DISEÑO DE MAQUINARIA SÍNTESIS Y ANÁLISIS DE MÁQUINAS Y MECANISMOS ROBERT L. NORTON

8.4 DISEÑO DE UNA LEVA CON DETENIMIENTO SIMPLE: SELECCIÓN DE LAS FUNCIONES S V A J 291

✍EJEMPLO 8-6 Uso de movimiento cicloidal en el caso de una leva 8
subida-bajada-detenimiento simple.

Problema: Considérese la siguiente especificación para una leva con detenimiento simple.

detenimiento 1 pulg (25 mm) en 90 grados
bajada 1 pulg (25 mm) en 90 grados
detenimiento en desplazamiento cero durante 180 grados (detenimiento bajo)
w leva 15 rad/s

Solución:

1 La figura 8-27 muestra una subida de desplazamiento cicloidal y una bajada de desplazamiento cicloidal apli-
cados a este ejemplo de detenimiento simple. Obsérvese que el diagrama de desplazamiento (s) es aceptable
ya que mueve el seguidor de la posición baja a la posición alta y de regreso en los intervalos requeridos.

2 La velocidad (v) también es aceptable en cuanto lleva al seguidor de una velocidad cero en el detenimiento
bajo a un valor pico de 19.1 pulg/s (0.49 m/s) y a cero otra vez en el desplazamiento máximo, donde se aplica
el pegamento.

3 La figura 8-27 muestra la función de aceleración para esta solución. Su valor absoluto máximo es aproxima-
damente de 573 pulg/s2.

4 El problema es que esta curva de aceleración tiene un retorno innecesario a cero en el extremo de la subida.
Es innecesario porque la aceleración durante la primera parte de la bajada también es negativa. Sería mejor
mantenerla en la región negativa en el extremo de la subida.

5 Esta oscilación innecesaria a cero en la aceleración provoca que la rapidez de aceleración presente cambios
y discontinuidades más bruscas. La única justificación real para llevar la aceleración a cero es la necesidad
de cambiar su signo (como en el caso del punto intermedio del recorrido de subida o bajada) o acoplarse con
un segmento adyacente con aceleración cero.

El lector puede abrir el archivo E08-06.cam con el programa Dynacam para analizar este ejem-
plo con más detalle.

Para el caso de detenimiento simple se requiere una función para la subida que no regrese su
aceleración a cero en el extremo del intervalo. La función para la bajada debe comenzar con el mis-
mo valor de aceleración no cero con la que terminó la subida y luego ser cero en su punto final para
acoplarse con el detenimiento. Una función que satisface esos criterios es la armónica doble, que
obtiene su nombre de sus dos términos coseno, uno de los cuales es una armónica de semiperiodo,
y la otra una onda de periodo completo. Las ecuaciones para las funciones armónicas dobles son:

Subida Bajada Detenimiento
cicloidal cicloidal

s

Retorno innecesario v + 573 pulg/s2
a aceleración cero a – 573 pulg/s2
j

Discontinuidad innecesaria 0 90 180 270 360
del sacudimiento

FIGURA 8-27 El movimiento cicloidal (o cualquier programa de doble detenimiento) es una opción
deficiente en el caso de detenimiento simple

292 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

8 para la subida:

s = h ⎨⎪⎧⎢⎡1 − cos ⎛ π θ ⎞ ⎤ − 1 ⎡ − cos ⎛ 2π θ ⎞ ⎤⎪⎫
2 ⎪⎩⎣ ⎝⎜ β ⎠⎟ ⎥ 4 ⎢1 ⎝⎜ β ⎟⎠ ⎥⎬
⎦ ⎣ ⎦⎪⎭

v = π h ⎡ ⎛ π θ ⎞ − 1 sen ⎛ 2π θ ⎞ ⎤
β 2 ⎢sen ⎝⎜ β ⎟⎠ 2 ⎝⎜ β ⎠⎟ ⎥
⎣ ⎦

a = π2 h ⎡ ⎛ π θ ⎞ − cos ⎛ 2π θ ⎞ ⎤ (8.26a)
β2 2 ⎢cos ⎝⎜ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎠⎟ ⎥
⎣ ⎦

j = − π3 h ⎡ ⎛ π θ ⎞ − 2 sen ⎛ 2π θ ⎞ ⎤
β3 2 ⎢sen ⎝⎜ β ⎠⎟ ⎝⎜ β ⎟⎠ ⎥
⎣ ⎦

para la bajada:

s = h ⎪⎨⎧⎢⎡1 + cos ⎛ π θ ⎞ ⎤ − 1 ⎡ ⎛ 2π θ ⎞ ⎤⎪⎫
2 ⎩⎪⎣ ⎜⎝ β ⎟⎠ ⎥ 4 ⎢1 − cos ⎜⎝ β ⎟⎠ ⎥⎬
⎦ ⎣ ⎦⎭⎪

v = − π h ⎡ ⎛ π θ ⎞ + 1 sen ⎛ 2π θ ⎞ ⎤
β 2 ⎢sen ⎝⎜ β ⎠⎟ 2 ⎜⎝ β ⎠⎟ ⎥
⎣ ⎦

a = − π 2 h ⎣⎢⎡cos⎝⎜⎛ π θ⎞ + cos ⎛ 2π θ⎞⎤ (8.26b)
β 2 2 β ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ ⎥
β ⎦

j = π3 h ⎡ ⎛ π θ⎞ + 2 sen ⎛ 2π θ⎞⎤
β3 2 ⎢sen ⎝⎜ β ⎠⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥
⎣ β ⎦

Obsérvese que estas funciones armónicas dobles nunca deben utilizarse en el caso de deteni-
miento doble porque su aceleración es no cero en un extremo del intervalo.

✍EJEMPLO 8-7 Movimiento armónico doble en el caso de una leva
de subida-bajada y detenimiento simple.

Problema: Considérese la misma especificación para leva de detenimiento simple del ejemplo 8-5 (p. 288):

subida 1 pulg (25 mm) en 90 grados
bajada 1 pulg (25 mm) en 90 grados
detenimiento en desplazamiento cero durante 180 grados (detenimiento bajo)
w leva 15 rad/s

Solución:

1 La figura 8-28 muestra una subida armónica doble y una bajada armónica doble. La velocidad pico es de 19.5
pulg/s (0.50 m/s), que es similar a la de la solución cicloidal del ejemplo 8-6.

