46 การหาลิมิตในรูปเศษส่วน การหาลิมิตของล าดับอนันต์ เมื่อ n a อยู่ในรูปของ “ฟังก์ชันพนุนามหารฟังก์ชันพนุนาม” หลักการ ตรวจสอบก าลังสูงสุดของ n ในฟังก์ชันพหุนามที่เป็นเศษ และในฟังก์ชันพนุนามที่เป็นส่วน แล้วน ามาเปรียบเทียบกัน สรุปเป็นรูปแบบได้ดังนี้ 1.ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ = ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน ตัวอย่างเช่น จงหาค่าของ 5 4 lim x 3 2 x → x + − วิธีท า วิธีตรง น าเอา x หารทั้งเศษและส่วนดังนี้ เราสามารถเขียน 4 5 5 4 3 2 2 3 x x x x + + = − − จะได้ 4 5 5 4 lim lim 3 2 2 3 x x x x x x → → + + = − − 4 lim 5 2 lim 3 x x x x → → + = − 4 lim 5 lim 2 lim 3 lim x x x x x x → → → → + = − 1 5 4lim 1 3 2lim x x x x → → + = − ( ) ( ) 5 4 0 3 2 0 + = −
47 ดังนั้น 5 4 lim x 3 2 x → x + − 5 3 = วิธีลัด ก าลังสูงสุดของ x ในเศษ = ก าลังสูงสุดของ x ในส่วน ตอบลิมิตนี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ x ในเศษ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ x ในส่วน ดังนั้น 5 4 lim x 3 2 x → x + − 5 3 = 2.ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า เป็น 0 ตัวอย่างเช่น ค่าของ 2 3 5 4 2 lim 0 n 7 3 9 n n → n n + − = − + เนื่องจาก 2 3
48 3.ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า หาค่าไม่ได้ ตัวอย่างเช่น จงหาค่าของ 3 2 7 8 5 lim y 9 3 2 y y → y y − + + − วิธีท า วิธีตรง น าเอา 3 y หารทั้งเศษและส่วน ดังนี้ เราสามารถเขียน 3 2 3 2 2 3 8 5 7 7 8 5 9 3 2 9 3 2 y y y y y y y y y − + − + = + − + − จะได้ 3 2 3 2 2 3 8 5 7 7 8 5 lim lim y y 9 3 2 9 3 2 y y y y y y y y y → → − + − + = + − + − 2 3 2 3 8 5 lim 7 9 3 2 lim y y y y y y y → → − + = + − เนื่องจาก 2 3 8 5 lim 7 7 0 0 7 y→ y y − + = − + = และ 2 3 9 3 2 lim 0 0 0 0 y→ y y y + − = + − = ดังนั้น 3 2 7 8 5 lim y 9 3 2 y y → y y − + + − หาค่าไม่ได้ วิธีลัด ก าลังสูงสุดของ y ในเศษ ก าลังสูงสุดของ y ในส่วน ให้ตอบลิมิตของล าดับ อนันต์นี้ได้เลยว่า หาค่าไม่ได้ ดังนั้น 3 2 7 8 5 lim y 9 3 2 y y → y y − + + − หาค่าไม่ได้ เนื่องจาก 3 2
49 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาลิมิตของล าดับอนันต์ เมื่อ n a อยู่ในรูปของฟังก์ชันพนุนามหาร ฟังก์ชันพนุนาม 1.จงหาค่าของ 2 4 1 lim n 3 1 n → n + − (ระดับง่าย) วิธีท า เราสามารถเขียน 2 2 1 4 4 1 3 1 1 3 n n n n + + = − − จะได้ 2 2 1 4 4 1 lim lim 3 1 1 3 n n n n n n → → + + = − − 2 1 lim 4 lim 1 lim3 lim n n n n n n → → → → + = − 4 0 3 0 + = − ดังนั้น 2 4 1 2 lim n 3 1 3 n → n + = − หรือ ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ = ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ n ในเศษ ส.ป.ส. ก าลังสูงสุดของ n ในส่วน จะได้ 2 4 1 2 2 lim lim n n 3 1 3 3 n n → → n n + = = − 4 3 =
50 2.ลิมิตของล าดับ 2 2 3 2 5 8 5 n n n a n − + = + มีค่าเท่าไร (ระดับง่าย) วิธีท า 2 2 3 2 5 lim lim 8 5 n n n n n a → → n − + = + 2 2 3 2 5 lim lim lim8 5 n n n n n n a → → → n − + = + ดังนั้น 2 2 3 2 5 3 lim lim8 8 n n 5 5 n n → → n − + + = + 3.ก าหนดให้ n a เป็นล าดับเลขคณิตที่สอดคล้องกับเงื่อนไข 1 lim 5 n n a a → n − = ถ้า 9 5 a a + =100 แล้ว 100 a เท่ากับเท่าใด [PAT (ก.ค.52)/29] (ระดับปานกลาง) วิธีท า 1 1 ( ) 1 1 n a a a n d a n n − + − − = nd d n − = 1 lim 5 1 n n a a d → n − = = จาก a a n d n = + − 1 ( 1) จะได้ a a a 9 1 1 = + − = + (9 1 5 40 )( ) a a a 5 1 1 = + − = + (5 1 5 20 )( ) จะได้ (a a 1 1 + + + = 40 20 100 ) ( ) 1 2 40 a = 1 a = 20 ดังนั้น a100 = + − 20 100 1 5 ( )( ) 100 a = 515
51 4.ก าหนดให้ A เป็นจ านวนจริง และให้ { }n a เป็นล าดับของจ านวนจริงที่นิยามโดย 7 2 n An a n − = + ส าหรับ n =1, 2,3,... ถ้าผลบวก 9 พจน์แรกมีค่ามากกว่าผลบวก 7 พจน์แรกของล าดับ { }n a เป็นจ านวน เท่ากับ 108 a แล้ว lim n n a → มีค่าเท่ากับเท่าใด [PAT (ก.ค.53)/35] (ระดับยาก) วิธีท า จาก 7 1 7 S a a = + + ... และ 9 1 7 8 9 S a a a a = + + + + ... จะได้ 9 7 108 S S a − = 8 9 108 a a a + = 8 7 9 7 108 7 8 2 9 2 108 2 A A A − − − + = + + + 8 7 9 7 108 7 10 11 110 A A A − − − + = 88 77 90 70 108 7 A A A − + − = − 70 140 A = A = 2 จะได้ว่า 2 7 lim lim 2 n n n n a → → n − = + 2 1 = = 2
52 การหาลิมิตของล าดับอนันต์ เมื่อ n a อยู่ในรูปของฟังก์ชันเอกซ์โพเนเชียลหารเอกซ์โพเนนเชียล หลักการ ตรวจสอบฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่เป็นเศษและในฟังก์ชัน เอกซ์โพเนนเชียลที่เป็นส่วน แล้วน ามาเปรียบเทียบกัน สรุปเป็นรูปแบบได้ดังนี้ 1.ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ = ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ตัวอย่างเช่น 1. จงหาค่าของ 1 5 3 lim 5 2 n n n + → + − (ระดับง่าย) วิธีท า น าเอา 5 n หารตลอดทั้งเศษและส่วน ดังนี้ เราสามารถเขียน 1 1 5 3 5 3 5 5 3 5 5 2 5 2 1 1 2 5 n n n n n n + + + + = = − − − จะได้ 1 1 5 3 5 3 5 lim lim 5 2 1 1 2 5 n n n n n n + → → + + = − − 1 lim 5 3 5 1 lim 1 2 5 n n n n → → + = − 1 lim 5 3lim 5 1 lim1 2 lim 5 n n n n n n → → → → + = − ( ) ( ) 5 3 0 5 1 2 0 + = = −
53 ดังนั้น 1 5 3 lim 5 5 2 n n n + → + = − วิธีลัด จากฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ = ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ดังนั้น 1 5 5 3 5 5 3 5 lim lim 5 5 2 1 5 2 1 n n n n n + → → + + = = = − − 2. จงหาค่าของ 1 1 1 1 5 3 lim 2 5 n n n n n + − → + − + + (ระดับกลาง) วิธีท า พบว่า 1 1 1 1 3 5 5 5 3 3 lim lim 2 5 5 2 2 5 n n n n n n n n n n + − → → + − + + = + + 5 1 3 5 5 3 5 lim 2 1 5 2 5 5 5 n n n n n n n n n → + = + 1 3 5 3 5 lim 2 1 2 5 5 n n n→ + = + 5 0 1 0 5 + = + ดังนั้น 1 1 1 1 5 3 lim 25 2 5 n n n n n + − → + − + = + วิธีลัด จากฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ = ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ให้ตอบ ลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า คือ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ ส.ป.ส. ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ดังนั้น 1 1 1 1 1 5 5 3 5 3 5 3 lim lim 25 2 5 1 1 5 2 2 5 2 n n n n n n n n n n + − → → + − + + = = = + +
