2.คณิตศาสตร์ ม.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

บทิเร์ี นประาอบารราอนออนไยน
ชล้นมธล ์มศึาษรปที ิี่ 1 รร์ัพชรคณพตศราตรวืน้ ฐรน (ค21101)

บทิทิี่ 1 รแ์าตัล ประาอบดีารีาูงาัร่ าอง

คุณครูทิพวัลย์ ารราพ ร

ตรแหนง่ ครโู รงเร์ี นัลดบ้รนาย้ั์
ารนลางรนเขตว้ืนทิ่าี รรศึาษราุวรรณบรุ ีเขต 1

ตวั ชี้วดั

1. เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกวา่ สอง
ในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ (ค 1.2 ม.3/1)

ารระารรเรี์นรู้

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

2.การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทม่ี ดี กี รสี งู กวา่ สอง

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสามที่อยใู่ นรูป
ของผลบวกของกาลงั สามหรือผลต่างของกาลงั สาม

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สองที่
เหมาะสม

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สอง
โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือ

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

นกั เรียนเคยศึกษาการแยกตวั ประกอบของพหุนามในช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 2 มาบา้ งแลว้
ในท่ีน้ีจะทบทวนคาวา่ เอกนามและพหุนาม เพือ่ ใหเ้ ขา้ ใจมากยง่ิ ข้ึน
เอกนาม คือ นิพจน์ที่เขียนอยใู่ นรูปการคูณของคา่ คงตวั กบั ตวั แปรต้งั แต่หน่ึงตวั ข้ึนไป
โดยท่ี เลขช้ีกาลงั ของตวั แปรแต่ละตวั เป็นศูนย์ หรือจานวนเตม็ บวก
กล่าวคือ เอกนามประกอบดว้ ย 2 ส่วน คือ ส่วนท่ีเป็นคา่ คงตวั และส่วนท่ีเป็นตวั แปร
หรือกล่าวคือ เอกนามประกอบดว้ ย 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นคา่ คงตวั และส่วนที่เป็นตวั แปรหรือ
การคูณกนั ของตวั แปร เรียกค่าคงตวั ท่ีคูณกบั ตวั แปรวา่ สมั ประสิทธ์ิของเอกนาม
และเรียกผลบวกของเลขช้ีกาลงั ของตวั แปรวา่ “ดกี รีของเอกนาม”
ตวั อย่างเช่น 2x2y3 เป็นเอกนาม ที่มีสมั ประสิทธ์ิ คือ 2 ตวั แปร คือ xy และดีกรีของเอกนาม คือ 2 + 3 = 5

12 เป็นเอกนาม ที่มีสมั ประสิทธ์ิเป็น 12 ตวั แปร และดีกรีของเอกนาม คือ 0 (นนั่ คือ x0)
– 3x4 เป็นเอกนาม ที่มีสมั ประสิทธ์ิ คือ –3 ตวั แปร คือ x และดีกรีของเอกนาม คือ 4

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

พหุนาม

ตวั อย่างเช่น

– x3 + 2xy เป็นพหุนาม มีดีกรี คือ 3
5 – 4xy3 + y เป็นพหุนาม มีดีกรี คือ 4

a + 3ab เป็นพหุนาม มีดีกรี คือ 2
6xy – 2xy เป็นพหุนาม มีดีกรี คือ 2 มีสัมประสิทธ์ิ คือ 4

ดีกรีของพหุนาม คือ เลขช้ีกาลงั สูงสุดของตวั แปรน้นั ของพจนท์ ่ีมีตวั แปรเดียว
หรือผลบวกของเลขช้ีกาลงั สูงสุดของตวั แปรท้งั หมดของพจนท์ ี่มีหลายตวั แปร

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

การแยกตวั ประกอบของพหุนามใด ๆ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณ
ของพหุนามที่มีดีกรี ต่ากวา่ หรือเท่ากบั ดีกรีของพหุนามท่ีตอ้ งการแยกตวั ประกอบ

ตวั อย่างเช่น แยกตวั ประกอบของ x2 + 8x + 15

ข้ันท่ี 1 จาก x2 + 8x + 15 เขียนอยใู่ นรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1
ในรูปการคูณกนั ของสองวงเลบ็
x2 + bx + c = ( ) ( )

จะได้ x2 + 8x + 15 = ( ) ( )
ข้ันท่ี 2 เติม x วงเลบ็ ละ 1 ตวั เป็นพจนห์ นา้ ของแตล่ ะวงเลบ็

x2 + bx + c = (x ) (x )
ข้ันที่ 3 หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ละตวั เป็นพจนห์ ลงั