2 Obsérvese que la aceleración de esta función armónica doble no regresa a cero en el extremo de la subida.
Esto la hace más adecuada para el caso de detenimiento simple.

Subida Bajada Detenimiento
armónica armónica

doble doble

s

v

–900 pulg/s2 a

Aceleración cero no innecesaria

j
Golpeteo continuo

0 90 180 270 360

FIGURA 8-28 El movimiento armónico doble puede utilizarse en el caso de detenimiento simple si
las duraciones de la subida y bajada son iguales

8.4 DISEÑO DE UNA LEVA CON DETENIMIENTO SIMPLE: SELECCIÓN DE LAS FUNCIONES S V A J 293

3 La función de golpeteo armónica doble alcanza un valor máximo de 36 931 pulg/s3 (938 m/s3) y es bastante
uniforme comparada con la solución cicloidal.

4 Desafortunadamente, la aceleración pico negativa es de 900 pulg/s2, casi dos veces la de la solución cicloidal.
Es una función más uniforme, pero desarrollará fuerzas dinámicas más altas. Abra el archivo E08-07.cam
con el programa Dynacam para analizar este ejemplo con más detalle.

5 Otra limitación de esta función es que sólo puede utilizarse en el caso de una subida y bajada de igual duración
(simétricas). Si los tiempos de subida y bajada son diferentes, la aceleración será discontinua en la unión de
la subida y la bajada, lo cual viola la ley fundamental del diseño de levas.

Ninguna de las soluciones de los ejemplos 8-6 (p. 291) y 8-7 es óptima. Ahora se aplicarán las
funciones polinomiales y se rediseñarán para mejorar su uniformidad y reducir su aceleración pico.

Aplicaciones de polinomios a detenimiento simple 8

Para resolver el problema del ejemplo 8-7 con un polinomio, debe emplearse un conjunto adecuado
de condiciones de frontera. En primer lugar, debe determinarse la cantidad de segmentos en que se
dividirá el ciclo de la leva. El enunciado del problema parece implicar tres segmentos: una subida,
una bajada y un detenimiento. Podrían utilizarse esos tres segmentos para crear las funciones, como
se hizo en los dos ejemplos previos, pero un mejor enfoque es utilizar sólo dos segmentos, uno para
la subida y bajada combinadas y otro para el detenimiento. Como regla general se debe reducir al
mínimo el número de segmentos en las funciones de leva polinomiales. Cualquier detenimiento re-
quiere su segmento propio. Para este caso, el número mínimo posible es de dos segmentos.

Otra regla empírica es que debe reducirse al mínimo el número de condiciones de frontera
especificado, porque el grado del polinomio está ligado al número de condiciones de frontera. Con-
forme se incrementa el grado de la función, lo harán también el número de sus puntos de inflexión
y su número de mínimos y máximos. El proceso de derivación garantiza que la función pasará por
todas las condiciones de frontera especificadas, pero no expresa nada sobre el comportamiento de
la función entre ellas. Una función de alto grado puede tener oscilaciones indeseables entre sus
condiciones de frontera.

Con estas suposiciones es posible seleccionar un conjunto de condiciones de frontera para una
solución de prueba. En primer lugar, se volverá a plantear el problema para que refleje la configu-
ración de dos segmentos.

✍EJEMPLO 8-8 Diseño de un polinomio en el caso de
subida-bajada-detenimiento simple simétrico.

Problema: Defínase de nuevo la especificación CEP de los ejemplos 8-5 y 8-6.

subida-bajada 1 pulg (25.4 mm) en 90° y caída en 1 pulg (25.4 mm) en 90° sobre 180°
detenimiento
en desplazamiento cero durante 180°
w leva
(detenimiento bajo) Número Función Ángulo Ángulo Ángulo
15 rad/s de seg- final delta

Solución: mento utilizada inicial

1 La figura 8-29 muestra el conjunto mínimo de siete condiciones de fron- 1 Polinomio 6 0 180 180
tera para este problema simétrico, el cual dará un polinomio de sexto
grado. El detenimiento a ambos lados del segmento de subida-bajada Condiciones de frontera impuestas Ecuación resultante
combinados tiene valores cero de s, v, a y j. La ley fundamental de diseño
de levas requiere igualar estos valores cero hasta la función de acelera- Función Condiciones
ción en cada extremo del segmento de subida-bajada. Theta % Beta de frontera Exponente Coeficiente

2 Entonces se tienen seis condiciones de frontera: s, v, a = 0 en cada extre- Desplazamiento 0 0 0 0 0
mo del segmento de subida-bajada. 0 0 1 0
Velocidad 0 0 0 2 0
3 También debe especificarse un valor de desplazamiento en el pico de 1
pulg de la subida que ocurre cuando q = 90°. Éste constituye la séptima Aceleración 0
condición de frontera. Obsérvese que, por simetría, no es necesario es-
pecificar que la velocidad sea cero en el pico, aunque así será. Desplazamiento 180 1 0 3 64
1 0 4 – 192
4 La figura 8-29 muestra también los coeficientes del polinomio de des- Velocidad 180 1 0 5 192
plazamiento que resultan de la solución simultánea de las ecuaciones
con las condiciones de frontera seleccionadas. En general, se sustituye Aceleración 180

Desplazamiento 90 0.5 1 6 – 64

FIGURA 8-29 Condiciones de frontera y coeficientes en
una aplicación polinomial de detenimiento simple

294 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

la variable h por la subida especificada de 1 pulg. La función resulta ser un
s polinomio 3-4-5-6, cuya ecuación es:

⎡ ⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 4 ⎛ θ ⎞ 5 ⎛ θ ⎞ 6 ⎤
⎢64 ⎜⎝ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎠⎟ ⎜⎝ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎠⎟ ⎥
v s = h ⎣⎢ − 192 + 192 − 64 ⎦⎥ (a)

