Handout Dimensi Tiga

HANDOUT MATEMATIKA
DIMENSI TIGA

KELAS XII /SEMESTER 1
ISTI RETNO PRAMUDYA WARDHANI , M.Pd

NIP. 198204302010012007

PEMERINTAH PROPINSI JAWA TIMUR
CABANG DINAS PENDIDIKAN KOTA &

KABUPATEN BLITAR
SMAN 3 BLITAR
2021

HANDOUT DIMENSI TIGA

KELAS XII / SEMESTER 1

ISTI RETNO PRAMUDYA WARDHANI, M.Pd
NIP. 19820430 201001 2 007

Guru Matematika SMA Negeri 3 Blitar

PEMERINTAH PROVINSI JAWA TIMUR
DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 3 BLITAR

2021

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………………..…1
DAFTAR ISI ………………………………………………………………………………….... 2
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG …………………………………………………………………………………………………………..…3
B. TUJUAN …………………………………………………………………………………………………………………………….3
C. PETA KOMPETENSI ……………………………………………………………………………………………………………4
D. RUANG LINGKUP ……………………………………………………………………………………………………………….4
E. SARAN CARA PENGGUNAAN MODUL ………………………………………………………………………………..4

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 DASAR GEOMETRI
A. TUJUAN ……………………………………………………………………………………………………………………………..5
B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI ……………………………………………………………………………..5
C. URAIAN MATERI ………………………………………………………………………………………………………………..5
D. LATIHAN ……………………………………………………………………………………………………………………….……8
E. RANGKUMAN …………………………………………………………………………………………………………………….8
F. UMPAN BALIK …………………………………………………………………………………………………………………..11

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 SEGITIGA
A. TUJUAN ……………………………………………………………………………………………………………………………12
B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI ……………………………………………………………………………12
C. URAIAN MATERI ………………………………………………………………………………………………………………12
D. LATIHAN ………………………………………………………………………………………………………………………….24
E. RANGKUMAN ………………………………………………………………………………………………………………….25
F. UMPAN BALIK ………………………………………………………………………………………………………………...25

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 BANGUN RUANG
A. TUJUAN …………………………………………………………………………………………………………………………..26
B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI ……………………………………………………………………………26
C. URAIAN MATERI ………………………………………………………………………………………………………………26
D. LATIHAN ………………………………………………………………………………………………………………………….29
E. RANGKUMAN ………………………………………………………………………………………………………………….31
F. UMPAN BALIK ………………………………………………………………………………………………………………...32

KEGIATAN PEMBELAJARAN 4 JARAK DALAM DIMENSI TIGA
A. TUJUAN …………………………………………………………………………………………………………………………..33
B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI …………………………………………………………………………..33
C. URAIAN MATERI ……………………………………………………………………………………………………………..33
D. LATIHAN ……………………………………………………………………………………………………………………….…42
E. RANGKUMAN ………………………………………………………………………………………………………………….48
F. UMPAN BALIK ………………………………………………………………………………………………………………….49

EVALUASI ……………………………………………………………………………………..50
PENUTUP ………………………………………………………………………………………55
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………………..56
GLOSARIUM …………………………………………………………………………………..57
LAMPIRAN …………………………………………………………………………………….58

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Penghapusan UNBK pada tahun 2020 pada masa pandemic ini bukan berarti tidak ada
tolak ukur penilaian di tanah air. Gebrakan Mendikbud Nadiem Makarim melalui program
Merdeka Belajar mengganti UNBK dengan diadakannya AKM dan Survey Karakter . AKM
kepanjangan dari Asesmen Kompetensi Minimum tidak dilakukan berdasarkan penguasaan
materi kurikulum yang diujikan pada UNBK melainkan pada kemampuan minimum yang dimiliki
siswa.

Asesmen adalah cara atau alat untuk menilai suatu hal guna memperoleh informasi
tentang tingkat proses dan kecapaian belajar seseorang terhadap materi yang dipelajari. Hasil
dari asesmen itu dapat berupa nilai kualitatif dan nilai kuantitatif. Kemampuan minimum yang
ingin dicapai pada AKM ini meliputi kemampuan literasi dan kemampuan numerik.
Kemampuan literasi yang dimaksud ini bukan hanya mengukur kemampuan membaca siswa
saja tetapi kemampuan dalam memahami dan menganalisis konsep dari suatu bacaan.
Sedangkan kemampuan numerasi yang dimaksud yaitu kemampuan menganalisa dengan angka
– angka.

Selain AKM, Survey karakter juga dilaksanakan bebarengan dengan pelaksanaan tes
AKM. Survey karakter ini digunakan untuk mengetahui profil, karakter anak di sekolah. Di
samping itu survey karakter juga dijadikan tolak ukur supaya sekolah – sekolah tersebut
memberikan umpan balik pada kegiatan pembelajaran.

Geometri sebagai salah satu materi yang akan diujikan pada AKM merupakan dasar
siswa untuk memahami penerapan dimensi tiga dalam dunia nyata. Selama ini banyak modul
yang hanya menuliskan konsep – konsep geometri beserta soal dan pembahasannya saja tetapi
tanpa memperhatikan penerapan sekitarnya. Berdasarkan pelaksanaan AKM dan Survey
Karakter di sekolah – sekolah maka penulis membuat modul belajar yang digunakan siswa –
siswa untuk meningkatkan kualitas kemampuan geometrisnya dalam kehidupan sehari – hari.

Modul ini disusun sebagai bahan belajar siswa secara mandiri dalam mengeksplorasi
prinsip – prinsip geometri, melatih kemampuan bernalar secara induktif dan deduktif sehingga
mampu menerapkan geometri tersebut dalam kehidupan nyata dan untuk dirinya sendiri.
Dengan demikian modul ini akan sejalan dengan pelaksanaan AKM dan survey karakter yang
akan diujikan pada tahun 2021. Materi yang akan dipelajari meliputi dasar – dasar geometri,
segitiga, segiempat, bangun ruang, jarak dan sudut dalam dimensi tiga.

B. TUJUAN

Tujuan dibuatnya modul ini adalah untuk memfasilitasi siswa kelas XII sebagai handbook
dalam mengikuti pembelajaran daring PJJ. Dengan modul itu siswa juga dapat belajar secara
mandiri. Selain itu siswa dapat memahami konsep – konsep dasar geometri, memahami segitiga,
segiempat, bangun ruang, jarak dan sudut dalam dimensi tiga. Setelah memahami konsep -
konsep tersebut diharapkan siswa dapat mengetahui dan memahami penyelesaian , langkah –
langkah penyelesaian soal atau pembahasan soal dan penerapannya dalam kehidupan sehari –
hari serta latihan soal AKM.

