DISEÑO DE MAQUINARIA SÍNTESIS Y ANÁLISIS DE MÁQUINAS Y MECANISMOS ROBERT L. NORTON

134 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

4 ✍EJEMPLO 4-2 Análisis de posición de un eslabonamiento de cuatro barras
manivela-corredera mediante el método del lazo vectorial.

Problema: Dado un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera con las longitudes de eslabón
Solución: L2 = a = 40 mm, L3 = b = 120 mm y desviación = c = –20 mm encuentre, con q2 = 60°, todos
los valores posibles de q3 y la posición d de la corredera.

(Vea la figura 4-10 para determinar la nomenclatura.)

1 Con la ecuación 4.16a, calcule el ángulo de acoplador q3 del eslabón para la configuración abierta.

q3abierta = arcsen ⎛ a sen q2 − c⎞ = ⎛40sen(60°) − (−20)⎞ = 152.91° (a)
⎝⎜ b ⎠⎟
arcsen ⎝⎜ 120 ⎠⎟

2 Con la ecuación 4.16b y el resultado del paso 1, calcule la posición d de la corredera para el eslabonamiento

abierto.

d = a cosq2 − b cos q3 = 40 cos(60°) − 120 cos(152.91°) = 126.84 mm (b)

3 A partir de la ecuación 4.17, calcule el ángulo de acoplador q3 del eslabón para la configuración cruzada.

q3cruzada = arcsen⎜⎝⎛− asen q2 − c⎞ + p = ⎛ −40 sen(60°) − (−20)⎞ + p = 27.09° (c)
b ⎠⎟ arcsen⎜⎝
120 ⎟⎠

4 Con la ecuación 4.16b y el resultado del paso 3, calcule la posición d de la corredera para el eslabonamiento

cruzado.

d = a cosq2 − b cos q3 = 40 cos(60°) − 120 cos(27.09°) = −86.84 mm (d)

5 Observe que q3 se mide en el extremo de la corredera del acoplador, como se muestra en la figura 4-11.

YA

Circuito 2 b a Circuito 1
(cruzado) q2 = 60° b (abierto)
X
O2

q3 = 27.09° Desviación c = –20 mm q3abierta = 152.91°
B
c r uza da

dcruzada = –86.84 mm Eje de corredera
dabierta = 126.84 mm

FIGURA 4-11 Solución al ejemplo 4-2

4.7 SOLUCIÓN DE POSICIÓN DE UN ESLABONAMIENTO DE CUATRO
BARRAS CORREDERA-MANIVELA

El eslabonamiento de cuatro barras corredera-manivela tiene la misma geometría que el esla-
bonamiento de cuatro barras manivela-corredera que se analizó en la sección previa. El cambio
de nombre indica que se impulsa con la corredera como entrada y la manivela como salida. Este
mecanismo se denomina en ocasiones manivela-corredera “con impulso inverso”. Aquí usaremos el
término corredera-manivela para definir un mecanismo impulsado desde la corredera. Se trata de una
configuración de eslabonamiento muy común. Cada pistón en un motor de combustión interna tiene
un mecanismo de este tipo por cada cilindro. El lazo vectorial es como se muestra en la figura 4.10
(p. 123), y la ecuación del lazo vectorial es idéntica a la ecuación 4.14a. Pero ahora debe despejarse
q2 en esta ecuación en función de la posición d de la corredera.

Inicie con la ecuación 4.14a, haga las sustituciones de la ecuación 4.14b y las simplificaciones
de las ecuaciones 4.15 para obtener el mismo conjunto de ecuaciones simultáneas:

a cosq2 − b cos q3 − c cosq4 − d = 0 (4.15a)
a sen q2 −b sen q3 −c sen q4 = 0 (4.15b)

4.7 SOLUCIÓN DE POSICIÓN DE UN ESLABONAMIENTO DE CUATRO BARRAS 135

pero q4 = 90° ∴ sen q4 = 1, cosq4 = 0

entonces a cosq2 − b cos q3 − d = 0 (4.18a)
asen q2 − bsenq3 − c = 0 (4.18b)

Como se hizo en la solución del eslabonamiento de cuatro barras, aísle los términos con q3 en
un lado, eleve al cuadrado ambas ecuaciones y súmelas para eliminar q3.