+ 547 pulg/s2

a La figura 8-30 muestra los diagramas s v a j para esta solución con
sus valores máximos señalados. Compárense estas curvas de aceleración
– 547 pulg/s2 s v a j con las soluciones armónica doble y cicloidal del mismo problema

j en las figuras 8-27 (p. 291) y 8-28 (p. 292). Se observa que esta función
polinomial de sexto grado es tan uniforme como las funciones armó-

0 90 180 nicas dobles (figura 8-28) y no necesariamente regresa la aceleración
270 360 a cero en la parte superior de la subida como la cicloidal (figura 8-27,

FIGURA 8-30 Función polinomial 3-4-5-6 para una p. 291). El polinomio tiene una aceleración pico de 547 pulg/s2, que
leva de detención simple de dos segmentos simétri- es menor a la solución cicloidal o a la armónica doble. Este polinomio
cos de elevación-caída 3-4-5-6 es una solución superior a cualquiera de las presentadas para

el caso simétrico de subida-bajada y un ejemplo de cómo las funciones polinomiales se pueden

adaptar fácilmente a especificaciones de diseño particulares. El lector puede abrir el archivo

E08-08.cam con el programa Dynacam para analizar este ejemplo con más detalle.

8
Efecto de la asimetría en la solución polinomial

al caso de subida-bajada

Los ejemplos hasta ahora presentados tienen igual tiempo de subida y bajada, conocido como curva
simétrica de subida-bajada. ¿Qué sucederá si se requiere un programa asimétrico y se intenta utilizar
un polinomio simple como el del ejemplo previo?

✍EJEMPLO 8-9 Diseño de un polinomio en el caso asimétrico
de subida-bajada-detenimiento simple.

Problema: Definir otra vez la especificación del ejemplo 8-8 (p. 293) como:

subida-bajada subida de 1 pulg (25.4 mm) en 45° y bajada de 1 pulg (25.4 mm) en 135°
para un total de 180°
detenimiento en desplazamiento cero durante 180° (detenimiento bajo)
w leva 15 rad/s

Solución:

1 La figura 8-31 muestra el conjunto mínimo de siete condiciones de frontera, para este problema que dará un
polinomio de sexto grado. El detenimiento a ambos lados del segmento combinado de subida y bajada tiene
valores cero para S, V, A y J. La ley fundamental de diseño de levas requiere igualar estos valores cero hasta
la función de aceleración en cada extremo del segmento de subida y bajada.

Segmento 1 2
h = 1 a 45º máx = 2.37 a 90º

S

7 condiciones V +1 297 pulg/s2
de frontera A –1 297 pulg/s2

J

0 45 180 360

FIGURA 8-31 Polinomial inaceptable para una leva con detenimiento simple de dos segmentos
asimétricos de subida-bajada

8.4 DISEÑO DE UNA LEVA CON DETENIMIENTO SIMPLE: SELECCIÓN DE LAS FUNCIONES S V A J 295

2 Los puntos extremos responden a seis condiciones de frontera; S = V = A Segmento 1 2
= 0 en cada extremo del segmento de subida y bajada. h = 1 a 45° –3.934

3 También se debe especificar un valor de desplazamiento en el pico de 1 S
pulg de la subida que ocurre cuando q = 45. Ésta es la séptima condición
de frontera. V

4 La solución simultánea de este conjunto de ecuaciones da un polinomio
3-4-5-6, cuya ecuación es:

⎡ ⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 4 ⎛ θ ⎞ 5 ⎛ θ ⎞ 6 ⎤ 8 condiciones +4 011 pulg/s2
⎢151.704 ⎝⎜ β ⎟⎠ 455.111⎝⎜ β ⎟⎠ 455.111⎝⎜ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎟⎠ ⎥ de frontera
s = h ⎢⎣ − + − 151.704 ⎥⎦ (a)

A

Por regla general se sustituye la variable h por la elevación especificada de –3 458 pulg/s2

1 pulg.

5 La figura 8-31 muestra los diagramas S V A J de esta solución con sus J

valores máximos señalados. Obsérvese que el polinomio de sexto grado 0 45 180 360
derivado obedece a las condiciones de frontera establecidas y en realidad

pasa por un desplazamiento de 1 unidad en 45°. También puede observarse FIGURA 8-32 Polinomial inaceptable para una leva de
que va más allá de ese punto y alcanza una altura de 2.37 unidades en su detenimiento simple de dos segmentos asimétricos
pico. El pico de la aceleración también es 2.37 veces la del caso simétrico de subida-bajada

del ejemplo 8-8 (p. 293). Sin condiciones de frontera adicionales aplica-

das, la función busca simetría. Obsérvese que el punto de velocidad cero 8
continúa en 90°, cuando lo deseable es que estuviera en 45°. Puede tratarse de lograr que la velocidad sea

cero con una condición de frontera adicional de V = 0 cuando q = 45°.

6 La figura 8-32 muestra los diagramas S V A J para un polinomio de séptimo grado con ocho condiciones de

frontera, S = V = A = 0, en q = 0. S = V = A = 0 cuando q = 180°, S = 1, V = 0 cuando q = 45°. Obsérvese que

la función resultante obedece a estas condiciones y pasa por esos puntos, pero “hace otra cosa” en otra parte,
pues se precipita a un desplazamiento negativo de –3.93 con una aceleración pico mucho mayor. Esto pone
de manifiesto un problema inherente a las funciones polinomiales: que su comportamiento entre las condi-

ciones de frontera no es controlable y puede crear desviaciones indeseables en el movimiento del seguidor.
Este problema se exacerba conforme el grado de la función se incrementa, puesto que en ese caso tiene más
raíces y puntos de inflexión, lo que permite más oscilaciones entre las condiciones de frontera.
7 Abra los archivos Ex_08-09a y b con el programa Dynacam para analizar este ejemplo con más detalle.

En este caso, la regla para reducir el número de segmentos está en conflicto con la regla para
disminuir el grado de polinomio. Una solución alternativa a este problema asimétrico es usar tres
segmentos, uno para la subida, uno para la bajada y uno para el detenimiento. Al adicionar segmentos
se reducirá el orden de las funciones y estarán bajo control.

