หน่วยที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

4หน่วยการเรียนรทู้ ่ี

การเปลย่ี นแปลงทางเรขาคณติ

ตัวช้วี ัด
• เข้ำใจและใช้ควำมรู้เกย่ี วกบั กำรแปลงทำงเรขำคณติ ในกำรแก้ปญั หำคณติ ศำสตรแ์ ละปัญหำในชีวติ จริง (ค 2.2 ม.2/3)

แมน่ าง เจ้าทราบหรือไม่วา่ พัดท่ีเจ้าถือเก่ยี วขอ้ งกบั
การแปลงทางเรขาคณิตอยา่ งไร

ไมท่ ราบเจา้ คะ ทา่ นจอมยทุ ธ

ควรรู้กอ่ นเรียน 30°

การบอกทศิ ทางของมุม ตามเข็มนาฬกิ า AB෡C มขี นาด 30°
ทวนเขม็ นาฬกิ า ในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าจาก BC
30°

AB෡C มีขนาด 30°
ในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ าจาก BC

ควรรกู้ ่อนเรียน

รปู ท่มี แี กนสมมาตร

รปู ที่พับครึง่ แล้ว แต่ละข้างของรอยพบั ทับกนั สนิท
รอยพบั นีเ้ รยี กว่าแกนสมมาตร และเรียกรปู นีว้ า่ เป็น รปู สมมาตร

ควรรู้ก่อนเรยี น Y

ค่อู นั ดับ 5 A (3, 4) X
4
เป็นการเขียนสัญลกั ษณ์แสดงการจับคูร่ ะหว่าง 1 23 4
สมาชกิ สองกลมุ่ การจบั คู่ระหว่าง a และ b เขยี น B(-2, 3)
แทนด้วยสัญลกั ษณเ์ ป็น (a, b) อา่ นวา่ ค่อู ันดบั เอบี D (2, -2)
3
คูอ่ ันดับของจดุ A, B, C และ D เขยี นไดอ้ ย่างไร
2
1

-3 -2 -1 0
C (-2, -1)-1
-2

การแปลง

การแปลงทางเรขาคณิต เป็นการดาเนินการเก่ียวกับรูปเรขาคณิต
ซ่ึงทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงจากตาแหน่งหน่ึงไปยังอีกตาแหน่ง
หน่ึง โดยขนาดและรูปร่างอาจมีการเปล่ียนแปลง แต่การเรียนใน
ระดับช้ันนี้จะเรียนเฉพาะการแปลงท่ีทาให้ภาพท่ีได้มีรูปร่างและ
ขนาดเท่าเดิมเท่าน้ัน

การแปลง

การแปลงทางเรขาคณิต

การแปลง (transformation) เรียกรปู ก่อนการแปลงว่า รปู ต้นแบบ (pre-image)
และเรียกรูปหลงั การแปลงว่า ภาพ (image)

A A΄ เรียกจุด A΄ (อา่ นวา่ เอไพร์ม) ว่าเป็นจดุ ทีไ่ ด้จากการแปลง
จุด A และเรียกจุด A และ A΄ วา่ เป็นจุดทีส่ มนัยกัน

P P΄

เรยี กจุด P΄ (อา่ นว่า พีไพร์ม) วา่ เปน็ จุดที่ได้จากการแปลง
จุด P และเรยี กจดุ P และ P΄ วา่ เปน็ จดุ ท่ีสมนัยกนั

การแปลง

พจิ ารณารปู ต่อไปน้ี

กาหนดให้ ∆ABC เป็นรปู ต้นแบบ และ ∆A΄B΄C΄ เปน็ ภาพที่ได้จากการแปลง

A΄ จะได้วา่ จุด A และจดุ A΄ เปน็ จดุ ทส่ี มนยั กัน
C΄ จุด B และจดุ B΄ เป็นจดุ ที่สมนัยกนั
B΄ จุด C และจุด C΄ เป็นจดุ ทส่ี มนยั กัน
A C
ทาให้ AB = A΄B΄ , BC = B΄C΄ , และ CA = C΄A΄
B เนือ่ งจากเป็นด้านคู่ทีส่ มนัยกนั

และ AB෡C = A′B෡′C′ , BC෠A = B′C෠′A′ , และ CA෡B = C′A෡′B′
เนอ่ื งจากเปน็ มุมคทู่ สี่ มนัยกนั

การแปลง

พิจารณารปู ตอ่ ไปน้ี

กาหนดให้ ∆ABC เปน็ รปู ตน้ แบบ และ ∆A΄B΄C΄ เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการแปลง

A΄ จะเห็นวา่ มมุ คูท่ ่ีสมนัยกนั จะมีแขนของมุมเป็นด้านท่ี
สมนยั กนั รูป ∆ABC และรูป ∆A΄B΄C΄ มีด้านค่ทู ่สี มนยั กนั
B΄ C΄ 3 คู่ ซึ่งกล่าวได้ว่ารูป ∆ABC และรูป ∆A΄B΄C΄ มีขนาด
A เทา่ กัน และมีรปู ร่างเหมือนกัน

BC

การแปลง

การแปลงทางเรขาคณติ ทีจ่ ะนาเสนอมที ้งั หมด 3 แบบ ได้แก่

การเล่ือนขนาน การสะท้อน การหมนุ

(translation) (reflection) (rotation)

ซึ่งการแปลงแต่ละแบบเปน็ การแปลงทางเรขาคณติ ท่ไี ด้ภาพทมี่ ีรปู รา่ ง

และขนาดเหมอื นกันกับรปู ต้นแบบเสมอ

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเลื่อนขนาน

ในชวี ติ จรงิ มอี ุปกรณ์อานวยความสะดวกหลายอย่างที่เกีย่ วข้องกับ
การเล่อื นขนาน เชน่ บันไดเล่ือน ลิฟต์ ลอ้ รถแทรกเตอร์ เคร่ืองจกั ร
ชักรอกปนู ซเี มนต์

นอกจากนยี้ งั เก่ยี วกับ ดา้ นกีฬาดว้ ย เชน่ กีฬาหมากฮอส หมากรกุ

คนขึ้นบนั ไดเล่ือน การเดินหมากฮอส

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณติ บนระนาบ

พิจารณาการเลอ่ื นจุด A จดุ B และจดุ C ไปในทศิ ทางตามท่กี าหนด

B C΄ จุด A΄ เกดิ จากการเลื่อนจดุ A ไปทางซา้ ย 3 หนว่ ย
และกล่าวว่า จดุ A΄ กับจดุ A เป็นจดุ ทส่ี มนยั กัน
2 หน่วย 3 หนว่ ย จดุ B΄ เกิดจากการเล่อื นจดุ B ลงมาในแนวดิ่ง 2 หนว่ ย
และกล่าวว่า จดุ B΄ กบั จดุ B เป็นจุดที่สมนัยกัน
B΄ C
จดุ C΄ เกดิ จากการเลือ่ นจดุ C ไปทางขวา 3 หน่วย และขนึ้ ไปใน
3 หน่วย แนวด่งิ 3 หนว่ ย และกลา่ ววา่ จดุ C΄ กับจดุ C เป็นจดุ ที่สมนยั กนั

A΄ A

3 หนว่ ย

การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การเล่ือนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ

พจิ ารณาการเลอื่ นจดุ A จดุ B และจดุ C ไปในทศิ ทางตามท่กี าหนด

B C΄ บทนิยาม

2 หนว่ ย 3 หน่วย การเล่อื นขนานบนระนาบ เปน็ การแปลงทางเรขาคณิตแบบหนึ่ง
ท่ีมีการจับคู่ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ซึ่งเป็นจุดท่ีสมนัยกัน คือ
B΄ C จุดบนรูปต้นแบบกับจุดบนภาพท่ีได้จากการแปลง โดยจุดทุกจุด
บนรูปต้นแบบมีการเล่ือนไปในทิศทางเดียวกัน และเป็นระยะ
3 หน่วย เท่ากัน ซ่ึงทาให้ขนาดและรูปร่างของภาพท่ีได้จากการแปลง
เหมอื นรูปตน้ แบบ
A΄ A

3 หน่วย

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน

การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ

พจิ ารณาการเลอื่ นขนานส่วนของเสน้ ตรง MN ไปทางขวา 4 หน่วย

จะได้สว่ นของเสน้ ตรง M΄N΄ ดังน้ี

พบว่า

M M΄ 1) จุด M΄ กับจดุ M เป็นจุดทสี่ มนัยกนั และจดุ N΄ กบั จดุ N
N N΄ เปน็ จุดท่ีสมนัยกัน
2) จุด M΄ อยู่หา่ งจากจุด M ไปทางขวา 4 หน่วยและจุด N΄
อยู่หา่ งจากจุด N ไปทางขวา 4 หนว่ ย

จาก 1) และ 2) สามารถสรปุ ไดว้ ่า MN = M΄N΄ และ MM′ // NN′
เม่ือเลือกจดุ ใดๆ บน MM จะมจี ุดหนึง่ จุดบน M′N′ ซึง่ มีระยะหา่ ง
ไปทางขวา 4 หน่วย เปน็ จุดทีส่ มนัยกนั

