©PAN ASIA PUBLICATIONS
Ciri-ciri Ekstra Buku Ini
BAB
1 Fungsi
SKOP Bestari
skop bestari • Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan Muka 3 Peta konsep
Standard Pembelajaran yang Penting
surat
tatatanda.
• Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi.
1.1 Fungsi
• Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya. 5 6
Mengandungi Standard • Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi. 9 10 Kandungan keseluruhan
• Menentukan fungsi gubahan.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
• Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan 11 bab diringkaskan dalam
Pembelajaran (SP) yang • Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan 12
1.2 Fungsi Gubahan
sebaliknya.
salah satu fungsinya diberi.
perlu dicapai dalam setiap • Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan. 13 bentuk peta konsep.
• Memerihalkan songsangan suatu fungsi. 15
bab. 1.3 Fungsi Songsang • Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi 16 19
songsang.
• Menentukan fungsi songsang.
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma
Kata Kunci Tg 5
Bab 3 Pengamiran Matematik Tambahan
• Tatatanda fungsi / Function notation • Fungsi selanjar / Continuous function Konsep
• Ujian garis mencancang / Vertical line test
3.1 Pengamiran sebagai Contoh 1 • Objek / Object
• Fungsi tidak tertakrif / Undefined function
• Imej / Image
Songsangan Pembezaan (a) Jika f(x) = 9x 2 + 5x dan f(x) = 18x + 5, cari • Domain / Domain
• Fungsi nilai mutlak / Absolute value function
• Verteks / Vertex
• Garis nombor / Number line
• Unsur / Element
Perkaitan antara pembezaan dengan ∫ (18x + 5) dx. • Kodomain / Codomain Indeks, Surd dan Logaritma
• Julat / Range
pengamiran (b) Diberi y = 4x(1 – x) 3 dan dy = g(x), cari • Fungsi gubahan / Composite function
• Fungsi diskret / Discrete function ∫ g(x) dx.
dx
• Hubungan / Relation
(c) Diberi dy 5 • Gambar rajah anak panah / Arrow diagram
• Pemetaan / Mapping ∫ h(x) dx.
dx ( 3 – x ) = h(x), cari
1. Diberi y = x 3 + 7, maka dy = 3x 2 . • Hubungan satu dengan satu / One to one relation BAB • Pasangan bertertib / Oriented pairs
dx BAB Indeks Logaritma Surd
Penyelesaian:
• Hubungan banyak dengan satu
• Ujian garis mengufuk / Horizontal line test
Many to one relation
Sebaliknya, jika diberi dy = 3x 2 , maka y = x 3 + 7 (a) Diberi f(x) = 9x 2 + 5x 3 • Fungsi songsang / Inverse function 4
boleh diperolehi. dx • Fungsi berulang / Repeating-recurring function • Konjektur / Conjecture
f (x) = 18x + 5
2. Proses songsangan bagi pembezaan ini Seterusnya, ∫ 18x + 5 dx = f(x) Bentuk Indeks Bentuk Bentuk surd
Dalam bentuk
dinamakan sebagai pengamiran. 1 indeks N = a x Í log a N = x logaritma n ! a punca kuasa
∫ 18x + 5 dx = 9x 2 + 5x
3. Jika d [f(x) = f (x), maka kamiran bagi f (x) Maka, ∫ (18x + 5) dx ialah 9x 2 + 5x. Asas Ciri-ciri surd:
dx
• Tidak boleh dipermudah
terhadap x ialah ∫ f (x) dx = f(x). (b) Diberi y = 4x(1 – x) 3 • Nombor dalam perpuluhan
dy = g(x) yang tidak berulang.
Hukum indeks
Hukum logaritma:
Pembezaan dx d [f(x)] = f (x) dx (a) a m × a n = a m + n (a) log a a = 1 Contoh: ! 3 , 3 ! 11, 5 ! 11
Seterusnya, ∫ g(x) dx = y (b) a m ÷ a n = a m – n (b) log a 1 = 0
∫ g(x) dx = 4x(1 – x) 3 (c) (a m ) n = a m × n (c) log e = ln (e) Tg 5 Hukum surd
1
(d) log a mn = log a m + log a n
Pengamiran ∫ f (x) dx = f(x) Maka, ∫ g(x) dx ialah 4x(1 – x) 3 . Bab 1 Sukatan Membulat m (Hukum hasil darab) (a) ! a × ! b = ! ab
(d) a n = n ! a Matematik Tambahan
(e) a n = n ! a m
(c) Diberi d dx ( 3 – x ) = h(x) 1.1 Radian Contoh 1 (e) log a m = log a m – log a n BAB (b) ! a ÷ ! b = ! a b
5
n
(f) a m = a n , m = n
(Hukum hasil bahagi)
(g) a m = b m , a = b
(f) log a m n = n log a m 1
dengan a . 0, a ≠ 1
Seterusnya, ∫ h(x) dx = y Membuat perkaitan antara ukuran sudut Tukarkan sudut di dalam unit radian kepada dengan a . 0, b . 0
Perbezaan antara pembezaan ∫ h(x) dx = 5 darjah. [Guna π = 3.142] (Hukum kuasa)
dengan pengamiran 3 – x dalam radian dengan darjah (a) 1.15 radian (g) log a q ! m = 1 log a m
q
bit.ly/2K4y3b0 Maka, ∫ h(x) dx ialah 5 . 1. Dalam sukatan membulat, sudut boleh diukur (b) 5π radian dengan a . 0, m ≠ 0
(Hukum punca kuasa)
6
3 – x
Cuba soalan 1 hingga 5 dalam Zon Formatif 3.1 dalam 2 unit, iaitu Penyelesaian:
(a) darjah (°) dan minit (ʹ).
Z on Formatif 3.1 (b) unit radian (dalam atau bukan dalam (a) 1.15 rad = 1.15 × 180° Surd dan Konjugat surd
π rad = 180°
sebutan π).
1. Jika f(x) = 7 – 3x 4 dan f(x) = –12x 3 , cari ∫ –12x 3 dx. K1 3. Diberi d (x 2 – 5x + c) = 2x – 5, cari ∫ (2x – 5) dx. 2. Radian melibatkan sudut yang berkaitan dengan = 1.15 × 180° π Surd Konjugat surd
m! a
3.142
m! a
K1 dx jejari dan lilitan sebuah bulatan. Rajah di bawah = 65.89°
2
x Tg 4
2. Diberi dy = 2x – 2 dan y = ( x + 1 ) , cari menunjukkan sudut di dalam darjah dan minit (b) π rad = 180° m! a + n! b m! a – n! b
dx x 3 4. Diberi d ( 4 + 5x) = g(x), cari ∫ g(x) dx. K2 dan radian dalam sebuah bulatan dengan jejari 5π rad = 5π × 180°
x 3)
Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma
Matematik Tambahan
∫ ( 2x – 2 dx. K1 dx x 2 yang sama panjang. 6 6 π m! a – n! b m! a + n! b
5. Diberi y = f(x) dan dy = 3h(x), cari ∫ h(x) dx. K2 3. Pertimbangkan m = a p dan n = a q dalam bentuk = 5 × 180°
Contoh 29
dx
6
indeks adalah log a m = p dan log a n = q.
PORTAL SPOTLIGHT 3.2 Kamiran Tak Tentu Nilaikan setiap yang berikut. (b) log 10 n + 1 + c dengan keadaan (a) Hasil darab log a m dan log a O 1 rad Kaedah Alternatif
= 150°
57° 17' n
(c) ∫ ax n dx = ax n + 1 31.2
(a) log 10 84
Dengan hukum indeks;
O
(d) log 10 3.4 2
(c) log 10 0.764
m × n = a p × a q
Gantikan π =180° ke dalam ungkapan
Menerbitkan dan menentukan kamiran tak
n ≠ 1 dan c ialah pemalar.
mn = a p + q
perpuluhan.
tentu bagi fungsi algebra Berikan jawapan anda betul dalam empat tempat log a mn = log a a p + q 5π = 5(180°) = 150°
6
6
2. Berikut merupakan langkah-langkah dalam
log a mn = p + q
Penyelesaian: Dalam radian Dalam darjah dan minit
mencari kamiran suatu fungsi:
1. Rumus-rumus pengamiran: (a) log 10 84 = 1.9243 Gantikan log a m = p dan log a n = q, 68 Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1
1 rad = 57° 17ʹ
Langkah 1: Kekalkan pemalar a.
log a mn = log a m + log a n
(a) ∫ a dx = ax + c dengan keadaan a dan c
Imbas kod QR untuk ialah pemalar. BAB Kalkulator dengan 1, menjadi n + 1. 3. Satu radian adalah suatu ukuran bagi sudut yang
Langkah 2: Tambahkan indeks bagi x, iaitu n
Hukum hasil darab
1. Tekan log 8 4 =
log a mn = log a m + log a n
tercangkum pada pusat sebuah bulatan dengan
Langkah 3: Bahagikan sebutan dengan indeks
(b) ∫ x n dx = x n + 1 4 2. Skrin akan memaparkan Hasil darab antara m dan n merupakan Tukarkan Contoh 2
keadaan panjang lengkok adalah sama dengan
n + 1 + c dengan keadaan n ≠ 1
baharu.
hasil tambah log m dan log n.
1.924279286
panjang jejari bulatan.
melayari laman web atau (b) log 10 31.2 = 1.4942 ditentukan kemudian. Dengan hukum indeks, j j (a) 30° kepada unit radian, dalam sebutan π.
dan c ialah pemalar.
Langkah 4: Pemalar c yang nilainya akan (b) Hasil bahagi log a m dan log a n
(b) 200° kepada unit radian.
3.1.1 3.2.1 3.2.2 (c) log 10 0.764 = –0.1169 289 m ÷ n = a p ÷ a q O 1 radian j [Guna π = 3.142]
(d) log 10 3.4 2 = 1.0630
Penyelesaian:
video berkaitan subtopik Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.3 log a m = log a a p – q (a) 180° = π rad
m = a p – q
n
log a n n m = p – q 30° = 30° × π 180° KAEDAH ALTERNATIF
Contoh 30
= π rad
4. Sudut yang tercangkum pada pusat bulatan,
yang dipelajari. Nilaikan setiap yang berikut. (b) antilog 0.4563 Gantikan log a m = p dan log a n = q, (b) 180° = π rad 6
˙AOB ialah 1 radian jika panjang lengkok AB
log a ( m ) = log a m – log a n
adalah sama dengan panjang jejari bulatan.
n
(a) antilog 3.2543
(c) antilog (–1.1547) (d) antilog (–1.066) Hukum hasil bahagi 200° = 200° × π 180°
AB = OA = OB = j
Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat log a ( m ) = log a m – log a n 200° = 200° × 3.142
n
perpuluhan. Hasil bahagi antara m dan n merupakan 180°
5. Hubungan antara ukuran sudut di dalam bulatan
Penyelesaian: hasil tolak log m dan log n. = 3.49 rad
dengan darjah ialah
(a) antilog 3.2543 = 1 795.97 (c) Kuasa log a m π rad = 180° Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.1 Mencadangkan
Kalkulator Dengan hukum indeks;
6. Penukaran unit suatu sudut di dalam darjah kepada
1. Tekan shift log 3 . 2 5 4 3 = m n = (a p ) n Kalkulator
radian dan sebaliknya adalah seperti berikut:
2. Skrin akan memaparkan log a m n = log a (a p ) n log a m = p × 180° Semak jawapan dalam Contoh 2(b) menggunakan penyelesaian alternatif
log a m n = pn
1 795.973813
kalkulator,
π
KALKULATOR (b) antilog 0.4563 = 2.86 log a m n = n log a m Radian Darjah 1. Tekan 2 0 0 × SHIFT EXP ÷ 1 8 0
Hukum kuasa
2. Skrin akan memaparkan 3.490658504 untuk soalan-soalan
=
log a m n = n log a m
(c) antilog (–1.1547) = 0.70
(d) antilog (–1.066) = 0.09
Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.3 (d) Diberi m = a p , × π 180°
Dengan hukum indeks;
q ! m = q 1.1.1 ! (a p ) 239Tg 5
Membuktikan hukum logaritma log a q ! m = log a q ! (a p ) Bab 2 Pembezaan Matematik Tambahan tertentu.
Memaparkan cara 1. Terdapat satu peraturan dalam melakukan log a q ! m = log a (a p ) q 1 y — dy dx = 0 Titik maksimum 6. Kaedah yang digunakan dalam menentukan
sama ada titik pusingan adalah titik minimum
operasi yang melibatkan logaritma. Peraturan
ini dikenali sebagai hukum logaritma.
atau titik maksimum ialah
log a q ! m = 1 (p)
q
penggunaan kalkulator 2. Berikut adalah hukum asas bagi logaritma: log a q ! m = 1 log a m dy — dx > 0 — dy dx < 0 (a) kaedah lakaran tangen, BAB 2
(a) Hukum hasil darab
(b) kaedah pembezaan peringkat kedua.
q
(b) Hukum hasil bahagi
Hukum punca kuasa
TIP Bestari
(c) Hukum kuasa
(d) Hukum punca kuasa log a q ! m = 1 log a m y = f(x) • Kaedah lakaran tangen digunakan untuk
q
saintifik dalam 0 x 1 – x x 1 x 1 + x x • Kaedah pembezaan peringkat kedua digunakan
menentukan sifat suatu titik pegun.
4.3.2
80
Nilai x 4.3.1 x – dx x x + dx untuk menentukan sifat suatu titik pusingan.
pengiraan matematik. Tanda dy dx (+) 0 (–) A Kaedah lakaran tangen
Lakaran
Contoh 33
tangen Tg 5 Diberi lengkung y = 5x 3 + 2x 2 – 3x.
Bab 6 Fungsi Trigonometri Matematik Tambahan (a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkuk itu.
B Titik minimum (b) Seterusnya, tentukan sama ada titik
persilangan itu ialah titik maksimum atau titik
Contoh 14 Contoh 15 Suatu titik pegun adalah minimum apabila kecerunan minimum.
lengkung berubah daripada negatif kepada sifar dan
Diberi f(x) = 4 kos 2x untuk 0 < x < 2π. Lakarkan graf bagi fungsi trigonometri berikut Penyelesaian:
kemudian kepada positif.
(a) Nyatakan kala bagi graf fungsi y = f(x). dalam julat yang diberi. y (a) y = 5x 3 + 2x 2 – 3x
Seterusnya, nyatakan bilangan kitaran graf (a) y = sin x + 1 untuk 0 < x < 2π d y = 15x 2 + 4x – 3
dalam julat tersebut. y = f(x) dx
(b) Nyatakan amplitud bagi graf tersebut. (b) y = –2 kos x untuk 0 < x < 2π = (5x + 3)(3x – 1)
(c) y = | tan x | untuk 0 < x < 2π
(c) Tuliskan koordinat bagi titik maksimum dan titik (d) y = | kos 2x | + 1 untuk 0 < x < 2π dy Titik pusingan, d y = 0,
minimum. — dy < 0 — > 0 dx
(d) Lakarkan graf fungsi y = f(x). Penyelesaian: dx dx (5x + 3)(3x – 1) = 0
(e) Pada paksi yang sama, lakarkan graf fungsi (a) y = sin x + 1 untuk 0 < x < 2π Titik dy — = 0 x = – 3 dan x = 1 3 Tip Bestari
5
y = –|4 kos 2x| untuk 0 < x < 2π. 1 Lakar graf asas sinus, y = sin x. minimum 0 x 2 – x x 2 x 2 + x dx x Apabila x = – 3 , y = 5 ( – 3 ) + 2 ( – 3 ) – 3 ( – 3 ) 5
2
3
5
5
Penyelesaian:
5
CONTOH Bandingkan f(x) = 4 kos 2x dengan fungsi asas 2 Graf bergerak ke atas 1 unit, translasi 0 1 dx x – dx x 0 x + dx (+) Apabila x = 1 , y = 5 ( 1 ) + 2 ( 1 ) – 3 ( 1 ) 3
= 36
Nilai x ( ) .
25
kosinus, f(x) = a kos bx + c
Tanda dy
2
3
(–)
3
(a) Kala 2π = π atau 180°. Bilangan kala, b = 2.
3
3
2
= – 16
(b) Amplitud, a = 4 y Lakaran Maka, titik pusingan ialah ( – 3 , 36 ) dan Tip berguna untuk
27
(c) Titik maksimum: (0, 4), (π, 4) dan (2π, 4). 2 y = sin x + 1 tangen
Titik minuimum: ( π , – 4) dan ( 3π , – 4) 1 BAB 6 ( 1 , – 16 ) . 27 5 25
2
2
3
Contoh dan (d) Bagi melakar graf fungsi y = 4 kos 2x: –1 O π – 2 y = sin x 3π –– 2 2π C Titik lengkok balas (b) Pada titik ( – 3 , 36 ) – 2 membantu murid
(a) Titik pegun merupakan titik yang tidak berubah
x
5 25
π
Bilangan kelas = 2 × 2 × 2 = 8
tanda.
Saiz selang kelas = 2π = π
8 4 –2 (b) Titik ini tidak termasuk di dalam titik x – 4 5 – 3 5 5
pusingan.
penyelesaian lengkap x y 0 4 – 4 π 2 π 4 3π 2 – 4 2π 4 (b) y = –2 kos x untuk 0 < x < 2π Kecerunan Kecerunan sifar Kecerunan Nilai d y dx 17 5 + 0 0 – 11 5 menyelesaikan masalah
positif
Tanda d y
1 Lakar graf y = kos x.
–
positif
untuk meningkatkan Maka, graf fungsi y = 4 kos 2x: 2 Pantulkan graf 1 pada paksi-x untuk Lakaran dx dalam subtopik
y
memberikan graf y = – kos x.
4 y Kecerunan Kecerunan sifar tangen
negatif
Lakaran
Kecerunan
kefahaman murid 2 x 2 negatif graf berkaitan.
O
π – 2 π 3π –– 2π 1 y = – kos x
–2 2 2.4.4 275
terhadap bab yang –4 –1 O π – 2 y = kos x –– 3π 2 2π x
π
(e) Langkah dalam melakar graf y = –|4 kos 2x| –2
dipelajari. 1 y = |4 kos 2x| merupakan pantulan graf di 3 Nilai a adalah –2. Maka, nilai maksimum
bahagian negatif pada paksi-x.
2 y = –|4 kos 2x| merupakan pantulan graf di
1 pada paksi-x. ialah (π, 2) dan nilai minimum ialah (0, –2)
dan (2π, –2).
y
y
4
2 y = –2 kos x
2
1
x
O π 3π –– 2π y = – kos x x
–2 π – 2 2 O π 3π –– 2π
–1 π – 2 2
–4
–2
Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 6.3
6.3.1 363
iv
Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 4 22/01/2021 5:01 PM
Tg 4 Matematik Tambahan Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma
TAG “CUBA SOALAN … 2. Terdapat juga ungkapan yang melibatkan surd 5. Surd tidak serupa ialah nombor yang tidak
mempunyai faktor nombor tak nisbah yang
yang tidak dapat dipermudahkan. Contohnya,
sama.
! 5 , ! 29 dan ! 111.
2 ! m ! pq –2! h
3
DALAM ZON FORMATIF...” Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, ungkapkan
Contoh 15
ungkapan surd dengan ungkapan termudah.
(a) ! 12 (b) ! 288 Tiada faktor nombor tak nisbah yang sama.
(c) ! 500 (d) ! 27 Contoh 16
BAB Penyelesaian: Antara 2! 12, 2! 27 dan 3! 20, yang manakah
merupakan surd serupa?
Tag yang terletak di akhir 4 (a) ! 12 = ! 4 × 3 Permudahkan ungkapan surd dalam bentuk
Penyelesaian:
= ! 4 × ! 3
= 2 × ! 3
= 2! 3 termudah. Tg 4
2! 12 = 2! 4 × 3
contoh membimbing murid (b) ! 288 = ! 12 × 24 = 2 × ! 4 × ! 3 Matematik Tambahan Bab 3 Sistem Persamaan
= ! (4 × 3) × (4 × 6)
= 4! 3
= ! 4 × 3 × 4 × 2 × 3 2! 27 = 2! 9 × 3 Z on Formatif 3.1
= ! 4 2 × ! 3 2 × ! 2
untuk menjawab soalan yang = 4 × 3 × ! 2 = 2 × ! 9 × ! 3 1. Perihalkan sama ada persamaan-persamaan 5. Rajah di bawah menunjukkan Vistor Play di
= 6! 3
= 12! 2
(c) ! 500 = ! 5 × 100 3! 20 = 3 × ! 4 × ! 5 yang berikut adalah sistem persamaan linear sebuah taman tema yang menggunakan 3
dalam tiga pemboleh ubah atau bukan. K1
warna token yang berbeza, iaitu merah (M),
= 6! 5
berkaitan dalam Zon Formatif. = ! 5 × ! 100 2! 12 dan 2! 27 mempunyai faktor nombor tak (a) 3x + 5y – 7z = 19 biru (B) dan kuning (K) untuk mesin permainan
video mereka.
