1.คณิตศาสตร์ ม.3 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างท่ี 16 แกอ้ สมการ |3x – 6| ⩽ 15 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา จาก |3x – 6| ⩽ 15
–15 –
แสดงวา่ +6 ⩽ 3x 6 6 ⩽ 15 + 6
–15 ⩽ 3x – 6 + ⩽ 15
–9 ⩽ 3x ⩽ 21

–3 ⩽ x ⩽ 7
ดงั น้นั คาตอบของอสมการ |3x – 6| ⩽ 15 คือ จานวนทุกจานวนที่มากกวา่

หรือเท่ากบั –3 แตน่ อ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 7
เขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการได้ ดงั น้ี

4.การแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ลองคดิ ดู
ช่วยหาคาตอบของอสมการต่อไปน้ี
1. m – 5 < m – 1
2. 3n + 6 > 7 + 3n
3. 2x – x + 1 > x – 3
4. 9 – 5y < 8 – 5y
5. 2w ⩽ w

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

การแกโ้ จทยป์ ัญหาอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว มีข้นั ตอนการแกโ้ จทยป์ ัญหา
ทานองเดียวกบั การแกโ้ จทยป์ ัญหาสมการ ดงั น้ี

1. วเิ คราะห์โจทยเ์ พือ่ หาวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาให้ และใหห้ าอะไร
2. กาหนดตวั แปรแทนสิ่งท่ีโจทยต์ อ้ งการหาคาตอบ หรือแทนส่ิงที่เกี่ยวขอ้ งกบั ส่ิงท่ี
โจทยใ์ หห้ า
3. เขียนอสมการตามเง่ือนไขที่โจทยก์ าหนดให้
4. แกอ้ สมการเพอ่ื หาคาตอบท่ีโจทยต์ อ้ งการ
5. พิจารณาตรวจสอบคาตอบท่ีสอดคลอ้ งกบั เง่ือนไขของโจทย์

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตัวอย่างที่ 1 ผลบวกของจานวนเตม็ สามจานวนท่ีเรียงตอ่ กนั มีคา่ มากกวา่ 102 จงหาจานวนเตม็ ท่ีมี
คา่ นอ้ ยท่ีสุด คือจานวนใด
วธิ ีทา สมมุติใหจ้ านวนเตม็ ท่ีนอ้ ยที่สุดเป็น x
จานวนเตม็ อีกสองจานวนท่ีเหลือที่เรียงตอ่ กนั เป็น x + 1, x + 2
แตผ่ ลบวกของจานวนท่ีเรียงต่อกนั มีค่ามากกวา่ 102
จะได้ x + (x + 1) + (x + 2) > 102
3x + 3 > 102
3x > 102 – 3
3x > 99

x > 33

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

เนื่องจาก x มากกวา่ 33 จะไดว้ า่ จานวนเตม็ ที่นอ้ ยที่สุดท่ีมากกวา่ 33 คือ 34
จานวนเตม็ อีกสองจานวนที่เหลือท่ีเรียงตอ่ กนั จะได้ 34 + 1 = 35 และ 34 + 2 = 36
จานวนเตม็ ที่เรียงตอ่ กนั และมีผลบวกของท้งั สามจานวนมากกวา่ 102 คือ 34, 35, 36
ดงั น้นั จานวนท่ีมีคา่ นอ้ ยที่สุดที่เรียงตอ่ กนั และมีผลบวกของท้งั สามจานวนมากกวา่ 102 คือ 34

ตรวจคาตอบ ถา้ จานวนเตม็ ที่นอ้ ยที่สุดเป็น 34
จานวนสามจานวนที่เรียงต่อกนั คือ 34, 35, 36
ผลบวกของจานวนสามจานวนท่ีเรียงตอ่ กนั = 34 + 35 + 36
= 105
มีคา่ มากกวา่ 102 ซ่ึงเป็นจริง ตามเง่ือนไขที่โจทยก์ าหนด
ดงั น้นั จานวนเตม็ สามจานวนท่ีเรียงต่อกนั คือ 34, 35 และ 36