b cosq3 = a cosq2 − d 4
b sen q3 = asenq2 − c

eleve al cuadrado: b2 cos2 q3 = (a cosq2 − d)2
b2 sen2 q3 = (a sen q − c2)2

sume: ( )b2 sen2 q3 + cos2 q3 = (acosq2 − d)2 + (asenq2 − c)2

b2 = (a cosq2 − d)2 + (asenq2 − c)2 (4.19) * Los mecanismos de
manivela-corredera y
b2 = a2 cos2 q2 − 2ad cos q2 + d2 + a2 sen2 q2 −2ac sen q2 + c2 corredera-manivela tienen dos
circuitos o configuraciones en
( )b2 = a2 sen2 q2 + cos2 q2 − 2ad cosq2 − 2acsenq2 + c2 + d2 los que pueden ensamblarse
de manera independiente,
a2 − b2 + c2 + d2 − 2ac sen q2 − 2ad cos q2 = 0 en ocasiones denominados
abiertos y cruzados. Como
Para simplificar, cree algunos parámetros constantes: el eslabón 4 siempre está
perpendicular al eje de la
sea K1 = a2 − b2 + c2 + d2 , K2 = −2ac, K3 = −2ad corredera, es paralelo a sí
mismo en ambos circuitos.
entonces K1 + K2 sen q2 + K3 cos q2 = 0 (4.20) Esto resulta en dos circuitos
que se reflejan entre sí como
Como se hizo con el eslabonamiento de cuatro barras, sustituya las identidades tangenciales de en un espejo con respecto a
una línea que pasa a través del
ángulo medio (ecuación 4.9) por sen q2 y cos q2 para obtener la ecuación en términos de una función pivote de la manivela y que
trigonométrica. es perpendicular al eje de la
corredera. Por tanto, la elec-
K1 + K2 ⎛ 2 tan q2 ⎞ + ⎛ 1− tan2 q2 ⎞ = 0 ción del valor d de la posición
⎜ + 2 ⎟ ⎜ 1+ tan2 ⎟ de la corredera en el cálculo
⎜ 1 ⎟ K3 ⎜ 2 ⎟ del mecanismo corredera-ma-
⎜⎝ tan2 q2 ⎟⎠ ⎜⎝ q2 ⎟⎠ nivela determina cuál de los
2 circuitos se va a analizar. Sin
2 embargo, en vista de los pun-
tos de cambio TDC y BDC, la
simplifique ( K1 − K3 ) tan2 q2 + 2K2 tan q2 + (K1 + K3) = 0 corredera-manivela tiene dos
2 2 ramas en cada circuito, y las
dos ecuaciones obtenidas de
sea A = K1 − K3, B = 2K2 , C = K1 + K3 la ecuación 4.21 representan
entonces A tan2 q2 + B tan q2 + C = 0 las dos ramas del circuito
22 en análisis. En cambio, la
manivela-corredera tiene
y q21,2 = 2 ⎛ −B ± B2 − 4 AC ⎞ (4.21) sólo una rama por circuito
arctan ⎜ ⎟ porque, cuando la manivela
⎜⎝ 2 A ⎠⎟ recibe el impulso, realiza una
revolución completa y no hay
Una vez que se conoce q2 para un valor dado de d, es posible determinar q3 a partir de las ecuaciones puntos de cambio que separen
4.18a o 4.18b. las ramas. En la sección 4.13
(p. 144) hay un análisis más
Observe que existen dos soluciones para la ecuación 4.21 que representan las dos ramas del me- completo de los circuitos y
canismo en el circuito, para el cual aplica el valor dado de la posición d de la corredera.* La ecuación ramas en los eslabonamientos.
fallará cuando la corredera-manivela impulsada en forma inversa esté en el centro muerto superior
(TDC) o bien cuando se encuentre en el centro muerto inferior (BDC). Éstos son puntos de cambio
indeterminados entre las ramas, en los cuales las matemáticas no pueden predecir a cuál rama irá el
mecanismo en seguida. Un mecanismo de corredera-manivela sólo puede completar una revolución
de la manivela si hay cierta energía almacenada en la manivela para conducirla a través de los cen-
tros muertos dos veces por cada revolución. Por esta razón es necesario girar un motor de pistones

136 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

para iniciarlo y por lo que suele tener un volante de inercia unido al cigüeñal a fin de proporcionar
el momento angular necesario para pasar a través del TDC y el BDC.

✍EJEMPLO 4-3 Análisis de posición de un eslabonamiento de cuatro barras
corredera-manivela con el método del lazo vectorial

Problema: Dado un eslabonamiento de cuatro barras de corredera-manivela con las longitudes de eslabón

L2 = a = 40 mm, L3 = b = 120 mm, y desviación = c = –20 mm, encuentre, con d = 100 mm,

4 Solución: todos los valores posibles de q2 y q3 sobre el circuito definido por el valor proporcionado para d.
Vea la figura 4-9 (p. 132) para determinar la nomenclatura.

1 Encuentre las posiciones TDC y BDC del mecanismo.

dBDC = b − a = 120 − 40 = 80 mm (a)
dTDC = b + a = 120 + 40 = 160 mm

A La posición requerida d = 100 mm está dentro del rango de mo-
vimiento del eslabonamiento de corredera-manivela y no es TDC
Rama 1 a q2 = 95.80∞ b q3 = 187.27° ni BDC, por lo que se aplican las ecuaciones 4.20 y 4.21.
X 2 Encuentre los parámetros intermedios necesarios a partir de las
O2 q3 = 150.11° ecuaciones 4.20 y 4.21.

Desviación c B K1 = a2 − b2 + c2 + d2 = 402 − 1202 + (−20)2 + 1002 = −2 400

Rama 2 a q2 = –118.42° Eje de la K2 = −2ac = −2(40)(−20) = 1 600
A corredera
b K3 = −2ad = −2(40)(100) = −8 000 ( b)
d = 100 mm A = K1 − K3 = −2 400 − (−8 000) = 5 600

FIGURA 4-12 Solución al ejemplo 4-3 B = 2K2 = 2(1 600) = 3200

C = K1 + K3 = −2400 + (−8 000) = −10 400

3 Encuentre los dos valores de q2 a partir de la ecuación 4.21.

q21 = ⎛ −B+ B2 − 4 AC ⎞ = 2 ⎛ −3 200 + 3 2002 − 4(5 600)(−10 400)⎞⎟ = 95.798°
2 tan−1 ⎜ ⎟ tan−1 ⎜ 600)
2 A ⎟⎠ ⎜⎝ 2(5 ⎟⎠
⎝⎜

(c)

q2 2 = 2 tan−1 ⎛ −B − B2 − 4 AC ⎞ = 2 tan−1 ⎛ −3 200 + 3 2002 − 4(5 600)(−10 400)⎟⎞ = −118.418°
⎜ 2A ⎟ ⎜ 600)
⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎝ 2(5 ⎟⎠

4 Encuentre los tres valores de q3 a partir de la ecuación 4.16a o 4.17. Calcule q3 con ambas ecuaciones para
un valor de q2 y después, con la ecuación 4.16b y ese resultado, determine cuál de las dos ecuaciones da el
valor correcto de d que se ajusta al circuito de este eslabonamiento. Luego use esa ecuación con cada uno de

los valores de q2 a fin de obtener los valores correctos de q3 para cada rama del circuito. En este ejemplo se
requiere la ecuación 4.17 para su circuito.

q31 = sen−1 ⎛ − asen q21 − c⎞ + p = sen−1 ⎛ −40 sen ( 95.798°) − ( −20 ) ⎞ + p = 150.113°
⎝⎜ b ⎠⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
120

(d)

q32 = cos−1 ⎛a sen q22 − c ⎞ + p = cos−1 ⎛40 sen ( −118.418°) − ( −20 ) ⎞ + p = 187.267°
⎝⎜ b ⎟⎠ ⎝⎜ ⎟⎠
120

