JAMES STEWART

113 Cinemática de mecanismos planos Teoría y Problemas resueltos Manuel Gloria Reino Flores Galán Marín Colección manuales uex - 113

CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS

113 MANUALES UEX

MANUEL REINO FLORES GLORIA GALÁN MARÍN 2020 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS

© Los autores © Universidad de Extremadura para esta 1ª edición Edita: Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones C/ Caldereros, 2 - Planta 3ª. 10071 Cáceres (España) Tel. 927 257 041 ; Fax 927 257 046 E-mail: [email protected] http://www.unex.es/publicaciones ISSN 1135-870-X ISBN 978-84-09-25222-0 Maquetación: Control P - Cáceres - 927 233 223 - www.control-p.eu Esta obra ha sido objeto de una doble evaluación, una interna, llevada a cabo por el consejo asesor del Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura, y otra externa, efectuada por evaluadores independientes de reconocido prestigio en el campo temático de la misma.

A César A Juan y Hernán

ÍNDICE GENERAL ÍN DI CE PRÓLOGO 11 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS 13 1.1. Introducción 13 1.2. Eslabones, pares y cadena cinemática 13 1.3. Mecanismos y máquinas 15 1.4. Tipos de movimiento 16 1.5. Grados de libertad de un mecanismo 16 1.6. Inversión cinemática 19 1.7. Mecanismo de cuatro barras. Ley de Grashof 21 1.8. Mecanismos de retroceso rápido 24 1.8.1. Mecanismo excéntrico de bielamanivela 24 1.8.2. Mecanismo de Whitworth 25 1.8.3. Mecanismo manivela-balancín 26 2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 27 2.1. Tipos de movimiento 27 2.2. Movimiento de traslación 28 2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo 29 2.4. Movimiento plano general 32 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa 33 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa 34 2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación 37 2.5.1. Velocidades 37 2.5.2. Aceleraciones 40 3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS 43 3.1. Introducción 43 3.2. Métodos gráficos 44

ÍN DI CE 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones 44 3.2.2. Centro instantáneo de rotación 51 3.3. Métodos analíticos 53 3.3.1. Análisis trigonométrico 53 3.3.2. Álgebra vectorial 56 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo 59 4. PROBLEMAS RESUELTOS 65 5. RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB 135

MANUALES UEX 11 El presente manual se presenta como resultado de diez años impartiendo la asignatura Mecanismos y Máquinas en la Escuela de Ingenierías Industriales de la Universidad de Extremadura. Mecanismos y Máquinas es común a las titulaciones de Grado de la Rama Industrial y es de carácter obligatorio. Se imparte en el segundo curso de cuatro titulaciones de la Universidad de Extremadura: Grado en Ingeniería Eléctrica, Grado en Ingeniería Electrónica y Automática, Grado en Ingeniería Mecánica y Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. A través de la asignatura Mecanismos y Máquinas, el alumno adquiere los fundamentos de la Teoría de Máquinas y Mecanismos, así como otros conocimientos conceptuales que sirven como base para aquellas materias y aplicaciones relacionadas con la Ingeniería Mecánica. La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones que generan dichos movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento. Este manual se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los mismos. Aunque existen muchos manuales dedicados al estudio cinemático de mecanismos, existe un cierto vacío en lo que se refiere a textos que, abordando todos los aspectos introductorios básicos de la cinemática del sólido rígido, apliquen al mismo tiempo los conceptos presentados sobre una extensa colección de mecanismos, abordando tanto la resolución gráfica del problema como sobre todo la resolución analítica para cualquier posición. El contenido del manual se inicia con un capítulo dedicado a presentar los conceptos básicos introductorios sobre la Teoría de Máquinas y Mecanismos. El segundo capítulo aborda la cinemática del sólido rígido sin presuponer conocimientos previos, de forma que el texto pueda utilizarse como iniciación en un curso semestral en el que la formación y los PRÓLOGO

MANUALES UEX 12 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN intereses de los alumnos sean heterogéneos, al pertenecer a especialidades muy distintas de un primer o segundo año de ingeniería. En el tercer capítulo se aplicarán los conceptos presentados sobre la cinemática del sólido rígido a los mecanismos planos. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos, para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo, aunque sólo son útiles en una posición dada. Los métodos analíticos, por el contrario, permiten obtener el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es normalmente el objetivo. En el cuarto capítulo se presenta una extensa relación de casos prácticos resueltos, ordenados según una dificultad creciente, desde mecanismos con un movimiento básico hasta aquellos en los que aparece movimiento relativo. Se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos generales muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab. Se ha realizado así un manual que intenta integrar los distintos enfoques prácticos para la resolución cinemática de un mecanismo plano, primando la sencillez y la didáctica en la selección de contenidos tanto teóricos como aplicados. Por un lado, se presenta en cada mecanismo un método analítico que permite obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Por otro lado, puesto que en ocasiones los métodos analíticos son poco intuitivos, se presenta también la interpretación vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido en la resolución de todos los casos prácticos, apoyándose en muchas ocasiones en métodos gráficos para comprender el movimiento en posiciones concretas. De este modo, atendiendo a criterios de facilidad pedagógica y con un nivel introductorio adecuado para una asignatura de grado común a distintas especialidades de ingeniería, se presentan los conceptos básicos de cinemática de mecanismos planos sobre una extensa relación de problemas resueltos, partiendo de un enfoque vectorial y gráfico, hasta llegar a un enfoque analítico que pueda ser fácilmente programable.

MANUALES UEX 13 1.1. INTRODUCCIÓN La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones (fuerzas y momentos) que generan dichos movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento. Este libro se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los mismos. 1.2. ESLABONES, PARES Y CADENA CINEMÁTICA Se denomina eslabón a cada uno de los sólidos rígidos que componen la máquina. En la literatura técnica suelen usarse también otros nombres como: elemento, miembro o barra. El concepto de pieza se halla en un nivel inferior al de eslabón, pues una sola pieza, o un conjunto de piezas unidas formando un sólido rígido constituyen un eslabón. Cada eslabón está unido a otros eslabones, los cuales pueden clasificarse en según el tipo de movimiento desarrollado: • Balancín: eslabón que oscila respecto de un eje fijo. • Manivela: eslabón que da vueltas completas alrededor de un eje fijo. • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS

MANUALES UEX 14 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuerza. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: • Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular q entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. • Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares poseen dos grados de libertad. 9 θ • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuerza. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: • Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. • Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares poseen dos grados de libertad. 9 θ • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuerza. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: • Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. • Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares poseen dos grados de libertad. 9 θ • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuerza. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: • Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. • Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares poseen dos grados de libertad. 9 θ • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuerza. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: • Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. • Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares poseen dos grados de libertad.

MANUALES UEX 15 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemática no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones. 1.3. MECANISMOS Y MÁQUINAS Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como fijo uno de los eslabones. El objeto principal del funcionamiento de un mecanismo es la transmisión y modificación del movimiento. En la figura siguiente se presenta una cadena cinemática en la que, al fijar uno de los eslabones, obtenemos un mecanismo que transforma un movimiento de rotación en una oscilación. La cadena cinemática de cuatro eslabones se convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto de una articulación fija. 10 Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemática no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones. 1.3. Mecanismos y máquinas Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como fijo uno de los eslabones. El objeto principal del funcionamiento de un mecanismo es la transmisión y modificación del movimiento. En la figura siguiente se presenta una cadena cinemática en la que, al fijar uno de los eslabones, obtenemos un mecanismo que transforma un movimiento de rotación en una oscilación. La cadena cinemática de cuatro eslabones se convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto de una articulación fija. A continuación se presenta otro mecanismo habitual como es el biela-manivela, en el que se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa: Un mecanismo plano es aquel en el que todos sus puntos describen curvas planas, y éstas se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del mecanismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analizar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos. Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición comúnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una A continuación se presenta otro mecanismo habitual como es el biela-manivela, en el que se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa: 10 Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemática no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones. 1.3. Mecanismos y máquinas Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como fijo uno de los eslabones. El objeto principal del funcionamiento de un mecanismo es la transmisión y modificación del movimiento. En la figura siguiente se presenta una cadena cinemática en la que, al fijar uno de los eslabones, obtenemos un mecanismo que transforma un movimiento de rotación en una oscilación. La cadena cinemática de cuatro eslabones se convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto de una articulación fija. A continuación se presenta otro mecanismo habitual como es el biela-manivela, en el que se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa: Un mecanismo plano es aquel en el que todos sus puntos describen curvas planas, y éstas se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del mecanismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analizar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos. Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición comúnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una Un mecanismo plano es aquel en el que todos sus puntos describen curvas planas, y éstas se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del mecanismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analizar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos. Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición comúnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una fuente de energía, a una resistencia a vencer realizando un trabajo. Un ejemplo de esta definición es el motor de combustión interna. Se pueden clasificar las máquinas atendiendo a muchos criterios. Uno de ellos es el tipo de energía recibida, según el cual se divididen las máquinas en dos grandes grupos:

MANUALES UEX 16 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN • Motrices: reciben la energía procedente de una fuente natural y la transforman en energía mecánica. Como ejemplos están la turbina hidráulica o un motor de explosión. • Operadoras: reciben la energía mecánica o eléctrica producida por una máquina motriz y la transforman en trabajo. Un ejemplo de ello son las máquinas herramientas. 1.4. TIPOS DE MOVIMIENTO Un mecanismo ha completado un ciclo cinemático cuando inicia su movimiento desde algún conjunto de posiciones relativas, y vuelve a la misma posición inicial, habiendo pasado sus eslabones por todas las posiciones posibles que pueden tomar cada uno de ellos. El tiempo empleado en completar un ciclo se denomina periodo. Se define como fase al conjunto de posiciones relativas simultáneas que ocupan los eslabones del mecanismo en un instante cualquiera del ciclo cinemático. Obsérvese que el concepto de ciclo cinemático difiere del de ciclo energético. Por ejemplo, el motor de combustión interna de cuatro tiempos realiza dos ciclos cinemáticos por cada ciclo energético. Si se consideran los eslabones de un mecanismo atendiendo al tipo de movimiento que realizan durante un ciclo cinemático, se pueden clasificar según los siguientes modos de funcionamiento: • Continuo: el eslabón presenta un movimiento sin interrupción ni parada durante cada ciclo. Un ejemplo sería una manivela o eje de motor en rotación constante. • Intermitente: el eslabón permanece parado un tiempo durante cada ciclo. Ejemplos de este tipo de movimiento son las válvulas con tiempo determinado de apertura y cierre, o el eslabón Cruz de Malta. • Alternativo: el eslabón se caracteriza por presentar ciclo de avance y retroceso, e invierte el sentido de su movimiento durante cada ciclo. Como ejemplos se tiene el balancín en el mecanismo de cuatro barras, o el pistón en el biela-manivela. 1.5. GRADOS DE LIBERTAD DE UN MECANISMO Se definen los grados de libertad o movilidad de un mecanismo como el número de parámetros independientes de entrada que es necesario utilizar para definir completamente su posición. Considérese en primer lugar un eslabón libre en el plano. Puesto que se necesitan tres parámetros para fijarlo en una posición, el eslabón tendrá tres grados de libertad en el plano. Por tanto, antes de conectar los eslabones entre sí, un mecanismo plano de n eslabones tendrá 3.(n-1) grados de libertad, dado que hay que restar los tres grados de libertad que pierde el eslabón fijo o soporte del mecanismo.

