หน่วยที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน

การหมนุ รปู เรขาคณิตบนระนาบ ตวั อย่าง

จงสร้างภาพทไี่ ดจ้ ากการหมุนรูป ∆PQR ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าดว้ ยมุม 90° โดยให้ M(1, -1) เป็นจดุ หมนุ

Y วิธที า

P΄ 1) ลาก PM และหมนุ PM ไปในทิศทางตามเข็มนาฬกิ าด้วย
R มมุ 90° ถึงจดุ P΄

2) ในทานองเดียวกนั หมนุ QM และ RM จะไดจ้ ดุ Q΄ และจดุ R΄

P Q Q΄ R΄ 3) ลาก P′Q′ , Q′R′ และ R′P′

O X จะไดร้ ูป ∆P΄Q΄R΄ เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ รูป ∆PQR
โดยมีจดุ M เปน็ จุดหมนุ และหมุนในทศิ ทางตามเข็มนาฬกิ าดว้ ย
M(1, -1) มุม 90°

การเลือ่ นขนาน การสะท้อน และการหมุน

การหมนุ รูปเรขาคณิตบนระนาบ ตวั อย่าง

กาหนดรูป ∆MON เป็นรปู ตน้ แบบและรูป ∆M΄O΄N΄ เปน็ ภาพท่ีได้จากการหมุน จงหาจุดหมุน ทศิ ทาง และ

ขนาดของมุมทีใ่ ช้ในการหมุน วิธีทา

Y

N 1) ลาก MM′ กาหนด S เปน็ จดุ กง่ึ กลาง
2) ลากเสน้ แบ่งครึ่งและตง้ั ฉาก MM′
M΄ 3) ลาก OO′ กาหนด T เป็นจดุ ก่งึ กลาง

MS 4) ลากเส้นแบง่ ครึง่ และตงั้ ฉาก OO′ และตัดกบั เสน้ ท่แี บ่งครง่ึ และ
N΄ ต้ังฉากกับ MM′ ในข้อ 2) ท่ีจุด P

T O΄ 5) วดั ขนาดของ M ෡ M΄ และ O ෡ O΄ ได้ 90°
จะได้ว่าจุด P เปน็ จุดหมนุ หมนุ ไปในทศิ ตามเขม็ นาฬิกาดว้ ย
OP X มมุ 90°

แมน่ าง ตกลงเจา้ ทราบแล้วหรอื ยงั วา่ พดั เก่ยี วขอ้ งกบั ทราบแล้วเจา้ คะ่ เวลาท่คี ลีพ่ ัดออกหรือพบั เกบ็
การแปลงทางเรขาคณิตอย่างไร โครงพัดจะเคล่อื นที่โดยอาศยั จุดหมนุ เป็นหลัก

ซง่ึ การหมุนเกี่ยวข้องกบั การแปลงทาง
เรขาคณิตน่ันเอง

ความสมั พนั ธ์ของการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ

พจิ ารณารูปต่อไปน้ี

กาหนดใหร้ ูปสามเหลย่ี ม A เปน็ รปู ต้นแบบและรูปสามเหลย่ี ม B และ C เป็นภาพที่ได้จากการสะทอ้ น
รูปสามเหล่ียม A โดยมเี ส้นตรง L1 และเสน้ ตรง เปน็ เสน้ ตรงสะทอ้ น ตามลาดับ

Y

B นกั เรยี นคดิ ว่าสามารถใชว้ ิธกี ารแปลง
วธิ ีใดได้บ้าง

A

OX

C

ความสมั พนั ธ์ของการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุน

พจิ ารณารปู ตอ่ ไปนี้

กาหนดให้รูปสามเหล่ยี ม A เป็นรูปต้นแบบและรปู สามเหลีย่ ม B และ C เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการสะท้อน

รูปสามเหลีย่ ม A โดยมเี สน้ ตรง L1 และเสน้ ตรง L2 เปน็ เสน้ ตรงสะทอ้ น ตามลาดับ

Y 1) การแปลงจาก ∆ → ∆ สามารถทาไดห้ ลายวธิ ี เช่น

หมุน ∆ ไปในทิศตามเขม็ นาฬกิ าดว้ ยมุม 180°
B โดยจุด O เป็นจุดหมุน

A เม่ือสะทอ้ น ∆ ΄ ดว้ ยเสน้ ตรง จะได้ ∆ จึงกลา่ วไดว้ ่า

O X

ถา้ หมุนรปู ตน้ แบบไปในทศิ ทางตามเขม็ นาฬิ กาด้วยมมุ ทม่ี ีขนาด 180° โดยมี

A΄ จุดกาเนิดเปน็ จุดหมนุ แลว้ สะทอ้ นรูปน้ันโดยมีเสน้ ตรง เป็นเส้นสะท้อน
จะทาให้ภาพทไี่ ด้จากการสะทอ้ นครง้ั ทสี่ องเปน็ ภาพที่ได้จากการสะทอ้ น

รปู ตน้ แบบเดิม โดยมีเสน้ สะท้อนตั้งฉากกับเสน้ สะทอ้ นเส้นเดิม


ความสมั พนั ธข์ องการเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ

พจิ ารณารปู ตอ่ ไปนี้

กาหนดใหร้ ูปสามเหลี่ยม A เปน็ รปู ต้นแบบและรปู สามเหลี่ยม B และ C เปน็ ภาพท่ีไดจ้ ากการสะท้อน

รปู สามเหล่ยี ม A โดยมีเส้นตรง และเสน้ ตรง เป็นเสน้ ตรงสะทอ้ น ตามลาดับ
Y 2) การแปลงจาก ∆ → ∆ สามารถทาได้หลายวิธี เชน่