C. PETA KOMPETENSI Segitiga Segiempat

Dasar – Dasar
Geometri

Bangun Ruang

Jarak dalam ruang Sudut dalam ruang
dimensi 3 dimensi 3

D. RUANG LINGKUP

Dalam modul ini dipaparkan hal – hal yang berkaitan dengan geometri yang terbagi dalam 6
kegiatan pembelajaran.
✓ KB 1

Membahas tentang dasar geometri yang berisi tentang pengertian pangkal (undefined term),
aksioma, definisi, teorema, sudut, dan transversal
✓ KB 2
Membahas tentang segitiga, kekongruenan, sifat – sifat dan garis – garis istimewa pada
segitiga, kesebangunan dan teorema phytagoras
✓ KB 3
Membahas tentang segiempat yang berisi konsep, sifat dan luas persegi, persegipanjang dan
trapesium
✓ KB 4
Membahas tentang bangun ruang yang meliputi kubus, balok, limas dan prisma
✓ KB 5
Membahas tentang jarak dalam ruang berdimensi tiga
✓ KB 6
Membahas tentang sudut dalam ruang berdimensi tiga

E. SARAN CARA PENGGUNAAN MODUL

Modul ini disusun dan didesain untuk belajar mandiri selama mengikuti pembelajaran
jarak jauh ( PJJ ) baik secara daring maupun luring. Untuk kegiatan belajar mandiri sebaiknya
siswa yang mempelajari modul ini dapat membaca secara berurutan dari kegiatan pembelajaran
pertama sampai bagian akhir, atau mengikuti alur peta konsep. Siswa juga dapat mempelajari
secara mundur . Di samping itu siswa dapat langsung membuka materi dengan topik yang
diinginkan secara langsung, namun jika ada materi sebelumnya ada keterkaitan dengan materi
yang dipelajari maka siswa bergerak mundur untuk mempelajari materi yang diperlukan itu.
Selain itu siswa disarankan untuk melaksanakan aktivitas kegiatan pembelajaran dan
mengerjakan soal Latihan baik soal HOTS maupun soal AKM.

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1
DASAR GEOMETRI

A.TUJUAN

Tujuan kegiatan pembelajaran 1 adalah sebagai berikut :
1. Memberikan informasi dan pemahaman tentang dasar – dasar geometri yaitu pengertian pangkal,

aksioma, definisi dan teorema.
2. Diharapkan siswa dapat memahami system deduktif aksiomatis dalam geometri.
3. Siswa dapat memahami konsep sudut , transversal dan kesejajaran.

B.INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Setelah membaca dan mengikuti kegiatan pembelajaran 1 pada modul Dimensi Tiga ini
diharapkan siswa dapat :
1. Memahami makna tentang pengertian pangkal ( titik, garis dan bidang )
2. Memahami pengertian aksioma, definisi, teorema
3. Memahami system deduktif aksiomatis dalam geometri
4. Memahami konsep sudut, transversal dan kesejajaran

C. URAIAN MATERI

• Pengertian Pangkal
Pangkal terdiri dari titik , garis dan bidang dan ketiganya tidak bisa didefinisikan atau yang dikenal
dengan undenfine term.
Yang termasuk istilah yang tidak dapat didefinisikan yaitu :
✓ Titik
✓ Garis
✓ Bidang
✓ Terletak
✓ Di luar
✓ Kelurusan garis
✓ Datarnya bidang

• KETERANGAN :

1. Titik

Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan
hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktah (•) dan

biasanya di beri nama dengan huruf besar (kapital), misal A, B, C, D, dan

sebagainya. (Lihat gambar. 1)

Gambar.1. •
•

AB

Titik A Titik B

2. Garis

g Gambar.2 Garis adalah kumpulan atau himpunan titik-titik yang
membentuk kurva lurus. Garis merupakan bangun
Garis g PQ berdimensi satu karena ukuran (dimensi) yang dimiliki
hanya satu, yaitu ukuran panjang saja.
Garis PQ

Garis merupakan kurva lurus yang panjangnya takterbatas, garis juga biasaya

di beri nama dengan huruf kecil, misal a, b, c dan seterusnya. Bagian garis yang

di sebut dengan segmen garis di beri nama sesuai dengan titik-titik yang ada

pada ujung garis tersebut. Segmen garis disebut juga ruas garis. Ruas garis

merupakan kurva lurus yang panjangnya terbatas. (lihat gambar.2)

3. Bidang

α D C Bidang disebut bangun berdimensi dua karena
memiliki du dimensi (ukuran), yaitu dimensi panjang

Bidang α AB dan lebar, dan tidak mempunyai ketebalan
Bidang ABCD

Beberapa aksioma tentang titik, garis, dan bidang;
Aksioma 1: melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat
dibuat tepat sebuah garis lurus
Aksioma 2: jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua buah titik
persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang
tersebut
Aksioma 3: melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah
bidang

Berdasarkan 3 buah aksioma tentang titik, garis dan bidang di atas diturunkan
dalil-dalil berikut.
1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titi sembarang.

A• •C
α •B

2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titikyang tidak
terletak pada garis tersebut.

g

α A•

3. Sebuah bidang dapat dibentuk oleh dua buah garis yang berpotongan.

hg

α

4. Sebuah bidang dapat dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar.

gh

α

Adapun kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang adalah sebagai berikut:

1. Kedudukan titik terhadap garis

Kedudukan yang mungkin antara titik dan garis adalah:

a. titik terletak pada garis

k

• Titik P terletak pada garis k

P

b. titik P terletak di luar garis
P• k

Titik P terletak di luar garis k

2. Kedudukan titik terhadap bidang
Kemungkinan kedudukan titik terhadap bidang adalah :
a. titik terletak pada bidang

•

A Titik A terletak pada bidang V

V Titik A terletak di luar bidang V

b. titik trletak di luar bidang
A•

V

3. Kedudukan garis terhadap garis
Kemungkinan kedudukan garis dengan garis lain adalah:
a. sejajar
h Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis
g tesebut terletak pada sebuah bidang dan tidak
α mempunyai satupun titik persekutuan.

b. berpotongan Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan di A,
jika ke dua garis tersebut terletak pada satu bidang
g dan mempunyai satu titik persekutuan.

α Ah

c. berimpit g=h Dua buah garis g dan h dikatakan berimpit, jika kedua
garis tersebut terletak pada satu bidang dan
α mempunyai lebih dari satu titik persekutuan

d. bersilangan

A• h Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan, jika ke

α dua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang dan
garis g menembus bidang di titik A dimana A tidak
g terletak pada garis h.

4. Kedudukan garis terhadap bidang

Kedudukan yang mungkin terjadi antara garis dan bidang adalah:

a. Garis terletak pada bidang

B• A• g Garis g dikatakan terletak pada bidang V, jika antara
V garis g dan bidang V tersebut terdapat sekurang-
kurangnya dua titik persekutuan

b. Garis sejajar bidang Garis g dikatakan sejajar dengan bidang V, jika antara
garis g dan bidang V tersebut tidak terdapat satupun
g titik persekutuan.

V

c. Garis memotong / menembus bidang
Garis g dikatakan memotong bidang V, jika antara

• garis g dan bidang V tersebut terdapat sebuah titik
persekutuan (titik persekutuannya di sebut titik
tembus / titik potong)

V

5. Kedudukan bidang terhadap bidang
Kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain adalah:
a. Sejajar

V Dua bidang V dan W di katakan sejajar jika ke dua
W bidang tersebut tidak mempunyai satupun titik
persekutuan.
b. Berpotongan
Dua bidang V dan W dikatakan berpotongan apabila
W ke dua bidang tersebut mempunyai tepat satu garis
persekutuan (garis potong)
V

c. Berimpit Dua bidang V dan W di katakan berimpit jika setiap
titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada
VW bidang W

CONTOH.
1. Pada kubus PQRS.TUVW

W V ▪ Titik P terletak pada garis PQ dan PT
T U ▪ Titik Q terletak di luar garis RV
▪ Titik T terletak pada bidang PSWT
S R ▪ Titik W terletak di luar bidang QRVU

PQ

2. Pada balok ABCD.EFGH
H G ▪ Garis AB sejajar dengan HG

E F ▪ Garis FG berpotongan dengan EF
D C ▪ Garis AD dan EF bersilangan

AB

3. Pada prisma tegak segitiga KLM.NOP

P

NO ▪ Bidang KLM sejajar dengan bidang NOP
▪ Bidang KLON berpotongan dengan bidang NOP

M
KL

D. RANGKUMAN

- Kedudukan titik terhadap garis atau bidang adalah
a. titik terletak pada garis atau bidang
b. titik terletak di luar garis atau bidang

- Kedudukan garis terhadap garis adalah sejajar, berimpit, berpotongan, dan
bersilangan.

