modul mtk

Ternyata nilai f(x) terus menerus mendekati 5 jika x terus menerus mendekati 2. Di dalam
matematika, pernyataan tersebut dapat ditulis dengan

lim (2x + 1) = 5

x1

Tentukan nilai lim x2  x  3
x 1
x1

Penyelesaian

Fungsi f(x) = x2  x  3 terdefinisi untuk semua x bilangan real, kecuali x = 1.

x 1

Kita tentukan fungsi f(x) x2  x  3 untuk x mendekati 1 seperti pada tabel

x 1

berikut:

X 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 1 1.1 1.2 1.3
2x2 + x – 3 -1.68 -1.32 -0.92 -0.48 -0.245 0 0.52 1.08 1.68

1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.05 0 0.1 0.2 0.3

x2  x  3 4.2 4.4 4.6 4.8 4.9 0 5.2 5.4 5.6

x 1 0

Dari tabel di atas tampak bahwa jika x mendekati 1 dari kini, nilai f(x) mendekati 5
dari arah kiri. Demikian pula x mendekati 1 dari arah kanan, nilai f(x) mendekati 5 dari arah

0
kanan. Untuk x = 1, nilai f(x) = 0 (tidak tentu, atau tidak terdefinisi). Oleh karena itu,

dapat kita tulis lim x2  x  3 5.

=
x1 x 1

Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian limit fungsi secara intuitif
yaitu sebagai berikut:
Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. Pernyataan

lim f(x) = L Artinya untuk x mendekati a (tetapi x ≠a), nilai f(x) mendekati L.

xa

2. Pengertian Limit secara aljabar
Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga dapat dijelaskan secara

aljabar. Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a,
kecuali di a sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real.

Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati a, ditulis lim f(x) = L jika dan
xa

hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa
sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit
secara umum.

3. Pengertian limit fungsi di titik tak berhingga
Misalkan jangkauan nilai x adalah x1, x2, x3, ……..xn, dengan x1 < x2 < x3, <……..berlaku
sebagai berikut;

a. x dikatakan menjadi tak terhingga positif (x  + ∞) jika nilai x selalu menjadi lebih
besar daripada nilai x positif yang telah ditetapkan, betapapun besarnya. Misalnya, x 
+ ∞ pada barisan 1,2,3

b. x dikatakan menjadi tak terhingga (x  - ∞) jika nilai x selalu menjadi lebih kecil
daripada nilai x negatif yang telah ditetapkan, betapapun kecilnya. Misalnya x  - ∞
pada barisan -1, -2, -3,…

c. x dikatakan menjadi tak terhingga (x  ∞) jika |x| ∞

d. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga positif jika lim f(x) = + ∞
xa

e. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga negatif jika lim f(x) = - ∞
xa

f. fungsi f dikatakan menjadi tak terhingga jika lim f(x) = ∞
xa

contoh:

Tentukan lim 1

x3 x3

Penyelesaian:
Misalkan nilai-nilai x yang mendekati 3 (x3) adalah
2,85, 2,89, 2,95, 2,99……atau 3,001, 3,01, 3,1……

1
Dengan demikian, makin besar nilai x, nilai x  3 makin besar. Makin kecil nilai x, nilai

1
x  3 makin keci.

lim 1
Jadi x3 = ∞
x3

Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat menentukan limit suatu
fungsi dengan menggunakan definisi limit secara umum maupun secara intuitif seperti di
atas. Akan tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk menentukan limit, antara
lain:
a. Substitusi;
b. Memfaktorkan
c. Merasionalkan penyebut

1. Menentukan limit dengan substitusi

Nilai suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan real, dapat ditentukan

dengan substitusi, yaitu mengganti nilai x dengan a. namun apabila hasilnya 0
,

0

atau (∞-∞), cara ini tidak dapat diterpakan secara langsung. Fungsi yang diambil

limitnya itu perlu disederhanakan lebih dahulu. Perhatikan contoh berikut.