A΄ สะทอ้ น ∆ ด้วยเส้นตรง
หมุนภาพ ∆ ΄ ทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นไปในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า

A ด้วยมมุ 180° โดยจดุ O เปน็ จุดหมนุ จะได้ ∆ จึงกลา่ วไดว้ า่

O X

ถ้าสะทอ้ นรปู ต้นแบบโดยมเี ส้นตรง เปน็ เส้นสะทอ้ นแล้วหมนุ ภาพท่ไี ดจ้ าก

การสะท้อนไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิ กาด้วยมมุ ท่มี ีขนาด 180° โดยมีจุดกาเนดิ

C เปน็ จดุ หมนุ จะทาให้ภาพท่ีไดจ้ ากการหมนุ ครงั้ ทส่ี องเป็นภาพที่ไดจ้ าก
การสะทอ้ นรปู ตน้ แบบเดิมโดยมีเสน้ สะท้อนตัง้ ฉากกับเสน้ สะท้อนเส้นเดมิ

ความสัมพนั ธ์ของการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน

พิจารณารปู ต่อไปน้ี

A สามารถอธบิ ายความสัมพันธข์ อง ∆ กับ ∆ ได้ ดังนี้
(1) ∆ ΄ เกิดจากการสะทอ้ น ∆ โดยมีเสน้ ตรง

A΄ เปน็ เส้นสะทอ้ น ซ่งึ //

(2) ∆ เกดิ จากการสะท้อน ∆ ΄ โดยมเี ส้นตรง
B เปน็ เส้นสะท้อน

จะพบว่า ∆ เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการเลือ่ นขนาน ∆

ความสมั พนั ธ์ของการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน

พิจารณารูปต่อไปน้ี

AA P สามารถอธิบายความสมั พันธ์ของ ∆ กับ ∆ ได้ ดงั น้ี
(1) เมอื่ ทาการสะท้อน 2 คร้ัง โดยมเี สน้ ตรง และ

A΄ เปน็ เสน้ สะท้อนจะไดร้ ูป ∆

BB (2) เม่อื ทาการหาจุดหมนุ จากรปู ∆ ไปยงั รูป ∆ จะพบวา่ มี
จุด P เป็นจุดหมุน ซง่ึ หมนุ ด้วยมุมขนาด  องศา ในทิศทาง
ทวนเข็มนาฬิกา

ความสมั พันธข์ องการเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ

จากทง้ั 2 ตัวอย่าง สามารถสรุปไดว้ ่า A

A P

A΄

A΄ B



ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนรูปตน้ แบบโดยมีเสน้ สะทอ้ นสองเสน้ ทข่ี นานกนั
จะเป็นภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนานรปู ต้นแบบเดิม และภาพทไ่ี ด้จาก
B การสะท้อนรูปต้นแบบโดยมีเส้นสะทอ้ นสองเสน้ ทีไ่ มข่ นานกัน จะเป็น
ภาพทีไ่ ด้จากการหมนุ รปู ต้นแบบเดิม

การนาสมบตั ิของการเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ ไปใช้ในชีวติ จริง

ภาพเทสเซลเลชัน นกั เรียนทราบไหมวา่ “ภาพเทสเซลเลชนั ” คอื อะไร?

เป็นการนารปู ตน้ แบบมาจดั เรยี งต่อกันโดยไมใ่ ห้เกิดช่องว่างและทกุ รูปตอ่ กนั ได้สนิทพอดี

การสรา้ งภาพเทสเซลเลชนั อาจทาได้หลายรูปแบบ ในทน่ี ี้จะขอยกตวั อยา่ งไว้ ดังนี้

แบบที่ 1 แบบท่ี 2 แบบท่ี 3 แบบท่ี 4 แบบท่ี 5

การนาสมบตั ขิ องการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ ไปใชใ้ นชีวิตจรงิ

ภาพเทสเซลเลชนั

แบบที่ 1

ภาพเทสเซลเลชนั ของรูปเหลยี่ มดา้ นเท่ามุมเท่า (regular tessellation)
แบบของรูปนเี้ กิดจากการนารูปเหล่ยี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ แบบใดแบบหน่งึ เพยี ง
แบบเดียว วางเรยี งต่อกนั ไปเรอ่ื ยๆ จนเตม็ พ้นื ท่ี

การนาสมบตั ขิ องการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใช้ในชีวติ จรงิ

ภาพเทสเซลเลชัน

แบบท่ี 2

ภาพเทสเซลเลชนั ของรปู เหลีย่ มมากกวา่ หนง่ึ แบบ

การนาสมบตั ขิ องการเลอื่ นขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใชใ้ นชวี ิตจรงิ

ภาพเทสเซลเลชัน

แบบที่ 3

ภาพเทสเซลเลชันท่ีเกิดจากการหมนุ ของรูปเหลี่ยมดา้ นไม่เทา่ เพยี งแบบเดยี ว

การนาสมบตั ขิ องการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใชใ้ นชีวติ จรงิ

ภาพเทสเซลเลชัน

แบบท่ี 4

ภาพเทสเซลเลชันของรปู สเี่ หลย่ี มโดยการเลือ่ นขนาน

การนาสมบตั ขิ องการเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุนไปใชใ้ นชวี ิตจรงิ

ภาพเทสเซลเลชัน

แบบที่ 5

ภาพเทสเซลเลชันท่ีเกิดจากการหมนุ ของรูปเหลี่ยมด้านไม่เทา่ เพยี งแบบเดยี ว

การสอ่ งกระจกจึงจัดเป็นการสะท้อนภาพที่อย่ดู า้ นหน้า
ของกระจกทาให้เราสามารถมองเห็นตัวเอง