เทอม 2 หน่วยที่ 1การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

แผนการจัดการเรียนรู้

วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๒

หน่วยการเรียนรู้ที่ ๑

เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ดีกรีสอง

ภาคเรียนที่ ๒

นายกัดดาฟี สาและ ช่องทางการติดต่อ

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ Kaddafee salae

โรงเรียนสวนพระยาวิทยา 082-2641827
สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษานราธิวาส [email protected]
สำนักงานการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

HTTPS://SITES.GOOGLE.COM/VIEW/KADDAFEE/MATH1

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 1

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง

รายวชิ าท่นี ามาบูรณาการ
การงานพน้ื ฐานอาชพี ศิลปะ ภาษาไทย

1. มาตรฐานการเรยี นรู้
มฐ. ค 6.1

2. ตัวชวี้ ดั ทเ่ี กยี่ วข้อง
ค 6.1 ม.2/1-6

3. สาระการเรยี นรู้ประจาหน่วย
3.1 การแยกตวั ประกอบโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง
3.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว
3.3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ปน็ ผลต่างของกาลังสอง
3.4 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่เี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์
3.5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องโดยวธิ ที าให้เปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์

4. รอ่ งรอยการเรยี นรู้
4.1 ผลงาน / ช้ินงาน ไดแ้ ก่
1) การทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 1- 15 และแบบฝกึ หดั 1 - 3 ในหนังสอื เรยี นแม็ค
2) การทาแบบฝกึ หัดในหนังสือเรยี นแมค็
3) การทาแบบทดสอบ ในโปรแกรม google classroom
4.2 ผลการปฏบิ ตั ิงานไดแ้ ก่
1) การปฏบิ ัตกิ จิ กรรมในชนั้ เรยี นและการใชบ้ รกิ ารของโรงเรียนอย่างเหมาะสม
2) การมีสว่ นรว่ มในการปฏิบตั กิ ิจกรรมกลุ่ม
4.3 การทดสอบวัดผลสมั ฤทธทิ์ างการเรียนหลงั เรียนจบหนว่ ยการเรียนรู้

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 2

5. แนวทางการจดั กิจกรรมในภาพรวม

ร่องรอยการเรยี นรู้ แนวทางการจดั การเรียนรู้

บทบาทครู บทบาทนักเรียน

5.1 ผลงาน / ชนิ้ งาน ได้แก่

1) ก า ร ท า กิ จ ก ร ร ม - อธิบายเนอ้ื หาในแต่ละเรอื่ ง - ฝึกคดิ ตามและรว่ มทากจิ กรรมในชั้นเรยี น

ตรวจสอบความเข้าใจ 1- 15 -ท า กิ จ ก ร ร ม ต ร ว จ ส อ บ ค ว า ม เข้ า ใ จ แ ล ะ

ในหนังสอื เรียนแมค็ แบบฝึกหัด

2) การทาแบบฝึกหัดใน - แนะการทาแบบฝึกหัดและ

หนงั สอื เรียน แมค็ กจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ

3) การทาแบบทดสอบ - อธิบายสรุปความคิดรวบยอดใน - ทาแบบทดสอบหน่วยย่อยเปน็ รายกลุม่

แต่ละเร่อื ง

5.2 ผลการปฏิบตั ิงาน ไดแ้ ก่

1) การปฏิบัติกิจกรรมใน - แนะนาวิธีการเขียนแผนผังสรุป - ให้นักเรียนเขียนแผนผังความคิดประจา

ช้ันเรียนและการใช้บริการของ ความคิดรวบยอดเพ่ือสรุปเน้ือหา หนว่ ย

โรงเรียนอยา่ งเหมาะสม ประจาหน่วย

- แน ะน าให้ นั ก เรียน ใช้บ ริการ - ให้นักเรียนไปค้นคว้าโจทย์ในห้องสมุด

ห้ อ ง ส มุ ด ข อ ง โร ง เรี ย น อ ย่ า ง โรงเรียนและห้องสมุดกลุ่มสาระการเรียนรู้

เหมาะสม คณติ ศาสตร์

- ให้นักเรียนจัดกลุ่มตามที่ครูมอบหมายและ

2) การมีส่วนร่วมในการ - แนะนาวิธีการจัดกลุ่มและการทา ช่วยกนั ทากิจกรรมในชนั้ เรียน

ปฏิบัติกิจกรรมกลุม่ กิจกรรมกล่มุ

5.3 การทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิ์ - สรุปเนื้อหาที่สาคัญตามแผนผัง - ทาแบบทดสอบหลังเรยี นจบ

ทางการเรียน ความคิดรวบยอดประจาหน่วยอีก

ครั้ง

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 3

แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 1

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง เรื่อง การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

เวลา 6 ช่ัวโมง ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2564

1. เป้าหมายการเรียนรู้
1.1 ผลการเรยี นรู้
1) สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแสดงการบวกและลบพหุนามได้
2) สามารถใชส้ มบัติการแจกแจงแสดงการคูณพหนุ ามได้
3) ตระหนักถงึ ความสมเหตุสมผลของคาตอบทไ่ี ด้
1.2 จุดประสงค์การเรียนรู้
1) สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแสดงการบวกและลบพหุนามได้
2) สามารถใชส้ มบัติการแจกแจงแสดงการคณู พหนุ ามได้

2. สาระสาคญั
2.1 สาระการเรียนรู้
1) พหุนามต้ังแตส่ องพหุนามขึ้นไป สามารถบวกหรือลบกันได้โดยการนาพจน์ทคี่ ล้ายกันมาบวกหรือลบกนั โดย

ใช้สมบัตกิ ารแจกแจง เพ่ือรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน
2) พหุนามต้ังแตส่ องพหนุ ามข้ึนไป สามารถคูณกันได้โดยอาศัยสมบตั ิการแจกแจง หรือสามารถหาผลคูณทวิ

นามอย่างง่ายโดยใชร้ ปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉาก
2.2 ทักษะ/กระบวนการ
การวเิ คราะห์ การตคี วามหมาย การคานวณ
2.3 ทกั ษะการคิด
การคดิ คานวณ การคิดสรปุ ความ การคดิ แปลความ การคิดวเิ คราะห์ การให้เหตผุ ล

3. ร่องรอยการเรียนรู้
3.1 ผลงาน / ชน้ิ งาน
การทาแบบฝกึ หดั ในหนังสือเรียนแมค็
3.2 กระบวนการขน้ั ตอนการปฏบิ ัติงาน
1) เปิดโปรแกรม google meet เพ่ือเข้าเรียน และจัดกลุ่ม กลมุ่ ละ 3

2) เลอื กหวั หนา้ กลมุ่
3) หัวหนา้ กลมุ่ แบง่ งาน ปรึกษาหารือ
4) รว่ มกนั จดั ทาบัตรกิจกรรม ในโปรแกรม google classroom
5) นาเสนอผลงาน ในโปรแกรม google meet
6) รว่ มกันทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ
7) ส่งงาน ในโปรแกรม google classroom
3.3 พฤตกิ รรมตามคุณลกั ษณะพึงประสงค์
1) ให้ความร่วมมอื ในการทางานกลุม่

2) มคี วามละเอียดรอบคอบและรับผิดชอบในการทางาน
3.4 ความรคู้ วามเขา้ ใจ

1) สามารถใช้สมบตั ิการแจกแจงแสดงการบวกและลบพหุนามได้

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 4

2) สามารถใชส้ มบตั ิการแจกแจงแสดงการคณู พหนุ ามได้
4. แนวทางการตรวจให้คะแนนผลงาน / ชิ้นงาน / การปฏิบัติ

เกณฑผ์ ่านขน้ั ต่า
1) ได้ระดบั “พอใช้” ขึน้ ไป
2) ได้ระดบั “ดี” ขนึ้ ไป
3) ทาได้ถกู ตอ้ ง 80% ขึน้ ไป

การสรุปผลการประเมิน
ต้องผ่านเกณฑ์ขัน้ ต่าท้งั 3 รายการ

5. กระบวนการเรยี นรู้
5.1 ขั้นนา
ชว่ั โมงที่ 1 (ทบทวนเรอ่ื งเอกนาม)
ครทู บทวนเรือ่ งเอกนาม จนสรปุ ได้ว่าเอกนามคือนิพจน์ทีอ่ ยู่ในรูปการคณู ของค่าคงตัวและตวั แปรต้ังแตห่ นึ่งตัวข้ึน

ไปโดยท่ีเลขช้ีกาลังของตัวแปรแต่ละตัวต้องเป็นจานวนเต็มท่ีมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เรียกค่าคงตัวว่า สัมประสิทธิ์ และ
เรียกผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวว่า ดีกรี และสรุปได้ว่า เอกนามสองเอกนามจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ เอกนาม
นน้ั สามารถเขียนให้อยู่ในรปู การคณู ของค่าคงตัวกบั ตวั แปรชดุ เดยี วกนั

ชว่ั โมงที่ 2 (ทบทวนการบวกลบเอกนาม)
ครูอธบิ ายว่าเอกนามคลา้ ยกนั ตง้ั แต่สองเอกนามสามารถบวกหรอื ลบกนั ได้โดยอาศัยหลักทว่ี ่า

ผลบวกของเอกนามท่คี ลา้ ยกัน = ผลบวกของสัมประสิทธ์ิ  ส่วนท่ีอยใู่ นรปู การคณู กันของตวั แปร

ผลลบของเอกนามท่ีคล้ายกนั = ผลลบของสัมประสิทธ์ิ  ส่วนทอ่ี ยใู่ นรปู การคณู กันของตัวแปร
ช่วั โมงที่ 3 (การบวกและลบพหุนาม)
ครูใช้คาถามเพื่อใหน้ ักเรียนสรุปความเข้าใจว่า พหนุ าม คอื นิพจน์พีชคณติ ทเ่ี ป็นเอกนามหรอื อยู่ในรูปการบวกหรือ

การลบเอกนามต่างๆ จากน้ันครูให้ความรู้ว่าสาหรับพหุนามใดพหุนามหน่ึงถ้ามีพจน์สองพจน์ท่ีมีตัวแปรอย่างเดียวกัน
และมีเลขชี้กาลังเท่ากัน จะเรียกว่าพจน์ที่คล้ายกัน และถ้าพจน์สองพจน์ใดๆ ท่ีมีตัวแปรต่างกัน หรือเลขชี้กาลังไม่เท่ากัน
จะเรียกว่าพจน์ที่ต่างกัน จากนั้นครูแนะนานักเรียนว่า ในการหาผลบวกหรือผลลบของพหุนาม ให้นาพจน์ที่คล้ายกันมา
บวกหรอื ลบกนั

ครูและนักเรยี นช่วยกนั สรุปการบวกและการลบพหนุ ามดังนี้
การบวกพหุนามสองพหุนาม สามารถเอาวงเล็บที่แสดงพหุนามแต่ละพหุนามออกได้ โดยไม่ทาให้เคร่ืองหมายของ
แตล่ ะพจน์เปลี่ยนไป
การลบพหุนามสองพหุนาม ใชค้ วามรู้ในเรอื่ งบทนิยามการลบที่ว่า a - b = a + (-b) ดังน้ัน เมื่อถอดวงเล็บออกจึง
เห็นว่าเครอื่ งหมายแตล่ ะพจนข์ องตัวลบมีเครือ่ งหมายเปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม
ชั่วโมงท่ี 4 - 6 (การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง)
ครูทบทวนสมบตั ิการแจกแจง และรว่ มกันอภิปรายว่า พหุนามใดๆ สามารถคูณกันโดยอาศยั สมบัตกิ ารแจกแจง

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 5

5.2 ขนั้ สอน

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ

ชั่วโมงที่ 1 (ทบทวนเร่อื งเอกนาม)

1. ครเู ปิด ในโปรแกรม google meet ทบทวนเรอ่ื งเอกนามโดยสร้างตาราง 2 การตีความหมาย การคิดวิเคราะห์

ตาราง โดยทต่ี ารางที่ 1 นิพจนท์ ุกตวั เป็นเอกนาม ตารางท่ี 2 นิพจน์ทกุ ตวั ไมเ่ ปน็ และการคิดสรปุ ความ

เอกนาม

จากน้ันครูใช้คาถามเพื่อให้นักเรียนคิดวิเคราะห์ถึงความสัมพันธ์ของสัมประสิทธิ์

ตัวแปร และเลขช้ีกาลังของตัวแปร โดยครูอธิบายเพ่ิมเติมว่า 4x3 มี 4 เป็น

คา่ คงท,่ี x เรยี กวา่ ตวั แปร และ 3 เป็นเลขชีก้ าลังของตัวแปร

ครูและนักเรียนช่วยกันสรปุ ต่อไปว่า เอกนาม คือนิพจน์ทอี่ ยใู่ นรูปการคูณของค่า

คงตวั และตัวแปรต้ังแต่หนึ่งตัวข้ึนไปโดยทเี่ ลขช้ีกาลังของตัวแปรแตล่ ะตวั ต้องเป็น การคิดวเิ คราะห์

จานวนเต็มท่ีมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เรียกค่าคงตัวว่า สัมประสิทธิ์ และเรียก

