Departamento de Métodos Cuantitativos 53 Ejemplo 15 de la práctica 3: Para realizar el control de recepción de una pieza el comprador decide tomar una muestra de 5 unidades de la caja recibida y si encuentra más de 1 de segunda calidad rechazar la misma. Se cree que el proveedor ha incorporado en cada caja que entrega 2 unidades de segunda calidad sobre un total de 16 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador acepte la caja? En este ejemplo, lo primero que debemos analizar es como son las extracciones que realiza el comprador. Debido a que se trata de un control de recepción. Parece incoherente asumir que tomara de a una pieza y las repondrá, ya que no tendría sentido práctico. Es así como asumiremos que ante cada pieza seleccionada la irá dejando fuera de la caja, es decir, las extracciones se asumen sin reposición (Condición fundamental del modelo). Si definimos a la variable como: X: cantidad de piezas de segunda calidad en la muestra de 5 unidades. M= 2 recuerden que esta cantidad se fijará una vez que se sepa cuál es el éxito analizado en la pregunta, en este caso, se observa a las piezas defectuosas, de allí la importancia de definir la variable. Su dominio será: 0≤x≤2 Y se nos pide particularmente la probabilidad de que se acepte la caja. Según el enunciado, el comprador rechazará la caja si encuentra más de una de segunda calidad. Observando el dominio de la variable, sería equivalente a decir, que la caja va a ser rechazada si se encuentran exactamente las dos de segunda calidad que la caja tiene. Con lo cual: P(Rechazar la caja)= Ph(X=2/N=16;n=5;M=2) que podemos obtenerla directamente de la aplicación Por ende la probabilidad de aceptar la caja sería: P(Aceptar la caja) = 1 – P(rechazar la caja)= 1- 0,08333= 0,91667.
Departamento de Métodos Cuantitativos 54 Otra opción será analizar que si el comprador rechaza cuando encuentra 2 de las 5 que analiza, sólo aceptaría si encuentra 1 o ninguna de segunda calidad, lo que equivale a una probabilidad acumulada por izquierda del valor 1. P(Aceptar la caja)= Ph(x≤1/N=16; n=5; M=2) que también puede obtenerse utilizando el programa, y se llegará directamente al resultado indicado. Respuesta: Dada las condiciones de composición de la caja y el muestreo que el comprador estipuló hacer, el 92% de las veces, aproximadamente, la caja será acepta. Utilización para la distribución de Poisson Al seleccionar la opción de este modelo de probabilidad la pantalla nos pide distintos datos propios de la distribución, a saber:
Departamento de Métodos Cuantitativos 55 Donde: λ representa a la media de la distribución. Este valor lo obtendremos de multiplicar el continuo de observación (t) por la tasa de fallas del proceso (b) x representa a la variable en estudio. En cuanto a la utilización de la app el modelo es muy similar al de la Binomial y la Hipergeométrica, debido a que mediante él también podremos obtener probabilidades puntuales y/o probabilidades acumuladas por izquierda y derecha, dependiendo del ejercicio en cuestión. Ejercicio 9 práctico 3: En un bingo del conurbano resulta ganador del premio mayor un promedio de un jugador cada 2,5 horas. En un lapso de 6 horas ¿cuál es la probabilidad de que el premio mayor salga 3 veces por lo menos? Este es un ejemplo clásico del modelo de Poisson donde la tasa de fallas, b=2,5 ganadores/hora. El lapso en el cuál se realizará la experiencia es de 6 horas (t), con lo que: λ= b.t=2,5.6= 15 ganadores La probabilidad solicitada es: Ppo(x≥3/λ=15). Ingresando a la app, solicitamos para este caso la probabilidad acumulada por derecha, obteniendo:
Departamento de Métodos Cuantitativos 56 Respuesta: Es altamente probable que en el lapso de 6hs se presenten al menos 3 ganadores. Utilización para la distribución Normal: Una vez seleccionada la distribución Normal aparecerán:
Departamento de Métodos Cuantitativos 57 Por defecto, la aplicación utiliza los parámetros de la distribución normal estándar, es decir, una media de 0 y un desvío de 1. No modificaremos estos valores ya que estamos interesados en trabajar con la normal estándar. En el rectángulo celeste cargaremos los valores de Z que vayamos calculando para obtener las correspondientes probabilidades. Una vez ingresado el valor de Z, le solicitamos a la app, si deseamos el área a izquierda (P(X<x)) o el área a la derecha (P(X>x)), dependiendo del caso. Podremos ver, que el gráfico nos mostrará la superficie calculada. Si en cambio disponemos de los valores de probabilidad y deseamos conocer el valor de Z, ingresaremos nuestro dato (la probabilidad) en el rectángulo rosado, indicando que es una probabilidad acumulada a la izquierda (P(X<x)). Veámoslo en un ejemplo: La estatura de los niños de un jardín de infantes posee distribución normal con un promedio de 1 metro y un desvío estándar de 0,2 metros Se define a la variable en estudio como: X: estatura de los niños de jardín de infantes es Normal (µ=1mts; σ= 0,2mts) Recordemos que para calcular las probabilidades solicitadas se debe estandarizar la variable, es decir: = − a) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar mida menos de 1.05 metros En primer lugar realizaremos la estandarización de la variable: = 1,05 −1 0,2 = 0,25 Se pide la P( x ≤ 1,05) que será equivalente a la P(Z ≤ 0,25). Ingresamos al programa el valor de Z=0,25 y solicitamos en este caso el área a la izquierda del valor.