- kedudukan garis terhadap bidang adalah

a. garis terletak pada bidang
b. garis sejajar bidang
c. garis berpotongan (menembus) bidang
- Kedudukan dua bidang dalam ruang adalah sejajar, berpotongan, dan berimpit

E. TUGAS

1. Perhatikan gambar berikut.

H G Berdasarkan macam-macam kedudukan garis

terhadap garis. Tentukan hubungan antara:

EF a. garis AB dan AD c. garis AD dan BC

b. garis AB dan CG d. garis BF dan CE

DC

AB

2. Pada prisma tegak segitiga ABC.DEF, sebutkan masing-masing 3 buah rusuk

yang

a. saling sejajar b. bersilangan c. berpotongan

F. Tes Formatif 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1. Pada kubus PQRS.TUVW, maka rusuk yang sejajar bidang SQUW adalah …

A. TW B. TQ C. TP D. RQ E. RS

2. Banyak bidang yang melalui tiga titik yang tidak segaris adalah …

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
3. Pada kubus ABCD.EFGH, hubungan garis AD dan BF adalah …

A. sejajar B. berpotongan C. berimpit D. bersilangan E.

menembus

4. Pada kubus ABCD.EFGH, hubungan bidang yang berpotongan dengan bidang
ABCD adalah …

A. EFGH B. ACGE C. GFEH D. BCGF E. BDHF

5. Pada kubus ABCD.EFGH, garis yang sejajar bidang BCGF adalah …

A. AB B. AC C. BC D. AD E. HG

G. Kunci Jawaban Tes formatif 1
1. C 2. A 3. D 4. D 5. D

H. LATIHAN SOAL

1.

Pernyataan yang benar adalah
1) Garis BC tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis BC.
2) Garis AD tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis AD.
3) Garis AC melalui titik A,titik O,dan titik C maka titik O terletak pada garis AC.
4) Garis BD melalui titik B,titik O,dan titik D maka titik O terletak pada garis BD.
5) Garis AB tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis AB.

2.

Titik sudut yang terletak diluar bidang alas limas adalah…
3.

.
Garis yang bersilangan dengan garis EF adalah…
4.

Pasangan garis bersilangan dengan garis EF adalah…
5.

Bidang yang sejajar dengan bidang AFH adalah…
6. Diketahui bidang V sejajar bidang W dan dipotong oleh bidang U. Jika garis g perpotongan bidang U

dan bidang V dan garis h perpotongan bidang U dan bidang W, pernyataan berikut yang benar?
7. Diketahui garis g dan garis h bersilangan. Bidang a melalui garis g dan sejajar garis h.

Bidang b melalui garis h dan berpotongan dengan bidang a. Jika garis k merupakan
perpotongan kedua bidang tersebut, pernyataan berikut yang benar adalah…

Untuk menjawab soal nomor 8-11
8. Sebutkan titik sudut yang terletak pada garis TM ?
9. Sebutkan titik sudut yang terletak di luar garis KL ?
10.Sebutkan titik sudut yang terletak pada bidang TMN ?
11.Sebutkan titik sudut yang terletak di luar bidang TKN ?

.
Untuk menjawab soal nomor 12-16

12.Sebutkan titik sudut yang terletak diluar rusuk FG ?
13.Titik sudut yang terletak pada bidang ABCD ?
14.Sebutkan rusuk yang melalui titik E ?
15.Sebutkan bidang yang melalui titik B dan titik G?

Untuk menjawab soal nomor 16-17
16.Sebutkan pasangan rusuk yang sejajar.
17.Sebutkan bidang yang memotong bidang TKL.

I. UMPAN BALIK

Kalian telah mempelajari materi kedudukan titik, garis dan bidang. Untuk menguasai materi ini
dibutuhkan kemampuan pemahaman konsep bangun ruang. Bagi yang masih kesulitan
membayangkan disarankan untuk mempelajari bangun ruang. Dari Latihan Kalian dapat menilai
kemampuan diri, jika jawaban benar lebih dari 80% maka dikatakan sudah baik penguasaan
materinya. Untuk pembaca yang belum dapat mencapai skor yang ditentukan dapat mengulang
materi dan memperbanyak Latihan.

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
SEGITIGA DAN SIFAT - SIFATNYA

A. TUJUAN

Tujuan kegiatan pembelajaran 2 adalah sebagai berikut :
1. Memahami konsep segitiga dengan benar
2. Memahami sifat – sifat dan garis – garis istimewa pada segitiga
3. Memahami teorema phytagoras

B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Setelah membaca dan mengikuti kegiatan pembelajaran 2 pada modul Dimensi Tiga ini
diharapkan siswa dapat :
1. Memahami konsep segitiga dan kekongruenan
2. Memahami sifat – sifat dan garis – garis istimewa pada segitiga
3. Memahami sifat kesebangunan
4. Memahami teorema phytagoras

C. URAIAN MATERI

Konsep segitiga sebagai berikut :

A. Pengertian Segitiga dan Rumus Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang terdiri dari 3 sisi garis lurus dengan 3 titik
sudut yang berjumlah 180º. Sejak tahun 300 SM, Euclid menemukan konsep
bahwa jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180º. Hal ini memberikan kontribusi
yang besar dalam konsep bangun datar, seperti mencari panjang sisi dan
panjang sudut.

Keterangan:

a = alas
t = tinggi, tinggi segitiga membentuk sudut 90° terhadap alasnya.
b, c = sisi lain segitiga

B. Rumus Segitiga

Nama Rumus

Luas (L) L=½×a×t

Keliling Kll = a + b + c
(Kll)

Tinggi (t) t = (2 × Luas) ÷
a

Alas (a) a = (2 × Luas) ÷
t

1. Contoh Soal Mencari Luas dan Keliling Segitiga

Diketahui suatu segitiga dengan panjang sisi alas a = 4 cm, sisi b = 3 cm, sisi
c = 5 cm dan t = 3 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga tersebut!

Diketahui:

a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm, t = 3 cm

Ditanya:

Keliling dan luas!

Penyelesaian:

Keliling = a + b + c
Keliling = 4 cm + 3 cm + 5 cm
Keliling = 12 cm

Luas = ½ × a × t
Luas = ½ × 4 cm × 3 cm
Luas = 6 cm²

Jadi, keliling segitiga adalah 12 cm dan luas segitiga 6 cm².

2. Contoh Soal Mencari Tinggi Segitiga

Diketahui suatu segitiga mempunyai luas 18 cm² dan sisi alas 4 cm. Tentukan
tinggi segitiga!

Diketahui:

Luas = 18 cm², a = 4 cm

Ditanya:

Tinggi segitiga!

Penyelesaian:

Tinggi = (2 × Luas) ÷ a
Tinggi = (2 x 18 cm²) ÷ 4 cm
Tinggi = 36 cm² ÷ 4 cm = 9 cm

Jadi, tinggi segitiga adalah 9 cm.

3. Contoh Soal Mencari Alas Segitiga

Diketahui suatu segitiga mempunyai luas 16 cm² dan tinggi 8 cm. Tentukan
alas segitiga!