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

lim x3  8
x2 x  2

Penyelesaian

lim x3  8 = 23  8  0  0
x2 x  2 2  2 4

2. Menentukan limit dengan memfaktorkan

Misalkan terdapat bentuk lim f (x) Seperti yang telah disinggung sebelumnya,

.
xa g(x)

apabila x = a disubstitusikan pada fungsi yang diambil limitnya tersebut

mengakibatkan f (a)  0 (tak tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan secara
g(a) 0

langsung. Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan

memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga keduanya mempunyai faktor yang sama.

Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih

sederhana seperti berikut:

lim f (x)  lim (x  a)P(x)  lim P(x)  P(a) dengan Q (a) ≠0.
g(x) (x  a )Q ( x) Q(x) Q(a)
xa xa xa

Contoh:

lim x2  2x  lim (x x(x  2) 2)  lim x x 2  2 2 2  1
x2  4  2)(x    2
x2 x2 x2

3. Menentukan limit dengan merasionalkan penyebut
Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limitnya sulit

disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak rasional, kita perlu merasionalkan
penyebutnya lebih dahulu. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita
pelajari di kelas 1, antara lain:

a. Pecahan berbentuk a dikalikan dengan b

sehingga diperoleh
bb

a  a x ba ba b
b bb b b

b. Pecahan berbentuk c dikalikan dengan a b sehingga diperoleh

a b a b

c  c x a  b  c(a  b)
a b a b a b ab

Contoh:

lim x 1  lim x 1 x2  3 2
x
x1 x2  3  2 x1 x2  3  2 x2  3  2

 lim (x 1)( x2 3  2 )
x2 3 4
x1

 lim ( x 1)( x2  3  2 )
x2  1
x1

 lim (x 1)( x2  3  2)
x1 (x 1)(x 1)

 lim x2  3  2
x1 x 1

 42

=2
2

Soal dan pembahasan

Contoh 1

Tentukan hasil dari:

penyelesaian
Limit bentuk

,diperoleh

contoh 2

penyelesaian

Limit aljabar bentuk
, Substitusikan saja nilai x,

contoh 3
dengan cara pemfaktoran:

Contoh 5

Pembahasan

LIMIT TAK HINGGA

contoh
Tentukan nilai dari
Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n

contoh
Tentukan nilai dari
jawab
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari
penyebutnya, m > n

contoh
Tentukan nilai dari
jawab
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah
dari penyebutnya, m < n

Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar
Kuadrat".

Ini rumus yang nanti digunakan:

Kita terapkan pada soal berikut
contoh

Nilai dari adalah...

contoh
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a=p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas

contoh

Nilai dari adalah...

contoh
Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.

contoh adalah...

Nilai dari

jawab
Ubah ke bentuk selisih akar seperti ini:

contoh

Nilai dari adalah...

jawab
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.

contoh
Nilai dari
jawab
Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut:

Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0
contoh
Nilai dari
jawab
Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = ∞
Model berikutnya:
contoh
Nilai dari

jawab

Modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika
diubah bentuk akar akan menjadi √4x2:

Substitusi x dengan ∞ ingat bilangan dibagi tak hingga hasilnya (mendekati) NOL.

= 00 3  00 3  3  3 2 3  3
4 444 4

LATIHAN

1. Hitunglah limit dari

a.lim(x  1)
x0

b.lim(2x  3)
x1

c.lim(x 2  x  5)
x3

d.lim 5x 2  2x
x2

e.lim x 2  3
x2 3x  1

f .lim x 2  4x  3
x3 x  3

2. Hitung nilai limit tak hingga dari fungsi berikut

x2  4
a. lim

x~ 4x  3

2
b. lim

x~ 2  2x

4  3x  3x2
c. lim

x~ x2  x  9
(x  4)(2x  1)

d . lim
x~ x(x  5)

e.lim( x 2  1  x 2  1
x~

f .lim( 2x  1  x  3)
x~

MODUL 8

TURUNAN FUNGSI

Kompetensi Dasar Pengetahuan
Menjelaskan sifat – sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar
menggunakan definisi atau sifat – sifat turunan fungsi
Kompetensi Dasar Keterampilan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar
Indikator
Siswa dapat menjelaskan sifat – sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi
aljabar menggunakan definisi atau sifat – sifat turunan fungsi