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ

การเล่ือนขนานรูปสามเหลย่ี มสามารถทาได้โดยใช้พิกดั ของจดุ ยอดมุมทัง้ สาม พิจารณาการเล่ือนขนานรูปสามเหลยี่ ม PQR

R΄ พบวา่

Q΄ R รปู ∆P′Q′R′ เกิดจากเล่อื นขนาน ∆PQR ไปทางซ้าย 4 หน่วย
P΄ และข้นึ ไปดา้ นบนอกี 3 หนว่ ย
สามารถสรุปได้ว่า เมือ่ ลาก PP′ , QQ′ และ RR′ จะพบวา่ P′Q′ กบั PQ
Q เป็นด้านทส่ี มนยั กนั Q′R′ กบั QR และ R′P′ กับ RP ก็เป็นดา้ นทสี่ มนัยกันเช่นกนั
P ทาให้ได้ว่า PP′ = QQ′ = RR′ และ PP′ // QQ′ // RR′

คณติ นา่ รู้

การเลอื่ นขนานสว่ นของเส้นตรงท่ีเช่อื มระหวา่ งจดุ ทีส่ มนัยกันแตล่ ะคจู่ ะขนาน
กนั และยาวเทา่ กนั

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน

การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ

การเลอื่ นขนานรปู สามเหลี่ยมสามารถทาได้โดยใชพ้ กิ ัดของจดุ ยอดมมุ ท้งั สาม พิจารณาการเล่ือนขนานรูปสามเหลย่ี ม PQR

R΄ พบวา่

A΄ Q΄ R ถ้าให้ A เปน็ จุดใดๆ บน ∆PQR แล้วจะมีจดุ A΄ เปน็ จุดที่สมนัยบน ∆P′Q′R′
P΄
A และ AA΄ จะขนานและยาวเท่ากับ PP′ , QQ′ และ RR′
P อาจกลา่ วไดว้ า่ จดุ ทุกจุดบน ∆P′Q′R′ อยหู่ ่างจากจดุ ทกุ จดุ ที่สมนยั กนั จุดตอ่ จุด
ไปทางซ้าย 4 หนว่ ย และข้นึ ไปดา้ นบน 3 หนว่ ย ของ ∆PQR

Q

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเลื่อนขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ

การเลอ่ื นขนานรปู สามเหลยี่ มสามารถทาไดโ้ ดยใช้พกิ ดั ของจุดยอดมมุ ทั้งสาม พิจารณาการเล่ือนขนานรูปสามเหลย่ี ม PQR

R΄ คณิตน่ารู้

N P΄ A΄ Q΄ R การบอกทิศทางและระยะทางของการเลอื่ นขนาน จะใชเ้ วกเตอรเ์ ปน็ ตวั กาหนด
จากรปู ใชเ้ วกเตอร์ MN เพื่อบอกทิศทางและระยะของการเลอื่ นขนาน
A Q โดยมี M เปน็ จดุ เริ่มตน้ N เปน็ จดุ สิน้ สุด และมี MN เปน็ ระยะของการเล่อื นขนาน
เขียนแทนเวกเตอร์ MN ด้วยสญั ลกั ษณ์ MN
MP
สามารถสรุปได้วา่
1) PP′ // QQ′ // RR′ // AA′ // MN′
2) PP′ = QQ′ = RR′ = AA′ = MN

เพื่อความเขา้ ใจย่งิ ข้นึ เราไปดูวิดโี อตัวอยา่ งกนั

การเล่ือนขนาน
หรอื https://youtu.be/MmSlUbeRc8E



การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณติ บนระนาบ ตวั อยา่ ง

พจิ ารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี

Y

N T(-4,2) S(2,3)

SR

C΄ O X
C U(-4,-3) V(4,-2)

D

P QM

ตัวอย่างท่ี 1 ตวั อย่างท่ี 2 ตวั อย่างที่ 3

การเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ ตัวอย่างที่ 1

การเลอื่ นขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ

กาหนดรปู PQRS เป็นรูปตน้ แบบ จงสรา้ งภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนานรปู PQRS ตาม MN

S΄ R΄ วิธีทา การเลือ่ นขนานจะมีส่วนของเสน้ ตรงทีเ่ ชอ่ื มระหวา่ งจดุ สองจุดทสี่ มนยั กัน
แต่ละคจู่ ะขนานกันและยาวเท่ากนั

