เอกสารประกอบการเรียน

บทที 2 ฟงกช์ ันตรีโกณมิตแิ ละการประยกุ ต์
ชีทสอนออนไลน์ ป 64 รวม
จดั ทําโดย

นางสาวปานชวี า กล่อมยงค์
ชนั มธั ยมศึกษาปที เลขที

โรงเรยี นปราจิณราษฎรอาํ รุง



sin cos 00 goo

i Ol

¥0

=p
O-

Ol

-10 l0
y
21T

0 -1 3¥

o o

f-

MO

me

,NÑn→
d@A @ 19 0 :( 0101
,

→r

150° 270° 330°
,,

?cos
=

sing : ?

Q2 / - -1 ) Q1 It -11
, ,

"
I 1g-¥112,121
1-¥112) 5¥
1- ¥1121 ¥ •.
I (¥-11
,-0,3
- 0,4 It , -1

1- , -1

•

sin 10-1 : y-

cost :B

,

7ftcos B: -

2

¥ §cos =

3¥005 V2= -

2

FL- sin -11 = -
3

- sin 2,1T = - ftp.z/---r32

5¥ 4¥- sin
+ cos

Q2 Q 3

= -111+1-11

=1

1. จงหาคา่ ของ และ เมือ เป็ นจาํ นวนจริงต่อไปนี



1. 3 .....0........ ...-..I....... . 8 0 I

3. −5 .....0........ ....-..I...... . −2 0 I

5. − ....-..I....... ....0........ 6. − I 0

7. .....0........ ....-..I...... 8. − 1 0

9. .......I...... .....0....... 10. − I- 0
11. 57 .....-..7...... ....0........ 12. −57 I- 0
13. 53 .....-.I....... ....0........ 14. −53 I-
0

15. ......-..I..... .....0....... 16. − I- 0

sin y : cos ✗ - , -1 10 , 11

2. C- 1,0) + , -1

④ = IT , 3 IT , 5 IT , 7- IT , 9 IT ( 1,0)

( 0 , - 1)

① =0 21T 3 IT 41T
a
,,

30 ✗ 20 : 600

0 = If a 3¥ , 9¥ 13¥¥ ¥¥ , a ,a

g- : 2¥ , 4¥ , 8¥ , 10¥ a 14,1T 5¥ a ¥ a 19¥ 291T

,,

6

. จงหาคา่ ของ และ เมือ เป็ นจาํ นวนจริงตอ่ ไปนี

1800=45 225

:-(,- sins
....E.......
1. − ..V..2....... ..-..4....... .− ....r.z...... ...-..R.2.....
, ..E.........
3. 2 + . 2 + ..-..I....... 2
...¥........ ....☐.......
omen 2 on , , , z ..-..V.3......
2
5. − ...-..V.3..... ....I....... 6. − ....r.;......
22 0,3 ....i.......
7. − 2
..-..r.;...... ....z....... 8.
...-.1.2......
9. Qi ....1.2...... ..%......... 10. − ..I.........
4. จงหาค่าของ
q,

. + ( ¥ ✗ E) + (1×253)=10-+213

cos 900=0

2. − + − +

Iz (E) ¥-11T ¥-1B ¥fO -
- ) -11 - + V3 ' = + It V3 : zr} -11
-

3. 3 − − +

31¥ ) ? :( E) d- flirt - + g. 1¥12 :#- HII -1×1*+4-+14

= 1-14-1/+11 =3

,

4. sin secπ + −

1- " 1- " +1%14%12-111111=-1+5-1 :
,
:

5. + + + − + sec(− ) + cos(− )

f- ( -1¥F--¥ -1¥ -12
+
¥-1 ¥-1 ¥ )1-2) +
E-
- =-

?⃝

Qa Sin 1-11-0-1 : Sino
cos I -11-0-1 = - Cos D-
IT

Q2

5¥ ( )IfSin Sin ( -20¥ ) = - sin 20¥
= sin T1 -

¥sin- it ¥)= - sin -

-

IgM 1¥= - sin 60

= 12

it If)COS ¥= -
= cos -

If= - cos COS (-20,1--1) = cos 20,1--1

= -41 / ¥) ¥ -12= COSIT
- = - cos :

sin (9-0-11) = sin / )¥0IT 422 / ¥01cos
- ,
cos 91T IT
To = -

= sin

= 0.309 = - cos
= -0,951

.

/ )-1¥Sin 0055¥ = COS (-11+-14)
Sin IT
If= - cos
=
¥-
¥= - sin
-
= V2
-
2-

A cost -1,3¥ ) : cos 13¥

Q} = cos (-11+1,12)

13¥ / )-1¥sin : sin IT -1,2= - cos

= - sin = -0.966 .

