ลำดับและอนุกรมอนันต์

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย เรื่องล าดับและอนุกรมอนันต์ จัดท าโดย นางสาวภาวนา เหล่าวรรณทอง รหัสนิสิต 65040009 นางสาวปาณิสรา รัตนะพงค์ รหัสนิสิต 65040011 นายณัฐบวร เช้าเจริญ รหัสนิสิต 65040236 นายทรัพย์ทวี อ่อนชื่นจิตร รหัสนิสิต 65040238 นายปารเมศ นิ่มนวล รหัสนิสิต 65040243 คณะศึกษาศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ เสนอ อาจารย์ ดร.คมสัน ตรีไพบูลย์ รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ตามหลักสูตรปริญญาการศึกษาบัณฑิต (กศ.บ.4 ปี) คณะศึกษาศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย เรื่องล าดับและอนุกรมอนันต์ จัดท าโดย นางสาวภาวนา เหล่าวรรณทอง รหัสนิสิต 65040009 นางสาวปาณิสรา รัตนะพงค์ รหัสนิสิต 65040011 นายณัฐบวร เช้าเจริญ รหัสนิสิต 65040236 นายทรัพย์ทวี อ่อนชื่นจิตร รหัสนิสิต 65040238 นายปารเมศ นิ่มนวล รหัสนิสิต 65040243 คณะศึกษาศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ เสนอ อาจารย์ ดร.คมสัน ตรีไพบูลย์ รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ตามหลักสูตรปริญญาการศึกษาบัณฑิต (กศ.บ.4 ปี) คณะศึกษาศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566

ก ค าน า เอกสารประกอบการสอนเล่มนี้จัดท าขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา 40620162-62 Upper Secondary School Mathematics คณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เพื่อให้ผู้ศึกษาได้ศึกษา หาความรู้ในเรื่องล าดับเเละอนุกรมอนันต์อย่างเข้าใจ เอกสารประกอบการสอนฉบับนี้ประกอบด้วย เนื้อหา บทนิยาม พร้อมยกตัวอย่างประกอบ เพื่อให้ผู้ศึกษาสามารถน าความรู้ที่ได้ไปประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์กับ การเรียนและอื่นๆ ผู้จัดท าหวังว่า เอกสารประกอบการสอนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับผู้อ่าน หรือนักเรียน นักศึกษา ที่ก าลังหาข้อมูลเรื่องนี้เเละสามารถน าไปประยุกต์ใช้ได้ หากมีข้อแนะน าหรือข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดท าขอ น้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย คณะผู้จัดท า

ข สารบัญ เรื่อง หน้า ค าน า ก สารบัญ ข ทบทวนล าดับ -ล าดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) 3 -ล าดับเราขาคณิต (Geometric Sequence) 9 -ล าดับเวียนเกิด (Recursive Sequence) 15 ล าดับพนุนาม (Polynomial Sequence) 18 ล าดับฮาร์มอนิก (Harmonic Sequence) 20 ลิมิตของล าดับ (Limit of a Sequence) 31 การหาลิมิตในรูปเศษส่วน 46 การหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา 57 ทบทวนอนุกรม -อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) 75 -อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) 88 อนุกรมเรขาคณิตผสม (Arithmetic–Geometric Series : A.G.S) 102 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) 108 อนุกรมอนันต์ (Infinite Series) 114 อนุกรมเรขาคณิตอนันต์(Infinite Geometric Series) 129 การประยุกต์ของล าดับและอนุกรมอนันต์ 136 บรรณานุกรม 146

1 ล าดับ ล าดับ (Sequences) หมายถึง ตัวเลขชุดหนึ่งที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่ก าหนดให้ ล าดับ เป็นจ านวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นล าดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่ง ออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่ - ล าดับจ ากัด คือ ล าดับซึ่งมีจ านวนพจน์จ ากัด เช่น 1, 2, 3, 4, … , 100 ฯลฯ - ล าดับอนันต์ คือ ล าดับซึ่งมีจ านวนพจน์ไม่จ ากัด เช่น 1, 2, 3, 4, … ฯลฯ ความหมายของล าดับในการเขียนล าดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ 1. สุนีย์เก็บเงินทุกเดือนเดือนละ 500 บาท เป็นเวลา 8 เดือน เขียนตารางแสดงจ านวนเงินสะสม ในแต่ละเดือนได้ดังนี้ เดือนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 จ านวนเงินสะสม(บาท) 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 จากตาราง จะเห็นว่า ความสัมพันธ์ระหว่างเดือนที่เก็บเงินกับจ านวนเงินสะสมในแต่ละเดือนเป็น ฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนเป็น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และมีเรนจ์เป็น 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000 จากตัวอย่างข้างต้น เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมนเป็นสับเซตของเซตของจ านวนเต็มบวก และความสัมพันธ์ทั้ง สองต่างก็เป็นฟังก์ชัน เรียกความสัมพันธ์เช่นนี้ว่า ล าดับ โดยให้ นิยามของล าดับดังนี้ บทนิยาม ล าดับ (sequence) คือ ฟังก์ชันเป็นล าดับที่มีโดเมนเป็นเซต 1, 2, 3, ..., n หรือมีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก

2 กล่าวคือ ถ้า a เป็น ล าดับจ ากัด (finite sequence) จะเขียนแทนด้วย 1 a , 2 a , 3 a , ... , n a และถ้า a เป็น ล าดับอนันต์ (infinite sequence) จะเขียนแทนด้วย 1 a , 2 a , 3 a , ... เรียก 1 a ว่า พจน์ที่ 1 ของล าดับ เรียก 2 a ว่า พจน์ที่ 2 ของล าดับ เรียก 3 a ว่า พจน์ที่ 3 ของล าดับ และเรียก n a ว่า พจน์ที่ n ของล าดับ หรือพจน์ทั่วไปของล าดับ ตัวอย่างของการเขียนล าดับ - ตัวอย่างที่ 1 : 4, 7, 10, 13 เป็นล าดับจ ากัดที่มี 1 2 3 4 a a a a = = = = 4, 7, 10, 13 และ 3 1 n a n = + - ตัวอย่างที่ 2 : –2, 1, 6, 13, … เป็นล าดับอนันต์ที่มี 1 2 3 4 a a a a = − = = = 2, 1, 6, 13 และ 2 3 n a n = − นอกจากการเขียนล าดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n หรือ พจน์ทั่วไป พร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมนด้วย ตัวอย่างการเขียน - ตัวอย่างที่ 1 : ล าดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย 3 1 n a n = + เมื่อ n = 1, 2, 3, 4 - ตัวอย่างที่ 2 : ล าดับ –2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย 2 3 n a n = − เมื่อ n เป็นจ านวนเต็มบวก ทั้งนี้ในกรณีที่ก าหนดล าดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมนให้ถือว่าล าดับ นั้นเป็น ล าดับอนันต์ ตัวอย่างการเขียนล าดับจ ากัด และล าดับอนันต์ โดยที่ล าดับจ ากัด เป็นล าดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก n ในพจน์แรก และล าดับอนันต์ เป็นล าดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก - ตัวอย่างที่ 1 : 6, 12, 18, 24, 30 เป็นล าดับจ ากัด - ตัวอย่างที่ 2 : 5 2 n a n = − เมื่อ n = { 1, 2, 3, … , 20 } เป็นล าดับจ ากัด - ตัวอย่างที่ 3 : 2, 4, 8, 16, … , n a , … เป็นล าดับอนันต์ - ตัวอย่างที่ 4 : 2 3 n a n = + เป็นล าดับอนันต์

