Spotlight A+1 Tingkatan 4.5 Matematik Tambahan

Ciri-ciri Ekstra Buku Ini

BAB

1 Fungsi

skop bestari SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka Peta konsep
1.1 Fungsi surat
Mengandungi Standard 1.2 Fungsi Gubahan • Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan Kandungan keseluruhan
Pembelajaran (SP) yang 1.3 Fungsi Songsang tatatanda. 3 bab diringkaskan dalam
perlu dicapai dalam setiap bentuk peta konsep.
bab. • Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi. 5
• Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya. 6

• Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi. 9
10
• Menentukan fungsi gubahan. 11

• Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan 12
sebaliknya. 13

• Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan
salah satu fungsinya diberi.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan.

• Memerihalkan songsangan suatu fungsi. 15
16
• Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi 19
songsang.

• Menentukan fungsi songsang.

Tg 4 Matematik Tambahan Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma

Kata Kunci Tg 5 Konsep
Bab 3 Peng•a mTaitraatnanda Mfuantegmsi a/t FikuTnactmiobnahnoatnation
Co••n tFUoujhinag1ns ig tairdias km teenrtcaaknrciaf n/ gU /n Vdeerfitniceadl line test • Fungsi selanjar / Continuous function
3.1 Pengamiran sebagai function • Objek / Object
Songsangan Pembezaan • Imej / Image
DJDi(kii1bba8eexf•••••••rr(ii x+yPHHVFFG)dduue=5e=yxauumrnn)rbbt49i3ggdeuuesxxsskt xnn5–nii(a2s 1.ggndao +x/aanmii– snnlV a5k/xb= esi /rx)M ora 3meRthrtdtdeua e (u/x/axalp dtaNn)Dpnl,etaiuiincfnkoddsmag cgn(yx/xarr beiA)n=et= bershgsalfo1i(tu(nxuxl8nu)e) x/,ctd etOc+ixaovn.anr5eil,utocegao(fxunri)nedcrtexil.oantionBAB • Domain / Domain
Perkaitan antara pembezaan dengan (a) • Kodomain / Codomain Indeks, Surd dan Logaritma
pengamiran • Unsur / Element
∫(b) • Julat / Range
1. Diberi y = x3 + 7, maka dy = 3x 2. ( ) ∫ ∫(c) • Fungsi gubahan / Composite function BAB Indeks Logaritma Surd
dx • Gambar rajah anak panah / Arrow diagram
dy 3Penyele•s aHiaunb:ungan banyak dengan satu • Pasangan bertertib / Oriented pairs 4
Sebaliknya, jika diberi dx = 3x 2, maka y = x3 + 7 (a) Diberi fM(xa)n=y 9toxo2 n+e 5rexlation • Fungsi songsang / Inverse function
boleh diperolehi. • Ujian garis mengufuk / Horizontal line test
• fF(xu)n=gs1i b8exru+la5ng / Repeating-recurring function • Konjektur / Conjecture Indeks Bentuk surd
2. Proses songsangan bagi pembezaan ini N = ax Í loga N = x
dinamakan sebagai pengamiran. ∫Seterusnya, 18x + 5 dx = f(x) 1 Bentuk Bentuk n! a Dalam bentuk
indeks Asas logaritma punca kuasa
∫3. Jika ddx[f(x) = f (x), maka kamiran bagi f (x) ∫ 18x + 5 dx = 9x2 + 5x
terhadap x ialah f (x) dx = f(x). ∫Maka, (18x + 5) dx ialah 9x2 + 5x. Ciri-ciri surd:
• Tidak boleh dipermudah
(b) Diberi y = 4x(1 – x)3 • Nombor dalam perpuluhan
dy yang tidak berulang.
ddx[f(x)] = f (x) dx = g(x) Hukum indeks Hukum logaritma: Contoh: ! 3 , 3! 11, 5! 11
∫∫ Tg 5Pembezaan
Seterusnya, g(x) dx = y SuTd((bakuPa)a)kertja1naa56rn.yhπk1Ce.aM5olr[ned(((((((aGenrcdeafgbsedma))))))tu)ansd iobnaigua(aaaaaaihunaaaadmmmmmnnn1nlnmuaπ1:)==÷× ==attn=abaann=.!!mnnnd3aa,a,==i0m.mmMa1, aa×ad4a==mmnt2a≠e–+bl]nmann1matikuTnaitm(d((((((decafgbeb))))r)))n aa gdhllll(l((ll(oooooooaHHHHainagggggggnuuuu eaaaaaana=kkkkqamm1mn!.uuuu==lknnm nmmmm=e =001= p(,le=phhk noma)luuaaogdlq1ssagnao≠aiisacmgllla0amaodb) gm–aak a+ hrulamo aaBlbgogsA)aagBi))ann

g(x) dx = 4x(1 – x)3 Hukum surd

∫ ∫Pengamiran
f (x) dx = f(x) Maka, g(x) dx ialah 4x(1 – x)3. Bab 1 (a) ! a × ! b = ! ab

( )(c) d 5 (b) !a ÷ !b = ! a
Diberi dx 3–x = h(x) 1.1 Radian b

∫ 1Perbezaan antara pembezaan Seterusnya, h(x) dx = y dengan a . 0, b . 0
∫dengan pengamiran

bit.ly/2K4y3b0

Zon ∫Formatif 3.1
h(x) dx = 5 x Membuat perkaitan antara ukuran sudut
3– dalam radian dengan darjah
5 1. Dalam sukatan membulat, sudut boleh diukur
Maka, h(x) dx ialah 3 – x.
dalam 2 unit, iaitu
Cuba soalan 1 hingga 5 dalam Zon Formatif 3.1 (a) darjah (°) dan minit (ʹ).
(b) unit radian (dalam atau bukan dalam
(a) π rad = 180° 180° Surd dan Konjugat surd
sebutan π). π Surd Konjugat surd
1.15 rad = 1.15 × m! a b m! a
m! a + n! b m! a – n! b
∫1. Jikaf(x)=7–3x4danf(x)=–12x3,cari –12x3dx. K1 d 2. Radian melibatkan sudut yang berkaitan dengan = 1.15 × 180° m! a – n! m! a + n! b
( ) ∫2. 3. Diberi dx (x 2 – 5x + c) = 2x – 5, cari (2x – 5) dx. jejari dan lilitan sebuah bulatan. Rajah di bawah 3.142
K1 menunjukkan sudut di dalam darjah dan minit
dy 2 1 dan radian dalam sebuah bulatan dengan jejari = 65.89°
dx x3 x 2, Tcgari4 yang sama panjang. (b) π rad = 180°
Diberi = 2x – dan y = x + 4. DMiabteemriadtdikx Txa4m2 b+ah5axn = g(Bxa),bc4arIindgek(xs), Sduxr.d dKa2n Logaritma
∫ ( ) ( ) ∫2x 5π 5π 180°
– 2 dx. K1 6 rad = 6 × π
x3
∫ ∫3.2 Kamiran Tak Tentu C5o.ntDoihbe2r9i y = f(x) dan dy = 3h(x), cari h(x) dx. K23. Pertimbangkan m = ap dan n = aq dalam bentuk = 5 × 180°
dx (ina)deDHkseanasidglaadnlaahhraulbokgulaomgmain=mOdpedkdasna5; n7lo°log1ga7a'nn = q. 6

Nilaikan setiap yang berikut. m × n = ap × aq 1 rad = 150°

PORTAL SPOTLIGHTtentu bagi fungsi algebra (a) log10 08.47(6c)4 axn dx ((=db)) llooanggx+n1100+1331.14.+22 c dengan keadaan O Kaedah Alternatif
(c) log10
1. Rumus-rumus pengamiran: Gantikan π =180° ke dalam ungkapan
mn = ap + q
∫(a) a dx = ax + c dengan keadaan a dan c
Menerbitkan dan menentukan kamiran tak Berikan jawapanna≠nd1adbanetucliadlaalhampeemmaplaatr.tempat lGlooaggnaa tmmiknnan== lpog+aDqaapl+aqm radian 5π 5(180°)
perpuluhan. loga mn = 6 = 6 = 150°
Penye2l.esBaiearnik: ut merupakan langkah-langkah dalam Dalam darjah dan minit
llooggaa m = p dan lo1garand==q5, 7°
(a) loKga1l0k8uLmL4laaae=nntnogg1crkk.a9aar2ihh4k312a::mTKiaremaknablskauhaanktaupnefuminnagdlsaeirk: sa. bagi x, iaitu n m + loga n 17ʹ 6Cu8ba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1

Imbas kod QR untuk∫ 4(b) 1. Tekan log 8 4den=gan 1, menjadi n + 1. 3. SHautukurmadhiaansial ddaalraahb suatu ukuran bagi sudut yang
ialah pemalar. BAB 2. SkLriannagkkanahm3em: Bapaahrakganikan sebutan dengan indeks Hhaassiilltadmalrobagabptkaehearmaanlcnodnjatagana=narmgganlkodjumgepamajanamdnrlapiojan+agbndulnngoal.gamlatpeaneunnrsgu.akptoaskkeabanudaahlahbuslaamtana dengan
dengan Contoh 2
xn dx = xn + 1 + c dengan keadaan n ≠ 1 1.924279286 baharu.
n+1 Tukarkan
(a) 30° kepada unit radian, dalam sebutan π.
(b) 200° kepada unit radian.
[Guna π = 3.142]
yvmaidenelgaoydabirpei erlaklamajiataarnin. wsuebbtaotpaiuk ( ) ( ) KAEDAH ALTERNATIF3.1.1 3.2.1 3.2.2dan c ialah pemalar.
Langkah 4: Pemalar c yang nilainya akan(b) DHeansiglabnahhuakgui mlogianmdekdsa,n loga n j
(b) log10 31.2 = 1.4942ditentukan kemudian. j
(c) log10 0.764 = –0.1169
(d) log10 3.42 = 1.0630 289 lllGooomagggnaaa÷tmmmnninmnnka====n4=lp.aaloopplg–oS˙a–g÷adugqaqAaaadampOlmqua–t=Bhq–psyilaaoadmlngaaaghnandl1toeegnrracagnadOanin=agnpkq1au,jrnimakjjdaainappngaajdneajjaarnpigubsulealntatgabknuo.lkatAanB, Penyelesaian:

Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.3 (a) 180° = π rad

30° = 30° × π
180°
π
Contoh 30 = 6 rad

Nilaikan setiap yang berikut. (b) 180° = π rad
(a) antilog 3.2543 (b) antilog 0.4563
(c) antilog (–1.1547) (d) antilog (–1.066) Hukum hloagsailmAba–Bhl=aoggOia nA 200° = 200° × π
= OB = j 180°
Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat loga m = 3.142
perpuluhan. n 200° = 200° × 180°
Hasil b5ah. aHgiuabnutanrgaamn adnatnarna umkeururapnaksaundut di dalam bulatan
Penyelesaian: hasil tolak dloegnmgadnadnalrojgahn.ialah = 3.49 rad
(a) antilog 3.2543 = 1 795.97

MencadangkanKalkulator
(c) DKuenagsaanlohguakmum indeks; π rad = 180° Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.1

1. Tekan shift log 3 . 2 5 4 3 = mn =6.(aPp)ennukaran unit suatu sudut di dalam darjah kepada penyelesaian alternatifKalkulator
2. Skrin akan memaparkan lllooogggaaa mn = lpongraa d(aiap)nn dan sebaliknya adalah seperti berikut:
mn = n loga m loga Semak jawapan dalam Contoh 2(b) menggunakan
1 795.973813 mn = m=p × 180° kalkulator,
π
KALKULATOR (b) antilog 0.4563 = 2.86 loHgaumkun m= Rnkaulodagisaaamn 1. Tekan 2 0 0 × SHIFT EXP ÷ 1 8 0
(c) antilog (–1.1547) = 0.70 Darjah
(d) antilog (–1.066) = 0.09 untuk soalan-soalan=
(d) Diberi m = ap, × π
Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.3 Dengan hukum indeks; 180° 2. Skrin akan memaparkan 3.490658504

Membuktikan hukum logaritma q! m1.=1.1q! (ap) tertentu.Bab 2 Pembezaan Matematik Tambahan 239Tg 5
1. Terdapat satu peraturan dalam melakukan loga q! m = loga q! (ap)
Memaparkan cara
penggunaan kalkulator operasi yang melibatkan logaritma. Peraturan 1 y 6. Kaedah yang digunakan dalam menentukan
saintifik dalam ini dikenali sebagai hukum logaritma. loga q! m = loga (ap) q —ddyx > 0 sama ada titik pusingan adalah titik minimum
2. Berikut adalah hukum asas bagi logaritma: —ddyx = 0 Titik
(a) Hukum hasil darab loga q! m = 1 (p) maksimum atau titik maksimum ialah
(b) Hukum hasil bahagi q
(c) Hukum kuasa 1 —ddyx < 0 (a) kaedah lakaran tangen,
(d) Hukum punca kuasa loga q! m = q loga m (b) kaedah pembezaan peringkat kedua. BAB

80 Hukum punca kuasa TIP Bestari 2

q! 1 y = f(x)
q
loga m = loga m • Kaedah lakaran tangen digunakan untuk
menentukan sifat suatu titik pegun.
0 x1 – ␦x x1 x1 + ␦x x
• Kaedah pembezaan peringkat kedua digunakan
Nilai x 4.3.1 x4–.3d.2x x x + dx untuk menentukan sifat suatu titik pusingan.

pengiraan matematik. Tanda dy (+) 0 (–) A Kaedah lakaran tangen
dx
CONTOH
Lakaran Contoh 33
Contoh dan
penyelesaian lengkap tangenTg 5 Diberi lengkung y = 5x3 + 2x2 – 3x.
untuk meningkatkan Bab 6 Fungsi Trigonometri Matematik Tambahan B Titik minimum (a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkuk itu.
kefahaman murid (b) Seterusnya, tentukan sama ada titik
terhadap bab yang Contoh 14 Contoh 15 Suatu titik pegun adalah minimum apabila kecerunan
dipelajari. lengkung berubah daripada negatif kepada sifar dan persilangan itu ialah titik maksimum atau titik
minimum.

Diberi f(x) = 4 kos 2x untuk 0 < x < 2π. Lakarkan graf bagi fungsi trigonometrkiembuedriikauntkepada positif. Penyelesaian:
(a) Nyatakan kala bagi graf fungsi y = f(x).
dalam julat yang diberi. y (a) y = 5x3 + 2x2 – 3x
Seterusnya, nyatakan bilangan kitaran graf dy
dalam julat tersebut. (a) y = sin x + 1 untuk 0 < x < 2π y = f(x) dx = 15x2 + 4x – 3
(b) Nyatakan amplitud bagi graf tersebut. (b) y = –2 kos x untuk 0 < x < 2π —ddyx > 0 = (5x + 3)(3x – 1)
(c) Tuliskan koordinat bagi titik maksimum dan titik (c) y = | tan x | untuk 0 < x < 2π dy
minimum. (d) y = | kos 2x | + 1 untuk 0 < x < 2π —ddyx < 0 Titik pusingan, dx = 0,
(d) Lakarkan graf fungsi y = f(x).
(e) Pada paksi yang sama, lakarkan graf fungsi Penyelesaian: (5x + 3)(3x – 1) = 0 3 1 Tip Bestari
y = –|4 kos 2x| untuk 0 < x < 2π. 5 3
Penyelesaian: (a) y = sin x + 1 untuk 0 < x < 2π Titik —ddxy = 0 x = – dan x =
minimum + ␦x x
( ) ( ) ( )Apabila 3 3 3 3 2– 3
1 Lakar graf asas sinus, y = sin x. 0 x2 – ␦x x2 x2 x =– 5 , y =5– 5 +2– 5 3– 5

( )2

y
Bandingkan f(x) = 4 kos 2x dengan fungsi asas Graf bergerak ke atas 1 unit, translasNi il10ai x. x – dx x x + dx = 36
kosinus, f(x) = a kos bx + c Tanda 25
dy ( ) ( ) ( )Apabila 1 1 1 1
2π dx (–) 0 (+) x = 3 , y = 5 3 3 +2 3 2 – 3 3
2
(a) Kala = π atau 180°. Bilangan kala, b = 2. Tip berguna untukMaka, titik pusingan ialah16
27
(b) Amplitud, a = 4 Lakaran = –

(c) Titik maksimum: (0, 4), (π, 4) dan (2π, 4). 62 ( )1
( )3
1
y = sin x + 1 tangen BAB – 3 , 36 dan
5 25
( ) ( )Titik minuimum: π , – 4 3π , –4 16
2 dan 2 C Titik lengkok balas , – 27 .

(d) Bagi melakar graf fungsi y = 4 kos 2x: membantu muridx
2(πa) Txitik pegun merupakan titik yang tidak berubah ( )(b) 3 36
Bilangan kelas = 2=×28π2 × 2= 8 O 2–π π –32–π tanda. Pada titik – 5 , 25
Saiz selang kelas = π –1 y = sin x
4 (b) Titik ini tidak termasuk di dalam titik – 4 – 3 – 2
–2 pusingan. 5 5 5
menyelesaikan masalahNilai
x0 π π 3π 2π Kecerunan dy 17 0 – 11
2 2 positif dx 5 5
(b) y = –2 kos x untuk 0 < x < 2π
y 4 –4 4 –4 4 Kecerunan
1 Lakar graf y = kos x. positif dalam subtopikTandady + 0 –
Maka, graf fungsi y = 4 kos 2x: Kecerunan sifar dx
2 Pantulkan graf 1 pada paksi-x untuk
y memberikan graf y = – kos x.
Lakaran
4 Kecerunan Kecerunan sifar tangen

y negatif Kecerunan berkaitan.Lakaran

2 negatif graf
275
O x 2
–2 2–π π –32–π 2π y = – kos x

1 2.4.4

–4 O –2π π –32–π x
–1 y = kos x 2π

(e) Langkah dalam melakar graf y = –|4 kos 2x| –2

1 y = |4 kos 2x| merupakan pantulan graf di 3 Nilai a adalah –2. Maka, nilai maksimum
bahagian negatif pada paksi-x. ialah (π, 2) dan nilai minimum ialah (0, –2)
dan (2π, –2).
2 y = –|4 kos 2x| merupakan pantulan graf di
1 pada paksi-x.

y
y

4 2 y = –2 kos x

2

x 1 y = – kos x
–2π π –32–π 2π
O O x
–2 –1 –2π π –32–π 2π

–4

–2

Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 6.3

6.3.1 363

iv

Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 4 22/01/2021 5:01 PM

Tg 4 Matematik Tambahan Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma

TAG “CUBA SOALAN … 2. Terdapat juga ungkapan yang melibatkan surd 5. Surd tidak serupa ialah nombor yang tidak
yang tidak dapat dipermudahkan. Contohnya, mempunyai faktor nombor tak nisbah yang
! 5 , ! 29 dan ! 111 . sama.