หาจุด P΄, จุด Q΄, จดุ R΄ และ จุด S΄ ซ่ึงเปน็ จดุ ทีส่ มนัยโดยลากเส้นประ PP΄,

QQ΄, RR΄ และ SS΄ ใหข้ นานกบั MN ซง่ึ PP΄= QQ΄= RR΄= SS΄= MN
N แล้วลาก P′Q′, Q′R′, R′S′ และ S′P′
S P΄ R Q΄ ดังนนั้ รปู P΄Q΄R΄S΄ เปน็ ภาพทีไ่ ด้จากการเลือ่ นขนานรูป PQRS ตาม MN

M คณติ นา่ รู้
PQ
รูปPQRS และ รปู  P΄Q΄R΄S΄ มรี ูปร่างและมีขนาด
เท่ากัน กล่าวได้วา่ รปู สี่เหลี่ยมท้งั สองเทา่ กนั ทุกประการ

การเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเล่ือนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตวั อย่างที่ 2

รปู สามเหลยี่ ม C΄ เป็นรูปท่ีไดจ้ ากการเล่ือนขนานรปู สามเหล่ยี ม C จงสรา้ งภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอื่ นขนาน
รูปสามเหลยี่ ม D ซึ่งเป็นรูปตน้ แบบ โดยมรี ะยะทางและทิศทางเดยี วกันกับรูปสามเหลย่ี ม C ไปรปู สามเหลย่ี ม C΄

วธิ ีทา 1. หาเวกเตอร์ในการเลื่อนขนานรูป C และรูป C΄ โดยเลอื กจดุ คู่ทสี่ มนัยกนั

ให้เป็นจดุ X และจุด Y ลาก XY จะได้ทศิ ทางและระยะทางทีเ่ ลอ่ื นขนาน
S΄ T΄ 2. กาหนดจุด S, จดุ T และจดุ U เปน็ จุดยอดมุมของรปู สามเหล่ียม D
Y
D΄ ท่ีจุดยอดมมุ ลากเส้นประใหข้ นานกบั XY และมีความยาวเท่ากบั XY
C΄
X S U΄ 3. จะได้จุด S΄, จดุ T΄ และจดุ U΄ สมนยั กับจดุ S, จุด T, และจุด U
T ตามลาดับ
C
D 4. ลาก S′T′, T′U′ และ U′S′ จะไดร้ ปู สามเหล่ียม D΄ ทม่ี จี ุด S΄, จดุ T΄

และจดุ U΄ เปน็ จุดยอดมุม

U

ดงั นน้ั รูปสามเหล่ียม D΄ เปน็ ภาพท่ีได้จากการเล่ือนขนานรูปสามเหลยี่ ม D

ในทิศทางเดยี วกับ XY และห่างกันเป็นระยะทางเทา่ กบั XY

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งที่ 3

จงพจิ ารณาของจุดที่เกดิ จากการเลื่อนขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจดุ V ซ่งึ เป็นรูปต้นแบบ

Y

T(-4, 2) S(2, 3) 1. เลอ่ื นจดุ S(2, 3) ขนานกับแกน X ไปทางขวา 4 หน่วย วิธที า
2. เล่ือนจุด T(-4, 2) ขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 2 หน่วย วธิ ที า
O X 3. เลอ่ื นจดุ U(-4, -3) ขนานกับแกน Y ขึ้นไปดา้ นบน 4 หนว่ ย วิธีทา
V(4, -2)

U(-4, -3) 4. เลือ่ นจุด V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาด้านลา่ ง 2 หนว่ ย วธิ ีทา

การเล่อื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ ตัวอยา่ งท่ี 3

จงพจิ ารณาของจุดทเ่ี กดิ จากการเล่ือนขนานจุด S, จุด T, จุด U และจดุ V ซึ่งเปน็ รปู ต้นแบบ

Y

T(-4, 2) S(2, 3) S’(6, 3) 1. เลอื่ นจดุ S(2, 3) ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หน่วย

วิธที า

O X สรา้ งจุด S΄ ทเี่ กิดจากการเล่ือนจดุ S(2, 3) ใหข้ นานกบั แกน X
V(4, -2) ไปทางขวา 4 หน่วย
U(-4, -3)
จะไดว้ ่า พกิ ดั จุดของ S΄ คือ S΄(6, 3)

การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมุน

การเลือ่ นขนานรูปเรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งท่ี 3

จงพิจารณาของจดุ ทเ่ี กิดจากการเล่อื นขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจุด V ซง่ึ เปน็ รปู ต้นแบบ