–2x + 6y – 9z = 11
= ! 5 × 10
x – y – 4z = 5
= 10! 5 nisbah yang sama, iaitu ! 3 . Manakala, 3! 20 tidak BAB (b) x + 2y – 8z 2 = 13
(d) ! 27 = ! 9 × 3 mempunyai faktor nombor tak nisbah yang sama 3 9z – 3x + 2y = 11
= ! 9 × ! 3 dengan 2! 12 dan 2! 27. 3x + 5y + 2z = 4 M
= 3 × ! 3 Maka, hanya 2! 12 dan 2! 27 adalah surd serupa. (c) 2a + 3b – 6 = 9c B
= 3! 3 3a – 4b + 5c – 2 = 0
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.2 Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.2 4(a + 3b – 5c) = 4 K Zon Formatif
©PAN ASIA PUBLICATIONS
6. Operasi asas bagi ungkapan yang melibatkan 2. Selesaikan sistem persamaan linear yang
surd ialah penambahan, penolakan dan berikut dengan kaedah penghapusan. K2
3. Operasi asas bagi ungkapan yang melibatkan pendaraban. (a) x – 5y + 5z = 15
surd boleh dipermudahkan dengan mengenal 7. Bagi surd serupa, operasi asas dilakukan ke –6x + 6y – 2z = –30 Azman, Raju dan Lee masing-masing
pasti ungkapan berikut adalah surd serupa atas pekali ungkapan itu. 5x + z = –3 membelanjakan RM20 untuk bermain
atau surd tidak serupa. (a) Penambahan: (b) 4x – 2y + 10z = –6 di taman tema itu. Azman membeli 14
Soalan untuk menguji
4. Surd serupa ialah ungkapan atau operasi yang –10x + 3y – 4z = 32 token merah, 20 token biru dan 24 token
mempunyai surd sebagai faktor nombor tak a! m + b! m = (a + b)! m 3x – 10y + 3z = –26 kuning. Raju pula membeli 20 token
merah, 15 token biru dan 19 token kuning
nisbah yang sama. (c) –7x + 3y + 7z = 44 manakala Lee membeli 30 token merah,
(b) Penolakan: 6x – y – 3z = –41 5 token biru dan 13 token kuning. Berapakah
K3 pemahaman
4x – 8y – 10z = –6
4! a 2 ! a 3 –77! a a! m – b! m = (a – b)! m harga bagi sekeping token merah, biru dan
3. Selesaikan sistem persamaan linear yang kuning?
(c) Pendaraban: berikut dengan kaedah penggantian. K1
murid di akhir setiap
! a ialah faktor nombor (a) 4x – z = 14 6. Rajah di bawah menunjukkan harga tiket
tak nisbah yang sama. a! m × b! m = (a × b)! m –9x + 5y + z = –19 mengikut kategori di Pawangam First View.
z = –x – y + 9
Tg 5 (b) 2x – 3y = 10 T-Rex
Matematik Tambahan Bab 5 Taburan Kebarangkalian 6x + y – 3z = 1
x + 3y + 5z = 11
74 4.2.3 (c) 7x – 4z = –14 subtopik.
Soalan KBAT Mirip SPM PEMERIKSA x – 5y – 5z = 24 Sedang
KOMEN
6x + 2y – 4z = –6 ditayangkan
Kertas 1
1. Juruaudit bank menyatakan bahawa baki kad Tips pemeriksa: 4. Selesaikan setiap sistem persamaan linear yang Dapatkan Harga tiket
Kanak-kanak: RM5
tiket anda
kredit individu adalah bertaburan normal Diberi m = 11, s = 4, maka X ~ N(11, 4) berikut. K2 sekarang Dewasa: RM6
dengan min RM2 870 dan varians RM810 000. (a) Panjang ikan lebih daripada 14 inci, X . 14. (a) 3x – z = 5
Apakah kebarangkalian untuk seorang Tukarkan pemboleh ubah X kepada Z – 4x + 6y + z = 12
pemegang kad kredit mempunyai baki kad P(X . x) = P( Z . X – m ) z – 6y = 6 Pada bulan lepas, pawagam itu berjaya
yang kurang daripada RM2 500? K4 s (b) 3x + y – 8z = 0 menjual sebanyak 8 500 tiket dengan jumlah
Komen pemeriksa: P(X . 14) = P( Z . 14 – 11 ) –x – y + 2z = 12 RM64 600. Berapakah bilangan tiket yang telah
Katakan X ialah baki kad kredit 4 –2x + 6z = –1 dijual bagi setiap kategori jika kebiasaannya
jumlah tiket yang terjual adalah dua kali ganda
m = 2 870, s 2 = 810 000 = P(Z . 0.75) (c) 2x – 6y – 3z = 8
s = 900 = 0.2266 – 4x + y – z = 1 daripada bilangan tiket murid? K3
BAB Diberi X adalah kurang daripada RM2 500. Daripada sifir taburan normal piawai, 2x + 5y + z = 10
Piawaikan pemboleh ubah X kepada Z,
5 f(z)
P(X , 2 500) = P ( Z , 2 500 – 2 870 )
900
= P(Z , –0.411) z
= P(Z . 0.411) 0 0.75
= 0.3405 z 5 1 2
Daripada sifir taburan normal piawai, Tolak
f(z)
0.7 0.2266
60
Maka, peratus ikan adalah lebih panjang
daripada 14 inci = 0.2266 × 100
z
= 22.66%
–0.411 0 (b) Diberi bilangan sampel ikan, n = 200.
Katakan X ialah ikan yang mempunyai
z 1 Tolak 1 panjang kurang daripada 9 inici
P(X , 9) = P( Z , 9 – 11 )
4
Soalan KBAT mirip spm Kalkulator 0.3409 4 = P(Z , –0.5)
0.4
= P(Z . 0.5)
= 0.3085
1. Tekan MODE MODE dan pilih 1 iaitu Daripada sifir taburan normal piawai, KERTAS MODEL SPM
SD. f(z)
2. Tekan SHIFT 3 dan pilih 3 mewakili
P(z . a).
Menyediakan penyelesaian memaparkan 0.34054 . z 0 –0.5 0 z 1 2 Masa: 2 jam
Kertas 1
3. Masukkan 0.411 dan skrin akan
Tolak Bahagian A
(64 markah)
yang lengkap serta komen 0.5 0.3085 1. (a) Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada 2. (a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi fungsi f
Arahan: Jawab semua soalan
Kertas 2
2. Di sebuah kolam, panjang ikan adalah
bertaburan secara normal dengan min 11 inci Bilangan ikan, P(X) = n(X) n(S) graf bagi fungsi y = f(x). untuk domain 0 < x < 4 dan graf fungsi
songsangnya f –1 .
dan sisihan piawai 4 inci. Anggap pemboleh
pemeriksa bagi soalan KBAT 0.3085 = n(X) 200 y = f(x) y A (4, 12)
y
ubah X adalah pemboleh ubah rawak selanjar.
(a) Berapakah peratus ikan adalah lebih
n(X) = 61.708
≈ 62
K5
panjang daripada 14 inci?
(b) Jika 200 ekor ikan dipilih secara rawak, Maka, panjang bagi 62 ekor ikan x f
mirip SPM. berapakah ekor ikan yang mempunyai daripada 200 ekor ikan yang dipilih –3 0 2 f –1 B
panjang kurang daripada 9 inci?
adalah kurang daripada 9 inci.
x
346 0
Rajah 1 –4
Nyatakan sama ada fungsi di atas Rajah 2
(i) adalah diskret atau selanjar, Daripada graf, tentukan
(ii) mempunyai fungsi songsang atau tidak. (i) domain bagi f –1 ,
[2 markah] (ii) koordinat titik B pada graf f –1 yang KERTAS MODEL KERTAS MODEL SPM
(b) Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x ˜ a , x sepadan dengan titik A pada graf f.
x ≠ 0 dengan keadaan a ialah pemalar. Diberi [2 markah]
f –1 (2) = 2 , cari (b) Pada ruang jawapan di bawah, lakarkan graf
(i) nilai a, bagi y = |2x – 5| untuk 0 < x < 6. Seterusnya,
(ii) f 17 (8). [3 markah] cari julat nilai x dengan keadaan y < 3.
Jawapan: Jawapan: [3 markah]
(a) (i) (a) (i)
(ii) (ii) KERTAS MODEL SPM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 7 Pengaturcaraan Linear (b) (i) (b) y
Z on Sumatif Soalan berformat SPM mengikut
(ii)
Kertas 2
1. Menggunakan grid yang diberi, tunjukkan rantau 4. Menggunakan grid yang diberi, format terbaharu SPM 2021
K2 yang dicangkumi oleh semua ketaksamaan K3 (a) tunjukkan rantau yang dicangkumi oleh
berikut. semua ketaksamaan berikut. 0 x
x > 3, y > 1 dan x + y < 5 x > 2, y > x dan x + y < 6
y y merangkumi keseluruhan
421
Zon Sumatif 7 6 5 7 6 5 Tingkatan 4 dan 5.
421
421
4 4
3 3
BAB 2 1 2 1
Soalan pelbagai aras 7 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
–1 –1
Kemahiran berfikir yang 2. Sebuah kedai runcit menjual dua jenis buah- (b) titik P dengan koordinat (x, y) berada dalam
rantau. Diberi x dan y ialah integer. Tuliskan
buahan, iaitu epal dan pisang. Dalam suatu hari,
K3
peniaga kedai runcit itu menjual koordinat titik R yang merupakan kedua-
duanya adalah integer.
sehingga 80 pisang,
disediakan untuk menilai I II sehingga 90 epal, 5. Kos sebuah buku ialah 50 sen dan sebatang pen
K4
ialah RM1.30. Seorang murid membeli x buku
III tidak lebih daripada jumlah 110 buah.
II Jumlah buku dan pen yang dibeli mestilah JAWAPAN
Jika x bilangan pisang yang dijual dan y dan y pen dengan syarat seperti berikut: Jawapan Lengkap
bit.ly/3irEn9C
I
Sekurang-kurangnya tiga pen mesti dibeli.
bilangan epal yang dijual, tunjukkan rantau yang
kefahaman setiap bab. dicangkumi oleh semua kekangan yang dialami III Jumlah wang yang dibelanjakan paling
tidak boleh lebih daipada 12.
oleh peniaga itu.
3. Rajah di bawah menunjukkan rantau R yang banyak adalah RM10. 6. (a)
K2 memuaskan tiga ketaksamaan. Nyatakan tiga ketaksamaan selain daripada x > 0 TINGKATAN 4 f(x) 8. (a) 3 (b) 3 (c) 5 8
y dan y > 0 yang memuaskan semua syarat di atas. Bab 1 Fungsi (d) –1 (e) 1 3 (f) 3 5
6. Menggunakan graf yang sama, lukiskan semua 9. (a) 1; –9; 6
10 K3 ketaksamaan berikut: Z on Formatif 1.1 3 (b) a = – 1 atau a = 3
y > x – 1, x > 2 dan 2x + y > 8 f(x) = |x – 2| 3
8 Lorekkan rantau yang dicangkumi dan 1. (a) Hubungan ini ialah 2 10. 4
6 R seterusnya, nyatakan nilai minimum y dalam fungsi kerana setiap objek 11. (a) m = 2; c = –5
(b) – 4, 3
rantau ini. mempunyai satu imej x
4 sahaja walaupun unsur 2 –1 0 2 4 12. n = –2
7. Kedai roti Yum membuat dua jenis roti, A dan B. tidak mempunyai objek.
(b) 4
2 K4 Jenis roti A menggunakan 5 kg bijiran dan 3 kg (b) Hubungan ini bukan Julat: 0 < f(x) < 3 13. (a) p = –1, q = 6
x tepung manakala jenis roti B pula menggunakan fungsi kerana tidak (b) (c) x = –2
memenuhi syarat fungsi.
0 1 2 3 4 5 2 kg bijirin dan 3 kg tepung. Kilang hanya f(x) (d) x = 3
menjual 80 kg bijirin sepeket dan 135 kg tepung Perhatikan objek –5 14. (a) a = 2, b = 5
Nyatakan tiga ketaksamaan tersebut. sepeket. Yum ingin mendapatkan keuntungan mempunyai dua imej iaitu f(x) = |2x + 3| 5 (b) 3
–5 ˜ 4 dan –5 ˜ 6.
maksimum daripada jualan roti. Jenis roti A 2. (a) Graf ini ialah suatu fungsi 15. (a) x = –2, 1 (b) x = 1, 3
398 kerana apabila diuji dengan 3 (c) x = –3, –2 (d) x = 5
JAWAPAN TINGKATAN 4 (b) Graf ini bukan suatu (c) Julat: 0 < f(x) < 5 0 x 16. (g) x . 2 atau x , 4 7 Jawapan
(e) –1 < x < 2
garis mencancang, garis itu
(f) x , –5 atau x . 2
memotong hanya pada satu
titik sahaja.
3
–4
–1 1 – 2
(h) x , – 1 atau x . 4
fungsi kerana apabila diuji
4
dengan garis mencancang,
y
garis itu memotong graf
pada dua titik.
(c) Graf ini ialah suatu fungsi
kerana apabila diuji dengan
garis mencancang, garis itu 5 f(x) f(x) = |2x – 1| 9 y = |2x – 1|
memotong hanya pada satu 3 y = 5 – xJawapan lengkap
titik sahaja. 3
(d) Graf ini bukan suatu x
fungsi kerana apabila diuji 1 –4 0 2
dengan garis mencancang, 0 x Maka, penyelesaiannya ialah di disediakan. Imbas kod
garis itu memotong graf –1 1 – 2 3
pada dua titik. titik (–4, 9) dan (2, 3).
3. (a) f : x ˜ ! x Julat: 0 < f(x) < 5 17. (a) (i) f(2) = 10; f(–6) = 6
(b) g : x ˜ x 2 – 1 (d) (ii) x = –8, 2
(iii) Tiada
4. (a) {2, 6, 7, 8, 9} f(x) (iv) –6 , x , 0 QR yang disediakan yang
(b) {1, 3, 4, 5} (v) x < –4 atau x > –2
(c) {3, 4} f(x) = |x + 1|
4 (b) f(x)
5. (a) Domaian = {–1, 0, 1, 2, 3} f(x) = |2x + 6|
Kodomaian = {1, 2, 3, 4, 5} 2 f(x) = x + 6 merangkumi penerangan
Julat ={1, 2, 3, 4, 5} 1 6
(b) Domaian = –2 < x < 3 x
Kodomain = –3 < f(x) < 4 –3 –1 0 3
Julat = –3 < f(x) < 4
Julat: 0 < f(x) < 4 2 x untuk jawapan soalan
7. (a) 7 (b) 4 (c) – 3 2 0
(d) 5 (e) 24 –4 –3
x = –4 dan 0
434 43 4 objektif.
v
Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 5 22/01/2021 5:01 PM
KANDUNGAN
TINGKATAN 4
Tarikh Tarikh
revisi revisi
Bab 1 Fungsi 1 Bab 6 Hukum Linear 114
©PAN ASIA PUBLICATIONS
1.1 Fungsi 3 6.1 Hukum Hubungan Linear
1.2 Fungsi Gubahan 9 dan Tak Linear 116
1.3 Fungsi Songsang 15 6.2 Hukum Linear dan
Zon Sumatif 25 Hubungan Tak Linear 120
6.3 Aplikasi Hukum Linear 125
Zon Sumatif 129
Bab 2 Fungsi Kuadratik 30
2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Bab 7 Geometri Koordinat 134
Kuadratik 32
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan 7.1 Pembahagi Tembereng
Kuadratik 37 Garis 136
2.3 Fungsi Kuadratik 39 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis
Zon Sumatif 52 Lurus Serenjang 141
7.3 Luas Poligon 148
7.4 Persamaan Lokus 153
Bab 3 Sistem Persamaan 55 Zon Sumatif 159
3.1 Sistem Persamaan Linear
dalam Tiga Pemboleh Ubah 57 Bab 8 Vektor 164
3.2 Persamaan Serentak yang 8.1 Vektor 166
Melibatkan Satu Persamaan
Linear dan Satu Persamaan 8.2 Penambahan dan Penolakan
Tak Linear 61 Vektor 174
Zon Sumatif 64 8.3 Vektor dalam Satah Cartes 186
Zon Sumatif 197
Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 67 Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 202
4.1 Hukum Indeks 69 9.1 Petua Sinus 204
4.2 Hukum Surd 72 9.2 Petua Kosinus 208
4.3 Hukum Logaritma 78 9.3 Luas Segi Tiga 211
4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan 9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua
Logaritma 86 Kosinus dan Luas Segi Tiga 214
Zon Sumatif 89
Zon Sumatif 218
Bab 5 Janjang 91 Bab 10 Nombor Indeks 222
5.1 Janjang Aritmetik 93 10.1 Nombor Indeks 223
5.2 Janjang Geometri 100 10.2 Indeks Gubahan 225
Zon Sumatif 110 Zon Sumatif 233
vi
Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 6 22/01/2021 5:01 PM
TINGKATAN 5
Tarikh Tarikh
revisi revisi
Bab 1 Sukatan Membulat 237 Bab 6 Fungsi Trigonometri 351
1.1 Radian 239 6.1 Sudut Positif dan Sudut
1.2 Panjang Lengkok Suatu Negatif 353
Bulatan 240 6.2 Nisbah Trigonometri bagi
©PAN ASIA PUBLICATIONS
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 244 Sebarang Sudut 355
1.4 Aplikasi Sukatan 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus
Membulat 248 dan Tangen 360
Zon Sumatif 254 6.4 Identiti Asas 366
6.5 Rumus Sudut Majmuk dan
Rumus Sudut Berganda 367
Bab 2 Pembezaan 258
6.6 Aplikasi Fungsi
2.1 Had dan Hubungannya Trigonometri 373
dengan Pembezaan 260 Zon Sumatif 379
2.2 Pembezaan Peringkat
Pertama 263
2.3 Pembezaan Peringkat
Kedua 268 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 383
2.4 Aplikasi Pembezaan 269 7.1 Model Pengaturcaraan
Zon Sumatif 285
Linear 385
7.2 Aplikasi Pengaturcaraan
Linear 391
Bab 3 Pengamiran 287
Zon Sumatif 398
3.1 Pengamiran Sebagai
Songsangan Pembezaan 289
3.2 Kamiran Tak Tentu 289
3.3 Kamiran Tentu 292 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 401
3.4 Aplikasi Pengamiran 302 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan
Zon Sumatif 306 sebagai Fungsi Masa 403
8.2 Pembezaan dalam Kinematik
Gerakan Linear 408
Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 309
8.3 Pengamiran dalam Kinematik
4.1 Pilih Atur 311 Gerakan Linear 411
4.2 Gabungan 315 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan
Zon Sumatif 322 Linear 413
Zon Sumatif 420
Bab 5 Taburan Kebarangkalian 324
5.1 Pemboleh Ubah Rawak 326 Kertas Model SPM 421
5.2 Taburan Binomial 330
5.3 Taburan Normal 336
Zon Sumatif 348 Jawapan 434 – 472
vii
Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 7 22/01/2021 5:01 PM
Rumus
TINGKATAN 4 Luas sisi empat: Bab 3
• 1 [(x y + x y + x y + x y ) Luas di bawah lengkung:
2
4 1
2 3
1 2
3 4
– (x y + x y + x y + x y )
∫
∫
b
b
Bab 2 2 1 3 2 4 3 1 4 • y dx atau x dy
a
a
–b ± ! b – 4ac Bab 8
2
( ©PAN ASIA PUBLICATIONS
• x = Isi padu kisaran:
2a • |r| = ! x + y 2 b b
2
~
∫
∫
2
2
r
^
Bab 4 • r = ~ • πy dx atau πx dy
a
a
~
~
n
m
• a × a = a m + n |r|
Bab 9 Bab 4
m
• a ÷ a = a m – n a b c
n
m n
• (a ) = a m × n • sin A = sin B = sin C • P = n!
n
• ! a × ! b = ! ab • a = b + c – 2bc kos A n r (n – r)!
