cover สรุปสูตรเลขม.ปลาย

สรุปสตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 47

วงกลมหน่งึ หนว่ ย

ฟงั ก์ชันของมมุ รอบจุดศนู ยก์ ลาง (Circular function)
1. ถ้าเป็นมมุ แกนราบใชส้ ูตร
fnTri [ แกนราบ ±θ ] = fnTri[θ]

2. ถ้าเป็นมมุ แกนดง่ิ ใชส้ ูตร
fnTri [ แกนดง่ิ ±θ ] = Co − fnTri[θ]

* ดูเครือ่ งหมายให้ ดูตวั เดมิ
* ต้องมอง θ เป็นมมุ แหลมเสมอ

48

สูตรของตรโี กณมิติ

มมุ ประกอบ (Compound Angle)

1. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B , sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

2. cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B , cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

3. tan(A + B) = tan A+tan B , tan(A − B) = tan A−tan B
1−tan A tan B
1+tan A tan B
4. cot(A + B) = cot A cot B−1
cot A+cot B , cot(A − B) = cot A cot B+1

cot B−cot A

มุม 2 เท่า (Double Angle) มมุ 3 เท่า (Triple Angle)
9. sin 3A = 3 sin A − 4sin3A
5. sin 2A = 2 sin A cos A

= 2 tan A
1+tan2A

6. cos 2A = cos2A − sin2A 10. cos 3A = 4cos3A − 3 cos A

= 2cos2A − 1 11. tan 3A = 3 tan A−tan3A
1−3tan2A
= 1 − 2sin2A

= 1−tan2A
1+tan2A
12. cot 3A 3 cot A−cot3A
= 1−cot2A

7. tan 2A = 2 tan A
1−tan2A

8. cot 2A = cot2A−1

2 cot A

มมุ คร่งึ เทา่
13. sin A = ±√1−cos A

22

14. cos A = ±√1+cos A
22

15. tan A = ±√1−cos A
2 1+cos A

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 49

ผลบวก, ผลตา่ ง, และผลคูณ (Sum, Difference, and Product)
16. sin A + sin B = 2 sin (A+B) cos (A−B)

22

17. sin A − sin B = 2 cos (A+B) sin (A−B)
22

18. cos A + cos B = 2 cos (A+B) cos (A−B)
22

19. cos A − cos B = −2 sin (A+B) sin (A−B)
22

20. 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B)

21. 2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B)

22. 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)

23. 2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)

เสริมอาวธุ

sin 3A
sin(60° − A) sin A sin(60° + A) = 4

cos 3A
cos(60° − A) cos A cos(60° + A) = 4
tan(60° − A) tan A tan(60° + A) = tan 3A
cot(60° − A) cot A cot(60° + A) = cot 3A

ค่าต่าสดุ - สงู สดุ ของ +
คา่ ต่าสดุ ของ A sin θ + B cos θ = −√A2 + B2
ค่าสงู สุดของ A sin θ + B cos θ = √A2 + B2

50

สามเหลี่ยมทองคา

sin15° = √3−1 cos15° = √3+1

2√2 2√2

tan15° = √3−1 = 2 − √3 cot15° = √3+1 = 2 + √3
√3+1 √3−1

sin22.5° = 1 √2 − √2 cos22.5° = 1 √2 + √2
2 2

tan22.5° = √2 − 1 cot22.5° = √2 + 1

กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ
1. กราฟของฟงั กช์ ัน y = sin x

แอมพลจิ ดู = 1 (max − min)
2

โดเมน คือ R
เรนจ์ คือ [−1,1]

คาบ

2. กราฟของฟังกช์ นั y = cos x สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 51
3. กราฟของฟังก์ชนั y = tan x
4. กราฟของฟงั ก์ชัน y = cosec x โดเมน คือ R
เรนจ์ คือ [−1,1]

โดเมน คือ R − คี่π
2

เรนจ์ คือ R

โดเมน คอื R − {nπ}
เรนจ์ คอื (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

52

5. กราฟของฟงั ก์ชัน y = sec x

โดเมน คอื R − ค่ีπ
2

เรนจ์ คือ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

6. กราฟของฟงั กช์ นั y = cot x

โดเมน คอื R − {nπ}
เรนจ์ คือ R

สรุปพิฆาตกราฟตรีโกณในรปู ทวั่ ไป คา่ ต่าสุด ค่าสูงสดุ คาบ
กราฟ แอมพลิจูด
−|A| |A| 2π
y = A sin(Bx + C) |A| |B|

y = A cos(Bx + C) |A| −|A| |A| 2π
y = A tan(Bx + C) |B|
หาคา่ ไม่ได้ หาคา่ ไมไ่ ด้ หาคา่ ไม่ได้
π
|B|

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 53

ตารางสรุปอนิ เวอรส์ ของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ โดเมนของ เรนจข์ องฟงั กช์ ัน
ฟังกช์ ัน อนิ เวอร์สของ ฟังก์ชนั อินเวอรส์ ฟังก์ชันอนิ อินเวอร์ส
ตรโี กณมิติ ฟงั กช์ นั
เวอรส์

y = sin x x = sin y y = arcsin(x) หรือ [−1,1] ππ
[− 2 , 2]
y = sin−1 x

y = cos x x = cos y y = arccos(x) [−1,1] [0, π]

หรอื y = cos−1 x

y = tan x x = tan y y = arctan(x) R ππ
(− 2 , 2)
หรือ y = tan−1 x

y = cot x x = cot y y = arccot(x) R (0, π)

หรอื y = cot−1 x

y = sec x x = sec y y = arcsec(x) R − (−1,1) [0, π] − π
{2}
หรือ y = sec−1 x

y = csc x x = csc y y = arccsc(x) R − (−1,1) [− π , π − {0}
2 2]
หรอื y = csc−1 x

เรยี นตรโี กณแบบจัดเต็มสแกนเลย →

54 4. cot(cot−1 x) = x , x ∈ R

กฎการสลาย cot−1(cot x) = x , x ∈ (0, π)
1. sin(sin−1 x) = x , x ∈ [−1,1]
5. sec(sec−1 x) = x , x ∈ R − (−1,1)
sin−1(sin x) = x , x ∈ [− π , π]
sec−1(sec x) = x , x ∈ [0, π] − {π}
22
2
2. cos(cos−1 x) = x , x ∈ [−1,1]
6. csc(csc−1 x) = x , x ∈ R − (−1,1)
cos−1(cos x) = x , x ∈ [0, π]
csc−1(csc x) = x , x ∈ [− π , π] − {0}
3. tan(tan−1 x) = x , x ∈ R
22
tan−1(tan x) = x , x ∈ (− π , π)

22

กฎการยบุ arc
1. arctan(x) + arctan(y) = arctan ( x+y ) , xy < 1

1−xy

2. arctan(x) + arctan(y) = arctan ( x+y ) + π , xy > 1, x > 0 , y > 0
1−xy

3. arctan(x) + arctan(y) = arctan ( x+y ) − π , xy > 1, x < 0 , y < 0
1−xy

4. arctan(x) − arctan(y) = arctan ( x−y ) , xy > −1
1+xy

กฎของ sine (Law of sine) กฎของ cosine (Law of cosine)

abc a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
sin A = sin B = sin C = 2R b2 = c2 + a2 − 2ca cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
เม่อื R เปน็ รัศมขี องวงกลมท่ีลอ้ มรอบ ∆ABC

กฎของโปรเจคชัน และพ้นื ทสี่ ามเหลยี่ ม

a = b cos C + c cos B

พ.ท. ∆ = 1 ab sin C
2

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 55

เวกเตอร์

ปรมิ าณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปรมิ าณทม่ี ีแต่ขนาดอยา่ งเดียว ซง่ึ สามารถเขียนแทน
ด้วยจานวนจริง เพ่อื บอกให้ทราบวา่ มคี ่ามากน้อยเพียงใด เช่น พื้นท่ี, ปริมาตร, อณุ หภูม,ิ เวลา, มวล,
อตั ราเร็ว, อตั ราเรง่ ฯลฯ

ปรมิ าณเวกเตอร์ (vector quantity) คอื ปริมาณทมี่ ที งั้ ขนาดและทิศทาง เวลาระบุต้องบอกทง้ั
ขนาดและทศิ ทาง ถงึ จะได้ความหมายท่ีชดั เจน สมบรู ณ์ เช่น แรง, การกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง ฯลฯ

เวกเตอร์ คอื ปรมิ าณที่บอกท้ังขนาดและทิศทาง เราเขียนส่วนของเสน้ ตรงแทนขนาดเวกเตอร์ และหัว
ลูกศรแทนทศิ ทาง

- ชนาดของเวกเตอร์ คือ ความยาวของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | หรือ |u⃗ |

BC

u⃗ D
v⃗

A

⃗A⃗⃗⃗B⃗ เปน็ เวกเตอรจ์ าก A ไป B หรือ u⃗ มีขนาด |A⃗⃗⃗⃗B⃗ | = |u⃗ |
C⃗⃗⃗⃗D⃗ เปน็ เวกเตอรจ์ าก C ไป D หรือ ⃗v มีขนาด |⃗C⃗⃗⃗D⃗ | = |v⃗ |

เวกเตอรท์ เ่ี ท่ากัน
⃗u เท่ากบั ⃗v กต็ ่อเมอื่ เวกเตอร์ทั้งสองมขี นาดเท่ากนั และมีทศิ เดยี วกนั เขียนแทนดว้ ย u⃗ = ⃗v

B DE G

⃗u v⃗ a⃗ ⃗b

AC F H

จากรูป ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = C⃗⃗⃗⃗D⃗ หรือ ⃗u = v⃗ และ E⃗⃗⃗⃗F = ⃗G⃗⃗⃗H⃗ หรอื ⃗a = ⃗b

56

นิเสธของเวกเตอร์
นเิ สธของ u⃗ คอื เวกเตอรท์ ม่ี ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ u⃗ แต่มที ิศทางตรงข้ามกับทศิ ทางของ ⃗u เขยี นแทนด้วย −⃗u

B B
⃗u -⃗u

AA

การบวกเวกเตอร์ ⃗u
แบบหางตอ่ หวั
w⃗⃗⃗ v⃗
w⃗⃗⃗ ⃗u

v⃗ v⃗ w⃗⃗⃗
⃗u

“หางต่อหัว ลากเส้นปดิ ทิศลพั ธ์อยู่ทห่ี วั ”

แบบหางต่อหาง v⃗ v⃗
⃗u
⃗v หu⃗างต่อหัว
⃗u หางตอ่ หาง

การลบเวกเตอร์ ⃗u สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 57
แบบกลบั ทิศตวั ลบ −v⃗
-⃗u
v⃗ จะได้ว่า v⃗

u⃗ ⃗v
⃗u −u⃗

−⃗v

แบบหางต่อหาง

⃗v จะไดว้ ่า v⃗ u⃗ − ⃗v

⃗v − u⃗

u⃗ u⃗

“หางต่อหาง ลากเส้นปิด ทิศลพั ธ์อยทู่ ี่ตวั ต้งั ”