Y

T(-4,2) S(2, 3) 2. เลื่อนจุด T(-4, 2) ขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 2 หน่วย
T’(-6,2)
X วิธีทา
O V(4, -2)
สร้างจดุ T΄ ท่ีเกิดจากการเล่ือนจดุ T(-4, 2) ให้ขนานกบั แกน X
U(-4, -3) ไปทางซา้ ย 2 หน่วย
จะได้วา่ พิกดั จดุ ของ T΄ คอื T΄(-6, 2)

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การเลื่อนขนานรูปเรขาคณิตบนระนาบ ตวั อย่างท่ี 3

จงพจิ ารณาของจุดท่เี กดิ จากการเลือ่ นขนานจดุ S, จดุ T, จดุ U และจดุ V ซงึ่ เป็นรูปตน้ แบบ

Y S(2, 3) 3. เล่ือนจุด U(-4,-3) ขนานกบั แกน Y ข้ึนไปดา้ นบน 4 หน่วย

T(-4, 2) X วิธีทา
U΄(-4, 1) V(4, -2)
สร้างจุด U΄ ท่ีเกดิ จากการเล่อื นจดุ U(-4,-3) ให้ขนานกับแกน Y
O ไปดา้ นบน 4 หน่วย
จะได้วา่ พกิ ัดจุดของ U΄ คือ U΄(-4,1)
U(-4, -3)

การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การเลื่อนขนานรปู เรขาคณิตบนระนาบ ตัวอย่างที่ 3

จงพจิ ารณาของจุดทเ่ี กดิ จากการเล่ือนขนานจดุ S, จดุ T, จุด U และจดุ V ซ่ึงเป็นรูปต้นแบบ

Y

T(-4, 2) S(2, 3) 4. เลอื่ นจดุ V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาดา้ นล่าง 2 หน่วย

วธิ ีทา

O X สร้างจดุ V΄ ทเี่ กดิ จากการเลอื่ นจุด V(4, -2) ใหข้ นานกับแกน Y
V(4, -2) ไปด้านลา่ ง 2 หนว่ ย
U(-4, -3)
V΄(4, -4) จะได้ว่า พกิ ดั จุดของ V΄ คอื V΄(4, -4)

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การเลื่อนขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ งที่ 3

จงพิจารณาของจุดทีเ่ กดิ จากการเลื่อนขนานจุด S, จดุ T, จดุ U และจุด V ซึ่งเปน็ รูปตน้ แบบ

Y S(2, 3) S΄(6, 3) 1. เล่ือนจุด S(2, 3) ขนานกับแกน X ไปทางขวา 4 หน่วย S΄(6, 3)
2. เลอ่ื นจุด T(-4, 2) ขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 2 หนว่ ย T΄(-6, 2)
T(-4, 2)
T΄(-6, 2) U΄(-4, 1) 3. เล่ือนจุด U(-4, -3) ขนานกับแกน Y ข้ึนไปดา้ นบน 4 หน่วย U΄(-4, 1)

O X 4. เลือ่ นจุด V(4, -2) ขนานกบั แกน Y ลงมาดา้ นล่าง 2 หนว่ ย V΄(4, -4)

U(-4, -3) V(4, -2) คณติ นา่ รู้

V΄(4, -4) ในระบบพิกัดฉากจดุ ทแี่ กน X และแกน Y ตดั กนั เรียกว่า
จดุ กาเนิด (Origin) เขียนแทนด้วย O ซ่ึงเปน็ จดุ ท่ีมพี กิ ัด (0, 0)

การเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมุน

การเล่อื นขนานรปู เรขาคณติ บนระนาบ

จากตวั อยา่ งกอ่ นหน้า สามารถสรปุ พกิ ดั ของการเลอ่ื นขนานได้ ดงั น้ี

กาหนดให้ A(x, y) เปน็ รปู ตน้ แบบ และ a > 0 , b > 0
เมื่อเลื่อนขนานตามแกน X ไปทางขวา a หน่วย จะได้ A΄(x + a , y)
เม่ือเลอื่ นขนานตามแกน X ไปทางซา้ ย a หนว่ ย จะได้ A΄(x - a , y)
เมือ่ เลื่อนขนานตามแกน Y ไปด้านบน b หนว่ ย จะได้ A΄(x , y + b)
เมอื่ เลอื่ นขนานตามแกน Y ไปดา้ นลา่ ง b หน่วย จะได้ A΄(x , y - b)

