Handout Dimensi Tiga

c. 4√2 cm
d. 2√3 cm
e. 2√2 cm
29. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 12cm. Titik P terletak pada rusuk EF
dengan perbandinga EP : PF = 1 : 3. Jarak titik B terhadap ruas garis PG adalah…
a. 7,2 cm
b. 6,4 cm
c. 4,8 cm
d. 3,6 cm
e. 2,4 cm
30. Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 6cm. Titik A terletak di pertengahan
rusuk RV. Jarak titik V terhadap grais TA adalah…

a. 2√2 cm
b. 2√3 cm
c. 2√6 cm
d. 3√2 cm
e. 3√3 cm
31. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4cm. Jarak titik B terhadap diagonal EG
adalah…
a. 4√3 cm
b. 4√2 cm
c. 2√2 cm
d. 2√3 cm
e. 2√6 cm

Glosarium

Bangun datar kongruen

Dua bangun datar kongruen jika keduanya identic atau sama dalam bentuk dan ukuran.

Dilatasi/perskalaan/perbesaran

Suatu dilatasi dari bangun datar dari titik O dengan faktor skala adalah suatu transformasi dari

bangun datar dimana titik asal O dipetakan ke dirinya sendiri dan suatu titik dipetakan ke titik , dimana

dan segaris dan . Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat kartesius dinyatakansebagai

.

Garis bagi sudut segitiga (bisector angle)

Ruas garis bagi sudut segitiga adalah garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sudut yang
kongruen (berukuran sama besar).

Garis berat (median)

Ruas garis yang melalui titik sudut segitiga dan memotong sisi di depannya di titik tengahnya
(midpoint).

Garis tinggi sisi segitiga (Altitude)

Ruas garis tinggi sisi segitiga adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan memotong tegak lurus sisi
didepannya.

Jarak titik ke garis

Misal P adalah titik dan g adalah garis. Jarak titik P ke garis g adalah panjang ruas garis penghubung
antara titik P dengan proyeksi titik P pada garis g.

Jarak titik ke bidang

Misal P adalah titik dan K adalah bidang. Jarak antara P dengan bidang-K adalah panjang ruas garis
penghubung P dengan proyeksi P pada bidang-K.

Kongruen

(geometri) sama dalam ukuran. Dua ruas garis kongruen berarti dua ruas garis tersebut
memiliki ukuran panjang yang sama.

Segibanyak

Bangun datar yang dibatasi oleh garis lurus (ruas garis). Ruas garis yang membatasi
bangun datar tersebut disebut sisi segibanyak.

Segibanyak kongruen

Duasegibanyakkongruenjikaterdapatkorespondensi satu-satu antara titik-titik sudutnya sedemikian
hingga semua sisi-sisi yang bersesuaian kongruen dan semua sudut-sudut yang bersesuaian kongruen.

Segiempat

Segibanyak yang memiliki 4 sisi.

Segitiga

Segibanyak yang memiliki 3 sisi.

Sudut

(di antara dua garis/sinar) Gabungan dari dua sinar yang mempunyai persekutuan titik
tetap.

Titik tengah ruas garis (Midpoint)

Titik tengah ruas garis adalah titik yang membagi

ruas garis menjadi dua ruas garis yang kongruen (panjangnya sama besar).

Daftar Pustaka

Bluman, Allan. 2009. Elementary Statistics: a step by step approach. Seventh edition.
New York: McGraw-Hill.

BPS. 2015. Statistik 70 tahun Indonesia Merdeka. ISBN: 978-979-064-858-6. Djarwanto.
1992. Soal-Jawab Statistik (Bagian Statistik Induktif). Edisi Kedua.

Yogyakarta: Penerbit Liberty.
Lewis, Harry. 1968. Geometry, A Contemporary Course. London: D, Van Nostrand

Company, Inc.
Rosen, Kenneth H. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications. Seventh edition.

New York: McGraw-Hill.
Serra, Michael. 2008. Discovering Geometry: An Investigative Approach. Emeryville: Key

Curriculum Press.
Sun, Thomas Wong Hok. 2008. Challenging Mathematics For ‘O’ Level. Singapore:

Redspot Publications PTE LTD.
Townsend, Michael. 1987. Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and graph

Theory. California: The Benjamin/Cummings.
Walpole, R.E dan Myers, R.H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Ilmuwan. Edisi Keempat. Penerjemah: Dr. RK. Sembiring. Bandung: Penerbit ITB.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fisher.html
http://tekno.tempo.co/read/news/2015/12/11/072727007/google-rata-rata-orang-

indonesia-instal-31-aplikasi

PISA RELEASED ITEMS – MATHEMATICS.

Rahardjo, M. (1999) Geometri Datar dan Ruang. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Sukarman, H (2000) Geometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Herlambang, Edy. 2008. Kumpulan soal-soal OSN.

