3.คณิตศาสตร์ ม.3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

บทิเรี์นประาอบารราอนออนไยน
ชล้นมธล ์มศาึ ษรปที ิี่ 1 รร์ัพชรคณตพ ศราตรวนื้ ฐรน (ค21101)

บทิทิ่ี 3 ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ั

คุณครูทิพวัลย์ ารราพ ร

ตรแหนง่ ครโู รงเรี์นัดล บ้รนายั้ ์
ารนลางรนเขตว้ืนทิา่ี รรศึาษราุวรรณบุรีเขต 1

ตัล ช้ีัดล

1. ประยกุ ตใ์ ชส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดียวในการแกป้ ัญหา
คณิตศาสตร์ (ค 1.3 ม.3/2)

ารระารรเร์ี นรู้

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ
2.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัพธีทิรเป็นารยงล าองามบูรณ
3.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ใช้าตู ร
4.โจทิ์ปญั หรเา่์ี ัาบล ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ั

ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

สมการกาลงั สอง (quadratic equations) ทาความเขา้ ใจกบั
สมการกาลงั สองอยา่ งไร?
คือ สมการของพหุนามตวั แปรเดียวท่ีมีดีกรีเท่ากบั 2

บางคร้ังเรียกสมการกาลงั สองวา่
สมการดกี รี 2 รูปแบบทวั่ ไปของสมการกาลงั สอง
คือ ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a, b, c เป็นคา่ คงตวั และ a ≠ 0

การแก้สมการกาลงั สอง
หมายถึง การคานวณเพื่อหาคา่ ของตวั แปร
ซ่ึงจะไดค้ า่ ของตวั แปรที่เป็นคาตอบของสมการท่ีเป็นจานวนจริง
ไดส้ องคาตอบ หน่ึงคาตอบ หรือไม่มีคาตอบค่าของตวั แปรที่ได้
บางคร้ังเรียกวา่ รากของสมการ หรือ คาตอบของสมการ

ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

วธิ ีแก้สมการกาลงั สอง
ก่อนท่ีจะทาการคานวณหาคา่ ตวั แปรของสมการกาลงั สอง
ใหจ้ ดั ดา้ นขวาของเคร่ืองหมายเท่ากบั ใหเ้ ป็น 0 แลว้
การคานวณจะมีไดห้ ลายวธิ ี เช่น โดยวธิ ีการดึงตวั ร่วม
โดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ โดยวธิ ีทาใหเ้ ป็นกาลงั สองสมบูรณ์
และโดยวธิ ีใชส้ ูตร

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัพธีารรแ์าตัล ประาอบ

การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดียวโดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ สามารถทาไดโ้ ดย
การแยกตวั ประกอบ ของพหุนามใหอ้ ยใู่ นรูปการคูณกนั ของพหุนามดีกรีหน่ึงสองพหุนาม
แลว้ ใชส้ มบตั ิของจานวนจริง ที่กลา่ ววา่ ถา้ a, b เป็นจานวนจริง และ ab = 0 แลว้ a = 0
หรือ b = 0

จะเห็นไดว้ า่ การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดียวโดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ
ทาไดโ้ ดยการแยกตวั ประกอบ (factors) แลว้ ใชห้ ลกั วา่ เม่ือผลคูณของตวั ประกอบเป็น 0
(ดา้ นขวาของเคร่ืองหมายเท่ากบั ) แสดงวา่ ตวั ประกอบบางตวั เป็น 0 หรือทุกตวั ประกอบ
เป็น 0

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ

ข้ันตอนการแก้สมการกาลงั สองตัวแปรเดยี วโดยการแยกตัวประกอบ
1. แยกตวั ประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c = 0
2. ใชส้ มบตั ิของจานวนจริง

ถา้ mn = 0 จะไดว้ า่ m = 0 หรือ n = 0 ในการหาคาตอบของสมการ
3. ตรวจสอบคาตอบท่ีไดจ้ ากการแกส้ มการ

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตวั อย่างท่ี 1 หาคาตอบของสมการ x2 – 6x + 5 = 0

วธิ ีทา รูปสมการอยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 6, c = 5

หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั

ซ่ึง (– 5)(– 1) = 5 และ (– 5) + (– 1) = – 6

จะได้ (x – 5)(x – 1) = 0

x–5=0 x–1=0

x=5 x=1
ดงั น้ัน x = 1 , 5

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ x = 1 ในสมการ x2 – 6x + 5 = 0
จะได้ 12 – 6(1) + 5 = 0

