cover สรุปสูตรเลขม.ปลาย

E-book
สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย

อพั เดตตามหลักสตู รใหม่ สสวท. 2560

โดย รังสวิ ฒุ ิ เสาวภาคสขุ (ครูพีเ่ ทมส)์

ถึงนอ้ งๆทกุ คน...
หนังสือสรุปสูตรเล่มนี้ พ่ีรวบรวมทุกสูตรที่จำเป็นต้องใช้ในการเรียนคณิตม.ปลาย มาให้

น้องๆแล้ว ทส่ี ำคญั คือพ่ีไดอ้ ัพเดตเนอ้ื หาตามหลักสูตรใหม่ทุกบทเรียบร้อยแลว้ ครับ นอ้ งๆทุกคน
ไม่ต้องกงั วลเลยวา่ สตู รไหนใชห้ รือสูตรไหนไมใ่ ช้ เพราะในเล่มนที้ กุ สูตรในแตล่ ะบทใช้กับเนื้อหาคณติ
ปจั จปุ ันครับผม นอกจากน้พี ่ยี งั เสรมิ สูตรลัด หรือทรคิ ในการทำโจทย์ได้งา่ ยข้นึ เข้าไปดว้ ย

นอ้ งๆสามารถใช้เนื้อหาในเล่มน้ปี ระกอบการเรียน หรอื ฝึกทำโจทยไ์ ด้สบายครบั ถา้ มีตรงไหน
อา่ นแลว้ ไม่เข้าใจ หรือสงสัย ทกั มาถามพไ่ี ด้ตลอดทุกเวลา เพราะพีจ่ ะสู้ไปกบั น้องๆทุกคนครับ และถ้า
มีตรงไหนผดิ พลาดพีข่ ออภยั มา ณ ทนี่ ี้ดว้ ยนะครบั

และสิ่งสุดท้ายท่ีพอ่ี ยากจะบอกนอ้ งๆทกุ คนก็คือ การเรยี นเลขใหป้ ระสบความสำเร็จนั้น ไม่ใช่
การอา่ นแค่เนอ้ื หา หรือแค่เรียนในห้องแล้วจบ แต่นอ้ งทกุ คนต้องทบทวนบทเรยี นอยา่ งสม่ำเสมอ และ
ที่สำคัญ ต้องฝึกทำโจทย์บ่อยๆด้วยนะ แรกๆอาจจะทำยังไม่ค่อยได้ ไม่เป็นไร แต่ถ้าเราฝึกบ่อยๆ
เดี๋ยวมันจะง่ายเอง ขอแค่น้องอย่าหยุด “พยายาม” ไม่ต้องแข่งกับใครนะครับ แข่งกับตัวเองคนเม่ือ
วานกพ็ อ นอ้ งตอ้ งเกง่ กว่าตัวเองคนเมอ่ื วานให้ไดน้ ะครับ สู้นะ นอ้ งของพี่ทุกคนทำได้ พ่ีเช่ือมั่นในตัว
นอ้ งครบั ^^

สงวนลิขสทิ ธต์ิ ามพระราชพระบญั ญตั ิ พ.ศ. 2558
ห้ามลอกเลียนแบบ ทำซำ้ ดัดแปลง แก้ไขสว่ นใดส่วนหนงึ่ ของหนงั สือไม่วา่ รูปแบบใด หรอื เชิงพาณิชย์
นอกจากไดร้ บั อนญุ าตเปน็ ลายลักษณ์อกั ษรจากผ้เู ขยี นเทา่ นนั้

ถา้ นอ้ งตอ้ งการถามโจทย์ ไมเ่ ขา้ ใจบทเรยี น ตอ้ งการคำปรกึ ษา กำลงั ใจ หรอื
ตอ้ งการสอบถามคอร์สเรยี นตา่ งๆของพี่ ตดิ ตอ่ สอบถามพไี่ ดต้ ลอดนะครับ

แล้วเราจะสไู้ ปดว้ ยกนั ...

สารบัญ หนา้

เซต 1
ตรรกศาสตร์
ระบบจานวนจรงิ 8
ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน 12
เลขยกกาลัง 17
Expo-log 26
เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย 28
เมทรกิ ซ์ 32
ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ 39
เวกเตอร์ 45
จานวนเชิงซอ้ น 55
ความนา่ จะเปน็ 64
ลาดบั และอนุกรม 70
แคลคลู สั 75
สถิติ 79
ตวั แปรสุ่มและความนา่ จะเป็น 86
93

สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 1

เซต

นิยาม เซต (sets) หมายถงึ กลุม่ ของสง่ิ ต่างๆไมว่ า่ จะเป็น คน สตั ว์ ส่งิ ของ ซงึ่ สามารถระบสุ มาชิกในกล่มุ ได้
และเรียกสมาชิกในกลุม่ วา่ “สมาชิกของเซต”

การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใชอ้ กั ษรตัวใหญ่เขยี นแทนช่อื เซต และสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ
1. แบบแจกแจงสมาชกิ
ตัวอย่างเชน่ A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {a, e, i, o, u}
C = {… − 2, −1, 0, 1, 2, … }

2. แบบบอกเงอื่ นไข
ตวั อยา่ งเช่น A = {x | x เปน็ จานวนเตม็ บวกท่มี ีคา่ น้อยกวา่ หรอื เทา่ กับ 5}

B = {x | x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เปน็ จานวนเต็ม}

*** เครื่องหมาย "|" แทนคาว่า “โดยท”่ี
คาว่า “เปน็ สมาชกิ ของ” หรือ “อยู่ใน” เขยี นแทนดว้ ย " ∈ "
คาวา่ “ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ” หรอื “ไมอ่ ยใู่ น” เขยี นแทนดว้ ย " ∉ "

ข้อตกลงเกี่ยวกับจานวนสมาชิกในเซต
1. จานวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(A)
เช่น A = {0, 1, 3} n(A) = 3
2. ถา้ สมาชิกในเซตซา้ กันให้เขียนเพียงครง้ั เดียว
เช่น B = {1, 1, 3} เขียนไดเ้ ปน็ B = {1, 3} n(B) = 2

นยิ าม เซตจากัด (finite sets) หมายถงึ เซตทส่ี ามารถระบุจานวนสมาชิกในเซตได้

ตวั อยา่ งเชน่ A = {1, 2, 3, 4, 5} n(A) = 5
B = { i, o, u} n(A) = 3

2

นิยาม เซตอนนั ต์ (infinite sets) หมายถงึ เซตทีไ่ มใ่ ช่เซตจากดั หรอื เซตทม่ี จี านวนสมาชิกมากมายนบั ไม่
ถ้วน

ตวั อย่างเช่น C = {… − 2, −1, 0, 1, 2, … }

เซตท่ีเทา่ กนั

นยิ าม เซต A และเซต B จะเป็น เซตท่ีเท่ากนั กต็ อ่ เม่ือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปน็ สมาชกิ ของเซต B และ
สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต B เปน็ สมาชกิ ของเซต A สามารถเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A = B

ตวั อย่างเชน่ A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {x | x เป็นจานวนนบั และ x ≤ 5}
∴A=B

นยิ าม เซตว่าง (empty sets) หมายถงึ เซตทไ่ี มม่ ีสมาชกิ หรอื เซตทีม่ จี านวนสมาชกิ ในเซตเป็นศนู ย์
สามารถเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ { } หรอื ∅

ตวั อย่างเชน่ A = {x | x เปน็ จานวนเต็ม และ 1 < x < 2} ⟹ A = ∅

*** เน่ืองจากเราสามารถบอกจานวนสมาชกิ ในเซตวา่ งได้ ดังนน้ั เซตวา่ งเปน็ เซตจากดั

นยิ าม เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หมายถงึ เซตทีป่ ระกอบดว้ ยสมาชิกทัง้ หมดของส่ิงที่เราศึกษา
สามารถเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ U

สัญลกั ษณท์ ใ่ี ชแ้ ทนเซตของจานวนต่างๆ มีดงั นี้

I− หรอื Z− แทนเซตของจานวนเต็มลบ Q− แทนเซตของจานวนตรรกยะทเ่ี ปน็ ลบ
I+ หรอื Z+ แทนเซตของจานวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจานวนตรรกยะทเ่ี ป็นบวก
I หรือ Z แทนเซตของจานวนเต็ม Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ
แทนเซตของจานวนนบั Q′ แทนเซตของจานวนอตรรกยะ
N แทนเซตของจานวนจริง

R

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 3

สับเซต
A ⊂ B กต็ ่อเมอ่ื สมาชกิ ทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B

- ถ้า A ไม่เป็นสับเซตของ B เขยี นแทนดว้ ย ⊄
- ถ้า A มจี านวนสมาชกิ n ตวั จานวนสับเซตของ A =

ถา้ มสี ่งิ ของ n สง่ิ ทแ่ี ตกตา่ งกนั เลือกมาคราวละ r สิง่ จะทาได้เท่ากับ หรือCn,r (nr) = n! วธิ ี
r!(n−r)!