(ในท่ีน้ี m × n = c และ m + n = b) ซ่ึง 5 × 3 = 15 และ 5 + 3 = 8
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)

จะได้ x2 + 8x + 15 = (x + 5) (x + 3)

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใช้สมบัตติ ่าง ๆ
1) การแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใชส้ มบตั ิการเปล่ียนหมู่และสมบตั ิการแจกแจง

สมบตั ิการแจกแจง เมื่อ a, b และ c แทนจานวนใด ๆ จะไดว้ า่

ยกตวั อยา่ งเช่น ab + ac = a(b + c)
12y + 4 = 4(3y) + 4(1)
= 4(3y + 1)
ดงั น้นั 12y + 4 = 4(3y + 1)

แยกตวั ประกอบของ 12y คือ 4× 3y
แยกตวั ประกอบของ 4 คือ 4 × 1
จะเห็นวา่ 12y และ 4 มีตวั ประกอบร่วม คือ 4
ดงั น้นั จึงเขียน 4 ไวน้ อกวงเลบ็ และ 3y + 1
เขียนในวงเลบ็ ตามสมบตั ิการแจกแจง

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

2) การแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใชส้ มบตั ิการเปลี่ยนหมู่ และสมบตั ิการแจกแจง

สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่ พิจารณาการแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี เม่ือ a, b และ c
แทนจานวนใด ๆ
แยกตวั ประกอบของ x2 + x คือ x(x + 1)

a2 + ab – ac – bc = (a2 + ab) – (ac + bc) แยกตวั ประกอบของ 5x + 5 คือ 5(x + 1)
= a(a + b) – c(a + b) จะเห็นวา่ x2 + x และ 5x + 5
= (a + b)(a – c) มีตวั ประกอบร่วม คือ x + 1
ดงั น้นั จึงเขียน x + 1 ไวใ้ นวงเลบ็ หนา้
ดงั น้นั a2 + ab – ac – bc = (a + b)(a – c) และ x + 5 เขียนไวอ้ ีกหน่ึงวงเลบ็

ยกตวั อยา่ งเช่น x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5
= (x2 + x) + (5x + 5)

= x(x + 1) + 5(x + 1)

= (x + 1)(x + 5)
ดงั น้นั x2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

3) การแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใชส้ มบตั ิการสลบั ท่ี

สมบตั ิการสลบั ที่ พิจารณาการแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี เมื่อ a, b และ c

แทนจานวนใด ๆ ดึงตวั ประกอบร่วม
การสลบั ที่การบวก a + b = b + a 2x + 12 มีตวั ประกอบร่วมคือ 2
ab = ba x2 + 6x มีตวั ประกอบร่วม คือ x
การสลบั ที่การคูณ
ยกตวั อยา่ งเช่น x2 + 8x + 12 = x2 + 6x + 2x + 12

= (x2 + 6x) + (2x + 12)

= x(x + 6) + 2(x + 6)

= (x + 2)(x + 6)

หรือ = (x + 6)(x + 2)

1.ทบทวนการแยกตวั ประกอของพหนุ าม

หรือใชก้ ารจดั รูปแบบ ax2 + bx + c โดยหาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b
มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั (ในที่น้ี m ∙ n = c และ m + n = b)
ซ่ึง 2 × 6 = 12 และ 2 + 6 = 8

x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
จะได้ x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)
หรือ = (x + 6)(x + 2) (x + 2)(x + 6) = (x + 6)(x + 2)

โดยใช้ สมบตั กิ ารสลบั ทกี่ ารคูณ

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สองที่มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็
อีกรูปแบบหน่ึง คือ ผลบวกของกาลงั สาม เป็น A3 + B3 และผลตา่ งของกาลงั สามเป็ น
A3 – B3

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สองที่มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็
คือ ผลบวก ของกาลงั สาม A3 + B3 และผลตา่ งของกาลงั สาม A3 – B3 ใหพ้ ิจารณาดงั ภาพ

ใชก้ ระดาษหรือพลาสติกทาสื่อการเรียนรู้
จากรูป ปริมาตรรูปใหญ่ A × A × A = A3
ปริมาตรรูปเลก็ B × B × B = B3
ปริมาตรรวม = A3 + B3

