Trigonometri

DASAR TRIGONOMETRI E-Book Dasar Trigonometri Fachri Try Kurniawan Nahas

i KATA PENGANTAR i Segala Puji bagi Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan petunjuk-Nya kepada kita semua. Berkat kasih dan sayang-Nya, saya diberi kemudahan untuk menyelesaikan E-Book Matematika Trigonometri ini. EBook ini merupakan tugas akhir dari mata pelajaran Matematika Peminatan serta dapat digunakan sebagai bahan pembelajaran. E-Book ini diambil dari beberapa sumber referensi. E-Book ini tersusun atas dasar-dasar trigonometri dan lebih memfokuskan terhadap contoh soal. Dengan tersusunnya EBook Trigonometri ini diharapkan dapat dijadikan sebagai bahan ajar. Mungkin dalam pembuatan E-Book ini terdapat kesalahan yang belum saya ketahui. Maka dari itu saya mohon saran & kritik. Demi tercapainya E-Book yang sempurna November 2023 Fachri Try Kurniawan Nahas

ii DAFTAR ISI H Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus 36 A Ukuran Sudut 3 B Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut 7 Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran C 13 D Invers Fungsi Trigonometri 25 E Identitas Trigonometri Dasar 26 Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus I 38 G Rumus Sudut Ganda 34 F Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 31 J Rumus Setengah Sudut 39 K Persamaan Trigonometri 41 L Daftar Pustaka & Biodata 49

1 Pendahuluan A. Latar Belakang Seiring dengan perkembangan zaman, pengetahuan terus berkembang sehingga lebih kompleks sehingga memicu para pelajar untuk lebih meningkatkan ilmu pengetahuan dan teknologinya. Matematika merupakan ilmu pasti, yang tidak berubah dari dahulu hingga sampai saat ini bahkan terus berkembang. Matematika adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Matematika selalu berkembang seiring dengan berjalannya waktu dan berkembangnya zaman. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran, dan ilmu sosial seperti ekonomi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain. Salah satu materi dalam matematika adalah materi trigonometri. Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul pada abad ke-3 SM dari penggunaan penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi. 1

Ilmu trigonometri banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Pernahkah Anda memperhatikan tanjakan di jalan pegunungan? Dalam hal ini, trigonometri berperan dalam menentukan gradien tertinggi dari suatu tanjakan jalan umum tersebut dengan aman. Anda juga bisa mengetahui gradien kenaikan tanah menggunakan trigonometri. Dengan mengetahui jarak tiang pengukur, maka Anda dapat mengetahui gradien kenaikan tanah yang diukur. 2 Apersepsi Sumber: www.autofun.co.id Paparan di atas merupakan salah satu contoh penggunaan trigonometri. Pada bab ini, Anda akan mempelajari konsep dasar trigonometri. Agar lebih mengetahui konsep trigonometri, simaklah ringkasan materi berikut dengan saksama gambar 1.1

Ringkasan Materi 3 Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari tentang hubungan setiap sudut dan garis pada sebuah segitiga. George Joachin Rhaeticus (1514-1576) adalah seorang ahli matematika astronomi berkebangsaan Jerman. George adalah orang pertama yang mempelajari trigonometri mrnggunakan segitiga siku-siku. Kemudian, Leonhard Euler (1707-1783) seorang ahli matematika dari Swiss mengembangkan trigonometri dari perbandingan panjang ruas garis menjadi bilangan. A. Ukuran Sudut Trigonometri selalu berkaitan dengan sudut. Oleh karena itu, ada baiknya Anda mempelajari ukuran sudut terlebih dahulu. Dalam hal ini, ada dua ukuran yang sering digunakan untuk menyatakan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. 1. Ukuran Derajat Satuan derajat sering disebut satuan sudut sexagesimal. Dalam hal ini, sexagesimal merupakan sistem bilangan yang menggunakan bilangan 60 sebagai dasamya. Pada sistem sexagesimal, ukuran derajat didasarkan pada satuan penuh suatu lingkaran yang telah ditentukan, yaitu sebesar 360°.Arah sudut yang digunakan adalah arah yang berlawanan dengan

