1.คณิตศาสตร์ ม.3 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

บทิเร์ี นประาอบารราอนออนไยน
ชล้นมลธ์มศึาษรปที ิ่ี 1 รร์ัชพ รคณพตศราตรวืน้ ฐรน (ค21101)

บทิทิ่ี 1 อามารรเชงพ เา้นตัล แปรเด์ี ั

คณุ ครทู ิพวัลย์ ารรพาร

ตรแหนง่ ครูโรงเรี์นัดล บร้ นายั้ ์
ารนลางรนเขตวนื้ ทิา่ี รรศึาษราุวรรณบุรเี ขต 1

ตวั ชวี้ ดั

เขา้ ใจและใชส้ มบตั ิของการไม่เท่ากนั เพอ่ื วเิ คราะห์และแกป้ ัญหา
โดยใชอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว (ค 1.3 ม.3/1)

สาระการเรยี นรู้

1. อสมการ
2. กราฟแสดงจานวน
3. อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
4. การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
5. ปญั หาอสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

สมการ 1. อสมการ โดยใชเ้ คร่ืองหมาย
อสมการ “=”
ประโยคที่แสดงความสัมพนั ธ์
ของจานวน

ประโยคท่ีแสดงความสัมพนั ธ์
ของจานวน

มากกวา่ นอ้ ยกวา่ มากกวา่ หรือเท่ากบั นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั และไม่เท่ากบั ตามลาดบั

อสมการ 1. อสมการ
เช่น 2x – 5 > 3
อ่านว่า
|3y| ⩾ 0
4x + 6 ⩽ 3x – 1 สองเอก็ ซ์ลบหา้ มากกวา่ สาม
เศษหน่ึงส่วนส่ีของเอก็ ซ์นอ้ ยกวา่ ลบหน่ึง
–2 < x < 6 ค่าสมั บูรณ์ของสามวายมากกวา่ หรือเท่ากบั ศูนย์
x > 3 หรือ x ⩽ 0 ส่ีเอก็ ซ์บวกหกนอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั สามเอก็ ซ์ลบหน่ึง
สามยกกาลงั สองไม่เท่ากบั หก
เอก็ ซ์มากกวา่ ลบสองแต่นอ้ ยกวา่ หก
เอก็ ซ์มากกวา่ สาม หรือเอก็ ซ์นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั ศูนย์

1. อสมการ

ประโยคดงั ตอ่ ไปน้ี แสดงใหเ้ ห็นวา่ เป็นอสมการที่เป็นจริงหรือเป็นเทจ็

ประโยค ประโยคสัญลกั ษณ์ ค่าความจริง
ของอสมการ
ลบหน่ึงมากกวา่ ลบสิบ –1 > – 10
ลบหา้ นอ้ ยกวา่ ศูนย์ –5 < 0 เป็ นจริ ง
32 < 6 เป็ นจริ ง
สามยกกาลงั สองนอ้ ยกวา่ หก เป็ นเทจ็
ลบสองไม่เท่ากบั สอง 2(7) < 10 เป็ นจริ ง

สองเท่าของเจด็ นอ้ ยกวา่ สิบ เป็ นเทจ็
ลบหา้ ยกกาลงั สองไม่เท่ากบั ยส่ี ิบหา้ เป็ นเทจ็

1. อสมการ

นกั เรียนพิจารณาประโยคสญั ลกั ษณ์ต่อไปน้ีที่มี x แทนจานวนหน่ึงในอสมการ

ประโยคสัญลกั ษณ์ ค่า x ทที่ าให้อสมการเป็ นจริง

x>–5 จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ –5

2x < 10 จานวนจริงทุกจานวนท่ีนอ้ ยกวา่ 5
x ⩽9 จานวนจริงทุกจานวนที่นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 9

x25+⩽35<x– 7 จจาานนววนนจจรริิงงททุุกกจจาานนววนนททีี่่มนาอ้ กยกกววา่า่ ห–ร1ือ0เท่ากบั 5

5–3–xx<⩾68 จานวนจริงทุกจานวนท่ีไม่ใช่ 0–1
จานวนจริงทุกจานวนท่ีไม่ใช่
จจาานนววนนจจรริิงงททุุกกจจาานนววนนทท่ี่ีมนาอ้ กยกกววา่า่ ห–2รือเท่ากบั –3

