BAHAN AJAR MATRIKS

Matriks

Bahan Ajar Matematika materi “Matriks”
Berbasis PBL (Problem Based Learning)
Untuk SMA/MA kelas XI, Semester I-Kurikulum 2013

Penulis : Aufa Khofifah Khoirunnissa

Desain Cover : Aufa Khofifah Khoirunnissa

Pembimbing : - Yemi Kuswardi, S.Si,. M.Pd.

- Riki Andriatna, S.Pd., M.Pd.

Validator : - Arum Nur Wulandari, S.Pd., M.Pd.

- Indah Purnamaningsih, S.Pd.

- Kharisma Putri S.Sn

Ukuran Bahan Ajar : 21 cm x 29,7 cm (A4)

Bahan ajar ini dirancang dan disusun oleh penulis menggunakan Microsoft Office
Word 2007 dan Corel Draw

Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pengetahuan
Universitas Sebelas Maret 2021/2022

ii

Matriks

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas
berkah dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan Bahan Ajar
ini. Bahan Ajar ini disusun berdasarkan kompetensi yang ada dalam buku
pegangan kurikulum 2013, setiap kompetensi yang ada dalam bahan ajar
disampaikan dengan cara yang mudah dipahami oleh peserta didik.

Bahan ajar matematika ini berbasis PBL atau Problem Based
Learning dalam setiap langkah pembelajarannya. Sehingga dengan
menggunakan langkah-langkah tersebut diharapkan peserta didik dapat
menyerap pembelajaran dengan baik. Penggunaan bahan ajar matematika
berbasis PBL ini bertujuan memfasilitasi pemahaman konsep untuk
meningkatkan pemecahan masalah matematika dalam mempelajari materi
Matriks.

Pada akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua
pihak yang telah membantu dalam penyusunan bahan ajar matematika ini.
Penulis menyadari bahan ajar matematika ini masih sangat jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan komentar dan
masukan yang membangun demi perbaikan bahan ajar ini pada masa yang
akan mendatang.

Surakarta, Juni 2022

Penulis

iii

Matriks

DAFTAR ISI

JUDUL .................................................................................................................... i
KATA PENGANTAR ........................................................................................... iii
DAFTAR ISI.......................................................................................................... iv
DESKRIPSI MODUL............................................................................................ vi
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ............................................................... vi
KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR ...................................................... vii
TUJUAN .............................................................................................................. viii
PETA KONSEP ..................................................................................................... ix
URAIAN MATERI..................................................................................................1

A. Jenis-jenis matriks.........................................................................................4
1. Matriks Baris .............................................................................................4
2. Matriks Kolom ..........................................................................................4
3. Matriks Persegi..........................................................................................4
4. Matriks Nol................................................................................................5
5. Matriks Segitiga ........................................................................................5
6. Matriks Diagonal .......................................................................................6
7. Matriks Identitas........................................................................................6
8. Matriks Datar.............................................................................................6
9. Matriks Tegak............................................................................................6
10. Matriks Skalar ...........................................................................................6

B. Kesamaan matriks .........................................................................................7
C. Transpose matriks .........................................................................................8
D. Operasi pada matriks...................................................................................12

1. Penjumlahan Matriks ..............................................................................12
2. Pengurangan Matriks ..............................................................................15
3. Perkalian Suatu Bilangan Real Terhadap Matriks .................................17
4. Perkalian Dua Matriks ............................................................................18
E. Determinan matriks....................................................................................25
1. Determinan Matriks Ordo 2x2 ................................................................25
2. Determinan Matriks Ordo 3x3 ................................................................27

iv

Matriks

F. Invers matriks.............................................................................................28
G. Aplikasi matriks ..........................................................................................31

1. Matriks Dalam kehidupan sehari-hari ....................................................31
2. Menentukan Persamaan Reaksi dengan matriks sistem .........................32
3. Matriks dalam Focks kimia ....................................................................32
UJI KOMPETENSI................................................................................................34
LEMBAR KEGIATAN 1 ......................................................................................40
LEMBAR KEGIATAN 2 ......................................................................................44
GLOSARIUM ........................................................................................................48
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................49
KUNCI JAWABAN ..............................................................................................50
KRITERIA PENILAIAN.......................................................................................61
BIODATA PENULIS ............................................................................................62

v

Matriks

DESKRIPSI MODUL

Modul matematika berbasis PBL (Problem Based Learning) ini
disusun dengan harapan memberikan penjelasan materi Matriks dan
mampu meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematika serta
dapat menerapkan dan menyelesaikan masalah baik dalam aktivitas sehari-
hari di rumah, di sekolah, maupun lingkungan sekitar. Modul ini dapat juga
digunakan dengan atau tanpa pendidik yang menjelaskan materi.

Tujuan penyusunan modul Matriks ini adalah dapat memfasilitasi
peserta didik dalam memahami materi Matriks. Modul dilengkapi dengan
contoh-contoh dalam bentuk masalah kontekstual agar peserta didik dapat
memahami dan menerapkannya dalam kehidupan nyata. Selain itu modul
juga dilengkapi dengan kegiatan proyek yang mampu memacu peserta
didik untuk berkreasi dan berinovasi sesuai dengan konsep materi yang
dibahas di setiap sub-materi. Diharapkan dengan menggunakan modul ini,
peserta didik tidak hanya belajar memahami konsep serta perhitungannya
tetapi bisa lebih menerapkannya dalam kehidupan nyata.

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

Agar anda berhasil dengan baik dalam menggunakan modul ini,
ikutilah petunjuk-petunjuk berikut :

1. Pelajari modul dengan berurutan, karena materi sebelumnya
menjadi prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul, dan
perhatikan petunjuk kegiatan belajar yang ada.

3. Ulangi apabila anda kurang memahami materi yang disajikan,
lanjutkan jika anda sudah menguasai materi.

4. Kerjakanlah soal evaluasi setelah kamu memahami semua
materi.

vi

Matriks

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

Kompetensi Dasar Indikator Kompetensi Dasar

3.3 Menjelaskan matriks dan 3.3.1 Mendeskripsikan pengertian matriks.

kesamaan matriks dengan 3.3.2 Menghubungkan materi SPLTV dengan

menggunakan masalah pengertian matriks.

kontekstual dan 3.3.3 Menjelaskan ordo dan macam-macam matriks.

melakukan operasi pada 3.3.4 Menentukan transpose matriks.

matriks yang meliputi 3.3.5 Mengidentifikasi fakta pada matriks, dan

penjumlahan, kesamaan matriks dengan masalah kontekstual.

pengurangan, perkalian 3.3.6 Menyelesaikan masalah operasi penjumlahan

skalar, dan perkalian, dan pengurangan matriks

serta transpose. 3.3.7 Menentukan hasil operasi perkalian matriks

dengan skalar.

3.4 Menganalisis sifat-sifat 3.4.1 Mengidentifikasi pengertian determinan dan

determinan dan invers invers matriks

matriks berordo 2x2 dan 3.4.2 Menentukan determinan dan invers matriks

3x3. berordo 2x2 dan 3x3

3.4.3 Menjelaskan sifat-sifat determinan dan invers

matriks

3.4.4 Menyelesaikan masalah dengan sifat-sifat

determinan matriks.

3.4.5 Menyelesaikan masalah dengan sifat-sifat

invers matriks.

4.3 Menyelesaikan masalah 4.3.1 Menggunakan prosedur untuk melakukan

kontekstual yang transpose matriks.

berkaitan dengan matriks 4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang

dan operasinya. berkaitan dengan kesamaan 2 matriks.

