JAMES STEWART

MANUALES UEX 51 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 44 3.2.2. Centro instantáneo de rotación Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro instantáneo de rotación, y su localización simplifica la determinación de la magnitud y dirección de la velocidad de cualquier punto del eslabón. Para demostrarlo, considérese el sólido rígido de la figura, donde se conocen las líneas de acción de A v y B v . Tomando como condición la localización de un punto de velocidad nula (eje de giro instantáneo) I v 0 = , se verifica:     ω ω A I A/I A/I v = v + x r = x r     ω ω B I B/I B/I v = v + x r = x r De las expresiones anteriores se deduce que los vectores A/I r y B/I r , y consiguientemente el punto I, se deben encontrar en el punto de intersección de las perpendiculares a las líneas de acción de A v y B v . El empleo del centro instantáneo de rotación como método de resolución facilita, en muchos casos, la determinación de los parámetros cinemáticos de un eslabón, siempre teniendo en cuenta que un sólido rígido que realiza un movimiento plano general posee un centro instantáneo de rotación diferente en cada momento, variando su situación de un instante a otro. La variación de las posiciones del centro instantáneo de rotación implica la variación de vA vB A B I ⊥ vA ⊥ vB vA rB/A A B ωBA C vdesliz.B/A C aA αBA . rB/A A B αBA ωBA2. rB/A adesliz.B/A 3.2.2. Centro instantáneo de rotación Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro instantáneo de rotación, y su localización simplifica la determinación de la magnitud y dirección de la velocidad de cualquier punto del eslabón. El empleo del centro instantáneo de rotación como método de resolución facilita, en muchos casos, la determinación de los parámetros cinemáticos de un eslabón, siempre teniendo en cuenta que un sólido rígido que realiza un movimiento plano general posee un centro instantáneo de rotación diferente en cada momento, variando su situación de un instante a otro. La variación de las posiciones del centro instantáneo de rotación implica la variación de las condiciones de movimiento del cuerpo. Por ello hay que señalar que la aceleración del centro instantáneo de rotación en general es distinta de cero. De aquí que obtenemos un método gráfico válido para calcular velocidades en una posición determinada del mecanismo, pero no para hallar aceleraciones. las condiciones de movimiento del cuerpo. Por ello hay que señalar que la aceleración del centro instantáneo de rotación en general es distinta de cero. De aquí que obtenemos un método gráfico válido para calcular velocidades en una posición determinada del mecanismo, pero no para hallar aceleraciones. Como aplicación, considérese el caso del movimiento de rodadura sin deslizamiento de un disco sobre una superficie fija. Nótese que la velocidad del punto C en contacto con la superficie es siempre cero, tal y como se demostró en el capítulo anterior, lo que motiva que no exista deslizamiento entre el disco y la superficie. El punto C es entonces el centro instantáneo de rotación del disco en su movimiento de rodadura. Obsérvese que, por el contrario, la aceleración de C, ( ) 2 C a . r j = ω , es distinta de cero. La figura muestra el diagrama cinemático de velocidades del disco, donde se han representado las velocidades de algunos puntos característicos. A continuación, se presentan dos ejemplos de resolución cinemática mediante el método gráfico basado en el centro instantáneo de rotación. • Ejemplo: para el sistema biela-manivela de la figura, la resolución cinemática mediante el centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento de la posición indicada y de la velocidad angular ωOA de la manivela: O C ω A vA= ω.CA E vE F vF= ω.CF vO

MANUALES UEX 52 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Obsérvese que, obviamente, un eslabón que realiza un movimiento de rotación tendrá un centro de rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del ejemplo anterior. Un eslabón que realiza un movimiento de traslación tiene su centro instantáneo de rotación en el infinito. Por ello: v ω= = 0 ∞ es decir que el eslabón no posee velocidad angular, como sería el caso del pistón del ejemplo. • Ejemplo: la figura representa un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la velocidad angular de la leva ω OA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a partir de él, la velocidad del seguidor B v . Debe notarse que se considera que el movimiento entre leva y rodillo es de rodadura. Obsérvese que, obviamente, un eslabón que realiza un movimiento de rotación tendrá un centro de rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del ejemplo anterior. Un eslabón que realiza un movimiento de traslación tiene su centro instantáneo de rotación en el infinito. Por ello: v ω= = 0 ∞ es decir que el eslabón no posee velocidad angular, como sería el caso del pistón del ejemplo. • Ejemplo: la figura representa un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la velocidad angular de la leva ω OA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a partir de él, la velocidad del seguidor B v . Debe notarse que se considera que el movimiento entre leva y rodillo es de rodadura. 45 del disco en su movimiento de rodadura. Obsérvese que, por el contrario, la aceleración de C, ( ) 2 C a . r j = ω , es distinta de cero. La figura muestra el diagrama cinemático de velocidades del disco, donde se han representado las velocidades de algunos puntos característicos. A continuación, se presentan dos ejemplos de resolución cinemática mediante el método gráfico basado en el centro instantáneo de rotación. • Ejemplo: para el sistema biela-manivela de la figura, la resolución cinemática mediante el centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento de la posición indicada y de la velocidad angular ωOA de la manivela: a) Con ω OA se calcula A v . b) Se trazan las perpendiculares a A v y a la línea de acción de B v , que se cortan en I. c) Como vA = ωAB . IA, se calcula ω AB , definiendo tanto el módulo como el sentido. d) Como vB = ωAB . IB, se calcula B v , definiendo tanto el módulo como el sentido. e) Se podría calcular la velocidad de cualquier punto de la biela AB, mediante el producto del módulo de ωAB por la distancia de I a dicho punto, definiendo tanto el módulo como el sentido de la velocidad. ωOA O A B I ⊥ vB ⊥ vA vA ωAB C ω vE 45 A continuación, se presentan dos ejemplos de resolución cinemática mediante el método grá‐ fico basado en el centro instantáneo de rotación. Ejemplo:    para el sistema biela‐manivela de la figura, la resolución cinemática mediante el centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento de la posición indicada y de la velocidad angular OA   de la manivela: a) Con OA se calcula A v . b) Se trazan las perpendiculares a A v y a la línea de acción de B v , que se cortan en I. c) Como vA = AB . IA, se calcula AB , definiendo tanto el módulo como el sentido. d) Como vB = AB . IB, se calcula B v , definiendo tanto el módulo como el sentido. e) Se podría calcular la velocidad de cualquier punto de la biela AB, mediante el producto del módulo de AB por la distancia de I a dicho punto, definiendo tanto el módulo como el sentido de la velocidad. Obsérvese que, obviamente, un eslabón que realiza un movimiento de rotación tendrá un centro de rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del ejemplo anterior. Un eslabón que realiza un movimiento de traslación tiene su centro instantáneo de rotación en el infinito. Por ello: v     0 es decir que el eslabón no posee velocidad angular, como sería el caso del pistón del ejemplo. OA   O A B I vB vA vA vB AB

MANUALES UEX 53 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 46 v ω= = 0 ∞ es decir que el eslabón no posee velocidad angular, como sería el caso del pistón del ejemplo. • Ejemplo: la figura representa un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la velocidad angular de la leva ω OA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a partir de él, la velocidad del seguidor B v . Debe notarse que se considera que el movimiento entre leva y rodillo es de rodadura. vA ωleva = ωOA O ⊥ vA vseguidor = vB B A I ωrodillo = ωAB seguidor 3.3. MÉTODOS ANALÍTICOS Los métodos analíticos permiten obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. De este modo se tiene el análisis cinemático para cualquier posición del mecanismo a lo largo de todo el ciclo completo de movimiento. Este tipo de método puede abordarse basándose principalmente en tres enfoques matemáticos distintos: el análisis trigonométrico, la resolución vectorial y el método de números complejos. En cualquiera de los casos la base del método consiste en plantear las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo, que sostienen las relaciones vectoriales entre las variables cinemáticas de los distintos puntos del mecanismo. 3.3.1. Análisis trigonométrico Este método consiste en definir las ecuaciones paramétricas de posición del punto de interés cuya cinemática se quiere obtener, y deducir por derivación sucesiva respecto del

MANUALES UEX 54 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma la manivela con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de la horquilla en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición del mecanismo dada por θ. Asimismo, estas ecuaciones dependerán de valores constantes como la velocidad angular de la manivela, y la longitud de la misma. A través de la figura anterior se obtiene la expresión de la posición de la horquilla, que se encuentra en traslación, respecto de la articulación fija de la manivela: x = r . cosθ Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: θ θ⋅ ω θ dx d v = = - r . sen = - r . . sen dt dt Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la aceleración: θ ω θ⋅ dv d a = = - r . . cos dt dt cuya expresión final paramétrica es: Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma la manivela con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de la horquilla en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición del mecanismo dada por θ. Asimismo, estas ecuaciones dependerán de valores constantes como la velocidad angular de la manivela, y la longitud de la misma. A través de la figura anterior se obtiene la expresión de la posición de la horquilla, que se encuentra en traslación, respecto de la articulación fija de la manivela: x = r . cosθ Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: θ θ⋅ ω θ dx d v = = - r . sen = - r . . sen dt dt Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la aceleración: θ ω θ⋅ dv d a = = - r . . cos dt dt cuyaexpresiónfinalparamétricaes:tiempo la velocidad y aceleración de dicho punto. Observar que, si el mecanismo tiene un grado de libertad, las ecuaciones de posición estarán expresadas en función de la variable de entrada correspondiente al grado de libertad del mecanismo. Asimismo, dichas ecuaciones deben estar escritas en función de los parámetros conocidos del mecanismo, como posición genérica y dimensión de los eslabones, o datos sobre la cinemática del elemento de entrada. Una vez que se tienen determinadas las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro de entrada con incrementos constantes y obtener valores para el ciclo de movimiento completo. En general, salvo excepciones, con este método se obtienen en muchas ocasiones ecuaciones complicadas difíciles de manejar o derivar. • Ejemplo: obsérvese que el mecanismo de yugo escocés de la figura, en el que la manivela gira con una velocidad angular constante w, posee un grado de libertad. Por tanto, se necesita fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada. 47 al grado de libertad del mecanismo. Asimismo, dichas ecuaciones deben estar escritas en función de los parámetros conocidos del mecanismo, como posición genérica y dimensión de los eslabo‐ nes, o datos sobre la cinemática del elemento de entrada. Una vez que se tienen determinadas las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro de entrada con incrementos constantes y obtener valores para el ciclo de movimiento completo.   En general, salvo excepciones, con este método se obtienen en muchas ocasiones ecuaciones complicadas difíciles de manejar o derivar. Ejemplo: obsérvese que el mecanismo de yugo escocés de la figura, en el que la manivela gira con una velocidad angular constante , posee un grado de libertad. Por tanto, se necesita fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada.   Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo que forma la manivela con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de la horquilla en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición del mecanismo dada por . Asimismo, estas ecuaciones dependerán de valores constantes como la velocidad angular de la manivela, y la longitud de la misma.   A través de la figura anterior se obtiene la expresión de la posición de la horquilla, que se en‐ cuentra en traslación, respecto de la articulación fija de la manivela: x = r . cos Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: x Pistón Cilindro Horquilla Manivela Longitud = r

MANUALES UEX 55 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 48 x = r . cosθ Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: θ θ⋅ ω θ dx d v = = - r . sen = - r . . sen dt dt Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la aceleración: θ ω θ⋅ dv d a = = - r . . cos dt dt cuya expresión final paramétrica es: ω θ 2 a = - r . . cos • Ejemplo: en el mecanismo de biela-manivela de la figura, se desea determinar la posición, velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición. El mecanismo posee un grado de libertad, por lo que se necesita entonces fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada. Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma la manivela con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del pistón en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición a lo largo del ciclo cinemático. x Biela Longitud = Manivela Longitud = r Pistón θ φ Cilindro A partir de las longitudes conocidas de la biela y la manivela se puede deducir la siguiente expresión para determinar la posición x del pistón respecto de la articulación de la manivela: x = r . cos + . cos θ φ Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable. Puesto que se ha seleccionado como parámetro el ángulo θ que forma la manivela con la horizontal, se debe expresar el ángulo φ que forma la biela con la horizontal en función de θ : θ φ r = sen sen Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de posición, se obtiene la distancia x entre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ :   = θ+ ⋅ θ     2 r x r . cos . 1 - sen La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela. Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el caso del mecanismo de yugo escocés presentado anteriormente. 332Álbtil48 dx d v =   = ‐ r . sen     = ‐ r .   . sen dt dt Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la acele‐ ración: dv d a =   = ‐ r .   . cos      dt dt cuya expresión final paramétrica es: 2 a = ‐ r .   . cos Ejemplo: en el mecanismo de biela‐manivela de la figura, se desea determinar la posición, velo‐ cidad y aceleración del pistón para cualquier posición. El mecanismo posee un grado de libertad, por lo que se necesita entonces fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada. Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo que forma la manivela con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del pistón en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición a lo largo del ciclo cinemático. A partir de las longitudes conocidas de la biela y la manivela se puede deducir la siguiente ex‐ presión para determinar la posición x del pistón respecto de la articulación de la manivela: x = r . cos  +     . cos        Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable. Pues‐ to que se ha seleccionado como parámetro el ángulo que forma la manivela con la horizontal, se debe expresar el ángulo que forma la biela con la horizontal en función de r = sen sen Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de posición, se obtiene la distancia x entre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de x Biela Longitud = Manivela Longitud = r Pistón Cilindro

MANUALES UEX 56 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN • Ejemplo: en el mecanismo de biela-manivela de la siguiente figura, la manivela gira a una velocidad angular constante ω OA en sentido antihorario. • Posición Empleando relaciones trigonométricas se pueden expresar dos ecuaciones con dos incógnitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O, en cualquier posición definida por el ángulo θ: OA . senθ = AB . senφ φ x = OA . cosθ + AB . cosφ x • Velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcular la velocidad del punto A en la forma: =ω × = ω × θ + θ = ( ) ( ) = ω θ+ ω θ A OA A/O OA OA OA v r k OA . cos i OA . sen j - OA . . sen i OA . . cos j ElpistónBseencuentraentraslación,realizandosiempreunmovimientoalternativoenlaθ φ A O ωOA B • Ejemplo: en el mecanismo de biela-manivela de la siguiente figura, la manivela gira a una velocidad angular constante ω OA en sentido antihorario. • Posición Empleando relaciones trigonométricas se pueden expresar dos ecuaciones con dos incógnitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O, en cualquier posición definida por el ángulo θ: OA . senθ = AB . senφ φ x = OA . cosθ + AB . cosφ x • Velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcular la velocidad del punto A en la forma: =ω × = ω × θ + θ = ( ) ( ) = ω θ+ ω θ A OA A/O OA OA OA v r k OA . cos i OA . sen j - OA . . sen i OA . . cos j θ φ A O ωOA B 49 Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de posición, se obtiene la distancia x entre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ :   = θ+ ⋅ θ     2 r x r . cos . 1 - sen La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela. Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el caso del mecanismo de yugo escocés presentado anteriormente. 3.3.2. Álgebra vectorial Este método consiste en la resolución de las ecuaciones vectoriales de velocidad y aceleración estudiadas en el tema anterior introductorio sobre la cinemática del sólido rígido, lo cual se puede lograr mediante la descomposición de cada uno de los vectores según los ejes x e y. De este modo, se dispone de dos ecuaciones escalares de velocidad (para la determinación de dos incógnitas de velocidad del problema), y análogamente dos ecuaciones escalares de aceleración (para obtener otras dos incógnitas de aceleración). Dichas ecuaciones deben estar expresadas en función de las variables de entrada para poder ser resolubles en cualquier posición. A continuación se desarrolla el método vectorial para un mecanismo de biela-manivela, planteando las ecuaciones a través de las cuales se obtienen la posición, velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición del mecanismo.