LAMPIRAN

KUNCI JAWABAN

JAWABAN SOAL LATIHAN BAB 1

1.
1.Garis BC tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis BC.
2.Garis AD tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garis AD.
3.Garis AC melalui titikA,titikO,dan titikC maka titik O terletak pada garis AC.
4.Garis BD melalui titik B,titik O,dan titik D maka titik O terletak pada garis BD.
5.Garis AB tidak melalui titik O maka titik O terletak di luar garisAB.

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan 5

2.
Bangun tersebut merupakan limas T.PQRS. Bidang alas nya yaitu bidang PQRS yang
melalui titik P, Q , R , dan S .Bidang alas PQRS tidak melalui titik T, berarti titik T terletak
diluar bidang PQRS. Jadi, titik yang terletak di luar bidang alas limas adalah titikT.

3.
1. Garis AB dan garis EF terletak pada bidang yang samayaitubidang ABFE.
Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian ,garis AB
sejajar dengan garisEF.
2. Garis BF dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang ABFE.
Kedua garis mempunyai titik persekutuan yaitu titikF. Dengan demikian, garis
BF berpotongan dengan garis EF.
3.Garis DH dan garis EF tidak terletak pada bidang yang sama.
4.Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan. Dengan demikian, garis
DH bersilangan dengan garis EF.
a. Garis EH dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu
bidang EFGH. Kedua garis mempunyai titik persekutuan yaitu titik
E. Dengan demikian, garis EH berpotongan dengan garis EF.

b. Garis CD dan garis EF terletak pada bidang yang sama yaitu bidang
CDEF.Kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan.Dengan demikian, garis
CD sejajar dengan garisEF.

Jadi,garis yang bersilangan dengan garis EF adalah garis DH.

4.
1) Bidang EFGH melaluititik E, F, G, dan H. Garis BG melalui titik B dan titikG. Oleh
karena titik B terletak di luar bidang EFGH maka garis BG memotong/menembus
bidang EFGH.
2) Bidang CDHG melaluititik C, D, H, dan G. Garis AC melaluititik A dan titik C. Oleh
karenatitik A terletak di luar bidangCDHG maka garis AC memotong/menembus
bidang CDHG.
3) Garis AD memotong/menembus bidang CDHG di titikD.
4) Garis AE memotong/menembus bidang EFGH di titikE.
5) Bidang ABFE dan bidang CDHG saling sejajar. Oleh karena garis AB terletak pada
bidang ABFE maka garis AB sejajar dengan bidang CDHG.
Jadi,pasangan garis dan bidang yang saling sejajar adalah garis AB dan bidang CDHG.

5.

Bidang AFH melalui titik A,F,danH. Bidang AFH dibatasi oleh garis AF, FH, dan AH. Garis AF
sejajar dengan garis DG, garis FH sejajar dengan garis BG, dan garis AH sejajar dengan
garis BG. Dengan demikian bidang AFH sejajar dengan bidang BDG.
Jadi, bidang yang sejajar dengan bidang AFH adalah bidang BDG.

6. Garisg merupakan perpotongan antara bidang U dan bidang V,berarti
1) garis g terletakpada bidang U dan pada bidangV.
Garish merupakan perpotongan antara bidang U dan bidang W ,berarti
2) garis h terletak pada bidang U dan bidangW.
Bidang V sejajar dengan bidang W sehingga garis g dan garis h tidak
3)

berpotongan.
4) Garis g dan garis h pada bidang U sehingga garis g dan garis h tidak

bersilangan.
Oleh karena garis g dan garis h tidak berpotongan dan tidak bersilangan berarti
kedua garis itu sejajar. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c.
7. Garis k merupakan perpotongan antara bidang dan bidang ,berarti garis k
terletak pada bidang dan bidang .

1.Garis k terletak pada bidang , sedangkan garis h sejajar dengan
bidang . Dengan demikian,garis k sejajar dengan garis h.
2.Garis k sejajar dengan garis h ,sedangkan garis g tidak sejajar dengan garis
h.Dengan demikian, garis k tidak sejajar dengan garis g.
3.Garis k tidak sejajar dengan garis g,sedangkan garis k dan garis g terletak pada
bidang . Dengan demikian,garis k memotong garis g.
Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan a.

8. Titik yang terletak pada garis TM
Garis TM melalui titik T dan titik M. Dengan demikian, titik sudut yang
terletak pada garis TM adalah titik T dan titik M.

9. Titik yang terletak diluar garis KL
Garis KL melalui titik K dan titik L.Titik-titik selain itu terletak di luar
garis KL. Dengan demikian,titik sudut yang terletak diluar garis KL adalah
titik T, titik M, titik N,dan titik O.

