สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ม.ต้น-2

พ้ืนฐาน

คณิต ม.ตน้

Mathematics

จบครบในเลม่ เดียว

นางสาวเบญจรตั น์ ธงงาม 623110040130
สาขาคณติ ศาสตร์ ช้นป 3

สารบัญ

เน้อหา หน้า

-จํานวนเตม็ 1

-การสรา้ งทางเรขาคณิต 8
-ทศนิยมและเศษส่ วน
-จาํ นวนจริง 12
17

-สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว 19
-คอู่ ันดับและกราฟ 21
-อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว 23
-ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
-สมการกาํ ลงั สอง 25
27

-พหุนาม 29

-การแยกตวั ประกอบพหนุ าม 32

-อตั ราส่วน 34

สารบัญ

เน้อหา หน้า

-มิติสมั พนั ธข์ องรปู เรขาคณิต 36
-ทฤษฎบี ทพที าโกรสั 38

-การแปลงทางเรขาคณติ 39
-เส้ นขนาน 41
-ความเทา่ กนั ทุกประการ 43
-ความคลา้ ย 44
-วงกลม 45

-พ้นท่ผวิ และปริมาตร 48
-อัตราส่ วนตรีโกณมิติ 50
-สถติ เิ บอ้ งตน้ 52
-ความน่าจะเป็น 54

จํานวนเตม็

จาํ นวนเต็ม คอื จํานวนท่ประกอบไปดว้ ย
- จาํ นวนเตม็ บวก ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, …
- จํานวนเต็มศนู ย ์ หรอื ศูนย ์ ไดแ้ ก่ 0
- จาํ นวนเตม็ ลบ ไดแ้ ก่ -1, -2, -3, -4, …

1.จํานวนเต็มบวกและจาํ นวนเตม็ ลบ

จํานวนท่นอ้ ยกว่า 0 จาํ นวนทม่ ากกวา่ 0

จาํ นวนลบ ใส่เคร่องหมายลบ (-) จํานวนบวก ใสเ่ ครอ่ งหมายบวก (+)
บวกฃล
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
-5 -4

จาํ นวนเตม็ ลบ คอื จํานวน จํานวนเตม็ บวก คอื จาํ นวน
ท่น้อยกวา่ จํานวนเตม็ ศูนย ์ ทม่ ากกวา่ จํานวนเต็มศนู ย ์

คา่ สัมบูรณ ์

จุดกําเนดิ

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

คา่ สมั บูรณ์ของ -3 ค่าสมั บูรณ์ของ +3
ระยะหา่ งจากจดุ กําเนิดเท่ากับ 3 ระยะหา่ งจากจุดกําเนดิ เท่ากบั 3
คา่ สัมบูรณ์คือ 3 หรอื Λ‾#Λ$ # ค่าสมั บรู ณค์ ือ 3 หรือ Λ% #Λ$ #

1

2.การบวกและการลบ

v ผลรวมของจาํ นวน 2 จํานวน หาแบบน!้

* เรียกผลลพั ธ์ของการบวกว่า ผลรวม

1.ผลรวมของจํานวน 2 ใสเ่ ครอ่ งหมายทเ่ หมือนกนั "(
จาํ นวนทม่ ีเคร่องหมาย
! " #$ % ! " &$ ' " ! #% &$ '
เหมือนกนั
หาผลรวมของคา่ สมบูรณ์

2.ผลรวมของจาํ นวน 2 ใสเ่ คร่องหมายท่ 7 ซง่ มคี า่ สมั บูรณ์มากกวา่
จํานวนท่มีเคร่องหมาย
! " #$ % ! % &$ ' " ! #" &$ ' " (
ต่างกนั
หาผลตา่ งของค่าสมบูรณ์

v ผลตา่ งของจาํ นวน 2 จาํ นวน หาแบบน้!

* เรียกผลลพั ธ์ของการลบวา่ ผลตา่ ง

การลบน้น... เมอ่ เปล่ยนเคร่องหมายของตัวลบ... จะเปลย่ นเปน็ การบวก!

เปลย่ น + ให้กลายเป็น - เครอ่ งหมายทเ่ หมอื นกัน

1.การลบเมอ่ ตวั ลบเป็น ! " #$ " ! % &$ ' ! " #$ % ! " &$ ' " ! #% &$ ' " (
จาํ นวนบวก
ผลรวมของคา่ สัมบูรณ์
2.การลบเมอ่ ตวั ลบเปน็
จํานวนลบ เปลย่ นการลบให้กลายเป็นการบวก

เปล่ยน - ใหก้ ลายเปน็ + เคร่องหมายของตัวท่มคี า่
สมั บรู ณม์ ากกว่า

! " #$ " ! " %$ & ! " #$ ' ! ' %$ & " ! #" %$ & " (

ผลตา่ งของคา่ สมั บูรณ์

เปลย่ นการลบให้กลายเป็นการบวก

2

3.การคณู และการหาร

v ผลคณู และผลหาร หาแบบน!้

*เราเรียกผลลัพธข์ องการคณู วา่ ผลคูณ และผลลัพธข์ องการหารว่า ผลหาร

1.ผลคูณกบั ผลหารของ ! " #$ % ! " &$ ' ( ! #% &$ ' ( )&
สองจาํ นวนท่มี
เหมอื นกนั เคร่องหมาย หาผลคูณของ เครอ่ งหมายบวก
เครอ่ งหมายเหมือนกนั เหมือนกัน เป็น + คา่ สมั บรู ณ์ สามารถละไว้
ไม่เขียนกไ็ ด้
&$ ' ( +
! " #$ * ! " &$ ' ( ! #*

หาผลหารของคา่ สัมบูรณ์

2.ผลคูณกับผลหารของ ! " #$ % ! & '$ ( " ! #% '$ ( " )*
สองจํานวนท่มี
เครอ่ งหมายกัน ต่างกัน เคร่องหมาย หาผลคณู ของค่าสัมบูรณ์
ตา่ งกนั เป็น -
'$ ( " *
! " #$ + ! & '$ ( " ! #+

หาผลหารของค่าสัมบูรณ์

3.ผลคูณของจาํ นวน {ผลคูณขน้ อย่กู บั จํานวน คู่ !
ต้งแต่สามจํานวนขน้ ไป ค่ "
ของจาํ นวนลบทค่ ณู กัน

ตย. # " $% & # " '% & # " (% ) " # $& '& (% ) " '(

จํานวนลบมี 2 จาํ นวน (ค)่ เครอ่ งหมายของผลคณู เปน็ -

สมบัตขิ องจาํ นวนเตม็ กําหนดให้ a, b และ c เป็นจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดว้ า่

1. a + b = b + a (สมบัติการสลบั ท่การบวก)

2. a x b = b x a (สมบัตกิ ารสลับท่การคูณ)

3. (a + b) + c = a + (b + c) (สมบัตกิ ารเปลย่ นหมภู่ ายใตก้ ารบวก)

4. (a x b) x c = a x (b x c) (สมบตั ิการเปล่ยนหมภู่ ายใต้การคณู )

5. a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (สมบัติการแจกแจง)

และ (b + c) x a = (b x a) + (c x a)

6. a + 0 = 0 + a ( 0 เป็นเอกลกั ษณก์ ารบวก)

7. a x 1 = 1 x a ( 1 เป็นเอกลกั ษณก์ ารคูณ )

3

เลขยกกาํ ลงั คือ วิธกี ารเขยี นผลคณู ของจํานวนเดียวกันใหด้ งู า่ ยข้นน้นเอง!

เขยี นโดยใช้เลขชก้ ําลัง ตย. !" !# !ᴀ

มี 5 อยู่ 2 จาํ นวน อ่านว่า “5 ยกกําลัง 2” น้คอื เลขชก้ ําลงั ซง่ ใช้
แสดงจาํ นวนจํานวน
!" !" !# !ᴁ ทเ่ อามาคณู กนั

มี 5 อยู่ 3 จํานวน อา่ นวา่ “5 ยกกําลัง 3”

*บางคร้งเรียกการยกกาํ ลงั สองวา่ squara
และยกกําลังสามวา่ cubic

นยิ าม ถา้ a แทนจาํ นวนใด ๆ n แทนจํานวนเตม็ บวก แล้ว a ยกกําลงั n
หรอื a กาํ ลงั n เขียนแทนด้วย °ᴶ

โดยท่ an a1 4a4 2a 4..4. 3a

n

เรียก a ว่า ฐานของเลขช้กาํ ลงั
เรยี ก n วา่ เลขช้กาํ ลงั

" #ᴂ กับ ! " #$ ᴂ เปน็ จํานวนเดยี วกนั หรือต่างกัน?