Diketahui:

Luas = 16 cm², a = 8 cm

Ditanya:

Alas segitiga!

Penyelesaian:

Alas = (2 × Luas) ÷ t
Alas = (2 x 16 cm²) ÷ 8 cm
Alas = 32 cm² ÷ 8 cm = 4 cm

Jadi, alas segitiga adalah 4 cm.

C. Jenis-jenis Segitiga

Jenis-jenis segitiga secara umum dapat diketahui dari panjang sisi dan besar
sudutnya,

1. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi

Berdasarkan Panjang sisinya segitiga dapat dibedakan menjadi 3 yaitu segitiga
sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sembarang.

1.a. Segitiga Sama Sisi (Equilateral Triangle)

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya mempunyai panjang
sama yang menyebabkan ketiga sudutnya mempunyai ukuran 60º.

1.b. Segitiga Sama Kaki (Isosceles Triangle)

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai 2 sisi sama panjang yang
menyebabkan 2 sudutnya memiliki besar yang sama.

1.c. Segitiga Sembarang (scalene triangle)

Segitiga sembarang adalah segitiga dengan ketiga panjang sisinya berbeda-
beda, sehingga ketiga besar sudutnya juga berbeda-beda.

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Besar Sudutnya

Berdasarkan besar sudutnya segitiga dapat dibedakan menjadi 3 yaitu segitiga
siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul.

2.a. Segitiga Siku-Siku (Right Triangle)

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya membentuk sudut
siku-siku (90º). Pada segitiga siku-siku, 2 sisinya akan membentuk sudut 90º.
Sisi yang tidak membentuk sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).

2.b. Segitiga Lancip (Acute Triangle)

Segitiga lancip adalah segitiga yang masing-masing sudut besarnya kurang dari
90°.

2.c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya lebih dari 90°.

KEKONGRUENAN DAN KESEBANGUNAN DUA BANGUN DATAR
Kesebangunan Dua Bangun Datar
Dua benda dikatakan sebangun jika memiliki bentuk yang sama. Untuk lebih jelasnya
perhatikan dua buah foto berikut.

Gambar 2 diperoleh dengan memperkecil gambar 1. Akibatnya, bentuk dari kedua
gambar sama persis atau sebangun. Dengan memperbesar atau memperkecil suatu
benda, kamu akan selalu mendapatkan benda lain yang sebangun dengan benda yang
kamu miliki sebelumnya. Begitu pula sebaliknya, dua bangun yang sebangun pasti
diperoleh dengan cara memperbesar atau memperkecil suatu benda yang sama.

Contoh bentuk yang sebangun lainnya adalah kedua segitiga di atas. Segitiga DEF
diperoleh dengan memperbesar segitiga ABC sebanyak dua kali. Pasangan-pasangan
sisi a dan d, b dan e, serta c dan f disebut sisi-sisi yang bersesuaian. Jika sisi a, b, dan c
panjangnya berturut-turut adalah 2,3 cm, 1 cm, dan 2 cm, dapatkah kamu menebak
panjang sisi-sisi segitiga DEF ? Benar, untuk memperoleh panjang sisi e, kamu cukup
mengalikan panjang sisi b dengan 2. Demikian juga panjang sisi d dan f diperoleh
dengan mengalikan panjang a dan c dengan 2. Apakah kamu menyadari sesuatu?
Apakah sesuatu itu terlihat seperti persamaan di bawah ini?

Dari persamaan terlihat bahwa perbandingan dari panjang sisi-sisi yang bersesuaian
selalu sama, yaitu 2. Bagaimana jika bendanya tidak diperbesar dua kali tetapi tiga,
empat, atau dengan bilangan lain? Apakah perbandingan panjang dari sisi-sisi yang
bersesuaian tetap sama? Jawabannya tentu saja iya, hanya saja nilainya tidak lagi 2,
melainkan 3, 4, atau berapapun nilai yang kamu gunakan untuk memperbesar atau
memperkecil bentuk benda yang kamu miliki mula-mula. Selain itu, sudut-sudut yang
bersesuaian juga pasti sama besar.

Kita dapat dengan mudah mengatakan bahwa segitiga ABC dan DEF pada contoh di
atas adalah sebangun, sebab sisi-sisi yang bersesuaian telah diletakkan bersesuaian
pula. Namun pada kehidupan nyata banyak benda-benda yang sesungguhnya
sebangun namun tidak terlihat kesebangunannya. Contohnya ada pada gambar di
bawah ini. Dapatkah kamu menemukan pasangan-pasangan sisi yang saling
bersesuaian?

(Petunjuk : cobalah merotasikan segitiga di kanan sejauh 90 derajat berlawanan arah
jarum jam, lalu cerminkan dengan garis vertikal)

Kekongruenan dua bangun datar
Kata kongruen dapat diartikan dengan “menempati bingkainya dengan tepat” atau
“dapat menutup rapat”. Dua bangun yang kongruen memiliki bentuk maupun ukuran
yang sama persis. Pada bangun yang kongruen, perbandingan dari sisi-sisi yang
bersesuaian selalu sama dengan satu. Bagaimana dengan sudut-sudutnya? Tentu saja
sudut yang bersesuaian juga pasti sama besar. Dalam kehidupan sehari-hari, kita bisa
melihat contoh sifat kongruen pada beberapa hal, misalnya pada ubin lantai rumah,
lembaran kertas pada buku catatan, dan lain sebagainya. Setiap ubin pada lantai
memiliki bentuk dan ukuran yang sama persis bukan?

KEKONGRUENAN DAN KESEBANGUNAN DUA SEGITIGA
Pada bahasan sebelumnya, kamu telah mempelajari syarat kekongruenan dan
kesebangunan dari dua bangun datar. Pada pembahasan berikut akan dipelajari lebih
dalam tentang salah satu dari bangun datar tersebut, yaitu segitiga.

Syarat Dua Segitiga Kongruen
Dari pembahasan sebelumnya kalian tentu telah mengetahui syarat dua bangun datar
yang kongruen, yaitu:

• Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
• Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat-syarat di atas juga berlaku untuk segitiga-segitiga yang kongruen. Pertanyaannya
adalah, apakah kita perlu memeriksa seluruh sisi dan sudutnya untuk mengetahui
apakah dua segitiga kongruen atau tidak? Ternyata tidak. Ayo pelajari bagaimana
memeriksa apakah dua segitiga kongruen atau tidak hanya dengan mengecek tiga
elemennya! Perhatikan gambar berikut ini!

Jika pada dua segitiga berlaku seperti di atas, maka dua segitiga tersebut akan
kongruen.
Dari uraian tersebut, dapat dikatakan dua buah segitiga kongruen jika mempunyai :

1. Dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (si, su, si)
2. Sebuah sisi dan dua sudut yang berada pada sisi tersebut sama (su, si, su)
3. Yang paling pasti jika ketiga sisi yang bersesuaian sama besar (si, si, si)
2. Kesebangunan Dua Buah Segitiga
Dari pembahasan sebelumnya telah kita ketahui bahwa : dua segitiga dikatakan
sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi sisi yang bersesuaian
sebanding. Syarat tersebut dapat dikembangkan lagi sebagai berikut.
1. Dua sudut yang bersesuaian sama besar

o Mengapa cukup mengecek dua sudut saja ? Hal ini karena sifat segitiga di
aman jumlahan sudut-sudutnya pasti sama dengan 180 derajat. Akibatnya,
jika dua sudut yang bersesuaian sama besar, pasangan sudut ketiga pasti
besarnya sama pula, yang berakibat dua segitiga tersebut sebangun.

2. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Sejarah Phytagoras – Pythagoras

Sebenarnya, Phytagoras adalah sebuah nama orang dari zaman Yunani Kuno pada
tahun 570 – 495 SM.
Phytagoras adalah seorang filsuf dan ilmuwan matematika yang cemerlang pada
zamannya. Hal ini dibuktikan dengan temuannya yang berhasil menyelesaikan
permasalahan panjang sisi segitiga dengan formula yang sangat sederhana.

Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras adalah dalil matematika tentang segitiga siku-siku, yang menunjukkan
bahwa panjang alas kuadrat tambah panjang tinggi kuadrat sama dengan panjang sisi
miring kuadrat.
Misalkan….

▪ Panjang alas segitiga adalah a
▪ Panjang tingginya adalah b
▪ Panjang sisi miringnya adalah c
Maka dengan menggunakan dalil pytaghoras, hubungan antara ketiganya dapat
dirumuskan menjadi

a2 + b2 = c2

Pembuktian Teorema Pythagoras

Kalau kamu jeli, kamu akan bisa membayangkan bahwa pada dasarnya rumus
pytaghoras tersebut menunjukkan bahwa luas persegi dengan sisi a tambah luas
persegi dengan sisi b, sama dengan luas persegi dengan sisi c.
Ilustrasinya dapat kamu lihat pada gambar berikut:

Cara menggunakan rumus phytagoras

Rumus phytagoras a2 + b2 = c2 pada dasarnya dapat dinyatakan dalam beberapa
bentuk, yaitu:

a2 + b2 = c2

c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2

Untuk menyelesaikan masing-masing dari rumus tersebut, dapat digunakan nilai akar
dari rumus phytagoras di atas.

Catatan Penting: Jangan lupa bahwa rumus-rumus di atas hanya berlaku pada segitiga
siku-siku. Jika tidak, maka tidak berlaku.

Triple Phytagoras (Pola angka)

Tripel phytagoras adalah sebutan untuk pola angka a-b-c yang memenuhi rumus
pythagoras di atas.
Ada banyak sekali angka yang memenuhi tripel pytaghoras ini, bahkan sampai pada
angka yang sangat besar.
Beberapa contoh di antaranya yaitu:

▪ 3–4–5
▪ 5 – 12 – 13
▪ 6 – 8 – 10
▪ 7 – 24 – 25
▪ 8 – 15 – 17
▪ 9 – 12 – 15
▪ 10 – 24 – 26
▪ 12 – 16 – 20
▪ 14 – 48 – 50
▪ 15 – 20 – 25
▪ 15 – 36 – 39
▪ 16 – 30 – 34
▪ 17 – 144 – 145
▪ 19 – 180 – 181
▪ 20 – 21 – 29
▪ 20 – 99 – 101
▪ 21 – 220 – 221

▪ 23 – 264 – 265
▪ 24 –143 – 145
▪ 25 – 312 – 313
▪ dan seterusnya

Daftar tersebut masih terus dapat dilanjutkan sampai angka yang besar sekali.

Intinya, angka-angka tersebut akan sesuai ketika kamu memasukkan nilainya pada
rumus a2 + b2 = c2

Contoh soal lengkap dan pembahasan

Contoh Soal Rumus Pythagoras 1

1. Sebuah segi tiga memiliki sisi BC panjangnya 6 cm ,dan sisi AC 8 cm, berapa cm kah
sisi miring dari segitiga tersebut (AB) ?
Penyelesaian:
Diketahui :

▪ BC = 6 cm
▪ AC = 8 cm
Ditanya : Panjang AB ?
Jawab :
AB2 = BC2 + AC2
= 62 + 82
= 36 + 64
= 100
AB =√100
= 10

Sehingga, panjang sisi AB (miring) adalah 10 cm.

Contoh Soal Dalil Pythagoras 2

2. Diketahui suatu segitiga memiliki sisi miring yang panjangnya 25 cm, dan sisi tegak
segitiga memiliki panjang 20 cm. Berapa panjang sisi datarnya ?
Penyelesaian:
Diketahui: Kita buat permisalan, agar lebih mudah

▪ c = sisi miring , b = sisi datar , a = sisi tegak
▪ c = 25 cm, a = 20 cm
Baca juga: Rumus Cepat Rambat Gelombang dan Cara Menghitungya

Ditanya : Panjang sisi datar (b) ?
Jawab:

b2 = c2 – a2
= 252 – 202
= 625 – 400
= 225

b = √225
= 15 cm

Sehingga panjang sisi datar dari segitiga tersebut adalah 15 cm.

Contoh Soal Rumus Phytagoras 3

3. Berapa panjang dari sisi tegak suatu segitiga apabila diketahui sisi miring segitiga
panjangnya 20 cm, dan sisi datar memiliki panjang 16 cm.

Penyelesaian:

Diketahui: Kita buat dulu permisalan dan nilainya

▪ c = sisi miring , b = sisi datar , a = sisi tegak
▪ c = 20 cm, b = 16 cm

Ditanya : Panjang sisi tegak (a) ?

Jawab:

a2 = c2 – b2
= 202 – 162
= 400 – 256
= 144
a = √144
= 12 cm

Dari sini, didapatkan panjang sisi segitiga bagian tegak adalah 12 cm.

Contoh Soal Triple Phytagoras 4

Lanjutkan nilai dari triple phytagoras berikut….

3, 4, ….
6, 8, ….
5, 12, ….

Penyelesaian:

Sama seperti penyelesaian pada soal-soal sebelumnya, hubungan tripel phytagoras ini
dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus c2 = a2 + b2 .

Silahkan kamu untuk coba menghitungnya sendiri….

Adapun jawabannya (untuk dicocokkan) yaitu:

▪5
▪ 10
▪ 13

Contoh Soal Rumus Pythagoras 5

Diketahui tiga buah kota (A, B, C) membentuk segitiga, dengan siku di kota B.

Jarak kota AB = 6 km, jarak kota BC = 8 km, berapakah jarak kota AC?

Penyelesaian:

Kamu bisa menggunakan rumus teorema pytagoras, dan mendapatkan hasil hitungan
jarak kota AC = 10 km.

D. LATIHAN SOAL

Kerjakan soal berikut :

1.Panjang rusuk sebuah kubus 8 cm, tentukanlah:
a. panjang diagonal bidang
b. panjang diagonal ruang
c. luas bidang diagonal
d. luas permukaan
e. volume

2. Luas bidang diagonal suatu kubus 8 cm2, tentukanlah:
a. panjang rusuk
b. panjang diagonal bidang
c. panjang diagonal ruang
d. luas permukaan
e. volume

E.RANGKUMAN

F.UMPAN BALIK

Kalian telah mempelajari materi kedudukan segitiga. Untuk menguasai materi ini dibutuhkan
kemampuan pemahaman konsep bangun ruang. Bagi yang masih kesulitan membayangkan
disarankan untuk mempelajari bangun ruang. Dari Latihan Kalian dapat menilai kemampuan diri,
jika jawaban benar lebih dari 80% maka dikatakan sudah baik penguasaan materinya. Untuk
pembaca yang belum dapat mencapai skor yang ditentukan dapat mengulang materi dan
memperbanyak Latihan.