54 3. ถ้าส าหรับแต่ล่ะจ านวนเต็มบวก n ให้ n z เป็นจ านวนเชิงซ้อน ก าหนดโดย 1 1 3 2 n n z i = − − แล้ว ล าดับ n n n a z z = มีลิมิตเป็นเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า จากโจทย์ 1 1 3 2 n n z i = − − จากสูตร 2 z z z = จะได้ ( ) 2 1 2 1 3 2 n n n z z = − + − 2 2 1 10 2 2 n n n n z z = − + จากโจทย์ n n n a z z = lim lim n n n n n a z z → → = 2 2 1 lim 10 2 2 n n n→ = − + = − + 10 0 0 จะได้ lim 10 n n a → = ดังนั้น ล าดับ n n n a z z = มีลิมิต เป็น 10
55 2.ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ให้ตอบลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า เป็น 0 ตัวอย่างเช่น 1. จงหาค่าของ 2 5 lim 3 x x x→ − 2 5 lim 3 x x x→ − วิธีท า น าเอา 3 x หารตลอดทั้งเศษและส่วน ดังนี้ เราสามารถเขียน 2 5 2 5 2 1 3 3 5 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x − − = = − จะได้ 2 5 2 1 lim lim 5 3 3 3 x x x x x x → → − = − 2 1 lim 5lim 3 3 x x x x → → = − ถ้า c 1 แล้ว lim 0 n x c → = แสดงว่า ( ) 2 1 lim 5lim 0 5 0 0 3 3 x x x x → → − = − = ดังนั้น 2 5 lim 0 3 x x x→ − = วิธีลัด ฐานสูงสุดของยกก าลัง x ในเศษ ฐานสูงสุดของยกก าลัง x ในส่วน ให้ตอบลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า เป็น 0 ดังนั้น 2 5 lim 0 3 x x x→ − = เนื่องจาก 2 3 3.ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในเศษ ฐานสูงสุดของยกก าลัง n ในส่วน ให้ตอบลิมิตของล าดับอนันต์นี้ได้เลยว่า หาค่าไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ค่าของ 5 7 3 7 2 lim 2 5 3 3 2 n n n n n n n→ + − + + หาค่าไม่ได้ เนื่องจาก 7 5
56 แบบฝึกหัดท้าทายการหาลิมิตในรูปเศษส่วน 1.ล าดับ ( )( ) 4 2 2 3 18 32 120 80 3 2 2 3 n n n n a n n + − + = − − เป็นล าดับคอนเวอร์เจนต์หรือล าดับไดเวอร์เจนต์ ถ้าเป็นล าดับคอนเวอร์เจนต์แล้ว lim n n a → เท่ากับเท่าใด 2.ค่าของ ( )( )( ) 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 lim 1 2 3 ... n n n n → n + + + + + + + เท่ากับเท่าใด 3.ก าหนดให้ 2 2 16 3 2 n a n n n = + + − + เมื่อ n =1, 2,3,... ค่าของ 3 lim n n a → เท่ากับเท่าใด 4.ถ้า n a เป็นล าดับเลขคณิตซึ่ง 2 2 1 lim 4 n n n a a n + → − = แล้ว 17 9 2 a a − มีค่าเท่าใด 5.ล าดับ 18 2 3 5 2 5 36 3 n n n n n a + = + เป็นล าดับคอนเวอร์เจนต์หรือล าดับไดเวอร์เจนต์ถ้าเป็นล าดับคอนเวอร์เจนต์ แล้ว lim n n a → เท่ากับเท่าใด
57 การหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรมจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ ∑ (อ่านว่า ซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดง การบวก กล่าวคือ จะเขียนแทน อนุกรมจ ากัด 1 2 3 ...... n a a a a + + + + ด้วยสัญลักษณ์ 1 i n i a = (อ่านว่า ซัมเมชัน i a เมื่อ i เท่ากับ 1 ถึง n ) และเขียนแทน อนุกรมอนันต์ 1 2 ... ... n a a a + + + + ด้วยสัญลักษณ์ 1 i i a = (อ่านว่า ซัมเมชัน i a เมื่อ i เท่ากับ 1 ถึง ) เรียกตัวแปร i ที่ปรากฎในสัญลักษณ์ 1 i n i a = หรือ 1 i i a = ว่า ดัชนี (index) ซึ่งอาจจะใช้ตัวแปรอื่นแทน i ได้ 1) 5 2 i 1 i = 2 2 2 2 2 = + + + + 1 2 3 4 5 2) 4 1 (2 1) k k = − = − + − + − + − (2 1 1) (2 2 1) (2 3 1) (2 4 1) 3) 1 1 2 i i = 2 3 4 1 1 1 1 1 ..... ..... 2 2 2 2 2 n = + + + + + + 4) 3 i 1 i = 3 3 3 3 = + + + + + 1 2 3 ........ ......... n นอกจากนี้ การใช้สัญลักษณ์ ∑ แทนการบวก อาจจะเขียนได้หลายรูปแบบ เช่น 4 1 ( 1) i i i = −และ 3 0 ( 1) i i i = + ต่างก็แทนอนุกรม 0 + 2 + 6 + 12 เช่นเดียวกัน จะเห็นว่า ดัชนี (index) ไม่จ าเป็น ต้องเริ่มจาก 1 เสมอไป ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา∑ ( ช่วงที่ 1 ระดับง่าย ) 1. จงแสดงว่า 10 0 3 i= (ระดับง่าย) วิธีท า 10 0 10 3 3 3 3 3 ...... 3 30 i= = + + + + + = ดังนั้น 10 0 3 30 i= =
58 2. จงหา 4 2 1 ( 1) i i i = − + (ระดับง่าย) วิธีท า 4 2 1 ( 1) i i i = − + 2 2 2 2 = − + + − + + − + + − + (1 1 1) (2 2 1) (3 3 1) (4 4 1) = + + + 1 3 7 13 = 24 ดังนั้น 4 2 1 ( 1) 24 i i i = − + = 2. ให้ x เป็นจ านวนจริงใดๆ จงเขียน 2 3 4 5 2 4 6 8 10 x x x x x + + + + โดยใช้สัญลักษณ์ ∑ (ระดับง่าย) วิธีท า 2 3 4 5 2 4 6 8 10 x x x x x + + + + 2 3 4 5 = + + + + 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 x x x x x 5 1 2 i i ix = = ดังนั้น 5 2 3 4 5 1 2 4 6 8 10 2 i i x x x x x ix = + + + + = 4. จงหา 5 2 i 1 i = (ระดับง่าย) วิธีท า 5 2 i 1 i = 2 2 2 2 2 = + + + + 1 2 3 4 5 = + + + + 1 4 9 16 25 = 55 ดังนั้น 5 2 1 55 i i = = 5. จงแสดงว่า 10 10 2 2 1 1 2 2 i i i i = = = (ระดับง่าย) วิธีท า 10 2 1 2 i i = 2 2 2 2 = + + + + 2 1 2 2 2 3 ...... 2 10 2 2 2 2 = + + + + 2(1 2 3 ...... 10 ) 10 2 1 2 i i = = ดังนั้น 10 10 2 2 1 1 2 2 i i i i = = =