จากตารางขา้ งตน้ นกั เรียนลองแทนค่า x เพ่ือตรวจสอบวา่ ค่า x ที่แทนค่าทาให้

อสมการเป็นจริง หรือไม่ จะเห็นวา่ คา่ ของ x ซ่ึงทาใหอ้ สมการเป็นจริงมีหลายคา่

ดงั น้นั เราสามารถแสดงคา่ ของ x ในรูปแบบกราฟแสดงจานวนได้

2.กราฟแสดงจานวน

จานวนต่าง ๆ สามารถแสดงไดบ้ นเสน้ จานวน ซ่ึงนกั เรียนสามารถที่จะเรียนรู้การใช้
สัญลกั ษณ์ ต่าง ๆ บนเส้นจานวน ดงั น้ี

จากเสน้ จานวนเป็นการแสดงจานวน – 6, 0, 5 โดยใชจ้ ุดทึบลงบนเสน้ จานวนเพ่ือบ่งบอก
จานวนน้นั ๆ

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ 0
เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ x > 0

2.กราฟแสดงจานวน

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่นอ้ ยกวา่ 2
เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ x < 2

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่
หรือเท่ากบั –1
เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ x ⩾–1
แสดงจานวนจริงทุกจานวนท่ีนอ้ ยกวา่
หรือ เท่ากบั 3
เขียนเป็นประโยคสัญลกั ษณ์ x ⩽3

2.กราฟแสดงจานวน

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ –2
แตน่ อ้ ยกวา่ 3
เขียนเป็นประโยคสัญลกั ษณ์ –2 < x < 3

แเขสียดนงเจปา็นนปวรนะจโรยิงคทสุกัญจลานกั วษนณต์ ้–งั 3แต⩽่ –3 ถึง 2
x ⩽2

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่
หรือเท่ากบั –1 แต่นอ้ ยกวา่ 3
เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ –1 ⩽ x < 3

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ –3

แต่นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 1 –3 < x ⩽ 1
เขียนเป็นประโยคสัญลกั ษณ์

2.กราฟแสดงจานวน

แสดงจานวนจริงทุกจานวนที่
นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 1 หรือจานวน
ทุกจานวนที่มากกวา่ 3
เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์
x ⩽ 1 หรือ x > 3

แสดงจานวนจริงทุกจานวนท่ี
นอ้ ยกวา่ 0 หรือจานวนทุกจานวน
ท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั 2
เขียนเป็นประโยคสัญลกั ษณ์
x < 0 หรือ x ⩾ 2

จากกราฟแสดงจานวนขา้ งตน้ จะเห็นการใชจ้ ุดทึบและจุดโปร่งแสดงคา่ ท่ีแตกต่างกนั
จุดทึบหมายความวา่ รวมจานวนบนเส้นจานวนน้นั จุดโปร่งหมายความวา่ ไม่รวมจานวนน้นั หรือ
ยกเวน้ จานวนน้นั บนเส้นจานวน และเส้นทึบหมายความวา่ รวมทุกจานวนท่ีลากผา่ น

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ในอสมการอาจมีตวั แปรหรือไม่มีตวั แปรกไ็ ด้ ถา้ อสมการท่ีมีตวั แปรและแทนค่าตวั แปรดว้ ย

จานวนจริงใด ๆ แลว้ ทาใหอ้ สมการเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ กไ็ ด้
ถา้ อสมการที่มีตวั แปรเพียงตวั เดียว และมีเลขช้ีกาลงั ของตวั แปรเท่ากบั หน่ึง จะเรียกวา่

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว

ตัวอย่างอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

1. x > 0 เป็นอสมการเชิงเสน้ ที่มี x เป็นตวั แปร
2. 2x + 5 < 3 เป็นอสมการเชิงเสน้ ท่ีมี x เป็นตวั แปร

4. 9(x – 3) ⩽ 1 เป็นอสมการเชิงเสน้ ท่ีมี x เป็นตวั แปร

7. 3y – 4 ⩽ 2y + 1 เป็นอสมการเชิงเส้นที่มี y เป็นตวั แปร

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

อสมการที่มีตวั แปรอาจเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ ข้ึนอยกู่ บั คา่ ของตวั แปรที่แทนค่าเขา้
ไปในอสมการ คา่ ของตวั แปรท่ีแทนเขา้ ไปในอสมการ แลว้ ทาใหอ้ สมการเป็นจริง เรียกวา่