MATERI

Turunan fungsi aljabar merupakan pembahasan lebih jauh dari limit fungsi. Dengan kata lain
turunan

fungsi merupakan fungsi tertentu dimana nilai fungsi di setiiap titik ditentukan dengan limit
selisih fungsi.
Secara umum dijelaskan sebagai berikut.
Jika dipunyai fungsi f(x) dan turunan f '(x), kedua fungsi tersebut tersebut mempunyai
hubungan:

Jika dipunyai fungsi f(x) fungsi aljabar diperoleh dasar turunan sebagai berikut.
1. f(x) = xn, maka f ‘(x) = nxn-1
2. f(x) = axn, maka f ‘(x) = anxn-1

Sifat-sifat turunan fungsi aljabar

Jika diketahui k suatu konstanta, u = u(x), v = v(x) dan masing-masing mempunyai turunan

u'(x) dan v'(x), maka berlaku:

1. f(x) = u + v, maka f'(x) = u' + v'

2. f(x)= u - v, maka f'(x) = u' - v'

3. f(x) = uv, maka f'(x) = u'v + uv'

4. f(x) = f(u), maka f'(x) = f'(u). u'
5. f(x) = u/v, maka f'(x) = (u'v - uv')/v2

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1. f(x) = x3 + x2
2. f(x) = 4x2 + 5x
3. f(x) = 3x5 + 4x3 – 7x2
4. f(x) = 2x4 + 8x3 – x2– 9x + 1
5. f(x) = x7 + 2x5 – 6x4– 9x2 + 11x

Jawaban ;
1. f’ (x) = 3x3-1 + 2x2-1 = 3x2 + 2x
2. f’(x) = 4.2x2-1 + 5x1-1
= 8x + 5
3. f’ (x) = 3.5x5-1 + 4.3x3-1– 7.2x2-1
=15x4 + 12x2 – 14x
4. f’ (x) = 2.4x4-1 + 8.3x3-1– 2x2-1 – 9
= 8x3 + 24x2 – 2x – 9
5. f ‘(x) = 7.x7-1 + 2.5x5-1– 6.4x4-1 – 9.2x2-1 + 11x1-1
= 7x6 + 10x4 – 24x3– 18x + 11

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut
1. F(x) = (x + 2)(2x3 – 5)
2. F(x) = (x2 + 5)(4x3 – 3x)

3. F(x) = (x + 2)/(3x – 4)
4. F(x) = (x2 + 1)/(x2 – 1)

Jawaban ;
1. F(x) = (x + 2)(2x3 – 5)

Misalkan u = x + 2, maka u’ = 1
dan v = 2x3– 5, maka v’ = 6x2

f’(x) = u’v + uv’
=1 . (2x3– 5) + (x + 2) . 6x = 2x3– 5 + 6x3 + 12x2 = 8x3+ 12x2 – 5

2. F(x) = (x2 + 5)(4x3 – 3x)
Misalkan u = x2 + 5, maka u’ = 2x
dan v = 4x3– 3x, maka v’ = 12x2 – 3

f’(x) = u’v + uv’
= 2x . (4x3– 3x) + (x2 + 5).(12x2 – 3) = (8x4– 6x2) + (12x4 – 3x2 – 15)
= 20x4– 9x2 – 15

3. F(x) = (x + 2)/(3x – 4)

Misalkan u = x + 5, maka u’ = 1 dan v = 3x – 4, maka v’ = 3

f ' (x)  u' v  uv'  1(3x  4)  (x  5)3  3x  4  (3x  15)   19
v 2 (3x  4) 2 (3x  4)2 (3x _ 4)2

4. F(x) = (x2 + 1)/(x2 – 1)
Misalkan u = x2 + 1, maka u’ = 2x dan v = x2 – 1, maka v’ = 2x

f ' (x)  u' v  uv'  2x(x 2  1)  (x 2  1).2x  (2x3  2x)  (2x3  2x)   4x
v 2 (x 2  1) (x 2  1)2 (x 2  1)2

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut.
1. F(x) = (2x + 3)5
2. F(x) = (3x2 – 2)4
3. F(x) = (x3 + 2x)5