MANUALES UEX 17 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Si se conectan los eslabones mediante pares cinemáticos, se observa que cada par con un grado de libertad implica dos restricciones de movimiento entre los eslabones conectados (pues permite un único movimiento). Si se conectan los eslabones mediante un par con dos grados de libertad, se observa que ello implica una sola restricción de movimiento entre los eslabones del par cinemático (pues permite dos movimientos). Si se restan las restricciones que conllevan los pares cinemáticos del número total de grados de libertad que tendrían los eslabones no conectados, se obtiene el criterio de Grübler en el plano, que proporciona el número de grados de libertad m de un mecanismo plano de n eslabones: m = 3 . (n – 1) – 2 . j1 – j2 donde j 1 representa el número de pares con un grado de libertad, y j 2 el número de pares con dos grados de libertad. Hay que señalar que el criterio de Grübler es válido para la mayoría de mecanismos planos, exceptuando algunos mecanismos con restricciones o pares redundantes, o mecanismos con características geométricas especiales. Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es cero, o negativo, no es posible el movimiento relativo entre eslabones, por lo que se transforma en una estructura. Si la movilidad es cero, se trata de una estructura estáticamente determinada. Si la movilidad es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada. Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es mayor que cero, entonces es posible el movimiento relativo entre eslabones. Un mecanismo se denomina desmodrómico si al definir el movimiento del eslabón considerado como entrada, queda completamente definido el movimiento de todos los demás, que se repite en cada ciclo y siempre será el mismo. Este tipo de mecanismos constituyen por ello la base del funcionamiento de las máquinas. Si en un mecanismo el número total de grados de libertad es uno, entonces, definiendo el movimiento un eslabón, todos los puntos del resto de los eslabones se mueven sobre unas líneas determinadas que siempre son las mismas. Por tanto, será desmodrómico. Por último, aquellos mecanismos con un número total de grados de libertad igual o superior a dos se denominan libres o no desmodrómicos, puesto que, si se define el movimiento del eslabón considerado como entrada, los movimientos relativos del resto de eslabones no están determinados. Esto implica que los puntos de los eslabones no se mueven, en general, siempre sobre las mismas trayectorias. Sin embargo, obsérvese que si en un mecanismo no desmodrómico con m grados de libertad, se define el movimiento de m eslabones considerados como entradas, se consigue un mecanismo desmodrómico, puesto que el movimiento del resto de los eslabones queda ya determinado.

MANUALES UEX 18 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos anteriores: • m = 0 ð El sistema es una estructura estáticamente determinada. 13 A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐ riores: m = 0   El sistema es una estructura estáticamente determinada. m = ‐ 1   El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. m = 1   El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan determinadas todas las demás. m = 2   El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultáneamente dos variables de entrada para determinar el resto. • m = - 1 ð El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. 13 A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐ riores: m = 0   El sistema es una estructura estáticamente determinada. m = ‐ 1   El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. m = 1   El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan determinadas todas las demás. m = 2   El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultáneamente dos variables de entrada para determinar el resto. • m = 1 ð El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan determinadas todas las demás. 13 A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐ riores: m = 0   El sistema es una estructura estáticamente determinada. m = ‐ 1   El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. m = 1   El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan determinadas todas las demás. m = 2   El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultáneamente dos variables de entrada para determinar el resto. • m = 2 ð El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultáneamente dos variables de entrada para determinar el resto. 13 ntinuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐   El sistema es una estructura estáticamente determinada.    El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.   El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan adas todas las demás. El mecanismo es no desmodrómico, a que se definan simultáneamente dos de entrada para determinar el resto.

MANUALES UEX 19 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un único par cinemático con un grado de libertad j 1 , se deben considerar en el recuento tantos pares j 1 como eslabones unidos menos uno. En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que aparecen pares superiores con dos grados de libertad j 2 : 14 A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares j1 como eslabones unidos menos uno. En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que aparecen pa‐ res superiores con dos grados de libertad j2: A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos: 1.6. Inversión cinemática Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐ do un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de referen‐ cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar completamente.   A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos: 14 A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares j1 como eslabones unidos menos uno. En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que aparecen pa‐ res superiores con dos grados de libertad j2: A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos: 1.6. Inversión cinemática Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐ do un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de referen‐ cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar completamente.   1.6. INVERSIÓN CINEMÁTICA Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y estableciendo un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de referencia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar completamente.

MANUALES UEX 20 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inversión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos. Para el mecanismo de biela-manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se presentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene el mecanismo básico de biela-manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión. Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta. Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como biela, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de vapor. Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual. 15 Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐ sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos. Para el mecanismo de biela‐manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se pre‐ sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.   Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta. Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐ la, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de vapor. Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual. (1)                                                                                              (2)                          (3)                                                                                                    (4) 15 Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐ sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos. Para el mecanismo de biela‐manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se pre‐ sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.   Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta. Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐ la, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de vapor. Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual. (1)                                                                                              (2)                          (3)                                                                                                    (4)

MANUALES UEX 21 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.7. MECANISMO DE CUATRO BARRAS. LEY DE GRASHOF Partiendo de la cadena cinemática cerrada más simple formada por cuatro eslabones articulados, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, que tiene un grado de libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad. Una consideración importante a la hora del diseño del cuadrilátero articulado es confirmar que en su funcionamiento alguno de los eslabones pueda dar una vuelta completa. De este modo, por ejemplo, se asegura que la manivela de entrada pueda efectuar revoluciones completas si el mecanismo es impulsado porun motor. Existe una ley muy sencilla que garantiza este punto, que es la denominada Ley de Grashof. La ley de Grashof indica que, para garantizar que al menos uno de los eslabones pueda dar vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma de las longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la suma de las longitudes de las dos barras restantes. Es decir que debe verificarse la expresión: a + d ≤ c + b donde el eslabón más corto es a, el eslabón más largo es d, y el resto tienen las longitudes b y c. 16 1.7. Mecanismo de cuatro barras. Ley de Grashof Partiendo de la cadena cinemática cerrada más simple formada por cuatro eslabones articula‐ dos, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, que tiene un grado de libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad.   Una consideración importante a la hora del diseño del cuadrilátero articulado es confirmar que en su funcionamiento alguno de los eslabones pueda dar una vuelta completa. De este modo, por ejemplo, se asegura que la manivela de entrada pueda efectuar revoluciones completas si el mecanismo es impulsado por un motor. Existe una ley muy sencilla que garantiza este punto, que es la denominada Ley de Grashof. La ley de Grashof indica que, para garantizar que al menos uno de los eslabones pueda dar vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma de las longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la suma de las longitudes de las dos barras restantes.   Es decir que debe verificarse la expresión: a + d  ≤ c + b donde el eslabón más corto es a, el eslabón más largo es d, y el resto tienen las longitudes b y c.   Obsérvese que los eslabones más corto y más largo, así como los otros dos, pueden estar co‐ locados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en el que se conectan los eslabones. Si un cuadrilátero articulado no verifica la ley anterior, ningún eslabón podrá dar vueltas com‐ pletas. Los mecanismos de no‐Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como por ejem‐ plo para controlar el movimiento de las ruedas de un automóvil, empleando en los eslabones un movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chasis o bastidor y la biela está unida a la rueda. c b d a Obsérvese que los eslabones más corto y más largo, así como los otros dos, pueden estar colocados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en el que se conectan los eslabones. Si un cuadrilátero articulado no verifica la ley anterior, ningún eslabón podrá dar vueltas completas. Los mecanismos de no-Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como por ejemplo para controlar el movimiento de las ruedas de un automóvil, empleando en los eslabones un movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chasis o bastidor y la biela está unida a la rueda.

MANUALES UEX 22 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se obtienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación: 1) y 2) Mecanismo de manivela-balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc. 17 Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se ob‐ tienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación:   1) y 2) Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc.                                           1)                                                                                                 2) 3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio. 4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas.                                                                                                                                                      4)                                                                                              3)                                          3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio. 4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas. 17 Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se ob‐ tienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación:   1) y 2) Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc.                                           1)                                                                                                 2) 3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplicaciones se tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio. 4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas.                                                                                                                                                      4)                                                                                              3)                                         

MANUALES UEX 23 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual a su opuesta, es decir que se verifica: 18 Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual a su opuesta, es decir que se verifica:             a = c                b = d   Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articulado, en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicación común es el aco‐ plamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones como por ejemplo en robots indus‐ triales o en elevadores de carga para camiones. Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro ba‐ rras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanis‐ mo de manivela‐balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la biela y la mani‐ vela están alineadas. También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capacidad de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para ello debe cumplirse la condición: a + b = c + d En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja como es‐ tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón fijo y la biela el portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se encuentra plegado. Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articulado, en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicación común es el acoplamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones como por ejemplo en robots industriales o en elevadores de carga para camiones. Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro barras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanismo de manivela-balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la biela y la manivela están alineadas. 18 Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual a su opuesta, es decir que se verifica:             a = c                b = d   Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articulado, en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicación común es el aco‐ plamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones como por ejemplo en robots indus‐ triales o en elevadores de carga para camiones. Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro ba‐ rras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanis‐ mo de manivela‐balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la biela y la mani‐ vela están alineadas. También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capacidad de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para ello debe cumplirse la condición: a + b = c + d En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja como es‐ tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón fijo y la biela el portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se encuentra plegado. También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capacidad de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para ello debe cumplirse la condición: a + b = c + d En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja como estructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón fijo y la biela el portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se encuentra plegado.

MANUALES UEX 24 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 1.8. MECANISMOS DE RETROCESO RÁPIDO En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena de montaje, o en máquinas-herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo, llamada carrera de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga. De este modo, el resto del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del ciclo en la que el mecanismo no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial. En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posición inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que emplee una fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo se evita el desperdicio de tiempo y el mecanismo es más eficaz. Denominando t α al tiempo empleado en la carrera de avance y t β al tiempo utilizado en la carrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo: 19 1.8. Mecanismos de retroceso rápido En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena de montaje, o en máquinas‐herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo, llamada carre‐ ra de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga.  De este modo, el resto del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del ciclo en la que el mecanismo no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial. En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posición inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que emplee una fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo se evita el desperdicio de tiempo y el mecanismo es más eficaz. Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐ rrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo: t E t Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de operacio‐ nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐ ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales. 1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela. En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se producen cuando la biela y la manivela están alineadas.  La posición que se corresponde con el principio de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo discontinuo.   Avance Retorno Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de operaciones repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retorno o retroceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales. 1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela-manivela. En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se producen cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo discontinuo. 19 1.8. Mecanismos de retroceso rápido En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena de montaje, o en máquinas‐herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo, llamada carre‐ ra de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga.  De este modo, el resto del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del ciclo en la que el mecanismo no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial. En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posición inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que emplee una fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo se evita el desperdicio de tiempo y el mecanismo es más eficaz. Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐ rrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo: t E t Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de operacio‐ nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐ ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales. 1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela. En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se producen cuando la biela y la manivela están alineadas.  La posición que se corresponde con el principio de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo discontinuo.   Avance Retorno

MANUALES UEX 25 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo t que gira a velocidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance t α : 20 Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐ cidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance tα:   t 2 = . Del mismo modo, si es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t es:                                                               t = 2. De esta forma, la razón de tiempos será:                                                                            E Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del meca‐ nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado.   Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos par‐ tes no iguales. Tomando el ángulo mayor como   y el menor como , se consigue un mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica que tα > tβ. Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también y De este modo se tendría un mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. 1.8.2. Mecanismo de Whitworth.   Este mecanismo (también llamado de limadora), presentado en la figura, es una inversión del mecanismo biela‐manivela en el que, a través de la rotación constan‐ te de la manivela se obtiene un movi‐ miento de oscilación en la guía. Las posi‐ ciones límites del mecanismo también se describen en la figura y coinciden con las dos situaciones en las que la manivela y la guía son perpendiculares. d 2 r Del mismo modo, si b es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t b es: 20 Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐ cidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance tα:   t 2 = . Del mismo modo, si es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t es:                                                               t = 2. De esta forma, la razón de tiempos será:                                                                            E Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del meca‐ nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado.   Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos par‐ tes no iguales. Tomando el ángulo mayor como   y el menor como , se consigue un mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica que tα > tβ. Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también y De este modo se tendría un mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. 1.8.2. Mecanismo de Whitworth.   Este mecanismo (también llamado de limadora), presentado en la figura, es una inversión del mecanismo biela‐manivela en el que, a través de la rotación constan‐ te de la manivela se obtiene un movi‐ miento de oscilación en la guía. Las posi‐ ciones límites del mecanismo también se describen en la figura y coinciden con las dos situaciones en las que la manivela y la guía son perpendiculares. d 2 r De esta forma, la razón de tiempos será: 20 Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐ cidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance tα:   t 2 = . Del mismo modo, si es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t es:                                                               t = 2. De esta forma, la razón de tiempos será:                                                                            E Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del meca‐ nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado.   Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos par‐ tes no iguales. Tomando el ángulo mayor como   y el menor como , se consigue un mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica que tα > tβ. Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también y De este modo se tendría un mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. 1.8.2. Mecanismo de Whitworth.   Este mecanismo (también llamado de limadora), presentado en la figura, es una inversión del mecanismo biela‐manivela en el que, a través de la rotación constan‐ te de la manivela se obtiene un movi‐ miento de oscilación en la guía. Las posi‐ ciones límites del mecanismo también se describen en la figura y coinciden con las dos situaciones en las que la manivela y la guía son perpendiculares. d 2 r Aunque el cálculo de a y b es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del mecanismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado. Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como a y el menor como b, se consigue un mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica que tα > tβ . Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también a y b. De este modo se tendría un mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. 1.8.2. Mecanismo de Whitworth. Este mecanismo (también llamado de limadora), presentado en la figura, es una inversión del mecanismo biela-manivela en el que, a través de la rotación constante de la manivela se obtiene un movimiento de oscilación en la guía. Las posiciones límites del mecanismo también se describen en la figura y coinciden con las dos situaciones en las que la manivela y la guía son perpendiculares. Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verificarse que la longitud r de la manivela 20 Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐ cidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance tα:   t 2 = . Del mismo modo, si es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t es:                                                               t = 2. De esta forma, la razón de tiempos será:                                                                            E Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del meca‐ nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado.   Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos par‐ tes no iguales. Tomando el ángulo mayor como   y el menor como , se consigue un mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica que tα > tβ. Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también y De este modo se tendría un mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. 1.8.2. Mecanismo de Whitworth.   Este mecanismo (también llamado de limadora), presentado en la figura, es una inversión del mecanismo biela‐manivela en el que, a través de la rotación constan‐ te de la manivela se obtiene un movi‐ miento de oscilación en la guía. Las posi‐ ciones límites del mecanismo también se describen en la figura y coinciden con las dos situaciones en las que la manivela y la guía son perpendiculares. d 2 r