คาตอบของอสมการ

คาตอบของอสมการ คือ จานวนทแี่ ทนค่าของตวั แปรในอสมการ แล้วทาให้อสมการเป็ นจริง

ตวั อย่างที่ 1

หาคาตอบของอสมการท่ีแทนค่าตวั แปร แลว้ ทาใหป้ ระโยคเป็นจริง
1) x – 1 > – 2 2) 2y ⩾ 0 3) x + 3 < 1

วธิ ีทา เป็นจุดสงั เกตในการหาคาตอบของ
อสมการ เม่ือจานวนท้งั สองขา้ ง
1) x – 1 > – 2
ลองแทนคา่ x ถา้ แทน x = –1 เป็ นจานวนเดียวกนั

จะได้ –1 – 1 > –2 ทาให้ –2 > –2 ซ่ึงเป็นเทจ็

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

จะได้ 0 – 1 > – 2 ทาให้ –1 > – 2 ซ่ึงเป็นจริง

1 – 1 > – 2 ทาให้ 0 > – 2 ซ่ึงเป็นจริง
2 – 1 > – 2 ทาให้ 1 > – 2 ซ่ึงเป็นจริง
จากการลองแทนค่า x ดว้ ยจานวนอื่น ๆ จะพบวา่ อสมการเป็นจริงได้ เมื่อ x > – 1
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ x – 1 > – 2 คือ x > – 1

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

2) 2y ⩾ 0 ลองแทนค่า y ถา้ แทน y = 0 เป็นจุดสงั เกตในการหา คาตอบของ
จะได้ 2(0) ⩾ 0 ทาให้ 0 ⩾ 0 อสมการ เมื่อจานวนท้งั สองขา้ ง
ซ่ึงเป็ นจริ ง
และแทนค่า y ดว้ ย 0.5, 1, 2, 3
เป็ นจานวนเดียวกนั

จะได้ 2(0.5) ⩾ 0 ทาให้ 1 ⩾ 0 ซ่ึงเป็นจริง

2(1) ⩾ 0 ทาให้ 2 ⩾ 0 ซ่ึงเป็นจริง
2(2) ⩾ 0 ทาให้ 4 ⩾ 0 ซ่ึงเป็นจริง
2(3) ⩾ 0 ทาให้ 6 ⩾ 0 ซ่ึงเป็นจริง
จากการลองแทนคา่ y ดว้ ยจานวนอ่ืน ๆ จะพบวา่ อสมการเป็นจริงได้ เม่ือ y ⩾ 0
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ 2y ⩾ 0 คือ y ⩾ 0

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

3) x + 3 < 1
ลองแทนคา่ x ถา้ แทน x = –2
เป็นจุดสงั เกตในการหา คาตอบของ
จะได้ –2 + 3 < 1 ทาให้ 1 < 1 ซ่ึงเป็นเทจ็ อสมการ เมื่อจานวนท้งั สองขา้ ง
เป็ นจานวนเดียวกนั
และแทนคา่ x ดว้ ย –2.8, –3, –4, –5

จะได้ –2.8 + 3 < 1 ทาให้ 0.2 < 1 ซ่ึงเป็นจริง
–3 + 3 < 1 ทาให้ 0 < 1 ซ่ึงเป็นจริง
–4 + 3 < 1 ทาให้ –1 < 1 ซ่ึงเป็นจริง
–5 + 3 < 1 ทาให้ –2 < 1 ซ่ึงเป็นจริง
จากการลองแทนค่า x ดว้ ยจานวนอื่น ๆ จะพบวา่ อสมการเป็นจริงได้ เม่ือ x < –2
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ x + 3 < 1 คือ x < –2

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ลองแทนค่า y ถา้ แทน y = 2 เป็นจุดสงั เกตในการหา คาตอบของ
และแทนค่า y ดว้ ย 1.6, 1, 0, –1, –2 อสมการ เมื่อจานวนท้งั สองขา้ ง
เป็ นจานวนเดียวกนั

จากการลองแทนคา่ y ดว้ ยจานวนอ่ืน ๆ จะพบวา่ อสมการเป็นจริงได้ เม่ือ y ⩽ 2

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 2 หาคาตอบของอสมการท่ีแทนค่าตวั แปร แลว้ ทาใหป้ ระโยคเป็นจริง
2) –6 < x ⩽ 4 4) 3 < x – 4 < 8