ใหพ้ จิ ารณาวา่ 4 ซ่งเป็นเลขชก้ ําลัง หมายถงึ นําจํานวนใด ๆ มาคูณตัวมันเอง 4 จาํ นวน

กรณีท่ 1 " #ᴂ 2 คูณกัน 4 จาํ นวน กรณที ่ 2 ! " #$ ᴂ -2 คูณกัน 4 จาํ นวน

& " ! #' #' #' #$ & ! " #$ ' ! " #$ ' ! " #$ ' ! " #$

& " () & * ! #' #' #' #$ & ()

จาํ นวนมี 4 จํานวน (คู่) ดงั น้นจึงเปน็ +

4

สมบัตขิ องเลขยกกําลงั

กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนเตม็ ใด ๆ และ m, n เป็นจํานวนเตม็ บวก

1. °ᴵ " °ᴶ $ °ᴵ ᴈ ᴶ ᴀ5" ᴃ ‫ "ݝ‬ᴁ9
ᴩ‫ݪ‬ ϸϷ 9 " ᴁ5
2. ᴩ( $ ° ᴵ ‾ᴶ ตัวอย่าง จงหาผลลพั ธ์ ใหอ้ ยู่ในรปู เลขยกกําลงั

3. * °ᴵ + ᴶ $ °ᴵᴶ วธิ ีทํา ᴀ5 " ᴃ ‫ "ݝ‬ᴁ9 $ ᴀ5 " ᴃ ‫ "ݝ‬ᴁ9
ϸϷ 9 " ᴁ5 * ᴀ" ᴃ + 9" ᴁ5

4. * °¢ + ᴵ $ °ᴵ " ¢ᴵ $ ᴀ5 " ᴃ ‫ "ݝ‬ᴁ9
ᴵ ᴀ9" ᴃ 9 " ᴁ5
5. , ᴩ . $ ᴩ‫ݪ‬
ᴪ ᴪ‫ݪ‬ $ :* ᴃ ᴉ ᴀ+ " ;* ᴀᴉ ᴃ + " <* ᴁᴉ ᴀ+

6. °Ϸ $ 0 $ :ᴁ " ;* ᴉ ᴁ+ " <ϸ
ϸ
7. °ᴉ ᴶ $ ᴩ( $ ᴀ‫ "ݝ‬ᴃ Ans
ᴁ‫ݝ‬
‫ݪ‬ (‫ﺾ‬° ᴵ

8. ° ( $

การใชเ้ ลขยกกําลังแทนจาํ นวน

การเขียนจํานวนท่มคี า่ มาก ๆ นยิ มเขียนแทนดว้ ย ×10! เมอ่ 1 ≤ < 10
และ เป็นจาํ นวนเต็มบวก เชน่ 17,000,000 = 1.7×10" และทาํ นองเดียวกนั
การเขยี นจาํ นวนเต็มทค่ า่ น้อย ๆ กส็ ามารถเขยี นในรปู ×10! ไดเ้ ชน่ เดียวกัน
แต่ เป็นจาํ นวนเต็มลบ เชน่ 0.000017 = 1.7×10#$

5

วิธีคาํ นวณการหารท่มีเศษส่วนอยู่ด้วย

แปลงใหอ้ ยใู่ นรปู การคูณด้วยส่วนกลับของตวั หาร

ตย. เปลย่ นการหารใหอ้ ยู่ในรูปการคณู

8 ÷ ! − 32# = 8 × ! − 32# = − ! 8 × 23# = − 4
9 9 9 3

ส่วนกลับ หาผลคณู ของคา่ สมั บูรณ์

วิธคี ํานวณหาโจทยค์ ูณหารระคน

คํานวณโดยแปลงเป็นนิพจนท์ ่มีแต่การคูณกันอย่างเดยี ว

ตย. ! " #$% & '() ! " *% แปลงเปน็ นิพจน์

ส่วนกลับ ทม่ ีแต่การคูณ

+ ! " #$% & '(& , " *#- อย่างเดยี ว

หาผลคณู ของ

+ . , #$& ('& *#- คา่ สัมบูรณ์

เพม่ เตมิ สว่ นกลับของจํานวน

จํานวนลบมี 2 จํานวน (ค)ู่ ดงั นน้ จึงเปน็ + เตม็ หรือทศนยิ ม

+ $ แปลงจาํ นวนเตม็ หรือทศนยิ ม
/ ใหอ้ ยู่ในรูปเศษสว่ น แล้วจงึ หา

สว่ นกลับ ᴆ ! ϸ
ᴆ
* ! "# ! ϸ ᴁ ϸϷ
ϸϷ ᴁ
* ! &ỳ(# ! !

6

4.การคํานวณโจทยบ์ วก ลบ คูณ หารระคน

v นิพจน์ทม่ บี วก ลบ คณู หารระคน จะคาํ นวณอยา่ งน้!

ข้นแรก ตย. ! "# $ % "& ᴁ % $ (% )*& + $ % ,&
คาํ นวณเลขยกกําลงั ! "# $ % ,& % $ % "-& + $ % ,&
และใน ( ) กอ่ น

คาํ นวณคณู หาร ! $ % .(& % $ / )&
! % .(% )

คํานวณบวก ลบ ! % $ .(/ )&
! % .0

v สมบัติการแจกแจงท่ชว่ ยใหค้ ํานวณงา่ ยขน้ !

เมอ่ นาํ สมบตั กิ ารแจกแจงมาใชค้ าํ นวณ จะได้...

สมบัติการแจกแจง ตย. % & ('" *)+ $ ! , -# ! ° " ¢# $ £
% ! ° $ £#
! ° " ¢# $ £ % ! ° $ £# " ! ¢ $ £# " ! ¢ $ £#
£ $ ! ° " ¢# % ! £ $ °# " ! £ $ ¢#
คํานวณ
% & '($ ! , -# + " & *)$ ! , -# + การคูณก่อน

% ! , ./# " ! , /.#
% , **

7

การสรา้ งทางเรขาคณติ

เรขาคณติ เบ้องต้น

จดุ ใชเ้ พอ่ แสดงตาํ แหน่ง สัญลักษณท์ ่

ใช้คอื ( . ) และเขียนตวั อักษรกํากับไวเ้ พอ่ A

ต้องการระบุชอ่ จุด เช่น . A แทน จดุ A

เสน้ ตรง มีความยาวไม่จํากัด และไม่ A B

คํานึงถงึ ความกว้างของเส้นตรง สัญลักษณ์ทีใช้
คือ !! """ " " Ө

สมบัติของจดุ และเส้นตรง

1) มีเส้นตรงเพยี งเส้นเดียวเทา่ นน้ ท่ลากผา่ นจุด 2 จดุ ทก่ าํ หนด
2) ถา้ เส้นตรง 2 เส้นตัดกนั แลว้ จะมีจดุ ทต่ ดั กนั

ส่วนของเส้นตรง ส่วนหนง่ ของเสน้ ตรงทม่ จี ดุ

ปลาย 2 จดุ ส่วนของเส้นตรง AB หรอื BA A B

สัญลกั ษณ์ทใ่ ชค้ ือ !ⱨⱨ"ⱨⱨ เพยี งจุดเดยี วเทา่ นน้

8

รังสี คือ ส่วนหน่งของเส้นตรงซ่งมจี ุดปลายเพยี งจุดเดียว เชน่

B รังสี AB เขยี นแทนด้วย !! ! "! ! ! Ө
A จดุ A เรยี กวา่ จดุ ปลาย

รงั สี BA เขียนแทนด้วย !"! !!! ! Ө B

จดุ B เรียกวา่ จดุ ปลาย A

ดังน้น !! ! "! ! ! Ө กับ "! ! !!! ! Ө ไมใ่ ช่รังสเี ดยี วกัน

มุม คอื รังสีสองเสน้ ท่มีจุดปลายเป็นจดุ เดยี วกนั เรียกรังสสี องเส้น

น้ว่า แขนของมมุ และเรยี กจุดปลายท่เป็นจุดเดยี วกนั นว้ า่ จุดยอดมุม

เชน่

จากรูป จุด B เปน็ จุดยอดมุม
"! ! !!! ! Өและ !"! !#! ! Өเปน็ แขนของมมุ
มมุ นเ้ รยี กว่า มมุ ABC เขยี นแทนดว้ ย !"# # หรือ

ชนิดของมุม

มมุ ตรง คอื มุมท่มขี นาด 180 องศา
มมุ แหลม คอื มุมทเ่ ล็กกว่ามุมฉาก มขี นาดมากกว่า 0 องศา แต่น้อยกว่า 90 องศา
มุมฉาก คือ มมุ ทม่ ขี นาดเทา่ กบั 90 องศา
มมุ ป้าน คอื มุมทใ่ หญ่กว่ามมุ ฉาก มีขนาดมากกว่า 90 องศา แตน่ ้อยกว่า 180 องศา
มมุ กลบั คอื มมุ ท่มขี นาดมากกว่า 180 องศา แตน่ อ้ ยกวา่ 360 องศา

9

การสรา้ งทางเรขาคณิต

การเขียนรปู เรขาคณติ โดยใชเ้ ครอ่ งมือทส่ ําคัญเพียงสองชนดิ
ไดแ้ ก่ วงเวยี นและสันตรงเรยี กวา่ การสรา้ งการสรา้ งรูปเรขาคณิต
ตอ้ งอาศัยความรใู้ นการสรา้ งพ้นฐานทางเรขาคณิต 6 ขอ้ ไดแ้ ก่

1. การสรา้ งส่วนของเส้นตรงใหย้ าวเทา่ กบั ความยาวของส่วนของ
เส้ นตรงกําหนดให้
2. การแบง่ คร่งส่วนของเส้นตรง
3. การสรา้ งมุมใหม้ ีขนาดเทา่ กบั ขนาดของมุมท่กาํ หนดให้
4. การแบง่ คร่งมุมท่กําหนดให้
5. การสรา้ งเส้นตง้ ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเส้นตรงท่
กาํ หนดให้
6. การสรา้ งเส้นตง้ ฉากท่จดุ จุดหน่งทอ่ ยบู ่ นเส้นตรงทก่ าํ หนดให้