ผลบวกของเลขชีก้ าลงั ของตัวแปรทกุ ตัวว่า ดกี รี

2. ครูอาจช้ีให้นกั เรียนเข้าใจมากยิง่ ข้ึนโดยการอธิบายว่า 10 สามารถเขียนไดใ้ น

รปู การคดิ วเิ คราะหแ์ ละการคิดสรุป
10(x0) = 10(1) = 10 และ y = 1(y) = y
ความ

จากน้ันครจู ึงถามนกั เรียนว่าใครสามารถยกตวั อยา่ งเอกนามไดบ้ า้ ง
3. ครใู หน้ กั เรียนพิจารณาเอกนามตอ่ ไปน้ี 2x2, 4y3, 5x2 - 7y3 พร้อมกับให้

นักเรียนดูคู่ของเอกนาม 2x2 กับ 5x2 และเอกนาม 4y3 กับ -7y3 ว่ามีอะไรที่

เหมอื นกนั

ครใู ช้คาถาม ถามนักเรียนเพอื่ ให้นกั เรียนสรุปเอกนามที่คล้ายกนั ไดด้ ังนี้

เอกนามสองเอกนามจะคล้ายกัน ก็ต่อเม่ือ เอกนามนั้นสามารถเขียนให้อยู่ใน

รปู การคณู ของคา่ คงตัวกับตวั แปรชุดเดียวกนั การคิดวิเคราะห์

4. ครเู ขยี นเอกนามบนกระดาน ในโปรแกรม google meet เช่น

1) -3x4, 4-2y3, z4

2) 6x2y3z หรอื เอกนามอ่นื ๆ

จากนั้นให้นักเรียนกลบั ไปทาเป็นการบ้านโดยสร้างเอกนามคล้ายกับเอกนามท่ีครู

สร้างบนกระดาน

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 6

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝกึ การคดิ แบบ

ชวั่ โมงที่ 2 (ทบทวนการบวกลบเอกนาม) การคดิ วิเคราะห์

1. ครูใหน้ ักเรยี นแต่ละคนยกตวั อยา่ งเอกนามท่ีคลา้ ยกนั มาคนละ 2 ถึง 3 คู่

ครอู ธิบายต่อว่าเอกนามคลา้ ยกันตง้ั แตส่ องเอกนามสามารถบวกหรอื ลบกันได้

โดยอาศยั หลกั ท่ีวา่

ผลบวกของเอกนามที่คลา้ ยกนั = ผลบวกของสมั ประสิทธ์ิ  ส่วนทอี่ ยใู่ นรปู

การคณู กนั ของตวั แปร

และ

ผลลบของเอกนามท่ีคล้ายกัน = ผลลบของสัมประสิทธิ์  ส่วนท่ีอยู่ใน

รูปการคูณกนั ของตวั แปร

ตอ่ ไปครยู กตวั อย่าง ตอ่ ไปนี้
1) 5x3 + 2x3 = (5 + 2)x3 = 7x3

2) 10x6 - 7x6 = (10 - 7)x6 = 3x6

3) -3x2 – 5x2 = (-3 + (-5))x2 = -8x2

จากนั้นให้นักเรียนนาเอกนามคล้ายที่นักเรียนได้คิดในช่ัวโมงท่ีผ่านมานามาหา การคิดวเิ คราะห์

ผลบวกและหาผลลบของเอกนามคล้ายดังกลา่ ว

2. ใหน้ ักเรียนหาผลบวกและผลลบของเอกนามคล้ายเพิ่มเตมิ โดยครูเขยี นโจทย์

บนกระดาน ในโปรแกรม google classroom เชน่

1) 2x3 + 3x3

2) 4x2 - 6x2
3) 9x4 + x4

4) 9x2 - x2

เพ่อื ใหน้ ักเรียนนาความรมู้ าฝกึ ฝนให้เกิดทักษะและความเข้าใจย่ิงขน้ึ

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครกู ดั ดาฟี สาและ 7

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝกึ การคดิ แบบ

ชัว่ โมงที่ 3 (การบวกและลบพหุนาม)

1. ครใู หน้ ักเรียนพิจารณานพิ จน์ 3x - 4y, 3x2y3 - 4x2y3, 4xy + 5yz + 6zx การคิดวเิ คราะหก์ ารคิดสรุปความ

จากนั้นครูใช้คาถามถามนักเรียนว่าจากนิพจน์ท้ังหมดมีนิพจน์ใดบ้างไม่เป็นเอก

นาม และครกู ล่าวว่านิพจน์ท้ังหมดเราเรียกว่า พหุนามต่อไป ครูใช้คาถามเพื่อให้

นกั เรียนสรุปความเขา้ ใจ

พหุนาม คอื นพิ จนพ์ ีชคณติ ทเ่ี ป็นเอกนามหรืออยู่ในรปู การบวกหรือการลบ

เอกนามต่างๆต่อไปครูให้นักเรียนพิจารณา 10x6 + 4x6 ว่าตัวแปรเป็นชุด

เดียวกันหรือไม่ (เป็น)

ครูให้ความรู้ว่าสาหรับพหุนามใดพหุนามหน่ึงถ้ามีพจน์สองพจน์ท่ีมีตัวแปรอย่าง

เดียวกนั และมเี ลขชก้ี าลังเท่ากนั จะเรียกวา่ พจน์ทคี่ ล้ายกนั

ถ้าพจนส์ องพจนใ์ ดๆ ทมี่ ตี วั แปรต่างกนั หรือเลขชกี้ าลังไม่เท่ากัน จะเรียกวา่ พจน์

ทตี่ ่างกัน

เชน่ 3x2 + 5x + 6x2 + 7 มี 3x2 และ 6x2 เป็นพจน์ท่คี ล้ายกนั

จากน้ันครูแนะนานักเรียนวา่ ในการหาผลบวกหรือผลลบของพหุนาม ให้นาพจน์

ท่ีคลา้ ยกันมาบวกหรือลบกนั ดงั ตัวอย่าง

ครูยกตัวอย่างประกอบความเข้าใจ ดงั นี้

1) 7x4 + 9x4 = (7 + 9)x4 = 16x4
2) -4m2 + 12m2 = (-4 + 12)m2 = 8m2

3) (3x2 + 4x - 2) + (12x2 - 3x + 5) = 3x2 + 4x - 2 + 12x2 - 3x + 5

= 15x2 + x + 3

2. ครแู นะนาเพ่ิมเตมิ เกีย่ วกับการลบว่า จากบทนยิ ามการลบ a - b = a + (-

b) พร้อมทั้งยกตัวอย่างดังน้ี การคิดวเิ คราะห์และการคิดสรุป
จงหาผลลบของ (3x2 + 4x - 2) - (12x2 - 3x + 5)
ความ

วิธที า (3x2 + 4x - 2) - (12x2 - 3x + 5) = (3x2 + 4x - 2) + (-12x2 + 3x - 5)

= 3x2 + 4x – 2 -12x2 + 3x – 5

= -9x2 + 7x – 7
ครแู ละนกั เรยี นช่วยกันสรปุ การบวกและการลบพหนุ ามดังนี้
การบวกพหุนามสองพหุนาม สามารถเอาวงเล็บท่ีแสดงพหุนามแต่ละพหุนาม
ออกได้ โดยไม่ทาให้เครื่องหมายของแต่ละพจน์เปลี่ยนไปส่วนการลบพหนุ ามสอง
พหุนาม ใชค้ วามร้ใู นเรือ่ งบทนิยามการลบทวี่ ่า
a - b = a + (-b) ดังนน้ั เม่ือถอดวงเล็บออกจงึ เห็นวา่ เครอ่ื งหมายแต่ละพจนข์ อง
ตวั ลบมเี ครอ่ื งหมายเปลี่ยนไปเป็นตรงกันขา้ ม

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 8

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝกึ การคิดแบบ

ช่วั โมงท่ี 4 - 6 (การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง)

ช่วั โมงที่ 4 (การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบัติการแจกแจง)

1. ครูทบทวนสมบัติการแจกแจง ดังนี้ สาหรับ a, b, c ที่เป็นจานวนเต็มใดๆ การคิดวเิ คราะหแ์ ละการคิดสรปุ

แลว้ จะได้วา่ ความ

a(b + c) = ab + ac [การแจกแจงทางซา้ ย] หรอื

(a + b)c = ac + bc [การแจกแจงทางขวา]

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

จากนั้นครูและนักเรียนรว่ มกันอภิปรายว่า พหุนามใดๆ สามารถคูณกนั โดยอาศัย

สมบตั กิ ารแจกแจง พรอ้ มกบั ยกตวั อย่างดงั นี้

1) 4(x – 2) = 4x – 8

2) -2x(x + 3) = (-2x)x + (-2x)(3) = -2x2 – 6x
3) 8x(4x + 6) = (8x)(4x) + (8x)(6) = 32x2 + 48x

4) 3xy(2x – y) = (3xy)(2x) – (3xy)(y) = 6x2y – 3xy2

5) (x + 2)(x + 4) = x(x + 4) + 2(x+4) = x2 + 4x + 2x +8 = x2 + 6x + 8
6) (x – 5)(2x + 1) = x(2x + 1) – 5(2x + 1) = 2x2 + x – 10x – 5 = 2x2 –

9x – 57) 6(m + 3)(m – 4)

= (6m + 18)(m – 4) = (6m)(m – 4) + 18(m – 4)
= 6m2 – 24m + 18m – 72 = 6m2 – 6m –72

จากตัวอย่างข้างต้นครูสรุปให้นักเรียนฟังได้ว่า การเขียนพหุนามท่ีกาหนดให้ใน

รูปการคูณของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป เป็นตัวอย่างของการแยกตัว

ประกอบจากนน้ั ครูให้นักเรียนพจิ ารณาการแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

1) 6m2 – 6m –72 = 6(m + 3)(m – 4)

6m2 – 6m –72 เป็นพหุนามดกี รีสอง 6 เปน็ พหุนามดกี รีศูนย์

m + 3 และ m – 4 เปน็ พหนุ ามดกี รหี นง่ึ

2) 2x2 – 9x – 5 = (x – 5)(2x + 1)

2x2 – 9x – 5 เป็นพหุนามดีกรีสอง

x – 5 และ 2x + 1 เปน็ พหุนามดีกรหี นึง่

ครูใหน้ ักเรยี นสรุปว่า สงั เกตอะไรได้บา้ งจากตัวอยา่ งดังกลา่ ว ซึง่ ควรจะได้ว่า

การแยกตัวประกอบของพหนุ าม คือการเขียนพหนุ ามนน้ั ในรปู การคูณของ

พหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่าต้ังแต่สองพหุนามขึ้นไป ซ่ึงในการแยกตัวประกอบยังใช้

สมบตั กิ ารสลบั ท่ขี องการคูณด้วย

2. ครูกล่าวว่าจากสมบัติการแจกแจงที่ได้ทบทวนไปตอนต้นช่ัวโมงนั้น a, b, c

เป็นจานวนเต็มใดๆ แต่ว่าเราสามารถใช้สมบัติการแจกแจง ในกรณีท่ี a, b, c

เปน็ พหุนามได้ดว้ ย และจะเรียก a ว่า ตัวประกอบรว่ มของ ab และ ac หรือ

ตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca

จากน้นั ให้นกั เรียนพจิ ารณาการแยกตวั ประกอบของตวั อย่างต่อไปนี้

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 9

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ

1) 10x + 5y = 5(2x + y) การคดิ วิเคราะหแ์ ละการคิด

2) 18xy2 – 6x2y = 6(3xy2 – x2y) 5 เปน็ ห.ร.ม. ของ 10 และ 5 คานวณ

6 เป็น ห.ร.ม. ของ 18 และ 6

= 6  y(3xy – x2)
y เป็นตัวประกอบรว่ มของ 3xy2 และ x2y

= 6yx(3y – x)

x เปน็ ตัวประกอบร่วมของ 3xy และ x2

= 6xy(3y – x)

ดงั น้นั 18xy2 – 6x2y = 6xy(3y – x)

3. ให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 1 เป็นการบ้าน เพื่อ

ตรวจสอบความเขา้ ใจ โดยครูกาหนดวนั และเวลาสง่ งาน

= 6yx(3y – x)

x เป็นตวั ประกอบรว่ มของ 3xy และ x2

= 6xy(3y – x)
ดงั น้นั 18xy2 – 6x2y = 6xy(3y – x)

3. ให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 1 เป็นการบ้าน เพ่ือตรวจสอบ

ความเข้าใจ โดยครูกาหนดวันและเวลาส่งงาน

ชั่วโมงที่ 5 (การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง ตอ่ )

1. ครทู บทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เรียนเมอื่ ชั่วโมงท่แี ลว้ โดยเขยี น การคิดวิเคราะห์และการคิด

โจทย์ตัวอย่างบนกระดาน และสุ่มนักเรียนออกมาแสดงวิธีทา เพื่อตรวจสอบ คานวณ

ความเข้าใจ โดยให้นักเรียนบันทึกลงในสมดุ จดงาน

1) 2x + 2y [2(x + y)]

2) 7xy – 14yz [7y(x – 2z)]
3) x3 – x7 [x3(1 – x4)]

4) x2y + xy2 [xy(x + y)]

5) -4xy + 16y [-4y(x – 4)]

จากนั้นครูนาเสนอตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) 9x2(m3 – 1) – 3(m3 – 1)

2) (3x + 7y)2 – (3x – 1)(3x + 7y)

ครูซกั ถามนักเรยี นวา่ มวี ธิ ีการแยกตวั ประกอบอย่างไร พหุนามใดเปน็

ตวั ประกอบรว่ ม จนไดข้ ้อสรุปดังน้ี

วิธีทา 3 เป็นตัวประกอบ

รว่ ม 1) 9x2(m3 – 1) – 3(m3 – 1) = 3[3x2(m3 – 1) – (m3 – 1)]