MANUALES UEX 57 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 50 pgppgnitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O, en cualquier posición definida por el ángulo θ: OA . senθ = AB . senφ φ x = OA . cosθ + AB . cosφ x • Velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcular la velocidad del punto A en la forma: =ω × = ω × θ + θ = ( ) ( ) = ω θ+ ω θ A OA A/O OA OA OA v r k OA . cos i OA . sen j - OA . . sen i OA . . cos j El pistón B se encuentra en traslación, realizando siempre un movimiento alternativo en la dirección horizontal. Suponiendo su movimiento en el sentido positivo del eje x se tiene: B B v v i = Nótese que vB es una incógnita del problema, y en la resolución se puede obtener un valor negativo o positivo. Un valor negativo indica que el sentido real de la velocidad en esa posición será contrario al supuesto y, al contrario, un valor positivo indica que el movimiento se produce en el mismo sentido. Los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, es decir, la biela, y por tanto se pueden relacionar las velocidades absolutas de ambos puntos a través de la velocidad relativa de rotación de uno respecto de otro. La biela se encuentra realizando un movimiento plano general que consta de una traslación más una rotación con una velocidad angular variable ωAB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Si al resolver las ecuaciones el valor de ωAB es negativo, esto indica que el giro real de la biela en el instante considerado sería en sentido horario. La velocidad relativa vB/A de B respecto de A viene dada por la expresión: ω =ω × φ φ = ( ) ( ) = ω φ+ ω φ AB B/A AB AB AB x r k AB . cos i - AB . sen j AB . . sen i AB . . cos j Sustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relaciona las velocidades absolutas de A y B: = +ω    B A AB B/A v v x r se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de velocidad vB y ωAB: x vB = - OA . ωOA .senθ + AB . ωAB . senφ vB y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ ωAB • Aceleración Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: ( ) ( ) ( ) ( ) =ω × ω × = ω × ω × θ + θ =     = ωθ ωθ A OA OA A/O OA OA 2 2 OA OA a r k k OA . cos i OA . sen j - OA . . cos i - OA . . sen j Tal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión: sería en sentido horario. La velocidad relativa vB/A de B respecto de A viene dada por la expresión: ω =ω × φ φ = ( ) ( ) = ω φ+ ω φ AB B/A AB AB AB x r k AB . cos i - AB . sen j AB . . sen i AB . . cos j Sustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relaciona las velocidades absolutas de A y B: = +ω    B A AB B/A v v x r se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de velocidad vB y ωAB: x vB = - OA . ωOA .senθ + AB . ωAB . senφ vB y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ ωAB • Aceleración Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: ( ) ( ) ( ) ( ) =ω × ω × = ω × ω × θ + θ =     = ωθ ωθ A OA OA A/O OA OA 2 2 OA OA a r k k OA . cos i OA . sen j - OA . . cos i - OA . . sen j Tal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positidljtilió

MANUALES UEX 58 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Sustituyendo la aceleración relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relaciona las aceleraciones absolutas de A y B: = +α × +ω ×ω × ( )   ( )   B A AB B/A AB AB B/A a a r r se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de aceleración aB y αAB: x aB = - OA . ωOA2. cosθ + AB . αAB . senφ - AB . ωAB2. cosφ aB y 0 = - OA . ωOA2. senθ + AB . αAB . cosφ + AB . ωAB2. senφ αAB Puede observarse que, incluso en un mecanismo tan sencillo, el cálculo y desarrollo de las relaciones vectoriales para obtener las ecuaciones escalares puede resultar en ocasiones complicado. Por ello, en la resolución sistemática de ejercicios planteados en el próximo capítulo, se aplicará el método de los números complejos que se propone a continuación, el cual facilita el manejo de las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración aplicables a cualquier posición. Hay que tener en cuenta que bajo el método de los números complejos subyace siempre el álgebra vectorial, pues al establecer las ecuaciones de cierre o de lazo del mecanismo se establecen relaciones de velocidades y aceleraciones entre puntos del mismo. 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuacio51 y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ ωAB • Aceleración Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: ( ) ( ) ( ) ( ) =ω × ω × = ω × ω × θ + θ =     = ωθ ωθ A OA OA A/O OA OA 2 2 OA OA a r k k OA . cos i OA . sen j - OA . . cos i - OA . . sen j Tal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión: B B a a i = La biela AB se encuentra realizando un movimiento plano general con una aceleración angular variable αAB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Puesto que los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, se pueden relacionar las aceleraciones absolutas de ambos puntos a través de la aceleración relativa debida a la rotación de uno respecto de otro: ( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) } = α × +ω ×ω × =         =α × φ φ +     +ω ×ω × φ φ =     = α φ+ B/A AB B/A AB AB B/A AB AB AB AB a r r k AB . cos i - AB . sen j k k AB . cos i - AB . sen j AB . . sen i ( α φ ω φ+ ω φ ) ( ) 2 2 AB . . cos j + - AB . .cos i AB . . sen AB AB AB j

MANUALES UEX 59 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para cualquier valor de las variables de entrada. La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se obtienen planteando los vectores que representan los diferentes lazos o cierres formados por las barras del mecanismo. A través de estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de posición, derivando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de velocidad se deducen las de aceleración. En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cinemática. Cuando se trata de un mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear dos o más ecuaciones de cierre o de lazo. A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemática de un mecanismo, se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelve dos incógnitas de posición, su derivada dos de incógnitas de velocidad y su segunda derivada dos incógnitas de aceleración. En este sentido, se debe comprobar que el número de incógnitas coincida con el número de ecuaciones escalares disponibles. Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad (m=1), y todos los pares sean de un grado de libertad (j2 =0) se verifica: 52 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para cualquier valor de las variables de entrada.    La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se obtienen planteando los vectores que representan los diferentes lazos o cierres formados por las barras del mecanismo. A través de estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de posición, deri‐ vando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de velocidad se deducen las de aceleración.   En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cine‐ mática. Cuando se trata de un mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear dos o más ecuaciones de cierre o de lazo.   A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemá‐ tica de un mecanismo, se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelve dos incógnitas de posición, su derivada dos de incógnitas de velocidad y su segunda derivada dos incógnitas de aceleración. En este sentido, se debe comprobar que el número de incógnitas coin‐ cida con el número de ecuaciones escalares disponibles. Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad (m=1), y todos los pares sean de un grado de libertad (j2=0) se verifica: 1 3 n 1 2j 1 de donde se deduce que: 4 3n 2j 1 lo que implica que, forzosamente, el número de eslabones n debe ser par. En este caso, el número NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será:   n 2 NE 2 puesto que, del número total de eslabones n se debe restar el eslabón de referencia fijo y el esla‐ bón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo pro‐ porciona dos incógnitas. Al realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no hay que olvidar que al derivar se obtienen en realidad relaciones entre las velocidades de puntos del mecanismo, las cuales deben coincidir siempre con las obtenidas a través del álgebra vectorial. Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por nú‐ meros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más de donde se deduce que: 52 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para cualquier valor de las variables de entrada.    La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se obtienen planteando los vectores que representan los diferentes lazos o cierres formados por las barras del mecanismo. A través de estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de posición, deri‐ vando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de velocidad se deducen las de aceleración.   En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cine‐ mática. Cuando se trata de un mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear dos o más ecuaciones de cierre o de lazo.   A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemá‐ tica de un mecanismo, se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelve dos incógnitas de posición, su derivada dos de incógnitas de velocidad y su segunda derivada dos incógnitas de aceleración. En este sentido, se debe comprobar que el número de incógnitas coin‐ cida con el número de ecuaciones escalares disponibles. Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad (m=1), y todos los pares sean de un grado de libertad (j2=0) se verifica: 1 3 n 1 2j 1 de donde se deduce que: 4 3n 2j 1 lo que implica que, forzosamente, el número de eslabones n debe ser par. En este caso, el número NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será:   n 2 NE 2 puesto que, del número total de eslabones n se debe restar el eslabón de referencia fijo y el esla‐ bón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo pro‐ porciona dos incógnitas. Al realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no hay que olvidar que al derivar se obtienen en realidad relaciones entre las velocidades de puntos del mecanismo, las cuales deben coincidir siempre con las obtenidas a través del álgebra vectorial. Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por nú‐ meros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más lo que implica que, forzosamente, el número de eslabones n debe ser par. En este caso, el número NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será: 52 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para cualquier valor de las variables de entrada.    La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se obtienen planteando los vectores que representan los diferentes lazos o cierres formados por las barras del mecanismo. A través de estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de posición, deri‐ vando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de velocidad se deducen las de aceleración.   En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cine‐ mática. Cuando se trata de un mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear dos o más ecuaciones de cierre o de lazo.   A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemá‐ tica de un mecanismo, se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelve dos incógnitas de posición, su derivada dos de incógnitas de velocidad y su segunda derivada dos incógnitas de aceleración. En este sentido, se debe comprobar que el número de incógnitas coin‐ cida con el número de ecuaciones escalares disponibles. Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad (m=1), y todos los pares sean de un grado de libertad (j2=0) se verifica: 1 3 n 1 2j 1 de donde se deduce que: 4 3n 2j 1 lo que implica que, forzosamente, el número de eslabones n debe ser par. En este caso, el número NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será:   n 2 NE 2 puesto que, del número total de eslabones n se debe restar el eslabón de referencia fijo y el esla‐ bón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo pro‐ porciona dos incógnitas. Al realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no hay que olvidar que al derivar se obtienen en realidad relaciones entre las velocidades de puntos del mecanismo, las cuales deben coincidir siempre con las obtenidas a través del álgebra vectorial. Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por nú‐ meros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más puesto que, del número total de eslabones n se debe restar el eslabón de referencia fijo y el eslabón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo proporciona dos incógnitas. Al realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no hay que olvidar que al derivar se obtienen en realidad relaciones entre las velocidades de puntos del mecanismo, las cuales deben coincidir siempre con las obtenidas a través del álgebra vectorial. Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por números complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación

MANUALES UEX 60 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN más compacta y las derivadas se realizan más fácilmente. A continuación, separando la parte real y la parte imaginaria, y planteando un sistema de ecuaciones, se despejan las incógnitas que se deseen calcular. Este método también recibe el nombre de método de Raven. Hay que tener en cuenta que el espacio vectorial de los números complejos y el espacio vectorial que forman los vectores en el plano son isomorfos, lo que justifica que se pueda operar de forma indistinta con el vector o su número complejo equivalente. Por ello, con este método se obtienen las mismas expresiones y relaciones entre puntos que se obtendrían con el álgebra vectorial, pero sin necesidad de realizar productos vectoriales y con una operativa mucho más sencilla. En la figura se representa un vector cualquiera 53 ,pgAnálogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por números complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más compacta y las derivadas se realizan más fácilmente. A continuación, separando la parte real y la parte imaginaria, y planteando un sistema de ecuaciones, se despejan las incógnitas que se deseen calcular. Este método también recibe el nombre de método de Raven. Hay que tener en cuenta que el espacio vectorial de los números complejos y el espacio vectorial que forman los vectores en el plano son isomorfos, lo que justifica que se pueda operar de forma indistinta con el vector o su número complejo equivalente. Por ello, con este método se obtienen las mismas expresiones y relaciones entre puntos que se obtendrían con el álgebra vectorial, pero sin necesidad de realizar productos vectoriales y con una operativa mucho más sencilla. En la figura se representa un vector cualquiera A r , que forma un ángulo antihorario θ con la horizontal y tiene módulo a. En el sistema de coordenadas presentado se define la componente horizontal del vector como la parte real del número complejo equivalente, y análogamente, se define la componente vertical A Real Imaginaria θ a Vector rA , que forma un ángulo antihorario q con la horizontal y tiene módulo a. En el sistema de coordenadas presentado se define la componente horizontal del vector como la parte real del número complejo equivalente, y análogamente, se define la componente vertical del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω     A j. j. A dv d da a e a . . j. e dt dt dt del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω     A j. j. A dv d da a e a . . j. e dt dt dt del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω     A j. j. A dv d da a e a . . j. e dt dt dt del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω      A j. j. A dv d da a e a . . j. e dt dt dt del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω      A j. j. A 2dv d da a e a . . j. e dt dt dt ddddel vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ   = = ⋅ +ω      A j. j. A 2 dv d da a e a . . j. e dt dt dt dadadadel vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: θ = = θ + θ θ+ θ j. A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen . j donde j 1 = − . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como operador. A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: ( ) ( ) θ θ θ θ θ = = = ⋅ +⋅ = ⋅ + ω j. j. A j. j. j. A dr d a . e da d e da v e a e a . . j . e dt dt dt dt dt = ⋅ θ+ θ + ω θ+ θ ( ) ( ) A da v cos j . sen a . . j . cos j . sen dt Como j 2 = − 1 , se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de un punto cualquiera A: [ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: θ θ θ θ θθ   = = ⋅ +ω       =+ω+ω+α+ω A j. j. A 2 j. j. j. j. 2 2 dv d da a e a . . j. e dt dt dt d a da daaejejeajeaj θ j. e53 Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por úmeros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más compacta y las derivadas se realizan más fácilmente. A continuación, separando la parte eal y la parte imaginaria, y planteando un sistema de ecuaciones, se despejan las incógnitas ue se deseen calcular. Este método también recibe el nombre de método de Raven. Hay que tener en cuenta que el espacio vectorial de los números complejos y el espacio ectorial que forman los vectores en el plano son isomorfos, lo que justifica que se pueda perar de forma indistinta con el vector o su número complejo equivalente. Por ello, con este método se obtienen las mismas expresiones y relaciones entre puntos que se obtendrían con álgebra vectorial, pero sin necesidad de realizar productos vectoriales y con una operativa mucho más sencilla. En la figura se representa un vector cualquiera A r , que forma un ángulo antihorario θ con a horizontal y tiene módulo a. En el sistema de coordeadas presentado se define la componente horizontal del ector como la parte real del número complejo equivaente, y análogamente, se define la componente vertical A Real Imaginaria θ a Vector rA

MANUALES UEX 61 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 54 []    dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: y por tanto: donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector aceleración en el plano, y la parte imaginaria se corresponde con la componente y. θ θ θ θ θθ   = = ⋅ +ω       = ⋅ + ⋅ω + ⋅ω + α + ω     A j. j. A 2 j. j. j. j. 2 2 A 2 dv d da a e a . . j. e dt dt dt d a da da a e . j . e . j . e a . . j . e a . . j dt dt dt  θ     j. . e ( ) ( )       = ⋅ θ+ ⋅ θ + ⋅ ⋅ω θ+ ⋅ ⋅ω θ +             + α θ+ α θ + ω θ ω θ     2 2 A 2 2 2 2 da da da da a cos sen . j - 2 . sen 2 . cos . j dt dt dt dt - a . . sen a . . cos . j - a . . cos - a . . sen . j 54   dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: y por tanto: donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector aceleración en el plano, y la parte imaginaria se corresponde con la componente y. θ θ θ θ θθ   = = ⋅ +ω       = ⋅ + ⋅ω + ⋅ω + α + ω     A j. j. A 2 j. j. j. j. 2 2 A 2 dv d da a e a . . j. e dt dt dt d a da da a e . j . e . j . e a . . j . e a . . j dt dt dt  θ     j. . e ( ) ( )       = ⋅ θ+ ⋅ θ + ⋅ ⋅ω θ+ ⋅ ⋅ω θ +             + α θ+ α θ + ω θ ω θ     2 2 A 2 2 2 2 da da da da a cos sen . j - 2 . sen 2 . cos . j dt dt dt dt - a . . sen a . . cos . j - a . . cos - a . . sen . j 54 pq[ ]   = ⋅ θ+ ⋅ θ + θ+ θ     ω ω A da da v cos sen . j - a . . sen a . . cos . j dt dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: y por tanto: donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector aceleración en el plano, y la parte imaginaria se corresponde con la componente y. θ θ θ θ θθ   = = ⋅ +ω       = ⋅ + ⋅ω + ⋅ω + α + ω     A j. j. A 2 j. j. j. j. 2 2 A 2 dv d da a e a . . j. e dt dt dt d a da da a e . j . e . j . e a . . j . e a . . j dt dt dt  θ     j. . e ( ) ( )       = ⋅ θ+ ⋅ θ + ⋅ ⋅ω θ+ ⋅ ⋅ω θ +             + α θ+ α θ + ω θ ω θ     2 2 A 2 2 2 2 da da da da a cos sen . j - 2 . sen 2 . cos . j dt dt dt dt - a . . sen a . . cos . j - a . . cos - a . . sen . j Ejemplo: como aplicación del método se analizará la cinemática del mecanismo de cuatro barras de la siguiente figura, donde las dimensiones de los eslabones son conocidas. Suponemos que el eslabón de entrada (barra 2), tiene una longitud a y gira con una velocidad y aceleración angular variables conocidas ω2 y α2. A través de las ecuaciones de lazo y el análisis mediante números complejos, se calculará la relación entre las variables cinemáticas de los eslabones de salida (barras 3 y 4) y las variables de entrada relativas a la barra 2. De este modo, las expresiones obtenidas deben permitir calcular, para cualquier posición del mecanismo, la posición, velocidad angular y aceleración angular de los eslabones 3 y 4 en función de los valores del eslabón 2. • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314+=+ ω2 α2 θ2 θ3 θ4 Vector R3 Longitud = b Vector R4 Longitud = c Vector R1 Longitud = d Vector R2 Longitud = a Ejemplo: como aplicación del método se analizará la cinemática del mecanismo de cuatro barras de la siguiente figura, donde las dimensiones de los eslabones son conocidas. Suponemos que el eslabón de entrada (barra 2), tiene una longitud a y gira con una velocidad y aceleración angular variables conocidas ω2 y α2. A través de las ecuaciones de lazo y el análisis mediante números complejos, se calculará la relación entre las variables cinemáticas de los eslabones de salida (barras 3 y 4) y las variables de entrada relativas a la barra 2. De este modo, las expresiones obtenidas deben permitir calcular, para cualquier posición del mecanismo, la posición, velocidad angular y aceleración angular de los eslabones 3 y 4 en función de los valores del eslabón 2. • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314 +=+ Obsérvese que el ángulo θicorrespondiente a cada vector Rise establece por convenio en ω2 α2 θ2 θ3 θ4 Vector R3 Longitud = b Vector R4 Longitud = c Vector R1 Longitud = d Vector R2 Longitud = a