5 La solución se muestra en la figura 4-12.

* Esta figura viene como 4.8 SOLUCIÓN DE POSICIÓN DE UN MECANISMO
archivos animados AVI y DE MANIVELA-CORREDERA INVERTIDO
Working Model en el DVD.
Su nombre es el mismo que el La figura 4-13a* (p. 137) muestra la inversión número 3 del mecanismo de cuatro barras manivela-
número de la figura. corredera común, en el cual la junta deslizante se encuentra entre los eslabones 3 y 4 en el punto B.
Éste se muestra como un mecanismo de manivela-corredera descentrado. La corredera tiene rotación

4.8 SOLUCIÓN DE POSICIÓN DE UN MECANISMO DE MANIVELA-CORREDERA INVERTIDO 137

pura con su centro descentrado del eje de deslizamiento. (La figura 2-15c, q3 q4
Y
p. 41, muestra la versión no descentrada de este mecanismo en la cual el y
g B
vector R4 es cero.)
El sistema de coordenadas global se considera de nuevo con su origen A 3 4 x 4
2 1 X
en el pivote O2 de la manivela de entrada y el eje positivo X a lo largo del q4
eslabón 1, el eslabón fijo. Se colocó un sistema local de ejes en el punto B q2 O4
para definir q3. Observe que existe un ángulo fijo g en el eslabón 4 que define
el ángulo de la ranura con respecto a ese eslabón. O2

En la figura 4-13b los eslabones están representados como vectores de a)

posición con sentidos compatibles con los sistemas de coordenadas seleccio- q3
Y q4
nados por conveniencia cuando se definieron los ángulos de los eslabones.
gy
Esta disposición particular de los vectores de posición conduce a la misma
B
ecuación de lazo vectorial que la del ejemplo previo de manivela-corredera.
b x
Las ecuaciones 4.14 y 4.15 (p. 133) también se aplican a esta inversión.
Observe que la posición absoluta del punto B está definida por el vector RB, A R3 c R4
el cual varía tanto su magnitud como su dirección conforme se mueve el
mecanismo. Se ha elegido representar el RB como el vector de diferencia a R2 RB
R2 – R3 para utilizar los eslabones existentes como los vectores de posición
en la ecuación del lazo. d O4 X

Todos los mecanismos de corredera tendrán por lo menos un eslabón O2 R1

cuya longitud efectiva entre las juntas variará a medida que se mueve el b)
mecanismo. En este ejemplo la longitud del eslabón 3 entre los puntos A
y B, designada como b, cambiará cuando pasa por el bloque deslizante del FIGURA 4-13 Inversión número 3 del
eslabón 4. Por lo tanto, el valor de b será una de las variables a resolver en mecanismo de cuatro barras corredera-
esta inversión. Otra variable será q4, el ángulo del eslabón 4. Observe, sin manivela
embargo, que también existe una incógnita en q3, el ángulo del eslabón 3.
Esto da un total de tres incógnitas. Las ecuaciones 4.15 (p. 133) sólo se

pueden resolver para dos incógnitas. Por lo tanto, se requiere otra ecuación
para resolver el sistema. Existe una relación fija entre los ángulos q3 y q4,
mostrada como g en la figura 4-10 (p. 132), la cual da la ecuación:

q3 = q4 + g (4.22)

Al repetir las ecuaciones 4.15 y numerarlas de nuevo a conveniencia del lector:

a cosq2 − b cosq3 − c cosq4 − d = 0 (4.23a)

a sen θ2 − b sen θ3 − c sen θ4 = 0 (4.23b)

Éstas tienen sólo dos incógnitas y se resuelven de manera simultánea para q4 y b. La ecuación
4.23b resuelve la longitud del eslabón b y es sustituida en la ecuación 4.23a.

b = a sen q2 − c sen q4 (4.24a)
sen q3

a cosq2 − a sen q2 − c sen q4 cosq3 − c cosq4 − d = 0 (4.24b)
sen q3

Al sustituir la ecuación 4.22 y después de realizar una manipulación algebraica, la ecuación
4.24 se reduce a:

P sen q4 + Q cosq4 + R = 0 (4.25)

donde: P = a sen q2 sen g + (a cosq2 − d)cosg
Q = −a sen q2 cosg + (a cosq2 − d) sen g

R = −c sen g

Observe que los factores P, Q, R son constantes con cualquier valor de entrada de q2. Para resolver
esta ecuación para q4, conviene sustituir las identidades tangentes semiangulares (ecuación 4.9, p.
130) por los términos sen q4 y cos q4. De este modo, se tendrá una ecuación cuadrática en función
de tan (q4/2), la cual puede resolverse para los dos valores de q4.

138 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

P 2 tan⎛⎝ q4 ⎞ + Q 1 − tan 2 ⎛ q4 ⎞ + R= 0 (4.26a)
+ 2 ⎠ 1 + tan 2 ⎝ ⎠
2
1 tan 2 ⎛ q4 ⎞ ⎛ q4 ⎞
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
2

Ésta se reduce a: ( R − Q) tan 2 ⎛ q4 ⎞ + 2 P tan⎝⎛ q4 ⎞ + (Q + R) = 0
⎝ 2 ⎠ 2 ⎠

sea: S = R − Q; T = 2P; U =Q+R

4

entonces: S tan 2 ⎛ q4 ⎞ + T tan⎝⎛ q4 ⎞ + U = 0 (4.26b)
⎝ 2 ⎠ 2 ⎠

y la solución es: q 41,2 = ⎛ −T ± T 2 − 4SU ⎞ (4.26c)
2 arctan⎜⎝ 2S ⎠⎟

Como fue el caso con los ejemplos previos, éste también tiene una solución cruzada y una abierta

representadas por los signos más y menos en el radical. Observe que también se deben calcular los
valores de la longitud del eslabón b por cada q4 con la ecuación 4.24a. El ángulo q3 del acoplador se
calcula con la ecuación 4.22 (p. 137).

4.9 ESLABONAMIENTOS DE MÁS DE CUATRO BARRAS

* Waldron y Sreenivasan[1] Con algunas excepciones,* el mismo método, como el mostrado aquí para mecanismos de cuatro
reportan que los métodos de barras, puede utilizarse para cualquier número de eslabones en una configuración de lazo cerrado.
solución comunes para análi- Los mecanismos más complicados pueden tener lazos múltiples que conducen a más ecuaciones que
sis de posición no son genera- deben resolverse de manera simultánea y que pueden requerir una solución iterativa. Por otra parte,
les, es decir, no son aplicables Wampler[10] presenta un método nuevo, general, no iterativo para el análisis de mecanismos planos que
a mecanismos de n eslabones. contienen cualquier número de eslabones rígidos conectados por juntas rotacionales o traslacionales.
Los métodos de análisis de
posición convencionales, Eslabonamiento de cinco barras engranado
tales como los aquí utilizados,
dependen de la presencia de Otro ejemplo, que puede reducirse a dos ecuaciones con dos incógnitas, es el eslabonamiento de cinco
un lazo de cuatro barras en barras engranado, el cual se abordó en la sección 2.14 (p. 45) y se muestra en la figura 4-14a y el
el mecanismo que debe ser archivo F04-11.5br del programa Linkages. El lazo vectorial para este mecanismo se muestra en la
resuelto primero, seguido figura 4-14b. Obviamente, tiene un vector más que el de cuatro barras. Su ecuación de lazo vectorial es:
por una descomposición de
los eslabones restantes en R2 + R3 − R4 − R5 − R1 = 0 (4.27a)
una serie de díadas. No todos
los mecanismos contienen Observe que los sentidos de los vectores de nuevo se eligen de conformidad con los deseos
lazos de cuatro barras. (Un del analista para tener los ángulos de los vectores definidos en un extremo conveniente del eslabón
mecanismo de 1 GDL de respectivo. La ecuación 4.27b sustituye la notación polar compleja de los vectores de posición en la
ocho barras no contiene ecuación 4.27a, con a, b, c, d, f para representar las longitudes escalares de los eslabones como se
lazos de cuatro barras; vea el muestra en la figura 4-14.
isómero número 16, abajo a
la derecha de la figura 2-11d, a e jq 2 + b e jq 3 − c e j q4 − d e jq5 − f e jq 1 = 0 (4.27b)
en la p. 37.) Incluso si los
tuvieran, los pivotes de los Observe también que esta ecuación de lazo vectorial tiene tres variables desconocidas en ella, es
lazos de cuatro barras puede decir, los ángulos de los eslabones 3, 4 y 5. (El ángulo del eslabón 2 es la variable de entrada o indepen-
ser que estén conectados al diente, y el eslabón 1 es fijo con ángulo constante.) Puesto que una ecuación vectorial bidimensional
eslabón fijo, lo cual requiere sólo puede resolverse para dos incógnitas, es necesaria otra ecuación para resolver este sistema. Como
que el mecanismo se invierta éste es un mecanismo de cinco barras engranado, existe una relación entre los dos eslabones engranados,
para iniciar la solución. Por los eslabones 2 y 5 en este caso. Dos factores determinan el comportamiento del eslabón 5 con respecto
otra parte, si la junta motriz al eslabón 2, es decir, la relación de engranes l y el ángulo de fase f. La relación es:
no está en el lazo de cuatro
barras, entonces se requiere θ5 = λθ2 + φ (4.27c)
interpolación para resolver las
posiciones de los eslabones. Ésta permite expresar q5 en función de q2 en la ecuación 4.27b y reducir el número de incógnitas
a dos al sustituir la ecuación 4.27c en la ecuación 4.27b.

a e jθ2 + b e jθ3 − c e jθ4 − d e j(λθ2 +φ) − f e jθ1 = 0 (4.28a)

4.9 MECANISMOS DE MÁS DE CUATRO BARRAS 139

Observe que la relación l es la relación de los diámetros de los engranes que co- PB
nectan los dos eslabones (l = diám2/diám5), y el ángulo de fase f es el ángulo inicial
del eslabón 5 con respecto al eslabón 2. Cuando el eslabón 2 está a cero grados, el 4
eslabón 5 se encuentra en el ángulo de fase f. La ecuación 4.27c define la relación 3
entre q2 y q5. Tanto l como f son parámetros seleccionados por el ingeniero de diseño
junto con las longitudes de los eslabones. Con estos parámetros definidos, las únicas A C
incógnitas que quedan en la ecuación 4.28 son q3 y q4. 2 5

El comportamiento del mecanismo de cinco barras engranado puede modificarse al 4
cambiar las longitudes de los eslabones, la relación de engranes o el ángulo de fase. El
ángulo de fase puede cambiarse simplemente con desengranar los engranes, girar uno O2 O5
con respecto al otro y volverlos a engranar. Como los eslabones 2 y 5 están rígidamente
en contacto con los engranes 2 y 5, respectivamente, sus rotaciones angulares relativas Engrane 2 Engrane 5
también cambiarán. Por ello se producen diferentes posiciones de los eslabones 3 y 4 a)
con cualquier cambio del ángulo de fase. Las formas de la curva del acoplador también
cambiarán con la variación de cualquiera de estos parámetros como se puede ver en Y B
la figura 3-23 (p. 92) y en el apéndice E. P

El procedimiento de solución de esta ecuación de lazo vectorial es el mismo que
se utilizó para el mecanismo de cuatro barras:

1 Sustituya el equivalente de Euler (ecuación 4.4a, p. 128) en cada término de la y R3 R4
ecuación de lazo vectorial 4.28a. b q3
c q4
a(cosθ2 + j sen θ2 ) + b(cosθ3 + j sen θ3 ) − c(cosθ4 + j sen θ4 ) y

−d ⎡⎣cos(λθ2 + φ) + j sen(λθ2 + φ)⎤⎦ − f (cosθ1 + j sen θ1) = 0 (4.28b) Aa q2 x C x
R2 f d R5 q 5 X
2 Separe las partes real e imaginaria de la forma cartesiana de la ecuación de lazo

vectorial. R1

a cosθ2 + b cosθ3 − c cosθ4 − d cos(λθ2 + φ) − f cosθ1 = 0 (4.28c) O2 O5

a sen θ2 + b sen θ3 − c sen θ4 − d sen(λθ2 + φ) − f sen θ1 = 0 (4.24d ) b)