✍EJEMPLO 8-10 Diseño de un polinomio de tres segmentos en caso
asimétrico de subida-bajada-detenimiento simple
por medio de condiciones de frontera mínimas.

Problema: Defínase de nuevo la especificación del ejemplo 8-9 (p. 294) como:

subida 1 pulg (25.4 mm) en 45°
bajada 1 pulg (25.4 mm) en 135°
detenimiento en desplazamiento cero durante 180° (detenimiento bajo)
w leva 15 rad/s

Solución:

1 El primer intento para esta solución especifica cinco condiciones de frontera: S = V = A = 0 al inicio de la
subida (para acoplar con el detenimiento), S = 1 y V = 0 al final de la subida. Obsérvese que las condiciones
de frontera del segmento de subida dejan la aceleración en su extremo sin especificar, pero las condiciones de
frontera del segmento de bajada deben incluir el valor de la aceleración en el extremo de la subida que resulta
del cálculo de su aceleración. Así pues, la caída requiere de una condición de frontera más que la subida.

2 Esto da por resultado la siguiente ecuación de cuarto grado para el segmento de subida.

⎡ ⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 4 ⎤
⎢4 ⎜⎝ β ⎟⎠ 3⎝⎜ β ⎟⎠ ⎥
s = h ⎣⎢ − ⎦⎥ (a)

296 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

Segmento 1 23 3 La evaluación de la aceleración en el extremo de la elevación da – 4 377.11
h = 1 a 45° –1.226 pulg/s2 pulg/s2, que se convierte en una condición de frontera para el segmento
de bajada. El conjunto de seis condiciones de frontera para la bajada es
Segmento 1 S Sólo segmento 2 entonces S = 1, V = 0, A = – 4 377.11 al inicio de la bajada (para acoplar
5 condiciones V –4 377 pulg/s2 con la subida) y S = V = A = 0 al final de la bajada para acoplar con el
detenimiento. La ecuación de quinto grado para la caída es entonces:
de frontera

Segmento 2 ⎡ ⎛ θ ⎞ 2 152 ⎝⎜⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 4 ⎛ θ ⎞ 5 ⎤
⎢1 ⎝⎜ β ⎟⎠ β ⎠⎟ ⎝⎜ β ⎟⎠ ⎝⎜ β ⎠⎟ ⎥
6 condiciones s = h ⎣⎢ − 54 + − 147 + 48 ⎦⎥ (b)
de frontera A

J 4 La figura 8-33 muestra los diagramas S V A J para esta solución con sus
valores extremos señalados. Obsérvese que este polinomio en la caída tam-
0 45 180 360 bién presenta un problema: el desplazamiento se vuelve negativo.

FIGURA 8-33 Polinomiales inaceptables para una leva 5 El truco en este caso (y en general) consiste en calcular primero el segmen-
con detenimiento simple de tres segmentos asimétri- to con la aceleración más pequeña (aquí el segundo segmento) debido al
cos de subida-bajada ángulo de duración más grande b. Luego se emplea el valor de aceleración
más pequeño como condición de frontera en el primer segmento. Las cinco
8 condiciones de frontera para el segmento 2 son entonces S = 1 y V = 0 al
inicio de la bajada y S = V = A = 0 al final de la bajada (para acoplar con
el detenimiento). Éstas dan el siguiente polinomio de cuarto grado para la
caída.

⎡ ⎛ θ ⎞ 2 ⎛ θ ⎞ 3 3⎜⎝⎛ θ ⎞ 4 ⎤
⎢1 ⎝⎜ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎠⎟ β ⎟⎠ ⎥
s = h ⎢⎣ − 6 + 8 − ⎥⎦ (c)

6 La evaluación de la aceleración al inicio de la caída da – 486.4 pulg/s2. Este valor se convierte en condición
de frontera para el segmento de subida. El conjunto de seis condiciones de frontera para la subida es entonces
S = V = A = 0 al inicio de la subida para acoplar con el detenimiento y S = 1, V = 0, A = – 486.4 al final de la
subida (para acoplar con la bajada). La ecuación de quinto grado para la subida es entonces:

⎡⎣⎢⎢9.333⎜⎛⎝ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 4 5.333⎝⎛⎜ θ ⎞ 5 ⎤
β ⎠⎟ ⎜⎝ β ⎠⎟ β ⎠⎟ ⎥
s = h − 13.667 + ⎥⎦ (d)

7 El diseño de leva resultante se muestra en la figura 8-34. El desplazamiento ahora está bajo control y la
aceleración pico es mucho menor que la del diseño previo en aproximadamente 2 024 pulg/s2.

8 El diseño de la figura 8-34 es aceptable (aunque no óptimo)* en este ejemplo. Abra el archivo Ex_08-10a y
b con el programa Dynacam para analizar el ejemplo con más detalle.

Segmento 1 2 3
h = 1 a 45°

S

Segmento 1 V
6 condiciones

de frontera

Segmento 2 A –486.4 pulg/s2
5 condiciones –2 024 pulg/s2
sólo segmento 1
de frontera

J

0 54 180 360

* En la referencia [5] se en- FIGURA 8-34 Polinomiales aceptables para una leva con detenimiento simple de tres segmentos
cuentra una solución óptima a asimétricos de subida-bajada
este problema genérico.

8.5 MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA CRÍTICA (CPM) 297

8.5 MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA CRÍTICA (CPM) 8

Probablemente la aplicación más común de especificaciones de movimiento de trayectoria crítica
(CPM) en el diseño de maquinaria de producción es la necesidad de un movimiento de velocidad
constante. Existen dos tipos generales de maquinaria de producción automática de uso común, má-
quinas de ensamble de movimiento intermitente y máquinas de ensamble de movimiento continuo.

Las máquinas de ensamble de movimiento intermitente transportan los artículos fabricados
de una estación de trabajo a otra, y detienen la pieza de trabajo o subensamble en cada estación
mientras se realiza otra operación en ella. La velocidad de rendimiento de este tipo de maquinaria de
producción automática en general se limita por las fuerzas dinámicas producidas por la aceleración y
desaceleración de la masa de las partes móviles de la máquina y sus piezas de trabajo. El movimiento
de la pieza de trabajo puede ser en línea recta, como sobre una transportadora, o en círculo, como en
la mesa rotatoria que se muestra en la figura 8-22 (p. 286).