= 3(m3 – 1)(3x2 – 1)

(m3 – 1) เป็นตัวประกอบร่วม

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 10

กิจกรรมการเรยี นการสอน ฝึกการคิดแบบ

2) (3x + 7y)2 – (3x – 1)(3x + 7y) การคิดวเิ คราะหแ์ ละการคิด

= (3x + 7y)[ (3x + 7y) - (3x – 1)] คานวณ

(3x + 7y) เป็นตวั ประกอบรว่ ม

= (3x + 7y)[ 3x + 7y - 3x + 1]

= (3x + 7y)(7y + 1)

2. ให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 2 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ การคดิ วเิ คราะห์และการคิด

โดยครูกาหนดวันและเวลาส่งงาน คานวณ

3. ครกู ล่าวต่อไปว่า เราได้เรียนรู้การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมี 2 พจน์ไป

แล้ว ต่อไปเราจะใช้สมบัติการแจกแจงในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมี การคิดวเิ คราะห์และการคิด

มากกว่า 2 พจน์ จากน้ันครูนาเสนอตัวอย่าง ให้นักเรียนพิจารณาการแยกตัว คานวณ

ประกอบ
1) 12x2y4 + 9x3y3 + 3x4y = 3(4x2y4 + 3x3y3 + x4y)

= 3x2(4y4 + 3xy3 + x2y)

= 3x2y(4y3 + 3xy2 + x2)
ซงึ่ มี 3, x2 และ y เปน็ ตัวประกอบรว่ ม ตามลาดับ

2) 10x4yz – 2x2y2z2 + 6x3y3z3 = 2(5x4yz – x2y2z2 + 3x3y3z3)

= 2x2(5x2yz – y2z2 + 3xy3z3)

= 2x2y(5x2z – yz2 + 3xy2z3)

= 2x2yz(5x2 – yz + 3xy2z2)

ซึ่งมี 2, x2, y และ z เปน็ ตวั ประกอบรว่ ม ตามลาดับ

3) ครแู บ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ (อาจเป็นกลุ่มของจานวนค่ี การคิดวเิ คราะหแ์ ละการคิด

และจานวนคู่ หรือ กลุ่มของผู้หญิงและผู้ชาย) โดยให้แต่ละกลุ่มส่ง คานวณ

ตัวแทนออกมาหน้ากระดาน เพ่ือแข่งขันกันทาโจทย์ปัญหา (ชุด

เดียวกัน) ที่ครูเขียนให้ ใครทาเสร็จเร็ว และถูกต้องมากกว่าเป็นฝ่าย

ชนะ โดยครแู ละเพื่อนนกั เรยี นพจิ ารณาความถูกต้องโจทยป์ ัญหา

1) 3xy – 12yz + xyz
2) 2x4 – 8x3y + 4x2y2
3) 20x2y4 + 10x3y3 + 5x4y2
4) 24x2y3 + 18xy2 – 15x3y
5) 15abc + 25a2bc – 40abc2
6) 16a2b4 + 8a3b3 + 4a4b2
7) 14 – xy2 + 10x2y – 2x3
8) 12x2yz3 – 9x3y2z + 6xyz2
9) 3x4y + 6x3y2 – 12x2y3
10) 12x2y – 18x3y2 – 3xy

5. ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 1 ข้อ 2 และ 3 ในชั้นเรียน โดยครูเดินดู เพ่ือ

ตรวจสอบความเขา้ ใจ

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครกู ดั ดาฟี สาและ 11

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝกึ การคดิ แบบ

ชัว่ โมงท่ี 6 (การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบัติการแจกแจง ตอ่ )

1. ครูทบทวนการใช้สมบตั ิการแจกแจงแยกตวั ประกอบที่เรียนมาในชั่วโมงทีแ่ ลว้ การคดิ วเิ คราะหแ์ ละการคิด

โดยการร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั 1 ขอ้ 2 และ 3 หลงั จากนัน้ ครูกล่าว่า สาหรบั คานวณ

พหนุ ามท่ีมีพจน์หลายๆ พจน์ เราอาจต้องจัดกล่มุ พหุนามที่มีลักษณะบางอยา่ งท่ี

เหมือนกัน แลว้ จึงใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบ ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) 4x2 – 8x + 3x – 6

2) 3x2 - 3x – x + 1

3) 5y2 + 10xy – xy -2x2

4) ax + ay + bx + by – cx – cy

วิธีทา
1) 4x2 – 8x + 3x – 6 = (4x2 – 8x) + (3x – 6)

= 4x(x – 2) + 3(x – 2)

= (x – 2)(4x + 3)
2) 3x2 - 3x – x + 1 = (3x2 - 3x) – (x – 1)

= 3x(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(3x – 1)

3) 5y2 + 10xy – xy –2x2 = (5y2 + 10xy) – (xy + 2x2)

= 5y(y + 2x) – x(y + 2x)

= (y + 2x)(5y – x)

4) ax + ay + bx + by – cx – cy = (ax + bx - cx) + (ay + by - cy)

= x(a + b - c) + y(a + b - c)

= (a + b - c)(x + y)

2. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็น 4 กลุ่มเท่าๆ กัน จากนั้นให้แต่ละกลุ่มครูจับฉลาก การคดิ วเิ คราะห์และการคิด

โจทย์ปัญหาว่าจะได้นาเสนอข้อใดกลุ่มละ 2 ข้อ ครูให้เวลาประมาณ 15 นาที คานวณ

เพ่ือให้นักเรียนช่วยกันคิดคาตอบและแสดงวิธีทาอย่างละเอียด และในขณะที่แต่

ละกลุ่มนาเสนอครูควรบันทึกผลการนาเสนอว่าเป็นอย่างไรบ้างและควรแก้ไขใน

จุดใดและในขณะที่แต่ละกลุ่มบรรยายครูควรซักถามและให้คาแนะนาติชมการ

นาเสนอ เมอื่ แตล่ ะกลุ่มนาเสนอเสรจ็ ครคู วรสรปุ ผลการนาเสนอทัง้ หมดอีกครง้ั

โจทยป์ ัญหา จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) 2y2 – 6y + 4y – 12

2) 7x2 + 7x – 3y – 3
3) 10x2 + 6xy – 5xy – 3y2

4) x2 + 4x +7x + 28

5) x2 + x – 4 - 4x

6) 2px + 3qx + 4py + 6qy

7) ax – bx – ab + b2

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 12

5.3 ขน้ั สรปุ

นกั เรยี นสามารถสรุปได้วา่
1) พหุนามตัง้ แต่สองพหนุ ามข้ึนไปสามารถบวกหรือลบกนั ได้โดยการนาพจนท์ ี่คลา้ ยกนั มาบวกหรือลบกันโดยใช้
สมบตั กิ ารแจกแจง เพ่ือรวมพจน์ท่ีคลา้ ยกันเข้าด้วยกนั
2) พหุนามตั้งแตส่ องพหนุ ามข้นึ ไปสามารถคูณกนั ได้โดยอาศัยสมบัติการแจกแจง หรอื สามารถหาผลคณู ทวิ
นามอย่างง่ายโดยใชร้ ูปสเ่ี หลยี่ มมุมฉาก
และสามารถ
3) ใช้สมบัตกิ ารแจกแจงแสดงการบวกและลบพหนุ ามได้
4) ใชส้ มบตั ิการแจกแจงแสดงการคูณพหุนามได้
6. สอื่ การเรียนรู้ / แหล่งการเรยี นรู้
6.1 สือ่ การเรียนรู้
- หนังสือเรียนแมค็
- โปรแกรม google classroom
- โปรแกรม google meet
- โปรแกรม line
- โปรแกรม Pawer Poins
6.2 แหล่งการเรยี นรู้
- ห้องสมดุ โรงเรียน
- อนิ เตอร์เนต็
- หนังสอื เรียนแมค็
7. กจิ กรรมเสนอแนะ
7.1 กิจกรรมสง่ เสริมการคิดเชิงวิเคราะห์

ขนั้ รวบรวมขอ้ มูล
ครูมอบหมายให้นักเรียนไปศึกษาเรื่องของการแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง พร้อมทงั้ แสดงวิธีการ
หาคาตอบอย่างละเอียด มาคนละ 5 ขอ้
ขน้ั วเิ คราะห์
ให้นักเรียนแตล่ ะคนวเิ คราะหเ์ ร่อื งทต่ี ัวเองไปศกึ ษาคน้ ควา้ มา
ข้ันสรุป
ครตู รวจผลงานนักเรียนแต่ละคน พรอ้ มใหข้ ้อเสนอแนะแล้วให้หัวหนา้ ห้องรวบรวมงานท้ังหมดจดั ทาเปน็ รปู เล่ม
รายงาน
ขน้ั ประยุกต์ใช้
ครูใหน้ ักเรียนชว่ ยกันเลือกข้อทนี่ า่ สนใจแลว้ นาเสนอหนา้ ชั้นเรียน

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครกู ดั ดาฟี สาและ 13

8. บันทึกหลังสอน

บนั ทกึ หลังการสอน

(บันทกึ เฉพาะประเด็นทีม่ ีข้อมูลสารสนเทศชดั เจน )

ประเดน็ การบนั ทกึ จุดเดน่ จุดท่คี วรปรับปรุง

1. การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

2. การใช้สอ่ื การเรียนรู้

3. การประเมินผลการเรยี นรู้

4. การบรรลผุ ลการเรียนรขู้ อง
นักเรียน

บันทกึ เพ่ิมเติม

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………

ลงช่ือ…………………………………..
บนั ทึกความเห็นของผูต้ รวจสอบแผนการจดั การเรยี นรู้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………..
ตาแหน่ง…….……..………………………..

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 14

9. ใบความรู้ ใบงาน และเครอื่ งมือวดั ผล
กจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจและแบบฝกึ หดั ในหนังสือเรยี น

แบบสังเกตพฤตกิ รรมการเรยี น

แบบบันทึกการสังเกตพฤตกิ รรมการเรียนรายบุคคลวิชาคณติ ศาสตร์
ชื่อนักเรียน .................................. ชัน้ ........... วนั ท่ี ................ เดือน ............................. ปี ....................

ครัง้ ท่ี .................................................................. ผสู้ งั เกต ......................................................................

หัวข้อการประเมิน ระดับการประเมนิ

ดีมาก ดี พอใช้ ควรปรับปรงุ

ความสนใจ

การตอบคาถาม

การทากิจกรรมหนา้ ชัน้ เรียน

การใช้ความรู้ทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ในการแกป้ ัญหาใน
สถานการณต์ ่างๆ

ความสามารถในการใช้ภาษาและส่อื
ลักษณท์ างคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร
ส่ือความหมาย

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 15

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 2 (ชวั่ โมงท่ี 7 – 11)

แบบประเมนิ พฤติกรรมการทางาน
ชื่อนักเรียน .................................. ช้นั ........... วนั ที่ ................ เดือน ............................. ปี ....................
คร้ังที่ .................................................................. ผูส้ ังเกต ......................................................................

หัวข้อการประเมนิ ดมี าก ระดบั การประเมนิ นอ้ ยมาก
ดี ปานกลาง น้อย
การวงแผน

การกาหนดการปฏิบัติงานมี
ข้ันตอนชัดเจน
การปฏบิ ตั ติ ามข้ันตอนที่
กาหนด
ความคิดสร้างสรรค์

ผลการทางาน

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครกู ดั ดาฟี สาและ 16

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 2

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง

เวลา 6 ช่ัวโมง ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

1. เปา้ หมายการเรยี นรู้
1.1 ผลการเรยี นรู้
1) สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรปู x2 + bx + c ไดอ้ ยา่ งถกู ต้อง
2) สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c ได้ โดยท่ี a ≠ 0 และ a, b, c เป็นจานวนเต็ม
3) ตระหนักถงึ ความสมเหตุสมผลของคาตอบที่ได้
1.2 จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
1) สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรปู x2 + bx + c ไดอ้ ย่างถกู ต้อง
2) สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรปู ax2 + bx + c ได้ โดยท่ี a ≠ 0 และ a, b, c เปน็ จานวนเตม็

2. สาระสาคัญ
2.1 สาระการเรียนรู้
พหนุ ามท่ีมีรูปทัว่ ไปเปน็ ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นคา่ คงตัว และ a ≠ 0
กรณีท่ี a = 1 เราสามารถแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
a ≠1 เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c = (px + m)(qx + n)
โดยการหาคา่ pq = a
pn + mq = b
mn = c
2.2 ทักษะ/กระบวนการ
ฝกึ ทักษะการวเิ คราะห์ การตีความหมาย การคิดคานวณ
2.3 ทกั ษะการคิด
การคดิ คานวณ การคิดวิเคราะห์ การให้เหตผุ ล การคดิ จัดลาดับ การคิดแปลความและสรปุ ความ การแก้ปญั หา

3. รอ่ งรอยการเรียนรู้
3.1 ผลงาน / ชิน้ งาน
1) การทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 5 – 8 และแบบฝึกหดั 2 ข้อ 1 ในหนงั สือเรยี นแม็ค
2) การทาแบบทดสอบ ในโปรแกรม google classroom
3.2 กระบวนการขั้นตอนการปฏิบัติงาน
1) เปิดโปรแกรม google meet เพ่ือเข้าเรียน และจัดกลุ่ม กลุ่มละ 3 คน