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

จากรูปท่ีวางซอ้ นกนั แยกรูปออกไดเ้ ป็น 3 รูป คือ

ปริมาตรรูปที่  = A × A × (A – B) = A2 (A – B)
ปริมาตรรูปท่ี  = A × B × (A – B) = AB (A – B)
ปริมาตรรูปที่  = B × B × (A + B) = B2 (A + B)
ดงั น้นั ปริมาตร  +  + 

= A2 (A – B) + AB (A – B) + B2 (A + B)
= (A2 + AB)(A – B) + B2 (A + B)
= A (A + B)(A – B) + B2 (A + B)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

= A(A – B)(A + B) + B2 (A + B)

= (A2 – AB)(A + B) + B2 (A + B)
= (A2 – AB + B2)(A + B) หรือ (A + B)(A2 – AB + B2)

สรุปไดว้ า่ A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

หรือสามารถแยกตวั ประกอบของ A3 + B3 โดยวธิ ีบวกเขา้ และลบออก ดงั น้ี

A3 + B3 = A3 + A2B – A2B + B3 นา A2B – A2B มาบวกเขา้

= (A3 + A2B) – (A2B – B3) จดั รูปใหม่

= A2(A + B) – B(A2 – B2) ดึงตวั ร่วมของแต่ละวงเลบ็

= A2(A + B) – B (A + B)(A – B) ใชผ้ ลตา่ งของกาลงั สองในการแยก

= (A + B){A2 – B(A – B)} ดึงตวั ร่วม A + B

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

สามารถพสิ ูจนใ์ หเ้ ห็นการหาสูตร โดยใชส้ ่ือ ดงั ภาพ

ปริมาตรรูปเลก็ หายไป = B × B × B = B3
ปริมาตรรูปใหญ่ท้งั หมด = A × A × A = A3
ปริมาตรรวม = A3 – B3

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ปริมาตรรูปท่ี  = A × A × (A – B) = A2(A – B)

ปริมาตรรูปท่ี  = A × B × (A – B) = AB(A – B)
ปริมาตรรูปท่ี  = B × B × (A – B) = B2(A – B)

ดงั น้นั ปริมาตร  +  + 
= A2(A – B) + AB(A – B) + B2(A – B)

= (A2 + AB + B2 )(A – B)

หรือ = (A – B)(A2 + AB + B2)

สรุปไดว้ า่ A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

หรือสามารถแยกตวั ประกอบของ A3 – B3 โดยวธิ ีบวกเขา้ และลบออก ดงั น้ี

A3 – B3 = A3 – A2B + A2B – B3 นา – A2B + A2B มาบวกเขา้

= (A3 – A2B) + (A2B – B3) จดั รูปใหม่

= A2(A – B) + B(A2 – B2) ดึงตวั ร่วมของแต่ละวงเลบ็

= A2(A – B) + B (A + B)(A – B) ใชผ้ ลตา่ งของกาลงั สองในการแยก

= (A – B){A2 + B(A + B)} ดึงตวั ร่วม A – B

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

อีกท้งั สูตรกาลงั สามของผลบวก และกาลงั สามของผลต่าง คือ

กาลงั สามของผลบวก (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
หรือ (น + ล)3 = น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
กาลงั สามของผลต่าง (น – ล)3 = น3 – 3น2ล + 3นล2 – ล3
หรือ

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

2.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสามทอี่ ยู่ในรูปผลบวกของกาลงั สามหรือผลต่าง
ของกาลงั สาม
ตวั อย่างที่ 1
แยกตวั ประกอบของ x3 – 27
วธิ ีทา จดั รูปใหม่ของ x3 – 27 = x3 – 33
จากสูตร ผลต่างของกาลงั สาม A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
จะได้ x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 32)
= (x – 3)(x2 + 3x + 9)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตัวอย่างท่ี 2 แยกตวั ประกอบของ x3 + 64
วธิ ีทา จดั รูปใหม่ของ x3 + 64 = x3 + 43
จากสูตร ผลบวกของกาลงั สาม A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
จะได้ x3 + 43 = (x + 4)(x2 – 4x + 42)
= (x + 4)(x2 – 4x + 16)

ตัวอย่างที่ 3 แยกตวั ประกอบของ x3 + 1

วธิ ีทา x3 + 1 = x3 + 13
= (x + 1)(x2 – x + 12)
= (x + 1)(x2 – x + 1)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตัวอย่างที่ 4 แยกตวั ประกอบของ x4 – 125x
วธิ ีทา x4 – 125x = x(x3 – 125)
= x(x3 – 53)
= x(x – 5)(x2 + 5x + 52)
= x(x – 5)(x2 + 5x + 25)