1°= 1 - 360 1° = 60 menit atau 1° = 60' 1' = 60 detik atau 1' = 60" 1' = 1 - 60 ( ° ( 1"= 1 - 60 ( ( ' a. b. c. d. e. 4 arah jarum jam. Untuk menentukan besar suatu sudut dapat menggunakan busur derajat. Busur derajat dapat memberikan ketelitian sampai satu derajat. Satu derajat dapat ditulis dengan 1° yang mempunyai arti ukuran sudut yang besarnya 1 - 360 bagian sudut dari suatu lingkaran. Selain dalam satuan derajat, pada sistem sexagesimal satuan derajat dapat dinyatakan dalam satuan putaran, menit, dan detik. Hubungan antara derajat, putaran, menit, dan detik dapat dituliskan sebagai berikut.

5 Satuan Radian sumber: mafia.mafiaol.com Satu radian didefinisikan sebagai besar sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari. Misalnya, menyatakan besar sudut dalam radian, s menyatakan panjang busur lingkaran di hadapan 0, dan r menyatakan panjang jarijari lingkaran. Hubungan antara ketiganya dapat dituliskan sebagai θ = s - r . Jika s = r akan diperoleh θ = 1 radian. Berapa sudut yang dibentuk oleh perputaran sebesar setengah lingkaran (180°) dalam satuan radian? Panjang busur yang dihasilkan oleh sudut 180° merupakan setengah keliling lingkaran, yaitu πr. Dengan demikian, 180° = πr - r = π radian. Berdasarkan hal tersebut, besarnya 1 radian dapat dinyatakan dalam satuan derajat. 1 radian= 180° - π 180° - 3,14 = = 57,3° atau 1 radian = 57° 17' 45" Dengan demikian, 1° = 0,01745 radian. gambar 1.2 2.

Contoh Soal 6 1. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan yang sudah ditentukan! a. 29° 36' = ... ° b. 43° 85' 17" = ... ° ... ' ... " Jawab: a. 29° 36' = 29° + 60 36 ( - ( = 29° + 0,6° = 29,6° b. 43° 85' 17" = 43° + 60' + 25' + 17" = 43° + 1° + 25' + 17" = 44° 25' 17" 2. Nyatakan dalam satuan derajat dan satuan radian 2 - 3 a. π radian = 2 - 3 x 180° = 120° 5 - 9 b. π radian = 5 - 9 x 180° = 100° c. 45° - 180° 45° = x π radian = 1 - 4 π radian d. 72° = 72° - 180° x π radian = 2 - 5 π radian

7 B. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Nilai perbandingan trigonometri diperoleh dari perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Dalam hal ini, ada enam nilai yang termasuk perbandingan trigonometri, yaitu sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Pengertian Sinus, Cosinus, Tangen, Cosecan, Secan, dan Cotangen Diketahui segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya adalah θ. Sisi terpanjang di hadapan sudut siku-siku disebut hipotenusa atau sisi miring. Adapun dua sisi lainnya (dari sudutpandang θ) adalah sisi siku-siku di hadapan θ dan sisi siku-sikuyang mengapit θ. Perbandingan trigonometri merupakan perbandingan antar-sisisisi pada segitiga siku-siku. Besarnya perbandingan trigonometri bergantung besar sudut θ, bukan bergantung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan antar segitiga siku-siku mempunyai nama atau istilah tersendiri. Misalnya sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), secan (sec), cosecan (csc),dan cotangen (cot).