2) เลือกหวั หนา้ กลมุ่
3) หัวหน้ากล่มุ แบ่งงาน ปรึกษาหารอื
4) รว่ มกนั จดั ทาบตั รกิจกรรม ในโปรแกรม google classroom
5) นาเสนอผลงาน ในโปรแกรม google meet
6) รว่ มกันทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ
7) สง่ งาน ในโปรแกรม google classroom
3.3 พฤติกรรมตามคณุ ลกั ษณะพงึ ประสงค์
1) ใหค้ วามร่วมมอื ในการทางานกลมุ่

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 17

2) มคี วามละเอยี ดรอบคอบและรับผิดชอบในการทางาน
3.4 ความรู้ความเขา้ ใจ

1) สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามในรูป x2 + bx + c ได้อย่างถูกต้อง
2) สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c ได้ โดยท่ี a ≠0 และ a, b, c เป็นจานวนเต็ม
4. แนวทางการตรวจใหค้ ะแนนผลงาน / ช้นิ งาน / การปฏบิ ัติ
เกณฑ์ผ่านขน้ั ต่า
1) ไดร้ ะดับ “พอใช้” ขน้ึ ไป
2) ไดร้ ะดับ “ด”ี ขนึ้ ไป
3) ทาไดถ้ ูกตอ้ ง 80% ขนึ้ ไป

การสรุปผลการประเมนิ
ต้องผา่ นเกณฑ์ขัน้ ต่าท้งั 3 รายการ

5. กระบวนการเรยี นรู้
5.1 ขัน้ นา
ช่วั โมงที่ 1 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องตัวแปรเดียว กรณที ี่ c ≠ 0)
ครูทบทวนนักเรียนถึง พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวว่า คือพหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c

เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 โดยกลา่ วต่อไปว่า ทเ่ี ราจะเรียนต่อไปนี้ เราจะสนใจเฉพาะการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง
ตัวแปรเดียวที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็ม ต่อไปครูยกตัวอย่างของพหุนามดีกรีสอง แล้วให้นักเรียนบอกค่า
ของสัมประสิทธ์ิ a,b,c จากนั้นครูนานักเรียนเข้าสู่การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเขียนได้ในรูป ax2+ bx + c เมื่อ a,

b, c เป็นจานวนเต็มที่ a ≠ 0 ว่าเป็นการเขยี นพหุนามน้นั ๆ ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรหี น่ึง ซ่ึงจะแยกออกเป็น 3
กรณี ดว้ ยกนั วา่ มีกรณใี ดบ้าง หลังจากน้ันกลา่ วถงึ กรณที ี่ 1 และ 2 พรอ้ มท้งั ยกตัวอยา่ งประกอบ

ช่วั โมงที่ 2 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียว กรณีที่ a = 1, b ≠ 0 และ c ≠ 0)
ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นจานวนเต็มท่ี a ≠ 0
ในกรณีท่ี a = 1, b ≠ 0 และ c ≠ 0 พรอ้ มทงั้ ยกตัวอยา่ งประกอบ และใหน้ กั เรยี นทากจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 7
ชว่ั โมงที่ 3 - 5 (การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว กรณที ่ี a ≠ 1, b≠0 และ c≠0)
ครูแนะนานักเรยี นการแยกตัวประกอบของพหุนามทีเ่ ขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นจานวนเต็มท่ี
a ≠ 0 ในกรณีที่ a ≠ 1, b≠ 0 และ c ≠ 0 พร้อมท้ังยกตัวอย่างประกอบและแสดงวิธีทาอย่างละเอียด จนได้กลยุทธ์ในการ
แยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นจานวนเต็มท่ี a ≠ 0 ในกรณีท่ี a ≠ 1, b ≠ 0

และ c ≠ 0 และให้นักเรยี นทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 8

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 18

5.2ขัน้ สอน

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝกึ การคิดแบบ

ช่ัวโมงท่ี 1 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว กรณีท่ี c≠0)

1. ครูทบทวนนักเรียนถึง พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ว่า คือพหุนามท่ีเขียนได้ใน การคดิ วิเคราะหแ์ ละการคิด

รูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัวท่ี a≠0 โดยกล่าวต่อไปว่า ท่ีเราจะเรียน คานวณ

ต่อไปนี้ เราจะสนใจเฉพาะการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่แต่

ละพจน์มีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็ม หลังจากน้ันครูเขียนตัวอย่างของพหุนามดีกรี

สองตัวแปรเดียวทแี่ ต่ละพจน์มสี ัมประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ เช่น

1) x2 + 8x + 15

2) 6 – 5x – 4x2

3) 10t2 + 5t

จากน้ันครูถามนักเรียนว่า แต่ละพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวท่ีครูเขียนบนกระดาน

น้นั มสี ัมประสิทธ์ิ a, b และ c เป็นเท่าไร เปน็ จานวนเตม็ หรือไม่

2. ให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 5 ในช้ันเรียน เพื่อตรวจสอบความ

เขา้ ใจ โดยครูเดนิ ดูเพอ่ื ตรวจสอบความถกู ต้อง การคิดวิเคราะห์และการคิด

3. เมื่อนักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 5 เรียบร้อยแล้ว ครูนานักเรียนเข้า คานวณ

สู่การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็น การคิดวิเคราะห์และการคิด

จานวนเต็มท่ี a≠0 ว่าเป็นการเขียนพหุนามน้ันๆ ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรี คานวณ

หนง่ึ ซึง่ จะแยกออกเป็น 3 กรณี ดว้ ยกัน ดงั น้ี

- กรณที ี่ 1 c=0

- กรณที ่ี 2 a = 1, b≠0 และ c≠0 และ

- กรณีท่ี 3 a ≠ 1, b≠0 และ c≠0

กรณีท่ี 1 c=0

จากรูปสมการ ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เปน็ จานวนเต็มที่ a ≠ 0 แทนค่า c = 0 ลง
ในสมการ จะได้ว่า ax2 + bx จากน้ันเราแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจงท่ี

ได้เรียนมาแล้ว จากนั้นครูนาเสนอตัวอย่างท่ี 1 บนกระดาน แล้วสุ่มนักเรียนออกมา

แสดงวิธกี ารแยกตัวประกอบนัน้ ๆ น่ันคอื

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ

1) x2 + 7x

2) 8x2 + 16x
3) 40k – 20k2

4) 4) – 30t2 – 15t

วธิ ีทา x เป็นตวั ประกอบรว่ ม

1) x2 + 7x = x(x + 7) x เป็นตวั

ประกอบรว่ ม

2) 8x2 + 16x = 8(x2 + 2x) = 8x(x + 2)

3) 40k – 20k2 = 20(2k – k2) = 20k(2 – k) 8 เปน็ ตัวประกอบร่วม

4) – 30t2 – 15t = – 15(2t2 + t) = –15t(2t + 1)

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 19

หลงั จากน้นั ใหน้ ักเรยี นทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 6 ในช้นั เรยี น เพือ่ ตรวจสอบ

ความเขา้ ใจอีกครง้ั
4. ครูนานกั เรยี นเขา้ สู่การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเขียนได้ในรูป ax2 + bx + c การคดิ วเิ คราะห์ การตีความ

เมือ่ a, b, c เป็นจานวนเตม็ ที่ a≠0 และการคิดคานวณ

กรณีที่ 2 a = 1, b≠0 และ c≠0
จากรูปสมการ ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นจานวนเต็มท่ี a≠0 แทนค่า a = 1 เม่ือ

b≠0 และ c≠0 จะได้สมการ x2 + bx + c เมอื่ b, c เป็นจานวนเตม็ ท่ี b≠0 และ c≠0

โดยครูกล่าวต่อไปวา่ บางคร้ังเราเรียกพหุนามดีกรีสองในกรณีน้ีว่า พหุนามสามพจน์

โดยทเี่ ราจะเรยี ก

x2 ว่า “พจน์หน้า”

bx ว่า “พจน์กลาง”

c ว่า “พจนห์ ลัง”

ชั่วโมงที่ 2 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว กรณที ี่ a = 1, การคิดวเิ คราะห์ การตีความ

b≠0 และ c≠0) การคดิ สรปุ ความและการคดิ

1. ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, คานวณ

b, c เป็นจานวนเต็มที่ a≠0 ในกรณีท่ี a = 1, b≠0 และ c≠0 ท่ีเรียนมาเมื่อชั่วโมงที่

แล้ว หลังจากน้ันให้นักเรียนพิจารณาการหาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้โดยใช้สมบัติ

การแจกแจง

(x + 3)(x + 5) = (x + 3)(x) + (x + 3)(5)

= (x)(x) + (3)(x) + (x)(5) + (3)(5)

= x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15

ดงั นั้น เราสามารถแยกตวั ประกอบของ x2 + 8x + 15 ได้เป็น (x + 3)(x + 5)

ต่อไปครถู ามนักเรยี นว่า จากการหาผลคณู ของพหุนามขา้ งต้น นกั เรียนสรุปอะไรได้
บ้าง อภิปรายจนได้ข้อสรปุ ดังนี้ จากการหาผลคูณของพหุนามข้างต้น เราสามารถ
เขยี นแผนภาพแสดงวธิ หี าพจนห์ นา้ พจนห์ ลัง และพจน์กลางของพหนุ ามทเี่ ป็นผล
คูณ ไดด้ ังน้ี

1) นาพจน์หนา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ แรก คูณกบั พจน์หนา้ ของพหนุ ามใน
วงเลบ็ หลงั จะไดพ้ จนห์ น้าของพหุนามทีเ่ ปน็ ผลคูณ
(x + 3)(x + 5)

พจนห์ นา้ คือ (x)(x) = x2

2) นาพจน์หลังของพหุนามในวงเล็บแรก คูณกบั พจนห์ ลงั ของพหนุ ามใน
วงเล็บหลัง จะไดพ้ จนห์ ลงั ของพหนุ ามท่เี ปน็ ผลคณู
(x + 3)(x + 5)

พจน์หลงั คือ (3)(5) = 15

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 20

3) นาพจน์หนา้ ของพหุนามในวงเลบ็ แรก คณู กบั พจน์หลงั ของพหนุ ามในวงเล็บ
หลงั บวกกับผลคูณของพจน์หลงั ของพหุนามในวงเลบ็ แรก กบั พจน์หน้าของ
พหุนามในวงเล็บหลัง

(3)(x) = 3x

(x + 3)(x + 5)

(5)(x) = 5x

ดงั นน้ั พจนก์ ลางคอื (3)(x) + (5)(x) = 3x + 5x = 8x
ดงั นัน้ ในการแยกตัวประกอบของ x2 + 8x + 15 ทาได้ดังน้ี

ขั้นที่ 1 หาพหนุ ามดีกรหี นงึ่ สองพหนุ ามท่ีคณู กันได้ x2 เขยี นใสใ่ นวงเลบ็ สองวงเลบ็

ดงั นี้
(x )(x )

ขน้ั ท่ี 2 หาจานวนสองจานวนท่คี ูณกันแลว้ ได้พจนห์ ลัง คือ 15 ซึง่ อาจจะเปน็ -3 กบั -

5 หรอื 3 กบั 5 แลว้ เขยี นใสใ่ นวงเล็บท่ไี ด้ในข้ันที่ 1 ทาใหเ้ กดิ สองกรณี ดงั น้ี
1) (x – 3)(x – 5)
2) (x + 3)(x + 5)

ขั้นที่ 3 นาผลที่ได้ในข้ันท่ี 2 มาหาพจน์กลางทีละกรณี จนกวา่ จะได้พจน์กลางเปน็ 8x

(x – 3()-(3x)–(x5))= -3x

(-5)(x) = -5x

ดงั นน้ั พจน์กลางคือ (-3)(x) + (-5)(x) = -3x + (-5x) = -8x  ใช้ไม่ได้

(3)(x) = 3x

(x + 3)(x + 5)

(5)(x) = 5x

ดังนน้ั พจน์กลางคอื (3)(x) + (5)(x) = 3x + 5x = 8x  ใชไ้ ด้

ดงั นนั้ x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)

จากนั้นครสู รปุ ให้นกั เรยี นดูง่ายๆ เป็น พหนุ ามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c สามารถ

แยกตวั ประกอบไดโ้ ดยจานวนสองจานวนทคี่ ูณกันได้ c และบวกกันได้ b

นัน่ คือ ให้ m และ n เปน็ จานวนเตม็

ถา้ m  n = c และ m + n = b แลว้ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

จากนัน้ ครนู าเสนอตวั อยา่ งของการแยกตวั ประกอบของพหุนาม เพ่ือความเข้าใจของ

นกั เรยี นมากยิ่งขนึ้ ดงั น้ี

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี

1) x2 + 10x + 25 2) x2 – 3x – 10

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 21

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝกึ การคิดแบบ

3) x2 + 5x – 14 4) 84 + 5x – x2

วธิ ที า
1) x2 + 10x + 25 = (x )(x )

ต่อไปหาจานวนสองจานวนทค่ี ูณกนั ได้ 25 และบวกกันได้ 10

เพราะวา่ 5  5 = 25 และ 5 + 5 = 10

ดังนน้ั x2 + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)

2) x2 – 3x – 10 = (x )(x )

ต่อไปหาจานวนสองจานวนท่คี ณู กันได้ (-10) และบวกกนั ได้ (-3)