Las máquinas de ensamble de movimiento continuo nunca permiten que la pieza de trabajo
se detenga, por tanto, generan velocidades de rendimiento mayores. Todas las operaciones se realizan
en un objeto móvil. Las herramientas que operan en el producto tienen que “perseguir” la línea
de ensamble móvil para realizar su trabajo. Como la línea de ensamble (a menudo una banda o ca-
dena transportadora o una mesa rotatoria) se mueve a una velocidad constante, no hay necesidad de
que los mecanismos generen movimiento a velocidad constante, como en el caso de la transportado-
ra, para mover las herramientas a lo largo durante el tiempo suficiente para realizar su trabajo. Estos
mecanismos “perseguidores” impulsados por leva deben regresar la herramienta con rapidez a su
posición de inicio a tiempo para encontrarse con la siguiente pieza o subensamble en la transporta-
dora (retorno rápido). Existe una razón para convertir las máquinas de movimiento intermitente en
máquinas de movimiento continuo: incrementar las tasas de producción. Por lo tanto, existe cierta
demanda de este tipo de mecanismo de velocidad constante. Aunque ya se analizaron algunos
mecanismos en el capítulo 6 que producen una velocidad constante aproximada, el sistema leva-
seguidor es adecuado para este problema, ya que permite una velocidad de seguidor teóricamente
exacta constante, y la función polinomial de leva es particularmente adaptable a la tarea.

Polinomios utilizados para movimiento de trayectoria crítica

✍EJEMPLO 8-11 Diseño de un polinomio para movimiento
de velocidad constante de trayectoria crítica.

Problema: Considérese el siguiente enunciado de un problema de movimiento de trayectoria crítica (CPM).

Acelere el seguidor de cero a 10 pulg/s
Mantenga una velocidad constante de 10 pulg/s durante 0.5 s
Desacelere el seguidor a velocidad cero
Regrese el seguidor a la posición inicial
Tiempo de ciclo exactamente 1 s

Solución:

1 Este enunciado de problema no estructurado es típico en problemas de diseño real, como se vio en el capítulo
1. No se da información sobre los medios a utilizar para acelerar o desacelerar el seguidor, o incluso sobre las
partes del tiempo disponible a utilizar en las tareas. Una pequeña reflexión hará que el ingeniero reconozca
que la especificación del tiempo de ciclo total en realidad define que la velocidad del árbol de levas sea su
recíproco o una revolución por segundo. Al convertir en unidades apropiadas, ésta es una velocidad angular
de 2π rad/s.

2 La parte de velocidad constante utiliza la mitad del periodo total de 1 s en este ejemplo. A continuación, el
diseñador debe decidir cuánto de los 0.5 s restantes dedicará a cada fase del movimiento requerido.

3 El enunciado del problema parece implicar que se requieren cuatro segmentos. Obsérvese que el diseñador
debe seleccionar, un tanto arbitrariamente, las longitudes de los segmentos individuales (excepto la veloci-
dad constante). Puede que se requiera algo de iteración para optimizar el resultado. El programa Dynacam
acelera y facilita el proceso de iteración.

4 Si se suponen cuatro segmentos, el diagrama de temporización en la figura 8-35 (pág. 298) muestra una fase
de aceleración, una fase de velocidad constante, una fase de desaceleración y una fase de retorno, marcadas
como segmentos 1 a 4.

298 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

8 Movimiento Acelera Desacelera

Velocidad constante Retorno
4
12 3

5 pulg 10 pulg/s

0 210 240 360 Ángulo de leva q grados
0 30 0.58 0.67 1.00 Tiempo t s
0 0.08

FIGURA 8-35 Diagrama de temporización de una leva a velocidad constante

5 Se supone que los ángulos de los segmentos (b ) para una primera aproximación son de 30° para el segmento

1, de 180° para el segmento 2, de 30° para el segmento 3 y de 120° para el segmento 4, como se muestra

en la figura 8-36. Es posible que deban ajustarse estos ángulos en iteraciones posteriores, excepto para el
segmento 2, que está rígidamente limitado a las especificaciones.

6 La figura 8-36 muestra un conjunto tentativo de condiciones de frontera para el diagrama s v a j. Los círculos
continuos indican un conjunto de condiciones de frontera que limitarán la función continua a estas especifi-

caciones. Éstas son para el segmento 1:

cuando q = 0°; s = 0, v = 0, ninguna (a)
cuando q = 30°; ninguno, v = 10, a=0

7 Obsérvese que cuando q = 30° el desplazamiento se deja sin especificar. La función polinomial resultante
proporciona los valores de desplazamiento en ese punto, el cual puede utilizarse como condición de frontera
para el siguiente segmento, para hacer las funciones continuas como se requiere. La aceleración cuando q
= 30° debe ser cero para igualar la del segmento 2 a velocidad constante. La aceleración cuando q = 0 se deja

sin especificar. El valor resultante será utilizado más adelante para igualar la aceleración del último segmento.

8 Si se ingresan estas cuatro condiciones de frontera para el segmento 1 al programa Dynacam, se obtiene una
función cúbica cuyas gráficas s v a j se muestran en la figura 8-37. Su ecuación es:

Función Polinomio 3 Polinomio 1 Polinomio 3 Polinomio 5
3 4
s1 2
0 120
a) 10 4
0 pulg/s

q 0 30 0 180 0 30 q
q
v 2 3
1

10

b) 0

q 0 30 0 180 0 30 0 120

a 2 3 4
1 –240 240
q
c) 0

q 0 30 0 180 0 30 0 120

j 2 34
1

d) 0 q

q 0 30 0 180 0 30 0 120 grados
q 0 30 30 210 210 240 240 360 grados

FIGURA 8-36 Un posible conjunto de condiciones de frontera para la solución
de velocidad constante de cuatro segmentos

8.5 MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA CRÍTICA (CPM) 299

s 0.556 pulg 8
10 pulg/s2

239.9 pulg/s2 v
a

j

0 Ángulo de leva (grados) 30

FIGURA 8-37 Segmento 1 para la solución de cuatro segmentos del problema de
velocidad constante (ejemplo 8-11)