ตัวอย่างท่ี 5 แยกตวั ประกอบของ 54a3 + 2b3

วธิ ีทา 54a3 + 2b3 = 2(27a3 + b3)
= 2{(3a)3 + b3}
= 2(3a + b){(3a)2 – 3ab + b2}
= 2(3a + b)(9a2 – 3ab + b2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 6 แยกตวั ประกอบของ 40m3 – 5n3

วธิ ีทา 40m3 – 5n3 = 5(8m3 – n3)
= 5{(2m)3 – n3}
= 5(2m – n){(2m)2 + 2mn + n2}
= 5(2m – n)(4m2 + 2mn + n2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

2.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสูงกว่าสองทเ่ี หมาะสม

กาลงั สองสมบูรณ ผลต่างของกาลงั สอง
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 A2 – B2 = (A – B)(A + B)

หรือ (น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2 หรือ น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล)
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

หรือ (น – ล)2 = น2 – 2นล + ล2

ผลต่างของกาลงั สาม ผลบวกของกาลงั สาม
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

หรือ น3 – ล3 = (น – ล)(น2 + นล + ล2) หรือ น3 + ล3 = (น + ล)(น2 – นล + ล2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ในการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สอง สามารถ
ทาไดห้ ลายรูปแบบ หลายวธิ ี ซ่ึงสิ่งที่จะทาใหก้ ารแยกตวั ประกอบของ
พหุนาม ทาไดง้ ่ายมากข้ึน คือ สามารถจดั ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์
ผลต่างของกาลงั สอง ผลต่างของกาลงั สาม หรือผลบวกของกาลงั สาม
โดยใชส้ มบตั ิการเปล่ียนหมู่ สมบตั ิการสลบั ท่ี หรือสมบตั ิการแจกแจง

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 1 แยกตวั ประกอบของ x4 + 4x2 – 32
วธิ ีทา

ใชก้ ารจดั รูปแบบเดียวกบั ax2 + bx + c เม่ือ a = 1 โดยหาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c

และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั ซ่ึง 8 × (– 4) = – 32

และ 8 – 4 = 4 x2 – 4 = x2 – 22
x4 + 4x2 – 32 = (x2 – 4)(x2 + 8) จดั รูปใหม่โดยใช้

= (x2 – 22)(x2 + 8) ผลต่างของกาลงั สอง
น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล
= (x – 2)(x + 2)(x2 + 8)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 2 แยกตวั ประกอบของ x4 – 12x2 + 35

วธิ ีทา

ใชก้ ารจดั รูปแบบเดียวกบั ax2 + bx + c เม่ือ a = 1 โดยหาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c

และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั ซ่ึง (– 7) × (– 5) = 35

และ – 7 – 5 = – 12 x2 – 7 = x2 – 72
x4 – 12x2 + 35 = (x2 – 7)(x2 – 5) x2 – 5 = x2 – 52
จดั รูปใหม่โดยใช้
= (x2 – 72)(x2 – 52) ผลต่างของกาลงั สอง
น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล)
= (x – 7)(x + 7)(x – 5)(x + 5)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 3 แยกตวั ประกอบของ x4 + 4x2 + 16

วธิ ีทา

เนื่องจากเครื่องหมายเป็นบวกท้งั หมด จึงควรจดั รูปแบบใหเ้ ขา้ สู่สูตรกาลงั สองสมบูรณ์
และใชก้ ารจดั รูปแบบเดียวกบั ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 โดยหาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c
และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั ซ่ึง 4 × 4 = 16
แต่ 4 + 4 = 8 ในพจน์ x2 จึงตอ้ งนา 4x2 มาบวกเขา้ และลบออก

x4 + 4x2 + 16 = x4 + 4x2 + 4x2 + 16 – 4x2 x4 + 8x2 + 16
จดั รูปโดยใช้ กาลงั สองสมบูรณ
(x2 + 42) – (2x)2 = (x4 + 8x2 + 16) – 4x2
(น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2
จดั รูปโดยใช้ = (x2 + 4)(x2 + 4) – 4x2
ผลต่างของกาลงั สอง = (x2 + 4)2 – (2x)2
= (x2 + 4 – 2x)(x2 + 4 + 2x)
น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล)
= (x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 4 แยกตวั ประกอบของ x4 + 4x2 + 16