เพราะวา่ (-5)  2 = -10 และ (-5) + 2 = -3

ดังน้ัน x2 – 3x – 10 = (x - 5)(x + 2)

เพอ่ื ความเข้าใจท่มี ากขึน้ ครอู าจสมุ่ ให้นกั เรียนออกมาแยกตวั ประกอบของพหนุ ามข้อ

3) และขอ้ 4)

2. ให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 7 ในช้ันเรียนเพื่อความเข้าใจมาก

ยิง่ ขน้ึ โดยครเู ดนิ ตรวจความถกู ต้อง

ช่ัวโมงที่ 3 - 5 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว กรณีท่ี a ≠ การคดิ วิเคราะหแ์ ละการ
คิดคานวณ
1, b≠ 0 และ c≠ 0)

ชว่ั โมงที่ 3 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว กรณีท่ี

a ≠ 1, b≠ 0 และ c≠ 0)
1. ครทู บทวนการแยกตวั ประกอบของพหุนามทีเ่ ขยี นได้ในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a, การคิดวเิ คราะหแ์ ละการ
b, c เปน็ จานวนเตม็ ที่ a ≠ 0 ในกรณีที่ 1 c=0 และกรณีที่ 2 a = 1, b≠ 0 และ c≠ 0 คิดคานวณ

ที่เรยี นมาเมื่อช่วั โมงทแี่ ลว้ จากนน้ั ครูนานกั เรียนเขา้ สกู่ ารแยกตวั ประกอบของ

พหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว กรณีท่ี a ≠ 1, b≠ 0 และ c≠ 0 ซง่ึ เปน็ กรณีสดุ ทา้ ยทเ่ี รา

จะเรียน น่ันคอื พหุนามท่ีเขียนได้ในรปู ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เป็นจานวนเตม็ ท่ี
a≠ 0 เชน่ 2x2 + 4x + 8 เปน็ ต้น

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 22

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ
จากน้ันใหน้ ักเรียนพิจารณาการหาผลคูณของพหนุ ามต่อไปน้ี โดยใช้สมบัติการแจก
แจง
(2x – 1)(4x + 3) = (2x – 1)(4x) + (2x – 1)(3)

= (2x)(4x) + (-1)(4x) + (2x)(3) + (-1)(3)
= 8x2 + (-4 + 6)x – 3
= 8x2 + 2x – 3
ซ่งึ จากตวั อย่างข้างตน้ ครูกล่าววา่ เราสามารถเขยี นแผนภาพแสดงวิธกี ารหาพจน์หน้า
พจนห์ ลงั และพจนก์ ลางของพหุนามท่เี ปน็ ผลคูณ ได้ดังนี้
1) นาพจนห์ น้าของพหนุ ามในวงเล็บแรก คณู กับพจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเล็บ
หลงั จะได้พจนห์ น้าของพหนุ ามทเี่ ปน็ ผลคูณ

(2x – 1)(4x + 3)

พจน์หนา้ คือ (2x)(4x) = 8x2

2) นาพจนห์ ลังของพหนุ ามในวงเลบ็ แรก คณู กบั พจนห์ ลังของพหนุ ามใน
วงเล็บหลัง จะไดพ้ จน์หลงั ของพหนุ ามทเี่ ป็นผลคณู
(2x – 1)(4x + 3)

พจนห์ ลงั คือ (-1)(3) = -3

3) นาพจนห์ น้าของพหุนามในวงเล็บแรก คณู กับพจน์หลงั ของพหุนามใน
วงเล็บหลงั บวกกบั ผลคูณของพจนห์ ลงั ของพหุนามในวงเลบ็ แรก กบั พจน์
หนา้ ของพหุนามในวงเล็บหลัง

(-1)(4x) = -4x

(2x – 1)(4x + 3)

(2x)(3) = 6x

ดงั นั้น พจนก์ ลางคือ (-1)(4x) + (2x)(3) = -4x + 6x = 2x

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 23

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ
ดังน้ัน ในการแยกตัวประกอบของ 8x2 + 2x – 3 ทาไดด้ ังนี้
ขนั้ ที่ 1 หาพหุนามดีกรีหนง่ึ สองพหุนามท่ีคูณกนั ได้ 8x2 เขียนใส่ในวงเล็บสองวงเลบ็
ดังน้ี

(4x )(2x ) หรอื (x )(8x )

ขน้ั ท่ี 2 หาจานวนสองจานวนท่ีคูณกันแล้วได้พจน์หลัง คือ -3 ซงึ่ อาจจะเป็น -3 กบั 1
หรอื 3 กับ -1 แล้วเขยี นใสใ่ นวงเลบ็ ท่ีได้ในขั้นท่ี 1 ทาให้เกิด 8 กรณี ดงั น้ี

1) (4x – 3)(2x + 1)
2) (4x + 1)(2x – 3)
3) (4x + 3)(2x – 1)
4) (4x – 1)(2x + 3)
5) (x – 3)(8x + 1)
6) (x + 1)(8x – 3)
7) (x + 3)(8x – 1)
8) (x – 1)(8x + 3)

ข้ันที่ 3 นาผลทีไ่ ด้ในขน้ั ที่ 2 มาหาพจน์กลางทีละกรณี จนกว่าจะได้พจน์กลางเป็น 2x

(4x – 3-)6(2xx + 1)

4x

ดังนัน้ พจนก์ ลางคอื -6x + 4x = -2x  ใช้ไม่ได้

2x

(4x + 1)(2x – 3)

-12x

ดงั นั้น พจนก์ ลางคือ 2x + (-12x) = -10x  ใช้ไม่ได้

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 24

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ

6x

(4x + 3x)(2x – 1)

-4x

ดงั น้ัน พจนก์ ลางคอื 6x + (-4x) = 2x  ใช้ได้ จงึ ไม่จาเป็นต้องพิจารณา
กรณอี ่ืนอีก
ดงั นนั้ 8x2 + 2x – 3 = (4x + 3)(2x – 1)

ชว่ั โมงท่ี 4 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียว กรณที ่ี
a ≠ 1, b≠ 0 และ c≠ 0 ตอ่ )

1. ครูทบทวนขัน้ ตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว กรณีที่ a การคดิ วิเคราะห์ และการ
≠ 1, b≠0 และ c≠0 ท่ีเรยี นมาเม่ือชว่ั โมงที่แล้ว โดยการนาเสนอตัวอยา่ งของการ คดิ คานวณ
แยกตัวประกอบของพหนุ าม เพ่ือความเข้าใจของนกั เรียนมากยงิ่ ขึน้ ดงั นี้
จงแยกตัวประกอบของ 5y2 + y – 4
วธิ ีทา 5y2 + y – 4 = (5y )(y )
ต่อไปเราจะหาจานวนสองจานวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลัง คือ -4 ซึ่งอาจเป็น -4 กับ
1 หรอื 4 กับ -1 เขียนใสใ่ นวงเลบ็ จะทาให้เกดิ 4 กรณีทจ่ี ะตอ้ งพจิ ารณา นัน่ คือ

1) (5y – 1)(y + 4)
2) (5y + 4)(y – 1)
3) (5y + 1)(y – 4) และ
4) (5y – 4)(y + 1)
จากนนั้ ครูถามนกั เรยี นว่า กรณใี ดใช้ได้ นน่ั คือทาให้พจนก์ ลางของพหนุ ามเป็น
ผลคณู ของ y (ตอบ กรณที ี่ 4)

-4y

(5y – 4x)(y + 1)

5y
x

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 25

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกึ การคดิ แบบ

ดังน้นั พจนก์ ลางคือ 5y + (-4y) = y  ใช้ได้
ดังนนั้ 5y2 + y – 4 = (5y – 4)(y + 1)

2. ครแู บ่งนกั เรยี นออกเป็น 2 กลุ่ม (อาจแบ่งเปน็ กล่มุ จานวนคู่กับจานวนคี่ หรือกลุ่ม การคดิ วิเคราะห์ และการคดิ

นกั เรยี นชายกับนักเรียนหญิง) จากนนั้ ครูให้ตัวแทนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน ออกมา คานวณ

หน้าชั้นเรียน ครูเขียนโจทย์ปัญหาบนกระดาน โดยแต่ละกลุ่มต้องแก้โจทย์เดียวกัน

กลุ่มใดแสดงการแยกตัวประกอบได้เร็วท่ีสุดและถูกต้องจะเป็นผชู้ นะ และให้นักเรียน

บนั ทกึ ลงในสมุดจดงาน

โจทยป์ ัญหา
1) -3x2 + 2x + 5
2) 4x2 + 17x + 15
3) 6x2 + 17x + 12
4) 3x2 + 13x – 10
5) -5x2 – 25x + 120

หลังจากนั้นครูสรุปให้นักเรียนฟังว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป
ax2 + bx + c กรณที ี่ a ≠ 1, b≠0 และ c≠0 อาจทาไดอ้ ีกวิธีตามข้นั ตอน ดงั น้ี

จาก ax2 + bx + c

ข้ันที่ 1 หาผลคณู ของ a และ c จะได้ ac

ข้ันที่ 2 หาจานวนสองจานวนท่ีคูณกันได้ ac และบวกกันได้ b (ถ้าให้จานวนสอง
จานวนคือ m และ n จะได้

m  n = ac และ m + n = b

ขนั้ ท่ี 3 เขียนในรปู กระจาย ดงั นี้
ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c

ขั้นที่ 4 แยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยวิธกี ารเปลี่ยนหมแู่ ละการแจกแจง
. ให้นักเรียนทาโจทย์ปัญหาดังกล่าวตามวิธีท่ีได้สรุปไปข้างต้นอีกครั้งเพ่ือตรวจสอบ
ความเข้าใจ

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 26

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝกึ การคิดแบบ

ช่วั โมงท่ี 5 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว กรณีท่ี การคิดวเิ คราะห์ และการคิด
a ≠ 1, b≠0 และ c≠0 ตอ่ ) คานวณ

1. ครูทบทวนวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวทุกกรณีอีก

คร้ัง เพ่ือความเข้าใจมากยงิ่ ขึน้ จากน้ันให้นกั เรยี นทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 8

และแบบฝึกหัด 2 ข้อ 1 (1), (3), (5), (7), (9) ในชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนช่วยกัน การคดิ วิเคราะห์ และการคิด

เฉลยทา้ ยชัว่ โมง คานวณ

2. ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2 ข้อ 1 (ท่ีเหลือ) เป็นการบ้านโดยครูกาหนดวันและ

เวลาส่งงาน เพ่อื ตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรียน

การคดิ วเิ คราะห์ และการคดิ

คานวณ

5.3 ขั้นสรปุ

ชวั่ โมงท่ี 1 - 5
พหนุ ามที่มรี ปู ทวั่ ไปเป็น ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c เปน็ คา่ คงตัว และ a≠0
กรณีท่ี a = 1 เราสามารถแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c = (x + r)(x + s)

a ≠1 เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c = (px + r)(qx + s)
โดยการหาคา่ pq = a

ps + rq = b

rs = c
รวมถงึ นกั เรยี นสามารถ
1) แยกตวั ประกอบของพหุนามในรปู x2 + bx + c ไดอ้ ย่างถกู ต้อง
2) แยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c ได้ โดยท่ี a ≠0 และ a, b, c เป็นจานวนเต็มได้
6. ส่ือการเรียนรู้ / แหล่งการเรยี นรู้

6.1 สื่อการเรียนรู้

- หนังสอื เรียนแม็ค
- โปรแกรม google classroom

- โปรแกรม google meet

- โปรแกรม line
- โปรแกรม Pawer Poins

6.2 แหล่งการเรียนรู้

- ห้องสมุดโรงเรียน
- อินเตอร์เน็ต

- หนงั สอื เรียนแมค็

7. กิจกรรมเสนอแนะ
7.1 กจิ กรรมสง่ เสริมการคิดเชงิ วิเคราะห์

ขั้นรวบรวมข้อมูล

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 27

ครมู อบหมายให้นักเรยี นไปศึกษาเรือ่ งของการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว พรอ้ มท้ัง

แสดงวธิ กี ารหาคาตอบและตรวจคาตอบอย่างละเอียด มาคนละ 5 ขอ้ ต่อวิธี

ขน้ั วิเคราะห์

ให้นักเรยี นแต่ละคนวิเคราะหเ์ ร่ืองที่ตัวเองไปศกึ ษาคน้ ควา้ มา

ขั้นสรุป

ครูตรวจผลงานนักเรียนแตล่ ะคน พรอ้ มให้ข้อเสนอแนะแล้วให้หวั หนา้ ห้องรวบรวมงานท้ังหมดจดั ทาเป็นรูปเล่ม

รายงาน

ขน้ั ประยกุ ต์ใช้

ครูให้นักเรียนช่วยกันเลอื กข้อทนี่ ่าสนใจแล้วนาเสนอหนา้ ชั้นเรยี น

8. บนั ทกึ หลังสอน

บันทกึ หลังการสอน

(บันทกึ เฉพาะประเดน็ ทีม่ ีขอ้ มูลสารสนเทศชัดเจน )

ประเดน็ การบันทกึ จุดเด่น จดุ ทคี่ วรปรบั ปรุง

1. การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

2 การใชส้ อื่ การเรยี นรู้

3. การประเมินผลการเรียนรู้

4. การบรรลุผลการเรียนรขู้ อง
นกั เรียน

บันทึกเพิม่ เติม

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

ลงช่อื …………………………………..
บันทึกความเห็นของผู้ตรวจสอบแผนการจดั การเรียนรู้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ………………………………………..
ตาแหนง่ …….……..………………………..

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 28

9. ใบความรู้ ใบงาน และเครอื่ งมือวดั ผล
กิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจและแบบฝึกหัดในหนงั สือเรียน

แบบสงั เกตพฤติกรรมการเรียน

แบบบันทึกการสงั เกตพฤติกรรมการเรยี นรายบุคคลวิชาคณิตศาสตร์
ชอื่ นกั เรยี น .................................. ชั้น ........... วันท่ี ................ เดือน ............................. ปี ....................

ครั้งท่ี ................................................................. ผูส้ ังเกต ......................................................................

หวั ข้อการประเมิน ระดับการประเมิน
ดีมาก ดี พอใช้ ควรปรบั ปรงุ

ความสนใจ

การตอบคาถาม

การทากจิ กรรมหนา้ ช้นั เรยี น

การใช้ความรูท้ ักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ในการแกป้ ัญหาใน
สถานการณต์ ่างๆ

ความสามารถในการใช้ภาษาและสอ่ื
ลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสือ่ สาร
ส่ือความหมาย

แบบประเมนิ พฤติกรรมการทางาน
ช่ือนักเรยี น .................................. ชน้ั ........... วันที่ ................ เดอื น ............................. ปี ....................

ครั้งที่ .................................................................. ผู้สงั เกต ......................................................................

หวั ข้อการประเมนิ ดีมาก ระดับการประเมิน
ดี ปานกลาง นอ้ ย น้อยมาก
การวงแผน

การกาหนดการปฏิบัติงานมี
ขน้ั ตอนชดั เจน
การปฏบิ ตั ติ ามขั้นตอนท่ี
กาหนด
ความคดิ สร้างสรรค์

ผลการทางาน

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 29

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 3

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองเร่ือง การแยกตวั ประกอบพหนุ ามทีเ่ ปน็ ผลตา่ งกาลัง 2

เวลา 6 ช่ัวโมง ภาคเรยี นที่ 2 ปีการศึกษา 2564

1. เป้าหมายการเรียนรู้
1.1 ผลการเรยี นรู้
1) สามารถนาความรเู้ รอ่ื งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ ผลต่างของกาลังสองไปใช้แยกตัว

ประกอบได้อย่างถกู ต้อง
2) ตระหนกั ถงึ ความสมเหตุสมผลของคาตอบทไ่ี ด้

1.2 จุดประสงค์การเรยี นรู้
1) สามารถนาความรู้เรือ่ งการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่ีเป็นผลต่างของกาลงั สองไปใชแ้ ยกตวั

ประกอบได้อย่างถกู ต้อง
2. สาระสาคัญ

2.1 สาระการเรียนรู้
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ถ้าได้ตวั ประกอบเปน็ พหนุ ามดีกรีหน่ึงสองพหนุ ามคูณกัน โดยท่ีพหุ

นามท่ีเปน็ ตวั ประกอบมพี จน์เหมือนกนั แตเ่ คร่ืองหมายระหว่างพจนต์ ่างกนั เรยี กพหนุ ามดีกรีสองน้ีว่า พหุนามดกี รีสองที่
เป็นผลต่างของกาลังสอง
และจะได้ความสัมพันธ์ ว่า

(พจน์หน้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจน์หลงั )(พจน์หน้า – พจน์หลัง)
2.2 ทักษะ/กระบวนการ

การวิเคราะห์ การตีความหมาย การคานวณ
2.3 ทักษะการคิด

การคิดคานวณ การคิดสรปุ ความ การคิดแปลความ การคิดวิเคราะห์ การให้เหตุผล

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 30

3. รอ่ งรอยการเรยี นรู้
3.1 ผลงาน / ชิ้นงาน
1) การทากจิ กรรมตรวจสอบความเข้าใจ 9 - 10 และแบบฝึกหดั 2 ขอ้ 2 ในหนังสือเรียนแมค็
2) การทาแบบทดสอบ
3.2 กระบวนการขั้นตอนการปฏิบตั งิ าน
1) เปิดโปรแกรม google meet เพ่ือเข้าเรียน และจดั กล่มุ กลมุ่ ละ 3 คน

2) เลือกหัวหน้ากลุ่ม
3) หวั หนา้ กลมุ่ แบ่งงาน ปรกึ ษาหารอื
4) รว่ มกนั จดั ทาบัตรกจิ กรรม ในโปรแกรม google classroom
5) นาเสนอผลงาน ในโปรแกรม google meet
6) รว่ มกันทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ
7) ส่งงาน ในโปรแกรม google classroom
3.3 พฤติกรรมตามคุณลักษณะพึงประสงค์
1) ใหค้ วามร่วมมือในการทางานกลุ่ม

2) มีความละเอยี ดรอบคอบและรับผิดชอบในการทางาน
3.4 ความรู้ความเขา้ ใจ

นกั เรยี นสามารถนาความรเู้ รอื่ งการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เปน็ ผลตา่ งของกาลงั สองไปใช้แยกตวั
ประกอบได้อย่างถูกต้อง
4. แนวทางการตรวจให้คะแนนผลงาน / ชิ้นงาน / การปฏิบตั ิ

เกณฑผ์ ่านขน้ั ต่า
1) ไดร้ ะดับ “พอใช้” ข้นึ ไป
2) ไดร้ ะดบั “ดี” ขน้ึ ไป
3) ทาไดถ้ ูกต้อง 80% ขึน้ ไป

การสรปุ ผลการประเมิน
ตอ้ งผ่านเกณฑข์ ้ันตา่ ทั้ง 3 รายการ

5. กระบวนการเรียนรู้
5.1 ขนั้ นา
ชั่วโมงที่ 1 - 2 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เปน็ ผลตา่ งของกาลังสอง)
ครูแนะนานักเรียนเกย่ี วกับ พหุนามดกี รีสองที่เป็นผลต่างของกาลังสอง กลา่ วคือ การแยกตัวประกอบของพหุ

นามดีกรสี อง ถา้ ไดต้ วั ประกอบเป็นพหุนามดีกรหี น่งึ สองพหุนามคณู กัน โดยท่ีพหนุ ามทเ่ี ป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน
แต่เครื่องหมายระหว่างพจนต์ ่างกนั เรียกพหนุ ามดีกรสี องน้ีวา่ พหนุ ามดีกรสี องทีเ่ ป็นผลต่างของกาลังสอง
และจะได้ความสัมพนั ธ์ ว่า

(พจน์หน้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)(พจนห์ น้า – พจนห์ ลัง)
พรอ้ มทง้ั ยกตวั อยา่ งและแสดงวธิ ที าอยา่ งละเอยี ด และให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 9 – 10 และ
แบบฝกึ หดั 2 ข้อ 2 เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 31

5.2 ขนั้ สอน

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝกึ การคิดแบบ

ช่ัวโมงที่ 1 - 2 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทีเ่ ปน็ ผลตา่ งของ การตคี วามความ การคิดสรุปความ
กาลงั สอง) การคดิ วเิ คราะห์ การสังเกต และ
การคิดคานวณ
ชว่ั โมงท่ี 1 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ปน็ ผลต่าง
ของกาลังสอง)

1. ครูนาเขา้ บทเรียนโดยการให้นกั เรียนพจิ ารณาการแยกตัวประกอบของ
พหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

1) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4)
2) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
3) 4x2 – 36 = (2x)2 – 62 = (2x + 6)(2x – 6)
4) 25x2 – 100 = (5x)2 – 102 = (5x + 10)(5x – 10)
จากน้นั ครูถามนักเรียนวา่ สงั เกตเหน็ อะไรบ้างจากผลคูณของพหนุ ามทาง
ขวามือ จนได้ข้อสรุปว่า
จะสงั เกตเหน็ วา่ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง จะได้ตัวประกอบเปน็
พหนุ ามดีกรหี น่งึ สองพหนุ ามคูณกัน โดยที่พหุนามทเี่ ป็นตวั ประกอบมีพจน์
เหมือนกัน แตเ่ ครื่องหมายระหว่างพจน์ตา่ งกัน เรียกพหนุ ามดีกรีสองนีว้ ่า พหุ

นามดีกรีสองทีเ่ ป็นผลต่างของกาลงั สอง
ครกู ลา่ วตอ่ ไปวา่ จากตวั อย่างที่ 1) x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)
ถ้าเราให้ x แทน พจนห์ นา้ และ 4 แทน พจน์หลงั
เราจะได้ความสัมพันธ์อย่างไร
เราจะได้ความสมั พนั ธ์ ดงั นี้

(พจนห์ น้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจน์หลัง)(พจน์หน้า – พจน์
หลงั )

หรือ

ถา้ เราให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจน์หลัง
เราจะไดว้ า่ พหุนามดีกรสี องท่เี ปน็ ผลต่างของกาลงั สอง แยกตวั ประกอบได้ดังนี้

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

หรอื
(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หนา้ + หลัง)(หน้า – หลงั )

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 32

กจิ กรรมการเรยี นการสอน ฝึกการคดิ แบบ

2. ครูแบ่งกลุ่มออกเป็น 5 กลุ่ม กลุ่มละเท่าๆ กัน ให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกัน การคดิ วเิ คราะห์ และการคิด

คดิ และวิเคราะห์การแก้โจทย์ปัญหาที่ครูเขียนบนกระดานดา กลุ่มละ 1 ข้อ โดย คานวณ

การสมุ่ โดยใหเ้ วลาประมาณ 10 นาที

โจทยป์ ญั หา (กิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 9)

จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) 4a2 – 49

2) 25t2 – 36g2

3) 9x2 – 64y2

4) x2 – (y – 1)2

5) 1 – (3x – y)2

จากนน้ั ใหต้ วั แทนแต่ละกลุ่มออกไปนาเสนอวธิ ีการแกโ้ จทย์ปัญหาของกลุ่มตน

โดยครูและเพ่ือนนักเรียนช่วยกันพจิ ารณาความถกู ต้อง และใหน้ ักเรียนบันทึก

โจทย์และวิธที าทกุ ขอ้ ลงในสมุดจดบันทึก

3. ให้นักเรียนทาแบบฝกึ หดั 2 ข้อ 2 (1) – (5) ในชน้ั เรยี น โดยครเู ดนิ ตรวจ

ความถกู ตอ้ ง การคดิ วเิ คราะห์ และการคิด

คานวณ

ชั่วโมงที่ 2 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ป็นผลตา่ ง

ของกาลังสอง ต่อ)

1. ครูทบทวนการแยกแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของ

กาลังสองที่เรียนมาเมื่อชว่ั โมงท่ีแล้ว นั่นคอื การคดิ วเิ คราะห์ และการคดิ

เราจะไดว้ า่ พหุนามดีกรีสองทีเ่ ป็นผลตา่ งของกาลงั สอง แยกตวั ประกอบไดด้ ังน้ี คานวณ

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

หรอื

(หนา้ )2 – (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )(หนา้ – หลัง)

จากนัน้ ครใู หน้ ักเรียนพจิ ารณาตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ (a + b)2 – (b – a)2

วิธที า

ผลตา่ งของกาลงั สอง

ดังนั้น จะได้วา่ (a + b)2 – (b – a)2 = [(a + b) + (b – a)][(a + b) – (b – a)]
= (2b)(a + b – b + a) =

(2b)(2a) = 4ab

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 33

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ
ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 9(x – 2)2 – 4(x – 1)2
วธิ ที า

ผลต่างของกาลงั สอง

ดังน้นั จะได้วา่ 9(x – 2)2 – 4(x – 1)2 = 32(x – 2)2 – 22(x – 1)2

= [3(x – 2)]2 – [2(x – 1)]2

= [3(x – 2) + 2(x – 1)][ 3(x – 2) –

2(x – 1)]

= [3x – 6 + 2x – 2][3x – 6

– 2x + 2]

= (5x – 8)(x – 4)

จากนน้ั ครเู ขียนโจทย์ปัญหาบนกระดาน โดยครสู ุม่ นักเรยี นออกมาหนา้ ชั้น 5 คน เพือ่

แสดงวธิ ีการแยกตวั ประกอบของโจทยป์ ญั หาท่กี าหนดให้ โดยครแู ละเพื่อนนักเรียน

พิจารณาความถูกต้อง พรอ้ มทงั้ บันทึกลงสมุด

โจทยป์ ญั หาที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
4(x + 2)2 – 4(x – 7)2

โจทย์ปญั หาที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

(5x + y)2 – (3x – 2y)2

โจทยป์ ัญหาท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปนี้

9(a – 3b)2 – 16(2a + b)2

โจทย์ปญั หาที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี
7(x – 1)2 – 7(x – 2)2

โจทยป์ ญั หาที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ การวิเคราะห์และการคิด

4(6x – 5y)2 – (3x – y)2 คานวณ

2. ใหน้ ักเรียนทาแบบฝึกหัด 2 ขอ้ (6) – (10) เป็นการบา้ น เพ่อื ตรวจสอบความ การวเิ คราะห์และการคดิ

เข้าใจ โดยครกู าหนดวนั และเวลาส่งงาน คานวณ

3. ครใู ห้นกั เรียนทาแบบทดสอบ ตอ่ ไปนี้

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครกู ดั ดาฟี สาและ 34

เฉลยแบบทดสอบ

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 35

5.3 ข้ันสรปุ
นักเรียนสามารถสรุปได้วา่
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี อง ถ้าไดต้ ัวประกอบเป็นพหนุ ามดีกรหี นึ่งสองพหุนามคูณกนั โดยท่ี