การสรา้ งมมุ ท่มีขนาดตา่ งกนั

การสรา้ งมุมฉาก
มมุ ฉากมขี นาด 90 องศา เราสร้างมุมฉากไดจ้ ากการแบง่ ครง่ มมุ ตรง

วธิ ีสร้าง
1. เขยี น !!""" " " Ө กําหนดจดุ O เป็นจุดหมนุ
กางวงเวียนรัศมพี อสมควรเขียนสว่ นโคง้ ตัด !!""" " " Ө
ทจ่ ดุ D และ E ดงั รูป
2. ใชจ้ ุด D และ E เป็นจุดหมุน กางวงเวยี นรศั มี
เท่ากนั เขยี นสว่ นโค้งตดั กนั ท่จุด F
3. ลาก "/" &" " " Өจะได้ &/$ " และ &/$ ! เป็นมมุ
ฉากตามต้องการ

10

การสร้างมุม 45 องศา
สรา้ งมมุ 45 องศา ไดจ้ ากการแบง่ คร่งมุมฉาก จากมุมฉากทส่ ร้างไว้

ทําการแบ่งครง่ มุมฉากจะได้มุม 45 องศา

วธิ สี รา้ ง
1. ใช้จดุ E และ G เปน็ จดุ หมุน กางวงเวียนรัศมี
เท่ากัน เขยี นสว่ นโคง้ ตดั กนั ทจ่ ดุ H
2. เขยี น !/!(! ! ! Өจะได้ ( /# " ขนาด 45 องศา
ตามต้องการ

การสรา้ งมมุ 60 องศา
จากสามเหล่ยมดา้ นเทา่ เป็นสามเหลย่ มท่มดี ้านเทา่ กนั ทกุ ดา้ น และ

ขนาดมมุ เปน็ 60 องศา เทา่ กนั ทกุ มมุ
ใวิธชีส้ครวา้ างมรู้น้ในการสรา้ งมุม 60 องศา ดังน้

1. ใชจ้ ดุ O เป็นจดุ หมุน กางวงเวยี นรศั มี
พอสมควร เขียนสว่ นโค้งตดั !! """ " " Өท่จุด C
2. ใชจ้ ุด C เป็นจดุ หมนุ กางวงเวยี นรัศมเี ท่าเดิม
เขยี นส่วนโค้งตัดกบั สว่ นโค้งในขอ้ 1 ท่จุด D
3. เขยี น /" "$" " " Өจะได้ $ /$ # ขนาด 60 องศา
ตามตอ้ งการ

11

ทศนิยมและเศษส่ วน

ทศนิยม

ทศนยิ ม เปน็ การเขียนตัวเลขเพอ่ ใช้แทนจาํ นวนทไ่ ม่ใช่จาํ นวนเต็ม
เช่น 2.5, 14.2, 1.525 เป็นต้น

ค่าประจําหลกั ของ ทศนยิ ม

สามารถเขียนทศนยิ มในรูปการกะจายได้ เชน่

!"#ỳ%&' !(() "() #) (ỳ%) (ỳ(&

' * !+ #((, ) * "+ #(, ) * #+ #, ) #%() &
#((

' * !+ #(ᴀ , ) * "+ #(ϸ , ) * #+ #, ) * %+ # , ) * &+ # ,
#(ϸ #(ᴀ

12

การเปรยี บเทียบทศนยิ ม

เปรยี บเทยี บเลขโดดของแตล่ ะจาํ นวนในตาํ แหน่งท่ตรงกนั จากซา้ ย
ไปขวาจนกวา่ จะพบเลขโดดท่มคี า่ ไมเ่ ทา่ กนั เลขโดดของจํานวนไหน
มากกวา่ จาํ นวนน้นจะเป็นจาํ นวนท่มากกวา่
เชน่ 0.1 กับ 0.5 จะได้ 0.1 < 0.5

0.23 กบั 0.11 จะได้ 0.23 > 0.11

การบวกและการลบทศนยิ ม

หลักการ ตง้ บวกหรอื ลบในแนวตง้ ให้จุดทศนยิ มให้ตรงกนั เร่มบวก
หรอื ลบกันจากตําเหน่งขวามือ เมอ่ ผา่ นจุดใส่จดุ ด้วย การคดิ เคร่องหมายใช้
หลกั การเดียวกบั การบวกและการลบจํานวนเต็ม

ตวั อย่าง ท่ 1 จงหาคา่ Ί ỳῘῙ % ῗ ỳῚῙ ตวั อยา่ ง ท่ 2 จงหาคา่ ῞ ỳῚῙ * Ῑ ỳῗῘ
วิธีทํา ῞ ỳῚ Ῑ
วิธที ํา Ί ỳῘ Ῑ
% *
ῗ ỳῚ Ῑ Ῑ ỳῗ Ῐ
Ὶ ỳῙ ῗ ตอบ
῝ ỳ῝ ῝ ตอบ

13

การคูณทศนิยม

หลักการ - นําตัวเลขมาคณู กันโดยไมต่ อ้ งสนใจทศนิยม
- ตาํ แหนง่ ทศนิยมในผลลพั ธ์ ไดจ้ ากผลรวมจํานวนตําแหนง่ ของ

ทศนยิ มท้งตัวต้งและตัวคณู
- เร่มใส่ทศนิยมในผลลัพธ์จากขวาไปซ้าย
- การคิดเคร่องหมายทาํ เหมื อนเรอ่ งการคณู จํานวนเต็ม

ตวั อย่างท่ 1 จงหาคา่ !ỳ!!!#$ !ỳ%

วธิ ีทาํ อยา่ เพ่งส นใจจดุ ทศนยิ ม เอา #$ %

นับจุดทศนิ ยมท้งตวั ต้ งและตวั คณู ได้ 5 ตําแหน่ง

จะได้ !ỳ!!!#$ !ỳ%& !ỳ!!!'% ตอบ

การหารทศนยิ ม

หลกั การ – ทาํ ใหต้ วั หารเป็นจํานวนเตม็ โดยเทคนิคการเลอ่ นจดุ
– ตง้ หารส้นหรือหารยาวก็ได้ ทําเหมือนการหารจํานวน เตม็
– เมอ่ ผ่านจุด ให้ใส่จุดดว้ ย
– คิดเคร่องหมายเหมือนการหารจํานวนเต็ม

ตัวอยา่ งท่ 1 จงหาค่า !"ỳ$% &'

วธิ ีทํา โจทยล์ กั ษณะน้ใชเ้ ทคนคิ การเลอ่ นนจุด การจะสามารถหาคาํ ตอบได้เลย

จาก !"ỳ$% &'( ᴁᴂỳᴃ
ϸϷ

( !"ỳ$
&'ϸ

( !"ỳ$. &'ᴉ ϸ

( !"ỳ$. 'ỳ& ( !ỳ"$ ตอบ 14

เศษสว่ น

เศษส่วน คอื เป็นจํานวนจริงแตไ่ มใ่ ช่จํานวนนับ ซ่งตัวเลขทอ่ ยู่

ขา้ งบน เรยี กว่า เศษ ตวั เลขท่อยูข่ า้ งล่าง เรยี กวา่ ส่วน เช่น ϸ อา่ นว่า
ᴀ

เศษหน่งสว่ นสอง

ชนดิ ของเศษสว่ น

1) เศษสว่ นแท้ คือ เศษสว่ นท่มีค่าน้อยกว่า 1 หรื อตวั เศษมคี ่าน้อย

กว่าสว่ น เช่น ϸ Ẅᴁᴂ Ẅᴂᴅ Ẅϸᴃϸ
ᴀ

2) เศษส่วนเกนิ คือ เศษสว่ นทม่ คี า่ มากกวา่ 1 หรือตัวเศษมคี ่า

มากกวา่ ส่วน เช่น ᴇ Ẅᴅᴁ Ẅϸᴃϸ
ᴀ

3) เศษสว่ นคละ คอื เศษส่วนทม่ จี ํานวนเตม็ และเศษสว่ นแทค้ ละกัน
เช่น )ᴁᴀ Ẅ*ᴃᴂ Ẅ+ᴀᴅ

4) เศษซ้อน คอื เศษส่วนทเ่ ศษหรอื สว่ นเป็นเศษส่วน หรอื ท้ ง

เศษสว่ นเป็นเศษส่วน

การบวกและการลบ เศษสว่ น

หลกั การ ทําสว่ นใหเ้ ท่ากนั แลว้ เอาเศษมาบวกหรอื ลบกนั ได้เลย

ตวั อย่างท่ 1 จงหาผลลัพธ์ ของ ῗ # Ῑ ตัวอยา่ งท่ 2 จงหาผลลพั ธ์ ของ ῗ ) Ί
Ί Ί ῞ ῞

วธิ ีทํา จากโจทย์ “สว่ นเท่ากั น”อยู่แลว้ วิธีทํา จากโจทย์ “สว่ นเท่ากั น”อย่แู ลว้

จึงเอาสว่ นมาบ วกกนั ได้เล ย จึงเอาสว่ นมา ลบกนั ไดเ้ ล ย
ῗ Ῑ ῗᴈῙ Ὶ
จะได้ Ί # Ί % Ί % Ί จะได้ ῗ ) Ί % ῗ ᴉ Ί % ) Ὶ
῞ ῞ ῞ ῞

15

การคณู เศษส่วน

หลักการ เอาเศษคณู เศษ เอาสว่ นคูณสว่ น รปู แบบ Ț # Ȝ & Ț# Ȝ
ț ȝ ț# ȝ

ตัวอย่างท่ 1 จงหาผลลัพธ์ของ ῗ # Ῑ
Ῐ Ὶ

วิธีทํา เอาเศษคูณเศษ และส่วนคูณส่วน

จะได้ ῗ # Ῑ & ῗ# Ῑ & Ῑ
Ῐ Ὶ Ῐ# Ὶ ῟

การหารเศษส่วน

หลกั การ เปล่ยนหารเป็นคูณ ตัวหารให้กลบั เป็นส่วน

รปู แบบ ͊ # ͌ & ͊ ' ͍
͋ ͍ ͋ ͌

ตวั อยา่ งท่ 1 จงหาผลลัพธ์ของ Ί # Ῑ
ῘῘ ῗῗ

วธิ ที าํ Ί # Ῑ & Ί ' ῗῗ
ῘῘ ῗῗ ῘῘ Ῑ

นํา 22 หาร ด้วย 11 จะได้ & Ί ' ῗ
ῗῗ Ῑ

นาํ เศษคูณเศษ ส่ วนคณู สว่ น & Ί' ῗ & Ί
ῗῗ ' Ῑ ῙῙ

16

จํานวนจรงิ

จํานวนตรรกยะ คือ จาํ นวนท่สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วนของ
̇ ̇
จาํ นวนเต็ม หรือ ทศนยิ มซาได ้ เชน่ − , , , .