Jawaban :

1. F(x) = (2x + 3)5
Misal u = 2x + 3, sehingga du/dx = u’ = 2 , Y = f(x) = u5 Sehingga dy/du = 5u4
F’(x) = dy/du . du/dx
= 5u4 . 2 = 10u4 =10 (2x + 3 )4

2. F(x) = (3x2 – 2)4
Misal u = 3x2 – 4, sehingga du/dx = u’ = 6x, Y = f(x) = u4 Sehingga dy/du = 4u3
F’(x) = dy/du . du/dx
= 4u3 . 6x = 24xu3 =24(3x2– 4)3

3. F(x) = (x3 + 2x)5
Misal u = x3 + 2x, sehingga du/dx = u’ = 3x2+ 2, Y = f(x) = u5 Sehingga dy/du = 5u4
F’(x) = dy/du . du/dx
= 5u4 . (3x2+ 2) = 5(x3+ 2x)4 . (3x2 + 2)

PENERAPAN MATERI TURUNAN

CONTOH 1

Seorang peternak ayam mempunyai pagar sepanjang 200m. Untuk memagari ternaknya, pagar
itu akan dibuat kandang yang berbentuk persegi panjang. Tentukan luas maksimum kandang
tersebut!

Jawab :

Menentukan Model matematika dari permasalahan tersebut
Diketahui : "mempunyai pagar sepanjang 200m" dan "berbentuk persegi panjang"
jadi, panjang pagar pada persoalan di atas dianggap sebagai keliling dari sebuah persegi
panjang.
Rumus Keliling Persegi Panjang adalah :

K = 2 (p + l) sehingga :
200m = 2(p + l)
100m = p + l
misal panjangnya sebagai x, sehingga didapatkan lebarnya (100 - x),maka
100 = p + l → p = 100 – l → l = 100 - p
jika p = x, sehingga l = 100 - x
Karena yang ditanyakan luasnya, sehingga Luas persegi panjang = p . l
L = x(100 - x)
L = 100x - x2
- Menentukan turunan fungsi yang didapatkan
L' = 100 - 2x
- Turunan pertama = 0
L' = 100 - 2x = 0

100 - 2x = 0
- 2x = - 100 , x = (- 100) :( - 2 ) = 50

- Menentukan kedua titik
Didapatkan x = 50
masih ingat kan bahwa p = x dan l = 100 - x
sehingga didapatkan : p = 50m dan l = 100 - 50 = 50m

Jadi Luas Maksimum dari persoalan di atas adalah :
L = p . l → L = 50m . 50m = 2.500m2

CONTOH 2

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 - 6x di titik (3, 9)
Jawab :
f(x) = x3 - 6x
f '(x) = 3x2 - 6
m = f '(3) = 27 - 6 = 21
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)
y - 9 = 21 (x - 3)
y - 9 = 21x - 63
y = 21x – 54

Contoh 3

Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah
Jawab :
x=2
y = x4 - 7x2 + 20 ....................y = 24 - 7.2.2 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8

m =y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x

CONTOH 4

Persamaan garis singgungpada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 adalah ....
Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x3 + 10 = 18
x3 = 8 ........................x = 2
m = y' = 3x2 = 3.22 = 12
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16

Contoh 5

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5
Jawab :
ordinat = 5
y=5
x2 - x + 3 = 5
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Untuk x = 2 maka
m = 2x - 1 = 4 - 1 = 3
y - y1 = m(x - x1)
y - 5 = 3(x - 2)
y - 5 = 3x - 6
y = 3x - 1
Untuk x = -1
m = 2x - 1 = -2 - 1 = -3
y - y1 = m(x - x1)
y - 5 = -3(x + 1)
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2
Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Contoh 6

Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah
Jawab :
ordinat = 6
x4 - 5x2 + 10 = 6
x4 - 5x2 + 4 = 0
(x2 - 1)(x2 - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2
untuk x = -1
m = 4x3 - 10x = -4 + 10 = 6

y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = 6(x + 1)
y - 6 = 6x + 6
y = 6x + 12
Untuk x = 1
m = 4x3 - 10x = 4 - 10 = -6
y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = -6(x - 1)
y - 6 = -6x + 6
y = -6x + 12
Untuk x = -2
m = 4x3 - 10x = 4(-2)3 - 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = -12(x + 2)
y - 6 = -12x - 24
y = -12x - 18
Untuk x = 2
m = 4x3 - 10x = 4.23 - 10.2 = 4.8 - 20 = 32 - 20 = 12
y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = 12(x - 2)
y - 6 = 12x - 24
y = 12x - 18
Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x - 18 dan y =
12x – 18

Contoh 7

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 100x yang bergradien 8
Jawab :
m = 8...................y' = 8
4x3 - 100 = 8
4x3 = 108
x3 = 27..............x = 3
y = x4 - 100x = 81 - 300 = - 219
Persamaan garisnya adalah :
y - y1 = m(x - x1)
y + 219 = 8(x - 3)
y + 219 = 8x - 24
y = 8x - 243

Contoh 8

Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 - 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8
adalah
Jawab :
y = 3x4 – 20........................ y' = 12x3
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m1 = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2) adalah
m2 = m1 = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y' = 12...................12x3 = 12
x3 = 1.....................x = 1
maka y = 3x4 - 20 = 3 - 20 = - 17
Persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)
y + 17 = 12(x - 1) → y + 17 = 12x – 12 → y = 12x – 29

Contoh 9

Diberikan V  1 h3  2h3  3h .Carilah laju perubahan dari V terhadap h saat h = 2
3

Jawab

V  1 h3  2h3  3h  dv  h2  4h  3
3 dh

Saat h = 2 maka  (2)2  4 (2)  3  4  8  3  12  3

Contoh 10

Misalkan biaya total C(x) (dalam ratusan dolar) untuk memproduksi x perahu layar per tahun
ditentukan oleh fungsi C(x)= 575 +25 x – 0,25x2 ; 0≤x≤50
Tentukan

a. Biaya rata – rata
b. Biaya marjinal
c. Biaya marjinal untuk memproduksi 40 perahu layar per tahun

Jawab

a. C(x)  C(x)  575  25x  0,25x 2 ;0  x  50
x xx x

b. Biaya marjinal = C’(x)=25 – 0,5x

c. Biaya marjinal untuk 40 perahu layar

C’(x)=25 – 0,5(40)=25 – 20 = 5

Jadi,biaya marjinal untuk memproduksi 40 perahu layar per tahun adalah 500 dolar

Contoh 11

Biaya total untuk memproduksi sejumlah barang (x) dinyatakan oleh C(x)=2x2 – x + 10
Berapakah biaya marjinal untuk memproduksi 10 barang?

Jawab
C(x)= 2x2 – x + 10 → C’(x) = 4x – 1
Biaya marjinal untuk memproduksi 10 barang = C’(10)= 4(10)-1=39

Contoh 12

Kerja suatu motor listrik sebagai fungsi waktu ditentukan oleh formula w= 18 – 3t2 +2t4
Tentukan bentuk persamaan untuk daya motor listrik itu.

Jawab

Bentuk daya motor listrik merupakan turunan dari kerja terhadap waktu

p  dw  d (18)  3 d (t 2 )  2d (t 4 )  0  6t  8t 3
dt dt dt dt

Contoh 13

Fungsi permintaan : 3x + 4y = 12 ,maka y  12  3x  3  3 x
44

Pendapatan total : R(x)= x(3  3 x)  3x  3 x 2
44

Pendapatan marjinal : R’(x) = 3 – 3/2 x

LATIHAN

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut

a. f(x) = 3
b. f(x) = -x6

2
c. f(x) = x 3

2. tentukan turunan dari

a. f(x) = 4x – 2 c. f(x)= 2x(x+4)
b. f(x) = 10x – 4x d. f(x)= 4x2 + 3x -1

3. tentukan turunan fungsi berikut

a. f(x) = 4 – x

b. f(x) = (x-3)(x+1)

c. f(x) = x2  3x  2

x4

4. tentukan Persamaan garis singgung pada kurva y = x3 - 3x + 3 di titik (0,3)

