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Departamento de Métodos Cuantitativos ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Guía de trabajos prácticos

Departamento de Métodos Cuantitativos 2 Trabajo Práctico 1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1) Para las siguientes situaciones identifique la o las variables estudiadas, indicando tipo de variable, valores posibles (dominio), unidades, individuo, si se trata de una muestra o de la población y el tamaño. a) Un profesor de Matemática contabiliza la cantidad de alumnos que aprobaron la materia por curso, en cada uno de los 7 cursos que dictó en el último cuatrimestre. Los cursos poseen a lo sumo 50 alumnos. b) Se miden los consumos mensuales efectuados con tarjeta de crédito por 100 personas. c) En una encuesta política se indaga a 500 individuos sobre el candidato al que votarían en las próximas elecciones. Además se registra el género y el nivel socioeconómico de los encuestados. d) Una empresa decide lanzar al mercado una nueva gaseosa diet, pero previamente decide determinar el nivel de aceptación del nuevo producto. Con tal fin, un grupo de 50 panelistas efectúan una degustación del nuevo producto y luego completan la siguiente encuesta: 1- Otorgue un puntaje de 0 a 10 al sabor de la gaseosa que probó 2- ¿Con qué frecuencia compraría la gaseosa en caso de que se lance al mercado? No la compraría nunca La compraría ocasionalmente La compraría frecuentemente Respuestas: a) Cantidad de alumnos que aprobaron la materia en cada curso. Cuantitativa Discreta. [Alumnos]. Individuo=Curso (N=7) b) Consumos mensuales de tarjeta de crédito por persona. Cuantitativa Continua. $/persona. Individuo=Persona Muestra. (n=100) c) 1. Candidato que va a votar. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). 2. Género. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). 3. Nivel Socioeconómico. Cualitativa Ordinal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). d) 1. Nivel de agrado con el sabor. Cualitativa ordinal. Individuo=panelista. Muestra (n=50). 2. Intención de compra. Cualitativa Ordinal. Individuo=panelista. Muestra (n=50). 2) Se ha relevado la edad de un grupo de 15 lectores de una revista infantil. 8-9-7-8-9-10-12-11-8-9-7-6-8-9-9 Calcular la media, mediana, moda y dispersión de la variable. Respuestas: Me=9 años; Mo=9 años; Media=8.66 años S=1.54 años 3) La Consultora RH de recursos humanos se halla analizando el número de despidos que efectuó la empresa SAX SRL en los últimos doce meses y recopiló los siguientes datos 18-15-14-23-20-18-17-18-16-20-18-15 a) Calcular el promedio de despidos, el desvío y la mediana. b) Analizar si los datos son homogéneos. Respuestas: a) Me = 18 despidos; media =17.67 despidos; S =2.53 despidos b) Si. 4) En 30 comercios del mismo ramo, se averiguó el total de unidades vendidas del producto P durante la última semana, obteniéndoselas siguientes cantidades: 6 6 4 5 9 7 6 8 3 4 5 5 7 4 9 8 8 5 6 9

Departamento de Métodos Cuantitativos 3 Nro. de personas Puesto Salario (en US$) 1 Propietario/ presidente 225.000 1 Vice Presidente 75000 2 Ceo 50000 1 Asesor legal y contable 28500 3 Directores 25000 4 Gerentes 18500 1 Supervisores 15000 12 Obreros 10000 9 8 8 7 6 6 6 7 5 3 a) Definir la población y el tamaño de la muestra. b) Definir la variable en estudio, el tipo y campo de variación o dominio. c) Ordenar los datos mediante una tabla de frecuencias. d) Elegir la quinta fila de la tabla y analizar el significado de cada una de las frecuencias y expresarlo en lenguaje coloquial. Respuestas: a) Todos los comercios; n = 30 b) Total de unidades vendidas. Variable cuantitativa, discreta. 5) Esta tabla muestra el salario anual promedio que recibe cada puesto de trabajo en una empresa y cuántas personas reciben el mismo de acuerdo a su categoría. Calcule el promedio. ¿Es representativo? ¿Lo reemplazaría por otro estadístico? ¿Cuál? Justifique sus respuestas. Respuestas: US$28500; No (CV 151%); Me=US$15000, Mo= US$10000 6) Se efectuó una encuesta en una localidad y se registró la cantidad de aparatos de TV por hogar. Para ello se eligieron 200 hogares al azar. En base a los resultados obtenidos complete el informe. La variable en estudio es …………………………………………………….. y es de tipo …………………………..…. porque ………………..………………… Estos datos consisten en una ………………….. (muestra/población) porque .…………………………………………………. El promedio vale ……… y significa ………………………………… …………………………………. El coeficiente de variación vale ……… y significa …………………………………. …………………………………. Se observa que el ……% de los hogares tiene TV, y de los que poseen algún aparato, el ……% tiene 3 o más. Respuesta: La variable en estudio es cantidad de aparatos de tv por hogar y es de tipo cuantitativa discreta porque no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Estos datos consisten en una muestra (muestra/población) porque no incluye a todos los hogares de la población El promedio vale 2.14 televisores y significa que por hogar hay en promedio 2,14 televisores El coeficiente de variación vale 44% y significa que el promedio no es representativo del conjunto de datos (el desvío estándar es el 44% de la media). Se observa que el 96 % de los hogares tiene TV, y de los que poseen algún aparato, el 33,85 % tiene 3 o más. 7) a) Dibuje dos histogramas que posean la misma forma y centro, pero que el primero posea mayor desvío estándar que el segundo. b) En una Universidad se tienen 2 cursos A y B. En ambos se efectuó un examen a fin de evaluar el nivel de conocimiento previo de los alumnos en determinada materia. Según los histogramas disponibles, usted diría… Cantidad de televisores Cantidad de hogares 0 8 1 37 2 90 3 49 4 16

Departamento de Métodos Cuantitativos 4 A B 1- en el curso A hay mayor cantidad de alumnos con menos conocimiento 2- el puntaje más común es menor en el curso B 3- la frecuencia relativa de los puntajes más altos es mayor en el curso A 4- en la curso A los alumnos están en promedio más preparados 5- ninguna de las anteriores 45 45 40 40 35 35 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0 c) Para las siguientes distribuciones de frecuencias: 1- Sin efectuar cálculos, ordénelas en orden creciente según su media, mediana, modo y desvío estándar. Clasifíquelas según su asimetría. 2- Repita el ejercicio anterior, pero calculando los estadísticos. Respuestas: b) 1) Si; 2) No; 3) No; 4) No c) 1) según su media E-ABC-D-F, mediana E-ABC-D-F, modo E-AB-F-D y desvío estándar FA-B-DE-C. Según su asimetría s/s/s/-/+/s. 8) Se midieron los tiempos de espera, en minutos, de algunos clientes en el Banco Río, sucursal Pompeya (donde hay tres cajas pero todos los clientes forman una sola fila) y en el Banco Galicia (donde los clientes esperan en filas individuales en tres cajas): Banco Río 6.5 - 6.6 - 6.7 - 6.8 - 7.1 - 7.3 - 7.4 - 7.7 - 7.7 - 7.7 Banco Galicia 4.2 -5.4 - 5.8 - 6.2 - 6.7 - 7.7 - 7.7 - 8.5 - 9.3 - 10.0

Departamento de Métodos Cuantitativos 5 Banco Río Banco Galicia Promedio 7.15 minutos 7.15 minutos Varianza 0.2272222 minutos² 3.318333 minutos ² Desvío 0.47667832 minutos 1.821629 minutos CV 6.666829% 25.47733% Mediana 7.2 minutos 7.2 minutos Mo 7.7 minutos 7.7 minutos Calcule los estadísticos de tendencia central y de dispersión y compare. ¿De cuál Banco preferiría ser cliente en función a esta información? Respuestas: 9) En una boletería del subte se ha registrado la cantidad de viajes adquiridos por los últimos 8 clientes obteniéndose: 5 - 1 - 10 - 5 - 3 - 1 - 5 - 2 a) Calcular modo, mediana y promedio. b) Calcular variancia, desvío estándar y coeficiente de variación. c) ¿Qué porcentaje de los clientes adquirió: 1) como mínimo 3 viajes? 2) más de 5 viajes? 3) como máximo 2 viajes? 4) menos de 2 viajes? Respuestas: a) Modo =5 viajes Mediana = 4 viajes Promedio = 4 viajes b) Variancia = 8,86 viajes² Desvio= 2,976 viajes CV=74,4% c.1) 62,5% c.2) 12,5% c.3) 37,5% c.4) 25% 10) Los siguientes datos corresponden a la cantidad de menores de edad que integran el grupo familiar en una muestra de 40 familias: Menores 0 1 2 3 4 5 6 8 Familias 1 4 9 8 7 6 4 1 a) Calcular modo y mediana. b) Calcular el promedio de menores por familia. ¿Es representativo? ¿Por qué? c) ¿En qué porcentaje de las familias hay: 1) 3 menores de edad? 2) entre 1 y 4 menores de edad? 3) a lo sumo 2 menores de edad? 4) al menos 5 menores de edad? Respuestas: a) Modo = 2 menores Mediana = 3 menores b) Promedio = 3,4 menores (No es representativo porque CV = 51,51%) c.1) 20% c.2) 70% c.3) 35% c.4) 27,5% 11) En la siguiente tabla se muestra la distribución del peso en gramos de una partida de 200 paquetes de pastillas: Peso en gramos Cantidad de paquetes 30 – 32 28 32 – 34 36 34 – 36 43 36 – 38 51 38 – 40 27

Departamento de Métodos Cuantitativos 6 40 – 42 11 42 – 44 4 a) Calcular modo y mediana. b) Determinar si los datos anteriores son homogéneos. c) ¿Cuál es el peso no superado por el 20% de los paquetes? d) ¿Cuál es el peso sólo superado por el 10% de los paquetes? e) ¿Qué porcentaje de los paquetes pesa: 1) hasta 40 gramos? 2) por lo menos 34 gramos? 3) como máximo 38,15 gramos? 4) como mínimo 33,50 gramos? Respuestas: a) Modo = 36,50 grs Mediana = 35,674 grs b) Si. C. V. = 8,45% c) 32,6667 gramos d) 39,6296 gramos e.1) 92,5% e.2) 68% e.3) 80% e.4) 72,5% 12) A Leopoldo le piden que calcule la tasa global de fecundidad promedio en ciudad de Buenos Aires - provincia de Buenos Aires. Basándose en la siguiente información obtuvo un valor de 2,15 hijos por mujer. ¿Está de acuerdo con dicho valor? Justifique su respuesta. Provincia Total de habitantes Tasa global de fecundidad (hijos por mujer) Ciudad de Buenos Aires Buenos Aires 2.776.138 13.827.203 1.8 2.5 Fuente: INDEC, Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2001 Respuestas: 2.38 hijos por mujer (Promedio Ponderado) 13) Se desea evaluar cuánto tiempo tarda un atleta en realizar una prueba en los juegos olímpicos. Se sabe por olimpíadas anteriores que la duración de la misma prueba para un grupo de 50 individuos fue la siguiente: X (minutos) Atletas 10-15 8 15-20 21 20-25 10 25-30 7 30-35 4 a) ¿Los datos son homogéneos? Justificarla respuesta. Indicar el tipo de asimetría. b) ¿Cuánto tiempo tarda el competidor más rápido del 15% de los competidores más lentos? c) Sabemos que hay 10 medallas para ser entregadas a los competidores más veloces, indicar cuál será el tiempo máximo que deberá tardar un competidor parta recibir una de ellas. Respuestas: a) Media = 20.3 minutos Desvío = 5.8169 minutos CV = 28.65% b) 27.5 minutos c) 15.48 minutos 14) Una empresa dedicada al transporte de mercadería fue consultada acerca de los kilómetros recorridos por la totalidad de sus camiones y proporcionó la siguiente información: kilómetros recorridos cantidad de camiones 600 - 800 6 800 - 1000 8 1000 - 1200 5 1200 - 1400 3 1400 - 1600 2