59 6. จงแสดงว่า 10 10 10 1 1 1 ( 3) 3 i i i i i = = = + = + (ระดับง่าย) วิธีท า 10 1 ( 3) i i = + = + + + + + + + (1 3) (2 3) (3 3) .......(10 3) 10 = + + + + + + + + (1 2 3..... 10) (3 3 3 ....... 3) 10 10 1 1 3 i i i = = = + ดังนั้น 10 10 10 1 1 1 ( 3) 3 i i i i i = = = + = + 7. จงแสดงว่า ( ) 4 4 4 2 1 1 1 1 i i i i i i i = = = + = + (ระดับง่าย) วิธีท า ( ) 4 1 1 i i i = + 4 2 i 1 i i = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = + + + + + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 = + + + + + + + 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 2 i i 1 1 i i = = = + ดังนั้น ( ) 4 4 4 2 1 1 1 1 i i i i i i i = = = + = + ตัวอย่างที่ 5,6 และ 7 สอดคล้องกับทฤษฎีบท ต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 7 ให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกใด ๆ จะได้ว่า 1. 1 n i c nc = = เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 2. 1 1 n n i i i i ca c a = = = เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 3. 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i a b a b = = = + = + 4. 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i a b a b = = = − = −
60 สังเกต การค านวณหา 5 2 i 1 i = โดยการบวกโดยตรงดังตัวอย่างที่ 4 ท าได้ง่าย เนื่องจากมีจ านวนพจน์ น้อยแต่ในกรณีที่มีจ านวนพจน์มาก เช่น 100 2 i 1 i = อาจต้องใช้เครื่องค านวณช่วย เพราะการบวกโดยตรง ต้องใช้เวลามาก ต่อไปนี้จะเป็นการหาสูตรผลบวกของอนุกรม 1 n i i = , 2 1 n i i = และ 3 1 n i i = ซึ่งสูตรที่ได้จะช่วยให้การ หาผลบวกของอนุกรมบางอนุกรมง่ายขึ้น สูตรผลบวกของอนุกรม 1 n i i = 1 n i i = = + + + + − + 1 2 3 ....... ( 1) n n เนื่องจาก 1 2 3 ....... ( 1) + + + + − + n n เป็นอนุกรมเลขคณิต ดังนั้น 1 ( 1) 2 n i n n i = + = สูตรผลบวกของอนุกรม 2 1 n i i = พิจารณา 2 1 n i i = 2 2 2 2 2 = + + + + − + 1 2 3 ....... ( 1) n n เนื่องจาก 3 3 n n − − ( 1) 2 = − + 3 3 1 n n -----(1) 3 3 ( 1) ( 2) n n − − − 2 = − − − + 3( 1) 3( 1) 1 n n ------(2) 3 3 ( 2) ( 3) n n − − − 2 = − − − + 3( 2) 3( 2) 1 n n ------(3) 3 3 3 2 − 2 = − + 3 3 3 3 1 ------( n − 2 ) 3 3 2 1− 2 = − + 3 2 3 2 1 ------( n −1 ) 3 3 1 0 − 2 = − + 3 1 3 1 1 ------( n ) จาก (1),(2),(3)..........,( n ) จะได้ 3 n 2 2 2 2 = + + + + − + + + + + 3(1 2 3 ....... ) 3(1 2 3 ........ ) n n n 2 1 ( 1) 3 3 2 n i n n i n = + = − +
61 ดังนั้น 2 1 n i i = 1 3 3 ( 1) 3 2 n n n n = + + − 2 2 3 1 3 2 n n n + + = ( 1)(2 1) 6 n n n + + = นั่นคือ 2 1 n i i = ( 1)(2 1) 6 n n n + + = สูตรผลบวกของอนุกรม 3 1 n i i = พิจารณา 3 1 n i i = 3 3 3 3 = + + + + 1 2 3 ......... n เนื่องจาก 4 4 n n − − ( 1) 3 2 = − + − 4 6 4 1 n n n -------(1) 4 4 ( 1) ( 2) n n − − − 3 2 = − − − + − − 4( 1) 6( 1) 4( 1) 1 n n n -------(2) 4 4 ( 2) ( 3) n n − − − 3 2 = − − − + − − 4( 2) 6( 2) 4( 2) 1 n n n -------(3) 4 4 3 2 − 3 2 = − + − 4 3 6 3 4 3 1 -------( n − 2 ) 4 4 2 1− 3 2 = − + − 4 2 6 2 4 2 1 -------( n −1 ) 3 3 1 0 − 3 2 = − + − 4 1 6 1 4 1 1 -------( n ) จาก (1),(2),(3)..........,( n ) จะได้ 4 n 3 3 3 3 2 2 2 2 = + + + + − + + + + + + + + + − 4(1 2 3 ....... ) 6(1 2 3 ....... ) 4(1 2 3 ........ ) n n n n 3 2 1 1 1 4 6 4 n n n i i i i i i n = = = = − + − ดังนั้น 3 1 n i i = 4 2 1 1 1 6 4 4 n n i i n i i n = = = + + − + 1 ( 1)(2 1) ( 1) 4 6 4 4 6 2 n n n n n n n + + + = + − + ( ) 1 4 ( 1)(2 1) 2 ( 1) 4 = + + + − + + n n n n n n n
62 ( ( )) 1 4 2 2 4 = + + n n n n ( ) 1 4 3 2 2 4 = + + n n n ( ) 2 1 2 4 = + n n ( ) 1 2 ( 1) 4 = + n n นั่นคือ 3 1 n i i = ( ) 1 2 ( 1) 4 = + n n 2 ( 1) 2 n n + = 2 1 n i i = = สรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้ ทฤษฎีบท 8 ให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกใด ๆ จะได้ว่า 1. 1 ( 1) 2 n i n n i = + = 2. 2 1 n i i = ( 1)(2 1) 6 n n n + + = 3. 3 1 n i i = 2 ( 1) 2 n n + = 2 1 n i i = = จากความรู้ทั้งหมดที่กล่าวมา เราจะสามารถหาผลบวกของอนุกรมบางชนิดได้โดยมีขั้นตอนง่าย ๆ คือ เขียน → กระจาย → ใช้สูตร เช่น ถ้าต้องการหาค่าของ 9 16 25 ... 121 + + + + จะมีขั้นตอนการท า ดังนี้ 1) เขียน : การเขียน ต้องรู้ 2 อย่างคือ “สูตรพจน์ทั่วไป ( n a )” กับ “จ านวนพจน์ ( n )” จะเห็นว่า 2 2 2 2 2 9 16 25 ... 121 3 2 3 4 ... 11 + + + + = + + + + + จะได้สูตรพจน์ทั่วไปคือ ( ) 2 2 n a n = + หาจ านวนพจน์ที่บวกกัน โดยแก้สมการ ( ) 2 2 n + = 2 11 (n + = 2 11 ) n = − 11 2 n = 9 ดังนั้น ( ) 9 2 1 9 16 25 ... 121 2 i i = + + + + = +
63 2) กระจาย : ขั้นตอนนี้ต้องใช้สมบัติของ กระจายเข้าให้ลึกที่สุด ดังนี้ ( ) ( ( )( ) ) 9 9 2 2 2 1 1 2 2 2 2 i i i i i = = + = + + ( ) 9 2 1 4 4 i i i = = + + 9 9 9 2 1 1 1 4 4 i i i i i = = = = + + ( )( ) 9 9 2 1 1 4 9 4 i i i i = = = + + 9 9 2 1 1 4 36 i i i i = = = + + ดังนั้น ( ) 2 9 1 2 i i = + 9 9 2 1 1 4 36 i i i i = = = + + 3) ใช้สูตร : ( ) ( ) 9 9 2 1 1 9(9 1) 18 1 9 4 36 4 9 1 36 i i 6 2 i i = = + + + + = + + + ( ) ( ) 9(10) 19 9 4 10 36 6 2 = + + = + + 285 180 36 = 501 ดังนั้น ( ) 2 9 1 2 i i = + 9 9 2 1 1 4 36 i i i i = = = + + = 501
64 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา∑ ( ช่วงที่ 2 ระดับกลาง ) 8. จงหาค่าของ ( ) 12 1 2 i i i = + (ระดับกลาง) วิธีท า ( ) 12 1 2 i i i = + ( ) 12 2 1 2 i i i = = + 12 12 2 1 1 2 i i i i = = = + 12 12 2 1 1 2 i i i i = = = + ( )( ) ( ) 12 12 1 24 1 12 2 12 1 6 2 + + = + + ( )( ) ( ) 12 13 25 12 13 6 = + = + 650 156 = 806 ดังนั้น ( ) 12 1 2 i i i = + = 806 9. ถ้า 1 2 3 4 ...... 153 + + + + + = n จงหา n (ระดับกลาง) วิธีท า เนื่องจาก 1 ( 1) 1 2 3 4 ...... 2 n i n n n i = + + + + + + = = จะได้ ( 1) 2 n n + =153 2 n n + − 306 = 0 ( 17)( 18) n n − + = 0 นั่นคือ n =17 หรือ n = −18 แต่ n เป็นจ านวนเต็มบวก ดังนั้น n คือ 17