เมื่อ A΄ เปน็ ภาพท่ีได้จากการเลือ่ นขนาน

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การสะท้อน

จากภาพเงาสะทอ้ นบนผิวน้าเกิดจาก
โบราณสถานเปน็ รปู ต้นแบบ โดยมีสระนา้ เป็น
เสมอื นกระจกและแนวระดบั ผวิ นา้ เสมอื นเป็น
เสน้ สะท้อน (line of reflection) เรียกเงาบน
ผิวนา้ ว่า ภาพท่ีได้จากการสะท้อน

การเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การสะทอ้ นรปู เรขาคณิตบนระนาบ

จากรูป จะพบว่า A A΄

1) จุด A และจุด A΄ เป็นจุดท่ีสมนัยกัน โดยแตล่ ะจุดมีระยะห่างจากเส้นตรง L ซ่ึงเป็น
เสน้ สะท้อนเท่ากนั
2) เสน้ ตรง L ต้ังฉากกับ AA′
3) เม่ือพบั โดยให้เส้นตรง L เป็นรอยพบั จุด A กับจุด A΄ จะทับกันพอดี ซ่ึงเป็นไปตาม
บทนิยาม ดงั น้ี

บทนยิ าม L

การสะทอ้ นบนระนาบเป็นการแปลงเรขาคณติ ท่ีมีการจับคู่ระหว่างจุดสองจุดใดๆ ซึง่ เป็นจุดที่
สมนัยกัน คือ จุดบนรูปต้นแบบกับจุดบนภาพท่ีได้จากการสะท้อน โดยมีเส้นตรงเส้นหน่ึง
เรียกว่า เส้นสะทอ้ น แบ่งครึ่งและตั้งฉากส่วนของเส้นตรงทม่ี จี ดุ คูท่ สี่ มนัยกันเป็นจดุ ปลาย

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การสะทอ้ นรปู เรขาคณิตบนระนาบ

MN เป็นรูปต้นแบบจะได้ M′N′ เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นโดยเสน้ ตรง L และใหจ้ ุด P เปน็ จุดใดๆ บน MN
จะพบวา่

1) จดุ M และจุด M΄ เป็นจุดที่สมนัย ซึง่ ห่างจากเส้นตรง L เป็นระยะ N N΄
3 หนว่ ยเท่ากัน

จุด N กับจดุ N΄ เป็นจุดท่ีสมนัยกันซง่ึ ห่างจากเส้นตรง L เป็นระยะ P P΄
1 หนว่ ยเทา่ กัน

2) เสน้ ตรง L แบ่งครึ่งและตัง้ ฉากกบั MM′ และ NN′ M M΄
L
3) MM′ // NN′ ซง่ึ กลา่ วได้ว่า ส่วนของเส้นตรงมีจุดคู่ที่สมนัยกันเป็น
จุดปลายทุกเส้นขนานกัน

และเมอื่ P เปน็ จุดใดๆ บน MN′ แลว้ จะมจี ุด P΄ บน MN′ ซึง่ สมนัยกบั จดุ P

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน

การสะทอ้ นรูปเรขาคณติ บนระนาบ

การสะทอ้ น
1) ภาพท่ีได้จากการสะทอ้ นมลี ักษณะเหมอื นรปู ตน้ แบบแตท่ ศิ ทางกลบั กนั
2) เสน้ สะท้อนแบ่งคร่งึ และตัง้ ฉากกับสว่ นของเส้นตรงท่มี ีจดุ คทู่ สี่ มนัยกนั
เป็นจุดปลาย
3) เม่อื จุดบางจุดบนรูปตน้ แบบอย่บู นเสน้ สะทอ้ น จุดทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น
จะเปน็ จุดเดยี วกัน
4) ส่วนของเส้นตรงทีม่ ีจุดคู่ทส่ี มนยั กันเป็นจุดปลายทกุ เส้นขนานกัน

การเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

รปู สมมาตรบนเส้น AG B

คอื รปู ท่สี ามารถพับใหท้ บั กันสนิทพอดไี ดแ้ ละเรยี ก E F
รอยพับนั้นวา่ แกนสมมาตร (axis of symmetry)
เช่น รปู ABCD เป็นรูปสเี่ หลย่ี มจัตุรัส ซง่ึ เปน็
รปู สมมาตรบนเสน้ ทม่ี ีแกนสมมาตร 4 แกน ไดแ้ ก่