2 ! m ! pq –2! h
3
DALAM ZON FORMATIF...” Contoh 15

Tanpa menggunakan kalkulator saintifik, ungkapkan Tiada faktor nombor tak nisbah yang sama.
ungkapan surd dengan ungkapan termudah.
Contoh 16
(a) ! 12 (b) ! 288 Antara 2! 12, 2! 27 dan 3! 20, yang manakah
merupakan surd serupa?
(c) ! 500 (d) ! 27 Penyelesaian:
Permudahkan ungkapan surd dalam bentuk
BAB Penyelesaian: termudah.
2! 12 = 2! 4 × 3
Tag yang terletak di akhir 4 (a) ! 12 = ! 4 × 3
= !4 × !3 = 2 × !4 × !3
contoh membimbing murid = 2 × !3 = 4! 3 Tg 4 Matematik Tambahan Bab 3 Sistem Persamaan
= 2! 3 2! 27 = 2! 9 × 3
untuk menjawab soalan yang = 2 × !9 × !3 Zon Formatif 3.1
(b) ! 288 = ! 12 × 24 = 6! 3
berkaitan dalam Zon Formatif. = ! (4 × 3) × (4 × 6) 3! 20 = 3 × ! 4 × ! 5 1. Perihalkan sama ada persamaan-persamaan 5. Rajah di bawah menunjukkan Vistor Play di
= !4 × 3 × 4 × 2 × 3 = 6! 5 yang berikut adalah sistem persamaan linear sebuah taman tema yang menggunakan 3
= ! 42 × ! 32 × ! 2 dalam tiga pemboleh ubah atau bukan. K1 warna token yang berbeza, iaitu merah (M),
= 4 × 3 × !2 2! 12 dan 2! 27 mempunyai faktor nombor tak (a) 3x + 5y – 7z = 19 biru (B) dan kuning (K) untuk mesin permainan
= 12! 2 nisbah yang sama, iaitu ! 3 . Manakala, 3! 20 tidak –2x + 6y – 9z = 11 video mereka.
mempunyai faktor nombor tak nisbah yang sama
(c) ! 500 = ! 5 × 100 dengan 2! 12 dan 2! 27. BAB x – y – 4z = 5 M
= ! 5 × ! 100 Maka, hanya 2! 12 dan 2! 27 adalah surd serupa. B
= ! 5 × 10 3 (b) x + 2y – 8z2 = 13
= 10! 5 Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.2 9z – 3x + 2y = 11 K Zon Formatif
3x + 5y + 2z = 4
(d) ! 27 = ! 9 × 3 6. Operasi asas bagi ungkapan yang melibatkan (c) 2a + 3b – 6 = 9c
= !9 × !3 surd ialah penambahan, penolakan dan 3a – 4b + 5c – 2 = 0
= 3 × !3 pendaraban. 4(a + 3b – 5c) = 4
= 3! 3 2. Selesaikan sistem persamaan linear yang
7. Bagi surd serupa, operasi asas dilakukan ke berikut dengan kaedah penghapusan. K2
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 4.2 atas pekali ungkapan itu. (a) x – 5y + 5z = 15
(a) Penambahan: –6x + 6y – 2z = –30
3. Operasi asas bagi ungkapan yang melibatkan 5x + z = –3 Azman, Raju dan Lee masing-masing menguji
surd boleh dipermudahkan dengan mengenal a! m + b! m = (a + b)! m (b) 4x – 2y + 10z = –6 membelanjakan RM20 untuk bermain
pasti ungkapan berikut adalah surd serupa –10x + 3y – 4z = 32 di taman tema itu. Azman membeli 14
atau surd tidak serupa. (b) Penolakan: 3x – 10y + 3z = –26
(c) –7x + 3y + 7z = 44 Soalan untuktoken merah, 20 token biru dan 24 token
4. Surd serupa ialah ungkapan atau operasi yang a! m – b! m = (a – b)! m 6x – y – 3z = –41
mempunyai surd sebagai faktor nombor tak 4x – 8y – 10z = –6 kuning. Raju pula membeli 20 token
nisbah yang sama. 3. Selesaikan sistem persamaan linear yang merah, 15 token biru dan 19 token kuning
berikut dengan kaedah penggantian. K1 manakala Lee membeli 30 token merah,
4!a 2 !a –77 ! a (a) 4x – z = 14
3 –9x + 5y + z = –19 pemahaman5 token biru dan 13 token kuning. Berapakah
z = –x – y + 9
(c) Pendaraban: (b) 2x – 3y = 10 harga bagi sekeping token merah, biru dan
a! m × b! m = (a × b)! m 6x + y – 3z = 1 kuning? K3
x + 3y + 5z = 11
Tg 5 ! a ialah faktor nombor KOMEN (c) 7x – 4z = –14 murid di akhir setiap6. Rajah di bawah menunjukkan harga tiket
tak nisbah yang sama. PEMERIKSA x – 5y – 5z = 24 mengikut kategori di Pawangam First View.
4.2.3 6x + 2y – 4z = –6
Matematik Tambahan Bab 5 Taburan Kebarangkalian 4. Selesaikan setiap sistem persamaan linear yang T-Rex
74 berikut. K2
(a) 3x – z = 5 subtopik.ditaSyaendgaknagn
Soalan KBAT Mirip SPM – 4x + 6y + z = 12
z – 6y = 6 Dapatkan Harga tiket
Kertas 1 (b) 3x + y – 8z = 0 tiket anda Kanak-kanak: RM5
–x – y + 2z = 12 sekarang Dewasa: RM6
1. Juruaudit bank menyatakan bahawa baki kad Tips pemeriksa: –2x + 6z = –1
kredit individu adalah bertaburan normal Diberi m = 11, s = 4, maka X ~ N(11, 4) (c) 2x – 6y – 3z = 8
dengan min RM2 870 dan varians RM810 000. – 4x + y – z = 1
Apakah kebarangkalian untuk seorang (a) Panjangikanlebihdaripada14inci,X.14. 2x + 5y + z = 10
Tukarkan pemboleh ubah X kepada Z
pemegang kad kredit mempunyai baki kad ( )P(X X – Pada bulan lepas, pawagam itu berjaya
yang kurang daripada RM2 500? K4 . x) = P Z . s m menjual sebanyak 8 500 tiket dengan jumlah
RM64 600. Berapakah bilangan tiket yang telah
Komen pemeriksa: .( )P(X14) = P Z . 14 – 11 dijual bagi setiap kategori jika kebiasaannya
4 jumlah tiket yang terjual adalah dua kali ganda
Katakan X ialah baki kad kredit = P(Z . 0.75) daripada bilangan tiket murid? K3
m = 2 870, s2 = 810 000
s = 900 = 0.2266

Diberi X adalah kurang daripada RM2 500. Daripada sifir taburan normal piawai,
Piawaikan pemboleh ubah X kepada Z,
5 ( )BAB f (z)
2 500 – 2 870
P(X , 2 500) = P Z , 900

= P(Z , –0.411) 0 0.75 z
= P(Z . 0.411)
= 0.3405 z 5 12
Tolak
Daripada sifir taburan normal piawai,
0.7 0.2266
f (z)

60

Maka, peratus ikan adalah lebih panjang
daripada 14 inci = 0.2266 × 100
= 22.66%
–0.411 0 z (b) Diberi bilangan sampel ikan, n = 200.

1 Katakan X ialah ikan yang mempunyai
Tolak panjang kurang daripada 9 inici
z 1 ( )P(X 9 – 11
4
, 9) = P Z ,

Soalan KBAT mirip spm 0.4 0.3409 4 = P(Z , –0.5)
Kalkulator = P(Z . 0.5)
= 0.3085

1. Tekan MODE MODE dan pilih 1 iaitu Daripada sifir taburan normal piawai, KERTAS MODEL SPM
SD. f (z)

2. Tekan SHIFT 3 dan pilih 3 mewakili

Menyediakan penyelesaianP(z.a). z Kertas 1
3. Masukkan 0.411 dan skrin akan
memaparkan 0.34054 . –0.5 0 12 Masa: 2 jam
z0 Tolak
Bahagian A
yang lengkap serta komenKertas2 0.5 0.3085 (64 markah)
2. Di sebuah kolam, panjang ikan adalah Arahan: Jawab semua soalan

bertaburan secara normal dengan min 11 inci Bilangan ikan, P(X) = n(X) 1. (a) Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada 2. (a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi fungsi f
n(S) graf bagi fungsi y = f(x). untuk domain 0 < x < 4 dan graf fungsi
pemeriksa bagi soalan KBATdan sisihan piawai 4 inci. Anggap pemboleh n(X) songsangnya f–1.
ubah X adalah pemboleh ubah rawak selanjar. 0.3085 = 200 y y
(a) Berapakah peratus ikan adalah lebih y = f(x) A (4, 12)
panjang daripada 14 inci? K5
n(X) = 61.708
≈ 62
(b) Jika 200 ekor ikan dipilih secara rawak, Maka, panjang bagi 62 ekor ikan
berapakah ekor ikan yang mempunyai x f
mirip SPM. panjang kurang daripada 9 inci? daripada 200 ekor ikan yang dipilih 02
adalah kurang daripada 9 inci. –3
f–1 B

346 0x

Rajah 1 –4 KEKRETARSTAMSOMDOEDLESLPM

Nyatakan sama ada fungsi di atas Rajah 2
(i) adalah diskret atau selanjar,
(ii) mempunyai fungsi songsang atau tidak. Daripada graf, tentukan
[2 markah] (i) domain bagi f–1,
D˜ibeaxri, (ii) koordinat titik B pada graf f–1 yang
(b) Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x
x ≠ 0 dengan keadaan a ialah pemalar. sepadan dengan titik A pada graf f.
f–1(2) = 2 , cari [2 markah]
(i) nilai a,
(ii) f17(8). [3 markah] (b) Pada ruang jawapan di bawah, lakarkan graf
bagi y = |2x – 5| untuk 0 < x < 6. Seterusnya,
Jawapan: cari julat nilai x dengan keadaan y < 3.
(a) (i) [3 markah]

(ii) Jawapan: MODEL SPM
(a) (i)
Tg 5
(ii) KERTAS
Matematik Tambahan Bab 7 Pengaturcaraan Linear (b) (i) (b)
y

Zon Sumatif (ii) Soalan berformat SPM mengikut
format terbaharu SPM 2021
Kertas 2 mera0ngkumxi keseluruhan

1. Menggunakan grid yang diberi,tunjukkan rantau 4. Menggunakan grid yang diberi, 421
K2 yang dicangkumi oleh semua ketaksamaan K3 (a) tunjukkan rantau yang dicangkumi oleh
Tingkatan 4 dan 5.
berikut. semua ketaksamaan berikut.
x > 3, y > 1 dan x + y < 5 x > 2, y > x dan x + y < 6

yy

Zon Sumatif 7 7
6
Soalan pelbagai aras 6 5
4
5 3
2
4 1

3 –1 0
–1
BAB 2 x x

71

–1 0 1234567 1234567
–1

Kemahiran berfikir yang 2. Sebuah kedai runcit menjual dua jenis buah- (b) titik P dengan koordinat (x, y) berada dalam
K3 buahan, iaitu epal dan pisang. Dalam suatu hari, rantau. Diberi x dan y ialah integer. Tuliskan
peniaga kedai runcit itu menjual koordinat titik R yang merupakan kedua-
disediakan untuk menilai I sehingga80pisang, duanya adalah integer.
II sehingga 90 epal,
III tidak lebih daripada jumlah 110 buah. 5. Kos sebuah buku ialah 50 sen dan sebatang pen
Jika x bilangan pisang yang dijual dan y K4 ialah RM1.30. Seorang murid membeli x buku
JAWAPANdan y pen dengan syarat seperti berikut:
kefahaman setiap bab. bilangan epal yang dijual, tunjukkan rantau yang Jawapan Lengkap
dicangkumi oleh semua kekangan yang dialami I Sekurang-kurangnya tiga pen mesti dibeli. bit.ly/3irEn9C
oleh peniaga itu. II Jumlah buku dan pen yang dibeli mestilah
tidak boleh lebih daipada 12.
III Jumlah wang yang dibelanjakan paling
3. Rajah di bawah menunjukkan rantau R yang banyak adalah RM10.
K2 memuaskan tiga ketaksamaan. Nyatakan tiga ketaksamaan 0TINGKATAN 4 6. (a) 8. (a) 3 (b) 3 (c) 5
selain daripada x > 8
f(x) 1 3
y dan y > 0 yang memuaskan semua syarat di ataBs.ab 1 Fungsi (d) –1 (e) 3 (f ) 5

6. Menggunakan graf yang sama, lukiskan semua 9. (a) 1; –9; 6
10 K3 ketaksamaan berikut: Zon Formatif 1.1 3 1
8 y > x – 1, x > 2 dan 2x + y > 8 2 f(x) = |x – 2| (b) a = – 3 atau a=3
6R
4 Lorekkan rantau yang dicangkumi dan1. (a) Hubungan ini ialah 10. 4
2 seterusnya, nyatakan nilai minimum y dalam fungsi kerana setiap objek
0 12345 x rantau ini. mempunyai satu imej x 11. (a) m = 2; c = –5
sahaja walaupun unsur 2 (b) –4, 3

7. Kedai roti Yum membuat dua jenis roti, A dan B. tidak mempunyai objek. –1 0 24 12. n = –2

K4 Jenis roti A menggunakan 5 kg bijiran dan 3 kg (b) Hubungan ini bukan Julat: 0 < f(x) < 3 13. (a) p = –1, q = 6
tepung manakala jenis roti B pula menggunakan fungsi kerana tidak (b) (b) 4
memenuhi syarat fungsi. (c) x = –2
2 kg bijirin dan 3 kg tepung. Kilang hanya Perhatikan objek –5 f(x) (d) x = 3
menjual 80 kg bijirin sepeket dan 135 kg tepung mempunyai dua imej iaitu
Nyatakan tiga ketaksamaan tersebut. sepeket. Yum ingin mendapatkan keuntungan –5 ˜ 4 dan –5 ˜ 6. f(x) = |2x + 3| 5 14. (a) a = 2, b = 5
maksimum daripada jualan roti. Jenis roti A2. Graf ini ialah suatu fungsi (b) 3

(a) 15. (a) x = –2, 1 (b) x = 1, 3
(c) x = –3, –2 (d) x = 5
398 JAWAPAN TINGKATAN 4 kerana apabila diuji dengan 3 (e) –1 < x < 2

garis mencancang, garis itu (f) x , –5 atau x . 2
memotong hanya pada satu
titik sahaja. (g) x. 2 atau x, 4 Jawapan
(b) Graf ini bukan suatu –4 –11–2 0 x 3 7
Julat: 0 < f(x) < 5
fungsi kerana apabila diuji (c) (h) x , – 1 atau x . 4
4
dengan garis mencancang, f(x) 16. y
garis itu memotong graf
pada dua titik.
(c) Graf ini ialah suatu fungsi 9

kerana apabila diuji dengan 5 f(x) = |2x – 1| Jawapan lengkapy=|2x–1|
garis mencancang, garis itu
memotong hanya pada satu 3 y=5–x
titik sahaja. 3

(d) Graf ini bukan suatu x
fungsi kerana apabila diuji disediakan. Imbas kod–4 0 2
dengan garis mencancang, 1

garis itu memotong graf –1 0 12– 3 x Maka, penyelesaiannya ialah di
titik (–4, 9) dan (2, 3).
pada dua titik.
Julat: 0 < f(x) < 5
3. (a) f : x ˜ ! x (d) 17. (a) (i) f(2) = 10; f(–6) = 6
(b) g : x ˜ x2 – 1
QR yang disediakan yang(ii) x=–8,2
4. (a) {2, 6, 7, 8, 9} f(x)
(b) {1, 3, 4, 5} (iii) Tiada
(c) {3, 4} 4 f(x) = |x + 1| (iv) –6 , x , 0
(v) x < –4 atau x > –2
5. (a) Domaian = {–1, 0, 1, 2, 3} 2 x
Kodomaian = {1, 2, 3, 4, 5} 1 3 merangkumi penerangan(b) f(x)
Julat ={1, 2, 3, 4, 5} f(x) = |2x + 6|
–3 –1 0 6 f(x) = x + 6
(b) Domaian = –2 < x < 3
Kodomain = –3 < f(x) < 4 Julat: 0 < f(x) < 4 2 x untuk jawapan soalan
Julat = –3 < f(x) < 4 0

7. (a) 7 (b) 4 (c) – 3 –4 –3
(d) 5 (e) 24 2

434 objektif.x = –4 dan 0

v

Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 5 22/01/2021 5:01 PM

KANDUNGAN

TINGKATAN 4

Traerviikshi Traerviikshi

Bab 1 Fungsi 1 Bab 6 Hukum Linear 114

1.1 Fungsi 3 6.1 Hukum Hubungan Linear 116
1.2 Fungsi Gubahan 9 dan Tak Linear
1.3 Fungsi Songsang 15 120
Zon Sumatif 25 6.2 Hukum Linear dan 125
Hubungan Tak Linear 129
Bab 2 Fungsi Kuadratik 30
6.3 Aplikasi Hukum Linear
Zon Sumatif

2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Bab 7 Geometri Koordinat 134
Kuadratik 32
7.1 Pembahagi Tembereng
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Garis 136
Kuadratik 37
7.2 Garis Lurus Selari dan Garis
2.3 Fungsi Kuadratik 39 Lurus Serenjang 141
Zon Sumatif 52
7.3 Luas Poligon 148

7.4 Persamaan Lokus 153

Bab 3 Sistem Persamaan 55 Zon Sumatif 159

3.1 Sistem Persamaan Linear Bab 8 Vektor 164
dalam Tiga Pemboleh Ubah 57

3.2 Persamaan Serentak yang 8.1 Vektor 166
Melibatkan Satu Persamaan
Linear dan Satu Persamaan 8.2 Penambahan dan Penolakan
Vektor 174
Tak Linear 61
8.3 Vektor dalam Satah Cartes 186
Zon Sumatif 64
Zon Sumatif 197

Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 67 Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 202

4.1 LHHAHopuuuglkkkiakuuurammmitsmiLSIInnoaud dgrdeeak rksist ,mSau rd dan 87766829 9999....3412 Petua Sinus 204
4.2 208
4.3 Sumatif 89 Zon Petua Kosinus 211
4.4
Luas Segi Tiga 214
Zon 218
Aplikasi Petua Sinus, Petua
Kosinus dan Luas Segi Tiga
Sumatif

Bab 5 Janjang 91 Bab 10 Nombor Indeks 222

5.1 Janjang Aritmetik 93 10.1 Nombor Indeks 223
5.2 Janjang Geometri 100 10.2 Indeks Gubahan 225
Zon Sumatif 110 Zon Sumatif 233

vi

Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 6 22/01/2021 5:01 PM

TINGKATAN 5

Traerviikshi Traerviikshi

Bab 1 Sukatan Membulat 237 Bab 6 Fungsi Trigonometri 351

1.1 Radian 239 6.1 Sudut Positif dan Sudut
Negatif 353
1.2 Panjang Lengkok Suatu
Bulatan 240 6.2 Nisbah Trigonometri bagi
Sebarang Sudut 355
1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 244

1.4 Aplikasi Sukatan 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus
Membulat 248
dan Tangen 360
Zon Sumatif
254 6.4 Identiti Asas 366

6.5 Rumus Sudut Majmuk dan
Rumus Sudut Berganda 367
Bab 2 Pembezaan 258 6.6 Aplikasi Fungsi

2.1 Had dan Hubungannya Trigonometri 373

dengan Pembezaan 260 Zon Sumatif 379

2.2 Pembezaan Peringkat
Pertama 263

2.3 Pembezaan Peringkat 383

Kedua 268 Bab 7 Pengaturcaraan Linear

2.4 Aplikasi Pembezaan 269 7.1 Model Pengaturcaraan
Zon Sumatif 285 Linear 385

7.2 Aplikasi Pengaturcaraan
Linear 391
Bab 3 Pengamiran 287
Zon Sumatif 398
3.1 Pengamiran Sebagai
Songsangan Pembezaan 289

3.2 Kamiran Tak Tentu 289 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 401
3.3 Kamiran Tentu 292

3.4 Aplikasi Pengamiran 302 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan
Zon Sumatif 306 sebagai Fungsi Masa 403

8.2 Pembezaan dalam Kinematik
Gerakan Linear 408
Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 309
8.3 Pengamiran dalam Kinematik
4.1 Pilih Atur 311 Gerakan Linear 411

4.2 Gabungan 315 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan
Zon Sumatif 322 Linear 413

Zon Sumatif 420

Bab 5 Taburan Kebarangkalian 324 Kertas Model SPM 421
Jawapan 434 – 472
5.1 Pemboleh Ubah Rawak 326
5.2 Taburan Binomial 330
5.3 Taburan Normal 336
Zon Sumatif 348

vii

Prelims Spotlight MateTambahan Tg4&5.indd 7 22/01/2021 5:01 PM

Rumus

TINGKATAN 4 Luas sisi empat: Bab 3
1 Luas di bawah lengkung:
• –2 ([x(x2y1y1 2++xx3y2y2 3++xx4y3y3 4++xx1y4y4)1])
∫ ∫• b y dx atau b x dy
Bab 2 aa

• x = –b ± ! b2 – 4ac Bab 8 Isi padu kisaran:
2a
• |~r | = ! x2 + y2 ∫ ∫• b πy2 dx atau b πx2 dy
x~i + y~j aa
Bab 4 • ~^r = x2+ y2
• am × an = am + n
• am ÷ an = am – n Bab 9 b c Bab 4
• (am)n = amn a sin B sin C
• sin A = = • n Pr = n!
(n – r)!
• ! a × ! b = ! ab • a2 = b2 + c2 – 2bc kos A
• nCr = n!
• ! a ÷ ! b = ! ab • b2 = a2 + c2 – 2ac kos B (n – r)!r!