3 Reacomódelas para aislar una incógnita (q3 o q4) en cada ecuación escalar. Observe FIGURA 4-14 Mecanismo de cinco
que q1 es cero. barras engranado y su lazo vecto-

b cosθ3 = −a cosθ2 + c cosθ4 + d cos(λθ2 + φ) + f (4.28e) rial

b sen θ3 = −a sen θ2 + c sen θ4 + d sen (λθ2 + φ) (4.28f)

4 Eleve al cuadrado ambas ecuaciones y súmelas para eliminar una incógnita, por ejemplo, q3.

b2 = 2c ⎡⎣d cos(λθ2 + φ) − a cosθ2 + f ⎤⎦ cosθ4
+ 2c ⎣⎡d sen (λθ2 + φ) − a sen θ2 ⎤⎦sen θ4

+ a2 + c2 + d 2 + f 2 − 2af cosθ2 (4.28g)

− 2d (a cosθ2 − f )cos(λθ2 + φ)
− 2ad sen θ2 sen(λθ2 + φ)

5 Sustituya las identidades semiangulares tangentes (ecuación 4.9, p. 130) en lugar de los términos
seno y coseno y manipule la ecuación resultante del mismo modo que para el mecanismo de
cuatro barras para resolverla para q4.

A = 2c ⎡⎣d cos(λθ2 + φ) − a cosθ2 + f ⎦⎤

B = 2c ⎣⎡d sen(λθ2 + φ) − a sen θ2 ⎤⎦

C = a2 − b2 + c2 + d 2 + f 2 − 2af cosθ2

− 2d (a cosθ2 − f )cos(λθ2 + φ)

− 2ad sen θ2 sen(λθ2 + φ)

D = C − A; E = 2B; F = A+C

θ41,2 = 2 arctan ⎛ −E ± E2 − 4DF ⎞ (4.28h)
⎝⎜⎜ 2D ⎟⎟⎠

140 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

4 6 Repita los pasos 3 y 5 para el otro ángulo desconocido q3.

G = 2b ⎡⎣a cosθ2 − d cos(λθ2 + φ) − f ⎤⎦
H = 2b ⎣⎡a senθ2 − d sen(λθ2 + φ)⎤⎦

K = a2 + b2 − c2 + d 2 + f 2 − 2af cosθ2

− 2d (a cosθ2 − f )cos(λθ2 + φ)
− 2ad senθ2 sen(λθ2 + φ)

L = K − G; M = 2H; N = G + K

θ31,2 = 2 arctan ⎛ − M ± M 2 − 4LN ⎞
⎝⎜⎜ 2L ⎟⎠⎟
(4.28i)

Observe que estos pasos de derivación son en esencia idénticos a aquellos para el mecanismo
de cuatro barras con juntas de pasador una vez que q2 se sustituye en lugar de q5 con la ecuación
4.27c (p. 138).

Eslabonamientos de seis barras

El eslabonamiento de seis barras de Watt se compone esencialmente de dos mecanismos
de cuatro barras, como se muestra en la figura 4-15a y pueden analizarse como tales. Se dibujan dos
lazos vectoriales, como se muestra en la figura 4-15b. Estas ecuaciones de lazo vectorial se resuelven
en sucesión con los resultados del primer lazo aplicados como datos para el segundo lazo. Observe
que existe una relación angular constante entre los vectores R4 y R5 en el eslabón 4. La solución para
el mecanismo de cuatro barras (ecuaciones 4.10 y 4.13, pp. 130 y 131, respectivamente) simplemente
se aplica dos veces en este caso. Según la inversión del mecanismo Watts analizado, puede haber dos
lazos de cuatro eslabones o uno de cuatro y uno de cinco. (Véase la figura 2-14, p. 37.) En cualquier
caso, si se analiza primero el lazo de cuatro eslabones, no habrá más de dos ángulos de eslabón
desconocidos a ser encontrados de una vez.

El eslabonamiento de seis barras de Stephenson es un mecanismo más complicado de ana-
lizar. Se pueden dibujar dos lazos vectoriales, pero según la inversión que se esté analizando, cualquiera
o ambos lazos tendrán cinco eslabones* y, por lo tanto, tres ángulos desconocidos, como se muestra en la
figura 4-13a y b (p. 137). Sin embargo, los dos lazos tendrán por lo menos un eslabón no de bancada en
común, por lo tanto, se puede encontrar una solución. En los demás casos, se debe utilizar una solución
iterativa tal como el método de Newton-Raphson (véase la sección 4.14, p. 145) para encontrar las raíces
de las ecuaciones. El programa Linkages está limitado a las inversiones que permiten una solución de
forma cerrada, una de las cuales se muestra en la figura 4-16 y no realiza la solución iterativa.

Y 4 Y R6
3 O4 5

2 R3
O2
R4 R5
6 R2
R7
X R1 X
O2
O4 R8

O6 O6
a) b)

* Véase la nota al pie de la p. 130. FIGURA 4-15 Mecanismo de seis barras de Watt y lazo vectorial

4.10 POSICIÓN DE CUALQUIER PUNTO EN UN MECANISMO 141

Y3 Y 4

2 4 5 R6
O2 O4 R5

R2 R3

R4

X R1 R8 X
6 O2 O4 R7

a) O6 b) O6

FIGURA 4-16 Mecanismo de seis barras de Stephenson y lazo vectorial

4.10 POSICIÓN DE CUALQUIER PUNTO EN UN ESLABONAMIENTO

Una vez que se encuentran los ángulos de todos los eslabones, es simple definir y calcular la posición
de cualquier punto en cualquier eslabón para cualquier posición de entrada del mecanismo. La figura
4-17 muestra un mecanismo de cuatro barras cuyo acoplador, el eslabón 3, está agrandado para conte-
ner un punto de acoplador P. La manivela y balancín también se agrandaron para mostrar los puntos
S y U, los cuales podrían representar los centros de gravedad de los eslabones. Se desea desarrollar
expresiones algebraicas para las posiciones de estos (o cualesquiera) puntos en los eslabones.

