang akan diperoleh Indah jika

semua sandal habis terjual
2. Diketahui luas daerah parkir 3,6 dam2,luas rata – rata untuk sebuah mobil sedan

6 m2,dan untuk sebuah bus 2.400 dm2,daerah parkir itu maksimum memuat 90

kendaraan.Tentukan jumlah uang parkir terbesar yang diperoleh tukang parkir,jika

registrasi parkir sebuah mobil sedan Rp 1.000.000,- dan untuk bus Rp 3.000.000,-

3. Untuk menhasilkan jenis barang I seharga Rp 2.000.000/buah diperlukan bahan baku

30 kg dan waktu kerja mesin 18 jam.Sedangkan jenis barang II seharga Rp 2.000,-

/buah diperlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam.Tentukan nilai

maksimum produk yang dapat dibuat selama 720 jam dan bahan baku yang tersedia

750 kg

4. Sebuah perusahaan real estate merencanakan membangun beberapa rumah untuk 540

orang.Banyaknya rumah yang akan dibangun paling banyak 120 buah.Ada dua jenis

rumah yang dibangun dan rumah – rumah tersebut akan disewakan dengan harga

sewa sebagai berikut:

jenis Banyaknya penghuni per Sewa/tahun

rumah

Rumah A 4 Rp 40.000.000,-

Rumah B 6 Rp 60.000.000,-

Tentukan banyaknya jenis rumah A dan B agar perusahaan tersebut memperoleh

pendapatan uang sewa yang makismum

MODUL 3

MATRIKS

Kompetensi inti pengetahuan
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual

dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi
penjumlahan,pengurangan,perkalian,skalar,dan perkalian,serta transpose
Kompetensi inti keterampilan
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya
Indikator
Siswa dapat menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah
kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi
penjumlahan,pengurangan,perkalian,skalar,dan perkalian,serta transpose

MATERI

A. PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom.
Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks.
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum :

 a1.1 a1.2 a1.3 ... a1.n 
 
 a 2.1 a2.2 a2.3 ... a2.n 

A=  a3.1 a3.2 a3.3 ... a3.n 
 : : : ... : 
 
am.1 am.2 am.3 ... am.n 

a1.1  elemen matriks pada baris 1, kolom 1

a1.2  elemen matriks pada baris 1, kolom 2

a1.3  elemen matriks pada baris 1, kolom 3

.

.

.

am.n  elemen matriks pada baris m, kolom n

Contoh :

 2 5  4
B = 1 6 
7 

Ordo matriks B adalah B2 x 3

a1.3  - 4

a2.2  6

B. JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks baris
adalah matriks yang hanya memiliki satu baris
Contoh : A = [ 2 3 0 7 ]
2. Matriks kolom
adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom

2
 1
Contoh : C = 0

 7 
 

3. Matriks persegi
adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

2 0 5 3 
1 
Contoh : A= 5 8 6 4 
9 0
6
7  3  5 10

Diagonal samping Diagonal utama

4. Matriks Identitas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan

semua elemen yang lainnya nol.

Contoh :

1 0
A = 0 1

1 0 0
B = 0 1 0

0 0 1

5. Matriks segitiga atas

adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.

Contoh :

2 3 1
A = 0 1 
4 

0 0 5 

6. Matriks segitga bawah
adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.
Contoh :

2 0 0
B = 9 1 0

3 2 5

7. Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh :

0 0 0
C = 0 0 0

C. KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemen-
elemen yang seletak juga sama.
Contoh :

A= B

2  3 6 3 9  
5 5 3
4  =  4 


Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut

a. 3a  4  12  4
2b  5   5
 9

3a = -12
a = -12/3
a = -4

2b = 9
b = 9/2
b = 4,5

b  1 6a  1   1 3b  2
4a  5 3  2a 3 

4a + 5 = 2a
4a – 2a = -5

2a = -5
a = -5/2

6a – 1 = 3b + 2

6(-5/2) – 1 = 3b + 2
-15 – 1 = 3b + 2
-16 = 3b + 2

3b = 18
b =6

LATIHAN 1

 3 6 12 16 20 
 6  3
1. Diketahui matriks A=   2 7 4 12 4 
5 6
1
11 4 
10 15 5 

a. Tentukan ordo matriks A

b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2

c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3

d. Sebutkan elemen a2.3

e. Sebutkan elemen a3.5

2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut :

a.  ab    4a  5 
2a 15 6a  7b

b. 7 5a  b  7 10
2a  3 14   4 14


c.  2a 2  a   10 2b 1
b  3 8  a 1
 a  b 


3. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan matriks berikut :

a. x 3  4 x 1
1 y z z 
 2 

b. 9 2   x2 x 1
 y z2   
 y z 

c. x  5  2x  11
3  y  y  9 

D.PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
1. PENJUMLAHAN MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara
menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh :

2 4  1  4  3 0
 3 5 5  2 11
6 

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara

mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh :

2 7 4  1 3 5  3 4  1
 3 6  5  2 4  7  5  10 2 

LATIHAN 2

1. Selesaikan operasi matriks berikut :

a. 2a   7a 
   3b
 b 

b. 2m  1
   4
 3n 

c. 2a b  a 2b
3a  b  4a b 

d.  2x 3y  x  y
 x 2 y  x 2y 

 5 3  2 7  8  2
2. Diketahui P =  2  4 , Q =   3 , dan R = 6 
 3 9 

Tentukan :
a. P + Q
b. Q - R
c. (P + Q) - R
d. P + (Q - R)
3. Tentukan matriks X nya, jika X berordo 2x2

a. 10 0  0 2
X +  0 1 2 1

3 5  4  7
b. X -  2 1 5 
3 

c. 3  4  X  2  4
2 7  3  1

4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :

3x 3y  x  1   4 x  y
3z 3w 6 2w z  
w 3 

E. PERKALIAN MATRIKS
1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen matriks

tersebut dikalikan dengan k.
Contoh :

 3 5   6 10
2  4 6  8 12

2. PERKALIAN DUA MATRIKS
Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama
dengan banyaknya matriks sebelah kanan.
Am x n . Bp x q = Cm x q

n=p

Contoh :
1.