θ Amatilah segitiga sesuai siku-siku di atas! Misalnya, panjang sisi di depan θ adalah y satuan, panjang sisi di samping θ adalah x satuan, dan panjang sisi miring adalah r satuan. Perbandingan trigonometri yang berlaku pada segitiga tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. 8 Hipotenusa Sisi di samping θ Sisi di d e p a n θ gambar 1.3 Segitiga siku-siku

9 7,6 m 8 m α Owen berdiri sejauh 8 m dari gedung yang tingginya 7,6 m. Pada saat Owen memandang puncak gedung, terbentuk sudut elevasi α. Jika tinggi badan Andre adalah 1,6 m, tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut α ! Contoh: Jawab: Berdasarkan ilustrasi di atas, diperoleh informasi sebagai berikut. x = 8 m y = 7,6 - 1,6 = 6 m Berarti, r² = x²+y² r² = 8² + 6² r² = 64+36 r² = 100 r = 10 m Dengan demikian, gambar 1.4

θ Agar perbandingan trigonometri dapat dituliskan, panjang QRharus dicari terlebih dahulu. QR² = PQ² + PR² QR² = 24² + 7² QR² = 576 + 49 QR² = 625 QR = 25 cm Dengan demikian, 10 Contoh: Diketahui segitiga PQR siku-siku di P. Jika panjang PQ = 24 cmdan PR = 7 cm, tuliskan semua perbandingan trigonometri untuk ∠PQR! P Q R 7 cm 24 cm y x r gambar 1.5

Perbandingan 0° 30° 45° 60° 90° sin x 0 1 cos x 1 0 tan x 0 1 - csc x - 2 1 sec x 1 2 - cot x - 1 0 11 Tabel 1.1 Nilai perbandingan sudut sudut istimewa disajikan dalam tabel di bawah ini. a. Hitunglah nilai dari: 1) sin 60° - cot 60° 2) cos 45° sec 60° + cos 60° tan 45° Jawab: 1) sin 60° - cot 60° = 2) cos 45° - sec 60° + cos 60° tan 45° =

12 b. 60° 4 m Panjang bayangan tiang bendera adalah 4 , sedangkan sudut antara ujung bayangan dan ujung tiang adalah 60°. Tinggi tiang bendera dapat ditentukan menggunakan perbandingan trigonometri. Misalnya, tinggi tiang bendera adalah x. x Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah Yanetha mengukur bayangan tiang bendera di tanah dan diperoleh panjang 4 m. Yanetha juga mengukur sudut antara ujung bayangan dan ujung tiang, hasilnya adalah 60°. Tentukan tinggi bendera sebenarnya! gambar 1.6

13 C. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Selain sudut-sudut istimewa, nilai perbandingan trigonometri dapat ditentukan menggunakan daftar tabel trigonometri atau kalkulator. Tabel trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I. Dalam hal ini, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut lebih dari 90° dapat ditentukan dengan mengubah sudut tersebut ke kuadran I. Oleh karena itu, harus dipahami tentang perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. 1. Tanda Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Anda sudah memahami bahwa bidang koordinat Cartesius terbagi menjadi empat kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki setiap kuadran, nilai perbandingan trigonometri antarkuadran dapat berbedaberbeda. Kuadran I 0° < θ < 90° x positif y positif Kuadran II 90° < θ < 180° x negatif y positif Kuadran III 180° < θ < 270° x negatif y negatif Kuadran IV 270° < θ < 360° x positif y negatif

14 Pada kuadran I, 0° < θ <90°, x positif, dan y positif. Dengan demikian, sin θ, cos θ , dan tan θ bernilai positif Pada kuadran II, 90° < θ < 180°, x negatif, dan y positif. Dengan demikian, sin θ, bernilai positif , sedangkan cos θ dan tan θ bernilai negatif Pada kuadran III, 180° < θ < 270°, x negatif, dan y negatif. Dengan demikian, tan θ bernilai positif, sedangkan sin θ dan cos θ bernilai negatif. Pada kuadran IV, 270° < θ < 360°, x positif dan y negatif. Dengan demikian, cos θ bernilai positif, sedangkan sin θ dan tan θ bernilai negatif. Berdasarkan penjelasan di atas, tanda nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran dapat dituliskan sebagai berikut. Perbandingan Trigonometri I II III IV sin x + + - - cos x + - - + tan x + - + - csc x + + - - sec x + - - + cot x + - + - Tabel 1.2