3 ล าดับเลขคณิต บทนิยาม ล าดับเลขคณิต เป็นล าดับที่มีผลต่างที่ได้จากการน าพจน์ที่ n +1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวก n และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม (Common difference) ถ้า 1 a , 2 a , 3 a , ... , n a , 1 n a + , … เป็นล าดับเลขคณิตแล้ว จะได้ 2 1 a a − = 3 2 a a − = … = 1 n n a a + − เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ผลต่างร่วม” (Common difference) เขียนแทนด้วย “ d ” จากบทนิยาม d = 1 n n a a + − หรือ 1 n a + n = + a d ส าหรับทุกจ านวน เต็มบวก n ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของล าดับเลขคณิตล าดับที่ 1 a และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ตัวติดกัน เท่ากับ d แล้วพจน์ที่ n ของล าดับนี้คือ 1 ( 1) n a a n d = + − หรือในกรณีทั่วไป จะได้ ( ) n m a a n m d = − ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับล าดับเลขคณิต 1. จงหาพจน์ทั่วไป ( n a ) ของ 5, 7, 9, 11, … (ระดับง่าย) วิธีท า จากสูตร 1 ( 1) n a a n d = + − จะได้ 1 a = 5 , 2 1 d a a = − = − = 7 5 2 จะได้ 5 ( 1)2 n a n = + − 5 2 2 n a n = + − ดังนั้น 2 3 n a n = +

4 2. จงหาพจน์ทั่วไป ( n a ) ของ -4, 2, 8, 14, … (ระดับง่าย) วิธีท า จากสูตร 1 ( 1) n a a n d = + − จะได้ 1 a = −4 , 2 1 d a a = − = − − = 2 ( 4) 6 จะได้ 4 ( 1)6 n a n = − + − 4 6 6 n a n = − + − ดังนั้น 6 10 n a n = − 3. ให้a และ b เป็นจ านวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นล าดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b (ระดับง่าย) วิธีท า จากสูตร 1 ( 1) n a a n d = + − จะได้ 2 a =101 10 = + a d .......................(1) 1 20 3 = + a d .......................(2) น า (2) – (1) จะได้ 10 2 = d d = 5 แทน d = 5 ในสมการ (1) จะได้ 1 10 5 = + a 1 a = 5 ดังนั้น 10 1 a a d = + 9 10 a = + = 5 9(5) 50 4. ผู้จัดงานแสดงดนตรีแจกเสื้อให้ผู้เข้าร่วมงานคนที่ 99, 144, 189, 234, 279, ... ถ้ามีผู้เข้าร่วมงานทั้งหมด 1,500 คน แล้วมีผู้เข้าร่วมงานที่ได้เสื้อทั้งหมดกี่คน (ระดับปานกลาง) วิธีท า ข้อมูลที่ทราบคือ 1 a = 99, d = 45 โจทย์ต้องการหา n จากสูตร 1 ( 1) n a a n d = + − 1,500 จะได้ 99 ( 1)45 n a n = + − 1,500 99 45 45 n a n = + − 1,500 45 50 n a n = + 1,500 45 n a n = − 1,500 50

5 45 n a n = 1, 450 n a n = 1, 450 45 n a n = 32.2222 เนื่องจาก เป็นจ านวนคนจะต้องเป็นจ านวนนับ ดังนั้น ทศนิยมจะต้องปัดลง ดังนั้น จะมีผู้เข้าร่วมที่ได้เสื้อทั้งหมด 32 คน 5. ถ้าพจน์ที่ 10, 11, 12 และ พจน์ที่ 13 ของล าดับเลขคณิต คือ 2 1, a + 2 1, b − 3b a − และ a b + 3 เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริง แล้วพจน์ที่ 1008 ของล าดับเลขคณิตนี้จะมีค่าเท่าใด (ระดับปานกลาง) วิธีท า ใช้สมบัติการเท่ากันของผลต่างร่วมจะได้ 11 10 a a − = 12 11 a a − 2 1 (2 1) b a − − + = − − − 3 2 1 b a b ( ) 2 1 2 1 b a − − − = − − + 3 2 1 b a b 2 2 2 b a − − = − + b a 1 a b − =−3 .......................(1) 12 11 a a − = 13 12 a a − 3 2 1 b a b − − − ( ) = + − − a b b a 3 (3 ) 3 2 1 b a b − − + = + − + a b b a 3 3 3a b − =1 .......................(2) น า (2) – (1) จะได้ a = 2 และ b = 5 ซึ่งจะท าให้พจน์ที่ 10, 11, 12 และ พจน์ที่ 13 คือ 5, 9, 13, 17 โดยที่ผลต่างร่วมคือ 4 และจะหาพจน์ที่ 1008 คือ 1008 a = 10 a n d + − ( 10) 1008 a = 5 (1008 10)4 + − 1008 a = 5 (998)4 + 1008 a = 3,997 ดังนั้น 1008 a = 3,997

6 6. ถ้า 2, 9, 16, ... เป็นล าดับเลขคณิต แล้วพจน์ที่เท่าใดของล าดับนี้ที่มีค่าอยู่ในช่วง 180,185 (ระดับปานกลาง) วิธีท า โจทย์ก าหนด d = 7, 1 a = 2 2 ( 1)7 n a n = + − 2 7 7 n a n = + − 7 5 n a n = − ดังนั้น ล าดับที่มีค่าอยู่ในช่วง 180,185 จะได้ 180 7 5 185 − n 185 7 190 n 185 190 7 7 n 26.43 27.14 n เนื่องจาก หาล าดับของพจน์จะต้องเป็นจ านวนนับ ดังนั้น พจน์ของล าดับนี้ที่อยู่ในช่วง 180,185 ได้แก่ พจน์ที่ n = 27 7. ก าหนดให้ 4 พจน์แรกของล าดับเลขคณิต คือ 2 1 a + , 2 1 b − , 3b a −และ a b + 3 เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริง พจน์ที่ 1000 ของล าดับเลขคณิตนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้(ระดับยาก) วิธีท า โจทย์ก าหนด 1 a a = + 2 1, 2 a b = − 2 1, 3 a b a = − 3 , 4 a a b = + 3 ดังนั้น 2 1 3 2 a a a a − = − 2 1 2 1 b a − − − = − − + 3 2 1 b a b 2 2 2 b a − − = − + b a 1 2 2 b a b a − − + = +1 2 b a − = 3 .......................(1) และ 2 1 4 3 a a a a − = − 2 1 2 1 b a − − − = + − + a b b a 3 3 2 2 2 b a − − = 2a 2 4 b a − = 2 b a − 2 =1 .......................(2) น า (2) – (1) ; a = 2