KEGIATAN PEMBELAJARAN 3
BANGUN RUANG DAN SIFAT - SIFATNYA

A.TUJUAN

Tujuan kegiatan pembelajaran adalah sebagai berikut :
1. Memahami konsep bangun ruang dengan benar
2. Menentukan unsur – unsur bangun ruang

B.INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Setelah membaca dan mengikuti kegiatan pembelajaran 3 pada modul Dimensi Tiga ini
diharapkan siswa dapat :
1. Memahami unsur – unsur bangun ruang
2. Menentukan unsur – unsur bangun ruang

C. URAIAN MATERI

Dimensi Tiga I: Bangun Ruang Beraturan

1. Kubus

Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang saling kongruen.
Keenam bujur sangkar disebut sisi kubus dan garis yang menjadi perpotongan dua sisi
kubus disebut rusuk kubus. Kubus memiliki 12 rusuk yang sama panjang.

▪ Volume kubus:
▪ Luas permukaan:

2. Balok

Balok memiliki 6 sisi dimana masing-masing sisi yang berhadapan saling kongruen. Balok
memiliki 12 rusuk dengan 3 kelompok panjang yang berbeda yaitu p, l, dan t seperti
dibawah:

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:

3. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 bidang yang sejajar dan kongruen yang
disebut penampang. Bidang yang menghubungkan kedua penampang disebut selimut
prisma.

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:

4. Limas

Limas merupakan bangun ruang yang terdiri dari satu bidang alas dan selimut bangun yang
berbentuk bidang-bidang segitiga. Satu titik dari masing-masing segitiga saling bertemu di
sebuah titik disebut titik puncak limas.

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:

5. Silinder

Silinder merupakan bangun ruang yang memiliki 2 bidang penampang berbentuk lingkaran
yang sejajar dan kongruen. Bidang selimut silinder merupakan bidang persegi panjang
yang dilengkungkan secara mulus mengikuti keliling bidang lingkarannya.

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:

6. Kerucut

Kerucut merupakan bidang ruang yang terdiri dari satu bidang alas lingkaran dan sebuah
titik puncak dengan selimut bidang berbentuk juring lingkaran dan busurnya dilengkungkan
semulus keliling lingkarannya.

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:
Luas permukaan:

7. Bola

Bola merupakan bangun ruang yang tidak mempunyai bidang alas dan titik pojok. Bola
merupakan himpunan titik dalam dimensi tiga yang memiliki jarak sama terhadap satu titik
tertentu yang disebut pusat bola. Jarak pusat bola ke titik-titik permukaan lingkaran disebut
jari-jari bola.

▪ Volume:
▪ Luas permukaan:

❖ Unsur – Unsur Bangun Ruang

Terdapat 6 unsur yang ada dalam suatu benda berdimensi tiga, yaitu rusuk, titik
sudut, sisi, bidang diagonal dan diagonal bidang.
Perhatikan gambar kubus di bawah!

1. Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat
seperti kerangka yang menyusun kubus. Rusuk = AB, BC, CD, AD, AE, BF,
CG, DH, EF, FG, GH, EH (Jumlahnya 12)

2. Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Kubus ABCD. EFGH
memiliki 8 buah titik sudut, yaitu titik A, B, C, D, E, F, G, dan H.

3. Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Kubus memiliki 6 buah sisi
yang semuanya berbentuk persegi, yaitu ABCD (sisi bawah), EFGH (sisi atas),
ABFE (sisi depan), CDHG (sisi belakang), BCGF (sisi samping kiri), dan ADHE
(sisi samping kanan). Bidang sisi = ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, DCGH
(Jumlahnya 6)

4. Diagonal Sisi / Diagonal Bidang adalah Garis yang menghubungkan dua titik
sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang

Diagonal Bidang ABCD.EFGH = AC, BD, EG, FH, BG, CF, AH, DE, AF, BE,
CH, DG (jumlahnya 12)
5. Diagonal Ruang adalah Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang
saling berhadapan dalam satu ruang.

Diagonal ruang Kubus ABCD.EFGH = AG, CE, BH, DF (Jumlahnya 4)
6. Bidang Diagonal merupakan bidang yang menghubungkan dua rusuk yang

sejajar dan tidak sebidang pada bangun ruang.

Bidang diagonal juga dapat diperoleh dengan menghubungkan dua diagonal
sisi yang sejajar dan tidak sebidang.

Bidang diagonal = ABGH,CDEF,BCHE,ADGF,ACGE,BFHD (Jumlahnya 6)

D. LATIHAN SOAL
Lengkapilah isian tabel di bawah!
Keterangan:
Kolom (2) = Gambar bangun ruang
Kolom (3) = Nama Bangun ruang
Kolom (4) = Banyak titik sudut
Kolom (5) = Banyak rusuk
Kolom (6) = Banyak bidang sisi
Kolom (7) = Banyak Diagonal bidang
Kolom (8) = Banyak Digonal Ruang
Kolom (9) = Banyak Bidang diagonal



Kesimpulan:
1. Beberapa rumus untuk menentukan banyaknya unsur pada setiap bangun

ruang prisma tegak segi – n, yaitu:
a. Banyak titik sudut = …………..
b. Banyak rusuk = …………..
c. Banyak bidang/sisi = …………..
d. Banyak diagonal bidang = …………..
e. Banyak diagonal ruang = …………..
f. Banyak bidang diagonal = …………..

2. Beberapa rumus untuk menentukan banyaknya unsur pada setiap bangun
ruang limas tegak segi – n, yaitu:
a. Banyak titik sudut = …………..
b. Banyak rusuk = …………..
c. Banyak bidang/sisi = …………..
d. Banyak diagonal bidang = …………..
e. Banyak diagonal ruang = …………..
f. Banyak bidang diagonal = …………..

E. RANGKUMAN

Bangun Ruang Volum Luas Diagonal Diagonal
Permukaan Bidang Ruang
6s 2
1. Kubus s3 s2 s3

2. Balok p  t 2(p  l) + p2 +l2 +t2
(pt)+
(l  t)

3. Prisma L.alas t Lalas +
Latap +
LBidangtegak

4. Limas Lalas  t Lalas +
3 LBidangtegak

5. a. Kerucut r 2t r 2 + rs
3

b. s(R + r) +
Kerucut R 2 + r 2
terpancung
Ket:
6. Bola 4r 3 R = jari-jari
3
lingkaran
alas
r = jari-jari
lingkaran
atas

4r 2

7. Tabung r 2t 2  r  (t + r)

F. Tes Formatif 1

Pilihlah jawaban yang benar soal berikut :



G. Kunci Jawaban Tes formatif 1
1. C 2. A 3. D 4. D 5. D

KEGIATAN PEMBELAJARAN 4
JARAK BANGUN RUANG

A.TUJUAN

Tujuan kegiatan pembelajaran adalah sebagai berikut :
1. Memahami konsep jarak bangun ruang
2. Memahami konsep sudut pada bangun ruang

B.INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Setelah membaca dan mengikuti kegiatan pembelajaran 3 pada modul Dimensi Tiga ini
diharapkan siswa dapat :
1. Menentukan jarak titik ke titik
2. Menentukan jarak titik ke garis
3. Menentukan jarak titik ke bidang
4. Menentukan sudut pada bangun ruang

C.URAIAN MATERI

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
1. Jarak titik ke titik

Jarak antara dua titik adalah dengan garis hubung terpendek antara kedua titik tersebut, jadi
jarak antara titik A dan B adalah panjang garis AB.Jika titik dalam koordinat cartesius
maka jarak kedua titik adalah

Panjang AB = √( 1 − 1)2 + ( 2 − 2)2 + ( 3 − 3)2
Contoh :
a. Tentukan jarak antara titik P (2, 5, 6) dengan titik R (6, 8, 6)

Penyelesaian :
PR = √(2 − 6)2 + (5 − 8)2 + (6 − 6)2
PR = √(−4)2 + (−3)2 + (0)2
PR = √16 + 9 + 0
PR = √25
PR = 5
Jadi jarak titik P dan R adalah 5 satuan panjang
b. Kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 6 cm, titik P merupakan perpotongan
diagonal bidang atas, hitunglah jarak titik P dan A!