1–6+5 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทีเ่ ป็ นจริง

2. แทนค่า x = 5 ในสมการ x2 – 6x + 5 = 0
จะได้ 52 – 6(5) + 5 = 0

25 – 30 + 5 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง

ดงั น้ัน 1 และ 5 เป็ นคาตอบของสมการ x2 – 6x + 5 = 0

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตวั อย่างที่ 2 หาคาตอบของสมการ 3x2 – 14x = – 8

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ax2 + bx + c = 0 จะได้ 3x2 – 14x + 8 = 0
เขียนวงเลบ็ สองวง แลว้ เติม 3x และ x ได้ ดงั น้ี (3x )(x ) = 0
หาจานวนที่คูณกนั ได้ 8 โดยที่นาจานวนหน่ึงไปคูณกบั 3x และนาอีกจานวนหน่ึง
ไปคูณกบั x แลว้ บวกกนั ได้ – 14x มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั
จะได้ (3x – 2)(x – 4) = 0

3x – 2 = 0 x–4 = 0
2 x=4
x = 3

ดงั น้ัน x = 2 , 4
3

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ x = 2323ใน234ส–ม1–ก4า2ร38233x=2=––1–848x = –8
จะได้ 3

2. แทนคา่ x=4 ในสมการ 3x2 – 14x = – 8 4– 28 = –8
จะได้ 3(4)2 – 14(4) = – 8
3
3(4)2 – 14(4) = – 8 – 24
= –8
48 – 56 = – 8 3
– 8 = – 8 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง – 8 = – 8 เป็ นสมการท่ีเป็ นจริง

ดงั น้ัน 2 และ 4 เป็ นคาตอบของสมการ 3x2 – 14x = –8
3

1.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตัวอย่างท่ี 3 หาคาตอบของสมการ x2 – x – 6 = 0

วธิ ีทา รูปสมการอยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 1, c = – 6
หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั
ซ่ึง (2)(– 3) = – 6 และ 2 + (– 3) = – 1

จะได้ (x + 2)(x – 3) = 0 x–3 = 0
x+2 = 0 x=3
x = –2

ดงั น้ัน x = – 2 , 3

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ x = – 2 ในสมการ x2 – x – 6 = 0

จะได้ (– 2)2 – (– 2) – 6 = 0
4 +2 – 6 = 0
0 = 0 เป็ นสมการท่เี ป็ นจริง

2. แทนค่า x = 3 ในสมการ x2 – x – 6 = 0
จะได้ 32 – 3 – 6 = 0
9–3–6=0
0 = 0 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง

ดงั น้ัน – 2 และ 3 เป็ นคาตอบของสมการ x2 – x – 6 = 0

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตัวอย่างที่ 4 หาคาตอบของสมการ m2 + 10m + 24 = 0

วธิ ีทา
รูปสมการอยใู่ นรูป am2 + bm + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = 10, c = 24

หาจานวนที่คูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั

ซ่ึง (6)(4) = 24 และ 6 + 4 = 10

จะได้ (m + 6)(m + 4) = 0

m+6 = 0 m+4 = 0
m = –6 m = –4

ดงั น้ัน m = – 6 , – 4

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนค่า m = – 6 ในสมการ m2 + 10m + 24 = 0
จะได้ (– 6)2 + 10(– 6) + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง

2. แทนคา่ m = – 4 ในสมการ m2 + 10m + 24 = 0
จะได้ (– 4)2 + 10(– 4) + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง
ดงั น้ัน – 6 และ – 4 เป็ นคาตอบของสมการ m2 + 10m + 24 = 0

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตวั อย่างท่ี 5 หาคาตอบของสมการ – y2 – 6y + 7 = 0

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ay2 + by + c = 0 โดยการนา – 1 มาคูณเขา้ ท้งั สองขา้ ง
ของสมการ นน่ั คือ y2 + 6y – 7 = 0 ซ่ึง a = 1, b = 6, c = – 7
หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั

ซ่ึง (7)(– 1) = – 7 และ 7 + (– 1) = 6
จะได้ (y + 7)(y – 1) = 0

y+7 = 0 y–1 = 0
y = –7 y=1

ดงั น้ัน y = – 7 , 1

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ y = – 7 ในสมการ – y2 – 6y + 7 = 0
จะได้ – (– 7)2 – 6(– 7) + 7 = 0