7 แทนค่า a = 2 ลงในสมการ (1) ; b − = 2 3 b = 5 จะได้ว่า 1 a = + = 2(2) 1 5, 2 a = − = 2(5) 1 9, 3 a = − = 3(5) 2 13, 4 a = + = 2 3(5) 17 จะได้ 2 1 d a a = − = − = 9 5 4 จากสูตรของล าดับเลขคณิต 1 ( 1) n a a n d = + − ดังนั้น 1000 a = + − 5 (1000 1)4 1000 a = +5 (999)4 1000 a = +5 3996 1000 a = 4001 ดังนั้น พจน์ที่ 1,000 ของล าดับเลขคณิตนี้ เท่ากับ 4,001

8 แบบฝึกท้าทายเรื่องล าดับเลขคณิต 1. ถ้าพจน์ทั่วไปของล าดับ n a คือ ( ) 1 2 3 2 n n + คือ n1,2,3,...,18,19,20 แล้วจ านวนในข้อใดอยู่ ในล าดับนี้(ระดับง่าย) 2. ก าหนดให้ 1 a , 2 a , 3 a , ... , 44 a , 45 a เป็นล าดับเลขคณิต ถ้า 1 a = 60 และ 45 a = 720 แล้ว 36 34 a a −มีค่าเท่ากับเท่าใด (ระดับปานกลาง) 3. ให้ an เป็นล าดับของจ านวนจริง เรียกพจน์ n a ว่าพจน์คู่ ถ้า n เป็นจ านวนคู่ และเรียกพจน์ n a ว่าพจน์คี่ ถ้า n เป็นจ านวนคี่ ก าหนดให้ an เป็นล าดับเลขคณิต โดยที่มีจ านวนพจน์เป็นจ านวนคู่ และผลบวกของพจน์คี่ทั้งหมด เท่ากับ 36 และผลบวกของพจน์คู่ทั้งหมด เท่ากับ 56 ถ้าพจน์สุดท้ายมากกว่าพจน์แรก เป็นจ านวน เท่ากับ 38 แล้วล าดับเลขคณิต an มีทั้งหมดกี่พจน์(ระดับยาก)

9 ล าดับเรขาคณิต บทนิยาม ล าดับเรขาคณิต เป็นล าดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n +1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ ทุกค่าของจ านวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” (Common ratio) ถ้า 1 a , 2 a , 3 a , ... , n a , 1 n a + เป็นล าดับเรขาคณิตแล้ว จะได้เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” (Common ratio) เขียนแทนด้วย “r ” ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของล าดับเรขาคณิต ล าดับที่ 1 a และมีอัตราส่วนร่วม r 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของล าดับนี้คือ 1 1 n n a a r − = หรือในกรณีทั่วไป จะได้ n m n m a a r − = ตัวอย่าง ของล าดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, 32, … จะได้ว่า อัตราส่วน 2 a ต่อ 1 a = 2 1 4 2 2 a r a = = = หรือ อัตราส่วน 3 a ต่อ 2 a = 3 2 8 2 4 a r a = = = ดังนั้น 2 คือ อัตราส่วนร่วมของล าดับเรขาคณิตข้างต้น ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับล าดับเรขาคณิต 1. หาพจน์ที่ 20 ของ 1, 4, 16, ... (ระดับง่าย) โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 20 นั่นคือ 19 20 1 a a r = สิ่งที่ให้มาคือ 1 a =1 และ อัตราส่วนร่วมคือ 2 1 4 4 1 a r a = = = ดังนั้น 19 19 20 a = = 1(4) 4

10 2. ให้ล าดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็น -2 ถ้า 4 a = 4 แล้ว 1 a มีค่าเท่าใด (ระดับง่าย) จากโจทย์ r = −2 จะได้ ( ) 3 4 1 a a = = − 4 2 1 4 ( 8) = − a 1 1 2 a = − 3. ล าดับเรขาคณิตมี 1 1 4 a = , 7 a = 8 จงหา 13 a (ระดับปานกลาง) โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 13 นั่นคือ 12 13 1 a a r = สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ 1 1 4 a = และ 7 a = 8 จะได้ว่า 6 7 1 a a r = 1 6 8 4 = r 6 r = = 8(4) 32 6 r = 32 ดังนั้น หาพจน์ที่ 13 จะได้ ( ) 12 6 13 1 32 4 a = 12 6 13 1 32 4 a = ( ) 2 13 1 32 4 a = 13 ( )( ) 1 32 32 4 a = a13 = (8 32 )( ) 13 a = 256 ดังนั้น 13 a = 256

11 4. ล าดับ 2 , 10 , 50 , … , 1, 250 มีกี่พจน์(ระดับปานกลาง) วิธีท า โจทย์ต้องการทราบว่ามีกี่พจน์นั่นคือ ต้องการทราบค่า n สิ่งที่โจทย์ให้มา จากโจทย์ a = 2 , 10 5 2 r = = และ 1,250 n a = หาจ านวนพจน์ จากสูตร 1 1 n n a a r − = 1, 250 1 2(5)n− = 625 1 5 5 n − = 3,125 5 n = 5 5 5n = n = 5 ดังนั้น ล าดับเรขาคณิตข้างต้นมีทั้งหมด 5 พจน์ 5. ล าดับเรขาคณิตล าดับหนึ่งมีผลบวก และผลคูณของ 3 พจน์แรก เป็น 13 และ 27 ตามล าดับ ถ้า r เป็นอัตราส่วนของล าดับนี้แล้ว 1 r r + มีค่าเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า จากโจทย์ก าหนด ผลบวก และผลคูณของ 3 พจน์แรกเป็น 13 และ 27 นั่นคือ ผลบวก 3 พจน์แรกเท่ากับ 13 จะได้ 1 2 3 a a a + + =13 2 1 1 1 a a r a r + + =13 2 1 a r r (1 ) + + =13 .......................(1) ผลคูณ 3 พจน์แรกเท่ากับ 27 จะได้ 1 2 3 a a a = 27 2 1 1 1 a a r a r = 27 ( ) 3 3 1 a r 3 = 3 1 a r = 3 1 a 3 r = .......................(2)

12 แทนค่า 1 a 3 r = ลงใน (1) จะได้ 3 2 (1 ) r r r + + =13 2 3 3 3 + +r r =13r 2 3 10 3 r r − + = 0 (3 1 3 r r − − )( ) = 0 1 3 r = และ r = 3 ถ้า 1 3 r = จะได้ว่า 1 r r + 1 1 3 1 3 = +1 3 3 1 = + 10 3 = ถ้า r = 3 จะได้ว่า 1 r r + 1 3 3 = + 9 1 3 3 = + 10 3 = ดังนั้น 1 r r + จะเท่ากับ 10 3

13 6. ถ้าผลคูณของล าดับเรขาคณิต 3 จ านวนที่เรียงติดกันเท่ากับ 343 และผลบวกของทั้งสามจ านวนนี้ เท่ากับ 57 แล้วค่ามากที่สุดในบรรดา 3 จ านวนนี้ เท่ากับเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า สมมุติให้ผลคูณ 3 จ านวน คือ 1 , a r 1, a 1 ar ตามล าดับ โดยที่ a เป็นค่าคงตัว และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของล าดับเรขาคณิตนี้ ซึ่งมีผลคูณเท่ากับ 343 จะได้สมการ 1 1 1 a a a r r = 343 3 1 ( ) a 3 = 7 1 a = 7 จากผลบวกของทั้ง 3 จ านวนของล าดับเรขาคณิตนี้ มีค่าเท่ากับ 57 จะได้สมการ 1 1 1 a a a r r + + = 57 1 1 a r 1 r + + = 57 แทนค่า 1 a = 7 แล้วคูณด้วย r ตลอดจะได้ 1 7 1 r r r + + = 57r 2 7 7 7 + +r r = 57r 2 7 50 7 r r − + = 0 (7 1 7 r r − − )( ) = 0 จะได้ 1 ,7 7 r = แทนค่า 1 a = 7 และ 1 7 r = ลงไปใน 1 1 1 , , a a a r r จะได้ 49, 7, 1 แทนค่า 1 a = 7 และ r = 7 ลงไปใน 1 1 1 , , a a a r r จะได้ 1, 7, 49 ดังนั้น ตามล าดับพจน์ที่มาค่ามากที่สุดของทั้ง 3 พจน์นี้คือ 49