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 2 สองเท่าของจานวนเตม็ จานวนหน่ึงลบดว้ ย 24 ทาใหผ้ ลลพั ธม์ ีค่านอ้ ยกวา่ 8 จานวนเตม็

จานวนน้นั มีค่าเท่าใด
วธิ ีทา สมมุติใหจ้ านวนเตม็ จานวนหน่ึงท่ีตอ้ งการเป็น x
สองเท่าของจานวนเตม็ จานวนหน่ึงลบดว้ ย 24 ทาใหผ้ ลลพั ธ์มีค่านอ้ ยกวา่ 8

จะไดว้ า่ 2x – 24 < 8

2x < 8 + 24

2x < 32

3x > 99

x < 16
ดงั น้นั จานวนเตม็ ที่ตอ้ งการ คือ จานวนเตม็ ทุกจานวนท่ีนอ้ ยกวา่ 16

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตรวจคาตอบ จานวนเตม็ ที่นอ้ ยกวา่ 16 เช่น 15, 10, 1, –5
สองเท่าของจานวนเตม็ จานวนหน่ึงลบดว้ ย 24 ทาใหผ้ ลลพั ธ์มีค่านอ้ ยกวา่ 8

จะไดว้ า่ 2x – 24 < 8
ลองแทนคา่ ท่ีจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ 16 ตามท่ีกาหนด 102 คือ 34

2(15) – 24 < 8

6 < 8 เป็นจริง

2(10) – 24 < 8

–4 < 8 เป็นจริง

2(1) – 24 < 8

–22 < 8 เป็นจริง

2(–5) – 24 < 8

–34 < 8 เป็นจริง

ดงั น้นั สองเท่าของจานวนเตม็ จานวนหน่ึงลบดว้ ย 24 ทาใหผ้ ลลพั ธ์
มีคา่ นอ้ ยกวา่ 8 คือ จานวนเตม็ ทุกจานวนที่นอ้ ยกวา่ 16

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 3 นายช่างตอ้ งการทาร้ัวลอ้ มรอบสนามรูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้ แห่งหน่ึง ซ่ึงมีดา้ นยาวยาวกวา่
ดา้ นกวา้ ง 8 เมตร ความยาวโดยรอบสนามไม่เกิน 204 เมตร หาความยาวของดา้ นกวา้ ง

ของสนามแห่งน้ี

วธิ ีทา ใหส้ นามมีความยาวของดา้ นกวา้ ง m เมตร

ดา้ นยาวยาวกวา่ ดา้ นกวา้ ง 8 เมตร

จะมีความยาวของดา้ นยาว m + 8 เมตร

ความยาวของเสน้ รอบรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ = 2(กวา้ ง + ยาว)

ดงั น้นั ร้ัวลอ้ มรอบสนามรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ยาว = 2{m + (m + 8)}

= 2(2m + 8)

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

แต่ความยาวโดยรอบสนามไม่เกิน 204 เมตร
จะได้ 2(2m + 8) ⩽ 204

4m + 16 ⩽ 204
4m ⩽ 204 – 16
4m ⩽ 188

m ⩽ 47
ดงั น้นั ความยาวของดา้ นกวา้ งของสนามแห่งน้ียาวไม่เกิน 47 เมตร

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตรวจคาตอบ
ถา้ ความยาวของดา้ นกวา้ งของสนามยาวอยา่ งมาก 47 เมตร
ความยาวของดา้ นยาวของสนามยาวอยา่ งมาก 47 + 8 = 55 เมตร
ความยาวของร้ัวลอ้ มรอบสนามรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ = 2(47 + 55)

= 2(102)
= 204
จะไดร้ ้ัวลอ้ มรอบสนามรูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ ยาวอยา่ งมาก 204 เมตร
ดงั น้นั ความยาวของดา้ นกวา้ งของสนามแห่งน้ียาวไม่เกิน 47 เมตร