วธิ ีทา 27x3 – 64y3 = (3x)3 – (4y)3
= (3x – 4y){(3x)2 + (3x)(4y) + (4y)2}
= (3x – 4y)(9x2 + 12xy + 16y2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 5 แยกตวั ประกอบของ n4 + 64

วธิ ีทา จดั รูปแบบใหเ้ ขา้ สู่สูตรกาลงั สองสมบูรณ์ และใชก้ ารจดั รูปแบบเดียวกบั
ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 โดยหาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b

มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั ซ่ึง 8 × 8 = 64 แต่ 8 + 8 = 16
พจน์ n2 ไม่มี จึงตอ้ งนา 16n2 มาบวกเขา้ และลบออก

n4 + 64 = n4 + 16n2 + 64 – 16n2 (n2 + 8)2 – (4n)2
= (n4 + 16n2 + 82) – (4n)2
= (n2 + 8)2 – (4n)2 จดั รูปโดยใช้
= (n2 + 8 – 4n)(n2 + 8 + 4n) ผลต่างของกาลงั สอง
= (n2 – 4n + 8 )(n2 + 4n + 8)
น2 – ล2 = (น – ล)(น + ล)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 6 แยกตวั ประกอบของ 343m3 + 27n3
วธิ ีทา 343m3 + 27n3 = (7m)3 + (3n)3
= (7m + 3n){(7m)2 – (7m)(3n) + (3n)2}
= (7m + 3n)(49m2 – 21mn + 9n2)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

2.3 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสูงกว่าสอง โดยใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือ

ก่อนจะกล่าวถึงการแยกตวั ประกอบของพหุนาม โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือ
ใหพ้ จิ ารณา การหารพหุนามตอ่ ไปน้ี

การหารพหุนาม x2 + 5x + 6 หารดว้ ย x + 3

x+3 )x + 2xx22+5x+ 6 ข้ันตอนที่ 1 นา x(x + 3) = x2 + 3x
+ 3x
2x + 6 ข้ันตอนท่ี 2 นา (x2 + 5x) – (x2 + 3x) = 2x
2x + 6 แลว้ ดึง 6 ลงมา
0
ข้นั ตอนที่ 3 นา (x + 3)(2) = 2x + 6
ข้ันตอนที่ 4 นา (2x + 6) – (2x + 6) = 0
เหลือเศษ 0 แสดงวา่ หารลงตวั

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

จากขา้ งตน้ เม่ือพหุนาม x2 + 5x + 6 หารดว้ ย x + 3 พบวา่ หารลงตวั
นนั่ คือ มีเศษเป็นศูนย์
ถา้ ให้ P(x) แทนพหุนาม x2 + 5x + 6 นนั่ คือ P(x) = x2 + 5x + 6
เม่ือแทน x = – 2 ใน P(x) = x2 + 5x + 6
จะได้ P(– 2) = (– 2)2 + 5(– 2) + 6

= 4 – 10 + 6
=0
แสดงวา่ หารลงตวั ผลหาร คือ x + 2 และเศษเป็นศูนย์

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

พจิ ารณา การหารพหุนาม x2 – 10x + 26 ดว้ ย x – 4

x–4 )x – 6xx22–10x+ 26 ข้ันตอนท่ี 1 นา x(x – 4) = x2 – 4x
– 4x
– 6x + 26 ข้นั ตอนท่ี 2 นา (x2 – 10x) – (x2 – 4x) = – 6x
– 6x + 24 แลว้ ดึง 26 ลงมา
2
ข้ันตอนที่ 3 นา (x – 4)(– 6) = – 6x + 24
ข้นั ตอนท่ี 4 นา (– 6x + 26) – (– 6x + 24) = 2
เหลือเศษ 2 แสดงวา่ หารไม่ลงตวั

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

จากขา้ งตน้ เมื่อพหุนาม x2 – 10x + 26 หารดว้ ย x – 4 พบวา่ หารไม่ลงตวั
นน่ั คือ เหลือเศษเป็น 2
ถา้ ให้ P(x) แทนพหุนาม x2 – 10x + 26 นน่ั คือ P(x) = x2 – 10x + 26
เม่ือแทน x = 6 ใน P(x) = x2 – 10x + 26
จะได้ P(6) = (6)2 – 10(6) + 26

= 36 – 60 + 26
=2
แสดงวา่ หารไม่ลงตวั ผลหาร คือ x – 6 ซ่ึงมีเศษเป็น 2

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ไดค้ วามสัมพนั ธ์ คือ ตวั ต้งั = (ตวั หาร × ผลหาร) + เศษเหลือ
P(x) = (x – a)Q(x) + c