2
2
2
n!
2
2
2
r
!
• ! a ÷ ! b = a b • b = a + c – 2ac kos B • C = (n – r)!r!
• c = a + b – 2ab kos C
2
2
2
• log mn = log m + log n Luas segi tiga: Rumus secaman:
a a a • P = n!
m
1
1
• log = log m – log n • ab sin C = ac sin B a!b!c!…
a n a a 2 2
• log m = n log m
n
1
a a = bc sin A
log b 2 Bab 5
• log b = c
n
r n – r
a log a Rumus Heron: • P(X = r) = C p q , p + q = 1
c r
• ! s(s – a)(s – b)(s – c) • Min, m = np
Bab 5 s = a + b + c
Janjang aritmetik: 2 • s = ! npq
• T = a + (n – 1)d Bab 10
n X – m
n
• S = [2a + (n – 1)d] Q • Z =
n 2 • I = 1 × 100 s
n
• S = [a + l] Q 0
n 2 ∑I w
• I = i i Bab 6
Janjang geometri: ∑w
i • sin A + kos A = 1
2
2
• T = ar n – 1
n • 1 + tan A = sek A
2
2
n
• S = a(1 – r ) , r ≠ 1, (|r| , 1) TINGKATAN 5
n 1 – r • 1 + kot A = kosek A
2
2
a(r – 1)
n
• S = , r ≠ 1, (|r| . 1) Bab 1 • sin (A B) = sin A kos B
n r – 1 kos A sin B
• S = a • Panjang lengkok, s = jq
∞ 1 – r • kos (A B) = kos A kos B
j q
• Luas sektor, L = 1 2 sin A sin B
2
Bab 7 tan A tan B
Bab 2 • tan (A B) =
Pembahagi tembereng garis: dy 1 tan A tan B
nx + mx ny + my • y = uv, = u dv + v du • sin 2A = 2 sin A kos A
• 1 2 , 1 2 ) dx dx dx
m + n m + n • kos 2A = kos A – sin A
2
2
v dv – u dv = 2 kos A – 1
2
Luas segi tiga: • y = , dy = dx dx = 1 – 2 sin A
u
2
1
• [(x y + x y + x y ) v dx v 2 2 tan A
2
2 3
1 2
3 1
– (x y + x y + x y ) dy dy du • tan 2A =
2
2 1 3 2 1 3 • = × 1 – tan A
dx du dx
viii
Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 8 22/01/2021 5:01 PM
BAB
1 Fungsi
SKOP Bestari
Muka
Standard Pembelajaran yang Penting
©PAN ASIA PUBLICATIONS
surat
• Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan 3
tatatanda.
1.1 Fungsi • Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi. 5
• Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya. 6
• Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi. 9
• Menentukan fungsi gubahan. 10
• Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan 11
1.2 Fungsi Gubahan sebaliknya.
• Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan 12
salah satu fungsinya diberi.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan. 13
• Memerihalkan songsangan suatu fungsi. 15
• Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi
1.3 Fungsi Songsang songsang. 16
• Menentukan fungsi songsang. 19
Kata Kunci
• Tatatanda fungsi / Function notation • Fungsi surjektif / Surjective function
• Ujian garis mencancang / Vertical line test • Fungsi selanjar / Continuous function
• Fungsi tidak tertakrif / Undefined function • Objek / Object
• Fungsi nilai mutlak / Absolute value function • Imej / Image
• Verteks / Vertex • Domain / Domain
• Garis nombor / Number line • Kodomain / Codomain
• Fungsi diskret / Discrete function • Unsur / Element
• Hubungan / Relation • Julat / Range
• Pemetaan / Mapping • Fungsi gubahan / Composite function
• Hubungan satu dengan satu / One to one relation • Gambar rajah anak panah / Arrow diagram
• Hubungan banyak dengan satu • Pasangan bertertib / Oriented pairs
Many to one relation • Fungsi songsang / Inverse function
• Fungsi berulang / Repeating-recurring function • Ujian garis mengufuk / Horizontal line test
• Fungsi injektif / Injective function • Konjektur / Conjecture
1
B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 1 23/01/2021 9:02 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 1 Fungsi
BAB
1
Konsep
Fungsi
Suatu hubungan khas yang memetakan setiap unsur (objek)
dalam domain kepada hanya satu unsur (imej) dalam kodomain.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Melakar graf y = | f(x) |
Fungsi diskret Fungsi selanjar y
f(x) f(x)
f(x) = |x – 1|
3
4 Bahagian
f(x) = |x – 1| yang
3 1
terpantul
2 x
0 1 4
1
f(x) = x – 1
x x
0 2 4 0 1 4
• Lakar graf y = f(x).
Domain = {1, 2, 3, 4} Domain ialah 0 x 4 • Pantulkan pada paksi-x
Julat = {1, 2, 3} Julat ialah 0 f(x) 3 bahagian di bawah paksi-x.
Fungsi gubahan
Untuk dua fungsi, f dan g, kita ada fungsi gubahan:
(a) gf dengan gf(x) = g[f(x)] (b) fg dengan fg(x) = f[g(x)]
gf fg
f g g f
x f(x) g[f(x)] x g(x) f[g(x)]
Fungsi songsang
–1
Untuk fungsi satu dengan satu, f : x → y, fungsi songsang ialah f : y → x.
Sifat-sifat fungsi songsang:
–1
• Hanya fungsi satu dengan satu, f mempunyai fungsi songsang, f .
• ff (x) = f f(x) = x. f
–1
–1
–1
• Jika dua fungsi f dan f ialah fungsi songsang antara satu sama lain: x● ●y
–1
–1
(a) domain f = julat f dan domain f = julat f
(b) graf f ialah pantulan graf f pada grais y = x dan sebaliknya. f –1
–1
• Jika titik (a, b) berada pada graf f, maka titik (b, a) berada pada graf f .
–1
2
B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 2 23/01/2021 9:02 AM
Tg 4
Bab 1 Fungsi Matematik Tambahan
1.1 Fungsi (b) BAB
f(x) 1
Fungsi menggunakan perwakilan grafik
dan tatatanda y = f(x)
1. Fungsi dari set X kepada set Y ialah hubungan x 1 f y
khas yang memetakan setiap unsur x ∈ X y x
2
kepada hanya satu unsur y ∈ Y.
1 X Y
2
2. Perhatikan graf bagi y = x + 1 di bawah.
2 x Fungsi banyak
©PAN ASIA PUBLICATIONS
y x 1 0 x 2 dengan satu
1
–
y = x + 1
2
2
6. Ujian garis mencancang digunakan untuk
(x, y) menentukan sama ada graf bagi suatu hubungan
yang diberi ialah fungsi atau bukan.
( 3, 5 – ) 7. (a) Jika garis mencancang memotong graf
1
1 2 hanya pada satu titik, maka hubungan itu
5–
2
ialah fungsi.
(b) Jika garis mencancang tidak memotong
3
(–2, 3) mana-mana titik pada graf atau memotong
1 lebih daripada satu titik, maka hubungan itu
1– 1
2 ( 1, 1 – ) bukan fungsi.
2
x
–2 0 1 3 y y Ujian garis
h mencancang
Didapati bahawa –2 dipetakan kepada 3, iaitu
1
–2 ˜ 3. Begitu juga dengan 1 ˜ 1 , 3 ˜ 5 1 h
2 2
dan seterusnya. Setiap titik (x, y) pada lengkung Ujian garis
adalah berpadanan dengan pemetaan x ˜ y yang mencancang 0 x
memetakan nilai x pada paksi-x kepada nilai y 0 x
pada paksi-y.
3. Hubungan seperti ini dikenali sebagai pemetaan Graf h ialah fungsi Graf h bukan fungsi
1
atau fungsi yang ditakrifkan oleh y = x + 1 (a) (b)
2
2
dan ditulis dengan tatatanda seperti berikut.
8. Fungsi tidak tertakrif ialah fungsi apabila f(x)
f : x ˜ y atau f(x) = y adalah tidak tertakrif pada suatu nilai x tertentu.
1
1
f : x ˜ x + 1 atau f(x) = x + 1 f(x)
2
2
2 2
1
2
dengan x ialah objek dan x + 1 ialah imej.
2
4. Fungsi biasanya ditulis dengan huruf kecil f(x) = ––––
x
seperti f, g dan h. Namun, huruf besar seperti F, x + 2
G dan H masih boleh digunakan. –2 0 x
5. Fungsi boleh diwakilkan dalam bentuk gambar
rajah anak panah seperti yang berikut.
(a) f(x)
y = f(x) Apabila x mendekati –2 dari sebelah kiri,
f(x) ˜ ∞ dan apabila x mendekati –2 dari sebelah
y f kanan f(x) ˜ –∞. Graf hanya menghampiri tetapi
2 x y
1 1
tidak menyentuh garis x = –2. Fungsi seperti ini
y x y
yang tidak tertakrif pada suatu nilai x iaitu di
1 2 2
x = –2, dikenali sebagai fungsi tidak tertakrif dan
X Y
x Fungsi satu ditulis sebagai f(x) = x , x ≠ –2.
0 x x dengan satu x + 2
1 2
1.1.1 3
B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 3 23/01/2021 9:02 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 1 Fungsi
BAB Contoh 23 3. Daripada Rajah (c), iaitu balikan bagi fungsi satu
1 dengan satu, f merupakan fungsi satu dengan
Suatu fungsi ditakrifkan sebagai f : x → 2x + 3. satu juga. Namun bagi Rajah (d), iaitu balikan bagi
Tentukan fungsi banyak dengan satu, g bukan merupakan
(a) f(–1), fungsi. Jadi, fungsi f mempunyai fungsi songsang
(b) f (7). manakala fungsi g pula tidak mempunyai fungsi
–1
Penyelesaian: songsang.
(a) f(–1) = 2(–1) + 3 4. Ujian garis mengufuk digunakan untuk
= –2 + 3 menentukan sama ada fungsi itu mempunyai
= 1 fungsi songsang.
(b) Katakan a = f (7) (a) Jika garis mengufuk memotong graf hanya
–1
Jadi, f(a) = 7 pada satu titik, maka jenis fungsinya ialah
2a + 3 = 7
2a = 4 fungsi satu dengan satu dan fungsi tersebut
a = 2 mempunyai fungsi songsang.
Maka, f (7) = a = 2 y
–1
Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.3 f mempunyai
f
fungsi songsang
Membuat dan mengesahkan konjektur f(x) Ujian garis
berkaitan sifat-sifat fungsi songsang mengufuk
x
Sifat 1 0 x
Suatu fungsi mempunyai fungsi songsang, jika
fungsi itu merupakan fungsi satu dengan satu.
(b) Jika garis mengufuk memotong graf pada
1. Suatu fungsi f yang memetakan set X kepada dua titik atau lebih, maka jenis fungsi itu
–1
set Y mempunyai fungsi songsang f jika f ialah bukan fungsi satu dengan satu dan fungsi
fungsi satu dengan satu. tersebut tidak mempunyai fungsi songsang.
2. ©PAN ASIA PUBLICATIONS
f g
y
f tidak mempunyai
2● ●1 –2● ●4 f fungsi songsang
4● ●2 2● f(x)
Ujian garis
6● ●3 3● ●9 mengufuk
x
X Y X Y x 0 x
2 1
Rajah (a) Rajah (b)
Rajah (a) dan Rajah (b) di atas masing-masing
menunjukkan fungsi satu dengan satu, f dan TIP Bestari
banyak dengan satu, g. Membalikkan anak panah Ujian garis mengufuk digunakan untuk menentukan
dalam setiap rajah itu, kita peroleh Rajah (c) dan • jenis suatu fungsi sama ada satu dengan satu atau
Rajah (d) yang berikut. banyak dengan satu.
f –1 g –1 • sama ada suatu fungsi mempunyai fungsi
songsang atau tidak.
Fungsi satu dengan satu juga dikenali sebagai
1● ●2 4● ●–2
fungsi injektif.
2● ●4 ●2
3● ●6 9● ●3 Contoh 24
Tentukan sama ada setiap fungsi diskret f berikut
Y X Y X mempunyai fungsi songsang atau tidak. Huraikan.
Rajah (c) Rajah (d)
16 1.3.1 1.3.2
B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 16 23/01/2021 9:03 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 2 Fungsi Kuadratik
Contoh 25 (a) (i) Apabila a = 2 berubah kepada 4, kelebaran
graf semakin berkurang. Paksi simetri dan
Bagi setiap fungsi kuadratik berikut, cari titik nilai minimum tidak berubah.
maksimum atau minimum. Kemudian, tentukan y
BAB persamaan paksi simetri.
2 (a) f(x) = 3(x – 2) + 5
2
(b) f(x) = –4(x + 3) + 6 f(x) = 4(x – 3) + 5
2
2
(
(c) f(x) = 3 x – 4 ) 2 – 2 23 f(x) = 2(x – 3) + 5
5
2
Penyelesaian: (3, 5)
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2
Bandingkan dengan f(x) = a(x – h) + k. x
Titik minimum atau titik maksimum, (h, k)
Persamaan paksi simetri, x = h. (ii) Apabila a = 2 berubah kepada 1 ,
(a) f(x) = 3(x – 2) + 5 2
2
a = 3, h = 2 dan k = 5 kelebaran graf bertambah. Paksi simetri
a = 3 (a . 0), graf kuadratik ini mempunyai titik dan nilai minimum tidak berubah.
minimum. y
Titik minimum: (2, 5)
Persamaan paksi simetri: x = 2
2
(b) f(x) = –4(x + 3) + 6 23 f(x) = 2(x – 3) + 5
2
a = –4, h = –3 dan k = 6
a = –4 (a , 0), graf kuadratik ini mempunyai f(x) = (x – 3) + 5
1
2
–
titik maksimum. 2
Titik maksimum: (–3, 6) (3, 5) x
Persamaan paksi simetri: x = –3
(
(c) f(x) = 3 x – 4 ) 2 – 2 (b) Apabila h = 3 berubah kepada 6, graf bergerak
5
4 secara mengufuk 3 unit ke kanan. Persamaan
a = 3, h = dan k = –2
5 paksi simetrinya menjadi x = 6 dan nilai
a = 3 (a . 0), graf kuadratik ini mempunyai titik minimumnya tidak berubah, iaitu 5. Bentuk
minimum. graf tidak berubah.
Titik minimum: ( 4 , –2 ) y f(x) = 2(x – 3) + 5
5
2
Persamaan paksi simetri: x = 4
5
23
Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 2.3
2
Contoh 26 (3, 5) f(x) = 2(x – 6) + 5
x
Rajah di bawah menunjukkan graf kuadratik bagi
fungsi f(x) = 2(x – 3) + 5. (c) Apabila k = 5 berubah kepada 7, graf bergerak
2
secara menegak 2 unit ke atas. Persamaan paksi
f(x)
simetrinya tidak berubah dan nilai minimumnya
berubah, iaitu y = 7. Bentuk graf tidak berubah.
y
23 f(x) = 2(x – 3) + 5
2
2
f(x) = 2(x – 3) + 7
(3, 5)
x
23
Apakah kesan perubahan setiap nilai berikut f(x) = 2(x – 3) + 5
2
terhadap bentuk dan kedudukan graf jika (3, 7)
(a) nilai a apabila (3, 5)
(i) berubah kepada 4? x
1
(ii) berubah kepada ?
2
(b) nilai h berubah kepada 6? Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 2.3
(c) nilai k berubah kepada 7?
44 2.3.3
B02 SpotlightA+ Add Math F4.indd 44 23/01/2021 10:56 AM
Tg 4
Bab 2 Fungsi Kuadratik Matematik Tambahan
Contoh 27 (c) Apabila k = 5 berubah kepada 2, graf bergerak
secara menegak 3 unit ke bawah. Persamaan
Rajah di bawah menunjukkan graf kuadratik bagi paksi simetrinya tidak berubah dan nilai
fungsi f(x) = –2(x + 3) + 5. maksimumnya berubah, iaitu y = 2. Bentuk graf
2
tidak berubah. BAB
y
y 2
(–3, 5)
(–3, 5)
2
f(x) = –2(x + 3) + 5
(–3, 2)
x
x
©PAN ASIA PUBLICATIONS
–13
f(x) = –2(x + 3) + 5 –13
2
Apakah kesan perubahan setiap nilai berikut
2
terhadap bentuk dan kedudukan graf jika nilai f(x) = –2(x + 3) + 2
(a) (i) a berubah kepada –5?
(ii) a berubah kepada –1? Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 2.3
(b) h berubah kepada –1?
(c) k berubah kepada 2? Contoh 28
Penyelesaian: Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi
(a) (i) Apabila a = –2 berubah kepada –5, f(x) = (x – 4) + 3m, dengan keadaan k ialah pemalar.
2
kelebaran graf berkurang. Paksi simetri y
dan nilai maksimum tidak berubah.
y
c
(–3, 5)
x
2
f(x) = –5(x + 3) + 5
2
x f(x) = (x – 4) + 3m
–13 (h, –6)
2
f(x) = –2(x + 3) + 5
Diberi (h, –6) ialah titik minimum graf itu.
(a) Nyatakan nilai-nilai h, m dan pintasan-y.
(ii) Apabila a = –2 berubah kepada – 1,
kelebaran graf bertambah. Paksi simetri (b) Jika graf itu bergerak 3 unit ke kanan, tentukan
dan nilai maksimum tidak berubah. persamaan paksi simetri bagi lengkung itu.
(c) Jika graf itu bergerak 3 unit ke bawah, tentukan
y nilai minimumnya.
(–3, 5) Penyelesaian:
2
f(x) = –(x + 3) + 5 (a) Bandingkan f(x) = (x – 4) + 3m dengan
2
2
f(x) = (x – h) + k.
x Oleh itu, h = 4, k = 3m
–13 Daripada graf, k = –6
2
f(x) = –2(x + 3) + 5 3m = –6
m = –2
(b) Apabila h = –3 berubah kepada –1, graf Apabila x = 0, c = f(0)
2
bergerak secara mengufuk 2 unit ke kanan. = (0 – 4) – 6
Persamaan paksi simetrinya menjadi x = –1 = 10
dan nilai maksimumnya tidak berubah, iaitu 5. (b) Persamaan paksi simetri, x = 7
Bentuk graf tidak berubah. (c) Nilai minimum = (4, –9)
Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 2.3
y
(–3, 5)
2
f(x) = –2(x + 1) + 5
x Perubahan a, h dan k dalam fungsi
kuadratik f(x) = a(x – h) + k
2
–13
f(x) = –2(x + 3) + 5 bit.ly/35k9xdV
2
2.3.4 45
B02 SpotlightA+ Add Math F4.indd 45 23/01/2021 10:56 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 3 Sistem Persamaan
A Kaedah penghapusan B Kaedah penggantian
(a) Pilih dua persamaan dan hapuskan satu (a) Pilih satu persamaan dan ungkapkan satu
pemboleh ubah. pemboleh ubah dalam sebutan dua pemboleh
(b) Pilih dua persamaan yang lain dan hapuskan ubah yang lain.
pemboleh ubah yang sama seperti (a). (b) Gantikan persamaan (a) ke dalam salah satu
(c) Daripada persamaan yang diperoleh di (a) daripada dua persamaan yang lain.
dan (b), hapuskan satu lagi pemboleh ubah. (c) Gantikan persamaan (b) ke dalam persamaan
yang tinggal.
BAB Kemudian, tentukan nilai satu pemboleh ubah (d) Daripada (c), ungkapkan satu pemboleh ubah
3 yang tinggal. dalam sebutan pemboleh ubah yang lain.
(d) Gantikan nilai pemboleh ubah di (c) ke dalam
(a) atau (b). Nilai pemboleh ubah kedua akan (e) Gantikan (d) ke dalam (b) dan tentukan nilai
diperoleh. pemboleh ubah itu.
(e) Gantikan nilai pemboleh ubah yang diperoleh (f) Gantikan semula nilai pemboleh ubah di (e)
ke dalam persamaan yang tinggal untuk
ke dalam salah satu sistem untuk memperoleh menentukan nilai pemboleh ubah yang lain.
nilai pemboleh ubah yang terakhir.
Contoh 3
Contoh 2 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut
dengan kaedah penggantian.
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut x – 5y – z = –13
dengan kaedah penghapusan.