วธิ ีทา

ลองแทนคา่ x ดว้ ยจานวนอ่ืน ๆ อีกมากมายที่ทาใหอ้ สมการเป็นจริง

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

2) – 6 < x ⩽ 4
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย – 6 จะได้ – 6 < – 6 ⩽ 4 ซ่ึงเป็นเทจ็
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย – 5 จะได้ – 6 < – 5 ⩽ 4 ซ่ึงเป็นจริง
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 0.99 จะได้ – 6 < 0.99 ⩽ 4 ซ่ึงเป็นจริง
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 3 จะได้ – 6 < 3 ⩽ 4 ซ่ึงเป็นจริง
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 4 จะได้ – 6 < 4 ⩽ 4 ซ่ึงเป็นจริง
และเมื่อลองแทนจานวนอื่น ๆ อีกหลายจานวนที่นอ้ ยกวา่ – 6 หรือมากกวา่ 4
ทาใหอ้ สมการเป็นเทจ็
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ – 6 < x ⩽ 4 ได้ ดงั น้ี

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ลองแทนค่า x ดว้ ยจานวนอื่น ๆ อีกมากมายท่ีทาใหอ้ สมการเป็นจริง

3.อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

4) 3 < x – 4 < 8 จะได้ 3 < 7 –4 < 8 ทาให้ 3 < 3 < 8 ซ่ึงเป็นเทจ็
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 7
ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 12 จะได้ 3 < 12 –4 < 8 ทาให้ 3 < 8 < 8 ซ่ึงเป็นเทจ็

ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 11.5 จะได้ 3 < 11.5 –4 < 8 ทาให้ 3 < 7.5 < 8 ซ่ึงเป็นจริง

ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 10 จะได้ 3 < 10 –4 < 8 ทาให้ 3 < 6 < 8 ซ่ึงเป็นจริง

ถา้ ลองแทน x ดว้ ย 9 จะได้ 3 < 9 –4 < 8 ทาให้ 3 < 5 < 8 ซ่ึงเป็นจริง

ลองแทนค่า x ดว้ ยจานวนอื่น ๆ อีกหลายจานวนที่ทาใหอ้ สมการเป็ นจริง

เช่น 7.5, 8, 9.5, 11 3 < x –4 < 8 ได้ ดงั น้ี
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การแกอ้ สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว คือ การหาคาตอบของอสมการ ซ่ึงนกั เรียนไดท้ ดลอง
หาคาตอบดว้ ยวธิ ีการแทนค่าตวั แปรในอสมการ อาจเกิดปัญหาสาหรับอสมการท่ีมีความซบั ซอ้ นในการ

หาคาตอบของอสมการ
ถา้ เป็นสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวที่นกั เรียนไดเ้ รียนรู้มาแลว้ จะใชส้ มบตั ิของการเท่ากนั ของ

การบวกและการคูณมาใชใ้ นการหาคาตอบของสมการ เช่น

ตวั อย่าง 5หx ร+ือ3เข–ีย3น=เช1่น8น–้ี3
สมบตั ิการเท่ากนั ของการบวก
หาคาตอบของสมการ 5x + 3 = 18

วธิ ีทา 5x + 3 5+x(–+33) = 18 + (–3)
= 18

5x = 15

สมบตั ิการเท่ากนั ของการคูณ

จะได้ x = 3
ดงั น้นั คาตอบของสมการ 5x + 3 = 18 คือ x = 3

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เป็นการหาคาตอบของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ซ่ึงใชส้ มบตั ิ
การเท่ากนั ของการบวกและการคูณ และในการหาคาตอบอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวกจ็ ะใช้
สมบตั ขิ องการไม่เท่ากนั ในการหาคาตอบจะมีสมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั และสมบตั ิ
การคูณของการไม่เท่ากนั ซ่ึงมีลกั ษณะการหาคาตอบที่คลา้ ยกนั กบั สมบตั ิการเท่ากนั ของการ
บวกและการคูณของการหาคาตอบของสมการ

สมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั
ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ
1. ถา้ a < b แลว้ a + c < b + c

2. ถา้ a ⩽ b แลว้ a + c ⩽ b + c

3. ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c

4. ถา้ a ⩾ b แลว้ a + c ⩾ b + c

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่าง 5 < 12 แลว้ 5 + 3 < 12 + 3 หรือ 8 < 15

1. ถา้ 6 ⩽ 9 แลว้ 6 + 7 ⩽ 9 + 7 หรือ 13 ⩽ 16
2. ถา้ –5 > –10 แลว้ –5 + 4 > –10 + 4 หรือ –1 > –6
3. ถา้ 14 ⩾ –7 แลว้ 14 + 7 ⩾ –7 + 7 หรือ
4. ถา้ 21 ⩾ 0
5. ถา้ 9 > 4 แลว้ 9 + (–8) > 4 + (–8) หรือ
6. ถา้ –12 < –4 แลว้ –12 + (–5) < –4 + (–5) หรือ 1 > –4
–17 < –9