• loga mmnn==lologga amm–+lolgoagann • c2 = a2 + b2 – 2ab kos C Rumus secaman:
• loga
Luas segi tiga: 1 • P = n!
1 2 a!b!c!…
• 2 ab sin C = ac sin B
• loga mn = n loga m
= 1 bc sin A Bab 5
logc b 2
• loga b = logc a • P(X = r) = nCr prqn – r, p + q = 1
Rumus Heron: • Min, m = np

Bab 5 • ! s(s – a)(s – b)(s – c)
a+b+c
Janjang aritmetik: s= 2 • s = ! npq

• Tn = a + (n – 1)d Bab 10 • Z = X–m
• Sn = n [2a + (n – s
2 1)d] • I = QQ∑01W×iI1i 00
• I = ∑Wi
• Sn = n [a + l] Bab 6
2

Janjang geometri: • sin2 A + kos2 A = 1

• Tn = arn –1 = a(1 – rn) , r ≠ 1 TINGKATAN 5 • sek2 A = 1 + tan2 A
• Sn = a(r 1 – r
n – 1) • kosek2 A = 1 + kot2 A
r –1
a
• S∞ = 1 – r , |r|  1 Bab 1 • sin 2A = 2 sin A kos A

Bab 7 • Panjang lengkok, s = jq • k os 2A = kos2 A – sin2 A
1 = 2 kos2 A – 1
Titik yang membahagi suatu • Luas sektor, L = 2 j2q = 1 – 2 sin2 A
tembereng garis:
Bab 2 • tan 2A = 2 tan A
( )• (x, y) = nxm1 ++mnx2 , nym1 ++mny2 1 – tan2 A
dy
Luas segi tiga: • y = uv, dx = u ddxv + v ddux • sin (A  B) = sin A kos B 
• 12 [(x1y2 + x2y3 + x3y1) kos A sin B
v ddux – u ddxv
– (x2y1 + x3y2 + x1y3)] • y = u , dy = v 2 • kos (A  B) = kos A kos B 
v dx sin A sin B

• ddxy = dy × du • tan (A  B) = tan A  tan B
du dx 1  tan A tan B

viii

BAB

1 Fungsi

SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka
surat
1.1 Fungsi • Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan
1.2 Fungsi Gubahan tatatanda. 3
1.3 Fungsi Songsang
• Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi. 5
• Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya. 6

• Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi. 9
10
• Menentukan fungsi gubahan. 11

• Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan 12
sebaliknya. 13

• Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan
salah satu fungsinya diberi.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan.

• Memerihalkan songsangan suatu fungsi. 15
16
• Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi 19
songsang.

• Menentukan fungsi songsang.

Kata Kunci • Fungsi surjektif / Surjective function
• Fungsi selanjar / Continuous function
• Tatatanda fungsi / Function notation • Objek / Object
• Ujian garis mencancang / Vertical line test • Imej / Image
• Fungsi tidak tertakrif / Undefined function • Domain / Domain
• Fungsi nilai mutlak / Absolute value function • Kodomain / Codomain
• Verteks / Vertex • Unsur / Element
• Garis nombor / Number line • Julat / Range
• Fungsi diskret / Discrete function • Fungsi gubahan / Composite function
• Hubungan / Relation • Gambar rajah anak panah / Arrow diagram
• Pemetaan / Mapping • Pasangan bertertib / Oriented pairs
• Hubungan satu dengan satu / One to one relation • Fungsi songsang / Inverse function
• Hubungan banyak dengan satu • Ujian garis mengufuk / Horizontal line test
• Konjektur / Conjecture
Many to one relation
• Fungsi berulang / Repeating-recurring function 1
• Fungsi injektif / Injective function

B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 1 23/01/2021 9:02 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 1  Fungsi

BAB Konsep

1 Fungsi
Suatu hubungan khas yang memetakan setiap unsur (objek)
dalam domain kepada hanya satu unsur (imej) dalam kodomain.

Fungsi diskret Fungsi selanjar Melakar graf y = | f(x) |

f(x) f(x) y

4 Bahagian 3 f(x) = |x – 1|
x
2 f(x) = |x – 1| yang 1
3 terpantul 4
0 24 x
1 0 1
Domain = {1, 2, 3, 4} 01 f(x) = x – 1
Julat = {1, 2, 3} x
4 • Lakar graf y = f(x).
• Pantulkan pada paksi-x
Domain ialah 0  x  4
Julat ialah 0  f(x)  3 bahagian di bawah paksi-x.

Fungsi gubahan

Untuk dua fungsi, f dan g, kita ada fungsi gubahan:
(a)  gf dengan gf(x) = g[f(x)] (b) fg dengan fg(x) = f[g(x)]

gf fg

fg gf
x f(x) g[f(x)]
x g(x) f[g(x)]



Fungsi songsang

Untuk fungsi satu dengan satu, f : x → y, fungsi songsang ialah f–1 : y → x.
Sifat-sifat fungsi songsang:
• Hanya fungsi satu dengan satu, f mempunyai fungsi songsang, f–1.
• ff –1(x) = f–1f(x) = x.
• Jika dua fungsi f dan f –1 ialah fungsi songsang antara satu sama lain: f
(a) domain f = julat f –1 dan domain f –1 = julat f
(b) graf f–1 ialah pantulan graf f pada grais y = x dan sebaliknya. x● ●y
f –1

• Jika titik (a, b) berada pada graf f, maka titik (b, a) berada pada graf f–1.

2

B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 2 23/01/2021 9:02 AM

1.1 Fungsi Bab 1  Fungsi  Matematik Tambahan Tg 4

Fungsi menggunakan perwakilan grafik (b) BAB
dan tatatanda
f(x) 1
1. Fungsi dari set X kepada set Y ialah hubungan
khas yang memetakan setiap unsur x ∈ X y = f(x) y
x1 f
kepada hanya satu unsur y ∈ Y.
y x2

2. Perhatikan graf bagi y = 1 x2 + 1 di bawah. x2 x XY
2 Fungsi banyak
x1 0 dengan satu
y y = 2–1 x2 + 1
6. Ujian garis mencancang digunakan untuk
(x, y) menentukan sama ada graf bagi suatu hubungan
yang diberi ialah fungsi atau bukan.
( )521– 3, 5 –21
7. (a) Jika garis mencancang memotong graf
(–2, 3) 3 hanya pada satu titik, maka hubungan itu
ialah fungsi.
( )112– 1, 1 12– x
(b) Jika garis mencancang tidak memotong
–2 0 1 3 mana-mana titik pada graf atau memotong
lebih daripada satu titik, maka hubungan itu
Didapati bahawa –2 dipetakan kepada 3, iaitu bukan fungsi.
1 1
–2 ˜ 3. Begitu juga dengan 1 ˜ 1 2 , 3 ˜ 5 2 y y Ujian garis
h mencancang

h

dan seterusnya. Setiap titik (x, y) pada lengkung Ujian garis x
adalah berpadanan dengan pemetaan x ˜ y yang mencancang
memetakan nilai x pada paksi-x kepada nilai y 0
x
0
pada paksi-y.

3. Hubungan seperti ini dikenali sebagai pemetaan
1 Graf h ialah fungsi Graf h bukan fungsi
atau fungsi yang ditakrifkan oleh y = 2 x 2 + 1 (a) (b)

dan ditulis dengan tatatanda seperti berikut. 8. Fungsi tidak tertakrif ialah fungsi apabila f(x)
adalah tidak tertakrif pada suatu nilai x tertentu.
f : x ˜ y atau f(x) = y

f :x ˜ 1 x2 + 1 atau f(x) = 1 x2 + 1 f(x)
2 2

dengan x ialah objek dan 1 x2 + 1 ialah imej.
2
4. Fungsi biasanya ditulis dengan huruf kecil
seperti f, g dan h. Namun, huruf besar seperti F, f(x) = –x–+x–2–

G dan H masih boleh digunakan. –2 0 x

5. Fungsi boleh diwakilkan dalam bentuk gambar Apabila x mendekati –2 dari sebelah kiri,
rajah anak panah seperti yang berikut. f(x) ˜ ∞ dan apabila x mendekati –2 dari sebelah
(a) f(x)

y = f(x)

y2 x1 f y1 kanan f(x) ˜ –∞. Graf hanya menghampiri tetapi
y1 x2 y2 tidak menyentuh garis x = –2. Fungsi seperti ini
yang tidak tertakrif pada suatu nilai x iaitu di
x = –2, dikenali sebagai fungsi tidak tertakrif dan
XY x
+
0 x1 x2 x Fungsi satu ditulis sebagai f(x) = x 2,x ≠ –2.
dengan satu

1.1.1 3

B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 3 23/01/2021 9:02 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 1  Fungsi

1BAB Contoh 23 3. Daripada Rajah (c), iaitu balikan bagi fungsi satu
Suatu fungsi ditakrifkan sebagai f : x → 2x + 3. dengan satu,  f merupakan fungsi satu dengan
Tentukan satu juga.Namun bagi Rajah (d),iaitu balikan bagi
(a) f(–1), fungsi banyak dengan satu, g bukan merupakan
(b) f –1(7). fungsi. Jadi, fungsi f mempunyai fungsi songsang
Penyelesaian: manakala fungsi g pula tidak mempunyai fungsi
(a) f(–1) = 2(–1) + 3 songsang.
= –2 + 3
= 1 4. Ujian garis mengufuk digunakan untuk
(b) Katakan a = f –1(7) menentukan sama ada fungsi itu mempunyai
Jadi, f(a) = 7 fungsi songsang.
2a + 3 = 7 (a) Jika garis mengufuk memotong graf hanya
2a = 4 pada satu titik, maka jenis fungsinya ialah
a = 2 fungsi satu dengan satu dan fungsi tersebut
Maka, f –1(7) = a = 2 mempunyai fungsi songsang.

Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.3 y f
f mempunyai Ujian garis
Membuat dan mengesahkan konjektur fungsi songsang mengufuk
berkaitan sifat-sifat fungsi songsang
f(x)

Sifat 1 0x x
Suatu fungsi mempunyai fungsi songsang, jika
fungsi itu merupakan fungsi satu dengan satu.

1. Suatu fungsi f yang memetakan set X kepada (b) Jika garis mengufuk memotong graf pada
set Y mempunyai fungsi songsang f –1 jika f ialah dua titik atau lebih, maka jenis fungsi itu
fungsi satu dengan satu. bukan fungsi satu dengan satu dan fungsi
tersebut tidak mempunyai fungsi songsang.
2. f
g y
f(x)
2● ●1 –2● ●4 f tidak mempunyai
4● ●2 2● f fungsi songsang
6● ●3 3● ●9 Ujian garis
mengufuk

X Y  X Y x2 0 x1 x

Rajah (a) Rajah (b)

Rajah (a) dan Rajah (b) di atas masing-masing TIP Bestari
menunjukkan fungsi satu dengan satu, f dan
banyak dengan satu, g. Membalikkan anak panah Ujian garis mengufuk digunakan untuk menentukan
dalam setiap rajah itu, kita peroleh Rajah (c) dan • jenis suatu fungsi sama ada satu dengan satu atau
Rajah (d) yang berikut.
banyak dengan satu.
f –1 g –1 • sama ada suatu fungsi mempunyai fungsi

1● ●2 4● ●–2 songsang atau tidak.
Fungsi satu dengan satu juga dikenali sebagai
fungsi injektif.

2● ●4 ●2

3● ●6 9● ●3 Contoh 24
Tentukan sama ada setiap fungsi diskret f berikut
Y X  YX mempunyai fungsi songsang atau tidak. Huraikan.
Rajah (c)
Rajah (d)

16 1.3.1 1.3.2

B01 SpotlightA+ Add Math F4.indd 16 23/01/2021 9:03 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 2  Fungsi Kuadratik

Contoh 25 (a) (i) Apabila a = 2 berubah kepada 4, kelebaran
graf semakin berkurang. Paksi simetri dan
Bagi setiap fungsi kuadratik berikut, cari titik nilai minimum tidak berubah.
maksimum atau minimum. Kemudian, tentukan y
BAB persamaan paksi simetri.
2 (a) f (x) = 3(x – 2)2 + 5
(b) f (x) = –4(x + 3)2 + 6 f(x) = 4(x – 3)2 + 5
( )(c) 4 23
f (x) = 3 x – 5 2 – 2
f(x) = 2(x – 3)2 + 5

Penyelesaian: (3, 5)

Bandingkan dengan f(x) = a(x – h)2 + k. x

Titik minimum atau titik maksimum, (h, k)
Persamaan paksi simetri, x = h.
(a) f (x) = 3(x – 2)2 + 5 (ii) Apabila a = 2 berubah kepada 1 ,
2
a = 3, h = 2 dan k = 5 kelebaran graf bertambah. Paksi simetri
dan nilai minimum tidak berubah.
a = 3 (a . 0), graf kuadratik ini mempunyai titik
minimum.
Titik minimum: (2, 5) y

Persamaan paksi simetri: x = 2
(b) f (x) = –4(x + 3)2 + 6
a = –4, h = –3 dan k = 6 23 f(x) = 2(x – 3)2 + 5
a = –4 (a , 0), graf kuadratik ini mempunyai f(x) =–1 (x – 3)2 + 5
titik maksimum. 2
Titik maksimum: (–3, 6)
Persamaan paksi simetri: x = –3 (3, 5)
( )(c) 4 x
f (x) = 3 x – 5 2 – 2

a = 3, h = 4 dan k = –2 (b) Apabila h = 3 berubah kepada 6, graf bergerak
5
a = 3 (a . 0), graf kuadratik ini mempunyai titik secara mengufuk 3 unit ke kanan. Persamaan
minimum. paksi simetrinya menjadi x = 6 dan nilai
( ) 4 minimumnya tidak berubah, iaitu 5. Bentuk
Titik minimum: 5 , –2 graf tidak berubah.

y
f(x) = 2(x – 3)2 + 5

Persamaan paksi simetri: x= 4
5

Cuba soalan 9 dalam Zon Formatif 2.3 23

Contoh 26 (3, 5) f(x) = 2(x – 6)2 + 5
x
Rajah di bawah menunjukkan graf kuadratik bagi
fungsi f(x) = 2(x – 3)2 + 5.
(c) Apabila k = 5 berubah kepada 7, graf bergerak
f(x)
secara menegak 2 unit ke atas. Persamaan paksi
simetrinya tidak berubah dan nilai minimumnya
berubah, iaitu y = 7. Bentuk graf tidak berubah.

23 f(x) = 2(x – 3)2 + 5 y
f(x) = 2(x – 3)2 + 7

(3, 5) x

Apakah kesan perubahan setiap nilai berikut 23 f(x) = 2(x – 3)2 + 5

terhadap bentuk dan kedudukan graf jika (3, 7)

(a) nilai a apabila (3, 5) x
(i) berubah kepada 4?
1
(ii) berubah kepada 2 ?

(b) nilai h berubah kepada 6? Cuba soalan 10 dalam Zon Formatif 2.3

(c) nilai k berubah kepada 7?

44 2.3.3

B02 SpotlightA+ Add Math F4.indd 44 23/01/2021 10:56 AM

Bab 2  Fungsi Kuadratik  Matematik Tambahan Tg 4

Contoh 27 (c) Apabila k = 5 berubah kepada 2, graf bergerak BAB
secara menegak 3 unit ke bawah. Persamaan
Rajah di bawah menunjukkan graf kuadratik bagi paksi simetrinya tidak berubah dan nilai 2
fungsi f(x) = –2(x + 3)2 + 5. maksimumnya berubah, iaitu y = 2. Bentuk graf
tidak berubah.
y y
(–3, 5) (–3, 5)
(–3, 2) f(x) = –2(x + 3)2 + 5
x x
–13 –13

f(x) = –2(x + 3)2 + 5 f(x) = –2(x + 3)2 + 2
Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 2.3
Apakah kesan perubahan setiap nilai berikut
terhadap bentuk dan kedudukan graf jika nilai Contoh 28
(a) (i) a berubah kepada –5? Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi
f(x) = (x – 4)2 + 3m, dengan keadaan k ialah pemalar.
(ii) a berubah kepada –1?
(b) h berubah kepada –1? y
(c) k berubah kepada 2?
c
Penyelesaian: x
(a) (i) Apabila a = –2 berubah kepada –5,
f(x) = (x – 4)2 + 3m
kelebaran graf berkurang. Paksi simetri
dan nilai maksimum tidak berubah. (h, –6)

y Diberi (h, –6) ialah titik minimum graf itu.
(–3, 5) (a) Nyatakan nilai-nilai h, m dan pintasan-y.
(b) Jika graf itu bergerak 3 unit ke kanan, tentukan
f(x) = –5(x + 3)2 + 5
x persamaan paksi simetri bagi lengkung itu.
(c) Jika graf itu bergerak 3 unit ke bawah, tentukan
–13 f(x) = –2(x + 3)2 + 5
nilai minimumnya.
(ii) Apabila a = –2 berubah kepada – 1, Penyelesaian:
kelebaran graf bertambah. Paksi simetri
dan nilai maksimum tidak berubah. (a) Bandingkan f(x) = (x – 4)2 + 3m dengan
f(x) = (x – h)2 + k.
y Oleh itu, h = 4, k = 3m
(–3, 5) Daripada graf, k = –6
3m = –6
f(x) = –(x + 3)2 + 5

x
–13 f(x) = –2(x + 3)2 + 5

m = –2
Apabila x = 0, c = f(0)
(b) Apabila h = –3 berubah kepada –1, graf = (0 – 4)2 – 6
bergerak secara mengufuk 2 unit ke kanan. = 10
Persamaan paksi simetrinya menjadi x = –1 (b) Persamaan paksi simetri, x = 7
dan nilai maksimumnya tidak berubah, iaitu 5. (c) Nilai minimum = (4, –9)
Bentuk graf tidak berubah.
Cuba soalan 12 dalam Zon Formatif 2.3
y

(–3, 5)

f(x) = –2(x + 1)2 + 5

x Perubahan a, h dan k dalam fungsi
–13 kuadratik f(x) = a(x – h)2 + k
bit.ly/35k9xdV
f(x) = –2(x + 3)2 + 5

2.3.4 45

B02 SpotlightA+ Add Math F4.indd 45 23/01/2021 10:56 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 3  Sistem Persamaan

A Kaedah penghapusan B Kaedah penggantian
(a) Pilih dua persamaan dan hapuskan satu (a) Pilih satu persamaan dan ungkapkan satu

pemboleh ubah. pemboleh ubah dalam sebutan dua pemboleh
(b) Pilih dua persamaan yang lain dan hapuskan ubah yang lain.
(b) Gantikan persamaan (a) ke dalam salah satu
pemboleh ubah yang sama seperti (a). daripada dua persamaan yang lain.
(c) Daripada persamaan yang diperoleh di (a) (c) Gantikan persamaan (b) ke dalam persamaan
yang tinggal.
dan (b), hapuskan satu lagi pemboleh ubah. (d) Daripada (c), ungkapkan satu pemboleh ubah
BAB Kemudian, tentukan nilai satu pemboleh ubah dalam sebutan pemboleh ubah yang lain.
(e) Gantikan (d) ke dalam (b) dan tentukan nilai
3 yang tinggal. pemboleh ubah itu.
(d) Gantikan nilai pemboleh ubah di (c) ke dalam (f) Gantikan semula nilai pemboleh ubah di (e)
(a) atau (b). Nilai pemboleh ubah kedua akan ke dalam persamaan yang tinggal untuk
diperoleh. menentukan nilai pemboleh ubah yang lain.
(e) Gantikan nilai pemboleh ubah yang diperoleh
ke dalam salah satu sistem untuk memperoleh
nilai pemboleh ubah yang terakhir.