จาํ นวนอตรรกยะ คือ จาํ นวนท่ไมส่ ามารถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรูป

เศษส่วนของจาํ นวนเตม็ หรือ ทศนิยมซา ได ้ เชน่ , ,

ประเภทของจาํ นวน

1. จาํ นวนคู่ คอื จํานวนท่ 2 สามารถหารได้ลงตวั
2. จํานวนค่ คอื จาํ นวนท่ 2 ไมส่ ามารถหารได้ลงตวั
3. จํานวนเฉพาะ คอื จาํ นวนนบั ทม่ ีตวั หารทเ่ ป็นจํานวนบวกเพยี ง 2 ตัว
คอื 1 และ ตัวมันเองเทา่ นน้
4. จาํ นวนประกอบ คอื จาํ นวนนบั ทเ่ กิดจากผลคูณของจาํ นวนเฉพาะ
ตง้ แต่ 2 ตัวขน้ ไป

17

การเขยี นเศษสว่ นในรูป ทศนิยมซาและการเขียนทศนิยมซาในรูปเศษสว่ น

การเขยี นเศษสว่ นใหอ้ ยูใ่ นรูปทศนิยมซาสามารถทาํ ไดโ้ ดยการนําตวั สว่ น
ไปหารตัวเศษส่วนการเขียนทศนยิ มซา ให้อย่ใู นรปู เศษส่วนแบง่ เปน็
2 กรณีดงั น้

กรณีท่ 1 ทศนยิ มซาศูนย์ เชน่ ῖ ỳῘ ῖ $ % ῖ ỳῘ ẄῘ ỳΊΊ ῖ $ % Ῐ ỳΊΊ เป็นตน้
กรณที ่ 2 ทศนิยมซาทไ่ ม่ใช่ทศนิยมซาศูนย์ ต้งแต่ 2 ตัวขน้ ไป เช่น
ῖ ỳΊ ῗ $ ẄῙ ỳῚ Ῐ $ ῝ $ ẄῚ ỳῗ $ ῖ $ ῞ $

รากท่สองของ a คอื จํานวนจรงิ ท่ รากท่สองของ a คือ จาํ นวนจริงท่
ยกกําลังสอง เทา่ กบั a เขียนแทนดว้ ย
สัญลักษณ์ ‫ ͊ﺾ‬และ ) ‫͊ﺾ‬ ยกกําลงั สอง เทา่ กบั a เขยี นแทนดว้ ย
ตวั อย่าง สญั ลกั ษณ์ Ῑ‫͊ﺾ‬
รากท่สองของ 4 คือ -2 และ 2
รากท่สองของ 9 คือ -3 และ 3 ตวั อย่าง

รากท่สองของ 27 คอื 3 $ Ῑ Ῑ % Ῐ῞ (

รากท่สองของ -8 คอื -2 $ $ ) Ῐ ( Ῑ % ) ῟ (

18

สมการเชิงเส้ นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตวั แปรเดี ยว

รูปแบบของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว คอื
1. เป็นสมการท่มีตัวแปรเดยี ว เชน่ 3 x + 5 = 8
2. เลขชก้ าํ ลังของตัวแปรเปน็ หนง่ ตง้ แต่ 2 ตัวขน้ ไป

สมบัติการเทา่ กนั

กําหนดให้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนใด ๆ

1.การสะท้อน สําหรับจาํ นวน ͊ ทุกตัว จะได้ ͊ " ͊

2.การสมมาตร ถ้า ͊ " ͋ แล้ว ͋ " ͊

3.การถ่ายทอด ถา้ ͊ " ͋ และ ͋ " ͌ แล้ว ͊ " ͌

4.การบวก ถา้ ͊ " ͋ แล้ว ͊ % ͌ " ͋ % ͌

5.การลบ ถ้า ͊ " ͋ แลว้ ͊ & ͌ " ͋ & ͌

6.การคณู ถ้า ͊ " ͋ แลว้ ͊ ' ͌ " ͋ ' ͌

7.การห าร ถา้ ͊ " ͋ และ ͌ ( ῖ แลว้ ͊ * ͌ " ͋ * ͌

8.การแจกแจง + ͊ % ͋ , ' ͌ " + ͊ ' ͌ , % + ͋ ' ͌ ,

͌ ' +͊ % ͋ , " +͌ ' ͊ , % +͌ ' ͋ ,

19

การแก้สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

การแก้สมการเป็นการหาคาํ ตอบของสมการ อาศัยสมบัติการเทา่ กัน
ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปน้
ตวั อย่างท่ 1 จงหาผลลัพธ์ Ί͵ # Ῐ % ῟

วิธที ํา Ί͵ # Ῐ % ῟

บวกด้วย 2 ท้งสองข้าง Ί͵ # Ῐ ' Ῐ % ῟ ' Ῐ

Ί͵ % ῗῖ

นาํ 5 หาร ท้งสองข้าง Ί͵ % ῗῖ
Ί Ί

͵ %Ῐ ตอบ

20

คูอ่ ันดบั และกราฟ

คูอ่ นั ดับ

ค่อู ันดบั คอื การเขียนความสัมพันธ์ระหวา่ ง 2 จาํ นวนในรูปแบของ
คูอ่ ันดับ a, b เขียนแทนดว้ ย (a, b)

การเทา่ กนั ของคู่อันดบั

กําหนดคอู่ ันดับ ( a, b) และ (c, d) เปน็ สองค่อู ันดบั ใด ๆ
ถ้า (a, b) = (c, d) แลว้ จะได้ a = c และ b = d

เช่น (a, b) และ (2 , 3) จะได้ a = 2 และ b = 3
(a, b) และ (-1, y) จะได้ x = -1 และ 4 = y

โจทย์เรอ่ งค่อู นั ดบั จะใช้ความรูเ้ ร่องการแก้สมการ การแกร้ ะบบสมการ

ตวั อย่างท่ 1 กาํ หนดคู่ อันดบั ! ͵ # ῗ Ẅͺ ' Ῑ ) * ! Ῐ ẄΊ ) จงหาค่า ͵ ' ͺ

วธิ ที าํ จาก ! ͵ # ῗ Ẅͺ ' Ῑ ) * ! Ῐ ẄΊ )

จะได้ ȱ # ῗ * Ῐ และ ͺ ' Ῑ * Ί

แกส้ มการ ȱ# ῗ * Ῐ และ ͺ ' Ῑ * Ί

͵# ῗ' ῗ * Ῐ' ῗ ͺ ' Ῑ # Ῑ * Ί# Ῑ

͵* Ῑ ͺ* Ῐ

ดงั นน้ ͵ ' ͺ * Ῑ ' Ῐ * Ί ตอบ

21

กราฟของคอู่ นั ดบั

คูอ่ ันดบั สามารถนํามาเขียนกราฟได้ แบบน้ !
โดยให้ แกน ͇ แทนสมาชิกตัวหน้า และแกน ͈ แทนสมาชกิ ตัวหลัง

ตวั อยา่ ง 1 กําหนดค่อู นั ดบั # Ῐ Ẅ& Ῑ ( Ẅ
# & Ῐ ẄῘ ( Ẅ# ῖ Ẅ& Ῐ ( Ẅ# Ῑ Ẅῖ ( Ẅ# ῗ Ẅῗ (
นํามาเขยี นในรปู ของกราฟได้ ดังน้

ตัวอย่าง 2 จงหาคู่อันดบั ! ȱẄȲ%

จากสมการ ! ͵ ' Ῑ Ẅͺ * Ῐ % , ! ῖ Ẅῖ %

วิธีทาํ จาก ͵ ' Ῑ , ῖ และ ͺ * Ῐ , ῖ

จะได้ ͵ ' Ῑ * Ῑ , ῖ * Ῑ และ ͺ * Ῐ ' Ῐ , ῖ ' Ῐ

͵, Ῑ และ ͺ, ' Ῐ

ดงั นน้ ! ͵ Ẅͺ % , ! Ῑ Ẅ' Ῐ %

22

อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว

นยิ าม อสมการ คอื ประโยคท่แสดงความสัมพันธข์ องจํานวน
โดยมีสัญลกั ษณ์ >, <, ≥, ≤ หรือ ≠ แสดงความสมั พนั ธใ์ นแตล่ ะ
อสมการ อาจมตี ัวแปรหรือไมม่ ีกไ็ ด้