90°-θ Diketahui titik P₁ (a,b) yang terletak pada kuadran 1 bidang koordinat Cartesius. Titik P₁ dicerminkan terhadap garis y = x ke titik P₂ (b,a). Dalam hal ini, m∠Q₁OP₁ = m∠Q₂OP₂ = (90 - θ) disebut saling berkomplemen. Berdasarkan koordinat titik P₁ (a,b), untuk sudut theta berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut. 15 θ ° ° y =x X Y Berdasarkan koordinat titik P₂,(b,a), untuk sudut (90 - θ) berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut. gambar 1.7

16 Dalam hal ini. Dengan demikian, untuk sudut berkomplemen di kuadran I, berlaku aturan sebagai berikut. sin (90° - θ) = cos θ csc (90° - θ) = sec θ cos (90° - θ) = sin θ sec (90° - θ ) = csc θ tan (90° - θ) = cot θ cot (90° - θ) = tan θ

Diketahui titik P(a,b) yang terletak pada kuadran I bidang koordinat Cartesius. Titik P(a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y ke titik Q(-a,b), terhadap titik O ke titik R(-a,-b), dan terhadap sumbu X ke titik S(a,-b). Dalam hal ini, m∠XOP = θ, m∠XOQ = (180° - α), m∠XQR = (180° + θ), dan m∠XOS = (360° - θ). Berdasarkan koordinat titik P(a,b), untuk sudut θ berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut 17 P (a,b) S (a,-b) Q (-a,b) R (-a,-b) 180° + θ 180° - θ θ Berdasarkan koordinat titik Q(-a,b), untuk sudut-sudut di kuadran II berlaku aturan trigonometri sebagai berikut. gambar 1.8

18 sin (180° - θ) = sin θ csc (180° - θ) = csc θ cos (180° - θ) = -cos θ sec (180° - θ) = -sec θ tan (180° - θ) = -tan θ cot (180° - θ) = -cot θ Berdasarkan koordinat titik R(-a,-b), untuk sudut berlaku (180 + θ) aturan trigonometri sebagai berikut. Dengan demikian, untuk sudut-sudut di kuadran III, berlaku aturan sebagai berikut. sin (180° + θ) = -sin θ csc (180° + θ) = -csc θ cos (180° + θ) = -cos θ sec (180° + θ) = -sec θ tan (180° + θ) = tan θ cot (180° + θ) = cot θ

19 Berdasarkan koordinat titik S(a,-b), untuk sudut (360° - θ) berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut sin (360° - θ) = -sin θ csc (360° - θ) = -csc θ cos (360° - θ) = cos θ sec (360° - θ) = sec θ tan (360° - θ) = -tan θ cot (360° - θ) = -cot θ Dengan demikian, untuk sudut-sudut di kuadran IV, berlaku aturan sebagai berikut.

20 Contoh: a. Nyatakan dalam sudut yang senilai! sin 70° sec 36° tan 109° csc 135° cos 240° cot 300° sec 330° sin 315° 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. b. Jika α sudut lancip dan sin (180° + α) = , hitunglah nilai cos² α - sin² α! Jawab: sin 70° = sin (90° - 20°) = cos 20° sec 36° = sec (90° - 54°) = csc 54° tan 109° = tan (180° - 71°) = -tan 71° csc 135° = csc (180° - 45°) = csc 45° cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° cot 300° = cot (180° + 120°) = cot 120° sec 330° = sec (360° - 30°) = sec 30° sin 315° = sin (360° - 45°) = -sin 45° 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. a.

b. sin (180° + α) = ⇔ - sin α = 21 Berarti, y = 1 dan r = 5 x² = r² - y² ⇔ x² = 5² - 1² ⇔ x² = 25 -1 ⇔ x² = ⇔ x² = Berarti, cos α = Dengan demikian cos² α - sin² α = = = Jadi, nilai cos² α - sin² α adalah