14 แบบฝึกท้าทายเรื่องล าดับเรขาคณิต 1. ก าหนดให้ a และ b เป็นจ านวนจริงบวก ถ้า a , 2, b , 6, ... เป็นล าดับเรขาคณิต แล้วพจน์ที่ 10 ของล าดับนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด (ระดับง่าย) 2. ให้ 18, a , b , c , 2 9 เป็นห้าพจน์แรกของล าดับเรขาคณิต ค่าของ 3(abc + + ) เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ (ระดับปานกลาง) 3. ให้ a , b , c เป็นจ านวนจริง โดยที่ 2a , 3b , 4c เป็นล าดับเรขาคณิต และ 1 a , 1 b , 1 c เป็นล าดับเลขคณิต ค่าของ a c c a + เท่ากับเท่าใด (ระดับยาก)

15 ล าดับเวียนเกิด ล าดับเวียนเกิด (Recursive Sequence) คือ ล าดับที่อาศัยพจน์ก่อนหน้าในการค านวณ เช่น ล าดับฟิโบนักชีที่เกิดจากผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้า ตัวอย่าง 1. ก าหนดให้ 1 a = 0, 2 a =1, และ n n n 1 2 a a a = + − −ส าหรับ n = 3, 4, 5 , .. . เราสามารถค านวณหาพจน์ที่ 3, 4, 5 , ... ได้ดังนี้(ระดับง่าย) วิธีท า 3 a 2 1 = + a a = +1 0 =1 4 a 3 2 = + a a = +1 1 = 2 5 a 4 3 = + a a = +2 1 = 3 เมื่อเราค านวณไปเรื่อย ๆ ก็จะได้ล าดับพจน์ ดังนี้ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .. . 2. ให้ bn เป็นล าดับของจ านวนจริง โดยที่ 1 b = 3−และ 1 1 1 n n n b b b + = + − ส าหรับ n =1, 2, 3, ... ค่าของ 1000 b มีค่าเท่าใด (ระดับปานกลาง) วิธีท า หาล าดับของพจน์ทั่วไปได้ดังนี้ 1 b = 3− ( ) ( ) 2 1 3 2 1 1 3 4 2 b + − − − = = − = − 3 1 1 1 2 1 2 1 3 3 1 2 2 b − + = = − − =

16 4 1 4 1 3 3 2 1 2 1 3 3 b + = = − = ( ) ( ) 5 1 2 3 3 1 2 1 b + = − = = − − จะเห็นได้ว่าถ้าเราหาล าดับพจน์ไปเรื่อย ๆ ค่าของล าดับพจน์จะวนไปเรื่อย ๆ ทุก ๆ 4 พจน์ ดังนั้น พจน์ที่ 1000 จะหาได้จาก พจน์ที่ 1000 หารด้วย 4 ถ้าหารแล้วเหลือเศษ 1 จะได้ค่าเท่ากับ 3− ถ้าหารแล้วเหลือเศษ 2 จะได้ค่าเท่ากับ 1 2 − ถ้าหารแล้วเหลือเศษ 3 จะได้ค่าเท่ากับ 1 3 ถ้าหารลงตัว จะได้ค่าเท่ากับ 2 สรุป 1000 4 250 = ดังนั้นค าตอบคือ 2 3. ก าหนดให้ 1 a =12, 2 a = 2556, 3 a = 7 ถ้า 1 2 2576 k k k a a a k + + = − + + ส าหรับ k =1, 2, 3, ... แล้วค่าของ 2558 a เท่ากับเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า หาความสัมพันธ์ระหว่าง k a กับ k 3 a + จาก 1 2 2576 k k k a a a k + + = − + + แทนค่า k ด้วย k +1 จะได้ a a a k k k k + + + 1 2 3 + + = − + 2576 1 ( ) .......................(1) 1 2 3 2575 k k k a a a k + + + + + = − .......................(2) เมื่อน า (1) – (2) จะได้ 3 1 k k a a − = +

17 เมื่อแทนค่า k =1, 2, 3, ... เพื่อดูรูปแบบของ k a จะได้ 1 4 a a − =1 2 5 a a − =1 3 6 a a − =1 4 7 a a − =1 5 8 a a − =1 6 9 a a − =1 ซึ่งจะเห็นได้ว่า 1 a , 4 a , 7 a และ 10 a มีความสัมพันธ์ ดังนี้ 1 4 7 10 a a a a = + = + = + = 1 2 3 ... ท านองเดียวกัน จะได้ 2 5 8 11 a a a a = + = + = + = 1 2 3 ... 3 6 9 12 a a a a = + = + = + = 1 2 3 ... สังเกตว่าพจน์ที่มีความสัมพันธ์กันจะห่างกันเป็นจ านวนสามเท่าเสมอ เช่น 2 a กับ 8 a จะห่างกันอยู่ 6 3 2 = ( ) และจะได้สมการความสัมพันธ์เป็น 2 8 a a = + 2 ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า 2 3 2 k a a k = + + 3 2 2 k a a k + = − ค านวณหา 2558 a พิจารณา 2558 เมื่อหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษเท่ากับ 2 ดังนั้น 2558 a ย่อมมีความสัมพันธ์ 2 a โดยค านวณระยะห่างระหว่าง 2558 กับ 2 ได้ 2558 2 − = 2556 = 3 852 ( ) ดังนั้น 2558 a (3 852 2 ) a + = 2 = − a 852 = − 2556 852 =1704

18 ล าดับพหุนามดีกรีสอง ในกรณีที่สูตรของ n a สามารถเขียนเป็นพหุนามได้ จะมีสูตรการหาพจน์ทั่วไปอยู่วิธีนี้ จะได้สูตร n a ที่ซับซ้อน แต่สามารถหาได้ (ถ้า n a สามารถเขียนเป็นพหุนามได้) 1. หาผลต่างของแต่ละคู่พจน์ที่ติดกันไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ผลต่างของทุกคู่เท่ากัน n a n a n a n a n a 1 d ? ? ? 2 d ? ? 3 d 3 d 2. น าตัวแรกของแต่ละแถว ไปแทนในสูตร ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 2 3 1 1 2 1 2 3 ... 1 1 2 1 2 3 n n n n n n n a a d d d − − − − − − = + + + + ในกรณีที่ต้องท า 4 แถวถึงจะเท่า ก็บวก ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 4 1 2 3 4 1 2 3 4 n n n n d − − − − หรือตัวอื่น ๆ ต่อไปได้เรื่อย ๆ ตัวอย่าง 1. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 5, 7, 12, 20, ... วิธีท า หาผลต่างของแต่ละคู่ไปเรื่อย ๆ จนกว่าทุกตัวจะห่างกันคงที่ 5 7 12 20 2 5 8 3 3 1 a = 5, 1 d = 2, 2 d = 3 แทนสูตร จะได้ n a ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 5 2 3 1 1 2 n n n − − − = + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 5 2 3 1 1 2 n n n − − − = + +( ) 2 3 3 2 5 2 2 2 n n n − + = + − + 2 3 5 12 2 n n − + =