MANUALES UEX 26 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En el caso contrario, en el que r>d, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar. Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como a, es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como b, o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo b: 21 Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verifi‐ carse que la longitud r de la manivela sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En el caso contrario, en el que r>d, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar. Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π  girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo : r r = d . cos = 2 . arccos 2 d Puesto que = E , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que disminuya el ángulo . Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el movimien‐ to de la guía siga siendo oscilante. 1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín. Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizon‐ tal en cada una de las posi‐ ciones límite:   2 2 2 2 22 1 3 2 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r Si se define el ángulo 2 1 = - , se deduce a través de la figura que = 180º + y análo‐ gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos     E = . r1 r4 r3 2 1 r2 Puesto que 21 Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verifi‐ carse que la longitud r de la manivela sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En el caso contrario, en el que r>d, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar. Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π  girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo : r r = d . cos = 2 . arccos 2 d Puesto que = E , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que disminuya el ángulo . Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el movimien‐ to de la guía siga siendo oscilante. 1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín. Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizon‐ tal en cada una de las posi‐ ciones límite:   2 2 2 2 22 1 3 2 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r Si se define el ángulo 2 1 = - , se deduce a través de la figura que = 180º + y análo‐ gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos     E = . r1 r4 r3 2 1 r2 , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que disminuya el ángulo b. Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el movimiento de la guía siga siendo oscilante. 1.8.3. Mecanismo manivela-balancín. Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizontal en cada una de las posiciones límite: 21 q,,pggpor la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo : r r = d . cos = 2 . arccos 2 d Puesto que = E , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que disminuya el ángulo . Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el movimien‐ to de la guía siga siendo oscilante. 1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín. Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizon‐ tal en cada una de las posi‐ ciones límite:   2 2 2 2 22 1 3 2 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r Si se define el ángulo 2 1 = - , se deduce a través de la figura que = 180º + y análo‐ gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos     E = . r1 r4 r3 2 1 r2 21 Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verifi‐ carse que la longitud r de la manivela sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En el caso contrario, en el que r>d, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar. Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π  girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo : r r = d . cos = 2 . arccos 2 d Puesto que = E , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que disminuya el ángulo . Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el movimien‐ to de la guía siga siendo oscilante. 1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín. Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizon‐ tal en cada una de las posi‐ ciones límite:   2 2 2 2 22 1 3 2 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r Si se define el ángulo 2 1 = - , se deduce a través de la figura que = 180º + y análo‐ gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos     E = . r1 r4 r3 2 1 r2 22 con la horizontal en cada una de las posiciones límite: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 32 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r γ γ Si se define el ángulo 2 1 = - φ γ γ , se deduce a través de la figura que α φ = 180º + y análogamente, β φ = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos E = α β . 22 con la horizontal en cada una de las posiciones límite: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 32 4 1 32 4 1 2 1 32 1 32 r + r + r - r r + r - r - r cos = ; cos = 2 . r . r + r 2 . r . r - r γ γ Si se define el ángulo 2 1 = - φ γ γ , se deduce a través de la figura que α φ = 180º + y análogamente, β φ = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos E = α β .

MANUALES UEX 27 2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2.1. TIPOS DE MOVIMIENTO En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con el objetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a cabo en el siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que cualquier sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará de acuerdo con la siguiente clasificación: • Movimiento de traslación: ocurre cuando cualquier línea que une dos puntos del cuerpo permanece invariable en su dirección a lo largo del movimiento. Tal como se muestra en las figuras siguientes, se puede tener un movimiento de traslación rectilínea o un movimiento de traslación curvilínea, según sean las trayectorias descritas por cualquier punto del cuerpo. 22 2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO    2.1. Tipos de movimiento En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con el ob‐ jetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a cabo en el siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que cualquier sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará de acuerdo con la siguiente clasificación: Movimiento de traslación: ocurre cuando cualquier línea que une dos puntos del cuerpo permanece invariable en su dirección a lo largo del movimiento. Tal como se muestra en las figu‐ ras siguientes, se puede tener un movimiento de traslación rectilínea o un movimiento de trasla‐ ción curvilínea, según sean las trayectorias descritas por cualquier punto del cuerpo.   • Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.

MANUALES UEX 28 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 23 O A B rB/A rA rB A B rB/A x y Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento de rodadura de un disco. 2.2.  Movimiento de traslación La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ tema de ejes cartesia‐ nos, la relación existen‐ te entre los vectores de posición de dos puntos del cuerpo, A y B, es: B A B/A r r r donde el vector B/A r define la posición de B respecto de A.       A Eje de rotación Trayectoria de A C C A • Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento de rodadura de un disco. 23 O A B rB/A rA rB A B rB/A x y Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento de rodadura de un disco. 2.2.  Movimiento de traslación La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ tema de ejes cartesia‐ nos, la relación existen‐ te entre los vectores de posición de dos puntos del cuerpo, A y B, es: B A B/A r r r donde el vector B/A r define la posición de B respecto de A.       A Eje de rotación Trayectoria de A C C A 2.2. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN 23 O A B rB/A rA rB A B rB/A x y • Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. • Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento de rodadura de un disco. 2.2. Movimiento de traslación La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sistema de ejes cartesianos, la relación existente entre los vectores de posición de dos puntos del cuerpo, A y B, es: B A B/A r r r = + donde el vector B/A r define la posición de B respecto de A. A Eje de rotación Trayectoria de A C C A 23 O A B rB/A rA rB A B rB/A x y Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento de rodadura de un disco. 2.2.  Movimiento de traslación La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ tema de ejes cartesia‐ nos, la relación existen‐ te entre los vectores de posición de dos puntos del cuerpo, A y B, es: B A B/A r r r donde el vector B/A r define la posición de B respecto de A.       A Eje de rotación Trayectoria de A C C A

MANUALES UEX 29 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Derivando respecto del tiempo: 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A Como: 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A se tiene: 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. 2.3. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referencia otro punto O perteneciente al eje de rotación. 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica: 24 Derivando respecto del tiempo: B A B/A dr dr dr dt dt dt Como:   B B A A B/A dr      v dt dr      v    dt dr      0   (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) dt se tiene: B A v       v Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: dv dv B A               dt dt         B A a       a En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. 2.3.  Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:   ds    r . d L L O A

MANUALES UEX 30 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 25 Respecto del punto O del eje se tiene: A r r . sen = φ donde φ es constante a lo largo de toda la trayectoria circular de A. Por tanto: ds r . sen . d = φθ A El cálculo de la velocidad de A se obtiene derivando la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = = φ φ ⋅ A A A ds d r . sen . d d v r . sen dt dt dt El término d dt θ es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la velocidad angular es rad s , pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm). Por tanto, el módulo de la velocidad de A es: A A v r . sen . = ϕω Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea de acción y sentido. El vector A v , teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje de rotación, se determina mediante la expresión vectorial: =ω× A A v r Si se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector A r ' y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayectoria circular es el mismo, dado que se tiene: A A r r . sen r' . sen ' = φ= φ Por tanto, el estudio del movimiento de A es independiente del punto del eje tomado como referencia. En la figura siguiente se representa el vector A v en el plano definido por su trayectoria. Como se ve, A v siempre será tangente a la trayectoria en el punto A, y de módulo vA = ω . r. dθ ds O C rA r L L φ Trayectoria de A A ω r vA Eje de rotación 25 Respecto del punto O del eje se tiene: A r r . sen = φ donde φ es constante a lo largo de toda la trayectoria circular de A. Por tanto: ds r . sen . d = φθ A El cálculo de la velocidad de A se obtiene derivando la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = = φ φ ⋅ A A A ds d r . sen . d d v r . sen dt dt dt El término d dt θ es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la velocidad angular es rad s , pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm). Por tanto, el módulo de la velocidad de A es: A A v r . sen . = ϕω Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea de acción y sentido. El vector A v , teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje de rotación, se determina mediante la expresión vectorial: =ω× A A v r Si se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector A r ' y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayectoria circular es el mismo, dado que se tiene: A A r r . sen r' . sen ' = φ= φ Por tanto, el estudio del movimiento de A es independiente del punto del eje tomado como referencia. En la figura siguiente se representa el vector A v en el plano definido por su trayectoria. Como se ve, A v siempre será tangente a la trayectoria en el punto A, y de módulo vA = ω . r. dθ ds O C rA r L L φ Trayectoria de A A ω r vA Eje de rotación 25 Respecto del punto O del eje se tiene: A r r . sen = φ donde φ es constante a lo largo de toda la trayectoria circular de A. Por tanto: ds r . sen . d = φθ A El cálculo de la velocidad de A se obtiene derivando la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = = φ φ ⋅ A A A ds d r . sen . d d v r . sen dt dt dt El término d dt θ es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la velocidad angular es rad s , pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm). Por tanto, el módulo de la velocidad de A es: A A v r . sen . = ϕω Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea de acción y sentido. El vector A v , teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje de rotación, se determina mediante la expresión vectorial: =ω× A A v r Si se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector A r ' y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayectoria circular es el mismo, dado que se tiene: A A r r . sen r' . sen ' = φ= φ Por tanto, el estudio del movimiento de A es independiente del punto del eje tomado como referencia. En la figura siguiente se representa el vector A v en el plano definido por su trayectoria. Como se ve, A v siempre será tangente a la trayectoria en el punto A, y de módulo vA = ω . r. dθ ds O C rA r L L φ Trayectoria de A A ω r vA Eje de rotación