2 43.11 0  2.(1)  (3).1 2.0  (3).5   2  (3) 0  (15)
3 5  3.(1)  4.1 3.0  4.5   (3)  4 0  20 

=  5 15
 
 1 20 

2. 1 5 2  1.2  5.3  2 15  17
4 0.3 4.2  0.3  8  0   8 

3. 2 3 0 1 2  0  3 29 4  9  3 11 13
1 1.1 3 3 0 1 1 3 2  3 1 
4 5 

1 2 4 
4. 2.2 4  4 
8 

3 6 12

TRANSPOSE MATRIKS

adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris menjadi elemen pada
kolom atau sebaliknya.
Contoh :

 2 4 1
A =  3 5 0

2  3
At = AT = A = 4 
5 
1
0 

LATIHAN 3

1. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari :

a. 1  1  X  0 2
2 3 7  3 5 4

b. 7 1  3X  5 12
 4 3  8 6 

a 4 dan B = 2a  3b 2a 1
2. Diketahui A = 2b 3c  
 a b  7 

Jika A = 2BT, tentukan nilai a + b + c

3. Jika 3 p 2  p q   4 p  q
 s 1 2s r  
 r s 3 

Tentukan nilai p, q, r, dan s.
4. Hitung perkalian matriks berikut :

3 2  4 0
a. 1 1.5 6

2 1 3  3 
b. 3 0 1.1

2 1 5  6 

2 1 2 0 4 
c. 4  2 3.3 1

0  4 0 2 5 

5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :

 3 2 2 4 2 3
A =  4 3 , B = 3 2 , C = 2 1

Tentukan :

a. A.B d. (A.B).C

b. B.A e. A.(B.C)

c. B.C f. Buatlah kesimpulan untuk a dan b,serta d dan e

1 a  b a 1 0 1 0
d. (6. Jika P = b , Q=   c d  , dan R = 0 1
c 

Tentukan nilai d jika P + QT = R2

7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

4 x  2   6 8  3 1  0 3
3 2 .11  6 2. 2 4. 1 1

8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :

1 2  x   8
  4. y 18 
 3 

2 3 3
9. Tentukan matriks transpose A= 4  4 7

1  2
10. Jika P = 3 
4  ,tentukan PT

MODUL 4

DETERMINAN,INVERS DAN TRANSPOS PADA MATRIKS ORDO 2 X 2

Kompetensi inti pengetahuan
3.16 Menentukan nilai determinan invers dan transpos pada ordo 2 x 2 dan nilai

determinan dan transpos pada ordo 3 x 3
Kompetensi inti keterampilan
4.16 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan,invers dan transpos

pada ordo 2 x 2 serta nilai determinan dan transpos pada ordo 3 x 3

MATERI

A. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2

a b
Jika matriks A = c d  , determinan dari matriks A dinotasikan det A atau

A = ad - bc

Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A-1 = 1 d  b
ad  bc  c a 

 Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks
singular.

 Jika ad – bc  0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non

singular.
Contoh :

2 5
Diketahui A = 1 3 , Tentukan determinan dan invers matriks A.

Det A = ad – bc
= 2.3 – 5.1
=6–5
=1

A-1 1  d  b
= ad  bc  c 
a 

A-1 1  3  5  3  5
= 1 1 =  1 2 
2 

LATIHAN 4

1. Diketahui matriks A = 2x 5  5 4
 x  3 , dan B = 13 3x
 9

Tentukan nilai x, jika Det A = Det B

2. Tentukan nilai x nya :

a. x x x  5
3  1

b. 5x x 5   18
3x  3

1 2 4 6
3. Diketahui matriks A = 3 5 , dan B = 1 2

Tentukan :
a. A-1
b. B-1
c. A.B
d. B.A
e. A-1.B-1
f. B-1.A-1
g. (AB)-1
h. (BA)-1
i. Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut

9 4
4. Diketahui B = 4 2 , Tentukan :

a. A-1
b. A-1.A
c. A.A-1
d. Buatlah kesimpulan

PERSAMAAN MATRIKS
1. A.X = B
A-1.A.X = A-1.B
I.X = A-1.B
X = A-1.B
Jadi jika A.X = B, maka X = A-1.B

2. X.A = B
X.A.A-1 = B.A-1
X.I = B.A-1
X = B.A-1
Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1

Contoh : Tentukan matriks X nya

1. 3 12.X  5 15
1 0 10 

X  3 1 1 5  15
1 2 .0 10 

 1 2 1 5  15
6 1 1 3 .0 
10 

 1 10  40
5  5 45 

 2  8
 1 
9 

2. 1 2  6  4
X .1 4  2 4 

X  6  4 1 2 1
 2 4 .1 4

X  6  4 4 1 2 4  2
 2 4 .   1 1 

X  1 6  4  4  2
2 . 2 4 .1 
1 

X  1 .2182  16
2 8 

X   14  8
 6 
4 

PEMAKAIAN INVERS MATRIKS

Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks

x + 7y = 13

2x + 5y = 8

jawab :

1 7 x  13
2 5. y  
 8 

 x   1 7 1 13
 y  2 5 . 
   8 

x  5 1 5  7 13
 y 14  2 1 . 8 

x  1 9
 y 9 18


x   1
 y  
  2 

jadi x = -1, dan y = 2

LATIHAN 5
1. Tentukan matriks X nya :

a. 1 2  4 2
 1 3.X 1 3

b. 3  1  3 0
X .4  1 1 4

2. Tentukan matriks B nya :

1 1 1 0  2  1
2 1 . 2  1 B.1 2 

3. Tentukan matriks X nya :

 2 2 3  1  1 0
 1.X .1  0 1
 1 0 

4. Tentukan nilai x + y, jika diketahui :

2  3  x  3
3 2 . y 4

5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut :
a. 2x – 3y = -1
x + 2y = 11
b. 3x + y = 7
x – 3y = -1

DERETMINAN DAN TRANSPOSE MATRIKS ORDO 3 X 3

Determinan matriks ordo 3 x 3 dan sifat – sifatnya

a b c
Diberikan matriks A ordo 3 x 3 dengan bentuk A= d 
e f  maka det (A) dapat dicari

g h i 

dengan menggunakan aturan sorrus sebagai berikut:

a b c a b
A  d 
e f  d e

g h i  g h

=(a.e.i+b.f.g+c.d.h) – ( b.d.i + a .f.h + c.e.g)
Definisi determinan matriks ordo 3 x 3

a11 a12 a13  c11 c12 c13 
Misalkan matriks A= a21 a23 , memilikiKofaktorc21 
a22 c22 c23 

a31 a32 a33  c31 c32 c33 

Maka determinan matriks A didefinisikan sebagai det (A)= a11c11a12c12  a13c13

Contoh

1 2 1
 7 4 dengan 2 cara
Tentukan nilai deteminan matriks M=  8

 0 1 6

Jawab

Cara 1

1 2 1 1 2
 
M=  8 74 8  7
 0 1 6
0 1



Maka det (M)= (-1.7.6+2.4.0 + 1.8.-1) – (2.8.6 + -1.4.-1 + 1.7.0)=(-42+0-8)-(96+4+0)