19 2. จงหาพจน์ที่ 10 ของล าดับ 1, 5, 12, 24, 43, 71, ... วิธีท า หาผลต่างของแต่ละคู่ไปเรื่อย ๆ จนกว่าทุกตัวจะห่างกันคงที่ 1 5 12 24 43 71 4 7 12 19 28 3 5 7 9 2 2 2 จะได้ 1 a =1, 1 d = 4, 2 d = 3, 3 d = 2 แทนสูตร จะได้ n a ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 1 4 3 2 1 1 2 1 2 3 n n n n n n − − − − − − = + + + 10 a ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 10 1 10 1 10 2 10 1 10 2 10 3 1 4 3 2 1 1 2 1 2 3 − − − − − − = + + + 10 a ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 9 8 9 8 7 1 9 4 3 2 1 2 1 2 3 = + + + 10 a = + + + 1 36 108 168 10 a = 313 3. ล าดับพจน์ของชั้นแรกได้แก่ 2, 8, 26, 80, 242, 728, 2186, ... 2 8 26 80 242 728 2186 6 18 54 162 486 1458 12 36 108 324 927 วิธีท า จะเห็นได้ว่า ผลต่างชั้นแรกเป็น 6, 18, 54, 162, 486, 1458, ... ซึ่งเป็นล าดับเรขาคณิตที่มี อัตราส่วนร่วมเป็น 3 จะได้รูปทั่วไปของ ล าดับนี้คือ n 1 n a ar k − = + โดยที่ n 1 ar − เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี r = 3 และ k เป็นค่าคงที่ ดังนั้น รูปทั่วไปของล าดับนี้ คือ ( ) 1 1 1 2 3 a a k − = = + ..................(1) ( ) 2 1 2 8 3 a a k − = = + ..................(2) ( ) 1 3 3 1 n n b − = −

20 ล าดับฮาร์มอนิก(Harmonic Sequence) ล าดับ ฮาร์มอนิก (harmonic sequence) คือ ล าดับ an ซึ่งมีสมบัติว่า ล าดับของส่วนกลับ 1 n n b a = เป็นล าดับ เลขคณิต อ่านนิยามของล าดับฮาร์มอนิก ถ้าพูดให้ง่ายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ การตรวจสอบว่าล าดับนั้น ๆ ว่า เป็นล าดับฮาร์มอนิกหรือไม่ให้เอาส่วนกลับมันไปตรวจสอบดูว่าเป็นล าดับเลขคณิตไหม ถ้าส่วนกลับที่เราน า ตรวจสอบนี้เป็นล าดับเลขคณิต แสดงว่าล าดับล าดับนั้น ๆ เป็นล าดับฮาร์มอนิก ล าดับฮาร์มอนิก หมายถึง ชุดของจ านวนจริงซึ่งส่วนกลับของแต่ละพจน์ เมื่อเรียงกันแล้วจะเป็นล าดับ เลขคณิต ถ้า 1 a , 2 a , 3 a , ... , n a , ... เป็นล าดับฮาร์มอนิก ดังนั้น 1 2 3 1 1 1 1 , , ,..., n a a a a เป็นล าดับเลขคณิต เช่น 1, 2, 3, 4, ... เป็นล าดับเลขคณิต ดังนั้น 1 1 1 1 1, , , ,..., 234 n a เป็นล าดับฮาร์มอนิก ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับล าดับฮาร์มอนิก 1. จงหาพจน์ที่ 15 ของล าดับฮาร์มอนิก 2 1 2 1, , , ,... 3 2 5 (ระดับง่าย) ล าดับเลขคณิตคือ 3 5 1, , 2, 2 2 จะได้ 1 2 d = 1 ( 1) n a a n d = + − 15 1 1 (14 1) 8 2 a = + − = ดังนั้น พจน์ที่ 15 ของล าดับฮาร์มอนิกที่ก าหนดคือ 1 8

21 2. ในล าดับฮาร์มอนิก มี 1 a = 2 , 2 a = 4 จงหา 5 a (ระดับง่าย) วิธีท า เขียนล าดับฮาร์มอนิกให้อยู่ในรูปล าดับเลขคณิต จะได้ 1 1 , 2 a = 2 1 4 a = จะได้ 1 1 1 4 2 4 d = − = − ดังนั้น 5 ( ) 1 1 5 1 2 4 a = + − − 5 1 1 4 2 4 a = + − 5 1 1 2 a = − 5 1 2 2 2 a = − 5 1 2 a = − ดังนั้น 5 1 2 a = − 3. ในล าดับฮาร์มอนิกมี 3 6 11 a = , 6 6 5 a = จงหา 5 12 a a + (ระดับปานกลาง) วิธีท า เขียนล าดับฮาร์มอนิกให้อยู่ในรูปล าดับเลขคณิต จะได้ 3 11 6 a = , 6 5 6 a = จะได้ 6 3 5 11 6 6 1 6 3 3 3 a a d − − = = = − − จาก 3 11 6 a = จะได้ 3 1 1 2 3 a a = + − 1 11 1 2 6 3 a = + − 1 11 2 6 3 a = + 1 5 2 a =

22 หา 5 12 a a + จะได้ 5 ( ) 5 1 5 1 2 3 a = + − − 5 5 4 2 3 a = − 5 7 6 a = และ 12 ( ) 5 1 12 1 2 3 a = + − − 12 5 11 2 3 a = − 12 7 6 a = − ดังนั้น 5 12 a a + 7 7 0 6 6 =−= 4. ถ้า a , b , c เป็นล าดับฮาร์มอนิกแล้ว จงพิสูจน์ว่า 2ac b a c = + (ระดับยาก) วิธีท า ถ้า a , b , c เป็นล าดับฮาร์มอนิกแล้วจะได้ว่า 1 , a 1 , b 1 c เป็นล าดับเลขคณิต จะได้ 1 1 1 1 b a c b − = − 1 1 1 1 b b c a + = + 2 a c b ac + = 2 b ac a c = + 2ac b a c = + ดังนั้น 2ac b a c = +

23 เฉลยแนวข้อสอบเกี่ยวกับล าดับเลขคณิต 1. ถ้าพจน์ทั่วไปของล าดับ n a คือ ( ) 1 2 3 2 n n + คือ n1, 2, 3, ..., 18, 19, 20 แล้วจ านวนในข้อ ใดอยู่ในล าดับนี้(ระดับง่าย) วิธีท า n a = ( ) 1 2 3 2 n n + ( ) 1 3 2 = + n n n = 3 3 ( )( ) 1 333 2 a → = + 3 ( )( ) 1 3 6 2 a → = → = a3 (3 3 )( ) 3 → = a 9 n = 4 4 ( )( ) 1 4 4 3 2 a → = + 4 ( )( ) 1 4 7 2 a → = → = a4 (2 7 )( ) 4 → = a 14 n = 5 5 ( )( ) 1 553 2 a → = + 5 ( )( ) 1 5 8 2 a → = → = a5 (5 4 )( ) 5 → = a 20 n = 6 6 ( )( ) 1 6 6 3 2 a → = + 6 ( )( ) 1 6 9 2 a → = → = a6 (3 9 )( ) 6 → = a 27 1. 10 2. 15 3. 21 4. 25 5. 27