MANUALES UEX 62 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Como dos números complejos son iguales si coinciden en la parte real y en la parte imaginaria, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior, igualando, y aplicando que θ1 = 0o queda: θ + θ= + θ θ + θ= θ 23 4 2 34 a . cos b . cos d c . cos a . sen b . sen c . sen de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de θ3 y θ4 en función de θ2. Obsérvese que el sistema anterior no es resoluble analíticamente, puesto que no es lineal, por lo que se necesita una herramienta de cálculo adicional, como puede ser por ejemplo Matlab. Las soluciones del sistema anterior para la salida θ4 pueden ser dos valores reales y distintos, un solo valor real, o dos raíces complejas conjugadas. Si se obtiene este último caso con valores complejos, se deduce que la solución no es posible, es decir que no se puede construir un mecanismo de cuatro barras que verifique todas las condiciones impuestas. Esto puede ocurrir porque el cuadrilátero articulado no se puede construir con las longitudes dadas de las barras o porque se halla fuera de las posiciones límite. El caso más habitual es aquel en el que se obtienen dos valores reales distintos para el ángulo θ4. Esto implica que para un valor dado de θ2 hay dos posiciones del eslabón de salida 4, θ4(1) y θ4(2), tal y como se representa en la figura. Dichas posiciones se denominan, respectivamente, configuración abierta y configuración cruzada del cuadrilátero articulado. • Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: Configuración cruzada θ2 θ4(2) θ4(1) Configuración abierta • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: 55 • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314 +=+ Obsérvese que el ángulo θi correspondiente a cada vector Ri se establece por convenio en sentido antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. Por otra parte, para cada vector R i puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se considere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establecido. Expresando la ecuación en términos de números complejos se tiene: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e += + Desarrollando la expresión anterior: θ+ θ + θ+ θ = θ+ θ + θ+ θ 22 33 11 44 a.(cos j . sen ) b.(cos j . sen ) d.(cos j . sen ) c.(cos j . sen ) Vector R1 Longitud = d Obsérvese que el ángulo qi correspondiente a cada vector 55 • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314 +=+ Obsérvese que el ángulo θi correspondiente a cada vector Ri se establece por convenio en sentido antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. Por otra parte, para cada vector R i puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se considere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establecido. Expresando la ecuación en términos de números complejos se tiene: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e += + Desarrollando la expresión anterior: θ+ θ + θ+ θ = θ+ θ + θ+ θ 22 33 11 44 a.(cos j . sen ) b.(cos j . sen ) d.(cos j . sen ) c.(cos j . sen ) Vector R1 Longitud = d se establece por convenio en sentido antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. Por otra parte, para cada vector 55 sición plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras ecanismo: R R R R 2314 +=+ bsérvese que el ángulo θi correspondiente a cada vector Ri se establece por convenio en o antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. r otra parte, para cada vector R i puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se ere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establepresando la ecuación en términos de números complejos se tiene: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e += + esarrollando la expresión anterior: θ+ θ + θ+ θ = θ+ θ + θ+ θ 22 33 11 44 cos j . sen ) b.(cos j . sen ) d.(cos j . sen ) c.(cos j . sen ) ω2 α2 θ2 θ4 Vector R1 Longitud = d puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se considere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establecido. Expresando la ecuación j en términos de números complejos se tiene: 55 • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314 +=+ Obsérvese que el ángulo θi correspondiente a cada vector Ri se establece por convenio en sentido antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. Por otra parte, para cada vector R i puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se considere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establecido. Expresando la ecuación en términos de números complejos se tiene: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e += + Desarrollando la expresión anterior: θ+ θ + θ+ θ = θ+ θ + θ+ θ 22 33 11 44 a.(cos j . sen ) b.(cos j . sen ) d.(cos j . sen ) c.(cos j . sen ) Longitud d Desarrollando la expresión anterior: 55 • Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R R R R 2314 +=+ Obsérvese que el ángulo θi correspondiente a cada vector Ri se establece por convenio en sentido antihorario partiendo del eje x en el origen del vector. Por otra parte, para cada vector R i puede tomarse el sentido que se desee, siempre que se considere correctamente el ángulo que corresponda en cada caso según el convenio establecido. Expresando la ecuación en términos de números complejos se tiene: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e += + Desarrollando la expresión anterior: θ+ θ + θ+ θ = θ+ θ + θ+ θ 22 33 11 44 a.(cos j . sen ) b.(cos j . sen ) d.(cos j . sen ) c.(cos j . sen ) Como dos números complejos son iguales si coinciden en la parte real y en la parte imaginaria, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior, igualando, y aplicando que q1 = 0o queda: Como dos números complejos son iguales si coinciden en la parte real y en la parte imaginaria, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior, igualando, y aplicando que θ1 = 0o queda: θ + θ= + θ θ + θ= θ 23 4 2 34 a . cos b . cos d c . cos a . sen b . sen c . sen de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de θ3 y θ4 en función de θ2. Obsérvese que el sistema anterior no es resoluble analíticamente, puesto que no es lineal, por lo que se necesita una herramienta de cálculo adicional, como puede ser por ejemplo Matlab. Las soluciones del sistema anterior para la salida θ4 pueden ser dos valores reales y distintos, un solo valor real, o dos raíces complejas conjugadas. Si se obtiene este último caso con valores complejos, se deduce que la solución no es posible, es decir que no se puede construir un mecanismo de cuatro barras que verifique todas las condiciones impuestas. Esto puede ocurrir porque el cuadrilátero articulado no se puede construir con las longitudes dadas de las barras o porque se halla fuera de las posiciones límite. El caso más habitual es aquel en el que se obtienen dos valores reales distintos para el ángulo θ4. Esto implica que para un valor dado de θ2 hay dos posiciones del eslabón de salida 4, θ4(1) y θ4(2), tal y como se representa en la figura. Dichas posiciones se denominan, respectivamente, configuración abierta y configuración cruzada del cuadrilátero articulado. • Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: Configuración cruzada θ2 θ4(2) θ4(1) Configuración abierta

MANUALES UEX 63 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 56 ygcruzada del cuadrilátero articulado. • Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a . e b . e d . e c . e +=+ Derivando respecto del tiempo y considerando que: θ = ω i i d dt para i = 2, 3 y 4 se obtiene: Configuración cruzada ω +ω =ω 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a . . e j . b . . e j . c . . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: − ω θ − ω θ =− ω θ ω θ+ ω θ= ω θ 22 33 44 22 33 44 a . . sen b . . sen c . . sen a . . cos b . . cos c . . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de ω3 y ω4 en función de θ2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades obtenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v v v = + donde = 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v v v = + lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas ω3 y ω4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: θ θ θ θ θ = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × == ⇒=ω 2 2 4 j j A 2 A 2 2 2 2 22 j 3 j 3 B/A 3 B/A 3 3 3 3 33 j j B 4 B 4 r R a . e v a . . j . e a . . ( sen j . cos ) r r R b . e v b . . j . e b . . ( sen j . cos ) r r R c . e v c . . j . e θ = ω − θ + θ =ω × 4 4 4 4 44 c . . ( sen j . cos ) r • Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose:   α −ω + α −ω =       =α−ω2 2 3 3 4 4 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 j θ 2 j θ a . . j . e a . . e b . . j . e b . . e cjeceω +ω =ω 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a . . e j . b . . e j . c . . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: − ω θ − ω θ =− ω θ ω θ+ ω θ= ω θ 22 33 44 22 33 44 a . . sen b . . sen c . . sen a . . cos b . . cos c . . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de ω3 y ω4 en función de θ2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades obtenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v v v = + donde = 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v v v = + lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas ω3 y ω4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: θ θ θ θ θ = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × == ⇒=ω 2 2 4 j j A 2 A 2 2 2 2 22 j 3 j 3 B/A 3 B/A 3 3 3 3 33 j j B 4 B 4 r R a . e v a . . j . e a . . ( sen j . cos ) r r R b . e v b . . j . e b . . ( sen j . cos ) r r R c . e v c . . j . e θ = ω − θ + θ =ω × 4 4 4 4 44 c . . ( sen j . cos ) r • Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose:   α −ω + α −ω =       =α−ω2 2 3 3 4 4 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 j θ 2 j θ a . . j . e a . . e b . . j . e b . . e cjeceω +ω =ω 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a . . e j . b . . e j . c . . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: − ω θ − ω θ =− ω θ ω θ+ ω θ= ω θ 22 33 44 22 33 44 a . . sen b . . sen c . . sen a . . cos b . . cos c . . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de ω3 y ω4 en función de θ2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades obtenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v v v = + donde = 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v v v = + lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas ω3 y ω4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: θ θ θ θ θ = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × == ⇒=ω 2 2 4 j j A 2 A 2 2 2 2 22 j 3 j 3 B/A 3 B/A 3 3 3 3 33 j j B 4 B 4 r R a . e v a . . j . e a . . ( sen j . cos ) r r R b . e v b . . j . e b . . ( sen j . cos ) r r R c . e v c . . j . e θ = ω − θ + θ =ω × 4 4 4 4 44 c . . ( sen j . cos ) r • Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose:   α −ω + α −ω =       2 2 3 3 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 a . . j . e a . . e b . . j . e b . . e de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de 56 Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a.e b.e    d.e    c.e Derivando respecto del tiempo y considerando que: i i d dt     para    i = 2, 3 y 4 se obtiene: 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a .   . e    j . b .   . e    j . c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 22 33 44 22 33 44 a .   . sen    b .   . sen    c .   . sen    a .   . cos    b .   . cos    c .   . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de 3 y 4 en función de 2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades ob‐ tenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v     v     v donde 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v     v     v lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas 3 y 4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: y 56 Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a.e b.e    d.e    c.e Derivando respecto del tiempo y considerando que: i i d dt     para    i = 2, 3 y 4 se obtiene: 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a .   . e    j . b .   . e    j . c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 22 33 44 22 33 44 a .   . sen    b .   . sen    c .   . sen    a .   . cos    b .   . cos    c .   . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de 3 y 4 en función de 2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades ob‐ tenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v     v     v donde 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v     v     v lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas 3 y 4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: en función de 56 Velocidad Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a.e b.e    d.e    c.e Derivando respecto del tiempo y considerando que: i i d dt     para    i = 2, 3 y 4 se obtiene: 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a .   . e    j . b .   . e    j . c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 22 33 44 22 33 44 a .   . sen    b .   . sen    c .   . sen    a .   . cos    b .   . cos    c .   . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de 3 y 4 en función de 2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades ob‐ tenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v     v     v donde 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v     v     v lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas 3 y 4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: .

MANUALES UEX 64 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN −α −ω − α − ω = −α −ω α −ω +α −ω = α − 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a . . senθ a . . cosθ b . . senθ b . . cosθ = c . . senθ c . . cosθ a . . cosθ a . . senθ b . . cosθ b . . senθ = c . . cosθ c . ω2 4 4 . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de θ2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a a a = + que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: [ ] [ ] ( ) [ ] 2 2 2 j j j 2 A2 A2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 j 3 j B/A 3 B/A 3 v a . . j . e a a . . j . e - a . . e a . . sen j . cos - a . . cos j . sen r ( r) v b . . j . e a b . . j . e θ θ θ θ θ =ω ⇒=α ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒ =α [ ] [ ] ( ) [ ] 3 3 4 4 2 j 3 2 3 3 3 33 3 33 3 33 j 4 j j 2 B4 B4 4 4 4 - b . . e b . . sen j . cos - b . . cos j . sen r ( r) v c . . j . e a c . . j . e - c . . e c . . sen θ θ θ θ ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒=α ω = = α − θ+ [ ] [ ] ( ) [ ] 2 4 44 4 44 4 44 j . cos - c . . cos j . sen r ( r) θ ω θ+ θ= = α× + ω× ω× −α −ω − α − ω = −α −ω α −ω +α −ω = α − 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a . . senθ a . . cosθ b . . senθ b . . cosθ = c . . senθ c . . cosθ a . . cosθ a . . senθ b . . cosθ b . . senθ = c . . cosθ c . ω2 4 4 . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de θ2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a a a = + que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: [ ] [ ] ( ) [ ] 2 2 2 j j j 2 A2 A2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 j 3 j B/A 3 B/A 3 v a . . j . e a a . . j . e - a . . e a . . sen j . cos - a . . cos j . sen r ( r) v b . . j . e a b . . j . e θ θ θ θ θ =ω ⇒=α ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒ =α [ ] [ ] ( ) [ ] 3 3 4 4 2 j 3 2 3 3 3 33 3 33 3 33 j 4 j j 2 B4 B4 4 4 4 - b . . e b . . sen j . cos - b . . cos j . sen r ( r) v c . . j . e a c . . j . e - c . . e c . . sen θ θ θ θ ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒=α ω = = α − θ+ [ ] [ ] ( ) [ ] 2 4 44 4 44 4 44 j . cos - c . . cos j . sen r ( r) θ ω θ+ θ= = α× + ω× ω× −α −ω − α − ω = −α −ω α −ω +α −ω = α − 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a . . senθ a . . cosθ b . . senθ b . . cosθ = c . . senθ c . . cosθ a . . cosθ a . . senθ b . . cosθ b . . senθ = c . . cosθ c . ω2 4 4 . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de θ2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a a a = + que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: [ ] [ ] ( ) [ ] 2 2 2 j j j 2 A2 A2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 j 3 j B/A 3 B/A 3 v a . . j . e a a . . j . e - a . . e a . . sen j . cos - a . . cos j . sen r ( r) v b . . j . e a b . . j . e θ θ θ θ θ =ω ⇒=α ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒ =α [ ] [ ] ( ) [ ] 3 3 4 4 2 j 3 2 3 3 3 33 3 33 3 33 j 4 j j 2 B4 B4 4 4 4 - b . . e b . . sen j . cos - b . . cos j . sen r ( r) v c . . j . e a c . . j . e - c . . e c . . sen θ θ θ θ ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒=α ω = = α − θ+ [ ] [ ] ( ) [ ] 2 4 44 4 44 4 44 j . cos - c . . cos j . sen r ( r) θ ω θ+ θ= = α× + ω× ω× −α −ω − α − ω = −α −ω α −ω +α −ω = α − 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a . . senθ a . . cosθ b . . senθ b . . cosθ = c . . senθ c . . cosθ a . . cosθ a . . senθ b . . cosθ b . . senθ = c . . cosθ c . ω2 4 4 . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de θ2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a a a = + que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: [ ] [ ] ( ) [ ] 2 2 2 j j j 2 A2 A2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 j 3 j B/A 3 B/A 3 v a . . j . e a a . . j . e - a . . e a . . sen j . cos - a . . cos j . sen r ( r) v b . . j . e a b . . j . e θ θ θ θ θ =ω ⇒=α ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒ =α [ ] [ ] ( ) [ ] 3 3 4 4 2 j 3 2 3 3 3 33 3 33 3 33 j 4 j j 2 B4 B4 4 4 4 - b . . e b . . sen j . cos - b . . cos j . sen r ( r) v c . . j . e a c . . j . e - c . . e c . . sen θ θ θ θ ω = = α − θ+ θ ω θ+ θ = = α× + ω× ω× =ω ⇒=α ω = = α − θ+ [ ] [ ] ( ) [ ] 2 4 44 4 44 4 44 j . cos - c . . cos j . sen r ( r) θ ω θ+ θ= = α× + ω× ω× 57 θ θ θ ⇒ ω ω θ + θ ω = = ⇒ = ω = ω − θ + θ =ω × == ⇒=ω 4 A 2 A 2 2 2 2 22 j 3 j 3 B/A 3 B/A 3 3 3 3 33 j j B 4 B 4 r R a . e v a . . j . e a . . ( sen j . cos ) r r R b . e v b . . j . e b . . ( sen j . cos ) r r R c . e v c . . j . e θ = ω − θ + θ =ω × 4 4 4 4 44 c . . ( sen j . cos ) r • Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose:   α −ω + α −ω =       = α −ω     2 2 3 3 4 4 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 j θ 2 j θ 4 4 a . . j . e a . . e b . . j . e b . . e c . . j . e c . . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de 57 Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose: 2 2 3 3 4 4 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 j θ 2 j θ 4 4 a .   . j . e    a .   . e b .   . j . e    b . . e c .   . j . e    c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a .   . senθ   a .   . cosθ   b .   . senθ   b .   . cosθ    =   c .   . senθ   c .   . cosθ a .   . cosθ   a .   . senθ   b .   . cosθ   b .   . senθ    = c .   . cosθ   c . 2 4 4    . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de 2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a     a     a que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en térmi‐ nos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: y 57 Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, obteniéndose: 2 2 3 3 4 4 jθ 2 2 j θ j θ j θ 2 23 3 j θ 2 j θ 4 4 a .   . j . e    a .   . e b .   . j . e    b . . e c .   . j . e    c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 2 2 2 2 22 3 3 33 2 4 4 44 2 2 22 2 2 33 3 3 4 4 a .   . senθ   a .   . cosθ   b .   . senθ   b .   . cosθ    =   c .   . senθ   c .   . cosθ a .   . cosθ   a .   . senθ   b .   . cosθ   b .   . senθ    = c .   . cosθ   c . 2 4 4    . senθ de donde resolviendo el sistema obtenemos los valores de α3 y α4 en función de 2. Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: B A B/A a     a     a que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. Una vez conocidas α3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en térmi‐ nos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de velocidad correspondientes: en función de 56 Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: 2 3 1 4 jθ jθ jθ jθ a.e b.e    d.e    c.e Derivando respecto del tiempo y considerando que: i i d dt     para    i = 2, 3 y 4 se obtiene: 2 4 3 jθ jθ jθ 234 j . a .   . e    j . b .   . e    j . c .   . e A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: 22 33 44 22 33 44 a .   . sen    b .   . sen    c .   . sen    a .   . cos    b .   . cos    c .   . cos de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de 3 y 4 en función de 2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades ob‐ tenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: 4 23 v     v     v donde 1 v 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longitud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: B A B/A v     v     v lo que indica cuál es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. Una vez conocidas 3 y 4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, y la velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términos de números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: .