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 4 อนุวฒั นเ์ รียนพลศึกษามีการเกบ็ คะแนนดว้ ยกนั ท้งั หมด 4 คร้ัง โดยแต่ละคร้ัง
คะแนนเตม็ 20 คะแนน และมีคะแนนสอบปลายภาคอีก 20 คะแนน ซ่ึง
อนุวฒั นม์ ีคะแนนเกบ็ ในแต่ละคร้ัง คือ 15, 13, 14 และ 16 ตามลาดบั ถา้
อนุวฒั น์อยากไดเ้ กรด 4 ซ่ึงตอ้ งมีคะแนนรวมกนั ท้งั หมดอยา่ งนอ้ ย 80
คะแนนข้ึนไป อยากทราบวา่ อนุวฒั นม์ ีโอกาสจะไดเ้ กรด 4 หรือไม่

วธิ ีทา ใหค้ ะแนนสอบปลายภาคได้ x คะแนน
อนุวฒั นส์ อบเกบ็ คะแนนในคร้ังที่ 1 ถึงคร้ังที่ 4 ได้ 15, 13, 14 และ 16 คะแนน

จะไดว้ า่ 15 + 13 + 14 + 16 + x > 80
x + 58 > 80
x > 80 – 58

x > 22

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

อนุวฒั นจ์ ะตอ้ งสอบปลายภาคไดม้ ากกวา่ 22 คะแนน จึงจะไดเ้ กรด 4

แต่คะแนนเตม็ ในแตล่ ะคร้ังเป็น 20 คะแนน ซ่ึง 22 คะแนนมากกวา่ 20 ท่ีเป็นคะแนนเตม็

ดงั น้นั โอกาสท่ีอนุวฒั น์จะไดเ้ กรด 4 จึงเป็นไปไม่ได้

ตรวจคาตอบ
ใหค้ ะแนนสอบปลายภาคได้ x คะแนน

จะได้ x ⩽ 20

อนุวฒั น์สอบเกบ็ คะแนน 4 คร้ัง ได้ 15, 13, 14 และ 16 คะแนน

ละคะแนนสอบปลายภาคไดเ้ ตม็ 20 คะแนน

จะไดว้ า่ 15 + 13 + 14 + 16 + x ⩽ 15 + 13 + 14 + 16 + 20

15 + 13 + 14 + 16 + 20 ⩽ 78

คะแนนรวมที่อนุวฒั นส์ ามารถทาไดส้ ูงสุด คือ 78 คะแนน ซ่ึงไม่ถึง 80 คะแนน

ที่จะไดเ้ กรด 4

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 5 รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงมีความสูงเป็น 6 เซนติเมตร ถา้ รูปสามเหลี่ยมรูปน้ีมีพ้นื ที่อยา่ ง
นอ้ ย 57 ตารางเซนติเมตร จะมีฐานยาวอยา่ งนอ้ ยเท่าไร

วธิ ีทา ใหฐ้ านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากบั x เซนติเมตร
รูปสามเหล่ียมมีความสูงเป็น 6 เซนติเมตร

แต่รูปสามเหล่ียมรูปน้ีมีพ้ืนที่อยา่ งนอ้ ย 57 ตารางเซนติเมตร

3x ⩾ 57

x ⩾ 19
ดงั น้นั รูปสามเหล่ียมจะมีฐานยาวอยา่ งนอ้ ย 19 เซนติเมตร

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตรวจคาตอบ
ถา้ ฐานของรูปสามเหล่ียมยาวอยา่ งนอ้ ย 19 เซนติเมตร

= 57
จะไดพ้ ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมอยา่ งนอ้ ย 57 ตารางเซนติเมตร
ซ่ึงเป็นจริง ตามเง่ือนไขท่ีโจทยก์ าหนด
ดงั น้นั ฐานของรูปสามเหล่ียมยาวอยา่ งนอ้ ย 19 เซนติเมตร