= -0,259

/ If )Sin
= sin 21T - 0051¥ / )COS
=
÷21T -

sin= - -11 = cosy

6- : V3

= -12 2-

sin / -5¥ ) -5¥: - sin cos -5¥ = 005/2-11-13)

/ )2k¥= - sin = cost
=3
= - f-sing )
แบบฝกหัด 2
=rz
เปนจํานวนจรงิ ตอไปน้ี
1. จงหาคาของ sin และ cos เมื่อ

sin( 5 ) = sin 5 cos( 5 ) = cos 5
4 4 4 4

= sin( 4 )QQ} = cos( 4 ) 0-3

= …-…f-…s…in……)…………… = ……- c…o…s…t …………..
4

= …………R2………………… = ……-…R…2 ……………..
2
2
1. sin( cos( 7 ) = 00571T
7 ) - sin 71T 4 4-
d
4= I --00s / 2k¥ )
Qu
/ ¥ )= - sin 21T
-

= - f-sing ) = cos -1

=¥ 4

=D
-2

¥2. sin 9 = sin / 2-11+-14) cos 9 / )= -1¥cos 21T
4 4
= sing = cost

= V2 -4
-2
= V2

I

3. =sin 11 / ¥1sin 31T - cos 11 = / ¥ )cos 31T-
4 4
: - cos -4101450
-1µm 1¥Q2 : 45°
= sin V2: -
, 2-

¥=

4. sin 10 = sin / 3-11+-13 ) cos 10 = 005/3-11-1¥ )
3 3
% = - COS -310460°
= - Sinton 600
= -1
V3= -
I ,

5. d sin( 7 ) = - sin 71T cos( 7 ) = 7¥COS
6 6- 6
Q3
/ )= - sin THI = 005/-11+-1,1
,

:-( - sing ) = - cosy

= 12 V3= -
2-

6. sin( =7 ) - sin cos( 7 ) = cos
3
6 3

0 , = - sin / 21-1+131 = 005/2-11-1¥ )
,

= - sin -11 -13= cos
-3 =L

BE=
-

¥7. sin 13 = sin / 4-11+-1,1 cos 13 = 005/4-11+-13 )
3 3
' sin -13
= cos -11
= sin 600
3-
=D
60°COS'
I
-

;=

8. 6 sin 37 = sin (6-11+-16) cos 37 = 005/6-11+-1,1
6 6
= sing
Q, = 005¥
;=
=¥

9. sin 2 = sin it- Ig ) cos 2 = / ;)cos
3 3 IIT
6 : sin -11 -
-3
Q2 = - cost
= Fg
1

-2= -

2. กาํ หนดให 0 < < 2 และ sin 1

5 จงหาคาของ

1. sin( =) 1gSino :

2. sin( ) = - Sino : -1 1 5
3. sin( 5-
) = sin 1- IT -10-1 to
= sin [-1-11-0-1] : - sin it -0-1
V24
= -1

,

4. cos = V24
5-

5. cos( ) = -5¥

6. =cos( 2 ) COS / -211-+0-1

- cos [-12-11-0-1]
-

= cos 121T -0-1 A) Q4

= COSQ

= V24
5-

3. จงหาคาประมาณของ cos( 73 ) เมื่อ sin 36 9
36 100

005731T 005/2-11+31,1 005%1=1-81
70000
=
0052-1=10000-81
if I
36 10000
0,1 = cos -11
-36 = ggyg

" cos 20--1 sin > ① =p " 10000

0052¥ + Sind;Ig =p 005¥ooo = 0,991g

I 0.9959

4. ให cos2 sin 2 1 1-) Qz

2 จงหาคาของ cos เมื่อ 2 < <

Costa - u - Costa =L

200520--1=12

COSZQ :{ ✗ 1z=¥[

¥0% COSA : -

แบบฝกหดั ท่ี 3

94 0-3

g) 45° M45° By 1-21-
f-+ cos
= - sin ) = -

Ez Ez= - - = - V3 -12131

7- 3

-21¥ V2= - = - V3 -16
. 3

1- 2) -1-11 : -7 ¥3 -11-11 -28

= -1
3

= - 2B -3

3

Q2
so
¥1T

1- B)2- 1- 2

B)

3- 3=0

(2) จงหาคาตอไปนี้ '

r
i+sin(¥Y+1.1
cos2 sin2 sin2 cos2 11 ? 1+1 + cos
4 4 66

¥121¥12 If //= it
¥1 /+ cos ,

¥ ¥12/= + cos

( %-) f-Ez / Y f-= -
121 + ( Ez ) 4r3 -13- -

:- +=

6

F) f ;) ;D=/ - r
1- v21 - 1-21 = 1-2 = 3- 2B
-
3

1.4 sin 5 tan 7 cos 3 sin 4
6 6 43

f-! ¥= + - Ex - E)

= ;+r; ;r

-

:[a. 1- rat ] + [1-121111]