4.3.3 Menggunakan prosedur untuk melakukan

operasi penjumlahan dan pengurangan matriks.

4.3.4 Menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan perkalian matriks dengan

skalar.

4.4 Menyelesaikan masalah 4.4.1 Menyelesaikan masalah kontekstual mengenai

yang berkaitan dengan determinan matriks ordo 2x2

determinan dan invers 4.4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual mengenai

matriks berordo 2x2 dan determinan matriks ordo 3x3

3x3 4.4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual mengenai

invers matriks ordo 2x2

4.4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual mengenai

invers matriks ordo 2x2.

vii

Matriks

TUJUAN

Melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok,
diskusi kelompok, dan penemuan peserta didik dapat :

1. Menunjukan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses
belajar berlangsung.

2. Menunjukan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah
matriks.

3. Mengidentifikasikan pengertian matriks.
4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks.
5. Menyelesaikan suatu masalah menggunakan operasi matriks.
6. Menyelesaikan suatu masalah menggunakan transpose matriks.
7. Menyelesaikan suatu masalah menggunakan kesamaan matriks.
8. Menyelesaikan suatu masalah menggunakan determinan matriks.
9. Menyelesaikan suatu masalah menggunakan invers matriks.
10. Aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari.

viii

Matriks

PETA KONSEP MATRIKS
Aplikasi

Invers Matriks Determinan
Matriks

Definisi Bentuk dan Relasi Operasi pada
Ciri Matriks Matriks

Jenis-jenis Matriks Transpose Matriks

Matriks Baris Kesamaan Dua
Matriks Kolom Matriks
Matriks Persegi
Penjumlahan
Matriks Nol Pengurangan
Matriks Segitiga
Matriks Diagonal Perkalian
Matriks Identitas
Matriks Datar
Matriks Tegak
Matriks Skalar

ix

Matriks

URAIAN MATERI
Ayo Mengamati

Gambar 1 : Keramik dan meja dalam kelas
Amatilah gambar di atas, tahukah bahwa kedua gambar di atas
memiliki susuanan berupa pola baris dan kolom bukan? Pernahkah kalian
melihat denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah, pada baris dan
kolom mana kalian berada? Siapa yang duduk di baris pertama? Dengan
menggunakan matriks, kalian dapat meringkas penyajian denah sehingga
mudah untuk mengetahui di mana kalian dan teman-teman duduk. Contoh
lain adalah susunan angka dalam bentuk tabel. Dalam sebuah tabel terdapat
baris atau kolom, jumlah baris atau kolom tergantung pada ukuran tabel. Ini
sudah merupakan representasi dari matriks. Agar kamu bisa cepat
menemukan konsepnya, yuk simak beberapa uraian dan permasalahan
berikut ini.

Gambar 2 : contoh Kue Mille crepes
Danu ingin membeli kue mille crepes untuk pesta ulang tahunnya
dan Danu ingin kue mille crepes rasa Red velvet dan rasa Lotus. Danu
mengunjungi toko A, toko B dan toko C untuk melihat kue. Pada toko A
kue mille crepes rasa Red velvet berharga Rp 75.500 dan rasa Lotus Rp
89.000, toko B kue mille crepes rasa Red velvet berharga Rp 79.000 dan
rasa Lotus Rp 85.500, toko C kue mille crepes rasa Red velvet berharga Rp

1

Matriks

77.500 dan rasa Lotus 90.000. Susunlah dalam tabel agar Danu dapat
mengetahui harga kue tiap toko.

Penyelesaian :

Toko Rasa Red Velvet Rasa Lotus

A Rp 75.500 Rp 89.000

B Rp 79.000 Rp 85.500

C Rp 77.500 Rp 90.000

Dari tabel di atas, jika diambil angka-angkanya saja dan ditulis
dalam tanda kurung buka dan kurung tutup, bentuknya menjadi bentuk
sederhana inilah yang kita sebut dengan matriks.

Setelah mengamati dan membaca pemaparan diatas, tentu bisa
diketahui betapa luasnya penggunaan Matriks dalam kehidupan nyata.
Bagaimana, menarik bukan? Dari sini mudah-mudahan kalian termotivasi
untuk melangkah mempelajari Matriks lebih dalam, terlebih belajar
matematika itu sendiri.

a Definisi Matriks

y d

j jMatriks adalah sekumpulan elemen yang disusun berdasarkan klasifikasi
d
djdua sifat yang sering disebut dengan baris dan kolom. susunan angka
j
j
j jyang disusun dalam baris dan kolom terletak di antara dua tanda kurung.
j
d segi empat yang diapit oleh tanda kurung siku.
j jRangkaian

c

n

n

n

i n Ayo Amati

n

n Apakah Kelompok bilangan di bawah ini, merupakan matriks?
n

n 2 4 1 7 2
3 3 9 5 3
n a. c. 8
m

m 1 7 3
4 2 4
m b. d. 4
m

m

m

2

Matriks

Ayo Menganalisis

Menurut definisi matriks maka :

a. Kelompok bilangan 2 4 1 merupakan matriks, karena
3 3 9

susunannya membentuk persegi panjang dan bilangan-

bilangan iru tersusun dalam baris dan kolom.

b. ________________________________________________

________________________________________________

________________________________________________

c. ________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________

d. ________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________

Bentuk umum Matriks

Pada bentuk matriks tersebut, terlihat hal-hal sebagai berikut :
1. Banyaknya baris dan kolom matriks A berturut-turut adalah m

dan n buah
2. 11, 12, 13, … , disebut dengan elemen-elemen matriks A,

disebut elemen A pada baris ke-m dan kolom ke-n.
Matriks dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan lain-
lain. Banyaknya baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran matriks
yang disebut ordo matriks. Perhatikan elemen matriks A di atas, misalnya
21 menyatakan bahwa unsur-unsur matriks A terletak pada baris 2 dan
kolom 1. sedangkan matriks tersebut berorde × dan ditulis .

3

Matriks

a Ayo Berdiskusi
dy
j j Kerjakanlah pada Lembar Kegiatan 1
j d Perhatikan tabel berikut ditunjukan jarak antara dua kota dalam
dkj ilometer.
jj
jj Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta
jd
cj Bandung 0 130 367 428
Cirebon
130 0 237 317

n Semarang 367 237 0 115

n Yogayakarta 428 317 115 0
n
n a. Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolom, tulislah
matriks yang diperoleh!
n
n b. Berapa banyak baris dan banyak kolom yang anda peroleh dari soal
n sebelumnya?

n c. Sebutkan elemen-elemen pada setiap baris!

n d. Sebutkan elemen-elem pada setiap kolom!

m

m

A. mJenis-Jenis Matriks

m Berdasarkan ordonya, matriks terdiri dari beberapa jenis sebagai

m

mberikut:

1. Matriks Baris

Yaitu; matriks yang hanya mempunyai satu baris saja dan

banyaknya kolom n, mempunyai ordo 1 ×

Contoh : 1 3 = [1 3 5]

2. Matriks Kolom

Yaitu; matriks yang hanya memounyai satu kolom saja dan

banyaknya baris m, mempunyai ordo × 1

1
Contoh : 3 1 = [3]

5

3. Matriks Persegi

Matriks persegi atau sering disebut matriks bujur sangkar adalah

matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Misalnya matriks yang memiliki tiga baris dan tiga kolom

(urutan 3x3)

4

Matriks

Gambar 3 : Matriks Persegi

Dalam matriks persegi ada yang disebut diagonal utama dan

diagonal sekunder. Pada contoh di atas, elemen-elemen yang

terletak pada diagonal utama matriks adalah 2 , 7 dan 5, yaitu

elemen-elemen yang letaknya dari kiri atas ke kanan bawah.