– 49 + 42 + 7 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง

2. แทนคา่ y = 1 ในสมการ – y2 – 6y + 7 = 0
จะได้ – (1)2 – 6(1) + 7 = 0
–1–6+7 = 0
0 = 0 เป็ นสมการที่เป็ นจริง
ดงั น้ัน – 7 และ 1 เป็ นคาตอบของสมการ – y2 – 6y + 7 = 0

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ

ตวั อย่างที่ 6 หาคาตอบของสมการ 20 – 8y – y2 = 0

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ay2 + by + c = 0 จะได้ – y2 – 8y + 20 = 0

หลงั จากน้นั นา – 1 มาคูณเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ
นน่ั คือ y2 + 8y – 20 = 0 ซ่ึง a = 1, b = 8, c = – 20

หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั
ซ่ึง (– 2)(10) = – 20 และ (– 2) + 10 = 8
จะได้ (y – 2)(y + 10) = 0
y–2 = 0 y + 10 = 0

y=2 y = – 10
ดงั น้ัน y = 2 , – 10

1.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ าี รรแ์าตัล ประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนค่า y = 2 ในสมการ 20 – 8y – y2 = 0
จะได้ 20 – 8(2) – 22 = 0
20 – 16 – 4 = 0

0 = 0 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง
2. แทนค่า y = – 10 ในสมการ 20 – 8y – y2 = 0

จะได้ 20 – 8(– 10) – (– 10)2 = 0

20 + 80 – 100 = 0

0 = 0 เป็ นสมการท่เี ป็ นจริง
ดงั น้ัน 2 และ – 10 เป็ นคาตอบของสมการ 20 – 8y – y2 = 0

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตัวอย่างท่ี 7 หาคาตอบของสมการ n2 – 9n = – 20

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ an2 + bn + c = 0 จะได้ n2 – 9n + 20 = 0

นนั่ คือ n2 – 9n + 20 = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 9, c = 20

หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั

ซ่ึง (– 4)(– 5) = 20 และ (– 4) + (– 5) = – 9
จะได้ (n – 4)(n – 5) = 0
n–4 = 0 n–5 = 0
n=4 n=5

ดงั น้ัน n = 4, 5

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ n = 4 ในสมการ n2 – 9n = – 20
จะได้ 42 – 9(4) = – 20
16 – 36 = – 20

– 20 = – 20 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง

2. แทนคา่ n = 5 ในสมการ n2 – 9n = – 20
จะได้ 52 – 9(5) = – 20

25 – 45 = – 20

– 20 = – 20 เป็ นสมการที่เป็ นจริง
ดงั น้ัน 4 และ 5 เป็ นคาตอบของสมการ n2 – 9n = – 20

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตลัประาอบ

ตวั อย่างท่ี 8 หาคาตอบของสมการ y + 3 = 6
3 y
วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ay2 + by + c = 0
จะได้ y(y + 3) = (6)(3)
y2 + 3y = 18
yy22 + 3y – 18 = 0
นน่ั คือ + 3y – 18 = 0 ซ่ึง a = 1, b = 3, c = – 18
หาจานวนที่คูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั
ซ่ึง (6)(– 3) = – 18 และ 6 + (– 3) = 3
จะได้ (y + 6)(yy–+36) = 0–0 6
y == y – 3y == 03

ดงั น้ัน y = – 6 , 3

1.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ y = – 6 ในส–ม6ก3า+–3ร–331y===+3 3= 6
จะได้ y
6
–6 เป็ นสมการทีเ่ ป็ นจริง
–1
–1
แ3ลใะนส3มเกป3า็ นร+3ค363า2yต+3==อ=บ32236ข=อง6yสมกเปา็รนสมyก+3า3รทีเ่=ป็ นy6จริง
2. แทนค่า y =
จะได้

ดงั น้ัน – 6

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ัพธาี รรแ์าตลัประาอบ

ตวั อย่างที่ 9 หาคาตอบของสมการ 10y2 – 5y + 11 = 9y2 + y + 83

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ay2 + by + c = 0
จะได้ 10y2 – 9y2 – 5y – y + 11 – 83 = 0
y2 – 6y – 72 = 0
นนั่ คือ y2 – 6y – 72 = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 6, c = – 72
หาจานวนท่ีคูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจนห์ ลงั

ซ่ึง (– 12)(6) = – 72 และ (– 12) + 6 = – 6

จะได้ (y – 12)(y + 6) = 0 y+6 = 0
y – 12 = 0 y = –6
y = 12

ดงั น้ัน y = 12 , – 6

1.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนคา่ y = 12 ในสมการ 10y2 – 5y + 11 = 9y2 + y + 83
จะได้ (10)(12)2 – 5(12) + 11 = 9(12)2 + 12 + 83
1,440 – 60 + 11 = 1,296 + 12 + 83
1,391 = 1,391 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง

2. แทนค่า y = – 6 ในสมการ 10y2 – 5y + 11 = 9y2 + y + 83
จะได้ (10)(– 6)2 – 5(– 6) + 11 = 9(– 6)2 + (– 6) + 83
360 + 30 + 11 = 324 – 6 + 83
401 = 401 เป็ นสมการทีเ่ ป็ นจริง

ดงั น้ัน 12 และ – 6 เป็ นคาตอบของสมการ 10y2 – 5y + 11 = 9y2 + y + 83

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีารรแ์าตัล ประาอบ

ตวั อย่างท่ี 10 หาคาตอบของสมการ 2x2 = 21 – 11x

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ ax2 + bx + c = 0 จะได้ 2x2 + 11x – 21 = 0

เขียนวงเลบ็ สองวง แลว้ เติม 2x และ x ได้ ดงั น้ี (2x )(x ) = 0

หาจานวนที่คูณกนั ได้ – 21 โดยที่นาจานวนหน่ึงไปคูณกบั 2x และนาอีกจานวนหน่ึง

ไปคูณกบั x แลว้ บวกกนั ได้ 11x มาใส่วงเลบ็ ทีละตวั เป็นพจน์หลงั

จะได้ (2x – 3)(x + 7) = 0
2x – 3 = 03 x+7 = 0
x = 2 x = –7
3
ดงั น้ัน x = 2 , –7

1.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ัพธีารรแ์าตลัประาอบ

ตรวจสอบคาตอบ 1. แทนค่า x = –327ในในสสมมก2การาร322x229292x22=====2122411–922––1–2111x3113xเป32็ นสมการทเี่ ป็ นจริง
จะได้

แทนคา่ x =
จะได้ 2(– 7)2 = 21 – 11(– 7)
98 = 21 + 77
98 = 98 เป็ นสมการที่เป็ นจริง
3
ดงั น้ัน 2 และ –7 เป็ นคาตอบของสมการ 2x2 = 21 – 11x

2.ารรแาา้ มารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ัพธีทิรเปน็ ารยงล าองามบรู ณ
การแกส้ มการกาลงั สองตวั แปรเดียวโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ สามารถทาได้
โดยการจดั รูปของพหุนามใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์และผลต่างของกาลงั สองมาช่วย
ในการแยกตวั ประกอบ

ข้ันตอนการแก้สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี วโดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์
1. จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0
2. กรณีที่ a ≠ 1 ใหน้ า a หารตลอด
3. จดั สมการดา้ นซา้ ยของเคร่ืองหมายเท่ากบั โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ แลว้ แยกตวั ประกอบ
4. ใหต้ วั ประกอบแตล่ ะตวั เท่ากบั 0 แลว้ หาค่าของตวั แปร
5. ตรวจสอบคาตอบของสมการ

2.ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีทิรเปน็ ารยงล าองามบรู ณ

สูตรกาลงั สองสมบูรณ์

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
หรือ (น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
หรือ (น – ล)2 = น2 – 2นล + ล2

2.ารรแาา้ มารรารยงล าองตัล แปรเดี์ัโด์ัพธีทิรเป็นารยงล าองามบรู ณ

ตวั อย่างท่ี 1 หาคาตอบของสมการ x2 + 6x + 9 = 0
วธิ ีทา รูปสมการอยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = 6, c = 9

จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
จะได้ x2 + 6x + 9 = 0

x2 + (2)(3)x + 32 = 0
(x + 3)2 = 0

จะได้ x + 3 = 0
ดงั น้นั x = – 3
ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า x = – 3 ในสมการ x2 + 6x + 9 = 0

จะได้ (– 3)2 + 6(– 3) + 9 = 0
9 – 18 + 9 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเ่ี ป็ นจริง

2.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ัธพ ีทิรเป็นารยลงาองามบรู ณ