I2-:
-
4
Iy= -

:/ - F) doin ' - (E) ' tri
: 3-4.94=-0-4 : - ¥

(3) กําหนดให 0 2 และ sin 4 cos ec

4 5 5 จงหาคา sec
①
O'Seco -100sec
3
5g -15-4

= 201-75
12

= 35
12

3 0,4 และ tan 1 cos

(4) กาํ หนดให 2 2 6 จงหาคา cot

Or=/ i ¥-1cos -1,5in - got a - cos

-61 - ✗

7

D- 6K6-=
6 -
37

= -61371-6031

37

= 222 -637T

-

37

(5) จงหาคาตอไปน้ี

1.1 Q2 cosQ12 200 t an0,34 150

sin1500

= sin (7800-300)+00511800-6001 1- tdn (3600-450)

: sin 300+1- cos 6001 - tdn 45°

= 12-12-1

= -1

1.2 sin( 405 ) cos 780 00sec 1- 390°) : - cosec 390°
cos ec( 390 ) = - cosec (36001-300)

Sin /-4050 ) : - sin 4050 30°= - cosec

tf = - sin (3000+450)
Qi
¥450= - sin
:- = -2

COS 780° = COS 17200+6001 -¥+12 7- V2

& = cos 600 2

=

Qi 1: -2 -2

2 = -7+05
4

1.3 sin2( 3150) tan2 9300

=/ - sin 315012 + tan 29300

:( - sin / 3600-459 ] ? [ tdn 19000 -13001 )
-

.FI?i-rI1zt-Eg-3ltdn(=-1
1.4 3 tan2 135 sec2 300
2sin 330

7800-459 ) ? / Sec / 3600-60912

25in 13600-309

= 31 - tdn 45012 -1sec 6092

21 - sin 3001

= 31-112-22

4¥)

= -4=1 5 และ tan Q3 Q2 )
3
(6) กาํ หนดให sec 0 จงหาคาของ sin(180 ) + 3cos(180

¥Cosa :3 Sina : - = Sino -131 - Cosa )
,,
= - (-1,1+31-3-5)

= 4-9 ¥= - = -1
5
5 4

8
3

กราฟของฟงกชน่ั ตรโี กณมติ ิ

1. พิจารณากราฟของ y = sin x ตอไปนี้

I 3¥

- 1I

2 ¥

I1

-3¥

I
I-

12/1-1-111=1

กราฟ โดเมน เรนจ สรปุ คาสูงสดุ คาต่ําสดุ แอมพลิจดู
y = sin x
y = cos x R f- 7,7 ] คาบ I -1 I
I
R f- 1,7 ] 21T I 1
21T

ดูภาพประกอบจาก https://www.tertututor.com/m5/graph-trigonometry.php
ตวั อยาง จงเขียนกราฟของ y = 3 cos x พรอมทงั้ หาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลิจูดของฟงกชนั

ijnoinooio
.

R

[ 3,3 ]

21T

f- 13-1-311 :3

R

E- lol ]

¥

I

สรปุ

¥ ¥

1 I

[ 1. I ] [ -1,1 ]

¥ ZI

Iat n

[- did ] Iat

f- dad ]

3

¥ : -11

กราฟของฟงกชนั ตรโี กณมติ อิ ื่นๆ

y :# y=s÷×

\ .my/-i " "" thief " 't y : sinx
,
!

.

..

..

..

แบบฝกหัด คาบ
1. จงหาแอมพลจิ ดู และคาบของฟงกชนั ตอไปน้ี …………21…T …………….
…………21…T …………….
แอมพลิจูด …………4…1T…………….
…………2…1T…………….
1. = ……………I ……………….
2. = 3 2 3

……………3 ………………. …………I…T …………….
2
3. = 3 ……………3……………….
……………41T…………….
4. = 4 3 ……………4………………. ……………21…T ………….
……………21T…………….
5. = − 4 ………………1 …………….
2
21T
………………2 …………….
6. = −2 I

7. = sin(− ) − 1 ………………I …………….
8. = 3 + 1 ……………3……………….

2. จงจับคขู องฟงกชันตรีโกณมิติตอไปน้ี

@i 1. y = 2 cos 2

9. 2. y = cos singy : -3 ✗

2¥M 3. y = 3 − of MN : 41T
,

N 4. y = 2sin
,

2¥by -35in / ¥ ) MN : 211¥ : 4

[email protected]

y : 2005211 cos

เรียนเสริมความรูเพ่มิ ไดท่ี
https://www.youtube.com/watch?v=4U68YxgsQlg
https://www.youtube.com/watch?v=0r1r0gkrrwY

ฟงกชันตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลตางของจํานวนจริงหรอื มมุ

แบบฝกหดั

1. จงใชฟงกชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตางของจาํ นวนจรงิ หรือมมุ หาคาตอไปนี้

1. =cos(60 45 ) cos 60%05450 - sin 60° sin 45°

--1111%1-1111%1

=R Ro

2- - 2

: ra - ro

2. cos(32 2 g3'{¥° g) 270°
3 ) = 0053¥ cost + sin 3¥ sing

= 1-111%1

V3: -

2

3. sin135 = sin 1180°- 45° )