สมบัตกิ ารบวกเวกเตอร์ (สมบตั ิปดิ )
(สมบัติการสลับท)่ี
ให้ ⃗u, v⃗ และ w⃗⃗⃗ เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ (สมบัตกิ ารเปลย่ี นกลุ่ม)
1. u⃗ + ⃗v เปน็ เวกเตอรใ์ นระนาบ (สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์)
2. ⃗u + ⃗v = v⃗ + ⃗u (สมบตั ิการมีอนิ เวอรส์ )
3. u⃗ + (⃗v + ⃗w⃗⃗ ) = (u⃗ + ⃗v) + w⃗⃗⃗ (สมบัติการบวกดว้ ยเวกเตอร์ทีเ่ ทา่ กนั )
4. 0⃗ + ⃗u = u⃗ + ⃗0 = ⃗u
5. ⃗u + (−⃗u) = (−u⃗ ) + u⃗ = 0⃗
6. ถ้า u⃗ = v⃗ แลว้ ⃗w⃗⃗ + ⃗u = w⃗⃗⃗ + v⃗

58

เวกเตอรศ์ นู ย์ (Zero vector)
เวกเตอร์ศนู ย์ คอื เวกเตอร์ท่มี ขี นาดเท่ากบั ศนู ย์ เขียนแทนสัญลกั ษณด์ ้วย 0⃗

ซึง่ กค็ ือ เวกเตอร์ทีม่ จี ุดเริ่มตน้ และจดุ สิน้ สดุ เปน็ จุดเดยี วกนั
Ex. A⃗⃗⃗⃗A⃗ = 0⃗ , B⃗⃗⃗⃗B⃗ = 0⃗ , C⃗⃗⃗C⃗ = ⃗0

CD

C

AB AB

จากรปู A⃗⃗⃗⃗B⃗ + ⃗B⃗⃗⃗C⃗ + C⃗⃗⃗⃗A⃗ = ⃗0 จากรูป ⃗A⃗⃗⃗B⃗ + B⃗⃗⃗⃗⃗C + C⃗⃗⃗⃗D⃗ + ⃗D⃗⃗⃗A⃗ = 0⃗

การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

ให้ a เป็นสเกลาร์ และ ⃗u เป็นเวกเตอร์ ผลคณู ของเวกเตอร์ u⃗ ด้วยสเกลาร์ a เขียนแทนด้วย a⃗u โดยท่ี
1. ถา้ a = 0 แลว้ a⃗u = ⃗0
2. ถ้า a > 0 แลว้ au⃗ จะมขี นาดเท่ากับ |a||u⃗ | และมีทศิ เดียวกบั ⃗u
3. ถ้า a < 0 แล้ว a⃗u จะมีขนาดเท่ากบั |a||u⃗ | แต่มที ิศตรงข้ามกับ u⃗

4 หนว่ ย

2 หนว่ ย จะไดว้ า่ 1 หน่วย 2⃗u
−3u⃗
u⃗ 1
2 ⃗u

6 หนว่ ย

สมบัตกิ ารคณู เวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์

ให้ u⃗ , ⃗v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ และ a, b เป็นจานวนจรงิ (สเกลาร์)

1. au⃗ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปดิ )

2. a(bu⃗ ) = (ab)u⃗ (สมบตั ิการเปล่ยี นกลุ่ม)

3. (a + b)u⃗ = au⃗ + bu⃗ (สมบัติการแจกแจง)

a(u⃗ + v⃗ ) = a⃗u + a⃗u

4. 1u⃗ = ⃗u และ 0u⃗ = u⃗ 0 = ⃗0

สรุปสตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 59

ทฤษฎีบทที่สาคัญ

ทฤษฎบี ทท่ี 1 สาหรับ u⃗ , ⃗v ท่ีไมเ่ ท่ากบั ⃗0
⃗u จะขนานกบั ⃗v กต็ อ่ เมือ่ มจี านวนจริง a ท่ีไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ท่ีทาให้ ⃗u = av⃗

ทฤษฎีบทที่ 2 สาหรบั ⃗u, ⃗v ทไี่ ม่เท่ากบั ⃗0 และ u⃗ ไมข่ นานกับ v⃗
ถา้ au⃗ + bv⃗ = 0⃗ แลว้ จะได้ a = 0 และ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 3 สาหรบั u⃗ , ⃗v ทไี่ มเ่ ทา่ กับ ⃗0 และ u⃗ ไม่ขนานกับ v⃗
ถ้า ⃗w⃗⃗ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ เราย่อมเขยี น w⃗⃗⃗ ในรูป u⃗ และ ⃗v ได้เสมอ
น่ันคอื ⃗w⃗⃗ = a⃗u + bv⃗

หมายเหตุ : u⃗ , ⃗v ขนานกนั หมายถงึ ⃗u กับ ⃗v มีทศิ ทางเดยี วกัน หรอื มีทิศตรงขา้ มกนั

จดุ แบ่งภายในสามเหลี่ยม

⃗w⃗⃗ = m 1 n (n⃗u + m⃗v)
+

เวกเตอร์ในระบบพกิ ันฉาก (2 มติ ิ)

ถ้ามเี วกเตอร์ทม่ี ีจดุ เร่ิมต้น A(x1, y1) และมจี ดุ สน้ิ สดุ B(x2, y2) จะไดว้ ่า

⃗A⃗⃗⃗B⃗ = [yx22 − xy11] = [ba] หรอื (a, b)
−

ขนาดของเวกเตอร์ |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = √a2 + b2

Ex. กาหนด A(2, 3) และ B(5,6)

∴ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = [65 − 32] = [33]
−

ความชันของเวกเตอร์

เวกเตอร์ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ท่มี ี A(x1, y1) เปน็ จุดเริ่มตน้ และ B(x2, y2) เปน็ จดุ สิ้นสดุ

ความชันของเวกเตอร์ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ (mA⃗⃗⃗⃗⃗B⃗ ) = y2−y1 = b
x2−x1 a

60

ต้องร!ู้ !
กาหนด ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = [ba] และ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ = [dc] จะได้วา่

1. ถา้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ ขนานกับ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ (⃗A⃗⃗⃗B⃗ ∥ C⃗⃗⃗⃗D⃗ ) จะไดว้ า่ b = d
ac

2. ถา้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ ตง้ั ฉากกบั C⃗⃗⃗⃗D⃗ (⃗A⃗⃗⃗B⃗ ⊥ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ ) จะได้ว่า (b) (d) = −1
ac

นิยามตา่ งๆ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ
บทนิยาม
การเทา่ กนั [ba] = [dc] กต็ อ่ เมอื่ a = c และ b = d

การบวกเวกเตอร์ [ba] + [dc] = [ba + dc ]
เวกเตอรศ์ ูนย์ +

นเิ สธของเวกเตอร์ [00]
การลบเวกเตอร์
การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ นิเสธของ [ba] คอื − [ba] = [−−ba]

[ba] − [dc] = [ba − dc ]
−

α [ba] = [ααba]

เวกเตอร์ 1 หน่วย (unit vector)
คือ เวกเตอรท์ ีม่ ขี นาด 1 หน่วย ไมว่ ่าเวกเตอร์น้นั จะมที ิศทางใดกต็ าม

กาหนดให้ i = [10] คอื เวกเตอร์ 1 หนว่ ย ตามแกน X
j = [10] คอื เวกเตอร์ 1 หนว่ ย ตามแกน Y

เราสามารถเขียนเวกเตอร์ [01] ให้อยู่ในรูปของ i และ j ได้ดังนี้

[ba] = ai + bj

Ex. เวกเตอรใ์ ดๆ เวกเตอร์ 1 หนว่ ย

จะไดว้ ่า

สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 61

ตอ้ งรู!้ !
เวกเตอร์ 1 หน่วย คือ เวกเตอรท์ ีม่ ีขนาดเทา่ กบั 1

เวกเตอร์ 1 หนว่ ยในทิศเดยี วกับ u⃗ คอื u⃗
|u⃗ |

เวกเตอร์ 2 หนว่ ยในทิศเดียวกบั ⃗u คือ 2 u⃗
|⃗u|

เวกเตอร์ a หน่วยในทิศเดียวกับ u⃗ คอื a u⃗
|⃗u|

เวกเตอร์ a หนว่ ยในทศิ ตรงข้าม u⃗ คือ −a ⃗u
|u⃗ |

Ex. กาหนด u⃗ = 3i − 4j เวกเตอร์ 1 หนว่ ยในทิศเดียวกบั u⃗ คือ u⃗ = (3i−4j)
|u⃗ | 5

กาหนด u⃗ = 12i + 5j เวกเตอร์ 3 หน่วยในทศิ ตรงข้ามกบั ⃗u คอื −3 u⃗ = −3(12i+5j)
|u⃗ | 13

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (คาตอบต้องเปน็ จานวนจริง)
ถ้า u⃗ = ai + bj, ⃗v = ci + dj ผลคูณเชงิ สเกลาร์ ของ ⃗u และ ⃗v เขยี นแทนดว้ ย ⃗u ∙ ⃗v

และสามารถหาได้ 2 วิธี
วธิ ีท่ี 1
หาจาก u⃗ ∙ v⃗ = |⃗u||⃗v| cos θ โดย |u⃗ | และ |⃗v| คือ ขนาดของ u⃗ และ ⃗v ตามลาดบั

θ คอื มุมระหวา่ งหางเวกเตอร์ ⃗u และ ⃗v โดยที่ 0 ≤ θ ≤ 180°
วธิ ีที่ 2
หาจาก ⃗u ∙ ⃗v = (ai + bj)(ci + dj) = [ba] [dc] = ac + bd

คุณสมบัตขิ องผลคณู เชิงสเกลาร์ 6. i ∙ i = j ∙ j = 1
1. ถา้ ⃗u ∙ ⃗u = 0 แลว้ ⃗u = 0⃗ 7. i ∙ j = j ∙ i = 0
2. u⃗ ∙ v⃗ = ⃗v ∙ u⃗ 8. |u⃗ + v⃗ |2 = |u⃗ |2 + 2u⃗ ∙ v⃗ + |⃗v|2
3. ⃗u ∙ ⃗u = |u⃗ |2 9. |⃗u − ⃗v|2 = |u⃗ |2 − 2u⃗ ∙ ⃗v + |v⃗ |2
4. (au⃗ ) ∙ ⃗v = ⃗u ∙ (av⃗ ) = a(u⃗ ∙ ⃗v) 10. (⃗u + v⃗ )(⃗u − ⃗v) = |⃗u|2 − |v⃗ |2
5. u⃗ ∙ (⃗v + ⃗w⃗⃗ ) = ⃗u ∙ ⃗v + u⃗ ∙ ⃗w⃗⃗