สัญลกั ษณ์ ≠ อา่ นวา่ ไมเ่ ทา่ กับ
> อา่ นวา่ มากกวา่
< อา่ นวา่ น้อยกวา่
≥ อา่ นวา่ มากกวา่ หรอื เทา่ กับ
≤ อา่ นวา่ น้อยกวา่ หรือเทา่ กับ

สมบัติการไมเ่ ทา่ กนั

กาํ หนดให้ , , แทนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ

สมบัตกิ ารบวก ถา้ ͊ " ͋ แล้ว ͊ $ ͌ " ͋ $ ͌
สมบตั กิ ารลบ ถ้า ͊ " ͋ แลว้ ͊ & ͌ ' ͋ & ͌
สมบัตกิ ารคณู ถา้ ͊ " ͋ และ ͌ " ῖ แล้ว ͌͊ " ͌͋
ถา้ ͊ " ͋ และ ͌ ' ῖ แล้ว ͌͊ ' ͋͌
สมบตั กิ ารหาร ถา้ ͊ " ͋ และ ͌ ) ῖ แล้ว ͌͊ ) ͌͋
ถ้า ͊ " ͋ และ ͌ " ῖ แลว้ ͊ * ͌ " ͋ * ͌
ถ้า ͊ ) ͋ และ ͌ ) ῖ แล้ว ͊ * ͌ ) ͋ * ͌

23

การแกอ้ สมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว

หลกั การแกอ้ สมการ
1. ถ้ามีเศษส่วนให้กําจัดสว่ นโดยการใช้ ค .ร.น. คูณตลอด
2. ถ้ามวี งเล็บ ใหถ้ อดวงเลบ็ ออก
3. ถ้าอสมการมีตวั แปรอยหู่ ลายทใ่ ห้ยา้ ยมาไว้ขา้ งเดียวกนั

ตัวอยา่ งท่ 1 จงแก้สมการ Ῑ͵ # ῗ % Ί

วิธีทํา จาก Ῑ͵ # ῗ % Ί

บวก 1 ทง้ สองขา้ ง Ῑ͵ # ῗ ' ῗ % Ί ' ῗ

จะได้ Ῑ͵ % ῝

คูณ ῗ ทง้ สองข้ าง Ῑ͵ ) ῗ % ῝) ῗ
Ῑ Ῑ Ῑ

จะได้ ͵ % Ῐ ตอบ

24

ระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการท่มีตวั แปร 2 ตวั ละเลขชก้ ําลงั
ของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไมอ่ ยใู่ นรูปการณค์ ูณกนั ของตัวแปร
เชน่ Ῐ͵ # Ῑͺ & ῝ Ẅ͵ ) ͺ & ῖ หรอื เรียกอีกอยา่ งว่า “สมการเชงิ เส้น ”

รูปสมการท่วไป คือ ͵̰ # ͺ̱ # ̲ & ῖ เม่อ A, B, C เป็นคา่ คงตั ว

กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร เม่อนํามาเขียนกราฟจะได้
“กราฟเส้นตรง ”

ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

กําหนดให้ ͊ Ẅ͋ Ẅ͌ Ẅ͍ Ẅ͎ Ẅ͏ เป็นจํานวนจริงใด ๆ

͊͵ ) ͋ͺ + ͎ , , , , -ῗ/

͵͌ ) ͍ͺ + ͏ , , , , - Ῐ/

เรยี กวา่ “ระบบสมการเชงิ เสน้ ”

25

คาํ ตอบระบบ สมการ

คําตอบของระบบสมการ คอื ค่า x และ y ทท่ าํ ใหท้ ้ ง 2 สมการเปน็ จรงิ
คําตอบมีได้ 3 แบบตามลักษณะของเส้นตรงท้งสอง

มคี ําตอบเดียว มีหลายคาํ ตอบ ไม่มีคําตอบ
มคี ําตอบเดียว เมม่อหี เลสา้นยตคราํ งตทอ้งบส อง ไม่มคี าํ ตอบ
เมอ่ เสน้ ตรงท้งส อง เมอ่ เปเสน็ น้ เสต้นรงเทดยีง้ สวกอันง เมอ่ เส้นตรงท้งส อง
เม่อเเสสน้ ้นตตัดรกงทันง้ ส1 อจดุง เป็นเหสร้นือเทดับียกวกนั ัน เมเ่อปเส็นน้เสต้นรงขทนง้ าสนอกงนั

เส้นตัดกนั 1 จุด หรอื ทับกัน เปน็ เสน้ ขนานกัน

การแก้ระบบสมการ เชงิ เสน้ สองตัวแป ร

โดยการแทนค่าตัวแปร เปน็ วิธีหนง่ ในการหาคําตอบของระบบ
สมการโดยจดั รปู สมการใดสมการหน่งให้เปน็ ∏ในรปู ของ ϖ หรอื ϖ
ในรูปของ ∏

โดยการ กําจัดตวั แปร เปน็ วิธี การท่ใชใ้ นการจดั รูปสมการเชงิ เสน้
สองตวั แปร ให้เปลย่ นสมการเชิงเ ส้นตัวแปรเดียว โดยใชส้ มบตั กิ าร
เท่ากันสาํ หรับการคูณ

26

สมการกาํ ลงั สอง

รปู ทว่ ไปของสมการกาํ ลังสอง

รปู ทว่ ไป ของสมการกํา ลงั สอง คือ ͊ ͵ Ῐ $ ͵͋ $ ͌ ' ῖ
เม่อ ͊ Ẅ͋ Ẅ͌ เปน็ ค่าคงตัว และ ͊ * ῖ โดยมี ͵ เป็นตวั แปร

เชน่ ͵ Ῐ + ͵ + ῗ ' ῖ Ẅ῝ ͵ Ῐ $ Ῐ͵ + Ὶ ' ῖ

การแกส้ มการกําลังสอง

การแกส้ มการกําลงั สอง มวี ิธกี ารดงั น้!

1.วิธแี ยกตัวประกอบ

ตัวอยา่ งท่ 1 จงแก้สมการ ῝ ͵ Ῐ $ Ῐ͵ % Ὶ ' ῖ

วิธที ํา จาก ῝ ͵ Ῐ $ Ῐ͵ % Ὶ ' ῖ
ῖ
แยกตวั ประกอบสองวงเล็บได้ ) Ῐ͵ $ Ῐ * ) Ῑ͵ % Ῐ * '

จากนน้ นาํ แต่ละวงเลบ็ มาเทา่ กบั 0 หรอื Ῑ͵ % Ῐ ' ῖ
จะได้ Ῐ͵ $ Ῐ ' ῖ

แก้สมการแต่ละสมการ ͵' % ῗ ͵' Ῐ
ตอบ ͵ ' % ῗ ẄῘῙ Ῑ

27

ตัวอยา่ งท่ 2 จงแก้สมการ ͵ Ῐ # ῗ῝ & ῖ

วิธีทํา จาก ͵ Ῐ # ῗ῝ & ῖ

จดั สมการเปน็ ผลตา่ งกําลงั สอง ͵ Ῐ # ῚῘ & ῖ

แยกตัวประกอบได้ ) ͵ # Ὶ* ) ͵ + Ὶ* & ῖ

จากน้นนํา แต่วงเล็บมาเท่ากบั 0

จะได้ ͵# Ὶ& ῖ หรือ ͵ + Ὶ & ῖ
แก้สมการแตล่ ะสมการ ͵& Ὶ
͵& # Ὶ

ตอบ ͵ & # Ὶ ẄῚ

2.วิธีใช้สตู ร

สตู รการแก้สมการกําลังสอง คือ ͵" ᴉ ͋ % & ͋ Ῐ ᴉ Ὶ͊͌
Ῐ͊

ตวั อย่างท่ 1 จงแกส้ มการ ͵ Ῐ + ͵ + Ῐ " ῖ
วิธีทาํ จากสมการ จะได้ ͊ " ῗ Ẅ͋ " + ῗ Ẅ͌ " + Ῐ

จากสตู ร ͵" ᴉ ͋ % & ͋ Ῐ ᴉ Ὶ ͊͌ ถอดราก ͵" ῗ % ‫ﺾ‬Ῑ 6 Ῑ
Ῐ͊ Ῐ

แทนคา่ ͊ Ẅ͋ Ẅ͌ ในสูตร จะได้ ͵" ῗ% Ῑ
Ῐ

͵" + /+ ῗ0 % & /+ ῗ0Ῐ + Ὶ/ ῗ 0 / + Ῐ 0 จะไดว้ ่า ͵ " ῗᴈῙ " Ὶ " Ῐ
Ῐ/ ῗ0 Ῐ Ῐ

คํานวณ ͵" ῗ % ‫ﺾ‬ῗ ᴈ ῟ หรือ ͵" ῗᴉ Ῑ " + Ῐ " +ῗ
Ῐ Ῐ Ῐ

͵" ῗ % ‫ﺾ‬ῠ ตอบ ͵ " + ῗ ẄῘ
Ῐ

28

พหุนาม

เอกนาม

เอกนาม คอื นพิ จน์ทส่ ามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู การคณู ของค่าคงตวั
กบั ตัวแปรตง้ แตห่ นง่ ตัวข้นไป โดยทเ่ ลขชก้ าํ ลั งของตัวแปรแตล่ ะตวั เปน็
ศูนย์หรอื จาํ นวนเตม็ บว ก เช่น Ῑ͵ͺ Ẅ% Ῐ ͵ Ῐ ͺ Ῑ ϐẄῗῙ ̰ Ῐ