Contoh 3

Contoh 2 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut
dengan kaedah penggantian.
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut x – 5y – z = –13
dengan kaedah penghapusan. 2x + y – 5z = 24
2x – 5y = –10
3x + 2y + 2z = –7
5x – 4y – 3z = 6 Penyelesaian:
–2x – 3y – 4z = 5 x – 5y – z = –13 ……1
2x + y – 5z = 24 ……2
Penyelesaian: 2x – 5y = –10 ……3
3x + 2y + 2z = –7 ……1
5x – 4y – 3z = 6 ……2 Jadikan x sebagai penyebut
Daripada 1, x = 5y + z – 13  ……4
Samakan pekali satu pemboleh Gantikan 4 ke dalam 2,
2(5y + z – 13) + y – 5z = 24
ubah di 1 dengan 2 10y + 2z – 26 + y – 5z = 24
1 × 2: 11y – 3z = 50 ……5
6x + 4y + 4z = –14  ……3 Gantikan 4 ke dalam 3,
2(5y + z – 13) – 5y = –10
Hapuskan pemboleh ubah y kerana 10y + 2z – 26 – 5y = –10
5y + 2z = 16 ……6
mempunyai pekali yang sama

2 + 3: 11x + z = –8  ……4
Ulang langkah di atas dengan dua persamaan
yang lain.
5x – 4y – 3z = 6 ……2
–2x – 3y – 4z = 5 ……6 Jadikan z sebagai penyebut
5
2 × 3: 15x – 12y – 9z = 18 ……7 Daripada 6: z = 8– 2 y ……7
6 × 4: –8x – 12y – 16z = 20 ……8
7 – 8: 23x + 7z = –2 ……9 ( )Gantikan 7 ke dalam 5,
4 × 7: 77x + 7z = –56 …… 11y – 3 8 – 5 y = 50
2
 – 9: 54x = –54 37
x = –1 2 y = 74
Gantikan x = –1 ke dalam 4, y = 4
11(–1) + z = –8
z=3 Gantikan y = 4 ke dalan 7,
5
Gantikan x = –1 dan z = 3 ke dalam 1 z = 8– 2 (4)
z = –2
3(–1) + 2y + 2(3) = –7
2y = –10 Gantikan y = 4 dan z = –2 ke dalam 1
y = –5 x – 5(4) – (–2) = –13
Maka, penyelesaian bagi sistem persamaan linear y=5
ini ialah x = –1, y = –5 dan z = 3. Maka, penyelesaian bagi sistem persamaan linear
ini ialah x = 5, y = 4 dan z = –2.
Cuba soalan 2 dalam Zon Formatif 3.1
Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 3.1

58 3.1.2

B03 SpotlightA+ Add Math F4.indd 58 22/01/2021 11:34 AM

Bab 3  Sistem Persamaan  Matematik Tambahan Tg 4

Contoh 4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
sistem persamaan linear dalam tiga
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. pemboleh ubah
2x + 3y – 2z = –7
–4x – 3y + 3z = 8 Contoh 6
2x – z = –1
BAB
Penyelesaian:
2x + 3y – 2z = –7 ……1 3
–4x – 3y + 3z = 8 ……2
2x – z = –1 ……3

Tambah 1 dan 2, untuk Ali berada di sebuah kedai runcit dan dia ingin
membeli beberapa bungkus roti, susu tin dan
hapuskan pemboleh ubah y peket gula yang masing-masing berharga RM1,
1 + 2: –2x + z = 1  ……4 RM4 dan RM3. Dia akan membeli sebanyak 8
Tambahkan 3 dan 4. barang di kedai itu. Dengan wang berjumlah
3 + 4: 0 + 0 = 0 RM17, berapakah bilangan bungkus roti, susu tin
Didapati 0 = 0. Maka, sistem persamaan linear ini dan peket gula yang dapat dibeli oleh Ali sekiranya
mempunyai penyelesaian tak terhingga. bilangan bungkus gula yang dibeli adalah tiga kali
ganda bilangan susu tin?
Contoh 5
Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. Penyelesaian:
6x + 2y – 4z = 0 Katakan x, y dan z masing-masing mewakili
–2x – 2y + z = 19 bilangan bungkus roti, susu tin dan peket gula.
–4x + 3z = –8 Persamaan linear:
Penyelesaian: x + y + z = 8 ……1
6x + 2y – 4z = 0 ……1 x + 4y + 3z = 17 ……2
–2x – 2y + z = 19 ……2 z = 3y ……3
–4x + 3z = –8 ……3
Tolakkan 2 dari 1, untuk
Tambah 1 dan 2, untuk
hapuskan pemboleh ubah x
hapuskan pemboleh ubah y 2 – 1: 3y + 2z = 9  ……4
1 + 2: 4x – 3z = 19  ……4
Seterusnya, tambahkan 3 dan 4. Gantikan 3 ke dalam 4.
3 + 4: 0 + 0 = 19 3y + 2(3y) = 9
0 ≠ 19 3y + 6y = 9
Didapati 0 ≠ 19. Maka, sistem persamaan linear ini 9y = 9
tidak mempunyai penyelesaian. y=1
Gantikan y = 1 ke dalam 3,
Cuba soalan 4 dalam Zon Formatif 3.1 z = 3(1)
z=3
Penyelesaian sistem persamaan Gantikan y = 1 dan z = 3 ke dalam 1,
linear dalam tiga pemboleh ubah x+1+3=8
bit.ly/34lq43 x=4
Maka, Ali membeli 4 bungkus roti, satu susu tin
dan 3 peket gula.

Cuba soalan 5 dan 6 dalam Zon Formatif 3.1

3.1.2 3.1.3 59

B03 SpotlightA+ Add Math F4.indd 59 22/01/2021 11:34 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 4  Indeks, Surd dan Logaritma

Contoh 29 3. Pertimbangkan m = ap dan n = aq dalam bentuk
i(na)d eHDkseanasidglaadnlaahhraulbokgulaomgmain=mdpedkdasna; nlologga ann = q.
Nilaikan setiap yang berikut.
(a) log10 84 (b) log10 31.2
(c) log10 0.764 (d) log10 3.42 m × n = ap × aq
mn = ap + q
Berikan jawapan anda betul dalam empat tempat llGooaggnaa tmmiknnan== lpog+a ap
perpuluhan. loga mn = q
+q
Penyelesaian: llooggaa m p dan loga n = q,
m = loga n
(a) log10 84 = 1.9243 +

Kalkulator Hukum hasil darab

BAB 1. Tekan log 8 4 = Hasil dalroagba mannta=ralomga m+ lnogma nerupakan
dan
4 2. Skrin akan memaparkan hasil tambah log m dan log n.
1.924279286
(b) HDeansiglabnahhuakgui mlogianmdekdsa,n loga n

(b) log10 31.2 = 1.4942 m ÷ n = ap ÷ aq
(c) log10 0.764 = –0.1169 m
(d) log10 3.42 = 1.0630 mn = ap – q
mn =
Cuba soalan 5 dalam Zon Formatif 4.3 loga n = loga ap – q
loga p–q
Contoh 30
lGoagna timnkan=lologga amm=–plodgaannloga n = q,
Nilaikan setiap yang berikut. ( )
(a) antilog 3.2543 (b) antilog 0.4563


(c) antilog (–1.1547) (d) antilog (–1.066) ( )Hukum hasil bahagim
Berikan jawapan anda betul kepada dua tempat loga n = loga m – loga n
perpuluhan.
Hasil bahagi antara m dan n merupakan
Penyelesaian: hasil tolak log m dan log n.
(a) antilog 3.2543 = 1 795.97
(c) KDuenagsaanlohguakmum indeks;
Kalkulator

1. Tekan shift log 3 . 2 5 4 3 = mn = (ap)n (ap)n
2. Skrin akan memaparkan lllooogggaaa mn = lponga
1 795.973813 mn = loga m = p
mn = n loga m
(b) antilog 0.4563 = 2.86
(c) antilog (–1.1547) = 0.70 Hukum kuasa
(d) antilog (–1.066) = 0.09 loga mn = n loga m

Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 4.3 (d) Diberi m = ap,
Dengan hukum indeks;
Membuktikan hukum logaritma q! m = q! (ap)

1. Terdapat satu peraturan dalam melakukan loga q! m = loga q! (ap)
operasi yang melibatkan logaritma. Peraturan
ini dikenali sebagai hukum logaritma. 1

2. Berikut adalah hukum asas bagi logaritma: loga q! m = loga (ap) q
(a) Hukum hasil darab
(b) Hukum hasil bahagi loga q! m = 1 (p)
(c) Hukum kuasa q
(d) Hukum punca kuasa 1
loga q! m = q loga m

Hukum punca kuasa
1
loga q! m = q loga m

80 4.3.1 4.3.2

B04 SpotlightA+ Add Math F4.indd 80 22/01/2021 1:15 PM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 5  Janjang

Contoh 21 ( )1 n–1 = 1
411
4
( ) ( )1 1 11
Diberi bahawa janjang aritmetik 8, 4, 2, …, cari n–1 = 4
4
(a) TTn7, dalam n – 1 = 11
(b) sebutan n. n = 12

Penyelesaian: Cuba soalan 7 dan 9 dalam Zon Formatif 5.2

(a) T1 = a = 8
T2
r = T1 = 4 = 1 Contoh 23
8 2

Tn = arn –
( ) T7 = 1 Sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri diberi
1 7 – 1 o(al)e hseTbn u=ta2nn + 2. Cari
8 2 pertama,
(b) nisbah sepunya.
( ) 1 6
= 8 2 Penyelesaian:

5 ( )BAB = 8 1 (a) TTrTT1221=====TT812212216=++ 22 = 23
64 = 24
1 (b) 16
= 8 8 =

Kalkulator 2

1. Tekan 8 ( 1 ab/c 2 ^ ( ALPHA Cuba soalan 11 dalam Zon Formatif 5.2

( )) – 1 ) = 8 1 n–1
sebagai 2

2. Tekan CALC dan paparan X? Contoh 24

3. Tekan 7 dan paparan 1 Sebutan ketiga dan sebutan ketujuh bagi suatu
8 janjang geometri masing-masing ialah 48 dan
12 288. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya.

ar n – Penyelesaian:
( )(b) Tn= 1
= 8 1 n – 1 ar 3T– 31 = 48
2 = 48
= 23(2–1)n – 1 ar 2 = 48  ……1
= 23(21 – n) ar 7T– 71 = 12 288
= 12 288
= 23(21)2–n Hukum indeks am × an = am + n ar 6 = 12 288  ……2
= 24 – n

Cuba soalan 6 dalam Zon Formatif 5.2 2 ÷ 1: ar 6 = 12 288
ar 2 48
ar 4 = 256

Contoh 22 r = 4! 256
r=4

Hitung bilangan sebutan bagi janjang geometri Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 5.2
1
16, 4, 1, …, 262 144 .

Penyelesaian: Contoh 25

Tr 1==14a6 = 16 Diberi suatu janjang geometri 2, 6, 18, …. Cari nilai
= 1 n terkecil dengan keadaan sebutan ke-n adalah
4 lebih daripada 100 000.
1
Tn = 262 144 Penyelesaian:

arn – 1 = 1 a = T1 = 2
262 144 T2
( )16 1 1 r = T1 = 6 = 3
4 n–1 = 262 144 2

1 arnT– n1 . 100 000
. 100 000
( ) ( )4
n–1 = 1 × 1
262 144 16
1 1 (2)(3)n – 1 . 100 000
n–1 = 194
( )4
4 304 (3)n – 1 . 50 000

102 5.2.2

B05 SpotlightA+ Add Math F4.indd 102 22/01/2021 5:11 PM

Bab 5  Janjang  Matematik Tambahan Tg 4

(n – l1o)gl1o0g(310)n(3– 1) . lloogg1100 50 000 TIP Bestari
. 50 000

(n – 1) . log10 50 000 Penggunaan kedua-dua rumus
log10 (3)
n – 1 . 9.85 Sn = a(1 – rn) , r , 1 dan Sn = a(rn – 1) , r . 1
(1 – r) (r – 1)
n . 10.85
n = 11, 12, 13, … akan menghasilkan nilai yang sama meskipun tidak
mengikut syarat nilai r masing-masing.
Maka, nilai n terkecil ialah 11.

Cuba soalan 1, 2 dan 5 dalam Zon Formatif 5.2 Contoh 27

Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan Cari hasil tambah bagi janjang geometri 12, 48,
pertama, Sn bagi janjang geometri 192, …, 49 152.

Penyelesaian:

1. Hasil tambah n sebutan pertama dalam suatu a = T1 = 12
48
janjang boleh diwakilkan dengan notasi Sn r = 12 = 4 BAB
S1dnen=×gaar:n+rSkanera=d+aaarar+n2,a+Srn2…=+ +T1a+rnT– 22 + Ta3rn+– 1……+1Tn
+ 1 + arn…2 ar nT– n1 = 49 152 5
ar3 + … + arn – = 49 152
(12)(4)n – 1 = 49 152
1 – 2: SSnn(1––rSr)n = a – arn (4)n – 1 = 4 096
Sn = a(1 – rn) (4)n – 1 = 46
= a(1 – rn) n–1=6
n=7
(1 – r)
2 – 1: (rrS–n –1)SSnn = arn – a
Sn = a(rn – 1) Kaedah Alternatif
= a(rn – 1)
(n –lo1g)1l0o(g41)n0 –1 = lloogg1100 4 096
(r – 1) = 4 096
4

2. Hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang n – 1 = log10 4 096
geometri diberi oleh: n – 1 = 6 log10 4

Sn = a(1 – rn) , Sn = a(rn – 1) , n = 7
(1 – r) (r – 1) Hasil tambah 7 sebutan pertama

r ≠1, (|r| , 1)    r ≠1, (|r| , 1) S7 = 12(47 – 1)
4–1
= 65 532
Contoh 26
Cuba soalan 18 dalam Zon Formatif 5.2
Cari hasil tambah 8 sebutan pertama bagi setiap
janjang geometri berikut.
(a) 3, 12, 48, … (b) 25, 5, 1, … Contoh 28

Penyelesaian: Diberi janjang geometri 7, 28, 112, …. Cari hasil
tambah daripada sebutan ke-6 sehingga sebutan
(a) a = T1 = 3 ke-10.
T2
r = T1 = 12 = 4 . 1 Penyelesaian:
3
a = T1 = 7
S8 = 3(48 – 1) T2
4–1 r = T1 = 28 = 4
aS8==T615=52355 7
S10
(b)

r = T2 = 5 = 1 , 1 S10 = T1 + T2 + ST53 + T4 + T5 + T6 + … + T10
T1 25 5
([ ( )) ] S8
1 [ ] [ ]S10 – S5 =
25 1 – 5 8  7(410 – 1) – 7(45 – 1)
1– 1 (4 – 1) (4 – 1)
= 5 = 2 446 675 – 2 387

= 31.24992 = 2 444 288

Cuba soalan 17 dalam Zon Formatif 5.2 Cuba soalan 22 dalam Zon Formatif 5.2

5.2.3 5.2.2 103

B05 SpotlightA+ Add Math F4.indd 103 22/01/2021 5:11 PM

Bab 7  Geometri Koordinat  Matematik Tambahan Tg 4

Zon Formatif 7.4 8. Dalam rajah di bawah, titik K(2, 0) dan titik
L(–4, 0) ialah dua titik tetap. K4
1. Cari persamaan lokus titik bergerak P dengan y
keadaan jaraknya dari A(3, 5) ialah 2 unit. K2
P(x, y)
2. Cari persamaan lokus titik bergerak P dengan
keadaan K2 L(–4, 0) O K(2, 0) x
(a) jaraknya dari A(1, 2) dan B(4, –1) adalah
dalam nisbah 2 : 1. Titik P bergerak dengan keadaan PK : PL = 1 : 2. BAB
(b) jaraknya dari C(0, –1) dan D(–1, 0) adalah (a) Tunjukkan bahawa persamaan lokus P ialah
dalam nisbah 1 : 3. 7
(c) jaraknya dari E(–2, 2) dan F(1, 1) adalah x2 + y2 – 8x = 0.
dalam nisbah 3 : 2. (b) Tunjukkan bahawa titik M(4, 4) terletak di
(d) jaraknya dari G(0, 1) dan H(3, 4) adalah
dalam nisbah 1 : 2. atas lokus P dan seterusnya cari persamaan
garis lurus KM.
3. Titik A dan titik B masing-masing ialah (–4, 0) (c) Garis lurus KM bertemu lokus P sekali lagi
dan (2, 0). Cari persamaan lokus titik bergerak P di titik N. Cari koordinat N.
dengan keadaan PA = 2PB. K3 (d) Hitung luas segi tiga OMN.
9. Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari
4. Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari dua titik tetap A(1, 2) dan B(4, –1) memuaskan
M(3, 0) ialah tiga kali jaraknya dari N(–5, 0). nisbah PA : PB = 2 : 1. Cari K4
Cari persamaan lokus P. K3 (a) persamaan lokus P,
(b) koordinat di mana lokus P memotong
5. Cari persamaan lokus titik bergerak P yang paksi-x.
sentiasa sama jarak dari titik A(1, 0) dan titik 10. Rajah di bawah menunjukkan titik A(a, 0) yang
B(6, 7). K2 bergerak di sepanjang paksi-x dan titik B(0, b)
yang bergerak di sepanjang paksi-y dengan
6. Dua titik A dan B masing-masing ialah (0, 2) keadaan AB = 5 unit. K4
dan (2, 4). Cari persamaan lokus titik bergerak
P dengan keadaan segi tiga APB sentiasa y
bersudut tegak di P. K3 B(0, b)

7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah semi C(x, y)
bulatan ABCD berpusat D. K4
y
P(x, y)

B(3, 2)

0 A(1, –2)D(4, –1) x 0 A(a, 0) x
C(7, 0) (a) Tuliskan satu persamaan yang

Lokus titik P dengan pusat B bergerak dengan menghubungkan a dan b.
keadaan PB = BC = BA. (b) Titik C berada pada garis AB dengan
(a) Hitung jarak BC.
(b) Tunjukkan bahawa persamaan lokus P ialah keadaan AC : CB = 2 : 1. Apabila titik A dan
titik B menggelongsor di sepanjang paksi-x
x2 + y2 – 6x – 4y – 7 = 0. dan paksi-y,
(c) Cari persamaan garis lurus CB. (i) tunjukkan bahawa persamaan lokus C
(d) Garis lurus CB bertemu lokus P sekali lagi di
ialah 36x2 + 9y2 = 100,
titik E. Cari koordinat E. (ii) tentukan koordinat C apabila a = 3.
(e) Cari luas segi tiga ACE.