65 10. จงแสดงว่าผลบวกของจ านวนคี่บวก n ตัวแรกเท่ากับ 2 n (ระดับกลาง) วิธีท า ผลบวกของจ านวนคี่บวก n ตัวแรกเขียนแทนได้ด้วยอนุกรม 1 (2 1) n k k = − 1 (2 1) n k k = − 1 1 2 1 n n k k k = = = − 1 2 n k k n = = − ( 1) 2 2 n n n + = − = + − n n n ( 1) 2 = + − n n n 2 = n ดังนั้น ผลบวกของจ านวนคี่บวก n ตัวแรกเท่ากับ 2 n 11. จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 2 1 (2 5) n i i = + (ระดับกลาง) วิธีท า n s 2 1 (2 5) n i i = = + ( ) 2 1 4 20 25 n i i i = = + + 2 1 1 1 4 20 25 n n n i i i i i = = = = + + ( 1 2 1 1 )( ) ( ) 4 20 25 6 2 n n n n n n + + + = + + ดังนั้น 20 s 20 20 1 2 20 1 20 20 1 ( )( ) ( ) 4 20 25 20 6 2 + + + = + + = + + 11, 480 4, 200 500 =16,180 นั่นคือ ผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 2 1 (2 5) n i i = + เท่ากับ 16,180
66 12. จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 1 ( )( ) 4 4 3 4 1 n i i i = − + (ระดับกลาง) วิธีท า ให้ n s 1 ( )( ) 4 4 3 4 1 n i i i = = − + เนื่องจาก ( )( ) 4 4 3 4 1 i i − + ( )( ) 4 1 4 3 1 1 4 3 4 1 4 3 4 1 i i i i i i + − + = = − − + − + ส าหรับทุกจ านวนนับ i ดังนั้น n s 1 1 1 4 3 4 1 n i i i = = − − + 1 1 1 1 1 1 ...... 5 5 9 1 1 9 13 4 3 4 1 n n = − + − + − + + − − + 1 1 4 1 n = + + จะได้ 20 s 1 1 4 20 1 = + + 82 81 = นั่นคือ ผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 1 ( )( ) 4 4 3 4 1 n i i i = − + เท่ากับ 82 81 =
67 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา∑ ( ช่วงที่ 3 ระดับยาก ) 13. ค่าของ ( )( ) 9999 4 4 1 1 n= n n n n + + + + 1 1 เท่ากับเท่าใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/40] (ระดับยาก) วิธีท า ( )( ) 9999 4 4 1 1 n= n n n n + + + + 1 1 ( )( ) 9999 4 4 4 4 4 4 1 1 1 n 1 1 1 n n = n n n n n n − + = + + + + − + ( )(( ) ( ) ) 9999 4 4 2 2 1 4 4 1 1 1 n n n n n n n = − + = + + − + ( )( ) 9999 4 4 1 1 n 1 1 n n = n n n n − + = + + − + ( ) ( ) 9999 4 4 2 2 1 1 n 1 n n = n n − + = − + ( ) 9999 4 4 1 1 n 1 n n = n n − + = − + 4 4 n n 1 n n − + = − 9999 n=1 −1 ( ) 9999 4 4 1 1 n n n = = − − + 9999 4 4 1 1 n n n = = − + + แทนค่า n จะได้ 4 4 4 − + − 1 2 2 4 4 + − 3 3 4 + 4 4 ...... 9,999 − 4 + 10,000 = 4 4 − +1 10,000 = − +1 10 = 9 ดังนั้น ( )( ) 9999 4 4 1 1 n= n n n n + + + + 1 1 = 9
68 14. ถ้า an เป็นล าดับของจ านวนจริงที่ 2 2 4 6 ... 2 n n a n + + + + = ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวก n แล้ว lim n n a → มีค่าเท่ากับเท่าใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/35] (ระดับยาก) วิธีท า ( ) 2 2 2 4 6 ... 2 2 1 2 3 ... lim lim n n n n → → n n + + + + + + + + = 2 limn→ = ( 1) 2 n n + 2 n ( ) 2 1 lim n n n → n + = 2 2 lim n n n → n + = 2 lim n n → = 2 n lim1 n→ = =1 ดังนั้น lim 1 n n a → = 15. ถ้า 3 2 lim 1 8 27 ... k n n A → n = + + + + มีค่าเป็นจ านวนจริงบวกแล้ว แล้วค่าของ A เท่ากับเท่าใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/30] (ระดับยาก) วิธีท า ( ) 3 2 2 2 lim lim 1 8 27 ... 1 2 k k n n n n A n n n → → = = + + + + + ( ) 2 2 2 lim 2 1 4 k n n → n n n = + + 4 3 2 8 lim 2 k n n → n n n = + + → = k 4 (พิจารณาจาก n ดีกรีสูงสุด) 4 4 8 lim n n → n = 4 8 lim n n → = 4 n lim8 n→ = = 8 ดังนั้น 3 2 lim 8 1 8 27 ... k n n A → n = = + + + +
69 16. 3 3 3 12 27 ... 3 lim 1 8 27 ... n n n n n → n + + + + + + + + มีค่าเท่าใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-16] (ระดับยาก) วิธีท า ( ) 2 3 3 3 3 12 27 ... 3 3 1 4 9 ... lim lim 1 8 27 ... 1 8 27 ... n n n n n n n n → → n n + + + + + + + + = + + + + + + + + ( )( ) ( ) 2 1 2 1 6 lim 3 1 2 n n n n n n n → + + = + ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 lim 3 6 1 n n n n n n n → + + = + lim 3 n→ = n n( 1) n + (2 1) 6 n + 2 2 2 ( ) 2 2 2 n n +1 (n 1) + ( ( )) ( ) 2 2 1 2 lim n 1 n n n → n n + = + 2 lim n n → = ( ) 2 2 1 2 n n + (n +1) 4 2 lim n 1 n → n + = + 4 lim n n → = n lim 4 n→ = = 4 ดังนั้น 3 3 3 12 27 ... 3 lim 1 8 27 ... n n n n n → n + + + + + + + + = 4
70 17. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 ... 231 1 2 2 3 3 4 ... 1 228 n n n + + + + = + + + + − จงหาค่าของ n [PAT 1 (ธ.ค. 54)/42] (ระดับยาก) วิธีท า พิจารณา เศษ 2 2 2 2 2 1 1 2 3 ... n i n i = + + + + = ( 1 2 1 )( ) 6 n n n + + = พิจารณา ส่วน 1 2 2 3 3 4 ... 1 ( ) + + + + − ( ) ( ) (n n) จัดให้อยู่ในรูป n ตัว จะได้เป็น 0(1) 1 2 2 3 3 4 ... 1 + + + + + − ( ) ( ) ( ) (n n) ( ) 1 1 n i i i = = − 2 1 n i i i = = − 2 1 1 n n i i i i = = = − ( 1 2 1 )( ) ( 1) 6 2 n n n + + n n + = − จะได้ ( )( ) ( )( ) 1 2 1 6 1 2 1 ( 1) 6 2 n n n n n n n n + + + + + − จากนั้นน า ( ) 6 n n +1 คูณทั้งเศษและส่วน 6 = n n( +1) n n( 1) + (2 1) 6 n + 6 n n( +1) n n( 1) + (2 1) 6 n + 6 − ( ) 3 n n +1 n n( 1) + 2 ( ) 2 1 2 1 3 n n + = + − 2 1 2 2 n n + = − จะได้ 2 1 231 2 2 228 n n + = − 2 1 228 231 2 2 n n + = − ( ) ( ) n =115 ดังนั้น n =115
71 แบบฝึกท้าทายการหาผลบวกของอนุกรมด้วยซิกมา∑ 1) จงเขียนแทนสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของการบวก 1) 4 1 2 i i = 2) ( ) 6 4 3 2 i i = − 3) ( ) 20 2 1 4 i i = + 2) จงเขียนผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 5 1 3 j j = 2) 20 1 (2 1) i i = + 3) 6 2 4 i 1 k = k + − 3) จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้โดนใช้สัญลักษณ์ ∑ 1) 1 2 2 3 3 4 ....... ( 1) ...... + + + + + + n n 2) 1 1 1 1 ........ 456 n + + + + 3) 2 4 6 ........ 2 + + + + n 4) จงแสดงว่า 1) ( ) 1 6 3 1 n i i n n = = + 2) ( ) 2 1 2 1 2 n i i k k = + = + 3) ( ) 3 2 1 3 n i n n i i = − − = 5) จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 1 2 2 3 3 4 ....... ( 1) ...... + + + + + + n n 2) 2 2 2 2 2 1 3 5 7 .......... (2 1) ..... + + + + + − + n 6) จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ....... 10 11 12 + + + + 2) 1 2 2 3 3 4 ....... 99 100 + + + +
