64_ลำดับและอนุกรม

1

✓
✓

✓

✓

N = cN

§C

i.

2

คำนำ

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เน้นวิทย์ 5 (ค33203) หน่วยที่ 1 ลำดับและอนุกรม
เลม่ นไี้ ดจ้ ดั ทำและรวบรวมเน้ือหาในเรื่องลำดับและอนุกรม ซง่ึ เป็นเนือ้ หาที่ใชส้ อนในระดับชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6
ในสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม ภายในเล่มจะประกอบด้วยตัวอย่างและโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลำดับและอนุกรม
สำหรับนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาท่ีน่าสนใจ ซ่ึงเหมาะสำหรับใช้เป็นส่ือการเรียนรู้ให้กบั ผู้ที่มีความสนใจในเร่ืองน้ี
ได้เป็นอยา่ งดี รวมท้งั ยังสามารถใชเ้ ป็นคู่มือประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของครูได้อีกด้วย

ผจู้ ัดทำหวังเปน็ อยา่ งย่งิ วา่ เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง ลำดับและอนุกรม เลม่ นจ้ี ะเป็นประโยชน์
สำหรับนักเรยี นและผู้ที่สนใจ

อุทยั วรรณ สังคานาคิน

ก

สารบญั หน้า

เรอ่ื ง
คำนำ
สารบัญ
คำอธบิ ายรายวชิ า
หน่วยที่ 1 ลำดับและอนกุ รม

1 ลำดับ
1.1 ความหมายของลำดับ
1.2 ลำดับเลขคณติ
1.3 ลำดบั เรขาคณิต
1.4 ลำดับฮาร์มอนกิ

2 ลมิ ติ ของลำดับอนนั ต์
3 อนกุ รม

3.1 อนกุ รมเลขคณิต
3.2 อนุกรมเรขาคณติ
3.3 อนกุ รมอนันต์
4 สัญลักษณ์แสดงการบวก
5 การประยุกตข์ องลำดับและอนุกรม
บรรณานุกรม

ข

คำอธิบายรายวิชา

รายวชิ าคณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 5 รหัสวิชา ค33201 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 1 เวลา 80 คาบ 2.0 หนว่ ยกิต

ศึกษาเกี่ยวกับลำดับจำกัด ลำดับอนันต์ ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต ลิมิตของลำดับอนันต์
อนุกรมจำกัด อนุกรมอนันต์ อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต ผลบวกของอนุกรมอนันต์ การนำ
ความรู้เกี่ยวกับลำดับและอนุกรมไปใช้ในการแก้ปัญหามูลค่าของเงินและค่ารายงวด ลิมิตของฟังก์ชัน
ความต่อเน่ืองของฟงั กช์ ัน ความชันของเสน้ โค้ง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต
โดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์ของอันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์ ปริพันธ์ของ
ฟงั ก์ชนั ปริพันธข์ องฟงั ก์ชนั ไมจ่ ำกัดเขต ปรพิ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั จำกัดเขต และพน้ื ทปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้

โดยการจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ในชีวิตประจำวันที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษา
ค้นคว้า ฝึกทักษะ โดยการปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป รายงาน เพื่อพัฒนาทักษะ กระบวนการในการคิด
คำนวณ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสารทางคณิตศาสตร์ และนำประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด ทักษะและกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่าง
สรา้ งสรรค์

เพื่อให้เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานได้อย่างเป็นระบบ มีระเบียบ
รอบคอบ มคี วามรบั ผดิ ชอบ มวี ิจารณญาณ มคี วามคิดรเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์ และมคี วามเช่ือมัน่ ในตนเอง

ผลการเรยี นรู้
1. ระบไุ ดว้ า่ ลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับลเู่ ขา้ หรือลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ
3. หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต์
4. เข้าใจและนำความร้เู ก่ียวกับลำดับและอนกุ รมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เนอื่ งของฟังกช์ นั ทกี่ ำหนดให้
6. หาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันพชี คณิตทีก่ ำหนดให้ และนำไปใชแ้ ก้ปญั หา
7. หาปรพิ นั ธไ์ มจ่ ำกัดเขตและจำกดั เขตของฟงั กช์ นั พีชคณิตที่กำหนดให้ และนำไปใชแ้ กป้ ัญหา

รวม 7 ผลการเรียนรู้

ค

โครงสร้างรายวชิ า ค33201 คณิตศาสตร์เนน้ วิทย์ 5
ภาคเรียนท่ี 1 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6

ที่ ช่ือหน่วย ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนร้เู พ่ิมเตมิ เวลา นำ้ หนัก
ชม./ คะแนน
1 ลำดบั และ 1. ระบไุ ดว้ า่ ลำดบั ท่กี ำหนดให้ 1. ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์ คาบ
30 38
อนกุ รม เปน็ ลำดับลเู่ ข้าหรอื ลู่ออก 2. ลำดับเลขคณิตและลำดบั
50 62
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของ เรขาคณิต
80 100
อนกุ รมเลขคณิตและอนุกรม 3. ลิมิตของลำดับอนันต์

เรขาคณิต 4. อนกุ รมจำกัดและอนุกรม

3. หาผลบวกอนุกรมอนันต์ อนันต์

4. เขา้ ใจและนำความรู้เกย่ี วกบั 5. อนุกรมเลขคณิตและอนุกรม

ลำดบั และอนุกรมไปใช้ เรขาคณิต

6. ผลบวกอนุกรมอนนั ต์

7. การนำความรูเ้ กย่ี วกบั ลำดับ

และอนุกรมไปใช้แก้ปัญหา

มลู คา่ ของเงินและคา่ ราย

งวด

2 แคลคูลสั 1.ตรวจสอบความต่อเน่อื งของ 1. ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของ

เบ้ืองตน้ ฟงั กช์ นั ที่กำหนดให้ ฟงั กช์ นั

2.หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพชี คณิต 2. อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันพีชคณติ

ท่ีกำหนดให้ และนำไปใช้ 3. ปริพนั ธ์ของฟงั กช์ นั พีชคณติ

แก้ปญั หา

3.หาปรพิ นั ธไ์ มจ่ ำกัดเขตและ

จำกัดเขตของฟังก์ชนั พชี คณิตที่

กำหนดให้ และนำไปใช้

แก้ปัญหา

รวม

ง

ความหมายของลำดับและรูปแบบการกำหนดลำดบั

1. ความหมายของลำดับ

บทนิยาม ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4, , n} หรือ มีโดเมนเป็นเซตของ
จำนวนเต็มบวกI+เรยี กลำดับทีม่ ีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4, , n} ว่า ลำดับจำกดั (finite sequence)

และ เรยี กลำดับทีม่ ีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก ว่า ลำดับอนนั ต์ (infinite sequence)

[+

ตวั อยา่ งที่ 1 ลำดับต่อไปนเี้ ป็นลำดบั จำกดั หรือลำดับอนันต์ Df = { }

6 | Rf {- }
-
30
1) 5, 10, 15, 20, 25, ตอบ………บ………ด…………….

2) 2, 4, 6, 8, . . ., 2n, . . . ตอบ…ส……บ…อ……น…………….

3) 5, -5, 5, -5, . . ., (-1)n+1 5 , . . . ตอบ……ส……บ…อ……น………….

4) 100, 200, 300, . . ., 900 ตอบ……………บ………ด……….

5) an = nn2++21☐;๐n =1น, 2, 3, 4,...,15 ตอบ……ส……บ………ด………….
n2
6) an = 4n + 1 ; n = 1, 2, 3, 4, . . .N ตอบ……………บ…อ……น……….

7) an = 2n2 + 5n +8;n = 1, 2, 3, 4,5 ตอบ……………บ…ส…า…ด……….
กำหนดฟังกช์ ัน f= (x,y) y = 5x ,x T I * สมา กใน 1รน
ตวั อยา่ งที่ 2 + แ^ละ xT 4
จงเขียนลำดับจากข้อมูลที่กำหนดให้
นงssั|ม =
และบอกว่าเป็นลำดบั จำกัดหรือลำดับอนันต์
Df = }5,6, . . .

………จา…ก…โ…จท……จ…ะไ……า………D…f……= …{……1,…2…, …3…,4……}……………………………………………………………………………………

………………บ………อ……5…,…2…5…,1…2…5…,6…2…5…………เ……น…ส……บ…………ด………#…………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1

ักำจัด็ปืค้ีนัดำล่ว้ด์ย์ธิชัดำล์ตันัดำลัจัดิกักำจัดำล์ตันัด์ตันัดักำจัดำล

ตัวอยา่ งที่ 3 กำหนดฟังกช์ ัน f = (x,y) y = 5x ,x I+ จงเขียนลำดับจากข้อมูลทก่ี ำหนดให้ และ

บอกวา่ เป็นลำดบั จำกัดหรอื ลำดับอนันต์

…………………D…f……=……I…t……………ห……………D…f……=……µ…………หน"……D…f…ะ……{ …1.…2…,3…,….…. .…}…………………………………

@………………………บ…………อ………5…,2…5…,…1…2…5,…6…2…5…,…. …. …. ……………………………………………………………………………

………………………………5…,2…5…,1…2…5…, …. .….…, …5"……, …. .…. ………บ……เ …น………บ อ……น………………………………………………………

"

=5

2. รูปแบบการกำหนดลำดับ เราสามารถเขยี นแสดงลำดบั ไดห้ ลายรูปแบบ ไดด้ ังนี้

1) กำหนดลำดับโดยเขยี นแจกแจงพจนท์ ้งั หมดของลำดบั รปู แบบนใี้ ชก้ ับลำดบั จำกดั ทม่ี ี
จำนวนพจน์ไมม่ ากนักเช่นตัวอย่างต่อไปน้ี

ตวั อย่างท่ี 4

1) 5, 10, 15, 20, 25, 30

2) 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0

3) 50, 100, 150, 200, 250

4) 1 , 1 , 1 , 1
2 4 8 16

2) กำหนดลำดับโดยเขยี นพจนเ์ ร่ิมต้นจำนวนหน่ึงพร้อมสตู รท่วั ไปของลำดบั รปู แบบน้ใี ช้กับ
ลำดบั จำกัดทมี่ จี ำนวนพจน์จำนวนมากและลำดับอนันต์ เช่นตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 5

1) 1, 4, 9, 16, …, n2 ,…, 625

2) 1,3,7,15,…, 2n -1,…

3) 1, 1 , 1 , 1 ,…, 1 n-1
3 9 27 3
,…

2

ุอ์ตันัดำล็ป้ีนัดำลืถิหืค้ีนัดำลืร

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหา 4 พจนแ์ รกของลำดบั เม่ือกำหนดพจน์ท่ี n ของลำดับต่อไปน้ี

1.1 an = 4 n – 2 1.2 an = 3 + (−1)n

วธิ ที ำ 1.1 กำหนด an = 4 n – 2 เมน ( 2)= 4
ท-

a1 = 4...(.1..)..-..2......=......2..............9..1......=.....4...(...1=2) = -4

a2 = .4...(.2..)..-..2.....=.......6.............9..2.......=.....4...(..2=2) = 0

a3 = .4...(.3...)..-..2....=.......1.0.............A..g......=.....4...(..3-2) = 4

a4 = .4...(.4.../..-..2.....=......1.4.............9..4.......=.....4....(4-2) = 8

ดงั น้ัน 4 พจนแ์ รกของลำดบั นค้ี ือ ......2..,..6....,..1..0...,.1.4.............#....................................

* -4,0, 4,8

1.2 กำหนด an = 3 + (−1)n

a1 = .....3.....+.....C..-...1.)........=...........2...............

a2 = .....3.....+.....1...............=..........4...............

a3 = ......3....+....(...a...)..........=...........2..............
a4 = .......3.....+....1...............=.........4...............

ดงั นั้น 4 พจน์แรกของลำดบั นีค้ ือ ...........2....,.4.....,....2....,.4............*..............................

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาพจน์ท่ัวไปของลำดบั 1, 3, 9, 27, . . .
\/\/\/

วธิ ที ำ ………9…, …=……1…………= ……3…°………= …g…" …"…………………………………….……………………………………………………

………………9…2……=……3………=………3…×…1………=……3…1 ……=……32…"…………………………………………………………………………

…………………9………ะ ……q ………= ……3…×…3…………= ……32………= …3…3…"………………………………………………………………………
3

3×329 = 27 3"
4 3 9= × =
=3 =3

:

• n -1 ght

An = 3

""

Gท& =3 เ อ ท = 1,2 3,4
,

*

ง พวกไปของ บ อ "" #

3=

3

ุอัพัดำล้ัฬัด่ืมุผ

3) กำหนดพจนเ์ ร่ิมต้นพรอ้ มกับสตู รการหาพจนถ์ ัดไปจากพจน์กอ่ นหนา้

รปู แบบนเ้ี รียกอีกอยา่ งหนึง่ ว่า การกำหนดโดยใช้ความสัมพันธ์เวยี นเกิด (recurrence relation)
ไ
ตัวอย่างที่ 8 กำหนดลำดบั an ซง่ึ a1 = 2 และ an = nan-1 -1 เมอ่ื nงเ 22 จงหาห้าพจนแ์ รกของลำดับน้ี

วธิ ีทำ …q………= …2…………G…g …ะ …5…9…4…-1……ะ …5…(…31…) …-1……=…15…5…-…1 …=…15…4……….……………………………………………………
……………92……=……2…9………-…1……=…2………-1…=…2…(…2)…-…1 …=…3………………………………………………………………………………

µ

…………A…,……= …3…dg…_ุ…-…1……= …39…2…-1…=…3…(3…)…-1……= …8 …' …ง…น……าม…จ…น…แรก…ข…อง………บ……………………………………………………
…………………= …4…9…g…-1……=…4…(8…)…-…1 …=…3…1 ………………2…,…3…, …8…,3…1…,1…5…4……#……………………………………………………

4) กำหนดลำดับโดยการบอกเง่ือนไขหรือสมบตั ขิ องพจนล์ ำดับ
ถ้าไม่ทราบสตู รทัว่ ไปของลำดับ และไม่ทราบความสัมพันธเ์ วียนเกิดของลำดบั การกำหนดลำดบั

จำเปน็ ตอ้ งใชว้ ธิ กี ารบอกเงื่อนไขหรอื สมบตั ขิ องพจนข์ องลำดบั ตวั อย่างดงั ต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 9

1) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 29, . . . คอื ลำดับ an เมอ่ื an เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ n

2) 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, . . . คอื ลำดบั bk เมอ่ื bk เปน็ ทศนิยมตำแหน่งท่ี k ของ 2 ซง่ึ
เท่ากับ 1.414213562. . .

"No bird soars too high if he soars with his own wings."
ไม่มีนกตัวใดบนิ สูงเกนิ ไปถา้ มันบนิ ด้วยปีกของมนั เอง สู้ ๆ นะคะเดก็ ๆ

4

ุอืส้ีนัดำล้ห้ันัดุห้ห่ท้ัท

แบบฝกึ หัดท่ี 1
ความหมายของลำดับและรปู แบบการกำหนดลำดับ

นายจากข้อ 1 – 5 จ1ง-พจิ 7ารณาว่าลำดบั ตอ่ ไปนี้เปน็ ลำดบั จำกดั หรอื ลำดบั อนันต์

1. 1, 3, 5, 7, 9, . . ., 2n – 1, . . . ส บอ น

2. 6, -6, 6, -6, 6, . . ., 6

3. f = {(x, y) y = x-2 , x I+และx <10}
x+2
4. f = {(x,y) y = 2n , x I+ }

5. an = nn+1; n =1, 2,3, 4,...,10
6. กำหนดฟงั ชนั ก์ f = {(n, f(n)) f(n) = 3n - 2, n I+ และ n 4} จงเขียนลำดับจากข้อมลู ท่ีกำหนดให้

และจงบอกวา่ เป็นลำดบั จำกดั หรือลำดับอนนั ต์

7. กำหนดฟังชนั ก์ f = {(n, f(n)) f(n) = n2 +1, n I+ } จงเขยี นลำดับจากข้อมลู ที่กำหนดให้ และจงบอก

วา่ เปน็ ลำดับจำกดั หรอื ลำดับอนันต์

8. จงหาหา้ พจน์แรกของลำดบั an ที่กำหนดโดยใช้ความสมั พันธ์เวียนเกิดต่อไปน้ี

(1) a1 = 0 และ an = an−1 + n − 1 เมื่อ n 2

(2) a1 = 1000 และ an = 1 + (0.05) an−1 เมื่อ n 2

(3) a1 = 2 และ an = 6an−1 เมอื่ n 2

(4) a1 = 1, a2 = 2 และ an = an−1 + 2an−2 เมอื่ n 2

(5) a1 = 2, a2 = 0 และ an = an−1 + an−2 เมื่อ n 2

ข้อ 9 – 11 จงหาพจน์ท่ี n เม่ือกำหนดลำดับ

9. 2, 4, 8, 16, . . .

10. 2, 5, 10, 17, . . .

11. 2 , 3 , 4 , 5 ,...
1 2 3 4

5

ด์ตันั

ลำดับเลขคณติ และลำดับเรขาคณติ

ra1. ลำดบั เลขคณติ d ไCeheerไไเไในอพรรพ -1 649 ย. .

..

บทนยิ าม ลำดบั เลขคณิต คอื ลำดบั ซ่งึ มผี ลตา่ งท่ไี ด้จากจากการนำพจน์ที่ n + 1 ลบดว้ ยพจนท์ ี่ n

เป็นค่าคงตัวท่เี ท่ากัน สำหรับทกุ จำนวนเตม็ บวก n และเรียกค่าคงตวั ทีเ่ ป็นผลตา่ งนว้ี า่

ผลต่างร่วม ซง่ึ ใช้ d แทน ผลต่างรว่ ม

จากบทนยิ าม เม่ือ d แทน ผลตา่ งร่วม

จะได้วา่ d = an+1 - an

น่ันคือ เปa็นnค+1า่ พค=องชaตกnัวไป+แdละ an+1 = an + d เม่ือ n 2

ให้ a1 , d
จะได้ a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

ดังน้ัน จะได้ลำดับเลขคณิต an คือ a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , . . .
คอื 0an = a1 + (n -1)d
รูปทั่วไปของลำดับเลขคณิต *
แทน ผลตา่ งร่วม
เมื่อ a1 คอื พจน์แรก และ d

ๆ ④ ④an = Cn -

ตัวอย่างท่ี 10 จงหาลำดับเลขคณติ ทีม่ ผี ลต่างรว่ มเป็น 4 0และมีพจน์แรกเปน็ 1
วิธที ำ จาก an = a1 + (n -1)d และจากโจทย์กำหนด d = ……4….. และ a1 = ……1………

จะได้ ....................=.....1....+....l.n..............................................................................................................................

ทำ..................................=......เ...+.................................................... ...............................................................................

..................................=......4..ข.า..-..3........................................................ .......................................................................

ดงั น้ัน ลำดับเลขคณิตน้ี คือ ...1..,..5.....,..9...,.............,....4..ท...-.3....,................#.......................................................................

6

ุห๋ํก๊ืหิม

7,1 4,2 1,28* . .. 7c - , ท

,,

ตวั อยา่ งที่ 11 จงหาวา่ จำนวนนับ 1 ถงึ 1000 มีทง้ั หมดสก่ีจอำนวงนทีห่ ารดว้ ย 7 ลงตัว
- แลกะะจำ?นวนสดุ ทา้ ยคอื ....9..9...4...............
วิธีทำ
จำนวนแรกทีห่ ารด้วย 7 ลงตวั คือ ........ๆ...............

นำมาเขยี นเรยี งลำดบั จากน้อยไปมากไดด้ ังนี้ ....7...,.1....4...,.2...1..,.2...8...,.............,...94...9..0............................

fซงึ่ มีความสมั พันธ์เป็นลำดับ ..เ.ล...ข...ค...น...ต.......... ท่มี ผี ลตา่ งรว่ มเป็น ........7........... โดยท่ี a1 = ………7………..

………a…m…………9………= …………+…C…n…-…1)…d……………………………………………………พ…………ด……าย…จ…ะ……วย…บ…อ…กไ……า ………
…………………9…9…4ด……=……7……+…G……-…1…) (…7…)………………………………………………………บ……………พ…ล………………………

-

……………9…9…4…-…7……ะ……(…ค…-…1)…(…7…) ………………………ก…ะ……………………………………………………………………………

………………9…8…7…………ะ……7…ท…-…7……………………………………………………………………………………………………………
…………9…8…7……+ไ…7…ง…=…อ…7…t…ท…………………………………ท………ะ …1…4…2………………………………………………………………

…………………7…ท…………=……9…9…4…………………………ง……น…………นว…น……ง…แ……1 ……ง…1,…00…0………………………………………

mร ห 7 ลง ว 142 นอน

*

2. ลำดบั เรขาคณิต

บทนิยาม ลำดบั เรขาคณิต คือ ลำดบั ซ่งึ มที ่ีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ท่ี n เป็นคา่ คงตัว
ท่ีเท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกคา่ คงตัวทเี่ ป็นอตั ราส่วนน้ีว่า
อัตราส่วนร่วม ซ่ึงใช้ r แทนอตั ราสว่ นรว่ ม

จากบทนิยาม เมื่อ r แทน อัตราสว่ นร่วม
a n +1
จะไดว้ า่ r = an

นน่ั คือ an+1 = anr
ให้ a1 , r เปน็ คา่ คงตัว และ an+1 = anr เมอ่ื n 2
@จะได้ a2 =0a1r
a3 = a2r = (a1r)r =0a1r2 airg. = . 3)
a4 = a3r = (a1r2 )r = 0a1r3 .
..
G. =
4

ดังน้ัน จะได้ลำดับเรขาคณติ an คือ ca10, a.11r , a r ,2 2 a r ,3 3 ...
1. 1.
n−1
รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณติ คอื an =Oa1r - ""

เมื่อ a1 คือ พจน์แรก และ r แทน อัตราส่วนรว่ ม q = qr

7

ฺทัจัตัด่ีทึถ่ต้ัตำจีม้ันัดุย็ชืกีม้ีนัดำล่ว้ด่ช้ทุส์ิณุอ

ผํ๊ำำบ"ี lai
~

วม (d) = 9mi

G-- idln+ -

.eบ เeรขาค#ต(a, ) 9

ตรา วน วม lr ) = 1ns

= qrm

ุอุ๋ภ่ร่สัอิณัดำลุอุอ่รัดำล

%=? " 1 1
2 4
aian -.gr
wiooceตัวอย่างท่ี 12 ,
จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดบั เรขาคณติ 1, , …
nr

วธิ ีทำ จากโจทย์ a1 = …………1 …………… และ r = ………=…_………= …¥..

(………………………………………………จน………ทั่น………ค………ือ………%Gพ………จ………น.......ท์=ะ………่ี ………1(qC10………h)r………ขr"อ………9µง"………ล………ำqด………ับ………ค………อื ………………………………9%91…………01………"…0===……………………#…………221…………9ำ…………………………………………า…………นบ…………ม…………(…………เg…………า)………1…"บ0…………=ขอ…………ง1ab………ส…""…………บ…………#(…………ภ………า…ค……………………า……………………………...……………………………………………………
5 12

ตวั อยา่ งท่ี 13 กำหนดให้เร่ิมฝากเงนิ ดว้ ยเงินตน้ 10,000 บาท และอัตราดอกเบ้ียทบต้น 5 % ตอ่ ปี จงหา
สตู รกาวรไปคิดจำนวนเงินในบัญชหี ลังจากคดิ ดอกเบ้ยี ไปแล้ว เม่ือสน้ิ ปีท่ี n

วิธที ำ ให้ A แทน .........น..ว..น...เ....น.........เ....ม......น....ป..า..ก................................. เปน็ ..1..0...,.0..0...0..... บาท

ให้ a1, a2, a3, . . ., an แทนจำนวนเงนิ ในบญั ชีหลงั จากคดิ ดอกเบี้ยเมอ่ื สิน้ ปีท่ี 1, 2, 3, . . ., n

ส้นิ ปที ี่ เงินต้น ดอกเบ้ีย (5%) จำนวนเงนิ = เงินต้น + ดอกเบยี้

1 จะได้ a1 × 105 น เดอก น
¥ อA น= 10,000 5% ของเ น =
2 จะได้ a2 A + A = 10,000+500=10,500
" 1. " A 0.05 ( 1.05 A)
5A_nA + อ. อ5A = 1.0
3 จะได้ a3 05
ย อ1.051-0+0.5 ยก อง) = ( )1.05 1.05^-
☐1 ①05)# ☐05 ( 1.05) ห
( 3A①05) 2A

1.05 ¢0 5)2A) = (1.05)

. • •
• • •
•
• •
( A" "
n จะได้ an (0.05 5) " " ("
1 อ. 5)
1.0 A 1 . อ 5) A

ดงั น้ัน สูตรการคิดคำนวณเงินในบญั ชหี ลงั จากคดิ ดอกเบยี้ เมื่อสน้ิ ปที ี่ n คือ ....(...1....อ..5..).."...A........... ซ่งึ เปน็
mt

พจนท์ ี่ n ของลำดบั เรขาคณิตท่มี ีพจน์แรก คอื ..1....0...5...A....ห.............. และมี ....1.....0...5...... เป็นอตั ราส่วนรว่ ม

10,500

ะ9

8

⃝?ุหืรฺอ่ร๋ัฐุษ้ัสิง็ป้ตัต่ิร่ีทิงำจ่ัทัก่ท้ีนัดำล่ํต็ปัด่ีทัก้ดุ่วุ๊ห

เ นน ตอกาย นวน เ น

fญ ไ ฐึ๋ A ± 0.05A + A- = G.05 A)

92 ( A + A) ยาวไกล+1 ) ( A + ¥A) + (A + ฐึ๋A)

ยอด1.0ด5วง7ใ) จ ไอCntใ )Cnnบไกง(อ.อ5)4hr35m01s( 1.05
(+0.05 1.05-1
g
✗ +5 ✗ เอ O

.ออ5

T.to

°1. ^
051.05 -

( 1.05) 2A

่ีย่ย๋ึฉ๊ึฉ๋ัฐ๋ัฉฺภัปุอิงัทิง

แบบฝึกหดั ท่ี 2
ลำดับเลขคณติ และลำดับเรขาคณิต

1. จงบอกวา่ ลำดับท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปน้ี ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดับใดเปน็ ลำดบั เรขาคณิต

พรอ้ มท้ังบอกผลตา่ งร่วม หรืออตั ราส่วนร่วมของลำดบั นน้ั ๆ ด้วย

(1) 7, 9, 11, 13, ...,(2n + 5) (2) 6, − 6, 6, − 6, ..., 6(−1)n−1

(3) 4, 2, 0, − 2, ..., (6 − 2n) (4) 3, 1, 1 , 1 , ..., 9 1 n
39 3

(5) − 1 , − 1 , − 1 , − 1 , ..., − n n 3
4 5 2 7 +

2. จงหาพจน์ทัว่ ไปของลำดบั เลขคณติ ต่อไปน้ี

(1) − 2, 4, 10, ... (2) − 1, 1, 1, ...
6 6 2

(3) 11, 13 1 , 16, ... (4) 19.74, 22.54, 25.34, ...
2

(5) x, x + 2, x + 4, ... (6) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, ...

3. จำนวนเต็มตงั้ แต่ 34 ถึง 961 ทหี่ ารดว้ ย 3 ลงตวั มีกี่จำนวน

4. จำนวนจรงิ 3 จำนวนเรียงกันเปน็ ลำดบั เลขคณติ ซึ่งมผี ลบวกเปน็ 9 และผลบวกของกำลังสองของแตล่ ะ

จำนวนเป็น 35 จงหาจำนวนทง้ั สาม

5. จงหาพจน์ท่ี n ของลำดับเรขาคณติ ต่อไปนี้

(1) − 3, − 6, − 12, ... (2) 10, − 5, 5 , ...
2

(3) 1 , 5 , 25 , ... (4) 5 , 5 , 10 , ...
4 4 4 6 3 3

6. ในปี (5) − 2, 1 ,ป−ระ31ช2า,ก.ร..ในงจางั นหวคดั หงนึง่ มี (6) ab3, a2b2, a3b, ...
9 12
พ.ศ. 2
2518
60,000 คน ถา้ ในแตล่ ะปปี ระชากรในจงั หวัดนเี้ พิม่ ขน้ึ ปี

ละ 4 % จงหาสูตรทั่วไปของการเพิม่ ของประชากรในกรณีน้ี และจำนวนประชากรในปี พ.ศ.2530

7. ลำดับเรขาคณติ ลำดับหนงึ่ มพี จนแ์ รกเท่ากบั 3 และพจน์ท่ี 3 เท่ากับ 1 จงหาพจนท์ ่ี 6 ของลำดับน้ี
3
8. จงหาจำนวนจริง k ทีน่ ำไปบวกในแต่ละพจน์ของลำดับ 5, 59, 437 แลว้ ทำใหล้ ำดับใหมเ่ ป็นลำดับ

เรขาคณติ

1- 10 10 ว

10-1 9=
m

9

รัต่ีท้ั

โจงสาหา า เนย แ 5- 31 จนnt

5,6 ๆ 8 31
, ,, . . .

แเ

a.ae 9 ท

10an 9 (-+ &1
-
งาุ น

31 = 5 + ท -1
-

31-5 = ""

~

☐#"
ะะ
แ. .

ำท่ืลีม่ต่ว

ลิมติ ของลำดับอนนั ต์

" Geoqebra 6จนฟp หา - 3)
การหาลมิ ติ ของลำดบั คือ การพจิ ารณาค่าของ an ของลำดับ เม่อื On มีค่ามากข้นึ เรอ่ื ย ๆ ไม่มีที่
, →
สิ้นสุด (ซ่งึ ใช้สญั ลกั ษณ์ n → ) ว่ามีลกั ษณะอยา่ งไร ซึ่งสามารถพิจารณาไดด้ ังนี้ →
_

ลักษณะที่ 1 เมอ่ื n → คา่ ของ an เขา้ ใกล้หรอื เท่ากับคา่ คงท่คี า่ หน่ึง
1
ตวั อยา่ งท่ี 1 a n = n ส บ อานน ท>1

n →-

ะ 1 2 3 ⑥5 6 7 8 ...
n✗ ✓ ✓ 4
0.2 0.16525 0.1429 0.125 ...
an y 1 ✓ 0.5 ✓ 0.3333 0.25 -
อ•.
หรือ แทนคา่ ในรูปแบบเศษสว่ นจะไดเ้ ปน็ .

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

%% %
% % % %an 1 ...

และสามารถนำมาเขยี นเปน็ กราฟไดด้ ังนี้

aann ร

1 เใาก

1 9 =0
2 ท

0 1 2 34 5 67 8 hnn

① ส บ 9ทะ dimต เทน พอ An = 0

น เ นส บ ท →☒

dim ( H = 0

n→ม

10

๊ืลัด็ป้ีนัดัติมิลีม่ีทัด้ล้ข้ร์ทัดุฬ๊ึญ

ตัวอย่างท่ี 2 พจิ ารณากราฟของลำดับ an = 2

an an

dim An = dim 2

ท →ล ท →ล

Gn ะ 2 2= #
3 อ Gบน
ะ2

2d

1
ท

๗ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mmmwwwumn

an 1 ( −1)n ( )เส ม
n
ตัวอย่างที่ 3 = + 1 * (1-1) ^ ท | ÷ n

n123 45678 ...

an ( ) |seguence
(ก 1 lk )1^
an , แ ท-
+ ÷ก ท 1,20
2 ,
,

๖dim Gn = 1

1 g เ าใก Y✗ ะ
m0 1 2 3 4 5 6 7 8 a--1
1 ะ 0.2
mmn
✗ 10 ✗10

10 : 2

5ะ 1

ท

เมื่อ n มีคา่ มากขน้ึ โดยไม่มที ี่ส้นิ สุด และพจนท์ ี่ n มคี ่าเข้าใกล0ห้ รอื เท่ากบั จำนวนจริง L เพยี ง

จำนวนเดยี วเท่าน้ัน เรียก L วา่ ลิมิตของลำดบั (limit of a sequence) และกลา่ วว่าลำดบั

นั้นมลี มิ ิตเท่ากับ L เรยี กลำดับอนนั ตท์ ี่มลี ิมิตว่า ลำดบั ลู่เข้า (convergent sequence)

11

ย้ล้ขู่

นะ 2ท +1

16 -| 43 | |← an 3 5 n1 45

8-i/ii. ! ii."6-

-

..

sequence Ccn 1 1,20)
, ,

r

ชุท่ีท้ื

ลกั ษณะท่ี 2 คา่ ของ an เพมิ่ ขึ้นหรอื ลดลงไมม่ ีขอบเขตเม่ือ n → เช่น

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

2 4 6 8 10 12 14 16 ...an = 2(1)
= 2 (2) = 2(3) =2 (4)

Gnan ไ า = 2ท
จะ

16

14

12
10

8

6

4

2

0 1 2 34 5 67 8 n

เม่ือ n มคี า่ มากข้นึ อยา่ งที่ไมม่ ที สี่ น้ิ สุด (n → ) พจน์ที่ n ของลำดบั จะมีค่ามาก
ขึ้นและไมเ่ ข้าใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหน่งึ หรือลดลงอย่างไม่มีขอบเขตและไม่เขา้ ใกล้จำนวนใด
จำนวนหน่ึง ซง่ึ กล่าวไดว้ ่าลำดับไม่มีลิมติ ลำดบั น้จี งึ ไม่ใชล่ ำดบั ลู่เข้า เรียกลำดับอนันต์ที่ไมใ่ ช่

ลำดับล่เู ขา้ ว่า ลำดบั ลู่ออก (divergent sequence)

12

ด่ว้

ลกั ษณะที่ 3 ค่าของ an เพิ่มขนึ้ และลดลงสลบั กันไปเม่ือ n →
an = (−1)n+1
ลำดบั 1,−1,1,−1,1,−1,... หรอื
r ✓ ✓ ✓✓ ✓

an ท1 2

1• • • •

0 1 2 34 5 67 8 n
−1 • • • •

เมอ่ื n มีคา่ มากขึ้นโดยไมม่ ีทีส่ ิ้นสดุ พจน์ท่ี n ของลำดับนจี้ ึงไมเ่ ข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนง่ึ
ลำดบั น้ีจึงถอื วา่ หาลิมติ ไม่ได้หรอื ไม่มลี มิ ิต ลำดับน้จี ึงลู่ออก ซึง่ จากลกั ษณะกราฟทข่ี ้นึ ลงสลับกัน

ไปโดยไมเ่ ขา้ ใกล้จำนวนใดจำนวนหนง่ึ เชน่ น้ี จะเรยี กลำดับลอู่ อกนว้ี ่า
ลำดับแกวง่ กวัด (oscillation squence)

13

สรปุ

1. ลำดบั ทน่ี ำมาพิจารณาลมิ ติ นน้ั ต้องเปน็ ลำดับอนนั ต์

2. ถ้ากล่าววา่ L เป็นลมิ ติ ของลำดับท่ีมพี จน์ท่ี n เป็น an เม่ือ n มคี า่ มากขึ้นโดยไม่มที ่ี
สิ้นสุด พจนท์ ่ี n ของลำดบั มีค่าเขา้ ใกลห้ รือเทา่ กับจำนวนจรงิ L จำนวนเดยี วเท่าน้นั กลา่ ววา่ L

เป็นลิมิตของลำดบั ท่มี ีพจน์ท่ี n เป็น an และเขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ lim an = L (อ่านว่า

n→
ลิมิตของลำดบั an เม่อื n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มที ่สี ้นิ สุด เท่ากับ L )
3. ลำดับที่มลี ิมติ เรยี กวา่ ลำดคับอนล่เู ข้า สว่ นลำดับที่ไม่มีลิมติ เรียกว่า ไ
ลำดับลู่ออก

4. การพจิ ารณาวา่ ลำดบั ใดจะมีลิมติ หรอื ไม่ อาจทำได้โดยการพิจารณากราฟของลำดบั

เม่ือ n มคี ่ามากข้ึนโดยไม่มที ่ีส้ินสดุ

14

ด้

กจิ กรรมท่ี 1
ลมิ ติ ของลำดับอนนั ต์

งาน น4 ำ

1. จงเขียนกราฟของลำดบั ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกวา่ เปน็ ลำดับล่เู ข้าหรอื ลำดับลู่ออก ถ้าเป็นลำดบั ลู่เขา้ ใหห้ า

ลมิ ิตของลำดับด้วย

(1) an = 3 + 2
n

วธิ ที ำ n 1 2 3 4 5 . . .
an

an

0n

(2) an = 4n -1
n
วธิ ีทำ n 1 2 3 4 5 . . .

an
an

0n

15

้ีนืค่ีท่ัฅ

(3) an = 3n - 2 2 3 4 5 ...
วธิ ีทำ

n1
an

an

0 n
3 4 5 ...
(4) an = n2
3
วธิ ีทำ

n 1 2
an

an

0n

16

(5) an = sin nπ 2 3 4 5 ...
วิธที ำ

n1
an

an

0n

(6) an = cosnπ 2 3 4 5 ...
วธิ ที ำ

n1
an

an

0n

17

แบบฝึกหดั ที่ 3

ไลมิ ติ ของลำดับอนนั ต์
แนะ
จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดูวา่ ลำดบั ใดเปน็ ลำดบั ล่เู ข้า หรือลำดับล่อู อก

(1) a n = sin nπ (2) an = 1n sin nπ ก สย
2 2
hh หา
(3) a n = n 5 (4) a n = 2n
+1 n Geogrebra
1
(5) an = n(1+ (-1)n ) (6) an = 4 - 2n 20.00 น .

(7) an = 4(0.5)n-1 (8) an = 2 1
3 n

4 n n
3 2n +
(9) an = - (10) an = 2

18

ยัต์รุศ๊

ทบทวน

ตวั อย่างท่ี 4 จงพิจารณาวา่ ลำดบั an = 1 ออก
n
วา่ เปน็ ลำดับคอนเวอร์เจนต์หรอื ลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………ส………บ………เ …………………→……………L……=……0…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากตัวอยา่ งในลกั ษณะที่ 1 จะเหน็ ว่ากราฟของลำดับ an = 1 เปน็ ลำดับลเู่ ขา้ สู่ 0
n
1
ดงั นั้น lim n = 0

n→

ตัวอย่างที่ 5 จงหาลมิ ิตของลำดบั an = n2
จากการวาดกราฟ ลำดบั an = n2 ไดด้ งั รูป

9a nท

40

35

30
25

20

15

10

5

0 1 2 34 5 6 n

ท

จากกราฟของลำดบั an = n2 เมือ่ n มคี า่ มากขึ้นโดยไมม่ ที ่ีสนิ้ สดุ พจนท์ ่ี n ของลำดบั จะมี
คา่ มากขึ้น และไม่เขา้ ใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหนึง่ จงึ กล่าวไดว้ ่าลำดบั an = n2 ไม่มีลิมิต
ดงั น้นั lim n2 หาค่าไม่ได้

n→

19

่ีทูลัดูลู่ล

an = 2 n
5
ตวั อย่างที่ 3 จงหาลิมิตของ

an = 2 n
5
วธิ ที ำ จากลำดบั

ลำดับนี้คอื ..........................................................................................................................

"

( 5)an 2 ÷

0.4

0 1234 n

an = 4 n C-
3
ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาลมิ ิตของ −

วิธที ำ ลำดบั นีค้ ือ……………………………………………………

เมื่อเขียนกราฟของลำดบั an lim 4 n
3
และหาลมิ ิตโดยอาศยั กราฟจะไดว้ ่า n→ − หาค่าไม่ได้

an

10

0 12345678 n
−10

20

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมติ ของลำดบั ทไ่ี ด้จากตวั อย่างท่ี 1 – 4

ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้ r เเปลขน็ จำนวงนจรงิ บวกนใด เ น วแปร

ๆ จะไดว้ ่า

⑤* 1. lim 1 =0 และ
° nr
n→ dim

2. lim nr หาคา่ ไมไ่ ด้ ก →ล ำ °= =
②*
n→ dim หา าไ ไ ✓ 1

ท →จ ๐

ทฤษฎบี ทที่ 2 ให้ r _เปน็ ฐจาำนนวเนจนริง คง เลข ง เ น วแปร
EXPO
( nฐานของ เลขยา น)
/ rl < 1 ถา้ r 1 แลว้ lim r = 0→ เศษ วนแ

1- < r < 1 n→ อ# ะ 2×4 |

!้ ถ้า r 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้

-

| rl > 1

os ะ n→
1
น เศษเ น
1
←อ 1 µ ④%ก
ตก→ จ
| =ต
ท
กสไไไไCe,,< ณnO าง( µµ1-
ผฺเศษ นแ = 22 lim

1lim " o

ท→0 )=

ท→ล

2) dim (" หา าไ ไ | |= 2 0

- 2)

ท→ จะ 0 *

21

้ด่ม่คุ้ชูร­ล่สู๊ฐ้ท่พ๊ิฑิก้ทุ๋วัก้ท่สัต็ปัลำก้ีช่ีทำค็ป้ด่ม่ค๋ัทู่ห้ักุ๊ฬัต็ป์ิฐัลำก้ีช

ทฤษฎบี ททเี่ กย่ี วกบั ลมิ ิตของลำดบั

ทฤษฎีบทที่ 3 ให้ an ,bn ,tn เป็นลำดับของจำนวนจริง A และ B เป็นจำนวนจรงิ

และ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn =B จะไดว้ ่า

n→ n→

1. ถ้า tnบ= cคง แลว้ lim t ต า คงlim c = cาคง

n→ n = n→

-lim ca = c lim an = cA

n→ n→
☐2. n

3. lim (a n + bn ) = lim an + lim bn =A+B

n→ n→ n→ 8

4. lim (a n − b n ) = lim an − lim bn =A−B ท 8- 4

n→ n→ n→ 2µg = ท
4
005.lim (an bn ) = lim an lim bn = AB ท=

n→ n→ n→ lim หา าใน

06. ถา้ bn 0 ทุกจำนวนเตม็ บวก n และ B 0 แลว้anlimanA ท→อ
bn bn =B
lim = n→

n→ lim
n→

(0)7. k
lim (an )k = lim an ;k

n→ n→

ฐาน

22

ฺก่ค้ทึป่ีท่ค่ีท่คิมิล่ีทำคัดำล

1) =8 จะm lim An

ท →ล

Tl dim Gแ-ส-ด1ง8 = 8 *

ก →ล n →ล

bm2) ใ =3 mlimb Cnใออa-" =

ลง

m →- m

( 4)¥ว olim bm = lim 3mi 3 (4 4)
=3
M→
m →ล
จlimะ( ง ( 1)
m→- ล 0)=3
| clไ= 3 dim
m →ม4 0=

( )3อ

=

=0

*

่ัท่ัณ่ัท่ท่ัฑ้ทัท่ัด๋ิท๊ัฬำทีธิวุอ

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาคา่ ของลมิ ิตของลำดบั ต่อไปน้ี

1. an = 1 •
n
,
= limt =0
liman
ก→ม ท *
ท →ล

2. an = n3 ;

dimq = dim ไไหา า
*
ท →จ
ท →ล

3. an = 2n lim " ไ *

limq ไ2 ห= าก
-
_ n →จ

ก →อ

4. an = 9 n
8
−

ท *

dimq limf { / ไ ไา-
- =หา
n→ล ท →จ

5. an = 2 n
3
;) "
limfliman - 0=
-

ท →ม ท→ *

จะตวั อย่างที่ 7 a 8
จงหาลมิ ิตของอันดับ n = 3n

liman = lim ( ก
ท →ล ท→

จ%ะ | |

= µ×

ท →ล

§= _

= ;แ |

lim An 0= *

ท→ ม 23

่ทูนุ่ญ๋ิฐ้ด่ม่ค้ด่ม้ด่ม่ค้ท

^

ษ-

เ 9-

.tn#เลข.--...me >

* ขยาย แกน

ทµ เ นา คง เลข ง

อวย- 112 +

1) dim an = dim 0=

n →ม ท→ล

2) dim lim หา าไ ไ

=

n →ม ท→
มทบ
2. r คง ฐาน lr E 121 )

_

G-_ r "

เGeelไก1 ข 1 < ; dimr" = o
n→ ล
แเศษ วน

lrl > 1 ; limr" ไหา า ไ

ท →ล

ทบ . เ น การ C เ น คง

กyy bngan ,

. .. สบ

dim1. C = c

n →ล [บ

2. clim 4|มา-ก = cdim G

ท →ม ท→ จ

3.li?a☐n~%± ) dimdn ± dimb

= "

ท →ม ท→ล ท→ล

µ a)4. limfanx b. | ( lim b.)
ท→ ท→ล

5. hm 9" = %& bn; # o
"
n→- - n→ •

เ . lim bn limbn

h →ล " ท →ม

(a) = "

\( liman )
ท→ ล
7. lim an = kfdmantt
ท→ล

ทาง

ูปุ๋หฺทัดำลัด่ีทำค็ป็ปีด้ด่ม่ค้ท่ส่ีทำค้ด่ม่ค้ทุอุ่ทัลำก้ีช็ป่ีท่ค⃝?่ีท๋ท

m ⑨lim " = Clim k

ท→ ล G)

ท→ อ @¥

on =

lim "ปน = liman

ท→ จ ( a)#ท→อ
lim
④ อบยา
.
การ = ราก .

ต ท→ล

= k liman
nao

่ปิมิลีมิลิหูฟ

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาลมิ ิตของลำดับ an = 20n2 − 2n + 5

3n2 +3n + 4

* ฐาน ว แปร }9 9
า คง
เลข ง

ดป q ; : *ฑึ๊อะ2-2 ท +5 ทา

= 2
Ihtcy นะท→ล
กกล 3 + +

2 _ 2ท 5
+
= #
II

3 3ก 4 2 - 0 +0
++
=

3 + 0+0

2- + §=

= }-2ท +5
=
3 + i. { ง น lim 2 *
3 +3 ท +4
ก →ล

ตัวอย่างท่ี 9 จงหาลิมติ ของลำดบั an = 4 −3n + n2
2n3 +3n2 +5

# hman lim 4- 3 ท +
=
2 3 +5
ท →• ท →ล

dim ¥ - ฑึ๊ + ฑื๋

= 3
2ท 3
ท →ล 5

++
3 33
ท ทท

lim

=

#-: %ท → ล -

0 - 0+๐ เน บ

= สม ๐

2 0+ + 0 เา

= 0 4- 3ท + ๐= dp
2
liman = 2 +3 +5
0
n →ล
lim
งน
ท→ ล
24

้ทำท้ท้ันัดู่ส้ขู่ลู่ลัดำล็ป้ีนำโ้ท้ทำท้ทิร้ท้ท้ันัด๋ัฑ้ัท๋ท้ทุทืณ๋ํย้ทุหูรัจ่ัห๋ทำท้ัท่ีท่คัลำกัธัตืสูอ

9 +2 ท +5
ท
2 - 3 ท -8

ป5ฑื๋Ch = + +

✗

/ |② lim 2 = lim 2 ×
ท →ล ท ท→

ละ2 lim 1

ท →จ ท

= 2 6)

=0

5③ lim lim (ท →จ
5×
_
=
2
ท →ล
ท

lim= 5 1

_

ท→ล

= 5 6)

=0

้ทุ่ว๊ิห้ท้ท

ทฤษฎบี ทท่ี 4 ให้ an เป็นลำดบั ของจำวนจรงิ ที่มากกวา่ หรอื เท่ากบั 0 และให้ m เป็นจำนวนเตม็

ทมี่ ากกว่าหรือเท่ากบั 2 ต ของ ราก = ราก ของ ไต

ถ้า lim an =L แลว้ lim m an =m lim an =m L

n→ n→ n→

ตวั อยา่ งท่ี 9 กำหนด an = 4n จงหา lim an lim Gn =
n +1
n→ 4

lin lim 4ท ท →ล r 1 +0

~ ท →ล = "" = โฐt

n →ล

1
ะCnnไdim 4ท
โ4=
=
ท→ . ท+

2-
-

" hm ปาน 2 #4 ท=

= dim~4 ท+ า

ตวั อยา่ งที่ 10 จงหาคา่ ของ lim 1- ก →.

n→ นะn →•

4n +1f21 (.

งเลข ง ด 1 .
=
3n −1 ①

µ 1)ฐ lim 4 + 1µ 4 เขา

= # #3
_
ท →ล 3 ท -1 ท →-

lim 1

= n#

ท→ ล 3-

lim ก ÷~- lim ป 4+o
+
ท→อ =

3 0-

=

ณแh,µ, โ

=

3

ป dim 4 + dim 1- 2 #

= ท →ล ท →- =

dim 3 - lim g

ท→ล 25

่ีท้ทัหุอุ่ท้ึทู้รำท้ทิว่ทุ๋ว้ท็กุ้ซุสูสัลำก้ีช่ัท้ดิจุอำทีธิวิมิล

จง หา ต ของ ส บ

= เอา าโsป 3 - ±
โท = ท

ทไอGnfอ- 2 ท3+8
* Max

T ญื๊i
dim =

= _

ปาก

โะ = ท

lim า -#โ ป6 = ท
ไปา* n หาร
=

ฑื๊÷" " กทน

_

2-

dim ป #3 _
>
=
โ_ T
ท →ล

ปไ%

-

.

.in° #%.Tา %-.n÷lo-o''

1 - 0 +0

0

=

°ปT

= ¥

lim A = o *

ท →ล

้ป่ฟ้ด๋ไูปุท๊ืฐืน๊ิฑึทุอฺทฺญ๋ํห่ท่ทูฟ้าุอัดิมิล

แบบฝกึ หัดที่ 4
ลิมติ ของลำดบั

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นพิจารณาลำดบั ท่ีกำหนดให้วา่ เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดบั ลู่ออก ถ้าเป็นลำดบั ลูเ่ ขา้ จงหา

ลิมิตของลำดบั

1. 7,7,7,7, i ๆ= ④บ ล 2. 3,5,7,9,

1 ,− 2 ,− 3 ,− 4 , dim อ7=7 4. 5 1 ,5 2 ,5 3 ,5 4 ,
2 3 4 5 2 3 4 5
ท→ม

3. − − − − −

7 n
4
5. 3,−3,3,−3,3, 6. an = −

9 1 n
4n 3
7. an = 8. an =5

9. an = n 1 10. an = 3 − 1 + 7
−1 n n2
4 n+ 7 5n2 −3n +1
11. an = 5 12. an = n3 −4n

13. an = 3n3 − n −3n 14. an = 9n
n3 +2n+1 n +1

9n2 −5n + 4 2
n2 +3
15. an = 2 +

26

อัดำลุ

+1 + 1 +1 ยาลอง- เลข ค ก
,

2) 3 5 7 9 . .. fญOไ÷อ เรา ค ก

µµµ ,
2 22

ฐ จากโจท น 2 ก +1 rstns
(dim
จะไ า lim 1)2 n +
=

3= = 2 (1) +1 ท →ล ท →ล

92 = 5 _ = lim 2ท + dim 1 หา าไ ไ

I= 2 (2) +
[= (3) +1
[_ ท→ ล ท →ล

= 2 (4) +1 มT T
โครงการหลวง9g = 7
หา าไ ไ 1
94 = 9
1 (ท ) งน บ เ น ส บ ออก

เลข เค อน

G--2ท +1 #

*

3) 1 - ] §- . . ..

_ ง
-
2ง
,

ท{ าlim9 ะ - = กlimfl |
1 9

=-

เ +เ

n→ ท →ล +ุ

92 = - =_ 2

2+1 (lim

Gg = -2 =- 3 = )
4 3+1
- |

n →.

94 4ะ - = - 4 hพ ง 1
5 4+1
= _

๑ ท → มบ②างนา+

• 1
1 +0
• =
_

A= - "
ท +1
ท * limq 1=

ท →ล -

ง น ส บ เ น สาม เ ต เ า บ -1

*

ัก่ทิมิลีม่ีทู่ล็ป้ีนัด้ันัด่ิตุ้หำทุงุทุ้วู่ลัด็ป้ีนัดำล้ันัด่ืล้ด่ม่ค้ด่ม่คุอุอ่ว้ดุ้ห์ยิวันัพ

เลข ยก ง

-

1 Ceทพ d ไ ฐาน => ว แปร (ท )
. าคง ( R + )

เลข ง

1) dim Gn = dim 1 =๐

ท →ล ท →ม

2) lim G. dim หา าไ ไ

=

ท →ล ท→

กทม. ฐาน
2Geมไจไ |เลข
า คง ( R )

=

ง ว แปร ( ท 1

dimr//1) r < 1 ; " 0

=

าTน ท →ล

เศษ วนแ

เศษ < วน

lrlcnnr2) า ; dimr" หา าไ ไ
ท →ล

เศษเ น

เคย > วน

่สิก้ด่ม่คัก่ส้ท่ส้ัถัตัลำก้ีช้ขุห่ีท่ค้ด่ม่ค้ท้ท่ีท่คัลำก้ีชัตัลำก

1) โต าคง า คง

2) คง น ง คง ออก ต9
ห

3) + - ✗ ÷ Takelim หา กหน
, ,,
* ว หาร =1 ๐

4 / เลขยก ง ต ฐาน แ ว อย< ง
5) กา ท
ตในรท การท

ิมิล่ีทัลำก่ค้ลิมิลัลำกัตุทิมิล่ีทำคึดูด่ีทำค่ีท่ค่ีท่ค

% { =o

dim ไ ไห= าก 6การ น

ท→ อ * ด ปใน

ส lrl < เ ; lim " =o 8 เหาด น
np
ข
เ นแ
ท →ล

limlrl > า ; " ไ

rแ a-@ ④
d1
ngn ท กล µ✗
8
เศษเ น

lim C = c

ท →ล = climan

mlim cq ท→ล

ท →ล

+ - ✗÷ takelin

,, , * วหช # 0

lim 9 " (= limq ) "
แ ทกอ

ท →ล

ห ๛กโlin " น =

nao

ฺทุ่หัขัติก้ด่ต้ต้ท้ส็ปูรัจ้ึล้ด่ม์ท่ส

วอ าง จง จารณา า คง อไป ห อเ า ออก

_

าส บ 1 จงฯ7 ต ของ น

1) q= ท→ 3 น<

ญื g " ""ลบ r

" ทอ2. บ แ วหาร ก พร

3 +ๆ

¥ำ " " ! ไปพาท
= "
า
3

3"

+

1

=

| |1 +2

1 "

= r lr 1 < เ

← ;
1+21 ;)

" 1 0=

3 =

= ( ง |1 +2
→
"

3 +2

ฅ๊ 1

= =

" ( ง)๗1+2

32

ท + gn

3

1

=

1+

ุ๋ตุ่กุหุอุ่ต๊ิตุ๊ต์ยุท้กักู่ค้ล้ตำลิมิล่ีทู่ลัด้ถืร้ขู่ล้ีน่ต่วิพ่ยัต

lim Gn = lim "

3

n →ล ท →ล "

3 +2

= hyา①~I

.LI;)na. ② 1. "

1

= µ" ตนแเ "

1+ 2 "

จจEui amf1 ,ญ น

= ท →จ

% µ1 +

lim Gn 1

ท →ม =

1 + 2 Co )

1=

ทิก้ทฺ

ทบทวน เลข ยก ง

crrr

anaamiamnceeenenejhtthe

(" " = 2 ") ( 2 5)

2

(= 2 " ) ( 3 2)

2. 2 "trr 2 วน ชนะ ๐µ

lim = ท +2 ท "

กะ 9= 5 3_ 5
ท 2m30=L
yะ
lim

0 0กะ "" "

5 -3

dim ท +3

= 2

ท →อ 2 5"
-
dim
5" +2 " (µ2
ะ
_ 3 =
ท →ล
" "

5 5

; 23

→2 .

( )/5 52 "
'
สา

- lim ( 231 / "
_
ท→ล ¥)

(5) -13g |"

ุ๋วุ่ท้ึทฺท่สุอัลำก

lim G = lim →81 1 "

น ก"(แกอก กลาง 25-

(E)8 hm "

การ เสนอ แ
dimf leท→ ล
)"
=

lim 25 -
ท →ล ท→

810 )

=

25 - 0

๐

=

25

dim A =0 *

ท→ น ส บ อา ต ของ บเ บ 0

ลำ บ #

ัท่ทัดำลิมิลีมู่ลัด็ป้ีนัดุ๋ฐ้ท๋ัฮ

สนทบทวน การมา อบ เศษ

อTไlญา ncnjs
ใ ณเ า น

}5 5- 3

g- =

g

¥ @i÷x. = "°
+ะ นะ

⑤

น เศษ ✗ เศษ วน × ณ

5× ( น |_ = ่/5 × 3

T 102

ท +3 ( )" ( 2 3) ☒3

2 2 ×_

ท ==

5 "

5 × 1m

(= (8) )

่ืษู้ร่ส่ีทูคัก่ท่ส้ห