MANUALES UEX 31 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 26 Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su velocidad: (ω × )   ω   = = = × + ω×         A A A A A d v d r d d r a r dt dt dt dt El término d dt ω define la aceleración angular del cuerpo, y se representa por α . La unidad de la aceleración angular es 2 rad s . Por tanto, el término:   ω × =α×     A A d r r dt representa la aceleración tangencial del punto A. Es la componente de la aceleración, tangente en A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad de A. Si el cuerpo gira a velocidad constante ω , la aceleración angular α es 0 y, por tanto, la aceleración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término d rA dt define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: ( )   ω× =ω × =ω ω×     A A A d r v x r dt representa la aceleración normal del punto A. Se trata de la componente de la aceleración, siempre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A. Aunque un cuerpo gire a velocidad constante ω , la velocidad del punto A varía su dirección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor no nulo de esta aceleración normal. En resumen: a r r A A = α × + ω × ω ×  [ ] ( A )   t A a n A a En la figura se representan las componentes de la aceleración del punto A, considerando, para este caso, que la aceleración angular α y la velocidad angular ω llevan sentidos opuestos. A ω vA α a at n A aA Eje de rotación 26 Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su velocidad: (ω × )   ω   = = = × + ω×         A A A A A d v d r d d r a r dt dt dt dt El término d dt ω define la aceleración angular del cuerpo, y se representa por α . La unidad de la aceleración angular es 2 rad s . Por tanto, el término:   ω × =α×     A A d r r dt representa la aceleración tangencial del punto A. Es la componente de la aceleración, tangente en A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad de A. Si el cuerpo gira a velocidad constante ω , la aceleración angular α es 0 y, por tanto, la aceleración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término d rA dt define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: ( )   ω× =ω × =ω ω×     A A A d r v x r dt representa la aceleración normal del punto A. Se trata de la componente de la aceleración, siempre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A. Aunque un cuerpo gire a velocidad constante ω , la velocidad del punto A varía su dirección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor no nulo de esta aceleración normal. En resumen: a r r A A = α × + ω × ω ×  [ ] ( A )   t A a n A a En la figura se representan las componentes de la aceleración del punto A, considerando, para este caso, que la aceleración angular α y la velocidad angular ω llevan sentidos opuestos. A ω vA α a at n A aA Eje de rotación 26 Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su velocidad: (ω × )   ω   = = = × + ω×         A A A A A d v d r d d r a r dt dt dt dt El término d dt ω define la aceleración angular del cuerpo, y se representa por α . La unidad de la aceleración angular es 2 rad s . Por tanto, el término:   ω × =α×     A A d r r dt representa la aceleración tangencial del punto A. Es la componente de la aceleración, tangente en A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad de A. Si el cuerpo gira a velocidad constante ω , la aceleración angular α es 0 y, por tanto, la aceleración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término d rA dt define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: ( )   ω× =ω × =ω ω×     A A A d r v x r dt representa la aceleración normal del punto A. Se trata de la componente de la aceleración, siempre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A. Aunque un cuerpo gire a velocidad constante ω , la velocidad del punto A varía su dirección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor no nulo de esta aceleración normal. En resumen: a r r A A = α × + ω × ω ×  [ ] ( A )   t A a n A a En la figura se representan las componentes de la aceleración del punto A, considerando, para este caso, que la aceleración angular α y la velocidad angular ω llevan sentidos opuestos. A ω vA α a at n A aA Eje de rotación 26 Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su velo‐ cidad: A A A A A d v d d       r d r a                 r           dt dt dt dt El término   d dt   define la aceleración angular del cuerpo, y se representa por . La unidad de la aceleración angular es   2 rad s . Por tanto, el término:   A A d r       r dt representa la aceleración tangencial del punto A. Es la componente de la aceleración, tangente en A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad de A.   Si el cuerpo gira a velocidad constante , la aceleración angular es 0 y, por tanto, la ace‐ leración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término   d A r dt define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: A A A d r              v       x    r dt representa la aceleración normal del punto A. Se trata de la componente de la aceleración, siem‐ pre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A.   Aunque un cuerpo gire a velocidad constante , la velocidad del punto A varía su dirección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor no nulo de esta aceleración normal. En resumen: aA A             r                    r A               t A a                             n A a En la figura se representan las componen‐ tes de la aceleración del punto A, consideran‐ do, para este caso, que la aceleración angu‐ lar y la velocidad angular llevan sentidos opuestos. Considerando exclusivamente el movimien‐ to de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, y no las características cinemáticas A vA a at n A aA Eje de rotación 26 Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su velo‐ cidad: A A A A A d v d d       r d r a                 r           dt dt dt dt El término   d dt   define la aceleración angular del cuerpo, y se representa por . La unidad de la aceleración angular es   2 rad s . Por tanto, el término:   A A d r       r dt representa la aceleración tangencial del punto A. Es la componente de la aceleración, tangente en A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad de A.   Si el cuerpo gira a velocidad constante , la aceleración angular es 0 y, por tanto, la ace‐ leración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término   d A r dt define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: A A A d r              v       x    r dt representa la aceleración normal del punto A. Se trata de la componente de la aceleración, siem‐ pre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A.   Aunque un cuerpo gire a velocidad constante , la velocidad del punto A varía su dirección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor no nulo de esta aceleración normal. En resumen: aA A             r                    r A               t A a                             n A a En la figura se representan las componen‐ tes de la aceleración del punto A, consideran‐ do, para este caso, que la aceleración angu‐ lar y la velocidad angular llevan sentidos opuestos. Considerando exclusivamente el movimien‐ to de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, y no las características cinemáticas A vA a at n A aA Eje de rotación

MANUALES UEX 32 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 27 Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales: • Movimiento de rotación uniforme En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tanto, la velocidad angular ω es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un tiempo t vendrá dado por la expresión: 0 θ=θ +ω . t donde θ0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t = 0. • Movimiento de rotación uniformemente acelerado En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La velocidad angular ω que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la expresión: 0 ω=ω +α . t donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será: 2 0 0 1 . t . t 2 θ = θ + ω + ⋅α donde θ0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuación para el movimiento de rotación uniformemente acelerado: ( ) 2 2 0 0 ω =ω + α θ θ 2 . . - 2.4. Movimiento plano general Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de un cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movimiento de un punto cualquiera. Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento. 27 Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales: • Movimiento de rotación uniforme En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tanto, la velocidad angular ω es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un tiempo t vendrá dado por la expresión: 0 θ=θ +ω . t donde θ0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t = 0. • Movimiento de rotación uniformemente acelerado En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La velocidad angular ω que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la expresión: 0 ω=ω +α . t donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será: 2 0 0 1 . t . t 2 θ = θ + ω + ⋅α donde θ0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuación para el movimiento de rotación uniformemente acelerado: ( ) 2 2 0 0 ω =ω + α θ θ 2 . . - 2.4. Movimiento plano general Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de un cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movimiento de un punto cualquiera. Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento. 2.4. MOVIMIENTO PLANO GENERAL

MANUALES UEX 33 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 28 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa En la figura siguiente se muestra un cuerpo que describe un movimiento plano general, en donde se han representado las trayectorias de dos puntos cualesquiera, A y B, del cuerpo. La relación entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes cartesianos, es: B A B/A r r r = + siendo B/A r el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del tiempo: dr dr B A drB/A dt dt dt = + donde: • B B d r v dt = velocidad absoluta del punto B • A A d r v dt = velocidad absoluta del punto A • B/A rel B/A d r v dt = velocidad relativa del punto B respecto de A La velocidad relativa del punto B respecto de A representa la variación del vector que une los puntos A y B del cuerpo. Como este cuerpo es un sólido rígido, el único movimiento posible de un punto respecto del otro es el de una rotación, en este caso, de B respecto de A. Luego: O A B rB/A rA rB A B rB/A x y rA rB 28 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa En la figura siguiente se muestra un cuerpo que describe un movimiento plano general, en donde se han representado las trayectorias de dos puntos cualesquiera, A y B, del cuerpo.   La relación entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes carte‐ sianos, es: B A B/A r       r      r siendo B/A r el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del tiempo: dr dr B A drB/A             dt dt dt donde:   B B d r      v dt       velocidad absoluta del punto B A A d r      v dt       velocidad absoluta del punto A B/A rel B/A d r      v dt       velocidad relativa del punto B respecto de A   La velocidad relativa del punto B respecto de A representa la variación del vector que une los puntos A y B del cuerpo. Como este cuerpo es un sólido rígido, el único movimiento posible de un punto respecto del otro es el de una rotación, en este caso, de B respecto de A. Luego: B/A rel B/A B/A d r     v         r dt O A B rB/A rA rB A B rB/A x y rA rB

MANUALES UEX 34 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 29 //dt En resumen, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sabiendo la velocidad absoluta de otro punto del mismo cuerpo, sumándole la velocidad relativa del primero respecto del segundo. Esta expresión permite deducir que un movimiento plano general se puede componer como resultante de la suma de dos movimientos ya estudiados, tal como se representa en la figura siguiente: Movimiento de traslación B A v v = Movimiento de rotación B B/A v r = ω× 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquiera A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la ecuación vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior dando como resultado el siguiente desarrollo: O A B rA rB A B rB/A x y rB/A B O A B rB/A x y rA rB + rB/A 29 B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× En resumen, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sabiendo la velocidad absoluta de otro punto del mismo cuerpo, sumándole la velocidad relativa del primero respecto del segundo. Esta expresión permite deducir que un movimiento plano general se puede componer como resultante de la suma de dos movimientos ya estudiados, tal como se representa en la figura siguiente: Movimiento de traslación B A v v = Movimiento de rotación B B/A v r = ω× 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquiera A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la ecuación vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior dando como resultado el siguiente desarrollo: O A B rA rB A B rB/A x y rB/A B O A B rB/A x y rA rB + rB/A 29 B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× En resumen, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sabiendo la velocidad absoluta de otro punto del mismo cuerpo, sumándole la velocidad relativa del primero respecto del segundo. Esta expresión permite deducir que un movimiento plano general se puede componer como resultante de la suma de dos movimientos ya estudiados, tal como se representa en la figura siguiente: Movimiento de traslación B A v v = Movimiento de rotación B B/A v r = ω× 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquiera A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la ecuación vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior dando como resultado el siguiente desarrollo: O A B rA rB A B rB/A x y rB/A B O A B rB/A x y rA rB + rB/A 29 B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× En resumen, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sabiendo la velocidad absoluta de otro punto del mismo cuerpo, sumándole la velocidad relativa del primero respecto del segundo. Esta expresión permite deducir que un movimiento plano general se puede componer como resultante de la suma de dos movimientos ya estudiados, tal como se representa en la figura siguiente: Movimiento de traslación B A v v = Movimiento de rotación B B/A v r = ω× 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquiera A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la ecuación vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( B/A ) Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior dando como resultado el siguiente desarrollo: O A B rA rB A B rB/A x y rB/A B O A B rB/A x y rA rB + rB/A En resumen, la ecuación vectocuerpo que realiza un movimiento v B=Por lo tanto, la velocidad absobiendo la velocidad absoluta de relativa del primero respecto del seEsta expresión permite deducicomo resultante de la suma de dosfigura siguiente: Movimiento de traslación BvB B/A v r = ω× 2.4.2. Aceleración absoluta y relatComo se ha visto anteriormentera A y B de un cuerpo rígido queecuación vectorial: v B=Para el análisis de aceleracionedo como resultado el siguiente desaO A B rA rB B ry rB/A ( A rel B/A ) A ( B/A ) ( B/A ) B A A B/A B/A d v d v v d v r d v d r dt dt dt dt dt d v d d r r dt dt dt +   + ω× ω ×   = = =+ =   ω   = + × + ω×         donde: • B B d v a dt = aceleración absoluta del punto B • A A d v a dt = aceleración absoluta del punto A • d ω = α aceleración angular del cuerpo

MANUALES UEX 35 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 30 ( A rel B/A ) A ( B/A ) ( B/A ) B A A B/A B/A d v d v v d v r d v d r dt dt dt dt dt d v d d r r dt dt dt +   + ω× ω ×   = = =+ =   ω   = + × + ω×         donde: • B B d v a dt = aceleración absoluta del punto B • A A d v a dt = aceleración absoluta del punto A • d dt ω = α aceleración angular del cuerpo • B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× velocidad relativa de B respecto de A Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: a a r r B A = + α× + ω × ω× ( B/A )   ( B/A )   t B/A ( ) a n B/A ( ) a rel B/A a Un caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sin deslizamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el centro O ha recorrido una distancia xO, mientras el disco ha girado un ángulo θ. Si el disco realiza un movimiento de rodadura, la distancia xO debe ser igual a la distancia recorrida por el punto C a lo largo del perímetro circular del disco. Es decir: x0 O O θ C ω C 30 A B/A B/A dt dt dt dt dt d v d d r r dt dt dt   ω   = + × + ω×         donde: • B B d v a dt = aceleración absoluta del punto B • A A d v a dt = aceleración absoluta del punto A • d dt ω = α aceleración angular del cuerpo • B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× velocidad relativa de B respecto de A Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: a a r r B A = + α× + ω × ω× ( B/A )   ( B/A )   t B/A ( ) a n B/A ( ) a rel B/A a Un caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sin deslizamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el centro O ha recorrido una distancia xO, mientras el disco ha girado un ángulo θ. Si el disco realiza un movimiento de rodadura, la distancia xO debe ser igual a la distancia recorrida por el punto C a lo largo del perímetro circular del disco. Es decir: x0 O O θ C ω C 30 A B/A B/A dt dt dt dt dt d v d d r r dt dt dt   ω   = + × + ω×         donde: • B B d v a dt = aceleración absoluta del punto B • A A d v a dt = aceleración absoluta del punto A • d dt ω = α aceleración angular del cuerpo • B/A rel B/A B/A d r v r dt = = ω× velocidad relativa de B respecto de A Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: a a r r B A = + α× + ω × ω× ( B/A )   ( B/A )   t B/A ( ) a n B/A ( ) a rel B/A a Un caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sin deslizamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el centro O ha recorrido una distancia xO, mientras el disco ha girado un ángulo θ. Si el disco realiza un movimiento de rodadura, la distancia xO debe ser igual a la distancia recorrida por el punto C a lo largo del perímetro circular del disco. Es decir: x0 O O θ C ω C Ox r . = θ a el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt O velocidad del centro O del disco velocidad angular ω del disco tanto: O v r . = ω Ox r . = θ Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt donde: • d xO dt velocidad del centro O del disco • d dt θ velocidad angular ω del disco Por tanto: 30 B B d v      a dt       aceleración absoluta del punto B A A d v      a dt       aceleración absoluta del punto A d       dt         aceleración angular del cuerpo B/A rel B/A B/A d r      v         r dt       velocidad relativa de B respecto de A Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento plano general es: aB A       a            r B/A                   r B/A                 t B/A a                            n B/A a                                                                                      rel B/A a                                Un caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sin desliza‐ miento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el centro O ha recorrido una distancia xO, mientras el disco ha girado un ángulo . Si el disco realiza un movimiento de rodadura, la distancia xO debe ser igual a la distancia recorrida por el punto C a lo largo del perímetro circular del disco. Es decir: Ox     r . Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: O d x d r . d           r    dt dt dt donde: x0 O O C C