72 7) จากตารางที่ก าหนดให้ มีช่องว่างทั้งหมด 16 ช่อง ดังรูป ให้เติมจ านวนเต็มบวก 1, 2,3, 4,...,16 ลงในช่องสี่เหลี่ยมช่องละ 1 จ านวน โดยให้ผลบวกของจ านวน ในแต่ละแถว (ก)และ(ข) และในแต่ละหลัก (ค) และ (ง) มีค่าเท่าๆกัน ถ้าเติมจ านวนเต็มบวก 1,5,13 ดังปรากฏในตารางแล้ว จ านวน x ในตาราง เท่ากับเท่าใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/47] 8) หนังสือเล่มหนึ่งมี 500 หน้า หน้าแรกมีค าผิด 1 ค า เว้นไป 1 หน้า หน้าที่สามมีค าผิด 1 ค า เว้นไป 3 หน้า หน้าที่ เจ็ด มีค าผิด 1 ค า เว้นไป 5 หน้า เป็นเช่นนี้ต่อๆไป จ านวนหน้าที่ไม่มีค าผิดจะเพิ่มขึ้นที่ละ 2 หน้า จ านวนค าผิด ในหนังสือเล่มนี้เท่ากับเท่าใด [(PAT 1 (มี.ค. 57)/44]
73 อนุกรม พิจารณาล าดับ 1, 2,3,..., 20 ซึ่งเป็นล าดับจ ากัด เมื่อน าพจน์แต่ละพจน์ของล าดับมาบวกกันจะได้ ดังนี้ 1 2 3 .... 20 + + + + เรียกผลบวกของพจน์ทุกพจน์ในล าดับนี้ว่า อนุกรมจ ากัด และ พิจารณาล าดับ 2 1,4,9,16,..., ,... n ซึ่งเป็นล าดับอนันต์ เมื่อน าพจน์แต่ละพจน์ของล าดับมาบวกกัน จะได้ดังนี้ 2 1 4 9 16 ... ... + + + + + + n เรียกผลบวกของพจน์ทุกพจน์ในล าดับนี้ว่า อนุกรมอนันต์ บทนิยาม เมื่อ 1 2 3 , , ,..., n a a a a เป็นล าดับจ ากัด และ 1 2 3 , , ,..., ,... n a a a a เป็นล าดับอนันต์ เรียกการแสดงผล บวกของพจน์ทุกพจน์ของล าดับในรูป 1 2 3 ... n a a a a + + + + หรือ 1 2 3 ... ... n a a a a + + + + + ว่า อนุกรม อนุกรมที่ได้จากล าดับจ ากัดเรียกว่า อนุกรมจ ากัด เขียนแทนด้วย 1 n i i a = หรือ n s และ อนุกรมที่ได้จากล าดับอนันต์เรียกว่า อนุกรมอนันต์ เขียนแทนด้วย 1 i i a = หรือ s จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจ ากัดมาจากล าดับจ ากัด และอนุกรมอนันต์มาจากล าดับอนันต์ จากอนุกรม 1 2 3 , , ,..., n a a a a หรือ 1 2 3 , , ,..., ,... n a a a a เรียก 1 a ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก 2 a ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม เรียก 3 a ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม เรียก n a ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม หรือพจน์ทั่วไปของอนุกรม ตัวอย่างการเขียนล าดับให้อยู่ในรูปของอนุกรม - ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนล าดับ 4,7,10,13 ให้อยู่ในรูปของอนุกรม วิธีท า พิจารณา 4,7,10,13 เป็นล าดับจ ากัด และเป็นล าดับเลข คณิต นั่นคือ 1 4 7 10 13 + + + + เป็นอนุกรมจ ากัด ของล าดับเลขคณิต ดังนั้น อนุกรมของ 4,7,10,13 คือ 1 4 7 10 13 + + + +
74 - ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนล าดับ 2 n a n = เมื่อ n = 1,2,3,4,5,6 ให้อยู่ในรูปของอนุกรม วิธีท า หา 1 2 3 4 5 6 a a a a a a , , , , , จะได้ a1 = = 2 1 2 ( ) a4 = = 2 4 8 ( ) a2 = = 2 2 4 ( ) a5 = = 2 5 10 ( ) a3 = = 2 3 6 ( ) a6 = = 2 6 12 ( ) ล าดับคือ 2, 4,6,8,10,12 เป็นล าดับจ ากัด และเป็นล าดับเลข คณิต นั่นคือ 2 4 6 8 10 12 + + + + + เป็นอนุกรมจ ากัด ของล าดับเลขคณิต ดังนั้น อนุกรมของ 2 n a n = เมื่อ n = 1,2,3,4,5,6 คือ 2 4 6 8 10 12 + + + + + - ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนล าดับ 2, 4,8,16,... ,... n a ให้อยู่ในรูปของอนุกรม วิธีท า พิจารณา 2, 4,8,16,... ,... n a เป็นล าดับอนันต์ และเป็นล าดับ เรขาคณิต นั่นคือ 2 4 8 16 ... ... n + + + + + a เป็นอนุกรมจ ากัด ของล าดับ เรขาคณิต ดังนั้น อนุกรมของ 2, 4,8,16,... ,... n a คือ 2 4 8 16 ... ... n + + + + + a - ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนล าดับ 2 1 n a n = + เมื่อ n = 1,2,3,4,.... ให้อยู่ในรูปของอนุกรม วิธีท า หา 1 2 3 4 , , , ,..., ,.. n a a a a a จะได้ a1 = + = 2 1 1 3 ( ) a2 = + = 2 2 1 5 ( ) a3 = + = 2 3 1 7 ( ) a4 = + = 2 4 1 9 ( ) 2 1 n a n = + ล าดับคือ 3,5,7,9,..., ,... n a เป็นล าดับจ ากัด และเป็นล าดับเลข คณิต นั่นคือ 3 5 7 9 ... ... n + + + + + + a เป็นอนุกรมจ ากัด ของล าดับเลขคณิต ดังนั้น อนุกรมของ 2 1 n a n = + เมื่อ n = 1,2,3,4,.... คือ 3 5 7 9 ... ... n + + + + + + a จากตัวอย่างข้างต้น สามารถบอกได้ว่า อนุกรมสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภท ได้แก่
75 อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่ได้จากล าดับเลขคณิต และผลต่างร่วมของล าดับเลขคณิตจะเป็น ผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต บทนิยาม อนุกรม ที่ได้จากล าดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของล าดับเลขคณิต เป็นผลต่าง ร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย เมื่อ a a d a d a n d 1 1 1 1 , , 2 , ...., 1 + + + − ( ) เป็นล าดับเลขคณิต จะได้ a a d a d a n d 1 1 1 1 + + + + + + + − ( ) ( 2 .... 1 ) ( ( ) ) เป็นอนุกรมเลขคณิต ซึ่งมี 1 a เป็นพจน์แรกของอนุกรมและ d เป็นผลต่างร่วม(Common difference) ของอนุกรมเลขคณิต จากบทนิยาม จะได้ว่า 1 2 3 , , ,..., n a a a a เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกว่าการเขียนแสดงการบวกของพจน์ทุกพจน์ของล าดับในรูป 1 2 3 ... n a a a a + + + + ว่า อนุกรมเลข คณิต และผลต่างร่วม ( d ) ของล าดับเลขคณิตเป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต 1) 12 7 2 ... +++ เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 12,7,2,... เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 12 เป็นพจน์แรก และมี -5 เป็นผลต่างร่วม ( d ) 2) 8 18 28 ... 98 + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 8,18, 28,...,98 เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 8 เป็นพจน์แรก และมี 10 เป็นผลต่างร่วม ( d ) 3) 25 20 12 10 ... + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 25, 20,12,10,... เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 25 เป็นพจน์แรก และมี -5 เป็นผลต่างร่วม ( d ) 4) 1 3 5 7 ... 99 + + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 1,3,5,7,...,99 เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 1 เป็นพจน์แรก และมี 2 เป็นผลต่างร่วม ( d )