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 6 สุพจนเ์ กบ็ เงินดว้ ยกนั ท้งั หมดสามวนั โดยในวนั ท่ีสองเกบ็ เงินเป็นสองเท่าของวนั แรก
และวนั ท่ีสาม เกบ็ เงินเป็นสามเท่าของวนั แรก ถา้ สุพจน์อยากมีเงินเกบ็ ในสามวนั รวมกนั
ใหไ้ ดม้ ากกวา่ 900 บาท สุพจน์จะตอ้ งเกบ็ เงินในวนั แรกเท่าไร

วธิ ีทา ใหเ้ งินที่สุพจน์เกบ็ ในวนั แรกเป็น x บาท

วนั ท่ีสองเกบ็ เงินเป็นสองเท่าของวนั แรกเป็น 2x บาท

วนั ท่ีสามเกบ็ เงินเป็นสามเท่าของวนั แรก 3x บาท

เกบ็ เงินสามวนั รวมกนั เป็น x + 2x + 3x

แตส่ ุพจน์อยากมีเงินเกบ็ ในสามวนั รวมกนั ใหไ้ ดม้ ากกวา่ 900 บาท

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

จะได้ x + 2x + 3x > 900
6x > 900

x > 150

ดงั น้นั สุพจนจ์ ะตอ้ งเกบ็ เงินในวนั แรกมากกวา่ 150 บาท

ตรวจคาตอบ
ใหส้ ุพจน์เกบ็ เงินในวนั แรก 150 บาท

จะไดว้ า่ = 150 + 2(150) + 3(150)

= 150 + 300 + 450

= 900

ดงั น้นั ถา้ สุพจน์อยากมีเงินเกบ็ ในสามวนั รวมกนั ใหไ้ ดม้ ากกวา่ 900 บาท กจ็ ะตอ้ งเกบ็
เงินในวนั แรกมากกวา่ 150 บาท

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 7 ปกป้องมีเหรียญหน่ึงบาทและเหรียญหา้ สิบสตางคร์ วมกนั มากกวา่ 85 เหรียญ คิดเป็น
เงินท้งั สิ้น 50 บาท ปกป้องมีเหรียญหน่ึงบาทไดม้ ากที่สุดก่ีเหรียญ

วธิ ีทา ใหป้ กป้องมีเหรียญหน่ึงบาท x เหรียญ

คิดเป็ นเงิน x บาท

จะมีเหรียญหา้ สิบสตางคค์ ิดเป็นเงิน 50 – x บาท

ปกป้องมีเหรียญหา้ สิบสตางค์ 2(50 – x) เหรียญ
แตเ่ หรียญท้งั หมดมีมากกวา่ 85 เหรียญ
จะได้ x + 2(50 – x) > 85

x + 100 – 2x > 85
–x + 100 > 85

5.โจทยป์ ัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

–x > 85 – 100

–x > –15

x < 15

ดงั น้นั ปกป้องมีเหรียญหน่ึงบาทไดม้ ากท่ีสุด 14 เหรียญ

ตรวจคาตอบ ถา้ ปกป้องมีเหรียญหน่ึงบาทมากที่สุด 14 เหรียญ

ปกป้องมีเหรียญหา้ สิบสตางคน์ อ้ ยที่สุด = 2(50 – 14)

= 2(36)

= 72

แสดงวา่ ปกป้องจะมีเหรียญหน่ึงบาทและเหรียญหา้ สิบสตางคร์ วมกนั นอ้ ยท่ีสุด
คือ 14 + 72 = 86 เหรียญ และมีจานวนเหรียญรวมกนั มากกวา่ 85 เหรียญ
ซ่ึงเป็นจริงตามเง่ือนไขท่ีโจทยก์ าหนด
ดงั น้นั ปกป้องมีเหรียญหน่ึงบาทไดม้ ากท่ีสุด 14 เหรียญ