Untuk mencari panjang garis AP maka perhatikan segitiga AEP yang terbentuk, segitiga
AEP adalah segitiga siku-siku, dengan siku-siku di E, Sehingga dengan teorema
pythagoras
AP = √ 2 + 2

AP = √62 + (1 )2

2

AP = √36 + (3√2)2

AP = √36 + 18
AP = √54
AP = 3√6
Jadi jarak titik A ke titik P adalah 3√6 satuan panjang

2. Jarak titik ke garis
Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh
dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimaksud.

Jarak titik B dengan garis g adalah panjang garis BB’.

Contoh :
Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. tentukan jarak titik A ke garis
CE!
Penyelesaian :

Jarak titik A pada garis CE adalah garis AP.

3. Jarak titik dengan bidang
Untuk menentukan jarak sebuah titik pada suatu bidang, maka terlebih dahulu ditarik garis
lurus yang terdekat dari titik ke bidang, sehingga perpotongan bidang dan garis tersebut
harus tegak lurus dengan bidang. Misalkan titik B terletak di luar bidang α maka jarak titik
B ke bidang α dapat ditentukan
sebagai berikut :

Jarak titik B ke bidang α adalah panjang garis BB’.
Contoh :
Suatu limas segitiga beraturan, panjang rusuk tegaknya 8 cm dan panjang rusuk alasnya 6
cm. Jarak titik D ke bidang ABC adalah….
Penyelesaian :

Jarak titik D ke bidang ABC adalah panjang garis DE.

4. Jarak Dua Garis Sejajar
Jika ada dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis dengan menarik garis yang
tegak lurus dengan kedua garis tersebut. Seperti tampak pada gambar di samping,
dimana garis g dan h adalah dua garis yang sejajar, maka jarak kedua garis tersebut adalah
garis PR.

Garis g dan h dikatakan sejajar jika jarak antara kedua garis tersebut selalu sama (konstan),
dan jika kedua garis tidak berhimpit, maka kedua garis tidak pernah berpotongan meskipun
kedua garis diperpanjang.
Perhatikan Gambar berikut.

Gambar
Misalnya, Balok PQRS.TUVW pada Gambar di atas, semua rusuk pasangan rusuk yang
sejajar pasti sama panjang. Misalnya, rusuk PQ sejajar dengan RS, yang terletak pada
bidang PQRS.
Lebih lanjut, bidang PSTWsejajar dengan bidang QRVU, dan jarak antara kedua bidang
tersebut adalah panjang rusuk yang menghubungkan kedua bidang. Rusuk PQ memotong
rusuk QU dan QR secara tegak lurus, maka sudut segitiga PQR adalah 90°.

Contoh :
Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH , dengan panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 3
cm,tentukan jarak antara garis AB dengan garis GH!
Penyelesaian :

Jarak garis AB ke garis GH adalah panjang garis PR
PR = √ 2 + 2
PR = √62 + 32
PR = √36 + 9
PR = √45
PR = 3√5
Jadi jarak garis AB ke garis GH adalah 3√5 cm

5. Jarak dua garis bersilangan
Dua garis dikatakan saling bersilang jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada
dua bidang yang berbeda, seperti salah satunya tampak pada gambar di bawah :

Gambar
garis AH bersilangan dengan garis FC.
Untuk menentukan jarak kedua garis tersebut di atas lakukan langkah berikut :

a.Buatlah bidang α dan β yang sejajar, dengan ketentuan garis AH pada bidang α
dan garis FC pada bidang β seperti pada gambar di bawah :

b.Jarak garis AH dengan FC adalah PQ.

Contoh :
Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya a cm, tentukan jarak garis BDdengan
FC adalah….
Penyelesaian :

Jarak antara BD dan FC adalah PR
PR = √( 2) + ( 2)

PR = √( 2 )2 + ( )2

2

PR = √2. 2

4

PR = √ 2

2

PR = √2 cm
2

Jadi jarak antara BD dan FC adalah 2 √2 cm.

6. Jarak Garis ke bidang yang sejajar
Untuk mengukur jarak garis ke bidang yang sejajar, maka terlebih dahulu kita tentukan
titik sembarang pada garis kemudian kita tarik garis lurus dari titik tersebut ke bidang
sehingga garis yang terbentuk tegak lurus terhadapa bidang. Seperti tampak pada gambar
di bawah ini :

Jarak garis g ke bidang α adalah garik PP’.

Contoh :
Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, jarak AE dengan bidang BDHF adalah….
Penyelesaian :

Jarak AE ke bidang BDHF adalah 12AC = PQ
AC = 4√2cm , maka PQ = 2√2 cm
Jadi Jarak AE ke bidang BDHF adalah 2√2 cm.
7. Jarak Bidang ke Bidang
Untuk mengukur jarak dua bidang, pilihlah sembarang titik pada salah satu bidang
kemudian ditarik garik luruh dari titik yang telah ditentukan ke bidang lainya, sehingga
garis yang terbentuk tegak lurus terhadap kedua bidang. Seperti tampak pada gambar
berikut :

Gambar
Jarak antara bidang β dan α adalah garis AB.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2a cm, tentukan jarak antara AFH
dan DBG!

Penyelesaian :

Jarak bidang AFH dan bidang DBG adalah garis PQ
Perhatikan ∆
AS = √ 2 + 2

AS = √( √2)2 + (2 )2

AS = √2 2 + 4 2

AS = √6 2

AS = √6 cm

Maka : berdasarkan ∆

EP = AE sin A

EP = 2 .


EP = 2 . √2
√6

EP = 2 √3 cm
3

Perhatikan ∆ , dengan cara yang sama diperoleh :

CQ = 2 √3 cm
3

Karena CE = EP + PQ + QC

Maka PQ = CE – EP – QC

CE adalah diagonal ruang maka :

CE = 2 √3 cm

Sehingga :

PQ = CE – EP – QC

PQ = 2 √3 − 2 √3 − 2 √3
3 3

PQ = 2 √3 cm
3

Sehingga jarak bidang AFH dan DBG adalah23 √3 cm.

