4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz 47 Aufgaben 4.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass der Durchschnitt endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen in R sind offen. 4.2 Aufgabe. Sei f : D → R stetig. Dann ist das Urbild f −1 (M) einer abgeschlossenen Mengen M ⊆ R wieder abgeschlossen. 4.3 Aufgabe. Sei D ⊆ R. Man zeige, dass D genau dann abgeschlossen ist, wenn für alle konvergenten Folgen (xn)n∈N mit xn ∈ D für alle n ∈ N gilt: limn→∞ xn ∈ D. 4.4 Aufgabe. Sei D ⊆ R, D ̸= ∅. Dann existieren Folgen (an) und (bn) in D mit limn→∞ an = sup D und limn→∞ bn = inf D. 4.5 Aufgabe. Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R stetig. Zeigen Sie, dass i) f(I) ist ein Intervall. ii) Für I = [a, b] mit a ≤ b, gibt es c, d ∈ R mit c ≤ d, so dass f([a, b]) = [c, d]. 4.6 Aufgabe. Eine Funktion f : D → R heißt Lipschitz stetig in D falls es eine Konstante L ∈ R>0 gibt, so dass für alle x, y ∈ D gilt | f(x) − f(y)| ≤ L |x − y|. Zeigen Sie, dass jede Lipschitz stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist. 4.7 Aufgabe. Prüfen Sie, in welchen Stellen die folgenden Funktionen stetig sind: i) f : R → R mit f(x) := 0 für x = 0, x |x| für x ̸= 0; ii) g : R → R mit g(x) := x 3−1 x−1 falls x ̸= 1, 3 falls x = 1. 4.8 Aufgabe. Es seien f , g : R → R Funktionen und a ∈ R. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen. i) Wenn f und g stetig in a sind, dann ist auch max{ f , g} : x 7→ max{ f(x), g(x)} stetig in a.
48 4.7 Logarithmus und allgemeine Potenz ii) Wenn f · g stetig in a ist, dann sind f und g stetig in a. 4.9 Aufgabe. Die Funktion f : [0, 1] → R sei gegeben durch f(x) := x falls x rational, 1 − x falls x irrational. In welchen Punkten ist f stetig, in welchen nicht? 4.10 Aufgabe. i) Es sei f : R → R stetig und beschränkt. Zeigen Sie, dass ein x ∈ R existiert mit f(x) = x. ii) Es sei f : R → R stetig und f(R) abzählbar. Zeigen Sie, dass f konstant ist. 4.11 Aufgabe. Es sei f : (a, b) → R stetig. Zeigen Sie, dass f genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn es eine stetige Funktion ˜ f : [a, b] → R gibt mit f(x) = ˜ f(x) für alle x ∈ (a, b). 4.12 Aufgabe. Untersuchen Sie die Funktion f : [0, ∞) → R, x 7→ √ x auf Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit. 4.13 Aufgabe. Es seien D ⊆ R und f : D → R gegeben. Untersuchen Sie, welche der folgenden Bedingungen an f hinreichend dafür sind, dass f Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen überführt. i) Stetigkeit, ii) gleichmäßige Stetigkeit, iii) Lipschitz-Stetigkeit. 4.14 Aufgabe. Die Funktionen f : R → R und g : R → R seien definiert durch f(x) = e x − e −x 2 und g(x) = e x + e −x 2 . (4.40.1) i) Bestimmen Sie f(R) und g(R). ii) Zeigen Sie, dass die Funktion f und die Einschränkung g| [0,∞) injektiv sind. Schränken Sie die Bildbereiche geeignet ein, sodass die Funktionen bijektiv werden, und bestimmen Sie dann die beiden Umkehrfunktionen.
Differenzierbare Funktion 49 5 Differenzierbare Funktion 5.1 Definition. Sei D ⊆ R und f : D → R eine Funktion. Für x0 ̸= x1 ∈ D heißt die Gerade sf = sf ,x0,x1 : R → R mit sf (x) := f(x0) + f(x1) − f(x0) x1 − x0 (x − x0) Sekante von f durch die Punkte (x0, f(x0) und (x1, f(x1)), die auf dem Graphen Γf := {(x, f(x)) : x ∈ D} liegen. Die Steigung der Sekante ist Siehe auch Definition 0.24. der Differenzenquotient in [x0, x1] f(x1) − f(x0) x1 − x0 . 5.2 Definition. Sei D ⊆ R und f : D → R eine Funktion. i) Sei x0 ∈ D ein Häufungspunkt von D. f heißt differenzierbar in x0 falls der Grenzwert limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 existiert. In diesem Fall heißt der Grenzwert Ableitung von f in x0 und wird mit f ′ (x0) bezeichnet. Also f ′ (x0) = limx→x0 f(x)−f(x0 ) x−x0 . ii) f heißt differenzierbar in D, falls f in allen x ∈ D differenzierbar ist, und dann heißt die Funktion f ′ : D → R mit x 7→ f ′ (x) Ableitung von f . Ist f differenzierbar in D, dann sind insbesondere alle Punkte von D Häufungspunkte. 5.3 Bemerkung. Für den Grenzwert der Differenzenquotienten schreibt man auch limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h =: d f dx (x0), und nennt dies auch den Differentialquotienten, der im Vergleich zu dem Differenzenquotienten „unendlich kleine“ Veränderungen darstellt. 5.4 Beispiel. i) Sei c ∈ R. f : R → R mit f(x) = c ist differenzierbar, und es ist f ′ (x) = 0. ii) idR : R → R ist differenzierbar, und es ist (idR) ′ (x) = 1. iii) Sei c ∈ R. f : R → R mit f(x) = x 2 ist differenzierbar, und es ist f ′ (x) = 2 x. iv) exp : R → R>0 ist differenzierbar, und es ist exp′ (x) = exp(x). 5.5 Satz [Lineare Approximierbarkeit differenzierbarer Funktionen]. Sei D ⊆ R, f : D → R, und sei x0 ∈ D ein Häufungspunkt. Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent: i) f ist in x0 differenzierbar.
50 Differenzierbare Funktion ii) Es gibt ein m ∈ R und eine Funktion r : D → R, so dass für x ∈ D gilt a) f(x) = f(x0) + m (x − x0) + r(x), b) limx→x0 r(x) x−x0 = 0. Ist einer der beiden Bedingungen i) oder ii) erfüllt, dann ist m = f ′ (x0) und die Gerade Tf ,x0 : R → R mit Tf ,x0 (x) := f(x0) + f ′ (x0) (x − x0) heißt Tangente von f in x0 oder an den Graphen Γf in (x0, f(x0)). 5.6 Beispiel [Newton-Verfahren zum Bestimmen einer Nullstelle]. Sei f : R → R differenzierbar, und sei x0 ∈ R. Für n ∈ N sei xn+1 := xn − f(xn) f ′(xn) , vorausgesetzt, dass f ′ (xn) ̸= 0 ist. Das so definierte iterative Verfahren heißt Newton-Verfahren, und unter bestimmten Voraussetzungen konvergiert die Folge (xn)n∈N gegen eine Nullstelle von f , also gegen ein x ⋆ ∈ R mit f(x ⋆ ) = 0. Der Wert xn+1 ist der Schnittpunkt der Tangente Tf ,xn (x) von f in xn mit der x-Achse. Sei z.B. für a ∈ R>0, f(x) := x 2 − a. Dann ist f ′ (x) = 2 x und das Newton-Verfahren liefert (vgl. Satz 2.18) xn+1 = xn − x 2 n − a 2 xn = 1 2 xn + a xn . 5.7 Satz. Sei D ⊆ R, und sei f : D → R. Ist f in x0 ∈ D differenzierDie Umkehrung gilt nicht, wie die bar, dann ist f stetig in x0. Funktion f(x) = |x| und x0 = 0 zeigt. Es gibt sogar Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind. 5.8 Definition. Sei D ⊆ R, f : D → R eine Funktion, und sei x0 ∈ D. i) x0 heißt lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) falls es ein ϵ > 0, so dass für alle x ∈ Uϵ(x0) ∩ D gilt f(x0) ≥ f(x) (bzw. f(x0) ≤ f(x)). ii) x0 heißt striktes lokales Maximum (bzw. striktes lokales Minimum) falls es ein ϵ > 0, so dass für alle x ∈ (Uϵ(x0) ∩ D) \ {x0} gilt x0 (lokales/globales) Maximum f(x0) > f(x) (bzw. f(x0) < f(x)). von f it gleichbedeutend mit x0 (lokales/globales) Minimum von −f . iii) Ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum wird als lokales Extremum bezeichnet. iv) Ein x0 ∈ D mit f(x0) = sup f(D) (bzw. f(x0) = inf f(D)) heißt globales Maximum (bzw. globales Minimum) und solche Punkte werden als globale Extrema bezeichnet. Die Funktion id[0,1] zeigt, dass von 5.9 Satz. Sei D ⊆ R, f : D → R, und sei x0 ∈ D ein lokales diesem Kriterium Extremalpunkte im Rand des Definitionsbereich nicht erfasst werden (können). Extremum von f . Ist i) x0 ein innerer Punkt von D und ii) f in x0 differenzierbar, dann ist f ′ Die Funktion f : R → R mit f(x) = x (x0) = 0. 3 (und f ′ (x) = 3x 2 , siehe Beispiel 5.12) zeigt für x0 = 0, dass dies Kriterium nicht hinreichend ist.
5.1 Differentiationsregeln 51 5.1 Differentiationsregeln 5.10 Satz. Sei D ⊆ R, c ∈ R, und seien f , g : D → R differenzierbar in x0 ∈ D. Dann sind auch c f , f + g, und f · g in x0 differenzierbar, und es gilt i) (c f) ′ (x0) = c (f ′ (x0)). ii) (f + g) ′ (x0) = f ′ (x0) + g ′ (x0). Funktionsweise: (f + g) ′ = f ′ + g ′ . iii) (f · g) ′ (x0) = f ′ (x0)g(x0) + f(x0)g ′ (x0). (Produktregel) Funktionsweise: (f g) ′ = f ′g + f g′ Ist zudem g(x0) ̸= 0, dann ist auch f g in x0 differenzierbar, und es gilt Funktionsweise: f g ′ = f ′g − f g′ g 2 . iv) f g ′ (x0) = f ′ (x0)g(x0)−f(x0)g ′ (x0) g(x0) 2 . (Quotientenregel) 5.11 Bemerkung. Sei D ⊆ R und sei D(D, R) := { f : D → R : f differenzierbar} die Menge der differenzierbaren Funktionen auf D. Sie bilden nach Satz 5.10 i), ii) einen Unterraum des Vektorraums Abb(D, R) aller Abbildungen f : D → R. Weiterhin folgt aus Satz 5.10 i), ii), dass die Abbildung d dx : D(D, R) → Abb(D, R) mit f 7→ f ′ linear ist. 5.12 Beispiel. i) Sei n ∈ N≥1. Die Funktion f : R → R mit f(x) = x n ist differenzierbar, und es ist f ′ (x) = nxn−1 . ii) Sei n ∈ N≥1. Die Funktion f : R \ {0} → R mit f(x) = x −n ist differenzierbar, und es ist f ′ (x) = (−n)x −n−1 . iii) Polynomfunktionen und rationale Funktion sind differenzierbar. 5.13 Satz [Kettenregel]. Seien D, De ⊆ R, f : D → R, g : De → R, und es sei f(D) ⊆ D. Sei f in x e 0 ∈ D, und sei g in f(x0) differenzierbar. Dann ist g ◦ f : D → R in x0 differenzierbar, und es gilt die Kettenregel Funktionsweise: (g ◦ f) ′ = g ′ (f) f ′ . (g ◦ f) ′ (x0) = g ′ (f(x0))f ′ (x0). 5.14 Beispiel. i) Sei λ ∈ R. Dann ist f : R → R mit f(x) := e λ x differenzierbar, und es ist f ′ (x) = λ e λ x . ii) Sei b > 0. Dann ist f : R → R mit f(x) = b x differenzierbar, und es ist f ′ (x) = ln(b) b x .