Sebaliknya, elemen-elemen yang terletak pada diagonal

sekunder adalah dari kiri bawah ke kanan atas.

4. Matriks Nol

Matriks nol (0) adalah matriks yang elemennya semua bernilai

nol

Contoh : 2 3 = [00 0 00]
0

5. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar atau persegi

berordo nxn dimana elemen-elemen matriks di bawah atau di

atas diagonal utama semuanya nol. Matriks segitiga terdiri dari

matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.

Matriks segitiga bawah (L) adalah matriks bujur sangkar atau

persegi yang setiap elemen di atas diagonal utamanya adalah nol

(0). Matriks segitiga atas (U) adalah matriks persegi yang setiap

elemen di bawah diagonal utama adalah nol (0)

Contoh:

Gambar 4: Matriks segitiga bawah dan atas

5

Matriks

6. Matriks Diagonal
Matriks diagonal (D) adalah matriks bujur sangkar atau persegi
yang elemen-elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol,
tetapi semua elemen di atas dan di bawah diagonal utama adalah
nol.
Contoh :

Gambar 5 : Matriks Diagonal

7. Matriks Identitas (I)

Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar atau persegi

dimana elemen-elemen pada diagonal utama semuanya satu dan

semua elemen lainnya adalah nol.

Contoh : 2 2 = [01 01] 100
3 3 = [0 1 0]

001

8. Matriks Datar

Matriks datar adalah matriks berordo × dengan m < n

Contoh : 2 3 = [45 3 81]
6

9. Matriks Tegak

Matriks tegak adalah matriks berordo × dengan m > n

45
Contoh : 3 2 = [3 6] memiliki tiga baris dan dua kolom

81

sehingga matriks tampak tegak.

10. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

dan elemen-elemen selain diagonal utama adalah nol (0)

300
Contoh : 3 3 = [0 3 0]

003

6

Matriks

RANGKUMAN
Dari uraian materi di atas, dapat kita simpulkan dalam rangkuman ini
sebagai berikut:
1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi

atau persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom, dan
ditempatkan dalam tanda kurung siku. Matriks diberi nama
menggunakan huruf kapital, seperti A, B, dan C.
2. Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan
banyaknya kolom.
3. Jenis-jenis matriks diantaranya adalah matriks baris, matriks kolom,
matriks persegi, matriks nol, matriks segitiga, matriks diagonal,
matriks identitas, matriks datar, matriks tegak dan matrik skalar.

B. Kesamaan Dua Matriks
Ayo Mengamati

Gambar 6: Denah perumahan
Dua kompleks perumahan di wilayah Malang memiliki ukuran dan
bentuk bangunan yang sama. Gambar di bawah ini menggambarkan tata
letak pembagian kompleks perumahan.

7

Matriks

Gambar 7: Denah perumahan
Dari denah di atas dapat diketahui bahwa blok A sama dengan blok
B, karena jumlah rumah di blok A sama dengan jumlah rumah di blok B.
Selain itu, penempatan setiap rumah di blok A sama dengan penempatan
perumahan di Blok B. Artinya ada 32 rumah di blok A dan Blok B dibagi
menjadi dua jajaran.

Ayo Simpulkan

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A=B), jika dan hanya
jika :

i) Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
ii) Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan

matriks B = (untuk semua nilai I dan j)

= [13 −91] , = 1 32 , = [31 91]
[6 −1]
2

= , ≠ , ≠

Dua atau lebih matriks dikatakan sama jika dan hanya jika matriks

tersebut memiliki orde yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian

juga sama.

C. Transpose Matriks

Ayo Mengamati

Dalam mendapatkan informasi berupa tabel, terkadang didapatkan
dua tabel yang berbeda namun memiliki makna yang sama. Sebagai
ilustrasi, perhatikan contoh berikut. Sebuah program bimbingan belajar
memiliki program khusus untuk ujian masuk PTN dengan materi SAINTEK
DAN SOSHUM.

8

Matriks

Pada bimbingan belajar, jumlah kelas di setiap program setiap hari

tidak selalu sama. jumlah kelas dalam setiap program khusus dapat disajikan

dalam dua tabel yang berbeda dengan makna yang sama sebagai berikut:

Senin Selasa Rabu Kamis

Sainteks 6 2 5 7

Soshum 4 8 5 3

Sainteks Soshum

Senin 6 4

Selasa 2 8

Rabu 5 5

Kamis 7 3

Secara lebih sederhana, kedua tabel tersebut dapat dituliskan ke

dalam bentuk matriks berikut. Misalkan tabel pertama disebut matriks A

dan tabel kedua disebut matriks B. Jadi, bentuk matriks dari kedua tabel di

64

atas adalah = [46 2 5 73] = [52 58]
8 5

73

Ayo Menganalisis
Sekarang, Ayo kita perhatikan masing-masing elemen dalam

dua matriks, lalu bandingkan. kesimpulan apa yang didapat? dengan
membandingkan matriks A dan matriks B, dapat diketahui bahwa
elemen-elemen pada baris pertama matriks A adalah elemen-elemen
pada kolom pertama matriks B. Demikian juga, elemen-elemen pada
baris kedua matriks A adalah elemen-elemen pada matriks B. kolom
kedua dari matriks B. Dengan demikian, matriks B diperoleh dengan
menuliskan elemen-elemen setiap baris pada matriks A menjadi
elemen-elemen setiap kolom matriks B. Matriks yang diperoleh dengan
cara ini disebut matriks transpose

9

Matriks

a Definisi Transpose

djjdjjjcyjjdjjjdmmbeaerknoTTjaradrrtaadornnia psnb posa×opsrseoi ss dmmmayraaaaitnttrrrmgiiikkkadsssti,rsAiuddksiasdhuniannAsysidelabekbtneaaarkgnloiaakrnndndopdyenera on.g sgaMe×nasni ss mAaelbaTked.anaganglaauimhbbaeashrteribikkkuusoat hl:AommdaiktmreiktaasthriuAkisT,

n

n- Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam

n matriks AT.
n

n- Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks AT.

n

n- Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks AT

n

n dan seterusnya.

mm- Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks AT.

m Matriks transpos orde × juga merupakan matriks orde × .

m

mMisalkan matriks A memiliki matriks transpos AT. Jika A = AT berlaku,

mmaka matriks A dikatakan matriks simetris.

Contoh :

a) Jika 2 3 = [54 3 18] , maka transpose dari 2 3 adalah
6

45
= [3 6]

81

Jika ordo matriks A = 2 × 3 maka ordo matriks transpose adalah

3 × 2.

23 −1
b) Jika 3 3 = [ 3 3 4 ] , maka transpose dari 3 3 adalah
9
−1 4

2 3 −1
= [ 3 3 4 ]

−1 4 9

Perhatikan matriks S, ternyata transpose dari matriks S sama dengan

matriks S itu sendiri ( = ). Matriks S disebut matriks simetris.