24 2. ก าหนดให้ 1 a , 2 a , 3 a , ..., 44 a , 45 a เป็นล าดับเลขคณิต ถ้า 1 a = 60 และ 45 a = 720 แล้ว 36 34 a a −มีค่าเท่ากับเท่าใด (ระดับปานกลาง) วิธีท า จาก 1 ( 1) n a a n d = + − n = 45 45 1 → = + a a d 44 → = + 720 60 44d → = 660 44d 660 44 → = d → = d 15 ดังนั้น 36 34 a a − = + − + (a d a d 1 1 35 33 ) ( ) = − 35 32 d d = 2d แทน d =15 จะได้ 2 15 30 ( ) = ดังนั้น 36 34 a a − = 30 1. 30 2. 32 3. 34 4. 36 5. 45

25 3. ให้ an เป็นล าดับของจ านวนจริง เรียกพจน์ n a ว่าพจน์คู่ ถ้า n เป็นจ านวนคู่ และเรียกพจน์ n a ว่าพจน์คี่ ถ้า n เป็นจ านวนคี่ ก าหนดให้ an เป็นล าดับเลขคณิต โดยที่มีจ านวนพจน์เป็นจ านวนคู่ และผลบวกของพจน์คี่ทั้งหมด เท่ากับ 36 และผลบวกของพจน์คู่ทั้งหมด เท่ากับ 56 ถ้าพจน์สุดท้ายมากกว่าพจน์แรก เป็นจ านวน เท่ากับ 38 แล้วล าดับเลขคณิต an มีทั้งหมดกี่พจน์(ระดับยาก) วิธีท า หาผลบวกของพจน์คี่ทั้งหมด เท่ากับ 36 จะได้ว่า 1 3 5 1 ... 36 n a a a a + + + + = − a a d a d a n d 1 1 1 1 + + + + + + + − = ( 2 4 ... 2 36 ) ( ) ( ( ) ) ..........(1) หาผลบวกของพจน์คู่ทั้งหมด เท่ากับ 56 จะได้ว่า 2 4 6 ... 56 n a a a a + + + + = (a d a d a d a n d 1 1 1 1 + + + + + + + + − = ) ( 3 5 ... 1 56 ) ( ) ( ( ) ) ..........(2) น า (2) – (1) ; d d d n d n d + + + + − − − = ... ( 1) ( 2) 20 d d d nd d nd d + + + + − − − = ... ( ) ( 2 ) 20 d d d nd d nd d + + + + − − + = ... ( 2 ) 20 d d d d + + + + = ... 20 เนื่องจาก น าชุดของพจน์คู่ - ชุดของพจน์คี่ จึงท าให้มีจ านวนพจน์ที่ลบกัน 2 n พจน์ ดังนั้น d d d d + + + + = ... 20 จึงท าให้มีค่า d บวกกัน 2 n ตัว จะได้ว่า 2 n d = 20 จะได้ว่า nd = 40 โจทย์ก าหนด พจน์สุดท้ายมากกว่าพจน์แรก เป็นจ านวนเท่ากับ 38 จะได้ว่า 1 38 n a a − = a n d a 1 1 + − − = ( 1 38 ) (n d − = 1 38 ) nd d − = 38

26 แทนค่า nd = 40 ; 40 38 − = d d = − = 40 38 2 เนื่องจาก nd = 40 ; 2 40 n = 40 20 2 n = = ดังนั้น ล าดับเลขคณิต an นี้ มีทั้งหมด 20 พจน์

27 เฉลยแนวข้อสอบเกี่ยวกับล าดับเรขาคณิต 1. ก าหนดให้ a และ b เป็นจ านวนจริงบวก ถ้า a , 2, b , 6, ... เป็นล าดับเรขาคณิต แล้วพจน์ที่ 10 ของล าดับนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด (ระดับง่าย) วิธีท า โจทย์ก าหนด 2 a = 2, 4 a = 6 โจทย์ถามหา 10 a = ? จาก 1 1 n n a a r − = จะได้ n − 2, 2 1 2 1 a a r − = 1 2 = a r ..........(1) และ n − 4, 4 1 4 1 a a r − = 3 1 6 = a r ..........(2) น า ( ) ( ) 2 ; 1 ( ) ( ) 3 1 1 6 2 a r a r = 2 3 = r r = 3 แทน r = 3 ใน (1) ; 1 2 3 = a 1 2 3 a = ดังนั้น 9 10 1 a a r = ( ) 9 10 2 3 3 a = ( ) 8 10 a = 2 3 ( ) 4 10 a = 2 3 10 a =162 ดังนั้น 10 a =162 1. 18 2. 36 3. 54 4. 81 5. 162

28 2. ให้ 18, a , b , c , 2 9 เป็นห้าพจน์แรกของล าดับเรขาคณิต ค่าของ 3(abc + + ) เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ (ระดับปานกลาง) วิธีท า จาก 1 1 n n a a r − = จะได้ 4 5 1 a a r = 2 4 18 9 = r 4 4 1 3 r = 1 3 r = หา a, b และ c a r = 18 1 18 3 a = a = 6 b r = 6 1 6 3 b = b = 2 c r = 2 1 2 3 c = 2 3 c = หา 3(abc + + ) ( ) ( ) 2 3 6 3 2 3 3 = + + = 26 ดังนั้น 3(abc + + ) = 26 1. 26 2. 29 3. 32 4. 35

29 3. ให้ a , b , c เป็นจ านวนจริง โดยที่ 2a , 3b , 4c เป็นล าดับเรขาคณิต และ 1 a , 1 b , 1 c เป็นล าดับเลขคณิต ค่าของ a c c a + เท่ากับเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า โจทย์ก าหนด 2 , a 3, b 4c เป็นล าดับเรขาคณิต จะได้ 3 4 2 3 b c a b = 2 9 8 b ac = 2 9 8 b = ac ..........(1) โจทย์ก าหนด 1 a , 1 b , 1 c เป็นล าดับเลขคณิต จะได้ 1 1 1 1 b a c b − = − 1 1 1 1 b b c a + = + 2 a c b ac + = 2ac a c b = + ..........(2) โจทย์ต้องการหา a c c a + 2 2 a c ac + = 2 2 ( 2 ) 2 a ac c ac ac + + − = 2 ( ) 2 a c ac ac ac + = − จะได้ a c c a + 2 ( ) 2 a c ac + = − ..........(3) แทน (2) ใน (3) ; a c c a + 2 2 2 ac b ac = − a c c a + 2 4 2 ac b = − ..........(4)

30 แทน (1) ใน (4) ; a c c a + 2 2 9 4 8 2 b b = − a c c a + 2 2 9 1 2 2 b b = − a c c a + 9 4 5 2.5 2 2 2 = − = = ดังนั้น ค่าของ a c c a + = 2.5