เมื่อ P(x) คือ พหุนาม

Q(x) คือ ผลหาร
x – a คือ ตวั หาร

c คือ เศษการหารหรือเศษเหลือ

จากขา้ งตน้ พบวา่ เม่ือนาพหุนามหารดว้ ยพหุนาม จะไดผ้ ลหารท้งั ที่ลงตวั
คือ มีเศษเป็นศูนยแ์ ละท้งั ท่ีไม่ลงตวั นน่ั คือ เหลือเศษที่ไม่ใช่ศูนย์ ซ่ึงการหารลงตวั
จะสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามได้

ในกรณีทวั่ ไป เมื่อหารพหุนาม P(x) ใด ๆ ดว้ ยพหุนาม x – a ที่ a เป็นค่าคงตวั
เมื่อหารแลว้ มีเศษ ซ่ึงเรียกวา่ เศษเหลือ

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem)
กาหนด P(x) เป็นพหุนาม ถา้ หารพหุนาม P(x) ดว้ ยพหุนาม x – a
เมื่อ a เป็นคา่ คงตวั แลว้ จะไดเ้ ศษเหลือเท่ากบั P(a)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 1 ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหารพหุนาม
วธิ ีทา x3 + 2x2 + 5x + 7 ดว้ ย x + 1

จากตวั หาร x + 1 = x – (– 1) จึงได้ x – a = x – (– 1) นนั่ คือ a = – 1
ให้ P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 7

P(– 1) = (– 1)3 + 2(– 1)2 + 5(– 1) + 7
= –1+2–5+7
=3

ดงั น้นั หาร x3 + 2x2 + 5x + 7 ดว้ ย x + 1 เหลือเศษ 3

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 2 ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหารพหุนาม
วธิ ีทา 3m4 + 5m2 – m + 10 ดว้ ย m – 2

จากตวั หาร m – 2 จึงได้ x – a = x – 2 นนั่ คือ a = 2
ให้ P(m) = 3m4 + 5m2 – m + 10

P(2) = 3(2)4 + 5(2)2 – 2 + 10
= 48 + 20 – 2 + 10
= 76

ดงั น้นั หาร 3m4 + 5m2 – m + 10 ดว้ ย m – 2 เหลือเศษ 76

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 3 ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารพหุนาม
x5 + x4 – 3x – 3 ดว้ ย x – 1

วธิ ีทา
จากตวั หาร x – 1 จึงได้ x – a = x – 1 นน่ั คือ a = 1
ให้ P(x) = x5 + x4 – 3x – 3
P(1) = (1)5 + (1)4 – 3(1) – 3
=1+1–3–3
=–4
ดงั น้นั หาร x5 + x4 – 3x – 3 ดว้ ย x – 1 เหลือเศษ – 4

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 4 ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหารพหุนาม
วธิ ีทา 2x3 + 5x2 – x – 6 ดว้ ย x + 2

จากตวั หาร x + 2 จึงได้ x – a = x – (– 2) นนั่ คือ a = – 2

ให้ P(x) = 2x3 + 5x2 – x – 6
P(– 2) = 2(– 2)3 + 5(– 2)2 – (– 2) – 6
= – 16 + 20 + 2 – 6
=0

ดงั น้นั หาร 2x3 + 5x2 – x – 6 ดว้ ย x + 2 เหลือเศษ 0 แสดงวา่ หารลงตวั

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 5 ตรวจสอบวา่ x – 1 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม
3x4 – 2x2 + x + 5 หรือไม่

วธิ ีทา จากนิยาม ตวั x – a หารพหุนาม P(x) ลงตวั
หรือ P(a) = 0 แสดงวา่ x – a เป็นตวั ประกอบของพหุนาม P(x)
จากตวั หาร x – 1 จึงได้ x – a = x – 1 นน่ั คือ a = 1
ให้ P(x) = 3x4 – 2x2 + x + 5
จะได้ P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + (1) + 5
= 3–2+1+5
=7
นนั่ คือ เศษจากการหารเท่ากบั 7
จึงสรุปไดว้ า่ x – 1 หาร 3x4 – 2x2 + x + 5 ไม่ลงตวั
ดงั น้นั x – 1 ไม่ใช่ตวั ประกอบของ 3x4 – 2x2 + x + 5

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 6 ตรวจสอบวา่ x + 3 เป็นตวั ประกอบของพหุนาม
วธิ ีทา x3 + 5x2 – 2x – 24 หรือไม่