10

Matriks

Sifat Sifat-sifat matriks transpose :
Transpose i. ( + ) = ( ) + ( )
ii. ( ) =
iii. ( ) =
iv. ( ) = . , =

d a Ayo Berlatih
j y Tentukanlah nilai a,b,c dan d yang memenuhi hubungan = ,
j
jd
2 − 2 3 dan = [ − 5 3 − 74]
djbilajj = [ + 2 2 ] 3 6

jj 4 7

jd
cj
n

n

n

n RANGKUMAN
n

n Dari uraian materi di atas, dapat kita simpulkan dalam rangkuman ini

n

n sebagai berikut:

n

m 1. Kesamaan antara dua matriks tidak hanya ditentukan oleh

m kesamaan ordo kedua matriks tersebut. Dua matriks dikatakan
m

m sama (identik) jika ordo kedua matriks tersebut sama dan elemen-

m

m elemen yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut bernilai

sama.

2. Transpos matriks dihasilkan dengan mengubah kolom matriks

menjadi baris matriks, dan sebaliknya. Misalkan matriks A
diketahui, maka transpos matriks A dinyatakan dengan AT.

3. Jika A = AT berlaku, maka matriks A dikatakan matriks simetris.

11

Matriks

D. Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan Matriks

Ayo Mengamati

Di suatu kota terdapat dua toko seragam sekolah, yaitu toko seragam

Jaya dan toko seragam Abadi. Beberapa jenis seragam yang dijual di toko

ini adalah seragam OSIS, seragam pramuka, dan bawahan putih. Berikut

ini adalah daftar seragam yang tersedia di kedua toko tersebut.

Seragam OSIS Seragam Pramuka Bawahan Putih

Toko Jaya 56 63 49

Toko Abadi 43 87 31

Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut pada

hari yang sama melakukan pembelian seragam baru yang jumlahnya

disajikan pada tabel berikut.

Seragam OSIS Seragam Pramuka Bawahan Putih

Toko Jaya 98 76 112

Toko Abadi 107 65 108

Berapa banyakkah persediaan
ketiga seragam yang ada di
toko masing-masing setelah
dilakukan pembelian tersebut?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, langkah pertama yang
dilakukan adalah menjumlahkan jumlah seragam di persediaan awal
dengan seragam yang dibeli sebagai persediaan tambahan. Tentunya yang
dijumlahkan harus dari jenis yang sama dan di toko yang sama, misalnya
jumlah seragam OSIS di Toko Jaya dijumlahkan dengan jumlah seragam
OSIS yang dibeli Toko Jaya (dijumlahkan harus bersesuaian). Kedua tabel
dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk matriks.

12

Matriks

Kemudian dilakukan penjumlahan matriks, yaitu yang dijumlahkan
adalah elemen-elemen yang letaknya sama. Berikut ini adalah definisi dari
penjumlahan matriks.

a Penjumlahan Matriks

dy

Mjj atriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Penjumlahan

ddjdjilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang letaknya sama.

jj

jj Kedua tabel pada uraian di atas, jika di ubah ke dalam bentuk
jd

mcajtriks dan dijumlahkan adalah sebagai berikut :

n = [5463 63 3419] , = [19087 76 111028]
n 87 65
n

n + = [5436 63 3419] + [19087 76 110182]
n 87 65
n
= [4536++19087 63 + 76 49 + 110128]
n 87 + 65 31 +
n

n = [115504 139 116319]
m 152
m

m Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks di atas, informasi

m

pemrsediaan seragam di kedua toko ditunjukkan pada tabel berikut:

m

Toko Jaya Seragam OSIS Seragam Pramuka Bawahan Putih
Toko Abadi 154 139 161
150 152 139

Dalam uraian di atas kita juga dapat menggunakan tabel yang
berbeda namun mendapatkan hasil yang sama, yaitu sebagai berikut :

Di suatu kota terdapat dua toko seragam sekolah, yaitu toko seragam
Jaya dan toko seragam Abadi. Beberapa jenis seragam yang dijual di toko
ini adalah seragam OSIS, seragam pramuka, dan bawahan putih.

13

Matriks

Berikut ini adalah daftar seragam yang tersedia di kedua toko

tersebut.

Toko Jaya Toko Abadi

Seragam OSIS 56 43

Seragam Pramuka 63 87

Bawahan Putih 49 31

Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut pada

hari yang sama melakukan pembelian seragam baru yang jumlahnya

disajikan pada tabel berikut.

Toko Jaya Toko Abadi

Seragam OSIS 98 107

Seragam Pramuka 76 65

Bawahan Putih 112 108

Kedua tabel pada uraian di atas, jika di ubah ke dalam bentuk

matriks dan dijumlahkan adalah sebagai berikut :

56 43 98 107

= [63 87] , = [ 76 65 ]

49 31 112 108

56 43 98 107
+ = [63 87] + [ 76 65 ]

49 31 112 108

56 + 98 43 + 107 154 150
152]
= [ 63 + 76 87 + 65 ] = [139
139
49 + 112 31 + 108 161

Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks di atas, informasi

persediaan seragam di kedua toko ditunjukkan pada tabel berikut:

Seragam OSIS Toko Jaya Toko Abadi
Seragam Pramuka 154 150
139 152
Bawahan Putih 161 139

14

Matriks

Sifat
Penjumlahan

Untuk matriks A, B, C dan matriks O yang berordo sama
berlaku sifat-sifat penjumlahan matriks sebagai berikut :
a) Sifat komunikatif : A + B = B + A
b) Sifat asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
c) Terdapat unsur identitas penjumlahan matriks yaitu

matriks O (matriks yang semua elemennya sama dengan
nol) sedemikian rupa sehingga A + O = O + A
d) Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yaitu
matriks –A (matriks yang semua elemennya sama dengan
matriks A tetapi berlainan tanda) sedemikian rupa sehingga
berlaku A + (-A) = (-A) + A = O matriks –A sering pula
disebut sebagai invers penjumlahan atau invers aditif dari
matriks A.

2. Pengurangan Matriks

Ayo Mengamati

Dari stok terakhir dua toko seragam di atas, keesokan harinya

beberapa pelanggan datang untuk membeli sejumlah seragam di masing-

masing toko seragam. Seragam yang terjual pada hari itu adalah sebagai

berikut:

Seragam OSIS Seragam Pramuka Bawahan Putih

Toko Jaya 98 110 128

Toko Abadi 101 107 99

15

Matriks

Berapa banyakkah sisa
persediaan ketiga seragam yang
ada di toko masing-masing
setelah terjualnya sejumlah
seragam tersebut?

Sama seperti operasi penjumlahan matriks, operasi pengurangan
matriks juga menerapkan ketentuan kesamaan ordo antara matriks yang
bertindak sebagai matriks pengurangan dan matriks yang akan dikurangi.
Berikut ini definisi pengurangan matriks.

a Pengurangan Matriks

dy

j j Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordonya sama. Pengurangan

jddj dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang letaknya sama.

jj

jj Pada uraian di atas, diperoleh :
jd

cj Stok terakhir = = [115540 139 116391]
n 152

n Penjualan = = [19081 110 19298]
n 107
n

n − = [115504 139 116319] − [19081 110 19298]
n 152 107

n = [115504−−19081 139 − 110 116319−−19298] = [5469 29 4303]
152 − 107 45
n
n

m Berdasarkan informasi dari pengurangan matriks di atas, informasi
m

pemrsediaan seragam di kedua toko ditunjukkan pada tabel berikut:

m

m

m Seragam OSIS Seragam Pramuka Bawahan Putih

Toko Jaya 56 29 33

Toko Abadi 49 45 40

Pada pengurangan matriks berlaku sifat anti komutatif, dimana
− ≠ −

16

Matriks

3. Perkalian suatu bilangan real terhadap matriks

Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar.

oleh karena itu perkalian real dari matriks juga dikenal sebagai perkalian

skalar dari matriks. Mengalikan skalar dengan matriks A berarti

mengalikan suatu bilangan dengan matriks A. Jadi, hasil perkalian skalar

dengan matriks A adalah matriks dengan elemen .