= -50 -100=-150

Cara 2

7 4  46  C11  (1)11.46  46
M11  1 6

8 4  48  C12  (1)12 .48  48
M12  0 6

8 7  8  C13  (1)13.  8  8
M13  0 1

2 1  13  C21  (1) 21 .13  13
M 21  1 6

1 1  6  C22  (1)22.  6  6
M 22  0 6

1 2 1 C23  (1)23.1  1
M 23  0 1

2 1 1 C31  (1)31.1  1
M 31  7 4

1 1  12  C32  (1)32. 12  12
M 32  8 4

1 2  23  C33  (1)33.  23  23
M 33  8 7

Sehingga minor matriks M adalah

M11 M12 M13  46 48 8 
M 21  13 
M 22 M 23   6 1 

M31 M32 M33   1 12  23

Dan kofaktor matriks M adalah

C11 C12 C13  46  48 8 
C21 C22 C23  13  6 
1 

C31 C32 C33  1 12  23

Sehingga det (M)= a11c11a12c12  a13c13 =(-1).46+2.(-48)+1.(-8)=-46 – 96- 8=-150

Pada determinan matriks ordo 3 x 3 berlaku sifat det (C)= det (Ct)
Invers matriks

a b matriks A ditulis A-1 yang ditentukan oleh:
Misal A= c  maka invers
d 

A-1= 1 d  b det A=ad-bc≠0
det  c  dengan
A a 

Matriks persegi berordo 2 x 2

a b maka invers matriks A adalah A-1= 1 A d  b
Jika matriks A= c d  det  c a 

Matriks persegi berordo 3 x 3

b11 b12 b13  1 k11 k12 k13 
Jika matriks B= b21 b22  det(B) k21 k22 
b32 b23  maka, B 1  k31 k32 k 23 
b31
b33  k33 

Contoh

4 2  det(A)  1  3  2  1  3  2
A=  5  3    2  
4.(3) 2.(5)  5 4   5 4 

Contoh

4  2 3  4  2 3  4  2
B= 2 6 1  B  2 6 1 2 6
5  2 4  5  2 4  5  2

Langkah 1
Det B=(4.6.4+-2.-1.5+3.2.-2)-(-2.2.4+4.-1.-2+3.6.5)=82-82=0
Langkah 2

6 1  22  C11  (1) 2 .22  22
M11  1 4

2 1  13  C12  (1)3.13  13
M12  5 4

2 6  34  C13  (1)4.  34  34
M13  5 2

2 3  2  C21  (1)3.  2  2
M 21   2 4

4 3 1 C22  (1)4.1  1
M 22  5 4

4  2  2  C23  (1) 5 .2  2
M 23  5  2

2 3  14  C31  (1) 4 . 14  14
M 31  6 1

4 3  10  C32  (1)5. 10  10
M 32  2 1

4 2  28  C33  (1) 6 .28  28
M 33  2 6

Invers matriks B ditemukan

b11 b12 b13  1 k11 k12 k13  1  22 13  34
b21 b22 b23 maka, det(B) k21 k22 k23  0  1 
b31 b32 b33  B 1  k31 k32 k33  =  2 10  2 

14 28 

SOAL LATIHAN

 2 1  2
1. Jika matriks A=  1  3 5  ,tentukan invers matriks A

 4 2 1 

 6 1 4 
2. Tentukan nilai determinan dan invers matriks L=   4 3 2
10  2
 12

MODUL 5

TRANSFORMASI GEOMETRI

Kompetensi Inti Pengetahuan
3.5 Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan

menggunakan matriks
Kompetensi Inti Keterampilan
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (
translasi,refleksi

dilatasi dan rotasi)
Indikator
Siswa dapat menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi
dengan menggunakan matriks

MATERI

Transformasi Geometri adalah suatu pemetaan satu – satu (one – one ) dan onto dari
sembarang titik di suatu bidang ke titik lain dibidang tersebut
TRANSLASI (PERGESERAN)

Suatu titik (x,y) digeser (ditranslasikan)  a  maka bayangan yang dibentuk adalah
b

x’= x + a dan y’= y + b
contoh 1

Tentukan hasil translasi segitiga ABC oleh translasi  2  jika A (-1,2), B(2,1), C(0,3)
5

jawab

Benda Translasi Bayangan/Peta

A(-1,2)  2  A’ ( -1 – 2 , 2 + 5) = A’ (-3,7)
B(2,1) 5 B’ ( 2 – 2 , 1 + 5 ) = B’ ( 0 , 6)
C(0,3) C’ ( 0 – 2 , 3 + 5 ) = C’ (-2,8)

Contoh 2



Diketahui R(4,6),S (6,4) dan T(-3,3) tentukan bayangan titik T(-3,3) oleh translasi RS

Jawab:

Transasi     6    4    2  ,jadi bayangan T’( -3 + 2, 3 + (-2) ) = (-1,1)
4 6 2
RS  s r

Jadi bayangan T’(-1,1)

Contoh 3

Jika titik (2,3) ditranslasikan oleh  a  menghasilkan (3,7) tentukan hasil translasi dari titik (-
b

3,2)
Jawab

 a    73    32    14    a    1  ,jadi hasil translasinya (-3+1,2+4)=(-2,6)
b b 4

Contoh 4

Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 oleh translasi  2 
3

Jawab

(x’,y’) = (x,y) +  a  ,dengan  a  adalah translasi. (x,y)=(x’,y’) -  a  →(x,y)=(x’+2,y’-3)
b b b

Jadi x= x’ + 2 dan y = y’ - 3 disubtitusikan ke garis x + 2y = 4 diperoleh
x’ + 2 + 2y’ – 6 = 4 → x’ + 2y’ – 8 = 0 jadi bayangannya adalah x + 2y – 8 = 0

LATIHAN

1. Tentukan bayangan oleh translasi  53 untuk setiap titik

a. A (6,3) c. C ( -4,-2)
b. B (-3,7) d. D ( 2-5)

2. Tentukan transalsi  a  yang memetakan setiap titik di bawah ini ke titik (8,9)
b

a. A (2,3) c. C ( 6,7)
b. B ( 4,5) d. D ( 4,3)

3. Tentukan titik (x,y) karena translasi  2  untuk setiap bayangan di bawah ini
3

a. A (-3,-10) c. C ( 3,10)

b. B ( -3,10) d. D ( 0,0)

4. Carilah bayangan garis 3x – 2y = 1 oleh translasi  25

REFLEKSI (PENCERMINAN )

a. Terhadap sumbu X : A (x,y) sumbux A’(x,-y)

b. Terhadap sumbu Y : A (x,y) sumbuy  A’(-x,y)

c. Terhadap titik pusat O (0,0): A (x,y) pusatO(0,0)A’( -x,-y)

d. Terhadap garis x = h : A (x,y) xhA’(2h - x,y)
e. Terhadap garis y = k : A (x,y) yk A’( x,2k –y)
f. Terhadap garis y = x : A (x,y) yxA’(y,x)
g. Terhadap garis y = -x : A (x,y) yxA’(-y,-x)

h. Pencerminan berurutan terhadap dua sumbu sejajar

A(x, y) Mx20Mx1  A' ' (2(k  h)  x, y), k, h bilangan real

A(x, y) My20My1  A' ' (x,2(k  h)  y), k, h bilangan real

Contoh 1 :