62

เวกเตอรใ์ นระบบพิกนั ฉาก (3 มิต)ิ

x2 − x1

เวกเตอร์ทมี่ ีจุดเร่มิ ต้นท่ี A(x1, y1, z1) และจดุ สนิ้ สดุ ท่ี B(x2, y2, z2) แทนดว้ ย ⃗A⃗⃗⃗B⃗ และหมายถึงเวกเตอร์ [y2 − y1]

z2 − z1

สาหรบั เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ การเทา่ กนั ของเวกเตอร,์ เวกเตอรศ์ นู ย,์ นิเสธของเวกเตอร์, การลบ
เวกเตอร์, การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์, ขนาดของเวกเตอร,์ เวกเตอรห์ นึ่งหน่วย และผลคูณเชงิ สเกลาร์ จะนิยาม
เหมือนกับเวกเตอร์ใน 2 มิติ แตเ่ พิ่มพกิ ัด เขา้ มา

u1

หมายเหตุ : เวกเตอร์ในระบบสามมิติ เพื่อความสะดวกเราสามารถเขยี นเวกเตอร์ u⃗ = [u2] = u1i + u2j + u3k⃗

u3

ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (คาตอบต้องเป็นเวกเตอร์)
ให้ ⃗u = u1i + u2j + u3k⃗ และ ⃗v = v1i + v2j + v3⃗k จะได้

i j ⃗k
u⃗ × ⃗v = |u1 u2 u3|

v1 v2 v3

= |uv22 uv33| i − |uv11 uv33| j + |uv11 uv22| ⃗k (เป็นการหา det ของเมทรกิ ซ์ 2x2 น่ันเอง)

การหาทศิ ของ ⃗ × ⃗ และ ⃗ × ⃗

⃗ × ⃗ จะต้งั ฉากกับ ⃗ และ ⃗ เสมอ
ในทานองเดียวกัน ⃗⃗ × ⃗ จะต้งั ฉากกับ ⃗ และ ⃗ เสมอ

สรุปสูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 63

การหาขนาดของ ⃗ × ⃗

ถา้ u⃗ ≠ 0 และ ⃗v ≠ 0 จะได้วา่ |⃗u × v⃗ | = |⃗u||⃗v| sin θ เม่ือ θ เป็นมมุ ระหวา่ งหางเวกเตอร์ ⃗u

กับหางเวกเตอร์ ⃗v และ 0 ≤ θ ≤ 180

สมบัตเิ กีย่ วกบั การ cross vector

ให้ ⃗u, v⃗ , ⃗w⃗⃗ เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติ และ m เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ

1. i × j = k⃗ , j × k⃗ = i, k⃗ × i = j 5. u⃗ × (⃗v + ⃗w⃗⃗ ) = u⃗ × v⃗ + ⃗u × w⃗⃗⃗
2. u⃗ × v⃗ = −(⃗v × ⃗u) 6. (⃗u + v⃗ ) × ⃗w⃗⃗ = ⃗u × ⃗w⃗⃗ + v⃗ × w⃗⃗⃗
3. u⃗ × ⃗u = 0⃗ 7. ⃗u ∙ (⃗v × ⃗w⃗⃗ ) = v⃗ ∙ (⃗w⃗⃗ × u⃗ ) = w⃗⃗⃗ ∙ (u⃗ × ⃗v)
4. u⃗ × (m⃗v) = (mu⃗ ) × v⃗ = m(⃗u × v⃗ )

ต้องร!ู้ ! |⃗u × v⃗ | = พน้ื ท่ีของสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน

u⃗ |u⃗ × ⃗v|
v⃗

การใชเ้ วกเตอร์ในการหาปรมิ าตรของทรงเหลย่ี มดา้ นขนาน

u1 v1 r1 คือการหา det ของเมทริกซ์
ขนาด 3x3 น่นั เอง
กาหนดให้ u⃗ = [u2] , ⃗v = [v2] , r = [r2]

u3 v3 r3

u1 u2 u3

ปริมาตรของส่เี หลย่ี มดา้ นขนานทรงตัน = |v1 v2 v3| = |u⃗ ∙ (v⃗ × ⃗w⃗⃗ )| = |v⃗ ∙ (w⃗⃗⃗ × u⃗ )| = |⃗w⃗⃗ ∙ (⃗u × v⃗ )|

r1 r2 r3

เรียนเวกเตอร์แบบจัดเต็มสแกนเลย →

64

จำนวนเชิงซอ้ น

จานวนจินตภาพ
เรียก √−1 ว่า “หนงึ่ หน่วยจนิ ตภาพ (Imaginary Unit)” เขยี นแทนดว้ ย i

เรอ่ื งของ

in = i เม่อื n เหลอื เศษ 1
4

in = −1 เมอ่ื n เหลือเศษ 2
4

in = −i เมอื่ n เหลือเศษ 3
4

in = 1 เมือ่ n เหลอื เศษ 0 (หารลงตัว)
4

และ + + + + + + =

จานวนเชิงซอ้ น

ถ้า a และ b เปน็ จานวนจรงิ แลว้ “ + ” เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น และเรยี ก a ว่า สว่ นจริง (Real part)
เรยี ก b วา่ ส่วนจินตภาพ (Imaginary part)

หมายเหตุ : จานวนเชงิ ซ้อนอาจเขยี นอย่ใู นรปู ค่อู นั ดับได้ นัน่ คือ a + bi = (a, b)
ถา้ a = 0 เรียก bi ว่า จานวนจินตภาพแท้
ถา้ b = 0 เรยี ก a วา่ จานวนจริง
นัน่ คอื เซตของจานวนจริงเปน็ สบั เซตของเซตของจานวนเชงิ ซอ้ น

การบวกจานวนเชงิ ซอ้ น

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

สรุปสตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 65

สมบัตเิ ก่ยี วกบั การบวกจานวนเชงิ ซ้อน

1. สมบตั ปิ ิด
ถ้า z1, z2 เป็นจานวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1 + z2 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น

2. สมบัติการสลบั ที่
ถา้ z1, z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1 + z2 = z2 + z1

3. สมบัตกิ ารเปลีย่ นกลมุ่
ถา้ z1, z2 และ z3 เปน็ จานวนเชิงซ้อน แล้ว (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

4. การมีเอกลกั ษณก์ ารบวก
0 เปน็ เอกลักษณ์การบวกของจานวนเชิงซอ้ น a + bi

0 + (a + bi) = (a + bi) + 0 = a + bi

5. การมอี นิ เวอร์สการบวก
−a – bi เปน็ อินเวอร์สการบวกของจานวนเชิงซ้อน a + bi

(a + bi) + (−a – bi) = (−a – bi) + (a + bi) = 0

การลบจานวนเชงิ ซ้อน

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

การคณู จานวนเชงิ ซ้อน

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

66

สมบัตเิ กี่ยวกบั การคูณจานวนเชงิ ซอ้ น

1. สมบตั ปิ ิด

ถา้ z1, z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น แลว้ z1 ∙ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน
2. สมบัตกิ ารสลบั ที่

ถ้า z1, z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน แล้ว z1 ∙ z2 = z2 ∙ z1
3. สมบตั กิ ารเปลี่ยนกลุม่

ถา้ z1, z2 และ z3 เปน็ จานวนเชิงซ้อน แล้ว (z1 ∙ z2) ∙ z3 = z1 ∙ (z2 ∙ z3)
4. การมเี อกลกั ษณก์ ารคณู

1 + 0i หรือ 1 เปน็ เอกลักษณก์ ารคูณของจานวนเชงิ ซอ้ น a + bi

1 ∙ (a + bi) = (a + bi) ∙ 1 = a + bi

5. การมอี ินเวอรส์ การคณู

ถ้า z = a + bi ≠ 0 + 0i แลว้ อินเวอรส์ การคูณของ z คือ

z−1 = 1 = a−bi หรอื a + −b i
z a2+b2 a2+b2 a2+b2
หมายเหตุ : (z−1)−1 = z

การหารจานวนเชงิ ซ้อน

1
(a + bi) ÷ (c + di) = c2 + d2 (a + bi) (c − di)

สังยคุ
ถา้ z = a + bi สังยคุ (Conjugate) ของ z คือ z̅ = a − bi

สมบัตเิ กีย่ วกบั สงั ยุค

1. ถ้า z = a + bi แลว้ z̅ = z = a + bi

2. ถา้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซ้อนแลว้ ̅z̅1̅̅±̅̅̅z̅2̅ = z̅1 ± z̅2, z̅̅1̅̅∙̅̅z̅2̅ = z̅1 ∙ z̅2, ̅(̅z̅1̅)̅ = z̅1 ; z2 ≠ 0

3. z̅̅n̅ = (z̅)n z2 z̅̅2̅

4. z̅̅−̅̅1̅ = (z̅)−1

5. ถ้า z เป็นจานวนเชิงซอ้ นแล้ว z ∙ z̅ เปน็ จานวนจริง ไดว้ ่า z ∙ z̅ = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ∈ R

สรปุ สตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 67

ค่าสัมบรู ณข์ อง

|z| = |a + bi| = √a2 + b2

สมบตั ขิ องคา่ สัมบูรณ์

1. ถา้ z เป็นจานวนเชงิ ซ้อนแลว้ |z| = |z̅| = |−z| = |−z̅| 3. |zn| = |z|n

2. ถา้ z1, z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น แล้ว 4. z ∙ z̅ = |z|2 = |z̅|2 = |−z̅|2
1) |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2|
5. z−1 = z̅
|z|2
2) |z1| |z1| 6. |z−1| = |z|−1
z2 = |z2| ; z2 ≠ 0

3) |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|

4) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

จานวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั (Polar Form of Complex Number)

a = rcosθ, b = rsinθ, r = |z| = √a2 + b2, b
tanθ = a
ดงั นนั้ z = a + bi = r(cosθ + isinθ) = rcisθ = rcis(θ + 2kπ), k ∈ I (รปู ทัว่ ไป)

อย่าลมื !!!! การเขียนจานวนเชิงซอ้ นในรูปเชิงข้ัวตอ้ ง

1. รู้ r (หาจาก |z| ) 2. รู้ θ (หาจาก tanθ = b )
a

การเท่ากันของจานวนเชิงซอ้ นในรปู เชิงขว้ั

ให้ z1 = r1cisθ1, z2 = r2cisθ2
จะไดว้ ่า z1 = z2 กต็ ่อเมือ่ r1 = r2 และ θ1 − θ2 = 2nπ, n ∈ I

สังยุคของจานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชงิ ขั้ว

ให้ z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ)

z̅ = r(cosθ − i sinθ) = r[cos(−θ) + i sin(−θ)]
z̅ = rcis(−θ)

ตัวผกผันการบวกของจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขัว้

ให้ z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ)

ดงั นั้น −z = −rcisθ = (−1)(rcisθ) = (cis180°)(rcisθ)
−z = rcis(180° + θ)