AC, BD, EF และ GH

DC
H

การเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

รูปสมมาตรบนเสน้ AGB

จากรูปจะเหน็ วา่ ถา้ ใหร้ ูป ∆ABC E F
เป็นรปู ตน้ แบบจะไดร้ ูป ∆ADC เปน็

ภาพทไ่ี ด้จากการสะท้อน โดยมี AC
เป็นเสน้ สะทอ้ น

รูปสมมาตรบนเสน้ เปน็ ภาพทไ่ี ด้

จากการสะท้อน โดยมแี กนสมมาตร

เปน็ เส้นสะทอ้ น DC
H

เพื่อความเขา้ ใจย่งิ ข้นึ เราไปดูวดิ โี อตัวอย่างกัน

การสะทอ้ น
หรอื https://youtu.be/1AAX8BYMbYo



การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน ตวั อยา่ ง

รปู สมมาตรบนเส้น

จงสร้างภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นรปู ต้นแบบ PQRS โดยมเี สน้ สะทอ้ นต่างๆ ดังนี้
Y

ข้อที่ 1 แกน X
ข้อท่ี 2 แกน Y
X ขอ้ ที่ 3 เสน้ ตรง L1
ขอ้ ที่ 4 เส้นตรง L2

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

รูปสมมาตรบนเส้น ตัวอย่าง

จงสรา้ งภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ นรปู ตน้ แบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนตา่ งๆ ดังนี้
Y ข้อที่ 1 แกน X

S R วิธีทา

สรา้ งจุด P , จดุ Q , จดุ R และ จดุ S ให้หา่ งจาก
แกน X เปน็ ระยะเท่ากบั จุด P, จุด Q, จุด R และจุด S

X ตามลาดับ

แลว้ ลาก P Q , Q R , R S และ S P
จะได้รูป P Q R S เป็นภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น
โดยมแี กน X เปน็ เส้นสะท้อน

P Q

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

รปู สมมาตรบนเส้น ตวั อยา่ ง

จงสรา้ งภาพท่ไี ด้จากการสะท้อนรปู ตน้ แบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนต่างๆ ดงั นี้
Y ขอ้ ท่ี 2 แกน Y

Q วิธที า
R S
สร้างจดุ P , จุด Q , จดุ R และ จดุ S ให้หา่ งจาก
แกน Y เป็นระยะเท่ากบั จดุ P, จุด Q, จุด R และจุด S

X ตามลาดบั

แล้วลาก P Q , Q P , R S และ S P
จะไดร้ ูป P Q R S เป็นภาพท่ไี ด้จากการสะท้อน
โดยมแี กน Y เปน็ เสน้ สะท้อน

การเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมนุ

รูปสมมาตรบนเสน้ ตวั อย่าง

จงสรา้ งภาพท่ีได้จากการสะทอ้ นรปู ต้นแบบ PQRS โดยมีเส้นสะทอ้ นต่างๆ ดงั นี้
Y ขอ้ ที่ 3 เส้นตรง

วธิ ที า

X สรา้ งจดุ P , จดุ Q , จุด R และ จุด S ใหห้ ่างจาก
L เสน้ ตรง เป็นระยะเทา่ กับจุด P, จุด Q, จุด R และจดุ S
ตามลาดบั

แลว้ ลาก , , และ
จะไดร้ ูป P Q R S เป็นภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ น
โดยมเี สน้ ตรง L เป็นเส้นสะท้อน

การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

รูปสมมาตรบนเส้น ตวั อยา่ ง

จงสร้างภาพทไี่ ดจ้ ากการสะท้อนรปู ต้นแบบ PQRS โดยมีเสน้ สะท้อนตา่ งๆ ดังน้ี
Y ขอ้ ท่ี 4 เสน้ ตรง

วธิ ที า

สรา้ งจดุ , จดุ , จุด และ จุด ใหห้ ่างจาก
เสน้ ตรง เปน็ ระยะเท่ากบั จุด P, จุด Q, จุด R และจดุ S

X ตามลาดบั

แล้วลาก , , และ
จะไดร้ ปู P Q R S เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการสะท้อน

โดยมีเสน้ ตรง เป็นเสน้ สะท้อน




การเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

รูปสมมาตรบนเส้น

ในทางกลบั กนั ถ้ามีรูปตน้ แบบกับภาพที่ได้จากการสะทอ้ น สามารถหาเส้นสะท้อนได้ ดงั รูป

หาเสน้ สะท้อนได้ ดังนี้
MQ 1) ลาก MM′ และ NN′
2) สรา้ งจดุ P และจุด Q ซึง่ เป็นจดุ ก่งึ กลางของ MM′ และ NN′
N΄ ตามลาดับ
P 3) ลาก PQ จะได้ PQ แบง่ ครง่ึ และตั้งฉากกับ MM′ และ NN′