MANUALES UEX 65 4. PROBLEMAS RESUELTOS 61 4. PROBLEMAS RESUELTOS 4.1. En el mecanismo de la figura la manivela OA está girando en sentido horario con una velocidad angular constante ω = 8 rad/s. Considerando que el disco, con centro en B, rueda sin deslizar, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) sentido de rotación de todos los eslabones para la posición representada mediante métodos gráficos. c) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones para cualquier posición en función del ángulo girado por la manivela. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura. Datos: OA = 0,5 m; AB = 1,2 m. Solución a) m = 3 x (4-1) – 2 x 3 – 1 = 2 Como el disco rueda sin deslizar: m = 3 x (4-1) – 2 x 4 = 1 b) Dado el sentido de rotación de la velocidad angular de la manivela la velocidad de A será: O A ωOA vA O ω A B 0,2 m 61 4. PROBLEMAS RESUELTOS 4.1. En el mecanismo de la figura la manivela OA está girando en sentido horario con una velocidad angular constante ω = 8 rad/s. Considerando que el disco, con centro en B, rueda sin deslizar, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) sentido de rotación de todos los eslabones para la posición representada mediante métodos gráficos. c) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones para cualquier posición en función del ángulo girado por la manivela. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura. Datos: OA = 0,5 m; AB = 1,2 m. Solución a) m = 3 x (4-1) – 2 x 3 – 1 = 2 Como el disco rueda sin deslizar: m = 3 x (4-1) – 2 x 4 = 1 b) Dado el sentido de rotación de la velocidad angular de la manivela la velocidad de A será: O A ωOA vA O ω A B 0,2 m 61 4. PROBLEMAS RESUELTOS 4.1. En el mecanismo de la figura la manivela OA está girando en sentido horario con una velocidad angular constante ω = 8 rad/s. Considerando que el disco, con centro en B, rueda sin deslizar, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) sentido de rotación de todos los eslabones para la posición representada mediante métodos gráficos. c) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones para cualquier posición en función del ángulo girado por la manivela. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura. Datos: OA = 0,5 m; AB = 1,2 m. Solución a) m = 3 x (4-1) – 2 x 3 – 1 = 2 Como el disco rueda sin deslizar: m = 3 x (4-1) – 2 x 4 = 1 b) Dado el sentido de rotación de la velocidad angular de la manivela la velocidad de A será: O A ωOA vA O ω A B 0,2 m a) grados de libertad del mecanismo. b) sentido de rotación de todos los eslabones para la posición representada mediante métodos gráficos. c) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones para cualquier posición en función del ángulo girado por la manivela. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura.

MANUALES UEX 66 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 62 Para la posición de la biela el centro instantáneo de rotación estará en el infinito, ya que la velocidad del extremo B debe ser horizontal. Por tanto: Sabiendo el sentido de la velocidad de B y teniendo en cuenta que el centro instantáneo de rotación del disco es el punto de contacto con la superficie se tiene: c) Se considera el siguiente polígono vectorial de cierre para el mecanismo: POSICIÓN La ecuación vectorial de polígono es: r r r + = 13 2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen r1 y θ3 para cada valor de θ2: B CIR(disco) vB ωdisco A vA CIR(AB) ∞ vB B (ωAB = 0) O A B θ2 θ3 r3 r1 r2 θ θ θ θ 1 32 3 2 x x x x r 1,2 cos 0,5 cos 1,2 sen 0,5 sen + = = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 = dt dt dt + B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω r1 , θ3

MANUALES UEX 67 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 63 θ θ θ θ 1 32 3 2 x x x x r 1,2 cos 0,5 cos 1,2 sen 0,5 sen + = = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 = dt dt dt + B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen vB y ω3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x B 33 2 3 3 2 v - 1,2 sen - 0,5 (-8) sen 1,2 cos 0,5 (-8) cos ω θ= θ ω θ= θ ACELERACCIÓN La relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 2 22 dr dr d r = dt dt dt + B A/B A a a a + = a x r x x r x x r B 33 3 33 2 22 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen aB y α3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x x x x x 2 2 B 3 3 33 2 2 2 33 3 3 2 a - 1,2 sen - 1,2 cos -0,5 (-8) cos 1,2 cos - 1,2 sen -0,5 (-8) sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Resolviendo para θ2 = 90º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = -1,0909 m ; θ3 = 24,624º r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: B v = 4 m/s i ; 3 ω = 0 rad/s vB , ω3 aB , α3 r1 , θ3 63 θ θ θ θ 1 32 3 2 x x x x r 1,2 cos 0,5 cos 1,2 sen 0,5 sen + = = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 = dt dt dt + B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen vB y ω3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x B 33 2 3 3 2 v - 1,2 sen - 0,5 (-8) sen 1,2 cos 0,5 (-8) cos ω θ= θ ω θ= θ ACELERACCIÓN La relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 2 22 dr dr d r = dt dt dt + B A/B A a a a + = a x r x x r x x r B 33 3 33 2 22 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen aB y α3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x x x x x 2 2 B 3 3 33 2 2 2 33 3 3 2 a - 1,2 sen - 1,2 cos -0,5 (-8) cos 1,2 cos - 1,2 sen -0,5 (-8) sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Resolviendo para θ2 = 90º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = -1,0909 m ; θ3 = 24,624º r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: B v = 4 m/s i ; 3 ω = 0 rad/s vB , ω3 aB , α3 r1 , θ3 63 θ θ θ θ 1 32 3 2 x x x x r 1,2 cos 0,5 cos 1,2 sen 0,5 sen + = = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 = dt dt dt + B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen vB y ω3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x B 33 2 3 3 2 v - 1,2 sen - 0,5 (-8) sen 1,2 cos 0,5 (-8) cos ω θ= θ ω θ= θ ACELERACCIÓN La relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 2 22 dr dr d r = dt dt dt + B A/B A a a a + = a x r x x r x x r B 33 3 33 2 22 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen aB y α3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x x x x x 2 2 B 3 3 33 2 2 2 33 3 3 2 a - 1,2 sen - 1,2 cos -0,5 (-8) cos 1,2 cos - 1,2 sen -0,5 (-8) sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Resolviendo para θ2 = 90º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = -1,0909 m ; θ3 = 24,624º r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: B v = 4 m/s i ; 3 ω = 0 rad/s vB , ω3 aB , α3 r1 , θ3 63 θ θ θ θ 1 32 3 2 x x x x r 1,2 cos 0,5 cos 1,2 sen 0,5 sen + = = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 = dt dt dt + B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen vB y ω3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x B 33 2 3 3 2 v - 1,2 sen - 0,5 (-8) sen 1,2 cos 0,5 (-8) cos ω θ= θ ω θ= θ ACELERACCIÓN La relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 2 22 dr dr d r = dt dt dt + B A/B A a a a + = a x r x x r x x r B 33 3 33 2 22 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen aB y α3 para cada valor de θ2: x x x x x x x x x x x x 2 2 B 3 3 33 2 2 2 33 3 3 2 a - 1,2 sen - 1,2 cos -0,5 (-8) cos 1,2 cos - 1,2 sen -0,5 (-8) sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Resolviendo para θ2 = 90º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = -1,0909 m ; θ3 = 24,624º r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 1,0909 m ; θ3 = 155,376º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: B v = 4 m/s i ; 3 ω = 0 rad/s vB , ω3 aB , α3 r1 , θ3

MANUALES UEX 68 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 64 ACELERACIÓN: las ecuaciones dan como resultados: B a = 14,667 m/s2 i ; 3 α = 29,334rad/s2 k Como el disco rueda sin deslizar: B disco B/CIR(disco) v = x r ω ; B disco B/CIR(disco) a = x r α Por tanto: disco 4 m/ s = 0,2 m ω ; 2 disco 14,667 m / s = 0,2 m α disco ω = - 20 rad/s k ; disco α = - 73,335 rad/s2 k

MANUALES UEX 69 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 65 4.2. La figura representa un mecanismo de doble biela-manivela. Si la manivela OAB gira con una velocidad angular constante ω = 600 rpm, calcular: a) grados de libertad. b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la posición representada en la figura. c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de OAB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración de las deslizaderas C y D para la posición en la que OA forma 60º con el sentido positivo del eje x. Datos: OA = OB = AB = 20 cm; AC = BD = 40 cm. Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Con la velocidad angular ωOAB de la manivela se obtienen las velocidades vA y vB : A O C ω B D 25 cm 30 cm A vA O ωOAB B vB :

MANUALES UEX 70 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 66 La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRAC, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera C. La velocidad angular de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRBD, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera D. c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes: C vC D vD A vA ωAC vC C CIRAC CIRAC B vB D CIRBD ωBD vD 66 La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRAC, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera C. La velocidad angular de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRBD, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera D. c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes: C vC D vD A vA ωAC vC C CIRAC CIRAC B vB D CIRBD ωBD vD 66 La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRAC, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera C. La velocidad angular de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRBD, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera D. c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes: C vC D vD A vA ωAC vC C CIRAC CIRAC B vB D CIRBD ωBD vD 66 La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRAC, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera C. La velocidad angular de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de rotación CIRBD, con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la deslizadera D. c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes: C vC D vD A vA ωAC vC C CIRAC CIRAC B vB D CIRBD ωBD vD

MANUALES UEX 71 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 67 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 14 23 r r r r + =+ 56 7 8 r r r r = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ 12 3 2 3 x x x x r 0,2 cos 0,4 cos 0,3 0,2 sen 0,4 sen = + = + θ θ θ θ 5 8 5 6 8 x x x x 0,2 cos -0,25 0,4 cos 0,2 sen -r 0,4 sen = + = + donde θ5 = θ2 + 60º VELOCIDAD θ2 θ3 r3 r1 r2 r4 A O C B D θ5 θ8 r5 r8 r6 r7 r1 , θ3 r6 , θ8 67 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 14 23 r r r r + =+ 56 7 8 r r r r = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ 12 3 2 3 x x x x r 0,2 cos 0,4 cos 0,3 0,2 sen 0,4 sen = + = + θ θ θ θ 5 8 5 6 8 x x x x 0,2 cos -0,25 0,4 cos 0,2 sen -r 0,4 sen = + = + donde θ5 = θ2 + 60º VELOCIDAD θ2 θ3 r3 r1 r2 r4 A O C B D θ5 θ8 r5 r8 r6 r7 r1 , θ3 r6 , θ8 67 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 14 23 r r r r + =+ 56 7 8 r r r r = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ 12 3 2 3 x x x x r 0,2 cos 0,4 cos 0,3 0,2 sen 0,4 sen = + = + θ θ θ θ 5 8 5 6 8 x x x x 0,2 cos -0,25 0,4 cos 0,2 sen -r 0,4 sen = + = + donde θ5 = θ2 + 60º VELOCIDAD θ2 θ3 r3 r1 r2 r4 A O C B D θ5 θ8 r5 r8 r6 r7 r1 , θ3 r6 , θ8 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   ldlíilálddidlliódvC , ω3

MANUALES UEX 72 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60   π   θ= α θ ω θ 68 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8 dt dt dt dt =++ B D B/D v v v = + 55 D 88 x r -v j x r ω = +ω donde ω5 = ω2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x xx x x x x xx x x 5 88 5D 8 8 2 - 0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0,2 -600 cos - v 0,4 cos 60   π   θ= ω θ     π   θ= + ω θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r = dt dt dt dt + + C A C/A a a a = + a i x x r x r x x r C 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a - 0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 0 - 0,2 -600 sen 0,4 cos - 0,4 sen 60   π =   θ αθ ωθ     π =   θ+ α θ ω θ   De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y α3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r dt dt dt dt =++ B D B/D a a a = + vD , ω8 vC , ω3 68 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8 dt dt dt dt =++ B D B/D v v v = + 55 D 88 x r -v j x r ω = +ω donde ω5 = ω2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x xx x x x x xx x x 5 88 5D 8 8 2 - 0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0,2 -600 cos - v 0,4 cos 60   π   θ= ω θ     π   θ= + ω θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r = dt dt dt dt + + C A C/A a a a = + a i x x r x r x x r C 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a - 0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 0 - 0,2 -600 sen 0,4 cos - 0,4 sen 60   π =   θ αθ ωθ     π =   θ+ α θ ω θ   De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y α3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r dt dt dt dt =++ B D B/D a a a = + vD , ω8 vC , ω3 68 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8 dt dt dt dt =++ B D B/D v v v = + 55 D 88 x r -v j x r ω = +ω donde ω5 = ω2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x xx x x x x xx x x 5 88 5D 8 8 2 - 0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0,2 -600 cos - v 0,4 cos 60   π   θ= ω θ     π   θ= + ω θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r = dt dt dt dt + + C A C/A a a a = + a i x x r x r x x r C 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a - 0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 0 - 0,2 -600 sen 0,4 cos - 0,4 sen 60   π =   θ αθ ωθ     π =   θ+ α θ ω θ   De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y α3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r dt dt dt dt =++ B D B/D a a a = + vD , ω8 vC , ω3 68 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8 dt dt dt dt =++ B D B/D v v v = + 55 D 88 x r -v j x r ω = +ω donde ω5 = ω2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x xx x x x x xx x x 5 88 5D 8 8 2 - 0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0,2 -600 cos - v 0,4 cos 60   π   θ= ω θ     π   θ= + ω θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r = dt dt dt dt + + C A C/A a a a = + a i x x r x r x x r C 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a - 0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 0 - 0,2 -600 sen 0,4 cos - 0,4 sen 60   π =   θ αθ ωθ     π =   θ+ α θ ω θ   De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y α3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r dt dt dt dt =++ B D B/D a a a = + vD , ω8 vC , ω3 68 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr dr dr 1 42 dr 3 = dt dt dt dt + + C A C/A v v v = + C 22 33 v i x r x r =ω +ω Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x xxx x x C 2 33 2 33 2 v -0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0 0,2 -600 cos 0,4 cos 60   π =   θ ωθ     π =   θ+ ω θ   Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8 dt dt dt dt =++ B D B/D v v v = + 55 D 88 x r -v j x r ω = +ω donde ω5 = ω2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x xx x x x x xx x x 5 88 5D 8 8 2 - 0,2 -600 sen - 0,4 sen 60 2 0,2 -600 cos - v 0,4 cos 60   π   θ= ω θ     π   θ= + ω θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r = dt dt dt dt + + C A C/A a a a = + a i x x r x r x x r C 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x xx x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a - 0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 0 - 0,2 -600 sen 0,4 cos - 0,4 sen 60   π =   θ αθ ωθ     π =   θ+ α θ ω θ   De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y α3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r dt dt dt dt =++ B D B/D a a a = + vD , ω8 vC , ω3 68 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:   x x x x x x x x x x x x C 2 33 2 33 2 v  ‐0,2   ‐600    sen  ‐ 0,4     sen 60 2 0 0,2   ‐600    cos    0,4     cos 60 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos B y D de la biela: dr dr 5 6 dr 7 dr 8            dt dt dt dt B D B/D v     v v 55 D 88 x r  ‐v j    x r donde 5 = 2. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x x x x x 5 88 5D 8 8 2   ‐ 0,2   ‐600    sen   ‐ 0,4     sen 60 2 0,2   ‐600    cos   ‐ v    0,4     cos 60 ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: 2 22 2 1 42 3 2 22 2 dr dr dr d r     =     dt dt dt dt C A C/A a     a a    a i C 2 22 33 3 33      x    x r    x r     x    x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:                        x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 C 2 33 3 3 2 2 2 3 3 33 x 2 a   ‐ 0,2   ‐600    cos  ‐ 0,4     sen  ‐ 0,4     cos 60 2 0   ‐ 0,2   ‐600    sen    0,4     cos  ‐ 0,4     sen 60 De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de ac y 3. Operando igual para el segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 2 2 2 2 5 6 7 8 2222 dr dr d r d r          dt dt dt dt B D B/D a     a a    5 55 D 88 8 88 x    x r  ‐ a j    x r     x    x r vD , 8 vC , 3