3x + 2y + 2z = –7 2x + y – 5z = 24
5x – 4y – 3z = 6 2x – 5y = –10
–2x – 3y – 4z = 5 Penyelesaian:
x – 5y – z = –13 ……1
Penyelesaian:
2x + y – 5z = 24 ……2
3x + 2y + 2z = –7 ……1 2x – 5y = –10 ……3
5x – 4y – 3z = 6 ……2 Jadikan x sebagai penyebut
Samakan pekali satu pemboleh
Daripada 1, x = 5y + z – 13 ……4
ubah di 1 dengan 2
©PAN ASIA PUBLICATIONS
1 × 2: Gantikan 4 ke dalam 2,
6x + 4y + 4z = –14 ……3 2(5y + z – 13) + y – 5z = 24
10y + 2z – 26 + y – 5z = 24
Hapuskan pemboleh ubah y kerana 11y – 3z = 50 ……5
mempunyai pekali yang sama
Gantikan 4 ke dalam 3,
2 + 3: 11x + z = –8 ……4 2(5y + z – 13) – 5y = –10
Ulang langkah di atas dengan dua persamaan 10y + 2z – 26 – 5y = –10
yang lain. 5y + 2z = 16 ……6
5x – 4y – 3z = 6 ……2
–2x – 3y – 4z = 5 ……6 Jadikan z sebagai penyebut
5
2 × 3: 15x – 12y – 9z = 18 ……7 Daripada 6: z = 8 – y ……7
2
6 × 4: –8x – 12y – 16z = 20 ……8 Gantikan 7 ke dalam 5,
7 – 8: 23x + 7z = –2 ……9
)
(
5
4 × 7: 77x + 7z = –56 …… 11y – 3 8 – y = 50
2
– 9: 54x = –54 37
x = –1 2 y = 74
Gantikan x = –1 ke dalam 4, y = 4
11(–1) + z = –8 Gantikan y = 4 ke dalan 7,
z = 3 z = 8 – (4)
5
Gantikan x = –1 dan z = 3 ke dalam 1 2
3(–1) + 2y + 2(3) = –7 z = –2
2y = –10 Gantikan y = 4 dan z = –2 ke dalam 1
y = –5 x – 5(4) – (–2) = –13
Maka, penyelesaian bagi sistem persamaan linear y = 5
ini ialah x = –1, y = –5 dan z = 3. Maka, penyelesaian bagi sistem persamaan linear
ini ialah x = 5, y = 4 dan z = –2.
Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 3.1
Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 3.1
58 3.1.2
B03 SpotlightA+ Add Math F4.indd 58 22/01/2021 11:34 AM
Tg 4
Bab 3 Sistem Persamaan Matematik Tambahan
Contoh 4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
sistem persamaan linear dalam tiga
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. pemboleh ubah
2x + 3y – 2z = –7
–4x – 3y + 3z = 8
2x – z = –1
Contoh 6
Penyelesaian:
2x + 3y – 2z = –7 ……1 BAB
–4x – 3y + 3z = 8 ……2
2x – z = –1 ……3 3
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Tambah 1 dan 2, untuk
hapuskan pemboleh ubah y
1 + 2: –2x + z = 1 ……4
Tambahkan 3 dan 4.
3 + 4: 0 + 0 = 0
Ali berada di sebuah kedai runcit dan dia ingin
Didapati 0 = 0. Maka, sistem persamaan linear ini membeli beberapa bungkus roti, susu tin dan
mempunyai penyelesaian tak terhingga. peket gula yang masing-masing berharga RM1,
RM4 dan RM3. Dia akan membeli sebanyak 8
barang di kedai itu. Dengan wang berjumlah
RM17, berapakah bilangan bungkus roti, susu tin
Contoh 5
dan peket gula yang dapat dibeli oleh Ali sekiranya
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. bilangan bungkus gula yang dibeli adalah tiga kali
6x + 2y – 4z = 0 ganda bilangan susu tin?
–2x – 2y + z = 19 Penyelesaian:
–4x + 3z = –8
Katakan x, y dan z masing-masing mewakili
Penyelesaian: bilangan bungkus roti, susu tin dan peket gula.
6x + 2y – 4z = 0 ……1 Persamaan linear:
–2x – 2y + z = 19 ……2 x + y + z = 8 ……1
–4x + 3z = –8 ……3 x + 4y + 3z = 17 ……2
z = 3y ……3
Tambah 1 dan 2, untuk
hapuskan pemboleh ubah y
Tolakkan 2 dari 1, untuk
1 + 2: 4x – 3z = 19 ……4 hapuskan pemboleh ubah x
Seterusnya, tambahkan 3 dan 4. 2 – 1: 3y + 2z = 9 ……4
3 + 4: 0 + 0 = 19 Gantikan 3 ke dalam 4.
0 ≠ 19
3y + 2(3y) = 9
Didapati 0 ≠ 19. Maka, sistem persamaan linear ini 3y + 6y = 9
tidak mempunyai penyelesaian. 9y = 9
y = 1
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 3.1
Gantikan y = 1 ke dalam 3,
z = 3(1)
z = 3
Gantikan y = 1 dan z = 3 ke dalam 1,
x + 1 + 3 = 8
Penyelesaian sistem persamaan x = 4
linear dalam tiga pemboleh ubah Maka, Ali membeli 4 bungkus roti, satu susu tin
bit.ly/34lq43 dan 3 peket gula.
Cuba soalan 5 dan 6 dalam Zon Formatif 3.1
3.1.2 3.1.3 59
B03 SpotlightA+ Add Math F4.indd 59 22/01/2021 11:34 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma
3. Pertimbangkan m = a dan n = a dalam bentuk
p
q
Contoh 29
indeks adalah log m = p dan log n = q.
a
a
Nilaikan setiap yang berikut. (a) Hasil darab log m dan log n
a
a
(a) log 84 (b) log 31.2 Dengan hukum indeks;
10 10
(c) log 0.764 (d) log 3.4 2 m × n = a × a q
p
10 10
Berikan jawapan anda betul dalam empat tempat mn = a p + q
perpuluhan. log mn = log a p + q
a
a
Penyelesaian: log mn = p + q
a
(a) log 84 = 1.9243 Gantikan log m = p dan log n = q,
a
a
10 log mn = log m + log n
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Kalkulator a a a
Hukum hasil darab
BAB 1. Tekan log 8 4 = log mn = log m + log n
a
a
a
4 2. Skrin akan memaparkan Hasil darab antara m dan n merupakan
1.924279286 hasil tambah log m dan log n.
(b) Hasil bahagi log m dan log n
(b) log 31.2 = 1.4942 a a
10 Dengan hukum indeks,
(c) log 0.764 = –0.1169 p q
10 m ÷ n = a ÷ a
2
(d) log 3.4 = 1.0630 m p – q
10 n = a
Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.3 m
log = log a p – q
a n a
log m = p – q
n
a
Contoh 30 Gantikan log m = p dan log n = q,
a
a( )
a
Nilaikan setiap yang berikut. log m = log m – log n
n
a
a
(a) antilog 3.2543 (b) antilog 0.4563
(c) antilog (–1.1547) (d) antilog (–1.066) Hukum hasil bahagi
a( )
Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat log m = log m – log n
perpuluhan. n a a
Hasil bahagi antara m dan n merupakan
Penyelesaian: hasil tolak log m dan log n.
(a) antilog 3.2543 = 1 795.97
(c) Kuasa log m
a
Kalkulator Dengan hukum indeks;
n
p n
1. Tekan shift log 3 . 2 5 4 3 = m = (a ) p n
n
2. Skrin akan memaparkan log m = log (a )
a
a
n
log m = pn
a
a
1 795.973813 log m = n log m log m = p
n
a a
(b) antilog 0.4563 = 2.86 Hukum kuasa
(c) antilog (–1.1547) = 0.70 log m = n log m
n
(d) antilog (–1.066) = 0.09 a a
p
(d) Diberi m = a ,
Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.3
Dengan hukum indeks;
q
q ! m = ! (a )
p
Membuktikan hukum logaritma q q
log ! m = log ! (a )
p
a a
1. Terdapat satu peraturan dalam melakukan q p q 1
operasi yang melibatkan logaritma. Peraturan log ! m = log (a )
a
a
1
ini dikenali sebagai hukum logaritma. log ! m = (p)
q
2. Berikut adalah hukum asas bagi logaritma: a q
1
q
(a) Hukum hasil darab log ! m = log m
q
a
a
(b) Hukum hasil bahagi
(c) Hukum kuasa Hukum punca kuasa
1
q
(d) Hukum punca kuasa log ! m = log m
q
a
a
80 4.3.1 4.3.2
B04 SpotlightA+ Add Math F4.indd 80 22/01/2021 1:15 PM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 5 Janjang
1 n – 1
Contoh 21 ( ) = 4 1 11
4
1 n – 1
1 11
Diberi bahawa janjang aritmetik 8, 4, 2, …, cari ( ) = ( )
(a) T , 4 4
7
(b) T dalam sebutan n. n – 1 = 11
n n = 12
Penyelesaian:
(a) T = a = 8 Cuba soalan 7 dan 9 dalam Zon Formatif 5.2
1
T 4 1
r = 2 = =
T 8 2 Contoh 23
1
©PAN ASIA PUBLICATIONS
T = ar n – 1
n Sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri diberi
7 ( )
T = 8 1 7 – 1 oleh T = 2 n + 2 . Cari (b) nisbah sepunya.
n
2
(a) sebutan pertama,
( )
1 6
= 8 2 Penyelesaian:
( ) (a) T = 2 1 + 2 = 2 3
1
= 8 1
T = 8
BAB 1 64 (b) T = 2 2 + 2 = 2 4
1
5 = 8 T = 16
2
2
Kalkulator r = T 2 = 16 = 2
T 1 8
1. Tekan 8 ( 1 ab/c 2 ^ ( ALPHA Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 5.2
1
) – 1 ) = sebagai 8 ( ) n – 1
2
2. Tekan CALC dan paparan X? Contoh 24
Sebutan ketiga dan sebutan ketujuh bagi suatu
3. Tekan 7 dan paparan 1 janjang geometri masing-masing ialah 48 dan
8 12 288. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya.
(b) T = ar n – 1 Penyelesaian:
n
T = 48
1 n – 1
= 8 ( ) ar 3 – 1 3 = 48
2
2
= 2 (2 ) ar = 48 ……1
–1 n – 1
3
3
= 2 (2 1 – n ) T = 12 288
7
–n
1
n
m
= 2 (2 )2 Hukum indeks a × a = a m + n ar 7 – 1 = 12 288
3
6
= 2 4 – n ar = 12 288 ……2
Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 5.2 2 ÷ 1: ar 6 = 12 288
ar 2 48
ar = 256
4
4
Contoh 22 r = ! 256
r = 4
Hitung bilangan sebutan bagi janjang geometri Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 5.2
16, 4, 1, …, 1 .
262 144
Penyelesaian: Contoh 25
T = a = 16
1 Diberi suatu janjang geometri 2, 6, 18, …. Cari nilai
r = 4 = 1 n terkecil dengan keadaan sebutan ke-n adalah
16 4 lebih daripada 100 000.
T = 1
n 262 144 Penyelesaian:
1
ar n – 1 = 262 144 a = T = 2
1
T
6
( ) 1 r = 2 = = 3
1 n – 1
16 4 = 262 144 T 1 2
( ) = 262 144 × ( ) ar n – 1 n . 100 000
T . 100 000
1
1
1 n – 1
16
4
( ) = 4 194 304 (2)(3) n – 1 . 100 000
1
1 n – 1
(3)
n – 1
. 50 000
4
102 5.2.2
B05 SpotlightA+ Add Math F4.indd 102 22/01/2021 5:11 PM
Tg 4
Bab 5 Janjang Matematik Tambahan
log (3) n – 1 . log 50 000
10
10
(n – 1) log (3) . log 50 000 TIP Bestari
10 10
log 50 000
(n – 1) . 10 Penggunaan kedua-dua rumus
log (3) a(1 – r ) a(r – 1)
n
n
10
n – 1 . 9.85 S = (1 – r) , r , 1 dan S = (r – 1) , r . 1
n
n
n . 10.85 akan menghasilkan nilai yang sama meskipun tidak
n = 11, 12, 13, … mengikut syarat nilai r masing-masing.
Maka, nilai n terkecil ialah 11.
Cuba soalan 1, 2 dan 5 dalam Zon Formatif 5.2 Contoh 27
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Cari hasil tambah bagi janjang geometri 12, 48,
Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan 192, …, 49 152.
pertama, S bagi janjang geometri
n Penyelesaian:
1. Hasil tambah n sebutan pertama dalam suatu a = T = 12
1
janjang boleh diwakilkan dengan notasi S r = 48 = 4
n
dengan keadaan, S = T + T + T + … + T 12 T = 49 152 BAB
3
2
1
n
n
S = a + ar + ar + … + ar n – 2 + ar n – 1 …1 ar n – 1 n = 49 152 5
2
n
3
2
1 × r: rS = ar + ar + ar + … + ar n – 1 + ar …2 (12)(4) n – 1 = 49 152
n
n
1 – 2: S – rS = a – ar n (4) n – 1 = 4 096
n
n
S (1 – r) = a(1 – r ) (4) n – 1 = 4 6
n
n a(1 – r ) n – 1 = 6
n
S =
n (1 – r) n = 7
2 – 1: rS – S = ar – a Kaedah Alternatif
n
n
n
(r – 1)S = a(r – 1) n – 1
n
n n log (4) = log 4 096
10
10
S = a(r – 1) (n – 1) log 4 = log 4 096
n (r – 1) 10 10
10
2. Hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang n – 1 = log 4 096
log 4
geometri diberi oleh: n – 1 = 6 10
a(1 – r ) a(r – 1) n = 7
n
n
S = , S = , Hasil tambah 7 sebutan pertama
n (1 – r) n (r – 1)
7
r ≠1, (|r| , 1) r ≠1, (|r| , 1) S = 12(4 – 1)
7 4 – 1
= 65 532
Contoh 26
Cuba soalan 18 dalam Zon Formatif 5.2
Cari hasil tambah 8 sebutan pertama bagi setiap
janjang geometri berikut.
(a) 3, 12, 48, … (b) 25, 5, 1, … Contoh 28
Penyelesaian: Diberi janjang geometri 7, 28, 112, …. Cari hasil
(a) a = T = 3 tambah daripada sebutan ke-6 sehingga sebutan
1
T 12 ke-10.
r = 2 = = 4 . 1 Penyelesaian:
T 3
1
3(4 – 1) a = T = 7
8
1
S =
8 4 – 1 r = T 2 = 28 = 4
S = 65 535 T 1 7
8
(b) a = T = 25 S 10
1
T 5 1 S = T + T + T + T + T + T + … + T
r = 2 = = , 1 10 1 2 S 3 4 5 6 10
T 25 5 5
1
[ ( ) ]
5 [
10
5
25 1 – 1 8 S – S = 7(4 – 1) ] [ 7(4 – 1) ]
–
S = 5 10 (4 – 1) (4 – 1)
( 1 – 5 ) = 2 446 675 – 2 387
8 1
= 31.24992 = 2 444 288
Cuba soalan 22 dalam Zon Formatif 5.2
Cuba soalan 17 dalam Zon Formatif 5.2
5.2.3 5.2.2 103
B05 SpotlightA+ Add Math F4.indd 103 22/01/2021 5:11 PM
Tg 4
Bab 7 Geometri Koordinat Matematik Tambahan
Z on Formatif 7.4
1. Cari persamaan lokus titik bergerak P dengan 8. Dalam rajah di bawah, titik K(2, 0) dan titik
keadaan jaraknya dari A(3, 5) ialah 2 unit. K2 L(–4, 0) ialah dua titik tetap. K4
y
2. Cari persamaan lokus titik bergerak P dengan
keadaan K2
(a) jaraknya dari A(1, 2) dan B(4, –1) adalah P(x, y)
dalam nisbah 2 : 1.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
(b) jaraknya dari C(0, –1) dan D(–1, 0) adalah
dalam nisbah 1 : 3. L(–4, 0) 0 K(2, 0) x
(c) jaraknya dari E(–2, 2) dan F(1, 1) adalah
dalam nisbah 3 : 2.
(d) jaraknya dari G(0, 1) dan H(3, 4) adalah
dalam nisbah 1 : 2.
Titik P bergerak dengan keadaan PK : PL = 1 : 2.
3. Titik A dan titik B masing-masing ialah (–4, 0) (a) Tunjukkan bahawa persamaan lokus P ialah
dan (2, 0). Cari persamaan lokus titik bergerak P x + y – 8x = 0.
2
2
dengan keadaan PA = 2PB. K3 (b) Tunjukkan bahawa titik M(4, 4) terletak di
atas lokus P dan seterusnya cari persamaan
4. Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari garis lurus KM.
M(3, 0) ialah tiga kali jaraknya dari N(–5, 0). (c) Garis lurus KM bertemu lokus P sekali lagi
Cari persamaan lokus P. K3 di titik N. Cari koordinat N.
(d) Hitung luas segi tiga OMN. BAB
5. Cari persamaan lokus titik bergerak P yang 7
sentiasa sama jarak dari titik A(1, 0) dan titik 9. Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari
B(6, 7). K2 dua titik tetap A(1, 2) dan B(4, –1) memuaskan
nisbah PA : PB = 2 : 1. Cari K4
6. Dua titik A dan B masing-masing ialah (0, 2) (a) persamaan lokus P,
dan (2, 4). Cari persamaan lokus titik bergerak (b) koordinat di mana lokus P memotong
P dengan keadaan segi tiga APB sentiasa paksi-x.
bersudut tegak di P. K3
10. Rajah di bawah menunjukkan titik A(a, 0) yang
7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi bergerak di sepanjang paksi-x dan titik B(0, b)
bulatan ABCD berpusat D. K4 yang bergerak di sepanjang paksi-y dengan
keadaan AB = 5 unit. K4
y
y
P(x, y)
B(0, b)
C(x, y)
B(3, 2)
x
0 C(7, 0) x
D(4, –1) 0 A(a, 0)
A(1, –2)
(a) Tuliskan satu persamaan yang
Lokus titik P dengan pusat B bergerak dengan menghubungkan a dan b.
keadaan PB = BC = BA. (b) Titik C berada pada garis AB dengan
(a) Hitung jarak BC. keadaan AC : CB = 2 : 1. Apabila titik A dan
(b) Tunjukkan bahawa persamaan lokus P ialah titik B menggelongsor di sepanjang paksi-x
x + y – 6x – 4y – 7 = 0. dan paksi-y,
2
2
(c) Cari persamaan garis lurus CB. (i) tunjukkan bahawa persamaan lokus C
(d) Garis lurus CB bertemu lokus P sekali lagi di ialah 36x + 9y = 100,
2
2
titik E. Cari koordinat E. (ii) tentukan koordinat C apabila a = 3.
(e) Cari luas segi tiga ACE.
157
B07 SpotlightA+ Add Math F4.indd 157 22/01/2021 4:31 PM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 8 Vektor
17. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi ˜
˜ 21. Pada grid segi empat sama di bawah, OP = p
empat selari PQRS dengan keadaan PQ = 2u, ˜ ~
˜ ~ dan OQ = q. K2
QR = 3v. K3 ~
~
Q 3v R R
~
2u
~
P T S P Q
Titik T terletak di atas PS dengan keadaan p ~ q ~ S
˜ 1 ˜ O
PT = PS . Ungkapkan setiap vektor berikut
3
dalam sebutan a dan/atau b. Ungkapkan yang berikut dalam sebutan p dan/
˜ ~ ˜ ~ ˜ ~
(a) PT (b) QT (c) PR atau q.
~
˜
18. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi (a) OR
empat selari ABCD. K3 ˜
(b) RS
2b
C E ~ B
22. Tiga titik A, B dan C adalah segaris. Diberi
a ˜ ˜
~ AB = 2a – b dan BC = 4a + (m – 1)b dengan
~ ~ ~ ~
keadaan m ialah pemalar. Cari K3
D F A (a) nilai m,
E ialah titik tengah BC dan F terletak di atas AD (b) nisbah AB : BC.
˜ ˜ ˜
dengan keadaan FD = 3 AF . Diberi AB = a ˜ ˜
˜ ~ 23. Diberi bahawa OP = 3a + b, OQ = 2a – 3b
dan BE = 2b, ungkapkan setiap vektor berikut ˜ ~ ~ ~ ~
~
BAB dalam sebutan a dan b. dan OR = ka + 5b dengan keadaan k ialah
~
~
~
~
˜
˜
˜
8 (a) ED b ©PAN ASIA PUBLICATIONS
pemalar. Cari dalam sebutan a, b dan/atau k
(b) FD
(c) EF
~ ~
˜ K3
19. Rajah di bawah menunjukkan vektor OP = p ˜
˜ ~ (a) PQ,
˜
dan OQ = q yang dilukis pada grid segi empat (b) PR .
sama. K2 ~
Jika P, Q dan R adalah segaris, cari nilai k.
Q
q 24.
R ~
P
p p = a + b
~
~
O ~ ~
q = 3a – 2b
˜ ~ ~ ~
Ungkapkan OR dalam sebutan p dan q. r = ha + (2h + k)b,
~ ~ ~ ~ ~
˜ dengan keadaan a dan b ialah dua vektor
20. Pada grid segi empat sama di bawah, OA = a ~ ~
˜ ~ tak selari dan h dan k ialah pemalar.
dan OB = b. K2
~
Berdasarkan maklumat di atas, cari nilai h dan
A
a nilai k jika p = 2q + r . K3
~ ~ ~ ~
O 25. Diberi bahawa p = a + 2ub dan q = (v + 4)a + b,
~
~
~
~
~
~
dengan keadaan a dan b ialah dua vektor
~ B R ~ ~
bukan sifar yang tak selari dan u dan v ialah
˜
(a) Tuliskan OR dalam sebutan a dan b. pemalar. Cari K3
~
~
(b) Pada grid itu, tandakan dengan jelas titik S (a) nilai u dan nilai v jika p = q,
~
~
˜ (b) v dalam sebutan u jika p dan q adalah
dengan keadaan OS = 1 a – 2b. ~ ~
2 ~ ~ selari.
184
B08 SpotlightA+ Add Math F4.indd 184 22/01/2021 3:58 PM
Tg 4
Bab 8 Vektor Matematik Tambahan
˜ ˜ ˜ ˜
26. Dalam rajah di bawah, OA = 3a dan OB = 10b. Diberi bahawa OP = 4a + 2b dan OQ = 5a – b.
~ ~ ~ ~ ~ ~
(a) Ungkapkan dalam sebutan a dan b,
˜
B ˜ ~ ~
D A (i) PN , ˜ ˜ (ii) MQ.
˜
˜
C E (b) Jika RN = h PN dan RQ = kMQ, ungkapkan
10b 3a ˜
~ ~ (i) RN dalam sebutan h, a dan b,
O ˜ ~ ~
(ii) RQ dalam sebutan k, a dan b.
~
~
˜
C ialah titik tengah bagi OB dan E terletak di (c) Menggunakan ungkapan bagi vektor RQ,
©PAN ASIA PUBLICATIONS
˜ ˜ ˜ ˜
2
atas OA dengan keadaan OE = OA. Garis AC RN dan NQ,
3
˜ ˜ (i) cari nilai h dan nilai k,
dan BE bertemu di D supaya AD = mAC dan (ii) nisbah bagi PR : RN dan MR : RQ.
˜ ˜
BD = n BE . K4
˜ 29. Mukhriz dan Habil menarik sebuah bot masing-
(a) Ungkapkan OD dalam sebutan masing dengan daya 40 N dan 30 N seperti
(i) m, a dan b, (ii) n, a dan b. yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Mukhriz
~
~
~
~
(b) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n. menarik bot itu dengan membuat sudut 45°
(c) Jika |a| = 2.5 unit, |b| = 1 unit dan terhadap garis mengufuk manakala Habil pula
~
~
∠AOC = 120°, cari pada sudut 30°. K3
˜
(i) | AC|, (ii) ∠OAC.
Mukhriz
27. Dalam rajah di bawah, ABCD ialah sebuah segi 40 N
empat selari dengan pepenjuru-pepenjurunya
bertemu di E. K4 45°
30°
N Bot
30 N
BAB
Habil
D M C 8
q
~ E Tentukan magnitud bagi daya paduan yang
bertindak ke atas bot itu.
A p B
~
30. Lebar sebatang sungai dengan dua tebing
M ialah titik tengah DC dan AD dipanjangkan yang selari ialah 80 m dan arus mengalir ke
ke N dengan keadaan AD = DN. Diberi bahawa timur dengan halaju 3 m/s. K5
˜ ˜
AB = p dan AD = q. C D 60 m B
~
~
(a) Ungkapkan dalam sebutan p dan q. 3 m/s
~
˜ ˜ ~ ˜
(i) AE , (ii) BM, (iii) BN.
˜ ˜ 4 m/s v 80 m
(b) Menggunakan vektor BM dan vektor BN di B
27(a)(ii) dan 27(a)(iii), tunjukkan bahawa titik- θ
titik B, M dan N adalah segaris.
A
28. Dalam rajah di bawah, M dan N masing-masing Untuk menyeberangi sungai itu dari titik A ke
ialah titik tengah bagi OP dan OQ. Garis MQ titik B, Hamdan berenang dengan halaju 4 m/s
dan garis PN bertemu di R. K4
dalam arah yang membuat sudut q kepada
tebing sungai seperti yang ditunjukkan dalam
P
4a + 2b rajah di atas. Diberi jarak BD ialah 60 m,
~ ~
tentukan
M (a) nilai q,
R
(b) halaju sebenar Hamdan v ,
B
O Q (c) masa yang diambil oleh Hamdan untuk
N 5a – b
~ ~ menyeberangi sungai.
185
B08 SpotlightA+ Add Math F4.indd 185 22/01/2021 3:58 PM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga
5. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan pokok 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kapal yang
rambutan (R), pokok durian (D), pokok mangga sedang belayar di lautan.
(M) dan pondok di dalam sebuah kebun.
17 m
D
R M
67°
32°
13 m 9 m Pelabuhan 25 km Pelabuhan
A B
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Pondok Jarak pelabuhan A dengan pelabuan B ialah
25 km. Cari jarak di antara kapal tersebut dari
Diberi jarak pokok durian dan pokok mangga pelabuhan B.
dari pondok adalah sama. Cari jarak di antara K3
pokok durian dengan pokok rambutan. K4
Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN
PEMERIKSA
Kertas 2
(c) Menggunakan petua sinus,
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi empat sin ∠BAD sin 53°
ABCD. 7.71 = 10
B sin ∠BAD = sin 53° × 7.71
6 cm 10
C = 0.6157
53°
∠BAD = 38°
7 cm Maka, ∠ADB = 180° – 53° – 38°
= 89°
D 1
10 cm (d) Luas ∆ABD = (10)(7.71) sin 89°
BAB A 2
9 Luas ∆BCD ialah 20 cm dan ∠BCD ialah sudut = 38.54 cm 2
2
1
tirus. Hitung K3 Luas ∆BCD = (7)(6) sin 72.25°
(a) ∠BCD, 2
(b) panjang BD, = 20 cm
(c) ∠ADB, Luas sisi empat ABCD
(d) luas, dalam cm , sisi empat ABCD. = Luas ∆ABD + Luas ∆BCD
2
Jumlah luas = 38.54 + 20
Komen Pemeriksa: = 58.54 cm 2
(a) Diberi ∆BCD = 20 cm 2
1 (6)(7) sin ∠BCD = 20 2. Rajah di bawah menunjukkan dua buah segi
2 tiga, KMN dan KLM.
sin ∠BCD = 20 × 2
42 L
= 0.9524
∠BCD = 72.25°
(b) Dengan menggunakan petua kosinus,
BD = CD + BC – 2(BC)(CD) kos ∠BCD 7 cm
2
2
2
= 6 + 7 – 2(6)(7) kos 72.25° M 5.4 cm
2
2
= 59.39
BD = ! 59.39 49°
= 7.71 47°
K N
216
B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 216 22/01/2021 5:28 PM
Tg 4
Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga Matematik Tambahan
Diberi KM = 5.4 cm, KL = 7 cm, ∠MKN = 49° dan Komen Pemeriksa:
∠MNK = 47°. Jika luas ∆KMN adalah dua kali 1
ganda luas ∆KLM, hitung K3 (a) (i) Luas ∆BCD = (10.4)(16.9) sin 86°
2
(a) panjang KN, = 87.67 cm 2
(b) luas ∆KLM, (ii) Dengan menggunakan petua kosinus,
(c) panjang LM. BD = DC + CB – 2(DC)(CB) kos ˙DCB
2
2
2
= 10.4 + 16.9 – 2(10.4)(16.9) kos 86°
2
2
Komen Pemeriksa:
(a) ∠KMN = 180° – 49° – 47° = 369.25
= 84° BD = ! 369.25
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Dengan menggunakan petua sinus, = 19.22 cm
KN = 5.4 (iii) Jarak terpendek dari titik C ke garis
sin 84° sin 47° BD mewakili tinggi segi tiga DCB
KN = 5.4 × sin 84° ∆ BCD = 87.67 cm 2
sin 47° 1 × 19.22 × BD = 87.67
= 7.34 cm 2 2
1
(b) Luas ∆KMN = (5.4)(7.34) sin 49° BD = 87.67 × 19.22
2 = 9.12 cm
= 14.96 cm 2 (b) Menggunakan petua sinus,
1
Luas ∆KLM = × Luas ∆KMN sin ∠ABD = sin 94°
2 15.1 19.22
1
= × 14.96 sin ∠ABD = sin 94° × 15.1
2 19.22
= 7.48 cm 2 = 0.7837
(c) Luas ∆KLM = 7.48 cm 2 ∠ABD = 51.6°
1 (5.4)(7) sin ∠KLM = 7.48 Oleh itu, ∠ADB = 180° – 94° – 51.6°
2 = 34.4°
sin ∠KLM = 7.48 × 2 sin ∠BDC sin 86°
37.8 16.9 = 19.22
= 0.3958 sin ∠BDC = sin 86° × 16.9
∠LKM = 23.32° 19.22
= 0.8772
Dengan menggunakan petua kosinus, ∠BDC = 61.3° BAB
LM = KM + LK – 2(KM)(LK)kos ∠LKM Maka, ∠ADC = 61.3° + 34.4°
2
2
2
= 5.4 + 7 – 2(5.4)(7) kos 23.32° = 95.7° 9
2
2
= 8.736 ˙BDC + ˙ADB
LM = ! 8.736 4. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD
= 2.96 cm
dengan keadaan ∠ACD ialah sudut cakah.
3. Rajah di bawah menunjukkan segi empat A
terterap di dalam sebuah bulatan. K4
12 cm
10.4 cm 7 cm
D
C 35° 80°
15.1 cm 16.9 cm Diberi AB = 7 cm, BC = 6 cm, AD = 12 cm,
B
D
C
6 cm
94° ˙ABC = 80° dan ˙ADC = 35°. K4
(a) Hitung
A
(i) AC, (ii) ˙ACD,
B
(iii) luas, dalam cm , sisi empat ABCD.
2
(a) Cari (b) Satu titik E terletak di garis AD dengan
(i) luas, dalam cm , segi tiga BCD, keadaan CD = CE dan ˙CED = ˙CDE,
2
(ii) panjang BD, iaitu bentuk segi tiga ACE adalah berbeza
(iii) jarak terpendek dari titik C ke BD. daripada segi tiga ACD.
(b) Hitung ∠ADC. (i) Lakarkan segi tiga ACE.
(ii) Cari ˙CEA.
217
B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 217 22/01/2021 5:28 PM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga
Komen Pemeriksa: Luas sisi empat ABCD
(a) (i) Dengan menggunakan petua kosinus, = Luas ∆ABC + Luas ∆ACD
AC = AB + BC – 2(AB)(BC) kos ˙ABC = 20.68 + 17.3
2
2
2
= 7 + 6 – 2(7)(6) kos 80° = 37.98 cm 2
2
2
= 70.414
BD = ! 70.414 (b) (i) Tandakan E pada garis AD, iaitu
= 8.39 cm CD = CE. Kemudian, lakarkan segi
(ii) Menggunakan petua sinus, tiga ∆ACE.
sin ∠ACD = sin 35°
©PAN ASIA PUBLICATIONS
12 8.39 A
sin ∠ACD = sin 35° × 12
8.39
= 0.8204 12 cm
∠ACD = 55.1° E
Oleh sebab ∠ACD ialah sudut cakah, 8.4 cm
= 180° – 55.1°
= 124.9°
1
(iii) Luas ∆ABC = (7)(6) sin 80° D C
2
= 20.68 cm
2
Luas ∆ACD (ii) ˙CEA = 180° – 35° ∆CDE ialah segi
= 1 (12)(8.39) sin (180° – 124.9° – 35°) = 145° tiga sama sisi.
2
= 17.3 cm 2
Z on Sumatif
BAB
9 Kertas 2
Klon SPM
Klon SPM
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi 2. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat
empat ABCD. kitaran ABCD.
K3 D K4
B
C
8 cm
9 cm 4 cm 81°
A 35° D
77°
11 cm
7 cm C
10 cm
B
(a) Cari
(i) panjang, dalam cm, bagi AC, A
(ii) ∠ABC,
(iii) luas, dalam cm , bagi sisi empat (a) Hitung
2
ABCD. (i) panjang AC,
(b) (i) Lakarkan sebuah segi tiga ABC yang (ii) ∠ACD.
mempunyai bentuk berbeza daripada (b) Cari
segi tiga ABC dengan keadaan AB = (i) luas ∆ABC,
AB, AC = AC dan ∠ABC = ∠ABC.
(ii) Seterusnya, nyatakan ∠ABC. (ii) jarak terdekat, dari titik B ke AC.
218
B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 218 22/01/2021 5:28 PM
Tg 4
Bab 10 Nombor Indeks Matematik Tambahan
Z on Sumatif
Kertas 2
1. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga
K3 bagi empat komponen, P, Q, R dan S, yang
©PAN ASIA PUBLICATIONS
digunakan untuk menghasilkan sejenis perabot Gula
22%
pada tahun 2014 berasaskan tahun 2010 serta Serbuk
pemberatnya. penaik 15%
Tepung
Komponen Indeks harga Pemberat Susu 42%
P x 2
Q 140 4
(a) Cari nilai x dan y.
R 120 3 (b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat
biskut tersebut pada tahun 2015 berasaskan
S 110 5
tahun 2010.
(a) Hitung (c) Indeks gubahan bagi kos membuat biskut
(i) harga komponen R pada tahun 2014 jika tersebut meningkat sebanyak 50% dari
harganya pada tahun 2010 ialah RM42. tahun 2015 ke tahun 2019.
(ii) indeks harga komponen Q Hitung
pada tahun 2014 berasaskan (i) indeks gubahan bagi kos membuat
tahun 2006 jika indeks harganya pada biskut tersebut pada tahun 2019
tahun 2010 berasaskan tahun 2006 berasaskan tahun 2010.
ialah 165. (ii) harga sekotak biskut ini pada tahun
(b) Indeks gubahan bagi kos penghasilan 2019 jika harganya yang sepadan pada
perabot itu pada tahun 2014 berasaskan tahun 2010 ialah RM25.
tahun 2010 ialah 120. Cari
(i) nilai x, 3. Jadual di bawah menunjukkan harga, indeks
(ii) kadar kenaikan kos. K5 harga dan peratusan perbelanjaan bagi empat
bahan, P, Q, R dan S, yang digunakan untuk BAB
2. Jadual di bawah menunjukkan harga dan membuat sejenis minuman. 10
K4 indeks harga dalam membuat sejenis biskut.
Harga per kg Indeks harga Harga Indeks
(RM) pada tahun per kg (RM) harga pada Peratus
Bahan Bahan tahun 2017 perbelanjaan
Tahun Tahun 2015 berasaskan Tahun Tahun berasaskan (%)
2010 2015 tahun 2010 2015 2017 tahun 2015
Susu 3.00 3.50 116.7
P 4.00 5.00 x 16
Tepung 2.50 2.80 y
Serbuk penaik x 2.90 112.5 Q 3.00 y 150 12
Gula 2.10 2.47 117.6 R 8.00 10.00 125 48
Carta pai berikut menunjukkan peratusan
penggunaan bahan dalam membuat biskut S z 3.00 120 24
tersebut.
233
B010 SpotlightA+ Add Math F4.indd 233 23/01/2021 9:44 AM
Tg 4
Matematik Tambahan Bab 10 Nombor Indeks
(a) Cari nilai x, y dan z. 5. Carta palang di bawah menunjukkan
(b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat K4 perbelanjaan mingguan barangan P, Q, R, S
minuman itu pada tahun 2017 berasaskan dan T pada tahun 2015.
tahun 2015. Perbelanjaan mingguan (RM)
(c) Kos untuk membuat sekotak minuman itu
dalam tahun 2015 ialah RM50.00. 3.3
Hitung kos yang sepadan pada tahun 2017. 3.0
(d) Kos bagi semua bahan minuman itu
meningkat sebanyak 15% dari tahun 2017 2.4
ke tahun 2019. Cari indeks gubahan bagi
©PAN ASIA PUBLICATIONS
tahun 2019 berasaskan tahun 2015. 1.5
4. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga, 1.2
K4 perubahan indeks harga dan pemberat bagi 0 Barang
empat jenis barangan alat elektrik, A, B, C dan P Q R S T
D. Jadual di bawah menunjukkan harga bagi
barangan itu pada tahun 2015 dan 2019 dan
Indeks Perubahan indeks harga masing-masing pada tahun 2019
harga pada indeks harga berasaskan tahun 2015.
Alat
elektrik tahun 2013 dari tahun Pemberat Harga Harga Indeks
berasaskan 2013 ke
tahun 2010 tahun 2014 pada pada harga pada
Barang tahun tahun tahun 2019
A 120 Menyusut 5% 2 2015 2019 berasaskan
(RM) (RM) 2015
Tidak
B 135 1 P 4.80 6.00 125
berubah
Tidak Q x 0.70 165
C x 3
berubah
R 2.00 2.70 y
Bertambah
D 125 4 S 3.00 z 120
15%
BAB (a) Hitung T 2.00 3.50 175
10 (i) harga bahan alat elektrik A pada tahun
2010 jika harga bahan alat elektrik A (a) Cari nilai
pada tahun 2013 ialah RM3.60. (i) x,
(ii) harga bahan alat elektrik D pada (ii) y,
tahun 2013 jika harganya pada tahun (iii) z.
2010 ialah RM4.20. (b) Hitung nombor indeks gubahan bagi harga
(b) Indeks gubahan bagi harga alat elektrik barangan itu pada tahun 2019 berasaskan
pada tahun 2013 berasaskan tahun 2010 tahun 2015.
ialah 126.5. Hitung nilai x. (c) Jumlah perbelanjaan bulanan bagi
(c) Seterusnya, hitung indeks gubahan barangan itu pada tahun 2015 ialah RM420.
bagi harga alat elektrik pada tahun 2014 Hitung jumlah perbelanjaan bulanan yang
berasaskan tahun 2010. sepadan pada tahun 2019.
(d) Jumlah perbelanjaan alat elektrik tersebut (d) Kos barangan itu meningkat 20% dari
pada tahun 2010 ialah RM500. Hitung tahun 2019 ke tahun 2020. Cari nombor
jumlah perbelanjaan sepadan dalam tahun indeks gubahan tahun 2020 dengan tahun
2014. 2015 sebagai tahun asas.
234
B010 SpotlightA+ Add Math F4.indd 234 23/01/2021 9:44 AM
Tg 4
BAB
1 Sukatan Membulat
SKOP Bestari
Standard Pembelajaran yang Penting Muka
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Surat
1.1 Radian • Membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah. 239
• Menentukan
(i) panjang lengkok,
(ii) jejari, dan 240
(iii) sudut tercangkum di pusat bulatan.
1.2 Panjang Lengkok • Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan. 242
Suatu Bulatan
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok. 242
• Menentukan
(i) luas sektor, 244
(ii) jejari, dan
(iii) sudut tercangkum di pusat bulatan.
1.3 Luas Sektor Suatu • Menentukan luas tembereng suatu bulatan. 245
Bulatan
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor. 246
1.4 Aplikasi Sukatan • Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat. 248
Membulat
Kata Kunci
• Sudut / Angle
• Darjah / Degree
• Panjang lengkok / Length of arc
• Jejari / Radius
• Luas sektor / Area of sector
• Bulatan / Circle
• Pusat bulatan / Centre of circle
• Sukatan membulat / Circular measure
• Garis tembereng / Chord
• Lilitan bulatan / Circumference of circle
• Radian / Radian
• Diameter / Diameter
• Sudut yang tercangkum di pusat bulatan / Angle subtended at the centre of circle
237
B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 237 22/01/2021 1:24 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 1 Sukatan Membulat
BAB
1 Konsep
Sukatan Membulat
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Penukaran ukuran sudut
× 180°
π
Radian Darjah
× π
180°
Panjang lengkok suatu bulatan Luas sektor suatu bulatan
B B
s j
j
θ θ L s
O
O j A
j
A
1 2
s = qj, q dalam radian L = 2 qj , q dalam radian
Petua sinus dan kosinus Rumus luas segi tiga
boleh digunakan jika digunakan jika melibatkan
melibatkan segi tiga segi tiga
Aplikasi
238
B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 238 22/01/2021 1:24 PM
Tg 5
Bab 1 Sukatan Membulat Matematik Tambahan
1.1 Radian Contoh 1 BAB
Membuat perkaitan antara ukuran sudut Tukarkan sudut di dalam unit radian kepada 1
dalam radian dengan darjah darjah. [Guna π = 3.142]
(a) 1.15 radian
1. Dalam sukatan membulat, sudut boleh diukur (b) 5π radian
6
dalam 2 unit, iaitu Penyelesaian:
(a) darjah (°) dan minit (ʹ). (a) π rad = 180°
(b) unit radian (dalam atau bukan dalam 180°
©PAN ASIA PUBLICATIONS
sebutan π). 1.15 rad = 1.15 × π
2. Radian melibatkan sudut yang berkaitan dengan = 1.15 × 180°
jejari dan lilitan sebuah bulatan. Rajah di bawah 3.142
= 65.89°
menunjukkan sudut di dalam darjah dan minit (b) π rad = 180°
dan radian dalam sebuah bulatan dengan jejari 5π 5π 180°
yang sama panjang. 6 rad = 6 × π
5
= × 180°
6
= 150°
57° 17' 1 rad
Kaedah Alternatif
O O
Gantikan π =180° ke dalam ungkapan
5π = 5(180°) = 150°
Dalam radian Dalam darjah dan minit 6 6
1 rad = 57° 17ʹ Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1
3. Satu radian adalah suatu ukuran bagi sudut yang
tercangkum pada pusat sebuah bulatan dengan Contoh 2
keadaan panjang lengkok adalah sama dengan
panjang jejari bulatan. Tukarkan
(a) 30° kepada unit radian, dalam sebutan π.
(b) 200° kepada unit radian.
j j
[Guna π = 3.142]
1 radian
O j Penyelesaian:
(a) 180° = π rad
30° = 30° × π
180°
4. Sudut yang tercangkum pada pusat bulatan, = π rad
6
˙AOB ialah 1 radian jika panjang lengkok AB (b) 180° = π rad
adalah sama dengan panjang jejari bulatan.
200° = 200° × π
AB = OA = OB = j 180°
200° = 200° × 3.142
5. Hubungan antara ukuran sudut di dalam bulatan = 3.49 rad 180°
dengan darjah ialah
Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.1
π rad = 180°
6. Penukaran unit suatu sudut di dalam darjah kepada Kalkulator
radian dan sebaliknya adalah seperti berikut:
Semak jawapan dalam Contoh 2(b) menggunakan
180°
× kalkulator,
π
1. Tekan 2 0 0 × SHIFT EXP ÷ 1 8 0
Radian Darjah =
2. Skrin akan memaparkan 3.490658504
× π
180°
1.1.1 239
B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 239 22/01/2021 1:24 PM
Tg 5
Bab 2 Pembezaan Matematik Tambahan
y 6. Kaedah yang digunakan dalam menentukan
dy Titik sama ada titik pusingan adalah titik minimum
— = 0
dx maksimum atau titik maksimum ialah
dy dy (a) kaedah lakaran tangen,
— > 0 — < 0 BAB
dx dx (b) kaedah pembezaan peringkat kedua.
2
y = f(x) TIP Bestari
• Kaedah lakaran tangen digunakan untuk
x
0 x – x x x + x menentukan sifat suatu titik pegun.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
1 1 1
• Kaedah pembezaan peringkat kedua digunakan
Nilai x x – dx x x + dx untuk menentukan sifat suatu titik pusingan.
dy
Tanda (+) 0 (–)
dx A Kaedah lakaran tangen
Lakaran Contoh 33
tangen Diberi lengkung y = 5x + 2x – 3x.
2
3
(a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkuk itu.
B Titik minimum (b) Seterusnya, tentukan sama ada titik
Suatu titik pegun adalah minimum apabila kecerunan persilangan itu ialah titik maksimum atau titik
lengkung berubah daripada negatif kepada sifar dan minimum.
kemudian kepada positif. Penyelesaian:
3
2
y (a) y = 5x + 2x – 3x
dy
2
y = f(x) = 15x + 4x – 3
dx = (5x + 3)(3x – 1)
dy
Titik pusingan, = 0,
dy dy dx
— < 0 — > 0
dx dx (5x + 3)(3x – 1) = 0
3
Titik — = 0 x = – dan x = 1
dy
minimum dx 5 3
x 3 3
( )
( ) ( )
0 x – x x x + x Apabila x = – , y = 5 – 3 3 + 2 – 3 2 – 3 –
5 5 5 5
2 2 2
Nilai x x – dx x x + dx = 36
25
dy 1 1
1 3
1 2
– 3
Tanda (–) 0 (+) Apabila x = , y = 5 ( ) + 2 ( ) ( )
dx 3 3 3 3
= – 16
Lakaran 27
(
3 36
tangen Maka, titik pusingan ialah – , ) dan
5 25
( 1 , – 16 ) .
C Titik lengkok balas 3 27
(
3 36
(a) Titik pegun merupakan titik yang tidak berubah (b) Pada titik – , )
tanda. 5 25
(b) Titik ini tidak termasuk di dalam titik – 4 – 3 – 2
pusingan. x 5 5 5
Kecerunan dy 17 0 – 11
positif Nilai dx 5 5
Kecerunan dy
positif Kecerunan sifar Tanda + 0 –
dx
Lakaran
Kecerunan sifar tangen
Kecerunan
negatif
Kecerunan Lakaran
negatif graf
2.4.4 275
B02 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 275 22/01/2021 5:46 PM
Tg 5
Bab 3 Pengamiran Matematik Tambahan
3.1 Pengamiran sebagai Contoh 1
Songsangan Pembezaan (a) Jika f(x) = 9x + 5x dan f(x) = 18x + 5, cari
2
∫ (18x + 5) dx.
Perkaitan antara pembezaan dengan dy
∫
3
pengamiran (b) Diberi y = 4x(1 – x) dan dx = g(x), cari g(x) dx.
dy 5
∫
dy (c) Diberi ( ) = h(x), cari h(x) dx.
1. Diberi y = x + 7, maka = 3x . dx 3 – x BAB
3
2
dx
dy Penyelesaian: 3
Sebaliknya, jika diberi dx = 3x , maka y = x + 7 (a) Diberi f(x) = 9x + 5x
2
3
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2
boleh diperolehi. f(x) = 18x + 5
∫
2. Proses songsangan bagi pembezaan ini Seterusnya, 18x + 5 dx = f(x)
dinamakan sebagai pengamiran.
2
d ∫ 18x + 5 dx = 9x + 5x
3. Jika [f(x) = f (x), maka kamiran bagi f (x)
∫
dx Maka, (18x + 5) dx ialah 9x + 5x.
2
∫
terhadap x ialah f (x) dx = f(x). (b) Diberi y = 4x(1 – x) 3
dy
d = g(x)
Pembezaan [f(x)] = f (x) dx
dx
∫
Seterusnya, g(x) dx = y
∫ g(x) dx = 4x(1 – x) 3
∫
Pengamiran ∫ f (x) dx = f(x) Maka, g(x) dx ialah 4x(1 – x) .
3
d 5
(c) Diberi ( ) = h(x)
dx 3 – x
∫
Seterusnya, h(x) dx = y
Perbezaan antara pembezaan 5
dengan pengamiran ∫ h(x) dx = 3 – x
5
∫
bit.ly/2K4y3b0 Maka, h(x) dx ialah 3 – x .
Cuba soalan 1 hingga 5 dalam Zon Formatif 3.1
Z on Formatif 3.1
∫
1. Jika f(x) = 7 – 3x dan f(x) = –12x , cari –12x dx. K1 3. Diberi d (x – 5x + c) = 2x – 5, cari (2x – 5) dx.
∫
3
3
4
2
K1 dx
dy 2
)
(
2. Diberi = 2x – dan y = x + 1 2 , cari
∫
)
dx x 3 x 4. Diberi d ( 4 + 5x = g(x), cari g(x) dx. K2
∫ ( x 2 3) dx. K1 dx x 2
2x –
∫
5. Diberi y = f(x) dan dy = 3h(x), cari h(x) dx. K2
dx
3.2 Kamiran Tak Tentu (c) ax dx = ax n + 1 + c dengan keadaan
∫
n
n + 1
Menerbitkan dan menentukan kamiran tak n ≠ 1 dan c ialah pemalar.
tentu bagi fungsi algebra
2. Berikut merupakan langkah-langkah dalam
1. Rumus-rumus pengamiran: mencari kamiran suatu fungsi:
Langkah 1: Kekalkan pemalar a.
∫
(a) a dx = ax + c dengan keadaan a dan c Langkah 2: Tambahkan indeks bagi x, iaitu n
ialah pemalar. dengan 1, menjadi n + 1.
x
n + 1
∫
(b) x dx = n + 1 + c dengan keadaan n ≠ 1 Langkah 3: Bahagikan sebutan dengan indeks
n
baharu.
dan c ialah pemalar. Langkah 4: Pemalar c yang nilainya akan
ditentukan kemudian.
3.1.1 3.2.1 3.2.2 289
B03 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 289 22/01/2021 4:22 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 3 Pengamiran
(b) Dikisarkan pada paksi-y y y
y y D
y = f(x) y = f(x)
b
a y = f(x)
R E
x x O x O x
O
BAB (b) Bahagikan bongkah tersebut kepada n
3 2. Isi padu janaan yang terbentuk daripada satu silinder mengufuk dengan lebar dy.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
kisaran pada paksi-x adalah seperti berikut: (c) Isi padu setiap silinder, dI
i
(a) Putarkan 360° suatu luas rantau sepenuhnya = Luas tapak silinder × tinggi silinder
melalui paksi-x sehingga membentuk satu = πx × dy
2
bongkah. = πx dy
2
y y (d) Jumlah isi padu n silinder
= I + I + I + …I
y = f(x) 1 2 3 n
n
x x ≈ ∑ dI
D E O i = 1 i
n
≈ ∑ πx dy
2
(b) Bahagikan bongkah tersebut kepada n i = 1
silinder mencancang dengan lebar dx.
Jejari
silinder y
x Jejari
silinder
x y
(e) Apabila bilangan silinder cukup besar, n ˜ ∞,
maka dy ˜ 0. Oleh itu, isi padu bongkah
janaan diberi oleh:
(c) Isi padu setiap silinder, dI i
= Luas tapak silinder × tinggi silinder n 2 b 2
∫
had ∑ πx dy = πx dy
= πy × dx dx ˜ 0 i = 1 a
2
= πy dx
2
(d) Jumlah isi padu n silinder
= I + I + I + …I Menentukan isi padu janaan bagi suatu
1 2 3 n
n rantau yang dikisarkan pada paksi-x atau
≈ ∑ dI
i = 1 i paksi-y
n
≈ ∑ πy dx
2
i = 1 A Isi padu janaan, I melalui paksi-x
(e) Apabila bilangan silinder cukup besar, n ˜ ∞, y
maka dx ˜ 0. Oleh itu, isi padu bongkah y = f(x)
janaan diberi oleh:
x
n D E O
∫
b
had ∑ πy dx = πy dx
2
2
dx ˜ 0 i = 1 a
Isi padu janaan apabila suatu kawasan berlorek
3. Isi padu janaan yang terbentuk daripada satu
kisaran pada paksi-y adalah seperti berikut: diputarkan melalui 360° pada paksi-x diberi oleh:
(a) Putarkan 360° suatu luas rantau sepenuhnya b
∫
2
melalui paksi-y sehingga membentuk satu I = π y dx
a
bongkah.
298 3.3.4 3.3.5
B03 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 298 22/01/2021 4:22 PM
Tg 5
Bab 5 Taburan Kebarangkalian Matematik Tambahan
Luas di bawah graf 9. Dalam hal ini, variasi rawak menjadi semakin
kecil dengan pertambahan bilangan kali
f(x)
ekpserimen.
Contohnya,
Apabila sebiji dadu dilambung sebanyak 1, 2, 4
atau 10 kali, kebarangkalian untuk mendapat
nombor 1 akan lari daripada jangkaan 50%. Ini
P(a < x < b) adalah kerana bilangannya yang sedikit.
Sebaliknya, jika dadu itu dilambung sebanyak
©PAN ASIA PUBLICATIONS
x 1 000 atau 10 000 000 kali, maka kebarangkalian
a b
akan semakin menghampiri 50%, kerana saiz
7. Kedudukan dan kelebaran graf bergantung sampel yang cukup besar.
kepada nilai min, m dan sisihan piawai, s. Situasi di atas dikenali sebagai Hukum Bilangan
(a) Apabila m , m .
1 2 Besar. BAB
10. Hukum Bilangan Besar menyatakan jika suatu 5
μ = 0, σ = 1 μ = 3, σ = 1
1 2 uji kaji dengan bilangan sampel cukup besar
dijalankan, nilai min percubaan menghampiri
nilai min teori.
Menerangkan maksud taburan normal
–1 0 1 2 3 4 piawai
• Bentuk graf tidak berubah. 1. Taburan normal piawai ialah satu taburan
• Paksi simetri pada min, m bergerak normal dengan nilai min adalah 0 dan sisihan
mengikut nilai m jika sisihan piawai, s piawai adalah 1.
adalah pemalar.
• Semakin besar nilai min, semakin ke f(x)
2
kanan kedudukan graf. L = µ = 0, s = 0.2
µ = –2, s = 0.5 1
2
(b) Apabila s , s .
1 2
2
µ = 0, s = 1.0
2
µ = 0, s = 5.0
μ = 0, σ = 1
1
x
Berdasarkan rajah di atas, L adalah taburan
1
normal piawai kerana nilai min adalah 0 dan
μ = 0, σ = 2 sisihan piawai adalah 1.
2
2. Taburan normal piawai menjadi satu lengkung
piawai untuk tujuan perbandingan ke atas semua
–6 –4 –2 0 2 4 6
pemboleh ubah yang bertaburan secara normal
• Sisihan piawai mempengaruhi dengan menukarkan semua skornya kepada
ketinggian dan kelebaran graf tetapi skala yang sama.
kedudukan graf tidak berubah. 3. Rajah di bawah menunjukkan graf taburan
• Semakin besar nilai sisihan piawai, s, normal dan taburan normal piawai.
semakin besar serakan taburan normal
daripada nilai min, m.
• Jika min, m adalah pemalar, ketinggian Luas adalah
graf bertambah apabila nilai sisihan sama
piawai, s berkurang
8. Apabila satu eksperimen yang sama diulang, a μ b X z = –––– 0 z = –––– z
b – μ
a – μ
keputusan puratanya akan menumpu kepada a σ b σ
keputusan yang dijangka. Taburan normal Taburan normal piawai
5.3.1 5.3.2 337
B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 337 22/01/2021 4:08 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 5 Taburan Kebarangkalian
4. Suatu pemboleh ubah rawak normal, X boleh Contoh 21
ditukarkan kepada pemboleh ubah rawak
normal piawai, Z dengan menggunakan Diberi jisim epal dan oren bertaburan secara
normal. Min dan sisihan piawai bagi buah epal
X – m ialah 100 g dan 15 g manakala min dan sisihan
2
Z = s piawai bagi buah oren ialah 140 g dan 25 g .
2
dengan keadaan Z ~ N(0, 1)
(a) Cari skor-z jika jisim epal yang dipilih secara
rawak adalah 110 g.
5. Rajah di bawah menunjukkan peratusan taburan (b) Jika skor piawai oren ialah –0.16, tentukan
data yang wujud dalam setiap lingkungan sisihan jisim oren.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
piawai. Penyelesaian:
(a) Z = 110 – 100
15
= 0.667
BAB daripada data Skor-z epal adalah positif, iaitu 0.667. Ini
68.3%
5 menunjukkan epal itu mempunyai jisim yang
melebihi jisim purata semua epal.
95.5%
daripada data X – m
(b) s = –1.6
99.7%
daripada data X – 140 = –1.6
25
X – 140 = –40
–3SD –2SD –1SD Min +1SD +2SD +3SD
X = 100
6. Berdasarkan rajah di atas, didapati bahawa Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 5.3
(a) 68.3% daripada data berada dalam
lingkungan sisihan piawai ±1 daripada min.
(b) 95.5% daripada data berada dalam Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa
lingkungan sisihan piawai ±2 daripada min.
(c) 99.7% daripada data berada dalam bagi taburan normal
lingkungan sisihan piawai ±3 daripada min.
1. Selain daripada menggunakan kalkulator
Menentukan dan mentafsir skor piawai, Z saintifik atau pengiraan, kebarangkalian bagi
skor-z untuk taburan normal piawai juga boleh
1. Sebarang titik X dari taburan normal boleh ditentukan dengan sifir taburan normal piawai.
dipiawaikan melalui rumus:
2. Sifir taburan normal piawai menggunakan
X – m konsep bahawa kebarangkalian suatu taburan
Z = s
normal diberi oleh luas di bawah graf dengan
jumlah luas di bawah graf ialah 1 unit .
2
Ini menghasilkan taburan piawai di mana X 3. Jika Z adalah taburan normal dengan min
adalah pemboleh ubah rawak normal dengan, m adalah 0 dan varians adalah 1, maka setiap nilai z
ialah min, dan s ialah sisihan piawai.
memberi kebarangkalian taburan normal piawai.
2. Proses penukaran ini dikenali sebagai
mempiawaikan taburan. f(z)
Contoh 20
Cari skor-z jika nilai X = 1 dan X ~ N(12, 3).
Penyelesaian:
z
X – m O 1.45
Z = s
= 1 – 12 4. Graf taburan normal adalah bersimetri, maka
3
= –3.367 P(Z > 0) = 0.5. Ini menunjukkan sifir ini hanya
memberikan luas di bawah graf ke kanan, iaitu
Cuba soalan 1 dan 2 dalam Zon Formatif 5.3 bermula dari 0.5 untuk P(Z . 0).
338 5.3.2 5.3.3 5.3.4
B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 338 22/01/2021 4:08 PM
Tg 5
Bab 5 Taburan Kebarangkalian Matematik Tambahan
5. Jadual di bawah menunjukkan sifir taburan normal piawai.
Kebarangkalian Hujung Atas Q(z) bagi Taburan Normal N(0, 1)
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tolak
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 4 8 12 15 19 23 27 31 35
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.557 0.3520 0.3483 4 7 11 15 19 22 26 30 34
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 4 7 11 15 18 22 25 29 32
5 ©PAN ASIA PUBLICATIONS
0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 3 7 10 14 17 20 24 27 31
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.02546 0.2514 0.2483 0.2451 3 7 10 13 16 19 23 26 29
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 3 6 9 12 15 18 21 24 27
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 3 5 8 11 14 16 19 22 25
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1634 0.1611 3 5 8 10 13 15 18 20 23 BAB
1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2 5 7 9 12 14 16 19 21 5
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2 4 6 8 10 12 14 16 18
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2 4 6 7 9 11 13 15 17
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 2 3 5 6 8 10 11 13 14
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1 3 4 6 7 8 10 11 13
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1 2 4 5 6 7 8 10 11
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1 2 3 4 4 5 6 7 8
1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1 1 2 3 4 4 5 6 6
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1 1 2 2 3 4 4 5 5
2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0 1 1 2 2 3 3 4 4
2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0 1 1 2 2 2 3 3 4
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0 1 1 1 2 2 2 3 3
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0 1 1 1 1 2 2 2 2
0.0099 0.00964 0.0093 0.00991 3 5 8 10 13 15 18 20 23
0 9 4
0.0088 0.0088 0.0084 2 5 7 9 12 14 16 16 21
9 66 2
2.4 0.0082 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 2 4 6 8 11 13 15 17 19
0 8 6 5 4
0.0017 0.00695 0.006 0.0065 0.0063 2 4 6 7 9 11 13 5 17
4 76 7 9
2.5 0.0062 0.0060 0.0058 0.0057 0.0055 0.0053 0.00523 0.0050 0.0049 0.0048 2 3 5 5 8 9 11 12 14
1 4 7 0 4 9 8 4 0
2.6 0.0046 0.0045 0.0040 0.0042 0.0041 0.0040 0.00391 0.0037 0.0036 0.0035 1 2 3 4 6 7 9 9 10
6 3 7 5 2 9 8 7
2.7 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0013 0.0029 0.00289 0.0028 0.0272 0.0026 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 6 6 7 07 8 0 4
2.8 0.0025 0.0024 0.0024 0.0023 0.0022 0.0021 0.00212 0.0020 0.0019 0.0019 1 1 2 3 4 4 5 6 6
6 8 0 3 6 9 5 9 3
2.9 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.00154 0.0014 0.0014 0.0013 0 1 1 2 2 3 3 4 4
7 1 5 9 4 9 9 4 9
3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.00111 0.0010 0.0010 0.0010 0 1 1 2 2 2 3 3 4
1 6 2 8 4 7 4 0
Kebarangkalian menggunakan
Sifir Taburan Normal Piawai
bit.ly/2X8SFlz
5.3.4 339
B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 339 22/01/2021 4:08 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 5 Taburan Kebarangkalian
6. Jika diberi kebarangkalian adalah lebih daripada Contoh 22
skor-z dan
(a) nilai a adalah positif, P(Z . a). Diberi Z ialah pemboleh ubah rawak selanjar yang
bertaburan secara normal piawai. Cari
f(z)
(a) P(Z . 0.254) (b) P(Z > 1.056)
(c) P(Z , –1.386) (d) P(Z . –2.337)
(e) P(Z , 2.337) (f) P(0 , Z , 1.242)
z (g) P(–2.46 , Z , 1.281)
O a
(h) P(–2.149 , Z , –0.214)
©PAN ASIA PUBLICATIONS
(b) nilai a adalah negatif, P(Z . –a). (i) P(1.331 , Z , 2.147)
(j) P(| Z | . 1.471)
f(z)
Penyelesaian:
BAB (a)
5 z f(z)
–a O
P(Z . –a) = 1 – P(Z , –a)
= 1 – P(Z . a)
z
7. Jika diberi kebarangkalian adalah kurang 0 0.254
daripada skor-z dan Daripada sifir taburan normal piawai,
(a) nilai a adalah negatif, P(Z , –a)
z 5 4
f(z) f(z) Tolak
0.2 0.4013 15
z z
–a O O a
P(Z . 0.25) = 0.4013
P(Z , –a) = P(Z . a)
P(Z . 0.254) = 0.4013 – 0.0015
(b) nilai a adalah positif, P(Z , a)
= 0.3998
f(z) Maka, P(Z . 0.254) = 0.3998.
Kalkulator
1. Tekan MODE MODE dan pilih 1 iaitu SD.
z
O a 1[P() mewakili P(z , a) / P(z , –a)
P(Z , a) = 1 – P(Z . a) 2[Q() mewakili P(0 , z , a)
3[R() mewakili P(z . a)
8. Apabila diberi kebarangkalian adalah di antara 2. Tekan SHIFT 3 dan pilih 3 mewakili P(z > a)
skor-z, iaitu a dan b
3. Masukkan 0.254 dan skrin akan memaparkan
f(z) 0.3995
(b)
f(z)
z
O a b
P(a , Z , b) = P(Z . a) – P(Z . b)
z
0 1.056
P(Z > 1.056) = 1.455
340 5.3.4
B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 340 22/01/2021 4:08 PM
Tg 4
BAB
6 Fungsi Trigonometri
SKOP Bestari
Standard Pembelajaran yang Penting Muka
©PAN ASIA PUBLICATIONS
Surat
6.1 Sudut Positif dan • Mewakilkan sudut positif dan sudut negatif dalam satah Cartes. 353
Sudut Negatif
6.2 Nisbah • Membuat perkaitan antara sekan, kosekan dan kotangen bagi 355
Trigonometri bagi sebarang sudut dalam satah Cartes.
Sebarang Sudut • Menentukan nilai nisbah trigonotri bagi sebarang sudut. 356
• Melukis dan melakar graf fungsi trigonometri:
(i) y = a sin bx + c
6.3 Graf Fungsi Sinus, (ii) y = a kos bx + c 360
(iii) y = a tan bx + c
Kosinus dan dengan a, b dan c ialah pemalar dan b . 0.
Tangen
• Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf. 364
• Menerbitkan identiti asas:
(i) sin A + kos A = 1
2
2
(ii) 1 + tan A = sek A 366
2
2
6.4 Identiti Asas (iii) 1 + kot A = kosek A
2
2
• Membuktikan identiti trigonometri menggunakan identiti asas. 367
• Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus
6.5 Rumus Sudut sudut majmuk bagi sin (A ± B), kos (A ± B) dan tan (A ± B). 367
Majmuk dan • Menerbitkan rumus sudut berganda bagi sin 2A, kos 2A dan tan 2A. 369
Rumus Sudut
Berganda • Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus 371
sudut berganda.
6.6 Aplikasi Fungsi • Menyelesaikan persamaan trigonometri. 373
Trigonometri • Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri. 375
Kata Kunci
• Darjah / Degree • Sudut pelengkap / Complementary angle
• Radian / Radian • Identiti asas / Basic identities
• Nisbah trigonometri / Trigonometric ratio • Rumus sudut majmuk / Addition formulae
• Sukuan / Quadrant • Rumus sudut berganda / Double angle formulae
• Sudut rujukan / Reference angle • Rumus sudut separuh / Half angle formula
351
B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 351 22/01/2021 4:14 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 6 Fungsi Trigonometri
Konsep
Fungsi Trigonometri
Sudut Positif Sudut Negatif Identiti Asas
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2
2
y y • sin A + kos A = 1
2
2
Sudut • 1 + tan A = sek A
positif 2 2
• 1 + kot A = kosek A
θ
x x
θ
Sudut Rumus sudut majmuk
negatif
• sin (A B) = sin A kos B kos A sin B
(
(
π
BAB x° = x × 180° ) rad, q rad = q × 180 ) ° • kos (A B) = kos A kos B sin A sin B
π
tan A tan B
6 • tan (A B) = 1 tan A tan B
Nisbah trigonometri
1 Graf Fungsi
• sin A = Rumus sudut berganda
kosek A • Sinus, y = sin x • sin 2A = 2 sin A kos B
1
2
• kosek A = • kos 2A = kos A – sin A
2
sin A 1 2
1 = 2 kos A – 1
• kot A = = 1 – 2 sin A
2
tan A –2π π –π π 0 π π π 2π
–3 –
2 – – 2 – 2 3 – 2 • tan 2A = 2 tan A
2
sin kos –1 1 – tan A
• Kosinus, y = kos x
tan 1 kot Rumus sudut separuh
!
1 q 1 – kos q
• sin = ±
sek kosek 2 2
!
–2π –3 – π –π – – π 0 π – π 3 – π 2π q 1 + kos q
2 2 2 2 • kos = ±
–1 2 2
q sin q 1 – kos q
Rumus sudut pelengkap • Tangen, y = tan x • tan = 1 + kos q = sin q
2
• sin q = kos (90° – q)
• kos q = sin (90° – q) 1
• tan q = kot (90° – q)
• kot q = tan (90° – q) –2π –3 – π –π – – π 0 π – π 3 – π 2π • a = amplitud
2
• sek q = kosek (90° – q) 2 –1 2 2 • b = bilangan kitaran dalam julat
• kosek q = sek (90° – q) 0 < x < 2π untuk graf sin
atau graf kos dan 0 < x < π
untuk graf tan.
0
Kaedah mencari nilai nisbah trigonometri • c = translasi ( ) dari graf asal.
• Menggunakan kalkulator c
• Menggunakan bulatan unit • Kala: (i) 2π bagi graf sin dan
b
• Menggunakan nisbah trigonometri sudut graf kos.
rujukan yang sepadan
• Menggunakan segi tiga bersudut tegak (ii) π bagi graf tan.
b
352
B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 352 22/01/2021 4:14 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 6 Fungsi Trigonometri
Z on Formatif 6.2
1. Diberi sin 27° = 0.454 dan kos 39.5° = 0.772 7
dan tan 79° 5’ = 5.185. K2 5. Diberi bahawa sin 18 π = 0.940 dan
(a) Cari nilai berikut betul kepada tiga tempat tan 7 π = 2.747. Cari K2
perpuluhan. 18
(i) sek 63° (ii) kosek 50.5° (a) kos 7 π (b) kosek 7 π
(b) Tentukan sudut tirus q dengan keadaan 18 18
kot q = 5.185. (c) sek 29 π (d) kot 25 π
18 18
©PAN ASIA PUBLICATIONS
2. (a) Menggunakan kalkulator, cari nilai K2 6. Rajah di bawah menunjukkan sudut q dengan
(i) tan (–560°) (ii) sek 227° keadaan kos q = 1 – k.
(b) Menggunakan kalkulator, cari nilai K2 y
7
(i) kos 3.4 rad (ii) kot – π
8
3. Berdasarkan bulatan unit di bawah, nyatakan x
nilai-nilai berikut. K3 θ
BAB y Cari nilai K2
6 1 �3 (a) kosek q (b) kot q
, – )
(–
�3 1
(– –– , –) 2 2
2 2 5π 7. Cari semua sudut x, dengan keadaan
––
6 π
– 0° < x < 360° yang mempunyai
3
x
O (a) sinus – ! 3 (b) tangen 1
2 ! 3
(c) kosek 2 (d) sekan –! 2
3
π
(a) kos (b) kosek 5π 8. Diberi tan q = – dengan keadaan π < q < 2π.
3 6 Cari nilai K2 4
( )
(c) kosek – π (d) kot 5π (a) sek q (b) kosek q
3
6
9. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi
4. Diberi bahawa kos 77° = 0.2250 dan setiap yang berikut. K2
tan 77° = 4.331. K2 (a) sek (–225°) (b) kot 600°
(a) kos 103° (b) kot 283° (c) kosek 15 π
(c) sek 257° (d) sek (–77°) 4
6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan
Tangen
Graf bagi fungsi trigonometri Dalam graf di sebelah,
(a) nilai maksimum ialah nilai tertinggi pada
1. Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi graf manakala nilai minimum ialah nilai
trigonometri untuk y = sin x dalam selang terendah pada graf.
–2π < x < 2π.
(b) pintasan-x ialah nilai x apabila y = f(x) = 0
y
manakala pintasan-y ialah nilai y apabila
x = 0.
1
(c) amplitud, a adalah separuh daripada jarak
Amplitud
mencancang antara nilai maksimum dengan
nilai minimum graf.
x
π –π π 0 π π π 2π (d) kala iaitu panjang mengufuk yang sepadan
–2π –3 – – – – 3 –
2 2 2 2
dengan suatu kitaran graf sinus, iaitu 360°
Kala atau 2π rad.
Amplitud
–1
360 6.3.1
B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 360 22/01/2021 4:14 PM
Tg 5
Bab 6 Fungsi Trigonometri Matematik Tambahan
2. Berikut adalah ciri-ciri untuk • Graf tangen tidak mempunyai nilai
A Graf bagi fungsi trigonometri y = sin x
maksimum dan nilai minimum.
y
• Pintasan-x ialah 0 rad (0°), π rad (180°) dan
2π rad (360°).
1 y = sin x
• Pintasan-y = 0.
• Kala bagi graf tangen ialah π rad (180°).
π
x • Graf tangen mempunyai asimptot di rad
O π π 3π 2π 3π 2
– –– (90°) dan rad (270°).
2 2
2
©PAN ASIA PUBLICATIONS
–1
3. Dalam graf bagi fungsi trigonometri
y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan
• Nilai maksimum graf sinus ialah 1 apabila y = a tan bx + c, perubahan nilai-nilai a, b dan c
π
x = rad (90°). memberi perubahan kepada amplitud, kala dan
2 kedudukan graf.
• Nilai minimum graf sinus ialah –1 apabila
x = 3π rad (270°). Perubahan Kesan
2
• Pintasan-x ialah 0°, π (180°) dan 2π (360°). • Graf y = a sin x dan y = a kos x BAB
• Pintasan-y = 0. – Nilai maksimum dan nilai 6
• Kala bagi graf sinus ialah 2π rad (360°). Nilai a minimum akan berubah.
• Amplitud = 1 • Graf y = a tan x
– Graf ini tidak mempunyai nilai
B Graf bagi fungsi trigonometri y = kos x maksimum dan nilai minimum.
y • Graf y = sin bx dan y = kos bx
– Bilangan kitaran dalam 0 < x , 2π
1 y = kos x
ialah b.
– Pintasan-x akan berubah.
360° 2π
x – Kala = atau .
O π π 3π 2π b b
– ––
2 2 • Graf y = tan bx
Nilai b
–1 – Bilangan kitaran dalam 0 < x , π
ialah b.
– Graf menghampiri garis-garis
• Nilai maksimum graf kosinus ialah 1 menegak.
apabila x = 0 dan x = 2π rad (360°). – Pintasan-y tidak berubah
• Nilai minimum graf kosinus ialah –1 – Pintasan-x akan berubah
apabila x = π rad (180°). – Kala = 180° atau π
π
• Pintasan-x ialah rad (90°) dan 3π rad b b
(270°). 2 2 • Kedudukan graf bergerak ke atas
• Pintasan-y = 1. ( )
0
• Kala bagi graf kosinus ialah 2π rad (360°). apabila c . 0, iaitu translasi c .
• Amplitud = 1 Nilai c • Kedudukan graf bergerak ke bawah
0
C Graf bagi fungsi trigonometri y = tan x apabila c , 0, iaitu translasi ( ) .
–c
y • Pintasan-y berubah
1 y = tan x
x Kesan perubahan a, b dan c
O π π 3π 2π
– ––
2 2 untuk graf fungsi trigonometri
bit.ly/3LNDtEn
6.3.1 361
B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 361 22/01/2021 4:14 PM
Tg 5
Bab 6 Fungsi Trigonometri Matematik Tambahan
Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN
PEMERIKSA
Kertas 1
1. Rajah di bawah menunjukkan graf Kitaran lengkap bagi graf fungsi kosinus,
y = –|a sin bb | untuk 0 < b < π. K3
m = 2π × 2
y = 4π
Translasi graf dari kedudukan graf asas
0
adalah ( ) . Oleh itu, c = 2.
O β 2
©PAN ASIA PUBLICATIONS
π 2π π
– ––
3 3
–1 A sin A
3. (a) Buktikan bahawa kot = .
2 1 – kos A
(b) Seterusnya tanpa menggunakan kalkulator,
–2 cari nilai tan 22.5 . Ungkapkan jawapan
o
y = – | 9 sin bβ |
anda dalam m – ! n, dengan keadaan m
dan n ialah pemalar. K3
(a) Nyatakan nilai a dan nilai b.
(b) Apakah kala bagi graf y = a sin bb? Komen pemeriksa: BAB
(a) Sebelah kanan: 6
Komen pemeriksa: sin A
(a) Berdasarkan graf asas sinus 1 – kos A
2 – (–2) A A
Amplitud, a = = 2 2 sin kos
2 = 2 2 Rumus sudut
3
(
2 A
Bilangan kitaran sehingga π = . 1 – 1 – 2 sin )
2 2 berganda
Bilangan kitaran sehingga 2π, b = 3.
A
(b) Didapati graf y = 2 sin 3b. 2 sin kos A kos q
2
2
2 A
Kala = 2π = 2 sin kot q = sin q
b 2
A
= 2π = kot (Sebelah kiri)
3 2
(b) Guna Identiti Sudut Berganda
2. (a) Diberi tan q = h, nyatakan nilai bagi
kot (2π – q) dalam sebutan h. K3 tan A = 1 – kos A
(b) Rajah menunjukkan sebahagian daripada 2 sin A
graf y = 3 kos nx + c. tan 22.5° = 1 – kos 45°
sin 45°
y
1 – ! 2 sin 45° = kos 45°
3 = 2 ! 2
! 2 =
2 2
2
1 2 – ! 2 2
x = ×
O 2π m 2 ! 2
Nyatakan nilai n, m dan c. K3 = 2 – ! 2 Permudahkan
! 2
Komen pemeriksa: = ! 2 – 1
tan 2π – tan q
(a) tan (2π – q) =
1 + tan 2π tan q Kertas 2
= 1 – h
1 4. (a) Lakarkan graf y = 3 sin A + 1 untuk 0 < A < 2π.
1 (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang
Maka, kot (2π – q) =
1 – h sama, lakar satu garis lurus yang sesuai
(b) Daripada graf, perhatikan bahawa untuk mencari bilangan penyelesaian bagi
A
(
bilangan kitaran sehingga 2π ialah 1 , persamaan kot A ) (1 – kos A) = 3π – 3.
2
2
b = n = 1 K4
2
377
B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 377 22/01/2021 4:15 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 7 Pengaturcaraan Linear
Penyelesaian: (b) Katakan k = 8, maka x + 2y = 8
(a) y Gantikan (2, 6), iaitu titik maksimum ke dalam
k = x + 2y
k = 2 + 2(6) = 14
10 Maka, nilai maksimum bagi k ialah 14.
y < 3x
Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 7.1
8
6 TIP Bestari
©PAN ASIA PUBLICATIONS
4 Nilai k boleh ditentukan dengan mengambil k
3x + 2y < 18 sebagai gandaan sepunya bagi pekali a dan b.
2
x
0 2 4 6 8
x + 2y = 8 Nilai optimum dalam
pengaturcaraan linear
bit.ly/3hL9TPq
Z on Formatif 7.1
BAB 1. Lorek rantau yang diwakili oleh ketaksamaan 3. Tuliskan satu model matematik bagi setiap
7 linear yang berikut. K1 situasi berikut. K1
(a) (b) (a) Bilangan peserta kursus A adalah selebih-
y
y
lebihnya tiga kali bilangan peserta kursus B.
6 3 (b) Bilangan pekerja lelaki melebihi bilangan
1 4 2 pekerja perempuan selebih-lebihnya 40
y < –x + 3 2 orang.
2 2 y > –x – 1 1
5
x x (c) Dalam seminggu, Ahmad membuat x
–6 –4 –2 0 2 –3 –2 –1 0 1 buah almari P dan y buah almari Q. Dia
–2 –1
mempunyai modal sebanyak RM2 000. Kos
(c) y (d) y membuat sebuah almari P ialah RM200 dan
sebuah almari Q ialah RM100.
2 x 4. Wakilkan setiap ketaksamaan linear berikut
–8 –6 –4 –2 0
x –1 secara grafik. K3
–2 0 2 4 6
4
–2 y > – –x – 3 –2 (a) x > 4 (b) x , 7 (c) x > –2
8
–4 y < –x – 5 9 –3 y , 8 y > 1 y > 4
3
–6 –4 (d) x + y > 2 (e) x + y < 4 (f) x > y
y , 6 x + y . 1 x . 1
2. Tentukan ketaksamaan linear yang memuaskan (g) y < 2x (h) y > 2x
setiap rantau berlorek yang berikut. K2 y > x + 2 y < 3x
(a) (b) 5. Lorek rantau R yang memuaskan ketaksamaan
y
y
x > 0, y > x, y < 2x + 1 dan x + y < 8. K2
4 2 6 x = 0
y = –x + 2
7
2 3 y = –x + 5 4
3 y = 2x + 1
x 2
–4 –2 0 2 4 8
–2 x y = x
–3 –2 –1 0 1
–4 –2
6
(c) y (d) y
4
4 4
3 8 2 2 x + y = 8
2 y = – –x + 4 x
3
–2 0 2 4 6
1 –2 5 y = 0
x –4 y = –x – 4 0 2 4 6 8
–1 0 1 2 3 2
390 7.1.1
B07 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 390 22/01/2021 6:45 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 8 Kinematik Gerakan Linear
Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN
PEMERIKSA
1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
–1
v m s , diberi oleh v = kt – 4t dengan keadaan 4
2
3
k ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat, Luas A = (3t – 4t ) dt
2
selepas melalui O. Pecutan zarah itu ialah 14 m s ∫ 0 4
–2
apabila t = 3 s. Cari K4 = t – 2t 2 3
[
3
(a) nilai k, ] 0
4 2
(b) julat masa, dalam s, apabila halaju zarah itu = [( ) ( ) ] – 0
4 3
– 2
©PAN ASIA PUBLICATIONS
menyusut, 3 3
5
(c) masa, dalam s, apabila halaju zarah itu = –1
berhenti seketika, 27
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui dalam = 1 5
5 saat yang pertama. 27
5 2
Komen pemeriksa: Luas B = (3t – 4t ) dt
∫ 4
v = kt – 4t 3
2
[
Diberi a = 14, apabila t = 3 = t – 2t 2 5
3
2
(a) v = kt – 4t ]4 3
(
dv = [(5) – 2(5) – –1 5 )
3
2
= 2kt – 4 27
dt = 76 5
Apabila a = 14 dan t = 3 27
2(3)k – 4 = 14 Jumlah jarak 5 saat pertama
6k = 18 = 1 5 + 76 5
k = 3 27 27
2
BAB (b) Gantikan k = 3, v = 3t – 4t dan a = 6t – 4 = 77 10 m
27
8 Halaju menyusut, v , 0 bermaksud v
menjadi negatif.