Departamento de Métodos Cuantitativos 58 Respuesta pregunta a: la probabilidad de que un niño elegido al azar mida menos de 1,05mts es de 0,59871. Es decir, se espera que casi el 60% de los niños posean esa altura o valores inferiores. b) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar mida más de 90 cm Comencemos con la estandarización de la variable para el nuevo valor: = 0,9 −1 0,2 = −0,5 Se pide P( x ≥ 0,9) que es equivalente a P(Z ≥ -0,5). Ingresamos al programa el valor de Z= -0,5 y solicitamos en este caso el área a la derecha del valor.
Departamento de Métodos Cuantitativos 59 Respuesta pregunta b: la probabilidad de que un niño elegido al azar mida mas de 90 cm es de 0,69146. Es decir, se espera que aproximadamente el 69% de los niños posean esa altura o valores superiores. c) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar mida entre 1,2 y 1,3 metros Para esta pregunta se pide la probabilidad entre dos valores de la variable. Realicemos las estandarizaciones en cada caso: = 1,2− 1 0,2 = 1 = 1,3 −1 0,2 = 1,5 Entonces se solicita la P( 1,2 ≤ x ≤ 1,3)que es igual a la P( 1 ≤ Z ≤1,5)=P(Z≤ 1,5) – P( Z≤ 1)
Departamento de Métodos Cuantitativos 60 Para aquellos que estén olvidados, un área entre dos valores de la variable se calcula restando las probabilidades acumuladas entre ellos, generalmente a la superficie acumulada a la izquierda del valor más grande se le resta la superficie acumulada a la izquierda del valor más pequeño (no siendo esta la única variante, pero si la más utilizada). Respuesta pregunta c: la probabilidad de que un niño elegido al azar mida entre 1,2 y 1,3 metros es de 0,09185. Es decir, se espera que aproximadamente el 9% de los niños se encuentren entre dichas estaturas. d) ¿Cuál es la estatura no superada por del 90% de los niños? En este caso la operación es inversa, se pide un valor de X dada una determinada probabilidad. Entonces, buscaremos en primer lugar, cual es el valor de Z que acumula por debajo de él, el 90% de la información. Si ingresamos la probabilidad en el rectángulo rosa, nos devolverá en el rectángulo verde dicho valor, para este caso: 1,2816 (redondeado).
Departamento de Métodos Cuantitativos 61 Entonces si ahora sabemos el valor de la Z, reemplazando en la formula de la estandarización tendremos: 1,2816 = x − 1 0,2 Y despejando se obtiene que el valor de X que deja por debajo de él 90% de la información es 1,2563 mts, o lo que es lo mismo, el 10% de los niños miden más 1,2563mts.
Departamento de Métodos Cuantitativos 62 ANEXO II Utilización de Excel Utilización para la distribución Binomial: Para efectuar el cálculo de una probabilidad bajo el modelo Binomial, puede utilizarse la planilla de cálculo del Excel. En la parte de funciones estadísticas encontrarán una opción que es =DISTR.BINOM Aceptando esta opción podrán ver un cuadro de dialogo similar al siguiente:
Departamento de Métodos Cuantitativos 63 en la cual les pedirá que ingresen la cantidad de éxitos, el tamaño de la muestra (ensayos), la probabilidad de éxito y un valor lógico( en el cuadrante denominado acumulado), que podrá ser VERDADERO (para el caso en que deseen calcular una probabilidad acumulada por izquierda) o FALSO (para el caso en que necesiten calcular una probabilidad puntual). La utilización de una planilla de cálculo, les permitirá realizar las operaciones de manera rápida y confiable.