Departamento de Métodos Cuantitativos 7 1600 - 1800 1 a) Determinar el promedio y desvío de kilómetros recorridos. ¿Podría concluirse que la media aritmética es representativa? b) ¿Cuál es el porcentaje de camiones que recorren más de 1200 km? c) ¿Cuál es la cantidad de kilómetros recorridos superado por el 10 % de los camiones? Interpretar. d) ¿Cuántos camiones recorren a lo sumo 1080 km? e) ¿Cuál es la cantidad de kilómetros no superado por el 40 % de los camiones? Respuestas: a) 1020 km ; 277,13 km. . No b) 24% c) 1450 km. d) 16 camiones e) 900 km. 15) Una entidad bancaria decide aumentar el monto mínimo de sus imposiciones a plazo fijo. La siguiente tabla expone los montos de depósitos correspondientes al mes anterior. Monto de las inversiones en US$ 2000-4000 4000-6000 6000-8000 8000-10000 10000-12000 Cantidad de inversores 7 11 13 7 4 La política de la entidad financiera es actualizar el monto mínimo mensualmente, en función de las operaciones registradas en el mes anterior, llevándolo al monto que desprecie el 25% de los plazos fijos menores del mes anterior. Por otra parte, existe la posibilidad de pagar un punto adicional a aquellos cinco clientes que hayan efectuado las operaciones de mayor importe. Determine: a) El nuevo monto mínimo. b) El valor del certificado a partir del cual se podría pagar un punto adicional de interés en caso de que la operación sea renovada a su vencimiento. c) La homogeneidad de la distribución. d) El valor del certificado a partir del cual se encuentran el 50% de los montos invertidos. e) El monto invertido con mayor habitualidad. f) El monto invertido que es superado por el 36% de los inversores. g) La asimetría de la distribución. Respuestas: a) 4636.36 US$ b) 9714.29 US$ c) Distribución heterogénea d) 6461.54 US$ e) 6500 US$ f) 7366.15 US$ g) Prácticamente simétrica

Departamento de Métodos Cuantitativos 8 M Ejemplo 1 Algunos ejemplos Los siguientes datos corresponden a la distribución de frecuencias del peso de caramelos (en gramos): Peso de los caramelos 2,35-3,45 3,45-4,55 4,55-5,65 5,65-6,75 6,75-7,85 Cantidad de caramelos 5 14 25 10 6 a) Definir la variable b) Construir la tabla de frecuencias c) Calcular el peso medio y la varianza d) Calcular el modo y la mediana e) Grafique las frecuencias absolutas simples y las frecuencias acumuladas f) Veamos las diversas formas de preguntar acerca del cálculo de un fractil: ¿Cuál es el peso superado por el 70% de los caramelos? ¿Cuál es el peso no superado por el 30% de los caramelos? ¿Cuál es el peso máximo del 30% de los caramelos? ¿Cuál es el peso mínimo del 70% de los caramelos? Resolución a) La variable es: Peso de los caramelos; se trata de una variable cuantitativa continua b) Intervalos Marca de Clase Frecuencias absolutas Frecuencias Relativas Frecuencias acumuladas 2,35-3,45 3,45-4,55 4,55-5,65 5,65-6,75 6,75-7,85 2,9 4 5,1 6,2 7,3 5 14 25 10 6 0,083 0,233 0,416 0,166 0,100 5 19 44 54 60 Totales 60 1 c) x = (2,9*5 + 4*14 + 5,1*25 + 6,2*10 + 7,3*6)/60 = 5,0633 gramos (2,9²*5 + 4²*14 + 5,1²*25 + 6,2²*10 + 7,3²*6) - 60(5,0633)² s ² = = 1.3936 gramos ² 59 d) o 4 ,55 11 11 15 1 .1 5,015 gramos . M e 4,55 60 19 2 44 19 1,1 5,034 gramos e)

Departamento de Métodos Cuantitativos 9 f) P 0 .3 3 . 45 60 0 .3 5 1 .1 14 4 .47 gramos g) F(4.7) 19 4.7 4.55 * 25 22.41 22caramelos 1.1 Porcentaje de caramelos: 22/60*100=36.67% Ejemplo 2 En una prueba de aptitudes realizada a los postulantes para un puesto en una importante empresa se observaron los siguientes puntajes, donde 1 representa aquellos que han obtenido un excelente desempeño y 4 un muy mal desempeño: Xi f i Fi fr i Fr i 1 2 3 4 10 20 30 40 10 30 60 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.10 0.30 0.60 1.00 a) Indicar las medidas de tendencia central y la varianza b) Graficar la distribución de los datos. En este caso los cálculos son más fáciles, debido a que la información no está presentada por intervalos como en el ejemplo anterior. Me = 3 Mo = 4 x = 3 s² = 1.01 Obsérvese que el modo se puede calcular directamente a partir del gráfico: 50 45 40 35 30 25 fi 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 X Recuerde que en el eje de las y queda representada la frecuencia simple, que en este caso es: cantidad de postulantes y en el eje de las x, la variable en estudio, que en este caso es: puntaje obtenido.

Departamento de Métodos Cuantitativos 12 Trabajo Práctico 2 PROBABILIDADES 1) Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver qué número sale en la cara superior. a) Esquematizar el espacio muestral b) Calcular la probabilidad de: I) obtener un cuatro. II) obtener un número par. III) obtener un múltiplo de 3. Respuestas: a) { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } b) 0,166 ; 0,5 ; 0,33 2) En una empresa trabajan 80 personas. 30 son mujeres y 45 personas residen en zona Norte. Además hay 13 personas que son mujeres y residen en la zona Norte. Calcular la probabilidad de que si se selecciona una persona al azar: a) sea mujer o viva en la zona Norte b) si vive en la zona Norte que sea varón. Respuestas: a) 0,775 b) 0,71 3) Para promocionar una nueva vacuna contra la hepatitis B, un laboratorio realiza una encuesta entre 40 mujeres de más de 40 años y 50 hombres de la misma edad, que se habían vacunado con la vacuna de laboratorio. Encontraron que entre los hombres vacunados el 2% había contraído la enfermedad, mientras que entre las mujeres vacunadas solo 16 habían contraído la enfermedad. Se elige una persona al azar que está vacunada, cuál es la probabilidad: a) De que se trate de un hombre enfermo. b) Que sea mujer o esté enferma. c) Si está enferma, que sea mujer. d) Demostrar si los sucesos son estadísticamente independientes. e) Si se toman dos personas al azar, cuál es la probabilidad de que sean del mismo sexo. Respuestas: a) 0,0111 b) 0,455 c) 0,941 d) No e) 0,5006 4) En una zona rural el 3 % de los habitantes contrae una enfermedad, que se detecta con un análisis el cual da positivo en el 90% de las personas enfermas y en el 8% de las sanas. Si se le practica el análisis a una persona, cuál es la probabilidad de que: a) esté enfermo y el análisis sea positivo b) esté sano o el análisis le haya dado negativo c) resulte positivo cuando está enferma realmente d) que esté enferma o que el resultado sea negativo Respuestas: a) 0,027 b) 0,973 c) 0,9 d) 0,9224 5) El 70 % de las amas de casa de una ciudad realizan sus compras en supermercados y el 15% en almacenes. Hay un 3 % que compra en supermercados y almacenes. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ama de casa que compre sólo en supermercados? b) Al elegir un ama de casa que compra en supermercados, ¿cuál es la probabilidad de que compre también en almacenes? c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ama de casa que no compre en ninguno de los dos lugares? Respuestas: a) 0,67 b) 0,043 c) 0,18

Departamento de Métodos Cuantitativos 13 6) Dados dos sucesos aleatorios incompatibles A y B determinar la P (B) sabiendo que la P ( A) = 0,52 y que la probabilidad de que no se presente ninguno de los dos es 0,17. Justificar claramente la respuesta. Respuestas: 0.31. 7) Dados dos sucesos aleatorios compatibles A y B determinar la P (No A) sabiendo que la P (No B/ NoA) = 0,48 y que la probabilidad de que se presente alguno de los dos es 0,75. Justificar claramente la respuesta. Respuestas: 0.5208 8) Sabiendo que C, D y E son sucesos exhaustivos y que la probabilidad de C es el triple que la de D y esta a su vez en el doble de la probabilidad de E. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos. Respuestas: 2/3; 2/9; 1/9 9) Sabiendo que los sucesos A y B son independientes y que: P(A)=h, P (A U B)=0,6 y que la P(B)=0.2. Se pide calcular el valor de h. Respuesta: 0.5 10) A un grupo de 300 personas que padecían una enfermedad viral que todavía no tenía un tratamiento específico, se le suministraron tres tipos de vacunas y se analizó la inmunización a dicho virus: Vacuna I Vacuna II Vacuna III Totales Inmunizó 30 70 50 150 No inmunizó 60 70 20 150 Totales 90 140 70 300 a) ¿Qué porcentaje de los individuos no fueron inmunizados con la vacuna II? b) De los individuos no inmunizados ¿Qué porcentaje fue vacunado con la II? c) ¿Cuál de las tres vacunas fue más efectiva? d) Si se seleccionan tres individuos vacunados al azar ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos inmunicen y el restante no? Respuestas: a) 23.33% b) 46.67% c) La vacuna III d) 0.3763 11) El 60% de los individuos que concurren a una universidad estudia carreras correspondientes a la facultad de ciencias económicas. De estos el 70% trabaja en áreas relacionadas con la administración. Además, se sabe que el 75% de los individuos estudia ciencias económicas o se desempeña en el área de la administración. Si se selecciona un individuo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie una carrera de la facultad de económicas y trabaje en el área de administración? b) De los individuos que trabajan en el área de administración, ¿qué porcentaje decidió estudiar una carrera de la facultad de ciencias económicas? Respuestas: a) 0.15 b) 73,68% 12) De una bolsa que contiene caramelos frutales de distintos sabores, un niño retira dos caramelos. Sabiendo que en la bolsa había 9 caramelos de naranja, 12 de ananá y 4 de frambuesa, calcular la probabilidad de que los caramelos extraídos: a) Sean uno de ananá y el otro de frambuesa. b) Sean los dos del mismo sabor. c) Al menos uno de los dos tenga sabor a naranja. Respuestas: a) 0,16 b) 0,36 c) 0,60

Departamento de Métodos Cuantitativos 14 13) Se poseen dos bolsas, que se encuentran cerradas y no han quedado identificadas pero se sabe que una posee 6 alfajores de chocolate blanco y 8 de chocolate negro y la otra, 7 alfajores de frutas y 5 de chocolate negro. Si se selecciona un alfajor al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que el alfajor extraído sea de chocolate negro? b) Si el alfajor extraído resultó ser de chocolate negro, ¿cuál es la probabilidad de que la bolsa seleccionada sea la bolsa 1 ( la que contiene también alfajores de chocolate blanco)? Respuestas: a) 0.494 b) 0.5784 14) Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta población, estos muestran la escolaridad de los padres y la de sus hijos. Hijos Fue a la Universidad No fue a la Universidad. Total Padres Fue a la Universidad 18 7 25 No fue a la Universidad. 22 33 55 Total 40 40 80 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si el padre asistió? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad si su padre no lo hizo? c) ¿Es estadísticamente independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o no universitario? Explique la respuesta empleando argumentos probabilísticos. d) Si se seleccionan 3 padres al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido universitarios? Respuestas: a) 0.72 b) 0.4 c) No d) 0.028 15) Se conoce por estudios recientes que la probabilidad de aprobar Estadística I en UADE es de 0.7. Si se seleccionan al azar 4 alumnos, cuál es la probabilidad de que 2 de ellos aprueben Estadística I y los restantes no Respuestas: 0.2646 16) A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B 0,3. Dispara primero A y si no acierta, se arroja una moneda; si sale cara dispara de nuevo A, de lo contrario dispara B. Si después de esto viven aún A y B, tiene B un último disparo. Calcular las probabilidades de que gane A, gane B y ambos salgan ilesos. Respuestas: 0,28; 0,3; 0,42. 17) Un fabricante de aparatos electrónicos compra un cierto microchip, a tres proveedores. Un 30 % de los microcircuitos se compran a Electronic S:A ,un 20 % a Crown y el resto a Componentes CC. El fabricante tiene historiales extensos de los tres proveedores y sabe que el 3 % de los microchip de Electronic son defectuosos en tanto que los de Crown tienen un 5 % de defectuosos y un 4 % de los de Componentes CC son defectuosos. Cuando los microcircuitos llegan al fabricante los coloca en un depósito, y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Calcular la probabilidad de que: a) haya sido fabricado por Crown y sea defectuoso. b) sea defectuoso c) siendo defectuoso, corresponda a la partida enviada por Componentes CC. d) si se extraen dos microcircuitos al azar, ambos sean del mismo proveedor. Respuestas: a) 0.01 b) 0.039 c) 0.5125 d) 0.38 18) En una universidad el 20% de los profesores son titulares y el resto son adjuntos. El 70% de los titulares tiene dedicación exclusiva, mientras que solamente el 15% de los adjuntos la tiene. Calcular:

Departamento de Métodos Cuantitativos 15 a) ¿Qué porcentaje de los profesores no tiene dedicación exclusiva? b) Si se elige un profesor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea titular o tenga dedicación exclusiva? c) ¿Qué porcentaje de los profesores sin dedicación exclusiva son adjuntos? Respuestas: a) 74% b) 0,32 c) 91,89% 19) Supongamos que una empresa manufacturera recibe embarques de partes de 2 proveedores distintos. Actualmente el 65 % de las partes que compra la empresa provienen del proveedor que llamaremos A y el resto del proveedor B. La calidad de las partes varía según su origen. Los niveles históricos de la calidad de los proveedores indican que la probabilidad de que una parte sea considerada mala dado que proviene del proveedor A es del 2 %, mientras que si proviene del proveedor B es del 5 %. a) Determine la probabilidad de que la parte sea buena y provenga de A. b) Calcule la probabilidad de que una parte sea mala. c) Si la parte es considerada mala ¿cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor B? Respuestas: a) 0.637 b) 0.0305 c) 0.5737 20) Una caja tiene bolas y cubos, con el siguiente detalle: 8 bolas rojas, 2 bolas blancas, 10 cubos rojos, 6 cubos blancos Si se extrae un objeto al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea algo rojo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cubo o algo blanco? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cubo rojo? e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una bola, sabiendo que es algo rojo? f) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanco, sabiendo que es un cubo? g) El evento “extraer un cubo” y el evento “extraer algo rojo”, ¿son independientes? Respuestas: a) 0,6923 b) 0,3846 c) 0,6923 d) 0,3846 e) 0,4444 f) 0,375 g) No 21) Sean dos sucesos A y B tales que P (B)=0,40 y P (A) es el doble que la P (B) a) Si A y B son independientes, calcular P(AUB) b) Si A y B no son independientes y P(A/B)=0,60 , calcular P(AUB) Respuestas: a) 0,88 b) 0,96 22) Dados dos sucesos A y B tales que P (AUB)=0,70, P (A)=0,40 y P (B/A)=0,125. Calcular P (B) Respuestas: 0,35

Departamento de Métodos Cuantitativos 16 Algunos ejemplos Ejemplo 1 Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver que número sale en la cara superior. a) Esquematice el espacio muestral b) Calcular la probabilidad de: i) obtener un cuatro. ii) obtener un número par. iii) obtener un múltiplo de 3. Resolución En primer lugar conviene identificar el espacio muestral (S), que en éste caso está determinado por todos los resultados posibles que se pueden obtener al arrojar un dado. Puede salir cualquier número del 1 al 6: S = {1,2,3,4,5,6} y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados (suponiendo que el dado no está cargado) es 1/6 que es el resultado de dividir el número de resultados favorables (1) sobre el número de resultados posibles (6). Entonces: i) la probabilidad de obtener un cuatro es por lo tanto 1/6 ii) la probabilidad de obtener un número par será el número de resultados favorables (los números pares en el dado son: 2,4 y 6), dividido el número de resultados posibles (6). Resulta: 3/6. iii) los múltiplos de 3 en un dado son dos: 3 y 6, entonces la probabilidad pedida en este ítem es 2/6. Ejemplo 2 Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la zona sur de Buenos Aires divididos en 3 categorías y clasificados según tengan o no deudas impositivas: IMPUESTOS CATEGORIAS A B C Al día En mora 7 6 12 9 8 8 Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que: a) esté en mora? b) pertenezca a la categoría A o B? c) pertenezca a la categoría C o esté en mora? d) Suponga que ahora se eligen 3 comercios al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos estén al día con los impuestos? a) 0.5 50 25 P(Mora) b) En este caso los eventos son mutuamente excluyentes porque si el comercio pertenece a la categoría A no puede pertenecer simultáneamente a la B. 0.6 50 30 50 14 50 16 P(A B) P(A) P(B) c) En este caso los eventos no son excluyentes, porque un individuo puede pertenecer a la categoría c y estar en mora simultáneamente. 0.74 50 37 50 8 50 25 50 20 P(C Mora) P(C) P(Mora) P(C Mora)

Departamento de Métodos Cuantitativos 17 d) En este caso las probabilidades que debemos calcular están condicionadas entre sí debido a que, una vez que seleccionamos un comercio queda fuera de nuestras posibles observaciones (sin reposición) ( ) ( )* ( / )* ( / ) P AlDía1 AlDía2 AlDía3 P AlDía1 P AlDía2 AlDía1 P AlDía3 AlDía1 AlDía2 = 0.1173 48 23 * 49 24 * 50 25 Ejemplo 3 Para los siguientes datos: P(A/B)=0.2; P(No A U B) = P(A U No B) = 0.7. Se pide: a) Indicar si A y B son o no sucesos estadísticamente independientes. Justificar la respuesta. b) Calcular la P(A U B). c) Calcular la P (No B / A) Respuestas: a) No son independientes b) 0.675 c) 0.8 Si sabemos que: P(A/B)=0.2; P (No A U B) = P(A U No B) = 0.7 Podemos inferir que P (No A/B)=0.8; P(A y No B) = P (No A y B) = 0.3 Por otra parte si: P (No A/B) = P ( No A y B) / P (B) 0.8 = 0.3 / P (B) Y despejando obtenemos: P (B) = 0.375 Si ubicamos esta información en un diagrama de Venn tendremos: Ejercicio Integrador: Introducción: En la Argentina, al igual que en los países más desarrollados, las enfermedades no transmisibles (enf. cardiovasculares, cáncer y lesiones) (ENT) ya han conquistado el primer lugar como causantes de dolencias y de muerte. Producen en forma casi silenciosa el 50% de todas las muertes y se ha proyectado que para el 2020, las ENT explicarán el 75% de todas las muertes en el mundo. A pesar de este escenario poco alentador, las ENT son prevenibles y se cuenta con evidencia consistente sobre la efectividad de intervenciones tanto de promoción, prevención y tratamiento, que justifican llevar a cabo acciones de política pública. Para poder realizar estas intervenciones se necesita disponer de información relevante relacionada con las principales causas de las ENT. Los principales determinantes de las ENT son los llamados Factores de Riesgo, como el tabaco, el alcohol, la inactividad física, la presión arterial elevada, el colesterol elevado, la diabetes y la alimentación no saludable. Es por ello que el

Departamento de Métodos Cuantitativos 18 Ministerio de Salud de la Nación realizó la primera Encuesta de Factores de Riesgo, que presenta la situación de los principales determinantes del riesgo de enfermedades no transmisibles. Aspectos metodológicos: La encuesta fue domiciliaria. Los resultados que se presentan corresponden la ciudad de Buenos Aires, en donde se encuestaron un total de 2000 habitantes de 18 años y más. Para ello se efectuó un muestreo probabilístico de viviendas y de cada una se seleccionó al azar un individuo, que completó el cuestionario. Resultados: Encuesta Nacional de Factores de Riesgo. Ciudad Autónoma de Buenos Aires Tabla 1: Consumo de tabaco según sexo Sexo Consumo de tabaco Total Total Fumador Ex-fumador encuestados Nunca fumador Varón 34,0 23,5 42,5 100 45,2% Mujer 30,1 21,9 48,0 100 54,8% 100,0% Tabla 2: Consumo de tabaco según edad Edad Consumo de tabaco Total Total Fumador Ex-fumador encuestados Nunca fumador 18 a 25 37,3% 5,9% 56,8% 100% 14,9% 25 a 35 34,3% 18,5% 47,2% 100% 20,9% 35 a 50 34,0% 23,9% 42,1% 100% 23,4% 50 a 65 23,6% 36,6% 39,8% 100% 22,0% 65 a 85 8,1% 30,7% 61,2% 100% 18,8% 100,0% Tabla 3: Consumo de tabaco según ingreso Ingreso Consumo de tabaco Total Total Fumador Ex-fumador encuestados Nunca fumador 0 a 600 $ 26,9% 20,3% 52,8% 100% 16,1% 600 a 1500 $ 34,4% 21,9% 43,8% 100% 41,2% 1500 y más 28,5% 25,6% 46,0% 100% 42,7% 100,0% Tabla 4: Consumo de tabaco según nivel de instrucción Instrucción Consumo de tabaco Total Total Fumador Ex-fumador encuestados Nunca fumador Hasta primario incompleto 21,8% 30,4% 47,8% 100% 4,0% Hasta secundario incompleto 35,3% 23,3% 41,4% 100% 27,7% Secundario completo y más 31,1% 22,2% 46,8% 100% 68,3% 100,0% Tabla 5. No fumadores expuestos al humo ambiental de tabaco Lugar de exposición al humo

Departamento de Métodos Cuantitativos 19 Hogar 41,0% Trabajo 50,4% Lugar de estudio 15,0% Otros lugares 23,0% Evaluación: Debe contestar los siguientes ítems, siguiendo las siguientes pautas: Estadísticos: Exprese el resultado con sus unidades (en caso de que posea) Porcentajes o probabilidades: Exprese el resultado utilizando la notación adecuada. Por ej: P(AyB) donde A y B se adaptarán a cada enunciado 1- Identifique para la Encuesta Nacional de Factores de Riesgo los siguientes ítems: población, muestra, individuo, al menos 5 variables estudiadas y su clasificación 2- Determine si la edad de los fumadores es homogénea, fundamentando su respuesta. 3- Interprete el valor 47.8% de la Tabla 4. 4- Construya la tabla de doble entrada (en porcentajes) para consumo de tabaco x ingresos. Identifique en dicha tabla dos sucesos compatibles y dos incompatibles, justificando su elección. 5- En base a la Tabla 4 determine el porcentaje de individuos fumadores. 6- En base a la tabla 2 calcule la Gr% de 65 para el total de encuestados e interprete el resultado. 7- Calcule la edad promedio de los encuestados y su desvío estándar. Interprete ambos resultados. 8- Si se eligen al azar dos habitantes de la Ciudad de Buenos Aires mayores de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que solo uno tenga secundario completo o más? 9- ¿Es independiente el consumo de tabaco de la edad del individuo? Justifique exponiendo datos de la encuesta. 10- ¿Qué porcentaje de los individuos no fumadores están expuestos a humo ambiental de tabaco en el hogar o en otros lugares que no sean el trabajo o el lugar de estudio? ¿Y qué porcentaje no está expuesto en el lugar de estudio? Indique qué grafico utilizaría para presentar los resultados de la Tabla 5. 11- Calcule el percentil 80 de los ingresos para el total de los encuestados e interprete el resultado. ¿Qué gráfico utilizaría para representar los ingresos? 12- Comente los resultados de la encuesta en la ciudad de Buenos Aires (media carilla). ¿Sobre qué grupos enfocaría una eventual campaña contra el tabaquismo?

Departamento de Métodos Cuantitativos 20 Trabajo Práctico 3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variables aleatorias discretas 1) El número de errores por hora que comete un administrativo en cierto trabajo es una variable aleatoria que tiene la siguiente distribución Cantidad de errores: 0 1 2 3 P (r) 0,4 0,3 0,2 0,1 a) Calcule el número medio de errores b) Determine la probabilidad de que se cometa como mínimo un error. Respuestas: a) E ( r ) = 1error b) 0,6 2) Un experimento consiste en tirar dos dados y anotar las sumas de las caras superiores: a) Construir la distribución de probabilidad de la variable “suma de las caras de los dos dados” b) calcular la probabilidad de que la suma sea: I) 4 II) seis o doce III) superior a 5 IV) a lo sumo 4 V) más de 3 Respuestas: b) 0,083; 0,16; 0,722; 0,16; 0,916 3) José Muñoz vende automóviles en la agencia Ford Norte. Generalmente negocia el mayor número de autos los días sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para los autos que vende para un sábado en particular Número de autos vendidos 0 1 2 3 4 P (r) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 a) En un sábado cualquiera ¿cuántos espera vender? b) ¿Cuál es la variabilidad absoluta y la relativa de la distribución? ¿Qué significa esta última? Respuestas: a) 2,1 b) 1,136 CV = 0.54 4) La demanda de un producto, por parte de Industrias Martín, varía mucho de mes a mes. La demanda en miles de unidades y su distribución de probabilidad basadas en los datos de los dos últimos años es la siguiente: Demanda de unidades : 300 400 500 600 P (x) : 0,2 0,3 0,35 0,15 a) Si la empresa basa sus pedidos en el valor esperado de la demanda mensual, cuál debe ser la cantidad pedida por Martín para este producto. b) Suponga que cada unidad demandada genera ingresos de US$ 700 y que cada unidad pedida cuesta US$500. ¿Cuánto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta anterior y la demanda real es de 300 unidades. Respuestas: a) 445 unidades b) Perdería US$ 12500. 5) Una empresa tiene dos empleados, A y B, que faltan aleatoriamente el 10 y 8% de la veces, respectivamente. Se sabe que: si concurre A se procesan 50 facturas por día, si concurre sólo B se procesan 25 facturas por día, si concurren ambos sólo el empleado A se encarga del procesamiento de facturas. a) Construir la distribución de probabilidad de la variable aleatoria: “cantidad de facturas procesadas por día b) ¿Cuál es el promedio de facturación diario? Considera que la variable presenta una baja fluctuación.