MANUALES UEX 36 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) } ( ) ( ) { ( ) } ( ) ( ) = + α× + ω × ω × =     = α + α × +ω = = α + α + ω =ω C O C/O C/O 2 2 2 a a r r r . i - k - r j . r j r . i - r . i . r j . r j 2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación 31 Ox r . = θ Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt donde: • d xO dt velocidad del centro O del disco • d dt θ velocidad angular ω del disco Por tanto: O v r . = ω Se puede determinar la velocidad del punto C en contacto con la superficie horizontal, ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es: ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) } = +ω× = ω + ω × = =ω+ ω = C O C/O v v r r . i - k - r j r . i - r . i 0 Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la superficie. Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: ( ) O d v d r . d r dt dt dt ω ω = = ⋅ donde: • d vO dt aceleración del centro O del disco • d dt ω aceleración angular α del disco Por tanto: Oa r . = α Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario: 31 Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt donde: • d xO dt velocidad del centro O del disco • d dt θ velocidad angular ω del disco Por tanto: O v r . = ω Se puede determinar la velocidad del punto C en contacto con la superficie horizontal, ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es: ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) } = +ω× = ω + ω × = =ω+ ω = C O C/O v v r r . i - k - r j r . i - r . i 0 Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la superficie. Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: ( ) O d v d r . d r dt dt dt ω ω = = ⋅ donde: • d vO dt aceleración del centro O del disco • d dt ω aceleración angular α del disco Por tanto: Oa r . = α Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario: 31 Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt donde: • d xO dt velocidad del centro O del disco • d dt θ velocidad angular ω del disco Por tanto: O v r . = ω Se puede determinar la velocidad del punto C en contacto con la superficie horizontal, ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es: ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) } = +ω× = ω + ω × = =ω+ ω = C O C/O v v r r . i - k - r j r . i - r . i 0 Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la superficie. Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: ( ) O d v d r . d r dt dt dt ω ω = = ⋅ donde: • d vO dt aceleración del centro O del disco • d dt ω aceleración angular α del disco Por tanto: Oa r . = α Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario: 31 Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: ( θ) θ = = ⋅ O d x d r . d r dt dt dt donde: • d xO dt velocidad del centro O del disco • d dt θ velocidad angular ω del disco Por tanto: O v r . = ω Se puede determinar la velocidad del punto C en contacto con la superficie horizontal, ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es: ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) } = +ω× = ω + ω × = =ω+ ω = C O C/O v v r r . i - k - r j r . i - r . i 0 Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la superficie. Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: ( ) O d v d r . d r dt dt dt ω ω = = ⋅ donde: • d vO dt aceleración del centro O del disco • d dt ω aceleración angular α del disco Por tanto: Oa r . = α Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario:

MANUALES UEX 37 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 32 ( ) { ( ) } ( ) ( ) = α + α + ω =ω 2 2 r . i - r . i . r j . r j 2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, velocidad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el movimiento de éste, traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano general. Todo ello ha sido posible mediante el empleo de un sistema de referencia fijo, que da lugar a los conceptos de velocidad y aceleración, tanto relativa como absoluta. Sin embargo, existen numerosos problemas en los que no es posible el empleo de las ecuaciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al mismo sólido rígido, por lo que el movimiento relativo de uno respecto a otro no se limita a una rotación como ocurre en el movimiento plano general. Ejemplos de estos casos son los mecanismos conectados por deslizaderas que se mueven a lo largo de eslabones guías, o por pasadores que se mueven en ranuras pertenecientes a otras piezas. El estudio de estos casos se plantea mediante la utilización de un sistema de ejes cartesianos móvil, cuyo origen de coordenadas se hace coincidir con uno de los puntos característicos del problema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al anterior. 2.5.1. Velocidades La figura representa dos puntos cualesquiera, P y O, que se encuentran en movimiento. Se considera un sistema de ejes cartesianos fijos en el espacio, tal como el XYZ, y un sistema de ejes cartesianos móviles xyz, con origen en O, que giran con una velocidad y aceleración determinadas. Los vectores unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son i, j,k . P O x y z X Y Z rP r0 r i j k 32 (){()}()()2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, velocidad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el movimiento de éste, traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano general. Todo ello ha sido posible mediante el empleo de un sistema de referencia fijo, que da lugar a los conceptos de velocidad y aceleración, tanto relativa como absoluta. Sin embargo, existen numerosos problemas en los que no es posible el empleo de las ecuaciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al mismo sólido rígido, por lo que el movimiento relativo de uno respecto a otro no se limita a una rotación como ocurre en el movimiento plano general. Ejemplos de estos casos son los mecanismos conectados por deslizaderas que se mueven a lo largo de eslabones guías, o por pasadores que se mueven en ranuras pertenecientes a otras piezas. El estudio de estos casos se plantea mediante la utilización de un sistema de ejes cartesianos móvil, cuyo origen de coordenadas se hace coincidir con uno de los puntos característicos del problema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al anterior. 2.5.1. Velocidades La figura representa dos puntos cualesquiera, P y O, que se encuentran en movimiento. Se considera un sistema de ejes cartesianos fijos en el espacio, tal como el XYZ, y un sistema de ejes cartesianos móviles xyz, con origen en O, que giran con una velocidad y aceleración determinadas. Los vectores unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son i, j,k . P O x y z X Y Z rP r0 r i j k 2.5. MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO A UN SISTEMA EN ROTACIÓN 2.5.  Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, veloci‐ dad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el movimiento de éste, traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano general. Todo ello ha sido posible mediante el empleo de un sistema de referencia fijo, que da lugar a los conceptos de velocidad y aceleración, tanto relativa como absoluta. Sin embargo, existen numerosos problemas en los que no es posible el empleo de las ecua‐ ciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al mismo sólido rígido, por lo que el movimiento relativo de uno respecto a otro no se limita a una rotación como ocurre en el movimiento plano general. Ejemplos de estos casos son los mecanismos conec‐ tados por deslizaderas que se mueven a lo largo de eslabones guías, o por pasadores que se mue‐ ven en ranuras pertenecientes a otras piezas. El estudio de estos casos se plantea mediante la utilización de un sistema de ejes cartesianos móvil, cuyo origen de coordenadas se hace coincidir con uno de los puntos característicos del problema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al anterior. 2.5.1. Velocidades La figura representa dos puntos cualesquiera, P y O, que se encuentran en movimiento. Se considera un sistema de ejes cartesianos fijos en el espacio, tal como el XYZ, y un sistema de ejes cartesianos móviles xyz, con origen en O, que giran con una velocidad y aceleración determinadas. Los vectores unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son i, j,k . Llamando P r al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, 0 r al vector de posi‐ ción de O y r al vector de posición de P respecto de O, se tiene: P O x y z X Y Z rP r0 r i j k

MANUALES UEX 38 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Las derivadas de estos vectores son: ( ) θ θ = ⋅ = θ + θ ⋅ = ω =ω× θ di di d d -sen I cos J j i dt d dt dt ( ) dj dj d d -cos I sen J - i j dt d dt dt θ θ = ⋅ = θ − θ ⋅ = ω =ω× θ Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt porloquesetiene:33 Llamando P r al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, 0 r al vector de posición de O y r al vector de posición de P respecto de O, se tiene: = + P 0 r r r donde: =++ r x i y j z k siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto al sistema móvil. Derivando : = + drP dr0 dr dt dt dt donde: • P P dr v dt = velocidad absoluta de P • 0 0 dr v dt = velocidad absoluta de O Para calcular el valor dr dt se deriva :      = +⋅ + +⋅ + +⋅           dr dx d i dy d j dz dk i x j y k z dt dt dt dt dt dt dt Con el objetivo de hallar la derivada respecto al tiempo de los vectores i y j , en la figura se representan los vectores unitarios de un sistema de ejes cartesianos XY fijo, I y J , y los de un sistema de ejes cartesianos xy móvil, i y j . Las componentes cartesianas de i y j son: i cos I sen J = θ+ θ j -sen I cos J = θ+ θ θ θ I J j i ω 33 Llamando P r al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, 0 r al vector de posición de O y r al vector de posición de P respecto de O, se tiene: = + P 0 r r r donde: =++ r x i y j z k siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto al sistema móvil. Derivando : = + drP dr0 dr dt dt dt donde: • P P dr v dt = velocidad absoluta de P • 0 0 dr v dt = velocidad absoluta de O Para calcular el valor dr dt se deriva :      = +⋅ + +⋅ + +⋅           dr dx d i dy d j dz dk i x j y k z dt dt dt dt dt dt dt Con el objetivo de hallar la derivada respecto al tiempo de los vectores i y j , en la figura se representan los vectores unitarios de un sistema de ejes cartesianos XY fijo, I y J , y los de un sistema de ejes cartesianos xy móvil, i y j . Las componentes cartesianas de i y j son: i cos I sen J = θ+ θ j -sen I cos J = θ+ θ θ θ I J j i ω