Tentukan bayangan titik A (-3,2) karena pencerminan terhadap

a. Sumbu X e. Garis y = -1

b. Sumbu Y f. Garis y = x

c. Titik pusat O (0,0) g. Garis y = -x

d. Garis x = 4

Jawab:

Titik A (-3,2) maka x= -3 dan y = 2

a. Terhadap sumbu X : A (-3,2 ) sumbux A’(x,-y) → A’(-3,-2)

b. Terhadap sumbu Y : A (-3,2) sumbuy  A’(-x,y) → A’ (3,2)

c. Terhadap titik pusat O (0,0): A (-3,2 ) pusatO(0,0)A’( -x,-y) → A’ (3,-2)

d. Terhadap garis x = h : A (-3,2) x4A’(2h - x,y) →A’ (2.4-(-3),2)→A’(8 + 3,2)→ A’

(11,2)

e. Terhadap garis y = k : A (-3,2) y1A’( x,2k –y)→A’(-3,2.(-1)-2)→A’(-3,-2-2)→A’(-

3,-4)

f. Terhadap garis y = x : A (-3,2) yxA’(y,x)→ A’ (2,-3)

g. Terhadap garis y = -x : A (-3,2) yxA’(-y,-x) → A’ (-2,3)

Contoh 2:

Tentukan bayangan garis x + 2y – 5 = 0 karena pencerminan terhadap sumbu X

Jawab

Garis x + 2y -5 = 0.....................(1)

Persamaan matriks

 x   1 01 1  x'   1 01 xy''  1.x'0.y'   x' 
y 0 y' 0 0.x'(1).y'  y'
   

x = x’ dan y =-y’ disubtitusikan ke persamaan (1) ,diperoleh:
x’ + 2(-y’) -5 = 0→ x’ – 2y’ – 5 = 0 → jadi bayangan x – 2y – 5 = 0
contoh 3:
cari bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 karena pencerminan terhadap sumbu Y
jawab:
garis y = x2 + 2x + 1 .....................(1)
persamaan matriks

 x   1 0  1  x'   1 0  xy''  01.x.x''10.y.y' '  yx' '
y 0 1 y' 0 1
   

x = -x’ dan y = y’ disubtitusikan ke persamaan (1) diperoleh :

y’=(-x’)2 + 2 (-x’) + 1 → y’= x2 – 2x’ + 1 bayangan menjadi y = x 2– 2x + 1

LATIHAN

1. Tentukan bayangan titik D (8,-9) karena pencerminan terhadap

a. Sumbu X e. Garis y = 8

b. Sumbu Y f. Garis y = x

c. Titik pusat O (0,0) g. Garis y = -x

d. Garis x = -3

2. Carilah bayangan titik B(2,1) karena pencerminan terhadap y = x + 3

3. Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 yang dicerminkan terhadap sumbu y

ROTASI (PERPUTARAN )

Rotasi (perputaran )sebuah titik ditentukan oleh

a. Pusat rotasi

b. Besar sudut rotasi

c. Arah sudut rotasi

Rotasi bernilai positif( + ) jika arah perputaran berlawanan arah jarum jam

Rotasi bernilai negatif (-) jika arah perputaran searah jarum jam

Jika pada soal tidak disebutkkan maka arah putaran berlawanan arah jarum jam

a. Terhadap titik pusat O (0,0)

A(x, y) R(0, ) A' (cos.x  sin.y, sin.x  cos.y)

b. Terhadap titik pusat (h,k)

x'  (cos.x  sin .y)  (sin.k  cos.h  h)
y'  (sin.x  cos.y)  (cos.k  sin .h  k)

No Transformasi geometri Pemetaan Hasil kali matriks
1 Identitas (I) (a,b) → (a,b)
1 0a  a
0 1b b

2 Pencerminan terhadap sumbu X (Mx) (a,b) → (a,-b) 1 0 a  a
0  1b  b

3 Pencerminan terhadap sumbu Y (My) (a,b) → (-a,b)  1 0a   a
1b
 0  b 
  

4 Pencerminan terhadap titik asal O (a,b) → (-a,-b)  1 0 a   a
 1b  b
atau setengah putaran dengan pusat  0


O (R1800 atau H)

5 Pencerminan terhadap garis y = x (a,b) → (b,a) 0 1a  b
1 0b a
(My=x)

6 Pencerminan terhadap garis y = - (a,b) → (-b,-a) 0  1a   b
x(My=-x)  1  a
0  b


7 Perputaran -900 terhadap O (R-900) (a,b) → (b,-a) 0 1a  b
 1 0b  a

8 Perputaran 900 terhadap O (R-900) (a,b) → (-b,a) 0  1a   b
1 0 b  a 

Contoh 1
Tentukan bayangan titik R(4,10) pada putaran dengan pusat O dan sudut putar 450
Jawab
Matriks transformasi:

cos 450  sin 450  1 2 1 2   1 2 1 2   3 2
cos 450   2 2 2   2 2   
A=     2 1    x'   2 1  4   7
  1   y'  1 2
sin 45 0   10

2 2  2
2 2 

Jadi,bayangan titik R(4,10) pada putaran dengan pusat O dan sudut putar 450 adalah R’

(3 2,7 2)

Contoh 2

Tentukan :

a.R 0 (4,1)
90

b.R450 (1,4)

c.R450 0 R 0 (4,1)
90

Jawab

a.R900 (4,1)  (1,4)

b.R450 (1,4)  ( 1 2(1  4), 1 2(1  4)  (2 1 2,1 1 2)
2 2 2 2

c.R450 0R900 (4,1)  R450 ( R900 (4,1))  R450 (1,4)  (2 1 2,1 1 2)
2 2

Contoh 3



Tentukan bayangan titik A (2,-3) dirotasi sebesar terhadap pusat (-3,4)

2

Jawab

Persamaan matriks

 xy''   cos   sin   x  h    h    0 01 23    43   xy''   57  43   94 
 sin 2 2 y  k k 1 34 
 
2 cos 
2

LATIHAN

Carilah

1.R450 (1,2)
2.R300 (2,1)
3.R900 (1,3)
4.R450 oR300 (2,1)
5.R600 0R450 (1,2)

DILATASI ( PERKALIAN)

Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau

memperkecil) suatu bangun yang sebangun.