ถา้ A มจี านวนสมาชิก n ตัว แล้ว จานวนสบั เซตของ A ทมี่ ีสมาชิก 0 ตวั เท่ากบั (n0) ตวั
ถา้ A มจี านวนสมาชกิ n ตวั แล้ว จานวนสับเซตของ A ทมี่ สี มาชิก 1 ตัว เทา่ กับ (n1) ตัว
ถ้า A มีจานวนสมาชกิ n ตวั แล้ว จานวนสบั เซตของ A ที่มีสมาชกิ 2 ตัว เทา่ กับ (n2) ตวั

⋮

ถา้ A มีจานวนสมาชิก n ตัว แลว้ จานวนสบั เซตของ A ทม่ี สี มาชกิ n ตวั เทา่ กบั (nn) ตวั
ดงั น้นั ถา้ มีจานวนสมาชกิ ตัว จานวนสับเซตของ = = ( ) + ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) =

กาหนดให้ A ⊂ B จานวนสมาชกิ ในเซต A จะนอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กับสมาชกิ ในเซต B
ถา้ n(A) < n(B) ⟹ A ⊂ B เป็นสบั เซตแท้
ถา้ n(A) = n(B) ⟹ A ⊂ B เป็นสบั เซตท่เี รียกว่าสบั เซตไมแ่ ท้

เซตว่าง

{ } หรือ ∅ คอื เซตทีไ่ ม่มสี มาชกิ หรอื เซตทมี่ จี านวนสมาชกิ ในเซตเปน็ ศนู ย์ (เซตวา่ งเปน็ สับเซตของเซตทกุ เซต
และเป็นเซตจากัด)

ตอ้ งร!ู้ !! 1. ∅ ⊂ A (∅ เป็นสบั เซตของทุกเซต) และ A ⊂ A (ตัวมันเองเปน็ สบั เซตของตวั มนั เองเสมอ)
2. ถา้ A ⊂ B และ B ⊂ A แลว้ A = B
3. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C
4. ถา้ A มจี านวนสมาชกิ n ตัว จานวนสับเซตของ A = 2n
5. ถ้า A มจี านวนสมาชกิ n ตัว จานวนสบั เซตแทข้ อง A = 2n − 1

4

เพาเวอรเ์ ซต

นิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซ่งึ ประกอบด้วยสมาชกิ ทเ่ี ปน็ สบั เซตทงั้ หมดของของเซต A และสามารถ
เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ P(A)

P(A) = {x | x ⊂ A}

Ex. A = ∅ Ex. B = {1}
สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅ สับเซตท้ังหมดของ B คือ ∅, {1}

∴ P(A) = {∅} ∴ P(B) = {∅, {1}}

Ex. C = {1, 2}
สับเซตทง้ั หมดของ C คอื ∅, {1}, {2}, {1, 2}

∴ P(C) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

ต้องร!ู้ !! 1. เนือ่ งจาก ∅ ⊂ A และ A ⊂ A เสมอทาให้ ∅ ∈ P(A) และ A ∈ P(A)
2. n(P(A)) = 2n(A) เม่ือ A เปน็ เซตจากดั
3. P(A) ≠ ∅, n(P(A)) ท่ีน้อยทส่ี ดุ เมอ่ื n(A) = 0 คือ 20 = 1 จึงสรุปวา่ n(P(A)) ≠ 0 เสมอ
4. n(P(A)) = 2n, n (P(P(A))) = 22n, n (P (P(P(A)))) = 222n, …
5. A ⊂ B ก็ต่อเมือ่ P(A) ⊂ P(B)
6. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
7. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)

โอเปอรเ์ รชนั ของเซต

1. ยเู นียน (Union) ใชส้ ัญลกั ษณ์ ∪ เชน่ A ∪ B

คอื เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชิกจากเซต A หรือเซต B

Ex. A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} ⟹ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∪ B คือ พื้นทีท่ แ่ี รเงา

สมบตั ิของยูเนยี น สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 5

A∪B=B∪A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A∪∅=A=∅∪A A∪U=U=U∪A
A∪A=A A ∪ A′ = U

A ∪ B = B ก็ตอ่ เมื่อ A ⊂ B
A ∪ B = ∅ ก็ตอ่ เม่ือ A = ∅ และ B = ∅

2. อินเตอรเ์ ซกชนั (Intersection) ใช้สัญลักษณ์ ∩ เช่น A ∩ B

คอื เซตซึง่ ประกอบดว้ ยสมาชิกซึง่ เปน็ สมาชิกทง้ั ของเซต A และ B

Ex. A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 4} ⟹ A ∩ B = { 2, 3}

*** ถ้าหากวา่ A กบั B ไมม่ ีสมาชกิ ที่ซ้ากันเลย จะได้ A ∩ B = ∅

A ∩ B = ∅ เพราะไม่มีส่วนใดซา้ กันเลย A ∩ B คือ พ้ืนทที่ แ่ี รเงา
สมบัตขิ องอนิ เตอร์เซกชนั

A∩B=B∩A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∩U=A=U∩A
A∩∅=∅=∅∩A A ∩ A′ = ∅ = A′ ∩ A

A∩A=A

A ∩ B = B กต็ อ่ เมือ่ B ⊂ A

สมบัตกิ ารแจกแจง

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6

3. คอมพลเี มนต์ (Complement) ใช้สญั ลักษณ์ ′ หรอื c เชน่ A′, Ac

คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธท์ ไี่ ม่ใชส่ มาชกิ ของ A

Ex. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {7,9,5} ⟹ A′, Ac = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}

A′, Ac คอื พื้นที่ทแ่ี รเงา

สมบัตขิ องคอมพลเี มนต์

(A′)′ = A U′ = ∅
∅′ = U
(A ∩ B ∩ C ∩ … )′ = A′ ∪ B′ ∪ C′ ∪ …
(A ∪ B ∪ C ∪ … )′ = A′ ∩ B′ ∩ C′ ∩ …

4. ผลตา่ ง (Difference) ใช้สัญลกั ษณ์ (−) เชน่ A − B

A − B อา่ นวา่ คอมพลเี มนต์ของ B เม่อื เทียบกับ A คอื เซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ของเซต A ที่ไมใ่ ชส่ มาชกิ

ของ B

Ex = {1, 2, 3, 4}, B = {3,4,5, 6}, C = {5, 6, 7}

⟹ A − B = { 1, 2}, B − A = {5, 6}, A − C = {1, 2, 3, 4} = A

A − B คอื พื้นท่ที แี่ รเงา

สมบัตขิ องผลตา่ งระหว่างเซต สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 7

A−A=∅ A−∅=A
∅−A=∅ A − A′ = A
A−U=∅ A−B⊂A

A − B = A กต็ ่อเม่อื A ∩ B = ∅ A − B = ∅ ก็ตอ่ เม่ือ A ⊂ B

A − B = A ∩ B′, A ∩ B = A − B′ A − B = B′ − A′, B − A = A′ − B′
(A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C)
(A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C) A − (B ∪ C) = (A − C) ∩ (B − C)

A − (B ∩ C) = (A − C) ∪ (B − C)

สมบตั ทิ ่เี จอบอ่ ยในการทาโจทย์

1. เดอ มอร์กอง (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

2. การเปลีย่ นกลุ่ม A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. การกระจาย A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∩ C)

4. ผลตา่ ง A − B = A ∩ B′ = A − (A ∩ B)

เรียนเซตแบบจดั เตม็ สแกนเลย →

สตู รการหาสมาชกิ ของเซตจากัด

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

สมบัตทิ ่ใี ชบ้ อ่ ยในการทาโจทย์ 2. n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
4. n(A′ ∩ B′) = n(A ∪ B)′ = n(U) − n(A ∪ B)
1. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
3. n(A′) = n(U) − n(A)

8

ตรรกศาสตร์

ประพจน์ เปน็ ประโยคบอกเลา่ หรือปฏิเสธ ท่บี อกไดว้ ่าจริงหรือเท็จ อยา่ งใดอย่างหนง่ึ แต่
ประโยคคาถาม, คาส่งั , ขอรอ้ ง, อุทาน หรอื ประโยคทไี่ มม่ คี ่าความจริงจะไมเ่ ป็นประพจน์

ประโยคเปิด เป็นประโยคบอกเลา่ หรอื ปฏิเสธที่ประกอบด้วยตวั แปรทาใหไ้ ม่เปน็ ประพจน์ และ
เมื่อแทนท่ีตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธแ์ ล้วจะไดป้ ระพจน์

ตัวอยา่ ง
1. x < 3 เป็นประโยคเปดิ ซึง่ เมอื่ เติมค่าตัวแปรแลว้ จะไดป้ ระพจน์
2. (9 × 5) + 40 ไม่เป็นประพจน์ หาคา่ ความจริงไมไ่ ด้ และไม่เป็นประโยคเปิด เพราะไมม่ ตี ัวแปร
3. มีจานวนเตม็ x บางจานวนที่นอ้ ยกว่า 2 เปน็ ประพจน์
4. 5(x + y) = 5y + 5x เปน็ ประโยคเปิด เพราะมีตัวแปรที่ยังไม่ทราบคา่
5. สมการของ x2 + y2 = 1 เปน็ สมการอะไร ไม่เปน็ ประพจน์ เพราะเปน็ คาถาม

ตารางคา่ ความจริง

∧ ∨ ⟶ ⟷ ∼ ∼

TT T T T T FF
FT
TF F T F F TF
TT
FT F T T F

FF F F T T

จากการสังเกต !!!

1. p ∨∼ p ≡ T

2. p ∧∼ p ≡ F

3. ประพจน์ในรูป p ∨ q จะเปน็ เทจ็ เมื่อ p และ q เป็นเท็จ

4. ประพจน์ในรปู p ∧ q จะเป็นจริงเม่อื p และ q เป็นจรงิ

5. ประพจนใ์ นรูป p ⟶ q จะเปน็ เทจ็ เม่ือ p เป็นจรงิ และ q เป็นเทจ็

6. . ประพจน์ในรูป p ⟷ q จะเป็นเท็จเมอื่ p และ q มีคา่ ความจริงตรงข้ามกนั

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 9

ประพจนท์ ีส่ มมูลกนั ( ≡ )

คอื ประพจนท์ ม่ี ีค่าความจรงิ เหมือนกนั ทกุ กรณขี องคา่ ความจรงิ ของประพจน์ย่อย

ประพจนท์ ่เี ปน็ นิเสธกนั (∼ )
คือ ประพจนท์ มี่ ีคา่ ความจรงิ ตรงข้ามกันทุกกรณขี องค่าความจรงิ ของประพจนย์ ่อย

รปู แบบประพจน์ท่ีสมมลู กนั 2. แจกแจง หรือ กระจาย
1. จัดหมู่ หรอื เปลยี่ นกลมุ่
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
p ⟷ (q ⟷ r) ≡ (p ⟷ q) ⟷ r (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

3. เดอรม์ อแกน 4. การเปล่ยี นรูป

∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧∼ q p⟶q ≡ ∼p∨q
∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨∼ q p ⟶ q ≡ ∼ q ⟶∼ p
p ⟷ q ≡ (p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p)
5. นเิ สธ