MANUALES UEX 73 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 69 ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 2 5D 8 8 8 8 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 -0,2 -600 sen - a 0,4 cos - 0,4 sen 60   π   θ= α θ ω θ     π   θ= + α θ ω θ   de donde se calculan aD y α8. d) Para θ2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º r1 = -0,279 m ; θ3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición del mecanismo: r6 = 0,198 m ; θ8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: C v = 8,783 m/s i ; 3 = ω 16,56 rad/s k Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = - 10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8. Por tanto, se obtiene como resultado: D v = 10,68 m/s j ; 8 ω = - 29,35 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: C a = - 739 m/s2 i ; 3 α = 1.894,1 rad/s2 k Y para las ecuaciones : 69 ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 2 5D 8 8 8 8 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 -0,2 -600 sen - a 0,4 cos - 0,4 sen 60   π   θ= α θ ω θ     π   θ= + α θ ω θ   de donde se calculan aD y α8. d) Para θ2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º r1 = -0,279 m ; θ3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición del mecanismo: r6 = 0,198 m ; θ8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: C v = 8,783 m/s i ; 3 = ω 16,56 rad/s k Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = - 10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8. Por tanto, se obtiene como resultado: D v = 10,68 m/s j ; 8 ω = - 29,35 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: C a = - 739 m/s2 i ; 3 α = 1.894,1 rad/s2 k Y para las ecuaciones : 69 ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 2 5D 8 8 8 8 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 -0,2 -600 sen - a 0,4 cos - 0,4 sen 60   π   θ= α θ ω θ     π   θ= + α θ ω θ   de donde se calculan aD y α8. d) Para θ2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º r1 = -0,279 m ; θ3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición del mecanismo: r6 = 0,198 m ; θ8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: C v = 8,783 m/s i ; 3 = ω 16,56 rad/s k Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = - 10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8. Por tanto, se obtiene como resultado: D v = 10,68 m/s j ; 8 ω = - 29,35 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: C a = - 739 m/s2 i ; 3 α = 1.894,1 rad/s2 k Y para las ecuaciones : 69 ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 2 5D 8 8 8 8 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 -0,2 -600 sen - a 0,4 cos - 0,4 sen 60   π   θ= α θ ω θ     π   θ= + α θ ω θ   de donde se calculan aD y α8. d) Para θ2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º r1 = -0,279 m ; θ3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición del mecanismo: r6 = 0,198 m ; θ8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: C v = 8,783 m/s i ; 3 = ω 16,56 rad/s k Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = - 10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8. Por tanto, se obtiene como resultado: D v = 10,68 m/s j ; 8 ω = - 29,35 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: C a = - 739 m/s2 i ; 3 α = 1.894,1 rad/s2 k Y para las ecuaciones : 69 ω ω = +α +ω ω 5 55 D 88 8 88 x x r - a j x r x x r ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xx x x x x x x xx x x x x x 2 2 5 8 8 88 2 2 5D 8 8 8 8 2 -0,2 -600 cos - 0,4 sen - 0,4 cos 60 2 -0,2 -600 sen - a 0,4 cos - 0,4 sen 60   π   θ= α θ ω θ     π   θ= + α θ ω θ   de donde se calculan aD y α8. d) Para θ2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º r1 = -0,279 m ; θ3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: r1 = 0,479 m ; θ3 = 18,481º Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición del mecanismo: r6 = 0,198 m ; θ8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: C v = 8,783 m/s i ; 3 = ω 16,56 rad/s k Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = - 10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8. Por tanto, se obtiene como resultado: D v = 10,68 m/s j ; 8 ω = - 29,35 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: C a = - 739 m/s2 i ; 3 α = 1.894,1 rad/s2 k Y para las ecuaciones : D a = - 152,43 m/s2 j ; 8 α = - 1.413,08 rad/s2 k 4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con una velocidad angular constante en sentido horario ωOA = 300 rad/s. Determinar: Para el segundo polígono, a través de las ecuaciones se obtienen los valores vD = -10,68 m/s y ω8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de vD indica que el sentido real de dicha velocidad es contrario al definido para r6. Análogamente, el valor negativo de ω8 indica que el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ8. Por tanto, se obtiene como resultado:

MANUALES UEX 74 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 70 D a = - 152,43 m/s2 j ; 8 α = - 1.413,08 rad/s2 k 4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con una velocidad angular constante en sentido horario ωOA = 300 rad/s. Determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de la manivela OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad y aceleración de B y D para la posición representada. Datos: OA = 20 cm; AB = BC = 60 cm; AC = CD = 30 cm. Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: A C O D ωOA B 60º 60º 60º

MANUALES UEX 75 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS O D r4 θ4 θ6 = 60º r5 r6 θ2 r2 θ5 C A O B θ2 θ3 r3 r1 r2 θ1=120º A

MANUALES UEX 76 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: 6 5 2 4 dr dr dr dr dt dt dt dt =++ D A C/A D/C v v v v =+ + D 22 44 55 v x r x r x r =ω +ω +ω donde ω3 = ω4. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x x x x x x x D 2 4 4 55 D 2 44 55 v cos60 - 0,2 (-300) sen - 0,3 sen - 0,3 sen v sen60 0,2 (-300) cos 0,3 cosθ 0,3 cos = θ ω ωθ = θ+ ω + ω θ θ ACELERACIÓN RealizandounasegundaderivadaparalaecuaciónvectorialdelprimerpolígonosevD , ω5 72 Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que: θ θ 3 4 = + 75,52º POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 23 r r r = + 6 245 r rrr = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: x xx x xx 1 2 3 1 2 3 r cos120 0,2 cos 0,6 cos r sen120 0,2 sen 0,6 sen = θ+ θ = θ+ θ xxxx xxxx 6 245 6 245 r cos60 0,2 cos 0,3 cos 0,3 cos r sen60 0,2 sen 0,3 sen 0,3 sen = θ+ θ+ θ = θ+ θ+ θ siendo θ3 = θ4 + 75,52º. VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 dt dt dt = + B A B/A v v v = + B 22 33 v x r x r =ω +ω Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x B 2 33 B 2 33 v cos120 - 0,2 (-300) sen - 0,6 sen v sen120 0,2 (-300) cos 0,6 cos = θ ωθ = θ+ ω θ A C B 75,52º r6 , θ5 vB , ω3 r1 , θ3 72 Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que: θ θ 3 4 = + 75,52º POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 23 r r r = + 6 245 r rrr = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: x xx x xx 1 2 3 1 2 3 r cos120 0,2 cos 0,6 cos r sen120 0,2 sen 0,6 sen = θ+ θ = θ+ θ xxxx xxxx 6 245 6 245 r cos60 0,2 cos 0,3 cos 0,3 cos r sen60 0,2 sen 0,3 sen 0,3 sen = θ+ θ+ θ = θ+ θ+ θ siendo θ3 = θ4 + 75,52º. VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 dt dt dt = + B A B/A v v v = + B 22 33 v x r x r =ω +ω Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x B 2 33 B 2 33 v cos120 - 0,2 (-300) sen - 0,6 sen v sen120 0,2 (-300) cos 0,6 cos = θ ωθ = θ+ ω θ A C B 75,52º r6 , θ5 vB , ω3 r1 , θ3 72 Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que: θ θ 3 4 = + 75,52º POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 23 r r r = + 6 245 r rrr = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: x xx x xx 1 2 3 1 2 3 r cos120 0,2 cos 0,6 cos r sen120 0,2 sen 0,6 sen = θ+ θ = θ+ θ xxxx xxxx 6 245 6 245 r cos60 0,2 cos 0,3 cos 0,3 cos r sen60 0,2 sen 0,3 sen 0,3 sen = θ+ θ+ θ = θ+ θ+ θ siendo θ3 = θ4 + 75,52º. VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr 1 2 dr 3 dt dt dt = + B A B/A v v v = + B 22 33 v x r x r =ω +ω Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x B 2 33 B 2 33 v cos120 - 0,2 (-300) sen - 0,6 sen v sen120 0,2 (-300) cos 0,6 cos = θ ωθ = θ+ ω θ A C B 75,52º r6 , θ5 vB , ω3 r1 , θ3

MANUALES UEX 77 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 73 6 5 2 4 dr dr dr dr dt dt dt dt =++ D A C/A D/C v v v v =+ + D 22 44 55 v x r x r x r =ω +ω +ω donde ω3 = ω4. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x x x x x x x D 2 4 4 55 D 2 44 55 v cos60 - 0,2 (-300) sen - 0,3 sen - 0,3 sen v sen60 0,2 (-300) cos 0,3 cosθ 0,3 cos = θ ω ωθ = θ+ ω + ω θ θ ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 22 2 dr dr d r = dt dt dt + B A B/A a a a = + a x x r x r x x r B 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x 2 2 B 2 3 3 33 2 2 B 2 33 3 3 a cos120 - 0,2 (-300) cos - 0,6 sen - 0,6 cos a sen120 - 0,2 (-300) sen 0,6 cos - 0,6 sen = θ α θ ωθ = θ+ α θ ω θ Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 6 5 2 4 2222 d r dr dr d r dt dt dt dt =++ D A C/A D/C a a a a =+ + a x x r x r x x r x r x x r D 2 22 44 4 44 55 5 55 =ω ω +α +ω ω +α +ω ω ( ) ( ) ( ) donde α 3 = α4. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 D 2 4 4 44 2 5 5 55 2 2 D 2 44 4 a cos60 - 0,2 (-300) cos - 0,3 sen - 0,3 cos - - 0,3 sen - 0,3 cos a sen60 - 0,2 (-300) sen 0,3 cos - 0,3 s = θ α θ ωθ α θ ωθ = θ+ α θ ω x x x x 4 2 55 5 5 en 0,3 cos - 0,3 sen θ + +αθ ω θ de donde se calculan aD y α5. c) Para θ2 = 90º: aB , α3 vD , ω5 73 6 5 2 4 dr dr dr dr dt dt dt dt =++ D A C/A D/C v v v v =+ + D 22 44 55 v x r x r x r =ω +ω +ω donde ω3 = ω4. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x x x x x x x D 2 4 4 55 D 2 44 55 v cos60 - 0,2 (-300) sen - 0,3 sen - 0,3 sen v sen60 0,2 (-300) cos 0,3 cosθ 0,3 cos = θ ω ωθ = θ+ ω + ω θ θ ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 2 2 1 2 3 22 2 dr dr d r = dt dt dt + B A B/A a a a = + a x x r x r x x r B 2 22 33 3 33 =ω ω +α +ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x 2 2 B 2 3 3 33 2 2 B 2 33 3 3 a cos120 - 0,2 (-300) cos - 0,6 sen - 0,6 cos a sen120 - 0,2 (-300) sen 0,6 cos - 0,6 sen = θ α θ ωθ = θ+ α θ ω θ Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 6 5 2 4 2222 d r dr dr d r dt dt dt dt =++ D A C/A D/C a a a a =+ + a x x r x r x x r x r x x r D 2 22 44 4 44 55 5 55 =ω ω +α +ω ω +α +ω ω ( ) ( ) ( ) donde α 3 = α4. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 D 2 4 4 44 2 5 5 55 2 2 D 2 44 4 a cos60 - 0,2 (-300) cos - 0,3 sen - 0,3 cos - - 0,3 sen - 0,3 cos a sen60 - 0,2 (-300) sen 0,3 cos - 0,3 s = θ α θ ωθ α θ ωθ = θ+ α θ ω x x x x 4 2 55 5 5 en 0,3 cos - 0,3 sen θ + +αθ ω θ de donde se calculan aD y α5. c) Para θ2 = 90º: aB , α3 vD , ω5 POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen una solución compatible con la configuración del mecanismo: r1 = 0,7648 m ; θ3 = 129,59º Y de las ecuaciones se obtienen los valores: θ4 = 54,07º ; r6 = 0,7636 m ; θ5 = 46,7º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener: B v = 38,78 m/s ; 3 4 ω ω = = 87,83 rad/s k Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: 60º

MANUALES UEX 78 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 74 r1 = 0,7648 m ; θ3 = 129,59º Y de las ecuaciones se obtienen los valores: θ4 = 54,07º ; r6 = 0,7636 m ; θ5 = 46,7º VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener: B v = 38,78 m/s ; 3 4 ω ω = = 87,83 rad/s k Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: D v = 38,81 m/s ; 5 = ω 88,21 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: B a = 18761,9 m/s2 ; 3 4 α α = = -13909,2 rad/s2 k Y para las ecuaciones : Da = 17668 m/s2 ; 5 α = 42384,5 rad/s2 k 60º 60º 60º 60º

MANUALES UEX 79 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 75 4.4. En el mecanismo representado en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular O2BC es ωO2BC = 150 rpm, constante y en sentido antihorario. Deducir: a) grados de libertad del mecanismo. b) si es posible que el eslabón O2BC pueda dar una revolución completa. c) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la posición representada. d) carrera de trabajo del eslabón O1A. e) velocidad y aceleración de todos los eslabones para las posiciones límite del eslabón O1A. Datos: O1O2 = O1A = 50 cm; O2C = 30 cm; O2B = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Considerando el cuadrilátero articulado O1ABO2 se comprueba si verifica la Ley de Grashof: a + d ≤ c + b (O2B < O1A ≤ O1O2 <AB) 20 + 70 ≤ 50 + 50 A B C O2 ωO2BC D O1 75 4.4. En el mecanismo representado en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular O2BC es ωO2BC = 150 rpm, constante y en sentido antihorario. Deducir: a) grados de libertad del mecanismo. b) si es posible que el eslabón O2BC pueda dar una revolución completa. c) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la posición representada. d) carrera de trabajo del eslabón O1A. e) velocidad y aceleración de todos los eslabones para las posiciones límite del eslabón O1A. Datos: O1O2 = O1A = 50 cm; O2C = 30 cm; O2B = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Considerando el cuadrilátero articulado O1ABO2 se comprueba si verifica la Ley de Grashof: a + d ≤ c + b (O2B < O1A ≤ O1O2 <AB) 20 + 70 ≤ 50 + 50 A B C O2 ωO2BC D O1 B C O2 ωO2BC vB vC vD vDNótese que se verifica la Ley de Grashof, siendo el eslabón O2BC la manivela del cuadrilátero articulado, y por tanto puede efectuar una revolución completa. El eslabón O1A sería el balancín. c) Dada la velocidad angular del eslabón O2BC se tienen las velocidades de B y C. Para la biela CD se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la velocidad de la deslizadera D. B C O2 ωO2BC vB vC DCIR(CD) vD vD Nótese que se verifica la Ley de Grashof, siendo el eslabón O2BC la manivela del cuadrilátero articulado, y por tanto puede efectuar una revolución completa. El eslabón O1A sería el balancín. c) Dada la velocidad angular del eslabón O2BC se tienen las velocidades de B y C. Para la biela CD se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la velocidad de la deslizadera D.