3t – 4t , 0 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
2
t(3t – 4) , 0 lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
Katakan t(3t – 4) = 0 v m s , diberi oleh v = pt + qt dengan keadaan
–1
2
t = 0 dan t = 4 k ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat,
Dengan melakarkan graf, 3 selepas melalui O. Halaju zarah itu ialah – 4 m s –1
apabila t = 1 s dan pecutan zarah itu ialah 2 m s
–2
apabila t = 2 s. Cari K4
x
0 4 (a) nilai p dan q,
— (b) julat nilai t, apabila zarah bergerak ke kiri,
3
Maka, julat masa apabila halaju zarah itu (c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu
dalam 4 saat pertama.
4
menyusut ialah 0 , t , .
3
(c) Pecutan apabila zarah berhenti, v = 0, Komen pemeriksa:
3t – 4t = 0 v = pt + qt
2
2
t(3t – 4) = 0 a = dv = 2pt + q
dt
t = 0 (Ditolak) dan t = 4 Diberi v = –4 apabila t = 1
3
Maka, halaju zarah itu berhenti seketika a = 2 apabila t = 2
4
pada t = s. (a) Gantikan v = –4 dan t = 1,
3 p(1) + q(1) = – 4
2
(d) Lakaran graf halaju-masa p + q = – 4 ...1
v
Gantikan a = 2 dan t = 2
50 2p(2) + q = 2
4p + q = 2 ...2
2 – 1: 3p = 6
p = 2
Apabila p = 2, 2 + q = –4
B
q = –6
t
0 4 Maka, p = 2 dan q = –6.
A —
3
418
B08 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 418 22/01/2021 5:42 PM
Tg 5
Matematik Tambahan Bab 8 Kinematik Gerakan Linear
Z on Sumatif
Kertas 2
Klon SPM
Klon SPM
1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis 5. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju zarah
©PAN ASIA PUBLICATIONS
K4 v m s , diberi oleh v = t – 6t + 8 dengan keadaan K4 itu , v m s , pada masa t saat selepas melalui O,
–1
2
–1
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. diberi oleh v = 8 + 10t – 3t dengan keadaan
2
(a) Cari t ialah masa, dalam saat. Cari
(i) halaju awal, dalam m s , zarah itu, (a) halaju awal, dalam m s , bagi zarah itu,
–1
–1
(ii) julat masa apabila zarah itu bergerak (b) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti
arah ke kiri, seketika,
(iii) julat masa apabila pecutan zarah itu (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu
adalah positif. dalam 6 saat pertama.
(b) Lakarkan graf halaju melawan masa bagi
pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 4. 6. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
–2
(c) Hitung jumlah jarak yang dilalui dalam K3 lurus dengan keadaan pecutannya , a m s ,
4 saat yang pertama selepas melalui O. diberi oleh a = 2t – 3, dengan keadaan t ialah
masa, dalam saat, selepas melalui titik tetap O.
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis Halaju awal zarah itu ialah –10 m s . Cari
–1
K3 lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, (a) julat nilai t, dalam saat, apabila pecutan ialah
BAB –1 2
positif,
8 v m s , diberi oleh v = 2t – 3t + 5 dengan keadaan (b) pecutan, dalam m s , apabila halaju ialah
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari
–2
(a) halaju awal, dalam m s , zarah itu, 8 m s ,
–1
–1
(b) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti (c) jumlah jarak , dalam m, yang dilalui zarah
seketika, itu dalam 6 saat pertama.
(c) halaju maksimum, dalam m s , zarah itu,
–1
(d) hitung jumlah jarak , dalam m, yang dilalui 7. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
–2
oleh zarah itu dalam 4 saat pertama. K4 lurus dengan keadaan pecutannya, a m s , diberi
oleh a = 6, dengan keadaan t ialah masa, dalam
Klon SPM
3. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis saat, selepas melalui titik tetap O. Diberi halaju
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, awal zarah itu pada titik O ialah –12 m s . Cari
–1
K4 v m s , diberi oleh v = 12 + 4t – t dengan keadaan (a) jarak, dalam m, yang dilalui dalam saat
2
–1
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari pertama,
–1
–1
(a) halaju awal, dalam m s , zarah itu, (b) halaju, dalam m s , apabila zarah itu melalui
(b) pecutan awal, dalam m s , zarah itu, O semula,
–2
(c) halaju maksimum, dalam m s , zarah itu, (c) jarak maksimum, dalam m, di sebelah kiri O,
–1
(d) jarak, dalam m, dari O apabila zarah itu (d) halaju, dalam m s zarah apabila zarah itu
–1
berhenti seketika. berada 36 m di sebelah kanan O.
Klon SPM
4. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis 8. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dengan keadaan pecutannya, a m s , diberi K5 lurus dengan keadaan sesarannya, s meter, dari
–2
3
t
K3 oleh a = 8 – 2t, dengan keadaan t ialah masa, satu titik tetap O diberi sebagai s = – + t – 6t,
9 2
2
3
dalam saat, selepas melalui titik tetap O. Halaju dengan keadaan t ialah masa, dalam saat. Cari
awal zarah itu ialah –9 m s . Cari (a) jarak, dalam m, yang dilalui dalam 4 saat
–1
(a) halaju maksimum, dalam m s , zarah itu, pertama,
–1
(b) julat nilai t, dalam saat, ketika zarah itu (b) sesaran, apabila zarah itu bergerak dengan
bergerak ke kanan, –1
halaju –16 m s ,
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu (c) pecutan, dalam m s , apabila zarah itu
–2
dalam 6 saat pertama.
melalui O semula.
420
B08 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 420 22/01/2021 5:42 PM
KERTAS MODEL SPM
Kertas 1
Masa: 2 jam
Bahagian A
(64 markah)
Arahan: Jawab semua soalan
©PAN ASIA PUBLICATIONS
1. (a) Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada 2. (a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi fungsi f
graf bagi fungsi y = f(x). untuk domain 0 < x < 4 dan graf fungsi
–1
songsangnya f .
y
y = f(x) y
A (4, 12)
x f
0 2
f –1 B
–3
x
0
Rajah 1 –4
Nyatakan sama ada fungsi di atas Rajah 2
(i) adalah diskret atau selanjar, Daripada graf, tentukan
(ii) mempunyai fungsi songsang atau tidak. (i) domain bagi f ,
–1
[2 markah] (ii) koordinat titik B pada graf f yang KERTAS MODEL
–1
(b) Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x ˜ a , sepadan dengan titik A pada graf f.
x
x ≠ 0 dengan keadaan a ialah pemalar. Diberi [2 markah]
f (2) = 2, cari (b) Pada ruang jawapan di bawah, lakarkan graf
–1
(i) nilai a, bagi y = |2x – 5| untuk 0 < x < 6. Seterusnya,
KERTAS MODEL SPM
(ii) f (8). [3 markah] cari julat nilai x dengan keadaan y < 3.
17
[3 markah]
Jawapan: Jawapan:
(a) (i) (a) (i)
(ii)
(ii)
(b)
(b) (i) y
(ii)
x
0
421
421
421
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 421 22/01/2021 4:06 PM
Matematik Tambahan Kertas Model SPM
3. (a) Jika a dan b ialah punca-punca bagi 4. Tentukan penyelesaian bagi sistem persamaan
persamaan kuadratik x + px + q = 0, dengan linear tiga pemboleh ubah yang berikut.
2
keadaan p dan q ialah pemalar, ungkapkan 2x + 2y + 3z = 22
2
a b + b a dalam sebutan p dan q. 3x – y + 4z = 19
2
[2 markah] 5x + y + 2z = 21
(b) Tinggi, h m, sebiji bola golf yang dipukul
daripada satu permukaan padang selepas [6 markah]
t saat diberi oleh fungsi h(t) = 20t – 5t . Cari Jawapan:
2
(i) masa, t apabila bola golf itu menyentuh
permukaan padang sekali lagi.
©PAN ASIA PUBLICATIONS
(ii) ketinggian maksimum, h yang dicapai
oleh bola golf itu.
Seterusnya, pada ruang jawapan di
bawah, lakarkan graf h melawan t untuk
menunjukkan pergerakan bola golf itu.
[3 markah]
Jawapan:
(a)
KERTAS MODEL SPM (b) (i) 5. (a) Ungkapkan 4 + ! 3 dalam bentuk a + b! 3
26
dengan keadaan a dan b ialah integer.
[3 markah]
(b) Jika 3 log (x ! y ) = 2 – log x + log y,
2
3
(ii)
10
10
10
dengan keadaan x dan y ialah positif,
ungkapkan y dalam sebutan x. [3 markah]
Jawapan:
(a)
h (meter)
(b)
t (saat)
0
422
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 422 22/01/2021 4:06 PM
Matematik Tambahan Kertas Model SPM
Bahagian B
(16 markah)
Arahan: Jawab mana-mana dua soalan sahaja
13. (a) Diberi bahawa y = (2x + 5)! 4x – 5 . (b) (i)
dy ax
(i) Tunjukkan bahawa =
dx ! 4x – 5
dengan keadaan a ialah pemalar dan
nyatakan nilai bagi a.
∫
(ii) Seterusnya, cari x . [4 markah]
! 4x – 5
(b) Rajah 8 menunjukkan sebahagian daripada (ii)
lengkung y = 4 , garis x = 1, x = 2 dan y = 4.
x 2
y
5
x = 1
4 y = 4
3
Q
2
x = 2 y = — 2 14. (a) Penduduk sebuah taman perumahan terdiri
KERTAS MODEL SPM ©PAN ASIA PUBLICATIONS
daripada 40% remaja.
4
1
P
x
(i) Jika lapan orang dari taman itu dipilih
x
secara rawak, cari kebarangkalian
0
4
5
3
2
1
daripada
sekurang-kurangnya
dua
Rajah 8
mereka adalah remaja.
(i) Cari luas kawasan P, dalam unit , yang
2
(ii) Jika nilai varians bagi remaja ialah 120,
4
tentukan jumlah penduduk di taman
pada
dibatasi oleh lengkung y =
x
2
itu.
[4 markah]
paksi-x, garis x = 1 dan x = 2.
(ii) Cari luas, dalam unit , kawasan Q, yang (b) Rajah 9 menunjukkan graf bagi taburan
2
dibatasi oleh lengkung y = 4 dan garis normal piawai.
x 2 f(z)
x = 2 dan y = 4. [4 markah]
Jawapan:
(a) (i)
0.8849
z
k O
Rajah 9
Kebarangkalian yang diwakili oleh kawasan
(ii)
berlorek ialah 0.8849.
(i) Cari nilai k.
(ii) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar
yang bertabur secara normal dengan
min ialah 16 dan sisihan piawai ialah 5.
Cari nilai X apabila skor-z ialah k.
[4 markah]
426
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 426 22/01/2021 4:06 PM
Matematik Tambahan Kertas Model SPM
Kertas 2
Masa: 2 jam 30 minit
Bahagian A
(50 markah)
Arahan: Jawab semua soalan
1. Sepasang suami isteri mempunyai tiga orang anak lelaki. Pada ketika ini, usia anak sulung lebih 4 tahun
1
daripada jumlah usia adik-adiknya. Dua tahun yang lalu, usia anak bongsunya ialah daripada hasil tolak
©PAN ASIA PUBLICATIONS
4
usia abang-abangnya. Tujuh tahun yang akan datang, jumlah usia mereka bertiga adalah 51 tahun.
Tentukan usia setiap anak bagi pasangan suami isteri itu. [6 markah]
2. Rajah 2 menunjukkan pemetaan x kepada y yang ditakrifkan oleh fungs f : x ˜ 9x – a dan pemetaan y
kepada z yang ditakrifkan oleh fungsi g : y ˜ b , y ≠ 12.
12 – y
x y z
3
3 4
KERTAS MODEL SPM (a) Cari nilai a dan nilai b. Rajah 2
(b) Ungkapkan fungsi yang memetakan unsur x kepada unsur z dalam bentuk yang serupa.
(c) Tentukan unsur x yang tidak berubah apabila dipetakan kepada z.
[6 markah]
2
2
2
3. (a) Punca-punca bagi persamaan 3x – 2kx + k + 4 = 0 ialah a dan b. Jika a + b = 16 , cari nilai-nilai yang
mungkin bagi k. 9 [3 markah]
(b) Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada graf fungsi f(x) = (x – 3) – 2 dengan titik minimum A(h, 2k)
2
dan menyilang paksi-f(x) di 7. Graf ini dipindahkan sebanyak 3 unit ke kanan dan 4 unit ke atas dengan
titik minimum baharu B seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.
f(x)
7
2
f(x) = (x – 3) – 2
B
0
A (h, 2k)
Rajah 3
Tentukan
(i) nilai h dan nilai k,
(ii) koordinat bagi titik minimum B,
(iii) persamaan baharu bagi f(x) dalam bentuk verteks. [4 markah]
428
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 428 22/01/2021 4:06 PM
Matematik Tambahan Kertas Model SPM
7. (a) Selesaikan persamaan 6 tan q + 13 sek q = 2 untuk 0° < q < 360°. [3 markah]
2
1
(b) Rajah 7 menunjukkan graf bagi y = a sin x + c, dengan keadaan a dan b ialah integer positif dan c ialah
b
integer untuk 0 < x < 4π.
y
1
y = a sin— x + c
1 b
x
0 π 2π 3π 4π
©PAN ASIA PUBLICATIONS
–2
–5
Rajah 7
Diberi graf yang melalui titik (0, –2) mempunyai titik maksimum di (π, 1) dan titik minimum di
(3π, –5) itu.
(i) Cari nilai-nilai a, b dan c.
1
(ii) Lakarkan graf bagi y = | a sin x + c| untuk 0 < x < 4π. [5 markah]
b Bahagian B
KERTAS MODEL SPM 8. Jadual 8 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.
(30 markah)
Arahan: Jawab mana-mana tiga soalan sahaja
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = ax , dengan keadaan a dan n ialah pemalar.
n
y
x
1.2 1.5
1.6 1.8
2.5 2.6
4.0 3.6
6.3 5.0
8.0 5.8
Jadual 8
(a) Plot log y melawan log x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada kedua-dua paksi.
10
10
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah]
(b) Gunakan graf di 8(a) untuk mencari nilai bagi
(i) a,
(ii) n. [5 markah]
430
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 430 22/01/2021 4:06 PM
Matematik Tambahan Kertas Model SPM
Bahagian C
(20 markah)
Arahan: Jawab mana-mana dua soalan sahaja
12. Rajah 12 menunjukkan kedudukan awal dan arah pergerakan suatu zarah yang bergerak dari satu titik tetap,
O pada suatu garis lurus, JOK. Halajunya, v ms , diberi oleh v = 12 – 6t, dengan keadaan t ialah masa, dalam
–1
saat, selepas meninggalkan titik O. Zarah itu berhenti seketika di titik K.
[Anggap gerakan zarah ke atas ialah positif]
K
O
15 m
J
KERTAS MODEL SPM Cari ©PAN ASIA PUBLICATIONS
Rajah 12
–2
(a) pecutan malar, dalam m s , zarah itu,
[1 markah]
[3 markah]
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui O sekali lagi,
(c) halaju, dalam m s , apabila zarah itu melalui J,
[3 markah]
–1
[3 markah]
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah dari O ke J melalui K.
13. Rajah 13 menunjukkan segi tiga PQR dan segi tiga RST dengan keadaan QRT dan PRS ialah garis lurus.
P
20°
6 cm
Q 40°
R
8 cm
5 cm
T
S
Rajah 13
(a) Hitung panjang, dalam cm, bagi
(i) QR,
(ii) ST. [4 markah]
(b) Diberi titik R terletak pada QT dengan keadaan PR = PR.
(i) Lakarkan segi tiga PRQ,
(ii) Cari ˙PRQ,
2
(iii) Hitung luas, dalam cm , segi tiga PRQ. [6 markah]
432
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 432 22/01/2021 4:06 PM
JAWAPAN Jawapan Lengkap
bit.ly/3irEn9C
TINGKATAN 4 6. (a) 8. (a) 3 (b) 3 (c) 5
f(x) 1 8 3
Bab 1 Fungsi (d) –1 (e) 3 (f) 5
9. (a) 1; –9; 6
Z on Formatif 1.1 3 (b) a = – atau a = 3
1
©PAN ASIA PUBLICATIONS
f(x) = |x – 2| 2
2 10. 4
1. (a) Hubungan ini ialah
fungsi kerana setiap objek 11. (a) m = 2; c = –5
mempunyai satu imej (b) –4, 3
sahaja walaupun unsur 2 –1 0 2 4 x 12. n = –2
tidak mempunyai objek. 13. (a) p = –1, q = 6
(b) Hubungan ini bukan Julat: 0 < f(x) < 3 (b) 4
fungsi kerana tidak (b) (c) x = –2
memenuhi syarat fungsi. f(x) (d) x = 3
Perhatikan objek –5 14. (a) a = 2, b = 5
mempunyai dua imej iaitu f(x) = |2x + 3| (b) 3
–5 ˜ 4 dan –5 ˜ 6. 5
15. (a) x = –2, 1 (b) x = 1, 3
(c) x = –3, –2 (d) x = 5
2. (a) Graf ini ialah suatu fungsi
JAWAPAN TINGKATAN 4 (b) Graf ini bukan suatu (c) Julat: 0 < f(x) < 5 x 16. (g) x . atau x , 4
3
(e) –1 < x < 2
kerana apabila diuji dengan
(f) x , –5 atau x . 2
garis mencancang, garis itu
2
memotong hanya pada satu
7
3
titik sahaja.
0
1
–4
–1–
1
(h) x , – atau x . 4
2
4
fungsi kerana apabila diuji
y
dengan garis mencancang,
garis itu memotong graf
pada dua titik.
(c) Graf ini ialah suatu fungsi
kerana apabila diuji dengan 5 f(x) f(x) = |2x – 1| 9 y = |2x – 1|
garis mencancang, garis itu 3 y = 5 – x
memotong hanya pada satu 3
titik sahaja. x
1 –4 0 2
(d) Graf ini bukan suatu
fungsi kerana apabila diuji –1 0 1 3 x Maka, penyelesaiannya ialah di
dengan garis mencancang, – titik (–4, 9) dan (2, 3).
2
garis itu memotong graf Julat: 0 < f(x) < 5
pada dua titik. (d) 17. (a) (i) f(2) = 10; f(–6) = 6
(ii) x = –8, 2
3. (a) f : x ˜ ! x f(x) (iii) Tiada
(b) g : x ˜ x – 1 (iv) –6 , x , 0
2
f(x) = |x + 1| (v) x < –4 atau x > –2
4 (b)
4. (a) {2, 6, 7, 8, 9} f(x)
(b) {1, 3, 4, 5} f(x) = |2x + 6|
2 f(x) = x + 6
(c) {3, 4} 1 6
x
5. (a) Domain = {–1, 0, 1, 2, 3} –3 –1 0 3
Kodomain = {1, 2, 3, 4, 5}
Julat ={1, 2, 3, 4, 5} Julat: 0 < f(x) < 4 2
(b) Domain = –2 < x < 3 7. (a) 7 (b) 4 (c) – 3 x
Kodomain = –3 < f(x) < 4 (d) 5 (e) 24 2 –4 –3 0
Julat = –3 < f(x) < 4 x = –4 dan 0
34
4
434
Jawp SpotlightA+ Add Math F4.indd 434 23/01/2021 10:07 AM
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search