∼ (∼ p) ≡ p
∼ [∼ (∼ p)] ≡ ∼ p

เพ่มิ เติม (รไู้ วจ้ ะทาโจทย์ไดง้ ่ายข้ึน)

p ∧∼ p ≡ F p ∨∼ p ≡ T
T∧p≡p T∨p≡T
F∧p≡F F∨p≡p

**วธิ ีการตรวจสอบประพจน์ทสี่ มมลู กัน
1. ใช้ตารางคา่ ความจริง ( ต้องได้คา่ ความจริงเหมอื นกันทกุ กรณี)
2. ใชค้ ุณสมบตั ิต่างๆเปล่ยี นรูป (เปล่ยี นรปู ใหเ้ หมอื นกนั )

10

สจั นิรนั ดร์
คือ เป็นประพจนท์ ่มี ีค่าความจริงเปน็ จรงิ ทุกกรณี เช่น p ∨∼ p, p ⟶ (p ∨ q)

การตรวจสอบประพจน์ทเ่ี ปน็ สจั นริ ันดร์
1. สร้างตารางค่าความจริง
- ต้องเปน็ T ทกุ กรณี
2. ใช้รปู แบบของประพจนท์ ีส่ มมลู กนั
- ถ้า A และ B สมมลู กนั แล้ว A ⟷ B เปน็ สัจนิรนั ดร์
(ตอ้ งแสดงใหไ้ ดว้ า่ A และ B สมมูลกนั )
3. โดยหาขอ้ ขดั แยง้
- สมมตปิ ระพจน์นนั้ มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ (F)
- ถ้าเกิดขอ้ ขดั แย้งจะเปน็ สจั นริ ันดร์

ตวั บ่งปริมาณ
1. ∀x[P(x)] มีค่าความจรงิ เปน็ จริง ก็ต่อเม่อื แทนคา่ x ทกุ คา่ ทีอ่ ยใู่ น U ลงใน P(x) ทาให้ P(x) เป็นจริง
∀x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ อ่ เมื่อ มคี ่า x อยา่ งน้อย 1 ตวั ทอ่ี ยใู่ น U แทนลงใน P(x)
ทาให้ P(x) เปน็ เท็จ
2. ∃x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เป็นจริง ก็ต่อเมอ่ื แทนค่า x อยา่ งน้อย 1 ตัวทีอ่ ยู่ใน U ลงใน P(x)
ทาให้ P(x) เปน็ จริง

∃x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ อ่ เม่ือ แทนค่า x ทุกตัวทอ่ี ยู่ใน U ลงใน P(x)ทาให้ P(x)เป็นเทจ็

นเิ สธของตวั บง่ ปรมิ าณ และ ∼ ∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼ P(x)]

∼ ∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼ P(x)]

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 11

การอ้างเหตผุ ล

1. พิจารณาไดจ้ ากประพจน์ ( ∧ ∧ … ∧ ) ⟶ (เอาเหตุมาเชอื่ มด้วย “และ” และเอาผลมาเช่ือมดว้ ย

“ถ้า..แลว้ ”) ถา้ ประพจน์ดงั กล่าวมคี า่ ความจริงเป็นจรงิ เสมอ (เปน็ สัจนิรันดร์) เราสามารถสรปุ ได้วา่ การอา้ งเหจุผล
ดังกลา่ วเปน็ การอา้ งเหตุผลทส่ี มเหตุสมผล

2. ใช้รูปแบบตอ่ ไปนี้ 7) การผนวก
1) การแจงผลตามเหตุ หรือ (Modus Ponen)
p
p⟶q _________
p
∴p∨q

∴ q 8) การทาให้ง่าย

2) การแจงผลคา้ นเหตุ หรือ (Modus Tollen) p∧q
_________
p⟶q
~q ∴p

∴ ~p 9) ข้อความแยง้ สลบั ที่ หรือ (Equivalence from for Implication)

3) ตรรกบท หรอื (Law of Syllogism) p⟶q
_________
p⟶q ∴ ∼ q ⟶∼ p
q⟶r
10) การเลอื กผลตามเหตุแบบเสรมิ

∴p⟶r p⟶r
q ⟶
4) ตรรกบทการเลือก หรอื (Disyunction Syllogism) p∨q
_________
p∨q
∼p ∴r∨s

5) การร่วม ∴q

p เรยี นตรรกศาสตร์แบบจดั เตม็ สแกนเลย →
q

∴p∧q

6) การอนมุ านโดยกรณี หรือ (Inferences by cases)

p⟶r
q⟶r

∴ (p ∨ q) ⟶ r

12

ระบบจำนวนจรงิ

โครงสรา้ งของจานวนจรงิ

จากแผนผงั แสดงความสัมพนั ธ์ของจานวนขา้ งตน้ จะพบว่าระบบจานวนจริงประกอบไปดว้ ย
1. จานวนอตรรกยะ (ℚ′) หมายถงึ จานวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยใู่ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม หรอื ทศนิยมซา้

ได้ เช่น √2, √3, √5, −√2, −√3 หรอื π ซงึ่ มคี ่า 3.14159265...

2. จานวนตรรกยะ (ℚ) หมายถงึ จานวนที่สามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรูปเศษสว่ นของจานวนเต็ม หรือทศนยิ มซ้าได้

เชน่ 1 หรือ 0.5 , 1 หรือ 0.3333 … , 4 หรอื 2 , 1 หรือ 0. 1̇ 42857̇
23 27

3. จานวนเตม็ หมายถึง จานวนที่เปน็ สมาชกิ ของเซต = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } เมอื่ กาหนดให้

เป็นเซตของจานวนเตม็ จานวนเต็มยังสมารถแบง่ ออกได้อกี เปน็ 3 ประเภทดว้ ยกัน

3.1 จานวนเตม็ ลบ − = {… , −3, −2, −1}

3.2 จานวนเตม็ ศนู ย์ (0)

3.3 จานวนเตม็ บวก + = {1, 2, 3, … }

จานวนเต็มบวก เรียกได้อีกอยา่ งว่า “จานวนนับ” ซึง่ เขียนแทนเซตของจานวนนับดว้ ยดว้ ยสัญลกั ษณ์ ℕ

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 13

การเทา่ กนั ในระบบจานวนจรงิ

กาหนด a, b, c เปน็ จานวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะทอ้ น a = a

2. สมบตั กิ ารสมมาตร ถ้า a = b แลว้ b = a

3. สมบัตกิ ารถา่ ยทอด ถา้ a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนท่ีเทา่ กนั ถา้ a = b แล้ว a + c = b + c

5.สมบัติการคณู ดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ ac = bc

สมบัติของระบบจานวนจรงิ การบวก การคณู
ถา้ a, b ∈ ℝ แล้ว a + b ∈ ℝ ถ้า a, b ∈ ℝ แล้ว ab ∈ ℝ
สมบตั ิปิด
สมบตั กิ ารสลบั ท่ี a+b=b+a ab = ba
สมบตั ิการเปล่ยี นกลุ่ม
สมบัติการมเี อกลักษณ์ (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
สมบตั ิการมีอนิ เวอรส์
สมบัตกิ ารแจกแจง 0+a=a=a+0 1a = a = a1

(−a) + a = 0 = a + (−a) 1 a = 1 = a 1 เมอื่ a ≠ 0

aa

a(b + c) = ab + ac

สตู รท่คี วรจา (ใหไ้ ด้)
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3. a2 − b2 = (a + b)(a − b)
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
8. (a + b + c)2 = a2+b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

สมการพหุนามดกี รีสอง

สมการ ax2 + bx + c = 0 จะได้วา่ x = −b±√b2−4ac
2a
ถ้า b2 − 4ac > 0 แล้ว สมการมี 2 คาตอบ
ถ้า b2 − 4ac = 0 แลว้ สมการมี 1 คาตอบ
ถ้า b2 − 4ac < 0 แล้ว สมการมีไม่มคี าตอบท่ีเป็นจานวนจรงิ

14

ทฤษฎเี ศษเหลอื (Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม P(x) ดว้ ย x − c เม่อื c เป็นจานวนจรงิ แลว้ เศษเหลอื จากการหารจะเทา่ กับ P(c)

ในทานองเดียวกนั ถา้ หารพหุนาม ( ) ดว้ ย − แลว้ เศษเหลอื จากการหารจะเท่ากับ ( )


ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)
กาหนดพหุนาม P(x) และ c เปน็ จานวนจรงิ
1. ถา้ x − c เป็นตัวประกอบของ P(x) แลว้ P(c) = 0 และ
2. ถา้ P(c) = 0 แลว้ x − c เปน็ ตัวประกอบของ P(x)

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจานวนตรรกยะ (Rational factor Theorem)

กาหนดพหนุ าม P(x) = anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0 โดยท่ี an, an−1, … , a0 เปน็ จานวนเต็ม, n เป็น
จานวนเตม็ บวก และ an ≠ 0

ถ้า x − k เป็นตัวประกอบของ P(x) เมอ่ื m และ k เปน็ จานวนเต็ม ซ่ึง m ≠ 0 และ ห.ร.ม.ของ m และ k
m

เทา่ กบั 1 แลว้ m จะเป็นตัวประกอบของ an
k จะเปน็ ตัวประกอบของ a0

สมบตั กิ ารไม่เท่ากัน ถ้า a > b และ b > c แลว้ a > c
กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริง ถา้ a > b แล้ว a + c > b + c
1) ถ้า a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc
1. สมบตั ิการถ่ายทอด 2) ถ้า a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc
2. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
3.สมบัติการคณู ดว้ ยจานวนทเ่ี ท่ากนั 1) ถา้ ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
2) ถา้ ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
4.สมบัตกิ ารตดั ออกสาหรับการบวก
5..สมบัติการตัดออกสาหรบั การบวก

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 15

การแกอ้ สมการตัวแปรเดียว

- พยายามจัดใหอ้ ยใู่ นรูป (Ax ± a)(Bx ± b)(Cx ± c) … <, ≤, >, ≥ 0 (ซา้ ยมือวงเล็บ ตรงกลาง