MANUALES UEX 80 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 76 A B vA CIR(AB) ωAB vB A O1 ωO1A vA C O2 ωO2BC C D ωCD vC CIR(CD) CIR(CD) vD D vD angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la velocidad de la deslizadera D. Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación CIR(AB) que permite, a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la velocidad angular del balancín O1A. 76 A B vA CIR(AB) ωAB vB A O1 ωO1A vA O2 ωO2BC C D ωCD vC CIR(CD) CIR(CD) vD D vD velocidad de la deslizadera D. Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación CIR(AB) que permite, a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la velocidad angular del balancín O1A. 76 A B vA CIR(AB) ωAB vB A O1 ωO1A vA B C O2 ωO2BC vB C D ωCD vC CIR(CD) CIR(CD) vD D vD O2BC se tienen las velocidades de B y C. Para la biela CD se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la velocidad de la deslizadera D. Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación CIR(AB) que permite, a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la velocidad angular del balancín O1A. 76 A B vA CIR(AB) ωAB vB A O1 ωO1A vA B C O2 ωO2BC vB C D ωCD vC CIR(CD) CIR(CD) vD D vD O2BC se tienen las velocidades de B y C. Para la biela CD se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la velocidad de la deslizadera D. Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación CIR(AB) que permite, a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la velocidad angular del balancín O1A.

MANUALES UEX 81 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 77 d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 12 34 r r r r +=+ 56 7 r r r + = Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: 41,41º 30 cm 20 cm 20 cm O2 C B C O2 D θ5 θ6 r5 r6 r7 B O1 r1 r2 θ2 r4 θ3 O2 r3 A θ4 77 d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 12 34 r r r r +=+ 56 7 r r r + = Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: 41,41º 30 cm 20 cm 20 cm O2 C B C O2 D θ5 θ6 r5 r6 r7 B O1 r1 r2 θ2 r4 θ3 O2 r3 A θ4 77 d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 12 34 r r r r +=+ 56 7 r r r + = Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: 41,41º 30 cm 20 cm 20 cm O2 C B C O2 D θ5 θ6 r5 r6 r7 B O1 r1 r2 θ2 r4 θ3 O2 r3 A θ4 θθθ θθθ xxx x xx 2 34 2 34 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen +=+ = + θ θ θ θ x x x x 5 6 5 6 7 30 cos 70 cos 0 30 sen 70 sen r + = + = siendo θ5 = θ2 – 41,41º. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = 77                                                                                                                                                                                               POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 12 34 r     r    r    r 56 7 r     r    r Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθθ θθθ x xx x xx 2 34 2 34 50   20   cos    50   cos    70   cos 20   sen    50   sen    70   sen θ θ θ θ x x x x 5 6 5 6 7 30   cos    70   cos   0 30   sen    70   sen   r siendo 5 = 2 – 41,41º. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para 2 = 4 y 2 = 4 + 180º. Para 2 = 4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50   20   cos 50   cos    70   cos 20   sen 50   sen    70   sen 41,41º 30 cm 20 cm 20 cm O2 C B C O2 D 5 6 r5 r6 r7 B O1 r1 r2 2 r4 3 O2 r3 A 4

MANUALES UEX 82 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 78 θ θ x x 5 6 7 30 sen 70 sen r + = siendo θ5 = θ2 – 41,41º. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 Carrera = ∆θ3 = 300º - 231,68º = 68,32º VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr dr dr 12 34 dt dt dt dt +=+ B A B/A v v v = + 22 33 44 ω =ω +ω x r x r x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 -20 150 sen - 50 sen - 70 sen 60 2 20 150 cos 50 cos 70 cos 60   π   θ= ω θ ω θ     π   θ = ω θ+ ω θ   de donde se calculan ω3 y ω4. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr dr dr 56 7 dt dt dt + = C D/C D v v v + = 55 66 D D x r x r v = v j ω +ω = donde ω2= ω5= 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: Carrera = ∆θ3 = 300º - 231,68º = 68,32º VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr dr dr dr 12 34 dt dt dt dt +=+ B A B/A v v v = + 22 33 44 ω =ω +ω x r x r x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 -20 150 sen - 50 sen - 70 sen 60 2 20 150 cos 50 cos 70 cos 60   π   θ= ω θ ω θ     π   θ = ω θ+ ω θ   de donde se calculan ω3 y ω4. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr dr dr 56 7 dt dt dt + = C D/C D v v v + = 55 66 D D x r x r v = v j ω +ω = ddll 78 Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 78 ,Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 78 siendo θ5 θ2 41,41. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 78 siendo θ5 = θ2 – 41,41º. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 78 siendo θ5 = θ2 – 41,41º. Las posiciones límite del balancín O1A se obtienen cuando O2B y AB están alineadas, es decir, para θ2 = θ4 y θ2 = θ4 + 180º. Para θ2 = θ4: θθ θ θθ θ xx x xx x 23 2 23 2 50 20 cos 50 cos 70 cos 20 sen 50 sen 70 sen += + = + θ θ θ θ x x x x 2 3 2 3 50 - 50 cos 50 cos -50 sen 50 sen = = Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: xx x θθ θ 2 2 22 3 2500 2500 cos - 5000 cos 2500 cos + = x x θ θ 2 2 2 3 2500 sen 2500 sen = Sumando ambas ecuaciones: ( θθ θ θθ ) ( ) θ x x x x 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2500 2500 cos sen - 5000 cos 2500 cos sen 2500 2500 - 5000 cos 2500 ++ =+ + = de donde se obtiene el valor θ2 = θ4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan los demás valores de esta primera posición límite: Para θ2 = θ4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de cálculo, se deducen los valores de esta segunda posición límite: La carrera de trabajo del balancín O1A será: POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º θ2 (º) θ3 (º) θ4 (º) θ5 (º) θ6 (º) r7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81

MANUALES UEX 83 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 79 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 -20 150 sen - 50 sen - 70 sen 60 2 20 150 cos 50 cos 70 cos 60   π   θ= ω θ ω θ     π   θ = ω θ+ ω θ   de donde se calculan ω3 y ω4. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr dr dr 56 7 dt dt dt + = C D/C D v v v + = 55 66 D D x r x r v = v j ω +ω = donde ω2 = ω5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x xx x xx x x x 5 66 5 6 6D 2 - 30 150 sen - 70 sen 0 60 2 30 150 cos 70 cos v 60   π   θ ω θ=     π   θ+ ω θ =   que permiten determinar vD y ω6. Los valores de velocidad que resultan de las ecuaciones y para las posiciones límite del balancín son: ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) ω5 (rad/s) ω6 (rad/s) vD (cm/s) 15,71 0 4,49 15,71 -2,35 513,44 VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) ω5 (rad/s) ω6 (rad/s) vD (cm/s) 15,71 0 -4,49 15,71 -1,98 -511,28 79 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 -20 150 sen - 50 sen - 70 sen 60 2 20 150 cos 50 cos 70 cos 60   π   θ= ω θ ω θ     π   θ = ω θ+ ω θ   de donde se calculan ω3 y ω4. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr dr dr 56 7 dt dt dt + = C D/C D v v v + = 55 66 D D x r x r v = v j ω +ω = donde ω2 = ω5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x xx x xx x x x 5 66 5 6 6D 2 - 30 150 sen - 70 sen 0 60 2 30 150 cos 70 cos v 60   π   θ ω θ=     π   θ+ ω θ =   que permiten determinar vD y ω6. Los valores de velocidad que resultan de las ecuaciones y para las posiciones límite del balancín son: ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) ω5 (rad/s) ω6 (rad/s) vD (cm/s) 15,71 0 4,49 15,71 -2,35 513,44 VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) ω4 (rad/s) ω5 (rad/s) ω6 (rad/s) vD (cm/s) 15,71 0 -4,49 15,71 -1,98 -511,28 22 22 12 34 22 22 dr dr dr dr dt dt dt dt +=+ B A B/A a a a = + ω ω =α +ω ω +α +ω ω 2 22 33 3 33 44 x x r x r x x r x r x x r ( ) ( ) ( 4 4 ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x x x x x x x x x x x x 2 x x x x 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 -20 150 cos - 50 sen - 50 cos - 60 - 70 sen - 70 cos 2 -20 150 sen 60   π   θ αθ ωθ   αθ ωθ   π   θ =   = x x x x x x x x 2 33 3 3 2 44 4 4 50 cos - 50 sen 70 cos - 70 sen α θ ω θ+ +α θ ω θ de donde se calculan α3 y α4. Operando igual para el segundo polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es: 22 2 56 7 22 2 dr dr dr dt dt dt + = C D/C D a a a + = ωω+α+ωω==55566666DDxxrxrxxraaj()()

MANUALES UEX 84 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 80 x x x x 2 x x x x 2 4 4 44 2 60 - 70 sen - 70 cos 2 -20 150 sen 60   αθ ωθ   π   θ =   x x x x x x x x 2 33 3 3 2 44 4 4 50 cos - 50 sen 70 cos - 70 sen α θ ω θ+ +α θ ω θ de donde se calculan α3 y α4. Operando igual para el segundo polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es: 22 2 56 7 22 2 dr dr dr dt dt dt + = C D/C D a a a + = ω ω +α +ω ω = = 5 55 66 6 66 D D x x r x r x x r a a j ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x x x x x x x x 2 x x x x x x x x 2 5 6 6 66 2 5 6 6 6 6D 2 -30 150 cos - 70 sen - 70 cos 0 60 2 -30 150 sen 70 cos - 70 sen a 60   π   θ α θ ω θ=     π   θ+ α θ ω θ=   de donde se calculan aD y α6. Los valores de aceleración que resultan de las ecuaciones y para las posiciones límites del balancín son: ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 α2 (rad/s2) α3 (rad/s2) α4 (rad/s2) α5 (rad/s2) α6 (rad/s2) aD (cm/s2) 0 -81,40 -29,07 0 -107,23 336,55 ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ2 = θ4 + 180º α2 (rad/s2) α3 (rad/s2) α4 (rad/s2) α5 (rad/s2) α6 (rad/s2) aD (cm/s2) 0 291,13 187,16 0 110,06 942,75

MANUALES UEX 85 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 81 4.5. En la plataforma elevadora hidráulica de la figura O1O2 es la base fija y el accionamiento se realiza a través del cilindro hidráulico O2B. Si el cilindro O2B se expande con una velocidad constante igual a 0,1 m/s, determinar la velocidad y aceleración de la plataforma cuando θ = 40º. Datos: O1A = AC = AD = AB = 0,6 m. Solución Se consideran dos polígonos vectoriales de cierre: A C B O1 D θ O2 0,1 m/s O1 B θ3 r3 r1 θ2 A r2 O1 A D r2 θ2 r4 θ4 r5 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 132rrr+=

MANUALES UEX 86 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN dr dr dr 24 5 dt dt dt + = A D/A D v v v + = 22 44 D D ω +ω = = x r x r v v j Despejando de y se tiene: B 33 44 D D v x r x r v v j +ω +ω = = donde ω3 = ω4. Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: ( ) ( ) θ θ x x x x 3 2 3 2 D 0,1 0,6 0,6 sen(180 - ) 0 0,6 0,6 cos(180 - ) v −− + ω = +ω = Para θ2 = 40° se deducen los valores: 3 = ω - 0,1296 rad/s k ; D v = 0,1192 m/s j ACELERACIÓN 82 O1 A r2 θ2 r5 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 132 r r r + = 24 5 r r r + = Por tanto: 13 54 r r r r += − 134 5 r r r r ++= siendo θ3 = θ4 = 180°- θ2. Nótese entonces que el mecanismo puede resolverse con un solo cierre, que es una combinación lineal de los dos cierres planteados. Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: ( ) ( ) θ θ x x 1 2 2 5 r 0,6 0,6 cos(180 - ) 0 0,6 0,6 sen(180 - ) r + + = + = Para θ2 = 40° se deducen los valores: r1 = 0,9192 m ; r5 = 0,7713 m VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre A y B: dr dr dr 132 dt dt dt + = B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω donde B v - 0,1 i = m/s, de valor constante. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre A y D: 82 O1 A r2 θ2 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 132 r r r + = 24 5 r r r + = Por tanto: 13 54 r r r r += − 134 5 r r r r ++= siendo θ3 = θ4 = 180°- θ2. Nótese entonces que el mecanismo puede resolverse con un solo cierre, que es una combinación lineal de los dos cierres planteados. Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: ( ) ( ) θ θ x x 1 2 2 5 r 0,6 0,6 cos(180 - ) 0 0,6 0,6 sen(180 - ) r + + = + = Para θ2 = 40° se deducen los valores: r1 = 0,9192 m ; r5 = 0,7713 m VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre A y B: dr dr dr 132 dt dt dt + = B A/B A v v v + = B 33 22 v x r x r +ω =ω donde B v - 0,1 i = m/s, de valor constante. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre A y D:

MANUALES UEX 87 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 83 donde ω3 = ω4. Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: ( ) ( ) θ θ x x x x 3 2 3 2 D 0,1 0,6 0,6 sen(180 - ) 0 0,6 0,6 cos(180 - ) v −− + ω = +ω = Para θ2 = 40° se deducen los valores: 3 = ω - 0,1296 rad/s k ; D v = 0,1192 m/s j ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y B: 22 2 132 222 dr dr dr dt dt dt + = a a a B A/B A + = ω ω +α =ω ω +α 3 33 33 2 22 22 x x r x r x x r x r ( ) ( ) donde aB = 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de aceleraciones entre A y D: 22 2 24 5 222 dr dr dr dt dt dt + = a a a A D/A D + = ω ω +α +ω ω +α = = 2 22 22 4 44 44 D D x x r x r x x r x r a a j ( ) ( ) Despejando de y : ω ω +α +ω ω +α = = 3 33 33 4 44 44 D D x x r x r x x r x r a a j ( ) ( ) donde α3 = α4. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ x x x x x x x x 2 3 2 32 2 3 2 3 2D 0,6 0,6 sen(180 - ) 0,6 0,6 cos(180 - ) 0 0,6 0,6 cos(180 - ) 0,6 0,6 sen(180 - ) a −+ α −+ ω = + α −+ ω = Para θ2 = 40° se deducen los valores: 3 α = 0,02 rad/s2 k ; Da = - 0,0314 m/s2 j 83 B 33 44 D D jdonde ω3 = ω4. Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: ( ) ( ) θ θ x x x x 3 2 3 2 D 0,1 0,6 0,6 sen(180 - ) 0 0,6 0,6 cos(180 - ) v −− + ω = +ω = Para θ2 = 40° se deducen los valores: 3 = ω - 0,1296 rad/s k ; D v = 0,1192 m/s j ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y B: 22 2 132 222 dr dr dr dt dt dt + = a a a B A/B A + = ω ω +α =ω ω +α 3 33 33 2 22 22 x x r x r x x r x r ( ) ( ) donde aB = 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de aceleraciones entre A y D: 22 2 24 5 222 dr dr dr dt dt dt + = a a a A D/A D + = ω ω +α +ω ω +α = = 2 22 22 4 44 44 D D x x r x r x x r x r a a j ( ) ( ) Despejando de y : ω ω +α +ω ω +α = = 3 33 33 4 44 44 D D x x r x r x x r x r a a j ( ) ( ) donde α3 = α4. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ x x x x x x x x 2 3 2 32 2 3 2 3 2D 0,6 0,6 sen(180 - ) 0,6 0,6 cos(180 - ) 0 0,6 0,6 cos(180 - ) 0,6 0,6 sen(180 - ) a −+ α −+ ω = + α −+ ω = Para θ2 = 40° se deducen los valores: 3 α = 0,02 rad/s2 k ; Da = - 0,0314 m/s2 j

MANUALES UEX 88 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: B θ3 A r3 r4 84 4.6. En el mecanismo representado en la figura, la manivela AB gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante ωAB = 8 rad/s. En el instante representado, en el que θAB = 30º, θCB = 150º y θDE = 45º, determinar: a) grados de libertad del sistema. b) ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como las velocidades absolutas de los puntos B y D. d) aceleración de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como las aceleraciones de los centros de masa de las barras AB y BC. Datos: AB = 75 mm; BC = 300 mm; BD = DC = DE. A B D θAB ωAB E C θDE θCD