1. Dilatasi yang berpusat di O(0,0) dan skala k:

A(x, y) O,k  A' (kx, ky)

  2. Bangun datar A didilatasi 0,0 , k menjadi bangun datar A’ selalu berlaku:

(i) Luas bangun datar A’ = k2 x luas bangun data A

(ii) Luas bangun datar A’= k0 x luas bangun datar A

0k

3. Dilatasi yang berpusat di P(a,b) dan skala k:

A(a, b) a,b,k A' (k(x  a)  a, k( y  b)  b)

Contoh 1

Segitiga ABC dengan titik sudut A(1,1),B(7,3),dan C(9,4) didilatasi ((0,0),2) carilah:

a. Koordinat bayangan titik – titik sudut segitiga ABC

b. Luas segitiga ABC

c. Luas bayangan segitiga ABC

Jawab

a. A’(2,2),B’(14,6) dan C’(18,8)

b. 11 7 9 1  1 3  28  9  7  27  4  1satuanluas
Luas segitiga ABC= 2 1 3 4 12

c. Luas bayangan segitiga ABC =

1 2 14 18 2  1 12  112  36  28  108  16  1 8  4 satuan luas
22 6 8 2 2 2

Contoh 2
Tentukan persamaan bayangan dari garis x – 2y – 3 = 0 didilatasi dengan pusat (0,0) dan skala
k =2
Jawab
Kita akan menjawab dengan cara pendekatan koordinat
Garis = x – 2y – 3 = 0

11

(x’,y’) = (2x,2y).hal ini berarti: x= x’ dan y= y’.................(1)

22

Persamaan (1) disubtitusikan ke garis x – 2y – 3 = 0,diperoleh:

11

Bayangan: x-2( y)-3=0 → x-2y-6=0 ,jadi bayangannya adalah x – 2y – 6 = 0

22

Contoh 3

  Cari bayangan titik B(2,1) karena dilatasi P  1,2 , k  2

Jawab

B(x, y) Pa,b,k B' (k(x  a)  a, k( y  b)  b)

B(2,1) P1,2,2 B' (2(2  1)  1,2(1  2)  2)

B(2,1) P1,2,2 B' (7,4)

LATIHAN

 1. Tentukan bayangan titik P(2,1),Q(4,1),R(4,3) dan S(2,3) karena perkalian 0,2

2. Titik – titik sudut suatu persegi A(3,1),B(3,4),C(6,4) dan D(6,1) carilah matriks yang

 bersesuaian dengan dilatasi 0,2 dan tentukan bayangan titik – titik sudut persegi

tersebut beserta luasnya
3. Diketahui segitiga ABC dengan titik – titik sudutnya A(2,1),B(8,3) dan C(6,5)

  didilatasikan oleh 0,0 , k  2 .tentukan luas bayangan segitiga ABC

4. Tentukan bayangan titik berikut oleh perkalian yang berpusat di P (1,2) dan faktor
skala 5
a. R (2,0)
b. S (3,1)
c. T(3,5)
d. U(5,7)

5. Diberikan segitiga ABC dengan A(-2,-1) ,B(0,5) dan C(5,2).Jika segitiga ABC didilatasi

oleh 3,2, k  2 ,carilah:

a. Bayangan titik berat segitiga ABC
b. Bayangan garis berat segitiga ABC dari titik A
c. Bayanagn garis tinggi segitiga ABC dari titik A

MODUL 6

BARISAN,DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI

Kompetensi Inti Pengetahuan
3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
Kompetensi Inti Keterampilan
4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan
masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan,peluruhan,bunga,majemuk dan anuitas)
Indikator
Siswa dapat menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri

MATERI

POLA BARISAN
Contoh

Tentukan empat suku pertama dari barisan
a. Un = (n-1)3
b. Un = n2 – 5n

Jawab
a. Un= (n -1 )3

U1 = (1-1)3= 0
U2 = (2-1)3 = 1
U3 = ( 3 – 1)3= 8
U4 = (4 – 1 )4 = 27
Jadi empat suku pertama barisan tersebut adalah 0,1,8 dan 27
b. Un = n2 – 5n
U1 = 12 – 5.1 = 1-5 = -4
U2 = 22 – 5.2 = 4 – 5 = -6
U3 = 32 – 5.3 = 27 – 15 = -6
U4 = 42 – 5.4 = 16 – 20 = -4
Jadi, empat suku pertama barisan tersebut adalah -4, - 6, -6 dan -4

BARISAN ARITMETIKA

Adalah barisan yang memiliki beda atau selisih yang selalu tetap (konstan) antara kedua suku

yang berurutan

U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U4 = a + 3b
.................

Menentukan suku ke n

Un= a + (n – 1 ) b
Keterangan

Un= suku ke n
a = suku pertama

n = banyak suku

b = beda (selisih) = U2 – U1 = U3 – U2
Menentukan suku tengah barisan aritmetika

U tengah  1 (U awal  U akhir )
2

Menentukan jumlah suku ke n

Sn  n (a Un)  Sn  n (2a  (n  1)b)
2 2

Contoh

1. Tentukan suku pertama,beda,rumus suku ke n dan suku ke-10 dari barisan berikut.

a. 5,10,15,20,....

b. 2,-1,-4,-7,....

Jawab

a. Suku pertama= a = 5

Beda = 10 – 5 = 15 – 10 = 20 – 15 = 5

Rumus suku ke – n (Un) = a + (n-1) b= 5 + ( n-1 )b= 5 + 5n – 5 = 5n
Suku ke 10 adalah 5.(10)=50

b. Suku pertama = a = 2

Beda (b) = -1-(-2) = -4 – (-1) = -3

Rumus suku ke n = a + (n – 1 )b=2 + (n – 1 ) (-3)

Un= 2 -3n + 3 = 5 – 3n
Suku ke 10 adalah 5 – 3.10 = 5 - 30 = -25

2. Diketahui suku ke-4 dan suku ke-12 dari suatu barisan aritmetika berturut – turut adalah

15 dan 47. Tentukan suku ke 28 barisan tersebut

Jawab

U4= 15 → a + 3 b = 15 .........................(1)
U12=47 → a + 11b = 47 - ........................(2)

-8b = -32.......................b= -32/-8 = 4....................b=4

b = 4.........a + 3b = 15 → a + 3. 4 = 15

a + 12 = 15...................a= 15 – 12= 3........a=3

U28= a + 27 b = 3 + 27. 4 = 3 + 108 = 111
Jadi suku ke 28 barisan tersebut adalah 111

3. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika.Jika jumlah dan hasil kali dari ketiga bilangan

tersebut berturut-turut adalah 27 dan 504,tentukan ketiga bilangan tersebut

Jawab

Misal 3 barisan tersebut a,a + b, a + 2b

Jika dijumlahkan

a + a + b + a + 2b = 27

3a + 3b = 27

a + b = 9............................a= 9 – b

jika dikalikan

a(a + b) (a + 2b)

a= 9 - b→ a(a+b)(a+2b)=(9-b)(9-b+b)(9-b+2b)=(9 – b) (9) (9 + b)

dari (9 – b ) ( 9 ) ( 9 + b) = 504........................dibagi 9

(9 – b) ( 9 + b) = 56
81 – 9b + 9b –b2 = 56..................81 – b2 = 56..............b2 = 81 – 56
b2 = 25..................b1= -5 dan b2 = 5

b=-5..............a= 9 – (-5) = 9 + 5 = 14

b = 5 ............a= 9 – 5 = 4

jadi ketiga bilangan tersebut adalah 4,9 dan 14

4. Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah -81 dan suku terakhir -161.Jika suku ke-4

adalah -16,tentukan suku pertama,beda dan banyak suku barisan tersebut

Jawab

Suku awal

U tengah  1 (U awal  U akhir )
2

 81  1 (U awal  (161))
2

 81  1  161  1  81  161   1  U awal  1
2 U awal 2 2 U awal 22

Beda barisan

Suku ke-4 (U4) = -16 ↔ -1 + (4-1)b = -16
-1 + 3b = -16

3b = -16 + 1

3b = -15.................b=-5

5. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang.Pada tahun

tahun berikutnya,hasil produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per

tahun.Tentukan pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit

barang

Jawab

Penurunan produksi bernilai tetap,berarti merupakan persoalan barisan aritmetika

dengan beda (b) = -80,a= 5000 dan Un = 3000
Un = a + (n – 1 ) b
3000 = 5000 + (n – 1 ) ( -80 )

3000 = 5000 -80n + 80

3000 – 5000 – 80 = -80n

80n = 2.080.....................n=26

6. Untuk membuat ulir disediakan roda gigi pengganti.Banyak roda gigi masing – masing

membentuk barisan aritmetika yaitu 20,25,30,....,120.Tentukan banyak roda gigi yang

disediakan

Jawab

a = 20, b = 25 – 20 = 30 – 25 = 5 dan Un = 120
Un = a + (n – 1 ) b
120 = 20 + ( n – 1 ) 5

120 = 20 +5n – 5

5n = 105.................n=21

7. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 17 dan suku ke-9 =37.tentukan suku

ke-41 barisan tersebut

Jawab

U4= a + 3b = 17...........................(1)
U9 = a + 8b = 37...........................(2)
Dari 1 dan 2

a + 3b = 17

a + 8b = 37 –

-5b = -20.......................b = 4

b = 4 ke persamaan a + 3b = 17

a + 3.4 = 17

a + 12 = 17.....................a= 17 – 12 = 5.................a=5

U41 = a + 40b= 5 + 40. 4 = 5 + 160 = 165
Jadi,suku ke 41 barisan tersebut adalah 165

8. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 11 + 16 + 21 + ....

Jawab

a = 11,b = 16 – 11 = 21 – 16 = 5, dan n =10

Sn  n (2a  (n  1)b)
2

S10  10 (2(11)  (10  1)5)  5(22  45)  5(67)  335
2

Jadi jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 335
9. Diketahui deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 +....

a.rumus suku ke-n
b.rumus jumlah n suku pertama Sn
c. jumlah 20 suku pertama
jawab
a=2
b=5–2=8–5=3
a. Un = a + ( n – 1 ) = 2 + ( n – 1 ) 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1

b. Sn = n (a  U n )  n (2  (3n  1))  n (1  3n)  n  3n 2
2 2 2 2 2

c. S 20 20  3.20 2  10  600  610
2 2

10. Tentukan rumus suku ke n jika rumus jumlah n suku pertama Dri suatu deret aritmetika
adalah Sn = 3n2 + n
Jawab
Un = Sn – Sn-1
= 3n2 + n – (3(n-1)2 + (n-1))
= 3n2 + n – ( 3 (n2 – 2n +1) + n -1))
= 3n2 + n – 3n2 + 6n - 3 - n – 1= 6n – 2
Jadi,rumus suku ke-n deret tersebut adalah Un = 6n - 2

11. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp 50.000,00.Jika gaji pertama
karyawan tersebut adalah Rp 2.500.000,00 tentukan jumlah gaji selama satu tahun
pertama
Jawab
a = 2.500.000
b = 50.000
n = 1 tahun= 12 bulan

Sn  n (2a  (n  1)b)
2

S12  12 (2(2500000)  (12  1)(50.000)
2

6(5.000.000)  11(50.000)  6(5.550.000)  33.300.000

Jadi jumlah gaji karyawan tersebut selama satu tahun pertama adalah Rp 33.300.000

LATIHAN

1. Tentukan rumus suku ke n dan suku ke 100 dari barisan berikut

a. -8, -12, -16, -20,.... c. -5, -1 3,7,11,...

b. 3, 9, 15, 21,....

2. Diketahui barisan aritmetika -8, -5, -2,...,73, tentukan banyak suku barisan tersebut

3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke 2 adlah 17.jika hasil penjumlahan suku ke

-5 ,suku ke -7 dan suku ke -10 adalah -13 tentukan beda barisan dan suku ke -6

barisan tersebut

4. Diketahui barisan aritmetika dengan hasil penjumlahan suku ke 3 dan suku ke 5 adalah

68 dan hasil penjumlahan suku ke 6 dan suku ke 8 adalah 44 tentukan suku ke 28

barisan tersebut

5. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-2 adalah 17 ,jika hasil penjumlahan suku

ke-5,suku ke-7 dan suku ke-10 adalah -13, tentukan beda barisan dan suku ke-6

barisan tersebut

6. Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah ketiga bilangan

tersebut 33. Jika hasil kali ketiga bilangan tersebut 1155,tentukan ketiga bilangan

tersebut

7. Suku tengah suatu barisan aritematika adalah 249 dan suku terakhirnya 491.Jika suku

ke-7 adalah 73 tentukan suku pertama,beda dan banyak suku barisan tersebut

8. Tentukan suku tengah dari barisan berikut.

a. -2, -6 ,-10,-14,...-330

b. 7,13,19,...475

c. 5,13,21,....,1037

9. Tentukan rumus suku ke n dan jumlah 35 suku pertama dari deret aritmetika berikut.

a. 81 + 75 + 69 + 63 + ...

b. 4 + 11 + 18 + 25 + ...