เครอื่ งหมาย ขวามือเลข 0) โดยให้สัมประสทิ ธ์ิของ x เป็นบวกเสมอ

- จบั แต่ละวงเล็บเทา่ กับ 0 จะได้คา่ x ออกมา แลว้ นาคา่ x ลงไป plot บนเสน้ จานวน จะพบว่าเส้นจานวนถกู

แบ่งเปน็ ช่วงๆ

- ใหช้ ่องขวามือสุดเปน็ + เสมอจากนั้นใส่ -, + สลบั กันไปเรอื่ ยๆ

- โจทย์ตอ้ งการ <, ≤ ตอบชว่ งลบ ตอ้ งการ >, ≥ ตอบช่วงบวก

คา่ สัมบรู ณ์

นยิ าม กาหนดให้ a เป็นจานวนจรงิ

a , a>0
|a| = { 0 , a = 0

−a , a < 0

นัน่ คอื คา่ สัมบูรณ์ของจานวนใดๆ ตอ้ งมคี ่ามากกวา่ หรอื เท่ากับศูนยเ์ สมอ

สมบัตขิ องคา่ สมั บรู ณ์

1. |a| ≥ 0 2. |−a| = |a|

3. |a − b| = |b − a| 4. |a + b| ≤ |a| + |b|

5. |a − b| ≥ |a| − |b| 6. |a ∙ b| = |a| ∙ |b|

7. |a| = |a| , b ≠ 0 8. |a|2 = (a)2
|b| 10. n√an = a เม่ือ n เปน็ จานวนเตม็ บวกคี่
b

9. n√an = |a| เมอื่ n เปน็ จานวนเตม็ บวกคู่

11. |a + b| = |a| + |b| ↔ a ∙ b ≥ 0 12. |a − b| = |a| + |b| ↔ a ∙ b ≤ 0

การแกส้ มการค่าสัมบรู ณ์ จาแนกรูปแบบของโจทย์ได้ดังน้ี

1. |∎| = ตวั เลข : แยก 2 กรณี

2. |∎| = ก้อนที่มตี วั แปรแตไ่ ม่เหมอื นในคา่ สมั บรู ณ์ทางซ้าย : แยก 2 กรณี : ตรวจคาตอบ

3. |∎| = กอ้ นทมี่ ีตวั แปรและเหมือนในคา่ สมั บูรณ์ทางซ้าย : ใช้นิยาม

4. |∎| = |∆| : ยกกาลังสองท้งั สองขา้ ง (วธิ นี ีจ้ ะสอดคล้องกบั Concept ท่วี ่า “ถา้ สองขา้ งไมต่ ดิ ลบ ยก

กาลงั สองไดเ้ สมอ”)

5. ค่าสมั บรู ณห์ ลายตัว : แบง่ กรณคี ิด / เขยี นกราฟ

16

การแกอ้ สมการค่าสมั บรู ณ์ ตอ้ งจาใหไ้ ด!้ !!
|∎| > ∆ ∶ ∎ > ∆ หรอื ∎ < −∆
|∎| ≥ ∆ ∶ ∎ ≥ ∆ หรอื ∎ ≤ −∆

|∎| < ∆ ∶ −∆< ∎ < ∆ (−∆< ∎ ∩ ∎ < ∆)
|∎| ≤ ∆ ∶ −∆≤ ∎ ≤ ∆ (−∆≤ ∎ ∩ ∎ ≤ ∆)

หลกั การแก้อสมการคา่ สมั บูรณ์ จาแนกรปู แบบโจทยไ์ ดด้ ังนี้

1. ค่าสมั บูรณใ์ นโจทย์มเี พยี งตัวเดียว : นิยาม

2. |∎| เครือ่ งหมาย |∆| : ยกกาลังสองท้งั สองข้าง

3. ค่าสมั บูรณห์ ลายตวั : แบ่งกรณคี ิด / เขียนกราฟ

บทระบบจำนวนจรงิ ถือเป็นบททเี่ ปน็ ฐานของเลขม.ปลาย ซึง่ สำคญั มากๆ น้องๆทุกคนควรท่จี ะเกบ็
เน้ือหาบทนใ้ี ห้ดที ่ีสุด และให้เขา้ ใจมากที่สุด เพราะจะใช้กับทกุ บทของม.ปลายเลยครบั สๆู้ นา้ ^^

เรียนระบบจำนวนจรงิ แบบจดั เต็มสแกนเลย →

ฝกึ ทำโจทยจ์ ำนวนจริงแบบจดั เตม็ สแกนเลย →

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 17

ความสมั พนั ธ์และฟงั ก์ชนั

ผลคณู คาร์ทเี ซียน (Cartesian Product)

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

= เซตของคอู่ นั ดับทเี่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมด เม่ือสมาชกิ ตวั หนา้ อยูใ่ นเซต A และสมาชกิ ตัวหลังอย่ใู นเซต B

สมบัตขิ องผลคณู คาร์ทีเซยี น
กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ
1) A × B ไม่จาเปน็ ต้องเทา่ กับ B × A
แต่ A × B = B × A กต็ ่อเม่อื A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅
2) A × ∅ = ∅ × A = ∅
3) ถา้ A, B เปน็ เซตจากดั แลว้ n(A × B) = n(A) × n(B)
4) A × B = A × C และ A ≠ ∅ แลว้ B = C
5) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

6) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

7) A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

(A − B) × C = (A × C) − (B × C)

8) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
9) ถา้ A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C

เรยี นฟังกช์ ันแบบจดั เต็มสแกนเลย →

18

ความสัมพันธ์ (Relation)
r เปน็ ความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B กต็ ่อเมอ่ื r เปน็ สับเซตของ A × B และเรียกความสัมพันธจ์ าก A ไป A ว่า
ความสมั พันธใ์ น A (ก็คือ r เปน็ สบั เซตของ A × A )

ต้องร!ู้ !!
1. ถ้า A มสี มาชิก m ตวั B มีสมาชิก n ตวั จานวนความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B จะเท่ากับ 2mn
2. ∅ เป็นความสมั พันธจ์ าก A ไป B เสมอ
3. "xry" หมายความว่า x มีความสมั พนั ธ์ r กับ y หรือ (x, y) ∈ r

รปู กราฟทค่ี วรต้องรู้!!!
กราฟเสน้ ตรง

กราฟพาราโบลา

กราฟรูท

กราฟค่าสัมบรู ณ์

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 19

กราฟอื่นๆ

โดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ์ (Domain and Range of Relation)

โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตัวหนา้ ของคูอ่ นั ดับของความสัมพันธ์ เขยี นแทนดว้ ย Dr

Dr = {x | (x, y) ∈ r}

เรนจ์ของ r คอื เซตของสมาชกิ ตัวหลงั ของคู่อันดับของความสัมพันธ์ เขียนแทนด้วย Rr

Rr = {y | (x, y) ∈ r}

หลกั การหา และ แบบพจิ ารณาเงือ่ นไข
1. หา Dr จัดรูปโดยเปน็ y = เทอมของ x
กรณที ี่ 1 y = ∎ อา้ ง ∆≠ 0

∆

กรณีท่ี 2 y = √∎ อ้าง ∎ ≥ 0
กรณีท่ี 3 y = ∆ อ้าง ∎ > 0

√∎

หา Rr จัดรปู โดยเปน็ x = เทอมของ y
กรณีท่ี 1 x = ∎ อา้ ง ∆≠ 0

∆

กรณที ่ี 2 x = √∎ อ้าง ∎ ≥ 0
กรณีท่ี 3 x = ∆ อา้ ง ∎ > 0

√∎

*** ถา้ มีมากกวา่ 1 กรณี ให้นามา ∩ กนั
2. โดยปกตแิ ล้ว ถา้ ขวามอื เป็น ( )2, | | อา้ ง ซา้ ยมอื ≥ 0
3. โจทย์รปู แบบ y = √ ให้พิจารณาค่า min, max ของ y จะไดเ้ รนจ์ของ r
4. ถ้าเจอรปู ax2 + bx + c = 0 ใช้ x = −b±√b2−4ac

2a

รูปแบบ y = ax+b ⇒ Dr = {x | x ≠ − d} , Rr = {y | y ≠ a}
cx+d
c c

อินเวอร์สของความสัมพนั ธ์

r−1 = { (y, x) | (x, y) ∈ r}

ขอ้ สงั เกต

1. Dr = Rr−1 และ Rr = Dr−1

20

การหาอนิ เวอร์ส แบบบอกเง่อื นไข สามารถทาได้ 2 วิธี
วธิ ที ี่ 1 สลับที่ x และ y ในคู่อนั ดบั (x, y) แต่เงื่อนไขเหมอื นเดิม
วธิ ีท่ี 2 สลบั ท่ี x และ y ในเง่ือนไข โดยแทนท่ี x ด้วย y และแทนท่ี y ด้วย x แต่คอู่ ันดบั (x, y)
เหมอื นเดิม

***กราฟของอินเวอรส์ ของความสมั พันธ์ คือ ภาพสะทอ้ นของกราฟของความสมั พนั ธ์ กับเส้นตรง =
ตัวอย่างกราฟ และ −

สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 21

ฟงั ก์ชนั (Function)

ฟังกช์ นั คอื ความสมั พนั ธ์ หรอื เซตของคอู่ นั ดบั ซง่ึ มีเงือ่ นไขวา่ x ไปจับค่กู ับ y เพยี งตัวเดยี วเท่านน้ั
(ฟังกช์ นั คือ ความสัมพันธท์ ี่ ไมห่ ลายใจ)

เชน่ r1 = {(1, 2), (2, 6), (3, 5), (4, 8)} และ r2 = {(1, 6), (2, 6), (3, 5), (4, 8)} เปน็ ฟงั ก์ชัน
แต่ r3 = {(1, 2), (2, 6), (1, 5), (4, 8)} ไม่เป็นฟงั ก์ชัน

ฟงั ก์ชันจาก ไป คอื ฟังกช์ ันท่ีมีสมบัตวิ า่ Df = A (สมาชกิ ตวั หน้ามีคทู่ ุกตัว) และ Rf ⊂ B
( ใชส้ ญั ลักษณแ์ ทนดว้ ย ∶ → )