31 ลิมิตของล าดับอนันต์ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสมบัติบางประการของล าดับ โดยพิจารณาพจน์ที่ n ของล าดับ เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด โดยพิจารณาจากบทนิยามและตัวอย่างต่อไปนี้ บทนิยาม ให้ 1 2 3 , , ,..., ,... n a a a a เป็นล าดับอนันต์ ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว n a เข้าใกล้หรือเท่ากับ จ านวนจริง L เพียงจ านวนเดียวเท่านั้น จะเขียน lim n n a L → = และจะเรียก L ว่า ลิมิตของล าดับ (limit of a sequence) และกล่าวได้ว่า ล าดับนี้มีลิมิตเท่ากับ L เรียกล าดับอนันต์ที่มีลิมิตว่า ล าดับลู่เข้า และเรียกล าดับอนันต์ที่ไม่ใช่ล าดับลู่เข้าว่า ล าดับลู่ออก (divergent sequence) 1.พิจารณากราฟของล าดับ 1 2 n n a = จากกราฟในรูปที่ 1 จะเห็นได้ว่า ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว n a จะลดลงและเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่เท่ากับ 0 ซึ่งจากบทนิยามจะท าให้ทราบว่า ลิมิตของล าดับ 1 2 n n a = เป็น 0 และล าดับนี้เป็น ล าดับลู่เข้า

32 2. พิจารณากราฟของล าดับ เมื่อ 2 n a = ในรูปที่ 2 จากกราฟในรูปที่ 2 จะเห็นว่า n a เป็น 2 เสมอ ส าหรับทุก n เมื่อ n มากขึ้นโดยที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งจากบทนิยามจะท าให้ทราบว่า ลิมิตของล าดับ 2 n a = เป็น 2 และล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า 3. พิจารณากราฟของล าดับ เมื่อ ( 1) 1 n n a n − = + ในรูปที่ 3 จากกราฟในรูปที่ 3 จะเห็นว่าแนวของจุดในกราฟจะเข้าใกล้เส้นตรง y =1 ซึ่งหมายความว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n จะเข้าใกล้ 1 แต่จะไม่เท่ากับ 1 ซึ่งจากบทนิยามจะท าให้ทราบว่า ลิมิตของล าดับ ( 1) 1 n n a n − = + เป็น 1 และล าดับเป็นล าดับลู่เข้า

33 4. พิจารณากราฟของล าดับ 2 1 n a n = − จากกราฟในรูปที่ 4 จะเห็นว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของล าดับจะมากขึ้น และไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่งเลย ซึ่งจากบทนิยามจะท าให้ทราบว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว 2 1 n a n = − ไม่เข้าใกล้จ านวน จริงใด จะกล่าวได้ว่าลิมิตของล าดับ 2 1 n a n = − ไม่มีค่า ล าดับนี้จึงไม่ใช่ล าดับลู่เข้า ดังนั้น ล าดับ 2 1 n a n = − เป็นล าดับลู่ออก 5. พิจารณากราฟของล าดับ เมื่อ จากกราฟในรูปที่ 5 จะเห็นว่า เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ พจน์ที่ n เป็น 1 และเมื่อ n เป็นจ านวนคู่ พจน์ที่ n เป็น -1 ดังนั้น เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของล าดับนี้ จึงไม่เข้าใกล้ จ านวนใดจ านวนหนึ่ง ซึ่งจากบทนิยามจ าท าให้ทราบว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว ( ) 1 1 n n a + = − ไม่เข้าใกล้หรือ เท่ากับจ านวนจริงเพียงจ านวนเดียว จะกล่าวได้ว่าลิมิตของล าดับ ( ) 1 1 n n a + = − ไม่มีค่า ดังนั้น ล าดับ นี้จึงกลายเป็นล าดับลู่ออก และจะเรียกล าดับลู่ออกที่มีลักษณะของกราฟขึ้นและกราฟลงสลับกันโดย ไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่งเช่นนี้ว่า ล าดับแกว่งกวัด (oscillating sequence) ( ) 1 1 n n a + = −

34 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจ านวนจริงบวก จะได้ว่า 1 0 lim r n→ n = และ lim r n n → ไม่มีค่า จากทฤษฎีบท 1 เราสามารถหาลิมิตได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1. จาก 2 1 n a n = เขียนล าดับเป็น 2 1 1 1 1 1, , , ,..., ,... 4 9 16 n จะเห็นว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของล าดับจะลดลงและเข้าใกล้ 0 ดังนั้น 2 1 0 lim n→ n = 2. จาก 3 n a n = เขียนล าดับเป็น 3 1,8,27,64,..., ,... n จะเห็นว่า เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ขอล าดับจะไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง ดังนั้น 3 lim n n → ไม่มีค่า

35 ทฤษฎีบท 2 ให้ r เป็นจ านวนจริง จะได้ว่า ถ้า r 1 แล้ว 0 lim n n r → = ถ้า r 1 แล้ว lim n n r → = ไม่มีค่า จากทฤษฎีบท 2 เราสามารถหาลิมิตได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1.จาก 1 ( ) 2 n n a = − เขียนกราฟได้ดังนี้ จากกราฟและทฤษฎีบท 2 จะได้ว่า 1 ( ) 0 2 lim n n→ − = 2.จาก 5 ( ) 4 n n a = − เขียนกราฟได้ดังนี้ จากกราฟและทฤษฎีบท 2 จะได้ว่า 5 ( ) 4 lim n n→ = − ไม่มีค่า

36 3. จาก 2 n n a = เขียนกราฟได้ดังนี้ จากกราฟและทฤษฎีบท 2 จะได้ว่า 2 lim n n→ = ไม่มีค่า

37 ทฤษฎีบท 3 ให้ , , n n n a b t เป็นล าดับของจ านวนจริง A B, เป็นจ านวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ โดยที่ lim n n a A → = และ lim n n b B → = จะได้ว่า 1. ถ้า n t c = ทุกจ านวนเต็มบวก n แล้ว lim lim n n n t c c → → = = 2. lim lim n n n n ca c a cA → → = = 3. ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b A B → → → + = + = + 4. ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b A B → → → − = − = − 5. ( ) lim lim lim n n n n n n n a b a b AB → → → = = 6.ถ้า 0 n b ทุกจ านวนเต็มบวก n และ B 0 แล้ว lim lim lim n n n n n n n a a A b b B → → → = = จากทฤษฎีบท 3 เราสามารถหาลิมิตได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1.จงหาลิมิตของล าดับ 2 2 3 2 6 3 7 n n n a n n + − = + − วิธีท า 2 2 3 2 6 lim n 2 7 n n → n n + − + − 2 2 3 2 6 lim n 2 7 n n → n n + − + − = 2 2 2 2 3 2 6 lim 1 7 2 n n n n n n n → + − + − = 2 2 3 2 6 lim 1 7 2 n n n n n → + − + − = 2 2 3 2 lim lim lim 6 1 7 lim 2 lim lim n n n n n n n n n n → → → → → → + − + − = 0 0 6 2 0 0 + − + − = −3