: sing soo cos 45° - cos 180°sin 45°

1¥:-c - " )

i V2
I

4. tan75 = tan / 450-1309
=tdn45°+tdn3O°
1- tdn45°tdn3O°

= I -1¥ = 3-1,033 =3 -1J} 31
°
3- V3 31 3- As

1- 1111¥ ) = 721-60.3 2-1 V3

6 =

5. cos( 7 )
12

/ ¥ )cos- E. +
-

cos' costly sin -1,5in

- -

=/ £11k) - 1. E) (E) =ñ - ro

4

6. sin(1172 ) :sinf + %)
:sin5¥ cos +0055¥ sing

=L -111%1+1%1111

- of - rz

=

4

7. tan(19 )
12

/ -5¥ )tan-21T

-

=tdh2T- tan z

7+tan2Ttan5¥

= -tan -511

I

= - (2+8)=-2-03

2. จงหาคาของ
1) sin120 cos15 cos120 sin15 = sin 11200-1 1501
= sin 135°
Sint 909-459 : cos 450 = sin 11800-459

= V2 ¥: sin 450 :

2-

2) sin83 cos 38 cos 83 sin 38 : sin 1830-389

: sin 45°

¥

3) cos 40 cos 20 sin 40 sin 20 : cos 1400-12001

i1
2

4) sin 342 sin117 cos 342 cos117 : cos I 342? 117° )

= COS 225°

: cos 11800+4501

tan 48 tan 72 = - COS 45°
1 tan 48 tan 72
= V2
-
2-

5)

: tdn 1480-17201
= tdnn 20°

fan- 1180° - 60° )

-

: - tan 60° V3: -

tan 200 tan170

6) 1 tan 200 tan170

: tan 1200°- 1709

: tdn 30°

:B
3-

cot10 cot 50 1
7) cot10 cot 50

: cot 1100+509

: cot 600

¥

cot 3 cot 5 1 / 3¥= cot I ¥E
4 4
8) .

cot 3 cot 5 :cotf¥ )
4 4
:O

9) sin 3 sin 8 cos 3 cos 8
8 8

[= cos cos sin sing ]
-
-

¥1cost= - +

= - COSI

,

:O

10) cot x y cot x 1
cot x cot x y

:cot[ ix. ytx ]

:cotl - y )

= - Coty

*☒ ue** A cos 6 A cos 3 A sin 6 A

11) sin 3

)-11¥ -1¥Atisin - )-1A

:sin( If-2A )

12) cos 4 A cos 7 A sin 4 A sin 7 A
4 4

)-11¥ +1¥ )cos- A) -1A ,,,

,

:(0521T
:p

Q2 Q 3 3 tdnps :& 12
2 5 5
3. กําหนด 2 A , B } และ cos A , cot B จงหาคาของ

1) cos A B 2) tan A B 3) cos ec A B

Sina :4 5 13
-5
A) " B)
5
3 72

① cos / A- B) : COSACOSBTSINASINB ¥3SINB : -
¥costs : -
1-3=11%1-+1*11- ¥1

3¥ ¥" ③ cosec / Atb ) : 1
-
sin /A- B)

÷ ¥= -

② tdn / Atb ) :tdnA+tdnB sin / A- B) =SincosB - cosasinp

1- tdnatanb : ¥1-7,1 - f- E) f- %)

=/- ¥) -1¥ : -48-15
65
a- 1%11%1
÷.

= -16-15
12

i+¥m¥

:-# ✗ ¥-13

: -33

To

Qz 4 และ sin A 0 , tan B 5 , Q} 3
5 12
4. กาํ หนด cos A B 2

จงหาคาของ cot A B

cot / A- B) : COTA.co/-Bt1 ¥+1- 36+20

COTB - COTA ,

:/ -111%-1+1 ¥+31 N 15

¥ -1-1,1 ¥×¥= ,
-

: -3¥,

5. กําหนด cos A B 1 และ cos A B 3 จงหาคา cos Acos B
2 4

:{COSACOSB - sin ASINB ①-

:& ②COSACOSB -15inASINB
-

① ②+ ° ,
,
ZCOSACOSB :S

I

COSACOSB :S
8-

6. กาํ หนด cos A 4 , cos A B 12 และ 0 Q, 2, Q} 3
5 13
A AB 2

จงหา 1) sin A B ¥- 2) sin B

13 5 sinB:sin[lA+B) - A ]

)am : sin / At B) COSA - Costa -1 B) Sina

12 -1%111,1-1%1111

5 = ¥- -1¥

A) 3

4 :¥s

7. กําหนด A B 225 จงหาคาของ 1 tan A 1 tan B 2

7-itanA-tdnbttaQ3nn-otanbtdhlA= -BI.tdnzz-g.com
Altan 450
tanattanp tan 11800+4501 = 1+7 - t¥BttdnAtnB