10. Titik yang terletak di luar bidang TKN Bidang TKN melalui titik T, titik
K,dan titikN. Titik-titik selain itu terletak di luar bidang TKN. Dengan
demikian, titik sudut yang terletak di luar bidang TKN adalah titik L,
titikM,dantitikO.

11. Karena titik c terhadap bidang tad,bidang tad melalui titik t,titik a,dan titikd,tetapi
tidak melalui titik c.dengandemikian ,titik c terletak diluar bidang tad

12. Rusuk FG melalui titik F dan titik G.titik titik sudut lainnya terleak diluar
rusuk FG yaitu titik A B C D E H.

13. Bidang ABCD melalui titik ABCD dengan demikian keempat titik itu
terletak di bidang ABCD.

14. Titik E dilalui oleh rusuk AE EF dan EH.
15. Hubungkan garis melalui titik B dan titik G,diperoleh garis BG.bidang

yang dapat mealui garis BG adalah ABG DBG HBG EBG BCGF dan
ABGH.
16. Dua garis dikatakan sjajar jika keduanya terletak pada bidang yang sama
dan tidak mempunyai titik persekutuan.pada limas tersebut pasangan rusuk
sejajarnya adalah KN dengan LM dan KL dengan MN.
17. Bidang yang memotong sisi TKL
Dua bidang dikatakan berpotongan jika keduanya mempunyai
persekutuan.Pada limas tersebut diperoleh sisi yang memotong bidang
TKL yaitu:
1.bidang KLMN yang berpotongan pada garis KL.
2.bidang TLM yang berpotongan pada garis TL
3..bidang TKN yang berpotongan pada garis TK
4.bidang TMN yang berpotongan pada titik T

KUNCI PEMBAHASAN BAB 4
1.1 Pembahasan

X

3 z X
4 y
y
6cm P 2√

1. cm 6

Misal = y titik tengah garis QR dan z titik tengah garis PS. ZP = 2cm

Py = √ 2 + 2

Py = √36 + 4

Py = 2√10
Xy = 3

2

PX = √ 2 + 2

PX = √169

4

PX = 6,5 cm (D)

Q

8 8

A 8
2.
A6 L
KA:AL = 1:3
KL = 8cm 8
KA = 2cm
AL = 6cm T

AQ = √ 2 + 2

AQ = √36 + 64
AQ = 10 cm (C)

4 4

8 8 X M
√
X 8

3.
KM = 8√2
XM = 4√2
TX = 4cm
TM = √ 2 + 2
TM = √16 + 32
TM = 4√3 cm (D)

x
x

4 2√ 4
12√ y
y
4. P G

Misal x dan y titik di antara garis WU dan SQ.
WU = SQ = 4√2
PR = 4√2
Py = 2√2
xy = 4
Px = √ 2 + 2
Px = √8 + 16
Px = 2√6 cm (E)

E

12 6 x
18
P
P
6

5.
EG = 12√2
EP = 6
PG = √ 2 + 2
PG = √288 + 36
PG = 18
PG.Ex = EG.PE
18.Ex = 12√2.6
Ex = 4√2 cm (A)

10 x

8

6. y
AB = 12 12
AT = 10
Ty = √ 2 − 2
Ty = √100 − 36
Ty = 8
BT.Ax = AB.Ty

10.Ax = 12.8
Ax = 9,6 cm (C)

P 5 R

4 x 4
134
12 12

4 M

4

7. 3
RM = PK = 12

KL = 3

LM = 4

PR = √ 2 + 2

PR = √9 + 16

PR = 5

PM = √ 2 + 2

PM = √25 + 144

PM = 13

PM.xR = PR.RM

13.xR = 5.12

xR = 60 cm (A)
13

M

8
x

8.
Rusuk = 8
EM = 4
AM = √42 + 82
AM = MG = 4√5
AG = 8√3
Mx.AG = MG.MA
Mx.8√3 = 4√5. 4√5
Mx = 4√2 cm (B)

x12 18

O
9. E

Rusuk = 18

TO = 12
OE = 9
TE = √ 2 + 2
TE = √144 + 81
TE = 15
TE.Ox = OE.TO
15.Ox = 9.12
Ox = 7,2 cm (B)

T

26 26

O 12 A 10 O
12
10. 16 OO
AC = √162 + 122
AC = √256 + 144 P x √ R
AC = 20 6√
AO = 10 12
TO = √262 − 102 6√
TO = √676 − 100
TO = 24 cm (E) O

x y

O

y

11.
PR = 12√2
Py = yR = √6√22 + 122
Py = yR = √72 + 144
Py = yR = 6√6
xy = 12
PO.yR = xy.PR
PO.6√6 = 12.12√2
PO = 8√3 cm (C)