M΄ ดงั นั้น PQ เป็นเส้นสะท้อนของ MN และ M′N′

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การหมุน

การหมุนเปน็ การเคลอื่ นทโ่ี ดยมจี ุดยึดจุดหนง่ึ
เรยี กวา่ จดุ หมุน (Centre of Rotation)
ซึ่งการหมุนมที ศิ ทาง 2 แบบ ไดแ้ ก่
ทิศทางตามเข็มนาฬิกา และทศิ ทวนเข็มนาฬิกา

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

การหมนุ รูปเรขาคณติ บนระนาบ

กาหนดจุด A เป็นจดุ บนระนาบและมีจดุ P เป็นจดุ หมนุ หมุนจดุ A ไปในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ า
ดว้ ยมุม 90° จะได้จุด A΄

A บทนยิ าม การหมุนบนระนาบเกดิ จากการหมุนท่ีมีจุดหมุน
A΄ โดยแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคล่อื นที่รอบจุดหมนุ ดว้ ยทิศทาง
90°
ตามเข็มนาฬิกาหรอื ทวนเขม็ นาฬกิ า และมขี นาดของมุมตามที่
P กาหนดจะได้จุดค่ทู ส่ี มนัยทม่ี รี ะยะหา่ งจากจุดหมนุ เทา่ กัน

เพ่อื ความเขา้ ใจยิ่งข้นึ เราไปดวู ิดโี อตัวอย่างกนั

การหมุน
หรอื https://youtu.be/uIf3fjT4PuY



การเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การหมุนรปู เรขาคณิตบนระนาบ

รูป ∆ ΄ ΄ ΄ เปน็ ภาพที่ได้จากการหมนุ รปู ต้นแบบรูป ∆ โดยมจี ดุ O เปน็ จดุ หมนุ และหมนุ ไปในทิศทาง

ตามเข็มนาฬกิ าดว้ ยมมุ ขนาด  องศา P

จากรปู จะพบวา่ Q

1) รูป ∆PQR มขี นาดและรูปรา่ งเทา่ กบั รูป ∆ ΄ ΄ ΄ O

2) OP = OP΄, OQ = OQ΄ และ OR = OR΄ R

3) PO෡P΄= QO෡Q΄= RO෡R΄=  R΄

P΄

Q΄

การเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ

การหมุนรปู เรขาคณติ บนระนาบ ตวั อยา่ ง

จงหาจดุ ทเี่ กิดจากการหมุนจุด S(2, 3) และจดุ T(3, 1) โดยให้ O เป็นจุดหมุนและหมนุ ไปในทิศทางทวน

เขม็ นาฬิกาดว้ ยมมุ ขนาด 90°
Y วธิ ที า

T΄(-1, 3) S(2, 3) 1) หมุน ด้วยมุม 90° ในทศิ ทางทวนนาฬิกาถงึ จุด S΄(-3, 2)
S΄(-3, 2) T(3, 1) ดังนน้ั จดุ S΄(-3, 2) เปน็ จดุ ท่ีเกิดจากการหมนุ จุด S โดยมจี ุด O
เปน็ จดุ หมนุ และหมุนไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ า

ด้วยมมุ ขนาด 90°
X 2) หมุน ด้วยมุม 90° ในทศิ ทางทวนนาฬิกาถึงจุด T΄(-1, 3)

ดังนัน้ จุด T΄(-1, 3) เปน็ จุดทเี่ กดิ จากการหมนุ จุด T โดยมจี ดุ O
เปน็ จุดหมุน และหมนุ ไปในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา

ด้วยมุมขนาด 90°

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

คณติ น่ารู้
การหมุนรูปเรขาคณติ
1) ภาพท่ไี ด้จากการหมุนจะมขี นาดและรปู รา่ งเหมอื นกับรปู ต้นแบบ
2) จดุ แตล่ ะจุดบนรปู ตน้ แบบจะเคลือ่ นทร่ี อบจุดหมนุ ดว้ ยมมุ ที่มีขนาดเทา่ กัน
3) จดุ คู่ท่สี มนยั กนั แต่ละคเู่ ปน็ จดุ ทอ่ี ยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกันทมี่ ี
จดุ หมุนเปน็ จดุ ศนู ย์กลางซึ่งวงกลมแต่ละวงไมจ่ าเปน็ ต้องมรี ัศมยี าวเทา่ กนั
4) เส้นตรงทแี่ บง่ ครง่ึ และตั้งฉากกบั สว่ นของเส้นตรงทมี่ จี ุดคู่ท่ีสมนัยกัน
แตล่ ะคู่เป็นจดุ ปลายจะผ่านจุดหมนุ