ตัวอยา่ ง

ดีกรแี ละสมั ประสิทธขิ องเอกนาม Ῑ͵ͺ สมั ประสทิ ธิ คอื Ῐ
ตัวเลข เรียกวา่ สัมประสิทธิ
ผลรวมของเลขช้กาํ ลังของตวั ดกี รี คอื ῗ & ῗ ' Ῐ

แปรทุกตวั เรียกวา่ ดกี รี ( Ῐ ͵ Ῐ ͺ Ῑ ϐ สัมประสิ ทธิ คือ ( Ῐ

ดีกรี คอื Ῐ & Ῑ & ῗ ' ῝
ῗ ῗ
Ῑ ̰ Ῐ สมั ประสิ ทธิ คอื Ῑ

ดกี รี คือ Ῐ

การบวกและการลบเอกนาม
เอกนามตง้ แต่สองเอกนามขน้ ไป จะบวกลบกนั ได้ ก็ตอ่ เม่อเปน็ เอก

นามท่คล้ายกนั คือ เอกนามทง้ สองมตี วั แปรชดุ เดยี วกัน และเลขช้ กาํ ลังของ
ตัวแปรเดยี วกนั เทา่ กัน จะได้วา่

ผลบวกของเอกนาม = ผลบวกของสัมประสิทธิ x ตัวแปร
เชน่ Ῐ͵ͺ $ Ί͵ͺ & ' Ῐ $ Ί ( ͵ͺ & ῞͵ͺ

ผลลบของเอกนาม = ผลลบของสมั ประสิทธิ x ตัวแปร
เชน่ Ὶ̰ ̱ Ῑ . ῞̰ ̱ Ῑ & ' Ὶ . ῞ ( ̰ ̱ Ῑ & . Ῑ̰ ̱ Ῑ

29

พหุนาม

พหุนาม คือ นิพจนท์ ่สามารถเขยี นในเอกนาม หรือในรูปการบวก
กนั ของเอกนามต้งแตส่ องเอกนามข้ นไป

ดีกรีของพหุนาม คอื ดกี รขี องพจน์ท่มีดกี รีสงู สดุ เมอ่ ทําเปน็ พหุนาม
ในรูปผลสําเร็จแลว้
เช่น ͵ Ῐ # ͵ # ῝ ดกี รี คือ Ῐ
การบวกและการลบ พหุนาม

การบวกพหุนาม ทําได้โดยนาํ พหุนามมาเขยี นในรปู การบวก ถา้ มี
พจน์คล้ายกนั ให้รวมพจนท์ ่คลา้ ยกันเข้าด้วยกัน โดยมีการเขยี นพจนจ์ าก
ดีกรีมากไปหาดกี รีน้อย เชน่
! Ῐ ͵ Ί % Ί͵ & ' ! ͵ Ῐ ' ͵ % Ῐ & ( Ῐ͵ Ί ' ͵ Ῐ ' ) % Ί ' ῗ + ͵ % Ῐ

( Ῐ͵ Ί ' ͵ Ῐ ' ) % Ὶ + ͵ % Ῐ
( Ῐ͵ Ί ' ͵ Ῐ % ͵ % Ῐ

การลบพหุนาม ทําไดโ้ ดยเขียนพหุนามในรปู การลบให้อยใู่ นรปู การ
บวก ซ่งอาศัยจาํ นวนตรงข้ามพหุนามโดยเรยี ง พจน์จากดกี รมี ากไปหาดกี รี
นอ้ ย เช่น

! " ͵ Ῑ % Ί ͵ ῝ ( " ! " Ῑ͵ Ῑ % ͵ Ῐ " Ὶ ( + ! Ί ͵ ῝ " ͵ Ῑ ( % ! Ῑ ͵ Ῑ " ͵ Ῐ % Ὶ (
+ Ί͵ ῝ % ! " ῗ % Ῑ ( ͵ Ῑ " ͵ Ῐ % Ὶ
+ Ί͵ ῝ % Ῐ ͵ Ῐ " ͵ Ῐ % Ὶ

30

การคูณพหุนาม
ในการคณู พหุนามดว้ ยพหุนาม ทาํ ไดโ้ ดยคณู แตล่ ะพจนข์ องพหุนาม

หน่งกับทุก ๆ พจน์ ของอกี พหนุ ามหน่ง แล้วนําผลคณู พหนุ ามนน้ มาบวก
กัน เช่น

ตัวอยา่ งท่ 1

͵ " ͵ # Ῐ % & ͵ " ͵ % # ͵ " Ῐ % & ͵ Ῐ # Ῐ͵

ตวั อยา่ งท่ 2

! ͵ # ῗ% ! ͵ & Ῐ% ( ͵! ͵% & ͵! Ῐ% # ῗ! ͵% # ῗ! Ῐ% ( ͵Ῐ & ͵ # Ῐ

การหารพหนนุ าม

การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม

ใหน้ ําตัวหารไปหารทกุ พจนข์ องตวั ต้ ง แล้วนําผลทไ่ ดม้ าบวกกัน

เช่น ͵Ῑ # ͵Ῑᴉ ῗ # ͵Ῐ
͵

การหารพหนุ ามดว้ ยพหนุ าม
สามารถเขยี นไดใ้ นรปู สมการการหาร ดังน้

ตัวต้ง = ตวั หาร x ผลลพั ธ์ + เศษ

31

การแยกตวั ประกอบพหุนาม

ในการแยกตัวประกอบของพหุนามสามารถพิจารณาไดด้ งั น้
1. การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบัติการแจกแจง ( ดึงตัวร่วม )

รูปแบบ % ͊ &͋ # ͌' เชน่
͋͊ # ͌͊ % ͊ &͋ ( ͌' Ῐ͵ # Ῐ % Ῐ & ͵ # ῗ '
͊͋ ( ͌͊ ( Ῑ͵ ( ῝ % ( Ῑ& ͵ # Ῐ'

2. การแยกตวั ประกอ บของพหนุ ามแบบสองวงเล็บ
รปู แบบ

͵Ῐ # $ ͊ # ͋ ' ͵ # ͌ ) $ ͵ # ͊ ' $ ͵ # ͋ '

เชน่
͵ Ῐ # Ί͵ # ῝ ) ͵ Ῐ # $ Ῑ # Ῐ ' ͵ # ῝ ) $ ͵ # Ῑ ' $ ͵ # Ῐ '

3. การแยกตัวประกอบของพหุนามแบบผลต่างกาํ ลังสอง
สตู รผลตา่ ง กาํ ลงั สอง

͊ Ῐ# ͋ Ῐ % &͊ # ͋ '&͊ ( ͋ ' % &͊ ( ͋ '&͊ # ͋ '

เช่น
͵ Ῐ # ῗ῝ % ͵ Ῐ # Ὶ Ῐ % & ͵ # Ὶ ' & ͵ ( Ὶ '

32

4. การแยกตวั ประกอบของพหุนามแบบกําลงั สองสมบูรณ์
สูตรกาํ ลังส องสมบรู ณ์

͊ Ῐ # Ῐ͊͋ # ͋ Ῐ % & ͊ # ͋ ' & ͊ # ͋ ' % & ͊ # ͋ ' Ῐ
͊ Ῐ ( Ῐ͋͊ # ͋ Ῐ % & ͊ ( ͋ ' & ͊ ( ͋ ' % & ͊ ( ͋ ' Ῐ

เช่น

͵ Ῐ # Ὶ͵ # Ὶ % ͵ Ῐ # Ῐ & ͵ ' & Ῐ ' # Ῐ Ῐ % & ͵ # Ῐ ' & ͵ # Ῐ ' % & ͵ # Ῐ ' Ῐ
͵ Ῐ ( Ὶ͵ # Ὶ % ͵ Ῐ ( Ῐ & ͵ ' & Ῐ ' # & ( Ῐ ' Ῐ % & ͵ ( Ῐ ' & ͵ ( Ῐ ' % & ͵ ( Ῐ ' Ῐ

5. การแยกตัวประกอบของพหุนามแบบผลบวกและผลต่าง
กําลังสาม

สตู รกําลังส ามสมบูรณ์
͊ Ῑ # ͋ Ῑ % & ͊ # ͋ ' ( ͊ Ῐ * ͊͋ # ͋ Ῐ +

เชน่
͵Ῑ # ῙῘ % & ͵ # Ῑ' ( ͵Ῐ * & ͵' & Ῑ' # ῙῘ+

สูตรกาํ ลังสามสมบูรณ์
͊ Ῑ # ͋ Ῑ % & ͊ # ͋ ' ( ͊ Ῐ * ͋͊ * ͋ Ῐ +

เชน่
͵Ῑ # ῙῘ % & ͵ # Ῑ' ( ͵Ῐ * & ͵' & Ῑ' * ῙῘ+

33

อัตราส่ วน

อตั ราส่วน

อัตราส่วน หมายถงึ การเปรียบเทียบปริมาณของสง่ ของตง้ แต่
สองส่งขน้ ไป เช่น ปากกา 1 ดา้ ม ราคา 10 บาท เขียนเปน็ อัตราส่วน
ปากกา : ราคา = 1 : 10

อัตราส่วนท่เทา่ กนั

การหาอตั ราสว่ นท่เท่ากับอัตร าส่วนท่กําหนดใหส้ ามารถหา

อตั ราส่วนทเ่ ท่ากันได้ โดยหาจํานวนการคูณหรือการหารอตั ราส่วนเดมิ
Ῑ Ῐ ῝
เช่น Ῑ ỲΊ $ Ί % Ῐ $ ῗῖ $ ῝ Ỳῗῖ