MANUALES UEX 39 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 34 Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: ( ) ( ( ) )   = + + +ω × + + =           = + + +ω ×     xyz xyz dr dx dy dz i j k (x i y j z k) dt dt dt dt dx dy dz i j k r dt dt dt El término     + +   dx dy dz i j k dt dt dt representa la velocidad relativa de P respecto al sistema de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: = +ω × ( ( ) ) P/ (xyz) xyz dr v r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: v v v r P P/(xyz) 0 = + +ω × ( (xyz) ) ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando 34 dt d dt dt θ Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: ( ) ( ( ) )   = + + +ω × + + =           = + + +ω ×     xyz xyz dr dx dy dz i j k (x i y j z k) dt dt dt dt dx dy dz i j k r dt dt dt El término     + +   dx dy dz i j k dt dt dt representa la velocidad relativa de P respecto al sistema de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: = +ω × ( ( ) ) P/ (xyz) xyz dr v r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: v v v r P P/(xyz) 0 = + +ω × ( (xyz) ) ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando 34 ( ) cos I sen J i j dt d dt dt θ θ ω ω× θ Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: ( ) ( ( ) )   = + + +ω × + + =           = + + +ω ×     xyz xyz dr dx dy dz i j k (x i y j z k) dt dt dt dt dx dy dz i j k r dt dt dt El término     + +   dx dy dz i j k dt dt dt representa la velocidad relativa de P respecto al sistema de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: = +ω × ( ( ) ) P/ (xyz) xyz dr v r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: v v v r P P/(xyz) 0 = + +ω × ( (xyz) ) ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando 34 ( ) dj dj d d -cos I sen J - i j dt d dt dt θ θ = ⋅ = θ − θ ⋅ = ω =ω× θ Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: ( ) ( ( ) )   = + + +ω × + + =           = + + +ω ×     xyz xyz dr dx dy dz i j k (x i y j z k) dt dt dt dt dx dy dz i j k r dt dt dt El término     + +   dx dy dz i j k dt dt dt representa la velocidad relativa de P respecto al sistema de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: = +ω × ( ( ) ) P/ (xyz) xyz dr v r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: v v v r P P/(xyz) 0 = + +ω × ( (xyz) ) ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando 34 ( ) dj dj d d -cos I sen J - i j dt d dt dt θ θ = ⋅ = θ − θ ⋅ = ω =ω× θ Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: d i d j dk i ; j ; k dt dt dt = ω× = ω× = ω× Luego: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )   = + + + ω×+ ω×+ ω×         xyz xyz xyz dr dx dy dz i j k x . i y. j z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: ( ) ( ( ) )   = + + +ω × + + =           = + + +ω ×     xyz xyz dr dx dy dz i j k (x i y j z k) dt dt dt dt dx dy dz i j k r dt dt dt El término     + +   dx dy dz i j k dt dt dt representa la velocidad relativa de P respecto al sistema de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: = +ω × ( ( ) ) P/ (xyz) xyz dr v r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: v v v r P P/(xyz) 0 = + +ω × ( (xyz) ) ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando la ecuación vectorial vista anteriormente que relaciona las velocidades de dos puntos de un mismo sólido. En la figura siguiente se dibuja el diagrama de velocidades de una deslizadera B que se mueve con una velocidad de deslizamiento conocida, desl.B/A B/AC v v = , a lo largo de una guía AC. Se toma un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, por lo que ωxy = ωAC, y B/xy B/AC v v = . Conociendo la velocidad del punto A, A v , y la velocidad angular de la pieza, ωAC , se puede calcular la velocidad absoluta de la deslizadera B, B v , mediante la ecuación vectorial: v v v v v r B B/AC ar B/A B/AC A AC B/A = + = + + ω× ( ) ωAC. rB/A ωAC . rB/A vB/AC x C 34 Luego: xyz xyz xyz dr dx dy dz     i j k       x . i    y. j    z . k dt dt dt dt por lo que se tiene: xyz xyz dr dx dy dz         i     j     k          (x i y j z k)      dt dt dt dt dx dy dz              i     j     k          r dt dt dt El término dx dy dz i     j    k dt dt dt   representa la velocidad relativa de P respecto al siste‐ ma de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando P/(xyz) v a esta velocidad, queda: P/ (xyz) xyz dr v    r dt Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: vP P/(xyz) 0    v      v    xyz r                                                                                                ar P/O v El término ar P/O v se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O v aplicando la ecuación vectorial vista ante‐ riormente que relaciona las velocidades de dos puntos de un mismo sólido. En la figura siguiente se dibuja el diagrama de velocidades de una deslizadera B que se mueve con una velocidad de deslizamiento conocida, desl.B/A B/AC v v , a lo largo de una guía AC. Se toma un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, por lo que xy = AC, y B/xy B/AC v     v .    Conociendo la velocidad del punto A, A v , y la velocidad angular de la pieza, AC , se puede calcular la velocidad absoluta de la deslizadera B, B v , mediante la ecuación vectorial: vB B/AC ar   v v B/A B/AC A AC B/A     v v    r

MANUALES UEX 40 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN   = + ++ +            ω   ⋅ω × + ⋅ω × + ⋅ω × + × + ω ×              222 P 0 2 22 (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) dv dv dx dy dz i j k dt dt dt dt dt dx dy dz d dr + ( i) ( j) ( k) r dt dt dt dt dt donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. •( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) dx dy dz dx dy dz i j k i jk dtdtdtdtdtdt  ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =    35 que el eje x se hace coincidir con la guía, por lo que ωxy = ωAC, y B/xy B/AC v v = . Conociendo la velocidad del punto A, A v , y la velocidad angular de la pieza, ωAC , se puede calcular la velocidad absoluta de la deslizadera B, B v , mediante la ecuación vectorial: v v v v v r B B/AC ar B/A B/AC A AC B/A = + = + + ω× ( ) 2.5.2. Aceleraciones Partiendo de la expresión obtenida anteriormente: P 0 ( (xyz) ) dx dy dz v v i j k r dt dt dt   = + + + +ω ×     y derivando cada término respecto del tiempo se obtiene: 2 22 P 0 (xyz) 2 22 (xyz) dv dv d x dx d i d y dy dj d z dz dk d dr i j k r dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt     ω   = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + × +ω ×             Teniendo en cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando queda la expresión: vB/AC ωAC. rB/A vA vB vA ωAC . rB/A A B ωAC vB/AC x y C 35 do la velocidad del punto A, A v , y la velocidad angular de la pieza, ωAC , se puede calcular la velocidad absoluta de la deslizadera B, B v , mediante la ecuación vectorial: v v v v v r B B/AC ar B/A B/AC A AC B/A = + = + + ω× ( ) 2.5.2. Aceleraciones Partiendo de la expresión obtenida anteriormente: P 0 ( (xyz) ) dx dy dz v v i j k r dt dt dt   = + + + +ω ×     y derivando cada término respecto del tiempo se obtiene: 2 22 P 0 (xyz) 2 22 (xyz) dv dv d x dx d i d y dy dj d z dz dk d dr i j k r dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt     ω   = + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + × +ω ×             Teniendo en cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando queda la expresión: vB/AC ωAC. rB/A vA vB vA ωAC . rB/A A B ωAC vB/AC x y C

MANUALES UEX 41 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 36 donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. • ( ) ( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i j k i jk dt dt dt dt dt dt v   ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =     =ω × • (xyz) (xyz) d r r dt ω × =α × aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. • (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) ( ) ( (xyz) p/(xyz)) (xyz) (xyz) dr v r v ( r) dt ω × =ω × + ω × = ω × + ω × ω ×         en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil. Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: a a a r r 2 . v P 0 P/ xyz ( ) ( (xyz) ) (xyz) ( (xyz) ) ( (xyz P/ xyz ) ( ) ) = + + α × +ω ×ω × + ω ×     ar P/O a cor P/xyz a El término ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P 36 donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. • ( ) ( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i j k i jk dt dt dt dt dt dt v   ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =     =ω × • (xyz) (xyz) d r r dt ω × =α × aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. • (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) ( ) ( (xyz) p/(xyz)) (xyz) (xyz) dr v r v ( r) dt ω × =ω × + ω × = ω × + ω × ω ×         en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil. Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: a a a r r 2 . v P 0 P/ xyz ( ) ( (xyz) ) (xyz) ( (xyz) ) ( (xyz P/ xyz ) ( ) ) = + + α × +ω ×ω × + ω ×     ar P/O a cor P/xyz a El término ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P 36 donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. • ( ) ( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i j k i jk dt dt dt dt dt dt v   ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =     =ω × • (xyz) (xyz) d r r dt ω × =α × aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. • (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) ( ) ( (xyz) p/(xyz)) (xyz) (xyz) dr v r v ( r) dt ω × =ω × + ω × = ω × + ω × ω ×         en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil. Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: a a a r r 2 . v P 0 P/ xyz ( ) ( (xyz) ) (xyz) ( (xyz) ) ( (xyz P/ xyz ) ( ) ) = + + α × +ω ×ω × + ω ×     ar P/O a cor P/xyz a El término ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P 36 donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. • ( ) ( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i j k i jk dt dt dt dt dt dt v   ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =     =ω × • (xyz) (xyz) d r r dt ω × =α × aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. • (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) ( ) ( (xyz) p/(xyz)) (xyz) (xyz) dr v r v ( r) dt ω × =ω × + ω × = ω × + ω × ω ×         en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil. Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: a a a r r 2 . v P 0 P/ xyz ( ) ( (xyz) ) (xyz) ( (xyz) ) ( (xyz P/ xyz ) ( ) ) = + + α × +ω ×ω × + ω ×     ar P/O a cor P/xyz a El término ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P 36 donde el significado de cada término es: • P P dv a dt = aceleración absoluta del punto P. • 0 0 dv a dt = aceleración absoluta del punto O. • 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k a dt dt dt     ++ =   aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. • ( ) ( ) ( ) ( ) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i j k i jk dt dt dt dt dt dt v   ⋅ ω × + ⋅ ω × + ⋅ ω × =ω × ⋅ + ⋅ + ⋅ =     =ω × • (xyz) (xyz) d r r dt ω × =α × aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. • (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) ( ) ( (xyz) p/(xyz)) (xyz) (xyz) dr v r v ( r) dt ω × =ω × + ω × = ω × + ω × ω ×         en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil. Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: a a a r r 2 . v P 0 P/ xyz ( ) ( (xyz) ) (xyz) ( (xyz) ) ( (xyz P/ xyz ) ( ) ) = + + α × +ω ×ω × + ω ×     ar P/O a cor P/xyz a El término ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O a aplicando la ecuación vectorial vista anteriormente que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un mismo sólido. El término cor P/xyz a se denomina aceleración complementaria o de Coriolis. Obsérvese que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa de P respecto al sistema de referencia xyz. En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista anteriormente, que se mueve con velocidad y aceleración de deslizamiento conocidas, desl.B/A B/AC v v = y desl.B/A B/AC a a = respectivamente, a lo largo de una guía AC. Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ωxy = ωAC , αxy = αAC , B/xy B/AC v v = y B/xy B/AC a a = . aB/AC 2.ωAC.vB/ACx C 36 222 2 22 P/(xyz) dx dy dz i j k      a dt dt dt       aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/ xyz dx dy dz dx dy dz i jk i jk dt dt dt dt dt dt v (xyz) (xyz) d r r dt     aceleración tangencial de P respecto de O debido a la aceleración angular del sistema móvil. (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) (xyz) p/(xyz) (xyz) (xyz) dr    v r     v       ( r) dt     en esta expresión el último término representa la aceleración normal de P respecto de O debido a la velocidad angular del sistema móvil.   Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones de los puntos P y O es: aP 0   aP/ xyz   a             xyz r               xyz xyz r      2 .       xyz P/ xyz v                                                                   ar P/O a                                                             cor P/xyz a El término   ar P/O a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de P vista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente ar P/O a aplicando la ecuación vectorial vista anteriormente que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un mismo sólido. El término cor P/xyz a se denomina aceleración complementaria o de Coriolis. Obsérvese que es‐ ta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa de P respecto al sistema de referencia xyz.   En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista anteriormen‐ te, que se mueve con velocidad y aceleración de deslizamiento conocidas, desl.B/A B/AC v v y desl.B/A B/AC a a respectivamente, a lo largo de una guía AC.   Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que

MANUALES UEX 42 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 37 que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa de P respecto al sistema de referencia xyz. En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista anteriormente, que se mueve con velocidad y aceleración de deslizamiento conocidas, desl.B/A B/AC v v = y desl.B/A B/AC a a = respectivamente, a lo largo de una guía AC. Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ωxy = ωAC , αxy = αAC , B/xy B/AC v v = y B/xy B/AC a a = . Por tanto, conociendo la aceleración del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular de la pieza, ωAC y αAC respectivamente, se puede calcular la aceleración absoluta de la deslizadera B, B a , mediante la ecuación vectorial: aA αAC . rB/A A B αAC ωAC .(ωAC.rB/A) aB/AC 2.ωAC.vB/AC ωAC y x vB/AC C aA ωAC .(ωAC.rB/A) aB/AC 2.ωAC.vB/AC αAC . rB/A aB

MANUALES UEX 43 3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS 3.1. INTRODUCCIÓN Resolver el problema cinemático directo en un mecanismo consiste en calcular la posición, velocidad y aceleración del eslabón de salida o conducido, así como de aquellos otros eslabones y puntos de interés que se considere necesario. Para ello, si el mecanismo tiene m grados de libertad, se necesita conocer el movimiento de m eslabones de entrada o eslabones conductores. Este análisis cinemático es un paso previo imprescindible para realizar posteriormente el análisis dinámico del mecanismo, en el que ya se consideran las causas (fuerzas y momentos) que generan el movimiento. En el presente capítulo se aplicarán a los mecanismos planos los conceptos generales presentados en el capítulo anterior sobre la cinemática del sólido rígido. Los mecanismos planos son los más empleados, y en ellos, todos sus elementos se mueven paralelamente a un mismo plano, lo que permite eliminar una dimensión al analizar el movimiento. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos, para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo en una posición dada. Tienen la clara ventaja de poseer una operativa fácil, pero sólo son válidos en una posición concreta, por lo que no son útiles para estudiar el movimiento completo de un mecanismo a lo largo de todo el ciclo de movimiento. Los métodos analíticos, sin embargo, permiten obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Se obtiene así el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es normalmente el objetivo. Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar plantea-