10. Ahmad menyisihkan uang jajannya setiap hari dengan pola RP3.000,-:Rp3500,-
;Rp4000,- dan begitu seterusnya.tentukan setelah hari ke berapa jumlah tabungannya
mencapai Rp 630.000,-

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan
mengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap (r=rasio)

r  U 2  U 3  ...  U n
U1 U2 U n1

Bentuk umum barisan geometri adalah

U1  a

U 2  ar

U 3  ar 2

U n  ar n1

Dengan : Un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio antara dua suku yang berururtan
n = banyak suku

SUKU TENGAH

U tengah  U awal .U akhir

JUMLAH SUKU Ke-n DERET GEOMETRI

Sn  a(1  rn) , jika  r 1
1 r

Sn  a(r n  1) , jika  r 1
r 1

Dengan
Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
a = suku pertama
r = rasio (pembanding)
n = banyak suku

contoh 1
Tentukan suku pertama,rasio,rumus suku ke-n dan suku ke-8 dari barisan 128,32,8,...
JAWAB:
a = 128

r  U 2  U 3  32  8  1
U1 U 2 128 32 4

 128 1  n1
4
   U n n 1  292n
 ar n1  27 22  27 2 2n2

U8  292(8)  2 916  2 7 1
128

Contoh 2
Pada tahun 2003 jumlah penduduk suatu kota adalah 500.000,- 0rang.Oleh karena faktor
urbanisasi dan kelahiran jumlah penduduk setiap tahunnya bertambah 2%.Tentukan jumlah
penduduk pada tahun 2016
Jawab

Suku Tahun Jumlah Penduduk
U1 2003 500.000
U2 2004 500.000 (1 + 0,02)1
U3 2005 500.000 ( 1 + 0,02)2

Un 500.000 ( 1 + 0,02)n-1

a = 500.000,r=1 + 2% = 1,02 maka pada tahun 2016 (U14) diperoleh
Un = 500.000(1,02)n-1 = 500.000 (1,02)14-1 = 500.000 (1,02)13 = 646.803
Jadi jumlah penduduk pada tahun 2016 adalah 646.803

Contoh 3
Perencana mesin perkakas memerlukan empat roda gigi A,B,C dan D yang satu sama lain
merupakan penggerak dan yang digerakkan Roda gigi tersebut diletakkan berurutan dan
putaran roda giginya membentuk barisan geometri.Tentukan berapa putaran/menit roda gigi D
jika diketahui putaran roda gigi A = 30 putaran/menit dan B= 60 putaran/menit
Jawab
Barisan geometri 30,60,....
a = 30 dan r= 60 : 30 = 2
Un = arn-1 .................U4 = 30.24-1 = 30. 23 = 30 . 8 = 240
Jadi, putaran roda gigi D adalah 240 putaran/menit

Contoh 4
Tentukan rasio,suku ke – 10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24
+ ...
Jawab
a=3

r  U 2  6  2(r  1)
U1 3

U n  ar n1  3(2)101  3.29  3.512  1.536

Sn  a(r n  1)  3(210  1)  3(1.024  1)  3(1023)  3069
r 1 2 1

Contoh 5

Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri 54 + 18 + 6 + 2 +...

Jawab

a = 54 dan r = 18  1
54 3

S~  a  54  54  81
1 r 1 1 2

33

Jadi,jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah 81

Contoh 6

Diketahui rasio suatu deret geometri tak hingga adalah 1/3 dan jumlahnya 4,5 .tentukan suku

pertama deret tersebut

Jawab

S~ a
1 r

a  (1  r)S~  (1  1)(4,5)  2 (4,5) 3
3 3

Jadi,suku pertama deret tersebut adalah 3

Contoh 7

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari lantai, bola mencapai

ketinggian 3/4 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang lintasan yang dilalui bola hingga

berhenti?

Jawab:

Khusus untuk soal model seperti ini, kita menjumlahkan panjang lintasan saat bola turun dan

bola naik.

1. Lintasan saat bola turun

a=2

r = 3/4

S~= a

1- r

S~= 2

1-3/4

S~= 2

4/4-3/4

S ~ = 2 = 2 : 1/4 = 2 x 4/1 = 8m

1/4

2. Lintasan saat bola naik

a = 2 x 3/4 = 3/2

r = 3/4

S~= a

1- r

S ~ = 3/2

1-3/4

S~= 3/2

4/4-3/4

S ~ = 3/2 = 3/2 : 1/4 = 3/2 x 4/1 = 6m

1/4

Panjang lintasan hingga bola berhenti adalah 8m + 6m = 14m.

LATIHAN

1. Diketahui deret geometri 4 + 2 + 1 + ....

a. Tentukan rasioa

b. Tentukan suku ke-12

c. Hitunglah jumlah 12 suku pertama deret tersebut

2. Tentukan banyaknya suku untuk setiap barisan geometri berikut

a. 5,10,20,...., 1.280

b. -128,64,-32,...,1/16

3. Diketahui deret geometri dengan suku ke-n adalah Un.Jika U3=3 dan U5 = 27,tentukan

rumus suku ke-n deret tersebut,kemudian hitung jumlah 5 suku pertamanya dan suku

ke-8

4. Diketahui deret geometri -8 + 4 -2 + 1 + ... tentukan

a. Rumus jumlah n suku pertama

b. Jumlah 12 suku pertama

5. Tentukan jumlah dari deret geometri -128, 64, -32 +....+ 4

6. Diketahui suatu deret geometri dengan S2=15 dan S4 = 75.Tentukan rumus suku ke-n

deret tersebut,kemudian hitung jumlah 10 suku pertamanya

7. Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri berikut

a. 25 + 5 + 1

b. 24 + 36 + 54 + 81 + ...

8. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 2m.setelah dijatuhkan bola memantul setinggi

4/3 m ,kemudian memantul kembali setinggi 8/9 m dan seterusnya.ternyata ketinggian

pantulan bola tersebut membentuk suatu deret geometri.tentukan panjang seluruh

lintasan bola sampai berhenti

9. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 64.Jika suku ke-2 deret tersebut adalah
12,tentukan jumlah lima suku pertamanya

10. Diketahui deret geometri tak hingga adalah 49.jika rasionya 2/7 tentukan suku pertama
deret tersebut

PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Kasus 1 (Bunga Tunggal)

Tutik meminjam uang sebesar Rp 5.000.000,00 di koperasi karyawan dan akan dicicil setiap

akhir bulan dengan jumlah yang sama sebesar Rp 500.000,- jika koperasi tersebut

membebankan bunga sebesar 2 % dari sisa pinjaman,tentukan bunga yang harus

dibayarakan Tutik

Jawab

Pinjaman uang sebesar Rp 5.000.000,00 akan dicicil setiap akhir bulan sebesar Rp

500.000,00.Dengan demikian,Tutik akan mencicil selama 10 bulan

(Rp 5.000.000,-:Rp 500.000,-) dengan besar masing – masing bunga yang ditanggung setiap

bulannya adalah sebagai berikut

Bulan ke-1: bunga = 2% x Rp 5.000.000,00 = Rp 100.000,00

Bulan ke-2: bunga = 2% x Rp 4.500.000,00 = Rp 90.000,00

Bulan ke-3: bunga = 2 % x Rp 4.000.000,00 = Rp 80.000,00 ; dan seterusnya

Jika dilihat dari pola bunga yang ditanggung oleh Tutik setiap bulannya,besar bunga tersebut

membentuk deret aritmetika dengan beda b = -10.000,suku pertama = a = 100.000 dan