=

7- tanaotdnp :2
,

tana -1 tanB : 111- tana • tdhB )

: 1- tdhA•tdnB

?⃝

8. กาํ หนด cos A B 7 ถา A Oi tan B 2 แลวจงหาคา
cos A B 3 ,

เปนมมุ แหลม และ

tan A B

30051A - Bl : TCOSACOSB - Sin AsinB

3 [ COSACOSB + sin Asin B) : 7 [ COSACOSB - sin Asin B]

rosin Asin B = KCOSACOSB

sin Asin B 42

JtanatanB@dC_O2S_ACgOtaSBnAi=2_ToO-1:g.o
° tan / At B) : tana + tan B
,

1- tan A. tdnB

= ¥+2 1- 2-

(E)1- M 5
(2)

:¥✗¥ = 3g

;=

①Sin / Atb ) -_ SINACOSB -1 COSASINB -

②sin / A- B) =sinAcoSB - COSASINB -

COS / A- + B) =COSAsinB -1 SINACOSB - ①

00

☒ sin /ATB ) -15in / A- b) * * sin / A- + B) - sin /A- B) *

: sin / 450-1150 / + sin / 450.1501 ' sin / 450-1150 ) - sin / 450-1501
:S in 16001 - sin / 3001
= sin / 60011- Sin 18001
ing - t :b -1
¥+12= :B -11 2
2
-25in 4505in 150
Nt @ 2)
=
W
-2
☒ Raps 26087 = 20054540515° I✗
: 005600 - cos 30°
2 =
-2
V18 2009 = V3 -11
: E- ¥ = -4¥
= cos / 60° ) -1005130° ) 4
2-
2

= I -1¥

2

= sin / 9001 + sin / -601° 20055¥ 005¥

: sin 19001 - sin / 6001 = Zsa 1¥90 on, 18¥60

- sin 900 - sin 60° )+ cost "¥
-

§i: = cost
-
2
:# ¥
: cos -900+005600
2
2
= 2- Fs
= 0-112 = 14
2
2

coin + Ñunjrionr sin 760° /sin- 1800-2001 COS 120°: cos 11800-609
ตัวอยาง จงหาคาของ -2 40° 80° 160° : - COS 60°
.
: -12
: sin 200

/[-25in 400 sin 80° • sin 60° 2

= = -11-11=1

2-

):[ cos 11209 - cost -40° ) • sin 60°

2-

12 sin 20° - cos 40° sin 20°
§ f- )= -.

f- ]-14: sin 20°- zoos 40° sin 200
hrrrrrnnnnv

-141 )( ): - sin 20° - sin 60°- sin 20°

E--14 f-= sin 20° - + sin 2001

ตัวอยาง จงหาคาของ 4 20° 40° 80°

= 2 [200520%05400] • COS 800 0051000=00511800-804
Q2 80°= - cos
21005600-1 ]Cos 200

= cos I-207 cos 80°

it

-2 = 171-20052001 COS 800

= cos 80° -1200520° cos 80° 60°
Ncos
100°= COS 80°-1 COS
-1 Cos I -60)
www.co#-coY80tcosoo0o0o=1z

)C0s(105°j191. → cost-450)
sin105° + sin195° /= 25in 1059195°
2

-41211¥A-0,2 25in 150° cos 450

uuuuuw

' )

sin list -30,

¥

75° 75° ✗ Q , Sin 1900-150 )
75°'

-
cos

2. − = 005¥ - sin / ¥ - ¥1 .

costly= cos 51T
-
T2

/ ;¥ / / ;÷ ): - asin
¥ ¥sin

Sini= - win E: -

: -4111¥ )

3. Icos20° + cos100°1+ cos140°

(200+100): 20052 cos (200-2100)-1 cos 140°
z=cos.to/cos40+cosn4o0:cos4JtC0S14O0:2cosq%c0Sl-
509

=D ,

1. 2 15° 15° = sin 211501

= sin 30°

=7
2

?⃝

2. 2 18° 36° = 25in 18° COS 36° cost 8° : sin 213601 : 0051/80

005180 2005780 200¥80

= sin 211801 cos 36° = sin -120 = 12
005180 2005180

= 25in 36000536° = Sin / 900-1801

200518° 200578°

°°°
3. °
40✓ - function
.