Departamento de Métodos Cuantitativos 21 Justifique estadísticamente su respuesta. Respuestas: a) P (0)=0,008; P (25)=0,092; P (50)=0,9; b) 47,3 facturas, Si 6) Se van a extraer dos bolillas de una caja que contiene 3 bolillas numeradas (del 3 al 5). Construir la distribución de probabilidad de la variable: “suma de los números de las dos bolillas” y calcular la media y la varianza, considerando las extracciones con y sin reposición. Respuestas: Con reposición: P (6)=P (10)=1/9; P (7)=P (9)=2/9; P (8)=1/3. Promedio: 8; Varianza: 1,3333 Sin reposición: P (7)=P (8)=P (9)=1/3; Promedio: 8; Varianza: 0,6667 Distribuciones discretas de probabilidad. Modelos Binomial, Hipergeométrica y Poisson Para las distribuciones de probabilidad que se encuentran modelizadas, como ser el caso de la distribución Binomial, Hipergeométrica y Poisson, su cálculo puede realizarse a través de las funciones de probabilidad de manera manual, utilizando tablas estadísticas preparadas para tal fin, mediante el uso del Excel o con diversos aplicativos específicamente diseñados para celular o tablets. En los Anexos I y II encontrarán ejemplos resueltos en los cuales se explican las utilizaciones del Excel y de los aplicativos. 7) Se desea hacer una encuesta de mercado para estudiar cuál será la repercusión de un producto que será lanzado en los próximos días. Se conoce por estudios anteriores que el porcentaje de aceptación sobre productos similares es del 60%. Si se toma una muestra de 20 personas: a) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente diez personas compren el producto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 12 personas compren el producto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 personas no lo adquieran? d) ¿Cuántas personas se espera que no compren el producto? Respuestas: a) 0,11714 b) 0.58411 c) 0,24466 d) 8 8) Se sabe por experiencias anteriores, que el 30% de los alumnos universitarios, trabaja más de 4 horas por día. Si seleccionamos al azar 10 alumnos universitarios, ¿Cuál es la probabilidad de hallar: a) 4 alumnos que trabajan más de 4 horas. b) Más de 2 alumnos que trabajen más de 4 horas. c) A lo sumo 8 alumnos trabajen más de 4 horas. Respuestas: a) 0.2001 b) 0.6172 c) 0.9999 9) En un bingo del conurbano resulta ganador del premio mayor un promedio de un jugador cada 2,5 horas. En un lapso de 6 horas ¿cuál es la probabilidad de que el premio mayor salga 3 veces por lo menos? Respuestas: 0,43029 10) Por una esquina de la Capital Federal transitan en promedio 15 autos por minuto. Se desea calcular la probabilidad de que a) En u minuto pasen exactamente 11 autos b) En un minuto pasen más de 12 autos. c) Durante 30 segundos pasen 7 automóviles.

Departamento de Métodos Cuantitativos 22 Respuestas: a) 0,06629 b) 0.73239 c) 0.14648 11) Un gerente financiero sabe que el 20% de los cheques rechazados son habitualmente irrecuperables. En el último mes ha recibido 9 cheques que han sido rechazados. a) ¿Cuál es la probabilidad que más de la mitad de los mismos sean irrecuperables? b) ¿Cuál es la probabilidad de recuperar al menos la tercera parte de los mismos? c) ¿Cuál es la probabilidad de recuperar alguno de estos cheques? Respuestas: a) 0,019581 b) 0,99968 c) 0,99999 12) En una central telefónica se reciben en promedio 5 llamadas por minuto. a) Definir la variable aleatoria, identificar su distribución y parámetros. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos se reciban más de 8 llamadas? c) ¿Cuántas llamadas en promedio se reciben en 4 horas? Respuestas: b) 0.66718 c) 1200 llamadas. 13) Entre los numerosos postulantes que se presentaron para cubrir un puesto administrativo en una importante empresa se preseleccionaron catorce, de los cuales solamente cinco pueden acreditar experiencia previa en tareas similares, y el director de Recursos Humanos de la empresa decidió elegir por sorteo los siete postulantes preseleccionados que entrevistará en primer término. Calcular la probabilidad de que en el grupo así elegido, haya: a) Exactamente 3 postulantes con experiencia previa. b) A lo sumo 2 postulantes con experiencia previa. c) Como mínimo 4 postulantes con experiencia previa. d) ¿Cuántos postulantes sin experiencia previa se esperaría encontrar en un grupo de tres postulantes? Respuestas: a) 0,36713 b) 0,50 c) 0,13287 d) 1,93 postulantes sin experiencia previa (aprox. 2) 14) En la sección Contaduría de la empresa “A”, donde trabajan 8 empleados casados y 12 empleados solteros, el jefe elige al azar un equipo de empleados para hacer horas extras el próximo sábado. a) Para las siguientes preguntas definir la variable de estudio, identificar la distribución y sus parámetros. b) Si dicho equipo estuviera integrado por 4 empleados, ¿cuál sería la probabilidad de que más de la mitad de los mismos fueran casados? c) Si dicho equipo estuviera integrado por 9 empleados, ¿cuál sería la probabilidad de que menos de la tercera parte de los mismos fueran solteros? Respuestas: b) 0,15315 c) 0,00322 15) Para realizar el control de recepción de una pieza el comprador decide tomar una muestra de 5 unidades de la caja recibida y si encuentra más de 1 de segunda calidad rechazar la misma. Se cree que el proveedor ha incorporado en cada caja que entrega 2 unidades de segunda calidad sobre un total de 16 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador acepte la caja? Respuesta: 0.91667 16) En una agencia de publicidad trabajan 25 publicistas, de los cuales 8 provienen de la agencia “RR advise SA” Si se elige al azar un grupo de 6 publicistas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellos provengan de la mencionada agencia? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 de ellos provengan de dicha agencia? c) ¿Cuántos publicistas provenientes de la agencia en cuestión espera ud que estén presentes en una muestra de 10 publicistas elegidos al azar? ¿Con qué desvío?

Departamento de Métodos Cuantitativos 23 Respuestas: a) 0.72569 b) 0,059289 c) 3,2 y 1,1662 17) Suponga que la probabilidad de que un vendedor ambulante logre realizar alguna venta con la modalidad puerta a puerta, es de 0,15. Si una mañana ofrece su producto en 18 casas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que logre realizar por lo menos una venta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que logre entre 4 y 8 ventas? c) ¿Qué tipo de asimetría tiene la distribución de la variable “número de ventas” para este problema? Respuestas: a) 0.94635 b) 0.27925 c) Asimetría Positiva. 18) El número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de un hospital en cualquier día, posee una distribución de probabilidad de Poisson, con una media igual a 5 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día particular sea igual a 2? b) ¿Y a lo sumo 2? c) ¿Cuántas personas se espera que entren durante 15 días? Repuestas: a) 0,08422 b) 0,12465 c) 75 personas 19) Al comenzar las clases, en un curso de 80 alumnos en el que hay 24 recursantes, el profesor selecciona al azar 10 alumnos para contestar un cuestionario a fin de evaluar los conocimientos previos que tienen acerca de la materia. Calcular la probabilidad de que en el grupo de alumnos seleccionados haya: a) Entre 2 y 5 recursantes. b) Por lo menos 8 alumnos que cursan por primera vez la materia. c) Algún recursante. Respuestas: a) 0,833 b) 0,3701 c) 0,9718 20) Un auditor contable conoce por propia experiencia que el 90% de las pruebas de auditoría que reúne son válidas para redactar su informe final. Actualmente está trabajando en una empresa donde ha reunido 15 pruebas de auditoría. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 10 de estas pruebas sean válidas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 8 pruebas no sean válidas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 7 y 12 pruebas sean válidas? Respuestas: a) 0,0127 b) 0,99996 c) 0,1841 21) La cajera de cierto supermercado atiende a una tasa de 3 personas cada 5 minutos en promedio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 15 minutos logre atender a mas de 12 personas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima media hora atienda a lo sumo a 20 personas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 3 minutos no atienda a nadie? Respuestas: a) 0,1242 b) 0, 7307 c) 0,1653 22) Un comerciante afirma que el 40% de las ventas que realiza, las hace a plazos superiores a los 3 meses. De las próximas 10 ventas que realice, a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 de ellas las realice a más de 3 meses? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la tercera parte de las ventas no sea realizada en plazos superiores a los 3 meses? c) ¿Cuántas ventas espera que se realicen por plazos superiores a los 3 meses? ¿Con qué desvío?

Departamento de Métodos Cuantitativos 24 Respuestas: a) 0,1662 b) 0,0547 c) 4 y 1,55 23) En la sección tele marketing de cierta empresa hay 40 empleados, de los cuales 15 son bilingües. Se seleccionará a 5 empleados en forma aleatoria para un comité de recepción de las nuevas autoridades para Latinoamérica, a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean bilingües? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad sean bilingües? c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 no sean bilingües? Respuestas: a) 0,00456 b) 0,2639 c) 0,2639 24) Un médico atiende a sus pacientes a un ritmo de 1 cada 15 minutos en promedio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima hora atienda algún paciente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 30 minutos atienda a 2 personas? Respuestas: a) 0,9817 b) 0,2707 25) En una reunión de directorio de una ONG hay 15 personas, de las cuales 4 son ambientalistas y el resto no. Si se elige al azar un comité compuesto por 6 miembros de este directorio, a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad sean ambientalistas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 de sus miembros no sea ambientalista? Respuestas: a) 0,0109 b) 0,1429 26) La máquina expendedora de boletos de cierto colectivo entrega el boleto en un promedio de 6 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que entregue más de 5 boletos en los próximos 15 segundos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no entregue ningún boleto en los próximos 30 segundos? c) ¿En una hora, cuántos boletos esperaría que la maquina entregue? Respuestas: a) 0,042 b) 0,0067 c) 600 boletos 27) A una panadería llegan entre las 8 y 8:30 am en promedio 6 personas por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lapso de 3 minutos lleguen más de 20 personas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 segundos no llegue nadie? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lapso de 90 segundos lleguen a lo sumo 10 personas? Respuestas: a) 0,2693 b) 0,0498 c) 0,70598 28) En un depósito de televisores hay un stock de 60 aparatos, de los cuales la tercera parte son de tipo LCD. Si se eligen al azar 15 aparatos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos las dos terceras partes sean de tipo LCD? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad no sean de tipo LCD? Respuestas: a) 0,00259 b) 0,05884 29) Un gerente de producción controla periódicamente un material clave del proceso de manufactura del único producto de la empresa. Sabe por experiencia que el 30% de los controles son positivos en el sentido de que detectan fallas. Si en esta semana realizará 7 controles, a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de ellos resulte positivo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 resulten negativos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 4 resulten positivos? Respuestas: a) 0,12604 b) 0,02879 c) 0,0288

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Departamento de Métodos Cuantitativos 26 Trabajo Práctico 4 DISTRIBUCIÓN NORMAL Tal como se indicara en el trabajo práctico 3 para las distribuciones de probabilidad discretas, el cálculo de probabilidades para las distribuciones continuas también puede realizarse utilizando tablas estadísticas preparadas para tal fin, mediante el uso del Excel o con diversos aplicativos específicamente diseñados para celular o tablets. En los Anexos I y II encontrarán ejemplos resueltos en los cuales se explican las utilizaciones del Excel y de los aplicativos. 1) El volumen contenido en una lata de gaseosa es una variable aleatoria normal con media igual 354 cm3 y desvío de 8 cm3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los volúmenes sean inferiores a 340 cm3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se ubiquen entre 350 y 360 cm3? c) ¿Cuál es el volumen máximo del 10% de las latas con menos contenido? Respuestas: a) 0,0401 b) 0,4649 c) 343,76 2) Sabiendo que la recaudación diaria de cierto comercio minorista se distribuye normalmente con un monto promedio de US$8300 y un desvío estándar de US$1250: a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude menos de US$8850? b) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude más de US$6000? c) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre US$7000 y US$8000? d) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre US$9000 y US$15000? e) ¿Cuál es el monto no superado en el 20% de los días? f) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 30% de los días? Respuestas: a) 0,67003 b) 0,96712 c) 25,60% d) 28,774% e) US$7247.97 f) US$8955,50 3) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvío estándar de 47 gramos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese menos de 800 gramos? b) ¿Cuál es el peso superado por el 10% de los paquetes? c) Si de una muestra de 5 paquetes alguno pesa menos de 900 gramos se le aplica una multa al productor de harina. ¿Cuál sería la probabilidad de dicho evento? Respuestas: a) 0.00071 b) 1010gramos c) 0.5296 4) Las estaturas de un grupo de individuos de entre 18 y 20 años se distribuyen normalmente con una media de 1,68 metros. Se sabe que el 95% mide menos de 1,78 metros. a) Calcular el desvío estándar. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 1,8 metros? c) ¿Cuál es la estatura máxima del 10% de los individuos más bajos? Respuestas: a) 0.061 b) 0.02442 c) 1,6 metros.