Departamento de Métodos Cuantitativos 64 Utilización para la distribución Hipergeométrica: Para el caso del modelo Hipergeométrico, disponemos en la planilla de cálculo del Excel una función que les permitirá calcular sólo las probabilidades puntuales1 . Dicha función es =DISTR.HIPERGEOM una vez seleccionada observarán un cuadro de dialogo como el que sigue: en la que deberán indicar los éxitos de la muestra, el tamaño de la muestra, el total de éxitos en la población (población éxito) y el tamaño de la población. Ejemplo: Si se posee un mazo de carta españolas de 40 y se van a seleccionar 5 sin reposición: a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 cartas de espada? b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar como mínimo 3 cartas que sean de valor cuatro? Procedimiento: Al iniciar el análisis de este ejemplo pueden ver rápidamente que al tratarse de extracciones sin reposición, la probabilidad de éxito en cada una de las extracciones no permanece constante, motivo por el cual, el proceso candidato para resolver la problemática será el Hipergeométrico con el modelo que lleva el mismo nombre. Los parámetros son N=40 y n=5, pero para el caso de los éxitos en la muestra y la población, varían en cada una de las preguntas, ya que en ambas se buscan cosas diferentes. Es así como para la pregunta a) la variable r será “la cantidad de cartas de espada obtenidas” y para la pregunta b) será “la cantidad de cartas de valor cuatro obtenidas”, lo que los lleva a definir a los éxitos de la población como R=10 y R=4, respectivamente. 1 En caso de necesitar el cálculo de probabilidades acumuladas deberán efectuar los cálculos de las probabilidades puntuales que comprende cada probabilidad acumulada y sumarlos.
Departamento de Métodos Cuantitativos 65 En la pregunta a) el dominio de la variable será: 0 r 5 y lo que se pide es una probabilidad puntual, y utilizando la herramienta de la planilla de cálculo se obtiene: Phi(r 2/ n 5;N 40;R :10) 0,27766 Respuesta: la probabilidad de encontrar 2 cartas de espada en una muestra de 5 cartas tomadas sin reposición es de 0,27766. Para la pregunta b) debe volver a definirse el dominio debido a que el éxito ha cambiado y en este caso tendrán: 0 r 4 y lo que se pide es una probabilidad acumulada a la derecha, es decir: G (r 3/ n 5;N 40;R 4) P(r 3) P(r 4) hi Respuesta: la probabilidad de sacar como mínimo 3 cartas que posean el valor cuatro en una muestra de 5 cartas tomadas sin reposición es de 0,00388. Utilización para la distribución de Poisson: Para la resolución de problemas que involucren al modelo de Poisson, también podemos recurrir a la planilla de cálculo de Excel, en la opción =POISSON en la cual deberán definir la cantidad de fallas (x), la media de la distribución(λ=b.t) y un argumento lógico ( en el cuadrante denominado acumulado), que será VERDADERO en caso de requerir una probabilidad acumulada por izquierda y FALSO, para el caso de una probabilidad puntual. Ejemplo: Una agencia de empleos desea estudiar la afluencia de personas los días lunes a sus oficinas, con la finalidad de disponer la cantidad de empleados necesarios para atender ese caudal de postulantes. Se sabe por registros históricos que el arribo de personas a estas oficinas se produce a razón de 10 personas por hora.