ตวั อย่างที่ 2 หาคาตอบของสมการ x2 – 8x + 16 = 0

วธิ ีทา รูปสมการอยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 8, c = 16
จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
จะได้ x2 – 8x + 16 = 0
x2 + (2)(4)x + 42 = 0
(x – 4)2 = 0
จะได้ x – 4 = 0
ดงั น้นั x = 4
ตรวจสอบคาตอบ แทนค่า x = 4 ในสมกา4ร2 x2 – 8x + 16 = 0
จะได้ – 8(4) + 16 = 0
16 – 32 + 16 = 0
0 = 0 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง

2.ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ัโด์ัพธที ิรเปน็ ารยงล าองามบูรณ

ตวั อย่างท่ี 3 หาคาตอบของสมการ 4y2 – 12y = – 9

วธิ ีทา รูปสมการอยใู่ นรูป ay2 + by + c = 0 จะไดว้ า่ 4y2 – 12y + 9 = 0
ซ่ึง a = 4, b = – 12, c = 9
นา a = 4 หารตลอด จะได้ y2 – 3y + 9 = 0
4
จจะดัไใดห้ อ้ ยใู่ นรูปกาลงั สอyง2ส–ม3บyูร+ณ94์ (A=– B)2 = A2 – 2AB + B2
0
3 3 2= 0 ตรวจสอบคาตอบ
2 2 3
y2 – (2) y+ 0 แทนค่า y = 2 ในสมการ 4y2 – 12y = –9
03 จะได้ 4 = –9
y – 3 2 = 2 3 2+ 3
y 2 2 2
3 = 9 – 18 = – 9
จะได้ – 2y = – 9 = – 9 เป็ นสมการทเี่ ป็ นจริง
ดงั น้นั

2.ารรแาา้ มารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ัโด์ัพธที ิรเปน็ ารยลงาองามบูรณ

ตวั อย่างท่ี 4 หาคาตอบของสมการ y2 + 49 = 14y

วธิ ีทา จดั รูปสมการอยใู่ นรูป ay2 – by + c = 0 จะไดว้ า่ y2 – 14y + 49 = 0
ซ่ึง a = 1, b = – 14, c = 49
จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ (A - B)2 = A2 – 2AB + B2

จะได้ y2 – 14y + 49 = 0
y2 – (2)(7)y + 72 = 0
จะได้ (y – 7)2 = 0 ตรวจสอบคาตอบ
ดงั น้นั y–7 = 0 แทนคา่ y = 7 ในสมการ y2 + 49 = 14y
y=7 จะได้ 72 + 49 = 14(7)

49 + 49 = 98
98 = 98 เป็ นสมการที่เป็ นจริง

2.ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ัโด์ัพธีทิรเป็นารยงล าองามบรู ณ

ตวั อย่างที่ 5 หาคาตอบของสมการ 25m2 + 1 = – 10m

วธิ ีทา จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปสมการ am2 + bm + c = 0 จะไดว้ า่ 25m2 + 10m + 1 = 0
จนซจะด่ัึงาไใmaดหa2=้อ้=ย+225ใู่ 5(mน,1b)ร2หูป=า+51กร1ตา025ลm,ลmงัcอสด+=+อ1จง512ะส15ไมด2บ้ ==ูรmณ200์ +(A25
m+ 1 = + 0 + B2
+ B)2 2=5 A2 2AB

ตรวจสอบคาตอบ
1
1 2= แทนค่า m = – 5 ในสมการ 25m2 + 1 = – 10m
5 จะได้ 1 1
m + 0 25 – 5 2+1 = – 10 – 5
1+1 =2
จะได้ m + 1 = 0 2 =2 เป็ นสมการที่เป็ นจริง
ดงั น้นั 5 = 1
m – 5

2.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ัธพ ีทิรเป็นารยลงาองามบรู ณ

ตัวอย่างที่ 6 หาคาตอบของสมการ x2 + 2x – 3 = 0

วธิ ีทา ในกรณีน้ี ไม่สามารถจดั รูปสมการใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ได้
ตอ้ งจดั รูปใหม่ ใหด้ ูที่สมั ประสิทธ์ิของ x ท่ีทาให้ 2x อยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์
ใ(นAหน่ั น้ +คาือB1)212บ=∙วก(A2เ2ข)+า้=แ21ลAะแBลลบะ+อ1Bอ22ก=ใ1นสมการดา้ นซา้ ย เพือ่ จดั รูปสมการ
ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์
x2 + 2x – 3 = 0 ตรวจสอบคาตอบ