2sinicosi-sinis.in/qo0-z9sin1qo0-i92l2Sin4=01sin40=sin#1 rossini
zsinicosico.si
4sin4°
=

25in 40

= sin 211900520 = 14

25in 40

4. จงหาคาของ 2 , 2 , 2 เมอ่ื กําหนด = −

และ π ≤ θ ≤ 1931 Cosa : -4
5 5-
105in 20 : 25in 0-005 D-
4 tano :3
" 1¥11 - ¥1 -4
3. tan 20 : Ztdno
= 24 1- 1-and -0

Is 4%1

Sinha20 COS 28 =
>
1- 1¥12
: cos D- -
¥ ¥8'
f- ¥1:(¥1 ' -

:¥¥ :¥

¥'

**

5. ถา A เปนจํานวนจริงหรือมมุ ใด ๆ แลว 3 = 3 − 4

sin 3A : sin 2A -1A
= sin 2A COSA -10052A SINA

=/ 25in ACOSAICOSA -111- wind Alsina
= 2. sin ACOSZA + Sina - sin > A

sina.zsinZA-zs.in= 25inAll-sin>A)+
A -25in> A + Sina -25in> A
= 35in A -45in > A

6. ถา A เปนจาํ นวนจรงิ หรอื มมุ ใด ๆ แลว 3 = 4 − 3

COS 3A : 00512A-1A )
= COSZACOSA - sin 2A Sina

:/ 20052A - 1) COSA - 25in A- COSA • Sina
=2C0s3A - COSA - ZCOSASINZA

:2cos3A - Cosa - ZCOSATÉÉSZA)
mum

= 4cos3A -3 COSA

7. กําหนด sin( 30 ) cos( 60 ) 1 จงหาคาของ cos 3 1¥ ]
4

sin / 0--1300 ) : sin 0-005300-1 Cosasin 300

= ¥ sins -11,0050 ①

Costa -160° ) : cost cos 60° - sino-s.info

¥= Izcosa - sins ②

:&① + ② I cost : 1- 12
76
COS 38=400530--3 cogs
: -11
= 41¥13-31¥)
-16
¥=
-

ตัวผกผัน(อินเวอรส)ของฟงกชันตรีโกณมติ ิ

✗ isiny / Qi / 0-+1

✗ : cosy d

Qzl -0-1

Q2 Q
,

Ariadna's

✗ : 1-any µQ 10-+1
,

d

0,41-0-1

1. จงหาคาของมมุ ท่เี ทากบั ตวั ผกผันของฟงกชนั ในแตละขอ

1) arcsin 0 = ……0…………. 2) arcsin 1 = ……IT…………. 3) arcsin 2 = ……IT………….
4) arcsin 3 = ……I…T ………. 2
6 24
23 5) arcsin 1
= ……I…T ………. 6) arcsin 1 = …-…IT…….

22 6

7) arcsin 2 = …-…IT……… 8) arcsin 3 = ……-1T……… 9) arcsin 1 = ……-1T………….
24 23 2

10) arccos 0 = ……I…T ………. 11) arccos 1 = ……I…T ……. 12) arccos 2 = ……IT………….
2 23 24

13) arccos 3 = ……IT…………. 14) arccos 1 = ………° ……. 15) arccos 1 = …2¥…/…IT…-.¥1
26 2

16) arccos 2 = …3…1T………17) arccos 3 = …5…1T………18) arccos 1 = ……IT………
19) arctan 0
24 26

= ………0 ………. 20) arctan 1 = ………IT ………. 21) arctan ,1-59 = ……"………….
3 6 4
tan

22) arctan 3 = ……51………. 23) arctan 1 = …-…1T………. 24) arctan 1 = ……-1T………
36 4

25) arctan 3 = ……-IT………. 2. cos(2arccos ( 1 ))
2. จงหาคาตอไปนี้ 3

÷1. sin(arccos ( 3 )) for arccos 1 :A
2

sheirdrcoosrz :A 3

, a) A

:B :}COSA 7
,
COSA ° OEAEIT / ;)ooo 00s Zdrccos

, :C0S2A

A : If :cos2A - Sintra

iesinldrccosrg ) : Sina :L :L:(¥1.

= sin -1 g-=1
-
6 ,

}= f-=
-

3. cos(2arcsin ( 1 )) 4. sin(arcsin ( 1 ))
3 air ' 2
bÑdrcsinf ;) :A
2K / 1)lÑarcsin - =A

-13Sina : 10,41-1 cost sin - Sina : -12

ooocoslzdrcsinf -1,1 :(osza IfA : -

ooosi:(051A-SINAnldrcs.in/-1):sinA:pr;i-t:i:-1z:8q-1g:7q
sin larcsinx ) :X

5. cos(arccos 3 ) :-& 6. tan(arctan ( 1 )) :{
2 2
bad drocosf - ¥1 :A * * let
BECOSA : - o°otan[arctanx ] :X
*

cos[ drcoosx ] :X arcsina :O

/ 1)Sinti : Aisin -

0 : -1

,

7. sec(arcsin 2 5 ) Moosa :r¥
5
5 ZFS
slairdrcsinf -2¥ ) :A
A)
Sina : -28
5 Fs

i. seclarcsinfg.rs/1:secA-s-
Fs
✗
V5 Fs

:5

8. sin(arAco}s 3 + arcsBizn(- 3 ) ) :sinlAtB )
5 5 :sinACosB+cosAsinB

drowsy :A s =/ ¥1 / E.) + 1¥11 - E)
" ' 16¥
COSA :3 " Yg
, 3T

drcsinf - ¥ ) :B 5
3
-3gsin B : @ 0,4
4T

AB W @ 9tdnlAtB )