พหุนามทีเ่ ป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน แต่เครื่องหมายระหว่างพจน์ต่างกัน เรยี กพหุนามดีกรสี องนว้ี ่า พหุนามดีกรี
สองท่เี ป็นผลตา่ งของกาลังสอง
และจะไดค้ วามสัมพันธ์ ว่า

(พจน์หน้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจนห์ น้า + พจน์หลงั )(พจน์หนา้ – พจน์หลัง)
นักเรียนสามารถนาความร้เู รอ่ื งการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เป็นผลตา่ งของกาลงั สองไปใช้แยกตวั
ประกอบได้อยา่ งถกู ต้อง
6. ส่ือการเรียนรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
6.1 สือ่ การเรียนรู้
- หนงั สือเรยี นแมค็
- โปรแกรม google classroom
- โปรแกรม google meet
- โปรแกรม line
- โปรแกรม Pawer Poins
6.2 แหลง่ การเรียนรู้
- หอ้ งสมดุ โรงเรียน
- อนิ เตอร์เนต็
- หนงั สือเรยี นแมค็
7. กจิ กรรมเสนอแนะ
7.1 กิจกรรมส่งเสริมการคิดเชิงวิเคราะห์

ขั้นรวบรวมข้อมูล
ครมู อบหมายให้นักเรียนไปศึกษาเรอ่ื งของการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องท่เี ปน็ ผลต่างของกาลงั สอง
พรอ้ มท้งั แสดงวิธกี ารหาคาตอบอย่างละเอียดมาคนละ 5 ข้อ
ขน้ั วเิ คราะห์
ใหน้ กั เรียนแต่ละคนวิเคราะห์เรอ่ื งที่ตวั เองไปศึกษาค้นควา้ มา
ขั้นสรุป
ครูตรวจผลงานนกั เรียนแต่ละคน พรอ้ มให้ข้อเสนอแนะแล้วใหห้ ัวหนา้ ห้องรวบรวมงานท้ังหมดจดั ทาเปน็ รปู เล่ม
รายงาน
ข้ันประยกุ ต์ใช้
ครใู ห้นักเรียนช่วยกนั เลือกข้อท่ีน่าสนใจแล้วนาเสนอหน้าช้ันเรียน
7.2 กจิ กรรมบูรณาการ
ครสู ามารถบูรณาการกับกลุ่มสาระการเรียนร้ภู าษาไทย โดยกาหนดภาระงานใหน้ ักเรยี นช่วยกันเขียนกลอน
เก่ียวกับการสตู รของผลตา่ งกาลังสอง

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 36

8. บนั ทกึ หลังสอน

บันทกึ หลังการสอน

(บนั ทกึ เฉพาะประเดน็ ที่มีขอ้ มูลสารสนเทศชดั เจน )

ประเดน็ การบันทึก จุดเดน่ จุดที่ควรปรับปรุง

1. การจดั กิจกรรมการเรียนรู้

2 การใช้สื่อการเรยี นรู้

3. การประเมินผลการเรยี นรู้

4. การบรรลผุ ลการเรียนรู้
ของนักเรียน

บันทึกเพิ่มเติม

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื …………………………………..
บันทึกความเหน็ ของผู้ตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

ลงช่อื ………………………………………..
ตาแหนง่ …….……..………………………..

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 37

9. ใบความรู้ ใบงาน และเคร่ืองมือวดั ผล
กจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจและแบบฝึกหดั ในหนงั สอื เรยี น

แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการเรียน

แบบบนั ทึกการสังเกตพฤตกิ รรมการเรียนรายบคุ คลวชิ าคณติ ศาสตร์
ช่อื นักเรียน .................................. ชนั้ ........... วนั ที่ ................ เดือน ............................. ปี ....................

คร้งั ที่ ................................................................. ผู้สงั เกต ......................................................................

หัวข้อการประเมนิ ระดับการประเมนิ
ดมี าก ดี พอใช้ ควรปรบั ปรุง

ความสนใจ

การตอบคาถาม

การทากิจกรรมหนา้ ชัน้ เรียน

การใช้ความรู้ทักษะ/กระบวนการทาง
คณติ ศาสตร์ในการแก้ปญั หาใน
สถานการณ์ต่างๆ

ความสามารถในการใช้ภาษาและสอื่
ลักษณท์ างคณิตศาสตรใ์ นการส่อื สาร
สือ่ ความหมาย

แบบประเมนิ พฤติกรรมการทางาน

แบบประเมนิ พฤติกรรมการทางาน
ชอ่ื นกั เรียน .................................. ชัน้ ........... วันที่ ................ เดือน ............................. ปี ....................

คร้ังที่ .................................................................. ผู้สงั เกต ......................................................................

หวั ข้อการประเมนิ ดมี าก ระดับการประเมนิ
ดี ปานกลาง น้อย น้อยมาก
การวงแผน

การกาหนดการปฏบิ ัติงานมี
ขั้นตอนชัดเจน
การปฏิบัตติ ามขั้นตอนที่
กาหนด
ความคิดสร้างสรรค์

ผลการทางาน

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 38

แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 4

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง เร่ือง การแยกตัวประกอบพหุนามท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

เวลา 3 ช่ัวโมง (ช่วั โมง 14 – 16) ภาคเรยี นที่ 2 ปกี ารศึกษา 2564

1. เปา้ หมายการเรียนรู้
1.1 ผลการเรยี นรู้
1) สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ป็นกาลังสองสมบรู ณ์ได้อย่างถูกต้อง
2) ตระหนักถึงความสมเหตสุ มผลของคาตอบทีไ่ ด้
1.2 จุดประสงค์การเรียนรู้
สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีเปน็ กาลังสองสมบูรณ์ได้อย่างถูกต้อง

2. สาระสาคัญ
2.1 สาระการเรียนรู้
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ถ้าได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหน่ึงสองพหุนามคูณกัน โดยท่ีพหุ

นามที่เป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน และเครื่องหมายระหว่างพจน์เหมือนกัน เรียกพหุนามดีกรีสองน้ีว่า พหุ
นามดีกรีสองท่เี ป็นกาลังสองสมบูรณ์
และจะไดค้ วามสัมพนั ธ์ ว่า

(พจนห์ น้า)2 +2(พจน์หน้า) (พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจนห์ นา้ + พจน์หลัง)2
(พจนห์ น้า)2 - 2(พจนห์ นา้ ) (พจนห์ ลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หน้า - พจนห์ ลงั )2
2.2 ทักษะ/กระบวนการ
การวิเคราะห์ การตีความหมาย การคานวณ
2.3 ทกั ษะการคิด
การคดิ คานวณ การคดิ สรุปความ การคิดแปลความ การคดิ วเิ คราะห์ การใหเ้ หตุผล

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 39

3. ร่องรอยการเรียนรู้
3.1 ผลงาน / ช้นิ งาน
1) การทากจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 11 - 13 ในหนงั สอื เรยี นแม็ค
2) การทาแบบทดสอบ ในโปรแกรม google classroom
3.2 กระบวนการข้ันตอนการปฏิบตั งิ าน
1) เปิดโปรแกรม google meet เพื่อเข้าเรียน และจัดกลุ่ม กลุม่ ละ 3 คน

2) เลอื กหวั หนา้ กลมุ่
3) หัวหน้ากลุม่ แบง่ งาน ปรึกษาหารือ
4) รว่ มกันจดั ทาบัตรกจิ กรรม ในโปรแกรม google classroom
5) นาเสนอผลงาน ในโปรแกรม google meet
6) รว่ มกนั ทากจิ กรรมตรวจสอบความเข้าใจ
7) ส่งงาน ในโปรแกรม google classroom
3.3 พฤตกิ รรมตามคุณลกั ษณะพึงประสงค์
1) ให้ความรว่ มมือในการทางานกลุ่ม

2) มีความละเอียดรอบคอบและรับผิดชอบในการทางาน
3.4 ความร้คู วามเข้าใจ

นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทเี่ ปน็ กาลังสองสมบูรณ์ได้อยา่ งถกู ต้อง
4. แนวทางการตรวจให้คะแนนผลงาน / ชิ้นงาน / การปฏิบตั ิ

เกณฑ์ผา่ นขนั้ ตา่
1) ได้ระดับ “พอใช้” ขึน้ ไป
2) ไดร้ ะดับ “ดี” ขึน้ ไป
3) ทาไดถ้ กู ตอ้ ง 80% ขน้ึ ไป

การสรุปผลการประเมนิ
ต้องผา่ นเกณฑข์ ้ันต่าท้งั 3 รายการ

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 40

5. กระบวนการเรยี นรู้
5.1 ขน้ั นา
ชว่ั โมงที่ 1 - 3 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทเ่ี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์)
ครแู นะนานักเรียนเก่ียวกบั พหุนามดกี รีสองทีเ่ ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ กล่าวคือ การแยกตัวประกอบของพหุ

นามดีกรีสอง ถ้าได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหน่ึงสองพหุนามคูณกัน โดยท่ีพหุนามท่ีเป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน
และเครอื่ งหมายระหวา่ งพจนเ์ หมอื นกัน เรียกพหุนามดีกรสี องน้ีวา่ พหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์
และจะไดค้ วามสัมพันธ์ วา่

(พจนห์ น้า)2 +2(พจน์หน้า) (พจน์หลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2
(พจน์หนา้ )2 - 2(พจนห์ นา้ ) (พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจนห์ น้า - พจนห์ ลงั )2

พร้อมทั้งยกตัวอย่างและแสดงวิธีทาอย่างละเอียด และให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 11 – 13 เพื่อ
ตรวจสอบความเขา้ ใจ

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 41

5.2 ขั้นสอน

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ

ช่ัวโมงท่ี 1 - 3 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกาลังสอง

สมบูรณ์)

ช่ัวโมงท่ี 1 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์)

1. ครนู าเข้าสูบ่ ทเรยี นโดยการซกั ถามนกั เรียนในชั้นเรียนวา่ “นกั เรียนทราบไหม

ว่าพหุนามดีกรีสองที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ น้ันคืออะไร (คือการแยกตัว การคดิ วิเคราะหแ์ ละการคิด

ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ถ้าไดต้ ัวประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีหน่งึ สอง คานวณ

พหุนามคูณกัน โดยท่ีพหุนามที่เป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน และ

เคร่อื งหมายระหว่างพจนเ์ หมือนกนั )

จากนัน้ ครูใหน้ ักเรียนพจิ ารณาการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตอ่ ไปนี้

1) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2
2) x2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6) = (x – 6)2

3) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)(3x + 2) = (3x + 2)2

4) 16x2 – 40x + 25 = (4x – 5)(4x – 5) = (4x – 5)2

ครูกล่าวอีกคร้ังว่า จากตัวอย่างเราจะสังเกตเห็นว่าการแยกตัวประกอบของ

พหุนามดีกรีสองข้างต้น จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหน่ึงสองพหุนามคูณ

กัน โดยท่ีพหุนามท่ีเป็นตัวประกอบมีพจน์เหมือนกัน และเคร่ืองหมายระหว่าง

พจน์เหมือนกัน เราจะเรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะน้ีว่า พหุนามดีกรีสองที่

เป็นกาลงั สองสมบูรณ์

ครชู ตี้ อ่ ไปวา่ จาก
1) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2

ถา้ เราให้ x แทน พจน์หนา้

และ 2 แทนพจนห์ ลงั เราจะได้ความสัมพันธ์อย่างไร

[ตอบ จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ ดังน้ี

(พจน์หน้า)2 +2(พจนห์ นา้ )(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลัง)2]

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 42

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ
และในทานองเดยี วกนั จาก

2) x2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6) = (x – 6)2
ถ้าเราให้ x แทน พจนห์ น้า
และ 36 แทนพจน์หลงั เราจะได้ความสัมพันธอ์ ยา่ งไร
[ตอบ จะไดค้ วามสัมพันธ์ ดงั น้ี

(พจน์หน้า)2 - 2(พจนห์ น้า)(พจนห์ ลงั ) + (พจน์หลงั )2 = (พจน์หน้า - พจนห์ ลงั )2]

จากนั้นครสู รปุ ให้นักเรยี นฟังอกี ครัง้
จากตัวอยา่ งขา้ งตน้ เราจะได้ความสัมพนั ธ์ ดังนี้

(พจนห์ น้า)2 +2(พจน์หนา้ )(พจน์หลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลัง)2 และ
(พจนห์ น้า)2 - 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจนห์ น้า - พจน์หลงั )2

ซึง่ สามารถเขียนใหมไ่ ด้เปน็ นัน่ คือ
ถา้ เราให้ A แทน พจนห์ น้า

และ B แทน พจนห์ ลงั
พหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ป็นกาลงั สองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบไดด้ งั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2

หรือ
(หนา้ )2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า + หลัง)2
(หน้า)2 - 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า - หลัง)2
จากน้ันครยู กตัวอย่างเพ่มิ เติม ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้
ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ
1) x2 + 6x + 9
2) x2 – 50x + 625
3) 0.25x2 – 0.3x + 0.09
4) 36x2 – 60x +25
5) 45x2 + 120x + 80

6) 4 x2 – 2xy + 9 y2
94

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 43

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ

วธิ ีทา
1) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + (3)2 = (x + 3)2

น2 น ล ล2 การคิดวิเคราะหแ์ ละการคิด
คานวณ
2) x2 – 50x + 625 = x2 – 2(x)(25) + (25)2 = (x – 25)2