{x2 + 2x(1) + 12} – 12 – 3 = 0 1. แทนค่า x = 1 ในสมการ x2 + 2x – 3 = 0
(x + 1)2 – 4 = 0 จะได้ 12 + 2(1) – 3 = 0
(x + 1)2 – 22 = 0 1+2–3 = 0
0 = 0 เป็นสมการที่เป็นจริง
(x + 1 – 2)(x + 1 + 2) = 0 2. แทนค่า x = – 3 ในสมการ x2 + 2x – 3 = 0
(x – 1)(x + 3) = 0 จะได้ เ(ป–็ น3)ค2า+ต2อ(บ–9ข3–อ) 6ง–ส–3ม3ก=0า=ร=0 0x02
ดงั น้นั 1 และ – 3 + เป็ นสมการท่ีเป็ นจริ ง
จะได้ x – 1 =(x0– 1)(xx++3)3 == 00 2x – 3 = 0
x=1 x=–3

2.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ัพธที ิรเป็นารยงล าองามบูรณ

ตวั อย่างท่ี 7 หาคาตอบของสมการ x2 – 4x – 5 = 0

วธิ ีทา ในกรณีน้ีไม่สามารถจดั รูปสมการใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ไดต้ อ้ งจดั รูปใหม่
ใหด้ ูท่ีสมั ประสิทธ์ิของ x ท่ีทาให้ – 4x อยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
บ12ว∙กเขา้ 4แ–ละล2บ=ออ(ก–ใ2น)ส2 ม=กา4รดา้ นซา้ ย
นนั่ คือ เพอื่ จดั รูปสมการ
ใหน้ า 4
ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์
x2 – 4x – 5 = 0 ตรวจสอบคาตอบ

{x2 – 2x(2) + 22} – 22 – 5 = 0 1. แทนค่า x = 5 ในสมการ x2 – 4x – 5 = 0
(x – 2)2 – 9 = 0 จะได้ 52 – 4(5) – 5 = 0
(x – 2)2 – 32 = 0 25 – 20 – 5 = 0
0 = 0 เป็นสมการท่ีเป็นจริง
(x – 2 – 3)(x – 2 + 3) = 0 2. แทนค่า x = – 1 ในสมการ x2 – 4x – 5 = 0
จะได้ (– 1)2 – 4(– 1) – 5 = 0
จะได้ (x – 5)(x + 1) = 0 1+4 – 5 = 0

x–5 = 0 x+1 = 0 ดงั น้นั 5 และ – 1 เป็นคาต0อบ=ขอ0งสมกเาปร็นxส2ม–ก4าxร–ท่ีเ5ป็=น0จริง
x=5 x = –1

2.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ัพธีทิรเป็นารยลงาองามบรู ณ

ตัวอย่างท่ี 8 หาคาตอบของสมการ m2 – 6m + 7 = 0

วธิ ีทา ในกรณีน้ี ไม่สามารถจดั รูปสมการใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ได้ ตอ้ งจดั รูปใหม่

ใหด้ ูท่ีสมั ประสิทธ์ิของ m ที่ทาให้ – 6m อยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ
(นใAหน่ั น้+คาือB9)2บ21=ว∙กAเ2ข–+า้ 6แ2ลAะBล2บ+=อBอ2(ก–ใ3น)ส2 ม=กา9รดา้ นซา้ ย เพื่อจดั รูปสมการ
ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ ตรวจสอบคาตอบ

m2 – 6m + 7 = 0 1. แทนค่า m = 3 + 2 ในสมการ m2 – 6m + 7 = 0
{m2 – 2x(3) + 32} – 32 + 7 = 0 จะได้ (3 + 2)2 – 6(3 + 2) + 7 = 0
9 + 6 2+ 2 – 18 – 6 2+ 7 = 0
(m – 3)2 – 2 = 0
0 = 0 เป็นสมการที่เป็นจริง

2. แทนค่า m = 3 – 2 ในสมการ m2 – 6m + 7 = 0
จะได้ (3 – 2)2 – 6(3 – 2) + 7 = 0
9 – 6 2 + 2 – 18 + 6 2 + 7 = 0
(m – 3)2 – ( 2)2 = 0 0 = 0 เป็นสมการท่ีเป็นจริง
จะได้ (m – 3 – 2)(m – 3 + 2) = 0
ดงั น้นั 3 + 2 และ 3 – 2 เป็นคาตอบของสมการ m2 – 6m + 7 = 0

m–3– 2 = 0 m–3+ 2 = 0
m = 3+ 2 m = 3– 2

3.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ใชา้ ูตร

ตัวอย่างที่ 9 การหาคาตอบของสมการกาลงั สองท่ีมีรูปทว่ั ไป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c