MANUALES UEX 89 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 85 a) m = 3 x (61) 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: D E C θ5 θ6 r5 r6 r7 r8 B θ3 A r3 r4 D r1 θ4 r2 C POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 2 43 r r r r + += 6 5 87 r r r r + += Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ x x x x 2 43 1 43 r 300 cos 75 cos - r 300 sen 75 sen + = + = θ θ θ θ x x x x 6 5 8 6 5 7 150 cos 150 cos r 0 150 sen 150 sen r + += + =

MANUALES UEX 90 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono, se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos B y C de la biela es: 222 2 124 3 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a C B/C B + = a x r x x r x x r c 44 4 44 3 33 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x 2 2 C 4 4 44 3 2 2 44 4 4 3 a - 300 sen - 300 cos - 75 8 cos 300 cos - 300 sen - 75 8 sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Operandoigualparaelsegundopolígonosededucelarelacióndeaceleraciones:aC , α4 86 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 2 43 r r r r + += 6 5 87 r r r r + += Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ x x x x 2 43 1 43 r 300 cos 75 cos - r 300 sen 75 sen + = + = θ θ θ θ x x x x 6 5 8 6 5 7 150 cos 150 cos r 0 150 sen 150 sen r + += + = siendo θ4 = θ6. VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos B y C de la biela: dr dr dr dr 124 3 dt dt dt dt ++= C B/C B v v v + = C 44 33 v x r x r +ω = ω Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x C 44 3 4 4 3 v - 300 sen - 75 8 sen 300 cos 75 8 cos ω θ= θ ω θ= θ Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: 658 7 dr dr dr dr dt dt dt dt + += D/C E/D C E v v v v + += 66 55 C E ω +ω + = x r x r v v Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x C 66 55 6 6 5 5E v - 150 sen - 150 sen 0 150 cos 150 cos v ω θ ω θ= ω θ+ ω θ= donde ω4 = ω6. vC , ω4 vE , ω5 86 Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 1 2 43 r r r r + += 6 5 87 r r r r + += Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θ θ θ θ x x x x 2 43 1 43 r 300 cos 75 cos - r 300 sen 75 sen + = + = θ θ θ θ x x x x 6 5 8 6 5 7 150 cos 150 cos r 0 150 sen 150 sen r + += + = siendo θ4 = θ6. VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos B y C de la biela: dr dr dr dr 124 3 dt dt dt dt ++= C B/C B v v v + = C 44 33 v x r x r +ω = ω Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x C 44 3 4 4 3 v - 300 sen - 75 8 sen 300 cos 75 8 cos ω θ= θ ω θ= θ Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: 658 7 dr dr dr dr dt dt dt dt + += D/C E/D C E v v v v + += 66 55 C E ω +ω + = x r x r v v Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: x x x x x x x x C 66 55 6 6 5 5E v - 150 sen - 150 sen 0 150 cos 150 cos v ω θ ω θ= ω θ+ ω θ= donde ω4 = ω6. vC , ω4 vE , ω5

MANUALES UEX 91 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 87 222 2 124 3 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a C B/C B + = a x r x x r x x r c 44 4 44 3 33 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x 2 2 C 4 4 44 3 2 2 44 4 4 3 a - 300 sen - 300 cos - 75 8 cos 300 cos - 300 sen - 75 8 sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 222 2 658 7 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a a D/C E/D C E + += α +ω ω +α +ω ω + = 66 6 66 55 5 55 C E x r x x r x r x x r a a ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5C 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5E - 150 sen - 150 cos - 150 sen - 150 cos a 0 150 cos - 150 sen 150 cos - 150 sen a θ θ ω θ α θ ω θ+ = ω θ + α θ ω θ= α α de donde se calculan aE y α5, ya que α4 = α6. c) Para θ AB = θ 3 = 30º, θ CB = θ 4 = θ 6 = 150º y θ DE = θ 5 = 45º : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: r1 = 112,5 mm ; r2 = 324,76 mm Y de las ecuaciones se obtiene: r7 = 181,07 mm ; r8 = 23,84 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: C v = - 600 mm/s i ; ω=ω= 4 6 - 2 rad/s k Las ecuaciones del segundo polígono dan como resultado: E v = - 190,19 mm/s j ; ω =5 - 4,24 rad/s k Para calcular la velocidad absoluta de B se tiene: aC , α4 87 222 2 124 3 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a C B/C B + = a x r x x r x x r c 44 4 44 3 33 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x 2 2 C 4 4 44 3 2 2 44 4 4 3 a - 300 sen - 300 cos - 75 8 cos 300 cos - 300 sen - 75 8 sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 222 2 658 7 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a a D/C E/D C E + += α +ω ω +α +ω ω + = 66 6 66 55 5 55 C E x r x x r x r x x r a a ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5C 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5E - 150 sen - 150 cos - 150 sen - 150 cos a 0 150 cos - 150 sen 150 cos - 150 sen a θ θ ω θ α θ ω θ+ = ω θ + α θ ω θ= α α de donde se calculan aE y α5, ya que α4 = α6. c) Para θ AB = θ 3 = 30º, θ CB = θ 4 = θ 6 = 150º y θ DE = θ 5 = 45º : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: r1 = 112,5 mm ; r2 = 324,76 mm Y de las ecuaciones se obtiene: r7 = 181,07 mm ; r8 = 23,84 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: C v = - 600 mm/s i ; ω=ω= 4 6 - 2 rad/s k Las ecuaciones del segundo polígono dan como resultado: E v = - 190,19 mm/s j ; ω =5 - 4,24 rad/s k Para calcular la velocidad absoluta de B se tiene: aC , α4 v x r 8 k x 75 cos30 i + 75 sen30 j B 33 =ω = ( x x ) - 300 i + 519,62 j = (mm/s) Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones proporcionan directamente las componentes x e y de vB, tal y como indica la interpretación vectorial realizada: x x x x Bx 3 By 3 v - 75 8 sen v 75 8 cos = θ = θ De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés. En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión . Conociendo vc, se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la velocidad vD/C y aplicar que: 87 124 3 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a C B/C B + = a x r x x r x x r c 44 4 44 3 33 +α +ω ω =ω ω ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x 2 2 C 4 4 44 3 2 2 44 4 4 3 a - 300 sen - 300 cos - 75 8 cos 300 cos - 300 sen - 75 8 sen α θ ω θ= θ α θ ω θ= θ Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 222 2 658 7 222 2 dr dr dr d r dt dt dt dt ++= a a a a D/C E/D C E + += α +ω ω +α +ω ω + = 66 6 66 55 5 55 C E x r x x r x r x x r a a ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5C 2 2 6 6 6 6 5 5 5 5E - 150 sen - 150 cos - 150 sen - 150 cos a 0 150 cos - 150 sen 150 cos - 150 sen a θ θ ω θ α θ ω θ+ = ω θ + α θ ω θ= α α de donde se calculan aE y α5, ya que α4 = α6. c) Para θ AB = θ 3 = 30º, θ CB = θ 4 = θ 6 = 150º y θ DE = θ 5 = 45º : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: r1 = 112,5 mm ; r2 = 324,76 mm Y de las ecuaciones se obtiene: r7 = 181,07 mm ; r8 = 23,84 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: C v = - 600 mm/s i ; ω=ω= 4 6 - 2 rad/s k Las ecuaciones del segundo polígono dan como resultado: E v = - 190,19 mm/s j ; ω =5 - 4,24 rad/s k Para calcular la velocidad absoluta de B se tiene: aC , α4 AB 3 CB 4 6 DE 5

MANUALES UEX 92 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN a a a D C D/C = + a a x r x x r D C 66 6 66 = +α +ω ω( ) ( ) ( ) x x x x Da - 4156,92 i 6,928 k x 150 cos150 i 150 sen150 j -2 k x -2 k x 150 cos150 i 150 sen150 j =+ + +     + +         G (BC) D a a - 4156,9 i - 1200 j = = (mm/s2 ) 4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θOA = 315°, se pide: a) grados de libertad del sistema. a a a D C D/C = + a a x r x x r D C 66 6 66 = +α +ω ω( ) ( ) ( ) x x x x Da - 4156,92 i 6,928 k x 150 cos150 i 150 sen150 j -2 k x -2 k x 150 cos150 i 150 sen150 j =+ + +     + +         G (BC) D a a - 4156,9 i - 1200 j = = (mm/s2 ) 4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θOA = 315°, se pide: a) grados de libertad del sistema. 88 vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones proporcionan directamente las componentes x e y de vB, tal y como indica la interpretación vectorial realizada: x x x x Bx 3 By 3 v - 75 8 sen v 75 8 cos = θ = θ De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés. En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión . Conociendo vc, se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la velocidad vD/C y aplicar que: v v v D/C C D + = Si la velocidad absoluta de D se calcula vectorialmente se obtiene: D C D/C v v v = + D C 66 v v x r = +ω v - 600 i - 2 k x 150 cos150 i 150 sen D ( x x 150 j) = + +     D v - 450 i 259,81 j = + (mm/s) ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones para la posición de los eslabones del apartado anterior se obtiene: aC = - 4156,92 mm/s2 i ; α =α = 4 6 6,928 rad/s2 k Y resolviendo las ecuaciones : E a = - 9175,04 mm/s2 j ; α =5 - 57,19 rad/s2 k Para calcular la aceleración absoluta del centro de masa de la manivela AB: ( ) ( x x ) B G (AB) 3 3 G (AB) a a x x r = 8 k x 8 k x 37,5 cos30 i + 37,5 sen30 j 2 = =ω ω     a - 2078,46 i - 1200 j G (AB) = (mm/s2 ) La aceleración absoluta del centro de masa de la biela BC, es decir, el punto D, puede obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las expresiones: 88 Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones proporcionan directamente las componentes x e y de vB, tal y como indica la interpretación vectorial realizada: x x x x Bx 3 By 3 v - 75 8 sen v 75 8 cos = θ = θ De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés. En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión . Conociendo vc, se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la velocidad vD/C y aplicar que: v v v D/C C D + = Si la velocidad absoluta de D se calcula vectorialmente se obtiene: D C D/C v v v = + D C 66 v v x r = +ω v - 600 i - 2 k x 150 cos150 i 150 sen D ( x x 150 j) = + +     D v - 450 i 259,81 j = + (mm/s) ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones para la posición de los eslabones del apartado anterior se obtiene: aC = - 4156,92 mm/s2 i ; α =α = 4 6 6,928 rad/s2 k Y resolviendo las ecuaciones : E a = - 9175,04 mm/s2 j ; α =5 - 57,19 rad/s2 k Para calcular la aceleración absoluta del centro de masa de la manivela AB: ( ) ( x x ) B G (AB) 3 3 G (AB) a a x x r = 8 k x 8 k x 37,5 cos30 i + 37,5 sen30 j 2 = =ω ω     a - 2078,46 i - 1200 j G (AB) = (mm/s2 ) La aceleración absoluta del centro de masa de la biela BC, es decir, el punto D, puede obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las expresiones:

MANUALES UEX 93 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 89 ()( ) x x -2 k x -2 k x 150 cos150 i 150 sen150 j   + +         G (BC) D a a - 4156,9 i - 1200 j = = (mm/s2 ) 4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θOA = 315°, se pide: a) grados de libertad del sistema. b) determinar las ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AOB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad de los puntos A y C en el instante que se muestra en la figura, donde θAD = 99o . d) velocidad del pistón F y del punto D en el instante de la figura. Datos: OA = 135 mm; OB = 315 mm; AC = 390 mm; CD = 120 mm; CE = 450 mm; DF = 540 mm; OEx = 480 mm; OEy = 225 mm; EFy = 225 mm. C ωOAB O θAD E F A B D x y Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:

MANUALES UEX 94 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 90POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: C E O 3 4 r4 A 2 r1 r2 r3 r5 A D F O 8 r8 r7 2 r’3 r6 r2 3 90 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: C E O 3 4 r4 A 2 r1 r2 r3 r5 A D F O 8 r8 r7 2 r’3 r6 r2 3

MANUALES UEX 95 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 91 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 2 3 1 54 r r r r r + = ++ 2 3 6 78 r r' r r r + = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135 cos 390 cos 480 450 cos 135 sen 390 sen 225 450 sen + =+ + =+ θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135 cos 510 cos r 540 cos 135 sen 510 sen 450 540 sen + =+ + =+ VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: 214 3 5 dr dr dr dr dr dt dt dt dt dt +=++ A C/A C vv v + = 22 33 44 ω +ω =ω x r x r x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 - 135 -200 sen 390 sen 450 sen 60 2 135 -200 cos 390 cos 450 cos 60   π θ − ω θ =− ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8 dt dt dt dt dt + =++ A D/A F D/F D v v v v v + =+ = 22 3 3 F 88 ω +ω = +ω x r x r' v x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: ω3 , ω4 91 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 2 3 1 54 r r r r r + = ++ 2 3 6 78 r r' r r r + = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135 cos 390 cos 480 450 cos 135 sen 390 sen 225 450 sen + =+ + =+ θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135 cos 510 cos r 540 cos 135 sen 510 sen 450 540 sen + =+ + =+ VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: 214 3 5 dr dr dr dr dr dt dt dt dt dt +=++ A C/A C vv v + = 22 33 44 ω +ω =ω x r x r x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 - 135 -200 sen 390 sen 450 sen 60 2 135 -200 cos 390 cos 450 cos 60   π θ − ω θ =− ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8 dt dt dt dt dt + =++ A D/A F D/F D v v v v v + =+ = 22 3 3 F 88 ω +ω = +ω x r x r' v x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: ω3 , ω4 91 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: 2 3 1 54 r r r r r + = ++ 2 3 6 78 r r' r r r + = ++ Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135 cos 390 cos 480 450 cos 135 sen 390 sen 225 450 sen + =+ + =+ θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135 cos 510 cos r 540 cos 135 sen 510 sen 450 540 sen + =+ + =+ VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: 214 3 5 dr dr dr dr dr dt dt dt dt dt +=++ A C/A C vv v + = 22 33 44 ω +ω =ω x r x r x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 - 135 -200 sen 390 sen 450 sen 60 2 135 -200 cos 390 cos 450 cos 60   π θ − ω θ =− ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8 dt dt dt dt dt + =++ A D/A F D/F D v v v v v + =+ = 22 3 3 F 88 ω +ω = +ω x r x r' v x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: ω3 , ω4 x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 2 - 135 -200 sen 510 sen v 540 sen 60 2 135 -200 cos 510 cos 540 cos 60   π θ− ω θ= − ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     de donde se calculan vF y ω8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 222 2 2 214 3 5 22222 d r d r d r d r d r dt dt dt dt dt +=++ a a a A C/A C + = 91 2 3 1 54 r     r     r    r r 2 3 6 78 r     r '     r    r r Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135   cos    390   cos    480   450   cos 135   sen    390   sen    225   450   sen θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135   cos    510   cos    r    540   cos 135   sen    510   sen    450   540   sen VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr 214 dr 3 5 dr dr dr             dt dt dt dt dt         A C/A C v v v      22 33 44 x r     x r    x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:           x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 ‐ 135  ‐200    sen    390     sen    450     sen 60 2 135  ‐200    cos    390     cos    450     cos 60 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8             dt dt dt dt dt            A D/A F D/F D v     v    v    v    v             22 3 3 F 88 x r     x r'    v     x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:              x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 2 ‐ 135  ‐200    sen    510     sen    v 540     sen 60 2 135  ‐200    cos    510     cos    540     cos 60 de donde se calculan vF y 8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 3 , 4 91 2 3 1 54 r     r     r    r r 2 3 6 78 r     r '     r    r r Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135   cos    390   cos    480   450   cos 135   sen    390   sen    225   450   sen θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135   cos    510   cos    r    540   cos 135   sen    510   sen    450   540   sen VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr 214 dr 3 5 dr dr dr             dt dt dt dt dt         A C/A C v v v      22 33 44 x r     x r    x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:           x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 ‐ 135  ‐200    sen    390     sen    450     sen 60 2 135  ‐200    cos    390     cos    450     cos 60 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8             dt dt dt dt dt            A D/A F D/F D v     v    v    v    v             22 3 3 F 88 x r     x r'    v     x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:              x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 2 ‐ 135  ‐200    sen    510     sen    v 540     sen 60 2 135  ‐200    cos    510     cos    540     cos 60 de donde se calculan vF y 8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 3 , 4 91 2 3 1 54 r     r     r    r r 2 3 6 78 r     r '     r    r r Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: θθ θ θθ θ x x x x x x 2 3 4 2 3 4 135   cos    390   cos    480   450   cos 135   sen    390   sen    225   450   sen θθ θ θθ θ xx x x x x 2 3 6 8 2 3 8 135   cos    510   cos    r    540   cos 135   sen    510   sen    450   540   sen VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela: dr 214 dr 3 5 dr dr dr             dt dt dt dt dt         A C/A C v v v      22 33 44 x r     x r    x r Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:           x x x x x x x x x x x x x x x x 2 33 44 2 33 44 2 ‐ 135  ‐200    sen    390     sen    450     sen 60 2 135  ‐200    cos    390     cos    450     cos 60 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: dr 2 7 dr' dr 3 6 dr dr 8             dt dt dt dt dt            A D/A F D/F D v     v    v    v    v             22 3 3 F 88 x r     x r'    v     x r Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:              x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 2 ‐ 135  ‐200    sen    510     sen    v 540     sen 60 2 135  ‐200    cos    510     cos    540     cos 60 de donde se calculan vF y 8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 3 , 4

MANUALES UEX 96 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN c) Para θOA = θ2 = 315 o y θAD = θ3 = 99o : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: θ4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: θ8 = 184,43 o ; r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: ω =3 - 4,55 rad/s k ; ω =4 3,86 rad/s k La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes en las ecuaciones : 2πc) Para θOA = θ2 = 315 o y θAD = θ3 = 99o : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: θ4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: θ8 = 184,43 o ; r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: ω =3 - 4,55 rad/s k ; ω =4 3,86 rad/s k La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes en las ecuaciones : c) Para θOA = θ2 = 315 o y θAD = θ3 = 99o : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: θ4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: θ8 = 184,43 o ; r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: ω =3 - 4,55 rad/s k ; ω =4 3,86 rad/s k La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes en las ecuaciones : 92 x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 - 135 -200 sen 510 sen v 540 sen 60 2 135 -200 cos 510 cos 540 cos 60   θ− ω θ= − ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     de donde se calculan vF y ω8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 222 2 2 214 3 5 22222 d r d r d r d r d r dt dt dt dt dt +=++ a a a A C/A C + = ω ω +α +ω ω =α +ω ω 2 22 33 3 33 44 4 44 x x r x r x x r x r x x r ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 390 sen - 390 cos 60 - 450 sen - 450 cos 2 - 135 -200 sen 390 cos - 390 sen 60 450   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = α x x x 2 44 4 4 cos - 450 sen θ ωθ de donde se calculan α3 y α4. Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 7 3 6 8 2 2 222 d r d r' d r d r d r dt dt dt dt dt + =++ - A D/A F D/F D a a a a a + =+ = ω ω +α +ω ω = +α +ω ω 2 22 3 3 3 3 3 F 88 8 88 x x r x r' x x r' a x r x x ( ) ( ) ( r ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x 2 2 2 3 3 33 2 F 8 8 88 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 510 sen - 510 cos 60 a - 540 sen - 540 cos 2 - 135 -200 sen 510 cos - 510 sen 60 540   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = x x x x 2 88 8 8 cos - 540 sen αθ ωθ que permiten calcular aF y α8. 92 x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 - 135 -200 sen 510 sen v 540 sen 60 2 135 -200 cos 510 cos 540 cos 60   θ− ω θ= − ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     de donde se calculan vF y ω8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 222 2 2 214 3 5 22222 d r d r d r d r d r dt dt dt dt dt +=++ a a a A C/A C + = ω ω +α +ω ω =α +ω ω 2 22 33 3 33 44 4 44 x x r x r x x r x r x x r ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 390 sen - 390 cos 60 - 450 sen - 450 cos 2 - 135 -200 sen 390 cos - 390 sen 60 450   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = α x x x 2 44 4 4 cos - 450 sen θ ωθ de donde se calculan α3 y α4. Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 7 3 6 8 2 2 222 d r d r' d r d r d r dt dt dt dt dt + =++ - A D/A F D/F D a a a a a + =+ = ω ω +α +ω ω = +α +ω ω 2 22 3 3 3 3 3 F 88 8 88 x x r x r' x x r' a x r x x ( ) ( ) ( r ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x 2 2 2 3 3 33 2 F 8 8 88 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 510 sen - 510 cos 60 a - 540 sen - 540 cos 2 - 135 -200 sen 510 cos - 510 sen 60 540   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = x x x x 2 88 8 8 cos - 540 sen αθ ωθ que permiten calcular aF y α8. 92 x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3F 8 8 2 33 88 - 135 -200 sen 510 sen v 540 sen 60 2 135 -200 cos 510 cos 540 cos 60   θ− ω θ= − ω θ       π θ+ ω θ= ω θ     de donde se calculan vF y ω8. ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 222 2 2 214 3 5 22222 d r d r d r d r d r dt dt dt dt dt +=++ a a a A C/A C + = ω ω +α +ω ω =α +ω ω 2 22 33 3 33 44 4 44 x x r x r x x r x r x x r ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 390 sen - 390 cos 60 - 450 sen - 450 cos 2 - 135 -200 sen 390 cos - 390 sen 60 450   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = α x x x 2 44 4 4 cos - 450 sen θ ωθ de donde se calculan α3 y α4. Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 7 3 6 8 2 2 222 d r d r' d r d r d r dt dt dt dt dt + =++ - A D/A F D/F D a a a a a + =+ = ω ω +α +ω ω = +α +ω ω 2 22 3 3 3 3 3 F 88 8 88 x x r x r' x x r' a x r x x ( ) ( ) ( r ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x xxx x x x x x x x x x xxx x x x x 2 2 2 3 3 33 2 F 8 8 88 2 2 2 33 3 3 2 - 135 -200 cos - 510 sen - 510 cos 60 a - 540 sen - 540 cos 2 - 135 -200 sen 510 cos - 510 sen 60 540   π   θ α θ ω θ=   = α θ ωθ   π   θ+ α θ ω θ=   = x x x x 2 88 8 8 cos - 540 sen αθ ωθ que permiten calcular aF y α8. 92 222 2 2 21 4 3 5 22 22 2 d r d r d r d r d r             dt dt dt dt dt          A C/A C a a a            2 22 33 3 33 44 4 44 x    x r     x r     x    x r     x r     x    x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:                           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 2 33 3 3 2 ‐ 135   ‐200   cos  ‐ 390     sen  ‐ 390     cos 60 ‐ 450     sen  ‐ 450     cos 2 ‐ 135   ‐200   sen    390     cos  ‐ 390     sen 60 450    x x x 2 44 4 4    cos  ‐ 450     sen    de donde se calculan 3 y 4. Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 7 3 6 8 2 2 222 d r d r' d r d r d r             dt dt dt dt dt        ‐ A D/A F D/F D a a    a a    a           2 22 3 3 3 3 3 F 88 8 88 x    x r     x r'     x    x r' a     x r     x    x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 F 8 8 88 2 2 2 33 3 3 2 ‐ 135   ‐200   cos  ‐ 510     sen  ‐ 510     cos 60 a  ‐ 540     sen  ‐ 540     cos 2 ‐ 135   ‐200   sen    510     cos  ‐ 510     sen 60 540 x x x x 2 88 8 8       cos  ‐ 540     sen que permiten calcular aF y 8. c) Para OA = 2 = 315 o y  AD = 3 = 99o : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: 4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: 8 = 184,43 o    ;    r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: 3 ‐ 4,55 rad/s   k       ;       4 3,86 rad/s   k 92 222 2 2 21 4 3 5 22 22 2 d r d r d r d r d r             dt dt dt dt dt          A C/A C a a a            2 22 33 3 33 44 4 44 x    x r     x r     x    x r     x r     x    x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:                           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 4 4 44 2 2 2 33 3 3 2 ‐ 135   ‐200   cos  ‐ 390     sen  ‐ 390     cos 60 ‐ 450     sen  ‐ 450     cos 2 ‐ 135   ‐200   sen    390     cos  ‐ 390     sen 60 450    x x x 2 44 4 4    cos  ‐ 450     sen    de donde se calculan 3 y 4. Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 7 3 6 8 2 2 222 d r d r' d r d r d r             dt dt dt dt dt        ‐ A D/A F D/F D a a    a a    a           2 22 3 3 3 3 3 F 88 8 88 x    x r     x r'     x    x r' a     x r     x    x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:           x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 3 3 33 2 F 8 8 88 2 2 2 33 3 3 2 ‐ 135   ‐200   cos  ‐ 510     sen  ‐ 510     cos 60 a  ‐ 540     sen  ‐ 540     cos 2 ‐ 135   ‐200   sen    510     cos  ‐ 510     sen 60 540 x x x x 2 88 8 8       cos  ‐ 540     sen que permiten calcular aF y 8. c) Para OA = 2 = 315 o y  AD = 3 = 99o : POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: 4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: 8 = 184,43 o    ;    r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: 3 ‐ 4,55 rad/s   k       ;       4 3,86 rad/s   k

MANUALES UEX 97 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 93 POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: θ4 = 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: θ8 = 184,43 o ; r6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: ω =3 - 4,55 rad/s k ; ω =4 3,86 rad/s k La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes en las ecuaciones : x x x x x x x x Ax 2 Ay 2 2 v - 135 -200 sen 60 2 v 135 -200 cos 60   π = θ       π = θ     o bien desarrollarse vectorialmente a través de la expresión: ( ) x xxx A 22 2 v x r -200 k x 135 cos315 i + 135 sen315 j - 1999,3 i-1999,3 j 60   π =ω = =     (mm/s) Análogamente, la velocidad absoluta de C se puede obtener identificando los términos en las ecuaciones : =− ω θ = ωθ x x x x Cx 4 4 Cy 4 4 v 450 sen v 450 cos o bien desarrollarse vectorialmente empleando la expresión: v x r 3,86 k x 450 cos171,9 i + 450 sen C 44 =ω = ( x x 171,9 j - 244,75 i-1719,67 j ) = (mm/s) d) Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: F v = 163,764 mm/s i ; ω =8 3,036 rad/s k Para calcular la velocidad absoluta de D se puede emplear el sistema : x x x x Dx F 8 8 Dx 8 8 v v 540 sen v 540 cos =− ω θ = ωθ o bien desarrollar la expresión vectorial: v v v D F D/F = + v v x r 163,764 i + 3,036 k x 540 co D F 88 = +ω = ( x x s184,43 i + 540 sen184,43 j) D v 294,53 i-1634,22 j = (mm/s) 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con centro en A. Si la velocidad angular de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y ensentidohorariodeterminar:

MANUALES UEX 98 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: 132 r r r + = Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ θ θ θ x x x x 33 2 33 2 r cos 0,6 cos 0,8 r sen 0,6 sen = + = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: dr 1 2 dr 3 dr dt dt dt + = P/B P/A P v v v = = 3 3 desl.P/B 2 2 ω + =ω x r v x r r3 , θ3 POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: 132 r r r + = Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ θ θ θ x x x x 33 2 33 2 r cos 0,6 cos 0,8 r sen 0,6 sen = + = VELOCIDAD Derivandolaecuaciónvectorialdelpolígonoseobtiene:r3 , θ3 94 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con centro en A. Si la velocidad angular de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y en sentido horario, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) velocidad y aceleración de la rueda de salida para la posición en la que AP forma 100o con el sentido positivo del eje horizontal que pasa por A. Datos: AP = 60 cm. Solución a) m = 3 x (3-1) – 2 x 2 - 1 = 1 b) Se toma el polígono vectorial cerrado representado en la figura: A P 80 cm B ω A r1 r2 r3 θ2 P B θ3 94 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con centro en A. Si la velocidad angular de dicha rueda es = 20 rpm, constante y en sentido horario, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) velocidad y aceleración de la rueda de salida para la posición en la que AP forma 100o con el sentido positivo del eje horizontal que pasa por A. Datos: AP = 60 cm.   Solución a) m = 3 x (3‐1) – 2 x 2 ‐ 1 = 1   b) Se toma el polígono vectorial cerrado representado en la figura:                                                                                                                                                                                                                                                POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es:   13 2 r     r    r A P 80 cm B A r1 r2 r3 2 P B 3

MANUALES UEX 99 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 95 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ θ θ θ x x x x 33 2 33 2 r cos 0,6 cos 0,8 r sen 0,6 sen = + = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: dr 1 2 dr 3 dr dt dt dt + = P/B P/A P v v v = = 3 3 desl.P/B 2 2 ω + =ω x r v x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 desl.P/B 3 2 3 3 3 desl.P/B 3 2 2 - r sen v cos - 0,6 -20 sen 60 2 r cos v sen 0,6 -20 cos 60   π ω θ+ θ=   θ     π ω θ+ θ=   θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del polígono se deduce: 2 2 2 1 2 3 222 d r d r d r dt dt dt + = P/B P/A P a a a = = ω ω + α + + ω =ω ω 3 3 3 3 3 desl.P/B 3 desl.P/B 2 2 2 x x r x r a 2 . x v x x r ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: r3 , θ3 vdesl.P/B , ω3 95 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ θ θ θ x x x x 33 2 33 2 r cos 0,6 cos 0,8 r sen 0,6 sen = + = VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: dr 1 2 dr 3 dr dt dt dt + = P/B P/A P v v v = = 3 3 desl.P/B 2 2 ω + =ω x r v x r Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 desl.P/B 3 2 3 3 3 desl.P/B 3 2 2 - r sen v cos - 0,6 -20 sen 60 2 r cos v sen 0,6 -20 cos 60   π ω θ+ θ=   θ     π ω θ+ θ=   θ   ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del polígono se deduce: 2 2 2 1 2 3 222 d r d r d r dt dt dt + = P/B P/A P a a a = = ω ω + α + + ω =ω ω 3 3 3 3 3 desl.P/B 3 desl.P/B 2 2 2 x x r x r a 2 . x v x x r ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: r3 , θ3 vdesl.P/B , ω3 x x x x x 2 x x x x x x x x x x x x x 2 3 3 3 3 3 3 desl.P/B 3 desl.P/B 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 desl.P/B 3 desl.P/B x - r cos - r sen a cos - 2 - 2 v sen - 0,6 -20 cos 60 - r sen r cos a sen 2 v ω θ α θ+ θ   π ω θ=   θ   ω θ+ α θ+ θ+ + 2 x x x x x 3 3 2 2 cos - 0,6 -20 sen 60   π ω θ=   θ   Para la posición correspondiente a θ2 = 100 o la solución de las ecuaciones es: θ3 = 243,52 o ; r3 = 23,36 cm A través de las ecuaciones se calculan los valores: ω3 = 4,325 rad/s k ; v desl P/B = 0,747 m/s De las ecuaciones se deducen los valores: α3 = 34,353 rad/s2 k ; a desl P/B = 6,484 m/s2 4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O1B gira con una velocidad angular constante en sentido antihorario ω = 0,8 rad/s, determinar: )dd63,52º 63,52º adesl.P/B , α3 B A

MANUALES UEX 100 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O1 B gira con una velocidad angular constante en sentido antihorario ω = 0,8 rad/s, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) velocidad de llenado del cilindro cuando O1 B forma 0°, 30°, 60° y 90° con la horizontal. 96 aaaposcócoespodeteaθ2 00asoucódeasecuacoeses:θ3 = 243,52 o ; r3 = 23,36 cm A través de las ecuaciones se calculan los valores: ω3 = 4,325 rad/s k ; v desl P/B = 0,747 m/s De las ecuaciones se deducen los valores: α3 = 34,353 rad/s2 k ; a desl P/B = 6,484 m/s2 4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O1B gira con una velocidad angular constante en sentido antihorario ω = 0,8 rad/s, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) velocidad de llenado del cilindro cuando O1B forma 0°, 30°, 60° y 90° con la horizontal. Datos: O1A = 1,5 m; O1O2(x) = 1 m; O1O2 (y) = 0,5 m; AB = 0,5 m. Solución a) m = 3 x (4-1) – 2 x 4 – 0 = 1 b) Se considera el polígono vectorial cerrado representado en la figura: 63,52º 63,52º O1 B A O2 ω Datos: O1 A = 1,5 m; O1 O2(x) = 1 m; O1 O2 (y) = 0,5 m; AB = 0,5 m. Solución a) m = 3 x (4-1) – 2 x 4 – 0 = 1 b) Se considera el polígono vectorial cerrado representado en la figura: POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: r1 + r2 = r3 + r4 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ2 θ4 r3 r1 r2 O1 A O2 r4