52 5.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 5.15 Satz [Ableitung der Umkehrfunktion]. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R stetig und streng monoton wachsend (oder fallend). Sei f differenzierbar in x0 mit f ′ (x0) ̸= 0. Dann ist f −1 : f(I) → R differenzierbar in y0 = f(x0), und es gilt (siehe Satz 4.27) f −1 ′ (y0) = 1 f ′(x0) = 1 f ′(f −1(y0)). 5.16 Beispiel. i) ln : R>0 → R ist differenzierbar, und es ist ln′ (x) = 1 x . Sei α ∈ R und sei f : R>0 → R mit f(x) = x α = e α ln(x) . Dann ist f differenzierbar, und es ist f ′ (x) = α x α−1 Insbesondere ist für f(x) = . √ x, x > 0, f ′ (x) = 1 2 √ x . f : R>0 → R mit f(x) = x x ist differenzierbar, und es ist f ′ (x) = (1 + ln(x))x x . 5.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Michel Rolle, 1652–1719 Wir unterstellen hier stets a < b, so daß (a, b) ̸= ∅. 5.17 Satz [Satz von Rolle]. Sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion mit f(a) = f(b). Dann gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit f ′ (x0) = 0. 5.18 Satz [Mittelwertsatz der Differentialrechnung]. Sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit f ′ (x0) = f(b) − f(a) b − a . 5.19 Korollar. Seien f , g : [a, b] → R stetige und in (a, b) differenzierbare Funktionen mit f ′ (x) = g ′ (x) für alle x ∈ (a, b). Dann gibt es ein c ∈ R mit f(x) = g(x) + c für alle x ∈ [a, b]. Ist insbesondere f ′ (x) = 0 für alle x ∈ (a, b), dann gibt es ein c ∈ R mit f(x) = c für alle x ∈ [a, b]. 5.20 Korollar. Sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion. Sei c ∈ R mit | f ′ (x)| ≤ c für alle x ∈ (a, b). Dann gilt für In diesem Fall ist also f Lipschitz- x, y ∈ [a, b] stetig (siehe Aufgabe 4.6) | f(x) − f(y)| ≤ c |x − y|. 5.21 Korollar. Sei f : [a, b] → R eine stetige und in (a, b) differenzierSiehe auch Aufgabe 5.4. bare Funktion. i) Es ist f ′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b) genau dann, wenn f monoton wachsend ist in [a, b]. ii) Es ist f ′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ (a, b) genau dann, wenn f monoton fallend ist in [a, b]. iii) Ist f ′ (x) > 0 (bzw. f ′ (x) < 0) für alle x ∈ (a, b), dann it f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) ist in [a, b].
5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome 53 5.22 Definition. Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. i) f heißt konvex, falls für alle x1, x2 ∈ I, x1 ̸= x2 und für alle Bei konvexen Funktionne sind die Sekanten oberhalb des Graphen. λ ∈ (0, 1) gilt f((1 − λ)x1 + λ x2) ≤ (1 − λ)f(x1) + λ f(x2). Gilt dabei stets echte Ungleichheit, also < statt ≤, dann heißt f streng konvex. ii) f heißt konkav bzw. streng konkav falls −f konvex bzw. streng konvex ist. 5.23 Satz. Sei I ⊆ R ein Intervall, sei f : I → R konvex, und x0 ein lokales Minimum von f . Dann ist x0 ein globales Minimum! f ist konkav falls für alle x1, x2 ∈ I, x1 ̸= x2 und für alle λ ∈ (0, 1) gilt f((1− λ)x1 + λ x2) ≥ (1− λ)f(x1) + λ f(x2). 5.24 Satz. Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei f : I → R stetig auf I und differenzierbar in int(I). Dann ist f konvex (bzw. konkav) auf I, wenn f ′ int(I) sind die inneren Punkte von I (siehe Definition 1.49) auf I monoton wächst (bzw. fällt). 5.25 Korollar. Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei f : I → R stetig auf I und seien f und f ′ differenzierbar in int(I), und es sei f ′′ := (f ′ ) ′ . Dann gilt: i) f ist konvex genau dann, wenn f ′′(x) ≥ 0 für alle x ∈ int(I). ii) f ist konkav genau dann, wenn f ′′(x) ≤ 0 für alle x ∈ int(I). f(x) = x 2n , n ∈ N, ist konvex auf R, ex ist konvex auf R, und ln(x) ist konkav 5 auf R>0. .26 Satz [Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung]. Seien f , g : [a, b] → R stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen. Für g = id[a,b] erhalten wir Satz 5.18. Dann gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit (f(b) − f(a))g ′ (x0) = (g(b) − g(a))f ′ (x0). Guillaume François Antoine, Marquis 5.27 Satz [Regel von Bernoulli/de l’Hospital]. Sei R := R ∪ {±∞}, de l’Hôpital, 1661 –1704 und seien a, b ∈ R mit (a, b) ̸= ∅. Seien f , g : (a, b) → R differenzierbar und sei g′ (x) ̸= 0 für x ∈ (a, b). Sei lim x→a+ f(x) = lim x→a+ g(x) ∈ {0, ±∞}. Dann gilt lim x→a+ f(x) g(x) = lim x→a+ f ′ (x) g ′(x) , falls der rechte Grenzwert (eigentlich oder uneigentlich) existiert. Eine entsprechende Aussage gilt für limx→b− f(x) g(x) . 5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome 5.28 Definition. Sei D ⊆ R, f : D → R, und sei f (0) := f . i) Sei m ∈ N. Ist f (m) : D → R differenzierbar in D, so heißt f (m+1) := f (m) ′ (m + 1)-te Ableitung von f , und f heißt (m + 1)-mal differenzierbar. Für m = 1 auch nur Ableitung.
54 5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome Ist f (m+1) : D → R zudem stetig, dann wird f als (m + 1)-mal stetig Statt f differenzierbar bezeichnet. (m) schreibt man auch d m f dxm und im Fall m = 1, 2, 3 benutzt man auch die Schreibweise f ′ , f ′′ , f ′′′ . Seien n, m ∈ N≥1 und f : R → R mit f(x) = x n . Dann ist für m ≤ n f (m) (x) = n · · ·(n − m + 1)x n−m, und f (m) (x) = 0 für m > n. ii) Sei x0 ∈ D, und sei m ∈ N. Gibt es ein ϵ > 0, so dass f (m) in einer Umgebung D ∩ Uϵ(x0) existiert und in x0 differenzierbar ist, dann heißt f (m+1) (x0) := f (m) ′ (x0) (m + 1)-te Ableitung von f in x0, und f heißt (m + 1)-mal differenEs ist zierbar in x0. (e x ) (m) = e x , (ln(x))(m) = (−1) m−1 (m − 1)! 1 xm . 5.29 Definition. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine m-mal differenzierbare Funktion in x0 ∈ I, m ∈ N. Brook Taylor, 1685–1731 i) Das Polynom Tf ,x0,m : R → R mit Tf ,x0 ,1 ist die Tangentengleichung aus Satz 5.5. Tf ,x0,m(x) := m ∑ k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k heißt m-tes Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt x0. ii) Rf ,x0,m : I → R mit Rf ,x0,m(x) := f(x) − Tf ,x0,m(x) heißt das (zu Tf ,x0,m) zugehörige Restglied. 5.30 Satz. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine m-mal differenzierbare Funktion und x0 ∈ I. Dann ist für 0 ≤ p ≤ m T (p) f ,x0,m (x0) = f (p) (x0). 5.31 Satz. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine m-mal differenzierbare Funktion in x0 ∈ I. i) Für x ∈ I gilt f(x) = Tf ,x0,m(x) + Rf ,x0,m(x) mit limx→x0 Rf ,x0,m(x) (x − x0)m = 0. Diese Identität bezeichnet man als Taylor-Formel. ii) Ist f eine (m + 1)-mal differenzierbare Funktion in I, so gibt es für x ∈ I \ {x0} ein y := y(x) zwischen x0 und x mit Rf ,x0,m(x) = f (m+1) (y) (m + 1)! (x − x0) m+1 . Diese Darstellung des Restgliedes bezeichnet man als Lagrangesche Joseph-Louis Lagrange, 1736–1813 Form des Restglieds. 5.32 Definition. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion auf I, und sei x0 ∈ I. Dann heißt für x ∈ I die Reihe ∞ ∑ k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k Taylorreihe oder Taylorsche Entwicklung von f mit Entwicklungspunkt x0.
5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome 55 5.33 Proposition. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion auf I, und sei x0 ∈ I. Dann gilt für x ∈ I f(x) = ∞ ∑ k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k genau dann, wenn limm→∞ Rf ,x0,m(x) = 0. 5.34 Korollar. Für x ∈ [1, 2] gilt ln(x) = ∞ ∑ k=1 (−1) k−1 1 k (x − 1) k . Insbesondere ist Diese Reihendarstellung von ln(x) bzw. die Darstellung ln(x + 1) = ∞ ∑ k=1 (−1) k−1 k x k für x ∈ [0, 1] nennt man auch Logarithmusreihe. ∞ ∑ k=1 (−1) k k = − ln(2). 5.35 Satz. Sei D ⊆ R, x0 ∈ int(D), und es sei f : D → R eine m-mal differenzierbare Funktion in x0 mit m ≥ 2, und es sei f (k) (x0) = 0, 1 ≤ k ≤ m − 1, aber f (m) (x0) ̸= 0. Dann gilt: i) Ist m ungerade, dann ist x0 kein lokales Extremum. ii) Ist m gerade und a) f (m) (x0) > 0, dann ist x0 ein striktes lokales Minimum, b) f (m) (x0) < 0, dann ist x0 ein striktes lokales Maximum.
56 5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome Aufgaben 5.1 Aufgabe. Sei f : [a, b] → R differenzierbar mit f ′ (a) ̸= f ′ (b). Dann nimmt f ′ jeden Wert zwischen f ′ (a) und f ′ (b) an. 5.2 Aufgabe. Für α ∈ R sei f : R≥−1 → R mit f(x) = (1 + x) α . Man bestimme die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt x0 = 0. 5.3 Aufgabe. Sei α ∈ R. Man bestimme limn→∞ 1 + α n n . 5.4 Aufgabe. Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar in (a, b). Zeigen und widerlegen Sie: f ist streng monoton wachsend (fallend) in [a, b] genau dann, wenn f ′ (x) > 0 ( f ′ (x) < 0) ist. 5.5 Aufgabe. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie die Ableitung an allen Punkten, wo die jeweilige Funktion differenzierbar ist. i) f : R → R, x 7→ x, x ∈ Q x + x 2 , x ̸∈ Q. ii) g : R>0 → R, x 7→ x c , wobei c ∈ R. iii) h : R → R, x 7→ x · |x| 5.6 Aufgabe. Sei x0 ∈ R und f : R → R eine Funktion. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. i) Ist f differenzierbar in x0, so gilt f ′ (x0) = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0 − h) 2h . ii) Aus der Existenz von lim h→0 f(x0 + h) − f(x0 − h) 2h folgt die Differenzierbarkeit von f in x0. 5.7 Aufgabe. Für eine Funktion f : R → R und einen Punkt x0 ∈ R definieren wir ∂ f(x0) := {m ∈ R : f(x) ≥ f(x0) + m(x − x0) für alle x ∈ R}. i) Welche Werte kann die Kardinalität |∂ f(x0)| annehmen, wenn f : R → R differenzierbar in x0 ∈ R ist? ii) Betrachten Sie die durch f(x) := exp(|x|) definierte Funktion und bestimmen Sie ∂ f(0). Ist f an der Stelle x0 = 0 differenzierbar? 5.8 Aufgabe. Sei g : R → R eine beschränkte Funktion. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in x0 = 0. Bestimmen Sie ggf. die Ableitung der Funktionen in x0.
5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome 57 i) f1 : R → R, x 7→ x · g(x). ii) f2 : R → R, x 7→ x 2 · g(x). 5.9 Aufgabe. Es sei a ∈ R. Untersuchen Sie die Funktion f : (0, ∞) → R, x 7→ x −a · e x auf Monotonie, lokale Minima bzw. Maxima und Konvexität. 5.10 Aufgabe. 5 Es sei f : R → R eine differenzierbare Funktion. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. i) Ist f ′ stetig, so ist die Einschränkung f | [a,b] für alle a, b ∈ R mit a < b Lipschitz-stetig. ii) Ist f ′ beschränkt, so ist f Lipschitz-stetig. iii) Ist f Lipschitz-stetig, so ist f ′ beschränkt. 5.11 Aufgabe. Es sei x0 ∈ R beliebig und f : R → R differenzierbar auf R \ {x0} sowie stetig auf R. Außerdem existiere der Grenzwert m := limx→x0 f ′ (x). Zeigen Sie, dass f in x0 differenzierbar ist mit Ableitung f ′ (x0) = m. 5.12 Aufgabe. Bestimmen Sie alle Funktion f : R → R mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine stetige Funktion β : [0, ∞) → R mit β(0) = 0, so dass | f(x) − f(y)| ≤ β(|x − y|) · |x − y| für alle x, y ∈ R gilt. 5.13 Aufgabe. i) Gegeben sei die Funktion f : R → R, x 7→ x · e x . Bestimmen Sie für jedes n ∈ N das Taylorpolynom Tn von f im Entwicklungspunkt x0 = 0. Finden Sie ein n ∈ N mit |Tn(x) − f(x)| ≤ 1 2 für alle x ∈ [−1, 1]. ii) Berechnen Sie folgende Grenzwerte: limx→∞ x ln(1 + 1 x ) und lim x→0 1 x − 1 sin(x) . 5.14 Aufgabe. i) Es sei f : (a, b) → R eine konvexe Funktion. Zeigen Sie, dass f auf jedem Teilintervall [c, d] ⊂ (a, b) Lipschitz-stetig ist. Ist auch f Lipschitz-stetig? ii) Geben Sie ein Beispiel für eine unstetige konvexe Funktion g : [a, b] → R an. 5.15 Aufgabe. Gegeben seien die Funktionen f : R → R und g : R → R definiert durch f(x) = e x − e −x 2 und g(x) = e x + e −x 2 . Beweisen Sie folgende Gleichungen:
58 5.3 Höhere Ableitungen und Taylorpolynome i) ∑ m k=0 ( 2m+1 2k+1 ) = 2 2m für alle m ∈ N, ii) f(2x) = 2 f(x) · g(x) für alle x ∈ R.
Potenzreihen 59 6 Potenzreihen 6.1 Satz. Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen, und sei r := 1 lim sup pn |an| mit r := 0 falls lim sup pn |an| = ∞ und r := ∞ falls lim sup pn |an| = 0. Sei x0 ∈ R. Für Für |x − x0| = r ist i.A. keine Aussage möglich. i) |x − x0| < r ist die Potenzreihe ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k absolut konvergent, und für ii) |x − x0| > r divergent. iii) Ist r = 0, dann ist sie nur für x = x0 konvergent. r heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. 6.2 Lemma. Sei ai,j := a(i,j) ∈ R für (i, j) ∈ N × N. Sei ϕ : N → N × N surjektiv (siehe Satz 3.32), und ∑ ∞ k=0 aϕ(k) absolut konvergent. Dann gilt ∞ ∑ i=0 ∞ ∑ j=0 ai,j ! = ∞ ∑ j=0 ∞ ∑ i=0 ai,j ! = ∞ ∑ k=0 aϕ(k) . 6.3 Satz [Transformationssatz]. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, und sei x1 ∈ R mit |x1 − x0| < r. Für k ∈ N sei bk := ∞ ∑ l=k l k al (x1 − x0) l−k . Dann gilt für x ∈ R mit |x − x1| < r − |x1 − x0| ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k = ∞ ∑ k=0 bk (x − x1) k . 6.4 Satz. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Dann ist Potenzreihen sind stetig. f : Ur(x0) → R mit f(x) := ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k stetig. 6.5 Satz. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Dann ist f : Ur(x0) → R mit f(x) := ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k beliebig oft differenzierbar, und es gilt Potenzreihen dürfen gliedweise differenziert werden. f (m) (x) = ∞ ∑ k=0 (k + m)(k + m − 1). . .(k + 1)ak+m(x − x0) k .
60 6.1 Trigonometrische Funktionen 6.6 Korollar. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit KonvergenzraPotenzreihen stimmen mit ihren dius r > 0, und sei Taylorreihen überein. f : Ur(x0) → R mit f(x) := ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k . Dann ist am = f (m) (x0) m! für m ∈ N. 6.7 Korollar. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, und sei f : Ur(x0) → R mit f(x) := ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k . Dann ist F : Ur(x0) → R mit F(x) := ∞ ∑ k=0 ak k + 1 (x − x0) k+1 , beliebig oft differenzierbar, und es ist F′ (x) = f(x). 6.8 Satz [Identitätssatz für Potenzreihen]. Seien ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k und ∑ ∞ k=0 bk (x − x0) k Potenzreihen, und sei δ > 0, so dass beide in Uδ(x0) konvergieren. Weiter sei (yn)n∈N ⊂ Uδ(x0) \ {x0} eine Folge mit limn→∞ yn = x0 und für n ∈ N sei ∞ ∑ k=0 ak (yn − x0) k = ∞ ∑ k=0 bk (yn − x0) k . Dann ist ak = bk für k ∈ N. 6.1 Trigonometrische Funktionen 6.9 Satz. Es gibt zwei eindeutig bestimmte stetige Funktionen sin, cos : R → [−1, 1] mit den folgenden Eigenschaften: Für alle x, y ∈ R gilt i) sin(−x) = − sin(x) und cos(−x) = cos(x). ii) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. iii) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. iv) limx→0 sin(x) x = 1. v) cos(0) = 1. sin heißt Sinus, cos heißt Cosinus, und es ist sin(x) = ∞ ∑ k=0 (−1) k x 2k+1 (2k + 1)! und cos(x) = ∞ ∑ k=0 (−1) k x 2k (2k)! . Weiterhin gilt: a) sin2 (x) + cos2 Hierbei ist für k ∈ N vereinbart (x) = 1. sink (x) := (sin(x))k . b) sin′ (x) = cos(x) und cos′ (x) = − sin(x).
6.1 Trigonometrische Funktionen 61 6.10 Definition. Sei τ die kleinste positive Nullstelle von cos und π := 2τ. 6.11 Satz. Für x ∈ R gilt i) sin(π/2 + x) = cos(x) und cos(π/2 + x) = − sin(x). ii) sin(2π + x) = sin(x) = cos(2π + x) = cos(x). iii) sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1] ist streng monoton wachsend. Die Umkehrfunktion arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] heißt Arkussinus, und es ist für x ∈ (−1, 1) arcsin′ (x) = 1 √ 1 − x 2 . iv) cos : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend. Die Umkehrfunktion arccos : [−1, 1] → [0, π] heißt Arkuscosinus, und es ist für x ∈ (−1, 1) arccos′ (x) = −1 √ 1 − x 2 . 6.12 Satz. Es ist cos(x) = 0 genau dann, wenn x ∈ {(2k + 1)π/2 : k ∈ Z}. Es ist sin(x) = 0 genau dann, wenn x ∈ {kπ : k ∈ Z}. i) tan : R \ {(2k + 1)π/2 : k ∈ Z} → R mit tan(x) = sin(x) cos(x) heißt Tangens. Es ist tan′ (x) = 1 + tan2 (x) und für die Umkehrfunktion (Arkustangens) arctan : R → (−π/2, π/2) gilt arctan′ (x) = 1 1 + x 2 . ii) cot : R \ {kπ : k ∈ Z} → R mit cot(x) = cos(x) sin(x) heißt Cotangens. Es ist cot′ (x) = −(1 + cot2 (x)) und für die Umkehrfunktion (Arkuscotangens) arccot : R → (0, π) gilt arccot′ (x) = −1 1 + x 2 .
62 6.1 Trigonometrische Funktionen Aufgaben 6.1 Aufgabe. Seien ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k und ∑ ∞ k=0 bk (x − x0) k Potenzreihen mit den Konvergenzradien ra und rb . Zeigen Sie, dass für x ∈ R mit |x − x0| ≤ min{ra,rb} gilt i) ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k + ∞ ∑ k=0 bk (x − x0) k = ∞ ∑ k=0 (ak + bk )(x − x0) k ii) ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k ! ∞ ∑ k=0 bk (x − x0) k ! = ∞ ∑ k=0 k ∑ l=0 albk−l (x − x0) l . 6.2 Aufgabe. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r. Zeigen oder widerlegen Sie: f : Ur(x0) → R mit f(x) := ∞ ∑ k=0 ak (x − x0) k ist gleichmäßig stetig. 6.3 Aufgabe. Eine Funktion h : R → R heißt gerade, falls h(−x) = h(x) und sie heißt ungerade, falls h(−x) = −h(x) für alle x ∈ R. Sei f : R → R. Zeigen Sie i) f(x) + f(−x) is gerade. ii) Es gibt eine gerade Funktion g : R → R und eine ungerade Funktionen u : R → R mit f = g + u, und g, u sind eindeutig bestimmt. 6.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass 2π die kleinste positive Zahl p ist mit der Eigenschaft sin(p + x) = sin(x) (oder cos(p + x) = cos(x)) für alle x ∈ R. 6.5 Aufgabe. Zeigen Sie: i) Es ist cos(x) = 0 genau dann, wenn x ∈ {(2k + 1)π/2 : k ∈ Z}. ii) Es ist sin(x) = 0 genau dann, wenn x ∈ {kπ : k ∈ Z}. 6.6 Aufgabe. Bestimmen Sie die Potenzreihe ∑ ∞ n=0 anx n zu der Funktion f : R \ {1} → R, definiert durch f(x) = e x 1 − x . i) Zeigen Sie: an = ∑ n k=0 1 k! für n ∈ N. ii) Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die die Potenzreihe konvergiert. 6.7 Aufgabe. i) Zeigen Sie, dass 2π die kleinste positive Zahl p ist mit der Eigenschaft sin(p + x) = sin(x) für alle x ∈ R. ii) Für a ∈ R betrachten wir die Funktion f : R → R x 7→ x(1 + 2x sin(1/x)) für x ̸= 0, a, für x = 0.
6.1 Trigonometrische Funktionen 63 Bestimmen Sie a derart, dass f auf ganz R differenzierbar ist und geben Sie die Ableitung an. Ist f mit dem gefundenen a auch stetig differenzierbar? 6.8 Aufgabe. Für α ∈ (0, 1) definieren wir fα : R → R durch fα(x) = ∞ ∑ n=1 2 −nα cos(2 n x). i) Zeigen Sie, dass fα wohldefiniert ist. ii) Zeigen Sie, dass fα für jedes α ∈ (0, 1) im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. 6.9 Aufgabe. i) Es sei a ∈ R. Zeigen Sie, dass (cos(an))n∈N keine Nullfolge ist. ii) Bestimmen Sie alle a ∈ R, für die (sin(an))n∈N konvergiert.
64 (Riemann) Integrierbare Funktionen 7 (Riemann) Integrierbare Funktionen 7.1 Definition. Seien a, b ∈ R, a < b. i) Für A ⊆ R heißt 1A : R → R mit 1A(x) := 1, x ∈ A, 0, x ∈/ A, charakteristische Funktion von A. ii) Ein Menge Z = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} mit a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b heißt Zerlegung von [a, b] mit Stützstellen xi , 0 ≤ i ≤ n. iii) Sind Z1 = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} und Z2 = {y0, y1, . . . , ym−1, ym} zwei Zerlegungen von [a, b], dann heißt Z1 ∪ Z2 mit der natürlichen Anordnung auf R die gemeinsame Verfeinerung von Z1 und Z2. iv) Eine Funktion ϕ : [a, b] → R heißt Treppenfunktion falls es eine Zerlegung Z = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} von [a, b] und c1, . . . , cn ∈ R An den Stützstellen sind die Funkti- gibt, so dass für x ∈ [a, b] \ Z gilt onswerte einer Treppenfunktion nicht “vorgegeben”. ϕ(x) = n ∑ i=1 ci 1(xi−1 ,xi ) (x). c1, . . . , cn ∈ R werden als die Konstanten der Treppenfunktion bezeichnet. v) T [a, b] := {ϕ : [a, b] → R : ϕ Treppenfunktion} ist die Menge aller Konstante Funktionen sind Treppen- Treppenfunktionen auf [a, b]. funktionen. 7.2 Proposition. T [a, b] bildet einen Untervektorraum des Vektorraumes der reellwertigen Funktionen auf [a, b]. 7.3 Lemma. Sei ϕ ∈ T [a, b] bzgl. den Zerlegungen Z1 = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} und Z2 = {y0, y1, . . . , ym−1, ym} mit zugehörigen Konstanten c1, . . . , cn und d1, . . . , dm. Dann ist n ∑ i=1 ci |xi − xi−1 | = m ∑ i=1 di |yi − yi−1 |. 7.4 Definition. Sei ϕ ∈ T [a, b] eine Treppenfunktion mit Zerlegung Z = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} und Konstanten c1, . . . , cn. Z b a ϕ(x)dx := n ∑ i=1 ci |xi − xi−1 | Die Definition des Integrals ist unab- heißt Integral von ϕ auf [a, b]. hängig von der Zerlegung. 7.5 Notation. Sei D ⊆ R und seien f , g : D → R. Ist f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ D, dann schreiben wir f ≤ g. Analog, sind die Bezeichnungen f < g, f > g, f ≥ g zu verstehen.
7.1 Das Riemann-Integral 65 7.6 Satz. Seien ϕ1, ϕ2 ∈ T [a, b] Treppenfunktionen, und sei λ ∈ R. Dann gilt: i) R b a λ ϕ(x)dx = λ R b a ϕ(x)dx. ii) R b a (ϕ1 + ϕ2)(x)dx = R b a ϕ1(x)dx + R b a ϕ2(x)dx. Die ersten beiden Eigenschaften beschreiben die Linearität des Integrals und die dritte seine Monotonie. iii) Ist ϕ1 ≤ ϕ2, dann ist R b a ϕ1(x)dx ≤ R b a ϕ2(x)dx. 7.1 Das Riemann-Integral 7.7 Definition. Sei D ⊆ R. Eine Funktion f : D → R heißt beschränkt, falls f(D) beschränkt ist. 7.8 Definition. Sei f : [a, b] → R beschränkt. i) Z b a f(x)dx := inf Z b a ϕ(x)dx : ϕ ∈ T [a, b] mit f ≤ ϕ fl heißt Oberintegral von f . ii) Z b a f(x)dx := sup Z b a ϕ(x)dx : ϕ ∈ T [a, b] mit ϕ ≤ f fl heißt Unterintegral von f . Es ist R b a f dx ≤ R b a f dx. iii) f heißt (Riemann)-integrierbar oder auch nur R-integrierbar falls Z b a f(x)dx = Z b a f(x)dx, und in diesem Fall heißt Z b a f(x)dx := Z b a f(x)dx das (Riemann)-Integral (R-Integral) von f auf [a, b]. Man schreibt auch nur R b a fdx. Die Menge der auf [a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen wird mit R[a, b] bezeichnet. T [a, b] ⊂ R[a, b]. 7.9 Beispiel. i) T [a, b] ⊂ R[a, b]. ii) id[0,1] ∈ R[0, 1]. iii) Sei f : [0, 1] → {0, 1} mit f(x) = 1, x ∈ Q, 0, x ∈/ Q. Es ist f ∈ R/ [0, 1]. 7.10 Satz. Sei f : [a, b] → R beschränkt. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
66 7.1 Das Riemann-Integral i) f ∈ R[a, b]. ii) Zu jedem ϵ gibt es ψ, ϕ ∈ T [a, b] mit ψ ≤ f ≤ ϕ und Z b a (ψ − ϕ)dx < ϵ. 7.11 Satz. Seien f1, f2 ∈ R[a, b], und sei λ ∈ R. Dann sind f1 + f2, λ f1 ∈ R[a, b] und es gilt: i) R b a λ f1dx = λ R b a f1dx. ii) R b a (f1 + f2)dx = R b a f1dx + R b a Die ersten beiden Eigenschaften f2dx. beschreiben die Linearität des Integrals und die dritte seine Monotonie. iii) Ist f1 ≤ f2, dann ist R b a f1dx ≤ R b a f2dx. Insbesondere ist die Menge R[a, b] einen Untervektorraum des VektorrauSei f ∈ R[a, b] mit f ≥ 0. Dann ist mes der reellwertigen Funktionen auf [a, b]. auch R b a fdx ≥ 0. 7.12 Definition. Sei f ∈ R[a, b]. Wir definieren i) R a a f dx := 0. ii) R a b f dx := − R b a f dx. 7.13 Satz. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist f Riemann-integrierbar. 7.14 Satz. Sei f : [a, b] → R monoton. Dann ist f Riemannintegrierbar. 7.15 Definition. Sei D ⊆ R, und seien f , g : D → R. i) Sei max(f , g) : D → R definiert durch max(f , g)(x) := max{ f(x), g(x)}. Analog sei min(f , g) definiert. ii) Seien f + := max(f , 0) und f − := max(−f , 0). Es ist f +, f − ≥ 0, f = f + − f −, und | f | = f + + f −. 7.16 Satz. Seien f , g ∈ R[a, b]. Dann gilt i) max(f , g) ∈ R[a, b]. ii) | f | ∈ R[a, b], und es ist Z b a fdx ≤ Z b a fdx ≤ Z b a | f |dx. iii) | f | p ∈ R[a, b] für p ∈ [1, ∞). Im Allgemeinen ist iv) f · g ∈ R[a, b]. Z b a f · gdx ̸= Z b a fdx Z b a gdx. 7.17 Satz. Sei a < b und c ∈ (a, b). Dann gilt f ∈ R[a, b] genau dann wenn f | [a,c] ∈ R[a, c] und f | [c,b] ∈ R[c, b]. In diesem Fall gilt Z b a fdx = Z c a fdx + Z b c fdx. 7.18 Satz [Mittelwertsatz der Integralrechnung]. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann gibt es ein x0 ∈ [a, b] mit Z b a fdx = f(x0)(b − a).
7.2 Differentiation und Integration 67 7.2 Differentiation und Integration 7.19 Definition. Sei D ⊆ R, und sei f : D → R. Eine Funktion F : D → R heißt Stammfunktion von f , falls F differenzierbar ist, und es gilt F′ = f . 7.20 Proposition. Sei F eine Stammfunktion von f : D → R. Dann sind {F + c : c ∈ R} alle Stammfunktionen von f . 7.21 Satz [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R stetig und a ∈ I. i) Die Funktion F : I → R mit Insbesondere ist eine Stammfunktion einer stetigen Funktion stetig differenzierbar. F(x) := Z x a f(t)dt ist eine Stammfunktion von f . ii) Sei b ∈ I, und sei F irgendeine Stammfunktion von f . Dann gilt Z b a f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x) b a . 7.22 Notation. Sei D ⊆ R und f : D → R. i) Die Menge Z f(x)dx := {F : F : D → R Stammfunktion von f } heißt unbestimmtes Integral. Ist F : D → R eine Stammfunktion von f , so schreibt man auch R f(x)dx = F(x) + c, wobei c eine beliebige Konstante ist. ii) Im Gegensatz dazu heißt R b a f(x)dx auch bestimmtes Integral f über [a, b]. 7.23 Beispiel. i) R x αdx = x α+1 α+1 + c, für α ∈ N auf R, für α ∈ Z \ {−1} auf R \ {0}, für α ∈ R \ {−1} auf R>0. ii) R x −1dx = ln |x| + c auf R \ {0}. iii) R e xdx = e x + c auf R. iv) R sin(x)dx = − cos(x) + c auf R. v) R cos(x)dx = sin(x) + c auf R. vi) Die Funktion h : R → {0, 1} mit h(x) = 1, x ≥ 0, 0, x < 0
68 7.3 Integrationsregeln Oliver Heaviside, 1850–1925 heißt Heaviside-Funktion. Für gegebenes b > 0 ist h : [−b, b] → {0, 1} als Treppenfunktion integrierbar, aber für x ∈ [−b, b] ist H(x) := Z x −b h(x)dx = 0, x < 0, x, x ≥ 0 keine Stammfunktion, da H keine differenzierbare Funktion ist. 7.3 Integrationsregeln 7.24 Satz [Partielle Integration]. Sei I ⊆ R ein Intervall und f , g : I → R stetig differenzierbar. Dann gilt Z f g′ dx = f g − Z f ′ g dx. Insbesondere ist für [a, b] ⊆ I Z b a f(x) g ′ (x)dx = f(x) g(x) b a − Z b a f ′ (x) g(x)dx. 7.25 Satz [Substitutionsregel]. Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R stetig und g : [a, b] → I stetig differenzierbar. Ist F eine Stammfunktion von f , dann gilt Z (f ◦ g)g ′dx = F ◦ g + c. Insbesondere ist für [a, b] ⊆ I Z b a f(g(t))g ′ (t)dt = Z g(b) g(a) f(x)dx. 7.26 Bemerkung. Sei g : [a, b] → [α, β] ⊆ I aus Satz 7.25 bijektiv. Dann ist Z β α f(x)dx = Z g −1 (β) g−1(α) f(g(t))g ′ (t)dt. 7.4 Uneigentliche Integrale 7.27 Definition [Uneigentliche Integral I]. Seien a, b ∈ R. i) Sei f : [a, ∞) → R eine Funktion, die auf allen Intervall [a, b], b > a, integrierbar ist. Existiert der Grenzwert Z ∞ a fdx := lim b→∞ Z b a fdx dann heißt er das uneigentliche Integral von f über [a, ∞). ii) Sei f : (−∞, b] → R eine Funktion, die auf allen Intervall [a, b], a < b, integrierbar ist. Existiert der Grenzwert Z b −∞ fdx := lim a→−∞ Z b a fdx dann heißt er das uneigentliche Integral von f über [−∞, b).
7.4 Uneigentliche Integrale 69 iii) Sei f : R → R auf allen Intervallen [a, b], a < b, integrierbar. Existieren die uneigentlichen Integrale von f über (−∞, 0] und [0, ∞) dann heißt der Grenzwert Z R fdx := Z ∞ −∞ fdx := Z 0 −∞ fdx + Z ∞ 0 fdx das uneigentliche Integral von f über R. 7.28 Beispiel. Sei s ∈ R. Das uneigentliche Integral Z ∞ 1 1 x s dx existiert genau dann, wenn s > 1. 7.29 Bemerkung. Existiert das uneigentliche Integral R ∞ a fdx, dann existiert für alle c ≥ a das uneigentliche Integral R ∞ c fdx, und es gilt Z ∞ a fdx = Z c a fdx + Z ∞ c fdx. Analog gelten Aussagen für Im Allgemeinen ist lim b→∞ Z b −b fdx ̸= Z ∞ −∞ fdx. Z b −∞ fdx = Z c −∞ fdx + Z b c fdx, Z ∞ −∞ fdx = Z c −∞ fdx + Z ∞ c fdx. 7.30 Lemma [Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale]. Sei a ∈ R, und sei f : [a, ∞) → R eine Funktion, die auf allen Intervall [a, b], b > a, integrierbar ist. Dann existiert R ∞ a fdx genau dann, wenn für alle ϵ > 0 ein γϵ ≥ a existiert, so dass für alle c1, c2 ≥ γϵ gilt Z c2 c1 fdx < ϵ. 7.31 Satz [Integralkriterium für Reihen]. Sei f : R≥0 → R≥0 eine monoton fallende Funktion. Dann sind äquivalent: i) ∑ ∞ k=0 f(k) ist konvergent, ii) R ∞ 0 f(x)dx existiert. 7.32 Beispiel. i) Sei s ∈ R. Die Reihe ∑ ∞ k=1 1 k s ist genau dann konvergent, wenn s > 1. ii) R ∞ −∞ e −x 2 dx existiert. 7.33 Definition [Uneigentliche Integral II]. Seien a, b ∈ R. i) Sei f : (a, b] → R eine Funktion, die auf allen Intervall [a + ϵ, b], 0 < ϵ ≤ b − a, integrierbar ist. Existiert der Grenzwert Z b a fdx := lim ϵ→0+ Z b a+ϵ fdx dann heißt er das uneigentliche Integral von f über (a, b].
70 7.4 Uneigentliche Integrale ii) Analog definiert man das uneigentliche Integral von f über [a, b) oder (a, b). 7.34 Beispiel. Sei s ∈ R. Das uneigentliche Integral Z 1 0 1 x s dx existiert genau dann, wenn s < 1. 7.35 Bemerkung. Eine Kombination der beiden uneigentlichen Integrale aus den Definitionen 7.27 und 7.33 ist erlaubt. Ist z.B. f : R>0 → R auf allen Intervallen [a, b], 0 < a < b, integrierbar, dann ist Z ∞ 0 f(x)dx := Z 1 0 f(x)dx + Z ∞ 1 f(x)dx, vorausgesetzt, die beiden uneigentlichen Integrale auf der rechten Seite existieren. Hierbei kann auch die Zwischenstelle 1 durch jede andere Zahl c ∈ R>0 ersetzt werden.
7.4 Uneigentliche Integrale 71 Aufgaben 7.1 Aufgabe. Sei f : [a, b] → R monoton. Zeigen Sie, dass f Riemannintegrierbar ist. 7.2 Aufgabe. Für n, m ∈ N berechne man Z π −π sin(nx) sin(mx)dx, Z π −π cos(nx) sin(mx)dx, Z π −π cos(nx) cos(mx)dx. 7.3 Aufgabe. Für x ∈ R>0, sei Γ(x) := Z ∞ 0 t x−1 e −tdt. Diese Funktion heißt Gamma-Funktion. Zeigen Sie: i) Γ(x) existiert für alle x ∈ R, d.h., das uneigentliche Integral konvergiert. ii) Γ(x + 1) = x Γ(x). iii) Γ(n + 1) = n!. 7.4 Aufgabe. Es seien ϕ: [a, b] → R und ψ: [a, b] → R zwei Treppenfunktionen. Zeigen Sie, dass ϕ · ψ ebenfalls eine Treppenfunktion ist. Zeigen oder widerlegen Sie dann die folgenden Aussagen: i) R b a ϕ(x) · ψ(x)dx ≤ R b a ϕ(x)dx · R b a ψ(x)dx , ii) R b a ϕ(x) · ψ(x)dx ≥ R b a ϕ(x)dx · R b a ψ(x)dx . 7.5 Aufgabe. Es sei f : [a, b] → R monoton. Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist. 7.6 Aufgabe. Es seien f , g : R → R konvex. i) Zeigen Sie, dass g ◦ f im Allgemeinen nicht konvex ist. ii) Sei g nun zusätzlich monoton wachsend. Zeigen Sie, dass g ◦ f dann konvex ist.
72 Teil II Analysis II
Funktionenfolgen 73 8 Funktionenfolgen 8.1 Definition. Für n ∈ N seien fn : D → R Funktionen. Dann heißt (fn)n∈N Funktionenfolge. Man schreibt auch (fn)n∈N : D → R. 8.2 Beispiel. i) Für n ∈ N sei pn : R → R>0 mit pn(x) := ∑ n k=0 x k k! . Dann ist für x ∈ R limn→∞ pn(x) = e x . ii) Für n ∈ N sei hn : [0, 1] → R mit hn(x) := x n . Dann ist limn→∞ hn(x) = 0, x ∈ [0, 1), 1, x = 1. iii) Für n ∈ N sei gn : [0, 1] → R definiert durch gn(x) := 0, x = 0, n, x ∈ (0, 1/n), 0, x ∈ [1/n, 1]. Dann ist limn→∞ gn(x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]. 8.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 8.3 Definition. Sei (fn)n∈N : D → R eine Funktionenfolge, und sei f : D → R. i) (fn)n∈N heißt punktweise konvergent gegen f , falls für jedes x ∈ D gilt limn→∞ fn(x) = f(x), d.h., für jedes x ∈ D und jedes ϵ > 0 gibt es ein nϵ,x ∈ N, so dass für alle n ≥ nϵ,x gilt | fn(x) − f(x)| < ϵ. ii) (fn)n∈N heißt gleichmäßig konvergent gegen f , falls zu jedem ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so dass für alle n ≥ nϵ und für alle x ∈ D Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz. gilt | fn(x) − f(x)| < ϵ. f heißt auch Grenzfunktion. 8.4 Definition. Sei f : D → R eine Funktion. Dann heißt ∥ f ∥D := sup{| f(x)| : x ∈ D} die Supremumsnorm von f (auf D). Oft schreibt man auch nur ∥ f ∥ falls D aus dem Zusammenhang ersichtlich ist.
74 8.2 Funktionenreihen 8.5 Proposition. (fn)n∈N : D → R ist genau dann gleichmäßig konvergent gegen f : D → R, falls limn→∞ ∥ fn − f ∥ = 0. tn für n = 1, 2, 3, 4. 8.6 Beispiel. Für n ∈ N≥1 sei (tn) : R → R mit tn(x) := 1 n sin(nx). Dann ist ∥tn∥ = 1 n . tn konvergiert also gleichmäßig gegen die Null-Funktion auf R. Es reicht vorauszusetzen, dass die Funktionenfolge (fn)n∈N : D → R nur ab einem Index n0 stetig ist. 8.7 Satz. Sei (fn)n∈N : D → R eine Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen f : D → R konvergiert. Sind alle fn stetig, dann ist auch f stetig. Punktweise Konvergent reicht nicht aus, siehe Beispiel 8.2 ii). 8.8 Satz. Sei (fn)n∈N : [a, b] → R eine Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen f : [a, b] → R konvergiert. Sind alle fn Riemann-integrierbar, Punktweise Konvergent reicht nicht also fn ∈ R[a, b], n ∈ N, dann ist auch f ∈ R[a, b], und es gilt aus, siehe Beispiel 8.2 iii). limn→∞ Z b a fn(x)dx = Z b a f(x)dx. 8.9 Bemerkung. Beispiel 8.6 zeigt, dass die Ableitungsfolge einer gleichmäßig konvergenten (stetig) differenzierbaren Funktionenfolge nicht konvergieren muss. 8.10 Satz. Für n ∈ N seien fn : [a, b] → R stetig diffbar, und für ein x0 ∈ [a, b] sei (fn(x0))n∈N konvergent. Weiterhin konvergiere (f ′ n )n∈N gleichmäßig gegen g : [a, b] → R. Dann konvergiert auch (fn)n∈N gleichmäßig gegen ein stetig diffbare Funktion f : [a, b] → R, und es gilt f ′ = g, also insbesondere für alle x ∈ D limn→∞ f ′ n (x) = f ′ (x). 8.2 Funktionenreihen Die Begriffe gleichmäßige und punkt- 8.11 Definition. Sein (fn)n∈N : D → R eine Funktionenfolge. Dann weise Konvergenz übertragen sich in offensichtlicher Weise auf Funktionenreihe, und konvergiert ∑ ∞ k=0 fk (gleichmäßige oder punktweise) gegen eine Grenzfunktion f , dann schreibt man auch f = ∑ ∞ k=0 fk . heißt die Folge (der Partialsummen) ∞ ∑ k=0 fk := n ∑ k=0 fk ! n∈N eine Funktionenreihe. ∑ n k=0 x n für n = 1, 2, 3, 4 und 1/(1 − x). 8.12 Bemerkung. Sei (fn)n∈N : [a, b] → R eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen, und die Funktionenreihe ∑ ∞ k=0 fk konvergiere gleichmäßig. Dann ist auch ∑ ∞ k=0 fk Riemann-integrierbar und es gilt Z b a ∞ ∑ k=0 fk (x)dx = ∞ ∑ k=0 Z b a fk (x)dx.
8.2 Funktionenreihen 75 8.13 Satz [Konvergenzkriterium von Weierstraß für Funktionenreihen]. Sei (fn)n∈N : D → R eine Funktionenfolge und ∑ ∞ k=0 ∥ fk∥ existiert. Dann konvergiert die Funktionenreihe ∑ ∞ k=0 fk gleichmäßig. 8.14 Korollar. Sei ∑ ∞ k=0 ak (x − x0) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, und sei 0 < r < r. Dann konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig in [x0 − r, x0 + r]. 8.15 Satz [Abelscher Grenzwertsatz]. Sei ∑ ∞ k=0 akx k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r ∈ R>0, und es existiere ∑ ∞ k=0 ak r k . Dann gilt Nach Satz 6.4 ist ∑ ∞ k=0 akx k stetig in (−r,r). lim x→r− ∞ ∑ k=0 akx k = ∞ ∑ k=0 ak r k , d.h. die Potenzreihe ∑ ∞ k=0 akx k : (−r,r] → R ist auch linksseitig in r Eine analoge Aussage gilt für den rechtsseitigen Grenzwert in −r, falls ∑ ∞ k=0 ak (−r) k existiert. stetig.
76 8.3 Aufgaben 8.3 Aufgaben 8.1 Aufgabe. Zeigen Sie: (fn)n∈N : D → R ist gleichmäßig konvergent genau dann wenn für alle ϵ > 0 ein nϵ ∈ N existiert, so dass für alle n, m ≥ nϵ gilt ∥ fn − fm∥ < ϵ. 8.2 Aufgabe. Seien (fn)n∈N,(gn)n∈N : D → R gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen, und seien α, β ∈ R. Zeigen Sie, i) (α fn + β gn)n∈N ist gleichmäßig konvergent. ii) Sind zudem (fn)n∈N,(gn)n∈N beschränkt, dann ist fn gn gleichmäßig konvergent.
Metrische Räume 77 9 Metrische Räume 9.1 Definition. Sei V ein R-Vektorraum. Eine Abbildung ∥·∥ : V → R heißt Norm, falls für alle v, w ∈ V und alle λ ∈ R gilt: i) ∥v∥ ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn v = 0 (positive Definitheit). ii) ∥λv∥ = |λ|∥v∥ (absolute Homogenität). iii) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ (Dreiecksungleichung). Ein normierter Raum (V, ∥·∥) ist ein Vektorraum zusammen mit einer Norm ∥·∥. 9.2 Beispiel. i) Rn = {x = (x1, . . . , xn) ⊺ ∈ Rn : xi ∈ R} ist ein normierter Vektorraum mit der euklidischen Norm ∥x∥2 := x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n 1 2 . ii) Sei p ∈ [1, ∞). Dann ist ∥x∥p := (|x1| p + |x2| p + · · · + |xn| p ) 1 p eine Norm auf Rn und heißt p-Norm. Für p = ∞ heißt Der Nachweise der Dreiecksungleichung ist äquivalent zur sogenannten ∥x∥∞ Minkowskischen Ungleichung. := max{|xi | : 1 ≤ i ≤ n} Maximumsnorm (siehe Übung 9.1). 9.3 Definition. Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z ∈ X gilt: i) d(x, y) ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x = y (positive Definitheit). ii) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie). iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung). Ein metrischer Raum (X, d) ist eine Menge X zusammen mit einer Metrik d auf X. 9.4 Beispiel. i) Ist (V, ∥·∥) ein normierter Raum, dann ist d : V × V → R≥0 mit d(v, w) = ∥v − w∥ eine Metrik auf V. Jeder normierter Raum ist also ein metrischer Raum. Speziell für Rn heißt ∥·∥2 auch die Standardmetrik/Standardnorm. ii) Sei X eine Menge. Die Abbildung d : X × X → R mit d(x, y) := 0, x = y, 1, x ̸= y, ist eine Metrik auf X, die sogenannte diskrete Metrik.
78 9.1 Offene und abgeschlossene Mengen 9.5 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei A ⊆ X. i) Ist A = ∅ dann setzen wir D(A) := 0, andernfalls sei D(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. D(A) heißt Durchmesser von A. ii) Die Menge A heißt beschränkt, falls D(A) < ∞. 9.6 Satz. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei A ⊆ X, A ̸= ∅. Die A ⊂ R folgenden Aussagen sind äquivalent: n ist beschränkt (bzgl. der Standardmetrik) genau dann, wenn ∥x∥2 ≤ M für alle x ∈ A. i) A ist beschränkt. ii) Es gibt ein x ∈ X und ein M ∈ R≥0, so dass d(a, x) ≤ M für alle a ∈ A. iii) Für alle x ∈ X gibt es ein Mx ∈ R≥0, so dass d(a, x) ≤ Mx für alle a ∈ A. 9.1 Offene und abgeschlossene Mengen 9.7 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. i) Sei a ∈ X und sei ϵ > 0. Die Menge Uϵ(a) := {x ∈ X : d(x, a) < ϵ} heißt ϵ-Umgebung (bzgl. d) von a, oder auch offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius ϵ. ii) Sei S ⊆ X. a ∈ S heißt innerer Punkt (bzgl. d) von S, falls es ein ϵ > 0 gibt mit Uϵ(a) ⊆ S. iii) S ⊆ X heißt offen (bzgl. d), falls alle a ∈ S innere Punkte von S sind. iv) S ⊆ X heißt abgeschlossen (bzgl. d), falls X \ S offen ist. 9.8 Bemerkung. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für die diskrete Metrik ist i) X und ∅ sind offen und abgeschlossen. U1(x) = {x} und jede Teilmenge S ⊆ X ist sowohl offen als auch abgeschlossen. ii) Für a ∈ X und ϵ > 0 ist Uϵ(a) offen. iii) Für a ∈ X und 0 < δ < ϵ ist a ∈ Uδ(a) ⊆ Uϵ(a). iv) Sei S ⊆ X offen, und für x ∈ S sei ϵx > 0 mit Uϵx (x) ⊆ S. Dann ist S = [ x∈S Uϵx (x). 9.9 Satz. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und seien Si ⊆ X offen, i ∈ I. Sei Si = (−1/i, 1/i), i ∈ I = N≥1. Dann gilt Dann ist ∪i∈ISi = (−1, 1) und ∩i∈ISi = {0}.
9.1 Offene und abgeschlossene Mengen 79 i) ∪i∈ISi ist offen. ii) Ist |I| < ∞, dann ist ∩i∈ISi offen. 9.10 Korollar. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und seien Si ⊆ X abgeschlossen, i ∈ I. Dann gilt i) ∩i∈ISi ist abgeschlossen. ii) Ist |I| < ∞, dann ist ∪i∈ISi abgeschlossen. 9.11 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. i) int(S) := S {U ⊆ X : U ⊆ S und U offen} heißt Inneres von S. ii) cl(S) := T {U ⊆ X : S ⊆ U und U abgeschlossen} heißt Abschluss von S. iii) bd(S) := cl(S) \ int(S) heißt Rand von S oder die Menge der Randpunkte von S. 9.12 Bemerkung. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. i) int(S) ⊆ S ⊆ cl(S). ii) Es ist (siehe Aufgabe 9.4) int(S) = {s ∈ S : s innerer Punkt von S}. 9.13 Satz. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. Dann ist bd(S) abgeschlossen, und es gilt bd(S) = n x ∈ X : für alle ϵ > 0 gilt Uϵ(x) ∩ S ̸= ∅ und Uϵ(x) ∩ X \ S ̸= ∅ o . 9.14 Korollar. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. Dann gilt: i) bd(S) = bd(X \ S). ii) int(S) = S \ bd(S). iii) cl(S) = S ∪ bd(S). 9.15 Beispiel. i) Sei (V, ∥·∥) ein normierter Raum, v ∈ V und ϵ > 0. Dann gilt: a) int(Uϵ(v)) = {w ∈ W : ∥w − v∥ < ϵ}. b) cl(Uϵ(v)) = {w ∈ W : ∥w − v∥ ≤ ϵ}. Für die diskrete Metrik auf R ist {y ∈ R : d(x, y) ≤ 1} = R ̸= cl(U1(x)) = cl({x}) = {x}. c) bd(Uϵ(v)) = {w ∈ W : ∥w − v∥ = ϵ}. ii) Sei S := {x ∈ R3 : ∥x∥2 < 1 und x3 = 0}. Dann ist int(S) = ∅. 9.16 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. Ist also A ⊆ S offen (in X), dann ist auch A auch (relativ) offen in S, aber die Umkehrung gilt i.A. nicht.
80 9.2 Konvergenz i) Eine Teilmenge A ⊆ S heißt relativ offen (oder auch nur offen) in S, falls es für alle a ∈ A ein ϵ > 0 gibt, so dass {s ∈ S : d(s, a) < ϵ} ⊆ A. ii) Eine Teilmenge A ⊆ S heißt relativ abgeschlossen (oder auch nur abgeschlossen) in S, falls S \ A relativ offen ist. 9.17 Satz. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X. Dann ist A ⊆ S relativ offen in S genau dann, wenn es eine offene Menge U in X gibt mit A = S ∩ U. 9.18 Korollar. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei S ⊆ X. Dann ist A ⊆ S relativ abgeschlossen in S genau dann, wenn es eine abgeschlossene Menge U in X gibt mit A = S ∩ U. 9.2 Konvergenz 9.19 Definition [siehe Definition 2.3]. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei (xn)n∈N ⊆ X eine Folge. Sie heißt konvergent falls es ein x ∗ ∈ X gibt mit limn→∞ d(xn, x ∗ ) = 0. In diesem Fall heißt x∗ Limes oder Grenzwert der Folge. Man schreibt limn→∞ xn = x ⋆ . 9.20 Proposition [siehe Satz 2.9]. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei (xn)n∈N ⊆ X eine konvergente Folge. Dann gibt es genau ein x∗ ∈ X mit limn→∞ d(xn, x ∗ ) = 0. 9.21 Beispiel. i) Im normierten Vektorraum (Rn , ∥·∥p) konvergiert (xk = (xk,1, . . . , xk,n) ⊺ k∈N gegen x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ⊺ genau dann, wenn für 1 ≤ i ≤ n die Folge (xk,i )k∈N gegen x∗ i konvergiert. ii) Eine Folge (fn)n∈N ⊂ B(X,(R, | · |)) (siehe Übung 9.2) konvergiert in der Supremumsnorm gegen f ∈ B(X,(R, | · |)) genau dann, wenn fn gleichmäßig gegen f konvergiert. 9.22 Satz [siehe Proposition 4.15]. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei S ⊆ X. Dann ist S abgeschlossen genau dann, wenn für jede konverSeien Ai ⊆ R abgeschlossen für gente Folge (sn)n∈N ⊆ S gilt 1 ≤ i ≤ n. Dann ist auch A1 × A2 × · · · × An ⊆ R n bzgl. ∥·∥p abgeschlossen. limn→∞ sn ∈ S. 9.23 Definition [siehe Definition 2.24]. Sei (X, d) ein metrischer Raum. i) Eine Folge (xn)n∈N ⊆ X heißt Cauchy-Folge wenn es zu jedem ϵ > 0 ein nϵ gibt, so dass für alle n, m ≥ nϵ gilt d(xn, xm) < ϵ. ii) (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.
9.3 Stetigkeit 81 iii) Ein normierter vollständiger Raum heißt Banachraum. 9.24 Beispiel. i) (Rn , ∥·∥p) ist ein Banachraum. ii) (B(X,(R, | · |)), ∥·∥∞) ist ein Banachraum (siehe auch Übung 9.8). 9.25 Satz. Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und S ⊆ X. Dann ist (S, d) vollständig genau dann, wenn S (in (X, d)) abgeschlossen ist. 9.26 Lemma. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und (xn)n∈N ⊂ X. Ist die Reihe ∞ ∑ k=0 d(xk , xk+1 ) konvergent, dann ist (xn) eine Cauchy-Folge. 9.3 Stetigkeit 9.27 Definition [siehe Definition 4.4]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume und f : X → Y eine Abbildung. i) f heißt stetig (bzgl. dX, dY) in x∗ ∈ X, falls für jede Folge (xn)n∈N ⊆ X mit limn→∞ dX(xn, x ∗ ) = 0 folgt limn→∞ dY(f(xn), f(x ∗ )) = 0. Bzgl. den Metriken dx, dY gilt also, dass aus limn→∞ xn = x ∗ folgt limn→∞ f(xn) = f(x ∗ ). ii) f heißt stetig (bzgl. dX, dY) in X, falls f in jedem x∗ ∈ X stetig ist (bzgl. dX, dY). 9.28 Beispiel. i) Konstante Abbildungen sind stetig. ii) Sei (X, d) ein metrischer Raum: id(X,d) : (X, d) → (X, d) ist stetig. Sei dR die diskrete Metrik auf R. Die Abbildung id : (R, | · |) → (R, dR) mit id(x) = x ist nicht stetig. iii) Sei (X, d) ein metrischer Raum; sei f : (X, d) → (Rn , ∥·∥p) mit f(x) = (f1(x), . . . , fn(x))⊺ , wobei fi : (X, d) → (R, | · |) die ite Komponentenfunktionen ist. Dann gilt f ist genau dann stetig, wenn fi stetig sind für 1 ≤ i ≤ n. iv) Sei (X, d) ein metrischer Raum und x∗ ∈ X. Die Abbildung f : (X, d) → (R, | · |) mit f(x) = d(x ∗ , x) ist stetig. Insbesondere ist für einen normierten Vektorraum (V, ∥·∥) die Norm, also ∥·∥ : (V, ∥·∥) → (R, | · |) stetig, da ∥v∥ = d(0, v). 9.29 Satz [siehe Satz 4.8]. Seien (X, dX), (Y, dY) und (Z, dZ) metrische Räume, und seien f : X → Y, g : Y → Z Abbildungen. Sei f ∈ x ∗ ∈ X stetig und g in f(x ∗ ). Dann ist g ◦ f : (X, dX) → (Z, dZ) stetig in x∗ .
82 9.4 Kompaktheit 9.30 Bemerkung [siehe Satz 4.6]. Sei (X, d) ein metrischer Raum, f , g : (X, d) → (R, | · |) stetig in x∗ ∈ X, und sei λ ∈ R. Dann sind auch f + λ g, f · g, und, falls g(x ∗ ) ̸= 0, f /g stetig in x∗ . 9.31 Satz [siehe Satz 4.10]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume, f : X → Y eine Abbildung, und sei x∗ ∈ X. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: i) f ist stetig in x∗ . ii) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x ∈ X mit dX(x ∗ ii) lässt sich auch beschreiben als: Zu , x) < δ gilt jedem ϵ > 0 gibt es ein δ > 0 mit f(Uδ(x ∗ )) ⊆ Uϵ(f(x ∗ )). dY(f(x ∗ ), f(x)) < ϵ. 9.32 Satz [siehe Korollar 4.12]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume, und sei f : X → Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: Die Einheitssphäre S i) f ist stetig. n−1 := {x ∈ Rn : ∥x∥2 = 1} ist abgeschlossen. ii) Urbilder offener Mengen in (Y, dY) sind offen in (X, dX). iii) Urbilder abgeschlossener Mengen in (Y, dY) sind abgeschlossen in (X, dX). 9.33 Definition [siehe Definition 4.21]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume, und sei f : X → Y eine Abbildung. i) f heißt gleichmäßig stetig falls zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x1, x2 ∈ X mit dX(x1, x2) < δ gilt dY(f(x1), f(x2)) < ϵ. ii) f heißt Lipschitz stetig mit Lipschitz-Konstante L, falls für alle x1, x2 ∈ X gilt dY(f(x1), f(x2)) ≤ L dX(x1, x2). 9.34 Satz [Banachscher Fixpunktsatz]. Sei (X, dX) ein vollständiger metrischer Raum, und sei f : X → X eine kontrahierende Abbildung, d.h., eine Lipschitz stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante L < 1. Sei g : X → X, y ∈ X, und sei Dann gilt: f : X → X mit f(x) := g(x) − y + x. Dann ist g(x ∗ ) = y genau dann, wenn f(x ∗ ) = x ∗ . i) f hat genau einen Fixpunkt, d.h., es gibt genau ein x∗ ∈ X mit f(x ∗ ) = x ∗ . ii) Für jedes x0 ∈ X konvergiert die rekursiv definierte Folge xn+1 := f(xn), n ∈ N, gegen den Fixpunkt x∗ 9.4 Kompaktheit 9.35 Definition [Siehe Definition 4.23]. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X.
9.4 Kompaktheit 83 i) Eine Familie von offenen Mengen Ui ⊂ X, i ∈ I, heißt offene Überdeckung von S falls S ⊆ [ i∈I Ui . ii) S heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung Ui ⊂ X, i ∈ I, von S eine endliche Teilüberdeckung hat, d.h., es gibt J ⊆ I, |J| < ∞ mit S ⊆ [ j∈J Uj . 9.36 Beispiel. i) Siehe Beispiel 4.24. ii) Sei (xn) eine gegen x∗ konvergente Folge in einem metrischen Raum (X, .d). Dann ist {xn : n ∈ N} ∪ {x ∗ } kompakt. iii) Sei S ⊆ X eine endliche Teilmenge eines metrischen Raumes (X, d). Dann ist S kompakt. iv) Sei d die diskrete Metrik auf einer Menge X. Dann ist S ⊆ X genau dann kompakt, wenn S endlich ist. 9.37 Satz. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X kompakt. Dann ist S beschränkt und abgeschlossen. In (R, d) mit der diskreten Metrik sind alle Teilmengen beschränkt und abgeschlossen, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt. 9.38 Lemma. Sei (X, d) ein metrischer Raum, S ⊆ X kompakt und T ⊆ X abgeschlossen mit T ⊆ S. Dann ist T kompakt. 9.39 Lemma [Schachtelungsprinzip, siehe Satz 2.28]. Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum. Für n ∈ N seien Sn ⊆ X abgeschlossen, nichtleer, und es gelte i) Sn+1 ⊆ Sn, n ∈ N, ii) limn→∞ D(Sn) = 0. Dann gibt es genau ein x∗ ∈ X mit \ n∈N Sn = {x ∗ }. 9.40 Lemma. Sei a = (a1, . . . , an) ⊺ ∈ Rn , 1 ≤ i ≤ n, und sei r > 0. Dann ist der Würfel W(a,r) := [a1, a1 + r] × [a2, a2 + r] × · · · × [an, an + r] eine kompakte Menge des (Rn , ∥·∥2). 9.41 Satz [Satz von Heine-Borel, siehe Satz 4.25]. In (Rn , ∥·∥2) ist S ⊆ Rn genau dann kompakt, wenn S beschränkt und abgeschlossen ist.
84 9.5 Zusammenhang 9.42 Satz [siehe Satz 4.18]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume, f : X → Y stetig, und sei S ⊆ X kompakt. Dann ist auch f(S) kompakt. 9.43 Satz [siehe Satz 4.19]. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum, X ̸= ∅, und sei f : X → R stetig. Dann besitzt f ein Maximum und ein Minimum auf X, d.h. es existieren x1, x2 ∈ X mit f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) für alle x ∈ X. 9.44 Satz [siehe Satz 4.22]. Seien (X, dX), (Y, dY) metrische Räume, f : X → Y stetig, und sei S ⊆ X kompakt. Dann ist f : S → Y gleichmäßig stetig. 9.45 Satz [siehe Satz 2.23]. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei S ⊆ X kompakt. Jede Folge (xn)n∈N ⊆ S besitzt eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert in S liegt. 9.46 Korollar. Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. 9.5 Zusammenhang 9.47 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. i) X heißt zusammenhängend, falls für alle Zerlegungen von X in zwei offene Mengen U, V, d.h., X = U ∪ V und U ∩ V = ∅, X ist also zusammenhängend falls es gilt U = ∅ oder V = ∅. sich nur “trivial” in offene Mengen zerlegen lässt. ii) S ⊆ X heißt zusammenhängend, falls (S, d) zusammenhängend ist. 9.48 Bemerkung. (X, d) ist genau dann nicht zusammenhängend, wenn es eine Menge C ⊂ X gibt mit C ∈ { / ∅, X} und C ist sowohl abgeschlossen als auch offen ist. 9.49 Beispiel. i) (R \ {0}, | · |) ist nicht zusammenhängend. ii) (Q, | · |) ist nicht zusammenhängend. 9.50 Satz. Sei I ⊆ R. Dann ist I genau dann zusammenhängend (bzgl. (R, | · |)) , wenn I ein Intervall ist. 9.51 Satz. Seien (X, dX) und (Y, dY) metrische Räume, f : X → Y stetig, und sei X zusammenhängend. Dann ist f(X) zusammenhängend. 9.52 Korollar [Zwischenwertsatz, siehe Satz 4.14]. Sei (X, d) ein zusammenhängender metrischer Raum, f : X → R stetig und seien a, b ∈ X. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. 9.53 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum.
9.6 Normierte Räume und lineare Abbildungen 85 i) Seien x, y ∈ X. Eine steige Abbildung f : [0, 1] → X mit f(0) = x und f(1) = y heißt Weg von x nach y in X. ii) (X, d) heißt wegzusammenhängend, falls für alle x, y ∈ X ein Weg von x nach y in X existiert. 9.54 Beispiel. i) (Rn , ∥·∥2) ist wegzusammenhängend. ii) x, sin 1 x ⊺ : x ∈ R>0 fl ∪ {(0, y) ⊺ : y ∈ [−1, 1]} ist nicht wegzusammenhängend, aber zusammenhängend in (R2 , ∥·∥2) (Übung). 9.55 Satz. Jeder wegzusammenhängende metrische Raum ist auch zusammenhängend. 9.56 Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. G ⊆ X, G ̸= ∅, heißt Gebiet, falls G offen und zusammenhängend ist. 9.57 Satz. Sei (V, ∥·∥) ein normierter Vektorraum, und sei G ⊆ V ein Gebiet. Dann ist G wegzusammenhängend. 9.6 Normierte Räume und lineare Abbildungen 9.58 Definition. Seien V, W und K-Vektorräume, K Körper. Eine Abbildung f : V → W heißt linear, falls für alle v, v ∈ V und alle α, β ∈ K gilt f(αv + βv) = α f(v) + β f(v). 9.59 Satz. Seien (V, ∥·∥V), (W, ∥·∥W) normierte Vektorräume, und sei f : V → W linear. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: i) f ist stetig in 0. ii) f ist stetig. iii) f ist gleichmäßig stetig. iv) f ist Lipschitz-stetig. v) Es gibt c ∈ R>0, so dass für alle v ∈ V gilt ∥ f(v)∥W ≤ C∥v∥V. 9.60 Beispiel. W = C([0, 1],(R, | · |) und V = C 1 ([0, 1],(R, | · |) := { f : [0, 1] → R : f stetig diffbar } versehen jeweils mit der Supremumsnorm ∥·∥∞ sind unendlich dimensionale normierte Vektorräume. Die Abbildung D : V → W mit D(f) = f ′ ist linear, aber nicht stetig: Für n ∈ N sei fn(x) := x n . Dann ist ∥ fn∥∞ = 1 und ∥D(fn)∥∞ = n.
86 9.6 Normierte Räume und lineare Abbildungen 9.61 Satz. Seien (V, ∥·∥V), (W, ∥·∥W) normierte Vektorräume, und sei f : V → W linear. Ist dim V < ∞, dann ist f stetig. 9.62 Definition. Sei V ein R-Vektorraum. Zwei Normen ∥·∥, ∥·∥′ heißen äquivalent falls es c, C ∈ R gibt mit c ∥v∥ ≤ ∥v∥ ′ ≤ C ∥v∥. 9.63 Satz. Sei V ein R-Vektorraum, und seien ∥·∥, ∥·∥′ zwie Normen auf V. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: i) ∥·∥ und ∥·∥′ sind äquivalent. ii) (V, ∥·∥) und (V, ∥·∥′ ) sind topologisch äquivalent, d.h., U ⊆ V ist offen bzgl. ∥·∥ genau dann, wenn U offen ist bzgl. ∥·∥′ . iii) Die beiden Abbildungen id : (V, ∥·∥) → (V, ∥·∥′ ), v 7→ v id′ : (V, ∥·∥′ ) → (V, ∥·∥), v 7→ v sind stetig. 9.64 Korollar. Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum. Dann sind alle Normen auf V äquivalent. 9.65 Korollar. Sei (V, ∥·∥) ein endlich-dimensionaler normierter Vektorraum. Dann ist S ⊆ V genau dann kompakt, wenn S beschränkt und abgeschlossen ist. 9.66 Satz. ei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum. Dann ist V bzgl. jeder Norm vollständig, also ein Banachraum.
9.7 Aufgaben 87 9.7 Aufgaben 9.1 Aufgabe. Sei x ∈ Rn . Zeigen Sie: lim p→∞ ∥x∥p = max{|xi | : 1 ≤ i ≤ n}. 9.2 Aufgabe. Sei X eine beliebige Menge, (Y, d) ein metrischer Raum, und sei B(X,(Y, d)) := { f : X → Y : D(f(X)) < ∞} die Menge der (bzgl. d) beschränkten Funktionen f : X → Y. Sei nun (V, ∥·∥) ein normierter Vektorraum. Zeigen Sie, dass B(X,(V, ∥·∥)) mit der Supremumsnorm ∥ f ∥∞ := sup{∥ f(x)∥ : x ∈ X} ein normierter Vektorraum ist. 9.3 Aufgabe. Sei B([a, b],(R, | · |)) der Vektorraum der beschränkten reellen Funktionen. Zeigen Sie, C([a, b],(R, | · |)) := { f ∈ B([a, b],(R, | · |)) : f stetig } eine abgeschlossene Teilmenge von B([a, b],(R, | · |)) ist bzgl. der Supremumsnorm. 9.4 Aufgabe. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei S ⊆ X. Zeigen Sie: int(S) = {s ∈ S : s innerer Punkt von S}. 9.5 Aufgabe. Sei (X, d) ein metrischer Raum. S ⊆ X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (sn)n∈N ⊂ S eine gegen ein s ∈ S konvergente Teilfolge besitzt. Zeigen Sie: i) Ist S ⊆ X folgenkompakt, dann ist S abgeschlossen und beschränkt. ii) Ist S ⊆ X kompakt, dann ist S folgenkompakt (zeigen Sie zunächst, dass jede Folge einen Häufungspunkt hat). Die Umkehrung gilt auch, d.h. ist S folgenkompakt, dann auch kompakt. 9.6 Aufgabe. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. 9.7 Aufgabe. Seien Xi ⊆ Rni , 1 ≤ i ≤ m, abgeschlossen, wobei Rk jeweils mit der Standardmetrik ∥·∥ versehen ist. Zeigen Sie, dass X1 × X2 × · · · × Xm ⊆ R n1+·+nm abgeschlossen ist. 9.8 Aufgabe. Sei (V, ∥·∥) ein normierter Vektorraum. Zeigen Sie: (B(X,(V, ∥·∥)), ∥·∥∞) ist genau dann vollständig, falls (V, ∥·∥) vollständig ist.
88 9.7 Aufgaben 9.9 Aufgabe. Sei (X, d) ein metrischer Raum und für S, T ⊆ X sei d(S, T) := inf{d(s, t),s ∈ S, t ∈ T}. Zeigen Sie, dass für S, T ̸= ∅, S ∩ T = ∅ und S abgeschlossen und T kompakt stets gilt d(S, T) > 0. 9.10 Aufgabe. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei S ⊆ X zusammenhängend. Sei weiterhin T ⊆ X mit S ⊆ T ⊆ cl(S). Zeigen Sie, dass T zusammenhängend ist. 9.11 Aufgabe. Sei (V, ∥·∥) ein normierter Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: i) V ist wegzusammenhängend. ii) Die einzigen Mengen in V, die offen und abgeschlossen sind, sind V und ∅.
Mehrdimensionale Differentialrechnung 89 10 Mehrdimensionale Differentialrechnung 10.1 Notation. i) Im folgenden betrachten wir Abbildungen f : Rn → Rm für m, n ∈ N≥1. Falls nicht anders angegeben, fassen wir Rk als normierten Vektorraum mit der Euklidischen Norm ∥·∥2 auf, die wir auch nur mit ∥·∥ bezeichnen. ii) Die Menge der reellen m × n-Matrizen wird mit Rm×n bezeichnet. iii) Für eine Funktion f : U → Rm mit U ⊆ Rn offen und x0 ∈ U definieren wir Grenzwerte der Form limx→x0 f(x) in Analogie zu Definition 4.30. 10.2 Definition [siehe Satz 5.5]. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine Funktion. Jeder Punkt einer offenen Menge ist ein Häufungspunkt. i) Sei x0 ∈ U. Die Funktion f heißt in x0 differenzierbar, falls es ein M ∈ Rm×n und eine Funktion r : U → Rm gibt, so dass a) f(x) = f(x0) + M(x − x0) + r(x), b) limx→x0 ∥r(x)∥ ∥x−x0∥ = 0. Für x nahe zu x0 wird also f “gut” durch die lineare/affine Funktion f(x0) + M(x − x0) approximiert. Die Matrix M heißt die totale Ableitung oder das Differential und wird auch mit Df(x0) oder f ′ (x0) bezeichnet. ii) f heißt differenzierbar, falls f für alle x ∈ U differenzierbar ist. 10.3 Proposition. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine Funktion, die in x0 ∈ U differenzierbar ist. Dann ist das Differential Df(x0) eindeutig bestimmt. 10.4 Beispiel. i) Sei A ∈ Rm×n , v ∈ Rn . Dann ist die affine Abbildung f : Rn → Rm, f(x) := v + Ax differenzierbar mit Df(x) = A für alle x ∈ Rn . ii) Sei f : R2 → R mit f(x) = (x1) 2 + (x2) 2 , x = (x1, x2) ⊺ , und sei x0 = (1, 2) ⊺ . Mit M := (2, 4) ⊺ ∈ R2×1 ist r(x) := f(x) − f(x0) − M(x − x0) = (x1 − 1) 2 + (x2 − 2) 2 , und so limx→x0 ∥r(x)∥ ∥x − x0∥ = limx→x0 q (x1 − 1) 2 + (x2 − 2) 2 = 0. Somit ist Df(x0) = (2, 4) ⊺ .
90 Mehrdimensionale Differentialrechnung Die affine Abbildung f(x0) + M(x − x0) = −5 + 2 x1 + 4 x2 beschreibt eine Ebene {x ∈ R3 : x3 = −5 + 2 x1 + 4 x2} im R3 . Sie ist Tangentialebene an den Graphen n (x1, x2, f(x))⊺ : x ∈ R 2 o im Punkt (1, 2, 5) ⊺ . 10.5 Satz [siehe Satz 5.7]. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine Funktion, die in x0 ∈ U differenzierbar ist. Dann ist f stetig in x0. 10.6 Definition. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine Funktion, sei v ∈ Rn und sei x0 ∈ U. i) Falls der Grenzwert ∂v f(x0) := lim h→0 f(x0 + h v) − f(x0) h existiert, heißt er Ableitung von f entlang v in x0 und für ∥v∥ = 1 Richtungsableitung von f in Richting v bei x0. ii) Speziell für v = ei , i ∈ {1, . . . , n}, heißt ∂i f(x0) := ∂ei f(x0) die partielle Ableitung von f in der i-ten Koordinate xi . Man schreibt dafür auch ∂ f ∂xi (x0) oder ∂xi f(x0). iii) f heißt partiell differenzierbar in x0, falls alle partiellen Ableitungen ∂i f(x0), 1 ≤ i ≤ m existieren. iv) f heißt partiell differenzierbar, falls ∂i f(x), 1 ≤ i ≤ m, für alle Es ist ∂ x ∈ U existieren. i f : U → Rm. 10.7 Beispiel. Sei f : R3 → R mit f(x) := x1(x 2 2 + sin(x3)), dann ist ∂x1 f(x) = x 2 2 + sin(x3), ∂x2 f(x) = 2x1 x2, ∂x3 f(x) = x1 cos(x3). 10.8 Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine Funktion, die in x0 ∈ U differenzierbar ist. i) Dann existiert für jedes v ∈ Rn die Ableitung von f entlang v in x0 und es gilt ∂v f(x0) = (Df(x0)) v. ii) Insbesondere ist Df(x0) = (∂1 f(x0), . . . , ∂n f(x0)) ∈ R m×n . Die Matrix auf der rechten Seite heißt Jacobi-Matrix oder auch Funktionalmatrix.
Mehrdimensionale Differentialrechnung 91 10.9 Beispiel. i) Partielle Differenzierbarkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit: Die Funktion f : R2 → R mit f(x) = 0, x = 0, x 2 1 x2 x 2 1+x 2 2 , x ̸= 0. ist in 0 partiell differenzierbar, aber nicht diferenzierbar. ii) Partielle Differenzierbarkeit impliziert noch nicht einmal Stetigkeit: Die Funktion f : R2 → R mit f(x) = 0, x1 = 0 oder x2 = 0, 1, sonst. ist in 0 partiell differenzierbar, aber nicht stetig. 10.10 Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f1, f2 : U → Rm Funktionen, die in x0 ∈ U differenzierbar sind, dann gilt i) f1 + f2 : U → Rm ist in x0 differenzierbar, und es gilt D(f1 + f2)(x0) = Df1(x0) + Df2(x0). ii) Ist m = 1, dann ist auch f1 · f2 : U → R in x0 differenzierbar, und es gilt D(f1 · f2)(x0) = f2(x0)Df1(x0) + f2(x0)Df2(x0). iii) Entsprechende Aussagen gelten für Ableitungen entlang eines Vektors in x0 (anstatt Differenzierbarkeit). 10.11 Lemma. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm und sei fi : U → R, 1 ≤ i ≤ m, die i-te Komponentenfunktion, d.h., f(x) = f1(x) f2(x) . . . fm(x) . Dann ist f genau dann differenzierbar in x0 ∈ U, wenn fi in x0 ∈ U differenzierbar ist für 1 ≤ i ≤ m. In diesem Fall gilt dann Df(x0) = Df1(x0) Df2(x0) . . . Dfm(x0) . 10.12 Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm, sei f auf ganz U partiell differenzierbar und seien alle partiellen Ableitungen ∂i f : U → Rm, 1 ≤ i ≤ m, stetig. Dann ist f auf ganz U differenzierbar.