Jika A adalah matriks berordo × dan k adalah bilangan real,

maka kA adalah matriks berordo × yang elemen-elemennya

diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A

Contoh :

3 4 dan = [−121 26] tentukanlah 2A dan 3B!
Jika = [−2 9]
−9
7

Penyelesaian:

34 2(3) 2(4) 68

2 = 2 × [−2 9 ] = [2(−2) 2(9) ] = [−4 18 ]

7 −9 2(7) 2(−9) 14 −18

3 = 3 × [−121 62] = [33((−121)) 33((62))] = [−363 168]

Sifat
Perkalian

Untuk matriks A dan B berorde sama dan 1, anggota
2mengatakan real maka berlaku sifat-sifat berikut.

1. Sifat distributif : ( 1 + 2) = 1 + 2
2. Sifat distributif: 1( + ) = 1 + 1
3. Sifat asosiatif: 1( 2 ) = 1 2

17

Matriks

4. Perkalian dua matriks
Ayo Mengamati

Bayu dan Adi membeli buah di supermarket. Bayu membeli 5 buah
jeruk dan 7 buah apel, sedangkan Adi membeli 6 buah jeruk dan 4 buah
apel.

Gambar 8: buah jeruk dan apel

Jika harga sebuah jeruk Rp 2.300,00 dan harga sebuah apel Rp

3.100,00. Berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh Bayu dan

Adi? Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :

Jeruk Apel Harga

Bayu 5 7 Jeruk Rp 2.300,00

Adi 6 4 Apel Rp 3.100,00

Penyelesaian dan permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan

menggunakan aljabar biasa atau menggunakan matrik. Dalam hal ini,

permasalahan di atas akan diselesaikan dengan menggunakan matriks,

sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan anda

pelajari. Langkah pertama adalah menuliskan model masalah di atas ke

dalam bentuk matriks, sebagai berikut :

- Data banyaknya buah jeruk dan buah apel yang dibeli oleh Bayu
dan Adi (dinyatakan dalam bentuk matriks A), yaitu = [56 74]

- Data harga buah jeruk dan buah apel (dinyatakan dalam bentuk
matriks B), yaitu : = [32310000]

Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks A mewakili

jumlah buah jeruk yang dibeli Bayu, sedangkan elemen baris pertama dan

18

Matriks

kolom pertama matriks B mewakili harga buah jeruk. Dengan demikian,

untuk mengetahui harga beli semua buah jeruk yang dibeli Bayu, adalah

dengan mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks A

dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks B. Dalam hal ini,

(5)(2.300). Demikian pula untuk harga beli buah apel yang dibeli Bayu,

yaitu dengan mengalikan baris pertama kolom kedua matriks A dengan

elemen baris kedua kolom pertama matriks B, dalam hal ini (7)(3.100).

Harga beli yang Bayu bayarkan merupakan penjumlahan dari hasilnya,

yaitu (5)(2.300) + (7)(3.100) = 33.200. Jadi, harga belanjaan Bayu adalah

Rp 33.200. Sekarang, tentukan harga belanjaan yang harus dibayar Adi?

Dari uraian di atas, dapat diketahui bahwa untuk mendapatkan harga

belanjaan Bayu dan Adi adalah dengan cara mengalikan matriks A dan B,

sebagai berikut:

= [65 47] × [23310000] = [56 × 2300 + 7 × 33110000] = [2336220000]
× 2300 + 4 ×

Perkalian di atas disebut perkalian matriks. Ketentuan yang harus

diingat adalah perkalian dua matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom

pengali (matriks pertama yaitu matriks A) sama dengan jumlah baris

matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu matriks B). Dari uraian

diketahui bahwa ordo 2 2 dan 2 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1.
Secara umum, jika matriks A berordo × dan matriks B berordo

× maka matriks hasil kali AB berordo ×

a Perkalian Matriks

dy

j Dj ua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom pada matriks A

j sjdama dengan jumlah baris pada matriks B. Unsur-unsur dalam matriks
d

j Aj B diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen baris dalam
j
j

j md atriks A dengan elemen-elemen kolom dalam matriks B

cj

n

n

n

n

n

n

n

n

n 19

m

m

m

m

Matriks

RANGKUMAN
Dari uraian materi di atas, dapat kita simpulkan dalam rangkuman ini
sebagai berikut:
1. Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.

Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen
yang letaknya sama.
2. Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordonya sama.
Pengurangan dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen
yang letaknya sama.
3. Jika A adalah matriks berordo × dan k adalah bilangan real,
maka kA adalah matriks berordo × yang elemen-elemennya
diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A
4. Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom pada
matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B. Unsur-unsur
dalam matriks AB diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen
baris dalam matriks A dengan elemen-elemen kolom dalam matriks
B

Permasalahan

Sebuah toko perlengkapan sekolah memiliki dua cabang toko
yang berlokasi di Surakarta dan Karanganyar. Kedua cabang toko tersebut
menjual dua jenis perlengkapan sekolah yaitu seragam OSIS dan seragam
Pramuka. Toko tersebut menjual perlengkapan sekolah yang terbagi
menjadi tiga jenis, yaitu katun, linen, drill, dan oxford.

Gambar 9. Seragam sekolah

20

Matriks

Tahun lalu, toko-toko di Surakarta mampu menjual seragam OSIS

sebanyak 1800 jenis cotton linen, 1890 jenis drill, dan 1700 jenis oxford

serta seragam. Pramuka sebanyak 2 jumlah seragam OSIS dengan jenis
3

katun linen, 1090 jenis drill, dan 10% lebih banyak dari jumlah seragam

OSIS dengan jenis oxford. Sedangkan toko yang berlokasi di Karanganyar

dapat menjual seragam OSIS sebanyak 1130 jenis kain katun linen, 1260

jenis drill, dan 1730 jenis oxford, serta seragam Pramuka sebanyak 1430

jenis katun linen, 1210 jenis drill, dan 1820 jenis dari oxford. Tentukan

dalam bentuk matriks :

a. Berapa banyak seragam dari masing-masing jenis yang akan

dijual di Surakarta dan Karanganyar, jika perkiraan peningkatan

penjualan sebesar 10%?

b. Berapa total seragam yang akan dijual oleh pemilik toko pada

tahun ini untuk setiap jenis seragam?

a Ayo Berpikir

y

Penyelesjaian :

d

Dari permj asalahan di atas, informasi apa saja yang diperoleh?
Pada tokjo yang terletak di surakarta mampu menjual :

j

- Seragdam OSIS sebanyak 1800 jenis katun linen, 1890 jenis drill, dan

j

1700 jenis oxford.

- Seragam Pramuka sebanyak 2 jumlah seragam OSIS dengan jenis katun
3

linen, 1090 jenis drill, dan 10% lebih banyak dari jumlah seragam OSIS

dengan jenis oxford.

Sedangkan toko yang berlokasi di Karanganyar dapat menjual :

- Seragam OSIS sebanyak 1130 jenis kain katun linen, 1260 jenis drill,

dan 1730 jenis oxford.

- Seragam Pramuka sebanyak 1430 jenis katun linen, 1210 jenis drill, dan

1820 jenis dari oxford.