Departamento de Métodos Cuantitativos 66 a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 horas arriben 15 personas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 60 minutos ingreses 8 o menos personas? Procedimiento: En primer lugar identificamos rápidamente la tasa de fallas, parámetro propio del proceso de Poisson y en segundo lugar al prefijar el tiempo de observación queda definido el parámetro de la distribución de Poisson. Para la pregunta a) la variable aleatoria será “la cantidad de personas que arriban a las oficinas en el lapso de 2 hs” y se pide la probabilidad puntual del valor de variable 15. El dominio de la variable definida será: r o Ingresando en la plantilla el valor de variable 15, la media de 20 y como argumento “FALSO” ( ya que pide una probabilidad puntual), se obtiene: Ppo (r 15 / t 10.2) 0,05165 Respuesta: La probabilidad de que arriben 15 personas en un periodo de 2 horas es de 0,05165. Para la pregunta b) la variable aleatoria será “ la cantidad de personas que arriban a las oficinas en el lapso de 60 minutos, o lo que es equivalente 1 hs” y se pedi la probabilidad acumulada hasta el valor 8 de la variable. Ingresando en la plantilla el valor de variable 8, la media de 10 y como argumento “VERDADERO” ( ya que pide una probabilidad acumulada por izquierda), se obtiene: Fpo (r 8/ t 10.1) 0,33282 Respuesta: La probabilidad de que arriben 8 personas o menos en un periodo de 60 minutos es de 0,33282. Utilización para la distribución Normal: La utilización del Excel para la distribución normal posee dos variantes: el cálculo de una probabilidad o la obtención de un percentil, así que lo veremos dentro del ejemplo: Ejemplo: Una fabrica productora de paquetes de yerba se encuentra estudiando las condiciones de funcionamiento de sus maquinas empaquetadoras. Se sabe por estudios anteriores que el peso de los paquetes de yerba sigue una distribución normal con un promedio de 1000grs y un desvío estándar de 100grs. Si se elige un paquete al azar, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso sea inferior a los 980grs? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso sea superior a los 1010grs? c) ¿Cuál es el peso no superado por el 10% de los paquetes? Procedimiento: Antes de comenzar con la resolución del ejercicio, definamos la variable en estudio y sus características: x:”peso de los paquetes de yerba” x N( 1000grs; 100grs)
Departamento de Métodos Cuantitativos 67 La variable es la resultante de un proceso tecnológico que se espera presente poca dispersión, con lo que resulta lógico que el modelo de probabilidad utilizado sea normal. Por otra parte, si calculamos el coeficiente de variación de esta variable se obtiene: .100 10% 1000 100 .100 CV , lo que representa una baja variabilidad en términos relativos. a) Esta pregunta apunta al cálculo de una probabilidad acumulada por izquierda del valor 980grs, es decir, P(x 980grs) F(x 980) Para efectuar dicho cálculo debemos, en primer lugar, estandarizar la variable, buscando cuál es el valor de Z que es el equivalente al x = 980grs, es decir: 0,2 100 980 1000 Z A partir de lo anterior podemos decir que, P(x 980grs) F(x 980) F(z 0,2) En el Excel, en la opción de f(x), pueden definir, las funciones estadísticas y encontrarán la variante llamada: =DISTR.NORM.ESTAND En la cual definiendo el valor de z adecuado, obtendrán el área acumulada a la izquierda del mismo. En este caso el resultado es 0,4207 Respuesta: el 42,07% de los paquetes producidos posee un peso inferior a los 980 grs. b) A diferencia de la pregunta anterior en este caso nos interesa la probabilidad de estar por encima de un valor de variable, o sea, una probabilidad acumulada pero por derecha. Si trasformamos a la x en términos de la variable z, tendremos: 0,1 100 1010 1000 Z
Departamento de Métodos Cuantitativos 68 P(x 1010grs) G(x 980) G(z 0,1) Al buscar el resultado en la planilla de cálculo no deben olvidar que, la misma sólo les proporcionará las probabilidades acumuladas por izquierda, es decir en este caso la F(z=0,1), pero sabiendo que el área bajo la curva cubre la totalidad de los casos (en términos de probabilidad ese espacio es igual a la unidad) la probabilidad acumulada a la derecha y a la izquierda del mismo valor serán complementarias, por lo que, a 1 deberán sustraerle la probabilidad acumulada a la izquierda brindada por el Excel, para llegar al resultado solicitado. Respuesta: el 46,02% de los paquetes procesados posee un peso superior a los 1010grs. c) En esta pregunta se solicita el cálculo de un percentil, en particular, el 0,1. Con lo cual el proceso que debemos utilizar será inverso al del cálculo de las probabilidades, ya que, sabemos cuánto vale la probabilidad acumulada a la izquierda del fractil, esto es: ( ) 0,1 ( ) 0,1 0,1 F x F z En este caso no conocemos el valor de z y tampoco podríamos calcularlo como en las preguntas anteriores ya que no poseemos el valor de x que es justamente la incógnita. Con lo que, en este caso debemos buscar cuál es el valor de z que logra que la probabilidad acumulada a la izquierda sea de 0,1. En la planilla de cálculo tenemos que invertir la función estadística, esto es =DISTR.NORM.ESTAND.INV e indicar la probabilidad acumulada a la izquierda. El resultado obtenido será -1,282. Una vez que se conoce el valor de z, se tiene: x grs x Z 1000 1,282.100 871,8 1,282 100 1000 0,1 0,1 0,1 Respuesta: El 10% de los paquetes no supera los 871,8grs de peso.