⎛ θ ⎞ 2 0.27792 ⎛⎝⎜ θ ⎞ 3
⎝⎜ β ⎠⎟ β ⎟⎠
s = 0.83376 − (8.27a)

El desplazamiento máximo ocurre cuando q = 30°. Éste se utilizará como condición de frontera para el

segmento 2. El conjunto completo para el segmento 2 es:

cuando q = 30°; s = 0.556, v = 10 (b)
cuando q = 210°; ninguno, ninguna

9 Obsérvese que en las derivaciones y en el programa Dynacam los ángulos locales de cada segmento van
desde cero hasta b. Por lo tanto, los ángulos locales del segmento 2 son de 0° a 180°, que corresponden de

30° a 210° globalmente en este ejemplo. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración en el extremo del

segmento 2 se dejan sin especificar, pues se determinarán con el cálculo.

10 Como éste es un segmento a velocidad constante, su integral, la función de desplazamiento, debe ser un
polinomio de grado uno, es decir, una línea recta. Si se especifican más de dos condiciones de frontera se

obtiene una función de mayor grado que pase por los puntos extremos especificados, pero que también puede
oscilar entre ellos y desviarse de la velocidad constante deseada. Por lo tanto, sólo se pueden proporcionar

dos condiciones de frontera, una pendiente y una intersección, como se definió en la ecuación 8.2 (p. 275).

No obstante, debe proporcionarse por lo menos una condición de frontera de desplazamiento para calcular el
coeficiente C0 de la ecuación 8.23 (p. 287). La especificación de dos condiciones de frontera en sólo un extremo
del intervalo es perfectamente aceptable. La ecuación para el segmento 2 es:

s = ⎛ θ ⎞ + 0.556 (8.27b)
5⎝⎜ β ⎟⎠

11 La figura 8-38 muestra las gráficas de desplazamiento y velocidad del segmento 2. La aceleración y golpeteo
son cero. El desplazamiento resultante cuando q = 210° es de 5.556.

0.556 pulg s 5.556 pulg
v 10 pulg/s

a

j

0 90 180
Ángulo de leva (grados)

FIGURA 8-38 Segmento 2 para la solución de cuatro segmentos del problema de
velocidad constante (ejemplo 8-11)

300 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

8 12 El desplazamiento al final del segmento 2 se puede calcular con esta ecuación. Las cuatro condiciones de
frontera para el segmento 3 son entonces:

cuando q = 210°; s = 5.556, v = 10, a=0 (c)
cuando q = 240°; ninguna, v = 0, ninguna

13 Esto genera una función de desplazamiento cúbica para el segmento 3, como se muestra en la figura 8-39.
Su ecuación es:

⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞
⎝⎜ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎟⎠
s = −0.27792 + 0.83376 + 5.556 (8.27c)

14 Las condiciones de frontera para el segmento 4 ahora están definidas, ya que deben igualar las del final del
segmento 3 y el inicio del segmento 1. El desplazamiento al final del segmento 3 calculado con Dynacam
es s = 6.112 cuando q = 240° y la aceleración en ese punto es –239.9. Se deja la aceleración al principio
del segmento 1 sin especificar. Con la segunda derivada de la ecuación de desplazamiento en este segmento
se obtiene que la aceleración es 239.9 cuando q = 0°. Las condiciones de frontera para el segmento 4 son
entonces:

cuando q = 240°; s = 6.112, v = 0, a = –239.9 (d)
cuando q = 360°; s = 0, v = 0, a = 239.9

15 La ecuación para el segmento 4 es entonces:

⎛ θ ⎞ 5 24.9735⎝⎛⎜ θ ⎞ 4 7.7548 ⎛⎝⎜ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞ 2
⎝⎜ β ⎠⎟ β ⎠⎟ β ⎠⎟ ⎝⎜ β ⎠⎟
s = −9.9894 + − − 13.3413 + 6.112 (8.27d)

16 La figura 8-39 muestra las gráficas s v a j para la leva completa. Obedece la ley fundamental de diseño de levas
porque las funciones, parte por parte, son continuas hasta la aceleración. El valor máximo de la aceleración
es de 257 pulg/s2. La velocidad negativa máxima es de –29.4 pulg/s. Ahora se tienen cuatro funciones por
secciones y continuas, las ecuaciones 8-27 (pp. 299-300), que satisfacen las especificaciones de desempeño
para este problema.

El lector puede abrir el archivo E08-11.cam con el programa Dynacam para analizar este ejem-
plo con más detalle.

Aun cuando este diseño es aceptable, puede mejorarse. Una estrategia útil al diseñar levas po-
linomiales es reducir al mínimo el número de segmentos, siempre que esto no genere funciones de
alto grado que se comporten mal entre las condiciones de frontera. Otra estrategia es comenzar con
el segmento del cual se tiene más información. En este ejemplo, la parte de la velocidad constante
es el más restringido y debe ser un segmento aparte, del mismo modo que una detención debe ser un
segmento aparte. El resto del movimiento de la leva existe sólo para regresar el seguidor al segmento
de velocidad constante para el siguiente ciclo. Si se comienza al diseñar el segmento de velocidad
constante, será posible completar la leva con un solo segmento adicional. Ahora se analizará el diseño
de esta leva con base en las mismas especificaciones, pero con sólo dos segmentos, como se muestra
en la figura 8-40 (p. 301).

s 6.112 pulg

v 10 pulg/s
–29.4 pulg/s 257 pulg/s2
–257 pulg/s2
a

j

0 90 180 270 360
Ángulo de leva (grados)

FIGURA 8-39 Solución de cuatro segmentos del problema de velocidad constante del ejemplo 8-11

8.5 MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA CRÍTICA (CPM) 301

Función Polinomio 1 Polinomio 5 q 8
segmento 1 2 180

s 10 pulg/s 2 q
a) 180 0

0 1
0

v
10
b) 0

0 180 0 180
a1
c) 0 2

q

Local q 0 180 0 180
Global q 0 180 180 360 grados

FIGURA 8-40 Condiciones de frontera para la solución a velocidad constante de dos segmentos

✍EJEMPLO 8-12 Diseño de un polinomio óptimo para el movimiento
de trayectoria crítica de velocidad constante.