ῗῖ ỲῘῖ $ ῗῖ * ῗῖ $ ῗ $ ῗ ỲῘ
Ῐῖ ῗῖ Ῐ

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราสว่ นอาจทาํ ไดโ้ ดย วธิ ีการคณู
ไขว้หรือการทอนเปน็ อยา่ งตา กําลังสาม

สัดส่วน

สดั ส่วน คอื ประโยคท่แสดงการเทา่ กนั ของอตั ราสว่ น 2
อัตราส่วน

ตัวอยา่ ง ท่ 1 จาก ͵ Ỳῠ $ ῝ Ỳῗ῟ จงหาคา่ ของตัวแปร ͵

วิธีทาํ จาก ͵ Ỳῠ $ ῝ Ỳῗ῟

เขยี นในรปู เศษส่วน ͵ $ ῝
ῠ ῗ῟
แก้สมการ ῝
คิดเลขจะได้ ͵$ ῗ῟ ( ῠ

͵$ Ῑ

34

ตวั อย่าง ท่ 2 จาก Ὶ Ỳ῝ $ ͵ ỲῘῚ จงหาคา่ ของตัวแปร ͵

วิธีทํา จาก Ὶ Ỳ῝ $ ͵ ỲῘῚ

เขยี นในรปู เศษส่วน Ὶ $ ͵
῝ ῘῚ
Ὶ
แก้สมการ ῝ ' ῘῚ $ ͵

คดิ เลขจะได้ ͵ $ ῗ῝

รอ้ ยละ

ร้อยละ หรือ เปอรเ์ ซน็ ต์ เป็นอัตราสว่ นท่แสดงการเปรียบเทยี บ

ปรมิ าณใดปรมิ าณหนง่ กับ 100 หรอื หมายถึงเศษส่วนทม่ ีส่วนเปน็ 100

เชน่ Ί ‫ﺨ‬ หมายถงึ Ί
ῗῖῖ
Ί
รอ้ ยละ 5 หมายถงึ ῗῖῖ

35

มิตสิ ัมพนั ธข์ องรปู เรขาคณิต

รูปเรขาคณิตสองมติ ิและรู ปเรขาคณิตสามมิติ

รูปเรขาคณิต 2 มติ ิ เป็นรูปเรขาคณิตท่มคี วามกวา้ งและความยาว
ใช้แสดงขนาด เช่น รปู สเ่ หล่ยมจตั รุ ัส รูปส่เหล่ยมผืนผ้า

รูปเรขาคณิต 3 มิติ เป็นรูปเรขาคณิตท่มคี วามกว้าง ความยาวและ
ความสงู ใชแ้ สดงรูปร่าง รูปทรง เช่น ปริซึม พรี ะมดิ ลูกบาศก์
ทรงกระบอก ทรงกรวย ทรงกลม

36

หนา้ ตัดรูปทรงเร ขาคณิตสามมติ ิ

หนา้ ตัดของรปู เรขาคณติ สามมิติ
จะเปน็ รูปเรขา คณิตสองมติ ซิ ง่ จะได้
รปู ใดข้นอย่กู ับชนดิ ของรูปเรขาคณติ
สามมติ ิและแนวในการตดั รปู
เรขาคณิตสามมิตนิ ้น เช่น หนา้ ตดั
ของการตัดทรงกระบอก

ภาพสองมติ ทิ ไ่ ด้ จากการมองรปู เรขาคณติ สามมิ ติ

การมองวัตถุหรือรปู เรขาคณิตสามมติ ติ า่ ง ๆ อาจจะเห็นภาพเปน็ รูป
เรขาคณิตสองมิติทเ่ หมือนกันหรอื แตกต่าง กัน ซ่งข้นอยกู่ ับแนวในการมอง
การมองรูปเรขาคณติ สามมิติจากดา้ นหน้า ดา้ นข้าง และด้านบนจะต้องมองให้
แต่ละดา้ นตามแนวสา ยตาตง้ ฉากกับด้านทม่ องเสมอ

รูปเรขาคณติ สามมิ ตทิ ป่ ระกอบขน้ จากลกู บาศก์

ตัวอยา่ ง การเขียนภาพรปู
เรขาคณติ ทป่ ระกอบขน้ จากลกู บาศกท์ าง
ดา้ นหนา้ ดา้ นขา้ ง และด้านบน และใส่
เลขกํากบั ของลูกบาศก์ไว้ดงั น้

37

ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั

ทฤษฎีบทพที าโกรัส

สําหรับรปู สามเหล่ยมมมุ ฉากใด ๆ กําลงั
สองของด้านตรงข้ามมุมฉากเทา่ กับผลบวกของ
กําลังสองของดา้ นประกอ บมมุ ฉาก

จากรปู จะได้

กําลังสองของดา้ นต รงขา้ มมุมฉาก =ผลบวกของกําลงั สองของด้านประกอบมมุ ฉ

͌Ῐ# ͊ Ῐ% ͋ Ῐ

ขอ้ ควรระวงั : การใช้สตู ร อยา่ ยดึ ตดิ กับตัวแปร เพราะตวั แปรเปลย่ นไปได้
เร่อย ๆ ใหด้ ูวา่ ดา้ นใด คอื ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ด้านใดเปน็ ด้านประกอบมุม
ฉากแทน

ตวั อย่างท่ 1 จากรูปจงหาความยาวด้าน ͊

วธิ ีทาํ จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้ 6 a
°ᴀ # $ᴀ % &ᴀ
°ᴀ # '$% $( 8
°ᴀ # )**
°ᴀ # )*ᴀ
° # )*

38

บทกลบั ของทฤษฎีบท พีทาโกรัส

รปู สามเหล่ยมใด ๆ ถา้ กําลงั สองของความยาวของด้านดา้ นหน่ง เท่ากบั
ผลบวกของกาํ ลงั สองของความยาวของดา้ นอกี สองด้าน แล้วรปู สามเหลย่ มนน้
เป็นรูปสามเหลย่ มมุมฉาก

การนําความรเู้ กย่ วกบั ทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลับไปใชใ้ นชีวติ จริง
ความรูเ้ ร่องทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลับ สามารถนําไปใช้ แกป้ ัญหา
ไดใ้ นชวี ิตจริง เช่น การคาํ นวณหาระยะทางความกวา้ ง ความยาว หรอื ความสูง
ของสง่ ต่าง ๆ ท่เก่ยวข้องกบั รูปสามเหลย่ ม

การแปลงทางเรขาคณติ

การแปลงทางเรขาคณติ คอื การเปล่ยนแปลงรปู เรขาคณติ โดยการจับคู่
ระหว่างจดุ บนรปู ตน้ แบบกั บจดุ บนรูปทเ่ กดิ จากการเปล่ยนแปลงแบบจุดตอ่ จดุ
ของสง่ ตา่ ง ๆ ท่เกย่ วข้องกบั รปู สามเหล่ยม
การแปลงทางเรขาคณติ มี 3 แบบ ดังน้

1.การเลอ่ นขนาน

การเล่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตทม่ กี าร
เปล่ยนจุดทกุ จุกบนระนาบ ตามแนวเสน้ ตรงในทศิ ทางเดียวกัน และ
เปน็ ระยะท่เท่ากนั ตามท่กาํ หนด

เง่อนไขการแปลงดว้ ยการเลอ่ น
ขนาน

รูปต้นแบบกบั ภาพทไ่ ด้จาก
การเลอ่ นขนานจะทบั กนั สนิท
โดยไม่ต้องพลิกรปู หรือหมนุ รูป

39

2.การสะทอ้ น

เปน็ การแปลงทจ่ ดุ ทุกจดุ ของรปู ต้นแบบเคลอ่ นทข่ ้ามเส้นตรงเสน้ หน่ง
ซ่งทาํ หน้าทเ่ หมื อนกระจกเงา เรยี กว่า เส้นสะทอ้ น

เง่อนไขการแปลงด้วยการสะท้อน
- ตอ้ งพลกิ รูปขา้ มเสน้ สะท้อน

จึงสามารถเล่อนรูปหน่งไปทบั อีกรูป
หน่ง ได้สนิท

- ต้องสามารถหาเส้นสะท้อนของ
การสะทอ้ นรูปต้นแบบ

3.การหมุ น

การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณติ ทม่ ีจดุ 0 ทต่ รึงอย่กู บั ท่
เปน็ จดุ หมนุ และหมุนรอบจดุ 0 ตามทิศทางทก่ ําหนด และหมุนตามมุมท่
กําหนด
เง่อนไขการแปลงดว้ ยการหมุน

- ต้องเลอ่ นรปู หน่งไปทบั อกี
รูปหนง่ ไดส้ นิท โดยไม่มีการพลกิ
รูป

- ต้องหาจดุ หมนุ ทิศทางของ
การหมนุ และขนาดของมุมทห่ มุนได้

40

เส้ นขนาน

เสน้ ขนาน

การขนานกนั ของเส้นตรง
นิยาม เสน้ ตรง 2 เสน้ ท่อยบู่ นระนาบเดยี วกนั ขนานกัน กต็ อ่ เมอ่
เสน้ ตรงท้งสองไม่ตดั กัน
สญั ลกั ษณ์ ̱̰# $ $ $ $ Өขนานกบั ̳̲# $ $ $ $ Өเขียนแทนด้วย ̰̱# $ $ $ $ ӨΚΚ̲̳# $ $ $ $ Ө