Para determinar la posición del punto S, se dibuja un vector de posición del pivote fijo O2 al punto
S. Este vector RSO2 forma un ángulo d2 con el vector RAO2. Este ángulo d2 es definido por completo
por la geometría del eslabón 2 y es constante. El vector de posición para el punto S es entonces:

RSO2 = RS = se j(θ2 +δ2 ) = s ⎣⎡cos(θ2 + δ2 ) + j sen(θ2 + δ2 )⎦⎤ (4.29)

La posición del punto U en el eslabón 4 se encuentra del mismo modo mediante el ángulo d4, el cual
es un descentrado angular constante en el eslabón. La expresión es:

RUO4 = ue j(θ4 +δ4 ) = u ⎡⎣cos(θ4 + δ4 ) + j sen(θ4 + δ4 )⎤⎦ (4.30)

La posición del punto P en el eslabón 3 se encuentra con la adición de dos vectores de posición RA y RPA.
El vector RA ya se definió con el análisis de los ángulos de eslabón en la ecuación 4.5 (p. 120). El vector RPA es
la posición relativa del punto P con respecto al punto A. El vector RPA se define de la misma manera que
RS o RU, con el ángulo de descentrado d3 del eslabón interno y el ángulo de posición del eslabón 3, q3.

RPA = pe j(θ3 +δ3 ) = p ⎣⎡cos(θ3 + δ3 ) + j sen(θ3 + δ3 )⎦⎤ (4.31a)

RP = R A + RPA (4.31b)

YP

d3 p
y
3 B

A q3 4 q4
S xU u
X
2 d4 O4
s

q2
d2

O2 1

FIGURA 4-17 Posiciones de puntos en los eslabones

142 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

Compare la ecuación 4.31b con la ecuación 4.1 (p. 123). La ecuación 4.31b es la ecuación de
diferencia de posición.

4.11 ÁNGULOS DE TRANSMISIÓN

El ángulo de transmisión se definió en la sección 3.3 (p. 72) para un mecanismo de cuatro barras.
Esa definición se repite aquí para su conveniencia.

El ángulo de transmisión m se muestra en la figura 3-3a (p. 73) y se define como el ángulo entre el eslabón

de salida y el acoplador. En general se considera como el valor absoluto del ángulo agudo del par de ángulos
4 en la intersección de los dos eslabones y varía continuamente de un valor mínimo a uno máximo conforme el

mecanismo recorre su rango de movimiento. Es una medida de la calidad de transmisión de la fuerza en la junta.*

Se ampliará esa definición aquí para representar el ángulo entre dos eslabones cualesquiera de
un mecanismo, ya que un mecanismo puede tener muchos ángulos de transmisión. El ángulo entre
cualquier eslabón de salida y el acoplador que lo impulsa es un ángulo de transmisión. Ahora que se
han desarrollado las expresiones analíticas para los ángulos de todos los eslabones de un mecanismo,
es fácil definir el ángulo de transmisión de manera algebraica. Es la diferencia entre los ángulos de
los dos eslabones unidos a través de los cuales se desea pasar una fuerza o velocidad. Para el ejemplo
del mecanismo de cuatro barras será la diferencia entre q3 y q4. Por convención, se considerará que
el valor absoluto de la diferencia y la fuerza es un ángulo agudo.

θtrans = θ3 − θ4

si θtrans > π entonces μ = π − θtrans otro μ = θtrans (4.32)
2

B g1 m1 = g1 Este cálculo puede realizarse para cualquier junta de un mecanismo mediante el uso de
ángulos apropiados.

Valores extremos del ángulo de transmisión

bc Para un mecanismo de cuatro barras de Grashof manivela-balancín, el valor mínimo del
ángulo de transmisión ocurrirá cuando la manivela es colineal con la bancada, como se
a muestra en la figura 4-18. Los valores del ángulo de transmisión en estas posiciones son
A fáciles de calcular con la ley de cosenos, puesto que en ese caso la configuración del meca-
nismo es triangular. Los lados de los dos triángulos son el eslabón 3, el eslabón 4 y la suma
O o diferencia de los eslabones 1 y 2. Según la geometría del mecanismo, el valor mínimo
del ángulo de transmisión mmín ocurrirá cuando los eslabones 1 y 2 se encuentran colineales
d y traslapados, como se muestra en la figura 4-18a o cuando los eslabones 1 y 2 son coli-
neales y no traslapados, como se muestra en la figura 4-18b. Con la notación compatible
a) Traslapados de la sección 4.5 (p. 126) y la figura 4-7 (p. 128) se designaron los eslabones como sigue:

m2 = p − g2 g2 a = eslabón 2; b = eslabón 3; c = eslabón 4; d = eslabón 1
B
b
Aa c

Para el caso de traslape (figura 4-18a) la ley de cosenos da

O O μ1 = γ = arccos ⎡ b2 + c2 − (d − a)2 ⎤ (4.33a)
d ⎢ ⎥
1 ⎣ 2bc ⎦
b) Extendidos
y en el caso extendido, la ley de los cosenos da

FIGURA 4-18 El ángulo de trans- μ2 = π − γ = π − arccos ⎡ b2 + c2 − (d + a)2 ⎤ (4.33b)
misión mínimo en el mecanismo ⎢ ⎥
de cuatro barras manivela-ba- 2 ⎣ 2bc ⎦
lancín de Grashof ocurre en una
de dos posiciones

* El ángulo de transmisión tiene una aplicación limitada. Sólo predice la calidad de transmisión de la fuerza
o par de torsión si los eslabones de entrada y salida están pivotados en eslabón fijo. Si la fuerza de salida se
toma de un eslabón flotante (acoplador), entonces el ángulo de transmisión no tiene valor. En el capítulo 11
se presenta un indicador de mérito diferente llamado índice de fuerza en junta (JFI, por sus siglas en inglés)
que analiza fuerzas en mecanismos. (Véase la sección 11.12. p. 423.) El JFI es útil en situaciones en las cuales
el eslabón de salida es flotante y proporciona la misma clase de información cuando la salida se toma de un
eslabón que gira contra la tierra. Sin embargo, el JFI requiere un análisis de fuerza completo del mecanismo
mientras que el ángulo de transmisión se determina sólo con su geometría.