Problema: Defínase de nuevo el enunciado del problema 8-11 (p. 316) para tener sólo dos segmentos.

Mantenga una velocidad constante de 10 pulg/s durante 0.5 s

Desacelere y acelere el seguidor a velocidad constante

Tiempo de ciclo exactamente 1 s

Solución: Vea las figuras 8-40 y 8-41.

1 Las condiciones de frontera para el primer segmento de velocidad constante serán similares a la solución
previa, excepto por los valores globales de sus ángulos y por el hecho de que se iniciará con desplazamiento

cero y no en 0.556 pulg. Éstas son:

cuando q = 0°; s = 0, v = 10 (a)
cuando q = 180°; ninguno, ninguna

2 Las gráficas de desplazamiento y velocidad para este segmento son idénticas a las de la figura 8-38 (p. 299),
excepto que el desplazamiento comienza en cero. La ecuación para el segmento 1 es:

s = 5⎛⎝⎜ θ ⎞ (8.28a)
β ⎠⎟

s 5.484 pulg
–0.484 pulg
v 10 pulg/s
–27.5 pulg/s 230 pulg/s2

a –230 pulg/s2

j

0 90 180 270 360
Ángulo de leva (grados)

FIGURA 8-41 Solución de dos segmentos del problema de velocidad constante del ejemplo 8-12

302 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

3 El programa calcula que el desplazamiento al final del segmento 1 es de 5.00 pulg. Esto define la con-
dición de frontera para el segmento 2. El conjunto de condiciones de frontera para el segmento 2 es entonces:

cuando q = 180°; s = 5.00, v = 10, a=0 (b)
cuando q = 360°; s = 0, v = 10, a=0

La ecuación para el segmento 2 es:

⎛ θ ⎞ 5 ⎛ θ ⎞ 4 ⎛ θ ⎞ 3 ⎛ θ ⎞1
⎝⎜ β ⎟⎠ ⎜⎝ β ⎠⎟ ⎝⎜ β ⎟⎠ 5⎝⎜ β ⎠⎟
s = −60 + 150 − 100 + + 5 (8.28b)

4 Los diagramas s v a j para este diseño se muestran en la figura 8-41. Obsérvese que son mucho más uni-
formes que el diseño de cuatro segmentos. La aceleración máxima en este ejemplo ahora es de 230 pulg/s2
y la velocidad negativa máxima de –27.5 pulg/s. Éstas son menores que en el diseño del ejemplo 8-11
(p. 297).

5 El hecho de que el desplazamiento en este diseño contenga valores negativos, como se muestra en el diagrama
s de la figura 8-41, no es de interés. Esto se debe a que se inició con el principio de la parte de velocidad
constante como desplazamiento cero. El seguidor debe ir a una posición negativa para tener suficiente dis-
tancia y adquirir velocidad de nuevo. Simplemente se deslizan las coordenadas del desplazamiento en esa
cantidad negativa para hacer la leva. Para esto, simplemente se calculan las coordenadas del desplazamiento
para la leva. Obsérvese el valor del desplazamiento negativo mayor. El lector puede agregar este valor a las
condiciones de frontera de desplazamiento para todos los segmentos y calcular de nuevo las funciones de leva

8 con Dynacam. (No deben cambiarse las condiciones de frontera para las derivadas superiores.) El perfil del
desplazamiento de la leva terminada será desplazado hacia arriba de modo que su valor mínimo ahora será
cero.

Así que no sólo se tiene una leva más uniforme, sino que las fuerzas dinámicas y la energía
cinética almacenada son más bajas. Obsérvese que no fue necesario hacer suposiciones respecto a
las partes del tiempo de velocidad no constante disponible dedicado a acelerar o desacelerar. Todo
esto sucedió automáticamente por la elección de sólo dos segmentos y la especificación del conjunto
mínimo de condiciones de frontera necesarias. Éste es un diseño claramente superior al intento previo,
y constituye una solución polinomial óptima según las especificaciones dadas. Se sugiere al lector que
abra el archivo E08-12.cam con el programa Dynacam para analizar este ejemplo con más detalle.

Resumen Estas secciones presentaron funciones polinomiales como la aproximación más variada

(de las aquí mostradas) a virtualmente cualquier problema de diseño de levas. Es sólo mediante el

desarrollo y disponibilidad general de las computadoras que las funciones polinomiales han llegado

a ser prácticas de utilizar, ya que la solución de ecuaciones simultáneas con frecuencia excede las ca-

pacidades de cálculo manual. Con la disponibilidad de un auxiliar de diseño para resolver las ecua-

ciones, como el programa Dynacam, los polinomios se han convertido en una manera práctica

y preferible de resolver muchos problemas de diseño de levas, si no es que todos. Las funciones

spline, de las cuales los polinomios son un subconjunto, ofrecen mayor flexibilidad para satisfacer

las condiciones de frontera y otros criterios de desempeño de leva. El espacio no permite una exposi-

ción detallada sobre la aplicación de las funciones spline a sistemas de

Curva de paso levas, pero puede consultarse la referencia [6] para más información.

Círculo primario Superficie de la leva 8.6 DIMENSIONAMIENTO DE LA LEVA:
Círculo de base ÁNGULO DE PRESIÓN Y RADIO DE CURVATURA
Seguidor
de rodillo Una vez que se definen las funciones s v a j, el siguiente paso será asig-
nar dimensiones a la leva. Existen dos factores importantes que afectan
wleva Rf el tamaño de una leva: el ángulo de presión y el radio de curvatura.
Ambos implican al radio del círculo de base en la leva (Rb) cuando se
Rb utilizan seguidores de cara plana, o al radio del círculo primario en la
Rp leva (RP) cuando se utilizan seguidores de rodillo o curvos.