ข้อสรุปเกย่ วกบั เสน้ ขนาน

1.เส้นตรงเสน้ หน่งตดั เส้นตรงคู่หนง่ จากรปู จะได้
ถา้ เส้นตรงคนู่ ้ขนานกนั แล้ว Ὶ" # Ί" % ῗ῟ῖ ‫ص‬
Ῑ" # ῝" % ῗ῟ῖ ‫ص‬
ขนาดของมุมภายในทอ่ ยู่บนข้าง
เดียวกันของเสน้ ตัดจะรวมกนั ได้ 180
องศา

2. เสน้ ตรงเสน้ หน่งตัดเสน้ ตรงคู่หน่ง ถา้ เส้นตรงคู่น้ขนานกนั แล้ว
มุมแย้งจะมีขนานเทา่ กัน

จากรูป จะได้
Ὶ" # ῝"
Ῑ" # Ί"

41

3. มุมภายในและมุมภายนอกบนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั มีขนาดเท่ากนั

จากรปู จะได้
ῗ" # Ῑ" ẄΊ" # ῞"
Ῐ" # Ὶ" Ẅ῝" # ῟"

4. ส่วนของเส้นตรงท่ตอ่ จุดก่งกลางของด้าน 2
ด้านของสามเหล่ยมใด ๆ
จะขนานกบั ดา้ นท่ 3 ดว้ ยและยาวเปน็ ครง่ หนง่
ของดา้ นม่ 3 ด้วย

5. สว่ นของเสน้ ตรงท่ลากจดุ กง่ กลางของดา้ น
หนง่ ของสามเหลย่ มและขนาดกบั อกี ดา้ นหน่ง
จะแบง่ คร่งดา้ นทเ่ หลอื ของสามเหลย่ มน้นด้วย

ขอ้ สรปุ เกย่ วกับรูปสา มเหลย่ ม

1.ผลบวกของมุมภายในสามเหล่ยมใดๆ เทา่ กับ 180 องศา
2.ถา้ มุมของสามเหลย่ มสองรปู ใดๆมขี นาดเท่ากนั สองคแู่ ล้ว มุมคู่ท่สาม
จะมขี นาดเท่ากนั ดว้ ย
3.ถ้าต่อดา้ นใดด้านหนง่ ของสามเหลย่ มออกไป มมุ ภายนอกทเ่ กดิ ข้น
จะมีนาดเท่ากบั ผลบวกของมมุ ภายในท่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุ มภายนอกน้น

42

ความเทา่ กนั ทกุ ประการ

ความเข้ากันทกุ ประการ

สัญลกั ษณ์ ‫ ڷ‬แทนคาํ ว่า เทา่ กนั ทุกประการ รูปเรขาคณิต
ความเทา่ กนั ทุกประการของรูป เรขาคณิต

นยิ าม รูปเรขาคณิตสองรปู เท่ากนั ทกุ ประการ กต็ อ่ เมอ่
รูปหนง่ เคลอ่ นทไ่ ปทับอีกรปู หนง่ ได้สนิทพอ เชน่

ความเท่ากนั ทุกประการของส่วนของ เส้นตรง
นิยาม สว่ นของเส้นตรงสองเส้นเท่ากนั ทุก

ประการ กต็ ่อเมอ่ สว่ นของเสน้ ตรงท้งสองเสน้ น้น
ยาวเทา่ กนั เช่น

ความเท่ากนั ทุกประการของส่วนของ มุม
นยิ าม มมุ สองมมุ เทา่ กันทุกประการ กต็ อ่ เมอ่

มุมท้งสองนน้ มีขนาดเทา่ กนั เชน่

สมบตั ิของการเท่ากันทกุ ประการ

สมบตั สิ ะทอ้ น รปู A ‫ ڷ‬รูป A
สมบตั ิสมมาตร ถา้ รูป A ‫ ڷ‬รูป B แลว้ รูป B ‫ ڷ‬รูป A
สมบัติถ่ายทอด ถา้ รปู A ‫ ڷ‬รูป B และ รปู B ‫ ڷ‬รูป C แล้ว รปู A ‫ ڷ‬รปู C

43

ความเท่ากนั ทุกประการของรปู สามเหล่ยม

ความสมั พันธท์ ท่ ําให้รูปสามเหล่ยมเทา่ กันทุกประการ มดี งั น้
1. ดา้ น – มมุ – ด้าน (ด.ม.ด.)
2. มมุ – ด้าน – มุม (ม.ด.ม.)
3. ดา้ น – ด้าน – ดา้ น (ด.ด.ด.)
4. มุม - มมุ - ด้าน (ม.ม.ด.)
5. ฉาก – ด้าน - ด้าน (ฉ.ด.ด.)

ความคลา้ ย

รปู ท่คลา้ ย

นิยาม รูปท่คลา้ ยกนั คือรูปท่มรี ปู รา่ งแบบเดียวกนั แตข่ นาดไมจ่ าํ เป็นตอ้ ง
เท่าน้น

สามเหล่ยม คล้าย

รปู สามเหล่ ยม 2 รูปคลา้ ยกัน กต็ อ่ เมอ่ รปู สามเหลย่ มท้งสองมมี มุ เท่ากนั ท้ง 3 คู่
สัญลกั ษณ์ ‫ گ‬แทน การคลา้ ยกนั

ให้ ̰" # ̳" Ẅ̱" # ̴" และ ̲" # ̵" เน่องจากมีมุม
เทา่ กนั 3 คู่ ดังนน้ ‫̵̴̳ﺿگ ̰̱̲ﺿ‬

ผลทไ่ ด้จากสามเหล่ยมคล้าย คือ อตั ราสว่ น

ของดา้ นทส่ มนยั กนั จะเทา่ กัน̰̱
̴̳ ̱̲ ̰̲
จะได้ # ̴̵ # ̵̳

44

วงกลม

ส่วนประกอบ ของวงกลม

จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม คอื จดุ ทอ่ ยูต่ รงกลาง และห่างจากเสน้ รอบวงเทา่ กนั
โดยตลอด

เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง คอื เสน้ ทผ่ า่ นจุดศนู ย์กลางวงกลมและสมั ผสั เสน้ รอบวง
ท้งสองขา้ ง

รศั มี คือ ระยะทเ่ ท่ากนั ของระยะหา่ งระหว่างจุดศูนยก์ ลางไปยังเสน้ รอบวง
เสน้ รอบวง คือ จุดทอ่ ยหู่ า่ งจดุ ศูนยก์ ลางเป็นระยะเทา่ กนั
คอรด์ คือ ส่วนของเส้นตรงท่มีปลายทง้ สองขา้ งอยบู่ นวงกลม โดยแบ่ง
วงกลมออกเปน็ สองสว่ น
เซกเตอร์ คอื ส่วนของวงกลมท่เกดิ จากเสน้ รอบวงและเสน้ รศั มีสองเสน้ เปน็
รปู สามเหลย่ ม ฐานโคง้
เซกเมนต์ คอื พน้ ท่ท่ถกู ปดล้อมดว้ ยคอร์ดกับสว่ นของเส้นโคง้ ของวงกลม

ทฤษฎบี ทวงกลม

ทฤษฎีบทท่ 1 มุมในคร่งวงกลมเป็นมมุ ฉาก

45

ทฤษฏบี ทท่ 2 มุมทจ่ ุดศนู ยก์ ลามขี นาดเปน็
สองเท่าของมมุ ทเ่ ส้นรอบวงซ่งอยู่บนสว่ น
โคง้ เดยี วกนั มีหลายรปู แบบ

ทฤษฏีบทท่ 3 มมุ ท่เส้นรอบวงซ่งรองรบั
ด้วยส่วนโคง้ เดียวกัน ยอ่ มมขี นาดเทา่ กัน

ทฤษฏบี ทท่ 4 มุมตรงขา้ มของส่เหล่ยมท่แนบในวงกลมรวมกนั ได้ 180 องศา

ทฤษฏีบทท่ 5 มมุ จุดศูนยก์ ลางมุมทเ่ ส้นรอบวงซ่งรองรับด้วยสว่ นโคง้ ท่เท่ากันยอ่ ม
มขี นาดเท่ากัน

ทฤษฏบี ทท่ 6 เสน้ ตรงท่ลากจดุ ศูนยก์ ลาง
ของวงกลมไปต้งฉากกบั คอรด์ ย่อมแบ่งคร่ง
คอร์ดน้นและเส้นตรงทล่ าก จุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลมมาแบ่งคร่งคอร์ด ยอ่ มต้งฉากกับ
คอร์ดน้น

46

ทฤษฏบี ทท่ 7 เสน้ ตรงท่ต้งฉากและแบ่ง
คร่งคอรด์ ย่อมผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางเสมอ

ทฤษฏีบทท่ 8 คอรด์ ท่หา่ งจากจุดศนู ย์กลาง
เทา่ กันยอ่ มยาวเทา่ กนั

ทฤษฏบี ทท่ 9 เส้นสัมผสั วงกลมจะต้งฉาก
กับรศั มีทจ่ ุดสัมผสั

ทฤษฏบี ทท่ 10 เสน้ สมั ผสั วงกลมทล่ ากจดุ ภายนอกวงกลมจดุ เดยี วกนั ย่อม
ยาวเทา่ กนั

ทฤษฏบี ทท่ 11 มมุ ท่เกดิ จากเสน้ สัมผสั ทํากับคอร์ดยอ่ ม
เท่ากับมมุ ทเ่ สน้ รอบวงซง่ ตง้ อยบู่ นคอร์ดน้น

47