Ex. A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}
ฟังกช์ นั จาก A ไป B เช่น f = {(1, 4), (2, 5), (3, 7)}

ฟงั กช์ ัน 1-1 คอื ฟังก์ชันทม่ี ีเงอ่ื นไขว่า สมาชิกตัวหลงั 1 ตวั จะจบั ค่กู บั สมาชิกตวั หน้าเพยี ง 1 ตัวเทา่ นัน้
(ฟงั ก์ชนั 1-1 คอื ฟงั ก์ชนั ท่ี และ ไมม่ กี กิ๊ )

เรยี กว่า ฟงั กช์ ัน 1-1 จาก A ไป B

ฟงั กช์ ันจาก ไปทว่ั ถงึ คือ ฟงั กช์ ันที่สมบัตวิ า่ f เปน็ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B และ Rf = B
(ฟงั ก์ชนั ท่ัวถึง คือ ฟงั กช์ นั ท่ี ไมโ่ สด)

เรยี กว่า ฟงั ก์ชันจาก A ไปทว่ั ถงึ B

การตรวจสอบวา่ เป็นฟงั กช์ นั หรือไม่
1. แทนค่า x 1 คา่ แล้ว ถ้าเกิดค่า y เพยี ง 1 คา่ จะเปน็ ฟังก์ชนั
2. เขียนกราฟของฟงั ก์ชันแลว้ ลากเสน้ ในแนวตงั้ (ขนานแกน y) ตัดผา่ นกราฟของโจทย์ ถา้ ตดั 1 จุด จะเป็นฟังกช์ นั

22

การตรวจสอบฟังกช์ นั ว่าเปน็ ฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่
1. แทนคา่ y 1 คา่ แลว้ ถา้ เกิดคา่ x เพยี ง 1 คา่ จะเปน็ ฟงั กช์ นั 1-1
2. เขยี นกราฟของฟังก์ชนั แลว้ ลากเสน้ ในแนวนอน (ขนานแกน x) ตดั ผา่ นกราฟของโจทย์ ถ้าตดั 1 จุด จะเป็น
ฟงั ก์ชัน 1-1

***ก่อนเช็คฟงั กช์ ัน 1-1 เชค็ ฟงั กช์ นั ก่อนทุกคร้งั

ฟงั ก์ชันเพ่มิ – ลด (Increasing – Decreasing function)
ฟงั กช์ ันเพม่ิ คือ ฟังกช์ นั ที่ เมอ่ื คา่ x เพ่ิมข้ึน คา่ y จะเพ่ิมขนึ้
และ เม่ือค่า x ลดลง คา่ y จะลดลง
(ถ้า < แล้ว ( ) < ( ) )
ฟังก์ชันลด คอื ฟังก์ชนั ที่ เมอื่ ค่า x เพิม่ ขน้ึ คา่ y จะลดลง
และ เมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพ่มิ ข้ึน
(ถา้ < แลว้ ( ) > ( ) )

ฟังกช์ ันเชิงเสน้ (Linear function)

คือ ฟงั กช์ ันทอ่ี ยูใ่ นรูป f(x) = ax + b เมอื่ a และ b เปน็ จานวนจริง

ฟังกช์ ันกาลงั สอง (Quadratic function)
คอื ฟังก์ชนั ที่อยู่ในรูป f(x) = ax2 + bx + c เม่อื a, b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0

หงาย คว่า

a>0 พิกดั จดุ ยอด คือ (− b , 4ac−b2)
2a 4a
จุดยอด(จุดวกกลับ) = จดุ ต่าสดุ หรอื (− b , f (− b ))
ไม่มจี ดุ สงู สุด 2a 2a

a<0

จดุ ยอด(จุดวกกลับ) = จดุ สงู สดุ
ไม่มีจุดต่าสุด

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 23

อีกรปู ของฟงั กช์ ันกาลงั สองที่นยิ มใชค้ อื f(x) = a(x − h)2 + k

- ถ้า a เปน็ บวกจะไดพ้ าราโบลาหงาย , ถ้า a เปน็ ลบจะได้พาราโบลาคว่า

- จุดยอด คือ (h, k)

จุดตัดแกน x : พาราโบลาอาจตัดแกน x ได้ 2 จดุ หรอื 1 จดุ หรือ ไมต่ ดั เลยก็ได้

จดุ ตดั แกน y : พาราโบลาจะตดั แกน y ได้ 1 จุดเสมอ

ฟังก์ชนั ขน้ั บนั ได (Step function)
คอื ฟังก์ชนั ทแี่ บ่งคา่ x ออกเปน็ หลายๆช่วง โดยทแี่ ตล่ ะชว่ งจะมีค่า y เปน็ คา่ คงท่ี

10 , 0 ≤ x < 1 −2 , 0 ≤ x < 1

เชน่ f(x) = {20 , 1 ≤ x < 3 f(x) = { 1 ,1 ≤ x < 2
2 ,2 ≤ x ≤ 3
25 , 3 ≤ x < 5
3, x>3

อนิ เวอรส์ ของฟงั ก์ชัน

คือ {(y, x) |(x, y) ∈ f} เขยี นแทนด้วย f−1 ซ่งึ อาจจะเป็นฟงั ก์ชัน หรือไม่เปน็ ก็ได้
ถา้ f−1 ยังคงเปน็ ฟงั ก์ชนั จะเรยี กวา่ “ฟังก์ชันอินเวอรส์ ”
ถ้า f−1 ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั จะเรียกวา่ “อนิ เวอร์สของฟังกช์ ัน”

ข้อสงั เกต 1. f−1 จะเปน็ ฟงั ก์ชัน กต็ อ่ เมอื่ f เปน็ ฟงั ก์ชัน 1-1
2. Df = Rf−1 และ Rf = Df−1

หลักการหาอนิ เวอรส์ 1. ให้เปลีย่ น y เปน็ x
2. เปลี่ยน x เป็น y
3. จัดสมการหาคา่ y (โดย y ใหม่ทไี่ ด้ คอื อนิ เวอร์สน่นั เอง)

24

การหาอนิ เวอรส์ เม่ือกาหนด (∎) มาให้

f = {(∆, ∎)} ⟹ f(∆) = ∎

f −1 = {(∎, ∆)} ⟹ f −1(∎) = ∆

น่นั ก็คือ ในการจัดรปู f ให้เป็น f−1 หรือ f−1 ให้เป็น f ไม่จาเป็นตอ้ งเปลย่ี น x กบั y

ใช้การย้ายขา้ งไดเ้ ลย จาก f(∆) = ∎ หรือ f −1(∎) = ∆

∆ = f −1(∎) ∎ = f(∆)

***แต่ตอ้ งเปน็ ฟังกช์ ัน 1-1 เท่านนั้ นะครบั ^^

ฟังกช์ ันประกอบ

ให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชัน และ Rf ∩ Dg ≠ ∅ ฟังก์ชนั ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย gοf
กาหนดโดย (gοf)(x) = g(f(x)) สาหรบั ทกุ x ซง่ึ f(x) ∈ Dg

สรปุ คือ gοf(x) เปน็ ฟังกช์ ันทส่ี ร้างจาก f ไป g เกดิ ไดเ้ ม่ือ Rf ∩ Dg ≠ ∅

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 25

ขอ้ ควรรู้

1. ถา้ f ∶ A 1−1 B และ 1−1 แลว้ 1−1

→ g∶B→ C gof ∶ A → C

2. gof ไม่จาเป็นต้องเท่ากบั fog

ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 แล้ว fοf −1(x) = x และ f −1οf(x) = x แต่ fοf −1(x) ไม่จาเป็นต้องเทา่ กบั f −1οf(x)

(fof −1)(∎) = ∎ เม่ือ ∎ ∈ Df−1 (หรอื ∎ ∈ Rf )
(f −1of)(∆) = ∆ เม่อื ∆ ∈ Df

พชี คณติ ฟังกช์ ัน

ถา้ f และ g เป็นฟงั ก์ชนั ใดๆ

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∶ x ∈ Df ∩ Dg
2. (f − g)(x) = f(x) − g(x) ∶ x ∈ Df ∩ Dg
3. (f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x) ∶ x ∈ Df ∩ Dg

4. (f/g)(x) = f(x) ∶ x ∈ Df ∩ Dg − {x | g(x) = 0}
g(x)

เรยี นฟังกช์ ันแบบจัดเตม็ →

26

เลขยกกำลงั

เลขยกกาลังมสี มบตั ิ ดังน้ี

ถา้ a, b ∈ R และ m, n เปน็ จานวนตรรกยะ จะได้วา่

1. am ∙ an = am+n 5. (a)m = am โดย b ≠ 0
b bm โดย a ≠ 0
am โดย a ≠ 0
2. an = am−n 6. a−n = 1
an

3. (am)n = amn 7. a0 = 1

4. (ab)m = am ∙ bm

x2 + 1 = a2 − 2
x2
กาหนด 1
x+x = a

x3 + 1 = a3 − 3a
x3

x2 + 1 = a2 + 2
x2

กาหนด 1 x3 − 1 = a3 + 3a
x−x = a x3

กรณฑ์ที่ ของ

บทนิยาม เมื่อ a > 0 และ n เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกว่า 1

√ =



บทนยิ าม เมอื่ a ≠ 0 และ m และ n > 2

√ =



สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 27

สรปุ เกี่ยวกับค่าหลักของรากที่ n หรือ n√a ดงั นี้

1. ถา้ a = 0 แลว้ n√a = 0
2. ถา้ a > 0 แลว้ n√a > 0
3. ถ้า a < 0 จะได้วา่ 1) ถ้า n เปน็ จานวนคี่ แล้ว n√a เป็นจานวนลบ

2) ถา้ n เปน็ จานวนคู่ แลว้ n√a ไมใ่ ช่จานวนจรงิ

สมบัตขิ องรากทื่

ถ้า a, b เป็นจานวนใดๆ และ m, n เปน็ จานวนเตม็ บวกแล้ว

1. √n an = a เมือ่ n เป็นจานวนค่ี เรยี นเลขยกกำลงั แบบจดั เตม็ สแกนเลย
↓

n√an = |a| เม่อื n เป็นจานวนคู่

2. n√a ∙ n√b = n√ab

3 . n√a = n√ba เมือ่ b ≠ 0
n√b

4. m√n√a = mn√a

หมายเหตุ ถา้ n√a หาคา่ ได้แลว้ (n√a )n = a และ m = ( n√a )m
ถา้ n√a
an

หาค่าไมไ่ ด้แลว้ (n√a )n ≠ a และ m ≠ ( n√a )m

an

เทคนคิ เพม่ิ เตมิ

1. √a√a√a√a … = a

2. n√an√an√a … = n−1√a 1
= √n + 1 − √n
3. √a √a 1+√4a+1
2 √n + 1 + √n
1
= √n + 1 + √n

√n + 1 − √n

+ + √a + ⋯ =

4. √a + √a − √a + √a − … = 1+√4a−3
2

28

รากท่ี 2 ของจานวนจรงิ ในรูป (a + b) ± 2√ab
รากท่ี 2 ของ (a + b) ± 2√ab คือ ±(√a ± √b)
***แต่ √(a + b) ± 2√ab คือ √a ± √b

Expo & Log

ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล
นยิ าม เรียก f = {(x, y) ∈ R × R+| y = ax, a > 0, a ≠ 1} วา่ ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล

จากนยิ ามสรุปได้ว่า
1. ฐานของฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล ตอ้ งเปน็ จานวนบวกทไี่ ม่ใช่ 1
2. โดเมนของฟังกช์ นั คือ R
3. เรนจ์ของฟงั กช์ ัน คือ R+
4. ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเปน็ ฟงั ก์ชนั แบบหนง่ึ ต่อหนึง่
5. ถา้ 0 < a < 1 จะเรยี กวา่ ฟงั ก์ชันลด [ x, y เพ่ิมลดตรงข้ามกนั ]
6.ถ้า a > 1 จะเรยี กวา่ ฟังกช์ นั เพมิ่ [ x, y เพิ่มลดตามกัน]

ขอ้ สงั เกต 1. กราฟของฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ลผา่ นจดุ (0, 1) เสมอ เพราะเมอ่ื แทน x = 0
ใน y = ax = a0 = 1 และกราฟไมต่ ดั แกน x
2. a ตอ้ งไม่เทา่ กับ 1 เพราะเมอ่ื a = 1 ทาให้ y มีค่าคงที่

สมการเอกซ์โพเนนเชยี ล
หลกั การ

วิธที ่ี 1 การทาใหฐ้ านของเลขช้กี าลงั มคี ่าเทา่ กนั
- พยายามทาใหฐ้ านเหมอื นกนั Am = An จะไดว้ ่า m = n
- ถา้ Am = Bm และ A ≠ B จะไดว้ ่า m = 0
- แก้สมการเพื่อหาคาตอบตัวแปร
- ตรวจคาตอบ

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 29

วธิ ที ี่ 2 การแยกตวั ประกอบ
- กาหนดให้เลขยกกาลังเปน็ ตวั แปรใหม่
- แทนค่าตวั แปรในสมการเอกซโ์ พเนนเชียล
- แยกตวั ประกอบพหุนาม
- แก้สมการเพ่ือหาคา่ ตวั แปร
- ตรวจคาตอบ

อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

หลกั การ

1. ถ้า a > 1 (ฟังกช์ ันเพมิ่ ) และ am > an จะไดว้ ่า m > n

2. ถ้า 0 < a < 1 (ฟงั ก์ชนั ลด) และ am > an จะได้วา่ m < n

3. ถา้ หากฐานไมเ่ หมือนกัน แต่เลขชี้กาลงั เท่ากนั ให้ยา้ ยข้างไปหารแลว้ เปลยี่ นฐานให้เทา่ กนั

am < bm

am < 1
bm

(a)m < (a)0

bb

จากน้ันพิจารณาตัวฐานตาม 2 ขอ้ แรก

4. คาตอบทีไ่ ดไ้ มต่ ้องนามาตรวจคาตอบ ยกเวน้ มีการยกกาลงั คู่ ตอ้ งตรวจสอบเสมอ

ฟังกช์ นั ลอการทิ มึ เป็นฟังก์ชันอนิ เวอร์สของฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล
นิยาม เรียก f = {(x, y) ∈ R+ × R | y = loga x , a > 0, a ≠ 1} ว่า ฟังกช์ ันลอการิทึม

จากนิยามสรปุ ไดว้ ่า
1. ฐานของ log ตอ้ งเป็น R+ ท่ีไมใ่ ช่ 1
2. โดเมนของ log ตอ้ งเป็น R+
3. เรนจ์ของฟงั ก์ชนั คือ R
4. ถ้า a > 1 เรยี กฟงั กช์ ันเพ่ิม มีลักษณะดังกราฟ
5. ถ้า 0 < a < 1 เรียกฟงั กช์ นั ลด มี ลักษณะดังกราฟ
6. ฟงั กช์ ันลอการทิ มึ เป็นฟังก์ชันแบบหน่ึงต่อหนึง่

30

สมบตั ิของ

1. loga 1 = 0 6. logbn a = 1 logb a เมื่อ n ≠ 0
2. loga a = 1 (log1 1 ไมน่ ิยามนะจะ๊ ) n
3. loga mn = loga m + loga n
7. aloga x = x

8. alogb m = mlogb a

4. loga (m) = loga m − loga n 9. logb a = logm a เมอ่ื m > 0 และ m ≠ 1
logm b
n
10. 1
5. logb am = m logb a logb a = loga b

ลอการิทึมสามญั และลอการทิ ึมธรรมชาติ

Exล.3อกจางรหิทาึมคส่าขามอญัง logค1ือ420ลอการิทึมซง่ึ มฐี านเป็น 10 การเขียนลอการทิ ึมสามญั ไมต่ อ้ งเขียนฐาน 10 เชน่

log10 8 = log 8 ในทางกลับกนั ลอการิทึมทไี่ มเ่ ขียนฐานกากบั ไวก้ จ็ ะมีฐานเป็น 10 ในการหาคา่ ลอการิทึม
ของจานวนใดๆ สามารถใชส้ ญั กรณ์วทิ ยาศาสตรม์ าชว่ ยในการคานวณ โดยจัดให้จานวนซ่งึ ต้องการหา

คา่ ลอการิทมึ อยใู่ นรูปสญั กรณว์ ทิ ยาศาสตร์ เช่น การหาลอการิทมึ ของ x

โดยท่ี log A x = A × 10n
log x = log(A × 10n)
log x = log A + log 10n

log x = log A + n

คือ แมนทิสซา (mantissa)

n คือ แคแรกเทอรสิ ติก (characteristic)

ลอการิทึมธรรมชาติ คอื ลอการิทมึ ทฐี่ านเป็น e ซงึ่ มคี า่ ประมาณ 2.71828 ลอการิทมึ ธรรมขาตเิ ขียนในรปู

loge x = ln x

สมบตั ขิ องลอการิทึมธรรมชาติ 3. eln a = a
4. ln an = n ln a
1. ln e = 1
2. ln 1 = 0

เรยี นexpo-logแบบจัดเตม็ สแกนเลย →

สรปุ สตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 31

สมการลอการิทมึ
หลักการ

วิธีท่ี 1 ดา้ นหน่ึงของสมการอยใู่ นรูปลอการิทึม
- จัดให้ด้านหนง่ึ ของสมการอยู่ในรูปลอการิทมึ โดยด้านนนั้ ตอ้ งมลี อกการิทมึ เพียงจานวนเดียว สว่ นอีก
ด้านของสมการไมอ่ ยู่ในรปู ลอการทิ มึ
- ด้านหนึ่งของสมการซ่ึงอยู่ในรูปลอการิทมึ ให้ตดั ลอการทิ มึ และฐานของลอการทิ ึม
- อกี ด้านของสมการซ่ึงไมอ่ ยูใ่ นรปู ลอการิทมึ ให้นาฐานของลอการทิ มึ เปน็ ฐานของเลขยกกาลัง และนา
จานวนซึ่งไมอ่ ยู่ในรูปลอการทิ มึ เปน็ เลขช้ีกาลงั ของเลขยกกาลงั
- แกส้ มการเพอ่ื หาตัวแปร
- ตรวจคาตอบ

วิธที ่ี 2 สองดา้ นของสมการอยูใ่ นรูปลอการทิ ึม
- จดั ให้สองด้านของสมการอยู่ในรปู ลอการิทึมและทั้งสองดา้ นตอ้ งมลี อการิทมึ เพยี งจานวนเดยี ว
- จัดใหท้ งั้ สองดา้ นของลอการิทมึ ของท้งั สองดา้ นเปน็ ลอการิทมึ ซงึ่ มฐี านเดียวกนั โดยใช้สมบตั ขิ อง
ลอการทิ ึม
- ตัดลอการทิ มึ และฐานของลอการิทึมทั้งสองด้านทง้ิ
- แกส้ มการเพ่อื หาค่าตัวแปร
- ตรวจคาตอบ

อสมการลอการิทมึ
หลกั การ

- จัดใหฐ้ านของลอการิทึมมีคา่ เท่ากนั
- สรา้ งอสมการจากจานวนซึง่ ตดิ ค่าลอการิทึมโดยตดั ลอการิทึมและฐานของลอการิทมึ ทงั้ สองด้านออก

กรณฟี ังก์ชนั เพ่มิ สรา้ งอสมการโดยให้เครอ่ื งหมายของอสมการเป็นเครอ่ื งหมายเดมิ
กรณีฟงั ก์ชนั ลด สรา้ งอสมการโดยกลับเคร่ืองหมายของอสมการให้ตรงข้ามกบั
เครอ่ื งหมายเดิม
- แกอ้ สมการเพอ่ื หาค่าตัวแปร, นาส่งิ ท่อี ยหู่ ลงั log จับมากกว่า 0 และนาสิง่ ท่เี ป็นฐานจบั มากกว่า 0
แต่ไมเ่ ทา่ กับ 1 จากนั้นนาคาตอบมาอินเตอรเ์ ซคกัน
- ตรวจคาตอบ