จากนิยาม ตวั x – a หารพหุนาม P(x) ลงตวั
หรือ P(a) = 0 แสดงวา่ x – a เป็นตวั ประกอบของพหุนาม P(x)
จากตวั หาร x + 3 จึงได้ x – a = x – (– 3) นน่ั คือ a = – 3
ให้ P(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24
จะได้ P(– 3) = (– 3)3 + 5(– 3)2 – 2(– 3) – 24

= – 27 + 45 + 6 – 24
นนั่ คือ เศษจากกา=รห0ารเท่ากบั 0
จึงสรุปไดว้ า่ x + 3 หาร x3 + 5x2 – 2x – 24 ลงตวั
ดงั น้นั x + 3 เป็นตวั ประกอบของ x3 + 5x2 – 2x – 24

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

จากท่ีกลา่ วเบ้ืองตน้ การแยกตวั ประกอบของพหุนาม สามารถทาไดห้ ลายวธิ ี
วธิ ีโดยตรง คือ การต้งั หารยาว ซ่ึงใชเ้ วลานานและเสียพ้ืนท่ีการทามาก การนาทฤษฎีบท
เศษเหลือมาใชใ้ นการ แยกตวั ประกอบของพหุนาม เพอ่ื ตรวจสอบวา่ หารลงตวั
หรือหารไม่ลงตวั ซ่ึงถา้ หารลงตวั นนั่ แสดงวา่ เศษเหลือเท่ากบั ศูนย์ จึงไดค้ วามสมั พนั ธ์
ดงั น้ี

ถา้ หารลงตวั ตวั ต้งั = (ตวั หาร × ผลหาร) + เศษเหลือ
หรือ ตวั ต้งั = (ตวั หาร × ผลหาร) + 0
P(x) = (x – a)(ผลหาร)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

การนาตวั หารท่ีไดจ้ ากการหารลงตวั มาแยกตวั ประกอบของพหุนาม
สามารถทาไดโ้ ดย การหารสังเคราะห
จากตวั อยา่ งที่ 6 พบวา่ x + 3 หาร x3 + 5x2 – 2x – 24 ลงตวั ซ่ึงมีเศษเท่ากบั 0
ข้นั ตอนการหารสังเคราะห์ มีดงั น้ี

ข้ันตอนที่ 1 เขียนสัมประสิทธ์ิของพหุนามตวั ต้งั ทีละพจน์ เรียงตามลาดบั ของดีกรีสูงสุด

มาจนถึงต่าสุด โดยทาเป็นสามบรรทดั ดงั น้ี
สมั ประสิทธ์ิของตวั ต้งั บรรทดั ที่ 1
1 5 –2 – 24
ผลคูณของตวั หารกบั สมั ประสิทธ์ิตวั ต้งั บรรทดั ท่ี 2

ผลหารและเศษ บรรทดั ท่ี 3

ข้ันตอนที่ 2 นา x – a = x + 3 ซ่ึง a = – 3 มาหาร

– 3 1 5 – 2 – 24

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ข้ันตอนที่ 3 ดึงสมั ประสิทธ์ิตวั ต้งั ตวั แรกลงมา ในที่น้ี คือ 1

– 3 1 5 – 2 – 24

1

ข้นั ตอนที่ 4 นาตวั หารไปคูณกบั สมั ประสิทธ์ิ แลว้ นาไปบวกกบั สมั ประสิทธ์ิตวั ถดั ไป

–3 1 5 –2 – 24
–3
1
2
(– 3) × 1
5 + (– 3) = 2

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ข้นั ตอนที่ 5 ทาเช่นน้ีไปจนครบทุกตวั ซ่ึงคา่ สุดทา้ ยจะเป็นเศษจากการหาร

–3 1 5 – 2 – 24
–3 – 6 24

1 2 –8 0 เศษจากการหาร

ผลหาร เหลือสัมประสิทธ์ิ คือ 1, 2, – 8 นนั่ คือ ผลหารได้ 1x2 + 2x – 8 x2 + 2x – 8
จะไดว้ า่ x3 + 5x2 – 2x – 24 = (x + 3)(x2 + 2x – 8)
ดงั น้นั แยกตวั ประกอบของ x3 + 5x2 – 2x – 24 ได้ (x + 3)(x – 2)(x + 4) แยกตวั ประกอบได้

(x – 2)(x + 4)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างที่ 7 แยกตวั ประกอบของ x3 – 7x – 6