Departamento de Métodos Cuantitativos 27 5) El tiempo que tarda un operario en realizar una tarea, tiene distribución normal con promedio de 20 minutos y desvío de 4 minutos. El departamento técnico informa que el tiempo máximo tolerado para dicha tarea es de 25 minutos, para evitar retrasos en todo el proceso; todo operario que exceda de ese tiempo debe hacer un curso de capacitación a) ¿Qué porcentaje de operarios debería concurrir al curso? b) El departamento de administración informa que por razones de presupuesto no se puede enviar al curso a más del 5% del total de operarios de la empresa. ¿Qué empleados deberán tomar el curso? Respuestas: a) 0.10565 b) 26 min 35 seg 6) En una empresa automotriz se ha determinado que el consumo de combustible promedio es de 18.5 litros para 150 km. en camino de tierra, con un desvío de 1.8 litros. El consumo de combustible se encuentra normalmente distribuido. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo tenga un consumo entre 15.15 y 22.42 litros en los 150 km? b) ¿Cuál es el consumo no superado por el 95% de los vehículos? c) Si se sabe que el consumo de combustible fue mayor a los 17.5 litros, ¿ cual es la probabilidad de que haya superado a la media? d) Si se sabe que el consumo de combustible fue inferior a los 19 litros ¿Cuál es la probabilidad de que de más de 18.3 litros? Respuestas: a) 0.95393 c) 0.702 b) 21.45 litros d) 0.2525 7) Una máquina dosificadora de café llena bolsas que deben contener en promedio 250grs con un desvío estándar de 20grs.cuando trabaja en condiciones normales. Suponga que los pesos de las bolsas de café tienen distribución Normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bolsa al azar esta pese menos de 244,36 grs. o más de 255.64 grs.? b) ¿Cuál es el peso superado por el 5% de las bolsas Respuestas: a) 0.7795 b) 282,9 grs. 8) Una máquina llenadora de latas de cerveza, dosifica volúmenes normalmente distribuidos con un promedio de 750 ml y un desvío de 50 ml. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata cualquiera quede con un contenido de al menos 800 ml? b) Las latas con menos de 650 ml son desechadas para la venta. ¿Qué porcentaje de latas será desechado? c) El 10% de las latas con mayor contenido se regalan al personal de fábrica. ¿Cuál es el contenido mínimo que deben tener para encontrarse en dicha situación? Respuestas: a) 0,15866 b) 0,02275 c) 814,1 9) El contenido de bolsas de cemento tiene distribución normal y se sabe que el 10% de las bolsas tiene un peso mínimo de 65kgs, mientras que el 10 % de las bolsas tiene un peso máximo de 55 kg. a) Determine el peso promedio y el desvío estándar b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa pese más de 65 kg.? c) ¿Qué porcentaje de las bolsas pesan más que la mediana? Respuestas: a) promedio 60, desvío estándar 3.9 b) 0,10 c) 0,50 10) En un hospital de una gran ciudad se registra el peso de todos los bebes nacidos en él. La distribución de los pesos es aproximadamente normal, con un valor de = 2.9 kilogramos y un = 0.45 kilogramos. Se desea conocer: a) El porcentaje de bebes que pesan menos de 2,1 kg. b) El porcentaje de bebes que pesan entre 1,8 y 4 kg. c) ¿A partir de que peso se encuentra el 5% de los bebes de mayor peso? Respuestas: a) 3.75% b) 98.53% c) 3.64

Departamento de Métodos Cuantitativos 28 11) Los consumos mensuales de gas natural en cierta empresa gastronómica tienen distribución normal con un promedio de 7000 m3 mensuales y se observó adicionalmente que en el 20% de los meses el consumo fue inferior a los 6158 m3 a) ¿Cuál es el consumo mensual superado sólo en el 10% de los meses? b) ¿Qué porcentaje de los meses donde el consumo sea de a lo sumo 7800m3, se observará un consumo superior a la mediana? Respuestas: a) 8282 b) 0,3656 12) La duración del embarazo en humanos, medido desde la concepción hasta el parto, es una variable que sigue una distribución normal de media 266 días y desvío de 16 días según estadísticas de una investigación realizada para la sociedad argentina de medicina. a) ¿Qué probabilidad hay de que un embarazo dure entre 240 y 270 días (entre 8 y 9 meses)? b) ¿Cuál es el tiempo superado sólo por el 30% de los embarazos? Respuestas: a) 0,54663 b) 274,39 13) Las ventas mensuales de un producto tienen distribución normal. Se sabe que el 15% de los meses se venden menos de 1500 toneladas, mientras que el 7% de los meses las ventas superan las 1800 toneladas. a) Definir la variable aleatoria e identificar sus parámetros. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas mensuales sean de 1600 toneladas? c) ¿Cuál es la venta superada el 90% de los meses? Respuestas: a) 1624 y 119 toneladas b) 0 c) 1471 toneladas 14) Se ha comprobado que el tiempo que requiere un alumno para completar un examen tipo Multiple Choice se distribuye normalmente con promedio 43 minutos y desvío estándar igual a 16 minutos: a) ¿Qué porcentaje de los alumnos que tardan como mínimo media hora para completar dicho examen, lo terminan en menos de una hora? b) Si el examen se toma a un grupo de 6 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo la tercera parte del grupo necesite más de 50 minutos para completarlo? c) Sabiendo que el tiempo requerido para completar otro examen del mismo tipo, al que denominaremos “Examen B”, también tiene distribución normal con promedio igual a 37 minutos y que solamente el 10% de los alumnos logra terminarlo en menos de 25 minutos, ¿qué porcentaje de los alumnos tarda más de media hora para completar el “Examen B”? Respuestas: a) 81,81% b) 0,69 c) 77% 15) Por lo general, las notas finales están distribuidas de manera aproximadamente normal con media igual a 72 y desviación estándar de 12.5. Un profesor afirma que el 8% superior de un grupo recibirá como nota MB (muy bien); el siguiente 20% B (bien); el siguiente 42% recibirá M (mediano); el siguiente 18% S (suficiente); y el 12% inferior recibirá I ( insuficiente). ¿Qué nota debe excederse para obtener: a) MB? b) M? c) Aprobar el curso (se necesita al menos S)? Respuestas: a) 89.56 puntos b) 65.45 puntos c) 57.3 puntos

Departamento de Métodos Cuantitativos 29 16) El examen GMAT (Graduate Management Admission Test) es un test habitual que se toma a los graduados que aspiran a ingresar a un curso de Posgrado o a una Maestría (por ej un MBA). Según experiencias en varias casas de altos estudios de Europa y los Estados Unidos se ha establecido que el puntaje obtenido como resultado de este test es una variable aproximadamente normal con un promedio de 527 y un desvío de 112. a) Si para ingresar a determinado programa MBA se requiere un puntaje de al menos 500, ¿cuál es la probabilidad de que un postulante logre ingresar? b) En ese mismo programa se otorgará una beca del 50% al 5% mejor evaluado en este examen. ¿Qué puntaje entonces debería un postulante obtener para acceder a dicho beneficio? Respuestas: a) 0,59525 b) 711,24

Departamento de Métodos Cuantitativos 30 Algunos ejemplos Ejemplo 1 El peso de las bolsas de granos de café que recibe una empaquetadora es una variable aleatoria distribuida normalmente, para el distribuidor A con una media de 1000 gramos y un desvío de 15 gramos, y para el distribuidor B una media de 1005 gramos y un desvío 5 gramos. Se sabe que en depósito hay un 45% de bolsas del distribuidor B. a) Si se selecciona una bolsa al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que pese menos de 990 gramos? b) Si la bolsa seleccionada pesa más de 990 gramos, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al distribuidor A? Resolución x: peso de las bolsas de café. Posee distribución normal 0 55 15 1000 ( ) . P A σ gramos μ gramos A A 0 45 5 1005 ( ) . P B σ gramos μ gramos B B a) Al seleccionar una bolsa, el hecho de que pese menos de 990 gramos, lo que a partir de aquí llamaremos suceso, no nos informa acerca de la procedencia de la misma, es por ese motivo que para la resolución de este punto debemos utilizar el teorema de la probabilidad total: P (Suceso) = P ( (A y Suceso) o P (B y Suceso))= =P (A). P (Suceso/A) + P (B) . P (Suceso/B)= = 0.55 . 0.25143 + 0.45 . 0. 00135 =0.138894 Donde, las probabilidades de los sucesos se obtienen de aplicar la probabilidad acumulada a la izquierda de 990, teniendo en cuenta las características correspondientes a cada una de las máquinas ( media y desvío). Esto es: P (Suceso/MA)=F(990)=F(Z=-0.67)=0.25143 P (Suceso/MB)= F(990)=F(Z= -3 )=0.00135 b) En este caso el suceso es que la bolsa seleccionada pesa más de 990 gramos (a diferencia del punto anterior debemos tomar las probabilidades acumuladas por la derecha del dicho valor) y nos interesa saber cuál es la probabilidad de que la bolsa provenga del distribuidor A, es decir estamos en presencia del Teorema de Bayes. P (A/Suceso)= P(A y Suceso) / P(Suceso) = = P (A). P (Suceso/A) = P (B). P (Suceso/B) + P (A). P (Suceso/A) = 0.55 . 0.74857 = 0.47812 0.45 . 0.99865 + 0.45 . 0.74857

Departamento de Métodos Cuantitativos 31 Sugerencias Podes consultar en Internet la siguiente página con programas interactivos para reforzar el tema. *Normal Approximation to the Binomial Distribution Muestra el cálculo de la probabilidad binomial a partir de una normal. Da como resultados el valor exacto y el arrojado por la aproximación. Se solicita n, p y los valores de r para los cuales se desea calcular la probabilidad *Probabilidades en la distribución normal: http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/handleNormal.html Muestra para distintos valores de Z el área bajo la curva con solo mover el Mouse. También se puede trabajar directamente con los valores de una normal general

Departamento de Métodos Cuantitativos 32 TRABAJO PRÁCTICO 5 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Nota: Para los ejercicios que siguen a continuación la suma de las variables involucradas en los mismos son estadísticamente independientes entre sí. 1) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvío estándar de 47 gramos. Para ser distribuidos dichos paquetes se colocan en lotes de 20 paquetes en un packaging de plástico cuyo peso no se tiene en cuenta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un packaging elegido al azar pese más de 19640 gramos? b) ¿Cuál es el peso total no superado por el 10% de los envoltorios? c) Si ahora se piensa que los paquetes de harina sufrirán menos roturas si se los coloca en una caja de cartón corrugado cuyo peso puede ser considerado constante e igual a 200 gramos ¿cuál es el peso total que no será superado con probabilidad del 10 %? Respuestas: a) 0.0012 b) 18730.62grs. c) 18930.62grs. 2) La venta diaria de golosinas en un kiosco es una variable aleatoria de la cual se desconoce su distribución y se sabe que su media es de US$1300 y su desvío de US$400. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta anual (365 días) sea inferior a US$450.000? b) ¿Cuál es la venta no superada el 5% de los bimestres (60días)? Respuestas: a) 0.00069 b) US$72903. 618 3) En una empresa que cuenta con una dotación de 30 obreros se sabe que el promedio salarial mensual es de US$ 70000 con un desvío estándar de US$ 6000. Si dentro de ese grupo de empleados se puede considerar que las retribuciones se distribuyen normalmente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado gane más de US$75000? b) Determinar el valor del salario superado por el 30 % de los empleados. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el importe total que la empresa abone en un mes en concepto de salarios a sus obreros sea superior a US$ 2.150.000? d) ¿Qué concepto estadístico utilizo para contestar la pregunta c)? Respuestas: a) 0.2023 b) US$73146. 403 c) 0.06426 4) En una empresa se ha asignado al departamento de costos una hora y 55 minutos diarias para la utilización del Sistema de Procesamiento de datos. Cada tarea que debe procesar el departamento requiere un tiempo de proceso distribuido normalmente con una media de 3 minutos. Se sabe que sólo el 1% de las tareas tarda más de 4,2 minutos para ser procesadas. Si en un día determinado el departamento de costos debe procesar 40 tareas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo asignado sea suficiente? Respuesta: 0.06429 5) El consumo mensual de gaseosas en un local de comidas rápidas es una variable distribuida normalmente con una media de 750 litros y un desvío de 25 litros y se calcula que el ingreso por cada litro de gaseosa es de US$5. a) Determinar el ingreso mensual promedio del rubro gaseosas y el desvío estándar b) ¿Cuál es el ingreso mínimo en el 10% de los meses? Respuestas: a) = 3750 US$ = 125 US$ b) 3910.2 US$