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างที่ 1

แกอ้ สมการ x – 12 < 9 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา x – 12 < 9
นา 12 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ
จะได้ x – 12 + 12 < 9 + 12
x < 21
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ x – 12 < 9 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่นอ้ ยกวา่ 21
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างที่ 2

แกอ้ สมการ x + 15 ⩾ 23 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา x + 15 ⩾ 23
นา –15 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ
จะได้ x + 15 + (–15) ⩾ 23 + (–15)
x⩾8
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ x + 15 ⩾ 23 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ หรือ
เท่ากบั 8
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างท่ี 3
แกอ้ สมการ 13 + x > –11 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา 13 + x > –11
นา –13 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ
จะได้ 13 + x + (–13) > –11 + (–13)
x > – 24
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ 13 + x > –11 คือ จานวนจริงทุกจานวนท่ีมากกวา่ –24
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ ของอสมการ ใชเ้ พียงสมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากนั กส็ ามารถ
หาคาตอบของอสมการไดแ้ ลว้ ถา้ เป็นอสมการที่มีการคูณกนั ของบางพจน์ เราจาเป็นตอ้ งใช้
สมบตั ิการคูณของ การไม่เท่ากนั

สมบตั กิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ แลว้ ac < bc
1. ถา้ a < b และ c เป็นจานวนจริงบวก แลว้ ac ⩽ bc
2. ถา้ a ⩽ b และ c เป็นจานวนจริงบวก แลว้ ac > bc
3. ถา้ a < b และ c เป็นจานวนจริงลบ แลว้ ac ⩾ bc
4. ถา้ a ⩽ b และ c เป็นจานวนจริงลบ

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

และสมบตั ิการคูณของการไม่เท่ากนั ของเคร่ืองหมาย > และ ⩾ ในทานองเดียวกนั

ตัวอย่าง 1. ถา้ 9 < 10 แลว้ 9 × 3 < 10 × 3 ข้อควรรู้

จะได้ 27 < 30 ถา้ นาจานวนจริงลบมาคูณ

2. ถา้ –1 ⩽ 2 แลว้ (–1) × 5 ⩽ 2 × 5 ท้งั สองขา้ งจะตอ้ งเปลี่ยน
เครื่องหมาย < เป็น >
จะได้ –5 ⩽ 10
และ ⩽ เป็น ⩾ จึงจะ

3. ถา้ 11 < 15 แลว้ 11 × (–3) > 15 × (–3) ทาใหอ้ สมการเป็นจริง

จะได้ –33 > –45

4. ถา้ –3 ⩽ –2 แลว้ (–3) × (–5) ⩾ (–2) × (–5)

จะได้ 15 ⩾ 10

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

สมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากนั

ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ แลว้ ac > bc
1. ถา้ a > b และ c เป็นจานวนจริงบวก แลว้ ac ⩾ bc
2. ถา้ a ⩾ b และ c เป็นจานวนจริงบวก แลว้ ac < bc
3. ถา้ a > b และ c เป็นจานวนจริงลบ แลว้ ac ⩽ bc
4. ถา้ a ⩾ b และ c เป็นจานวนจริงลบ

ตวั อย่างที่ 4 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว
วธิ ีทา
แกอ้ สมการ 6x – 5 > 13 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ

6x – 5 > 13
จนะาไ5ดบ้ วกเขา้ ท้งั สอง6ขxา้ –งข5อ+งอ5ส>ม1ก3า+ร 5

6x > 18

x>3
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ 6x – 5 > 13 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ 3
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว
แกอ้ สมการ 8 – 2x ⩽ 20 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
ตัวอย่างที่ 5 8–
วธิ ีทา นา –28x ⩽ 20
บวกเขา้ ท้งั สอง8ข–า้ ง2ขxอ––2งx8อส⩽⩽ม12ก20าร–
จะได้ 8

ดงั น้นั คหารตืออเทบ่าขกอบั งอ–ส6มการ 8 –x ⩾–6 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่
2x ⩽ 20

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างที่ 6
วธิ ีทา

x<8
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างที่ 7
วธิ ีทา
นา 5 คูณเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ

12 – 4x ⩽ 40
นา –12 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ

12 – 4x – 12 ⩽ 40 – 12
–4x ⩽ 28

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

x ⩾ –7
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 8 แกอ้ สมการ 3x + 9 > 4x – 5 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ

วธิ ีทา จาก 3x + 9 > 4x – 5
จะได้ 3x + 9 + 5 > 4x – 5 + 5

3x + 14 > 4x
3x + 14 – 3x > 4x – 3x

14 > x

หรือ x < 14
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ 3x + 9 > 4x – 5 คือ จานวนจริงทุกจานวน

ท่ีนอ้ ยกวา่ 14
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 9 แกอ้ สมการ 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา
จาก 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) เป็ นการ

จะได้ 3(x + 618)8⩽⩽⩽1816(6x2xx–––881+) คูณกระจายเขา้ ไป
3x 3x + ทุกพจน์ในวงเลบ็
+ 18 +
3x +– 26 16x 8
26 3x 16x
3x + ⩽ – 3x
⩽

26 ⩽ 13x

ดงั น้นั หรือ 3(x + 6) x⩾2 – 1) คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกวา่ หรือเท่ากบั 2
คาตอบของอสมการ ⩽ 8(2x

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 10
วธิ ีทา

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 11

วธิ ีทา
หา ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คือ 12 นามาคูณเขา้ ท้งั สองขา้ งของอสมการ

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี 34x ⩽ 24 + 10
34x ⩽ 34

x⩽1

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

2. คาตอบของอสมการ คือ จานวนทุกจานวนท่ีไม่ใช่คาตอบของสมการในการหา
จากขอ้ 1.

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 12
วธิ ีทา

นา 6 คูณเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ

นา 12 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ
9x + 36 = 6x

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างที่ 13
วธิ ีทา

นา 8 คูณเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ

(3y – 1) × 8 = 12y + 4
24y – 8 = 12y + 4

นา 8 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ
24y – 8 + 8 = 12y + 4 + 8
24y = 12y + 12

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

นา – 12y บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ
24y – 12y = 12y + 12 – 12y
12y = 12

y=1

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การหาคาตอบทเ่ี กย่ี วกบั ค่าสัมบูรณ์ มีเงื่อนไขดงั น้ี
1. |x| = x เม่ือ x ⩾ 0
2. |x| = –x เม่ือ x < 0
3. |x| < a กต็ ่อเมื่อ – a < x < a กต็ อ่ เมื่อ x > – a และ x < a
4. |x| > a กต็ ่อเม่ือ x > a หรือ x < – a

ตัวอย่าง 1) |x| = x เมื่อ x ⩾ 0
|2| = 2 จะได้ 2 = 2

|0.1| = 0.1 จะได้ 0.1 = 0.1

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

2) |x| = – x เมื่อ x < 0
| – 5| = –(– 5) จะได้ 5 = 5
จะได้ 0.9 = 0.9
| – 0.9| = –(– 0.9)

––

3) |x| < a กต็ อ่ เม่ือ – a < x < a
|x| < 10 กต็ ่อเมื่อ x > – a และ x < a
กต็ อ่ เมื่อ –10 < x < 10
กต็ ่อเม่ือ x > –10 และ x < 10

|x| < 1.9 กต็ อ่ เม่ือ –1.9 < x < 1.9
กต็ อ่ เมื่อ x > –1.9 และ x < 1.9

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

4) |x| > a กต็ ่อเม่ือ x > a หรือ x < – a
|x| > 4 กต็ ่อเม่ือ x > 4 หรือ x < – 4

ตวั อย่างที่ 14 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว
วธิ ีทา
แกอ้ สมการ |x – 9| > 4 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
|x – 9| > 4
|x| > a กต็ อ่ เม่ือ x > a หรือ x < – a
จะได้ x – 9 > 4 หรือ x – 9 < – 4

x – 9 + 9 > 4 + 9 หรือ x – 9 + 9 < – 4 + 9

x > 13 หรือ x < 5
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ |x – 9| > 4 คือ จานวนทุกจานวนท่ีมากกวา่ 13

หรือนอ้ ยกวา่ 5
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างที่ 15 แกอ้ สมการ |x + 2| < 8 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ

วธิ ีทา |x + 2| < 8
|x| < a กต็ ่อเมื่อ x > – a และ x < a

จะได้ x + 2 > –8 และ x + 2 < 8

x + 2 + (–2) > –8 + (–2) และ x + 2 + (–2) < 8 + (–2)
x > –10 และ x < 6

เขียนได้ –10 < x < 6
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ |x + 2| < 8 คือ จานวนทุกจานวนท่ีมากกวา่ –10 แต่นอ้ ยกวา่ 6

เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี