Analysis I für Mathematiker*innen Martin Henk TU Berlin Winter Semester 2023/24 Compiled on 2024/05/05 at 19:11:29 Inhaltsverzeichnis Anmerkungen iii I Analysis I 1 0 Grundlagen 2 0.1 Elementare Logik und Mengen 2 0.2 Funktionen und Relationen 8 1 Reelle Zahlen 12 1.1 Axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen R 12 1.2 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 16 1.3 Vollständige Induktion 18 1.4 Betrag und Intervalle 20 1.5 Aufgaben 22 2 Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte 25 2.1 Der Grenzwertbegriff 25 2.2 Das Rechnen mit konvergenten Folgen 27 2.3 Konvergenzkriterien 27 2.4 Häufungspunkte einer Zahlenfolge, Limes superior, Limes inferior 29 2.5 Uneigentliche Grenzwerte 30 2.6 Aufgaben 31 3 Reihen reeller Zahlen 33 3.1 Konvergenzkriterien 34 3.2 Die Exponentialreihe/Exponentialfunktion 35 3.3 b-adische Brüche 36 3.4 Abzählbarkeit 37 3.5 Aufgaben 38 4 Stetigkeit 40 4.1 Funktionen 40 4.2 Stetige Funktionen 40 4.3 Zwischenwertsätze für stetige Funktionen 42 4.4 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen 42 4.5 Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen 43 4.6 Grenzwerte von Funktionen 44 4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz 44
ii INHALTSVERZEICHNIS 5 Differenzierbare Funktion 49 5.1 Differentiationsregeln 51 5.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 52 5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome 53 6 Potenzreihen 59 6.1 Trigonometrische Funktionen 60 7 (Riemann) Integrierbare Funktionen 64 7.1 Das Riemann-Integral 65 7.2 Differentiation und Integration 67 7.3 Integrationsregeln 68 7.4 Uneigentliche Integrale 68 II Analysis II 72 8 Funktionenfolgen 73 8.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 73 8.2 Funktionenreihen 74 8.3 Aufgaben 76 9 Metrische Räume 77 9.1 Offene und abgeschlossene Mengen 78 9.2 Konvergenz 80 9.3 Stetigkeit 81 9.4 Kompaktheit 82 9.5 Zusammenhang 84 9.6 Normierte Räume und lineare Abbildungen 85 9.7 Aufgaben 87 10 Mehrdimensionale Differentialrechnung 89 10.1 Kettenregel und Mittelwertsatz 92 10.2 Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation 92 10.3 Extrema 95 10.4 Kurven 96 10.5 Aufgaben 98 Notation Index 99 Index 101
INHALTSVERZEICHNIS iii Anmerkungen Dieses Skript basiert in wesentlichen Teilen auf dem Vorlesungsskript von Christin Mehl (TU Berlin) und einem Skript von Ulrich Betke (Universität Siegen). Die zugrundeliegende Literatur ist/war - Martin Barner und Friedrich Flohr: Analysis 1, Analysis II, De Gruyter. - Otto Forster: Analysis 1, Analysis 2, Analysis 3, Springer. - Anton Deitmar, Analysis, Springer. - Harro Hauser, Lehrbuch der Analysis Teil 1, Teil 2, Springer. - Christian Mehl, Analysis 1-3, Vorlesungsskript TU Berlin, (verfügbar über ISIS Seite der Vorlesung und nachdrücklich empfohlen). Die Literatur zu den Grundvorlesungen Analysis I/II ist sehr umfassend (bis unüberschaubar), und es gibt ebenfalls zahlreiche weitere Materialen im Internet. Es gibt sicherlich Fehler in diesem Skript, und für die bin ich ganz alleine verantwortlich. Martin Henk, 2024/05/05
1 Teil I Analysis I
2 Grundlagen 0 Grundlagen 0.1 Elementare Logik und Mengen 0.1 Definition [Aussagen (nach Aristoteles)]. Eine Aussage ist ein Aristoteles, 384 – 322 v.Chr. Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. w und f heißen Wahrheitswerte. 0.2 Definition [Negation, Konjunktion, Disjunktion]. Seien A und B Aussagen. i) Durch Negation (Verneinung), Konjunktion (und-Verknüpfung) und Disjunktion (oder-Verknüpfung) lassen sich neue Aussagen bilden: Symbol Sprechweise Negation von A ¬A nicht A Konjunktion von A und B A ∧ B A und B Disjunktion von A und B A ∨ B A oder B. ii) Die Wahrheitswerte dieser Verknüpfungen sind in den folgenden Wahrheitstafeln angegeben: A ¬A w f f w A B A ∧ B w w w w f f f w f f f f A B A ∨ B w w w w f w f w w f f f 0.3 Definition [Implikation]. Seien A und B Aussagen. Die Aussage „wenn A, dann B“ wird Implikation (oder logische Folgerung) genannt und mit A ⇒ B bezeichnet. Ihre Wahrheitswerte sind gegeben durch A B A ⇒ B w w w w f f f w w f f w . Weitere Sprechweisen: „aus A folgt B“, „A impliziert B“, „A ist hinreichend für B“, oder „B ist notwendig für A“. 0.4 Bemerkung. i) Aus einer falschen Aussage A kann logisch korrekt (d.h., A ⇒ B ist wahr) eine wahre wie auch eine falsche Aussage B gefolgert werden. ii) Sind A und die Implikation A ⇒ B wahr, dann ist B wahr. 0.5 Definition [Äquivalenz]. Seien A und B Aussagen. Die Aussageform (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
0.1 Elementare Logik und Mengen 3 heißt Äquivalenz und wird mit A ⇔ B bezeichnet. Ihre Wahrheitswerte sind gegeben durch A B A ⇔ B w w w w f f f w f f f w Weitere Sprechweisen: „A ist gleichwertig mit B“, „A genau dann, wenn B “, „A dann und nur dann, wenn B “, „A ist äquivalent zu B“ oder „A ist notwendig und hinreichend für B“. 0.6 Satz. Seien A, B, C Aussagen. Dann sind die folgenden Aussagen wahr: i) ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B), ii) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B), iii) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) ⇔ ¬(A ∧ ¬B), iv) (A ⇔ B) ⇔ (¬A ⇔ ¬B), v) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C), vi) ((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)) ⇒ (A ⇔ C). 0.7 Bemerkung. i) Satz 0.6 iii) besagt, dass die Implikation A ⇒ B genau dann wahr ist, wenn die Implikation ¬B ⇒ ¬A wahr ist und dies gilt wiederum genau dann, wenn die Implikation A ∧ ¬B falsch ist. ii) Satz 0.6 v) besagt, dass Implikationen transitiv sind, d.h. wenn A die Aussage B impliziert, und wenn B die Aussage C impliziert, dann impliziert auch A die Aussage C. 0.8 Bemerkung [Beweismethoden]. Ein mathematischer Satz besteht (i.A.) aus einer Voraussetzung A und einer Behauptung B. Der Beweis eines solchen Satzes besteht aus dem Nachweis, dass die Implikation A ⇒ B wahr ist. Man spricht dann auch von einem logischen Schluss. Die gebräuchlichsten Beweismethoden in der Mathematik sind: i) Direkter Beweis: Unter Verwendung der Voraussetzung A wird die Behauptung B logisch korrekt abgeleitet, d.h., es wird gezeigt, dass die Implikation A ⇒ B wahr ist. ii) Indirekter Beweis oder WiderspruchsBeweis (vgl. dazu Bemerkung 0.7 i) ): a) Anstatt der Implikation A ⇒ B wird (indirekt) die Implikation ¬B ⇒ ¬A nachgewiesen, oder b) es wird gezeigt, dass die Konjunktion A ∧ ¬B falsch ist; z.B. wird gezeigt, dass A ∧ ¬B eine falsche Aussage (einen Widerspruch) impliziert. iii) ÄquivalenzBeweis, d.h. Beweis einer Äquivalenz A ⇔ B: Man Beweist die beiden Aussagen A ⇒ B und B ⇒ A.
4 0.1 Elementare Logik und Mengen Georg Cantor, 1845–1918 0.9 Definition [Mengen (nach Cantor)]. Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit. Die Objekte in einer Menge heißen Elemente der Menge. Weiterhin fordern wir, dass für jedes nur vorstellbare Objekt eindeutig entschieden werden kann, ob es ein Element der Menge ist oder nicht. Die Aussage „x ist ein Element der Menge M“ wird mit x ∈ M bezeichnet, die Negation mit x ∈/ M, d.h. „x ist kein Element der Menge M.“ 0.10 Notation. Mengen lassen sich auf unterschiedliche Arten beschreiben, z.B. Der Doppelpunkt links vom Gleich- i) Aufzählung der Elemente, z.B., M := {1, 2, 3, 4, 5} oder M := heitszeichen “:=” bedeutet, daß dass linksstehende Symbol durch den Ausdruck auf der rechten Seite definiert wird. {◦, ⋄, ⋆}. ii) N := {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ist die Menge der natürlichen Zahlen. Nach DIN-Norm 5473 ist 0 eine Oft werden die natürlichen Zahlen auch ohne die Null definiert, und natürliche Zahl. N0 ist eine ebenfalls übliche Bezeichnung für {0, 1, 2, 3, . . . }. Axiomatischer Aufbau von N basiert auf den Peano Axiomen. Giuseppe Peano, 1858–1932 iii) Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } ist die Menge der ganzen Zahlen. iv) Beschreibung von Eigenschaften, z.B., M := {alle geraden nicht-negativen natürlichen Zahlen} = {n ∈ N : n ist Vielfaches von 2} = {2 n : n ∈ N} =: 2N. v) Für m ∈ N sei mZ := {m z : z ∈ Z} die Mengen aller ganzen Zahlen, die durch m teilbar sind. vi) Q := { p q : p ∈ Z, q ∈ N, q ≥ 1, p, q teilerfremd} ist die Menge der rationalen Zahlen. vii) R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen. viii) ∅ := {} bezeichnet die leere Menge. ix) R≥0 := {x ∈ R : x ≥ 0} ist die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen oder N≥1 := {1, 2, 3, 4, 5, . . . }. 0.11 Bemerkung [Russellsche Antinomie]. Sei M die ”Menge” aller Bertrand Russell, 1872–1970 Mengen, die sich nicht selbst enthalten, d.h., M := {X : X Menge und X ∈/ X}. Ist M ∈ M? Falls “Ja”, dann muss M die Bedingung M ∈/ M erfüllen! Falls “Nein”, dann gilt nach Definition von M aber M ∈ M! Also, im Sinne unserer Definition ist M keine Menge! 0.12 Definition [Allquantor und Existenzquantor]. Sei M eine nichtleere Menge, und für jedes x ∈ M sei A(x) eine Aussage.
0.1 Elementare Logik und Mengen 5 i) Die Aussage „für alle x ∈ M gilt A(x)“ wird mit „∀x ∈ M : A(x)“ bezeichnet; das Symbol ∀ heißt Allquantor. ii) Die Aussage „es gibt ein x ∈ M, für das A(x) gilt“ wird mit „∃x ∈ M : A(x)“ bezeichnet; das Symbol ∃ heißt Existenzquantor. 0.13 Satz. Sei M eine Menge, und für jedes x ∈ M sei A(x) eine Aussage. Es gilt: i) ¬(∀x ∈ M : A(x)) ⇔ ∃ x ∈ M : ¬A(x) und ii) ¬(∃ x ∈ M : A(x)) ⇔ ∀x ∈ M : ¬A(x). i) besagt, dass die Aussage “für alle x ∈ M gilt A(x)” genau dann falsch ist, wenn eine der Aussagen A(x) falsch ist. ii) besagt, die Aussage “es gibt ein x für das A(x) gilt” genau dann falsch ist, falls A(x) falsch ist für alle x ∈ M. 0.14 Definition [Teilmenge]. i) Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A (Schreibweise: B ⊆ A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h., B ⊆ A ⇔ ∀b ∈ B : b ∈ A. ii) Zwei Mengen A und B heißen gleich (Schreibweise: B = A), falls B ⊆ A und A ⊆ B. Sind A und B nicht gleich, so schreibt man A ̸= B. iii) Eine Menge B heißt echte Teilmenge einer Menge A (Schreibweise: B ⊂ A oder B ⊊ A), wenn B ⊆ A und B ̸= A. 0.15 Bemerkung. Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge. 0.16 Definition [Durchschnitt, Vereinigung, Differenz]. Seien A, B Mengen. i) A ∩ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} heißt Durchschnitt von A und B. Ist A ∩ B = ∅, so heißen A und B disjunkt. 2Z ∩ 3Z = 6Z oder 6Z ∩ 15Z = 30Z. ii) A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} heißt Vereinigung von A und B. Für k, m ∈ Z sei k + mZ := {k + m z : z ∈ Z}. Z = 3Z ∪ (1 + 3Z) ∪ (2 + 3Z) iii) A \ B := {x : x ∈ A ∧ x ∈/ B} heißt Differenz von A und B. . 3Z \ 6Z = {3 m : m ∈ Z ungerade} = {3 + 6 m : m ∈ Z} =: 3 + 6Z iv) Ist B ⊆ U, so heißt die Differenz U \ B auch Komplementärmenge von B in der Grundmenge U und wird mit B bezeichnet.
6 0.1 Elementare Logik und Mengen 0.17 Satz [Verknüpfungsregeln für Mengen]. Seien A, B Teilmengen einer Grundmenge U, also A, B ⊆ U. i) Neutralität von ∅ und U: A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U, A ∩ U = A. ii) Kommutativität: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. iii) Assoziativität. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). iv) Distributivität: A ∩(B∪C) = (A ∩ B)∪(A ∩C), A ∪(B∩C) = (A ∪ B)∩(A ∪C). v) Idempotenz: A ∩ A = A, A ∪ A = A. vi) Absorption: (A ∪ B) ∩ A = A, (A ∩ B) ∪ A = A. vii) Komplementregeln: A ∩ A = ∅, A ∪ A = U, A = A. Augustus De Morgan, 1806–1871 viii) De Morgan’sche Regeln: A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B. 0.18 Bemerkung. i) Die Verallgemeinerung von Durchschnitt und Vereinigung auf mehr als zwei Mengen gelte für beliebige Mengensysteme, d.h., sei M eine Menge von Mengen, dann bezeichnet man mit \ m∈N≥1 mZ = {0} \ M∈M M := {x : x ∈ M für alle M ∈ M} den Durchschnitt von M, und mit [ n∈N≥1 x ∈ R : 1 n + 1 < x ≤ 1 n fl = (0, 1] [ M∈M M := {x : x ∈ M für ein M ∈ M} die Vereinigung von M. ii) Enthalten Mengen M1, M2, M3,· · · kein gemeinsames Element, d.h. gilt M1 ∩ M2 ∩ M3 ∩ · · · = ∅, dann heißen diese Mengen disjunkt. Sind je zwei dieser Mengen disjunkt, dann heißen die Mengen paarweise disjunkt. Systeme paarweise disjunkter Mengen sind immer {1, 2} ∩ {2, 3} ∩ {1, 3} = ∅ disjunkt. Die Umkehrung gilt nicht.
0.1 Elementare Logik und Mengen 7 0.19 Definition [Kartesisches Produkt]. i) Das kartesische Produkt X × Y (Sprechweise: X kreuz Y) zweier Mengen X,Y ist definiert als René Descartes, 1596–1650 X × Y := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}. (x, y) ∈ X × Y heißt geordnetes Paar oder auch 2-Tupel. ii) Allgemein ist das kartesische Produkt X1 × X2 × · · · × Xn von n-Mengen X1, . . . , Xn definiert als X1 × X2 × · · · × Xn := {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Xi , 1 ≤ i ≤ n}. (x1, x2, . . . , xn) ∈ X1 × X2 × · · · × Xn heißt n-Tupel. Für das kartesische Produkt X × X × · · · × X (n-mal) schreibt man auch Xn . {0, 1} n = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ {0, 1}, 1 ≤ i ≤ n} [0, 1] n = {(x1, . . . , xn) : 0 ≤ xi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n} 0.20 Bemerkung. i) Für (x1, . . . , xn),(x ′ 1 , . . . , x ′ n ) ∈ X1 × · · · × Xn gilt (x1, . . . , xn) = (x ′ 1 , . . . , x ′ n ) ⇔ xi = x ′ i , 1 ≤ i ≤ n. ii) Das kartesische Produkt X × Y ist für X ̸= Y von Y × X verschieden. 0.21 Definition [Mächtigkeit endlicher Mengen]. Eine Menge A heißt endlich, wenn sie endlich viele Elemente enthält. Die Anzahl der Elemente von A heißt Mächtigkeit von A und wird mit |A| bezeichnet. 0.22 Bemerkung. Seien A, B endliche Mengen. Dann gilt i) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, ii) |A × B| = |A| · |B| 0.23 Definition [Potenzmenge]. Sei A Menge. Die Menge P(A) := {X : X ⊆ A} aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A.
8 0.2 Funktionen und Relationen 0.2 Funktionen und Relationen g : Z → Q, z 7→ 1/z, oder h : R → 0.24 Definition [Funktion]. Seien X, Y beliebige nichtleere Mengen. Q, x 7→ x, sind keine Abbildungen. f : R → R, x 7→ |x| := ( x, x ≥ 0 −x, x ≤ 0 ist eine Abbildung. i) Eine Vorschrift, die jedem x ∈ X genau ein f(x) ∈ Y zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung. Wir schreiben f : X → Y, x 7→ f(x). a) X wird auch als Definitionsbereich und Y als Wertebereich (Bildbereich) von f bezeichnet. b) f(x) heißt Funktionswert von x oder Bild von x. Für Teilmengen f(R) = R≥0 A ⊆ X heißt f(A) := { f(x) : x ∈ A} das Bild von A. c) Für Teilmengen B ⊆ Y heißt f −1 (B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B} das f Urbild (oder Faser) von B. −1 ([1, 4]) = [−4, −1] ∪ [1, 4]. d) Die Menge Γf := {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y heißt Graph von f. ii) Eine Abbildung f : X × X → X heißt innere Verknüpfung auf X. iii) Eine Abbildung f : Y × X → X heißt äußere Verknüpfung von Y mit X. iv) Für eine Abbildung f : X → Y und A ⊆ X heißt f |A : A → Y, x 7→ f(x), d.h. f |A(x) = f(x) für x ∈ A, die Einschränkung von f auf A. v) Die Abbildung idX : X → X mit idX(x) := x für alle x ∈ X heißt identische Abbildung auf X oder auch einfach Identität. vi) Zwei Abbildungen f , g : X → Y sind gleich wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ X gilt, und man schreibt auch f = g. 0.25 Definition [Komposition]. Seien X,Y, Z nichtleere Mengen, f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Dann ist g ◦ f : X → Z mit (g ◦ f)(x) := g(f(x)) eine Abbildung von X nach Z. g ◦ f heißt Komposition (oder auch Verknüpfung, Verkettung, Hintereinanderausführung) von f und g. (Sprechweise: “g verknüpft mit f ”) 0.26 Bemerkung. i) Man beachte die Reihenfolge der Schreibweise für die Komposition. Bei der Abbildung g ◦ f wird zuerst f ausgeführt und dann g. ii) Auch im Falle X = Y = Z gilt im allgemeinen nicht g ◦ f = f ◦ g, d.h., (g ◦ f)(x) = (f ◦ g)(x) für alle x ∈ X.
0.2 Funktionen und Relationen 9 0.27 Satz [Assoziativität der Komposition]. Seien X,Y, Z, W nichtleere Mengen, f : X → Y, g : Y → Z, h : Z → W Abbildungen. Dann gilt h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f . Man kann also einfach h ◦ g ◦ f schreiben. 0.28 Definition [Surjektiv, injektiv, bijektiv]. Seien X, Y nichtleere Mengen, f : X → Y eine Abbildung. i) f heißt surjektiv, wenn f(X) = Y, d.h., für alle y ∈ Y gibt es ein x ∈ X mit f(x) = y. f : R → R mit f(x) := x 2 ist weder surjektiv noch injektiv Für a, b ∈ R, a ̸= 0, ist f : R → R gegeben als f(x) := a x + b bijektiv. ii) f heißt injektiv, wenn für alle x1, x2 ∈ X mit f(x1) = f(x2) folgt x1 = x2, bzw., aus x1, x2 ∈ X mit x1 ̸= x2 folgt f(x1) ̸= f(x2). iii) f heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. 0.29 Bemerkung. i) Durch Einschränkung des Bildbereichs Y einer Funktion f : X → Y auf die Menge f(X) erhält man eine surjektive Abbildung f : X → f(X). f : R → R≥0 mit f(x) := x 2 ist surjektiv, aber nicht injektiv. ii) Analog erhält man durch geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs X eine entsprechende injektive Funktion. f : R≥0 → R mit f(x) := x 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv. 0.30 Satz. Seien X,Y, Z nichtleere Mengen, f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. i) Sind f und g surjektiv, dann auch g ◦ f . ii) Sind f und g injektiv, dann auch g ◦ f . iii) Sind f und g bijektiv, dann auch g ◦ f . Beachte: Die Bezeichnung f −1 benutzt man sowohl für die Urbildmenge einer beliebigen (möglicherweise nicht bijektiven) Funktion als auch für die zu einer bijektiven Funktion f inverse Abbildung. 0.31 Satz [Umkehrabbildung]. Sei f : X → Y eine bijektive Abbildung. Dann gibt es eine Abbildung g : Y → X mit g ◦ f = idX und f ◦ g = idY. g heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung zu f und wird auch mit g =: f −1 bezeichnet. Seien a, b ∈ R, a ̸= 0, und sei f : R → R mit f(x) = ax + b. Dann ist f −1 : R → R gegeben durch f −1 (x) = 1 a x − 1 a b. 0.32 Satz. Seien f : X → Y und g : Y → X Abbildungen mit g ◦ f = idX. Dann ist f injektiv und g surjektiv. 0.33 Korollar. Sei f : X → Y eine Abbildung. Dann gilt: i) f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : Y → X gibt mit g ◦ f = idX und f ◦ g = idY. ii) Ist f bijektiv, dann auch f −1 , und es gilt (f −1 ) −1 = f . 0.34 Definition [Permutation]. Sei M eine beliebige nichtleere Menge.
10 0.2 Funktionen und Relationen i) Eine bijektive Abbildung f : M → M heißt Permutation von M. ii) Die Menge der Permutationen von M wird mit SM bezeichnet. iii) Ist |M| = n, also z.B. M = {1, . . . , n}, dann schreibt man auch Sn. 0.35 Definition. Eine Menge P von Teilmengen einer Menge U heißt In Worten: U ist die paarweise dis- Partition von U, wenn junkte Vereinigung der Mengen aus P. i) U = [ M∈P M und ii) M ∩ M′ = ∅ für je zwei verschiedene M, M′ ∈ P. Die geraden Zahlen 2Z und die ungeraden Zahlen 1 + 2Z := {1 + 2z : z ∈ Z} bilden eine Partition von Z. 0.36 Definition [Relationen]. Seien X,Y nichtleere Mengen. Für m ∈ N≥1 sei Rm := {(x, y) ∈ Z × Z : y − x ist durch m teilbar}: (2, 5) ∈ R3, (3, −13) ∈ R3. i) Eine (binäre) Relation R zwischen X und Y ist eine Teilmenge von X × Y, also R ⊆ X × Y. Für (x, y) ∈ R sagt man, x und y stehen in Relation R. iii) Im Falle X = Y heißt R Relation auf X. 0.37 Definition [Äquivalenzrelation]. i) Sei R eine Relation auf der Menge X. a) R heißt reflexiv, falls für alle x ∈ X gilt: (x, x) ∈ R, b) R heißt symmetrisch, falls für alle (x, y) ∈ R gilt: (y, x) ∈ R, c) R heißt transitiv, falls für alle (x, y),(y, z) ∈ R gilt: (x, z) ∈ R. ii) Eine Relation R auf X, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation auf X. In diesem Fall sagt man für Rm ist eine Äquivalenzrelation. (x, y) ∈ R auch x ist äquivalent zu y. Sei z ∈ Z und m ∈ N. Dann gibt es eindeutige q ∈ Z, r ∈ {0, 1, . . . , m − 1}, so dass z = q m + r. r heißt derRest von z bei Division durch m. 0.38 Definition [Äquivalenzklasse]. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Für x ∈ X heißt [x]R := {y ∈ X : (x, y) ∈ R} die Äquivalenzklasse von x bzgl. R. [x]R ist also die Menge aller y ∈ X, die äquivalent zu x sind. 0.39 Definition [Restklasse]. Sei m ∈ N≥1. Für die Äquivalenzrelation Rm = {(x, y) ∈ Z × Z : y − x ist durch m teilbar} heißt die Äquivalenzklasse [x]Rm Restklasse von x bzgl. m, und wird mit [x]m bezeichnet. [x]m besteht aus allen Zahlen y ∈ Z, die bei Division durch m den gleichen Rest wie x besitzen, also [x]m = x + mZ. 0.40 Satz. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann gilt: i) Für alle x ∈ X ist x ∈ [x]R. Insbesondere ist X = S x∈X[x]R. ii) [x]R = [y]R genau dann, wenn (x, y) ∈ R. iii) Für zwei Äquivalenzklassen [x]R, [y]R gilt entweder [x]R = [y]R oder [x]R ∩ [y]R = ∅.
0.2 Funktionen und Relationen 11 In Worten: Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von X. 0.41 Bemerkung. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Aus Satz 0.40 folgt, dass X die paarweise disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen ist. 0.42 Definition [Quotientenmenge/Faktormenge]. Sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Die Menge X/R := {[x]R : x ∈ X} der Äquivalenzklassen auf X bzgl. R heißt Quotientenmenge (oder auch: Faktormenge) von X bzgl. R (oft auch bezeichnet/gesprochen als X modulo R). 0.43 Bemerkung. Für m ∈ N, m ≥ 1, und die Äquivalenzrelation Rm auf Z sei Zm := Z/Rm die Faktormenge bestehend aus allen Restklassen „modulo m“. Dann ist Zm = {[0]m, [1]m, . . . , [m − 1]m} und |Zm| = m.
12 Reelle Zahlen 1 Reelle Zahlen 1.1 Axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen R Verknüpfungen sind hier Abbildungen 1.1 Axiom [Körperaxiome]. Es gibt zwei Verknüpfungen auf R R × R → R. - Addition + : R × R → R mit (a, b) 7→ a + b, - Multiplikation · : R × R → R mit (a, b) 7→ a · b = a b, Ein Axiom ist eine Aussage, die ohne für die folgende Körperaxiome gelten: Beweis angenommen wird. (K1) Assoziativgesetze: Für alle a, b, c ∈ R gilt a + (b + c) = (a + b) + c und (ab)c = a(bc). (K2) Kommutativgesetze: Für alle a, b, c ∈ R gilt a + b = b + a und ab = ba. (K3) Distributivgesetz: Für alle a, b, c ∈ R gilt a(b + c) = ab + ac. (K4) Existenz neutraler Elemente: a) Es gibt eine Zahl 0 ∈ R (“Null”), so daß für alle a ∈ R gilt a + 0 = a. b) Es gibt eine Zahl 1 ∈ R \ {0} (“Eins”), so daß für alle a ∈ R gilt a · 1 = a. (K5) Existenz inverser Elemente: a) Für alle a ∈ R gibt es ein Element in R, bezeichnet mit −a ∈ R, mit a + (−a) = 0. −a heißt additiv inverses Element zu a. b) Für alle a ∈ R \ {0} gibt es ein Element in R, bezeichnet mit a −1 ∈ R, mit a · a −1 = 1. a−1 heißt multiplikativ inverses Element zu a. 1.2 Definition. Eine Menge K auf der zwei Verknüpfungen “+”, “·” Ein Körper K mit zwei Elementen: erklärt sind, die die Körperaxiome (K1)-(K5) genügen, heißt Körper. + 0 1 0 0 1 1 1 0 · 0 1 0 0 0 1 0 1 1.3 Satz. i) Die beiden neutralen Elemente 0 und 1 in (K4) sind eindeutig bestimmt. ii) Die inversen Element −a für a ∈ R und a−1 für a ∈ R \ {0} in (K5) sind eindeutig bestimmt. iii) Es ist −0 = 0 und 1 −1 = 1. iv) Sei b ∈ R.
1.1 Axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen R 13 a) Sei a ∈ R. Die Gleichungen a + x = b ist eindeutig lösbar und die Lösung ist (−a) + b. b) Sei a ∈ R \ {0}. Die Gleichungen ax = b ist eindeutig lösbar, und die Lösung ist a−1 b. 1.4 Satz. Seien a, b ∈ R. Dann gilt i) a 0 = 0. ii) (−a)b = a(−b) = −(ab). iii) −(−a) = a. Insbesondere ist (−a)(−b) = ab, (−1)a = −a, −(a + b) = −a + (−b). iv) ab = 0 genau dann, wenn a = 0 oder b = 0. 1.5 Notation. Zur Vereinfachung schreiben wir a − b := a + (−b) und a b := ab−1 . In der Schreibweise a b heißt a Zähler und b Nenner. Insbesondere b −1 = 1 b . 1.6 Axiom [Anordnungsaxiome]. Es gibt eine Relation < (“Kleinerrela- Ist a < b, dann sagen wir “a ist kleiner als b”. tion”) auf R für die folgenden Anordnungsaxiome gelten: (O1) Trichotomie: Für alle a, b ∈ R gilt genau eine der drei Beziehungen: a < b, a = b oder b < a. (O2) Transitivität: Ist a < b und b < c, so folgt a < c. (O3) Monotoniegesetze: Ist a < b so ist a) für jedes c ∈ R: a + c < b + c, b) für jedes c ∈ R mit 0 < c: ac < bc. 1.7 Notation. Seien a, b ∈ R. i) a > b (gesprochen “a größer b”) bedeutet b < a. ii) a ∈ R heißt positiv, falls a > 0, und a ∈ R heißt negativ, falls a < 0. iii) a ≤ b (gesprochen “a kleiner gleich b”) bedeutet a < b oder a = b. a ∈ R heißt nichtnegativ bzw. nichtpositiv falls a ≥ 0 bzw. a ≤ 0 gilt. Wir schreiben für a1 < 0, . . . , an < 0 auch nur a1, . . . , an < 0 und entsprechend für andere Beziehungen. iv) a ≥ b (gesprochen “a größer gleich “b”) bedeutet a > b oder a = b. Die rationalen Zahlen Q erfüllen (auch) die Axiome (K1)-(K5), (O1)-(O3) . 1.8 Satz. Seien a, b ∈ R. i) Es gilt a < b genau dann, wenn b − a > 0. ii) Es gilt a < 0 genau dann, wenn −a > 0. a is negative genau dann, wenn −a positiv ist (und umgekehrt). iii) Es gilt a > 0 genau dann, wenn −a < 0. iv) Es gilt a < b genau dann, wenn −b < −a.
14 1.1 Axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen R Gleichsinnige Ungleichungen dürfen addiert(!) werden. 1.9 Satz. Seien a, b, c, d ∈ R und sei a < b und c < d. Dann ist a + c < b + d. 1.10 Satz. Seien a, b ∈ R. Dann ist ab > 0 genau dann, wenn a, b > 0 oder a, b < 0. 1.11 Korollar. Sei a ∈ R \ {0}. i) Dann ist a2 Insbesondere ist 1 > 0 und damit := a a > 0. 1 + 1 > 1, 1 + 1 + 1 > 1 + 1, usw. ii) a > 0 genau dann wenn a−1 > 0. 1.12 Korollar. i) Seien a, b ∈ R, b ̸= 0. Dann ist a b > 0 genau dann, wenn a, b > 0 oder a, b < 0. ii) Seien p1, p2, q ∈ R mit p1 < p2 und q > 0. Dann ist p1 q < p2 q . Sind a1, . . . , an ∈ R, n ∈ N. Dann 1.13 Satz. Sei 2 := 1 + 1 und seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Dann gilt heißt a1+···+an n arithmetisches Mittel von a1, . . . , an. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine weitere Zahl. a ≤ a + b 2 ≤ b, mit Gleichheit in einer der beiden Ungleichungen genau dann, wenn a = b. Bei Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl kehrt sich ihre Richtung um. 1.14 Satz. Seien a, b, c ∈ R mit a < b und sei c < 0. Dann ist ac > bc. Insbesondere dürfen gleichsinnige Ungleichungen multipliziert werden, wenn alle Glieder positiv sind. Für 0 < a < b ist 0 < b −1 < a −1 . 1.15 Satz. Seien a, b, c, d ∈ R mit a < b, b > 0, und 0 < c < d. Dann ist ac < bd. Richard Dedekind, 1831–1916 1.16 Definition [Dedekindscher Schnitt]. Seien A, B ⊆ R. A und B bilden einen Dedekindschen Schnitt von R, bezeichnet mit (A | B), falls i) A, B ̸= ∅. ii) A ∪ B = R. iii) Für alle a ∈ A und für alle b ∈ B gilt a < b. Eine Zahl t ∈ R heißt Trennungszahl des Dedekindschen Schnittes A := R<0 ∪ {a ∈ R≥0 : a · a ≤ 2}, (A | B) falls a ≤ t ≤ b für alle a ∈ A und für alle b ∈ B. B := {b ∈ R≥0 : b · b > 2} bilden einen Dedekindschen Schnitt mit Trennungszahl t = ” √ 2”. 1.17 Axiom [Schnittaxiom oder Axiom der Ordnungsvollständigkeit]. (S1) Jeder Dedekindsche Schnitt von R besitzt genau eine Trennungszahl. 1.18 Definition. Eine Menge R, die die Körperaxiome 1.1, die Anordnungsaxiome 1.6 und das Schnittaxiom 1.17 erfüllt, heißt Menge der reellen Zahlen.
1.1 Axiomatischer Aufbau der reellen Zahlen R 15 1.19 Definition. Sei M ⊆ R nichtleer. i) M heißt nach oben beschränkt falls es ein s ∈ R gibt mit x ≤ s für alle x ∈ M. Solch ein s heißt obere Schranke. Eine obere Schranke s von M heißt Supremum oder kleinste obere Schranke von M falls für jedes ϵ > 0 ein x ∈ M existiert mit Ist M nicht nach oben beschränkt, setzt man sup M = ∞. s − ϵ < x. Bezeichnung s = sup M. Ist dieses s ∈ M, dann heißt es Maximum von M und wird mit max M bezeichnet. ii) M heißt nach unten beschränkt falls es ein s ∈ R gibt mit x ≥ s für alle x ∈ M. Solch ein s heißt untere Schranke. Für die leere Menge vereinbart man auch sup ∅ = −∞ und inf ∅ = ∞. Eine untere Schranke es von M heißt Infimum oder größte untere Schranke von M falls für jedes ϵ > 0 ein x ∈ M existiert mit Ist M nicht nach unten beschränkt, setzt man sup M = −∞. x < es + ϵ. Bezeichnung es = inf M. Ist dies es ∈ M, dann heißt es Minimum von M und wird mit min M bezeichnet. iii) Ist M nach oben und unten beschränkt, dann heißt M beschränkt, ansonsten unbeschränkt. 1.20 Satz [Supremumsprinzip]. Jede nichtleere nach oben beschränkte Entsprechend gilt, daß jede nichtleere nach unten beschränkte Menge ein eindeutiges Infimum besitzt. Menge M ⊂ R besitzt ein eindeutiges Supremum. Umgekehrt kann man aus dem Supremumsprinzip das Schnittaxiom herleiten. 1.21 Definition. Seien A, B ⊆ R und sei r ∈ R. Dann sei i) A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, ii) A · B := {a b : a ∈ A, b ∈ B}, iii) rA := {r a : a ∈ A}. −A := (−1)A. 1.22 Satz. Seien A, B ⊂ R nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt i) sup(A + B) = sup A + sup B, ii) sup(rA) = r sup A, falls r ≥ 0, iii) falls A, B ⊆ R≥0 : sup(A · B) = (sup A)(sup B). iv) inf(−A) = − sup A. Für nichtleere nach unten beschränkte Mengen und das Infimum gelten analoge Aussagen.
16 1.2 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 1.2 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 1.23 Definition. M ⊆ R heißt induktiv, falls i) 0 ∈ M. ii) Für alle x ∈ M gilt: x + 1 ∈ M. R, R≥0 sind induktive Mengen. Der Durchschnitt induktiver Men- 1.24 Definition. Sei M := {M ⊆ R : M induktiv }. Die Menge gen ist induktiv, und daher ist nach Konstruktion N induktiv. N := \ M∈M M heißt die Menge der natürlichen Zahlen. 1.25 Satz [Induktionsprinzip]. Sei M ⊆ N induktiv. Dann gilt M = N. 1.26 Korollar. Sei m ∈ N. Dann gilt i) Nm := {n ∈ N : m + n ∈ N} = N. ii) Nm := {n ∈ N : m n ∈ N} = N. Insbesondere ist N = {0, 1, 1 + 1.27 Satz. 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .} = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}. i) Sei n ∈ N. Dann ist n ≥ 0. ii) Für alle n, m ∈ N gilt : m + n, m · n ∈ N. iii) Sei n ∈ N. Es gibt kein r ∈ N mit n < r < n + 1. Beweis. i) Da R≥0 induktiv, folgt N ⊆ R≥0. ii) Folgt aus Korollar 1.26. (1.27.1) besagt, dass für jede natürliche iii) Zunächst bemerken wir, dass Zahl n ̸= 0 gilt n ≥ 1 und n − 1 ∈ N. {0} ∪ {n ∈ N : n ≥ 1, n − 1 ∈ N} = N. (1.27.1) Sei dazu M die Menge auf der linken Seite. Nach Satz 1.25 reicht es zu zeigen, dass M induktiv ist: Es ist 0 ∈ M, und sei nun n ∈ M. Dann ist nach Voraussetzung n ∈ N und somit n + 1 ∈ N (da N induktiv) mit n + 1 ≥ 1 (mit i)) und (n + 1) − 1 = n + (1 − 1) = n ∈ N. Als nächstes zeigen wir, dass {n ∈ N : es gibt kein r ∈ N mit n < r < n + 1} = N, woraus die Behauptung folgt. Sei K die Menge auf der linken Seite und wir weisen nach, dass K induktiv ist: a) Es ist 0 ∈ K: Die Menge W := {0} ∪ {x ∈ R : x ≥ 1} ist induktiv und somit ist N ⊆ W, d.h., es gibt kein r ∈ N mit 0 < r < 1.
1.2 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 17 b) Sei n ∈ K. Angenommen, es sei n + 1 /∈ K. Dann gibt es ein r ∈ N mit n + 1 < r < n + 1 + 1. Somit ist n = (n + 1) − 1 < r − 1 < (n + 1 + 1) − 1 = n + 1. Es sind n, n + 1 ∈ N und mit (1.27.1) ist auch r − 1 ∈ N. Dies widerspricht der Wahl von n. □ 1.28 Definition. i) Z := {n : n ∈ N} ∪ {−n : n ∈ N} heißt Menge der ganzen Zahlen. Q ist ein angeordneter Körper, d.h., er erfüllt die Körper- und Anordnungsaxiome. ii) Q := p q : p, q ∈ Z, q ̸= 0 fl heißt Menge der rationalen Zahlen. Die Ungleichung aus Satz 1.13 zeigt, daß zwischen zwei rationalen Zahlen stets noch eine weitere rationale Zahl liegt, also zu einer rationalen Zahl keine nächstgrößere rationale Zahl existiert. 1.29 Satz [Wohlordnungsprinzip]. Sei M ⊆ N nichtleer. Dann existiert min M. 1.30 Satz [Satz des Archimedes]. N ist nach oben unbeschränkt. 1.31 Satz [Satz des Eudoxos]. Eudoxus of Cnidus, 390–340 bc i) Seine a, b ∈ R mit a > 0. Dann existiert ein n ∈ N mit n a > b. ii) Zu jedem ϵ ∈ R>0 existiert ein m ∈ N mit 1/m < ϵ. 1.32 Korollar. Sei a ∈ R und ϵ ∈ R>0. Dann existiert ein r ∈ Q mit a − ϵ < r < a + ϵ. 1.33 Satz. Sei A ⊂ R nichtleer. Besitzt A ein Supremum, aber kein Maximum, so gibt es für jedes ϵ > 0 unendlich viele a ∈ A mit sup A − ϵ < a < sup A.
18 1.3 Vollständige Induktion 1.3 Vollständige Induktion 1.34 Definition. Seien n, m ∈ N mit m ≤ n und seien ak ∈ R für jedes Mehrgliedrige Summen (oder Pro- k = m, . . . , n. Sei dukte) am + am+1 + · · · + an = am + (am+1 + · · · + an) werden rekursiv auf die Verknüpfung von zwei Summanden zurückgeführt. n ∑ k=m ak := am + am+1 + · · · + an und n ∏ k=m ak := am · am+1 · . . . · an. ∑ heißt Summenzeichen und ∏ heißt Produktzeichen. Im Falle m < n setzen wir ∑ m k=n ak := 0 und ∏ m k=n Die leere Summe ist 0, und das leer ak = 1. . Produkt ist 1 1.35 Satz [Vollständige Induktion]. Für jedes n ∈ N sei A(n) eine Aussage. Falls gilt i) (Induktionsanfang) Die Aussage A(0) gilt, ii) (Induktionsschritt) Für jedes n ∈ N folgt aus der Gültigkeit von A(n) auch die Gültigkeit von A(n + 1), also A(n) ⇒ A(n + 1), dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr. 1.36 Satz [Gaußsche Summenformel]. Für alle n ∈ N gilt: n ∑ k=0 k = n(n + 1) 2 . 1.37 Definition. x i) Für x ∈ R und n ∈ N sei 0 = 1. x n := n ∏ k=1 x ii) Für x ∈ R, x ̸= 0, und n ∈ N sei x−n := (x −1 ) n Beachte: (x . −1 ) n = (x n ) −1 = 1 x n . 1.38 Definition. 0! = 1 i) Für n ∈ N sei n! := n ∏ k=1 k. n! heißt n Fakultät. ( ii) Für x ∈ R und k ∈ N sei x 0 ) = 1. x k := ∏ k−1 i=0 (x − i) k! . ( x k Für n ∈ N, n ≥ k, ist ( ) heißt Binomialkoeffizient “x über k”. n k ) = n! k!(n−k)! . 1.39 Lemma. Sei x ∈ R und k ∈ N. Dann gilt x k + x k + 1 = x + 1 k + 1 . Für n = 3 erhält man: (a + b) 1.40 Satz [Binomischer Satz]. Seien a, b ∈ R. Für jedes n ∈ N gilt 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b 3 . (a + b) n = n ∑ k=0 n k a k b n−k . Insbesondere ist 2n = ∑ n k=0 ( n k ).
1.3 Vollständige Induktion 19 1.41 Satz. Sei n ∈ N≥1, und seien M1, . . . , Mn Mengen mit |Mi | = ki , 1 ≤ i ≤ n. Dann gilt |M1 × M2 × · · · × Mn| = n ∏ i=1 ki . 1.42 Satz [Bernoullische Ungleichung]. Sei x ∈ R, x > −1 und x ̸= 0. Dann gilt für alle n ∈ N, n ≥ 2, Für n = 0, 1 gilt Gleichheit in der Ungleichung. (1 + x) n > 1 + nx.
20 1.4 Betrag und Intervalle 1.4 Betrag und Intervalle 1.43 Definition. Für a ∈ R heißt |a| := a, a ≥ 0, −a, a < 0, Es ist | − a| = |a| und −|a| ≤ a ≤ |a|. der Absolutbetrag (Betrag) von a. 1.44 Satz. Für a, b ∈ R gilt: i) |a| ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn a = 0, ii) |ab| = |a| |b|, iii) |a + b| ≤ |a| + |b|. (Dreiecksungleichung) 1.45 Proposition. Seien a, b, c ∈ R. Dann gilt Ebenso gilt |b| − |a| ≤ |a − b|. i) |a| − |b| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|. ii) |a − b| ≤ |a − c| + |c − b|. 1.46 Proposition. i) Sei a ∈ R, und sei γ ∈ R>0. Dann gilt |a| < γ genau dann wenn −γ < a < γ. ii) Seien x, x0 ∈ R, und sei ϵ ∈ R>0. Dann gilt |x − x0| < ϵ genau dann, wenn x0 − ϵ < x < x0 + ϵ. Die analogen Aussagen gelten, wenn < durch ≤ ersetzt wird. 1.47 Definition. I ⊆ R heißt Intervall, falls für alle r,s ∈ I gilt Insbesondere sind R und ∅ Intervalle. {x ∈ R : s ≤ x ≤ r} ⊆ I. 1.48 Definition. Für a, b ∈ R, a ≤ b, seien die folgenden Intervalle definiert: i) [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, ii) [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}, iii) (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}, iv) (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} a, b heißen Randpunkte des Intervalls und b − a ist seine Länge. Weiterhin sei für a, b ∈ R v) (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}, vi) (−∞, b) := {x ∈ R : x < b}, vii) [a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x}, viii) (a, ∞) := {x ∈ R : a < x}, und (−∞, ∞) := R.
1.4 Betrag und Intervalle 21 1.49 Definition. i) Sei x0 ∈ R und ϵ ∈ R>0. Das Intervall Uϵ(x0) := (x0 − ϵ, x0 + ϵ) = {x ∈ R : |x − x0| < ϵ} heißt ϵ-Umgebung von x0. ii) Sei M ⊆ R. a) x0 ∈ M heißt innerer Punkt von M, falls es ein ϵ > 0 gibt mit Uϵ(x0) ⊆ M. Die Menge der inneren Punkte von M wird mit int(M) bezeichnet. b) M heißt offen, falls jeder Punkt in M ein innerer Punkt ist. c) M heißt abgeschlossen, falls R \ M offen ist. 1.50 Bemerkung. i) R und ∅ sind offen und abgeschlossen. Q ist weder abgeschlossen noch offen. ii) (a, b), (−∞, a), (b, ∞) sind offen und [a, b] ist abgeschlossen. Die Vereinigung offener Mengen sowie der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen (siehe Übung 1.4). iii) (a, b] oder [a, b) sind weder offen noch abgeschlossen, und werden als halboffene Intervalle bezeichnet.
22 1.5 Aufgaben 1.5 Aufgaben 1.1 Aufgabe. Beweisen Sie die Sätze 1.14 und 1.15. 1.2 Aufgabe. Beweisen Sie Satz 1.22. . 1.3 Aufgabe. Sei m ∈ N. i) Man zeige, für jedes n ∈ N mit n ≤ m ist m − n ∈ N. ii) {n ∈ N : n ≥ m} = {n + m : n ∈ N}. 1.4 Aufgabe. i) Zeigen Sie, dass die Vereinigung offener Mengen und der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist. ii) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt abgeschlossener Mengen und die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. 1.5 Aufgabe. Beweisen Sie folgende Aussagen mit den Körperaxiomen: a) Für alle a, b ∈ R gilt (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . b) In einem Körper gilt 1 ̸= 1 + 1. 1.6 Aufgabe. Es seien Zahlen s, t, x, y ∈ R gegeben. Zeigen Sie folgende Aussagen: i) Wenn 0 < s < x und 0 < t ≤ y gilt, dann gilt s · t < x · y. ii) Wenn 0 > s ≥ x und 0 > t > y gilt, dann gilt s · t < x · y. 1.7 Aufgabe. Zeigen Sie mithilfe der Körperaxiome, dass für alle a, b ∈ R mit a, b ≥ 0 folgende Ungleichungen gelten: a) a · b ≤ 1 2 (a 2 + b 2 ), b) a · b ≤ ( a+b 2 ) 2 . c) Untersuchen Sie die Gültigkeit der Ungleichungen in a) und b) ohne die Zusatzbedingung a, b ≥ 0. 1.8 Aufgabe. Gegeben sei die Menge G := {w, f }, wobei w als ”wahr” und f als ”falsch” interpetiert wird. Die logischen Verknüpfungen ∨˙ (”exklusives Oder”) und ∧ (”Und”) sind durch die folgenden Wahrheitstafeln definiert. A B A ∨˙ B w w f f w w w f w f f f A B A ∧ B w w w f w f w f f f f f
1.5 Aufgaben 23 Überprüfen Sie, welche der Körperaxiome (K1)–(K5) aus der Vorlesung erfüllt sind, wenn die Addition auf G durch ∨˙ und die Multiplikation durch ∧ gegeben ist. 1.9 Aufgabe. Beweisen Sie Satz 1.22 aus der Vorlesung: Seien A, B ⊂ R nichtleer und nach oben beschränkt. Dann gilt i) sup(A + B) = (sup A) + (sup B), ii) sup(rA) = r sup A, falls r ≥ 0, iii) falls A, B ⊆ R≥0: sup(A · B) = (sup A) · (sup B), iv) inf(−A) = − sup A. 1.10 Aufgabe. Es seien a, b, c, d ∈ R. i) Zeigen Sie: ((a + b) + c) + d = a + (b + (c + d)) = (a + (b + c)) + d = (a + b) + (c + d) = a + ((b + c) + d). ii) Wie viele Klammerungen gibt es bei fünf Summanden? (Mit Begründung.) 1.11 Aufgabe. Es seien a, b ∈ R. Wir definieren [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Eine Menge I ⊆ R heißt Intervall, falls für alle c, d ∈ I die Inklusion [c, d] ⊆ I gilt. Die Symbole ∩ und ∪ bezeichnen den Durchschnitt bzw. die Vereinigung zweier Mengen (vgl. Definition 0.16). Zeigen Sie die folgenden Aussagen: i) Die Menge [a, b] ist ein Intervall. Wenn a ≤ b ist, dann gilt [a, b] ̸= ∅. ii) Wenn I1, I2 ⊆ R Intervalle sind, dann ist auch I1 ∩ I2 ein Intervall. iii) Es seien I1, I2 ⊆ R Intervalle. Wenn I1 ∩ I2 ̸= ∅ gilt, dann ist I1 ∪ I2 auch ein Intervall. Zeigen Sie auch, dass die umgekehrte Implikation nicht gilt. 1.12 Aufgabe. Die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv sind im Skript in Definition 0.28 erklärt. Eine Funktion f heißt konstant, wenn f(x) = f(y) für alle x, y ∈ X gilt. Seien X,Y, Z beliebige Mengen und f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen: i) Wenn g ◦ f bijektiv ist, dann ist f injektiv und g surjektiv. ii) Wenn g ◦ f bijektiv ist, dann ist g injektiv oder f surjektiv. iii) Es gilt [es gibt x1, x2 ∈ X mit x1 ̸= x2] ⇔ [ f ist konstant ⇒ f ist nicht injektiv].
24 1.5 Aufgaben 1.13 Aufgabe. Sei A ⊂ R eine nichtleere nach unten beschränkte Menge. Zeigen Sie: inf(A) = sup{c ∈ R : x > c für alle x ∈ A}. 1.14 Aufgabe. Beweisen Sie Satz 1.33 aus der Vorlesung: Sei A ⊂ R nichtleer. Besitzt A ein Supremum, aber kein Maximum, so gibt es für jedes ε > 0 unendlich viele a ∈ A mit sup(A) − ε < a < sup(A). 1.15 Aufgabe. Sei n0 ∈ N gegeben und sei M ⊆ N eine Menge mit folgenden Eigenschaften: i) Es gilt n0 ∈ M. ii) Für alle n ∈ M gilt: Ist die Menge {m ∈ N : n0 ≤ m ≤ n} ⊆ M, so folgt n + 1 ∈ M. Zeigen Sie, dass {n ∈ N : n ≥ n0} ⊆ M gilt. 1.16 Aufgabe. Es seien Zahlen a, b, c, d ∈ Q, wobei c und d nicht beide gleichzeitig 0 sind, und x ∈ R \ Q gegeben. Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, so dass gilt a · x + b c · x + d ∈ R \ Q. 1.17 Aufgabe. Bestimmen Sie die Suprema und Infima der folgenden Teilmengen von R. Geben Sie außerdem an, ob die Mengen jeweils ein Minimum bzw. ein Maximum besitzen. i) A = {x ∈ R : |x − 3| ≤ |x − 1| + |x − 2|}, ii) B = {(−1) n + 1 n : n ∈ N \ {0}}, iii) C = {x ∈ R : es gibt ein n ∈ N \ {0} mit |x − n| ≤ 1 n }. 1.18 Aufgabe. Entscheiden Sie, für welche n ∈ N die folgende Ungleichung gilt: 2 n ≥ n 2 . Beweisen Sie Ihre Vermutung. 1.19 Aufgabe. Es sei I ⊂ R ein beschränktes und nichtleeres Intervall. Zeigen Sie, dass es Zahlen a, b ∈ R gibt mit a ≤ b und I = [a, b] oder I = [a, b) oder I = (a, b] oder I = (a, b). 1.20 Aufgabe. Es sei n ∈ N \ {0} und a1, a2, . . . , an ∈ R. Zeigen Sie: |a1| − |a2| − . . . − |an| ≤ |a1 + a2 + . . . + an| ≤ |a1| + |a2| + . . . + |an|.
Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte 25 2 Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte 2.1 Definition. Eine Abbildung a : N → R, n 7→ a(n) =: an, heißt Folge reelle Zahlen oder auch Zahlenfolge. Man schreibt dafür auch (an)n∈N oder (a0, a1, a2, . . .) oder auch nur (an). Die Elemente einer solchen Folge heißen auch Folgenglieder. Folgen können auch mit einem anderen Index als 0 beginnen, und für k ∈ Z sei (an)n≥k := (ak , ak+1 , . . .) 2.2 Beispiel. i) (an) := (0, 1, 4, 9, 16, . . .) mit an := n 2 ist die Folge der Quadratzahlen. ii) (an) := (1, −1, 1, −1, . . .) mit an := (−1) n ist eine alternierende Folge. iii) (an)n≥1 := (1, 1 2 , 1 3 , . . .) mit an := 1 n heißt harmonische Folge. iv) Für q ∈ R heißt (an) := (1, q, q 2 , q 3 , . . .) mit an := q n geometrische Folge. v) Für a ∈ R heißt (an) := (a, a, a, . . .) mit an := a konstante Folge. vi) Sei a0 := 0, a1 := 1 und für n ≥ 2 sei an := an−1 + an−2. Dadurch wird rekursiv die Folge (an)n∈N der Fibonacci-Zahlen definiert: Leonardo Fibonacci, Leonardo of Pisa, 1170-ca.1240 (an) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .). 2.1 Der Grenzwertbegriff 2.3 Definition. Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. i) (an) heißt konvergent gegen ein a ∈ R, falls zu jedem ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so daß für alle n ∈ N mit n ≥ nϵ gilt: |an − a| < ϵ. Ein solches a ∈ R heißt Grenzwert (oder Limes) von (an) und man schreibt limn→∞ an = a oder an → a für n → ∞. ii) Ein Folge, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent. Andernfalls heißt sie divergent. iii) Ist limn→∞ an = 0, dann heißt (an) Nullfolge. 2.4 Bemerkung. Nach Definition konvergiert eine Folge (an)n∈N genau dann gegen a ∈ R, wenn zu jeden ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so dass für alle n ≥ nϵ gilt an ∈ Uϵ(a) = (a − ϵ, a + ϵ). In Worten: In jeder ϵ-Umgebung von a liegen bis auf endliche viele Ausnahmen alle Folgegliedern von (an). Dies wird auch beschrieben mit fast alle Folgenglieder liegen in jeder ϵ-Umgebung von a. “fast alle” = “bis auf endlich viele”
26 2.2 Das Rechnen mit konvergenten Folgen 2.5 Beispiel. i) (an) := (0, 1, 4, 9, 16, . . .) mit an := n 2 ist divergent: Angenommen (an) ist konvergent gegen ein a ∈ R. Dann gibt es insbesondere für ϵ = 1 > 0 ein n1 ∈ N mit |an − a| = |n 2 − a| < 1 für alle n ≥ n1. Insbesondere gilt dann (siehe Proposition 1.45) n ≤ n 2 < 1 + |a| für alle n ≥ n1, und dies widerspricht Satz 1.30. ii) (an) := (1, −1, 1, −1, . . .) mit an := (−1) n ist divergent: Angenommen (an) ist konvergent gegen ein a ∈ R. Dann gibt es insbesondere für ϵ = 1 > 0 ein n1 ∈ N mit |an − a| = |(−1) n − a| < 1 für alle n ≥ n1. Insbesondere gilt dann für ungerade n ≥ n1: | − 1 − a| < 1 also a ∈ (−2, 0) wie auch für gerade n ≥ n1: |1 − a| < 1 also a ∈ (0, 2). iii) Die harmonische Folge (an)n≥1 := (1, 1 2 , 1 3 , . . .) mit an := 1 n ist konvergent mit Grenzwert 0. Also 2.6 Proposition. limn→∞ 1 n = 0. iv) Sei q ∈ R. Die geometrische Folge (an) := (1, q, q 2 , q 3 , . . .) mit an := q n konvergiert gegen 0 für |q| < 1, gegen 1 für q = 1 und für alle anderen Werte von q ist sie divergent. Wir zeigen hier nur (vg. Übungsaufgabe 2.1). 2.7 Proposition. Sei q ∈ R, |q| < 1. Dann gilt limn→∞ q n = 0. v) Für a ∈ R konvergiert die konstante Folge an = a gegen a. vi) Die Folge der Fibonacci-Zahlen a0 := 0, a1 := 1 und an := an−1 + an−2 für n ≥ 2 ist divergent. 2.8 Satz. Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen. 2.9 Satz. Eine Folge reeller Zahlen hat höchstens einen Grenzwert. (an)n∈N ist also genau dann be- 2.10 Definition. Eine Folge (an)n∈N heißt beschränkt, falls die Menschränkt, falls es ein M ∈ R gibt mit |an| ≤ M für alle n ∈ N. ge {an : n ∈ N} beschränkt ist. Unbeschränkte, d.h. nicht beschränkte Folgen sind also divergent. 2.11 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung gilt i.A. nicht, z.B., an = (−1) n .
2.2 Das Rechnen mit konvergenten Folgen 27 2.2 Das Rechnen mit konvergenten Folgen (an)n∈N konvergiert gegen a ∈ R genau dann, wenn (an − a)n∈N eine Nullfolge ist. 2.12 Satz. Sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine beschränkte Folge. Dann ist (an bn) eine Nullfolge. 2.13 Satz. Seien (an),(bn) konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b, und sei c ∈ R. Dann gilt: i) (an + bn) ist konvergent, und es gilt limn→∞(an + bn) = a + b. ii) (c an) ist konvergent, und es gilt limn→∞(c an) = c a. iii) (an bn) ist konvergent, und es gilt limn→∞(an bn) = a b. iv) Ist bn ̸= 0 für n ∈ N und auch b ̸= 0, dann ist an bn konvergent, und es gilt limn→∞ an bn = a b . limn→∞ 5n 3 − 7n + 100 2n 3 + 8n 2 = limn→∞ 5 − 7 1 n 2 + 100 1 n 3 2 + 8 1 n = 5 2 . (Siehe auch Übung 2.2.) 2.14 Satz. Seien (an),(bn) konvergente Folgen. i) Sei an ≤ bn für fast alle n ∈ N, d.h., es gibt ein n0 ∈ N mit an ≤ bn für alle n ≥ n0. Dann gilt Die Folgen an = 1 − 1 n und bn = 1 zeigen, dass aus an < bn nicht folgt limn→∞ an < limn→∞ bn! limn→∞ an ≤ limn→∞ bn. ii) Seien α, β ∈ R mit an ≤ α und bn ≥ β für fast alle n ∈ N. Dann gilt limn→∞ an ≤ α und limn→∞ bn ≥ β. iii) Sei a = limn→∞ an = limn→∞ bn, und sei (cn) eine weitere Folge mit an ≤ cn ≤ bn für fast alle n ∈ N. Dann konvergiert auch (cn), und es gilt limn→∞ cn = a. 2.15 Satz. Sei (an) eine konvergente Folge, und sei limn→∞ an = a. Dann ist auch (|an|) konvergent, und es gilt limn→∞ |an| = |a|. 2.3 Konvergenzkriterien 2.16 Definition. Sei (an)n∈N eine reelle Zahlenfolge. i) (an) heißt monoton wachsend, falls an+1 ≥ an für alle n ∈ N. Gilt sogar an+1 > an für alle n ∈ N, dann heißt die Folge streng monoton wachsend. an = n n+1 ist streng monoton wachsend. ii) (an) heißt monoton fallend, falls an+1 ≤ an für alle n ∈ N. Gilt sogar an+1 < an für alle n ∈ N, dann heißt die Folge streng monoton fallend. an = n+1 n für n ≥ 1 ist streng monoton fallend. iii) (an) heißt (streng) monoton, falls (an) (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Falls steigend gegen sup{an : n ∈ N}, 2.17 Satz [Monotonieprinzip]. Eine monotone und beschränkte Folge falls fallend gegen inf{an : n ∈ N}. konvergiert.
28 2.3 Konvergenzkriterien Z.B. a = 2, r0 = 1, 2.18 Satz. Sei a > 0. Sei r0 ∈ R>0 beliebig und für n ∈ N sei r1 = 3 2 = 1.5 r2 = 17 12 = 1.41666667 r3 = 577 408 = 1.414215686 r4 = 665857 470832 = 1.414213562 rn+1 := 1 2 rn + a rn . Dann ist (rn) konvergent und r := limn→∞ rn ist die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung x2 = a, die wir im folgenden mit √ a bezeichnen. Für a ∈ R gilt √ a 2 = |a|. 2.19 Bemerkung. Existenz und Eindeutigkeit k-ter Wurzeln √k a für Für 0 < a < b ist a > 0 und k ∈ N≥2 kann anlog mit der Folge √k a < √k b. rn+1 := 1 k (k − 1)rn + a r k−1 n . bewiesen werden. 2.20 Definition [Teilfolge]. Sei (an)n∈N eine Folge und sei (nk )k∈N eine streng monoton wachsende Folge mit nk ∈ N für alle k ∈ N. Dann heißt die Folge (ank ) Sei an := (−1) k∈N eine Teilfolge von (an). n , und sei nk := 2k, mk := 2k + 1. Dann ist (ank ) = (−1) 2k = 1 und (amk ) = (−1) 2k+1 = −1. 2.21 Proposition. Sei (an)n∈N eine konvergente Folge. Dann ist jede Teilfolge (ank )k∈N konvergent, und es gilt limk→∞ ank = limn→∞ an. 2.22 Lemma. Jede Folge (an)n∈N enthält eine monotone Teilfolge. Bernard Bolzano, 1781–1848. Karl Weierstraß, 1815–1897. 2.23 Satz [Satz von Bolzano-Weierstraß]. Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857. 2.24 Definition. Eine Folge (an)n∈N heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so dass für alle n, m ≥ nϵ gilt |an − am| < ϵ. 2.25 Proposition. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. 2.26 Satz. Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert. 2.27 Beispiel. Für n ∈ N≥1 sei an := ∑ n k=1 1 k . Diese Folge ist divergent; denn sei ϵ0 := 1 2 . Es gilt für jedes n ∈ N≥1, dass |a2n − an| = 2n ∑ k=n+1 1 k > 2n ∑ k=n+1 1 2n = 1 2 . Zu jedem n0 gibt es also m, n > n0 mit |am − an| > ϵ0. Also ist (an) keine Cauchy-Folge und demnach nicht konvergent. 2.28 Satz. Seien In := [an, bn] Intervalle mit an < bn für alle n ∈ N, Ein “Folge” von Intervallen In, die und es sei i) und ii) erfüllen, nennet man auch Intervallschachtelung. i) In+1 ⊆ In für alle n ∈ N,
2.4 Häufungspunkte einer Zahlenfolge, Limes superior, Limes inferior 29 ii) limn→∞(bn − an) = 0. Dann gibt es genau ein a ∈ R mit \ n∈N In = {a}. Insbesondere ist limn→∞ an = a = limn→∞ bn. −3 und 3 sind Häufungspunkte von an = (−1) n 3n−6 n . −3 und 3 sind Häufungspunkte von bn = (−1) n 3 n+1 n . 2.4 Häufungspunkte einer Zahlenfolge, Limes superior, Limes inferior 2.29 Definition. Sei (an)n∈N eine Folge. a ∈ R heißt Häufungspunkt von (an)n∈N, falls es eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N von (an)n∈N gibt mit limk→∞ ank = a. Nach Proposition 2.21 hat jede konvergente Folge nur ihren Grenzwert als einzigen Häufungspunkt. 2.30 Satz. Sei (an)n∈N eine Folge. a ∈ R ist genau dann Häufungspunkt von (an), falls es für alle ϵ > 0 unendlich viele an gibt mit |an − a| < ϵ. 2.31 Definition. Sei (an)n∈N eine beschränkte Folge. i) lim supn→∞ an := limk→∞(sup{an : n ≥ k}) heißt Limes superior von (an). (sup{an : n ≥ k})k∈N ist eine beschränkte, monoton fallende Folge, und (inf{an : n ≥ k})k∈N ist eine beschränkte, monoton steigende Folge. Also existieren beide Grenzwerte. ii) lim infn→∞ an := limk→∞(inf{an : n ≥ k}) heißt Limes inferior von (an). Im Allgemeinen ist sup{an : n ∈ N} ̸= lim supn→∞ an. 2.32 Satz. Sei (an)n∈N eine beschränkte Folge und a ∈ R. i) Es ist a = lim supn→∞ an genau dann, wenn für alle ϵ > 0 gilt: a) an < a + ϵ für fast alle n ∈ N, und b) an > a − ϵ für unendlich viele n ∈ N. Insbesondere ist lim supn→∞ an der größte Häufungspunkt von (an). ii) Es ist a = lim infn→∞ an genau dann, wenn für alle ϵ > 0 gilt: a) an > a − ϵ für fast alle n ∈ N, und b) an < a + ϵ für unendlich viele n ∈ N. Insbesondere ist lim infn→∞ an der kleinste Häufungspunkt von (an). 2.33 Korollar. Sei (an)n∈N eine beschränkte Folge. Dann ist (an) genau dann konvergent, wenn lim sup n→∞ an = lim inf n→∞ an.
30 2.5 Uneigentliche Grenzwerte 2.5 Uneigentliche Grenzwerte 2.34 Definition. Sei (an)n∈N eine Folge. Sie heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen ∞ (bzw. −∞) falls es zu jedem M ∈ R ein nM ∈ N gibt mit an > M (bzw. an < M) für alle n ≥ nM. In diesem Fall heißt ∞ (bzw. −∞) auch uneigentlicher Grenzwert und man schreibt limn→∞ an = ∞ (bzw. limn→∞ an = −∞). 2.35 Lemma. Sei (an)n∈N bestimmt divergent, und sei an ̸= 0 für alle Die Umkehrung gilt i.A. nicht, z.B. n ∈ N. Dann ist (1/an)n∈N eine Nullfolge. an = (−1) n 1 n+1 . 2.36 Bemerkung. Sei (an)n∈N eine Folge. i) Sei (an) nach oben beschränkt. Dann ist (sup{an : n ≥ k})k∈N eine wohldefinierte Folge reeller Zahlen, die monoton fallend ist. Entweder konvergiert sie, oder sie ist bestimmt divergent gegen −∞, und in dem Fall schreiben wir lim sup n→∞ an = −∞. ii) Sei (an) nach unten beschränkt. Dann ist (inf{an : n ≥ k})k∈N eine wohldefinierte Folge reeller Zahlen, die monoton steigend ist. Entweder konvergiert sie, oder sie ist bestimmt divergent gegen ∞, und in dem Fall schreiben wir lim inf n→∞ an = ∞. iii) Ist (an) nicht nach oben beschränkt, dann setzen wir lim supn→∞ an = ∞, und ist (an) nicht nach unten beschränkt, dann setzen wir lim infn→∞ an = −∞.
2.6 Aufgaben 31 2.6 Aufgaben 2.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass für q = −1 oder |q| > 1 die geometrische Folge (q n )n∈N divergiert. 2.2 Aufgabe. Seien k, l ∈ N, p0, . . . , pk , q0 . . . , ql ∈ R mit pk , ql ̸= 0. Zeigen Sie limn→∞ pk n k + pk−1n k−1 + · · · + p1 n + p0 ql n l + ql−1n l−1 + · · · + q1 n + q0 = 0, l > k, pk ql , l = k, ∞, l < k und pk ql > 0, −∞, l < k und pk ql < 0. 2.3 Aufgabe. Gibt es nach unten beschränkte Folgen mit nur einem Häufungspunkt, die nicht konvergent sind? 2.4 Aufgabe. i) Für m ∈ N≥1 bestimmen Sie eine beschränkte Folge mit genau m Häufungspunkten. ii) Bestimmen Sie eine Folge mit unendlich vielen Häufungspunkten. 2.5 Aufgabe. Seien (an)n∈N,(bn)n∈N beschränkte Folgen. Zeigen Sie: i) lim sup an = − lim inf(−an). ii) lim sup(an + bn) ≤ lim sup an + lim sup bn. iii) Sind an, bn ≥ 0 für alle n ∈ N, dann gilt lim sup(an bn) ≤ (lim sup an) (lim sup bn). 2.6 Aufgabe. Man zeige: limn→∞ √n n = 1 = limn→∞ n r 1 n . Hinweis: Man benutze den binomischen Lehrsatz um zu zeigen √n n ≤ 1 + 2/√ n. 2.7 Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Grenzwerte: i) an = 2 n (n+1)! , ii) bn = 1 − (−1) n ·n n 2+1 , iii) cn = √ n( √ n + 1 − √ n). 2.8 Aufgabe. Sei M ⊆ R eine nichtleere und beschränkte Menge. Zeigen Sie, dass monotone Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N in M existieren, d.h. an, bn ∈ M für alle n ∈ N, so dass limn→∞ an = sup M, limn→∞ bn = inf M.
32 2.6 Aufgaben 2.9 Aufgabe. Die Folge (an)n∈N sei rekursiv definiert durch a0 = 1, a1 = 2, und an+2 = 1 3 an+1 + 1 2 an für n ∈ N. Entscheiden Sie, ob die Folge (an)n∈N konvergent ist. Berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. 2.10 Aufgabe. Es sei (an)n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert a ∈ R und π: N → N eine injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass auch die Folge (aπ(n) )n∈N konvergent ist und gegen a konvergiert. 2.11 Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Grenzwerte: i) an = (−1) n ( n 2 ) n 2 für n ≥ 1, ii) bn = 1 3+···+n 3 n 4 für n ≥ 1. 2.12 Aufgabe. Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Jede monoton wachsende Folge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, ist konvergent. 2.13 Aufgabe. Es sei (an)n≥1 eine beliebige Folge und (bn)n≥1 gegeben durch bn = a1 + · · · + an n . i) Zeigen Sie: Wenn (an)n∈N eine Nullfolge ist, dann ist auch (bn)n∈N eine Nullfolge. Anleitung: Zu jedem ε > 0 existiert ein n0 mit |an| < ε für alle n ≥ n0. Man spalte nun für n ≥ n0 die Definition von bn folgendermaßen auf: bn = a0 + · · · + an0 n + an0+1 + · · · + an−1 n . ii) Kann (bn)n∈N konvergieren, wenn (an)n∈N divergent ist? 2.14 Aufgabe. Es sei (an)n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit limn→∞ an+1 an = a. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: i) Wenn a < 1 ist, dann ist (an)n∈N konvergent. Bestimmen Sie den Grenzwert. ii) Wenn a > 1 ist, dann ist (an)n∈N divergent. iii) Wenn a = 1 ist, dann kann (an)n∈N konvergent oder divergent sein. Geben Sie für beide Fälle ein Beispiel an.
Reihen reeller Zahlen 33 3 Reihen reeller Zahlen 3.1 Definition. Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. i) Die Folge (sn)n∈N mit sn := ∑ n k=0 ak heißt (unendliche) Reihe, und wird mit ∞ ∑ k=0 ak bezeichnet. sn heißt auch n-te Partialsumme der Reihe. Entsprechend sind Reihen ∑ ∞ k=m ak definiert mit unterem Index m ∈ Z. ii) Konvergiert die Folge (sn)n∈N so heißt die Reihe ∑ ∞ k=0 ak kon- ∑ ∞ k=0 ak bedeutet also einerseits die Folge der Partialsumme (∑ n k=0 ak )n∈N, und falls diese konvergiert auch den Grenzwert limn→∞ ∑ n k=0 ak . vergent, und im Falle der Konvergenz wird auch der Grenzwert mit ∑ ∞ k=0 ak bezeichnet. ∑ ∞ k=0 ak ist konvergent genau dann, wenn für ein beliebiges k0 ∈ N die Reihe ∑ ∞ k=k0 ak = ∑ ∞ k=0 ak0+k konvergent ist (siehe Übung 3.1). iii) Konvergiert die Reihe nicht, heißt die Reihe divergent, und in Analogie zur Defintion 2.34 heißt sie bestimmt divergent, falls ∑ ∞ k=0 ak = ±∞. ∑ n k=1 1 k 3.2 Beispiel. i) Die Reihe ∑ ∞ k=1 1 k heißt harmonische Reihe und ist divergent nach Beispiel 2.27. Da die Folge der Partialsummen monoton wachsend ist, muss die Folge unbeschränkt sei. Also ∑ ∞ k=1 1 k = ∞, und die harmonische Reihe ist bestimmt divergent. ii) Für q ∈ R heißt ∑ ∞ k=0 q k geometrische Reihe. 3.3 Proposition. Für |q| < 1 ist ∑ n k=0 q k konvergent, und es gilt Beachte, dass (1 − q) ∑ n k=0 q k = ∑ n k=0 (q k − q k+1 ) = 1 − q n+1 . Solch eine Summe nennt man auch Teleskopsumme. ∞ ∑ k=0 q k = 1 1 − q . Sei k0 ∈ N, |q| < 1, dann ist ∑ ∞ k=k0 q k = q k0 1−q . iii) Die Reihe ∑ ∞ k=1 1 k(k+1) heißt auch Teleskop-Reihe. ∑ n k=1 1 k(k+1) 3.4 Proposition. Es ist ∑ ∞ k=1 1 k(k+1) konvergent, und es gilt ∞ ∑ k=1 1 k(k + 1) = 1. 3.5 Satz. Seien ∑ ∞ k=0 ak , ∑ ∞ k=0 bk konvergente Reihen, und sei c ∈ R. Dann gilt: i) ∑ ∞ k=0 (ak + bk ) ist konvergent, und es gilt ∞ ∑ k=0 (ak + bk ) = ∞ ∑ k=0 ak + ∞ ∑ k=0 bk . ii) ∑ ∞ k=0 c ak ist konvergent, und es gilt: ∞ ∑ k=0 c ak = c ∞ ∑ k=0 ak .
34 3.1 Konvergenzkriterien 3.1 Konvergenzkriterien 3.6 Satz. Sei ∑ ∞ k=0 ak Diese Bedingung ist nicht hinreichend, eine konvergente Reihe. Dann ist (an)n∈N eine wie die harmonische Reihe zeigt. Nullfolge. ∑ ∞ k=0 (−1) k k k+10 ist also divergent. 3.7 Satz [Cauchy-Kriterium]. Die Reihe ∑ ∞ k=0 ak ist genau dann konvergent, wenn für alle ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so dass für alle n ≥ m ≥ nϵ gilt n ∑ k=m ak < ϵ. 3.8 Satz. Sei (an)n∈N eine Folge nicht-negativer Zahlen. ∑ ∞ k=0 ak ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. 3.9 Definition. Sei (an)n∈N eine Folge von nicht-negativen (oder nichtpositiven) Zahlen. Die Reihe ∑ ∞ k=0 (−1) k ak heißt alternierende Reihe. 3.10 Satz [Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen]. Sei (an)n∈N eiAlso konvergieren die alternierende ne monoton fallende Nullfolge nicht-negativer Zahlen. Dann konvergiert harmonische Reihe ∑ ∞ k=0 (−1) k 1 k+1 und die Leibniz-Reihe ∑ ∞ k=0 (−1) k 1 2k+1 . die alternierende Reihe ∑ ∞ k=0 (−1) k ak . 3.11 Definition. Eine Reihe ∑ ∞ k=0 ∑ ak heißt absolut konvergent falls ∞ k=0 (−1) k 1 k+1 ist nicht absolut konvergent. ∑ ∞ k=0 |ak | konvergent ist. 3.12 Satz. Eine absolut konvergente Reihe ∑ ∞ k=0 ak ist konvergent, und es gilt ∞ ∑ k=0 ak ≤ ∞ ∑ k=0 ak ≤ ∞ ∑ k=0 |ak |. 3.13 Satz [Umordnungssatz]. Sei ∑ ∞ k=0 ak absolut konvergent, und sei σ : N → N bijektiv. Dann konvergiert auch die (umgeordnete) Reihe ∑ ∞ k=0 aσ(k) Auch die Umordnung konvergiert , und es gilt absolut. ∞ ∑ k=0 aσ(k) = ∞ ∑ k=0 ak . Bernhard Riemann, 1826–1866 3.14 Satz [Riemannscher Umordnungssatz]. Sei ∑ ∞ k=0 ak konvergent, Reihen die konvergent, aber nicht aber nicht absolut konvergent, und sei s ∈ R ∪ {±∞}. Dann gibt es eine absolut konvergent sind, nennt man bedingt konvergent bijektive Abbildung σ : N → N, so dass ∞ ∑ k=0 aσ(k) = s. 3.15 Definition. Seien ∑ ∞ k=0 ak , ∑ ∞ k=0 (∑ bk Reihen. Die Reihe n k=0 ak ) (∑ n k=0 bk ) = ∑ 2n m=0 ∑{l:0≤l,m−l≤n} al bm−l . ∞ ∑ m=0 cm mit cm := m ∑ l=0 al bm−l heißt Cauchy-Produkt der beiden Reihen ∑ ∞ k=0 ak , ∑ ∞ k=0 bk . 3.16 Satz. Seien ∑ ∞ k=0 ak , ∑ ∞ k=0 Siehe auch Übung 3.6 bk absolut konvergente Reihen. . Dann konvergiert das Cauchy-Produkt ∑ ∞ m=0 (∑ m l=0 al bm−l) absolut, und es gilt ∞ ∑ m=0 m ∑ l=0 al bm−l ! = ∞ ∑ k=0 ak ! ∞ ∑ k=0 bk ! .
3.2 Die Exponentialreihe/Exponentialfunktion 35 3.17 Satz [Majorantenkriterium]. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine Reihe. Sei ∑ ∞ k=0 bk eine absolut konvergente Reihe mit der Eigenschaft, dass es ein n0 ∈ N, so dass für alle k ≥ n0 gilt Die Reihe ∑ ∞ k=0 bk heißt konvergente Majorante von ∑ ∞ k=0 ak . Insbesondere ist ∞ ∑ k=n0 ak ≤ ∞ ∑ k=n0 |ak | ≤ ∞ ∑ k=n0 bk . |ak | ≤ bk . Dann konvergiert ∑ ∞ k=0 ak absolut. Sei l ∈ N, l ≥ 2. Die Reihe ∑ ∞ k=1 1 k l ist absolut konvergent. 3.18 Korollar [Minorantenkriterium]. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine Reihe. Sei ∑ ∞ k=0 ck , ck ≥ 0, eine divergente Reihe mit der Eigenschaft, dass es ein n0 ∈ N, so dass für alle k ≥ n0 gilt Die Reihe ∑ ∞ k=0 ck heißt divergente Minorante von ∑ ∞ k=0 ak . ∑ ∞ k=0 √1 k c ist divergent. k ≤ ak . Dann ist auch die Reihe ∑ ∞ k=0 ak divergent. 3.19 Satz [Wurzelkriterium]. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine Reihe, und sei q := lim sup k→∞ k q |ak | ∈ R ∪ {∞}. i) Ist q < 1, dann ist die Reihe ∑ ∞ k=0 ak absolut konvergent. Für den Fall q = 1 ist keine Aussage möglich (siehe Aufgabe 2.6): lim sup k→∞ k r 1 k = 1 = lim sup k→∞ k r 1 k 2 . ii) Ist q > 1 oder q = ∞, dann ist die Reihe ∑ ∞ k=0 ak divergent. 3.20 Bemerkung. Eine äquivalente Formulierung ist: i) Gibt es ein q < 1 und ein k0 ∈ N mit pk |ak | < q für alle k ≥ k0, dann ist ∑ ∞ k=0 ak absolut konvergent. ii) Gibt es ein q > 1 mit pk |ak | > q für unendlich viele k ∈ N, dann ist ∑ ∞ k=0 ak divergent. 3.21 Satz [Quotientenkriterium]. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine Reihe mit ak ̸= 0 für alle k ∈ N. Siehe auch Übung 3.2. i) Gibt es ein q < 1 und ein k0 ∈ N mit |ak+1 | |ak | ≤ q für alle k ≥ k0, dann ist ∑ ∞ k=0 ak absolut konvergent. Sei a2k := 2 −2k und a2k+1 := 2 −(2k−1) für k ∈ N. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich nicht entscheiden, ob ∑ ∞ k=0 ak konvergiert, aber mit dem Wurzelkriterium. ii) Gibt es ein k0 ∈ N mit |ak+1 | |ak | ≥ 1 für alle k ≥ k0, dann ist ∑ ∞ k=0 ak divergent. 3.2 Die Exponentialreihe/Exponentialfunktion 3.22 Korollar. Sei x ∈ R. Die Reihe ∞ ∑ k=0 x k k! ist absolut konvergent und heißt Exponentialreihe für x. Leonhard Euler, 1707–1783 3.23 Definition [Exponentialfunktion]. Die Abbildung exp : R → R mit exp(x) := ∞ ∑ k=0 x k k!
36 3.3 b-adische Brüche heißt Exponentialfunktion. Die Zahl e := exp(1) = ∞ ∑ k=0 1 k! heißt Eulersche Zahl. 0 < e − ∑ 3.24 Lemma. Sei x ∈ R und m ∈ N mit m ≥ 2(|x| − 1). Dann gilt 10 k=0 1 k! ≤ 2 11! < 10−7 . Also e = 2.7182818... + ϵ mit 0 < ϵ < 10−7 . exp(x) − m ∑ k=0 x k k! ≤ 2 |x| m+1 (m + 1)! . 3.25 Satz [Funktionalgleichung der Exponentialfunktion]. Für alle x, y ∈ R gilt exp(x) exp(y) = exp(x + y). 3.26 Korollar. Sei x ∈ R, und sei m ∈ Z. Dann gilt: i) exp(0) = 1. ii) exp(−x) = 1 exp(x) . iii) exp(x) > 0. iv) exp(m) = e m. 3.3 b-adische Brüche 3.27 Definition. Sei b ∈ N≥2. Eine Reihe der Form ± ∞ ∑ k=−n ak b −k mit n ∈ N, ak ∈ {0, . . . , b − 1} für k ≥ −n heißt b-adischer Bruch. Man schreibt dafür auch ±(a−na−n+1 . . . a−1a0.a1a2 . . .)b Für b = 10 sagt man auch Dezimal- b heißt Basis des Bruchs, die Elemente {0, . . . , b − 1} Ziffern. bruch. 3.28 Lemma. Sei b ∈ N≥2. Jeder b-adische Bruch ist absolut konvergent. 3.29 Definition. Für x ∈ R sei i) ⌊x⌋ := max{n ∈ N : n ≤ x} (Abrundungsfunktion), ii) ⌈x⌉ := min{n ∈ N : n ≥ x} (Aufrundungsfunktion). (x − ⌊x⌋),(⌈x⌉ − x) ∈ [0, 1). 3.30 Satz. Sei b ∈ N≥2. Jedes x ∈ R lässt sich als b-adischer Bruch darstellen. (Diese Darstellung ist eindeutig, falls verlangt wird, dass a−n ̸= 0 (falls n ≥ 1) und für unendlich viele ak gilt ak ∈ {0, . . . , b − 2}.) 0.9 = 0.999 · · · = ∞ ∑ k=1 9 · 10−k = 9 ∞ ∑ k=1 10−k = 9 1 9 = 1.
3.4 Abzählbarkeit 37 3.4 Abzählbarkeit 3.31 Definition. Seien X,Y Mengen. i) X und Y heißen gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung ϕ : X → Y gibt. ii) X heißt endlich, falls es eine n ∈ N gibt, so dass X und {1, . . . , n} gleichmächtig sind. In diesem Fall heißt |X| := n die Mächtigkeit von X. Ist X nicht endlich, dann heißt X unendlich. iii) X heißt abzählbar, falls es eine surjektive Abbildung ϕ : N → X Jede Teilmenge von N ist abzählbar, insbesondere jede endliche Menge. gibt. Andernfalls heißt X überabzählbar. Z ist abzählbar, z.B. mit ϕ(2k) = k und ϕ(2k − 1) = −k. iv) X heißt abzählbar unendlich, falls X abzählbar und unendlich. 3.32 Satz. Die Menge N2 = {(x, y) : x, y ∈ N} ist abzählbar. 3.33 Korollar. Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar. Sind also An, n ∈ N, abzählbare Mengen, dann ist auch S n∈N An abzählbar. 3.34 Korollar. Q ist abzählbar. 3.35 Satz. [0, 1] ist überabzählbar. 3.36 Korollar. i) R ist überabzählbar. Die einfache Kontinuumshypothese besagt, dass jede unendliche Teilmenge von R entweder gleichmächtig zu R oder zu N ist. Die Kontinuumshypothese ist unentscheidbar (im Zermelo-Fraenkel Axiomensystem der Mengenlehre). ii) R \ Q ist überabzählbar. 3.37 Definition. Die Menge R \ Q heißt die Menge der irrationalen Zahlen. 3.38 Definition. Die Menge { √q : q ∈ Q} ⊂ A. A := {x ∈ R : es gibt n ∈ N≥1 und a0, . . . , an ∈ Z, an ̸= 0, mit n ∑ i=0 aix i = 0} heißt Menge der algebraischen Zahlen. R \ A ist der Menge der transzendenten Zahlen. Es ist bekannt, dass z.B. e, π, sin(1) transzendent sind. 3.39 Satz. A ist abzählbar und R \ A ist überabzählbar.
38 3.5 Aufgaben 3.5 Aufgaben 3.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die Reihe ∑ ∞ k=0 ak genau dann konvergent ist, wenn für ein beliebiges k0 ∈ N die Reihe ∑ ∞ k=k0 ak = ∑ ∞ k=0 ak0+k konvergent ist. 3.2 Aufgabe. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine Reihe mit ak ̸= 0 für k ∈ N. Zeigen Sie: i) Gilt lim supk→∞ |ak+1 | |ak | < 1, so ist ∑ ∞ k=0 ak absolut konvergent. ii) Gilt lim infk→∞ |ak+1 | |ak | > 1, so ist ∑ ∞ k=0 ak divergent. 3.3 Aufgabe. Zeigen Sie, dass für k ∈ N die Menge Nk abzählbar ist. 3.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die Menge der algebraischen Zahlen A := {x ∈ R : es gibt n ∈ N≥1 und a0, . . . , an ∈ Z, an ̸= 0, mit n ∑ i=0 aix i = 0} abzählbar ist. Hierzu müssen/dürfen Sie benutzen, dass für feste a0, . . . , an ∈ R, an ̸= 0, es höchstens n reelle Zahlen x gibt mit ∑ n i=0 aix i = 0. 3.5 Aufgabe. Seien a, b reelle Zahlen, a < b. Zeigen Sie: i) Es gibt eine Bijektion zwischen [0, 1] und [a, b]. ii) g : R → (1, −1) mit g(x) = x 1+x 2 ist bijektiv. iii) Es gibt eine Bijektion von [0, ∞) auf [0, 1). 3.6 Aufgabe. Seien ∑ ∞ k=0 ak und ∑ ∞ k=0 bk absolut konvergente Reihen. Sei ϕ : N → N × N bijektiv, und sei ϕ(k) = (ϕ(k)1, ϕ(k)2). Die Reihe ∞ ∑ k=0 aϕ(k)1 bϕ(k)2 heißt Produktreihe von ∑ ∞ k=0 ak und ∑ ∞ k=0 bk . Zeigen Sie, dass ∑ ∞ k=0 aϕ(k)1 bϕ(k)2 absolut konvergiert mit ∞ ∑ k=0 aϕ(k)1 bϕ(k)2 = ∞ ∑ k=0 ak ! ∞ ∑ k=0 bk ! . 3.7 Aufgabe. Sei ∑ ∞ k=0 ak eine konvergente Reihe und sei (nk )k∈N, nk ∈ N, eine streng monoton wachsende Folge. Sei b0 := a0 + · · · + an0 und bj := anj−1+1 + · · · + anj , j ≥ 1. Zeigen Sie, dass ∑ ∞ k=0 bk konvergiert, und es ist ∑ ∞ k=0 bk = ∑ ∞ k=0 ak . 3.8 Aufgabe. Zeigen Sie, dass jede abzählbare Menge gleichmächtig zu einer Teilmenge von N ist. 3.9 Aufgabe.
3.5 Aufgaben 39 i) Sei k ∈ N. Zeigen Sie, dass Nk abzählbar ist. ii) Zeigen Sie, dass {0, 1}N = {(an)n∈N : an ∈ {0, 1} für n ∈ N} überabzählbar ist. 3.10 Aufgabe. Entscheiden Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, ob die folgenden Reihen konvergent oder divergent sind: i) an := ∑ n k=1 1 k 2 , ii) bn := ∑ n k=1 (−1) k k! . 3.11 Aufgabe. Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge nichtnegativer reeller Zahlen. i) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑ ∞ k=1 ak genau dann konvergent ist, wenn die Reihe ∑ ∞ k=1 2 k a2 k konvergent ist. ii) Untersuchen Sie mit Hilfe des Kriteriums aus i) das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ ∞ k=1 1 k q in Abhängigkeit von q ∈ Q≥0. 3.12 Aufgabe. Beweisen Sie folgende Aussagen. i) Es seinen (an) und (bn) zwei Folgen reeller Zahlen. Aus der Konvergenz der beiden Reihen ∞ ∑ k=0 a 2 k und ∞ ∑ k=0 b 2 k folgt stets die Konvergenz der Reihe ∑ ∞ k=0 akbk . ii) Es sei an eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, sodass die dazugehörige Reihe ∑ ∞ k=0 ak konvergiert. Zeigen Sie mit der in i) bewiesenen Aussage, dass auch die Reihe ∞ ∑ k=1 √ ak k konvergiert. 3.13 Aufgabe. Es sei A ⊂ [0, ∞) überabzählbar. Zeigen Sie, dass eine Folge (an)n ⊆ A existiert mit den beiden Eigenschaften: i) Die Folgeglieder von (an) sind paarweise verschieden, d.h. für k ̸= l ist auch ak ̸= al . ii) Die Reihe ∑ ∞ k=0 ak ist divergent. 3.14 Aufgabe. Beweisen Sie, dass die Folge an := (1 + 1 n ) n , n ∈ N, konvergent ist mit Grenzwert limn→∞ an = e. Hinweis: Verwenden Sie die Bernoullische Ungleichung um zu zeigen, dass die Folge streng monoton wachsend ist. 3.15 Aufgabe. Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Es gibt eine überabzählbare Familie (Uj)j∈J von offenen, nicht leeren Intervallen die paarweise disjunkt sind, d.h. für alle i, j ∈ J mit i ̸= j gilt Ui ∩ Uj = ∅.
40 Stetigkeit 4 Stetigkeit 4.1 Funktionen 4.1 Definition. Sei D ⊂ R. Eine (reellwertige) Funktion auf D ist Siehe Definition 0.24. eine Abbildung f : D → R. 4.2 Definition. Sei D ⊂ R. f , g : D → R Funktionen, und c ∈ R. i) f + g : D → R ist definiert durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) für Die Menge aller Funktionen auf D alle x ∈ D. bilden eine R-Vektorraum (sogar eine R-Algebra). ii) f · g : D → R ist definiert durch (f · g)(x) := f(x) g(x) für alle x ∈ D. f − g := f + (−1)g. iii) c f : D → R ist definiert durch (c f)(x) := c · f(x) für alle x ∈ D. iv) Sei D := {x ∈ R : g(x) ̸= 0}. f g : D → R ist definiert durch f g (x) := f(x) g(x) für alle x ∈ D. v) f , g : D → R heißen gleich auf D, falls f(x) = g(x) für alle x ∈ D. Man schreibt dann f = g. vi) idD : D → R mit idD(x) = x für alle x ∈ D ist die identische Funktion oder Identität auf D. 4.3 Definition. i) Seinen n ∈ N, und seien a0, . . . , an ∈ R. Die Funktion p : R → R mit p(x) = n ∑ k=0 ak x k heißt Polynomfunktion. a) Ist mindestens ein ak ̸= 0, dann heißt grad(p) := max{k : ak ̸= 0} der Grad von p. b) Für n ∈ N sei Pn := {p : R → R : p Polynom und grad(p) ≤ n}. ii) Seien p, q ∈ Pn. D := {x ∈ R : q(x) ̸= 0}. Dann heißt p q : D → R rationale Funktion. x 3−2x+1 x 2−1 : R \ {−1, 1} → R ist eine rationale Funktion. 4.2 Stetige Funktionen 4.4 Definition. Sei D ⊆ R und f : D → R eine Funktion. i) Sei a ∈ D. f heißt stetig in a, falls für jede Folge (xn)n∈N mit Statt xn ∈ D für alle n ∈ N schreibt a) xn ∈ D für alle n ∈ N, und man auch abkürzend (xn) ⊆ D. b) limn→∞ xn = a gilt Es gilt also limn→∞ f(xn) = f limn→∞ xn . Bei stetigen Funktionen können Grenzwertbildung und Funktionsauswertng vertauscht werden. Man nennt dies auch Folgenstetigkeit. limn→∞ f(xn) = f(a).
4.2 Stetige Funktionen 41 ii) f heißt stetig (oder stetige Funktion), falls f in allen a ∈ D stetig ist. 4.5 Beispiel. i) Für jedes c ∈ R ist die konstante Funktion f : R → R mit f(x) = c stetig. ii) idR ist stetig. iii) f : R → R mit f(x) = |x| ist stetig. iv) f : R → R mit f(x) = 1, x = 0, 0, x ̸= 0 ist nicht stetig in 0, aber sonst überall. v) f : (−∞, −1] ∪ {0} ∪ [1, ∞) → R mit f(x) = 1, x = 0, 0, x ̸= 0 ist stetig. 4.6 Satz. Sei D ⊆ R. Seien f , g : D → R stetig in a ∈ D. Dann sind auch die Funktion f + g, f · g, c f stetig in a. Gilt g(a) ̸= 0, dann ist auch f g stetig in a. f : R \ {0} → R mit x 7→ 1 x ist stetig. 4.7 Korollar. Alle Polynomfunktionen und rationale Funktionen sind stetig. 4.8 Satz. Seien D, D ⊆ R, f : D → R und g : D → R Funktionen, und es sei f(D) ⊆ D. Sei f stetig in a ∈ D und g stetig in f(a). Dann f : R \ {0} → R mit x 7→ 1 |x| ist stetig. ist auch die Komposition (siehe Def. 0.25) g ◦ f : D → R mit x 7→ g(f(x)) stetig in a. 4.9 Satz. Die Exponentialfunktion exp : R → R mit x 7→ ∑ ∞ k=0 x k k! ist stetig. 4.10 Satz [ϵ, δ–Kriterium der Stetigkeit]. Sei D ⊆ R, und sei f : D → R eine Funktion. f ist genau dann stetig in a ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ = δ(ϵ, a) > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D mit |x − a| < δ gilt Die Notation δ = δ(ϵ, a) besagt, dass δ von ϵ und a abhängen kann, aber zur Vereinfachung bezeichnet man es nur mit δ. | f(x) − f(a)| < ϵ. Oder anders formuliert: f ist genau dann stetig in a ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ = δ(ϵ, a) > 0 gibt mit f(Uδ(a) ∩ D) ⊆ Uϵ(f(a)). Das ϵ, δ–Kriterium der Stetigkeit sagt aus, daß sich die Funktion “beliebig wenig” ändert, falls wir uns nicht zu weit vom vorgegebenen Punkt entfernen.
42 4.3 Zwischenwertsätze für stetige Funktionen 4.11 Korollar. Sei f : D → R stetig in a ∈ D, und sei α ∈ R mit f(a) > α. Dann existiert eine δ–Umgebung Uδ(a), so daß f(x) > α für alle x ∈ Uδ(a) ∩ D. Siehe auch Übung 4.2. 4.12 Korollar. Eine Funktion f : D → R ist genau dann stetig auf D, falls für jede offene Menge H ⊆ R das Urbild f −1 (H) offen bzgl. D ist, d.h., für alle a ∈ f −1 (H) gibt es ein δ > 0 mit Uδ(a) ∩ D ⊆ f −1 (H). 4.3 Zwischenwertsätze für stetige Funktionen 4.13 Satz [Nullstellensatz von Bolzano]. Seien a, b ∈ R, a < b, und sei f : [a, b] → R stetig mit f(a)f(b) < 0. Dann existiert ein x ∈ (a, b) mit f(x) = 0. 4.14 Satz [Zwischenwertsatz von Bolzano]. Seien a, b ∈ R, a < b, und sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an, also [min{ f(a), f(b)}, max{ f(a), f(b)}] ⊆ f([a, b]). 4.4 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen 4.15 Proposition. D ⊆ R ist genau dann abgeschlossen, wenn für alle konvergenten Folgen (xn)n∈N mit xn ∈ D, n ∈ N, gilt: limn→∞ xn ∈ D. 4.16 Definition. D ⊂ R heißt kompakt, falls D abgeschlossen und Ist D kompakt, dann hat jede Folge beschränkt ist. aus D eine konvergente Teilfolge, und der Grenzwert jeder konvergenten Folge aus D liegt in D. 4.17 Proposition. Sei D ⊂ R kompakt. Dann existieren a, b ∈ D mit a = sup D und b = inf D. Für kompakte Teilmengen M ⊂ R existieren als min M und max M. 4.18 Satz. Sei D ⊂ R kompakt und f : D → R stetig. Dann ist f(D) kompakt. 4.19 Satz [Extremalsatz]. Sei D ⊂ R kompakt und f : D → R stetig. Dann besitzt f ein Maximum und ein Minimum auf D, d.h. es existieren f : (0, 1) → R, mit f(x) = 1/x zeigt, x1, x2 ∈ D mit f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) für alle x ∈ D. daß das Bild einer nicht-kompakten Menge unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt zu sein braucht. 4.20 Beispiel. In der ϵ, δ-Beschreibung (Satz 4.10) der Stetigkeit hängt δ i.A. auch von a ab: Sei f : R → R mit f(x) := x 2 . Angenommen, es gibt zu vorgegebenem ϵ für alle a ∈ R ein δ = δ(ϵ), so daß | f(x) − f(a)| < ϵ für alle x mit |x − a| < δ gilt. Also δ soll unabhängig von a sein. Die Wahl von x := a + δ/2 führt zu | f(x) − f(a)| = a · δ + δ 2 4 > ϵ falls etwa a > ϵ δ . 4.21 Definition. Sei D ⊆ R. Eine Funktion f : D → R heißt Jede gleichmäßig stetige Funktion ist gleichmäßig stetig falls für alle ϵ > 0 ein δ = δ(ϵ) existiert mit stetig. | f(x) − f(y)| < ϵ für alle x, y ∈ D mit |x − y| < δ.
4.5 Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen 43 Heinrich Eduard Heine, 1821 –1881 4.22 Satz [Heine]. Sei D ⊂ R kompakt und f : D → R stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig. 4.23 Definition. Sei M ⊆ R, und für jedes x ∈ M sei Ux ⊆ R eine offene Menge mit x ∈ Ux. i) Das Mengensystem U := {Ux : x ∈ M} heißt eine offene Überdeckung von M. ii) Gibt es endlich viele Mengen Ux1 , . . . , Uxl ∈ U mit M ⊆ [ l i=1 Uxi , dann sagt man, dass U eine endliche Teilüberdeckung enthält. 4.24 Beispiel. Für x ∈ R>0 sei Ux := ( 1 2 x, 3 2 x). i) Sei M := (0, 1). U := {Ux : x ∈ M} ist eine offene Überdeckung, enthält aber keine endliche Teilüberdeckung: Sei Ux1 , . . . , Uxl eine endliche Teilüberdeckung mit x1 < x2 < . . . < xl , dann ist 1 3 x1 ∈/ Sl i=1 Uxi . ii) Sei M := [0, 1]. Sei U0 = (−ϵ, ϵ), ϵ > 0, eine offene Umgebung von 0. Dann ist U := {Ux : x ∈ (0, 1]} ∪ U0 eine offene Überdeckung, die eine endliche Teilüberdeckung enthält, z.B. U0 ∪ ( U ( 3 2 ) k ϵ : 3 2 k ϵ ≤ 1 ) . Émile Borel, 1871–1956. 4.25 Satz [Überdeckungssatz von Heine-Borel]. Eine Menge D ⊆ R ist genau dann kompakt, wenn jede ihrer offenen Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung enthält. 4.5 Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen 4.26 Definition. Sei D ⊆ R, und sei f : D → R eine Funktion. i) f heißt monoton steigend, bzw. streng monoton steigend, falls für alle x, y ∈ D mit x < y gilt f(x) ≤ f(y), bzw. f(x) < f(y). ii) f heißt monoton fallend, bzw. streng monoton fallend, falls für alle x, y ∈ D mit x < y gilt f(x) ≥ f(y), bzw. f(x) > f(y). 4.27 Satz [Umkehrsatz für streng monotone Funktionen]. Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei f : I → R eine stetige und streng monoton steigende (oder streng monoton fallende) Funktion. Dann gilt: Siehe auch Übung 4.5 i) f : I → f(I) ist bijektiv, und f(I) ist ein Intervall. ii) Die Umkehrfunktion f −1 : f(I) → I existiert, ist stetig und streng monoton steigend (streng monoton fallend). Sei k ∈ N≥2. Die k-te Wurzelfunktion f : R≥0 → R mit f(x) = √k x ist stetig, da x k stetig und streng monoton wachsend.
44 4.6 Grenzwerte von Funktionen 4.6 Grenzwerte von Funktionen 4.28 Definition. Sei D ⊆ R. a ∈ R heißt Häufungspunkt von D, falls Sei D = [0, 1] ∪ {2}; alle Punkte bis auf es eine Folge (xn)n∈N gibt 2 sind Häufungspunkte von D. i) xn ∈ D \ {a}, n ∈ N, ii) limn→∞ xn = a. 4.29 Satz. Sei D ⊆ R. a ∈ R ist genau dann Häufungspunkt von D, wenn für alle ϵ > 0 die Umgebung Uϵ(a) unendlich viele Elemente von D enthält. 4.30 Definition. Sei D ⊆ R, f : D → R eine Funktion, und sei a ∈ R Häufungspunkt von D. Gibt es ein c ∈ R ∪ {±∞}, so dass für jede(!) Folge (xn)n∈N mit xn ∈ D \ {a}, n ∈ N, und limn→∞ xn = a, gilt limn→∞ f(xn) = c, (4.30.1) Ist D nach oben unbeschränkt, dann dann heißt c der Grenzwert von f an der Stelle a, und wir schreiben schreiben wir limx→∞ f(x) = c, falls für jede gegen ∞ bestimmt divergente Folge xn ∈ D gilt limn→∞ f(xn) = c. Analog für limx→−∞ f(x) = c. limx→a f(x) = c. i) Gilt (4.30.1) für jede gegen a konvergente Folge (xn)n∈N in D \ {a} mit xn > a, dann schreibt man lim x→a+ f(x) = c, und c heißt linksseitiger Grenzwert. ii) Gilt (4.30.1) für jede gegen a konvergente Folge (xn)n∈N in D \ {a} mit xn < a, dann schreibt man lim x→a− f(x) = c, und c heißt rechtsseitiger Grenzwert. 4.31 Satz. Sei D ⊆ R, und sei a ∈ D ein Häufungspunkt von D. Dann Ist a ∈ D kein Häufungspunkt, dann sind äquivalent: ist f stetig in a. i) f ist stetig in a, ii) limx→a f(x) = f(a), iii) limx→a+ f(x) = limx→a− f(x) = f(a). 4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz 4.32 Satz. Die Exponentialfunktion exp : R → R>0 ist stetig, streng monoton wachsend und bijektiv. Die Umkehrfunktion ln := exp−1 : R>0 → R ist stetig und streng monoton wachsend. Sie heißt natürliche Logarithmus.
4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz 45 4.33 Satz. Seien x, y ∈ R>0 und m ∈ Z. Dann gilt: i) ln(1) = 0 und ln(e) = 1. ii) ln(xy) = ln x + ln y. iii) ln( x y ) = ln x − ln y. iv) ln(x m) = m ln x. 4.34 Definition. Sei b > 0. Die Funktion expb : R → R>0 mit x 7→ exp(ln(b) · x) heißt Exponentialfunktion zur Basis b. 4.35 Satz. Sei b > 0, und seien x, y ∈ R und m ∈ Z. Dann gilt: i) expb ist stetig. ii) expb (x + y) = expb (x) expb (y). iii) expb (−x) = 1 expb (x) . iv) expb (m) = b m. v) expb ( m q ) = √q bm für q ∈ N≥1. Für alle b > 0 ist limn→∞ √n b = limn→∞ expb 1 n = 1. 4.36 Definition [Allgemeine Potenz ]. Für b > 0 und x ∈ R sei b x := expb (x) = exp(ln(b) · x). e x = exp(x). 4.37 Satz. Seien b, c > 0, x, y ∈ R, p ∈ Z, q ∈ N≥1. Dann gilt i) b x+y = b x b y . ii) b x · c x = (b c) x . iii) 1 b x = b −x = 1 b x . iv) ln(b x ) = x ln(b). v) (b x ) y = b xy . Beachte −2 = (−8) 1 3 = (−8) 2 6 = √6 64 = 2. Für b < 0 ist b x nur für x ∈ Z definiert. vi) b p q = √q b p . 4.38 Satz. Sei f : R → R eine stetige Funktion mit f(x + y) = f(x)f(y) für alle x, y ∈ R. Dann ist entweder f(x) = 0 für alle x ∈ R oder es ist b := f(1) > 0, und es gilt f(x) = b x für alle x ∈ R.
46 4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz 4.39 Bemerkung. Sei b ∈ R>0, b ̸= 1. Die Funktion R → R>0, x 7→ b x , ist stetig, bijektiv und streng monoton wachsend für b > 1 und streng monoton fallend für b < 1. Die Umkehrfunktion logb = exp−1 b : R>0 → R heißt Logarithmus zur Basis b. Sie ist stetig, und es gilt für alle x ∈ loge (x) = ln(x). R>0 logb (x) = ln(x) ln(b) . 4.40 Satz. Sei b ∈ R>0 und k ∈ N. Dann gilt: i) limx→∞ e x x k = ∞. ii) limx→∞ x k e x = 0. iii) limx→∞ ln x = ∞ und limx→0+ ln x = −∞. iv) Sei ϵ > 0. Dann ist limx→∞ x ϵ ln(x) = ∞. v) limx→0 x b = 0.