157

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 8  Vektor

17. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi 21. Pada grid segi empat sama di bawah, ˜OP = ~p
˜PQ dan O˜Q = ~q. K2
empat selari PQRS dengan keadaan = 2~u,
˜QR = 3~v . K3

Q 3~v R R

2~u

PT S P Q
~p O ~q
Titik T terletak di atas PS dengan keadaan S
˜PT ˜PS
= 1 . Ungkapkan setiap vektor berikut
3
(daa) la˜PmTs ebutan ~(ab)d a˜QnT/a tau ~b. (c) ˜PR Ungkapkan yang berikut dalam sebutan ~p dan/
a(at)a u˜O~qR.
18. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi
empat selari ABCD. K3 (b) ˜RS
C E 2~b B
22. Tiga titik A, B dan C adalah segaris. Diberi
~a ˜AB = 2~a – ~b dan ˜BC = 4~a + (m – 1)~b dengan
keadaan m ialah pemalar. Cari K3
D FA (a) nilai m,
(b) nisbah AB : BC.
E ialah titik tengah BC dan F terletak di atas AD
keadaan ˜FD = 3 ˜AF . Diberi ˜AB = ~a
dengan = 2~b, ungkapkan setiap vektor berikut 23. Diberi bahawa ˜OP = 3~a + ~b, O˜Q = 2~a – 3~b
dan ˜BE dan ˜OR = k~a + 5~b dengan keadaan k ialah

8BAB d(aa) la˜EmDs ebutan ~(ab)d a˜FnD~b . (c) ˜EF pemalar. Cari dalam sebutan ~a , ~b dan/atau k
K3
vektor ˜OP = ~p
19. Rajah di bawah menunjukkan grid segi empat (a) ˜PQ,
dan O˜Q = (b) ˜PR .
sama. K2 ~q yang dilukis pada Jika P, Q dan R adalah segaris, cari nilai k.

R ~q Q 24.
O
P ~p = ~a + ~b
~p ~q = 3~a – 2~b

Ungkapkan ˜OR dalam sebutan ~p dan ~q. ~r = h~a + (2h + k)~b,
tdaeknsgealanrikdeaadnahanda~an dkaianla~bh ialah dua vektor
20. Pada grid segi empat sama di bawah, O˜A = ~a pemalar.
dan ˜OB = ~b. K2
Berdasarkan maklumat di atas, cari nilai h dan
A
~a nilai k jika ~p = 2~q + ~r . K3

O R 25. Ddeibnegrai nbakheaawdaa~pan= ~~aa +d2aun~b ~bdania~qlah= (dvu+a4)v~ae+kt~bor,
~b B bukan sifar yang tak selari dan u dan v ialah

((ab)) TPualdisakagnrid˜OiRtud, taalanmdaskeabnudtaenng~aadnajnela~bs. titik S pemalar. Cari K3
(a) nilai u dan nilai v jika j~pika= ~q~p,
dengan keadaan ˜OS = 1 ~a – 2~b. (b) v dalam sebutan u dan ~q adalah
2
selari.

184

B08 SpotlightA+ Add Math F4.indd 184 22/01/2021 3:58 PM

Bab 8  Vektor  Matematik Tambahan Tg 4

26. Dalam rajah di bawah, O˜A = 3~a dan ˜OB = 10~b. Diberi bahawa ˜OP = 4~a + 2~b dan O˜Q = 5~a – ~b.
(a) (Ui)n gk˜PaNpk, an dalam sebu(itia) n M˜~a Qda. n ~b,
B

DA (b) Jika ˜RN = h˜PN dan ˜RQ = kM˜Q, ungkapkan

C E (i) ˜RN dalam sebutan h, ~a dan ~b,
10~b O 3~a (ii) ˜RQ dalam sebutan k, ~a dan ~b.

C ialah titik tengah bagi OB dan E terletak di (c) Menggunakan ungkapan bagi vektor ˜RQ ,

atas OA dengan keadaan ˜OE = 2 O˜A. Garis AC ˜RN dan N˜Q,
3
dan BE bertemu di D supaya ˜AD = m˜AC dan (i) cari nilai h dan nilai k,
(ii) nisbah bagi PR : RN dan MR : RQ.
˜BD = n˜BE .
K4 29. Mukhriz dan Habil menarik sebuah bot masing-
(a) Ungkapkan O˜D dalam sebutan masing dengan daya 40 N dan 30 N  seperti
yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Mukhriz
(b) (Si)e temru,s~nayda,anca~bri, nilai m(idi) annn, i~alaidna.n ~b. menarik bot itu dengan membuat sudut 45°
terhadap garis mengufuk manakala Habil pula
(c) ∠JikAaO|~Ca | = 122.50°u,nciat,ri|~b| = 1 unit dan pada sudut 30°. K3
=
(i) |˜AC |, (ii) ∠OAC.
Mukhriz
27. Dalam rajah di bawah, ABCD ialah sebuah segi 40 N Habil
empat selari dengan pepenjuru-pepenjurunya
bertemu di E. K4 45°
N 30°
Bot
30 N BAB

D M C 8
~q E
Tentukan magnitud bagi daya paduan yang
A ~p B bertindak ke atas bot itu.
M ialah titik tengah DC dan AD dipanjangkan 30. Lebar sebatang sungai dengan dua tebing
ke N dengan keadaan AD = DN. Diberi bahawa yang selari ialah 80 m dan arus mengalir ke
(˜Aa)B (Ui=)n g~pk˜AadEpakn, a˜AnDda=(liai)m~q .B˜seMb,u tan ~p(iidi)a n˜B~qN.. timur dengan halaju 3 m/s. K5
(b) Menggunakan vektor B˜M dan vektor ˜BN di
C D 60 m B
27(a)(ii) dan 27(a)(iii), tunjukkan bahawa titik-
titik B, M dan N adalah segaris. 3 m/s

4 m/s vB 80 m

θ
A

28. Dalam rajah di bawah, M dan N masing-masing Untuk menyeberangi sungai itu dari titik A ke
ialah titik tengah bagi OP dan OQ. Garis MQ titik B, Hamdan berenang dengan halaju 4  m/s
dan garis PN bertemu di R. K4 dalam arah yang membuat sudut q kepada
tebing sungai seperti yang ditunjukkan dalam
4~a + 2~b P rajah di atas. Diberi jarak BD ialah 60 m,
M R tentukan
(a) nilai q,
O N 5~a – b~ Q (b) halaju sebenar Hamdan vB,
(c) masa yang diambil oleh Hamdan untuk

menyeberangi sungai.

185

B08 SpotlightA+ Add Math F4.indd 185 22/01/2021 3:58 PM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 9  Penyelesaian Segi Tiga

5. Rajah di bawah menunjukkan kedudukan pokok 6. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kapal yang
rambutan (R), pokok durian (D), pokok mangga sedang belayar di lautan.
(M) dan pondok di dalam sebuah kebun.
17 m

R DM

13 m 9m 67° 32°

Pelabuhan 25 km Pelabuhan
A B

Pondok Jarak pelabuhan A dengan pelabuan B ialah
Diberi jarak pokok durian dan pokok mangga 25 km. Cari jarak di antara kapal tersebut dari
dari pondok adalah sama. Cari jarak di antara pelabuhan B. K3
pokok durian dengan pokok rambutan. K4

Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN

PEMERIKSA

Kertas 2 (c) Menggunakan petua sinus,
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi empat
sin ∠BAD = sin 53°
ABCD. 7.71 10

6 cm B sin ∠BAD = sin 53° × 7.71
C 53° 10
= 0.6157
7 cm ∠BAD = 38°

Maka, ∠ADB = 180° – 53° – 38°
= 89°

D 10 cm (d) Luas ∆ABD = 1 (10)(7.71) sin 89°
2
BAB A
9 Luas ∆BCD ialah 20 cm2 dan ∠BCD ialah sudut
= 38.54 cm2

tirus. Hitung K3 Luas ∆BCD = 1 (7)(6) sin 72.25°
(a) ∠BCD, 2
= 20 cm
(b) panjang BD,
(c) ∠ADB, Luas sisi empat ABCD
(d) luas, dalam cm2, sisi empat ABCD. = Luas ∆ABD + Luas ∆BCD
Jumlah luas = 38.54 + 20
Komen Pemeriksa: = 58.54 cm2
(a) Diberi ∆BCD = 20 cm2
1
2 (6)(7) sin ∠BCD = 20 2. Rajah di bawah menunjukkan dua buah segi
tiga, KMN dan KLM.
2
sin ∠BCD = 20 × 42 L

= 0.9524
∠BCD = 72.25°

(b) Dengan menggunakan petua kosinus, 7 cm M
BD2­ = CD2 + BC2 – 2(BC)(CD) kos ∠BCD 5.4 cm
= 62 + 72 – 2(6)(7) kos 72.25°
= 59.39

BD = ! 59.39 49° 47°
= 7.71 K N

216

B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 216 22/01/2021 5:28 PM

Bab 9  Penyelesaian Segi Tiga  Matematik Tambahan Tg 4

Diberi KM = 5.4 cm, KL = 7 cm, ∠MKN = 49° dan Komen Pemeriksa: 1
∠MNK = 47°. Jika luas ∆KMN adalah dua kali 2
ganda luas ∆KLM, hitung K3 (a) (i) Luas ∆BCD = (10.4)(16.9) sin 86°
(a) panjang KN,
(b) luas ∆KLM, = 87.67 cm2
(c) panjang LM. (ii) Dengan menggunakan petua kosinus,
BD­2 = DC2 + CB2 – 2(DC)(CB) kos ˙DCB
=10.42 + 16.92 – 2(10.4)(16.9) kos 86°
Komen Pemeriksa:
(a) ∠KMN = 180° – 49° – 47° = 369.25

= 84° BD = ! 369.25
= 19.22 cm
Dengan menggunakan petua sinus, (iii) Jarak terpendek dari titik C ke garis
KN 5.4
sin 84° = sin 47° BD mewakili tinggi segi tiga DCB

KN = 5.4 × sin 84° ∆BCD = 87.67 cm2
sin 47° 1
2 × 19.22 × BD = 87.67

= 7.34 cm BD = 87.67 × 2
19.22
(b) Luas ∆KMN = 1 (5.4)(7.34) sin 49° = 9.12 cm
2

= 14.96 cm2 (b) Menggunakan petua sinus,

Luas ∆KLM = 1 × Luas ∆KMN sin ∠ABD = sin 94°
2 15.1 19.22
sin 94°
= 1 × 14.96 sin ∠ABD = 19.22 × 15.1
2
= 7.48 cm2 = 0.7837
∠ABD = 51.6°
(c) Luas ∆KLM = 7.48 cm2

1 (5.4)(7) sin ∠KLM = 7.48 Oleh itu, ∠ ADB = 180° – 94° – 51.6°
2 = 34.4°
2
sin ∠KLM = 7.48 × 37.8 sin ∠BDC = sin 86°
16.9 19.22
= 0.3958 sin 86°
∠LKM = 23.32° sin ∠BDC = 19.22 × 16.9

Dengan menggunakan petua kosinus, = 0.8772 BAB
LM ­2 = KM2 + LK2 – 2(KM)(LK )kos ∠LKM ∠BDC = 61.3°
= 5.42 + 72 – 2(5.4)(7) kos 23.32° Maka, ∠ADC = 61.3° + 34.4° 9
= 8.736 = 95.7°
˙BDC + ˙ADB

LM = ! 8.736 4. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD
= 2.96 cm dengan keadaan ∠ACD ialah sudut cakah.
A
3. Rajah di bawah menunjukkan segi empat
terterap di dalam sebuah bulatan. K4

D 10.4 cm 12 cm 7 cm
C
35°C 80°
15.1 cm D 6 cm B
16.9 cm
94° Diberi AB = 7 cm, BC = 6 cm, AD = 12 cm,
A ˙ABC = 80° dan ˙ADC = 35°. K4
(a) Hitung
B
(i) AC, (ii) ˙ACD,
(a) Cari (iii) luas, dalam cm2, sisi empat ABCD.
(i) luas, dalam cm2, segi tiga BCD, (b) Satu titik E terletak di garis AD dengan
(ii) panjang BD, keadaan CD = CE dan ˙CED = ˙CDE,
(iii) jarak terpendek dari titik C ke BD. iaitu bentuk segi tiga ACE adalah berbeza
daripada segi tiga ACD.
(b) Hitung ∠ADC. (i) Lakarkan segi tiga ACE.
(ii) Cari ˙CEA.

217

B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 217 22/01/2021 5:28 PM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 9  Penyelesaian Segi Tiga

Komen Pemeriksa: Luas sisi empat ABCD
(a) (i) Dengan menggunakan petua kosinus, = Luas ∆ABC + Luas ∆ACD
= 20.68 + 17.3
AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC) kos ˙ABC = 37.98 cm2
= 72 + 62 – 2(7)(6) kos 80°
= 70.414 (b) (i) Tandakan E pada garis AD, iaitu
CD = CE. Kemudian, lakarkan segi
BD = ! 70.414 tiga ∆ACE.
= 8.39 cm
(ii) Menggunakan petua sinus, A
sin ∠ACD sin 35°
12 = 8.39

sin ∠ACD = sin 35° × 12
8.39
= 0.8204
∠ACD = 55.1° 12 cm E

Oleh sebab ∠ACD ialah sudut cakah, 8.4 cm

= 180° – 55.1°
= 124.9°
1
(iii) Luas ∆ABC = 2 (7)(6) sin 80° DC

= 20.68 cm2
Luas ∆ACD
1 (ii) ˙CEA = 180° – 35° ∆CDE ialah segi
= 2 (12)(8.39) sin (180° – 124.9° – 35°) = 145° tiga sama sisi.

= 17.3 cm2

Zon Sumatif

BAB

9 Kertas 2
SP1M. Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi S2PM. Rajah di bawah menunjukkan sisi empat
empat ABCD. kitaran ABCD.

K3 D K4
Klon
Klon

4 cm
11 cm
CB
8 cm

A 35° 9 cm 81°
77° D

7 cm C

B 10 cm

(a) Cari A
(i) panjang, dalam cm, bagi AC,
(ii) ∠ABC, (a) Hitung
(iii) luas, dalam cm2, bagi sisi empat (i) panjang AC,
ABCD. (ii) ∠ACD.

(b) (i) Lakarkan sebuah segi tiga ABC yang (b) Cari
mempunyai bentuk berbeza daripada (i) luas ∆ABC,
segi tiga ABC dengan keadaan AB = (ii) jarak terdekat, dari titik B ke AC.
AB, AC = AC dan ∠ABC = ∠ABC.

(ii) Seterusnya, nyatakan ∠ABC.

218

B09 SpotlightA+ Add Math F4.indd 218 22/01/2021 5:28 PM

Bab 10  Nombor Indeks  Matematik Tambahan Tg 4

Zon Sumatif

Kertas 2

1. Jadual  di bawah menunjukkan indeks harga Serbuk Gula
K3 bagi empat komponen, P, Q, R dan S, yang penaik 15% 22%

digunakan untuk menghasilkan sejenis perabot Susu Tepung
pada tahun  2014 berasaskan tahun  2010  serta 42%
pemberatnya.

Komponen Indeks harga Pemberat (a) Cari nilai x dan y.
P x 2 (b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat
Q 140 4
R 120 3 biskut tersebut pada tahun 2015 berasaskan
S 110 5 tahun 2010.
(c) Indeks gubahan bagi kos membuat biskut
(a) Hitung tersebut meningkat sebanyak 50% dari
(i) harga komponen R pada tahun 2014 jika tahun 2015 ke tahun 2019.
harganya pada tahun 2010 ialah RM42. Hitung
(ii) indeks harga komponen Q (i) indeks gubahan bagi kos membuat
pada tahun  2014  berasaskan
tahun 2006 jika indeks harganya pada biskut tersebut pada tahun 2019
tahun  2010  berasaskan tahun 2006 berasaskan tahun 2010.
ialah 165. (ii) harga sekotak biskut ini pada tahun
2019 jika harganya yang sepadan pada
(b) Indeks gubahan bagi kos penghasilan tahun 2010 ialah RM25.
perabot itu pada tahun  2014  berasaskan
tahun 2010 ialah 120. Cari 3. Jadual di bawah menunjukkan harga, indeks BAB
(i) nilai x, K5 harga dan peratusan perbelanjaan bagi empat
(ii) kadar kenaikan kos. 10
bahan, P, Q, R dan S, yang digunakan untuk
2. Jadual di bawah menunjukkan harga dan membuat sejenis minuman.
K4 indeks harga dalam membuat sejenis biskut.

Bahan Harga per kg Indeks harga Harga Indeks Peratus
(RM) pada tahun per kg (RM) harga pada perbelanjaan
Bahan tahun 2017
Tahun Tahun 2015 berasaskan Tahun Tahun berasaskan (%)
2010 2015 tahun 2010 2015 2017 tahun 2015

Susu 3.00 3.50 116.7 P 4.00 5.00 x 16

Tepung 2.50 2.80 y

Serbuk penaik x 2.90 112.5 Q 3.00 y 150 12

Gula 2.10 2.47 117.6 R 8.00 10.00 125 48

Carta pai berikut menunjukkan peratusan S z 3.00 120 24
penggunaan bahan dalam membuat biskut
tersebut.

233

B010 SpotlightA+ Add Math F4.indd 233 23/01/2021 9:44 AM

Tg 4 Matematik Tambahan   Bab 10  Nombor Indeks

(a) Cari nilai x, y dan z. 5. Carta palang di bawah menunjukkan
(b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat K4 perbelanjaan mingguan barangan P, Q, R, S

minuman itu pada tahun 2017 berasaskan dan T pada tahun 2015.
tahun 2015.
(c) Kos untuk membuat sekotak minuman itu Perbelanjaan mingguan (RM)
dalam tahun 2015 ialah RM50.00.
Hitung kos yang sepadan pada tahun 2017. 3.3
(d) Kos bagi semua bahan minuman itu 3.0
meningkat sebanyak 15% dari tahun 2017 2.4
ke tahun 2019. Cari indeks gubahan bagi
tahun 2019 berasaskan tahun 2015. 1.5

4. Jadual di bawah menunjukkan indeks harga, 1.2
K4 perubahan indeks harga dan pemberat bagi
0P Q R S T Barang
empat jenis barangan alat elektrik, A, B, C dan
D. Jadual di bawah menunjukkan harga bagi
barangan itu pada tahun 2015 dan 2019 dan
Alat Indeks Perubahan indeks harga masing-masing pada tahun 2019
elektrik harga pada indeks harga berasaskan tahun 2015.
tahun 2013 dari tahun
berasaskan Pemberat Harga Harga Indeks
tahun 2010 2013 ke pada pada harga pada
tahun 2014 Barang tahun tahun tahun 2019
2015 2019 berasaskan
A 120 Menyusut 5% 2 (RM) (RM)
2015

B 135 Tidak 1 P 4.80 6.00 125
berubah

C x Tidak 3 Q x 0.70 165
berubah R 2.00 2.70 y
S 3.00 z 120
D 125 Bertambah 4
15%

10BAB (a) Hitung T 2.00 3.50 175
(i) harga bahan alat elektrik A pada tahun
2010 jika harga bahan alat elektrik A (a) Cari nilai
pada tahun 2013 ialah RM3.60. (i) x,
(ii) harga bahan alat elektrik D pada (ii) y,
tahun 2013 jika harganya pada tahun (iii) z.
2010 ialah RM4.20.
(b) Indeks gubahan bagi harga alat elektrik (b) Hitung nombor indeks gubahan bagi harga
pada tahun 2013 berasaskan tahun 2010 barangan itu pada tahun 2019 berasaskan
ialah 126.5. Hitung nilai x. tahun 2015.
(c) Seterusnya, hitung indeks gubahan
bagi harga alat elektrik pada tahun 2014 (c) Jumlah perbelanjaan bulanan bagi
berasaskan tahun 2010. barangan itu pada tahun 2015 ialah RM420.
(d) Jumlah perbelanjaan alat elektrik tersebut Hitung jumlah perbelanjaan bulanan yang
pada tahun 2010 ialah RM500. Hitung sepadan pada tahun 2019.
jumlah perbelanjaan sepadan dalam tahun
2014. (d) Kos barangan itu meningkat 20% dari
tahun 2019 ke tahun 2020. Cari nombor
indeks gubahan tahun 2020 dengan tahun
2015 sebagai tahun asas.