21

Matriks

Permasalahan di atas menanyakan :
a. Berapa banyak seragam dari masing-masing jenis yang akan dijual di

Surakarta dan Karanganyar, jika perkiraan peningkatan penjualan
sebesar 10%?
b. Berapa total seragam yang akan dijual oleh pemilik toko pada tahun ini
untuk setiap jenis seragam?

a Ayo Rencanakan

y

- Padja toko yang terletak di Surakarta menjual seragam pramuka jenis

d

katuj n linen sebanyak 2 jumlah seragam OSIS dengan jenis katun linen,
3
j

sehijngga diperoleh :

d

2 ×j1800 = 1200

3

- Sedangkan, jenis oxford yang dijual oleh toko yang terletak di Surakarta

sebanyak 10% lebih banyak dari jumlah seragam OSIS dengan jenis

oxford, sehingga diperoleh :

1700 × 10% = 170

Sehingga banyaknya seragam pramuka jenis oxford sebanyak

1700 + 170 = 1870

Dari soal yang diketahui dapat diubah kedalam bentuk tabel :

Surakarta Seragam Seragam
OSIS Pramuka
Katun Linen 1.800
Drill 1.890 1.200
Oxford 1.700 1.090
1.870

Karanganyar Seragam Seragam
OSIS Pramuka
Katun Linen 1.130
Drill 1.260 1.430
Oxford 1.730 1.210
1.820

22

Matriks

Dalam bentuk matriks 1.200
1.800 1.090]
1.870
= [1.890

1.700

1.130 1.430
= [1.260 1.210]

1.730 1.820

a Ayo Selesaikan

y

a. perkiraanj peningkatan penjualan sebesar 10%=0,1. Jika n adalah

d

banyaknyj a menjual seragam tahun kemarin, maka banyaknya menjual

seragam jjtahun ini adalah + 0,1 = 1,1 . Sehingga matriks penjualan

seragam dtahun ini dapat ditentukan dengan perkalian skalar berikut ini:

j

′ = 1,1
1.800 1.200

′ = 1,1 [1.890 1.090]
1.700 1.870

1.980 1.320
′ = [2.079 1.199]

1.870 2.057

′ = 1,1 1.430
1.130 1.210]
1.820
′ = 1,1 [1.260
1.730

1.243 1.573
′ = [1.386 1.331]

1.903 2.002

Jadi, banyaknya seragam dari masing-masing jenis bahan yang akan

dijual di toko Surakarta dan toko Karanganyar adalah

1.980 1.320 1.243 1.573

′ = [2.079 1.199] dan ′ = [1.386 1.331]

1.870 2.057 1.903 2.002

23

Matriks

b. untuk menentukan total seragam yang dijual pemilik toko pada tahun ini
dapat menjumlahkan matriks S’ dan K’ sehingga diperoleh:
1.980 1.320 1.243 1.573 3.224 2.893
′ + ′ = [2.079 1.199] + [1.386 1.331] =[3.465 2.530]
1.870 2.057 1.903 2.002 3.773 4.059
Jadi, total seragam yang akan dijual oleh pemilik toko pada tahun ini
3.224 2.893
pada setiap jenis seragam adalah [3.465 2.530]
3.773 4.059

a Ayo Periksa Kembali

y
j
d

Coba cjarilah alternatif lain untuk menyelesaikan permasalah di atas dan periksa
kembalji penyelesaian masalah yang di lakukan terkait hal tersebut.

j

............d.........................................................................................................................
............j.........................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

24

Matriks

E. Determinan Matriks
1. Determinan matriks ordo ×
Ayo Mengamati
Pada jam istirahat sekolah, Tika dan teman-temannya menuju kantin
sekolah. Mereka memesan 3 ayam geprek dan 4 gelas jus jeruk di kantin
sekolah.

Gambar 9: Ayam geprek dan jus jeruk

Tak lama kemudian, Farel datang bersama teman-temannya dan

memesan 5 porsi ayam geprek dan 6 gelas jus jeruk. Jika Tika harus

membayar Rp 65.000,00 untuk semua pesanannya dan Farel harus

membayar Rp 105.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga

satu porsi ayam geprek dan jus jeruk per gelasnya?

Dalam menyelesaikan masalah di atas, ingat kembali materi sistem

persamaan linier yang telah dipelajari. Buat sistem persamaan linier dari

masalah tersebut, kemudian selesaikan dengan matriks.

Misalkan :

x = harga satu porsi ayam geprek

y = harga satu gelas jus jeruk

Sistem persamaan liniernya : 3 + 4 = 65.000

5 + 7 = 105.000

Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :

[53 64] = [16055.0.00000] … … … … … (1)
[ ]

25

Matriks

Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel.

1 + 1 = 12} → [ 12 12] = [ 12]
2 + 2 = [ ]

Solusi persamaan tersebut adalah :

= 2 1 − 1 2 dan = 1 2 − 2 1 , 1 2 ≠ 2 1 … … … (2)
1 2 − 2 1 1 2 − 2 1

Ingat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesaian

sistem persamaan dua variabel. Tentunya kalian mampu

menunjukkannya.

Dalam konsep matriks 1 2 − 2 1 disebut sebagai determinan
matriks [ 12 12], dinotasikan [ 12 12] atau det (A), dengan matriks
[ 12 12] =

Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (2), dapat ditulis

menjadi:

= | 12 12| dan = | 12 12| , | 12 21| ≠ 0 … … … … (3)
| 12 12| | 12
1 |
2

Kembali ke persamaan (1), dengan menggunakan persamaan (3),

maka diperoleh :

= |16055.0.00000 64| = 390.000 − 420.000 = −30.000 = 15.000
|53 46| 18 − 20 −2

= |53 16055.0.00000| = 315.000 − 325.000 = −10.000 = 5.000
|53 64| 18 − 20 −2

Jadi, harga satu porsi ayam geprek adalah RP 15.000,00 dan harga

satu gelas jus jeruk adalah Rp 5.000,00.

26

Matriks

a Determinan Matriks

djNyj otasi Determinan
jd
matriks = [ ] . Determinan dari matriks A dapat
dMj isalkan

jj
jjdjdinyatakan det( ) = | | = | | = −
cj

2. nDeterminan Ordo ×

n

n Ayo Mencoba
n

n

n Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke

nnThailand, perusahaan memiliki tiga jenis pesawat, yaitu Airbus A320,

nAirbus A321, Boeing 787. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi

m

mpenumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan bisnis. Jumlah kursi

mmpenumpang dari ketiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel

mberikut.

m

Kategori Airbus A320 Airbus A321 Boeing 787

Kelas Turis 50 75 40

Ekonomi 30 45 25

Bisnis 32 50 30

Perusahaan telah mendaftarkan jumlah penumpang yang mengikuti

perjalanan wisata ke Thailand seperti pada tabel berikut.

Kategori Jumlah Penumpang

Kelas Turis 305

Ekonomi 185

Bisnis 206

Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan

untuk perjalanan tersebut?

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita misalkan :

x = banyaknya pesawat Airbus A320

y = banyaknya pesawat Airbus A321

z = banyaknya pesawat Boeing 787

27

Matriks

Sistem persamaan yang berbentuk adalah :

50 + 75 + 40 = 305 50 75 40 305
30 + 45 + 25 = 185} ↔ [30 45 25] [ ] = [185]
32 + 50 + 30 = 206 32 50 30 206

Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu

kita periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular.