92 10.1 Kettenregel und Mittelwertsatz 10.13 Beispiel. Sei f : R3 → R2 gegeben durch f(x) = x 2 1 − cos(x1 x2 x3) x2x3 + e x1 x3 . ! Dann ist f1(x) = x 2 1 − cos(x1 x2 x3) und f2(x) = x2x3 + e x1 x3 . 10.14 Definition. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → Rm. Die Funktion f heißt stetig differenzierbar, wenn f differenzierbar ist auf U und die Ableitung U ∋ x 7→ Df(x) ∈ R m×n stetig ist. 10.15 Bemerkung. f : U → Rm ist genau dann stetig differenzierbar auf U, wenn f stetig partiell differenzierbar auf U ist, d.h. alle partiellen Ableitung existieren und sind stetig. 10.1 Kettenregel und Mittelwertsatz 10.16 Satz. Seien U ⊆ Rn , V ⊆ Rm offen, f : U → V in x0 ∈ U differenzierbar und sei g : V → Rk in f(x0) differenzierbar. Dann ist g ◦ f : U → Rk in x0 differenzierbar, und es gilt D(g ◦ f) (x0) = Dg (f(x0)) Df(x0). 10.17 Definition. Sei V ein R-Vektorraum. Eine Teilmenge S ⊆ V heißt konvex, falls für alle s1, s2 ∈ S gilt [s1, s2] := {s1 + t(s2 − s1) : t ∈ [0, 1]} ⊆ S. In Analogie zu der Intervallnotation sei (s1, s2) := {s1 + t(s2 − s1) : t ∈ (0, 1)} und ebenso [s1, s2), (s1, s2]. 10.18 Satz. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm differenzierbar. Seien x1, x2 ∈ U und sei [x1, x2] ⊂ U. Dann gibt es ein x∗ ∈ (x1, x2) mit f(x2) − f(x1) = (Df(x ∗ ))(x2 − x1) = ∂x2−x1 f(x ∗ ). 10.19 Korollar. Sei U ⊂ Rn ein Gebiet, f : U → Rm differenzierbar, und sei Df(x) = 0 für alle x ∈ U. Dann ist f konstant. 10.20 Korollar. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → Rm stetig differenzierbar. Sei S ⊂ U kompakt und konvex. Dann ist f Lipschitzstetig auf S, d.h., es gibt eine Konstante L, so dass ∥ f(x) − f(y)∥ ≤ L · ∥x − y∥. 10.2 Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation 10.21 Definition. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → Rm eine partiell differenzierbare Funktion.
10.2 Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation 93 i) f heißt zweimal partiell differenzierbar falls alle partiellen Ableitungen ∂i1 f : U → R m, 1 ≤ i1 ≤ n, partiell differenzierbar sind, d.h., für alle 1 ≤ i1, i2 ≤ n und alle x ∈ U existieren ∂i2 ∂i1 f(x). ∂i2 ∂i1 f heißt partielle Ableitung 2ter Ordnung. ii) Allgemein heißt f (k + 1)-mal partiell differenzierbar falls f k-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen kter Ordnung ∂ik ∂ik−1 . . . ∂i1 f , 1 ≤ ij ≤ n, 1 ≤ j ≤ k, partiell differenzierbar sind iii) Analog definiert man k mal stetig partiell differenzierbar. 10.22 Satz [Schwarz]. Sei U ⊆ Rn offen, und sei f : U → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für 1 ≤ i, j ≤ n und x ∈ U ∂i∂j f(x) = ∂j∂i f(x). 10.23 Korollar. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R eine kmal stetig differenzierbare Funktion. Seien ij ∈ {1, . . . , n} für 1 ≤ j ≤ k, und sei σ eine Permutation von {1, . . . , k}. Dann gilt für x ∈ U ∂ik ∂ik−1 . . . ∂i1 f(x) = ∂iσ(k) ∂iσ(k−1 ) . . . ∂iσ(1) f(x). 10.24 Notation. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Für α = (α1, . . . , αn) ⊺ ∈ Nn mit |α|1 := α1 + α2 + · · · + αn ≤ k sei ∂ α f := ∂ α1 1 ∂ α2 2 . . . ∂ αn n f := ∂1 · · · ∂1 | {z } α1 times ∂2 · · · ∂2 | {z } α2times . . . ∂n · · · ∂n | {z } αntimes f . Weiterhin sei α! := α1!α2! . . . αn! und für x = (x1, . . . , xn) ⊺ ∈ Rn sei α x := x α1 1 x α2 2 · · · x αn n . 10.25 Lemma. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x0 ∈ U und h ∈ Rn , so dass [x0, x0 + h] ⊂ U. Dann ist die Funktion g : [0, 1] → R mit g(t) := f(x0 + th) k-mal stetig differenzierbar und es gilt g (k) (t) := ∑ α∈Nn |α|1=k k! α! ∂ α f(x0 + th)h α .
94 10.2 Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation 10.26 Satz [Taylorsche Formel]. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R eine (k + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x0 ∈ U und x ∈ U, so dass [x0, x] ⊂ U. Dann gibt es ein x ∗ ∈ [x0, x] so dass f(x) = f(x0) + k ∑ j=1 ∑ α∈Nn |α|1=j 1 α! ∂ α f(x0)(x − x0) α + ∑ α∈Nn |α|1=k+1 1 α! ∂ α f(x ∗ )(x − x0) α . 10.27 Korollar. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R eine k-mal stetig differenzierbare Funktion, und sei x0 ∈ U. Dann gibt es ein ϵ > 0, so dass für alle x ∈ Bϵ(x0) ⊆ U gilt f(x) = f(x0) + k−1 ∑ j=1 ∑ α∈Nn |α|1=j 1 α! ∂ α f(x0)(x − x0) α + Rf ,k,x0 (x), wobei Rf ,k,x0 : Bϵ(x0) → R erfüllt limx→x0 Rf ,k,x0 (x) ∥x − x0∥ k = 0. 10.28 Definition. Sei U ⊆ Rn offen und sei f : U → R. i) Ist f partiell differenzierbar, so heißt für x ∈ Rn der Vektor ∇ f := (∂1 f(x), . . . , ∂n f(x))⊺ ∈ R n Gradient von f , und wird auch mit gradf(x) bezeichnet. Das Symbol ∇ wird “nabla” gesprochen. ii) Ist f zweimal partiell differenzierbar, so heißt für x ∈ Rn die Matrix Hf (x) := (∂i∂j f(x))1≤i≤n heißt Hesse-Matrix von f . 10.29 Lemma. Sei U ⊆ Rn offen, sei f : U → R und sei [x0, x] ⊂ U. i) Ist f stetig partiell differenzierbar, dann ist ∑ α∈Nn |α|1=1 1 α! ∂ α f(x0)(x − x0) α = ∂x−x0 f(x0) = ⟨∇ f(x0), x − x0⟩, hierbei ist ⟨v, w⟩ = ∑ n i=1 viwi das Standardskalarprodukt if Rn . ii) Ist f zweimal stetig partiell differenzierbar, dann ist Hf (x) eine symmetrische Matrix, und es gilt ∑ α∈Nn |α|1=2 1 α! ∂ α f(x0)(x − x0) α = (x − x0) ⊺Hf (x0)(x − x0). 10.30 Definition [Landau-Symbole]. Sei U ⊆ Rn offen, und seien f , g : U → R. Sei x0 ∈ cl U. i) Gibt es für ein ϵ > 0 ein Cϵ > 0 mit | f(x)| ≤ Cϵ|g(x)| für alle x ∈ Bϵ(x0) ⊆ U, dann heißt f bei x0 von der Ordnung groß O von g und man schreibt f(x) = O(g(x))( oder f = O(g)) für x → x0.
10.3 Extrema 95 ii) Gilt sogar limx→x0 | f(x)| |g(x)| = 0, dann heißt f bei x0 von der Ordnung klein o von g und man schreibt f(x) = o(g(x))( oder f = o(g)) für x → x0. 10.31 Korollar [Lineare und quadratische Approximation]. Sei U ⊆ Rn offen, sei f : U → R und sei x0 ∈ U. i) Ist f einmal stetig partiell differenzierbar, dann gilt für x → x0 f(x) = f(x0) + ⟨∇ f(x0), x − x0⟩ + o(∥x − x0∥). ii) Ist f zweimal stetig partiell differenzierbar, dann gilt für x → x0 f(x) = f(x0) + ⟨∇ f(x0), x − x0⟩ + 1 2 (x − x0) ⊺Hf (x0)(x − x0) + o(∥x − x0∥ 2 ). 10.32 Korollar. Sei U ⊆ Rn offen, sei f : U → R stetig partiell differenzierbar und sei x0 ∈ U, mit ∇ f(x0) ̸= 0. Sei h ∈ Rn mit ∥h∥ = 1. Dann gibt es ein ϵ > 0, so dass für alle t ∈ [0, ϵ] gilt f(x0 + th) ≤ f x0 + t 1 ∥∇ f(x0)∥ ∇ f(x0) . Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs, bzw. −∇ f(x0) in die Richtung des stärksten Abstiegs. 10.3 Extrema 10.33 Definition. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R, und sei x0 ∈ U. i) x0 heißt lokales Maximumum von f , falls es ϵ > 0 gibt mit f(x0) ≥ f(x) für alle x ∈ Bϵ(x0) ⊆ U. ii) x0 heißt striktes lokales Maximumum von f , falls es ϵ > 0 gibt mit f(x0) > f(x) für alle x ∈ Bϵ(x0) \ {x0} ⊆ U. iii) x0 heißt globales Maximumum von f , falls es ϵ > 0 gibt mit f(x0) ≥ f(x) für alle x ∈ U. iv) x0 heißt striktes globales Maximumum von f , falls f(x0) > f(x) für alle x ∈ U \ {x0}. v) x0 heißt (striktes) lokales (globales) Minimumum von f falls x0 (striktes) lokales (globales) Maximumum von −f ist. vi) x0 heißt (striktes) lokales (globales) Extremum falls x0 ein (striktes) lokales (globales) Maximum/Minimum ist. 10.34 Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R eine Funktion, und sei x0 ∈ U ein lokales Extremum. Ist f in x0 partiell differenzierbar, dann ist ∇ f(x0) = 0. 10.35 Definition. Sei M ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix.
96 10.4 Kurven i) M heißt positiv definit falls für alle x ∈ Rn \ {0} gilt x ⊺Ax > 0. e ii) M heißt positiv semidefinit falls für alle x ∈ Rn gilt x ⊺Axgeq0. iii) M heißt negativ (semi)definit falls −M positiv (semi)definit ist. iv) M heißt indefinit, falls es x, y ∈ Rn gibt x ⊺Ax > 0 und y ⊺Ay < 0. 10.36 Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f : U → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, und sei x0 ∈ U mit ∇ f(x0) = 0. i) Ist Hf (x0) positiv definit, dann ist x0 ein striktes lokales Minimum. ii) Ist Hf (x0) negativ definit, dann ist x0 ein striktes lokales Maximum. iii) Ist Hf (x0) indefinit, dann ist x0 kein lokales Extremum. 10.37 Beispiel. Ist Hf (x) semidefinit, dann lassen sich keine generellen Aussagen machen: für alle drei Funktion fi : R2 → R mit f1(x) := x 2 1 + x 4 2 , f2(x) = x 2 1 , f3(x) := x 2 1 + x 3 2 ist ∇ fi(0) = 0 und Hf i (0) = 2 0 0 0! . Aber f1 hat 0 ein striktes lokales Minimum, f2 ein lokales Minimum und f3 hat kein lokales Extremum in 0. 10.4 Kurven 10.38 Definition. Sei I ⊆ R. Eine Funktion ϕ : I → Rm, also ϕ(x) = (ϕ1(x), . . . , ϕm(x))⊺ , heißt Kurve. i) Ist ϕ differenzierbar, dann heißt der Vektor ϕ ′ (x) = Dϕ(x) = (ϕ ′ 1 (x), . . . , ϕ ′ m(x))⊺ = lim h→0 f(x + h) − f(x) h Tangentialvektor oder auch Geschwindigkeitsvektor der Kurve ϕ. ii) Sei I = [a, b]. Die Kurve ϕ heißt rektifizierbar mit Länge L, wenn zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für jede Zerlegung a = t0 < t1 < · · · < tk = b mit max{ti − ti−1 : i = 1, . . . k} ≤ δ gilt k ∑ i=1 ∥ϕ(ti) − ϕ(ti−1)∥ − L < ϵ.