9. [PAT 1 ป 2563]

oootdn / 3¥ + Zdrctdnt ) tan3¥:tdnfñ- ¥1

tdn¥- tdnlzarctan ;) = - tdn¥M¥0 45

= : -7

3¥1- tan tanlzarctan ;) A

¥= f- 1) + Moin tanldrctdntz )
ummm
1- 1- 111¥ )
fan@ stanza
= }÷ }
= Ztanldrctdntz )
:1zx¥ :}
# 1- tanlarctdnt )

:#
1-1 :P

:} ¥=

4

10. {PAT 1 ป 2562}
Waterworks cos

Walloon

my / )-1¥sin sin 2-11 ¥ 3¥Ñ@
: ☐- :

qogoo.to unction = sin 31T ☐ : ¥ -3¥
7-
& ☐ : 71T -61T
: sin / E- ¥, )
74
: costly
I=

14

( 1¥ ) / 005¥ )i. drcoos sin : ¥4
drccos

:

-11+3,1%91¥ /Wanton sin ,

sin

:

3¥: - sin

: sin 1-¥1

°/ ) / -3¥ ) -3¥10¥•sin
. drain : arc sin sin :

,

f. -";¥ 3¥ )oooh:@ON : ¥ ¥' :
- =
, ,

เอกลักษณและสมการตรีโกณมติ ิ

เอกลกั ษณ หมายถึง สมการท่ีเปนจรงิ เมอ่ื แทนตวั แปรในสมการน้นั ดวย
จํานวนจรงิ ใดๆ ซงึ่ ทาํ ใหพจนแตละพจนในสมการนั้นมคี วามหมาย

การพสิ จู นเอกลกั ษณ จําเปนตองใชเอกลกั ษณพ้ืนฐานที่กลาวไปแลว และ
การจะพสิ จู นไดอยางชาํ นาญขึ้นอยูกับประสบการณที่สามารถฝกฝนได และ
เอกลกั ษณบางอยางสามารถพสิ ูจนไดหลายวธิ ี

ตัวอยาง 1 จงพิสจู นวา = 3

L S : 2005%0--17 - cos -0-1-11
,
cost
= 30051A
cost

= 30058

ตัวอยาง 2 จงพสิ ูจนวา =

LS :1-iscinoois-sin-0o-its✗ino-coso-li-s.int
)
1- sing

- cos / itsinol
-

costa

: it Sino

cost

ตวั อยาง 3 จงพสิ ูจนวา =

LS : Sint 1- cost
7+00511
•

1- cost

= sinx 11 - cost ) *f

1- cosh tan ¥ 1- cost sinx

: sin ✗ 11 - cosh :=

sink sin ✗ It cost

= 1- cost
sinx

¥: tan

-

ตัวอยาง 4 จงพิสจู นวา =

Ls = - zsin (30-+250) sin / 30--250 ) tdn Iz : sin ¥ : sinx
ITCOSX
cosy

(30-+50) / )25in
cos 30--50 2sin¥cos¥

22 :

- 2sin4D- sin /- A) 20052¥

=

2. Sinha cost-0-1 s n
sina . IE/: i O 2 /1tco= so-
cost 2 )

: tdno

แบบฝกหัด

จงพสิ จู นเอกลักษณตอไปนี้
1. ( + ) + ( − ) = 2

=

= 7-17=2 ,

2. sec − =

1 sins = 1- Sindt A) copy
0050-11-1 Sino )
=-

Cosa Cosa

1- sins it sins

=✗ : COSA

COSA i-sindntsi.no

3. + = 2

Sino Sino

=+ 1

COSA cost

:sLin( cSaoins.ata)z/-dnDCo-s y Sina

:

Cosa

b­

4. + = 2

LS : 11 - sin 0-12-1 costs 211 - Sino )

cost / 1- Sina ) =

0050-11 - Sinai

= 1- wins -1 sin 's -11 - sing : 25000

Cosa 11 - sine )

52.sinoco:s2o--lisino-lvsli-sin=20 - I L . s i
COSA Hsing .gg

sino--tzsindicos-12sino-sino-lsin-o.FI

: coto

6. ถา A + B + C =180° จงพสิ จู นวา

6.1 = sin( + )

07h A : 180°- IB -1C ) ox sin / IT-0-1 : sins
Sina :
sin -1180°- IB -1C ) ]

:sinfBtC )

6.2 = −cos( + )

A- 180° - ( Btc) A cost -11-0-1 : - COSA

-1180 )COSA - Q2
-
cos - ( Btc )

= - COS / Btc )

o­l­

7. จงพสิ ูจนวา =

L.S. : wino cost + sins
200520--1-10050-+1

= sin 0-120050-+17

COS D- 12C 050-+7 )
: tana

8. จงพิสจู นวา = 5

Ls : ✗sin (80+220) cos 180¥)