Cara untuk menentukan det (A), dengan metode Sarrus. Yaitu

sebagai berikut :

11 12 13 12
Misalkan matriks 3×3 = [ 21 22 21] 22
32
31 32 33

11 12 13 11 12 13 11
| 21 22 21| = | 21 22 21| | 21
31 32 33 31 32 33 31

= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32 −

31 22 13 − 32 23 11 − 33 21 12

Selesaikan penyelesaian masalah di atas, dengan teman
sebangkumu kemudian presentasikan di depan kelas!

F. Invers Matriks

Jika A dan B matriks persegi × sedemikian hingga = = , B
disebut invers A ( = −1) dan A disebut invers B ( = −1) sehingga

berlaku;

−1 = −1 = , adalah identitas.

Invers matriks A dirumuskan −1 = 1 . ( )
| |

Pembuktian :

Misalkan matriks 2 × 2, matriks = [ ] dan misalkan invers matriks
A adalah −1 = [ ] . Berdasarkan pengertian invers matriks, maka
berlaku −1 = , dengan I matriks identitas.

[ ] [ ] = [01 10]

28

Matriks

[ + + ] = [10 01]
+ +

Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh;
+ = 1 ……(1)
+ = 0 ……(2)
+ = 0 ……(3)
+ = 1 ……(4)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier (1) dengan (2) dan (3)

dengan (4), diperoleh: = ; = − ; = − ; =
− − − −

Dengan demikian,

−
] = [ −−
−1 = [ − ] = 1 [− − ]
− −


−

Maka invers matriks adalah −1 = 1 [− − ] dengan −
−

≠ 0

a Invers Matriks

d y matriks = [ ], invers matriks adalah
j
j Mj isalkan

d

dj −1 = 1 [− − ] dengan − ≠ 0
jj −
jj

jd

cj

n

n

n

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

m

m

29

Matriks

a Ayo Berdiskusi
dy
j j Kerjalakanlah dengan berkelompok pada Lembar kegiatan 2!
jd
dj Biro perjalanan Yogyakarta Holidays menawarkan paket wisata

jj Pantai Parangtritis yaitu menginap di Hotel Mutiara Samodra,
jj
j d transportasi ke masing-masing tempat wisata, dan makan di Kesuma
cj
n Restorant. Paket wisata yang ditawarkan adalah Paket I yang terdiri

n

n dari 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan dengan

n biaya Rp 2.030.000,00. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat

n

n wisata dan 7 kali makan dengan biaya Rp. 1.790.00.00. Paket III

n

n dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata dan 4 kali makan dengan

n biaya Rp 2.500.000,00. Berapa biaya sewa hotel per malam, satu kali

m

m transportasi dan satu kali makan?

m

m

m

m

Ayo Simpulkan

Silahkan simpulkan apa yang di peroleh dari diskusi di atas!
Kesimpulan :

30

Matriks

RANGKUMAN

Dari uraian materi di atas, dapat kita simpulkan dalam rangkuman ini

sebagai berikut:

1. Misalkan matriks = [ ] . Determinan dari matriks A dapat

dinyatakan det( ) = | | = | | = −

11 12 13
2. Misalkan matriks 3×3 = [ 21 22 21] Determinan dari matriks

31 32 33

11 12 13
A dapat dinyatakan det( ) = | | = | 21 22 21| = 11 22 33 +

31 32 33

12 23 31 + 13 21 32 − 31 22 13 − 32 23 11 − 33 21 12

3. Misalkan matriks = [ ] , invers matriks adalah −1 =

1 [− − ] dengan − ≠ 0
−

G. Aplikasi Matriks
1. Aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari
Matriks banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah
matematika, misalnya dalam mencari solusi masalah persamaan linier,
transformasi linier yaitu bentuk umum fungsi linier, misalnya rotasi
dalam 3 dimensi. Matriks seperti variabel biasa, sehingga matriks pun
dapat dimanipulasi, misalnya dikalikan, ditambah, dikurangi, dan
didekomposisi. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat
dilakukan dengan cara yang lebih terstruktur. Memudahkan dalam
membuat analisis suatu masalah ekonomi yang mengandung berbagai
variabel.

31

Matriks

2. Menentukan Persamaan Reaksi dengan matriks sistem
Matriks dapat digunakan dalam menentukan persamaan reaksi

karena persamaan reaksi merupakan penerapan aljabar linier.
Persamaan yang digunakan adalah

Av=0
Dimana A adalah matriks dengan n kolom mewakili n bahan kimia
dan m baris mewakili m unsur, sedangkan v adalah matriks stoikiometri
yang kolomnya mewakili koefisien zat yang bereaksi dan 0 adalah
matriks 0 yang menunjukkan bahwa Dalam kesetimbangan, jumlah
unsur yang bereaksi tetap. Menyelesaikan matriks tersebut dengan
menggunakan invers matriks.
3. Matriks dalam Focks kimia
Matriks Fock atau lebih dikenal dengan Operator Fock adalah
matriks yang digunakan untuk menghitung keseimbangan energi suatu
elektron terhadap intinya. Dalam perhitungan kimia kuantum
menggunakan metode Hartree-Fock, perhitungan matriks fock
merupakan awal dari proses perhitungan bilangan iteratif.
- Masing-masing perhitungan keseimbangan energi elektron akan

diwakili oleh matriks Fock.
- Dalam matriks Fock, tidak ada nilai energi elektron. persamaan

ini hanya memiliki nilai rata-rata gaya tolak menolak antara
elektron.
- Matriks Fock adalah aproksimasi dari operator Hamiltonian dan
disebut operator fock karena matriks ini kemudian digunakan
dalam perhitungan kimia kuantum untuk orbital atom atau
molekul. Persamaan yang sering digunakan adalah persamaan
Roothaan dalam metode numerik.

32

Matriks

RANGKUMAN
Dari uraian materi di atas, dapat kita simpulkan dalam rangkuman ini
tentang aplikasi matriks sebagai berikut:

1. Aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari
Mencari solusi masalah persamaan linier, transformasi linier yaitu
bentuk umum fungsi linier, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

2. Menentukan Persamaan Reaksi dengan matriks sistem
Matriks dapat digunakan dalam menentukan persamaan reaksi
karena persamaan reaksi merupakan penerapan aljabar linier.
Persamaan yang digunakan adalah Av=0

3. Matriks dalam Focks kimia
Dalam perhitungan kimia kuantum menggunakan metode Hartree-
Fock, perhitungan matriks fock merupakan awal dari proses
perhitungan bilangan iteratif.

33

Matriks

UJI KOMPETENSI

A. Berilah tanda (X) pada huruf a, b, c, d atau e, dengan jawaban yang benar
dan tepat !

Untuk mengerjakan nomor 1-3, perhatikan data berikut.

Jika diketahui matriks = [64 −9 −37]
2
1. Ordo dari matriks A adalah…

a. 2 × 2

b. 2 × 3

c. 3 × 2

d. 3 × 3

e. ×
2. Elemen kolom baris kedua kolom ketiga matriks A adalah…

a. 4

b. 6

c. −7

d. 3

e. −9

3. Transpose matriks A adalah…

a. = [46 −9 −37]
2

42
b. = [ 6 −9]

−7 3

42
c. = [−6 9 ]

7 −3

d. = [94 6 37]
2

46
e. = [−9 2 ]

3 −7
Untuk mengerjakan nomor 4-5, perhatikan data berikut.