234

B010 SpotlightA+ Add Math F4.indd 234 23/01/2021 9:44 AM

Tg 4 BAB Sukatan Membulat

1

SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka
Surat
1.1 Radian
• Membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah. 239
1.2 Panjang Lengkok
Suatu Bulatan • Menentukan 240
(i) panjang lengkok,
1.3 Luas Sektor Suatu (ii) jejari, dan 242
Bulatan (iii) sudut tercangkum di pusat bulatan. 242

1.4 Aplikasi Sukatan • Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan.
Membulat
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok.

• Menentukan 244
(i) luas sektor,
(ii) jejari, dan 245
(iii) sudut tercangkum di pusat bulatan. 246

• Menentukan luas tembereng suatu bulatan.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat. 248

Kata Kunci

• Sudut / Angle
• Darjah / Degree
• Panjang lengkok / Length of arc
• Jejari / Radius
• Luas sektor / Area of sector
• Bulatan / Circle
• Pusat bulatan / Centre of circle
• Sukatan membulat / Circular measure
• Garis tembereng / Chord
• Lilitan bulatan / Circumference of circle
• Radian / Radian
• Diameter / Diameter
• Sudut yang tercangkum di pusat bulatan / Angle subtended at the centre of circle

B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 237 237

22/01/2021 1:24 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 1 Sukatan Membulat

BAB Konsep

1

Sukatan Membulat

Penukaran ukuran sudut

× 180°
π

Radian      Darjah

× π
180°

Panjang lengkok suatu bulatan Luas sektor suatu bulatan

B s B
A j
j
θ O θL s
j
Oj A

s = qj, q dalam radian L= 1 qj2, q dalam radian
Petua sinus dan kosinus 2

boleh digunakan jika Rumus luas segi tiga
melibatkan segi tiga digunakan jika melibatkan

segi tiga

Aplikasi

238 22/01/2021 1:24 PM

B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 238

Bab 1 Sukatan Membulat  Matematik Tambahan Tg 5

1.1 Radian Contoh 1 BAB

Membuat perkaitan antara ukuran sudut Tukarkan sudut di dalam unit radian kepada 1
dalam radian dengan darjah darjah. [Guna π = 3.142]
(a) 1.15 radian
1. Dalam sukatan membulat, sudut boleh diukur 5π
dalam 2 unit, iaitu (b) 6 radian
(a) darjah (°) dan minit (ʹ).
(b) unit radian (dalam atau bukan dalam Penyelesaian:
sebutan π).
(a) π rad = 180° 180°
2. Radian melibatkan sudut yang berkaitan dengan π
jejari dan lilitan sebuah bulatan. Rajah di bawah 1.15 rad = 1.15 ×
menunjukkan sudut di dalam darjah dan minit
dan radian dalam sebuah bulatan dengan jejari = 1.15 × 180°
yang sama panjang. 3.142
= 65.89°
(b) π rad = 180°
5π 5π 180°
6 rad = 6 × π

= 5 × 180°
6
= 150°
57° 17' 1 rad
O O Kaedah Alternatif

Gantikan π =180° ke dalam ungkapan
5π 5(180°)
   6 = 6 = 150°
Dalam radian Dalam darjah dan minit
Cuba soalan 1 dalam Zon Formatif 1.1
1 rad = 57° 17ʹ
3. Satu radian adalah suatu ukuran bagi sudut yang Contoh 2

tercangkum pada pusat sebuah bulatan dengan Tukarkan
keadaan panjang lengkok adalah sama dengan (a) 30° kepada unit radian, dalam sebutan π.
panjang jejari bulatan. (b) 200° kepada unit radian.
[Guna π = 3.142]
jj
1 radian Penyelesaian:
Oj
(a) 180° = π rad

30° = 30° × π
180°
4. Sudut yang tercangkum pada pusat bulatan, π
˙AOB ialah 1 radian jika panjang lengkok AB = 6 rad
adalah sama dengan panjang jejari bulatan.
AB = OA = OB = j (b) 180° = π rad

5. Hubungan antara ukuran sudut di dalam bulatan 200° = 200° × π
dengan darjah ialah 180°
π rad = 180° 3.142
200° = 200° × 180°

= 3.49 rad

Cuba soalan 2 dan 3 dalam Zon Formatif 1.1

6. Penukaran unit suatu sudut di dalam darjah kepada Kalkulator
radian dan sebaliknya adalah seperti berikut:
Semak jawapan dalam Contoh 2(b) menggunakan
× 180° kalkulator,
π
1. Tekan 2 0 0 × SHIFT EXP ÷ 1 8 0
Radian      Darjah =

× π 2. Skrin akan memaparkan 3.490658504
180°

1.1.1 239

B01 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 239 22/01/2021 1:24 PM

Bab 2 Pembezaan  Matematik Tambahan Tg 5

y —ddyx = 0 Titik 6. Kaedah yang digunakan dalam menentukan
—ddyx > 0 maksimum sama ada titik pusingan adalah titik minimum
atau titik maksimum ialah
—ddyx < 0 (a) kaedah lakaran tangen, BAB
(b) kaedah pembezaan peringkat kedua.
2
TIP Bestari
y = f(x)
• Kaedah lakaran tangen digunakan untuk
0 x1 – ␦x x1 x1 + ␦x x menentukan sifat suatu titik pegun.

Nilai x x – dx x x + dx • Kaedah pembezaan peringkat kedua digunakan
(–) untuk menentukan sifat suatu titik pusingan.

Tanda dy (+) 0 A Kaedah lakaran tangen
dx

Lakaran Contoh 33
tangen
Diberi lengkung y = 5x 3 + 2x 2 – 3x.
B Titik minimum (a) Cari koordinat titik pusingan bagi lengkuk itu.
Suatu titik pegun adalah minimum apabila kecerunan (b) Seterusnya, tentukan sama ada titik
lengkung berubah daripada negatif kepada sifar dan
kemudian kepada positif. persilangan itu ialah titik maksimum atau titik
minimum.
y
Penyelesaian:
y = f(x)
(a) y = 5x 3 + 2x 2 – 3x
d y
dx = 15x 2 + 4x – 3
= (5x + 3)(3x – 1)
d y
—ddyx < 0 —ddyx > 0 Titik pusingan, dx = 0,

(5x + 3)(3x – 1) = 0 1
x = – 35 3
Titik —ddxy = 0 dan x =
minimum + ␦x x
( ) ( ) ( ) Apabila x = – 35 , y = 5 – 35 3 + 2 – 53 2 – 3 – 35
0 x2 – ␦x x2 x2

Nilai x x – dx x x + dx = 36
25
dy ( ) ( ) ( ) Apabila 1 1 1 1
Tanda dx (–) 0 (+) x = 3 , y =5 3 3 +2 3 2– 3 3

Lakaran = – 2167
tangen ( ) ( ) – 35 , 36
Maka, titik pusingan ialah 25 dan
1 – 2167
C Titik lengkok balas 3 , .
(a) Titik pegun merupakan titik yang tidak berubah
( )(b) Pada titik – 53 , 36
tanda. 25
(b) Titik ini tidak termasuk di dalam titik
x – 45 – 35 – 25
pusingan.
17 0 – 151
Kecerunan Nilai d y 5
positif dx

Kecerunan Tanda d y + 0 –
positif dx
Kecerunan sifar

Kecerunan Kecerunan sifar Lakaran
tangen

negatif Kecerunan Lakaran
graf
negatif

2.4.4 275

B02 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 275 22/01/2021 5:46 PM

Bab 3 Pengamiran  Matematik Tambahan Tg 5

3.1 Pengamiran sebagai Contoh 1
Songsangan Pembezaan
(a) Jika f(x) = 9x 2 + 5x dan f(x) = 18x + 5, cari

∫ ∫(b) Diberi
Perkaitan antara pembezaan dengan (18x + 5) dx. dy
pengamiran dx
y = 4x(1 – x)3 dan = g(x), cari g(x) dx.

( ) ∫(c) Diberidy5 h(x) dx.
1. Diberi y = x3 + 7, maka dy = 3x 2. dx 3–x = h(x), cari BAB
dx
dy Penyelesaian: 3
Sebaliknya, jika diberi dx = 3x 2, maka y = x 3 + 7 (a) Diberi f(x) = 9x 2 + 5x
boleh diperolehi. f (x) = 18x + 5

2. Proses songsangan bagi pembezaan ini ∫ Seterusnya, 18x + 5 dx = f(x)
dinamakan sebagai pengamiran.
∫ 18x + 5 dx = 9x 2 + 5x
∫ 3. Jika ddx[f(x) = f (x), maka kamiran bagi f (x)
terhadap x ialah f (x) dx = f(x). ∫ Maka, (18x + 5) dx ialah 9x 2 + 5x.
(b) Diberi y = 4x(1 – x)3
dy
ddx[f(x)] = f (x) dx = g(x)

Pembezaan ∫ Seterusnya, g(x) dx = y

∫ g(x) dx = 4x(1 – x)3

∫Pengamiran f (x) dx = f(x) ∫ Maka, g(x) dx ialah 4x(1 – x)3.

( )(c) Diberid 5 = h(x)
dx 3–x

Perbezaan antara pembezaan ∫ Seterusnya, h(x) dx = y 5
dengan pengamiran –
bit.ly/2K4y3b0  ∫ h(x) dx = 3 x

∫ Maka, h(x) dx ialah 3 5 x.
–

Cuba soalan 1 hingga 5 dalam Zon Formatif 3.1

Zon Formatif 3.1

∫ 1. Jikaf(x)=7–3x4danf(x)=–12x3,cari –12x3dx. K1 ∫ 3. Diberid(x 2 – 5x + c) = 2x – 5, cari (2x – 5) dx.
K1dx

2. Diberi dy = 2x – 2 ( )dan y = x+ 1 2, cari ( ) ∫ 4. Diberid4 K2
dx x 3 x dx   x 2 + 5x = g(x), cari g(x) dx.
∫ ( )2x 2
– x 3 dx. K1 dy
dx
∫ 5. Diberi h(x) dx. K2
y = f(x) dan = 3h(x), cari

3.2 Kamiran Tak Tentu ∫(c) axn dx = axn + 1 + c dengan keadaan
n+1
Menerbitkan dan menentukan kamiran tak n ≠ 1 dan c ialah pemalar.
tentu bagi fungsi algebra
2. Berikut merupakan langkah-langkah dalam
1. Rumus-rumus pengamiran: mencari kamiran suatu fungsi:
Langkah 1: Kekalkan pemalar a.
∫(a) a dx = ax + c dengan keadaan a dan c Langkah 2: Tambahkan indeks bagi x, iaitu n
ialah pemalar. dengan 1, menjadi n + 1.
Langkah 3: Bahagikan sebutan dengan indeks
∫(b) xn dx = xn + 1 + c dengan keadaan n ≠ 1 baharu.
n+1 Langkah 4: Pemalar c yang nilainya akan
dan c ialah pemalar. ditentukan kemudian.
289
3.1.1 3.2.1 3.2.2

B03 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 289 22/01/2021 4:22 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 3 Pengamiran

(b) Dikisarkan pada paksi-y yy
D
y y y = f(x)
y = f(x) b

a R y = f(x)
E

Ox     x O x O x

BAB       n
(b) Bahagikan bongkah tersebut kepada
3 2. Isi padu janaan yang terbentuk daripada satu silinder mengufuk dengan lebar dy.
kisaran pada paksi-x adalah seperti berikut: (c) Isi padu setiap silinder, dtiIni ggi
(a) Putarkan 360° suatu luas rantau sepenuhnya = Luas tapak silinder ×
melalui paksi-x sehingga membentuk satu silinder
= πx 2 × dy
bongkah. = πx 2dy

yy (d) Jumlah isi padu n silinder
= I1 + I2 + I3 + …In
y = f(x)
≈ i ∑=n 1dIi
x  D EO x

  ≈ ∑n πx 2dy
i=1
(b) Bahagikan bongkah tersebut kepada n
silinder mencancang dengan lebar dx. ␦y
Jejari
Jejari y silinder
silinder

␦x
x

(e) Apabila bilangan silinder cukup besar,n ˜ ∞,
maka dy ˜ 0. Oleh itu, isi padu bongkah
(c) Isi padu setiap silinder, dtiIni ggi janaan diberi oleh:
= Luas tapak silinder ×
= πy 2 × dx silinder ∫had ∑n πx 2dy = b πx 2dy a

dx ˜ 0 i = 1

= πy 2dx
(d) Jumlah isi padu n silinder
= I1 + I2 + I3 + …In Menentukan isi padu janaan bagi suatu
rantau yang dikisarkan pada paksi-x atau
≈ i ∑=n 1dIi paksi-y

≈ ∑n πy 2dx A Isi padu janaan, I melalui paksi-x
i=1
y
(e) Apabila bilangan silinder cukup besar, n ˜ ∞, y = f(x)
maka dx ˜ 0. Oleh itu, isi padu bongkah
janaan diberi oleh:

∫had ∑n πy 2dx = b πy 2dx D EO x

dx ˜ 0 i = 1 a

3. Isi padu janaan yang terbentuk daripada satu Isi padu janaan apabila suatu kawasan berlorek
kisaran pada paksi-y adalah seperti berikut: diputarkan melalui 360° pada paksi-x diberi oleh:
(a) Putarkan 360° suatu luas rantau sepenuhnya
melalui paksi-y sehingga membentuk satu ∫I = π b y 2 dx
bongkah. a

298 3.3.4 3.3.5

B03 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 298 22/01/2021 4:22 PM

Bab 5 Taburan Kebarangkalian  Matematik Tambahan Tg 5

Luas di bawah graf 9. Dalam hal ini, variasi rawak menjadi semakin
kecil dengan pertambahan bilangan kali
f (x) ekpserimen.
Contohnya,
P(a < x < b) Apabila sebiji dadu dilambung sebanyak 1, 2, 4 BAB
x atau 10 kali, kebarangkalian untuk mendapat
nombor 1 akan lari daripada jangkaan 50%. Ini 5
ab adalah kerana bilangannya yang sedikit.
Sebaliknya, jika dadu itu dilambung sebanyak
7. Kedudukan dan kelebaran graf bergantung 1  000 atau 10 000 000 kali, maka kebarangkalian
kepada nilai min, m dan sisihan piawai, s. akan semakin menghampiri 50%, kerana saiz
(a) Apabila m1 , m2. sampel yang cukup besar.

μ1 = 0, σ = 1 μ2 = 3, σ = 1 Situasi di atas dikenali sebagai Hukum Bilangan
Besar.
–1 0 1 2 3 4 10. Hukum Bilangan Besar menyatakan jika suatu
uji kaji dengan bilangan sampel cukup besar
• Bentuk graf tidak berubah. dijalankan, nilai min percubaan menghampiri
• Paksi simetri pada min, m bergerak nilai min teori.

mengikut nilai m jika sisihan piawai, s Menerangkan maksud taburan normal
adalah pemalar. piawai
• Semakin besar nilai min, semakin ke
kanan kedudukan graf. 1. Taburan normal piawai ialah satu taburan
(b) Apabila s1 , s2. normal dengan nilai min adalah 0 dan sisihan
piawai adalah 1.

f(x)

L1 = µ = 0, s 2 = 0.2

µ = –2, s 2 = 0.5

μ = 0, σ1 = 1 µ = 0, s 2 = 1.0
µ = 0, s 2 = 5.0
μ = 0, σ2 = 2
x
–6 –4 –2 0 2 4 6
Berdasarkan rajah di atas, Lm1 inadaadlaahlahta0budraann
• Sisihan piawai mempengaruhi normal piawai kerana nilai
ketinggian dan kelebaran graf tetapi sisihan piawai adalah 1.
kedudukan graf tidak berubah.
2. Taburan normal piawai menjadi satu lengkung
• Semakin besar nilai sisihan piawai, s, piawai untuk tujuan perbandingan ke atas semua
semakin besar serakan taburan normal pemboleh ubah yang bertaburan secara normal
daripada nilai min, m. dengan menukarkan semua skornya kepada
skala yang sama.
• Jika min, m adalah pemalar, ketinggian
graf bertambah apabila nilai sisihan 3. Rajah di bawah menunjukkan graf taburan
normal dan taburan normal piawai.
piawai, s berkurang
8. Apabila satu eksperimen yang sama diulang, Luas adalah
sama
keputusan puratanya akan menumpu kepada
keputusan yang dijangka. a μb X za = a–σ–––μ– 0 zb = b–σ–––μ– z

Taburan normal Taburan normal piawai

5.3.1 5.3.2 337

B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 337 22/01/2021 4:08 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 5 Taburan Kebarangkalian

4. Suatu pemboleh ubah rawak normal, X boleh Contoh 21
ditukarkan kepada pemboleh ubah rawak
normal piawai, Z dengan menggunakan Diberi jisim epal dan oren bertaburan secara
normal. Min dan sisihan piawai bagi buah epal
Z= X–m ialah 100 g dan 15 g2 manakala min dan sisihan
s piawai bagi buah oren ialah 140 g dan 25 g2.
dengan keadaan Z ~ N(0, 1) (a) Cari skor-z jika jisim epal yang dipilih secara

5. Rajah di bawah menunjukkan peratusan taburan rawak adalah 110 g.
data yang wujud dalam setiap lingkungan sisihan (b) Jika skor piawai oren ialah –0.16, tentukan
piawai.
jisim oren.

Penyelesaian:

(a) Z = 110 – 100
15
= 0.667
Skor-z epal adalah positif, iaitu 0.667. Ini
BAB 68.3% menunjukkan epal itu mempunyai jisim yang
daripada data melebihi jisim purata semua epal.
5
95.5%
daripada data (b) X–m = –1.6
s
99.7%
daripada data X – 140 = –1.6
25
X – 140 = –40
–3SD –2SD –1SD Min +1SD +2SD +3SD X = 100

6. Berdasarkan rajah di atas, didapati bahawa Cuba soalan 3 dalam Zon Formatif 5.3
(a) 68.3% daripada data berada dalam
lingkungan sisihan piawai ±1 daripada min. Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa
(b) 95.5% daripada data berada dalam bagi taburan normal
lingkungan sisihan piawai ±2 daripada min.
(c) 99.7% daripada data berada dalam 1. Selain daripada menggunakan kalkulator
lingkungan sisihan piawai ±3 daripada min. saintifik atau pengiraan, kebarangkalian bagi
skor-z untuk taburan normal piawai juga boleh
Menentukan dan mentafsir skor piawai, Z ditentukan dengan sifir taburan normal piawai.