Departamento de Métodos Cuantitativos 33 6) Si se supone que el tiempo requerido para terminar de resolver un examen final tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 minutos y un desvío estándar de 12 minutos, determinar: a) ¿Cuánto tiempo debe durar un examen si se pretende que el 90% de las personas lo terminen? b) Se sabe que en promedio se demora 18 minutos con un desvío de 3 minutos en ordenar a los alumnos y un tiempo promedio de 15 minutos con un desvío de 1,5 minutos en repartir los temas. Suponiendo que ambas variables se distribuyen de manera aproximadamente normal, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de una mesa examinadora desde que los profesores entran al aula, hasta que el alumno entrega la hoja sea superior a 140 minutos? c) Si se presentan a rendir 20 alumnos ¿cuál es la probabilidad que más de 5 tarden más de 90 minutos en resolver el examen? Respuestas: a) 95min.23seg. b) 0.01512 c) 0.2035 7) En una empresa de mudanzas afirman, en base a su experiencia, que los servicios prestados en Capital demandan un tiempo variable distribuido normalmente con una media de 5 horas y un desvío estándar de 50 minutos, mientras que el ingreso promedio por alquiler de canastos es de 300US$ con un desvío de 40US$ (también posee una distribución normal). Cobran por el transporte 230US$/hora y 400US$ por cada peón. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso por los servicios del próximo sábado supere los US$ 7000 si efectúan tres mudanzas en Capital y en cada una deben disponer de 2 peones? b) ¿Cuál es la probabilidad que alguna de las 3 mudanzas haya utilizado el flete por más de 6 horas? Respuesta: a) 0.2296 b) 0.3048 8) El costo de un producto que se procesa en forma automática está formado por el costo de los materiales del envase y el costo del contenido, tomándose como unidad el envase de presentación. Debido a ciertas fluctuaciones, dichos costos son variables aleatorias independientes que pueden considerarse normalmente distribuidas: - el costo del envase (x) con media 180US$/m2 y desvío estándar de 2US$/m2 . - el costo del contenido (y) con media 20US$/gramo, y desvío estándar de 1,5 US$/gramo. Por otra parte se sabe que: El envase posee 0.07 m2 /unidad y que el contenido del mismo es 5 gramos/unidad a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo del producto de una unidad terminada supere los US$ 122? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un pack de 25 unidades supere los 2950 US$? c) ¿cuál es la probabilidad que el costo medio de 10 unidades supere los US$115? Respuesta: a) 0.105 b) 0.0002 c) 0.1556 9) El peso de las vacas sigue una distribución normal con media de 800kg y desvío de 140kg. El peso de los toros sigue una distribución normal con media de 1200kg y desvío de 210kg. Se envían periódicamente embarques en camiones que tienen una carga máxima de 15 tn. Si se sobrepasa dicho peso, el transporte rompe la suspensión. Por razones de espacio se suelen enviar 10 vacas y 5 toros por embarque. a) ¿Cuál es la probabilidad de romper la suspensión en un envío cualquiera? b) En los próximos envíos decide agregar 3 tambores de leche cuyo peso individual es constante e igual a 300 kg. ¿Cuál es la probabilidad de romper la suspensión ahora? c) Si el precio de las vacas es 40 US$/kg y el de los toros es 25 US$/kg, ¿Cuál es la probabilidad de vender todo el embarque por más de medio millón de pesos?

Departamento de Métodos Cuantitativos 34 Respuestas: a) 0.06063 b) 0.4384 c) 0.07898 10) En un programa de cocina de un canal de cable, la sección comidas dulces tiene un tiempo máximo de duración de 17 minutos, fijado por la producción del programa. La conductora de dicha sección prepara habitualmente unos platos y divide a su sección en tres etapas cuyos tiempos de duración se distribuyen de manera normal, según se detalla abajo. Etapa Media Desvío Presentación del plato 2 min 24 s Preparación del plato 13 min 2,6 min Lectura de la receta y cierre 1 min 12 s a) ¿Cuál es la probabilidad de que la conductora no pueda terminar a tiempo su sección? b) Si el costo del minuto en el aire es de US$300, ¿Cuál es la probabilidad de que esa sección tenga un costo superior a US$5000? c) La producción levantará la sección si en una muestra al azar de 10 programas sucede que en más de la mitad no puede terminarse la sección. ¿Cuál es la probabilidad de que el programa sea levantado? Respuestas: a) 0.3524 b) 0.4003 c) 0.0978 11) La lluvia caída mensualmente en una región tiene distribución normal con media de 30 milímetros y desvío de 10 milímetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la lluvia anual supere los 370 milímetros? b) ¿Cuál es la lluvia superada el 15% de los años? Respuestas: a) 0.3864 b) 395.9 milímetros 12) El Gerente de producción de una yerbatera considera que el peso de los paquetes es una variable aleatoria que se distribuye normalmente. Sabe también que la probabilidad de que un paquete pese menos de 450 gr es de 0,30, mientras que la probabilidad de que un paquete pese menos de 600 gr es de 0,85. Calcular: a) ¿cuál es la probabilidad de que un paquete de yerba elegido al azar pese más de 650 gr? b) Los paquetes de yerba se venden en cajas que contienen 20 unidades. El peso de las cajas que contienen los paquetes puede considerarse constante y es de 400 gr. Deben exportarse en contenedores que se sabe que soportan una carga de 525 Kg ¿Cuál es la probabilidad de que en un solo contenedor pueda enviarse un pedido de 50 cajas? c) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 20 de las 50 cajas pesen más de 10.5 kg.? Respuestas: a) 0,05937 b) 0,9499 c) 0.6383 Algunos ejemplos Ejemplo 1 Las bolsas de cal y de cemento tiene un peso normalmente distribuido con media: 25Kg y 50 Kg y desvío de 2,5 Kg y 4 kg. respectivamente. Para su distribución se cargan en un camión que puede transportar a lo sumo 10200 kg. Si se cargan 100 bolsas de cemento y 200 de cal, calcule la probabilidad de superar el peso que puede transportar el camión. Resolución

Departamento de Métodos Cuantitativos 35 Llamaremos : x: peso de las bolsas de cal y: peso de las bolsas de cemento Para responder la consigna debemos armar una nueva variable a la que denominaremos w. w = Carga total que transporta el camión (Kilogramos) Como la variable x y la variable y ambas tienen distribución normal, la variable w que resulta de una suma de las anteriores, también tiene distribución normal. 1 2 200 1 2 100 w x x ..... x y y ..... y 1 2 200 1 2 100 x x ..... x y y ..... y w w 20025 10050 1000Kgs. 53,385 . 200 2,5 100 4 2850 2 2 2 2 Kgs w Kgs P(w 10200) ? 3.75 53,385 10200 10000 Z P(Z 3.75) 1 P(z 3.75) 0.00009 Si el costo de la bolsa de cal es de 7,5$/kg y la de cemento 15$/kg y usted necesita comprar 10 bolsas de cal y 5 de cemento, determine el promedio del costo total y su desvío estándar. R: Costo total ( $) 1 2 10 1 2 5 R : a x a x ........ a x b y b y ....... b y 1 2 10 1 2 5 R : a x a x ........ a x b y b y ....... b y R : 7,5 25 7,5 25 ........ 7,5 25 15 50 15 50 ....... 15 50 R : 7,52510 15505 $5625 : 7,5 2,5 10 15 4 5 $ 21515.625 2 2 2 2 2 2 R R $146.68

Departamento de Métodos Cuantitativos 36 Ejemplo 2 Se esta estudiando la posibilidad de efectuar traslados de equipaje a través de encomiendas, por parte del servicio de ferrocarriles que circulan hacia varios puntos turísticos del país, con el objetivo de optimizar los espacios para el transporte de sus pasajeros. El peso del equipaje es una variable muy asimétrica con un valor promedio de 15 kilos y un desvío de 8 kilos, la carga máxima que pueden enviar por encomienda es de 2000 kilos. Se desea saber cuál es el número máximo de cajas a transportar mediante este medio, para que la probabilidad de que se supere el límite tolerado sea a lo sumo del 1%. Respuesta: Aproximadamente 119 valijas Resolución Llamaremos: x: peso del equipaje El equipaje será enviado por un ferrocarril que puede tolerar un peso máximo de 2000 kilos con una probabilidad del 1%, con lo cuál deberemos construir una variable que nos de información acerca del peso del equipaje total: W: peso total del equipaje (con n valijas) que transporta el ferrocarril n w x x x x ............ x 1 2 3 4 . μw μx1 μx2 μx3 μx4 ....... μxn nμ n.15 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 ............ 8 w x x x x x n n n n 8 Si sabemos entonces que P w( 2000) 0.01 2 326 8 2000 15 . . n n Para poder despejar entonces nuestra incógnita, que es la cantidad de valijas, debemos elevar ambos términos de la ecuación al cuadrado. 2 2 326 2 8 2 2000 15 . . ( . ) n n y despejando obtenemos: 0 2 4000000 60346.26n 225n

Departamento de Métodos Cuantitativos 37 Finalmente resolviendo obtenemos el resultado que buscábamos que es 119.

Departamento de Métodos Cuantitativos 38 Trabajo Práctico 6 NÚMEROS ÍNDICES 1) Una empresa reportó $17.446 (millones) en préstamos comerciales en el año 2000, $19.989 en el año 2002, $21.468 en el año 2004, $21.685 en el año 2005, $15.922 en el año 2007 y $18.375 en el año 2009. Utilizar 2000 como año base y desarrollar un índice simple para el cambio en el monto de préstamos comerciales para los años 2002, 2004, 2005, 2007 y 2009. Interpretar dichos índices en términos del problema. Respuestas: 114,6 123,1 124,3 91,3 105,3 2) Se presentan a continuación las ventas netas de una empresa entre el 2001 y 2009. a) Utilizar las ventas medias de los tres primeros años para determinar una base y luego determinar el índice de 2004 y 2009 b) ¿En qué porcentaje variaron las ventas desde el período base hasta el 2009? Respuestas: a) 113,7 90,4 b) Cayeron 9,6% 3) A continuación se detallan los precios de diferentes productos de una verdulería para agosto de 2005 y agosto de 2006. Además se incluyen las cantidades compradas. Utilizar agosto de 2005 como base. a) Determinar los índices de precios simples b) Determinar el índice de precios agregado simple para los dos años c) Determinar el índice de precios de Laspeyres d) Determinar el índice de precios de Paasche Respuestas: Puede ver la resolución al final de este trabajo práctico 4) Los precios y la cantidad de varios artículos producidos por una empresa se presentan a continuación. Utilizar el año 2000 como base a) Determinar los índices de precios simples Producto Precio Cantidad Precio Cantidad Lechuga $ 2,49 6 $ 2,69 6 Papas $ 3,29 4 $ 3,59 5 Tomates $ 1,59 2 $ 1,79 3 Morrones $ 1,79 3 $ 2,29 4 Agosto de 2005 Agosto de 2006

Departamento de Métodos Cuantitativos 39 b) Determinar el índice de precios agregado simple para los dos años c) Determinar el índice de precios de Laspeyres d) Determinar el índice de precios de Paasche Respuestas: a) 142,9 75 100 125 b) 111,8 c) 102,92 d) 103,325 5) La empresa Electronics Systems compra repuestos para máquinas robóticas utilizadas en su proceso de manufactura. A continuación se detalla información del precio de las partes de repuesto y la cantidad comprada: a) Calcular un índice de precios simple para cada uno de los tres artículos, utilizando 2000 como periodo base. Interpretar. b) Calcular el índice de precios de Laspeyres para 2006 con 2000 como periodo base. Respuestas: a) 120 75 117,65 b) 106,87 6) A continuación se listan las principales naciones productoras de acero, en millones de toneladas durante 2004. a) Expresar la cantidad producida por China, la Comunidad Europea, Japón y Rusia como índice, utilizando a Estados Unidos como base b) ¿Qué porcentaje produce China más que Estados Unidos? Respuestas: a) China 252,6 Comunidad Europea 184,6 Japón 132,1 Estados Unidos 100 Rusia 66,7 b) China produce 152,6% más acero que Estados Unidos 2005 Precio Cantidad Precio Cantidad Arandela $0,07 17.000 $0,10 20.000 Chaveta $0,04 125.000 $0,03 130.000 Perno para estufa $0,15 40.000 $0,15 42.000 Tuerca Hexagonal$0,08 62.000 $0,10 65.000 2000 Parte 2000 2006 2000 2006 RC-33 $0,50 $0,60 320 340 SM-14 $1,20 $0,90 110 130 WC-50 $0,85 $1,00 230 250 Precio Cantidad Nación Cantidad (millones de toneladas) China 197 Comunidad Europea 144 Japón 103 Estados Unidos 78 Rusia 52