วธิ ีทา
จากทฤษฎีเศษเหลือ ถา้ หารพหุนาม P(x) ดว้ ย x – a หรือ P(a) = 0 แลว้
x – a เป็นตวั ประกอบของพหุนาม ให้ P(x) = x3 – 7x – 6
จานวนเตม็ ที่หาร 6 ลงตวั คือ 1, – 1, 2, – 2, 3, – 3, 6, – 6
นนั่ คือ P(– 2) = (– 2)3 – 7(– 2) – 6
= – 8 + 14 – 6
=0

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ดงั น้นั x + 2 เป็นตวั ประกอบของ P(x) นาไปหารสงั เคราะห์ตามข้นั ตอน ดงั น้ี
ข้ันตอนที่ 1 เขียนสัมประสิทธ์ิของพหุนามตวั ต้งั ทีละพจน์ เรียงตามลาดบั ของดีกรีสูงสุด

มาจนถึงต่าสุด แต่พจน์ x2 ไม่มี นน่ั คือ สมั ประสิทธ์ิเป็น 0
1 0 –7 –6

ข้ันตอนท่ี 2 นา x – a = x + 2 ซ่ึง a = – 2 มาหาร
–2 1 0 –7 –6

ข้ันตอนที่ 3 ดึงสมั ประสิทธ์ิตวั ต้งั ตวั แรกลงมา ในท่ีน้ี คือ 1
–2 1 0 –7 –6

1

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ข้ันตอนท่ี 4 นาตวั หารไปคูณกบั สัมประสิทธ์ิ แลว้ นาไปบวกกบั สัมประสิทธ์ิตวั ถดั ไป

–2 1 0 –7 –6
–2

1 –2

(– 2) × 1 0 + (– 2) = – 2

ข้นั ตอนท่ี 5 ทาเช่นน้ีไปจนครบทุกตวั ซ่ึงค่าสุดทา้ ยจะเป็นเศษจากการหาร
–2 1 0 –7 –6
–2 –4 6

1 –2 –3 0 เศษจากการหาร

ผลหาร เหลือสมั ประสิทธ์ิ คือ 1, –2, –3 นน่ั คือ ผลหารได้ 1x2 – 2x – 3 x2 – 2x – 3
จะไดว้ า่ x3 – 7x – 6 = (x + 2)(x2 – 2x – 3)
แยกตวั ประกอบได้
ดงั น้นั แยกตวั ประกอบของ x3 – 7x – 6 ได้ (x + 2)(x – 3)(x + 1) (x – 3)(x + 1)

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

ตวั อย่างท่ี 8 แยกตวั ประกอบของ x4 + 3x3 – 11x2 – 3x + 10

วธิ ีทา หา P(x) = x4 + 3x3 – 11x2 – 3x + 10 ที่ทาใหม้ ีคา่ เท่ากบั 0

ซ่ึงจานวนเตม็ ท่ีหาร 10 ลงตวั คือ 1, – 1, 2, – 2, 5, – 5, 10, – 10
นนั่ คือ P(2) = (2)4 + 3(2)3 – 11(2)2 – 3(2) + 10

= 16 + 24 – 44 – 6 + 10
=0

ต้งั หารสังเคราะห์

2 1 3 – 11 – 3 10
2 10 – 2 – 10

1 5 –1 –5 0 เศษจากการหาร

2. การแยกตวั ประกอของพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง

x4 + 3x2 – 11x2 – 3x + 10 = (x – 2)(x3 + 5x2 – x – 5)

นา x3 + 5x2 – x – 5 มาหารสงั เคราะห์ต่อ

ซ่ึงจานวนเตม็ ท่ีหาร 5 ลงตวั คือ 1, – 1, 5, – 5

นนั่ คือ P(1) = (1)3 + 5(1)2 – (1) – 5

= 1+5–1–5

=0

ต้งั หารสงั เคราะห์ – 11 – 3 10
21 3
2 10 – 2 – 10

1 5 – 1 – 5 0 เศษจากการหาร

x3 + 5x2 – x – 5 = (x – 1)(x2 + 6x + 5) x2 + 6x + 5
จะไดว้ า่ x4 + 3x3 – 11x2 – 3x + 10 = (x – 2)(x – 1)(x2 + 6x + 5) แยกตวั ประกอบได้

(x + 5)(x + 1)

ดงั น้นั แยกตวั ประกอบของ x4 + 3x3 – 11x2 – 3x + 10 ได้ (x – 2)(x – 1 )(x + 5)(x + 1)