32

เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย

จุดก่ึงกลางระหวา่ งจดุ สองจดุ คือ = + , = +


ระยะหา่ งระหว่างจุด จดุ คือ d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = √(∆x)2 + (∆y)2
การหาพ้นื ทรี่ ปู n เหล่ียมใดๆ

(x3, y3)

(x4, y4) (x2, y2)

(xn, yn) (x1, y1)

เครอื่ งหมายเปล่ยี น

พน้ื ทรี่ ปู n เหล่ยี ม = 1∙| x1 x2 x3 x4 … xn x1 |
y1 y2 y3 y4. . . yn y1
2

เครื่องหมายเดิม

= 1 [(x2y1 + x3y2 + x4y3 + ⋯ + x1yn) − (x1y2 + x2y3 + x3y4 + ⋯ + xny1)]
2

ความชันของเส้นตรง
- m = tan θ เมื่อ θ คอื มมุ ทีว่ ดั จากแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

θ
- m = y2−y1

x2−x1

(x1, y1) (x2, y2)

สรุปสตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 33

การหาสมการเส้นตรง : ต้องหา ความชัน และ จุดผา่ น 1 จุด แลว้ เข้าสู่สมการ

y − y1 = m(x − x1)

รปู แบบมาตรฐาน รูปแบบท่ัวไป

y = mx + c Ax + By + C = 0

ความชัน = m และระยะตดั แกน y = c ความชัน = − A
B
การหาจุดตดั แกน x ใหแ้ ทน y = 0 แลว้ หาว่า x จะเปน็ เท่าใด
การหาจดุ ตัดแกน y ใหแ้ ทน x = 0 แลว้ หาว่า y จะเปน็ เท่าใด

สิง่ ท่ตี อ้ งรู้ ! ถ้า ℓ1 และ ℓ2 เป็นเส้นตรงทีไ่ มข่ นานกับแกน y แล้ว
1. ℓ1 ∥ ℓ2 ก็ตอ่ เม่ือ m1 = m2
2. ℓ1 ⊥ ℓ2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = −1

มุมระหวา่ งเสน้ ตรง

ให้ θ เปน็ มุมระหวา่ งเสน้ ตรง ℓ1 กบั ℓ2 จะไดว้ า่ tan θ = m2−m1

1+m1m2

ℓ1
ℓ2

34

ระยะห่างระหว่างจดุ ถงึ เสน้ ตรง

= | + + |
√ +

หมายเหตุ : d คอื ระยะต้ังฉากท่ีสั้นทสี่ ุดจากจดุ P(x1, y1) ถึงเส้นตรง Ax + By + C = 0
ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรง 2 เส้น

= | − | = | − |
√ + √ +

***เสน้ ตรง ตอ้ งขนานกับเสน้ ตรง
วงกลม

สมการวงกลมรปู แบบมาตรฐานคอื (x − h)2 + (y − k)2 = r2 โดยมีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (h, k)
และมรี ศั มีวงกลมเท่ากบั r
หรอื
สมการวงรปู แบบท่วั ไป คือ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 โดยมีจดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ (ี่ − A , − B)

22

และรัศมีวงกลมเทา่ กบั 1 √A2 + B2 − 4C = √h2 + k2 − C
2

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 35

พาราโบลา

(x − h)2 = ±4c(y − k)

จุดยอด คือ (h, k)
จดุ โฟกัส คอื (h, k + c)
สมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ คอื y = k − c
ระยะหา่ งระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์ คอื 2|c|
เลตสั เรกตมั (Latus rectum) ยาว 4c

(y − k)2 = ±4c(x − h)

จุดยอด คือ (h, k)
จุดโฟกสั คอื (h + c, k)
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ คอื x = h − c
ระยะห่างระหว่างโฟกัสและไดเรกตรกิ ซ์ คือ 2|c|
เลตสั เรกตัม (Latus rectum) ยาว 4c

36 จุดศูนยก์ ลาง คือ (h, k)
จดุ ยอด คือ (h − a, k) และ (h + a, k)
วงรี จดุ โฟกสั คือ (h − c, k) และ (h + c, k)
แกนเอกอยบู่ นเสน้ ตรง y = k ยาว 2a
(x − h)2 (y − k)2 แกนโทอย่บู นเสน้ ตรง x = h ยาว 2b
a2 + b2 = 1 เลตสั เรกตัม ยาว = 2b2 หนว่ ย

a

ความเย้อื งศูนยก์ ลาง (Exxentricity) e = c (0 < e < 1)
a

จดุ ศูนย์กลาง คือ (h, k)
จดุ ยอด คือ (h, k − a) และ (h, k + a)
จุดโฟกสั คือ (h, k − c) และ (h, k + c)
แกนเอกอยู่บนเส้นตรง x = h ยาว 2a
แกนโทอยบู่ นเส้นตรง y = k ยาว 2b
เลตสั เรกตัม ยาว = 2b2 หนว่ ย

a

ความเยือ้ งศูนยก์ ลาง (Exxentricity) e = c (0 < e < 1)
a

(y − k)2 (x − h)2
a2 + b2 = 1

ควรรู้ ! เม่อื จุด P เป็นจุดใดๆทอี่ ยบู่ นวงรี ระยะจาก P ไปยงั F1 บวกกบั ระยะจาก P ไปยัง F2 จะเทา่ กบั 2a

+ =

สมการไฮเพอร์โบลา สรุปสตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 37
(x − h)2 (y − k)2
a2 − b2 = 1

จุดศนู ยก์ ลาง คือ (h, k)

จดุ ยอด คือ (h − a, k) และ (h + a, k) เรยี ก AA′ วา่ แกนตามขวาง ยาว 2a

เรียก BB′ ว่า แกนสงั ยุค ยาว 2b

จดุ โฟกัส คือ (h − c, k) และ (h + c, k)

เรยี ก ℓ และ ℓ′ ว่า เส้นกากับ (asymptote) มสี มการเป็น y − k = ± b (x − h)
a

(y − k)2 (x − h)2
a2 − b2 = 1

38

จดุ ศูนย์กลาง คือ (h, k)

จุดยอด คือ (h, k − a) และ (h, k + a) เรียก AA′ ว่า แกนตามขวาง ยาว 2a

เรยี ก BB′ วา่ แกนสังยุค ยาว 2b

จุดโฟกสั คือ (h, k − c) และ (h, k + c) (ระยะโฟกัส = √a2 + b2 = c )

เรยี ก ℓ และ ℓ′ วา่ เสน้ กากบั (asymptote) มีสมการเป็น y − k = ± a (x − h)
b

ควรรู้ ! เมอื่ จุด P เปน็ จดุ ใดๆทีอ่ ยู่บนไฮเพอรโ์ บลา ระยะจาก P ไปยัง F1 ต่างจาก ระยะจาก P ไปยงั F2
จะเท่ากับ 2a

| − | =

เรียนเรขาคณิตวิเคราะห์แบบจดั เต็มสแกนเลย →

เรยี นภาคตัดกรวยแบบจดั เต็มสแกนเลย →

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 39

เมทริกซ์

1. ขนาด (มติ )ิ ของเมทริกซ์

1470

เชน่ A = [2 5 8 1] จะได้ว่า เมทริกซ์ A มีขนาด 3 × 4

3692

2. สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์

หรืออาจเขยี นเปน็ A = [aij ]

จะเห็นว่า a11 m×n สมาชกิ ของเมทริกซ์ A ในแถวท่ี 1 หลักท่ี 1
หมายถงึ สมาชิกของเมทริกซ์ A ในแถวท่ี 1 หลกั ท่ี 2
สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ในแถวท่ี 3 หลักที่ 2
a12 หมายถึง
⋮ ⋮⋮
a32 หมายถึง
สมาชิกของเมทริกซ์ A ในแถวท่ี i หลกั ที่ j
⋮⋮

aij หมายถึง

3. การบวกและลบเมทรกิ ซ์

1. หา A ± B ได้ เม่ือขนาดของ A = ขนาดของ B

2. การหาผลลัพธ์ A ± B ใหน้ าสมาชกิ ในตาแหน่งเดยี วกนั มาบวกหรือลบกนั

เชน่ [−51 02] + [−12 −11] = [−51+−12 0 − 11] = [−63 −31]
2 +

40

4. การคูณเมทริกซ์ดว้ ยสเกลาร์
คือ การนาคา่ คงทีน่ ัน้ คูณทุกสมาชิกในเมทรกิ ซน์ ่ันเอง

เช่น 2 [−51 20] = [−102 04]

5. ทรานสโพสของเมทรกิ ซ์

คอื การนาเมทรกิ ซ์มาสลบั แถวเปน็ หลกั สลบั หลกั เป็นแถว

เชน่ A = [41 2 36] จะได้ 1 4
5 At = [2 5]
6
3

สมบัตกิ ารทรานสโพสของเมทรกิ ซ์

1. (At)t = A

**2. (A ± B)t = At ± Bt

3. (AB)t = BtAt

**4. (kA)t = kAt

5. (An)t = (At)n

6. การคณู เมทริกซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์

1. AB หาผลคณู ไดก้ ต็ ่อเมือ่ จานวนหลกั ของ A = จานวนแถวของ B

2. ถ้า AB หาผลคณู ได้แล้ว ขนาดของ AB = จานวนแถวของ A × จานวนหลกั ของ B

เช่น A = [10 12] และ B = [31 20] จะได้ AB = [((01))((11)) + (2)(3) (1)(0) + ((12))((22))] = [37 24]
+ (1)(3) (0)(0) +
- และ ไม่จาเปน็ ต้องเทา่ กัน

7. ดเี ทอร์มแิ นนต์
เมทรกิ ซ์ขนาด ×

กาหนด A = [a] จะได้วา่ det A = a

เช่น A = [4] ∴ det A = 4

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 41

เมทริกซข์ นาด × เปลี่ยนเคร่อื งหมายไดเ้ ท่ากบั −bc
กาหนด A = [ac db] จะไดว้ า่ det A = ad − bc
เครอื่ งหมายเดิมได้เท่ากับ ad