76 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ให้ n s เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี 1 a เป็นพจน์แรก และมี d เป็นผลต่างร่วม จะได้ s a a d a d a d a d a n n n n = + + + + + + − + − + 1 1 1 ( ) ( 2 .... 2 ) ( ) ( ) ----------------(1) หรือ s a a d a d a d a d a n n n n = + − + − + + + + + + ( ) ( 2 .... 2 ) ( 1 1 1 ) ( ) ----------------(2) น า (1)+(2) จะได้ 2 .... s a a a a a a n n n n = + + + + + ( 1 1 1 ) ( ) ( ) มี n พจน์ = + n a a ( 1 n ) ( 1 ) 2 n n n s a a = + จาก a a n d n = + − 1 ( 1) ดังนั้น ( 1 1 ( 1) ) 2 n n s a a n d = + + − (2 1 1 ( ) ) 2 n = + − a n d นั่นคือ ให้ n s เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี 1 a เป็นพจน์แรก และมี d เป็นผลต่างร่วม จะได้ ( 1 ) 2 n n n s a a = + หรือ (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − จากตัวอย่างข้างต้นสามารถสรุปเป็นสูตรได้ดังนี้ สูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ( 1 ) 2 n n n s a a = + หรือ (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + −
77 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต (ช่วงที่ 1 ระดับง่าย) 1. จงหาผลบวกของอนุกรม 8 18 28 ... 98 + + + + (ระดับง่าย) วิธีท า ให้อนุกรมนี้มี n พจน์ มี 1 a = 8, d =10 , 98 n a = จากสูตร a a n d n = + − 1 ( 1) ดังนั้น 98 8 1 10 = + − (n ) ( ) 98 8 1 10 n − − = n =10 จากสูตร ( 1 ) 2 n n n s a a = + ( ) 10 8 98 2 = + = 530 หรือ (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − ( ( ) ( ) ) 10 2 8 10 1 10 2 = + − = 530 ดังนั้น อนุกรมของ 8 18 28 ... 98 + + + + คือ 530 2. จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต (− + − + + + 8 4 0 4 .... ) ( ) (ระดับง่าย) วิธีท า อนุกรมที่ก าหนดให้ มี 1 a = −8 d = − − − 4 8 ( ) n = 20 จากสูตร (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − นั่นคือ 20 ( ( ) ( ) ) 20 2 8 20 1 4 2 s = − + − = − + 10 16 76 ( ) =10 60 ( ) = 600 ดังนั้น จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต (− + − + + + 8 4 0 4 .... ) ( ) คือ 600
78 3. จงหาผลบวก 60 พจน์ซึ่งอยู่ระหว่าง 10 และ 160 ของอนุกรมเลขคณิตหนึ่ง (ระดับง่าย) วิธีท า แสดงว่าอนุกรมนี้มีทั้งหมด 62 พจน์ พิจารณาจาก ต้องการผลบวก 60 พจน์ซึ่งอยู่ระหว่าง 10 และ 160 จะได้ 10 + 60 พจน์ + 160 = 62 พจน์ ดังนั้น 1 a =10 , 62 a =160 , n = 62 จากสูตร ( 1 ) 2 n n n s a a = + นั่นคือ 62 ( ) 62 10 160 2 s = + = 31 170 ( ) = 5, 270 ดังนั้น จงหาผลบวก 60 พจน์ซึ่งอยู่ระหว่าง 10 และ 160 คือ 5,270 4. จ านวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 700 มีกี่จ านวนที่ 8 หารลงตัว และจงหาผลบวกเหล่านั้น (ระดับง่าย) วิธีท า จ านวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 100 ถึง 700 ที่ 8 หารลงตัวเป็นล าดับเลขคณิต ดังนี้ 104,112,120,...,696 จะได้ 1 a =104 , d = 8 , 696 n a = จากสูตร a a n d n = + − 1 ( 1) 696 104 1 8 = + − (n ) 696 104 1 8 n − − = n = 75 จากสูตร ( 1 ) 2 n n n s a a = + นั่นคือ 75 ( ) 75 104 696 2 s = + = 30,000 ดังนั้น จ านวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 700 มีที่ 8 หารลงตัว มี 75 จ านวน และมีผลบวกของ จ านวนเหล่านั้น 30,000
79 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต (ช่วงที่ 2 ระดับกลาง) 5. ในอนุกรมเลขคณิตหนึ่ง มี 4 s = 28 และ 8 s = 48 จงหาอนุกรมชุดนี้ (ระดับกลาง) วิธีท า จากสูตร (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − หา 4 s จะได้ 4 1 ( ) 4 2 3 2 s a d = + = + 2 2 3 ( a d 1 ) จาก 4 s = 28 ดังนั้น 2 2 3 28 ( a d 1 + =) 1 2 3 14 a d + = ----------------(1) หา 8 s จะได้ 8 1 ( ) 8 2 7 2 s a d = + = + 4 2 7 ( a d 1 ) จาก 8 s = 48 ดังนั้น 4 2 7 48 ( a d 1 + =) 1 2 7 12 a d + = ----------------(2) น า (2)-(1) จะได้ 4 2 d = − 1 2 d = − แทนค่า 1 2 d = − ใน (1) จะได้ 1 1 2 3 14 2 a + − = 1 3 2 14 2 a = + 1 31 4 a = ดังนั้น อนุกรมนี้คือ 31 29 27 .... 4 4 4 + + +
80 6. ก าหนดให้ n s เป็นผลบวก n พจน์แรกของล าดับเลขคณิต 1 2 3 a a a , , ,.... ถ้า 5 s = 90 และ 10 s = 5 แล้ว 11 a มีค่าเท่ากับเท่าใด [ONET 54/17] (ระดับกลาง) วิธีท า จากสูตร (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − จาก 5 s = 90 จะได้ ( 1 ( ) ) 5 90 2 5 1 2 = + − a d 1 2 90 2 4 5 = + a d 1 2 4 36 a d + = ----------------(1) จาก 10 s = 5 จะได้ ( 1 ( ) ) 10 5 2 10 1 2 = + − a d 1 2 5 2 9 10 = + a d 1 2 9 1 a d + = ----------------(2) น า (2)-(1) จะได้ 5 35 d = − 35 5 d − = d = −7 แทน d = −7 ในสมการ (2) 2 9 7 1 a1 + − = ( ) 1 2 63 1 a − = 1 2 64 a = 1 a = 32 จากสูตร a a n d n = + − 1 ( 1) จะได้ a11 = + − − 32 11 1 7 ( )( ) 11 a = − 32 70 11 a = −38 ดังนั้น 11 a = −38
81 7. อนุกรม 1 1 20 18 16 ... 4 2 + + + มีกี่พจน์จึงจะบวกกันได้ -1014 (ระดับกลาง) วิธีท า อนุกรมนี้มี 1 a = 20 , 1 7 18 20 4 4 d = − = − , 1,014 n s = − จากสูตร (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − ( ) ( ) 7 1,014 2 20 1 2 4 n n − = + − − ( ) 7 1,014 40 1 2 4 n n − = − − 2 7 7 1,014 20 8 8 n n − = − + n เอา 8 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 − = − + 8,014 160 7 7 n n n 2 7 167 8,014 0 n n − − = (7 169 48 0 n n + − = )( ) 169 48, 7 n − = ค่าลบใช้ไม่ได้ ดังนั้น อนุกรมนี้มี 48 พจน์ จึงท าให้มีผลบวกเท่ากับ –1,014