8 −12
Jika diketahui matriks = [−1 7 ]

6 11
4. Elemen kolom baris ketiga kolom kedua matriks B adalah…

a. −1

b. 11

c. 7

d. −12

e. 8

34

Matriks

5. Transpose matriks A adalah…

a. = [−812 −1 161]
7

b. = [−81 −12 161]
7

8 12
c. = [−1 7 ]

6 11

d. = [−812 7 161]
−1

12 8
e. = [ 7 −1]

11 6
6. Jika [34 11] − [2 − +1 7 ] = [17 250] maka nilai b adalah…

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5 matriks = [−43 −21] , dan = [85 −24], maka ×

7. Diketahui
adalah…

a. [−2174 −1168]

b. [1295 −1182]

c. [1274 −−1186]

d. [1159 −1281]

e. [1159 −1282]

35

Matriks

8. Diketahui matriks = [ ] , = [02] , = [−82] , = [11] , = [26].
Jika = , = nilai dari [62] adalah…
a. [−56]

b. [−54]
c. [−65]

d. [−125]

e. [−714]

( SOAL UTBK MATEMATIKA 2017 ) 10] dan = [1140 ],
9. Jika diketahui matriks = [ 21] , = [ 1

maka nilai ab adalah…
a. 9
b. 10
c. 12
d. 14
e. 16

( SOAL SBMPTN 2018 )

10. Jika diketahui matriks = [−−11 −1 20] , = −1
1 [1 ] dan =

[02 42], maka nilai − adalah… 0
a. 6
b. 3 c. 0 e. -6
c. 0 d. -3
d. −3
e. −6

( SOAL SBMPTN 2014 ) 12] adalah…
11. Determinan matriks = [−53

a. 13

b. 14

c. 15

d. 16

e. 1

36

Matriks

3 3 3

12. Diketahui matriks = [ ] , = [− − − ] jika determinan

ℎ 4 4ℎ 4

matrik P adalah −8, maka determinan matriks Q adalah…

a. 96

b. −96

c. −64

d. 48

e. −48

3 1
13. Diketahui [ 4 0 −1] = 35, maka nilai x adalah…

−2 1 −3
a. −2

b. −1

c. 0

d. 2

e. 3
14. Diketahui matriks = [20 01] , dan + = [−23 11] Jika matriks A

berordo 2 × 2 sehingga + = [−43 12], maka determinan matriks
AB adalah…

a. 4

b. 2

c. 1

d. −1

e. −2
15. Diketahui matriks = [02 01] , dan 2 −1 = [− ] . Jika −1

menyatakan invers dari matriks K, maka nilai + adalah…

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

37

Matriks

B. Jawablah pertanyaan berikut ini dengan jelas dan benar !

1. Diketahui matriks = [21 34] , = [− 3 − 2] , = [41 −23] , dan =
[−−12 12]. 1
Jika adalah transpose matriks A, carilah nilai 2 + yang
2
memenuhi persamaan 2 − = !

( SOAL UNBK MATEMATIKA IPS 2018 )

2. Ibu Marni memiliki hobi membuat kue kering, suatu ketika dia mempunyai

ide untuk menjual kue kering tersebut saat lebaran dan karena ide tersebut

sekarang Ibu Marni sudah memiliki toko cukup terkenal di Jakarta dan

Online shop yang cukup laris. Kue kering yang paling laris buatan Bu Murni

adalah kue kering golden nastar dan kue kering kastangel. Kue kering

tersebut memiliki berbagai ukuran berat yaitu berat 250 gr, 500 gr dan 700

gr. Tahun kemarin, toko Jakarta dapat menjual kue golden nastar sebanyak

2.000 dengan ukuran 250 gr, 2.500 dengan ukuran 500 gr dan 1.630 dengan

ukuran 700 gr, serta kue kastangel yang berukuran 250 gr sebanyak 5% lebih

banyak dari jumlah kue golden nastar berat 250 gr, kue kastangel yang

berukuran 500gr sebanyak 3 jumlah kue golden nastar ukuran 500gr dan
2

1.820 dengan ukuran 700gr. Sedangkan online shop dapat menjual kue

golden nastar sebanyak 2.050 dengan ukuran 250 gr, 2.300 dengan ukuran

500 gr dan 1.780 dengan ukuran 700 gr, serta kue kastangel sebanyak 1.960

dengan ukuran 250 gr, kue kastangel yang berukuran 500gr sebanyak 10 %

lebih banyak dari jumlah kue golden nastar dengan ukuran 500gr, dan 2.010

dengan ukuran 700 gr. Tentukan dalam bentuk matriks :

a. Berapa banyak kue dari masing-masing ukuran yang akan dijual di Toko

Jakarta dan Online shop, jika perkiraan peningkatan penjualan sebesar

10%?

b. Berapa total kue yang akan dijual oleh pemilik toko pada tahun ini untuk

setiap rasa kue?

3. Diketahui matriks = [41 −52] , = [−32 −74] dan = [170 −−92]
memenuhi persamaan = + 2 − , dengan merupakan transpose

matriks R. Carilah Invers matriks !

38

Matriks

4. Jumlah tiga kali umur kakak dan umur Ayah adalah 56 tahun. Selisih umur
ayah dan umur kakak adalah 24 tahun. Jika umur kakak adalah x tahun dan
umur ayah adalah y tahun. Tentukan persamaan matriks yang sesuai dengan
permasalahan tersebut dan selesaikanlah!

5. Putri mengadakan acara ulang tahun yang ke-17. Dia mengundang teman
laki-lakinya sebanyak 3 teman perempuan. Jika ada 20 teman perempuan

4

Putri tidak dapat hadir, maka jumlah undangan laki-laki dan perempuan
menjadi sama. Jika x dan y berturut-turut menyatakan banyak undangan
laki-laki dan perempuan. Tentukan matriks yang dapat menyatakan banyak
masing-masing undangan!

39

Matriks

LEMBAR KEGIATAN 1

MATRIKS

Materi : Matriks

Nama Kelompok : Kelas : XI MIPA
Anggota : 1.
Semester : Ganjil
2.
Alokasi waktu : 15 menit

TUJUAN

Melalui model pembaelajaran Problem Based Learning (PBL) dengan metode
diskusi dan tanya jawab, diharapkan peserta didik dapat :
1. Mengetahui bentuk matriks.
2. Membedakan elemen-elemen pada matriks.
3. Menentukan bentuk matriks.

PETUNJUK

1. Isilah nama dari anggota kelompok pada tempat yang telah disediakan .
2. Bacalah dan pahami pertanyaan dari masalah yang disajikan
3. Silahkan melakukan diskusi kelompok tugas yang telah disajikan tersebut dan

catatlah jawaban kalian pada tempat yang telah disediakan.
4. Jika terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan, tanyakan kepada guru.
5. Tugas dikerjakan selama 15 menit

40

Matriks

PERMASALAHAN

Perhatikan tabel berikut ditunjukan jarak antara dua kota dalam kilometer.

Bandung Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta
Cirebon 0 130 367 428
Semarang 130 0 237 317
Yogayakarta 367 237 0 115
428 317 115 0

a. Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolom, tulislah matriks yang
diperoleh!

b. Berapa banyak baris dan banyak kolom yang anda peroleh dari soal
sebelumnya?

c. Sebutkan elemen-elemen pada setiap baris!
d. Sebutkan elemen-elem pada setiap kolom!

AYO BERFIKIR

Dari permasalahan di atas, informasi apa saja yang kamu dapatkan ?
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Menurut kamu, apa saja yang ditanyakan pada permasalahan di atas?
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Kemudian, diskusikan masalah di atas dengan teman sebangku.

41