เช่น A = [31 42] ∴ det A = 4 − 6 = −2

เมทริกซข์ นาด ×

abc

กาหนด A = [d e f] ใหเ้ พ่ิมหลักท่ี 1 และหลกั ท่ี 2 ตอ่ ทา้ ยหลกั ท่ี 3 ตามลาดับ

ghi

เครื่องหมายเปลยี่ น

a b ca b
= |d e f| d e

g h ig h

เครอื่ งหมายเดิม

det A = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb

1 1 11 1

เช่น |2 3 4| 2 3 = 21 + 20 + 12 − 15 − 24 − 14 = 0

5 6 75 6

a11 a12 a13 aa2333| + (−1)1+3a13 |aa2311 aa3222|

หรอื ใช้วธิ กี ระจายตามแถว A = [a21 a22 a23] จะไดว้ า่

a31 a32 a33
det(A) = (−1)1+1a11 |aa2322 aa3233| + (−1)1+2a12 |aa3211

ตอ้ งรู้ !! ถา้ A = B แล้ว det A = det B แต่ถา้ det A = det B แลว้ ไม่สามารถสรปุ ได้วา่ A = B

คณุ สมบัตทิ สี่ าคญั ของดเี ทอรม์ แิ นนต์

1. det(AB) = det A ∙ det B
2. det(A−1) = 1 ; det A ≠ 0

det A

3. det(At) = det A
4. det(kA) = kn ∙ det A เมอ่ื n คือ มิติของเมทรกิ ซ์
5. det(An) = (det A)n

42

คุณสมบัติอื่นๆ ของดีเทอรม์ แิ นนต์

1. ถ้าสมาชิกของเมตริกซท์ ก่ี าหนดใหม้ ีแถวใดแถวหน่ึง หรอื หลกั ใดหลกั หน่ึงเป็น 0 ทั้งหมด det ของเมทรกิ ซน์ ้นั เทา่ กับ 0

234 104
|2 0 5| = 0
เชน่ |0 0 0| = 0 306

126

2. ถ้าสมาชิกของเมทริกซท์ ่กี าหนดให้ในสองแถวใด หรอื สองหลกั ใดเท่ากัน det ของเมทรกิ ซน์ น้ั เทา่ กับ 0

123 114
|2 2 5| = 0
เชน่ |4 4 6| = 0

123 336

3. ถ้าเมทริกซ์ B เกดิ จากการสลบั แถวคูใ่ ดคูห่ นงึ่ หรือหลักคใู่ ดคหู่ นึ่งของเมทรกิ ซ์ A จะไดว้ ่า det B = − det A

123 213
เชน่ A = [4 5 6] และ B = [5 4 6] จะได้ det B = − det A

789 879

4. ถ้านาคา่ คงทคี่ ณู เขา้ det หรอื ดงึ ออกจาก det ตอ้ งเลอื กกระทาจากแถวเดยี วหรือหลักเดยี วเท่านน้ั

เชน่ |ac db| = 2 ∶ 2 |ac db| = 2(2) ∶ |2ca 2db| = 4

|3ac 3bd| = 6 ∶ 3 |ac db| = 6 ∶ |ac db| = 2

5. ถา้ นาคา่ คงทีค่ ณู แถวใดแถวหนึ่งหรอื หลักใดหลกั หนงึ่ แลว้ นาไปบวกกบั แถวหรอื หลักอีกอนั หน่งึ จะเกิดเมทริกซใ์ หมซ่ ึ่งมี

ค่า det เท่าเดมิ

เช่น |13 42| = −2 2R2 + R1 |2(3)3+ 1 2(4) + 2| = |37 140| = −2
4

|20 03| = 6 3C2 + C1 |33((03)) + 2 30| = |92 03| = 6
+ 0

8.อินเวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์
AA−1 = I = A−1A คูณกนั แลว้ ได้เมทริกซเ์ อกลักษณ์

เมทริกซ์ขนาด ×
นิยาม A = [a] จะได้ A−1 = [1] ; a ≠ 0

a

เมทรกิ ซ์ขนาด ×

นิยาม A = [ac db] จะได้ A−1 = 1 [−dc −ab] ; det A ≠ 0
det A

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 43

สมบตั อิ ินเวอรส์ ของเมทริกซ์
1. (A−1)−1 = A
**2. โดยปกติ (A ± B)−1 ≠ A−1 ± B−1
3. (AB)−1 = B−1A−1
**4. (kA)−1 = 1 A−1 , k ≠ 0

k

5. (An)−1 = (A−1)n

ตอ้ งรู้ !! 1. A เป็น Singular Matrix (เมทริกซเ์ อกฐาน) เม่ือ A ไมส่ ามารถหา A−1 ได้ (det A = 0)
2. A เป็น Non-Singular Matrix (เมทริกซม์ ใิ ชเ่ อกฐาน) เมื่อ A สามารถหา A−1 ได้ (det A ≠ 0)

9.ระบบสมการเชิงเสน้ … … … … … . . (1)
… … … … … . . (2)
a11 + a12y + a13z = b1 … … … … … . . (3)
a21 + a22y + a23z = b2
a31 + a32y + a33z = b3

เราสามารถเขยี นสมการให้อยใู่ นรูปเมทริกซไ์ ดด้ งั นี้

a11 a12 a13 x b1

[a21 a22 a23] [y] = [b2]
a31 a32 a33 z
b3

A ∙X=B

เรียก เมทรกิ ซ์ A วา่ เมทริกซ์สมั ประสิทธ์ิ

X ว่า เมทริกซ์ตวั แปร

B ว่า เมทริกซค์ า่ คงท่ี

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น

1. แก้ด้วยวธิ ีกาจดั ตวั แปร (ม.3)

2. แกด้ ้วยอนิ เวอร์สการคูณ AX = B จะได้วา่ X = A−1B

3. แกด้ ้วยกฎของคราเมอร์ AX = B

จะได้วา่ คาตอบเปน็ ดงั นี้ x1 = det A1
det A

x2 = det A2
det A
det A3
x3 = det A

โดยท่ี An แทนเมทรกิ ซท์ เ่ี กดิ จากการนาเมทรกิ ซ์คา่ คงท่ีแทนในหลักที่ n ของเมทรกิ ซ์ A

44

ต้องรู้ !! 1. ถ้า det A ≠ 0 จะไดว้ ่าระบบสมการเชงิ เส้นมคี าตอบชุดเดียว
2. ถ้า det A = 0 จะได้วา่ ระบบสมการเชงิ เสน้ อาจมคี าตอบมากมายนบั ไมถ่ ว้ น หรอื อาจไม่มคี าตอบเลย

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นดว้ ยวิธี Row – Operation

การดาเนนิ การตามแถว (Row Operation)
คือการดาเนนิ การอยา่ งใดอย่างหน่งึ ต่อไปนี้

1. สลับท่รี ะหว่างแถวท่ี i กบั แถวที่ j เม่อื i ≠ j เขยี นแทนดว้ ย Rij
2. คณู แถวที่ i ด้วยจานวนจริง c ≠ 0 เขียนแทนด้วย cRi
3. แทนทีแ่ ถวที่ i ดว้ ยผลบวกของแถวท่ี i กับ c เท่าของแถวท่ี j โดยที่ c ≠ 0 เขียนแทนด้วย Ri + cRj

ขนั้ ตอน 1. นาระบบสมการมาสร้างเป็นเมทรกิ ซแ์ ต่งเติม

a11 a12 a13 ⋮ b1
[A ⋮ B] = [a21 a22 a23 ⋮ b2]

a31 a32 a33 ⋮ bn

2. ใหท้ า [A ⋮ B] ด้วย Row Operation จนทาให้ A เป็นเมทรกิ ซ์เอกลักษณ์
3. ผลลพั ธ์ทีไ่ ดต้ รงฝั่งตาแหน่งทเี่ ปน็ เมทริกซ์ B จะคอื คาตอบ

เรยี นเมทริกซ์แบบจัดเตม็ สแกนเลย →

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 45

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

พ้นื ฐานของตรโี กณ

a เรยี กวา่ ด้านตรงข้ามมุม A (ขา้ ม)
b เรยี กว่า ด้านประชดิ มุม A (ชดิ )
c เรยี กวา่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฉาก)

1. sin A = a , csc A = c
ca
sin A csc A = 1, sin A = 1 , csc A = 1
csc A sin A

2. cos A = b , sec A = c
cb
cos A sec A = 1, cos A = 1 , sec A = 1
sec A cos A

3. tan A = a , cot A = b
ba
tan A cot A = 1, tan A = 1 , cot A = 1
cot A tan A

4. tan A = sin A , cot A = cos A
cos A sin A

5. sin2A + cos2A = 1, sec2A − tan2A = 1, csc2A − cot2A = 1

6. sin A = cos(90° − A), tan A = cot(90° − A) , sec A = csc(90° − A)

46 0° 30° 37° 45° 53° 60° 90°
มุม
sin 0 1 3 √2 4 √3 1
cos 25252
tan
1 √3 4 √2 3 1 0
2525 2

013 1 4 √3 หาคา่ ไม่ได้
√3 4 3

การเปลี่ยนหนว่ ย
มมุ ในหน่วย θ เรเดียน จะได้ θ = a

r

2π เรเดียน เท่ากับ 360°
π เรเดียน เท่ากับ 180°

การเปล่ียนหนว่ ยองศาเปน็ เรเดยี น π π
มมุ ในหนว่ ยเรเดยี น = มมุ ในหน่วยองศา × π เรเดยี น 30° = 6 60° = 3

180 π π
45° = 4 90° = 2
การเปลยี่ นหนว่ ยเรเดยี นเป็นองศา
มมุ ในหนว่ ยองศา = มมุ ในหน่วยเรเดยี น × 180 องศา มมุ ทีใ่ ชบ้ ่อย

π

ติวพ้นื ฐานตรีโกณแบบจัดเตม็ สแกนเลย →