82 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต (ช่วงที่ 3 ระดับยาก) 8. ถ้าล าดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 10 พจน์แรกเท่ากับ 205 และผลบวกอีก10พจน์ถัดไปเท่ากับ 505 แล้ว ผลบวก 55 พจน์แรกของล าดับเลขคณิตนี้เท่ากับเท่าใด [PAT 1(ต.ค. 55)/36] (ระดับยาก) วิธีท า จากสูตร (2 1 1 ( ) ) 2 n n s a n d = + − แทน n =10 จะได้ ( 1 ( ) ) 10 205 2 10 1 2 = + − a d 1 41 2 9 = + a d ---------------(1) จากผลบวก 10 พจน์แรกเท่ากับ 205 และ ผลบวกอีก10พจน์ถัดไปเท่ากับ 505 จะได้ว่า 20 พจน์แรกเท่ากับ 205+505 =710 แทน n = 20 จะได้ ( 1 ( ) ) 20 710 2 20 1 2 = + − a d 1 71 2 19 = + a d ---------------(2) น า (2)-(1) จะได้ 10 30 d = d = 3 แทน d = 3 ใน (1) จะได้ 1 41 2 9 = + a d 41 2 9 3 = + a1 ( ) 1 41 2 27 = + a 1 14 2 = a 1 7 = a หา 55 S 55 ( ( ) ( ) ) 55 2 7 55 1 3 2 S = + − = + 55 7 27 3 ( ( ) ) = 55 88 ( ) = 4,840 ดังนั้น ผลบวก 55 พจน์แรกของล าดับเลขคณิตนี้ คือ 4,840
83 9. ก าหนดอนุกรมเลขคณิต 1 2 3 201 a a a a + + + + .... ถ้า 1 2 3 201 a a a a + + + + = .... 303 แล้วจงหาค่าของ 2 4 6 200 a a a a + + + + .... [PAT 1(ธ.ค. 54)/15] (ระดับยาก) วิธีท า ให้ 1 201 a a x + = 2 200 a a x + = 3 199 a a x + = 101 101 a a x + = → 101 2 x a = พิจารณา 1 2 3 201 a a a a + + + + = .... 303 แสดงว่าน าเลขคี่มาบวกกัน จะได้ว่า พจน์เลขคู่ 50 พจน์ พจน์เลขคี่ 50 พจน์ และ 101 2 x a = พิจารณาพจน์เลขคี่ จะได้ 50 303 2 x x + = 101 303 2 x = x = 6 พิจารณาพจน์เลขคู่ จะได้ 2 4 6 200 a a a a + + + + .... = 50x = 50 6( ) = 300 ดังนั้น ค่าของ 2 4 6 200 a a a a + + + + .... = 300
84 10. ถ้า 1 2 3 1000 a a a a + + + + .... เป็นล าดับของจ านวนจริงที่สอดคล้องกับ 1 2 3 1000 1 2 3 1000 .... 2 3 4 1001 a a a a a a a a = = = = + + + + และ 1 2 3 1000 a a a a + + + + = .... 250,000 แล้วค่าของ 1 1000 a a + เท่ากับเท่าใด [PAT 1(เม.ย. 57)/36] (ระดับยาก) วิธีท า น า 1 2 3 1000 1 2 3 1000 .... 2 3 4 1001 a a a a a a a a = = = = + + + + กลับ เศษ กลับ ส่วน จะได้ 1 2 3 1000 1 2 3 1000 2 3 4 1001 .... a a a a a a a a + + + + = = = = 1 2 3 1000 2 3 4 1001 1 1 1 .... 1 a a a a + = + = + = = + น า 1 ลบทั้งสมการ จะได้ 1 2 3 1000 2 3 4 1001 .... a a a a = = = = กลับ เศษ กลับ ส่วน อีกครั้ง จะได้ 1 2 3 1000 .... 2 3 4 1001 a a a a = = = = จะได้ว่า 1 1 a a =1 1 2 1 3 1.5 2 a a a = =1 3 1 4 2 2 a a a = = → ล าดับเลขคณิต เนื่องจาก n a เป็นล าดับเลขคณิต จากสูตร ( 1 ) 2 n n n s a a = + จะได้ 1000 1 1000 ( ) 1000 2 s a a = + ( 1 1000 ) 1000 250000 2 = + a a 1 1000 500 = + a a ดังนั้น ค่าของ 1 1000 a a + เท่ากับ 500
85 แบบฝึกท้าทายเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต ตอนที่1 ค าชี้แจง ให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายซักถามและท าโจทย์ต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ แล้วตรวจสอบค าตอบ จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้ 1. 3 7 11 15 ... 119 + + + + + จาก a a n d n = + − 1 ( 1) จากโจทย์จะได้ว่า 1 a = 3, 119 n a = , d = 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………….………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………… 2. 59 54 49 ..... + + + แล้ว 40 s = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. 72 83 94 ... + + + แล้ว 15 s = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
86 ตอนที่2 1. จงหาผลบวกของจ านวนเต็มตั้งแต่ 200 ถึง 400 ที่ 8 หารลงตัว ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… 2. ในอนุกรมเลขคณิตหนึ่งมี 1 a = 31, d = −4 และ 136 n s = จงหา n และ 50 s ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… 3. ในอนุกรมเลขคณิตหนึ่งมีผลบวกของพจน์ที่ 2 และพจน์ที่ 4 เท่ากับ 15 และผลบวกของพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 6 เท่ากับ 25 ขงหาผลบวก 26 พจน์แรกของอนุกรม ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………
87 ตอนที่ 3 1. ก าหนดให้ an เป็นล าดับของจ านวนจริง โดยที่ 2 n n 1 a n a + = − ส าหรับ n =1, 2,3,... ค่าของ 1 a ที่ท าให้ 101 a = 5100 เท่ากับเท่าใด [PAT 1(มี.ค.54)/16] ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………….………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………
88 อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่ได้จากล าดับเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของล าดับเรขาคณิตจะเป็น อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต บทนิยาม อนุกรมที่ได้จาก ล าดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของล าดับเรขาคณิตจะเป็น อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย เมื่อ 2 1 1 1 1 1 , , ,..., n a a r a r a r − เป็นล าดับเรขาคณิต จะได้ 2 1 1 1 1 1 ... n a a r a r a r − + + + + เป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง 1 a เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม(Common ratio) ของอนุกรมเรขาคณิต จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า 1 2 3 , , ,..., n a a a a เป็นล าดับเรขาคณิต ที่มี n พจน์ จะเรียกการแสดงผลบวกของ พจน์ทุกผลของล าดับในรูป 1 2 3 ... n a a a a + + + + ว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วม( r )ของล าดับ เรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วม( r )ของอนุกรมเรขาคณิตอีกด้วย ตัวอย่างของอนุกรมเรขาคณิต 1) 1 2 4 8 ... + + + + เป็นอนุกรมเรขาคณิต เพราะ 1,2,4,8,... เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 1 เป็นพจน์แรก และมี 2 เป็นอัตราส่วนร่วม ( r ) 2) 1 1 1 1 ... 2 4 80 + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 1 1 1 1, , ,..., 2 4 80 เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี1 เป็นพจน์แรก และมี 1 2 เป็นอัตราส่วนร่วม ( r ) 3) 64 32 16 ... 1 + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 64,32,16,...,1 เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 64 เป็นพจน์แรก และมี 1 2 เป็นอัตราส่วนร่วม ( r ) 4) 2 10 50 .... 1, 250 + + + + เป็นอนุกรมเลขคณิต เพราะ 2,10,50,.....,1, 250 เป็นล าดับเลขคณิต ที่มี 2 เป็นพจน์แรก และมี 5 เป็นอัตราส่วนร่วม ( r )