MANUALES UEX 44 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN mientos generales muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab. Hay que señalar que, en ocasiones, los métodos analíticos son poco intuitivos, por lo que a la hora de aplicarlos es necesario dominar los conocimientos de cinemática vectorial del sólido rígido que subyacen bajo todas las ecuaciones paramétricas, y apoyarse en métodos gráficos para comprender el movimiento en posiciones concretas. Por consiguiente, en la resolución de casos prácticos del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólo la aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido. A la hora de realizar la síntesis o diseño de un mecanismo, el conocimiento de todos los métodos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a seguir. 3.2. Métodos gráficos Los métodos gráficos constituyen una herramienta complementaria muy potente a la hora de realizar el análisis cinemático. Aunque sólo son válidos en una posición determinada, ayudan a comprender el movimiento de cada eslabón en posiciones concretas de interés. En este apartado se estudiarán los dos métodos gráficos mas empleados. En primer lugar, a través del método de los polígonos de velocidades y aceleraciones, se obtiene el valor de las variables cinemáticas de un mecanismo en un instante dado. A continuación, también se estudiará el método de resolución gráfico para el cálculo de velocidades basado en el centro instantáneo de rotación. 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones Tal y como se ha descrito en el capítulo anterior, la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de dos puntos cualesquiera A y B viene dada por la expresión: 37 normalmente el objetivo. Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos generales muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab. Hay que señalar que, en ocasiones, los métodos analíticos son poco intuitivos, por lo que a la hora de aplicarlos es necesario dominar los conocimientos de cinemática vectorial del sólido rígido que subyacen bajo todas las ecuaciones paramétricas, y apoyarse en métodos gráficos para comprender el movimiento en posiciones concretas. Por consiguiente, en la resolución de casos prácticos del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólo la aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido. A la hora de realizar la síntesis o diseño de un mecanismo, el conocimiento de todos los métodos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a seguir. 3.2. Métodos gráficos Los métodos gráficos constituyen una herramienta complementaria muy potente a la hora de realizar el análisis cinemático. Aunque sólo son válidos en una posición determinada, ayudan a comprender el movimiento de cada eslabón en posiciones concretas de interés. En este apartado se estudiarán los dos métodos gráficos mas empleados. En primer lugar, a través del método de los polígonos de velocidades y aceleraciones, se obtiene el valor de las variables cinemáticas de un mecanismo en un instante dado. A continuación, también se estudiará el método de resolución gráfico para el cálculo de velocidades basado en el centro instantáneo de rotación. 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones Tal y como se ha descrito en el capítulo anterior, la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de dos puntos cualesquiera A y B viene dada por la expresión: B A B/A v v v = + B A B/A a a a = + donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B: =ω +     B/A BA B/A desliz. B/A v x r v Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:   α ωω + ω   ( )         B/A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = x r + x x r a + 2. x v vrotación 37 Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos genera‐ les muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab.   Hay que señalar que, en ocasiones, los métodos analíticos son poco intuitivos, por lo que a la hora de aplicarlos es necesario dominar los conocimientos de cinemática vectorial del sólido rígido que subyacen bajo todas las ecuaciones paramétricas, y apoyarse en métodos gráficos para com‐ prender el movimiento en posiciones concretas. Por consiguiente, en la resolución de casos prác‐ ticos del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólo la aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido.   A la hora de realizar la síntesis o diseño de un mecanismo, el conocimiento de todos los mé‐ todos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a seguir. 3.2. Métodos gráficos Los métodos gráficos constituyen una herramienta complementaria muy potente a la hora de realizar el análisis cinemático. Aunque sólo son válidos en una posición determinada, ayudan a comprender el movimiento de cada eslabón en posiciones concretas de interés.   En este apartado se estudiarán los dos métodos gráficos mas empleados. En primer lugar, a través del método de los polígonos de velocidades y aceleraciones, se obtiene el valor de las varia‐ bles cinemáticas de un mecanismo en un instante dado. A continuación, también se estudiará el método de resolución gráfico para el cálculo de velocidades basado en el centro instantáneo de rotación. 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones Tal y como se ha descrito en el capítulo anterior, la relación entre las velocidades y acelera‐ ciones absolutas de dos puntos cualesquiera A y B viene dada por la expresión: B A B/A v     v     v B A B/A a     a     a donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A.    La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B:   B/A BA B/A desliz. B/A v     x r v            vrotación 3.2. MÉTODOS GRÁFICOS

MANUALES UEX 45 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 38 donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B: =ω +     B/A BA B/A desliz. B/A v x r v Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:   α ωω + ω   ( )         B/A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = x r + x x r a + 2. x v Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán durante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos A y B: = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. a) CASO 1: los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre A y B es una rotación, de modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( AB B/A ) Observar que para denominar a la velocidad angular del eslabón que contiene a A y B se pueden utilizar indistintamente las notaciones ω =ω =ω AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. La ecuación anterior está formada por tres vectores, e indica que sumando al vector A v el vector ( r ω × AB B/A ) , se obtiene el vector B v . La representación gráfica de esta suma de vectorial constituye el polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya construcción ayudará a resolver gráficamente el análisis de velocidades del mecanismo. a aCoriolis rotación vrotación Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es: 38 donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B: =ω +     B/A BA B/A desliz. B/A v x r v Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:   α ωω + ω   ( )         B/A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = x r + x x r a + 2. x v Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán durante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos A y B: = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. a) CASO 1: los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre A y B es una rotación, de modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( AB B/A ) Observar que para denominar a la velocidad angular del eslabón que contiene a A y B se pueden utilizar indistintamente las notaciones ω =ω =ω AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. La ecuación anterior está formada por tres vectores, e indica que sumando al vector A v el vector ( r ω × AB B/A ) , se obtiene el vector B v . La representación gráfica de esta suma de vectorial constituye el polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya construcción ayudará a resolver gráficamente el análisis de velocidades del mecanismo. a aCoriolis rotación vrotación Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán durante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos A y B: 38 donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B: =ω +     B/A BA B/A desliz. B/A v x r v Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:   α ωω + ω   ( )         B/A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = x r + x x r a + 2. x v Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán durante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos A y B: = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. a) CASO 1: los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre A y B es una rotación, de modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( AB B/A ) Observar que para denominar a la velocidad angular del eslabón que contiene a A y B se pueden utilizar indistintamente las notaciones ω =ω =ω AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. La ecuación anterior está formada por tres vectores, e indica que sumando al vector A v el vector ( r ω × AB B/A ) , se obtiene el vector B v . La representación gráfica de esta suma de vectorial constituye el polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya construcción ayudará a resolver gráficamente el análisis de velocidades del mecanismo. a aCoriolis rotación vrotación Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. a) CASO 1: los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre A y B es una rotación, de modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: 38 donde B/A v y B/A a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamiento, más la existente debido al giro relativo entre los puntos A y B: =ω +     B/A BA B/A desliz. B/A v x r v Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:   α ωω + ω   ( )         B/A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = x r + x x r a + 2. x v Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán durante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos A y B: = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. a) CASO 1: los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre A y B es una rotación, de modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: v v v v r B A rel B/A A = + = + ω× ( AB B/A ) Observar que para denominar a la velocidad angular del eslabón que contiene a A y B se pueden utilizar indistintamente las notaciones ω =ω =ω AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. La ecuación anterior está formada por tres vectores, e indica que sumando al vector A v el vector ( r ω × AB B/A ) , se obtiene el vector B v . La representación gráfica de esta suma de vectorial constituye el polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya construcción ayudará a resolver gráficamente el análisis de velocidades del mecanismo. a aCoriolis rotación vrotación En la figura siguiente se dibuja el polígono de velocidades de un eslabón AB en un movimiento plano general. Suponiendo conocida la velocidad absoluta del punto A, A v , y la velocidad angular del eslabón, ωAB , se puede calcular gráficamente la velocidad absoluta del punto B, B v , representando la ecuación vectorial de velocidades: Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A B Vrel B/A

MANUALES UEX 46 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN • Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. aA αΑΒ . rB/A A B αAB ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) ωAB aA ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) αΑΒ . rB/A aB A B 39 Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución geométrica pasa por el desarrollo de un cuadrilátero. Dado que el único movimiento relativo posible entre A y B corresponde a una rotación, la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: a a r r B A = +α× + ω ×ω× ( AB B/A )   AB ( AB B/A )   Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se puede utilizar indistintamente las notaciones α =α =α AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que se conoce la aceleración absoluta del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular del eslabón, ωAB y αAB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del punto B, B a , mediante la ecuación vectorial anterior: vA Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A rB/A A B ωAB vA Vrel B/A vB 39 Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución geométrica pasa por el desarrollo de un cuadrilátero. Dado que el único movimiento relativo posible entre A y B corresponde a una rotación, la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: a a r r B A = +α× + ω ×ω× ( AB B/A )   AB ( AB B/A )   Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se puede utilizar indistintamente las notaciones α =α =α AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que se conoce la aceleración absoluta del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular del eslabón, ωAB y αAB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del punto B, B a , mediante la ecuación vectorial anterior: vA Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A rB/A A B ωAB vA Vrel B/A vB 39 punto B, B v , representando la ecuación vectorial de velocidades: Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución geométrica pasa por el desarrollo de un cuadrilátero. Dado que el único movimiento relativo posible entre A y B corresponde a una rotación, la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: a a r r B A = +α× + ω ×ω× ( AB B/A )   AB ( AB B/A )   Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se puede utilizar indistintamente las notaciones α =α =α AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que se conoce la aceleración absoluta del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular del eslabón, ωAB y αAB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del punto B, B a , mediante la ecuación vectorial anterior: vA Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A rB/A A B ωAB vA Vrel B/A vB 39 En la figura siguiente se dibuja el polígono de velocidades de un eslabón AB en un movimiento plano general. Suponiendo conocida la velocidad absoluta del punto A, A v , y la velocidad angular del eslabón, ωAB , se puede calcular gráficamente la velocidad absoluta del punto B, B v , representando la ecuación vectorial de velocidades: Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución geométrica pasa por el desarrollo de un cuadrilátero. Dado que el único movimiento relativo posible entre A y B corresponde a una rotación, la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: a a r r B A = +α× + ω ×ω× ( AB B/A )   AB ( AB B/A )   Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se puede utilizar indistintamente las notaciones α =α =α AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que se conoce la aceleración absoluta del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular del eslabón, ωAB y αAB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del punto B, B a , mediante la ecuación vectorial anterior: vA Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A rB/A A B ωAB vA Vrel B/A vB Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se pueden utilizar indistintamente las notaciones 39 Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución geométrica pasa por el desarrollo de un cuadrilátero. Dado que el único movimiento relativo posible entre A y B corresponde a una rotación, la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: a a r r B A = +α× + ω ×ω× ( AB B/A )   AB ( AB B/A )   Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B se puede utilizar indistintamente las notaciones α =α =α AB BA eslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que se conoce la aceleración absoluta del punto A, A a , y la velocidad y aceleración angular del eslabón, ωAB y αAB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del punto B, B a , mediante la ecuación vectorial anterior: vA Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A rB/A A B ωAB vA Vrel B/A vB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón.