✗cos / so-1,20100s (n

: sin 50
cos 50

: tan 50

9. จงพิสจู นวา 20° 40° 80° = (โดยใชมุม 2 เทา)

°cos2Ñcos 400005800

=

=ÉF÷Zsinzoo

25in 80%05800

=

2045in 20°

sin 1600

=

85in 20°

= sin 1180° -2001

8 sin 20°

= sin 20° : I

85in 20° -8

สมการตรโี กณมิติ

การแกสมการตรีโกณมิติทาํ ไดในทํานองเดียวกันกบั การแกสมการท่วั ไป สมการ

ลอการทิ ึม หรือสมการเอกซโพเนนเชียล โดยอาศยั ความรเู กย่ี วกับฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ1-1,0) 1110)
*
เพ่ือหาคําตอบของสมการ *

ตัวอยางท่ี 1 จงแกสมการ 2 + 3 − 3 = 0 เมอื่ 0° ≤ ≤ 360°

211 -00520-1+30050--3 :O :}COSA ( Qiao.gl
-200520-+30050--7 :O
f--60,300°

ZCOS 'd -3650-+7 :O COS -0--1

12 COSA - 1) ( COSA -11 :O 8--00,3600

:}COSQ ,, NOVO : 00,600,300,360°

ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ 3sec − + 2 = 0 เม่อื 0 ≤ ≤ 2

3 -0050-+2 :O 10050--3110050-+1 ) :O
cos ,
COSA :# -1
3- COS 'D -12005-0 :O
cos 'D -20050--3 :O Q : -11

แบบฝกหัด
1.จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ √3 + 2 = 0 เมอ่ื 0 ≤ ≤ 2

r3cose.h/t2coseX-coseXlr3coseXt21-coseX-0afcoseX=sinx-
0
✗ :O , -1T

now {0,1-1}

O­O­g­O­

2. จงหาเซตคําตอบของสมการ 2 + 2 = 1 เม่ือ 0 ≤ ≤ 2

2005¥cos 2×-1 - I :O

20052×-100521×-21--0 :}cost IQ , , 0-41

20052×-1 cost - I :O -31✗ :
,

1405×-711005×+11=0 cost :-p
✗ : IT
:}cost -1
, }o:@ ON { ¥ , -11,5¥

3.จงหาเซตคําตอบของสมการ + 2 = เมอื่ 0 ≤ ≤ 2

cost + 2sinX= ^ COSX : -12,1 ¥901

sing Sint

cost -125in 't :| cost : 1

217 CDSZX ) -1005×-1=0 ✗ : 0,21T

- 005%-1210,2,Q, )

-zcosdxtcosx -11 :O

ZCOSZX - cost - I :O ✗= ¥a
• *}
(2005×-11) / cost -1 ) :O ••V{* ¥ .

M < 360°

lttandpktdndf-311-itdnb-1.co4.จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 4 − 3 = 0 เมอื่ 0° ≤
tano :B IQ , go, } )

lttdnd -0 - 3tqn2p . } :O 0--600,2400

tando :3 tano :-B
tana : -13T
① : 720,300°

⑨ ON { 600,120,240,300° }

5.จงหาเซตคําตอบของสมการ 3 − 3 =

เม่ือ 0° ≤ < 360° 2sinQ -7 :O

sin 130 - f) :cos8 :}Sino IQ , a Az )
sin 20 : Cosa
0=300,1500
2sinO- COSA - COSA :O
⑨ ON { 300,900,150,270° }
cosoizsino - I ] :O

COSA :O

0=900,2700

PAT 1 ป 2563

N'° you

[ ] / Is )- dsin A.- Cota :3 }ooo
Cota
- sina
§d -17 :3 / 2)
cos 13600-600 )

9 :5 =coS6o°

;=

PAT ' 12563

0-4 +-

:r¥cosxtsinx

"

sinx

-
:( ¥ )Kosh
:siñ×-¥sin*¥ ¥-zsinx-
I COST :-&, -2,Isinx+sinI -4121/-1,1=3}
1- sink

¥sink - :O

☒* WOO 2×2-2%-11 - ¥ :O

✗ :-b -1 b'-49C tanx - cotx : -12-1-2)
i -12+2
2d

sinx : ± ¥-1- ¥1

4 :}

:# ± ¥ -1¥ 00¥

4

¥50418 I Fs 7
E- I '= • -
I✗
:# Fg10,415in"
2

a-

?⃝?⃝

กฎของไซนและโคไซน
กฎของโคไซน

ตวั อยางท่ี 1 กาํ หนดให a = 15 , b = 7 , c = 13 จงหาคาของ C

c. 2=92+62 - zdbcosc
132--152+72-21151177 COSC

769 = 225+49-210 COSC

225+49-169
=
210
120,5 12cos C :
=

,

C : 600

NOW 600