D. LATIHAN SOAL

1. Balok PQRS.TUVW mempunyai panjang PQ = 6cm, PS = 4cm, dan PT = 3cm. Titik
X merupakan perpotongan antara diagonal QV dan RU. Jarak antara titik P dan titik X
adalah…
a. 7,5 cm
b. 7,25 cm
c. 7,0 cm
d. 6,5 cm
e. 6,25 cm

2. Kubus KLMN.PQRS mempunyai panjang rusuk 8cm. Titik A terletak pada rusuk KL
dengan perbandingan KA : AL = 1 : 3. Jarak antara titik Q dan titik A adalah…
a. 6 cm
b. 8 cm
c. 10 cm
d. 12 cm
e. 14 cm

3. Perhatikan limas T.KLMN berikut

8cm

Alas limas berbentuk persegi. Jika tinggi limas 4cm, jarak antara titik T dan titik M
adalah…

a. 4√6 cm
b. 3√6 cm
c. 2√6 cm
d. 4√3 cm
e. 4√2 cm
4. Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 4cm. Jarak titik P terhadap diagonal
UW adalah…
a. 4√6 cm
b. 4√3 cm
c. 4√2 cm
d. 2√3 cm
e. 2√6 cm
5. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 12cm. Titik P terletak di pertengahan
rusuk AE. Jarak titik E terhadap garis PG adalah…
a. 4√2 cm
b. 4√3 cm
c. 4√6 cm
d. 6√2 cm
e. 6√3 cm
6. Limas beraturan T.ABCD mempunyai panjang AB = 12cm dan TA = 10cm. Jarak titik
A terhadap rusuk TB adalah…

a. 7,2 cm

b. 8,4 cm

c. 9,6 cm

d. 10,2 cm

e. 10,8 cm

7. Balok KLMN.PQRS mempunyai panjang KL = 3cm, LM = 4cm, dan KP = 12cm.

Jarak titik R terhadap diagonal PM adalah…

a. 60 cm
13

b. 48 cm

13

c. 45 cm
13

d. 36 cm
13

e. 12 cm

13

8. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8cm. Titik M terletak di pertengahan

rusuk EH. Jarak titik M terhadap diagonal AG adalah…

a. 4 cm

b. 4√2 cm

c. 4√3 cm

d. 4√5 cm

e. 4√6 cm

9. Limas segi empat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas 18cm dan tinggi

12cm. Titik O merupakan titik potong antara garis AC dan BD, sedangkan titik E
terletak di pertengahan rusuk AB, Jarak titik O terhadap garis TE adalah…

a. 6,4 cm

b. 7,2 cm

c. 8,4 cm

d. 9,6 cm

e. 10,8 cm

10. Limas beraturan T.ABCD mempunyai panjang AB = 16cm, BC = 12cm, dan TA =
26cm. Jarak titik T terhadap bidang alas limas adalah…

a. 10 cm

b. 13 cm

c. 18 cm

d. 20 cm

e. 24 cm

11. Kubus KLMN.PQRS mempunyai panjang rusuk 12cm. Jarak titik P terhadap bidang
LRN adalah…

a. 8√6 cm

b. 8√5 cm

c. 8√3 cm

d. 6√3 cm

e. 6√2 cm

12. Perhatikan gambar berikut

Ruas garis AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Panjang AT = AB = AC = 6cm.
Jarak titik A terhadap bidang TBC adalah…

a. 2√2 cm
b. 2√3 cm
c. 2√6 cm
d. 3√2 cm
e. 3√6 cm
13. Perhatikan balok berikut

Balok tersebut mempunyai volume 540cm3. Jarak antara rusuk LM dan rusuk OR
adalah…

a. 15 cm
b. 13 cm
c. 12 cm
d. 9 cm
e. 5 cm
14. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang AB = 8cm, BC = 10cm, dan CG = 6cm.
Titik P terletak pada rusuk EH dengan perbandingan EP : PH = 3 : 2. Titik Q terletak
pada rusuk AD dengan perbandingan AQ : AD = 3 : 5. Jarak garis CG terhadap bidang
BFPQ adalah…
a. 6 cm
b. 6√2 cm
c. 8 cm
d. 8√2 cm
e. 5 cm
15. Diketahui balok ABCD.EFGH berukuran panjang AB = 16cm, BC = 12cm, dan CG =
10cm. TItik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik tengah EH, AD, AB, dan EF.
Titik K, L, M, dan N berturut-turut merupakan titik tengah GH, CD, BC, dan FG.
Jarak antara bidang PQRS dan bidang KLMN adalah…
a. 7,2 cm
b. 8,4 cm
c. 9,2 cm
d. 9,6 cm
e. 10,0 cm

16. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6cm. Titik P merupakan titik tengah

rusuk EH. Titik Q merupakan perpotongan antara diagonal EG dan FH. Tentukan

jarak antara titik A dan titik G.

a. 6√3 cm

b. 6√2 cm

c. 6 cm

d. 3√2 cm

e. 3√3 cm

17. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB = 16cm, BC = 4cm, dan CG =

3cm. Titik P terletak pada rusuk GH dengan perbandingan HP : PG = 3 : 1. Tentukan

jara antara titik A dengan titik P.

a. 12 cm

b. 13 cm

c. 11 cm

d. 10 cm

e. 9 cm

18. Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 12cm. Tentukan jarak titik Q

terhadap rusuk VW.

a. 10√2 cm

b. 11√2 cm

c. 12√2 cm

d. 13√2 cm

e. 14√2 cm

19. Limas beraturan T.PQRS mempunyai alas berbentuk persegi panjang dengan panjang

PQ = 8cm dan QR = 6cm. Jika panjang TP = 10cm, tentukan jarak titik P terhadap

rusuk TR.

a. 2√3 cm

b. 3√3 cm

c. 4√3 cm

d. 5√3 cm

e. 6√3 cm

20. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang AB = 8cm, BC = 6cm, dan AE = 4cm. Titik

P terletak pada diagonal BD dengan perbandingan BP : PD = 4 : 1. Tentukan jarak

titik F terhadap garis HF.

a. 4 cm

b. 4√3 cm

c. 4√6 cm

d. √3 cm

e. 4√5 cm

21. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 4cm. Titik P merupakan perpotongan

diagonal EG dengan FH. Titik Q dan titik R masing-masing terletak di tengah rusuk

AE dan DH. Tentukan jarak titik P terhadap bidang BCRQ.

a. 6 √5 cm

5

b. 5 √5 cm

6

c. 6 cm
5

d. 5 cm
6

e. √5 cm

22. Limas beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas 18cm dan tinggi 12cm. Titik
P terletak di pertengahan rusuk AD. Tentukan jarak titik P terhadap bidang TBC.
a. 12,2 cm
b. 14,4 cm
c. 13,3 cm
d. 15,5 cm
e. 14,4 m

23. Diketauhui kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8cm. Titik P dan Q
berturut-turut terletak di tengah rusuk EH dan EF. Tentukan jarak ruas garis PQ
terhadap bidang DBG.
a. 4 cm
b. 4√2 cm
c. 4√3 cm
d. 2√2 cm
e. 2√3 cm

24. Kubus KLMN.OPQR mempunyai panjang rusuk 12cm. Tentukan jarak antara bidang
KPR dan bidang LQN.
a. 4 cm
b. 3 cm
c. 4√2 cm
d. 4√3 cm
e. 2√3 cm

25. Diketahui kerangka kubus ABCD.EFGH mepunyai panjang rusuk 4cm diletakkan di
atas meja. Titik sudut C dinaikkan setinggi 4cm dengan titik A tetap di dasar.
Kedudukan titik B dan titik D saama tinggi. Tentukan ketinggian titik G dari
permukaan meja.
a. 2√2 + 2
b. 2√2 + 3
c. 3√3 + 3
d. 3√3 + 2
e. 2√2 + 4

26. Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 8cm. Diketahui titik A terletak pada
pertengahan rusuk PQ. Jarak antara titik A dan titik V adalah…
a. 8√2 cm
b. 8√3 cm
c. 12 cm
d. 12√2 cm
e. 12√3 cm

27. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB = 4cm, BC = 2cm, dan AE = 2cm.
Titik P terletak di tengah rusuk CH. Jarak antara titik Adan titik P adalah…
a. √3 cm
b. √6 cm
c. 2√2 cm
d. 2√3 cm
e. 2√6 cm

28. Limas segi empat beraturan T.KLMN mempunyai panjang rusuk alas 8cm dan tinggi
4cm. Jarak antara titik T dan titik L adalah…
a. 8√3 cm
b. 4√3 cm