4.12 POSICIONES DE AGARROTAMIENTO 143

El ángulo de transmisión mínimo mmín en un mecanismo de Grashof de manivela-balancín es 4
entonces el más pequeño de m1 y m2.

En un mecanismo de Grashof de doble balancín el ángulo de transmisión puede variar de 0 a
90 grados porque el acoplador puede hacer una revolución completa con respecto a los demás esla-
bones. En un mecanismo de Grashof de triple balancín el ángulo de transmisión será de cero grados
en las posiciones de agarrotamiento que ocurren cuando el balancín de salida c y el acoplador b están
colineales, como se muestra en la figura 4-19a. En las demás posiciones de agarrotamiento, cuando
el balancín de entrada a y el acoplador b están colineales (figura 4-19b), el ángulo de transmisión
se calcula con la ley de cosenos como:

cuando n = 0,

⎡ (a + b)2 + c2 − d 2 ⎤
arccos⎢ 2c(a + b) ⎥
m = ⎦ (4.34)
⎣

Éste no es el valor más pequeño que el ángulo de transmisión puede tener en un triple balancín,
que obviamente será cero. Desde luego, cuando se analiza cualquier mecanismo, los ángulos de
transmisión son fáciles de calcular y graficar para todas las posiciones con la ecuación 4.32. El pro-
grama Linkages hace esto. El estudiante deberá investigar la variación del ángulo de transmisión de
los mecanismos ejemplo en este programa. El archivo F04-15.4br puede ser abierto en el programa
Linkages para observar el mecanismo en movimiento.

4.12 POSICIONES LÍMITE DE CAMBIO

Los ángulos de los eslabones de entrada que corresponden a las posiciones límite (configuraciones

estacionarias) del mecanismo de triple balancín de no Grashof se calculan con el siguiente método

mediante trigonometría. La figura 4-20 muestra un mecanismo de cuatro barras de no Grashof en
una posición general. Se trazó una línea de construcción h entre los puntos A y O4. Ésta divide el
lazo cuadrilateral en dos triángulos, O2AO4 y ABO4. La ecuación 4.35 utiliza la ley de cosenos para
expresar el ángulo de transmisión m en función de las longitudes de los eslabones y los ángulos del
eslabón de entrada q2.

h2 = a2 + d2 – 2 ad cosq2

también: h2 = b2 + c2 – 2bc cos m

por lo tanto: a2 + d2 = 2 ad cosq2 = b2 + c2 – 2bc cos m
y
cos μ = b2 + c2 − a2 − d2 + ad cosθ2 (4.35)
2bc bc

b m = 0° d n = 0° bm
n a c

q2 c b B
a h m

a –q2 d A d
n a
c
g
a c
m a
b m = 0° q2 c

n = 0°

b

a) Posiciones de límite de cambio b) Posiciones de límite de cambio O2 b O4
de los eslabones b y c de los eslabones a y b d

FIGURA 4-19 Mecanismos de no Grashof de triple FIGURA 4-20 Determinación del ángulo corres-
balancín en posiciones límite de cambio pondiente a las posiciones límite de cambio

144 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE POSICIÓN

4 Para encontrar los valores del ángulo de entrada q2 máximo y mínimo, se puede diferenciar la
ecuación 4.35, al derivar q2 con respecto a m e igualar a cero.

dθ2 = bc sen μ = 0 (4.36)
d μ ad senθ2

Las longitudes de los eslabones a, b, c, d nunca son cero, de modo que esta expresión sólo puede
ser cero cuando sen m es cero. Esto será cierto cuando el ángulo m en la figura 4-20 es cero o 180°.
Esto es compatible con la definición de límite de cambio dada en la sección 3.3 (p. 72). Si m es cero
o 180°, entonces cos m será ±1. Al sustituir estos dos valores de cos m en la ecuación 4.35 se obtendrá
un valor de q2 entre cero y 180°, el cual corresponde a la posición límite de cambio de un mecanismo
de triple balancín cuando es impulsado por un balancín.

cos m = b2 + c2 − a2 − d2 + ad cosq2 = ±1
2bc bc

o cosq2 = a2 + d2 − b2 − c2 ± bc (4.37)
2ad ad

y q 2 agarrotamiento = ⎛ a2 + d2 − b2 − c2 ± bc ⎞ ; q p0 ≤ ≤2agarrotamiento
arccos⎝⎜ 2ad ad ⎠⎟

Uno de estos casos ± producirá un argumento para la función arcoseno localizada entre ± 1. El
ángulo que corresponde a una posición límite de cambio, el cual está en el primero y segundo cua-
drantes, se calcula con este valor. El otro ángulo correspondiente a una posición límite será entonces
el negativo del encontrado, debido a la simetría de espejo de las dos posiciones límite en torno a la
bancada, como se muestra en la figura 4-19 (p. 143). El programa Linkages calcula los valores de
estos ángulos en las posiciones límite para cualquier mecanismo de no Grashof.

4.13 CIRCUITOS Y RAMAS EN MECANISMOS

En la sección 4.5 (p. 126) se señaló que el problema de posición del mecanismo de cuatro barras tiene
dos soluciones que corresponden a los dos circuitos del mecanismo. Esta sección explorará con más
detalle los temas de circuitos y ramas en mecanismos.

Chase y Mirth[2] definen un circuito en un mecanismo como “todas las orientaciones posibles de
los eslabones que pueden ser obtenidas sin desconectar ninguna de las juntas”, y una rama como “una
serie continua de posiciones del mecanismo en un circuito entre dos configuraciones estacionarias… Las
configuraciones estacionarias dividen un circuito en una serie de ramas”. Un mecanismo puede tener
uno o más circuitos, cada uno de los cuales puede contener una o más ramas. El número de circuitos
corresponde al número de soluciones posibles obtenidas con las ecuaciones de posición del mecanismo.

Los defectos de circuito son fatales para el funcionamiento del mecanismo, pero los de rama no.
Un mecanismo que debe cambiar circuitos para moverse de una posición deseada a la otra (conocido
como defecto de circuito) no es útil, ya que no puede funcionar sin desarmarlo y volverlo a armar.
Un mecanismo que cambia de rama cuando se mueve de un circuito a otro (conocido como defecto
de rama) puede o no ser útil según la intención del diseñador.