1. Sebarang titik X dari taburan normal boleh 2. Sifir taburan normal piawai menggunakan
dipiawaikan melalui rumus: konsep bahawa kebarangkalian suatu taburan
normal diberi oleh luas di bawah graf dengan
Z= X–m jumlah luas di bawah graf ialah 1 unit2.
s
3. Jika Z adalah taburan normal dengan min
Ini menghasilkan taburan piawai di mana X adalah 0 dan varians adalah 1, maka setiap nilai z
adalah pemboleh ubah rawak normal dengan, m memberi kebarangkalian taburan normal piawai.
ialah min, dan s ialah sisihan piawai.
2. Proses penukaran ini dikenali sebagai f(z)
mempiawaikan taburan.

Contoh 20

Cari skor-z jika nilai X = 1 dan X ~ N(12, 3).

Penyelesaian: z

Z = X–m O 1.45
s
1 – 12
= 3 4. Graf taburan normal adalah bersimetri, maka
P(Z > 0) = 0.5. Ini menunjukkan sifir ini hanya
= –3.367 memberikan luas di bawah graf ke kanan, iaitu
bermula dari 0.5 untuk P(Z . 0).
Cuba soalan 1 dan 2 dalam Zon Formatif 5.3

338 5.3.2 5.3.3 5.3.4

B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 338 22/01/2021 4:08 PM

Bab 5 Taburan Kebarangkalian  Matematik Tambahan Tg 5

5. Jadual di bawah menunjukkan sifir taburan normal piawai.
Kebarangkalian Hujung Atas Q(z) bagi Taburan Normal N(0, 1)

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 123456789

Tolak

0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 4 8 12 16 20 24 28 32 36

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 4 8 12 16 20 24 28 32 36
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 4 8 12 15 19 23 27 31 35

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.557 0.3520 0.3483 4 7 11 15 19 22 26 30 34

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 4 7 11 15 18 22 25 29 32

0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 3 7 10 14 17 20 24 27 31

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.02546 0.2514 0.2483 0.2451 3 7 10 13 16 19 23 26 29

0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 3 6 9 12 15 18 21 24 27 BAB
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 3 5 8 11 14 16 19 22 25
5
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1634 0.1611 3 5 8 10 13 15 18 20 23

1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2 5 7 9 12 14 16 19 21

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2 4 6 8 10 12 14 16 18

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2 4 6 7 9 11 13 15 17

1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 2 3 5 6 8 10 11 13 14

1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1 3 4 6 7 8 10 11 13

1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1 2 4 5 6 7 8 10 11

1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1 2 3 4 4 5 6 7 8

1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1 1 2 3 4 4 5 6 6

1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1 1 2 2 3 4 4 5 5

2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0 1 1 2 2 3 3 4 4

2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0 1 1 2 2 2 3 3 4

2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0 1 1 1 2 2 2 3 3

2.3 0.0107 0.0104 0.0102 011112222

0.0099 0.00964 0.0093 0.00991 3 5 8 10 13 15 18 20 23
0 94

0.0088 0.0088 0.0084 2 5 7 9 12 14 16 16 21
9 66 2

2.4 0.0082 0.0079 0.0077 0.0075 0.0073 2 4 6 8 11 13 15 17 19
0865 4

0.0017 0.00695 0.006 0.0065 0.0063 2 4 6 7 9 11 13 5 17

4 76 7 9

2.5 0.0062 0.0060 0.0058 0.0057 0.0055 0.0053 0.00523 0.0050 0.0049 0.0048 2 3 5 5 8 9 11 12 14

1470 4 9 840

2.6 0.0046 0.0045 0.0040 0.0042 0.0041 0.0040 0.00391 0.0037 0.0036 0.0035 1 2 3 4 6 7 9 9 10

63 752 987

2.7 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0013 0.0029 0.00289 0.0028 0.0272 0.0026 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 6 6 7 07 8 0 4

2.8 0.0025 0.0024 0.0024 0.0023 0.0022 0.0021 0.00212 0.0020 0.0019 0.0019 1 1 2 3 4 4 5 6 6

6803 6 9 593

2.9 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.00154 0.0014 0.0014 0.0013 0 1 1 2 2 3 3 4 4

7159 4 9 949

3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.00111 0.0010 0.0010 0.0010 0 1 1 2 2 2 3 3 4

5162 8 4 740

Kebarangkalian menggunakan
Sifir Taburan Normal Piawai
bit.ly/2X8SFlz 

5.3.4 339

B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 339 22/01/2021 4:08 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 5 Taburan Kebarangkalian

6. Jika diberi kebarangkalian adalah lebih daripada Contoh 22
skor-z dan
(a) nilai a adalah positif, P(Z . a). Diberi Z ialah pemboleh ubah rawak selanjar yang
bertaburan secara normal piawai. Cari
f (z)
(a) P(Z . 0.254) (b) P(Z > 1.056)

(c) P(Z , –1.386) (d) P(Z . –2.337)

(e) P(Z , 2.337) (f) P(0 , Z , 1.242)

Oa z (g) P(–2.46 , Z , 1.281)

(h) P(–2.149 , Z , –0.214)

(b) nilai a adalah negatif, P(Z . –a). (i) P(1.331 , Z , 2.147)

f (z) (j) P(| Z | . 1.471)

Penyelesaian:

BAB (a)

5 –a O z f (z)

P(Z . –a) = 1 – P(Z , –a) z
= 1 – P(Z . a)

7. Jika diberi kebarangkalian adalah kurang 0 0.254
daripada skor-z dan
(a) nilai a adalah negatif, P(Z , –a) Daripada sifir taburan normal piawai,

f(z) f(z) z 54
Tolak

0.2 0.4013 15

–a O z Oa z

P(Z , –a) = P(Z . a) P(Z . 0.25) = 0.4013

(b) nilai a adalah positif, P(Z , a) P(Z . 0.254) = 0.4013 – 0.0015
= 0.3998

f (z) Maka, P(Z . 0.254) = 0.3998.

Oa z Kalkulator

P(Z , a) = 1 – P(Z . a) 1. Tekan MODE MODE dan pilih 1 iaitu SD.
1[P() mewakili P(z , a) / P(z , –a)
8. Apabila diberi kebarangkalian adalah di antara 2[Q() mewakili P(0 , z , a)
skor-z, iaitu a dan b 3[R() mewakili P(z . a)

f (z) 2. Tekan SHIFT 3 dan pilih 3 mewakili P(z > a)
3. Masukkan 0.254 dan skrin akan memaparkan
0.3995

(b) f(z)

Oa b z

P(a , Z , b) = P(Z . a) – P(Z . b)

0 1.056 z
P(Z > 1.056) = 1.455

340 5.3.4

B05 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 340 22/01/2021 4:08 PM

Tg 4 BAB Fungsi Trigonometri

6

SKOP Bestari Standard Pembelajaran yang Penting Muka
• Mewakilkan sudut positif dan sudut negatif dalam satah Cartes. Surat
6.1 Sudut Positif dan 353
Sudut Negatif
• Membuat perkaitan antara sekan, kosekan dan kotangen bagi 355
6.2 Nisbah sebarang sudut dalam satah Cartes. 356
Trigonometri bagi
Sebarang Sudut • Menentukan nilai nisbah trigonotri bagi sebarang sudut. 360

6.3 Graf Fungsi Sinus, • Melukis dan melakar graf fungsi trigonometri: 364
Kosinus dan (i) y = a sin bx + c
Tangen (ii) y = a kos bx + c 366
(iii) y = a tan bx + c 367
6.4 Identiti Asas dengan a, b dan c ialah pemalar dan b . 0. 367
369
6.5 Rumus Sudut • Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf. 371
Majmuk dan 373
Rumus Sudut • Menerbitkan identiti asas: 375
Berganda (i) sin2 A + kos2 A = 1
(ii) 1 + tan2 A = sek2 A
6.6 Aplikasi Fungsi (iii) 1 + kot2 A = kosek2 A
Trigonometri
• Membuktikan identiti trigonometri menggunakan identiti asas.

• Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus
sudut majmuk bagi sin (A ± B), kos (A ± B) dan tan (A ± B).

• Menerbitkan rumus sudut berganda bagi sin 2A, kos 2A dan tan 2A.

• Membuktikan identiti trigonometri dengan menggunakan rumus
sudut berganda.

• Menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri.

Kata Kunci • Sudut pelengkap / Complementary angle
• Identiti asas / Basic identities
• Darjah / Degree • Rumus sudut majmuk / Addition formulae
• Radian / Radian • Rumus sudut berganda / Double angle formulae
• Nisbah trigonometri / Trigonometric ratio • Rumus sudut separuh / Half angle formula
• Sukuan / Quadrant
• Sudut rujukan / Reference angle 351

B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 351 22/01/2021 4:14 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 6 Fungsi Trigonometri

Konsep

Fungsi Trigonometri

Sudut Positif Sudut Negatif Identiti Asas
• sin2 A + kos2 A = 1
y y • 1 + tan2 A = sek2 A
Sudut • 1 + kot2 A = kosek2 A
positif

θx θx
Sudut
negatif Rumus sudut majmuk
• sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B
6 ( ) ( )BAB 180° π ° • kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B
x° = x × π rad, q rad = q× 180 tan A  tan B
1  tan A tan B
• tan (A  B) =

Nisbah trigonometri Graf Fungsi
1 • Sinus, y = sin x
• sin A = kosek A Rumus sudut berganda
• sin 2A = 2 sin A kos B
• kosek A = 1 • kos 2A = kos2 A – sin2 A
sin A 1 = 2 kos2 A – 1

• kot A = 1 A –2π –3 2–π –π – ––2π1 0 –2π π 3 –2π 2π = 1 – 2 sin2 A
tan
• tan 2A = 2 tan A
sin kos 1 – tan2 A

tan 1 kot • Kosinus, y = kos x Rumus sudut separuh

1 !• sin q =±  1 – kos q
2 2
sek kosek
–2π –3 2–π –π – 2–π 0 –2π π 3 2–π 2π !• kos q  1 + kos q
–1 2 =± 2

Rumus sudut pelengkap • Tangen, y = tan x • tan q = sin q = 1 – kos q
• sin q = kos (90° – q) 2 1 + kos q sin q
• kos q = sin (90° – q)
• tan q = kot (90° – q) 1
• kot q = tan (90° – q)
• sek q = kosek (90° – q) –2π –3 2–π –π – –2π 0 2–π π 3 2–π 2π • a = amplitud
• kosek q = sek (90° – q) –1 • b = bilangan kitaran dalam julat
0 < x < 2π untuk graf sin
atau graf kos dan 0 < x < π
untuk graf tan.
( )• c = translasi 0
Kaedah mencari nilai nisbah trigonometri c dari graf asal.
• Menggunakan kalkulator
• Menggunakan bulatan unit • Kala: (i) 2π bagi graf sin dan
• Menggunakan nisbah trigonometri sudut b
graf kos.
rujukan yang sepadan
• Menggunakan segi tiga bersudut tegak (ii) π bagi graf tan.
b

352

B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 352 22/01/2021 4:14 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 6 Fungsi Trigonometri

Zon Formatif 6.2

1. Diberi sin 27° = 0.454 dan kos 39.5° = 0.772 5. Diberi bahawa sin 178 π = 0.940 dan
dan tan 79° 5’ = 5.185. K2 tan 178 π = 2.747. Cari K2
(a) Cari nilai berikut betul kepada tiga tempat
perpuluhan.
(i) sek 63° (ii) kosek 50.5° (a) kos 178 π (b) kosek 178 π
(b) Tentukan sudut tirus q dengan keadaan
kot q = 5.185. (c) sek 2198 π (d) kot 1285 π

2. (a) Menggunakan kalkulator, cari nilai K2 6. Rajah di bawah menunjukkan sudut q dengan
(i) tan (–560°) (ii) sek 227° keadaan kos q = 1 – k.

(b) Menggunakan kalkulator, cari nilai K2 y
(ii) kot – 78 π
(i) kos 3.4 rad

3. Berdasarkan bulatan unit di bawah, nyatakan x
nilai-nilai berikut. K3 θ

BAB y Cari nilai K2
6 (– –�–23 , 2–1) (a) kosek q
(12– ,�3–2 ) (b) kot q

–56–π –3π 7. Cari semua sudut x, dengan keadaan
0° < x < 360° yang mempunyai

Ox (a) sinus – !2 3 (b) tangen 1
! 3

(c) kosek 2 (d) sekan –! 2

(a) kos π (b) kosek 5π 8. Diberi tan q= – 43 dengan keadaan π <q< 2π.
3 6 Cari nilai K2
( )(c) kosek – 3π 5π
(d) kot 6 (a) sek q (b) kosek q

4. Diberi bahawa kos 77° = 0.2250 dan 9. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi
tan 77° = 4.331. K2 setiap yang berikut. K2
(a) sek (–225°) (b) kot 600°
(a) kos 103° (b) kot 283° (c) kosek 145 π
(c) sek 257° (d) sek (–77°)

6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Dalam graf di sebelah,
Tangen (a) nilai maksimum ialah nilai tertinggi pada

Graf bagi fungsi trigonometri graf manakala nilai minimum ialah nilai
terendah pada graf.
1. Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi (b) pintasan-x ialah nilai x apabila y = f(x) =  0
trigonometri untuk y = sin x dalam selang manakala pintasan-y ialah nilai y apabila
–2π < x < 2π. x = 0.
(c) amplitud, a adalah separuh daripada jarak
y mencancang antara nilai maksimum dengan
nilai minimum graf.
1 (d) kala iaitu panjang mengufuk yang sepadan
Amplitud dengan suatu kitaran graf sinus, iaitu 360°
atau 2π rad.
–2π –3 –2π –π – 2–π 0 2–π π 3 2–π 2π x

Kala Amplitud
–1

360 6.3.1

B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 360 22/01/2021 4:14 PM

Bab 6 Fungsi Trigonometri  Matematik Tambahan Tg 5

2. Berikut adalah ciri-ciri untuk • Graf tangen tidak mempunyai nilai
A Graf bagi fungsi trigonometri y = sin x maksimum dan nilai minimum.
• Pintasan-x ialah 0 rad (0°), π rad (180°) dan
y 2π rad (360°).
• Pintasan-y = 0.
1 y = sin x

• Kala bagi graf tangen ialah π rad (180°).
π
O 2–π π –32–π 2π x • Graf tangen mempunyai asimptot di 2 rad
–1 3π
(90°) dan 2 rad (270°).

• xN=ilaπi2mraadks(i9m0u°)m. graf sinus ialah 1 apabila 3. Dalam graf bagi fungsi trigonometri
• Nilai minimum graf sinus ialah –1 apabila y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan
y = a tan bx + c, perubahan nilai-nilai a, b dan c
memberi perubahan kepada amplitud, kala dan
kedudukan graf.

x = 3π rad (270°). Perubahan Kesan
2
• Pintasan-x ialah 0°, π (180°) dan 2π (360°). • Graf y = a sin x dan y = a kos x BAB
• Pintasan-y = 0. – Nilai maksimum dan nilai
• Kala bagi graf sinus ialah 2π rad (360°). minimum akan berubah. 6

• Amplitud = 1 Nilai a • Graf y = a tan x
– Graf ini tidak mempunyai nilai
B Graf bagi fungsi trigonometri y = kos x maksimum dan nilai minimum.

y • Graf y = sin bx dan y = kos bx

1 y = kos x – Bilangan kitaran dalam 0 < x  2π
ialah b.
– Pintasan-x akan berubah.
360° 2π
O –2π π –32–π 2π x – Kala = b atau b .
–1
• Graf y = tan bx
– Bilangan kitaran dalam 0 < x  π
Nilai b ialah b.
Nilai c – Graf menghampiri garis-garis
• Nilai maksimum graf kosinus ialah 1 menegak (asimptot) di x = π dan
apabila x = 0 dan x = 2π rad (360°). 3
• Nilai minimum graf kosinus ialah –1 x = 2 π.

apabila x = π rad (180°). 3π – Pintasan-y tidak berubah
π 2 – Pintasan-x akan berubah
• Pintasan-x ialah 2 rad (90°) dan rad 180° π
(270°). – Kala = b atau b

• Pintasan-y = 1. • Kedudukan graf bergerak ke atas
• Kala bagi graf kosinus ialah 2π rad (360°).
• Amplitud = 1 ( )apabila c . 0, iaitu translasi 0
c .

C Graf bagi fungsi trigonometri y = tan x • Kedudukan graf bergerak ke bawah
( )apabila c , 0, iaitu translasi 0
y –c .

1 y = tan x • Pintasan-y berubah

O 2–π π –32–π 2π x Kesan perubahan a, b dan c
untuk graf fungsi trigonometri
bit.ly/3LNDtEn 

6.3.1 361

Bab 6 Fungsi Trigonometri  Matematik Tambahan Tg 5

Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN

PEMERIKSA

Kertas 1 K3 Kitaran lengkap bagi graf fungsi kosinus,
1. Rajah di bawah menunjukkan graf m = 2π × 2
= 4π
y = –|a sin bb | untuk 0 < b < π. ( ) Translasi graf dari kedudukan graf asas

y

O –3π –23–π π β adalah 0 . Oleh itu, c = 2.
–1 2

3. (a) Buktikan bahawa kot A = 1 sin A A .
2 – kos
(b) Seterusnya tanpa menggunakan kalkulator,
–2 cari nilai tan 22.5o. Ungkapkan jawapan
y = – | 9 sin bβ | anda dalam m – ! n , dengan keadaan m

dan n ialah pemalar. K3

(a) Nyatakan nilai a dan nilai b. Komen pemeriksa: BAB
(b) Apakah kala bagi graf y = a sin bb? (a) Sebelah kanan:
6
Komen pemeriksa: sin A
(a) Berdasarkan graf asas sinus 1 – kos A
A A
Amplitud, a = 2 – (–2) =2 2 sin 2 kos 2
2 ( ) =
Bilangan kitaran sehingga π = 3 . A Rumus sudut
2 1– 1 – 2 sin2 2 berganda

( b) Bilangan kitaran sehingga 2π, b = 3. 2 sin A kos A
Didapati graf y = 2 sin 3b. 2 2
2π = kot q = kos q
Kala = b 2 sin2 A sin q
2
2π
= 3 = kot A (Sebelah kiri)
2
(b) Guna Identiti Sudut Berganda
2. (a) Diberi tan q = h, nyatakan nilai bagi
kot (2π – q) dalam sebutan h. K3 tan A = 1 – kos A
2 sin A
(b) Rajah menunjukkan sebahagian daripada 1 – kos 45°
graf y = 3 kos nx + c. tan 22.5° = sin 45°
y
1– ! 2
3 = 2 sin 45° = kos 45°

2 ! 2 = ! 2
2
2
1
2 – ! 2 2
O 2π m x = 2 × ! 2

Nyatakan nilai n, m dan c. K3 = 2 – ! 2 Permudahkan
! 2

Komen pemeriksa: = ! 2 – 1
tan 2π – tan q
(a) tan (2π – q) = 1 + tan 2π tan q

= 1 – h Kertas 2
1
1 4. (a) Lakarkan graf y = 3 sin A + 1 untuk 0 < A < 2π.
Maka, kot (2π – q) = – (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang
sama, lakar satu garis lurus yang sesuai
1 h untuk mencari bilangan penyelesaian bagi
(b) Daripada graf, perhatikan bahawa
1 ( )persamaan A A
bilangan kitaran sehingga 2π ialah 2 , K4 kot 2 (1 – kos A) = 3π – 3.