น2 น ล ล2

3) 0.25x2 – 0.3x + 0.09 = (0.5x)2 – 0.3x + (0.3)2
= (0.5x)2 – 2(0.5x)(0.3) + (0.3)2 = (0.5x

– 0.3)2

นล

น2 ล2

4) 36x2 – 60x +25 = (6x)2 – 2(6x)(5) + (5)2 = (6x – 5)2
5) 45x2 + 120x + 80 = 5(9x2 + 24x + 16)

5 เปน็ ตวั

ประกอบร่วม
= 5[(3x)2 + 2(3x)(4) + (4)2] = 5(3x + 4)2

6) 4 x2 – 2xy + 9 y2 = ( 2 x)2 – 2( 2 x)( 3 y) + ( 3 y)2
9 43 32 2

= ( 2 x – 3 y)2
32

ช่วั โมงที่ 2 (การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทเ่ี ป็นกาลังสองสมบูรณ์ การคิดวิเคราะห์และการคิด
ต่อ) คานวณ

1. ครูทบทวนว่าพหุนามดีกรีสองที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้

ดังน้ี
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2

หรือ
(หน้า)2 + 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
(หนา้ )2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ - หลงั )2

จากน้ันให้นักเรียนทากิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 11 ในช้ันเรียน เพื่อ

ตรวจสอบความเขา้ ใจ โดยครูเดนิ ตรวจความถูกต้อง ใชเ้ วลาประมาณ 20 นาที

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 44

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ

2. ครูกล่าวว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามบางพหุนาม อาจต้องใช้วิธีการ การคิดวเิ คราะหแ์ ละการคิด

แยกตัวประกอบมากกว่า 1 วิธี กล่าวคือ อาจต้องใช้ผลต่างของกาลังสอง และ คานวณ

กาลังสองสมบูรณ์ในขอ้ เดียวกัน จากน้นั ให้นกั เรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบ

ของพหุนามต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ a2 + 22ab + 121b2 – 100
วธิ ีทา a2 + 22ab + 121b2 – 100 = (a2 + 22ab + 121b2) – 102

= [a2 + 2(a)(11b) + (11b)2] –
102

อยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์

= (a + 11b)2 – 102

อยใู่ นรูปผลต่างของกาลงั สอง

= [(a + 11b) + 10][ (a + 11b) –
10]

= (a + 11b + 10)(a + 11b – 10)

ตวั อย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 6xy + 9y2 – 64
วธิ ที า x2 – 6xy + 9y2 – 64 = (x2 – 6xy + 9y2) – 64

= [x2 – 2(x)(3y) + (3y)2] - 82

อยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ การคดิ วเิ คราะหแ์ ละการคิด
คานวณ
= (x – 3y)2- 82

อยใู่ นรูปผลตา่ งของกาลงั สอง

= [(x – 3y) + 8][(x – 3y) – 8]
= (x – 3y + 8)( x – 3y – 8)

3. ให้นักเรยี นทากิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 12 เพื่อตรวจสอบความเขา้ ใจ
โดยครูกาหนดวนั สง่

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 45

กิจกรรมการเรียนการสอน ฝึกการคดิ แบบ

ช่วั โมงท่ี 3 (การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องทเี่ ปน็ กาลังสองสมบูรณ์

ต่อ)

1. ครกู ลา่ วว่าเราสามารถใช้สตู ร การคดิ วเิ คราะห์และการคิด

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2 คานวณ

A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2

สาหรับกรณีท่ี A และ B เปน็ พหนุ าม ในการแยกตัวประกอบ ดังตอ่ ไปนี้

ตัวอยา่ งที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ (2a – b)2 + 2(b – a)(2a – b) + (b –

a)2
วิธีทา จาก (2a – b)2 + 2(b – a)(2a – b) + (b – a)2

เราอยากจดั ให้อยู่ในรูป A2 + 2AB + B2

ดังน้ัน A = ?  A = (2a – b)

B = ?  B = (b – a)

จะได้ (2a – b)2 + 2(b – a)(2a – b) + (b – a)2 = [(2a – b) + (b – a)]2

= (2a – b + b – a)2
= a2

ตัวอยา่ งที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของ (3x – 5)2 - 26(3x – 5) + 169

วธิ ีทา จาก (3x – 5)2 - 26(3x – 5) + 169
เราอยากจัดใหอ้ ยู่ในรปู A2 - 2AB + B2

ดงั น้นั A = ?  A = (3x – 5)

B = ?  B = 13
จะได้ (3x – 5)2 - 26(3x – 5) + 169 = [(3x – 5) -13]2 = (3x – 18)2

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 9x2 - 6(x2 + 6x) + (x + 6)2

วธิ ที า จาก 9x2 - 6(x2 + 6x) + (x + 6)2
เราอยากจดั ให้อยู่ในรูป A2 - 2AB + B2

ดังนน้ั A = ?  A = 3x

B = ?  B = (x + 6)
จะได้ 9x2 - 6(x2 + 6x) + (x + 6)2 = (3x)2 – 6x(x + 6) + (x + 6)2

= (3x)2 – 2(3x)(x + 6) + (x + 6)2

= [(3x) - (x+6)]2
= (2x – 6)2

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 46

กจิ กรรมการเรียนการสอน ฝึกการคิดแบบ

ตวั อย่างที่ 7 จงแยกตวั ประกอบของ (x – 7)2 + 18(x2 – 7x) + 81x2

วธิ ีทา จาก (x – 7)2 + 18(x2 – 7x) + 81x2
เราอยากจดั ใหอ้ ยู่ในรปู A2 - 2AB + B2

ดงั นั้น A = ?  A = (x – 7)

B = ?  B = 9x
จะได้ (x – 7)2 + 18(x2 – 7x) + 81x2 = (x – 7)2 + 18x(x – 7) + (9x)2

= (x – 7)2 + 2(9x)(x – 7)+

(9x)2 = [(x – 7) + 9x]2

= (10x – 7)2 การคดิ วิเคราะหแ์ ละการคิด

2. ครูซักถามนักเรียนถึงวิธีการทาตัวอย่างที่ครูแสดงให้ดูบนกระดานว่ามีข้อ คานวณ

สงสัยหรือไม่ ถ้ามีครูอธิบายเพ่ิมเติม ถ้าไม่มีให้ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็น 5

กลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีจานวนสมาชิกเท่าๆ กัน และให้แต่ละกลุ่มช่วยกันคิด

วิเคราะห์และหาวิธีแก้โจทย์ปัญหา ครูให้นักเรียนเตรียมหาข้อมูลโดยสามารถ

ปรึกษาครูผู้สอนได้ในกรณีท่ีไม่เข้าใจ จากนั้นให้ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมาจับ

ฉลากเลอื กโจทย์ปัญหา ดังนี้

โจทย์ปัญหาที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ (3x + y)2 – 6a(3x + y) + 9a2
โจทย์ปัญหาที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ (x + 7)2 + 6(x2 + 6x – 7) + 9(x –
1)2
โจทย์ปญั หาท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ (x – y)2 – 16(x – y) + 64
โจทย์ปัญหาท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 12(a + 4b)2 – 36(a + 4b) + 27
โจทยป์ ัญหาท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 16x2 – 8(x2 – 7x) + (x – 7)2

เม่ือนักเรียนจับฉลากได้เรียบรอ้ ยแล้ว ครูให้เวลานักเรียนในการร่วมกันอภิปราย
ถึงวิธีทาโจทย์ปัญหานั้นๆ เพ่ือเตรียมออกมานาเสนอ ครูจับฉลากเลือกว่ากลุ่มใด
จะออกมานาเสนอเป็นกลุ่มแรก ในขณะท่ีแต่ละกลุ่มนาเสนอครูควรจะบันทึกผล
การนาเสนอวา่ ถูกต้องมากน้อยเพียงใด และในขณะท่ีแต่ละกลุ่มนาเสนอเสร็จครู
ควรจะอธิบายซ้าจุดที่คิดว่าจะเป็นปัญหาสาหรับนักเรียน ครูให้คาแนะนาและ
ซกั ถามนักเรียนว่า “กลุ่มใดมคี วามคิดเห็นหรือข้อเสนอแนะบ้าง” เม่ือแต่ละกลุ่ม
นาเสนอเสรจ็ ครคู วรจะสรุปผลการนาเสนอรวมอกี ครัง้ หนง่ึ

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คุณครกู ดั ดาฟี สาและ 47

5.3 ข้นั สรปุ
นกั เรยี นสามารถสรปุ ได้วา่
การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง ถ้าไดต้ วั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรหี นง่ึ สองพหนุ ามคูณกัน โดยท่ีพหุ
นามทเ่ี ป็นตวั ประกอบมีพจน์เหมือนกนั และเครื่องหมายระหว่างพจน์เหมือนกนั เรียกพหุนามดกี รสี องนว้ี า่ พหุนาม
ดีกรีสองท่ีเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์
และจะไดค้ วามสัมพันธ์ วา่

(พจน์หนา้ )2 +2(พจนห์ นา้ ) (พจน์หลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจนห์ ลัง)2
(พจน์หน้า)2 - 2(พจน์หน้า) (พจน์หลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ - พจนห์ ลงั )2
และนกั เรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องท่ีเปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ได้อย่างถูกต้อง
6. สื่อการเรียนรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
6.1 สอ่ื การเรียนรู้
- หนังสอื เรียนแมค็
- โปรแกรม google classroom
- โปรแกรม google meet
- โปรแกรม line
- โปรแกรม Pawer Poins
6.2 แหลง่ การเรยี นรู้
- หอ้ งสมุดโรงเรียน
- อนิ เตอร์เน็ต
- หนงั สอื เรยี นแมค็
7. กิจกรรมเสนอแนะ
7.1 กิจกรรมสง่ เสริมการคดิ เชงิ วิเคราะห์
ขน้ั รวบรวมขอ้ มูล
ครูมอบหมายใหน้ ักเรียนไปศึกษาเรอื่ งของแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์พร้อม
ทง้ั แสดงวธิ กี ารหาคาตอบอย่างละเอียดมาคนละ 5 ข้อ
ข้นั วิเคราะห์
ให้นกั เรยี นแตล่ ะคนวเิ คราะหเ์ รอ่ื งทีต่ วั เองไปศกึ ษาคน้ คว้ามา
ขัน้ สรปุ
ครตู รวจผลงานนักเรยี นแตล่ ะคน พรอ้ มให้ข้อเสนอแนะแล้วใหห้ วั หน้าห้องรวบรวมงานทั้งหมดจดั ทาเป็นรปู เล่ม
รายงาน
ขั้นประยกุ ต์ใช้
ครใู หน้ กั เรยี นช่วยกนั เลือกข้อที่น่าสนใจแลว้ นาเสนอหนา้ ช้ันเรยี น
7.2 กจิ กรรมบรู ณาการ
ครสู ามารถบรู ณาการกบั กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ภาษาไทย โดยกาหนดภาระงานใหน้ กั เรียนช่วยกันเขียนกลอน
เก่ียวกับการสูตรของกาลังสองสมบูรณ์

แผนการจดั การเรียนรู้คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 คุณครูกดั ดาฟี สาและ 48

8. บนั ทึกหลังสอน บนั ทกึ หลังสอน
(บนั ทึกเฉพาะประเด็นท่มี ีขอ้ มูลสารสนเทศชัดเจน)
ประเดน็ การบนั ทกึ
1. การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ จดุ เดน่ จุดท่ีควรปรับปรุง

2. การใช้สือ่ การเรยี นรู้

3. การประเมนิ ผลการเรยี นรู้

4. การบรรลผุ ลการเรยี นร้ขู อง
ผ้เู รียน

บนั ทึกเพิม่ เติม
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ...............................
..................................................................................................................................... .......................
........................................................................................................... .................................................

ลงช่ือ ............................................................ ผสู้ อน

บนั ทึกความเหน็ ของผ้ตู รวจสอบแผนการจดั การเรียนรู้

.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ................................
................................................................................................................................................ .............
.................................................................................................................... .........................................

ลงช่ือ .......................................................................
ตาแหน่ง ..................................................................

แผนการจดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ม.2 ภาคเรียนที่ 2 คณุ ครูกดั ดาฟี สาและ 49

9. ใบความรู้ ใบงาน และเคร่อื งมือวดั ผล
กิจกรรมตรวจสอบความเขา้ ใจและแบฝึกหัดในหนงั สือเรยี น

แบบสังเกตพฤติกรรมการเรียน

แบบบนั ทกึ การสังเกตพฤติกรรมการเรยี นรายบคุ คลวิชาคณติ ศาสตร์
ชือ่ นักเรยี น .................................. ชั้น ........... วนั ท่ี ................ เดือน ............................. ปี ....................

ครงั้ ท่ี .................................................................. ผสู้ ังเกต ......................................................................

หัวข้อการประเมิน ระดบั การประเมิน
ดมี าก ดี พอใช้ ควรปรบั ปรงุ

ความสนใจ

การตอบคาถาม

การทากจิ กรรมหนา้ ชั้นเรยี น

การใชค้ วามรู้ทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ในการแกป้ ญั หาใน
สถานการณ์ต่างๆ

ความสามารถในการใช้ภาษาและสอื่
ลักษณท์ างคณิตศาสตร์ในการสอ่ื สาร
สอ่ื ความหมาย