วธิ ีทา เป็นค่าคงตวั และ a ≠ 0 สามารถทาไดโ้ ดยใชส้ ูตร ซ่ึงไดม้ าจากการใชค้ วามรู้เรื่องกาลงั สอง
สมบูรณ์และผลต่างของกาลงั สอง ดงั น้ี ax2 + bx + c = 0
1 +xB2 +)2bax=a+ax2A+22bbxaa+x2+2+2AbaacxB=
นา a คูณท้งั สองขา้ งของสมการ =0
+=–Bca2–+ca
จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ (A b 2
จะได้ 2a

x + b 2 = b–42bcaa–242+–ac b 2
x + 2ba 2 = c2a
2a a
b 2
x + 2a =
4a 2

3.ารรแาา้ มารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ัโด์ใชา้ ตู ร

ตวั อย่างท่ี 9 (ต่อ)

x + b 2– b2– 4ac =0 x = – b ± b2–4ac
2a 4a2 2a 2a

b 2– b2–4ac 2 x = b b2–4ac
2a 4a 2 2a 2a
x + = 0 กรณี a > 0; – ±

b 2– b2– 4ac 2 กรณี a < 0; x = – b b2–4ac
2a 2a 2a 2a
x + = 0 ∓

x + b + b2– 4ac x + b – b2– 4ac =0 จะได้ x = – b ± b2–4ac
2a 2a 2a 2a 2a 2a

ดงั น้นั x = –b± b2– 4ac
2a

3.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเด์ี ัโด์ใชา้ ตู ร

การแก้สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว
โดยใช้สูตร

ข้ันตอนการแก้สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี วโดยใช้สูตร

1. จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0

2. เขียนคา่ ของ a, b, c –b± b2– 4ac
2a
3. แทนค่าตวั แปรแต่ละตวั ในสูตร x =

3.ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ใชา้ ตู ร

ตวั อย่างท่ี 1 หาคาตอบของสมการ 2x2 + x = 6

วธิ ีทา จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 โดยการนา 6 ลบออกท้งั สองขา้ ง
ของสมการ
จะได้ 2x2 + x – 6 = 0 ซ่ึง a = 2, b = 1, c = – 6
–b± b2– 4ac
แทนค่าตวั แปรแตล่ ะตวั ในสูตร x = –1± 21a2– 4(2)(– 6)
x =
–1± 12+(24)8 b2 - 4ac > 0
x = –1± 449
x = 4
x = – 1 7
±

4

3.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ใชา้ ตู ร
ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ)

ดงั น้นั x = –1 + 7 และ x = –1 –7
4 4

x = 6 และ x = –8
4 4

x = 3 และ x = –2
2 คาตอบ คือ = 3 และ
2
นนั่ คือ คาตอบของสมการมี 2 x x = –2

3.ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ัโด์ใช้าูตร
ตัวอย่างที่ 2 หาคาตอบของสมการ 9x2 – 42x + 49 = 0
วธิ ีทา จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 9, b = –42, c = 49

แแดนททงัน่ั นนนค้นั คคือา่า่ คตตาววัั ตแแอปปบรรขแแอตตงลล่่ สะะมตตกววัั าใใรนนมสสีคููตตารรตอxxxxบเด====ียว44––ค22(b–ือ1±±±84202)ba±12–,71xxx468(a42–c(===49–2))14371732,28–7644(9)(b429-)4ac = 0

3.ารรแา้ามารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ใชา้ ตู ร

ตวั อย่างท่ี 3 หาคาตอบของสมการ x2 – 3x = – 20

วธิ ีทา
จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 โดยการนา 20 บวกเขา้ ท้งั สองขา้ งของสมการ
จะได้ x2 – 3x + 20 = 0 ซ่ึง a = 1, b = – 3, c = 20
–b± b2– 4ac
แทนค่าตวั แปรแตล่ ะตวั ในสูตร x= –(–3)2±a (–3)2–
3 ± 9 – 820(1)
x= 3 ± 2–7 4(1)(20)
x2 –23x = – 20
x= b2 - 4ac <

x= 0
ดงั น้นั ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของสมการ

3.ารรแาา้ มารรารยลงาองตลัแปรเดี์ัโด์ใชา้ ตู ร

จากตวั อยา่ งท่ี 1 ถึงตวั อยา่ งที่ 3 การหาคาตอบของสมการกาลงั สอง ax2 + bx + c = 0
–b± b2– 4ac
เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตวั และ a ≠ 0 ที่หาจากสูตร x = 2a