b=n= 1
2

377

B06 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 377 22/01/2021 4:15 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 7 Pengaturcaraan Linear

Penyelesaian: (b) Katakan k = 8, maka x + 2y = 8
(a) y Gantikan (2, 6), iaitu titik maksimum ke dalam

10 k = x + 2y
y < 3x k = 2 + 2(6) = 14
Maka, nilai maksimum bagi k ialah 14.
8 Cuba soalan 8 dalam Zon Formatif 7.1

6 TIP Bestari

4 Nilai k boleh ditentukan dengan mengambil k
3x + 2y < 18 sebagai gandaan sepunya bagi pekali a dan b.

2

0 2468 x

x + 2y = 8 Nilai optimum dalam
pengaturcaraan linear
bit.ly/3hL9TPq 

Zon Formatif 7.1

7BAB 1. Lorek rantau yang diwakili oleh ketaksamaan 3. Tuliskan satu model matematik bagi setiap
linear yang berikut. K1 situasi berikut. K1
(a) Bilangan peserta kursus A adalah selebih-
(a) y (b) y lebihnya tiga kali bilangan peserta kursus B.
(b) Bilangan pekerja lelaki melebihi bilangan
6 3 pekerja perempuan selebih-lebihnya 40
orang.
y < –21x + 3 4 y > –52x – 1 2 (c) Dalam seminggu, Ahmad membuat x
2 1 buah almari P dan y buah almari Q. Dia
mempunyai modal sebanyak RM2 000. Kos
–6 –4 ––220 2 x –3 –2 ––110 1 x membuat sebuah almari P ialah RM200 dan
sebuah almari Q ialah RM100.
(c) y (d) y

2 –8 –6 –4 ––210 x 4. Wakilkan setiap ketaksamaan linear berikut
secara grafik. K3
––220 246 x
–4 y < –38x – 5
–6 y > – –94x – 3 –2 (a) x > 4 (b) x , 7 (c) x > –2
–3 y , 8 y > 1 y > 4
(d) x + y > 2 (e) x + y < 4 (f) x > y
–4 y , 6 x + y . 1 x . 1

2. Tentukan ketaksamaan linear yang memuaskan (g) y < 2x (h) y > 2x
setiap rantau berlorek yang berikut. K2 y > x + 2 y < 3x

(a) y (b) y 5. Lorek rantau R yang memuaskan ketaksamaan
x > 0, y > x, y < 2x + 1 dan x + y < 8. K2

4 y = –32x + 2 –73x 6 x=0
2 x
y = + 5 4 y = 2x + 1
–4 ––220 24 2
–4 8 y=x
–3 –2 ––120 x
1

6

(c) y (d) y 4
2 x+y=8
4 4
2
3 y = – –83x + 4
2 –2–20 246 x
–4 y = –25x – 4
1 0 2468 y=0

–10 x
123

390 7.1.1

B07 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 390 22/01/2021 6:45 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

Soalan KBAT Mirip SPM KOMEN

PEMERIKSA

1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis 4
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, ∫ Luas A = 3 (3t 2 – 4t ) dt
v m s–1, diberi oleh v = kt 2 – 4t dengan keadaan 0
k ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat, 4
selepas melalui O. Pecutan zarah itu ialah 14 m s–2 [ ] = t 3 – 2t 2 3
apabila t = 3 s. Cari K4 0
(a) nilai k, [( ) ( ) ] =
(b) julat masa, dalam s, apabila halaju zarah itu 4 3–2 4 2 –0
menyusut, 3 3
(c) masa, dalam s, apabila halaju zarah itu = –1257
berhenti seketika, 5
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui dalam = 1 27
5 saat yang pertama.
5
Komen pemeriksa: ∫ Luas B = 4 (3t 2 – 4t ) dt

v = kt 2 – 4t 3 5
[ ] = 4
Diberi a = 14, apabila t = 3 t 3 – 2t 2
(a) v = kt 2 – 4t
3

= [(5)3 – 2(5)2 –
= 76 257
dv = 2kt – 4 ( ) –1 5
dt 27

Apabila a = 14 dan t = 3
2(3)k – 4 = 14 Jumlah jarak 5 saat pertama
6k = 18 5 76 257
k = 3 = 1 27 +

BAB (b) Gantikan k = 3, v = 3t 2 – 4t dan a = 6t – 4 = 77 2170 m

8 Halaju menyusut, v , 0 bermaksud v
menjadi negatif.
3t 2 – 4t , 0
t(3t – 4) , 0 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
Katakan t(3t – 4) = 0 lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
4 v m s–1, diberi oleh v = pt 2 + qt dengan keadaan
t = 0 dan t = 3 k ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat,
Dengan melakarkan graf, selepas melalui O. Halaju zarah itu ialah – 4 m s–1
apabila t = 1 s dan pecutan zarah itu ialah 2 m s–2
0 x apabila t = 2 s. Cari K4
—34 (a) nilai p dan q,
(b) julat nilai t, apabila zarah bergerak ke kiri,
Maka, julat masa apabila halaju zarah itu (c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu
(c) mPeecnuytuasnuatpiaalbahila0z,arath,be43rh. enti, v = 0, dalam 4 saat pertama.

Komen pemeriksa:
3t 2 – 4t = 0 v = pt 2 + qt
dv
t(3t – 4) = 0 4 a = dt = 2pt + q
3
t=0 (Ditolak) dan t = Diberi v = – 4 apabila t = 1

Maka, halaju zarah itu berhenti seketika a = 2 apabila t = 2
4
pada t = 3 s. (a) Gantikan v = – 4 dan t = 1,
p(1)2 + q(1) = – 4
(d) Lakaran graf halaju-masa p + q = – 4 ...1

v Gantikan a = 2 dan t = 2

50 2p(2) + q = 2
4p + q = 2 ...2
2 – 1: 3p = 6
p=2
Apabila p = 2, 2 + q = –4
B q = –6

0 A —43 t Maka, p = 2 dan q = –6.



418

B08 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 418 22/01/2021 5:42 PM

Tg 5 Matematik Tambahan   Bab 8 Kinematik Gerakan Linear

Zon Sumatif

Kertas 2

SP1M. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis SP5M. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju zarah

K4 v m s–1, diberi oleh v = t 2 – 6t + 8 dengan keadaan K4 itu , v m s–1, pada masa t saat selepas melalui O,
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. diberi oleh v = 8 + 10t – 3t 2 dengan keadaan
(a) Cari t ialah masa, dalam saat. Cari
(i) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, (a) halaju awal, dalam m s–1, bagi zarah itu,
(ii) julat masa apabila zarah itu bergerak (b) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti
arah ke kiri, seketika,
(iii) julat masa apabila pecutan zarah itu (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu
adalah positif. dalam 6 saat pertama.
(b) Lakarkan graf halaju melawan masa bagi
pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 4.
(c) Hitung jumlah jarak yang dilalui dalam
4 saat yang pertama selepas melalui O.
Klon Klon Klon 6. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis Klon K3 lurus dengan keadaan pecutannya , a m s–2,
K3 lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya,
8BAB v m s–1, diberi oleh v = 2t – 3t 2 + 5 dengan keadaan diberi oleh a = 2t – 3, dengan keadaan t ialah
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari masa, dalam saat, selepas melalui titik tetap O.
(a) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, Halaju awal zarah itu ialah –10 m s–1. Cari
(b) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti (a) julat nilai t, dalam saat, apabila pecutan ialah
seketika,
(c) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, positif,
(b) pecutan, dalam m s–2, apabila halaju ialah

8 m s–1,
(c) jumlah jarak , dalam m, yang dilalui zarah

itu dalam 6 saat pertama.

(d) hitung jumlah jarak , dalam m, yang dilalui 7. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
oleh zarah itu dalam 4 saat pertama. K4 lurus dengan keadaan pecutannya, a m s–2, diberi
SP3M. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, oleh a = 6, dengan keadaan t ialah masa, dalam
K4 v m s–1, diberi oleh v = 12 + 4t – t 2 dengan keadaan saat, selepas melalui titik tetap O. Diberi halaju
t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari awal zarah itu pada titik O ialah –12 m s–1. Cari
(a) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, (a) jarak, dalam m, yang dilalui dalam saat
(b) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu,
(c) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, pertama,
(d) jarak, dalam m, dari O apabila zarah itu (b) halaju, dalam m s–1, apabila zarah itu melalui
berhenti seketika.
SP4M. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis O semula,
(c) jarak maksimum, dalam m, di sebelah kiri O,
(d) halaju, dalam m s–1 zarah apabila zarah itu

berada 36 m di sebelah kanan O.

8. Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dengan keadaan pecutannya, a m s–2, diberi K5 lurus dengan keadaan sesarannya, s meter, dari
K3 oleh a = 8 – 2t, dengan keadaan t ialah masa, t 3 9
dalam saat, selepas melalui titik tetap O. Halaju satu titik tetap O diberi sebagai s = –  3 + 2 t 2 – 6t,

awal zarah itu ialah –9 m s–1. Cari dengan keadaan t ialah masa, dalam saat. Cari
(a) jarak, dalam m, yang dilalui dalam 4 saat
(a) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, pertama,
(b) julat nilai t, dalam saat, ketika zarah itu
bergerak ke kanan, (b) sesaran, apabila zarah itu bergerak dengan
halaju –16 m s–1,
(c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu (c) pecutan, dalam m s–2, apabila zarah itu
dalam 6 saat pertama.
melalui O semula.

420

B08 Spotlight MateTambahan Tg5.indd 420 22/01/2021 5:42 PM

KERTAS MODEL SPM

Kertas 1

Masa: 2 jam

Bahagian A
(64 markah)
Arahan: Jawab semua soalan

1. (a) Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada 2. (a) Rajah 2 menunjukkan graf bagi fungsi f
graf bagi fungsi y = f(x). untuk domain 0 < x < 4 dan graf fungsi
songsangnya f –1.
y
y = f(x) y
A (4, 12)

02 x f
–3
f–1 B
Rajah 1 KEKRETARSTAMSOMDOEDLESLPM
0x
Nyatakan sama ada fungsi di atas –4
(i) adalah diskret atau selanjar,
(ii) mempunyai fungsi songsang atau tidak. Rajah 2
[2 markah] Daripada graf, tentukan
D˜ibeaxri,
(b) Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f : x (i) domain bagi f –1,
x ≠ 0 dengan keadaan a ialah pemalar. (ii) koordinat titik B pada graf f –1 yang
f –1(­ 2) = 2 , cari
(i) nilai a, sepadan dengan titik A pada graf f.
(ii) f 17(8). [3 markah] [2 markah]

Jawapan: (b) Pada ruang jawapan di bawah, lakarkan graf
(a) (i) bagi y = |2x – 5| untuk 0 < x < 6. Seterusnya,
cari julat nilai x dengan keadaan y < 3.
(ii) [3 markah]

Jawapan:
(a) (i)

(ii)

(b) (i) (b)
y

(ii) 0 x
421
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 421
22/01/2021 4:06 PM

Matematik Tambahan   Kertas Model SPM 4. Tentukan penyelesaian bagi sistem persamaan
linear tiga pemboleh ubah yang berikut.
3. (a) Jika a dan b ialah punca-punca bagi 2x + 2y + 3z = 22
persamaan kuadratik x 2 + px + q = 0, dengan 3x – y + 4z = 19
keadaan p dan q ialah pemalar, ungkapkan 5x + y + 2z = 21
a 2b + b 2a dalam sebutan p dan q. [6 markah]
[2 markah] Jawapan:

(b) Tinggi, h m, sebiji bola golf yang dipukul
daripada satu permukaan padang selepas
t  saat diberi oleh fungsi h(t) = 20t – 5t2. Cari
(i) masa, t apabila bola golf itu menyentuh
permukaan padang sekali lagi.
(ii) ketinggian maksimum, h yang dicapai
oleh bola golf itu.
Seterusnya, pada ruang jawapan di
bawah, lakarkan graf h melawan t untuk
menunjukkan pergerakan bola golf itu.
[3 markah]

Jawapan:
(a)

KERTAS MODEL SPM (b) (i) 5. (a) Ungkapkan 26 dalam bentuk a + b! 3
(ii) 4 + ! 3
dengan keadaan a dan b ialah integer.
[3 markah]
(b) dJieknag3anlogk1e0a(dxa 3!a ny 2 )= 2– lyog1i0alxah+ lpoogs1i0tiyf,,
x dan
ungkapkan y dalam sebutan x. [3 markah]

Jawapan:
(a)

h (meter)

(b)

0 t (saat)
422
22/01/2021 4:06 PM
KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 422

Matematik Tambahan   Kertas Model SPM

Bahagian B
(16 markah)
Arahan: Jawab mana-mana dua soalan sahaja

13. (a) Diberi bahawa y = (2x + 5)! 4x – 5 . (b) (i)
dy
(i) Tunjukkan bahawa dx = ax (ii)
! 4x – 5
dengan keadaan a ialah pemalar dan 14. (a) Penduduk sebuah taman perumahan terdiri
nyatakan nilai bagi a. daripada 40% remaja.
x dx. (i) Jika lapan orang dari taman itu dipilih
∫(ii) Seterusnya, cari ! 4x – 5 [4 markah] secara rawak, cari kebarangkalian
sekurang-kurangnya dua daripada
(b) Rajah 8 menunjukkan sebahagian daripada mereka adalah remaja.
4 (ii) Jika nilai varians bagi remaja ialah 120,
lengkung y = x 2 , garis x = 1, x = 2 dan y = 4. tentukan jumlah penduduk di taman
itu. [4 markah]
y
(b) Rajah 9 menunjukkan graf bagi taburan
5 x=1 y=4 normal piawai.
4
f(z)
3Q 0.8849

KERTAS MODEL SPM 2 x=2

1 P y = —x42 x
0 12345

Rajah 8

(i) Cari luas kawasan P, dalam unit2, yang
4
dibatasi oleh lengkung y = x 2 , paksi-x
dan garis x = 1 dan x = 2.
(ii) Cari luas, dalam unit2, kawasan Q, yang
4
dibatasi oleh lengkung y = x 2 dan garis

x = 2 dan y = 4. [4 markah]

Jawapan:
(a) (i)

k0 z

(ii) Rajah 9
Kebarangkalian yang diwakili oleh kawasan

berlorek ialah 0.8849.
(i) Cari nilai k.
(ii) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar

yang bertabur secara normal dengan
min ialah 16 dan sisihan piawai ialah 5.
Cari nilai X apabila skor-z ialah k.
[4 markah]

426

Matematik Tambahan   Kertas Model SPM

Kertas 2
Masa: 2 jam 30 minit

Bahagian A
(50 markah)
Arahan: Jawab semua soalan

1. Sepasang suami isteri mempunyai tiga orang anak lelaki. Pada ketika ini, usia anak sulung lebih 4 tahun
1
daripada jumlah usia adik-adiknya. Dua tahun yang lalu, usia anak bongsunya ialah 4 daripada hasil tolak

usia abang-abangnya. Tujuh tahun yang akan datang, jumlah usia mereka bertiga adalah 51 tahun.
Tentukan usia setiap anak bagi pasangan suami isteri itu.
[6 markah]

2. Rajah 2 menunjukkan pemetaan x kepada y yang ditakrifkan oleh fungs f : x ˜ 9x – a dan pemetaan y

kepada z yang ditakrifkan oleh fungsi g : y ˜ b y , y ≠ 12.
12 –

xy z

KERTAS MODEL SPM 33
4

Rajah 2 [6 markah]
(a) Cari nilai pemalar a dan nilai pemalar b.
(b) Ungkapkan fungsi yang memetakan unsur x kepada unsur z dalam bentuk yang serupa.
(c) Tentukan unsur x yang tidak berubah apabila dipetakan kepada z.

3. (a) Punca-punca bagi persamaan 3x 2 – 2kx + k + 4 = 0 ialah a dan b. Jika a2 + b 2 = 16 , cari nilai-nilai yang
mungkin bagi pemalar k. 9 [3 markah]

(b) Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada graf fungsi f(x) = (x – 3)2 – 2 dengan titik minimum A(h, 2k)
dan menyilang paksi-f(x) di 7. Graf ini dipindahkan sebanyak 3 unit ke kanan dan 4 unit ke atas dengan
titik minimum baharu B seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3.

f(x)

7 [4 markah]

f(x) = (x – 3)2 – 2
B

0
A (h, 2k)

Rajah 3
Tentukan

(i) nilai h dan nilai k,
(ii) koordinat bagi titik minimum B,
(iii) persamaan baharu bagi f(x) setelah dipindahkan, dalam bentuk verteks.

428

Matematik Tambahan   Kertas Model SPM

7. (a) Selesaikan persamaan 6 tan2 q + 13 sek q = 2 untuk 0° < q < 360°. [3 markah]

(b) Rajah 7 menunjukkan graf bagi y= a sin 1  x + c, dengan keadaan a dan b ialah integer positif dan c ialah
integer untuk 0 < x < 4π. b

y
1 y = a sin—b1 x + c

0 x
π 2π 3π 4π

–2

–5

Rajah 7

Diberi graf yang melalui titik (0, –2) mempunyai titik maksimum di (π, 1) dan titik minimum di
(3π, –5) itu.
(i) Cari nilai-nilai a, b dan c.

(ii) Lakarkan graf bagi y = | a sin 1  x + c| untuk 0 < x < 4π. [5 markah]
b

KERTAS MODEL SPM Bahagian B
(30 markah)
Arahan: Jawab mana-mana tiga soalan sahaja
8. Jadual 8 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = axn, dengan keadaan a dan n ialah pemalar.

xy

1.2 1.5

1.6 1.8

2.5 2.6

4.0 3.6

6.3 5.0

8.0 5.8

Jadual 8

(a) SPelotetrluosgn10yay, mlukeliaswgaanrislolugr10uxs,pdeennyguaaniamn etenrgbgauikn.a kan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada kedua-dua paksi.
[5 markah]
(b) Gunakan graf di 8(a) untuk mencari nilai bagi
(i) a,
(ii) n.
[5 markah]

430

KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 430 22/01/2021 4:06 PM

Matematik Tambahan   Kertas Model SPM

Bahagian C
(20 markah)
Arahan: Jawab mana-mana dua soalan sahaja
12. Rajah 12 menunjukkan kedudukan awal dan arah pergerakan suatu zarah yang bergerak dari satu titik tetap,
O pada suatu garis lurus, JOK. Halajunya, v ms–1, diberi oleh v = 12 – 6t, dengan keadaan t ialah masa, dalam
saat, selepas meninggalkan titik O. Zarah itu berhenti seketika di titik K.
[Anggap gerakan zarah ke atas ialah positif]

K

O
15 m

KERTAS MODEL SPM J

Rajah 12 [1 markah]
Cari [3 markah]
(a) pecutan malar, dalam m s–2, zarah itu, [3 markah]
(b) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui O sekali lagi, [3 markah]
(c) halaju, dalam m s–1, apabila zarah itu melalui J,
(d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah dari O ke J melalui K.

13. Rajah 13 menunjukkan segi tiga PQR dan segi tiga RST dengan keadaan QRT dan PRS ialah garis lurus.

P

20°

Q 40° R 6 cm
5 cm 8 cm

T

S [4 markah]
[6 markah]
Rajah 13
(a) Hitung panjang, dalam cm, bagi

(i) QR,
(ii) ST.
(b) Diberi titik R terletak pada QT dengan keadaan PR = PR.
(i) Lakarkan segi tiga PRQ,
(ii) Cari ˙PRQ,
(iii) Hitung luas, dalam cm2, segi tiga PRQ.

432

KModel Spotlight MateTambahan Tg5.indd 432 22/01/2021 4:06 PM