6x
6

O

12.
BC = √62 + 62
BC = √36 + 36
BC = 6√2
AO.BC = AC.AB
AO.6√2 = 6.6
AO = 3√2
TO = √3√22 + 62
TO = √18 + 36
TO = 3√6
Ax.TO = AO.AT
Ax.3√6 = 3√2.6
Ax = 2√3 cm (B)

13. 12 5
Volume = 530cm3 9

V = p.l.t

540 = 12.9.t

540 = t
108

5 =

RM = √122 + 52

RM = √144 + 25

RM = 13 cm (B)

F

T

F

14. Px G
EP : PH = 3 : 2
FF F

EP : PH = 6 : 4
AQ : AD = 3 : 5
AQ : AD = 6: 10
PF = √62 + 82
PF = 10
PG = √42 + 82
PG = 4√5
FG = 10

Fx = √102 − 2√52

Fx = 4√5
PG.Fx = PF.TG
4√5.4√5 = 10.Tg
8 = Tg
Tg = 8 cm (C)

15. Q
QL = QR = √62 + 82
QL = QR = 10 F
LR = 12
Rx = 6 O
Qx = √102 − 62
Qx = 8 Rx L
LO.QR = Qx.LR
LO.10 = 8.12
LO = 9,6 cm (D)

6

16.
Titik A ke Titik G = 6√3 cm (A)

12 P 4

3

O
4

16
17.

HP : PG = 3 : 1

HP : PG = 12 : 4

AO = √122 + 42
AO = 4√10
PO = 3

AP = √4√102 + 32
AP = 13 cm (B)

12

18.
Titik P ke Rusuk VW = 12√2 cm (C)

10 x

12 6

O 12
8
19. 12
PR = √62 + 82
PR = 10
PO = 5
PT = TR = 10
TO = √102 − 52
TO = 5√3
Px.TR = TO.PR
Px.10 = 5√3.10
Px = 5√3 cm (D)

x

O 6
4 2P
12 8 12

20. 8
12
HF = BD = √62 82
+

HF = BD = 10

BP : PD = 4 : 1

BP : PD = 8 : 2

HP = √42 + 22

HP = 2√5

Px = 4

FO.HP = Px.HF

FO.2√5 = 4.10
FO = 4√5 cm (E)

P

z 4

xR
QO

y

21.
Px = √22 + 22
Px = 2√2
Py = √42 + 22
Py = 2√5
xy = √42 + 22
xy = 2√5

yz = √2√52 − √22

yz = 3√2

PO.xy = yz.Px

PO.2√5 = 3√2.2√2

PO = 6 √5 cm (A)
5

12 O
R
P
8
S

22. 18
TR = √92 + 122
TR = √81 + 144
TR = 15
PO.TR = TS.PR
PO.15 = 12.18
PO = 14,4 cm (B)
PS
8T Q

8

O

R
23.

EG = 8√2
TG = 34EG

TG = 6√2

GR = √4√22 + 82

GR = √96
GR = 4√6
TQ = 14EG
TQ = 2√2

TR = √2√22 + 82

TR = 6√2
GR.TO = TG.SR
4√6.TO = 6√2.8
TO = 4√3 cm (C)

P 12
O

S

24.
PQ = 6√2
PS = 12

SQ = √6√22 + 122

SQ = √72 + 144
SQ = 6√6
PO.SQ = PS.PQ
PO.6√6 = 12.6√2
PO = 4√3 cm (D)

P 90° 45°

45°

25. G’
AC = 4√2

AC’ = √4√22 − 4

AC’ = 4

AC’ = CC’ = 4 = ⊿ Siku-siku sama kaki

∠ ′ = ∠ = ∠45°

∠ = ∠90° = ∠ = ∠45°

Sin ∠ =


Sin 45° =

4

1
2 √2 = 4

= 2√2
GG’ = PG + PG’

GG’ = 2√2 + 4 cm (E)

8

26. 4 A
AR = √42 + 82
AR = 4√5

AV = √4√52 + 82

AV = 12 cm (C)

P
2

O

2

27. 4
AO = 2√2
PO = 2

AP = √2√22 + 22

AP = 2√3 cm (D)

4

O 8

28.
OL = 4√2
TO = 4

TL = √4√22 + 42
TL = 4√3 cm (B)

O
P

12

29.
B=F

EP : PF = 1 : 3

EP : PF = 3 : 9

PG = √92 + 122

PG = √81 + 144

PG = 15

FO.PG = FG.PF

FO.15 = 12.9

FO = 108
15

FO = 7,2 cm (A)

A
O
6

30.
TV = 6√2
VA = 3

TA = √6√22 + 32
TA = 9
VO.TA = VA.TV
VO.9 = 3.6√2
VO = 2√2 cm (A)

O

4
31.

EG = GB = EB = 4√2

OB = √4√22 − 2√22
OB = 2√6 cm (E)