Departamento de Métodos Cuantitativos 40 Resolución ejercicio número 3: Dada la tabla de datos pueden calcularse los índices solicitados: Pregunta a) ℎ = 0 ∗ 100 = 2,69 2,49 ∗ 100 = 108,03 La Lechuga aumentó un 8,03% en agosto 2006 tomando como base agosto 2005 = 0 ∗ 100 = 3,59 3,29 ∗ 100 = 109,12 La papa aumentó un 9,12% en agosto 2006 tomando como base agosto 2005 = 0 ∗ 100 = 1,79 1,59 ∗ 100 = 112,58 El tomate aumentó un 12,58% en agosto 2006 tomando como base agosto 2005 = 0 ∗ 100 = 2,29 1,79 ∗ 100 = 127,93 El morrón aumentó un 27,93% en agosto 2006 tomando como base agosto 2005 Pregunta b) = ∑ ∑ 0 ∗ 100 = 2,69 + 3,59 +1,79 +2,29 2,49 + 3,29 +1,59 +1,79 ∗ 100 = 113,1 Los artículos estudiados aumentaron un 13,1% en agosto 2006 tomando como base agosto de 2005 Pregunta c) = ∑ ∗ 0 ∑ 0 ∗ 0 ∗ 100 = 2,69 ∗ 6+ 3,59 ∗ 4 +1,79 ∗ 2 + 2,29 ∗ 3 2,49 ∗ 6+ 3,29 ∗ 4 +1,59 ∗ 2 + 1,79 ∗ 3 ∗ 100 = 111,7 Los artículos estudiados aumentaron un 11,7% en agosto 2006 tomando como base agosto de 2005 usando el índice de Laspeyres Pregunta d) ℎ = ∑ ∗ ∑ 0 ∗ ∗ 100 = 2,69 ∗ 6 + 3,59 ∗ 5 + 1,79 ∗ 3+ 2,29 ∗ 4 2,49 ∗ 6 + 3,29 ∗ 5 + 1,59 ∗ 3+ 1,79 ∗ 4 ∗ 100 = 112,2 Los artículos estudiados aumentaron un 12,2% en agosto 2006 tomando como base agosto de 2005 usando el índice de Paasche

Departamento de Métodos Cuantitativos 41 REVISION DE CONCEPTOS Primera Parte: Ejercicios Integradores 1) La universidad se encuentra analizando la posibilidad de otorgar beneficios a los alumnos que cumplan determinadas características. Aquellos alumnos que posean calificaciones superiores a los 8 puntos y no hayan faltado a clases durante el cuatrimestre (120 días) recibirán una beca total para la conclusión de sus estudios. Los alumnos que presentan calificaciones entre 7 y 8 y no presenten inasistencias durante el cuatrimestre, se les otorgará una beca parcial. Finalmente aquellos alumnos que no cumplan con alguna de las condiciones mencionadas no recibirán beneficios. Se sabe que las calificaciones de los alumnos poseen distribución normal con una media de 6,5 puntos y que el 2% del alumnado supera los 9 puntos. Por otra parte se sabe que los alumnos faltan aleatoriamente 1 vez cada 60 días. Si se asume que los dos eventos analizados son independientes: a) ¿Qué porcentaje de los alumnos recibirá la beca total? b) Si se evalúan los analíticos de 100 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que más de 5 alumnos reciban la beca total? c) Si se postularon a fin de año 300 alumnos para obtener alguna beca, ¿cuál es la probabilidad de que más de 287 alumnos no logren obtener ninguna de las becas? Repuestas: a) 0.0148; b) 0.00383; c) 0.3704; 2) A un supermercado arriban en promedio 8 personas por minuto. Se ha estimado que el 60% de las familias que concurren al local lo hacen en automóvil propio. Por otra parte se supo de los individuos que abonan en la caja poseían una edad promedio de 27 años con un desvío estándar de 2 años (variable que puede considerarse normalmente distribuida) y que el 45% de los mismos abonaron con tarjeta de crédito. El gerente del local tiene como objetivo optimizar el tiempo de permanencia en caja de los clientes a fin de evitar reclamos de parte de los mismos y para ello decidió diseñar un plan de entrenamiento a tal fin. El supermercado cuenta con 45 cajeras de las cuales 23 de ellas tienen más de 6 años de antigüedad, el gerente decidió seleccionar a 7 de ellas para incorporarlas a un plan de entrenamiento teniendo en cuenta los años de antigüedad. a) Determinar la probabilidad de que más de la mitad de las seleccionadas posea 6 años o menos de antigüedad b) Si se observa el arribo de personas durante 3 minutos ¿cuál es la probabilidad de ingresen al supermercado menos de 20 personas? c) Si se selecciona una muestra de 10 familias ¿cuál es la probabilidad de que de que seis o más hayan llegado en automóvil propio al supermercado? d) De los individuos que abonan en la caja con más de 28 años de edad, ¿qué porcentaje tiene menos de 29 años? e) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 2 minutos entren 17 personas? Respuestas: a) 0.47387 (exacto) b) 0.18026 (exacto); 0,17879 ( aproximación) c) 0.63310 d) 0.4856 e) 0.09338 3) La estatura de los niños de un jardín de infantes tiene un promedio de 1 metro. Se sabe que el 5% de los niños supera 1,10 metros. a. Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar mida menos de 1.05 m b. De los niños que miden más de 90 cm que porcentaje mide: 1. Más de 1,10 m 2. Menos de 1 m c. ¿Cuál es la estatura mínima del 80% de los niños? d. Si se seleccionan 10 niños al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 de ellos posean una estatura superior a 1,05 m?

Departamento de Métodos Cuantitativos 42 e. Si en una salita hay 30 niños y se van a seleccionar al azar a 5 de ellos para un acto. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad mida menos de 1 m? f. Los 5 niños seleccionados saltarán con una soga y se estipula que cada uno de ellos necesitará un 50% más de soga de lo que mide. ¿Cuál es la cantidad total de soga no superada con el 90% de probabilidad? g. Si se supone por estudios médicos que la estatura de los niños de jardín se incrementa en un 10% al pasar a la primaria, indicar el promedio y desvío en la estatura de los niños de primaria. h. La tasa de arribos de los niños con sus madres a la escuela es de 5 niños por minuto. Si se observan 20 minutos ¿cuál es la probabilidad de que menos de 97 niños lleguen a la escuela? i. En una de las salas, la maestra recolecto información de los padres y discriminándolos por sexos obtuvo un promedio de 25 años para las mamás y 27 para los papás, con desvío estándares de 3 y 4 años respectivamente. ¿cuál de los dos grupos es más homogéneo en lo que respecta a las edades? ¿Alguno de ellos posee un promedio representativo? De no ser así, indique que medida de tendencia central adicional requeriría para completar su información. j. La docente de la sala cree que la estatura estaría vinculada con el género de los niños, para evidenciarlo supo que el 30% de los varones media más de 1,1 metros .El 80% de las nenas media menos de 1,1 metros. Además contaba con el dato de que el 45% de sus alumnos eran nenas. Concluya. k. La cuota que pagaban los padres del jardín en el ciclo lectivo 2010 era de $514, en el 2011 de $570 y la escuela informó que la cuota para el 2012 será de $634. Estudie la evolución de las cuotas tomando como base el año 2010. Respuestas: a) 0.79457 b) 1) 0.0526 ; 2) 0,4736 c) 0.9488cm d) 0.64744 e) 0.5 f) 7.76mts g) 1.1 y 0.06688 mts. h) 0.36317 i) Cvm= 12% ; Cvp=14% j) Las sospechas son fundadas k) 110,89; 123,35

Departamento de Métodos Cuantitativos 43 Segunda Parte: Ejercicios Adicionales 1) Una encuesta de la publicación News/UCLA realizada con 867 directivos de empresas de entretenimientos en Hollywood estudió cómo se considera a sí misma la industria de entretenimientos en términos de la cantidad de violencia en la televisión y de la calidad en general de los programas de TV. Los resultados indicaron que 624 directivos pensaron que había aumentado la cantidad de programas violentos en los últimos 10 años, 390 opinaron que la calidad de la programación había disminuido durante los mismos 10 años, y 234 ejecutivos respondieron que había aumentado la cantidad de programas violentos y también que la calidad de la programación había disminuido. Determinar la probabilidad de que: a) Un ejecutivo haya hecho al menos uno de los dos comentarios siguientes: “ la cantidad de los programas violentos ha aumentado”, o “ la calidad de la programación ha disminuido”. b) Un ejecutivo no esté de acuerdo con cualquiera de los dos comentarios c) Si ahora se seleccionan dos ejecutivos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haya opinado que la violencia en los programas no ha aumentado? d) Sabiendo que un ejecutivo cree que la calidad de los programas ha disminuido, ¿cuál es la probabilidad de que también considere que la violencia ha aumentado? Respuestas: a) 0.8996 b) 0.73 c) 0.4822 d) 0.6 2) En un comercio de ropa hay dos vendedoras Natalia y Gisele. De las clientas atendidas por Natalia el 70% efectúa una compra; de las atendidas por Gisele, el 60% compra. Cuando el cliente llega al local selecciona una de la dos vendedoras, pero dada de la belleza de ambas, las preferencias se encuentran equilibradas. Natalia concurre al local el 90% de los días y Gisele lo hace 95%. Si no vienen ninguna de la dos el local permanece cerrado por lo cuál no se realizan ventas ese día. a) De las clientas que ingresan al local, ¿cuál es la probabilidad de que se retiren sin efectuar una compra? b) Si una clienta compró, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido atendida por Natalia? c) Si una clienta no compró, ¿cuál es la probabilidad de que ese día haya faltado Gisele? d) ¿Cuál es la probabilidad de que si una clienta se dirige al local, el mismo se encuentre cerrado? Respuestas: a) 0.3525; b) 0.5135; c) 0.052; d)0.005 3) Una ciudad de 1 millón de habitantes se considera dividida en dos zonas: La 1, con 700000 y la 2 con 300000. Ante el peligro de una epidemia, se decide vacunar al 80% de la población; en la zona 1 se utiliza una vacuna con un 92% de efectividad y en la zona 2, una que tiene un 84% de efectividad; si la vacuna no inmuniza a la persona, hay una probabilidad 0,12 de contraer la enfermedad, lo mismo que si la persona no es vacunada. a) Cuántas personas enfermarán si sobreviene la epidemia? b) si una persona se enferma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada en la zona 2? Respuestas: a) 33984; b) 0,136. 4) Una empresa desea lanzar una campaña publicitaria con el fin de promocionar uno de sus nuevos productos. Para ello ha pedido un presupuesto a dos agencias de publicidad que poseen costos diferenciales. Luego de obtener la información de los costos, el personal de finanzas ha realizado una proyección de los beneficios que se obtendrían con cada una de las empresas en diferentes escenarios: Éxito Fracaso Empresa A 100.000 -30.000 Empresa B 80.000 -18000 Según una investigación de mercado se estima que la probabilidad de éxito del producto se encontraría alrededor de 0,65. Si la empresa basará su decisión en el beneficio esperado:

Departamento de Métodos Cuantitativos 44 a) ¿Qué empresa convendría contratar? Respuesta: Conviene contratar a la empresa A con la que se obtiene un beneficio esperado de $54.500. 5) La cantidad de individuos que ingresan a un supermercado durante las horas no pico es de importancia para la organización de las cajas de atención. En un supermercado se relevó información y se registraron 10, 40, 60, 100 personas en varios días de estudio durante el mismo horario. La empresa que realizo el estudio proporcionó la siguiente tabla de valores e indico que el promedio de personas que ingresaron fue de 44 personas y que la probabilidad de que ingresen 60 o menos personas es de 0,8: R P(r) 10 A 40 0,2 60 B 100 C a) Calcular los valores de a, b y c. b) Calcular variabilidad relativa de la variable analizada. Respuestas: a) a=0,4; b=0,2; c=0,2 b) 76,87% 6) El 65% de los usuarios de microcomputadores de la empresa X, utiliza el Windows. En la empresa H dicho porcentaje es del 85%: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 empleados de la empresa X se encuentren más de 7 que no utilicen dicho sistema? b) Si se selecciona una muestra de 15 emplea, ¿cuál es la probabilidad de que 12 o menos utilicen el Windows? Realice el cálculo asumiendo en primer lugar que los 15 empleados son seleccionados de la misma empresa y en segundo lugar sin saber de que empresa pueden estar siendo seleccionados. Respuestas: a) 0.0047 b) 0.66702 ; 0,7639 7) Un agricultor produce semillas las cuáles tienen una probabilidad de no germinar del 5%. Si las vende en cajas que contienen 200 semillas cada una y garantiza un 97% germinación ¿cuál es la probabilidad de encontrar en un lote de 50 cajas más de 39 cajas en las que no se cumpla la garantía ofrecida por el agricultor? Respuesta: 0.96051 (Resultado exacto). Por aproximación: 0,72907 8) En una empresa editorial el costo de impresión por libro se distribuye normalmente con un desvío típico de $4. Sabiendo que sólo el 3% de los libros tienen un costo inferior a $20, calcular la probabilidad de que a) un libro tomado al azar tenga un costo superior a $ 27,7. b) una edición de 1000 ejemplares tengan un costo superior a $ 27.700. c) el costo promedio de una muestra de 1000 ejemplares sea superior a $ 27.7 Respuestas: a) 0.48405 b) 0.07780 c) 0.07780 9) Un alumno que vive en la zona sur del Gran Buenos Aires debe cubrir tres etapas de viaje para llegar a la Facultad donde estudia: la primera desde que sale de su casa hasta tomar el tren; la segunda desde que sube al tren hasta que el mismo arriba a Constitución; y la tercera desde que baja del tren hasta llegar a la Facultad. Este alumno sabe por experiencia que la primera etapa le insume en promedio 25 minutos con un desvío estándar de 1.5 minutos, la segunda le insume en promedio 30 minutos con un desvío estándar de 2 minutos, y la tercera le insume en promedio 15 minutos con un desvío estándar de 0.9 minutos. Suponiendo que dichos tiempos se distribuyen normalmente: a) Si un día este alumno sale de su casa una hora antes del horario de entrada a la Facultad, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde? b) Si mañana tiene una clase muy importante y quiere tener una probabilidad igual a 0,95 de llegar a horario a la Facultad, ¿con cuántos minutos de anticipación debería salir de su casa?

Departamento de Métodos Cuantitativos 45 Respuestas: a) 0,99992 b) Aproximadamente 75 minutos 10) Se presenta a continuación la cotización de cereales y oleaginosas en puerto el Bahía Blanca Se pide calcular el índice simple de precios para el trigo, soja y girasol, para el 10 de Enero de 2007 respecto a: a) la semana anterior b) el mes anterior c)el año anterior Respuestas: i) 106,567 ii) 99,1666 iii) 105 11) Los datos referentes a la producción de pelo mohair en Kg en la Patagonia, se detallan a continuación: a) Expresar la cantidad producida del año 1996 tomando 1995 como base para cada provincia. b) Utilice un índice agregado de cantidades para resumir la información anterior en un solo indicador. Compare este índice con los tres anteriores. c) Para el año 1995, en qué proporción la producción de Rió Negro supera a la de Chubut. Fuente: http://www.inta.gov.ar/bariloche/ssd/pelo/t17.htm Respuestas: a) 92,1 90,1 98,2 b) 93,8 c) 61% 12) Considere una economía en la que sólo se consumen dos bienes, carne y leche. Suponga que se dispone de la siguiente información sobre consumos y precios de ambos bienes y que esa información se utiliza para calcular los índices de precios del consumo Laspeyres y Paasche: CARNE LECHE Precio Consumo Precio Consumo ($) (Kg) ($) (Lts) Año 2006 2 180 3 90 Año 2007 5 130 2 110 El año base es 2006. Indique cuál de las siguientes opciones corresponde a los índices de precios Laspeyres (IPL) y Paasche (IPP): a) IPL=171,4 IPP=147,5 b) IPL=130,1 IPP=158,9 c) IPL=147,5 IPP=171,4 d) IPL=171,4 IPP=130,1 e) IPL=158,9 IPP=130,1 10/12/2007 10/01/2006 10/01/2007 03/01/2007 Trigo 360.00 $/ton 340.00 $/ton 357.00 $/ton 335.00 $/ton Soja 590.00 $/ton 535.00 $/ton 595.00 $/ton 547.50 $/ton Girasol 585.00 $/ton 475.00 $/ton 570.00 $/ton 470.00 $/ton Fuente: Bolsa de Cereales y Productos de Bahía Blanca Tabla 17. Producción de pelo (mohair) en kg. en Patagonia (1) Provincia 1995 1996 Chubut 85.071 78.332 Neuquén 124.531 112.223 Río Negro 137.000 134.533

Departamento de Métodos Cuantitativos 46 Respuestas: a 13) Tomando como base los datos del ejercicio 12 del práctico dos, suponga que se tiene otra bolsa a la que llamaremos B2, con 10 caramelos de naranja, 8 de ananá y 6 de frambuesa. El niño sacará ahora 1 caramelo de la primera bolsa y sin mirarlo lo pasará a la segunda y luego extraerá un caramelo de B2 y lo pasará a la primera bolsa: a) ¿Cuál es la probabilidad de que luego de las dos extracciones las bolsas no haya modificado su contenido? b) Si se sabe que la caja no ha modificado su contenido, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado un caramelo de sabor ananá de la primera a la segunda bolsa? Respuestas: a) 0.376 b) 0.4596

Departamento de Métodos Cuantitativos 47 ANEXO I Utilización de aplicativos. Si bien existen variados aplicativos gratuitos disponibles para celulares y/o tablets, en este caso utilizaremos uno que recibe el nombre de “Probability Distributions”; el mismo será de utilidad tanto para esta materia como para su correlativa posterior. En principio deberán bajar la aplicación en sus celulares y/o tablets. El ícono que la representa es: Una vez que la hayan instalado, si la abren, encontrarán la siguiente pantalla: Allí seleccionarán la distribución de probabilidad deseada. f(x)

Departamento de Métodos Cuantitativos 48 Utilización para la distribución Binomial: Donde: n representa al tamaño de la muestra p es la probabilidad de éxito x es la variable en análisis ( los éxitos analizados) El rectángulo rosado nos devolverá la probabilidad buscada. Podrán ver que allí se puede seleccionar la opción para la probabilidad puntual: P(X=x), la probabilidad acumulada por izquierda: P(X≤x), o la probabilidad acumulada por derecha: P(X≥x). Dependerá la opción seleccionada en función de lo que el ejercicio nos solicite. Ejemplo 7 de la práctica 3:

Departamento de Métodos Cuantitativos 49 Se desea hacer una encuesta de mercado para estudiar cuál será la repercusión de un producto que será lanzado en los próximos días. Se conoce por estudios anteriores que el porcentaje de aceptación sobre productos similares es del 60%. Si se toma una muestra de 20 personas: En primer lugar analicemos el enunciado. Se va a realizar una muestra de 20 personas a las cuales se les preguntará acerca de la aceptación o no de un determinado producto. Como podemos prever, el hecho de que una persona esté dispuesta a aceptar (comprar) nuestro producto, no condiciona a la próxima persona, motivo por el cual pueden asumirse las extracciones con reposición, es decir que la probabilidad de éxito en cada prueba se mantendrá constante (condición fundamental del modelo Binomial). Una vez que el modelo es identificado podemos ver que: P (aceptar)=0,6 y por ende la P (no aceptar)=0,4 (ya asumido que se mantendrán constantes en cada una de las muestras). Veamos las preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente diez personas compren el producto? En este caso la variable quedará definida como: X: cantidad de personas que compran el producto. P=P(éxito)=P(aceptar)=0,6 recuerden que esta probabilidad se fijará una vez que se sepa cuál es el éxito analizado en la pregunta, en este caso, se observa a las personas que compran, de allí la importancia de definir la variable. Su dominio será: 0≤x≤20 Y se nos pide particularmente la probabilidad de que exactamente 10 compren. P(X=10/n=20; p=0,6)= En el programa ingresamos esta información y solicitamos el cálculo de la probabilidad puntual. Es interesante ver y analizar la gráfica de la distribución, que como ustedes saben, para variables discretas, corresponde a una gráfica de bastones. En principio, se observa en color rosado la probabilidad solicitada en particular. En segundo lugar puede concluirse que la distribución de los datos es prácticamente simétrica solamente realizando una observación grafica. También podemos detectar rápidamente el modo, que en este caso se da para el valor 12 de la variable, ya que es el bastón que mayor probabilidad posee. Por último si tocamos en el margen inferior izquierdo la opción de momentos, el programa nos indicará la esperanza, la varianza y el desvío de la variable en cuestión.

Departamento de Métodos Cuantitativos 50 Como vemos, la esperanza (promedio) es 12, que al coincidir con el modo, nos llevará también a la definición de simetría vista en la práctica de estadística descriptiva. Respuesta pregunta a: la probabilidad de que se encuentren exactamente 10 personas de entre las 20 que compren el producto es igual a 0,11714 b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 12 personas compren el producto? Como pueden observar el éxito se mantiene, es decir, la identificación de la variable del punto anterior y los correspondientes parámetros, sólo cambia nuestra pregunta, que en lugar de ser una probabilidad puntual, es una probabilidad acumulada por izquierda, es decir: P (X≤12/n=20; p=0,6)= En el programa ingresamos esta información y solicitamos el cálculo de la probabilidad acumulada por izquierda. En este caso, vemos que la forma se mantiene, debido a que la variable no ha cambiado, pero también podrán notar que, a diferencia del gráfico anterior, todos los bastones que van desde el 12 hacia abajo están en color rosado ya que la probabilidad acumula a las probabilidades puntuales desde el 0 hasta el 12 inclusive.

Departamento de Métodos Cuantitativos 51 Respuesta pregunta b: la probabilidad de que se encuentren 12 personas o menos de entre las 20 que compren el producto es igual a 0,58411 c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 personas no lo adquieran? En esta pregunta no sólo cambia el tipo de probabilidad que nos pide (ya que es una probabilidad acumulada por derecha) sino que cambia la variable de análisis y por ende su correspondiente probabilidad de éxito, entonces: La variable quedará definida como: X: cantidad de personas que no compran el producto. P=P (éxito)=P (no aceptar)=0,4 recuerden que esta probabilidad se fijará una vez que se sepa cuál es el éxito analizado en la pregunta, en este caso, se observa a las personas que no compran. Su dominio será: 0≤x≤20 Y se nos pide particularmente la probabilidad: P (X>9/n=20; p=0,4)= Que, como el nueve no está incluido será: P (X≥10/n=20; p=0,4)= En el programa ingresamos esta información y solicitamos el cálculo de la probabilidad acumulada por derecha. Lo interesante de esta gráfica es que si bien a simple vista, la distribución sigue manteniéndose simétrica el valor del modo cambia y también el de la media (prueben verificándolo matemáticamente) Por otra parte al tratarse de una probabilidad acumulada por derecha, los bastones que aparecen pintados de rosados incluyen desde la probabilidad puntual de 10 hasta el último valor que puede tomar la variable que sería para el dominio establecido, la probabilidad puntual de 20. Respuesta pregunta c: la probabilidad de que se encuentren más de 9 personas de entre las 20 que no compren el producto es igual a 0,24466

Departamento de Métodos Cuantitativos 52 d) ¿Cuántas personas se espera que no compren el producto? La pregunta solicita la esperanza matemática sobre la variable definida en el punto anterior, es decir, aquellas personas que no compran y sabiendo que para el modelo Binomial: () = . () = 20.0,4 = 8 Esto también se puede visualizar en la opción de momentos que posee la aplicación en el margen inferior izquierdo. (Pueden corroborarlo) Respuesta pregunta d: se espera que no compren en la muestra de 20 personas que 8 de ellas no compren el producto. Utilización para la distribución Hipergeométrica Al seleccionar la opción de este modelo de probabilidad la pantalla nos pide diversas informaciones propias de la distribución, a saber: Donde: n representa la muestra tomada N indica el tamaño de la población M representa a los éxitos dentro de la población analizada X indica a la variable en estudio, es decir, a los éxitos que se encuentran dentro de la muestra. Como verán, el modelo es muy similar al de la Binomial ya que mediante él también podremos obtener probabilidades puntuales y/o probabilidades acumuladas por izquierda y derecha, dependiendo del ejercicio en cuestión.