n=10

Maka

Sn  n (2a  (n  1)b)  10 (2(100.000)  (10  1)(10.000)  5(200.000  9(10.000))
2 2

 5(200.000  90.000)  5(110.000)  550.000

Kasus 2
Pada awal tahun 2016,Dika meminjam uang sebesar Rp 10.000.000,00 di bank dengan suku
bunga tunggal sebesar 1,25% perbulan.Tentukan besar bunga yang harus dibayarkan oleh Dika
setelah 1,5 tahun
Jawab
Bulan ke-1 : bunga = 1.1,25% x Rp 10.000.000,- = Rp 125.000,00
Bulan ke-2 : bunga = 2.1,25% x Rp 10.000.000,- = Rp 250.000,00
Bulan ke-3 : bunga = 3. 1,25% x Rp10.000.000,- = Rp 375.000,00
Maka suku pertama atau a= 125.000,00 beda = b = 250.000 – 125.000 = 125.000
Besar bunga yang dibayarkan setelah 1,5 tahun (18 bulan ) adalah sebagai berikut
Un=a + (n-1) b= 125.000 + (18 -1) (125.000)= 125.000 + 17 ( 125.000)
125.000 + 2.125.000 = 2.250.000
Jadi besar bunga yang harus dibayarkan oleh Dika setelah 1,5 tahun adalah Rp 2.250.000,-
Kasus 3 (pertumbuhan)
Seorang siswa sedang meneliti sebuah kecambah yang ia tanam untuk tugas sekolahnya.Setiap
hari,ia mencatat perubahan tinggi tanaman dan kemunculan daun pada tanaman tersebut yang
dapat dilihat dari tabel berikut

Hari ke- Tinggi tanaman (cm) Banyak Daun
1 2,5 1
2 4 2
3 5,5 2
4 7 3
5 8,5 4

Dari hari ke-12 siswa tersebut lupa mencatat perubahan tinggi tanaman tersebut.Dengan
melihat pola pertumbuhan tanaman tersebut,tentukan tinggi tanaman pada hari ke-12
Jawab

Berdasarkan data pada tabel,diketahui bahwa pertambahan tinggi tanaman setiap harinya
selalu tetap sebesar b = 4 – 2,5 = 1,5 cm.Oleh karena itu,digunakan konsep barisan aritmetika
Un = a + (n-1) b = 2,5 + (12 – 1) (1,5) = 2,5 + 11 (1,5) = 2,5 + 16,5 = 19
Jadi,tinggi tanaman tersebut pada hari ke-12 adalah 19 cm

PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Contoh 1
Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah
jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?
Penyelesaian:
a=3
r=4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5
Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri

Contoh 2
Sebuah bakteri dapat berkembang biak dengan cara membelah diri setiap detiknya menjadi dua
buah bakteri. Satu detik kemudian membelah lagi menjadi dua buah bakteri dan seterusnya
selalu membelah dua setiap detik. Jumlah bakteri yang ada sekarang adalah….
Penyelesaiannya.
Diketahui : Satu bakteri membelah menjadi 2 buah, setiap bakteri membelah
lagi menjadi 2 bakteri dan seterusnya.
Ditanyakan : Jumlah bakteri yang ada.
Jawaban I : Jika kita bisa memperkirakan bakteri membelah diri sebanyak 10
kali maka banyaknya bakteri adalah……
Pembelahan ke : 1 2 3 4 5 …... n
Jumlah bakteri : 2 4 8 16 32……2n
Banyak bakteri yang membelah diri sebanyak 10 kali = 2n= 210= 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 1024
Jadi jumlah bakteri yang membelah diri 10 kali adalah 1024 buah.
Jawaban II : Jika kita bisa memperkirakan bakteri membelah diri sebanyak 20
kali maka banyaknya bakteri adalah……
Pembelahan ke : 1 2 3 4 5 …... n
Jumlah bakteri : 2 4 8 16 32……2n
Banyaknya bakteri yang membelah diri sebanyak 20 kali adalah = 2n = 220
= 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 1048576 buah.
Jadi jumlah bakteri yang membelah diri 20 kali adalah 1048576 buah bakteri
Contoh 3

Suatu zat radioaktif meluruh dengan waktu paro 20 hari. Agar zat radioaktif hanya tinggal 1/8
saja dari jumlah asalnya, maka diperlukan waktu.... hari

Pembahasan

Data: T1/2 = 20 hari
Nt/No = 1/8
t =......
Lamanya peluruhan adalah

t

Nt   1  T1

2

N0  2 

t

1   1  20
8 2

 1 3   1 t  t  3  t  3(20)  60hari

 20
 2   2  20

LATIHAN

1. Sebuah tali dipotong menjadi 8 bagian dengan panjang setiap potongan tali membentuk
deret geometri.Jika potongan tali terpendek dan terpanjang berturut – turut adalah 8 cm
dan 174,96 m,tentukan panjang tali sebelum dipotong

2. Bakteri membelah diri menjadi 2 bagian setiap 45 menit sekali.Jika pada pukul 17.25
banyak bakteri adalah 625 ekor,tentukan banyak bakteri pada pukul 19.30

3. Sebuah ruang pementasan seni memiliki 18 baris kursi.Pada barisan paling depan terdapat
7 kursi,dibaris kedua 15 kursi dan dibaris ketiga 23,demikian seterusnya dengan
pertambahan yang tetap.Tentukan banyak kursi dalam ruang pemetasan seni tersebut

4. Fahmi meminjam uang disuatu koperasi sebesar Rp 2.400.000,00 dan akan dicicil setiap
bulan dengan pembayaran yang sama besar,yaitu sebesar Rp 400.000,00 jika koperasi
tersebut membebankan bunga sebesar 2,5% dari sisa pinjaman,tentukan jumlah bunga
yang harus dibayarkan oleh Fahmi

5. Pertambahan penduduk setiap tahun di suatu daerah mengikuti deret geometri.Perkiraan
pertambahan penduduk pada tahun 2010 sebesar 45 orang dan pada tahun 2012 sebesar
180 orang.tentukan pertambahan pada tahun ke-2

MODUL 7

LIMIT FUNGSI AL JABAR
Kompetensi Dasar Pengetahuan
Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional)secara intuitif dan sifat –
sifatnya,serta menentukan eksistensinya
Kompetensi Dasar Keterampilan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar
Indikator
Siswa dapat menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional)secara intuitif
dan sifat – sifatnya,serta menentukan eksistensinya

MATERI
Pengertian Limit
Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai
limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.
1. Pengertian limit secara intuitif

Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut:
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati
2?
Penyelesaian
Untuk menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri
maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut:

X 1.8 1.9 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 2.01 2.02 2.03
f(x) 4.6 4.8 4.9 4.92 4.94 4.96 4.98 5 5.02 5.4 5.06

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri,
sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.
Apabila kita lukis, grafik fungsi f(x) = 2x + 1, untuk x mendekati 2 tampak seperti gambar
berikut.

Y 2 X

5

1
10
2