22 Anda sudah memahami cara menentukan letak suatu titik menggunakan koordinat Cartesius, bukan? Selain koordinat Cartesius, letak suatu tiitk juga dapat dinyatakan menggunakan koordinat kutub. Dalam hal ini, koordinat kutub dapat ditentukan menggunakan konsep trigonometri X Y y x P(x,y) θ Y P(r,θ) O O X Amatilah gambar (i)! Jarak titik P ke sumbu X adalah y satuan, sedangkan jarak titik P ke sumbu adalah x satuan. Oleh karena itu, koordinat titik P adalah (x,y), ditulis P(x,y). Dalam hal ini, P(x,y) merupakan penulisan letak titik dalam sistem koordinat Cartesius. Amatilah gambar (ii)! Jarak titik P ke titik pangkal koordinat O adalah r satuan, sedangkan sudut yang dibentuk oleh sumbu X dan garis OP adalah θ. Oleh karena itu, penulisan letak titik dalam sistem koordinat kutub (polar). r gambar 1.9 gambar 2.0

23 X Y y x P(x,y) = P(r,θ) O θ r Dengan demikian, dapat dituliskan hubungan koordinat kutub dan koordinat Cartesius sebagai berikut. Pada gambar di atas, koordinat titik P(x,y) = P(r,θ) disajikan dalam satu diagram, jika digunakan perbandingan trigonometri, akan diperoleh hubungan sebagai beriku: Koordinat kutub P(r,θ) dapat diubah menjadi koordinat Cartesius P(x,y)dengan x = r cos θ dan y = r sin θ Koordinat Cartesius P(x,y) dapat diubah menjadi koordinat kutub P(r,θ) dengan dan 1. 2. gambar 2.1

24 a. Nyatakan koordinat kutub A(8,60°) ke koordinat Cartesius! Jawab: Koordinat A(8,60°) berarti r = 8 dan θ = 60° x = r cos α = 8 cos 60° = y = r sin α = 8 sin 60° = Jadi, koordinat Cartesius dari titik A(8,60°) adalah . Contoh: b. Ubahlah koordinat titik B(2,-2) ke koordinat kutub! Jawab: Koordinat B(,2,-2) berarti x = 2 dan y = -2 (kuadran IV). θ = arc tan (-1) = 315° Jadi, koordinat kutub dari titik B(2,-2) adalah

D. Invers Fungsi Trigonometri Hitunglah nilai-nilai eksperesi berikut: Invers fungsi trigonometri merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri, seperti a. sin x = y , -90° ≤ x ≤ 90°, inversnya x = sin y, -1 ≤ y ≤ 1 b. cos x = y , 0° ≤ x ≤ 180°, inversnya x = cos y, -1 ≤ y ≤ 1 c. tan x = y , -90° ≤ x ≤ 90°, inversnya x = tan y, -∞ ≤ y ≤ ∞ Contoh: 1. a. sin b. sin Jawab: a. sin = x , interval (-90° ≤ x 90°) x = arc sin x = 30° b. sin = x x = arc sin x = -30° 25

26 Dalam matematika, identitas adalah sebuah kalimat matematika yang bernilai benar untuk semua nilai variabel yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi. Pada bab ini, kalian akan mengenal identitas trigonometri. Untuk apa kalian mengenal identitas trigonometri? Seperti kalian tahu, banyak permasalahan nyata yang dimodelkan sebagai persamaan matematika. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, kalian harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu. Jika model matematika tersebut memuat fungsi trigonometri, kalian harus menyelesaikan persamaan trigonometrinya terlebih dahulu. Identitas trignometri seringkali dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Sekarang, kalian akan menemukan lebih banyak lagi identitas trigonometri. E. Identitas Trigonometri Dasar Identitas trigonometri adalah suatu relasi yang mencakup beberapa variabel dalam fungsi trigonometri itu disebut sebagaiidentitas trigonometri. Pada identitas trigonometri, kamu juga akan mengenal istilah sinus, cosinus, dan tangen yang menjadi dasar dalam beberapa rumus matematika.

Identitas perbandinganIdentitas Phytagoras 27 Identitas kebalikan Identitas Trigonometri Dasar

28 Contoh Tunjukkan bahwa 1 + cot²α = csc² α Jawab: Jadi, dapat ditunjukkan 1 + cot²α = csc²α. Identitas kebalikan Samakan penyebutnya Identitas kebalikan Identitas kebalikan

29 Contoh Buktikkan identitas berikut. Jawab: Untuk membuktikan idnetitas trigonometri, mulailah dengan mengerjakan ruas kiri (karena biasanya ruas kiri memuat persamaan yang lebih rumit). Kerjakanlah secara aljabar. Identitas Pyhtagoras Pisahkan pecahan Identitas kebalikan

30 Contoh di atas menguraikan pembuktian identitas trigonometri dengan menggunakan identitas trigonometri dasar yang telah kalian ketahui. beberapa hal yang menjadi petunjuk dalam membuktikan identitas trigonometri adalah sebagai berikut. Pilihlah salah satu ruas persamaan, kemudian tuliskan. Mulailah dengan ruas persamaan yang lebih rumit. Tujuan kalian adalah mengubahnya menjadi bentuk pada ruas yang satu lagi. 2. Gunakan identitas yang diketahui Gunakan manipulasi aljabar untuk mengubah persamaan yangkalian pilih. Ubah bentuk pecahan dengan cara menyamakan penyebut, memfaktorkan, dan gunakan identitas untuk menyederhanakan pernyataan tersebut 3. Ubah menjadi bentuk sinus dan kosinus Membuktikan persamaan akan terbantu dengan menuliskan semua fungsinya dalam bentuk sinus dan kosinus. 1. Mulailah dari satu ruas

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B 31 F. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Identitas trigonometri dasar yang telah kalian pelajari, semuanya hanya melibatkan satu sudut saja. Lalu, bagaimana dengan bentuk trigonometri yang melibatkan dua sudut? Perlu dipahami bahwa dalam pembahasan trigonometri cos (α+β) tidak sama dengan cos α+ cos β. Akan tetapi, penjumlahan sudut pada cos (α+β) mempunyai rumus tertentu. Begitu pula dengan bentuk trigonometri lainnya, seperti sin (α+β) dan tan (α+β). Selanjutnya, akan terbentuk suatu identitas trigonometri yang memuat jumlah atau selisih dua sudut. Rumus jumlah dan selisih dua sudut adalah berikut. Sekarang, mari perhatiankan rumus-runus tersebut. Rumus jumlah dan selisih dua sudut digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah, di antaranya menentukan nilai trigonometri suatu sudut, menyederhanakan bentuk trigonometri, dan membuktikan identitas trigonometri lainnya.

Jawab: Untuk menentukan nilainya, tuliskan dua sudut tersebut sebagai jumlah atau selisih dua istimewa a. Tuliskan 15° sebagai selisih dua sudut istemwa, yaitu 15° = 45° - 30°. Dengan demikian, diperoleh: cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° b. Tuliskan 105° sebagai jumlah dua sudut istimewa, yaitu 105° = 45° + 60°. Dengan demikian, diperoleh: sin 105° = sin (45° + 60°) = sin 45° cos 60° + cos 45° sin 60° 32 Contoh: Tentukan nilai-nilai berikut dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut. a. cos 15° b. sin 105° c. tan d. sin 40° cos 160° - cos 40° sin 160°

c. Tuliskan sebagai selisih dua sudut istimewa yaitu . Dengan demikian, diperoleh: 33 d. Berdasarkan identitas selisih pada sinus makan diperoleh: sin 40° cos 160° - cos 40° sin 160° = sin (40° - 160°) = sin (-120°) = -sin 120° =

sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = cos² A - sin² A = 2 cos² A - 1 = 1 - 2 sin² A 34 G. Rumus Sudut Ganda Jika sudut A = sudut B maka besar sudutnya menjadi 2A dan disebut sudut ganda sehingga menghasilkan rumus sudut ganda. Sebagai contoh, untuk memperoleh rumus sin 2A makan gunakanlah rumus sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B, dengan A = B sin 2A = sin (A + A) = sin A cos A + cos A = sin A cos A + sin A cos A = 2 sin A cos A Rumus sudut ganda selengkapnya adalah sebagai berikut. Contoh Diketahui sin A = 12/13, 0° < A< 90° Tentukan nilai dari : a. sin 2A b. cos 2A c. tan 2A Jawab: Untuk menjawab soal ini, tentukan terlebih dahulu cos A dan tan A

35 A 13 12 5 Sisi di samping A dapat diperoleh menggunakan Theorema Phytagoras sehingga mendapatkan 5. a. Sin 2A = 2 sin A cos A b. Cos 2A = 1 - 2 sin² A c. Tan 2A gambar 2.1

sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B) atau dapat dituliskan sebagai: 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) sin A cos B = 1/2 Melalui penurunan dari rumus penjumlahan tersebut, diperoleh bentuk perkalian sinus dan kosinus. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh tiga rumus perkalian sinus dan kosinus lainnya. 36 H. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut unyk sinus ataupun kosinus yang telah kalian pelajari. Misalkan kalian menjumlahkan sin (A + B) dan sin (A - B) maka akan diperoleh suatu rumus baru yang diturunkan dari rumus tersebut. sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B)

37 Contoh: Nyatakan cos 5alfa sin 4alfa sebagai bentuk jumlah atau selisih sinus dan kosinus. Jawab:

Tentukan nilai dari cos 195° + cos 105° . Jawab: Berdasarkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus diperoleh: cos 195° + cos 105° = 2 cos (195° + 105°) cos (195° - 105°) = cos (300°) cos (90°) = 2 cos 150° cos 45° 38 Sebaliknya dari proses perkalian menjadi penjumlahan, bentuk penjumlahan sinus dan kosinus dengan dua sudut yang berbeda dapat dinyatakan sebagai perkalian sinus dan kosinus. Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus adalah berikut Contoh I. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus

39 J. Rumus Setengah Sudut Rumus setengah sudut adalah sebagai berikut Contoh: 1. Jika cos A = 0,28 , dan 180° < A < 360°, maka tentukan nilai dari: .a. b. c. Jawab: Karena cos > 0, dan A terletak antara kuadran III dan , maka A di kuadran IV a.

b. 40 c.

Berikut contoh persamaan trigonometri sin x = cos x = tan x = Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kalian harus menentukan semua nilai variabel yang membuat persamaan tersebut bernilai benar. Oleh karena itu, kalian perlu mengingat kembali pelajaran mengenai nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa. Penyelesaian persamaan trigonometri adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. 41 K. Persamaan Trigonometri Suatu persamaan yang fungsi trigonometri, dinamakan persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri dasar, bentuk umumnya T(alfa) = c, dengan T adalah fungsi trigonometri dan c adalah konstanta 1. Persamaan berbentuk sin x = sin α Untuk menyelesaikan persamaan sin x = sin α, carilah terlebih dahulu nilai x yang memenuhi persamaan dalam satu periode. Setelah itu, cari nilai nilai x semuanya. Fungsi sinus merupakan fungsi periodik, dengan periode 360° (2π) sehingga penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah sebagai berikut

42 sin x = sin α x = a + k . 360° atau x2 = (180° - α) + k . 360° dengan k anggota bilangan bulat Jika ditulis dalam radian menjadi sin x = sin α x1 = α + k. 2π atau x2 = (π - α) + k. 2π dengan k anggota bilangan bulat 2. Persamaan Berbentuk cos x = cos α Sama seperti persamaan sinya, untuk menyelesaikan persamaan cos x = cos α tentukan dulu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut untuk satu periode. Setelah itu, cari nilai-nilai x semuanya. Periode fungsi kosinus adalah 2π sehingga penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah sebagai berikut. cos x = cos α x = ± α + k . 360° dengan k anggota bilangan bulat Jika ditulis dalam radian menjadi cos x = cos α x = ± α + k . 2π dengan k anggota bilangan bulat 3. Persamaan Berbentuk tan x = tan α Untuk menyelesaikan persamaan tan x = tan α, carilah terlebih dahulu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut dalam satu periode. Setelah itu, cari nilai-nilai x semuanya. Fungsi tangen memiliki periode π sehingga penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah sebagai berikut.

Jawab: 43 tan x = tan α x = α + k . 180° dengan k anggota bilangan bulat jika ditulis dalam radian menjadi tan x = tan α x = α + k . π dengan k anggota bilangan bulat Contoh: Selesaikanlah persamaan-persamaan berikut.

sin x = -(sin 45°) sin x = sin (-45°) x₁ = (-45°) + k . 360° atau x₂ = (180° - (-45°)) + k. 360° x₁ = (-45°) + k . 360° x₂ = 225° + k . 360° dengan k adalah bilangan bulat. b. cos (2x) cos 2x = cos 60° atau cos 2x = cos (-60°) 2x + 60° + k . 360° 2x = -60° + k . 360° x₁ = 30° + k . 180° x₂ = -30° + k . 180° dengan k adalah bilangan bulat. karena interval untuk x, yaitu 0° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi harus diperiksa terlebih dahulu. untuk k = 0 maka: x₁ = 30° + 0 . 180° atau x₂ = -30° + 0 . 180° x₁ = 30° x₂ = -30° untuk k = 1 maka: x₁ = 30° + 1 . 180° atau x₂ = -30° + 1 . 180° x₁ = 210° x₂ = 150° untuk k = 2 maka x₁ = 30° + 2 . 180° atau x₂ = -30° + 2 . 180° x₁ = 390° x₂ = 330° Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan cos(2x) adalah {30°, 150°, 210°, 330°} 44

c. 45 tan x = tan 30° x = 30° + k . 180° dengan k adalah bilangan bulat. karena interval untuk x, yaitu 0° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi harus diperiksa terlebih dulu. untuk k = 0 maka: x = 30° + k . 180° x = 30° untuk k = 1 maka: x = 30° + 1 . 180° x = 210° Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan adalah {30°, 210°}.

Bentuk persamaan Persamaan Subtitusi Persamaan aljabar Persamaan trigonometri berbentuk linear x = cos θ Persamaan trigonometri berbentuk kuadrat 2 cos² θ + cos θ - 1 = 0 x = cos θ 2 x² + x - 1 = 0 46 Bentuk Persamaan Trigonometri Persamaan trigonometri terdapat dua bentuk, yaitu persamaan trigonometri yang berbentuk linear dan yang berbentuk kuadrat. Perhatikan tabel berikut. Jadi, suatu persamaan trigonometri dapat dinyatakan sebagai persamaan aljabar dengan variabel x. Dengan demikian, menyelesaikan persamaan trigonometri dapat dilakukan secaramanipulasi aljabar agar lebih mudah. Namun kalian juga tidakharus selalu mengubahnya menjadi persamaan aljabar. Hal yang terpenting adalah kalian memahami bentuk persamaan trigonometri tersebut, apakah berbentuk linear atau kuadrat. Jika persamaan itu berbentuk linear, kalian bisa menyelesaikannya, dengan mencari nilai pengganti untuk x. Sementara itu, persamaan berbentuk kuadrat, biasanya Tabel 1.3

diselesaikan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu. Dalam menyelesaikan persamaan trigonometri berbentuk kuadrat, kalian mungkin memerlukan identitas trigonometri. Contoh Selesaikanlah persamaan berikut. a. 1 + sin θ = 2 cos² θ, dengan 0 ≤ θ ≤ 2π b. sec² x - 2 tan x = 4 Jawab: a. 1 + sin θ = 2 cos² θ 1 + sin θ = 2 (1 - sin ² θ) 1 + sin θ = 2 - 2 sin² θ 2 sin² θ + sin θ + 1 - 2 = 0 2 sin² θ + sin θ - 1 = 0 Persamaan 2 sin² θ + sin θ - 1 = 0 merupakan persamaan trigonometri berbentuk kuadrat. Untuk menyelesaikannya, gunakan cara memfaktorkan untuk memperoleh nilai θ. 2 sin² θ + sin θ - 1 = 0 (2 sin θ - 1)(sin θ + 1) = 0 (2 sin θ - 1) = 0 atau (sin θ + 1) = 0 2 sin θ = 1 sin θ = -1 sin θ = sin θ = -1 sin θ = sin θ= θ = θ = 47