5. tentukan persamaan kurva y = x2 - 4x . Persamaan garis singgung pada kurva di titik yang

berabsis 4

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi f(x) dikatakan naik jika f'(x) > 0
Fungsi f(x) dikatakan turun jika f'(x) < 0
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f'(x) = 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak naik jika f'(x) ≤ 0
Fungsi f(x) dikatakan tidak turun jika f'(x) ≥ 0

Contoh 1

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = x2 – 8x – 9 naik
Jawab :
Agar naik maka f'(x) > 0
2x – 8 > 0..........................x > 4

Contoh 2

Tentukan nilai x agar fungsi f(x) = -2x2 + 12x – 5 turun
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
-4x + 12 < 0...........................-4x < -12..................................x > 3

Contoh 3

Fungsi f(x) = x3 – 9x2 + 15x – 17 akan naik pada interval ….
Jawab :
Syarat fungsi naiuk adalah f'(x) > 0
3x2 – 18x + 15 > 0
x2 – 6x + 5 > 0
(x -1)(x – 5) > 0

x < 1 atau x > 5

Contoh 4
Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x4 – 18x2 turun adalah …
Jawab :
Agar turun maka f'(x) < 0
4x2 – 36x < 0
x3 – 9x < 0
x(x2-9) < 0
x(x – 3)(x + 3) < 0

x < -3 atau 0 < x < 3
Contoh 5
Nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = -x3 + 6x2 + 36x tidak turun adalah
Jawab :
Agar tidak turun maka f'(x) ≥ 0
-3x2 + 12x + 36 ≥ 0
x2 – 4x – 12 ≤ 0
(x-6)(x+2) ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 6
Contoh 6
Batas-batas nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 – 4x3 + 4x2 – 10 tidak naik adalah ….
Jawab :
4x3 – 12x2 + 8x ≤ 0
x3 – 3x2 + 2x ≤ 0
x(x2 – 3x + 2) ≤0
x(x -1)(x -2) ≤ 0

x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2

LATIHAN

1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut selalu naik
a. f(x) = x3 – 9x2 -21x + 18 d. f(x)=2x3 – 2x2 +5x + 4

b. f(x)= 1 x3 + x2 + 8x + 9 e. f(x)=10 – x2
3

c. f(x) = x3 +2x2 + 8x + 6

2. Tunjukkan bahwa fungsi berikut selalu turun
a. f(x)= -2x3 + 3x2 – 20x +15 c. f(x)= -x3 + x2 – 4x + 6
d. f(x) = 1 – 2x – x2
b. f(x) = x (x-3)

MODUL 9

INTEGRAL

Kompetensi Dasar Pengetahuan
Menjelaskan sifat – sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar
menggunakan definisi atau sifat – sifat turunan fungsi
Kompetensi Dasar Keterampilan
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar
Indikator
Siswa dapat menjelaskan sifat – sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi
aljabar menggunakan definisi atau sifat – sifat turunan fungsi

MATERI

Mengingat kembali tentang turunan
Dalam konsep defferensial (turunan) fungsi telah kita pahami teorema sebagai berikut

y=axn Fungsi aLjabar
 y’ = a. n xn -1

y = 2 x4  y’ = 2 (4) x 41

y = 3 x3/2  y’ = (3). 3 3 1
2
3 x2

y = 5x x - 2 = 5x 2 -2  y’ = 5. 3 x 1
2

2

Integral sebagai anti turunan

 Definisi: F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada interval I, jika d F (x) = f(x) untuk semua

dx

x dalam I.
Perhatikan beberapa masalah di bawah ini:

Fungsi [ F(x) ]  Fungsi Turunan [ f(x) ]
y = 2 x5  y’ = 2 (5) x5 - 1 = 10 x 4

y = 2 x5 + 15  y’ = 2 (5) x5 - 1 = 10 x 4
y = 2 x5 – 543
y’ = 2 (5) x5 - 1 = 10 x 4
y = 2 x5 + c
y’ = 2 (5) x5 – 1 = 10 x 4

INTEGRAL TAK TENTU
a. Fungsi Eksponen
b. Fungsi Trigonometri