FIGURA 8-42 Rb de círculo de base, Rp de círculo Los centros del círculo de base y círculo primario están en el centro
primario y curva de paso de una leva radial con de rotación de la leva. El círculo de base se define como el círculo más
pequeño que puede trazarse tangente a la superficie física de la leva,
seguidor de rodillo como se muestra en la figura 8-42. Todas las levas radiales tienen un
círculo de base, sin importar el tipo de seguidor utilizado.

8.6 DIMENSIONAMIENTO DE LA LEVA: ÁNGULO DE PRESIÓN Y RADIO DE CURVATURA 303

El círculo primario sólo es aplicable a levas con seguidores de rodillos o seguidores en forma de 8
hongo que se mide hasta el centro del seguidor. El círculo primario se define como el círculo más
pequeño que puede ser trazado tangente al lugar geométrico de la línea de centro del seguidor, como
se muestra en la figura 8-42. El lugar geométrico de la línea central del seguidor se llama curva de
paso. Las curvas con seguidores de rodillo en realidad se definen para su fabricación con respecto a
la curva de paso y no respecto a la superficie física de la leva. Las levas con seguidores de cara plana
deben definirse para su fabricación con respecto a su superficie física, ya que no hay curva de paso.

El proceso para crear la leva física a partir del diagrama s puede visualizarse conceptualmente
al imaginar que el diagrama se hace de un material flexible, como hule. El eje x del diagrama s re-
presenta la circunferencia de un círculo, que puede ser de base o primario, alrededor del cual “se
enrollará” el diagrama s de “hule”. Se tiene la libertad de elegir la longitud inicial del eje x del dia-
grama s, aun cuando la altura de la curva de desplazamiento está determinada por la función de
desplazamiento de la leva elegida. En realidad, se elegirá el radio del círculo de base o primario como
un parámetro de diseño, alargando la longitud del eje del diagrama s para ajustarla a la circunferen-
cia del círculo elegido.

A continuación se presentan ecuaciones sólo para el ángulo de presión y el radio de curvatura
de levas radiales con seguidores trasladantes. Para información sobre seguidores oscilantes y levas
axiales (de barril), véase en el capítulo 7 la referencia [5].

Ángulo de presión: seguidores de rodillo trasladantes

El ángulo de presión se define como se muestra en la figura 8-43. Es el complemento del ángulo
de transmisión que se definió para mecanismos en capítulos previos y su significado es similar con
respecto al funcionamiento de leva-seguidor. Por convención, el ángulo de presión se emplea para
levas, en lugar del ángulo de transmisión. La fuerza sólo puede transmitirse de la leva al seguidor,
o viceversa, a lo largo del eje de transmisión, el cual es perpendicular al eje de deslizamiento o
tangente común.

Ángulo de presión El ángulo de presión j es el ángulo entre la dirección del movimiento
(velocidad) del seguidor y la dirección del eje de transmisión.* Cuando j = 0, toda la fuerza trans-

Ángulo Vseguidor
de presión
Ángulo de
f transmisión m

Normal común Seguidor
(eje de transmisión) de rodillo

Tangente común Leva
(eje de deslizamiento)

FIGURA 8-43 Ángulo de presión de una leva * Dresner y Buffington[7]
señalan que esta definición es
sólo válida para sistemas de
un grado de libertad. Para sis-
temas de entradas múltiples,
se requiere una definición más
complicada y el cálculo del
ángulo de presión (o ángulo
de transmisión).

304 CAPÍTULO 8 DISEÑO DE LEVAS

8 mitida se convierte en movimiento del seguidor y ninguna en velocidad de deslizamiento. Cuando j
llega a ser de 90° no habrá movimiento del seguidor. Como regla empírica, es deseable que el ángulo
de presión sea de un valor entre 0 y 30° para seguidores trasladantes para evitar las cargas laterales
excesivas en el seguidor deslizante. Si el seguidor oscila en un brazo pivotado, un ángulo de presión
aun de 35° es aceptable. Los valores de j más grandes que éste pueden incrementar la fricción en el
pivote o deslizante del seguidor a niveles indeseables y pueden tender a trabar un seguidor trasladante
en sus guías.

Excentricidad La figura 8-44 muestra la geometría de una leva y seguidor de rodillo trasladante
en una posición arbitraria. Ésta muestra el caso general en que el eje del movimiento del seguidor no
corta el centro de la leva. Existe una excentricidad e definida como la distancia perpendicular entre
el eje de movimiento del seguidor y el centro de la leva. Con frecuencia la excentricidad e será cero,
lo que hace que el seguidor sea un seguidor alineado, el cual es un caso especial.

En la figura 8-44, el eje de transmisión se extiende para intersecar el eslabón efectivo 1, el cual

es la bancada. (Véanse la sección 8.0, p. 269, y la figura 8-1, p. 270, para un análisis de eslabones

efectivos en sistemas de leva.) Esta intersección es el centro instantáneo I2,4 (marcado B), el cual, por
definición, tiene la misma velocidad en el eslabón 2 (la leva) y en el eslabón 4 (el seguidor). Debido

a que el eslabón 4 está en rotación pura, todos los puntos en él tienen velocidades idénticas Vseguidor,
las cuales son iguales a la velocidad de I2,4 en el eslabón 2. Es posible escribir una expresión para la
velocidad de I2,4 en función de la velocidad angular de la leva y el radio b del centro de la leva a I2,4:

VI2,4 = bω = s (8.29)

donde s es el desplazamiento instantáneo del seguidor en el diagrama s, y s˙es su derivada con respecto
al tiempo en unidades de longitud/s. (Obsérvese que las letras mayúsculas S V A J denotan variables
basadas en tiempo, en lugar de funciones de ángulo de leva.)

Pero s = ds
y dt

ds dθ = ds dθ = ds ω = vω
dt dθ dθ dt dθ

Ángulo Vseguidor = VI 2,4
de presión Seguidor

f

Normal común A Eslabón
(eje de transmisión) efectivo 4

Tangente común a I1,4 @ ∞
(eje de deslizamiento) s

Radio de círculo f VI
primario Rp D B

wleva O2 C d Eslabón
efectivo 1

a I1,4 @ ∞
I2,4

ec Eje de movimiento
b de seguidor

FIGURA 8-44 Geometría para la derivación de la ecuación para el ángulo de presión