89 การหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมเรขาคณิต ให้ n s เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี 1 a เป็นพจน์แรกและ r เป็นอัตราส่วนร่วม จะได้ 2 1 1 1 1 1 ... n n S a a r a r a r − = + + + + ----------------------(1) น า (1) r ได้ 2 1 1 1 1 1 ... n n n rS a r a r a r a r − = + + + + ----------------------(2) น า (1)-(2) จะได้ 1 1 n n n S rS a a r − = − (1 1 ) 1 ( ) n n − = − r S a r กรณีที่ 1 r 1 จะได้ว่า ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 หรือ ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 อาจจะเขียนอีกแบบนึงว่า จาก ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − 1 1 1 n a a r r − = − 1 1 1 1 n a a r r r − − = − จาก ( ) 1 1 n n a a r − = 1 1 n a a r r − = − เมื่อ r 1 ดังนั้น 1 1 n n a a r S r − = − เมื่อ r 1 หรือ 1 1 n n a r a S r − = − เมื่อ r 1 กรณีที่ 2 r =1 อนุกรมเรขาคณิตอยู่ในรูป aaaaa +++++... จะได้ ..... n S a a a a = + + + + ( n พจน์) ดังนั้น n S na =
90 จากตัวอย่างข้างต้นสามารถสรุปเป็นสูตรได้ดังนี้ สูตรผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 , ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 หรือ 1 1 n n a a r S r − = − เมื่อ r 1 , 1 1 n n a r a S r − = − เมื่อ r 1 หรือ n S na = เมื่อ r =1 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต (ช่วงที่ 1 ระดับง่าย) 1. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ 1 3 9 .... + + + (ระดับง่าย) วิธีท า อนุกรมนี้มี 1 a =1, r = 3, n = 8 จากสูตร ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ ( ) ( ) 8 8 1 1 3 1 3 S − = − ( ) 1 8 1 3 2 = − − ( ) 1 8 3 1 2 = − = 3, 280 ดังนั้น ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 9 .... + + + คือ 3, 280
91 2) จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตนี้ 1 1 1 1 ... 2 4 8 + + + + (ระดับง่าย) วิธีท า อนุกรมนี้มี 1 1 2 a = , 1 2 r = , n = 8 จากสูตร ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ 8 8 1 1 1 2 2 1 1 2 S − = − 1 1 1 2 256 1 2 − = 255 256 = ดังนั้น ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรม 1 1 1 1 ... 2 4 8 + + + + คือ 255 256 3. อนุกรมเรขาคณิต 3 6 12 ... + + + มีกี่พจน์ จึงจะมีผลบวกเป็น 3,069 (ระดับง่าย) วิธีท า ให้อนุกรมนี้มี n พจน์ อนุกรมนี้มี 1 a = 3, r = 2 , 3,069 n S = จากสูตร ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ ( ) ( ) 3 1 2 3,069 1 2 n − = − 3 2 1 ( ) n = − 3,069 2 1 3 n − = 10 2 2 n = ดังนั้น n =10
92 4. จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่ก าหนดให้ 3 6 12 24 ... + + + + (ระดับง่าย) วิธีท า จะได้ว่า 1 a = 3, r = 2 , n = 9 จากสูตร ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ ( ) ( ) 9 9 3 2 1 2 1 S − = − = − 3(512 1) =1,533 ดังนั้น จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรม 3 6 12 24 ... + + + + คือ 1,533 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต (ช่วงที่ 2 ระดับกลาง) 5. จงหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1 4 16 ... 1,024 + + + + (ระดับกลาง) วิธีท า จากโจทย์ 1 a =1, r = 4 , ให้ 1,024 n a = จากสูตร 1 1 n n a a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ 1 1,024 4( ) 1 4 n S − = − 1 4,096 3 − = − 4,095 3 − = − =1,365 ดังนั้น ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1 4 16 ... 1,024 + + + + เท่ากับ 1,365
93 6. อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ 160 อัตราส่วนร่วม 3 2 อนุกรมนี้มีกี่พจน์ จึงท าให้ 2,110 n S = (ระดับกลาง) วิธีท า จากสูตร ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 แทนค่า 3 160 1 2 2,110 3 1 2 n − = − 2 3 160 1 2 2,110 1 n − = − 2,110 1 3 1 160 2 2 n − = − 243 3 32 2 n − = − 243 3 32 2 n = 5 3 3 2 2 n = นั่นคือ n = 5 ดังนั้น อนุกรมเรขาคณิตนี้มี 5 พจน์
94 ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิต (ช่วงที่ 3 ระดับยาก) 7. จงหาพจน์ 3 พจน์ ในอนุกรมเรขาคณิตที่อยู่ติดกัน โดยมีผลรวมเท่ากับ 26 และผลคูณของทั้งสาม พจน์เท่ากับ 216 (ระดับยาก) วิธีท า สมมติให้พจน์ทั้งสาม คือ a r , a , ar ผลรวม 26 a a ar r + + = ------------(1) และผลคูณ ( )( ) 126 a a ar r = ------------(2) จากสมการ(2) จะได้ 3 a =126 a = 6 แทน a = 6 ใน (1) จะได้ 6 6 6 26 r r + + = คูณ r ทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 6 6 6 26 + + = r r r 2 6 20 6 0 r r − + = หาร 2 ทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 3 10 3 0 r r − + = (3 1 1 0 r r − − = )( ) 1 ,3 3 r = ถ้า 1 3 r = พจน์ทั้ง 3 คือ 18,6, 2 ถ้า r = 3 พจน์ทั้ง 3 คือ 2,8,16 ดังนั้น พจน์ 3 พจน์ ในอนุกรมเรขาคณิตที่อยู่ติดกัน โดยมีผลรวมเท่ากับ 26 และผลคูณ ของทั้ง สามพจน์เท่ากับ 216 คือ อนุกรม 18,6, 2 และอนุกรม 2,8,16
95 8. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 2 4 8 .... 256 + − + + − + + ( ) ( ) เท่ากับเท่าใด (ระดับยาก) วิธีท า อนุกรมนี้มี 1 a =1, r = −2 , จากสูตรล าดับเรขาคณิต 1 1 n n a a r − = จะได้ว่า ( ) 1 256 1 2 n− = − 8 1 = − n 8 1 + = n n = 9 จากสูตรอนุกรมเรขาคณิต ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − เมื่อ r 1 จะได้ ( ) ( ) 1 1 1 n n a r S r − = − ( ( ) ) 9 9 1 1 2 1 2 S − − = + 1 2 ( ) 1 2 n − − = + 1 512 ( ) 3 − − = =171 ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 2 4 8 .... 256 + − + + − + + ( ) ( ) เท่ากับ 171