38 ทฤษฎีบทที่ 4 ให้ 1 2 3 , , ,..., ,... n a a a a เป็นล าดับซึ่ง 0 n a ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวก n ถ้า 1 0 lim n n→ a = แล้ว ล าดับ 1 2 3 , , ,..., ,... n a a a a จะลู่ออก จากทฤษฎีบท 4 เราสามารถหาลิมิตได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1. จงตรวจสอบว่าล าดับ เมื่อ เป็นล าดับลู่เข้าหรือล าดับลู่ออก วิธีท า เนื่องจาก 2 1 1 lim lim n n n n → → a n + = 2 1 1 lim n→ n n = + 2 1 1 lim lim n n → → n n = + = +0 0 = 0 จากทฤษฎีบทที่ 4 จะได้ว่าล าดับ n a ลู่ออก

39 ทฤษฎีบท 5 ให้ n a เป็นล าดับของจ านวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ L เป็นจ านวนจริง และ m เป็นจ านวนเต็มที่มากกว่า หรือเท่ากับสอง จะได้ว่าถ้า lim n n a L → = แล้ว lim lim m m n n m n n a a L → → = = จากทฤษฎีบท 4 เราสามารถหาลิมิตได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1. จงหาลิมิตของล าดับ 4 1 1 n n a n − = + วิธีท า เนื่องจาก 1 4 4 1 1 1 1 lim lim n n n n n n n n → → − − = + + 1 4 1 1 limn n n → − = + 4 1 = = 4 จากทฤษฎีบท 5 จะได้ 4 1 4 1 1 1 lim lim n n n n → → n n − − = + + = 4 = 2

40 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 1.จงพิจารณาว่าล าดับต่อไปนี้ เป็นล าดับลู่เข้า หรือ ล าดับลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้าจงหาลิมิต 1.1. 2 2 1 2 3 n n a n − = + (ระดับง่าย) วิธีท า 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim lim 2 3 2 3 n n n n n n n n → → − − = + + 2 2 1 1 lim 2 3 n n n → − = + 2 2 1 lim lim1 2 lim lim 3 n n n n n n → → → → − = + 1 3 =− ดังนั้น ล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า มีลิมิตเป็น 1 3 −

41 1.2. 2 3 2 1 3 n n n a n n = − + − (ระดับปานกลาง) วิธีท า เนื่องจาก ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 3 2 2 3 1 1 3 1 3 n n n n n n n n n n − − + − = + − + − 4 2 4 3 3 2 3 3 3 n n n n n n n − − − = + − − 2 3 2 3 3 3 3 n n n n − − = + − − 3 3 2 3 3 1 1 3 3 1 n n n n n n − − = + − − 2 3 3 1 1 3 3 1 n n n n − − = + − − จะได้ 2 3 2 2 3 3 1 lim lim 1 3 1 3 3 1 n n n n n n n n n n → → − − − = + − + − − 2 3 3 lim lim1 1 3 3 lim1 lim lim lim n n n n n n n n n n → → → → → → − − = + − − 0 1 1 0 0 0 − = + − − =−1 ดังนั้น ล าดับนี้เป็นล าดับลู่เข้า มีลิมิตเป็น −1

42 1.3. 2 3 2 3 5 2 n n a n n = − (ระดับปานกลาง) วิธีท า ( ) 2 2 2 2 3 3 lim lim 5 2 5 2 n n n n n n n n → → = − − 3 lim 5 2 n n → = − 3 2 =− จากทฤษฎีบท 5 จะได้ 2 2 3 3 2 2 3 3 lim lim x n 5 2 5 2 n n → → n n n n = − − 3 3 2 = −

43 3.ก าหนดให้ { }n a เป็นล าดับของจ านวนจริงโดยที่ 1 a = 2 และ ( 1 2 1 ) 1 ... 1 n n n a a a a n − + = + + + − ส าหรับ n = 2,3,... แล้วค่าของ 1 2 lim ... n n n → a a a + + + เท่ากับเท่าใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/37] (ระดับยาก) วิธีท า จาก 1 2 1 1 ... 1 n n n a a a a n − − = + + + + (1) 1 1 2 1 1 1 1 ... 1 1 n n n a a a a n + + − + − = + + + + + 1 1 2 ... 2 n n n a a a a n + = + + + + (2) 1 1 2 1 n n n n n a a a n n + − − = + + (2 1 ) −( ) 1 1 2 1 n n n n n a a a n n + − = + + + 1 1 1 2 1 n n n n a a n n + − = + + + 1 1 1 2 1 n n n n n a a n n + − + + = + + 1 2 2 1 n n n n a a n n + = + + ( ) 1 2 2 1 n n n a a n + + = + จาก 1 a = 2 จะได้ ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 3 2 3 2 2 3 2 2 a a = = = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 4 3 3 a a = = = ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 2 5 2 5 2 4 2 5 4 4 a a = = = ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 1 n n n n a a n n + + = = + +

44 ดังนั้น ค่าของ 1 2 1 lim ... 2 n n n n n a a a n a n → + = + + + + 1 1 1 1 1 5 5 3 5 3 3 lim lim 25 2 5 1 5 2 2 5 n n n n n n n n n n + − → → + − + + = = + + ( ) 1 2 2 2 2 n n n n n n = = + + 1 lim 0 2 n n→ = 5.ก าหนดให้ 2 n n t = เมื่อ n =1, 2,3,... และ 5 5 n n t t n a − = + เมื่อ n =1, 2,3,... ค่าของ 1 1 2 lim ... n n n a a a a + → เท่ากับเท่าใด [PAT 1 (มี.ค.55)/36] (ระดับยาก) วิธีท า ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5 5 5 5 ... 5 5 5 5 5 5 5 5 n n n n n n a a a a − + + − + − − − − − + = − + + + ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 5 5 1 25 25 5 5 n n n n + + + + − − − = − − ( ) ( ) 1 1 2 lim 25 0.04 1 ... n n n a a a a + → = − = 24.96

45 แบบฝึกหัดท้าทายทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 1.จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของล าดับเพื่อตรวจสอบว่าล าดับ 2 3 2 5 1 2 3 n n n a n n n − − = + + + เป็นล าดับลู่เข้าหรือล าดับลู่ออก ถ้าเป็นล าดับลู่เข้า จงหาลิมิต 2.ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าเป็นจริง จงให้เหตุผล ถ้าเป็นเท็จจงยกตัวอย่างค้าน 2.1. ถ้า n a และ n b เป็นล าดับลู่ออก แล้ว n n a b + เป็นล าดับลู่ออก 2.2. ถ้า n a เป็นล าดับลู่เข้า และ n b เป็นล าดับลู่ออก แล้ว n n a b + เป็นล าดับลู่เข้า 3.บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พันล้าน แต่เนื่องจากราคาน้ ามันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่ จะประหยัดงบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง 20% ของปีก่อนหน้า 3.1. จงค านวณงบรายจ่ายของสี่ปีแรกหลังจากปรับลดงบ 3.2. จงเขียนงบราบจ่ายในปีที่ n 3.3. จงตรวจสอบว่าล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ 4.ก าหนดให้ { }n a เป็นล าดับของจ านวนจริง โดยที่ 1 n a = และ 1 1 n n a a + + และ 5 5 n n a a + + ส าหรับ n =1, 2,3... แล้วค่าของ ( ) 1 1 lim 6 n k n k a k → n = + − เท่ากับเท่าใด