3.คณิตศาสตร์ ม.3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

4.โจทิ์ปญั หรเา์่ี ัาลบารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ั

ตวั อย่างที่ 1 จานวนคู่สองจานวนเรียงกนั คูณกนั ได้ 288 หาจานวนคู่ท้งั สอง

วธิ ีทา ให้ x แทน จานวนคู่จานวนหน่ึง
ให้ x + 2 แทน จานวนคู่ที่ถดั ข้ึนไป
เนื่องจากผลคูณของสองจานวน คือ 288

จะไดส้ มการ x(x + 2) = 288
x2 + 2x = 288
x2 + 2x – 288 = 0

(x – 16)(x + 18) = 0

ดงั น้นั x – 16 = 0 หรือ x + 18 = 0
จะได้ x = 16 หรือ x = – 18

4.โจทิ์ปญั หรเา์ี่ ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

ตรวจสอบคาตอบ

• ถา้ ใหจ้ านวนคูจ่ านวนหน่ึง คือ 16 จะไดจ้ านวนคู่ที่ถดั ข้ึนไปเป็น 16 + 2 = 18
ผลคูณของ 16 และ 18 เป็น 16 × 18 = 288 เป็นจริง

• ถา้ ใหจ้ านวนคู่จานวนหน่ึง คือ – 18 จะไดจ้ านวนคู่ที่ถดั ข้ึนไปเป็น
(– 18) + 2 = – 16 ผลคูณของ – 18 และ – 16 เป็น (– 18) × (– 16) = 288 เป็นจริง
ดงั น้นั จานวนคู่ท้งั สอง คือ 16 และ 18 หรือ – 18 และ – 16

4.โจทิ์ปญั หรเาี่์ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ั

ตัวอย่างที่ 2 ผลคูณของจานวนเตม็ สองจานวนเรียงกนั เท่ากบั 650 หาจานวนท้งั สอง

วธิ ีทา ให้ x แทน จานวนหน่ึง
ให้ x + 1 แทน จานวนอีกจานวนหน่ึงที่มากกวา่
เนื่องจากผลคูณของสองจานวน คือ 650

จะไดส้ มการ x(x + 1) = 650
x2 + x = 650

x2 + x – 650 = 0
(x – 25)(x + 26) = 0

ดงั น้นั x – 25 = 0 หรือ x + 26 = 0
จะได้ x = 25 หรือ x = – 26

4.โจทิ์ปญั หรเาี่์ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

ตรวจสอบคาตอบ

• ถา้ ใหจ้ านวนจานวนหน่ึง คือ 25 จะไดจ้ านวนท่ีถดั ข้ึนไปเป็น 25 + 1 = 26
ผลคูณของ 25 และ 26 เป็น 25 × 26 = 650 เป็นจริง

• จะไดว้ า่ ถา้ ใหจ้ านวนจานวนหน่ึง คือ –26 จะไดจ้ านวนที่ถดั ข้ึนไปเป็น
(–26) + 1 = –25
ผลคูณของ –26 และ –25 เป็น (–26) × (–25) = 650 เป็นจริง
ดงั น้นั จานวนท้งั สอง คือ 25 และ 26 หรือ –26 และ –25

4.โจทิ์ปญั หรเา์ี่ ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ั

ตวั อย่างท่ี 3 รูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้ รูปหน่ึงมีความยาวรอบรูป 60 เซนติเมตร และมีพ้นื ที่
216 ตารางเซนติเมตร หาความกวา้ งและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมน้ี

วธิ ีทา ใหร้ ูปสี่เหล่ียมน้ีมีความกวา้ งเท่ากบั x เซนติเมตร
ความยาวรอบรูป 60 เซนติเมตร จะไดว้ า่ ความยาว คือ 30 – x เซนติเมตร

รูปสี่เหลี่ยมมีพ้ืนที่ 216 ตารางเซนติเมตร
x(30 – x) = 216
จะไดส้ มการ
30x – x2 = 216

30x – x2 – 216 = 0

นา –1 คูณเขา้ x2 – 30x + 216 = 0

(x – 12)(x – 18) = 0

4.โจทิ์ปัญหรเา่์ี ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ั

ดงั น้นั x – 12 = 0 หรือ x – 18 = 0

จะได้ x = 12 หรือ x = 18

รูปสี่เหล่ียมรูปน้ีมีความกวา้ ง คือ 12 เซนติเมตร และความยาว คือ 18 เซนติเมตร

ตรวจสอบคาตอบ

ความยาวรอบรูป 12 + 12 + 18 + 18 = 60 เซนติเมตร

และพ้ืนท่ีเท่ากบั 12 × 18 = 216 ตารางเซนติเมตร

4.โจทิ์ปัญหรเา์่ี ัาบล ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเดี์ั

ตวั อย่างท่ี 4 ปรีดามีเงินซ้ือกระเบ้ืองที่ใชป้ ูกระเบ้ืองพ้นื หอ้ งท่ีมีพ้นื ท่ี 180 ตารางเมตร

ถา้ หอ้ งน้ีมีดา้ นยาว ยาวกวา่ ดา้ นกวา้ ง 3 เมตร อยากทราบวา่ ปรีดาสามารถ

ปูกระเบ้ืองหอ้ งน้ีมีความยาวและความกวา้ งกี่เมตร

วธิ ีทา ใหด้ า้ นยาวเท่ากบั x เมตร

ดา้ นยาวยาวกวา่ ดา้ นกวา้ ง 3 เมตร นนั่ คือ ดา้ นกวา้ งเท่ากบั x – 3 เมตร

หอ้ งน้ีมีพ้นื ท่ี 180 ตารางเมตร

จะไดส้ มการ x(x – 3) = 180

x2 – 3x = 180

x2 – 3x – 180 = 0

(x – 15)(x + 12) = 0

4.โจทิ์ปัญหรเา่์ี ัาลบารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเดี์ั