MANUALES UEX 47 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 40 • Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. En este caso la manivela OA es el eslabón de entrada, cuyo movimiento se conoce al constituir el eslabón motor que gira a una velocidad angular constante ωOA . Las variables de salida que hay que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y aceleración angular de la biela, ωAB y αAB . En la siguiente figura se desarrolla gráficamente el polígono de velocidades que relaciona los valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye la biela del mecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es perpendicular a OA, y que se conoce la dirección de la velocidad de B, que es horizontal, así como la de la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este modo, trazando el triángulo vectorial correspondiente se pueden calcular el módulo y sentido de la velocidad angular de la biela ωAB y de la velocidad absoluta del punto B. aA A αAB ωAB ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) αΑΒ . rB/A aB vB vA = ωOA . OA ωAB . AB ⊥ AB ωOA A B 40 • Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. En este caso la manivela OA es el eslabón de entrada, cuyo movimiento se conoce al constituir el eslabón motor que gira a una velocidad angular constante ωOA . Las variables de salida que hay que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y aceleración angular de la biela, ωAB y αAB . En la siguiente figura se desarrolla gráficamente el polígono de velocidades que relaciona los valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye la biela del mecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es perpendicular a OA, y que se conoce la dirección de la velocidad de B, que es horizontal, así como la de la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este modo, trazando el triángulo vectorial correspondiente se pueden calcular el módulo y sentido de la velocidad angular de la biela ωAB y de la velocidad absoluta del punto B. aA A αAB ωAB ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) αΑΒ . rB/A aB vB vA = ωOA . OA ωAB . AB ⊥ AB ωOA A B Análogamente, en la siguiente figura se desarrolla el polígono de aceleraciones, en este caso un cuadrilátero, que relaciona los valores de los puntos A y B. Observar que, previamente, se puede calcular la aceleración de A, que lleva la dirección de la manivela y sentido AO (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. • Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. 40 Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela‐manivela.               En este caso la manivela OA es el eslabón de entrada, cuyo movimiento se conoce al constituir el eslabón motor que gira a una velocidad angular constante OA . Las variables de salida que hay que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y aceleración angular de la biela, AB y AB . En la siguiente figura se desarrolla gráficamente el polígono de velocidades que relaciona los valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye la biela del mecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es perpendicu‐ lar a OA, y que se conoce la dirección de la velocidad de B, que es horizontal, así como la de la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este modo, trazando el trián‐ gulo vectorial correspondiente se pueden calcular el módulo y sentido de la velocidad angular de la biela AB y de la velocidad absoluta del punto B. Análogamente, en la siguiente figura se desarrolla el polígono de aceleraciones, en este caso un cuadrilátero, que relaciona los valores de los puntos A y B. Observar que, previamente, se puede calcular la aceleración de A, que lleva la dirección de la manivela y sentido AO (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante).   Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componen‐ tes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente.   vB vA = OA . OA AB . AB AB OA   A B

MANUALES UEX 48 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 41 (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. De este modo, se puede ya trazar el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo y sentido de la aceleración angular de la biela αAB y de la aceleración absoluta del punto B. b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En este caso se tiene que B/A r = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicamente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: B A desliz. B/A v v v = + + ω     B A desliz. B/A desliz. B/A a = a a + 2. x v siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizamiento. • Ejemplo: como aplicación, se analizará mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones el problema cinemático del mecanismo de corredera de la figura. La manivela tiene una velocidad angular constante ω1 y la guía posee una velocidad y aceleración angular variables ω2 y α2 , cuya determinación se pide en el instante de la figura. ⊥ AB aA = ωOA2 . OA ωAB2 . AB αAB . AB aB ω1 O1 O2 A 41 (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. De este modo, se puede ya trazar el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo y sentido de la aceleración angular de la biela αAB y de la aceleración absoluta del punto B. b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En este caso se tiene que B/A r = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicamente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: B A desliz. B/A v v v = + + ω     B A desliz. B/A desliz. B/A a = a a + 2. x v siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizamiento. • Ejemplo: como aplicación, se analizará mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones el problema cinemático del mecanismo de corredera de la figura. La manivela tiene una velocidad angular constante ω1 y la guía posee una velocidad y aceleración angular variables ω2 y α2 , cuya determinación se pide en el instante de la figura. ⊥ AB aA = ωOA2 . OA ωAB2 . AB αAB . AB aB ω1 O1 O2 A 41 constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. De este modo, se puede ya trazar el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo y sentido de la aceleración angular de la biela αAB y de la aceleración absoluta del punto B. b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En este caso se tiene que B/A r = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicamente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: B A desliz. B/A v v v = + + ω     B A desliz. B/A desliz. B/A a = a a + 2. x v siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizamiento. • Ejemplo: como aplicación, se analizará mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones el problema cinemático del mecanismo de corredera de la figura. La manivela tiene una velocidad angular constante ω1 y la guía posee una velocidad y aceleración angular variables ω2 y α2 , cuya determinación se pide en el instante de la figura. ⊥ AB aA = ωOA2 . OA ωAB2 . AB αAB . AB aB ω1 O1 O2 A Siendo A el punto extremo de la manivela en contacto con la deslizadera, nótese que se puede calcular su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O1 de la manivela. Dicha velocidad tendrá módulo Siendo A el punto extremo de la manivela en contacto con la deslizaderapuede calcular su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento dededor de la articulación fija O1 de la manivela. Dicha velocidad tA1 1 v = O A . ω , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por ω =1Análogamente, denominando B al punto de la guía que en la posición configura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articde la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpguía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabonencuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades apuntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en deslizamiento: , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por a manivela en contacto con la deslizadera, nótese que se o que este punto realiza un movimiento de rotación alre1 de la manivela. Dicha velocidad tendrá módulo ular a la manivela y sentido dado por ω =ω 1 O1A . al punto de la guía que en la posición considerada en la izadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, ovimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la incógnita ω =ω 2 O2B . relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anterioruntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se ente figura se representan las velocidades absolutas de los relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de . Análogamente, denominando B al punto de la guía que en la posición considerada en la figura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo Siendo A el punto extremo de la manivela en contacto con la deslizadera, nótese que se puede calcular su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O1 de la manivela. Dicha velocidad tendrá módulo A1 1 v = O A . ω , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por ω =ω 1 O1A . Análogamente, denominando B al punto de la guía que en la posición considerada en la figura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita Siendo A el punto extremo de la manivela en contacto con la deslizadera, nótese que se puede calcular su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O1 de la manivela. Dicha velocidad tendrá módulo A1 1 v = O A . ω , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por ω =ω 1 O1A . Análogamente, denominando B al punto de la guía que en la posición considerada en la figura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: .

MANUALES UEX 49 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 42 pqpj2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: La relación entre las velocidades anteriores puede expresarse a través del polígono de la siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce vA, en módulo y sentido, así como las direcciones de vB y de vdesliz. B/A. Dibujando y cerrando el triángulo correspondiente se tiene: lo que permitirá calcular, para la posición de la figura, los valores del módulo y el sentido de vdesliz.B/A y vB. A partir de vB se determina el módulo y el sentido de ω2 = ωO2B. vdesliz.B/A B ω2 O2 vB = ω2 . O2B vA = ω1 . O1A A O1 vdesliz.B/A vA = ωO1A . O1A vB = ωO2B . O2B Dirección O2B ⊥ O2B 42 puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: La relación entre las velocidades anteriores puede expresarse a través del polígono de la siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce vA, en módulo y sentido, así como las direcciones de vB y de vdesliz. B/A. Dibujando y cerrando el triángulo correspondiente se tiene: lo que permitirá calcular, para la posición de la figura, los valores del módulo y el sentido de vdesliz.B/A y vB. A partir de vB se determina el módulo y el sentido de ω2 = ωO2B. vdesliz.B/A B ω2 O2 vB = ω2 . O2B vA = ω1 . O1A A O1 vdesliz.B/A vA = ωO1A . O1A vB = ωO2B . O2B Dirección O2B ⊥ O2B 42 figura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: La relación entre las velocidades anteriores puede expresarse a través del polígono de la siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce vA, en módulo y sentido, así como las direcciones de vB y de vdesliz. B/A. Dibujando y cerrando el triángulo correspondiente se tiene: lo que permitirá calcular, para la posición de la figura, los valores del módulo y el sentido de vdesliz.B/A y vB. A partir de vB se determina el módulo y el sentido de ω2 = ωO2B. vdesliz.B/A B ω2 O2 vB = ω2 . O2B vA = ω1 . O1A A O1 vdesliz.B/A vA = ωO1A . O1A vB = ωO2B . O2B Dirección O2B ⊥ O2B 42 Análogamente, denominando B al punto de la guía que en la posición considerada en la figura está en contacto con la deslizadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la articulación fija O2 de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo B2 2 v = O B . ω , dirección perpendicular a la guía y sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: La relación entre las velocidades anteriores puede expresarse a través del polígono de la siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce vA, en módulo y sentido, así como las direcciones de vB y de vdesliz. B/A. Dibujando y cerrando el triángulo correspondiente se tiene: lo que permitirá calcular, para la posición de la figura, los valores del módulo y el sentido de vdesliz.B/A y vB. A partir de vB se determina el módulo y el sentido de ω2 = ωO2B. vdesliz.B/A B ω2 O2 vB = ω2 . O2B vA = ω1 . O1A A O1 vdesliz.B/A vA = ωO1A . O1A vB = ωO2B . O2B Dirección O2B ⊥ O2B Análogamente, en los siguientes diagramas cinemáticos se representan las aceleraciones absolutas de los puntos A y B, así como las componentes de la aceleración relativa de B respecto de A, consistentes en la aceleración de deslizamiento y aceleración de Coriolis: La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través del siguiente polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema: A aA = ω12 . O1A O1 B α2 O2 α2 . O2B ω22 . O2B aB adesliz.B/A 2 . ω2 . vdesliz.B/A aA=ωO1A2 O1AωO2B2 . O2B A aA = ω12 . O1A O1 B α2 α2 . O2B ω22 . O2B adesliz.B/A 2 . ω2 . vdesliz.B/A

MANUALES UEX 50 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 43 La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través del siguiente polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema: Nótese que en el polígono anterior se conoce previamente la aceleración de A, así como la aceleración normal de B y la aceleración de Coriolis, puesto que ya se han resuelto anteriormente las velocidades. Trazando las direcciones conocidas del resto de aceleraciones se puede resolver el problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de adesl.B/A y α2 = αO2B. c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamiento. En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene a través de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estudiados anteriormente: aA = ω12 . O1A O1 α2 O2 α2 . O2B ω22 . O2B aB adesliz.B/A adesliz.B/A aA = ωO1A2 . O1A αO2B . O2B ωO2B2 . O2B 2 . ωO2B . vdesliz.B/A ⊥ O2B Dirección 43 La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través del siguiente polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema: Nótese que en el polígono anterior se conoce previamente la aceleración de A, así como la aceleración normal de B y la aceleración de Coriolis, puesto que ya se han resuelto anteriormente las velocidades. Trazando las direcciones conocidas del resto de aceleraciones se puede resolver el problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de adesl.B/A y α2 = αO2B. c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamiento. En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene a través de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estudiados anteriormente: aA = ω12 . O1A O1 B α2 O2 α2 . O2B ω22 . O2B aB adesliz.B/A adesliz.B/A aA = ωO1A2 . O1A αO2B . O2B ωO2B2 . O2B 2 . ωO2B . vdesliz.B/A ⊥ O2B Dirección La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través del siguiente polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema: 43 La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través del siguiente polí‐ gono, que conduce a la resolución gráfica del problema:               Nótese que en el polígono anterior se conoce previamente la aceleración de A, así como la aceleración normal de B y la aceleración de Coriolis, puesto que ya se han resuelto anteriormente las velocidades. Trazando las direcciones conocidas del resto de aceleraciones se puede resolver el problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de adesl.B/A y α2 = αO2B. c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamien‐ to. En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene a través de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estudiados anteriormente: B A BA B/A desliz. B/A v    v       x r    v B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a     x r +   x   x r     a + 2.   x v En la figura siguiente se representan los diagramas cinemáticos de las velocidades y acelera‐ ciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra AC. adesliz.B/A aA = O1A2 . O1A O2B . O2B O2B2 . O2B 2 . O2B . vdesliz.B/A Dirección Velocidades vA BA . rB/A rB/A A B BA C vdesliz.B/A C aA BA . rB/A A B BA BA2. rB/A Aceleraciones adesliz.B/A 2BA . vdesliz.B/A En la figura siguiente se representan los diagramas cinemáticos de las velocidades y aceleraciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra AC. = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v En la figura siguiente se representan los diagramas cinemáticos de las velocidades y aceleraciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra AC. 3.2.2. Centro instantáneo de rotación Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este ejederotaciónperpendicularalplanodelmovimientodeleslabónseledenominacentroVelocidades vA ωBA . rB/A rB/A A B ωBA C vdesliz.B/A C aA αBA . rB/A A B αBA ωBA2. rB/A Aceleraciones adesliz.B/A 2 . ωBA . vdesliz.B/A = +ω +     B A BA B/A desliz. B/A v v x r v +α ω ω +       ( )     ω   B A BA B/A BA BA B/A desliz. B/A BA desliz. B/A a = a x r + x x r a + 2. x v En la figura siguiente se representan los diagramas cinemáticos de las velocidades y aceleraciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra AC. 3.2.2. Centro instantáneo de rotación Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro lllflddlddVelocidades vA ωBA . rB/A rB/A A B ωBA C vdesliz.B/A C aA αBA . rB/A A B αBA ωBA2. rB/A Aceleraciones adesliz.B/A 2 . ωBA . vdesliz.B/A