El mecanismo de la puerta trasera mostrado en la figura 3-2 (p. 73) es un ejemplo de un meca-
nismo con un defecto de rama deliberado en su rango de movimiento (en realidad, en el límite de
sus rangos de movimiento). La posición límite (configuración estacionaria) que se alcanza con la
puerta trasera totalmente abierta sirve para mantenerla abierta. Pero el usuario puede apartarla de su
configuración estacionaria girando uno de los eslabones para sacarla de su posición límite. Las sillas
y mesas plegadizas a menudo utilizan un esquema similar al de los asientos plegables en automóviles
y vagonetas (frenos de disparo).

Otro ejemplo de mecanismo común con defecto de rama es el mecanismo manivela-corredera
(cigüeñal, biela e impulso de corredera) utilizado en todos los motores de pistones y mostrado en la
figura 13-3 (p. 467). Este mecanismo tiene dos posiciones límite (puntos muertos superior e inferior)
que forman dos ramas en una revolución de su manivela. No obstante, funciona porque es arrastrado
a través de estas configuraciones estacionarias por la cantidad de movimiento angular de la manivela
rotatoria y su volante unido. Un inconveniente es que el motor debe ser girado para arrancarlo con
el objeto de acumular suficiente cantidad de movimiento para arrastrarlo a través de estas posiciones
límite de cambio o estacionarios.

4.14 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE NEWTON-RAPHSON 145

El mecanismo de seis barras de Watt puede tener cuatro circuitos, y el de seis barras de Stephenson, 4
cuatro o seis circuitos, dependiendo de qué eslabón sea el motriz. Los mecanismos de ocho barras
pueden tener hasta 16 o 18 circuitos, sin embargo, ninguno puede ser real.[2] TABLA 4-1
Circuitos y ramas
El número de circuitos y ramas en el mecanismo de cuatro barras depende de su condición de
Grashof y de la inversión utilizada. Un mecanismo de cuatro barras de no Grashof y triple balancín en el mecanismo
tiene sólo un circuito, pero dos ramas. Todos los mecanismos de cuatro barras de Grashof tienen dos de cuatro barras
circuitos, pero el número de ramas por circuito difiere con la inversión. El mecanismo manivela-
balancín y el de doble manivela tienen sólo una rama en cada circuito. El mecanismo de doble balancín Tipo Núme- Rama
y el manivela-balancín tienen dos ramas en cada circuito. La tabla 4-1 resume estas relaciones.[2] La de meca- ro de por
tabla 4-2 muestra los circuitos y ramas para las dos configuraciones del eslabonamiento de cuatro nismo de circui-
barras de corredera. En la figura 4-21 se presentan los circuitos para el eslabonamiento de cuatro circui-
barras de Grashof y la corredera de cuatro barras. cuatro tos to
barras
Cualquier solución de la posición de un mecanismo debe tener en cuenta el número de circui-
tos posibles que contiene. Una solución de forma cerrada, si está disponible, contendrá todos los Triple ba- 1 2
circuitos. Una solución iterativa, tal como se describe en la siguiente sección, sólo dará los datos lancín de
de posición de un circuito y puede que no sea el que se esperaba. no Grashof

4.14 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE NEWTON-RAPHSON Manivela- 2 1
balancín
Los métodos de solución para análisis de posición mostrados hasta ahora en este capítulo son de de Grashof*
“forma cerrada” lo que significa que proporcionan la solución con un método directo no iterativo.* En
algunas situaciones, en particular con mecanismos de lazos múltiples, una solución de forma cerrada
puede no ser factible. En tal caso, se requiere un método iterativo y el método de Newton-Raphson
(en ocasiones llamado sólo método de Newton) es uno que puede resolver conjuntos de ecuaciones
simultáneas no lineales. Cualquier método de solución iterativo requiere uno o más valores supuestos
para iniciar el cálculo. Luego los utiliza para obtener una solución nueva que puede aproximarse
a la correcta. Este proceso se repite hasta que converge en una solución suficientemente próxima a

3 3 Doble ma- 2 1
2 3 nivela de
Grashof*

Circuito 1 Circuito 2 Doble ba- 2 2
4 lancín de
Grashof*

1 4 42 Manivela-
3 Circuito 1 balancín
4 de Grashof*
2 2
1
Circuito 2
* Válido sólo para mecanismos
a) Dos circuitos del mecanismo de cuatro b) Dos circuitos del mecanismo de cuatro de Grashof de caso no especial
barras de manivela-balancín barras de doble manivela

Circuito 2 4 3 Circuito 2 3 3 Circuito 1 TABLA 4-2
2 4 2 Circuitos y ramas
4
1 Circuito 1 1 4 En la corredera
1 de cuatro barras

1 • • Tipo Canti- Ramas
Eslabón Eslabón de corre- dad de por
c) Dos circuitos del mecanismo de cuatro efectivo 4 dora de circui- circui-
barras de doble balancín efectivo 4
cuatro tos to
d ) Dos circuitos del mecanismo de cuatro barras
barras de corredera

FIGURA 4-21 Circuitos del eslabonamiento de cuatro barras Manivela- 2 1
corredera

* Kramer[3] afirma que: “En teoría, cualquier sistema algebraico no lineal de ecuaciones puede manipularse como si fuera un Corredera- 2 2
polinomio simple con una incógnita. Las raíces de este polinomio entonces pueden utilizarse para determinar las incógnitas manivela
del sistema. Sin embargo, si el grado del polinomio derivado es de más de cuatro, se requiere factorización o alguna forma
de iteración para obtener las raíces. En general, los sistemas con polinomios con grado mayor de cuatro, asociados con la
eliminación de todas excepto una variable, deben resolverse por iteración. Sin embargo, si la factorización del polinomio en
términos de cuarto grado o menos es posible, todas las raíces pueden encontrarse sin iteración. Por consiguiente, las únicas
soluciones verdaderamente simbólicas son aquellas que pueden factorizarse en términos de cuarto grado o menos. Ésta es la
definición formal de una solución de forma cerrada.”