มีคาตอบจากสมการ ดงั น้ี

b2 - 4ac > 0 คาตอบของสมการ มี 2 คาตอบ
b2 - 4ac = 0 คาตอบของสมการ มีคาตอบเดียว
b2 - 4ac < 0 ไม่มีคาตอบของสมการ

3.ารรแาา้ มารรารยงล าองตัล แปรเดี์ัโด์ใช้าตู ร

ตวั อย่างท่ี 4 หาคาตอบของสมการ x2 – 9x – 10 = 0

วธิ ีทา จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0 ซ่ึง a = 1, b = -9, c = – 10

b2 – 4ac = (– 9)2 – 4(1)(–10)

= 81 + 40
= 121

b2 – 4ac > 0 สมการน้ีมี 2 คาตอบ x= –b± b 24–ac
แทนค่าตวั แปรแต่ละตวั ในสูตร 2a

x= –( 9–)± 121
2(1)
9 ± 121
x = 9 ±121
x =
2

3.ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ัโด์ใช้าตู ร

ตวั อย่างที่ 4 (ต่อ)

ดงั น้นั x = 9 + 11 และ x = 9 –11
2 และ 2

x = 20 x = –2
2 2

x = 10 และ x = – 1

นนั่ คือ คาตอบของสมการ คือ x = 10 และ x = – 1

3.ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ัโด์ใช้าตู ร

ตัวอย่างที่ 5 หาคาตอบของสมการ x = x+1
2 4x
วธิ ีทา จดั สมการใหอ้ ยใู่ นรูป ax2 + bx + c = 0

4x(x) = 2(x + 1)
4x2 = 2x + 2
4x2 – 2x – 2 = 0

ซ่ึง a = 4, b = – 2, c = – 2
b2 – 4ac = (– 2)2 – 4(4)(– 2)
= 4 + 32
= 36
b2 – 4ac > 0 สมการน้ีมี 2 คาตอบ

3.ารรแาา้ มารรารยลงาองตัล แปรเดี์ัโด์ใชา้ ตู ร

ตวั อย่างท่ี 5 (ต่อ)

แทนค่าตวั แปรแต่ละตวั ในสูตร x = –b± b 2–4ac
= –(–2)2±a 36
x = 2 ±26(4)
8
ดงั น้นั x = 2 + 6 x x= x = 2 –6
x = 8 8 และ x = –24
8 และ x = –821
x=1 และ

นน่ั คือ คาตอบของสมการ คือ x = 1 และ – 1
2

4.โจทิ์ปญั หรเา่ี์ัาบล ารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเดี์ั

ข้ันตอนการแก้ปัญหา

1. อ่านโจทยแ์ ลว้ กาหนดตวั แปรแทนจานวนที่ตอ้ งการหา
2. สร้างสมการจากปัญหา
3. แกส้ มการหาค่าตวั แปร
4. ตรวจสอบคาตอบ โดยคานึงถึง
• เม่ือไดค้ า่ ของตวั แปร ใหน้ าไปหาคาตอบท่ีโจทยต์ อ้ งการ บางสมการหาคาตอบได้
ออกมา 2 คาตอบ แต่คาถามของโจทยถ์ าม อาจจะใชเ้ พียงคาตอบเดียวหรือท้งั สองคา่ แลว้ แต่กรณี
จากเงื่อนไขท่ีโจทยก์ าหนด เช่น ถา้ กล่าวถึงจานวน คน สตั ว์ คาตอบควรใชเ้ ฉพาะจานวนเตม็ บวก
ถา้ หากคาตอบของสมการไดเ้ ป็นจานวนลบ หรือ 0 หรือไม่เป็นจานวนเตม็ ใหต้ ดั ทิ้งไป
• บางคร้ังไดจ้ านวนเตม็ บวก 2 จานวน แต่บางจานวนอาจจะไม่สอดคลอ้ งกบั เง่ือนไข
ท่ีโจทยก์ าหนด ใหต้ ดั ทิ้งไป