68

ตวั ผกผนั การคณู ของจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขวั้

ให้ z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ)

z−1 = 1 = z̅ = rcis(−θ)
z |z|2 r2
z−1 = 1 cis(−θ)
ดังนัน้
r

การคูณและการหารจานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ข้ัว

ทฤษฎบี ท ให้ z1 = r1cisθ1, z2 = r2cisθ2 โดยท่ี z2 ≠ 0 แลว้

z1z2 = r1r2cis(θ1 + θ2)

z1 = r1 cis(θ1 − θ2)
z2 r2

ทฤษฎีบทของเดอมวั ร์ (De Moivre’s Theorem)
ใช้ในการยกกาลงั เลขจานวนเชงิ ซอ้ น ในรปู เชงิ ข้ัว

ให้ z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ)
zn = rn[cis(nθ)] = rn[cos nθ + i sin nθ] เมอื่ r ≠ 0 และ n เปน็ จานวนเต็มใดๆ

การหารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อน (The nth Roots of Complex Numbers)

ทฤษฎบี ท กาหนดให้ z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ) เปน็ จานวนเชิงซอ้ นทไี่ ม่เทา่ กบั ศนู ย์ และ n เปน็ จานวน

เต็มบวก จะได้วา่ รากท่ี n ของ z มที ้งั หมด n รากท่ีแตกตา่ งกนั คอื zk โดยท่ี

zk = n√rcis θ + 2kπ = n√r [cos θ + 2kπ + i θ + 2kπ
( n) ( n) sin ( n )]

= n√rcis (θ+360°k) = n√r [cos (θ+360°k) + i sin (θ+360°k)]

n n n

เมอ่ื k = 0, 1, 2, 3, … , n − 1

ลดั

กาหนด z = rcisθ = r(cosθ + i sinθ)

หารากท่ี n ของ z ทาตามขน้ั ตอนนี้

1. n√r ใสห่ น้า cis 2. θ ใสห่ ลงั cis 3. 360° บวกจนครบ
n n

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 69

สตู รลัดการหารากที่สองของ ±

รากทส่ี อง ของ a + bi คอื ± (√r+a + √r−a i)
22

รากท่ีสอง ของ a − bi คอื ± (√r+a − √r−a i)
22

เม่อื r = |z| = √a2 + b2

ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั จานวนคาตอบของสมการพหุนาม
ถ้า P(x) เป็นพหนุ ามท่ีมีดีกรี n เมื่อ n ≥ 1 แล้วสมการ P(x) = 0 จะมคี าตอบท้ังหมด n

คาตอบ (นับคาตอบท่ีซ้ากันด้วย)

สตู รของวตี (Viete’s Formular)
กาหนด P(x) = xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ⋯ + an−1x + an เปน็ สมการพหนุ ามที่มี สัมประสิทธห์ิ นา้ ดกี รี

สูงสุดเป็น 1
โดยท่ี a1, a2, … , an−1, an เป็นค่าคงตัว (จานวนเชงิ ซอ้ น) และ x1, x2, x3, … , xn เป็นคาตอบของสมการ

พหนุ าม จะได้ว่า
x1 + x2 + x3 + … + xn = −a1 = −(สัมประสิทธ์หิ น้าดกี รีตวั รอง)
x1 x2 x3 … xn = (−1)nan = (−1)nคา่ คงท่ี

(x1 x2 + x1 x3 + ⋯ + x1 xn) + (x2 x3 + x2 x4 + ⋯ + x2 xn) + ⋯ + xn−1 xn = a2

ทฤษฎีบทคู่ Conjugate
กาหนดให้ P(x) = 0 เป็นสมการพหนุ ามท่ีมสี มั ประสิทธท์ิ ุกตวั เปน็ จานวนจริง ถ้า a + bi เปน็

คาตอบของสมการนี้แล้ว a − bi จะเปน็ คาตอบดว้ ย

เรียนจำนวนเขิงซ้อนแบบจดั เตม็ สแกนเลย →

70

ความนา่ จะเปน็

หลักการนับเบอื้ งต้น

หลักการบวก
ในการพจิ ารณาเหตกุ ารณ์ต่างๆทีเ่ กิดขึน้ น้ัน ถ้าเหตกุ ารณ์ต่างๆท่เี กดิ ข้นึ นน้ั แยกกนั โดยเดด็ ขาด

( หมายความวา่ ...เหตกุ ารณ์แตล่ ะเหตกุ ารณท์ เ่ี กิดขนึ้ ไมซ่ ้าซ้อนกนั ) โดยท่ี
เหตุการณ์ E1 เกดิ ข้นึ ได้ n1 วิธี
เหตุการณ์ E2 เกดิ ข้นึ ได้ n2 วิธี

⋮⋮

เหตกุ ารณ์ E เกดิ ข้นึ ได้ nk วธิ ี
แลว้ จานวนวิธีทเี่ หตุการณเ์ กิดขน้ึ อยา่ งนอ้ ยหน่ึงเหตุการณ์เท่ากับ + + ⋯ + วิธี

หลักการคณู
ถา้ เหตุการณ์ E ประกอบด้วยเหตกุ ารณย์ ่อยๆทเ่ี กดิ ขน้ึ ตามลาดบั k เหตกุ ารณ์ดังน้ี
เหตกุ ารณ์ E1 มวี ิธเี กิดขึน้ ได้ n1 วธิ ี
หลังจากนนั้ เหตกุ ารณ์ E2 มวี ิธีเกิดขึ้นได้ n2 วธิ ี

หลังจากนน้ั เหตกุ ารณ์ Ek มีวธิ เี กดิ ข้นึ ได้ nk วิธี
จะได้จานวนวิธีที่เกิดเหตุการณ์ E เทา่ กับ ∙ ∙ … ∙ วธิ ี

แฟคทอเรยี ล
ถ้า n เปน็ จานวนเต็มบวก กาหนดใหส้ ญั ลักษณ์ n! มคี วามหมายคอื ผลคณู ของจานวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n
นัน่ คือ n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) … 1 เมอ่ื n เป็นจานวนเต็มบวก
ขอ้ ตกลง... 0! = 1

สรุปสตู รคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 71

วิธเี รียงสับเปลย่ี น (Permutation) n! วธิ ี
1. วิธีเรยี งสบั เปล่ียนส่งิ ของ n ส่ิงท่แี ตกตา่ งกนั เปน็ แนวเส้นตรง
1.1 จานวนวธิ เี รียงสบั เปลย่ี นของ n สิ่ง ซ่งึ แตกต่างกันคราวละ n สิง่ จะจดั ได้

n สง่ิ แตกต่างกนั

1.2 จานวนวธิ เี รยี งสับเปลย่ี นของ n สง่ิ ซ่งึ แตกต่างกนั ทัง้ หมด โดยนามาจดั เรียงคราวละ r สิ่ง ( r < n )

จะจดั ได้ n! วิธี ใชส้ ญั ลักษณ์ n!
(n−r)! Pn,r = (n − r)!

n สง่ิ (ต่างกัน) r สิ่ง

1.3 จานวนวิธีเรียงสบั เปลี่ยนสงิ่ ของ n สง่ิ ทไ่ี มแ่ ตกตา่ งกนั ท้งั หมด กลา่ วคอื ของ n สง่ิ นี้แบ่งเปน็ k กลมุ่
ในแตล่ ะกล่มุ นน้ั เหมือนกัน นน่ั คอื กลมุ่ ที่ k มี nk ส่งิ (n1 + n2 + ⋯ + nk = n) จะจัดได้

n! วิธี

n1! n2! … nk!

2. วธิ เี รยี งสบั เปล่ียนสิง่ ของท่ีแตกตา่ งกันเปน็ วงกลม
2.1 จานวนวิธใี นการเรยี งสบั เปลีย่ นส่งิ ของ n สิ่งทีแ่ ตกต่างกันในแนววงกลมทาได้เทา่ กบั
(n − 1)! วิธี

n ส่ิง (ต่างกัน)

2.2 ถา้ จดั เรยี งวงกลมในเชิง 3 มิติ ( สามารถพลกิ กลับไปมาได้ ) ทาไดเ้ ท่ากับ (n − 1)! วิธี
2

2.3 ถ้าจัดเรยี งสง่ิ ของ n สง่ิ ทไี่ มแ่ ตกต่างกันทง้ั หมด จะมีแนวคดิ เหมอื นเชงิ เส้นตรง คอื สามารถทาได้

เท่ากับ (n − 1)! วธิ ี
n1! n2! … nk!

แต่ถ้าการจัดเรียงดงั กล่าวเป็นวงกลมใน 3 มิติ จะจดั ได้ (n − 1)! วธิ ี
2

n1! n2! … nk!

72

วิธจี ดั หมู่ ( Combination ) หมายถงึ การเลอื กสงิ่ ของ (โดยไม่คานงึ ถงึ ลาดบั การเลอื ก) อาจเลือกมาท้งั หมด หรอื เลือก
มาเพียงบางส่วน

n ส่งิ (ตา่ งกนั ) r สง่ิ

เชน่ มตี วั อกั ษร 3 ตวั คือ A, B, C ABC ACB BAC
ถา้ เลอื กมาท้ัง 3 ตัว ทาได้ 1 วธิ ี BCA CAB CBA

นบั เปน็ 1 วธิ ี

ถ้าเลือกมาครั้งละ 2 ตวั ทาได้ 3 วธิ ี AB BA นบั 1 วธิ ี นบั รวม 3 วธิ ี
AC CA นับ 1 วิธี
BC CB นับ 1 วิธี

ดังนนั้ ถา้ มสี ง่ิ ของ n สิ่งท่ีแตกต่างกนั เลือกมาคราวละ r ส่งิ จะทาได้เท่ากบั หรอืCn,r (nr) = n! วิธี
r!(n−r)!

สมบตั ิของ , และ ,
1. Pn,r = Cn,r ∙ r!

2. Pn,0 = 1, Pn,1 = n, Pn,n = n!

3. (n0) = 1, (nn) = 1, (n1) = n
4. (nr) = (nn−r)
5. (nr) + (r+n1) = (nr++11)
6. (n0) + (n1) + (n2) + ⋯ + (nn) = 2n

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 73

ความนา่ จะเป็น ( Probability )

( ) = ( )
( )

โดยที่ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ท่สี นใจ
n(E) แทน จานวนเหตุการณท์ โ่ี จทยส์ นใจ
n(S) แทน จานวนเหตุการณท์ เี่ กดิ ขน้ึ ทงั้ หมด

คณุ สมบตั ิของความนา่ จะเปน็
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 เสมอ
2. P(E) = 0 ก็ต่อเมอ่ื E = ∅ หมายความว่า เหตุการณ์ E ไมม่ ีโอกาสเกดิ ขน้ึ เลย
3. P(E) = 1 ก็ตอ่ เม่ือ E = S หมายความวา่ เหตกุ ารณ์ E จะเกดิ ข้นึ อย่างแนน่ อน

กฎท่ีสาคญั ของความนา่ จะเปน็
กาหนด A, B, C แทนเหตกุ ารณ์ใดๆ ในแซมเปลิ สเปซ S

1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
2. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
3. P(A′) = 1 − P(A)
4. P(A − B) = P(A ∩ B′) = P(A) − P(A ∩ B)
5. P(A′ ∩ B′) = P((A ∪ B)′) = 1 − P(A ∪ B)

ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทเ่ี กดิ จากการทดลองซ้า
เง่ือนไข
1. เปน็ การทดลองท่ซี า้ ๆกนั n ครั้ง
2. ในการทดลองแต่ละครง้ั เป็นอิสระต่อกนั
3. ในแต่ละครง้ั ของการทดลอง จะมีเหตกุ ารณ์ 2 อยา่ งคือ เหตกุ ารณท์ ีส่ าเร็จ (เหตกุ ารณท์ ตี่ ้องการ) กับเหตกุ ารณไ์ มส่ าเร็จ
(เหตุการณ์ที่ไมต่ ้องการ)

ให้ p แทน ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ส่ี าเร็จ
q แทน ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ไ่ี มส่ าเร็จ ซงึ่ q = 1 – p
ถา้ มเี ง่อื นไขครบ 3 ข้อจะได้วา่

ถา้ การทดลองท้ังหมด n ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณท์ ีเ่ ราตอ้ งการใหเ้ กิดข้ึน k ครั้ง มีคา่ เทา่ กบั
(nk)(p)k(q)n−k หรอื (nk)(p)k(1 − p)n−k

74

ทฤษฎบี ททวินาม (Binomial Theorem)

ถ้า a, b เป็นจานวนจรงิ และ n เปน็ จานวนเตม็ บวกแลว้

(a + b)n = (n0) an + (n1) an−1b + (n2) an−2b2 + (n3) an−3b3 + ⋯ + (nn) bn

สิง่ ท่ีควรรู้
1. ในการกระจาย (a + b)n จะมที ง้ั หมด n + 1 พจน์

2. ในแตล่ ะพจน์ ผลบวกของกาลังของ a และ b เท่ากับ n เสมอ

3. เรยี ก (n0) , (n1) , (n2) , (n3) , … , (nn) ว่า สมั ประสิทธ์ิทวนิ ามของแต่ละพจน์
4. ผลบวกของสมั ประสทิ ธิ์ทวนิ ามของทกุ พจน์ในการการจาย (a + b)n คอื 2n

(n0) + (1n) + (n2) + (n3) + ⋯ + (nn) = 2n

5. พจน์ทว่ั ไป คอื + = ( ) −

6. สาหรบั จานวนเตม็ บวก n, r ใดๆ และ 0 < r ≤ n

(nr ) + (r n 1) = (nr + 11)
+ +

เรยี นความนา่ จะเป็นแบบจัดเต็มสแกนเลย →

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 75

ลำดบั และอนุกรม

ลาดับเลขคณติ

= + ( − )

ควรรู้ ! ถา้ a, b, c เปน็ ลาดับเลขคณิต จะได้วา่ b = a+c
2

ลาดบั เรขาคณติ

= −

ควรรู้ ! ถ้า a, b, c เปน็ ลาดบั เรขาคณิต จะได้ว่า b2 = ac
ลาดับฮารโ์ มนิค


( ) = (เลข)

ควรรู้ ! ถ้า a, b, c เป็นลาดับฮารโ์ มนคิ จะไดว้ า่ b = 2ac
a+c

ลิมติ ของลาดับ

ลาดับอนนั ต์

ลาดับคอนเวอรเ์ จนต์ ลาดับไดเวอรเ์ จนต์

∞

lim an = L, L ∈ R lim an = ไมม่ ีลมิ ิต = ቐ −∞
หลายคา่
n→∞ n→∞

76

ทฤษฎบี ทของลิมิต

กาหนดให้ C เปน็ คา่ คงที่ nli→m∞an = A, lim bn = B

n→∞

1. lim C = C
n→∞

2. lim Can = C lim an = CA

n→∞ n→∞

3. nli→m∞(an ± bn) = lim an ± lim bn = A ± B

n→∞ n→∞

4. nli→m∞(an ∙ bn) = lim an ∙ lim bn = A ∙ B

n→∞ n→∞

5. lim an = lim an = A, B ≠0

n→∞

n→∞ bn lim bn B

n→∞

6. nli→m∞(an)k = ( lim k

n→∞ an)

7. lim Cn = 0, |C| < 1
n→∞

8. lim Cn = ∞, |C| > 1
n→∞

9. lim nk = ∞, k ∈ R+
n→∞

10. lim C = 0, k ∈ R+
nk
n→∞

อนุกรม

1. ∑in=1 i = 1 + 2 + 3+. . +n = n(n+1)
2

2. ∑in=1 i2 = 12 + 22 + ⋯ + n2 = n(n+1)(2n+1)
6

3. ∑ni=1 i3 = 13 + 23 + ⋯ + n3 = (n(n+1))2 = n2(n+1)2
4
2

4. ∑ni=1 C = C⏟+ C + C + ⋯ + C = Cn

n ตวั

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 77

ทฤษฎีของผลบวก *3. ∑in=1(ai ∙ bi) ≠ ∑ni=1 ai ∙ ∑in=1 bi
1. ∑in=1(ai ± bi) = ∑in=1 ai ± ∑ni=1 bi

2. ∑ni=1 Kai = K ∑ni=1 ai *4. ∑in=1 ai ≠ ∑ni=1 ai
bi ∑in=1 bi

อนุกรมเลขคณิต

Sn = n (a1 + an) ใช้เม่อื รู้พจน์ท้าย Sn = n [2a1 + (n − 1)d] ใชเ้ มอื่ รู้ d
2 2

สตู รการหา จาก

Sn = ∎n2 + ∆n ⇒ an = 2∎n + (∆ − ∎)

อนกุ รมเรขาคณิต

Sn = a1(1 − rn) , r≠1 a1−anr
(1 − r) (1 − r)
Sn = , r≠1 ใชเ้ ม่ือร้พู จนท์ า้ ย

Sn = a1(rn − 1) , r≠1
(r − 1)

เรียนลำดับและอนุกรมแบบจัดเต็มสแกนเลย →

อนกุ รมอนันต์

อนกุ รมอนันต์

อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ อนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์

∞

lim Sn = L, L ∈ R lim Sn = ไม่มีลิมิต = ቐ −∞
หลายคา่
n→∞ n→∞

nli→m∞Sn = S∞ = a1 r , |r| < 1
1−

78

อนุกรม Telescopic

Sn = หลงั 1 หนา้ (ตวั แรกตดั หลงั − ตวั ทา้ ยตดั หนา้ ) S∞ = หลงั 1 หนา้ (ตวั แรกตดั หลงั )
− −

ผลบวกจากดั ผลบวกอนนั ต์

การคดิ ดอกเบยี้

ถ้าเรม่ิ ฝากเงินดว้ ยเงนิ ตน้ P บาท ไดร้ บั อตั ราดอกเบีย้ i % ต่อปี โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบต้นปีละ k คร้ัง
แลว้ เม่ือฝากครบ n ปี จะได้เงนิ รวม ( + ) บาท เมื่อ =



มูลค่าเงนิ ปจั จบุ ันและอนาคต

ถา้ ลงทุน P บาท ไดร้ บั อตั ราดอกเบ้ยี i % ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบทบต้นปีละ k ครง้ั เปน็ เวลา n ปี

เมื่อครบ n ปี เงินรวมทไ่ี ด้คือ = ( + บาท เมอ่ื =

)


เมื่อคานวณจากอนาคตกลบั มาเปน็ ปัจจบุ นั จะได้ = ( + −

)

การคิดคา่ งวด
เปน็ เหมอื นการฝากเงินเปน็ งวดๆรวมกบั ดอกเบี้ย แล้วใช้สตู ร อนกุ รมเรขาคณิต (จาแคส่ ูตรนนี้ ้า)

ตน้ งวด : จะเรมิ่ จาก 0 ถงึ n-1 จากนน้ั เข้าสตู รอนกุ รมเรขาคณิต

01 2 3 n-1 n

งวดแรก งวดสดุ ท้าย

เงนิ รวมเม่ือส้นิ งวดที่ n = R(1+r)[(1+r)n−1]
r

สนิ้ งวด : จะเรมิ่ จาก 0 ถึง n จากนน้ั เข้าสตู รอนกุ รมเรขาคณติ

01 2 3 n-1 n

งวดแรก งวดสุดท้าย

เงินรวมเมือ่ สน้ิ งวดที่ n = R[(1+r)n−1]
r

สรุปสตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 79

แคลคลู สั

ลมิ ิตของฟังกช์ ัน

lim f(x) = L ก็ต่อเม่อื lim f(x) = L = lim f(x)
x→a x→a− x→a+

ทฤษฎบี ทเกีย่ วกบั ลิมิต

เม่อื a , L และ M เป็นจานวนจริงใดๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชนั ท่ีมโี ดเมน และเรนจเ์ ปน็

สับเซตของจานวนจรงิ โดยที่ lim f(x) = L และ lim g(x) = M แลว้
x→a x→a
1. lim c = c , c เป็นคา่ คงที่ใดๆ
x→a

2. lim x = a

x→a

3. lim xn = an , n ∈ I+
x→a

4. lim cf(x) = c lim f(x) = c L , c เป็นคา่ คงท่ใี ดๆ
x→a x→a

5. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L ± M

x→a x→a x→a

6. lim[f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x) = L ∙ M

x→a x→a x→a

lim f(x)

x→a
,7. lim [f(x)] = = L M≠0

x→a g(x) lim g(x) M

x→a

8. lim[f(x)]n = [lim n = Ln , n ∈ I+
x→a x→a
f(x)]

, และ9. lim n√L n√L ∈ R
x→a
n√f(x) = n√xli→ma f(x) = n ∈ I+

80

เทคนิคการหาคา่ ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั : lim f(x)
x→a

1. แทน x ด้วย a ถา้ ได้ เลข ⟹ ตอบเลย
เลข

2. แทน x ด้วย a ถ้าได้ 0 ⟹ ตอบ 0
เลข

3. แทน x ด้วย a ถ้าได้ เลข ⟹ ตอบ หาคา่ ไมไ่ ด้
0

4. แทน x ดว้ ย a ถ้าได้ 0 ⟹ ยังสรปุ ไมไ่ ด้ แตค่ าตอบมแี น่ โดยทาดังน้ี
0

4.1 ดงึ ตัวรว่ มหรอื แยก factor แล้วตดั

4.2 โจทยต์ ดิ √ เอา Conjugate คณู ทง้ั เศษและสว่ น

4.3 ใช้ทฤษฎีบทของโลปติ าลชว่ ย

ทฤษฎบี ทของโลปิตาล ( L’ Hospital ) จะดฟิ ได้ต้องเป็น 0
0
lim f(x) = lim f(x)′ = lim f(x)′′ = lim f(x)′′′ = … เท่าน้ัน และตอ้ ง
g(x)′ g(x)′′ g(x)′′′
x→a g(x) x→a x→a x→a หยุดดฟิ เม่อื ไม่ใช่ 0
0

Note จะ check limit ทางซ้ายและทางขวาเม่ือพบวา่

1. f(x) แตกปกี กา 2. เจอ | | ท่เี ป็น 0
0

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ให้ a เปน็ จานวนจริงใดๆ ฟังกช์ นั f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่อื งท่ี x = a เม่ือฟังก์ชัน f มีคณุ สมบัติดงั นี้

1. f(a) หาคา่ ได้

2. lim f(x) หาค่าได้
x→a

3. f(a) = lim f(x)
x→a

เรยี นแคลคลู สั แบบจัดเต็มสแกนเลย →

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 81

อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั

d y = f ′(x) = lim f(x+h)−f(x)
dx h→0 h

สูตรการหาอนพุ นั ธ์
กาหนด c เปน็ คา่ คงท่ี และ u , v เป็นฟงั ก์ชันของ x

กาหนด c เป็นค่าคงท่ี และ u , v เป็นฟงั ก์ชันของ x พชี คณติ

พนื้ ฐาน 6. d (u ± v) = u′ ± v′
dx
1. d c = 0
7. d (u ∙ v) = uv′ + vu′
dx dx

2. d x = 1 8. d (u ∙ v ∙ w) = u′vw + uv′w +
dx dx

3. d cu = c d u uvw′
dx dx
9. d (u) = vu′−uv′
4. d un = nun−1 du dx v2
dx dx v

5. d √u = 1 d u
dx 2√u dx

กฎลกู โซ่ (Chain Rule)

ทฤษฎีบท กาหนดให้ y = f(u) และ u = g(x) เปน็ ฟงั ก์ชันทมี่ ีอนุพนั ธท์ ี่ u และ x ตามลาดบั

จะได้ว่าฟงั กช์ นั fog มีอนุพนั ธ์ที่ x

โดยท่ี dy = dy ∙ du และ d (fog)(x) = d (f(g(x)) = f′(g(x)) ∙ g′(x)
dx du dx
dx dx

อตั รการเปล่ยี นแปลง

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทยี บกับ x เมอ่ื x เกดิ ช่วงการเปลย่ี นแปลง

∆y = y2 − y1 = f(x2) − f(x1) = f(x + h) − f(x)
∆x x2 − x1 x2 − x1 h

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มีคา่ ใดๆ

lim ∆y f(x + h) − f(x)
= lim
∆x→0 ∆x h
h→0

ซึ่งกค็ อื คา่ ของ f ′(x) น่ันเอง เพราะวา่ f ′(x) = lim f(x+h)−f(x)
h→0 h

82

ความชนั ของเสน้ โค้ง
สมการเสน้ ตรง : หาไดจ้ ากสตู ร y − y1 = m(x − x1) เม่ือ m แทนความชันของเส้นตรง และ (x1, y1)

แทนจดุ ทีเ่ ส้นตรงนนั้ ผา่ น
กาหนดให้ y = f(x) จะไดว้ ่า

1. ความชนั ของเส้นโค้ง ณ จดุ (x, y) ใดๆ คอื dy , y′ , d f(x) , f′(x)
dx dx

2. ความชนั ของเส้นโค้ง ณ จดุ x = a คือ f′(a)
3. ความชันของเส้นตรงซึ่งมาสมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ x = a คอื f′(a)
4. ณ จุดสมั ผสั ระหว่างเส้นตรงกับเสน้ โค้งจะกลา่ วไดว้ ่า

ความชันของเสน้ สัมผัส = ความชันของเสน้ โค้ง

mผสั = mโคง้

ฟงั กช์ นั เพมิ่ -ลด
ถา้ f′(x) > 0 สาหรบั ทุกค่า x ในชว่ ง A แล้ว f เป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ บนช่วง A
ถ้า f′(x) < 0 สาหรับทกุ ค่า x ในชว่ ง A แลว้ f เปน็ ฟังกช์ นั ลดบนช่วง A

สูงสุดสมั พัทธ์ และ ต่าสดุ สมั พัทธ์
พิจารณากราฟเส้นโค้ง y = f(x)

พบว่า จดุ A , B , C , D , E เรยี กวา่ จุดวกิ ฤต (จุดที่ dy , f′(x) เทา่ กับ 0)
dx
จุด A ,C เรยี กวา่ จดุ สูงสดุ สัมพัทธ์
จุด B , D เรยี กว่า จดุ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์
จุด E เรียกวา่ จดุ เปลยี่ นเวา้

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 83

หลกั การหา จุดสงู สุด-ตา่ สดุ สมั พทั ธ์

1. หา f′(x)

2. จบั f′(x) = 0 แลว้ แกห้ าคา่ x คา่ x ท่ไี ดเ้ รียกคา่ วกิ ฤต (สมมุติ ค่าวิกฤตคือ x = M)

3. นาค่าวิกฤตมาทดสอบ วา่ เกดิ สูงสดุ สมั พัทธ์ หรือตา่ สุดสมั พทั ธ์

- ถ้า f′′(M) < 0 จะเกดิ จดุ สูงสุดสมั พทั ธ์ ตรง x = M

- ถา้ f′′(M) > 0 จะเกดิ จุดต่าสดุ สมั พทั ธ์ ตรง x = M

4. จดุ สงู สุด-ตา่ สุดสัมพทั ธ์ คอื (M, f(M)) และเรียก (M, f(M)) ว่า จดุ วกิ ฤต ดว้ ย

5. ค่าสงู สุด - ตา่ สุดสมั พัทธ์ คือ พิกดั y หรอื f(M)

ค่าสูงสดุ -ตา่ สุดสัมบรู ณ์ (โจทยม์ กั จากาหนดชว่ ง [a, b] มาให)้
คือ คา่ ท่ีสงู ท่ีสดุ หรอื ตา่ ทสี่ ดุ ในชว่ ง [a, b] อาจจะเปน็ คา่ สูงสดุ สมั พัทธ์ ค่าตา่ สุดสมั พัทธ์ หรือเปน็ f(a), f(b) ก็
ได้ (เอาขอบของช่วงที่โจทยใ์ หม้ าคดิ ด้วย)

ปฏิยานพุ นั ธ์
ฟงั ก์ชนั F(x) เปน็ ปฏยิ านพุ นั ธข์ อง f เมือ่ F′(x) = f(x) สาหรบั ทกุ คา่ ของ x (∫ f(x)dx = F(x))

สตู รการอนิ ทเิ กรตเบอ้ื งตน้

1. ∫ kdx = kx + c เม่ือ k , c เป็นคา่ คงที่

2. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx เมื่อ k เปน็ คา่ คงท่ี

3. ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

4. ∫ xndx = xn+1 + c เมอื่ n ≠ −1 และ c เปน็ คา่ คงท่ี
n+1

5. ∫ undu = un+1 + c เม่ือ n ≠ −1 , c เปน็ ค่าคงท่ี และ u เปน็ ฟังกช์ นั ของตวั แปร x
n+1

6.∫ 1 du = ln|u| + c
u

84

อินทิกรลั จากัดเขต

∫ab f(x)dx = F(x)| b = F(b) − F(a) โดยไมต่ ้องบวก c
a

คุณสมบัติของอนิ ทิกรลั จากัดเขต
กาหนด f , g เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เน่อื งบน [a , b] และให้ c เป็นคา่ คงท่ี

1. ∫ab cf(x)dx = c ∫ab f(x)
2. ∫ab[f(x) ± g(x)]dx = ∫ab f(x)dx ± ∫ab f(x)dx
3. ถ้า a < c < b จะไดว้ า่ ∫ab f(x)dx = ∫ac f(x)dx + ∫cb f(x)dx
4. ∫aa f(x)dx = 0
5. ∫ba f(x)dx = − ∫ab f(x)dx

การหาพื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้
ระหว่างเสน้ โคง้ กับแกน x
ถ้า y = f(x) เป็นฟงั ก์ชันต่อเนือ่ งบนชว่ ง [ a , b ]

ถ้า f(x) ≥ 0 สาหรับทกุ ค่าของ x ทอี่ ยู่ในชว่ ง [ a , b ] แลว้ A เป็นพื้นท่เี หนอื แกน x

b

A = ∫ f(x)dx

a

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 85

ถ้า f(x) ≤ 0 สาหรบั ทุกคา่ ของ x ทอี่ ยู่ในช่วง [ a , b ] แลว้ A เปน็ พืน้ ทใ่ี ต้แกน x

b

A = − ∫ f(x)dx

a

ระหว่างเส้นโคง้ กบั เสน้ โค้ง
ถา้ y1 = f(x), y2 = g(x) เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [ a , b ]

b

A = ∫[f(x) − g(x)]dx

a

11. บทประยกุ ต์การเคลอื่ นท่ี

กาหนด s(t) = ระยะทางทีว่ ตั ถอุ ยหู่ ่างจากจุดเรมิ่ ตน้ (การขจัด) ทเี่ วลา t ใดๆ
ความเร็วที่เวลา t ใดๆ
v(t) = ความเรง่ ทีเ่ วลา t ใดๆ

a(t) =

ดิฟ v ดฟิ a
s อนิ ทเิ กรต

อินทเิ กรต

86

สถติ ิ

ความหมายของคาตา่ งๆ ทเ่ี ราควรรู้จกั ในวชิ าสถิติ
1. ข้อมูล (Data) คอื ขอ้ ความที่เปน็ จริง ซ่งึ อาจเปน็ ตัวเลขหรือไม่กไ็ ด้
2. ประชากร (Population) คือ ข้อมลู ทงั้ หมดทต่ี ้องการศึกษา
3. กล่มุ ตัวอย่าง (Sample) คอื ข้อมลู บางสว่ นของประชากร
4. ค่าพารามเิ ตอร์ (Parameter) คือ ค่าตัวเลขทค่ี านวณได้จากประชากร
5. คา่ สถิติ (Statistic) คอื คา่ ตัวเลขท่ีคานวณได้จากกลมุ่ ตวั อย่าง
6. สารสนเทศหรอื ขา่ วสาร (Information) คอื ข้อมลู ท่ผี า่ นการวิเคราะหเ์ บอื้ งตน้ หรือวเิ คราะห์ข้ันสงู แล้ว
7. ตวั แปร (Variable) คอื ลักษณะของประชากรท่ีเราสนใจ ซ่ึงสามารถเปลยี่ นค่าได้ เชน่ เพศ, อายุ, คะแนน

ประเภทของข้อมูล
1. ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ (Primary data) คอื ขอ้ มลู ท่ีผู้ใชจ้ ะตอ้ งเก็บรวบรวมจากผใู้ ห้ขอ้ มลู หรอื แหล่งทม่ี าของข้อมูล