ดงั น้นั x – 15 = 0 หรือ x + 12 = 0
จะได้ x = 15 หรือ x = – 12

ตรวจสอบคาตอบ

ดา้ นยาวเท่ากบั 15 เมตร จะไดว้ า่ ดา้ นกวา้ งเท่ากบั 15 – 3 = 12 เมตร
พ้นื ที่หอ้ งน้ีเท่ากบั 15 × 12 = 180 ตารางเมตร เป็นจริง
ดงั น้นั หอ้ งน้ีมีดา้ นยาวเท่ากบั 15 เมตร และดา้ นกวา้ งเท่ากบั 12 เมตร

4.โจทิ์ปญั หรเาี่์ัาบล ารรแา้ามารรารยลงาองตัล แปรเด์ี ั

ตวั อย่างท่ี 5 พอ่ มีเงิน 300 บาท แม่มีเงิน 294 บาท ลูกคนโตมีเงินมากกวา่ ลูกคนเลก็

5 บาท ผลคูณของจานวน เงินของลูกท้งั สองเท่ากบั ผลบวกของจานวนเงินของ
พอ่ กบั แม่

วธิ อีทยาากทรใาหบล้วาูก่ ลคูกนทเล้งั กส็ มอีเงงคินนเทม่าีเงกินบั คนxละบเาทท่าไร
ลูกคนโตมีเงินมากกวา่ ลูกคนเลก็ 5 บาท เท่ากบั x + 5 บาท
จะไดส้ มการ x(x + 5) = 300 + 294
x2 + 5x = 594
x2 + 5x – 594 = 0
(x – 22)(x + 27) = 0

ดงั น้นั x – 22 = 0 หรือ x + 27 = 0
จะได้ x = 22 หรือ x = – 27

4.โจทิ์ปญั หรเา่์ี ัาลบารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเดี์ั

คาตอบ
ลูกคนเลก็ มีเงิน 22 บาท แสดงวา่ ลูกคนโตมีเงิน 22 + 5 = 27 บาท
ผลคูณจานวนเงินของลูกท้งั สอง 22 × 27 = 594 บาท ซ่ึงเท่ากบั
ผลบวกของจานวนเงินพอ่ กบั แม่

4.โจทิ์ปัญหรเา่์ี ัาบล ารรแาา้ มารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

ตวั อย่างท่ี 6 รถสองคนั แล่นไปคนละเส้นทาง โดยออกตวั พร้อมกนั รถของปองศกั ด์ิ
แล่นไปทางทิศเหนือ และรถของปองกลู แลน่ ไปทางทิศตะวนั ออก โดยท่ีรถของปอง
กลู แล่นดว้ ยอตั ราเร็วที่มากกวา่ รถของ ปองศกั ด์ิ 10 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง หลงั จากที่รถ
ท้งั สองคนั แลน่ ไปได้ 2 ชว่ั โมง รถท้งั สองคนั อยหู่ ่างกนั 100 กิโลเมตร อยากทราบวา่
รถท้งั สองคนั แล่นดว้ ยอตั ราเร็วเท่าไร ถา้ ใชอ้ ตั ราเร็วคงที่ตลอดเวลา
วธิ ีทา ใหอ้ ตั ราเร็วรถของปองศกั ด์ิเท่ากบั x กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง

ใหอ้ ตั ราเร็วรถของปองกลู เท่ากบั x + 10 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง

2 ชว่ั โมง รถของปองศกั ด์ิแล่นได้ 2x กิโลเมตร
2 ชว่ั โมง รถของปองกลู แล่นได้ 2(x + 10) = 2x + 20 กิโลเมตร

4.โจทิ์ปญั หรเาี่์ัาบล ารรแาา้ มารรารยงล าองตัล แปรเด์ี ั

สามารถเขียนรูปได้ ดงั น้ี

4.โจทิ์ปัญหรเาี่์ัาลบารรแาา้ มารรารยงล าองตัล แปรเดี์ั

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส (2x)2 + (2x + 20)2 = 1002
จะไดส้ มการ
4x2 + 4x2 + 80x + 400 = 1002
8x2 + 80x + 400 = 10,000
8x2 + 80x + 400 - 10,000 = 0
8x2 + 80x - 9,600 = 0
นา 8 หาร จะได้ x2 + 10x - 1,200 = 0
(x + 40)(x - 30) = 0
(x + 40)(x - 30) = 0

ดงั น้นั x + 40 = 0 หรือ x – 30 = 0

จะได้ x = – 40 หรือ x = 30

ค่าเป็นลบไม่ใช้ จึงไดว้ า่ อตั ราเร็วรถของปองศกั ด์ิเท่ากบั 30 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง

4.โจทิ์ปัญหรเา์่ี ัาบล ารรแา้ามารรารยงล าองตลัแปรเด์ี ั

ตรวจสอบคาตอบ
อตั ราเร็วรถของปองศกั ด์ิเท่ากบั 30 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง
อตั ราเร็วรถของปองกลู เท่ากบั 30 + 10 = 40 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง