64_ลำดับและอนุกรม

lim Gn = lim 8 (E)"

ท →จ ท →ล "

25 - f ;)

กจิ กรรมที่ 2
สรปุ ความรู้เรอื่ งลิมิตของลำดับ

คำชแี้ จง จงหาลิมติ ของลำดับต่อไปน้ี

1. an = 3 1 n 13. an = 1 - 1
2 n +1
ตอบ n ตอบ
ตอบ
2. an = 1-11 n ตอบ 14. an = n 2n 1 ตอบ
2+ ตอบ
ตอบ
3. an =4+ 1 ตอบ 15. an = 8n 2 + 5n + 2 ตอบ
n ตอบ + 2n ตอบ
ตอบ 3 ตอบ
ตอบ ตอบ
4. an = 6n - 4 ตอบ 16. an = n +1 ตอบ
6n ตอบ n -1
ตอบ
5. an = 3n 6 5 ตอบ 17. a n = (-1)n
n

6. an = n n 1 18. an = 3n +1
+ 5n + 2

7. an = 4 + 5n 19. an = 2n + 3n
n2 3n + 5n

8. an = 2n -1 20. an = 2(5n )+3n
3n +1 3(5n ) + 2n

9. an = 3n2 - 5n 21. an = 7n - 2n
7n -1 3n + 5n

10. an = 7n2 3 22. an = 3n -2n
5n2 - 4n

27

11. an = 4 n 2 - 2n + 3 23. an = 5n + 2n
n2 4n
ตอบ ตอบ
ตอบ
12. an = 3n2 -1 ตอบ 24. an = 5n3 + 4n2 -1 ตอบ
10n - 5n2 2n3 -n+3

n4 3 n2 -1
n+2 4n
25. an = ตอบ 28. an =

26. an = 4 3n2 +1 ตอบ 29. an = 2n + 4n2 -1 2 ตอบ
16n4 + 5 3 n3 + ตอบ

27. an = 4n 2 ตอบ 30. an = (n -1)(1+ 2n - n2 )
32n3 n3 + 3n2 -1
4

ดีใจจงั ทำได้หมดเลย
สู้ ๆ นะทุกคน

28

ต ของ บอ น เศษ วน

crzy

1. หา เลข ง ด (ข)

"
ห ไป ก2.
r หา ร พอ

ป3. ด บ ใ อ ใน #

" llrl < เ lrl > 1)
,
หr
ต
ส ป4. หา า
*

เน จง หา ต ของ ส บ

ป" ป =ท

= 1 เขา .. ปก4
=ท
ป4 8 เขา

ฐ เ

liman = lim เปา น max ท

ท →ม ปาก4้ท →ม 4

lim ไ ปท =

= E-

ท→•

n=

lim ปน lim 4 เ า6

= น = g ง= *

ทา ท →จ ำำ

ูป้ข็ทูปุ๋ญุกู่ฝ้ัท้ด้ติวฺก้ิทุหัดิมิล่ชิมิล่คุรืรำทู่ย้หัดำลูรัจ์ขุทืร้ทำนุสู้สัลำก้ีช์ตันัดำลิมิล่ส

ถ้า a1, a2 , a3 , . . ., ak เป็นลำดับจำกดั ที่มี k พจน์ จะเรยี กการเขยี นแสดงผลบวกของพจน์ทุก
พจนข์ องลำดบั ในรปู a1 + a2 + a3 +. . . + ak ว่า อนกุ รมจำกัด (finite reries)

ในทำนองเดียวกัน ถา้ a1, a2 , a3 , . . ., an , . . . เป็นลำดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวก
ของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a +. . . + an +. . . วา่ อนุกรมอนันต์ (infinite reries)

อนกุ รมเลขคณติ ④ q + ln - e) d
☒

""

= qr

บทนิยาม 1 ถ้า a1, a2 , a3, . . . เปน็ ลำดับเลขคณิตแลว้ จะเรยี ก a1 + a2 + a3 + . . .
ว่า “อนกุ รมเลขคณติ ”

ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ ทม่ี ี a1 เป็นพจนแ์ รก และ
d เปน็ ผลต่างร่วม จะได้ว่า

Sn = a1 + (a1 + d )+ (a1 + 2d )+ . . . + [a1 + (n -1)d]
n
Cueueenjhsttoeoytrน่นั คือSn=2(a1+an ) พจนแรก สูตรที่ 1

ขาย
พจน ด

hOตหรอื Sn = n
2 2a1 + (n -1)d สูตรท่ี 2

ทบทวน จงหาคา่ ของ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 และ 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 23

☐โดยการใชส้ ูตรตามบทนิยามของอนุกรมเลขคณติ
④ 3+5+7+9 + . . . +23
① 3+5+7+9 +11 ท =5 d(+ ท -1)

¥ ( )= a. + an หา ท 9=

ท

23 ะ 3 + (ท - 1) (2)

Sg = 3 = 35 20 = 2ท -2
* 2 ท = 22

ท = 11 29

ุ๋ก๋ิฝุ๋ฎุรุอุสุอ

Sn = ( a. + a.)

8 = ¥ (3+22ft313)
,
แ

S = 143 *
"

วู

อนุกรมเรขาคณติ

บทนยิ าม 2 ถา้ a1, a2 , a3, . . . เปน็ ลำดับเรขาคณติ แลว้ จะเรียก a1 + a2 + a3 +. . .

ว่า “อนกุ รมเรขาคณิต”

ให้ Sn เป็นผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี a1เป็นพจน์แรก และ
r เป็น อัตราส่วนรว่ ม จะได้วา่
Sn = a1 + a1r + a1r2 + . . . + a1rn-1

Sn = a1 (rn -1) , r >1 และ Sn = a1 (1- r n ) , r <1

น่นั คือ r -1 1-r

หรอื Sn = anr -a1 , r >1 และ Sn = a1 - an r , r <1
r -1 1-r

ทบทวน ำ+50
ตจงาหมาบคท่านขิยอางมข5อง+อน1ุก0Iร+มYเ2ร0ขา+คณ4Y0ิต + 80Y+ 160 โดยการใชส้ ตู ร

ข= 2 ?S, ก = 6 ,
ะ

เ

ญ Snจn 9 -9 ; r >1

=

r -1

160 (2) - 5

=

2- 1

= 320-5

S = 315 *

6

30

้กิวืก๋ก๋ืก๋ึก

บทนยิ าม 3 กำหนด a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เปน็ อนกุ รมอนนั ต์ และให้

S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an

เรียก Sn ว่ากผลบาวกยง่อย n พจน์แรกของอนกุ รม เม่ือ n เป็นจำนวนเตม็ บวก

เรียกลำดบั อนนั ต์ S1, S2 , S3, S4 , . . ., Sn , . . . วา่ ลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม

ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดลำดับ + 2 +2 + 2 + . . 0.ๆ+พ2nเล+ข. . ด

2ก+ า4 +ร6~+ 8 .

จงหาลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

1,82 3,54S S , --- S g . ..
า ท
,

ง Sุะ 2

Sz ⑥= 2 + 4--

_
④ ④S =
เ=
แไร+8อ,
= 20
Sa ะ

ด ง น ใบของยลยา อย ของ พ
•

• 2,6 12,20 . . . ท+ ...
, ,,
( |= 9 +9 #
ุท
31
( )= 2+2ท

( )= ท 1 + ท

S= n+

ท

้ทุวุ้ทึศูทุว้ีนุห่ย้ันัดิวิต

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดลำดบั 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...
2 4 8 16 2n
จงหาลำดบั ของ0ผลบวกยอ่ ยของอนุกรมนี้ ะ

อ กรม 1ราคา

G- qr !นะ า น

ทำำ= ข < 1
,

1- r า ง นะ 1-,. . . . ...

= - (1)

1g1 -

#1 เ - %) #

** ncgsะ = 1-

บทนิยาม 4 กำหนดอนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . .
ให้ S1, S2 , S3, S4 , . . ., Sn , . . . เปน็ ลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รมนี้

ถา้ ลำดบั aSnn เ อ อน 8

เปน็ ลำดบั ลู่เข้า เมือ่ S เป็นจำนวนจรงิ แลว้
ffocaejg➢ โดย lim Sn =S

n→
จะกล่าวว่า อนุกรม a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เป็น อนกุ รมลูเ่ ขา้ (convergent series)
เรียก S ว่าผลบวกของอนุกรม

➢ ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลอู่ อก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . .

านาน limsnเปน็ อนกุ รมลู่ออก (divergent series) เหาก น
ฯeลหยาบ9 พาม

หา ไ ไ ทราบ

*

32

้ด่มำค้ีน็ป้ช่ก่ืม่ัว่ัต่ัว่ัฎุ้ร่วัท้ดุน

จงหายลบ ภของ พ อานน + + #+ .. . {; r =

{ + i. น #+ . ..

ไ 9- " ; r <1

Sn1) -
_
1- ข

= - (E)

1- {

Sn = 1-

( #)2) dim Sn = dim 1-
ท→ล
ท →อ

1 0= -

m SSn = 1 =

ท→ล เผลบวก า บ 1
*
ง น อ กรม อ นสอน,บม

ัก่ทีม้ีน้ันุน้ันัด่ืฎุ่ห่ัต่ัว์ทุท

จงหายล พวกของ พบ

2+4 6 8 +2ท+ + + + . ..
. ..

ๆ (Sn = /9
,
ฐ + an

( )= 2+2ท

Sn = ท + 0เศษชนะ
G )lim Sn = lim h
_ หา าใบไ

ท →ล ท →อ

ง น อผล บวก ของ กรม หา ไ ไ *

้ด่มำค้ีนุน้ันัด้ด่ค้ทุร้ทุฑีธิวุน

d- อ.
YYYY }° °
ตัวอยา่ งที่ 3 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . จงหาผลบวกของอนุกรมนี้

ก r= เ บ คง ว กส บ

Sn ( )anเลข - + ยยากลเอนง ะ 0
-
เ น ง ส บ เลคข_นด
= (1+1)

=ท

dim Sn = lim ท ไไ

หาก

ท →จ ท→

จำนน ไหาก ไ #

อยอม อดของ กรม

Faye _ Nattapamon

ตัวอยา่ งท่ี 4 อนุกรม 2 + 6 +10 +. . . + (4n - 2)+. . . เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรืออนกุ รมลูอ่ อกเพราะเหตุใด

ฐ Sn = d-= 4

(a. + an)

¥ ( )② ④(= + 4ท

µ )= 4 ท

S = 2
_
lim
lim Sn = 2 หา ไา ไ
ท →ล
ท →อ

ง นอนาน เ น อ ขาย เ องออก on สม 8
ท
เ น ส บ ออก
#

33

ู่ลัด็ป่ืนู่ลุฝ็ป้ีน้ันัด้ด่ม่ค้ท้ทูว้ด่ม้ีนุน้ด่มูวัด้ัท็ปุอูทุอ้วิวัดุทัตัดำลึล

3 + 2 + 4 + . . . + 3 2 n-1
3 3
+ . . . เป็นอนกุ รมท่ีล่เู ข้าหรือล่อู อกเพราะเหตุใด
}ตัวอยา่ งที่ 5 อนุกรม
→ r- <เ
-

ญ ① -9 ; r <า [ ( ( น3-3 1-

ะ 1- r -

± 3- 31 } " f ;)่ |G-= 9 1 ;)"

)

}1- (1-0)ใ" =9
=9
3- 3 (B)"
ท กล
=
กง นอ กรม เ นอ กรม เ า เพราะ
;
ส บ Sn เใส บ
สรุปจากบทนยิ ามท่ี 4 9 #ฯ บยลบวกของ
บน เท

1. พิจารณาลิมติ ของผลบวกย่อยของอนุกรม และสตู รผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนุกรม

เรยี กวา่ Sn

2. พจิ ารณาลิมิตของลำดบั Sn

ถ้า lim Sn =S เมือ่ S เปน็ จำนวนจรงิ จะได้ว่าอนกุ รมน้ันเป็นอนุกรมลูเ่ ข้า

n→

และมีผลบวกเท่ากบั S

➢ ถ้าลำดบั Sn ไม่มลี ิมิต จะได้ว่าอนกุ รมนั้นเป็นอนกุ รมลอู่ อก

➢ ถ้าลำดบั Sn เปน็ ลำดับลูเ่ ข้า โดย lim Sn = S แลว้ จะกล่าวไดว้ า่ อนกุ รม

n→
a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เปน็ อนกุ รมลู่เข้า (convergent series)

เรยี ก S ว่าผลบวกอนุกรม

➢ ถ้าลำดับ Sn เป็นลำดบั ล่อู อก แลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม
a1 + a2 + a3 +. . . + an +. . . เปน็ อนกุ รมลู่ออก (divergent series)

34

ัทีมูลัดัด้ขู่ลุน็ป้ีนุน้ันัดุวุว้ทุวิว

แบบฝึกหดั ที่ 5
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

คำชแี้ จง จงหาลำดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมต่อไปน้ี และจงพิจารณาว่าอนุกรมใดบา้ งที่เปน็ อนุกรมล่เู ขา้
และมีผลบวกเป็นเท่าใด

1) 1 + 1 + 1 + . . . + 1 1 n-1
2 6 18 2 3
+. . .

2) 3 + 2 + 4 + . . . + 3 2 n-1
3 3
+...

3) 1 + 5 + 25 +. ..+ 1 5 n-1 + . . .
2 2 2 2

4) 1 + (- 1 ) + 1 + . . . + (-1)n-1 +...
2 4 8 2n
5) 2 + (-1) + (-4) + . . . + (5- 3n) + . . .

6. 3 + 9 + 27 + . . . + 3 n
4 16 64 4
+...

7) - 110 + 1 - 1 + . . . + -1 n
100 1000 10
+...

8) 100 +10 +1+ 0.1+ . . . +103-n + . . .

9) 4 +10 +16 + . . . + (6n - 2) + . . .

10) 1 + 1 + 1 +. . .+ 1 +. . .
3 9 27 3n

35

สรปุ การหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

1. พิจารณาลิมติ ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรม และสูตรผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรม

เรยี กว่า Sn

2. พจิ ารณาลิมิตของลำดบั Sn ถ้า lim Sn =S เมื่อ S เป็นจำนวนจรงิ จะไดว้ ่า

n→
อนกุ รมน้นั เปน็ อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ S ถา้ ลำดบั Sn ไม่มลี มิ ิต จะไดว้ ่า

อนุกรมน้นั เป็นอนุกรมลู่ออก

ใหน้ กั เรยี นพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนกุ รมเลขคณติ หรืออนุกรมเรขาคณิต

1. 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . ตอบ

2. 4 + 44 + 444 + 4444 + . . . ตอบ

3. (1+ 2) + (2 + 22 ) + (3+ 22 ) + . . . ตอบ

4. 7 + 9 +13 + 21 + . . . ตอบ
ตอบ
5. 1 + 1 + 1 + . . . + 1 1) + . . .
12 23 34 n(n + ตอบ
1 2 3 4
6. 3 + 9 + 27 + 81 + . . .

36

อนุกรมบางอนุกรมไมใ่ ชท่ ัง้ อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต การศึกษาเก่ยี วกบั อนกุ รมดงั กล่าว
สามารถใชค้ วามรแู้ ละกระบวนทางคณิตศาสตร์ช่วยได้ เช่น การหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมตา่ ง ๆ
ในตัวอยา่ งต่อไปน้ี

1. อนกุ รมท่ีมรี ูปแบบ A + AA + AAA + . . . เม่อื A I+ และ 1 A 9
ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 9 + 99 + 999 + 9999 + . . .
วธิ ีทำ

37

ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 4 + 44 + 444 + 4444 + . . .
วธิ ีทำ

2. แยกอนกุ รมทกี่ ำหนดให้เปน็ อนุกรมเลขคณติ หรอื อนกุ รมเรขาคณติ
ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม (1+ 2) + (2 + 22 ) + (3+ 22 ) + . . .

38

3. จดั อนุกรมที่กำหนดให้ใหม่ให้อยู่ในรูปอนุกรมเลขคณติ หรอื อนุกรมเรขาคณติ
ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 7 + 9 +13 + 21 + . . .

39

4. หาผลบวกอนกุ รม n พจน์แรกโดยใชก้ ารแยกสว่ น (Telescopic)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .
12 23 34 n(n +1)

ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ...
3 9 27 81

40

กจิ กรรมที่ 3
ผลบวกของอนุกรมอนันต์

คำชแี้ จง จงหาผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี
1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 7 + 77 + 777 + 7777 + . . .

2. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม (1+ 3) + (1+ 32 ) + (1+ 33 ) + . . . + (1+ 3n ) + . . .

3. จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรม 9 + 98 + 997 + 9996 + . . .

41

4. จงหาผลบวกของอนุกรม 1 + 8 1 + 1 + . . .
58 11 11 14

5. จงหาผลบวกของอนุกรม 1 1 3+ 2 1 4 +3 1 5 +. . .
2 3 4

6. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n +. . .
2 22 23 2 n-1

42

ทบทวน

ให้นักเรียนสรุปสตู รการหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณติ

➢ ถ้าลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ลเู่ ข้า โดย lim Sn =S แล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

n→
a1 + a2 + a3 +... + an +... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า (convergent series)

เรยี ก S วา่ ผลบวกอนุกรม

➢ ถา้ ลำดับ Sn เปน็ ลำดบั ล่อู อก แลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม
a1 + a2 + a3 +... + an +... เปน็ อนุกรมลู่ออก (divergent series)

สำหรบั อนกุ รมเรขาคณิตน้นั การพิจารณาว่าเปน็ อนุกรมลูเ่ ข้าหรืออนกุ รมลู่ออก มีสมบัตเิ ฉพาะท่ี
ชว่ ยให้สามารถพิจารณาไดส้ ะดวกขน้ึ ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท กำหนดให้อนุกรมเรขาคณิตมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราสว่ นร่วม
a1
ถ้า r 1 แล้วอนกุ รมนี้เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า และมี 1−r เป็นผลบวกของอนุกรม

ถา้ r 1 แลว้ อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก

43

ตัวอยา่ งท่ี 1 อนุกรม 1+ 2 + 4 + 8 + ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอื ลู่ออก
3 9 27

ตวั อย่างที่ 2 อนุกรม 2 + 8 + 32 + ... + 2 2 n −1 + ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ หรือลอู่ อก
3 9 27 3n

ตวั อย่างท่ี 3 เหมืองแรแ่ ห่งหน่ึงขุดแร่ได้นอ้ ยลงร้อยละ 13 ของปกี ่อนๆ ถ้าในปีแรกขดุ แรไ่ ด้เปน็ มลู คา่ 26

ลา้ นบาท จงหามลู ค่าแร่ท่ีขุดได้ตลอดกาล

วธิ ที ำ เหมอื งแร่แห่งหนึง่ ขุดแร่ไดน้ อ้ ยลงร้อยละ 13 ของปกี ่อนๆ

และปแี รกขุดแรไ่ ดเ้ ป็นมูลค่า 26 ลา้ นบาท

จะไดว้ ่า ปที ่ี 2 ขดุ แรไ่ ดเ้ ป็นมูลค่า ล้านบาท

ปที ่ี 3 ขุดแร่ไดเ้ ปน็ มลู คา่ ล้านบาท

ปีท่ี 4 ขุดแร่ได้เป็นมูลค่า ลา้ นบาท

ดงั นน้ั มูลค่าแรท่ ่ีขดุ ได้ตลอดกาล เทา่ กับ

นน่ั คือ มลู ค่าแรท่ ่ีขดุ ไดต้ ลอดกาล เท่ากับ ลา้ นบาท

44

ตัวอยา่ งท่ี 4 รปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่ารูปหน่ึงมดี ้านยาวดา้ นละ 10 นว้ิ รูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ รปู ทส่ี องเกดิ
จากการต่อจุดกึ่งกลางของด้านท้ังสามของรปู สามเหลยี่ มด้านเท่ารปู แรก และรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปทส่ี าม
เกดิ จากการต่อจุดก่ึงกลางด้านท้งั สามของรูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่ารปู ท่ีสองเรอ่ื ย ๆ ไป จงหาผลบวกของความ
ยาวเสน้ รอบรปู ของสามเหล่ยี มทงั้ หมด ถ้ากระบวนการนเ้ี กิดต่อเน่ืองไปไมม่ ีที่สิ้นสุด
วธิ ที ำ

10 10

10

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นทศนิยมซำ้ 0.23 = 0.232323... ให้อยู่ในรปู เศษส่วน

ตัวอย่างท่ี 6 จงเขยี นทศนยิ มซำ้ 5.427 ใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษสว่ น

45

แบบฝกึ หดั ที่ 6
ผลบวกของอนุกรมอนันต์

1. จงหาผลบวกของอนุกรม 3 + 3 + 3 + 3 +. . . + 3 +. . .
2 4 8 2 n-1
2. จงเขยี นทศนิยมซ้ำตอ่ ไปนี้ใหอ้ ย่ใู นรปู เศษส่วน

2.1 0.21

2.2 7.256

2.3 0.073

3. จงหาค่า x ทท่ี ำให้ 1+x + x 2 + x3 + x 4 + . . . + x n-1 = 2
3
4. เรือไวกง้ิ เปน็ เคร่ืองเลน่ ชนิดหนง่ึ ในสวนสนุก จากจุดซ้ายสดุ ถึงจดุ ขวาสดุ ตามส่วนโคง้ ขณะแกวง่ ยาว 75

เมตร ถ้าแกวง่ ครงั้ ใหมจ่ ะสน้ั ลง โดยมีระยะทาง 3 ของระยะเดิม อยากทราบวา่ หากไม่มกี ารหยดุ หระทนั
5
หัน เรือไวกิง้ จะแกว่งไปมาตั้งแต่เร่ิมจากจดุ สูงสุดเป็นระยะทางเท่าใด

46

สัญลกั ษณแ์ ทนการบวก

ใชส้ ัญลกั ษณ์ แทน การบวก
อนกุ รมจำกดั a1 + a2 + a3 +... + an
แทนดว้ ย n ai (อา่ นว่าการบวก ai เมื่อ i มคี ่าตัง้ แต่ 1 ถึง n )

i=1

อนุกรมอนนั ต์ a1 + a2 + a3 +... + an +...
แทนด้วย ai (อา่ นว่าการบวก ai เมื่อ i มคี ่าต้ังแต่ 1 ขึน้ ไป )

i=1

ตัวอยา่ งที่ 1 จงเขยี นผลบวกของอนุกรมตอ่ ไปนี้ให้อย่ใู นรูปสัญลักษณ์แทนการบวก
1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 = 28
ตอบ
2) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140
ตอบ
3) 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5(8) = 40
ตอบ
4) [4(1) + 2] + [4(2) + 2] +[4(3) + 2] = (4 +2) + (8 +2) +(12 +2) = 30
ตอบ
5) 2(5) + 2(6) + 2(7) + 2(8) + 2(9) =70
ตอบ

ในการเขยี นแทนอนกุ รมใดอนุกรมหนึง่ โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ ตัวอกั ษรทใ่ี ช้แทนตัวแปรอาจใช้
ตัวอกั ษรใดก็ได้ เช่น i3 อาจเขียนเปน็ k3 หรือ n3 ซง่ึ ตา่ งกแ็ ทนอนกุ รมเดยี วกนั นอกจากน้ี

i=1 k=1 n=1

การใช้สัญลักษณ์ แทนการบวกอาจเขยี นได้หลายรูปแบบ เช่น 4 (i -1)i และ 3 i(i +1) ตา่ งก็

i=1 i=0

แทน 0 + 2 + 6 + 12 เชน่ เดยี วกัน จะเห็นได้ว่า ดชั นไี ม่จำเปน็ ต้องเริ่มจาก 1 เสมอ

47

สมบัติของ

1. n c = cn เม่ือ c เป็นคา่ คงตวั
i=1
2. n cai = c n ai
เมือ่ c เปน็ คา่ คงตวั
i=1 i=1
3. n (ai bi ) = n ai n bi

i=1 i=1 i=1

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปน้ี
1) 10 9

i=1

วธิ ที ำ

4

2) 6i

i=1

วิธีทำ

3) 5 (2i + 3)

i=1

วิธที ำ

5

4) (2i - 3)

i=1

วิธที ำ

48

สตู รผลบวกที่ควรทราบ

1. ni = n( n +1)
2
i=1 n( n 1)( 2 n 1)
n i2 6
2. = + +
i=1
2
n i3 = n(n +1)
3. 2
i=1

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ 2) 4 2i3

1) 5 i2 i=1

i=1 วิธที ำ

วิธที ำ

3) 10 (i2 - 7i) 4) 20 (2i3 )

i=1 i=5

วธิ ที ำ วธิ ีทำ

49

ตวั อย่างที่ 4 จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รม n4
i=1 (4i - 3)(4i +1)

วิธที ำ

50

แบบฝกึ หดั ที่ 7
สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก

1. จงเขยี นสญั ลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปการบวก

1) 4 2i 2) 52 (i + 2)
i=1 i=1

4 4) 20 (i2 + 4)
i=1
3) (10 - 2i)
i=1

2. จงหาค่าของ

4 50 3) 4 i2 (i - 3)

1) 2i 2) 8 i=1
i=1 i=1
6) 10 (i - 2)3
4) 6 k+ 4 5) 5 (k2 + 3)
k=2 k- 1 i=1
k=1 15

15 20 9) (k + 5)(k -5)

7) (i + 5) 8) (2i +1) i=1
i=1 i=10

3. จงหาผลบวก n พจน์ และผลบวก 20 พจน์แรกของอนกุ รมต่อไปนี้

1) n i(i 1 1) 2) n (2i 1 + 1)
i=1 + i=1 -1)(2i

3) n i(i + 1 + 2) 4) n i(i 1 2)
i=1 1)(i i=1 +

51

52