โดยตรง การเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู ประเภทนท้ี าได้ 2 วิธี คอื
1.1 การสามะโน (Census) คอื การเกบ็ รวบรวมข้อมูลจากทกุ ๆหน่วยของประชากร
1.2 การสารวจกลุ่มตัวอยา่ ง (Sample survey) คอื การเกบ็ รวบรวมข้อมูลจากบางหนว่ ยทเ่ี ลือกมา

เป็นตัวแทนจากทุกๆหนว่ ยของประชากร
2. ขอ้ มลู ทุติยภูมิ (Secondary data) คอื ขอ้ มูลทผ่ี ใู้ ชเ้ กบ็ รวบรวมจากข้อมลู ทม่ี ผี อู้ นื่ เกบ็ รวบรวมไวแ้ ลว้ เชน่
รายงานของหนว่ ยราชการ, รายงานการวิจัย, รายงานประจาปี เป็นต้น

ลกั ษณะของขอ้ มลู
1. ขอ้ มลู เชิงปริมาณ (Quantitative data) คอื ข้อมลู ท่ใี ช้แทนขนาดหรือปรมิ าณซ่งึ วัดออกมาเปน็ ค่าตัวเลขที่

สามารถนามาใช้เปรียบเทยี บขนาดไดโ้ ดยตรง เช่น สถติ ิคนไข้แยกตามอาย,ุ ความสงู , น้าหนัก เปน็ ต้น
2. ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ (Qualitative data) คอื ขอ้ มลู ทบี่ อกคณุ ภาพ ลกั ษณะและศกั ยภาพอาจไม่ใชต่ วั เลขหรอื

เป็นตวั เลขก็ได้
กรณีไมใ่ ช่ตวั เลข เชน่ เพศ, อาชพี
กรณีเปน็ ตวั เลข เชน่ บ้านเลขท่,ี เบอรโ์ ทรศพั ท์, ระดับการศกึ ษา

สรปุ สูตรคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 87

ความหมายตา่ งๆที่ควรทราบในตารางแจกแจงความถ่ี

ตารางแจกแจงความถี่ คือ ตารางทางสถิติทีส่ ร้างขึน้ เพื่อเปรยี บเทียบความถีข่ องค่าหรือปริมาณทีไ่ ด้จากการวัด

หรอื การสงั เกต

ขน้ั ตอนในการสร้างตารางแจกแจงความถ่ี

ขัน้ ที่ 1 หาพสิ ยั (Range)

พสิ ยั = ค่าสงู สดุ - ค่าตา่ สดุ

ขั้นที่ 2 หาความกว้างของอันตรภาคช้นั หรือหาจานวนชนั้

ความกวา้ ง = พสิ ยั จานวนช้ัน = พสิ ัย
จานวนขนั้ ความกว้าง

ขั้นท่ี 3 เขยี นอันตรภาคชั้นให้ชนั้ ต่าสดุ คลมุ คา่ ตา่ สุดของขอ้ มูล และให้ชั้นสูงสุดคลุมคา่ สูงสดุ ของขอ้ มลู
ชน้ั ที่ 4 บันทกึ รอยขดี ของข้อมูลที่มคี า่ อย่ใู นแตล่ ะอันตรภาคชน้ั

1. ขีดจากัดอนั ตรภาคชน้ั (Class limit) ในแต่ละอนั ตรภาคชั้นประกอบดว้ ยขีดจากัดล่าง (Lower limit) และขดี จากัด

บน (Upper limit)

2. ขอบเขตของอันตรภาคช้ัน (Class boundary) จะมี ของเขตลา่ ง หรือ ของลา่ ง และ ขอบเขตบน หรอื ขอบบน ซงึ่

หาได้จาก

ขอบล่าง = ขดี จากดั ลา่ งชั้นนน้ั +ขดี จากดั บนชนั้ ตา่ กว่า ขอบบน = ขีดจากัดบนชน้ั นนั้ +ขดี จากดั ลา่ งชนั้ สูงกว่า

2 2

3. จุดกงึ่ กลางช้นั (Midpoint) = ขอบบน+ขอบลา่ ง

2

4. ความกว้างของอนั ตรภาคชัน้ (Width OR Interval) = ขอบบน - ขอบลา่ ง

5. ความถ่สี มั พทั ธ์ (Relative Frequency) = ความถ่ชี นั้ นนั้
ผลรวมความถท่ี งั้ หมด

6. ความถี่สะสม (Cumulative Frequency) = ผลรวมของความถี่ชัน้ นัน้ กบั ความถ่ใี นชน้ั ทต่ี า่ กวา่ ทั้งหมด

7. ความถส่ี ะสมสมั พทั ธ์ (Relative Cumulative Frequency) = ความถ่สี ะสมชนั้ นน้ั
ผลรวมความถ่ีทั้งหมด

88

ควอไทล์และเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์
1. เรียงลาดับข้อมลู จากน้อยไปมาก

2. หาตาแหนง่ ของควอไทล์, เปอรเ์ ซ็นตไ์ ทล์ จากสูตร

ตาแหนง่ Qr = r (n + 1)
4
ตาแหน่ง r
Pr = 100 (n + 1)

โดย n คือ จานวนขอ้ มูลทงั้ หมด

3. นาตาแหน่งทคี่ านวณได้จากข้อ 2 ไปหาคา่ ของข้อมลู

แผนภาพกล่อง

กรณที ไี่ มม่ ีคา่ นอกเกณฑ์

ค่าต่าสดุ Q1 Q2 Q3 ค่าสงู สุด

กรณีทมี่ ีค่านอกเกณฑ์

คา่ นอกเกณฑ์ Q2 ค่านอกเกณฑ์
ค่านอกเกณฑ์ (คา่ สูงสุด)
(คา่ ต่าสดุ ) ข้อมูลที่นอ้ ยทส่ี ุด Q1
Q3 ขอ้ มูลทม่ี ากทส่ี ุด
แต่ไมน่ ้อยกว่า แต่ไม่มากกว่า

Q1 − 1.5(Q3 − Q1) Q3 + 1.5(Q3 − Q1)

คา่ นอกเกณฑ์ หาไดจ้ าก Q1 − 1.5(Q3 − Q1) และ Q3 + 1.5(Q3 − Q1) ถา้ ข้อมลู นอ้ ยกวา่ Q1 − 1.5(Q3 − Q1)
หรอื มากกวา่ Q3 + 1.5(Q3 − Q1) ถอื เป็นคา่ นอกเกณฑ์

สรุปสตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย 89

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ (Arithmetic Mean)
1.ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean)

ประชากร μ = x1+x2+x3+⋯.+xN = ∑Ni=1 xi
กลมุ่ ตวั อยา่ ง
NN

x̅ = x1+x2+x3+⋯.+xN = ∑iN=1 xi

NN

หมายเหตุ ถ้าไมม่ กี ารกาหนดว่าข้อมลู เป็นของประชากร หรอื กลมุ่ ตัวอย่าง ให้ถือว่าเป็นขอ้ มูลในระดบั ประชากร

2. คา่ เฉลย่ี เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean)

ประชากร μcomb = N1μ1+N2μ2+N3μ3+⋯+Nkμk = ∑ik=1 Niμi
N1+N2+N3+⋯+Nk ∑ik=1 Ni

กลมุ่ ตวั อยา่ ง x̅comb = N1x̅1+N2x̅2+N3x̅3+⋯+Nkx̅k = ∑ki=1 Nix̅i
N1+N2+N3+⋯+Nk ∑ik=1 Ni

3. คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงน้าหนัก (Weighted Arithmetic Mean)
เมอ่ื wi คือ นา้ หนักหรือความสาคัญของขอ้ มลู xi

ประชากร μ = w1x+w2x2+w3x3+⋯+wnxN = ∑iN=1 wixi
w1+w2+w3+⋯+wN ∑Ni=1 wi

กล่มุ ตวั อย่าง x̅ = w1x1+w2x2+w3x3+⋯+wnxn = ∑ni=1 wixi
w1+w2+w3+⋯+wn ∑ni=1 wi

สมบัตขิ องคา่ เฉลยี่ เลขคณติ

1) ∑in=1(xi − x̅) = 0 เสมอ หรือ ∑iN=1(xi − μ) = 0

2) ขอ้ มูลสองชุดสัมพันธ์กนั แบบ yi = mxi + c

จะไดว้ ่า y̅ = mx̅ + c หรอื μy = mμx + c

3) ∑ni=1(xi − x̅)2 หรอื ∑Ni=1(xi − μ)2 ใหค้ ่าตา่ สุด

4) ถ้านาค่าคงท่ีไปบวก ลบ คณู หาร ขอ้ มลู เดิมทุกตัว คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ใหมจ่ ะเทา่ กบั คา่ เฉลี่ยเลขคณติ เดมิ แลว้

บวก ลบ คณู หารดว้ ยคา่ คงทีน่ นั้ ดว้ ย

90

มธั ยฐาน (Median)
มธั ยฐาน คอื ค่าทีม่ ตี าแหนง่ อยู่ตรงกลางของขอ้ มลู เมือ่ เรียงข้อมูลตามลาดับ จากนอ้ ยไปมาก หรือ มากไปน้อย

และในการหามัธยฐานจาเปน็ ตอ้ งหาตาแหน่งของมัธยฐานกอ่ นจงึ จะหาคะแนนซง่ึ เป็นมัธยฐาน

- เรียงขอ้ มลู ทม่ี อี ยทู่ ้งั N ตัว
- ตาแหนง่ ของมธั ยฐานคือตาแหน่งที่ N+1

2

ค่าของมธั ยฐาน คือ ค่าของขอ้ มลู ในตาแหนง่ ท่ี N+1 เมอ่ื N เปน็ จานวนค่ี
2

ค่าของมัธยฐาน คือ คา่ ของขอ้ มูลในตาแหนง่ ท่ี N และ N + 1 เมอื่ N เปน็ จานวนคู่
22

ควรรู.้ .. ∑|x − Med| มคี ่าน้อยทส่ี ดุ
ฐานนิยม (Mode)

ฐานนยิ ม คือ คา่ สงั เกตของข้อมูลท่ีมีความถสี่ ูงสุด หรือ ข้อมลู ที่ซ้ากันมากทส่ี ุด

วิธีการใชค้ า่ กลางทงั้ 5 แบบ
1. x̅ ใช้ไดด้ ี เมื่อข้อมลู มีการกระจายปกตสิ ม่าเสมอ หมายความวา่ ข้อมูลแตล่ ะตวั แตกตา่ งกัน

ไม่มากนกั
2. ค่า Median ใช้ได้ดสี าหรับข้อมูลทมี่ ีบางตัวมคี ่าสงู ผดิ ปกติหรือต่าผดิ ปกติ
3. คา่ Mode ใชไ้ ด้ดีสาหรบั ข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ

การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Measures of Absolute Varaition)
1. พิสัย (Range)
พสิ ัย = xmax − xmin

2. พสิ ยั ระหว่างควอรไ์ ทล์ (interquartile range)

IQR = Q3 − Q1

สรปุ สูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 91

3. ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (Standard deviation)

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร σ = √∑iN=1(xi−μ)2
หรอื
N
สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั อย่าง
σ = √∑Ni=1(xi)2 − μ2

N

s = √∑ni=1(xi−x̅)2

n−1

หรอื s = √∑ni=1(xi)2−nx̅2
n−1

ควรรู้

1) สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานมีค่าเปน็ บวกเสมอ

2) ถ้านาคา่ คงท่ี (c) บวกทกุ ตวั ของข้อมูล จะไดว้ า่

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานขอ้ มูลใหม่ = ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานข้อมูลเดมิ

3) ถา้ นาคา่ คงท่ี (c) คูณทุกตวั ของข้อมูล จะได้วา่

ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานข้อมูลใหม่ = |c|สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานข้อมลู เดิม

4. ความแปรปรวน (Variance) คอื สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานยกกกาลงั สอง

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากร σ2 = ∑Ni=1(xi−μ)2
หรอื
N
ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง
หรอื σ2 = ∑Ni=1(xi)2 − μ2

N

s2 = ∑ni=1(xi−x̅)2

n−1

s2 = ∑in=1(xi)2−Nx̅2

n−1

92

ความแปรปรวนรวม

สาหรบั ข้อมลู แต่ละชุดท่มี คี า่ เฉล่ยี เลขคณติ เท่ากนั

ประชากร σ2comb = N1σ21+N2σ22+⋯+Nkσ2k
N1+N2+⋯+Nk

ตัวอย่าง s2comb = (n1−1)s12+(n2−1)s22+⋯+(nk−1)sk2
(n1−1)+(n2−1)+⋯+(nk−1)

สาหรบั ข้อมลู แต่ละชดุ ที่คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ไมเ่ ทา่ กัน

ประชากร σ2comb = ∑ x2รวม − (μรวม)2 หรอื σ2comb = N1(σ21+(μ1−μรวม)2)+N2(σ22+(μ2−μรวม)2)
Nรวม N1+N2

ตวั อย่าง s2comb = ∑ x2รวม − (x̅รวม)2 หรือ s2comb = n1(s21+(x̅1−x̅รวม)2)+n2(s22+(x̅2−x̅รวม)2)
nรวม n1+n2

การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ (Measures of Relative Varaition) =σ

สมั ประสิทธิข์ องการแปรผันของประชากร (Coefficient of variation) |μ|
สมั ประสิทธิ์ของการแปรผนั ของกลุ่มตัวอยา่ ง
= s
|x̅|

เรียนสถิติแบบจัดเตม็ สแกนเลย →

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 93

ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

ตัวแปรสุ่ม (random variable)
คือ เซตทม่ี สี มาชิกเป็นจานวนจริง เรียกสมาชิกในเซตวา่ “คา่ ของตวั แปรส่มุ ” ซงึ่ ได้จากหาผลลพั ธ์ตาม

ตามความสนใจจากการทดลองสมุ่

โดยทัว่ ไปนิยมใชต้ ัวอักษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พ์ใหญแ่ ทนตวั แปรสุ่มเช่น X, Y, Z และใชต้ ัวอกั ษรภาษาองั กฤษ

ตวั พิมพเ์ ลก็ แทนค่าของตัวแปรสุ่มเช่น x, y, z

เหตุการณ์ ความสนใจของโจทย์ ตัวแปรสมุ่

โยนเหรยี ญบาท 3 เหรยี ญ จานวนคร้งั ทีข่ ้ึนหวั X = (0, 1, 2, 3)

ทอดลกู เต๋า 2 ลกู ผลบวกของแตม้ ลกู เตา๋ ทง้ั 2 ลกู Y = (2, 3, 4, … , 12)

ชนดิ ของตวั แปรส่มุ
โดยท่วั ไป ตวั แปรสมุ่ แบง่ เปน็ 2 ชนิดตามลักษณะของคา่ ที่เปน็ ไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม ดังนี้

1. ตวั แปรสุ่มไม่ตอ่ เนอื่ ง (discrete random variable) คอื ตวั แปรส่มุ ทค่ี ่าทีเ่ ป็นไปได้ทัง้ หมดอยู่ในเซตท่ี
สามารถนบั จานวนสมาชกิ ได้ หรอื ค่าท่เี ป็นไปได้ทัง้ หมดของตวั แปรสุ่มสามารถเขียนเรยี งลาดบั จากน้อยไปมาก
ได้ ซึ่งเซตของค่าทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดของตัวแปรสมุ่ ไมต่ อ่ เนื่องอาจเป็นเซตจากัดหรือเซตอนนั ตก์ ็ได้

ตัวอยา่ งเช่น
• ในการทอดลกู เตา๋ 2 ลูกพรอ้ มกนั 1 คร้ังถา้ ใหต้ ัวแปรสมุ่ คือผลบวกของแตม้ บนหน้าลกู เตา๋ ทั้งสองจะไดเ้ ซตของคา่ ท่ี

เป็นไปไดท้ ั้งหมดของตวั แปรสุ่มคือ { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
• ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 1 คร้ังถ้าใหต้ วั แปรส่มุ เปน็ 0 เม่ือเหรยี ญขึ้นหวั และ 1 เมอื่ เหรยี ญข้นึ กอ้ ยจะไดเ้ ซต

ของค่าท่ีเปน็ ไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ {0, 1}
• ในการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญไปเรอื่ ย ๆ จนกวา่ เหรยี ญจะขนึ้ หัวจงึ จะหยดุ ถ้าให้ตัวแปรส่มุ คือจานวนครง้ั ท่ตี อ้ งโยน

เหรยี ญจนกวา่ เหรยี ญจะขนึ้ หวั จะได้เซตของค่าทเี่ ป็นไปไดท้ ัง้ หมดของตัวแปรสุ่มคือ
{1, 2, 3, ...}หรอื

94

2. ตวั แปรสุม่ ต่อเน่อื ง (continuous random variable) คือตวั แปรสุม่ ทีเ่ ซตของคา่ ทเ่ี ปน็ ไปได้ทง้ั หมดเป็น
ช่วงทเ่ี ปน็ สบั เซตของ

ตวั อย่างเชน่
• ใหต้ วั แปรสุ่มคอื ความสูง (เซนติเมตร) ของนกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 หอ้ งหนง่ึ อาจไดว้ า่ เซตของค่าทเี่ ป็นไปได้
ทง้ั หมดของตวั แปรสมุ่ เปน็ ช่วง 150,190
• ใหต้ วั แปรสมุ่ คือนา้ หนกั (กโิ ลกรัม) ของทเุ รียนท่เี กบ็ เกย่ี วจากสวนแหง่ หนึง่ อาจได้ว่าเซตของคา่ ที่เปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด
ของตวั แปรสุ่มเป็นชว่ ง 1, 6
• ให้ตัวแปรสุ่มคอื ระยะเวลา (ชัว่ โมง) นับจากปัจจุบันจนเกิดแผน่ ดนิ ไหวครงั้ ต่อไปท่จี ังหวดั เชยี งใหม่อาจไดว้ ่าเซต
ของค่าทเี่ ปน็ ไปได้ทั้งหมดมดของตัวแปรสุ่มเป็นชว่ ง [0, ∞)

สัญลักษณ์แสดงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ
P(X = a) = b ความหมายก็คอื ความนา่ จะเปน็ ของค่าตัวแปรสุ่ม a เท่ากับ b

Ex. ใหต้ วั แปรสุ่ม X คอื จานวนครง้ั ทเ่ี หรียญขึน้ หัวจากการโยนเหรยี ญทเ่ี ท่ยี งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง
จะไดต้ ารางแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X ดงั นี้

x 0123

P(X = x) 1 3 3 1

8888

ความนา่ จะเปน็ ทเ่ี หรียญจะหงายเป็นหวั จานวน 2 เหรยี ญ คอื 3 เขียนแทนดว้ ย P(X = 2) = 3
88

***ผลบวกคา่ ความนา่ จะเปน็ ของทกุ ค่าของตัวแปรสุ่มท่เี ป็นไปได้มีคา่ เทา่ กบั 1 เสมอ***

คา่ คาดหมาย(คา่ เฉล่ียของตวั แปรส่มุ )0

n เม่ือ n แทนจานวนคา่ ทเ่ี ป็นไปไดท้ ัง้ หมดของตัวแปรสุม่ X

x =  xiP(X = xi)
i =1

และ x1, x2 , x 3 ,..., x n แทนคา่ ที่เปน็ ไปได้ทัง้ หมดของตัวแปรสุม่ X

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่มไม่ตอ่ เน่ือง X

x = n (xi − x )2 P(X = xi) และเรียก 2x วา่ ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไมต่ อ่ เนอ่ื ง X


i =1

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 95

การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเนื่อง

P(X = xi) = 1 สาหรับทุก i  {1, 2, 3, ... , n}
n

(แตล่ ะคา่ ของตัวแปรสมุ่ มีความน่าจะเปน็ ที่เท่ากันทุกตวั )

การแจกแจงทวินาม

การทดลองสุ่มแตล่ ะครง้ั มผี ลลพั ธท์ ่เี ปน็ ไปไดเ้ พียง 2 แบบคอื คอื สาเร็จ (p) และไม่สาเร็จ (1-p)

ใช้สญั ลกั ษณ์ X B(n, p) โดยที่

 1.  n  px
P(X = x) =  x  (1 − p)n −x สาหรบั ทกุ x 0, 1, 2,..., n

2.  x = np

3. x = np(1 − p)

การแจกแจงปกติ (ตวั แปรสุ่มตอ่ เน่ือง)
กราฟการแจกแจงปกตจิ ะสมมาตร ซงึ่ จะมี x̅ = med = mode

( )ใชส้ ัญลักษณ์ X N , 2

การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน (Z)

ตัวแปรสมุ่ Z มกี ารแจกแจงปกติมาตรฐานนัน้ คอื z = 0 และ z = 1
สตู รคือ Z = X − 



และ P (a  X  b) = P  a −  Z  b −  (การเปดิ ตารางจะนบั พืน้ ที่จากทางซ้ายมานะ^^)
  
  

เมื่อ a, b เป็นค่าท่ีเปน็ ไปไดข้ องตวั แปรส่มุ X และ a  b

เรยี นตัวแปรสุ่มฯแบบจดั เต็มสแกนเลย →

96

ตารางท่ี 1 แสดงพื้นท่ีใตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐาน

z0

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483
-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
-0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776
-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
-0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
-0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611
-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681
-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233
-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
-2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143
-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011
-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
-2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
-2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019
-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010